Vectores

Un vector es un segmento de recta dirigido

o Características:

Magnitud

Dirección (radianes)

o Notacion:

𝑣 ⃗⃗⃗ = [𝑎, 𝑏] a y b son los componentes del vector

o Relación entre vectores:

Vectores iguales

Misma magnitud y dirección

Vectores paralelos

Son multiplos escalares mutuos

Vectores ortogonales

Forma un ángulo de 90° entre ellos

o Vector unitario

Es un vector de magnitud 1

Normalizar un vector:

Proceso de encontrar un 𝑣 ⃗⃗⃗ 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 en la misma dirección

que el 𝑣 ⃗⃗⃗ 𝑑𝑎𝑑𝑜.

Libro Sugerido:

ÁLGEBRA LINEAL, Una introducción moderna. (3era. edición) David Poole. Cengage 2011.

Operaciones de Vectores

Operación de componentes

o Suma

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ] 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑢1, 𝑢2 ]

𝑣 ⃗⃗⃗ + 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑣1 + 𝑢1, 𝑣2 + 𝑢2 ]

o Resta

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ] 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑢1, 𝑢2 ]

𝑣 ⃗⃗⃗ − 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑣1 − 𝑢1, 𝑣2 − 𝑢2 ]

o Multiplicación escalar

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ] 𝑐 = 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟

𝑐 ∗ 𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑐 ∗ 𝑣1, 𝑐 ∗ 𝑣2 ]

o Magnitud de un vector

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ]

||𝑣 ⃗⃗⃗ || = √𝑣12 + 𝑣2

2

�⃗�

𝑣

�⃗�

𝑣

𝑣 − �⃗�

𝑣 𝑐 ∗ 𝑣

o Dirección de un vector

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ]

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑣2

𝑣1)

o Distancia entre vectores

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ] 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑢1, 𝑢2 ]

𝑑 ( 𝑣 ⃗⃗⃗ , 𝑢 ⃗⃗ ⃗) = ||𝑣 ⃗⃗⃗ − 𝑢 ⃗⃗ ⃗||

o Producto punto entre vectores

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ] 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑢1, 𝑢2 ]

𝑣 ⃗⃗⃗ ∙ 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = 𝑣1 ∗ 𝑢1 + 𝑣2 ∗ 𝑢2

o Ángulo entre vectores

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ] 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑢1, 𝑢2 ]

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1( 𝑣 ⃗⃗⃗ ∙ 𝑢 ⃗⃗ ⃗

||𝑣 ⃗⃗⃗ || ∗ || 𝑢 ⃗⃗ ⃗|| )

o Proyeccion de un vector sobre otro

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ] 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑢1, 𝑢2 ]

𝑃𝑟𝑜𝑦�⃗� �⃗⃗� = (

𝑣 ⃗⃗⃗ ∙ 𝑢 ⃗⃗ ⃗

𝑣 ⃗⃗⃗ ∙ 𝑣 ⃗⃗⃗ )𝑣

o Vector unitario �⃗⃗�

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2 ]

𝑈 ⃗⃗ ⃗ = 1

||𝑣 ⃗⃗⃗ ||∗ 𝑣 ⃗⃗⃗

𝑣

�⃗�

𝜃

𝑣

�⃗�

𝑃𝑟𝑜𝑦�⃗� �⃗⃗�

Encuentra más en:

https://www.youtube.com/watc

h?v=S2Ri8FaP7zo

Encuentra más en:

https://www.youtube.co

m/watch?v=QRR8StRhxZ4

Encuentra más en:

https://www.youtube.c

om/watch?v=QRR8StRhx

Z4&list=PLVEkI8DcwbMtX

W1Ug8HklcTKLzoiDVn2F

o Producto Cruz entre vectores (solo se puede con vectores de 3

componentes)

𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ] 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = [ 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 ]

𝑣 𝑋 �⃗� = (𝑣2 ∗ 𝑢3 − 𝑣3 ∗ 𝑣2), (𝑣3 ∗ 𝑢1 − 𝑣1 ∗ 𝑣3), (𝑣1 ∗ 𝑢2 − 𝑣2 ∗ 𝑢1)

NOTAS IMPORTANTES

La dirección de un vector SIEMPRE se da en radianes

El producto cruz entre vectores SOLAMENTE se puede operar con vectores de

3 componentes

Un punto SIEMPRE se denota con paréntesis (x,y)

Propiedaddes de Vectores

𝑆𝑒𝑎𝑛 �⃗� , 𝑣 𝑦 �⃗⃗� 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑅𝑛 𝑦 𝑐, 𝑑 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

1. �⃗� + 𝑣 = 𝑣 + �⃗� CONMUTATIVA

2. 𝑣 + (�⃗� + �⃗⃗� ) = (𝑣 + �⃗� ) + �⃗⃗� ASOCIATIVA

3. �⃗� + 0⃗ = �⃗� ELEMENTO NEUTRO

4. �⃗� + −𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0⃗ INVERSO ADITIVO

5. 𝑐 ∗ (�⃗� + 𝑣 ) = 𝑐 ∗ �⃗� + 𝑐 ∗ 𝑣 DISTRIBUTIVIDAD

6. (𝑐 + 𝑑) ∗ �⃗� = 𝑐 ∗ �⃗� + 𝑑 ∗ �⃗� DISTRIBUTIVIDAD

7. 𝑐 ∗ (𝑑 ∗ �⃗� ) = (𝑐 ∗ 𝑑) ∗ �⃗�

8. �⃗� ∗ 1 = �⃗�

Ejercitación

Dados los vectores a = [-1,-1], b = [3,-2] y c = [0,-4]. Encuentre:

1. Magnitud de a

2. Dirección de b

3. Vector paralelo a c

4. Vector ortogonal a b

5. Vector unitario en dirección opuesta a a

6. Ángulo entre vectores a y b

7. Distancia entre a y c

8. Proyección de b sobre a

9. Encuentre 2a+3c-b

Respuestas:

1. √1.41

2. tan∅ = −2

3= −0.59

3. D =[0.-12]

4. E = [2,3]

5. 𝐹 = 1

‖𝑎‖∗ 𝑎 =

1

√2∗ [−1,−1] = [

1

√2,

1

√2]

6. cos ∅ = [−1,−1]∙[3,−2]

√2∙√7= 1.84 𝑟𝑎𝑑

7. ‖𝑎 − 𝑐‖ = √10 =3.16

8. 𝑃𝑟𝑜𝑦�⃗� �⃗� = (

𝑣 ⃗⃗⃗ ∙ 𝑢 ⃗⃗ ⃗

𝑣 ⃗⃗⃗ ∙ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) 𝑣 =

−1

2∗ [−1,−1] = [

1

2,1

2]

9. x =−3𝑎+4𝑏−4𝑐

−4 = [

−15

4,−11

4]

Ejercicios del libro sugerido:

Sección 1.1) Despejar X

x-a = 2(x-2a)

x+2a –b = 3(x+a) -2(2a-b)

Página 49) Calcular a x v

U = [1,1,1], V=[1,2,3]

Rectas y Planos

Ecuaciones de Rectas en R2

General

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

Normal

�⃗� ∗ 𝑥 = �⃗� ∗ 𝑝

Vectorial

𝑥 = 𝑝 + 𝑡 ∗ 𝑑

Paramétrica

𝑥 = 𝑝1⃗⃗ ⃗ + 𝑡 ∗ 𝑑1⃗⃗⃗⃗

𝑦 = 𝑝2⃗⃗⃗⃗ + 𝑡 ∗ 𝑑2⃗⃗⃗⃗

Ejercitación:

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-3,1) y Q(4,-2) en

todas las formas

Respuestas:

Vectorial: x = (-3,1) + t(7,-3)

Normal: [3,7]*[x,y] = [3,7]*[-3,1]

General: 3x+7y =-2

Ec. Parametricas: x = -3 +7t, y= 1- 3t

Ecuaciones de Rectas en R3

General

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝑑

Normal

�⃗� ∗ 𝑥 = �⃗� ∗ 𝑝

Vectorial

𝑥 = 𝑝 + 𝑠 ∗ 𝑢 ⃗⃗ ⃗ + 𝑡 ∗ 𝑣

Paramétrica

𝑥 = 𝑝1⃗⃗ ⃗ + 𝑠 ∗ 𝑢1⃗⃗⃗⃗ + 𝑡 ∗ 𝑣1⃗⃗⃗⃗

𝑦 = 𝑝2⃗⃗⃗⃗ + 𝑠 ∗ 𝑢2⃗⃗⃗⃗ + 𝑡 ∗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗

𝑧 = 𝑝3⃗⃗⃗⃗ + 𝑠 ∗ 𝑢3⃗⃗⃗⃗ + 𝑡 ∗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗

Ejercicios del libro sugerido:

Sección 1.3)

20. Encuentre la forma vectorial de la ecuación de la recta en R2 que pasa

atravez de P = (2,-1) y es perpendicular a la recta con ecuación general 2x-3y

=1.

Encuentra más en:

https://www.youtube.com

/watch?v=YVEFXfDr6cY

Operaciones de Rectas y Planos

Distancia desde un Punto F(fuera de la recta) hasta una recta l

𝑥 = ||𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑑 𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗

||

Ejercitación:

F = (6,4)

P = (-3,1)

𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−9,−3) Proyección = [-72/29,-168/29]

Distancia = 6.3

Distancia de un Punto F hasta un plano

𝑑 (𝐹, 𝑃) = ||𝑃𝑟𝑜𝑦�⃗� 𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗

F

P

𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑥

𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗

�⃗�

d

d

F

d

d

d

d

P

Distancia entre 2 planos paralelos

Si los Q y P son paralelos su vector normal será el mismo, por lo que la

distancia de obtiene de:

𝑑 (𝑄, 𝑃) = ||𝑃𝑟𝑜𝑦�⃗� 𝑄𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||

Distancia entre dos rectas paralelas

o Encontrar vector que va de un punto d1 al otro vector (𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗)

o Encontrar 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑑1⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑃𝐹 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

o 𝑑 = |𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗|−𝑃𝑟𝑜𝑦�⃗� 𝑄𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||

Intersección entre dos planos

o Resolver el sistema lineal tomando por las ecuaciones de los dos planos

o La intersección son las ecuaciones paramétricas de la recta de

intersección entre los planos

Intersección entre dos rectas

o Pasar las ecuaciones de ambas rectas a la misma forma e igualarlas

o Pueden ser dos resultados:

1 punto

Infinitos puntos en el caso que las rectas sean iguales

Encuentra más en:

https://www.youtube.com/wat

ch?v=DKz-aTMJsuA

Ángulo entre dos planos

o Se encuentra al obtener el ángulos entre los dos vectores normales

Ejercicios del libro sugerido:

Sección 1.3)

43. Encuentre el ángulo entre los plano

X+y+z = 0 y 2x+y-2z = 0

46. Demuestre que el plano y la recta con las ecuaciones dadas se intersectan y

luego encuentre el ángulo agudo de intersección entre ellas.

Plano dado por x+y+2z = 0 y la recta dada por

x= 2+t

y= 1-2t

z = 3+t

Ángulo entre dos rectas

o Se encuentra al obtener el ángulos entre los dos vectores de dirección

Entretenimiento

Crucigrama

Horizontales Verticales

2. Se denota con paréntesis “ (x,y) “ 1. Resultado del producto punto entre dos vectores

4. Vector que siempre tiene la misma longitud = 1

2. Resultado de la operación = (u*v/v*v)*v - (sean u y v, vectores)

6. Forma de un plano en R3 que de denomina por x = p + su + tv (sean x,p,u,v vectores)

3. Forma de una recta en R2 que se denomina por n · x = n · p (sean n,x y p, vectores)

9. Propiedad de la suma donde u+v = v+u - (sean u y v, vectores)

5. Resultado de la operación = ||u-v|| (sean u y v, vectores)

11. Posición en la cual el vector inicia en el origen

7. Dimensional de la dirección de un vector

12. Resultado del producto vectorial entre dos vectores

8. Es el resultado entre la intersección de dos planos en R3

13. Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A hasta un punto B

10. Característica de un vector referente a su tamaño

12. Resultado de la multiplicación de un vector por un escalar.

Respuestas:

Horizontales: 2) Punto. 4) Unitario. 6) Vectorial. 9) Conmutativa. 11) Estandar. 12) Vector. 13) Vector.

Verticales: 1) Escalar. 2) Proyeccion. 3) Normal 5) Magnitud. 7) Radianes. 8) Recta. 10) Magnitud. 12) Vector