Matemática Básica para Economistas MA99

UNIDAD 4

Clase 6.3

Tema: Sistema de Ecuaciones Lineales

Objetivos

Definir el concepto de sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.)

Clasificar un S.E.L. de acuerdo con su conjunto solución.

Definir el concepto de S.E.L. homogéneos.

Resolver un S.E.L. mediante el método de eliminación.

Presentar un S.E.L. en forma matricial.

Resolver un S.E.L. con matrices, a través del método de Gauss (matriz escalonada)

pag.: 152 - 163

Introducción: un problema de inversiones

Un inversionista colocó $100 mil en dos proyectos, el primero de ellos le rindió una tasa de 5% durante el primer año y el segundo, una tasa de 10%. Si durante el primer año obtuvo una rentabilidad total del 8%, ¿cuánto invirtió en cada proyecto?

Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) es una colección de dos o más ecuaciones lineales, cada una con dos o más variables (incógnitas).

Una solución de un S.E.L. consta de valores de las variables para los cuales cada ecuación del sistema se verifica.

Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Conjunto SoluciónSolución (C.S.) del S.E.L.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Definición

Sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x1, x2 ,..., xn :

a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2+... + amn xn = bm

.... .. .. ..

Los aij se denominan coeficientes, los bi se denominan terminos independientesSi los bi son nulos, el S.E.L. Se llama homogéneo.

Interpretación geométrica

Cada ecuación representa una recta:

x + 2y = 72x + y = 8

----------

- - - - - - - - - - -

x + 2y = 7

2x + y = 8

. (3,2)

El punto de El punto de corte es la corte es la única solución.única solución.

Sistema Sistema compatible - compatible - determinadodeterminado

C.S. = {(3;2)}C.S. = {(3;2)}x

y

x + 2y = 7 2x + 4y = 14

---------

- - - - - - - - - - -

x + 2y = 7

2x + 4y = 142x + 4y = 14

Interpretación geométrica

Rectas Rectas coincidentes: coincidentes: infinitas infinitas solucionessoluciones

Sistema Sistema compatible - compatible - indeterminadoindeterminado

C.S. = {(x;y) C.S. = {(x;y) ЄЄ R R22 / x + 2y = 7} / x + 2y = 7}

x

y

x + 2y = 7 2x + 4y = 8

--------

- - - - - - - - - - -

x + 2y = 7

2x + 4y = 8

Interpretación geométrica

Rectas paralelas: Rectas paralelas: no admite solución. no admite solución. Sistema Sistema IncompatibleIncompatible

C.S. = C.S. = ØØ

x

y

Determinado: solución única.

Indeterminado : infinitas soluciones.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

COMPATIBLE

INCOMPATIBLE

CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO

Sistema de Ecuaciones Lineales con tres variables

Los métodos para resolver un S.E.L. con dos variables pueden usarse también para resolver un S.E.L. con tres variables. Sin embargo, en esta clase nos concentraremos en los métodos matriciales.

Una ecuación lineal general con 3 variables es una Una ecuación lineal general con 3 variables es una ecuación de la forma:ecuación de la forma:

ax + by + cz = dax + by + cz = ddonde, a, b, c y d son constantesdonde, a, b, c y d son constantes

4 1

6 3

x y z

2x y + z

3x +2y- 2z 2

Ejemplo resolver el sistema por eliminaciónalgebraica

10z2y3x

2z2yx

9zy2x

5z0y0x

20zy0x

30z0yx

¿Qué sistema es más fácil de resolver?

Pivot de una fila

Definición:

Pivot de la fila i, es el 1er elemento distinto de cero que se encuentra en la fila i de la matriz.

niki aa ,,00

ai,k≠0 pivot de la fila i

Matriz escalonada por filas

Definición:Una matriz se llama escalonada por filas si:

1. Todas las componentes que se encuentran debajo del pivot de una fila son ceros.

2. Todas las filas nulas se encuentran al final de la matriz.

Matriz escalonada reducida por filasDefinición:Una matriz se llama escalonada reducida por filas si, además de ser escalonada por filas se cumple que:

1. Todos los pivots son iguales a 1.

2. En cada columna donde el pivot es 1 los otros elementos son iguales a cero.

Ejemplos:

2100

0130

1012

Matriz escalonada por filas

Matriz escalonada reducida por filas

3100

4010

2001

Rango de una matriz

Llamaremos rango de la matriz A, al número de filas no nulas de la matriz escalonada que se obtenga de la matriz A.

982

663

325

A Al escalonar se obtiene:

000

**0

***

* Indica valor diferente de cero, luego su rango es 2

OBS:Dos matrices equivalentes tiene el mismo rango.

Matriz Escalonada

7621

5342

4121

AEjemplo: Hallar el rango de la matriz A.

RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS MATRICIAL

Para resolver el sistema, se requiere el Para resolver el sistema, se requiere el uso de la uso de la matriz ampliadamatriz ampliada del sistema, la del sistema, la cual se define como [A:B]cual se define como [A:B]

A.X = BA.X = B

0

2

4

643

171

352

Luego, se sustituye A por la matriz escalonada Luego, se sustituye A por la matriz escalonada equivalente, aplicando operaciones equivalente, aplicando operaciones elementales.elementales.

RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS

4242

334

123

22

zyx

zyx

zyx

zyx

4242

3134

1213

2121

0000

55110

5550

2121

Ejemplo:Ejemplo: Resolver el Resolver el sistemasistema

Solución:Solución: la matriz ampliada [A:B] la matriz ampliada [A:B]

0000

55110

1110

2121

0000

6600

1110

2121

0000

1100

1110

2121

1

1

22

z

zy

zyx

~ ~

~ ~

RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS

15

322

03

21

21

21

xx

xx

xx

Ejercicios:Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas Resolver los siguientes sistemas

0523

042

zx

zyx

Análisis de un SEL mediante el rango

1.- El sistema es compatible solamente si 1.- El sistema es compatible solamente si rango [A:B] = rango [A]rango [A:B] = rango [A]

2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (número 2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (número de incógnitas), entonces el sistema tiene de incógnitas), entonces el sistema tiene solución única.solución única.

3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n, 3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n, entonces el sistema tiene infinitas entonces el sistema tiene infinitas soluciones. En este caso se eligen n-r soluciones. En este caso se eligen n-r variables libres (parámetros)variables libres (parámetros)

4.- El sistema es incompatible solamente si 4.- El sistema es incompatible solamente si rango [A:B] ≠ rango [A]rango [A:B] ≠ rango [A]

Resuelva ud.:

pag.: 261

Ejercicios: 21, 22, 23, 24, 29 y30