algebra aplicada 1

ÁLGEBRA APLICADA PARA TÉCNICO OPERADOR DE PLANTAS INDUSTRIALES D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas

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Indice:

Módulo Tema PáginaA Operar números reales, potencias y raíces

A1 Operar usando números reales. 3A2 Resolver problemas de potencias. 20A3 Aplicar propiedades de las raíces. 31 en ejercicios combinados.

B Identificar y aplicar funciones lineales

B1 Identificar dominio y recorridode relaciones. 41 B2 Identificar funciones en gráficos y diagramas. 44B3 Interpretar mediante la gráfica el dominio y 49 recorrido de una función lineal.B4 Resolver problemas aplicando funciones lineales. 53

C Identificar y aplicar funciones cuadráticas

C1 Interpretar mediante la gráfica el dominio. 64 y recorrido de una función cuadráticaC2 Resolver problemas de aplicación de funciones. 66 cuadráticas

D Identificar y aplicar funciones exponenciales

D1 Interpretar mediante la gráfica el dominio y 78 recorrido de una función exponencialD2 Resolver problemas de aplicación mediante 82 funciones exponenciales

E Identificar y aplicar funciones logarítmicas

E1 Interpretar mediante la gráfica el dominio 87 y recorrido de una función logarítmica.E2 Resolver problemas de aplicación de 90 funciones logarítmicas .


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E3 Resolver problemas mediantefunciones compuestas. 93

F Identificar y aplicar ecuaciones lineales

F1 Resolver ecuaciones lineales. 97F2 Aplicar ecuaciones lineales en la resolución de 102 problemas del operador de planta.

G Resolver problemas aplicando sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales

G1 Resolver y graficar sistemas de ecuaciones lineales. 105G2 Resolver problemas de la vida real mediante 108 ecuaciones lineales.G3 Resolver y graficar sistemas de inecuaciones lineales. 112G4 Resolver problemas de optimización mediante sistemas de 120 inecuaciones lineales (1 y 2 variables).

H Aplicación de las funciones trigonométricas circulares

H1 Explicar y resolver problemas mediante el 135 teorema de Pitágoras.H2 Explicar funciones trigonométricas. 141 H3 Explicar y aplicar los teoremas seno y coseno 152


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Módulo

A1_________________________

Operar usando números reales_________________________

_________________________________________________________ Números reales

Tu necesitas de los números para comprar y vender, para contar los productos terminadosen tu empresa o para leer la hora.

Para operar usando números reales, tendras que:

- Operar con números naturales- Operar con números enteros- Operar con números racionales- Identificar números irracionales- Operar distintos tipos de números reales


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La idea de número aparece en la humanidad, en forma muy precaria, en los pueblosprimitivos. Para ellos, los conceptos eran uno, dos y muchos.

La operación de contar nace con la necesidad de saber cuántas eran las pertenencias ypara poder intercambiar productos. El hombre se las ingenió y buscó elementos parasatisfacer esa necesidad. Fue así como utilizó piedras, nudos, los dedos de las manos,marcas en los troncos, en las piedras y otras alternativas.

¿Qué son los números?Son ideas de cantidad que están en nuestra mente: dos amigos, veinte compañeros, treshermanos... La forma en que representamos o escribimos esa idea recibe el nombre denumeral.Nuestros numerales actuales son de origen indoarábigo. Es decir, el hombre combinóambos sistemas de contar -los de indios y árabes- y esto se extendió por todo el mundo,hasta tener la forma de hoy.A partir de diez cifrasEl sistema numérico que nosotros utilizamos, recibe el nombre de decimal. Se denominaasí porque a partir de sólo 10 cifras se puede formar cualquier numeral. Esas cifras seconocen como el conjunto de los dígitos, relacionando su nombre con los dedos denuestras manos. Los dígitos son: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Tomaremos como ejemplo los dígitos 1, 2 y 3.

Con ellos se pueden formar varios numerales: 123, 132, 213, 231, 312 y 321.

Te habrás podido dar cuenta que utilizamos los mismos dígitos, pero los numeralesobtenidos son distintos.

Algunos conjuntos numéricos que debes conocer son :

Ê Números Naturales

œ Conjunto de los Números Naturales

œ Ö × 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual semanifiesta en el ser humano desde sus inicios.Este conjunto se caracteriza porque: Tiene un número infinito de elementosñ Cada elemento tiene un sucesorñ Cada elemento excepto el 1 tiene antecesor.ñ

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno ; el antecesor se obtieneÐ "Ñrestando uno .Ð "Ñ2) Conjunto de los Números Cardinales ‡

!œ œ


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! œ Ö !ß "ß #ß $ß %ß &ß 'ß ÞÞÞ×

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto delos Números Cardinales.

Surgieron entonces nuevos problemas:ì ¿Cómo indicar temperaturas bajo 0?ì ¿Cómo diferenciar alturas y profundidades de la tierra?ì ¿Cómo expresar que quedó debiendo algo?

Ê Números Enteros ™Para responder a estas interrogantes, nuevamente el hombre recurrió a su inteligencia yformó otro conjunto numérico, en el que podrían expresarse cantidades menores que 0.Es el llamado conjunto de los números enteros y que se identifica con el símbolo .™Podemos decir que el conjunto de los números enteros permite expresar: 12° bajo 0 como: -12° y se lee menos 12.ñ Si se debe $5.000, podemos decir: - $5.000, que se lee menos ñ $5.000; Si retrocedemos 49, señalar -49.ñ

De esta manera, el ámbito numérico se nos agranda hacia la izquierda de la rectanumérica, donde el 0 es el origen.

Sea Conjunto de los Números Enteros™ œ ™ œ ÖÞÞÞ $ß #ß "ß !ß "ß #ß $ß ÞÞÞ×También podemos indicar que el Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidadde dar solución general a la restapor ejemplo: ¿ ?& #! œLuego:™ œ Y! Conjunto de los Números Enteros negativosPodemos decir que: Tiene 3 Subconjuntos:ñ œ™ Enteros Negativos: ¯ñ ™ Enteros Positivos: ñ ™

El Cero: 0ñ

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntosmencionados. ¯ ™ ™ ™œ Y Ö!× Y

¿Cómo sumamos enteros?


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Recurriremos a la recta numérica.Por ejemplo, sumaremos . A partir del nos correremos lugares en & # & #sentido positivo, es decir, hacia la derecha, porque el sumando es en la recta #numérica:Esto quiere decir que si sumamos enteros positivos, obtenemos un número & # œ (

Analicemos un segundo ejemplo: . A partir de avanzaremos lugares en $ % $ %sentido negativo, hacia la izquierda, porque el otro sumando tiene signo negativo. De estamanera: $ % œ (Ahora, sumaremos : & *A partir de contamos lugares en sentido negativo. El resultado es & * %Þ

Otra forma de determinar la suma es ocupar 2 palabras claves: debo, para los enterosnegativos; y tengo, para los positivos. Así:

$ " $ " % œ % será debo y debo , entonces, debo . # ' # ' ) œ ): tengo y tengo ; tengo . & $ & $ # œ # : debo y tengo ; pago y me queda que debo . " ' " ' & œ &: debo y tengo ; pago y me queda que tengo .Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debesmemorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Lasreglas a memorizar son las siguientes:

Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo seì debe sumar y conservar el signo.

Ej : -3 + -8 = - 11 ( sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debeìrestar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que elvalor absoluto son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar elnúmero sin su signo).

Ej : -7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, losnúmeros son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 ¿con cuál signo queda?. Elvalor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número quetiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un numero positivo).

5 + -51 = - 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)


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-14 + 34 = 20

Ejercicios de Práctica1) 2 + -5 2) -3 + 6

3) -7 + 2 4) -3 + 4

5) 6 + -1 6) -3 + 3

7) -2 + -2 8) 6 + -7

Resta en ™Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de estamanera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

Cambiar el signo de la resta en sumaì

Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo deìoperación por su signo contrario

Ej: -3 ¾ 10 = -3 + - 10 = -13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 ¾ - 16 = 19 + + 16 = 19 + 16 = 35Ejercicios de Práctica:

1) 2 – 6

2) –3 – 4

3) 4 - -2

4) –1 - -6

5) 2 - 8

6) 3 - -5

7) –1 - 4

8) 0 - -8


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Multiplicación y División en ™

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SEHACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguientetabla:+ · + = +

- · - = +

+ · - = -

- · + = -

Ej: -5 · -10 = 50 ( 5 · 10 = 50 ; - · - = + )

12 · - 4 = -48 ( 12 · 4 = 48 : + · - = - )Para multiplicación y división (esto aplica cuando se están multiplicando o dividiendodos números a la vez) :Signos iguales = positivo ej . -2 -3 = 6 -10 / -2 = 5† 2 3 = 6 10 / 2 = 5†

Signos distintos = negativo ej. -2 3 = -6 -10 / 2 = -5†

2 -3 = -6 10 / -2 = -5†

Ejercicios de Práctica:

1) 2 -2† œ

2) -3 -8† œ

3) 10 -2† œ

4) -2 -30† œ

5) -2 4 5† †

6) 4 3 5 † †

7) 25 / 5

8) 24 / 8

9) 8 / 4


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10) 30 / 2

11) 0 / -3

12) -4 / 0

Respuestas11) 0 / - 3 = 0 --------------> Cero dividido por cualquier número que no sea cero esigual a cero.

12) -4 / 0 = no se puede --------> La división por cero no está dividida.

Piensa

¿Como divides una pizza en cero pedazo? ¡Me parece que se te va a enfiar, porque no sepuede dividir en cero pedazos.

Ê Números Racionales

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones decálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinalesy Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los NúmerosEnteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionaresta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de laforma . Esta fracción en la cual el numerador es , es un número entero y el

+

,+

denominador , es un número entero distinto de cero.,

œ Conjunto de los Números Racionales

... , , , , , œ Ö ß ! ß ÞÞÞ×$ " " " " $

% # % % # %

El conjunto de los Números Racionales se ha construido a partir del conjunto deÐ Ñlos Números Enteros .Ð Ñ™

Se expresa : ™œ Ö+Î, + , − Á !× tal que y ; y b

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitasfracciones equivalentes.


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Calcula:1 ) 6/4 + 3/8 + 1/22 ) 2/5 + 4/3 + 3/153 ) 8/9 - 4/5 4 ) 5/3 - 1/2 5 ) 4/5 + 1/2 - 7/8 6 ) 1/6 - 5/9 + 3/2 7 ) 4 + 2/5 8 ) 5 - 7/89 ) 3/4 - 1 10 ) 4/5 × 2/3 11 ) -2/3 × 6/7 12 ) 6 × 2/9 13 ) 5/8 × 4 14 ) 3/8 ÷ 3/4 15 ) 4 ÷ 1/3 16 ) 1/3 ÷ 4 17 ) 3/4 × ( 2/3 + 1/6 ) 18 ) ( 2/5 - 1/2 ) × 4/7 19 ) ( 1/3 - 1/6 ) ÷ 1/2 20 ) 1/6 ÷ ( 1/3 - 1/2 )

Respuestas1 ) R: 19/82 ) R: 29/153 ) R: 4/454 ) R: 7/65 ) R: 17/406 ) R: 10/97 ) R: 22/58 ) R: 33/89 ) R: -1/410 ) R: 8/1511 ) R: - 4/712 ) R: 4/313 ) R: 5/214 ) R: 1/215 ) R: 1216 ) R: 1/1217 ) R: 5/818 ) R: - 2/3519 ) R: 1/320) R: -1


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Ê Números Irracionales MM œ œ‡ Conjunto de Números Irracionales Conjunto de Números Decimales Infinitos no PeriódicosM œ

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a losconjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número , etc. A1él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números queno pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los númerosracionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitossemiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos de números irracionales: "Ñ $È 1,4142135....#Ñ 0,10200300004000005....$Ñ

¿Puedes identificar si los siguientes números son irracionales o no?1) 3,44442) È(3) 2,345687532211790654324) -3,456...

Ê Números Reales ‘

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales conuna recta, en la que cada punto representa un número.

Clasificación de los números realesUn número real puede ser racional (si se puede representar mediante una fracción) oirracional (si no se puede representar mediante una fracción). Ejemplos de númerosreales racionales son el 2, 7, 1500, 3/4, 8/7 y de números reales irracionales, .È È& ß #ejercicios:I Ordena de mayor a menor:1 ) 2/3 y 3/4 2 ) 3/5 y 5/9 3 ) 1/2, 4/7 y 3/8

II ) Ordena de menor a mayor:1 ) 4/5 y 7/9 2 ) 3/4 y 6/7 3 ) 2/5, 4/9 y 3/7


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III) Transforma a decimal:1 ) 3/4 2 ) 4/53 ) 3/8 4 ) 2/3 5 ) 5/6 6 ) 8/5 7 ) 21/9

IV) Transforma a fracción:1 ) 0,35 2 ) 1,4 3 ) 2,5

V) Calcula:1 ) 0,04 + 0,2 2 ) 0,31 + 2,2 3 ) 6,057 + 4,125 4 ) 0,48 - 0,3 5 ) 2,41 - 3,5 6 ) - 0,26 + 0,18 7 ) - 3,45 - 8,74 8 ) 5,03 + 2,58 - 4,9 9 ) 3,6 - 9,05 + 5,71 10 ) 0,03 × 0,4 11 ) - 0,21 × 0,5 12 ) 2,3 × ( -1,4 ) 13 ) - 0,006 × ( - 0,005 ) 14 ) 0,36 ÷ 0,6 15 ) - 0,25 ÷ 0,05 16 ) 2 ÷ ( - 0,4 ) 17 ) - 0,6 ÷ ( - 3 ) 18 ) 0,0625 ÷ 0,25 19 ) 0,196 ÷ ( -2,8 ) 20 ) - 25,6 ÷ 0,032 21 ) 2,43 ÷ 0,027 22 ) 0,5 × ( 0,08 + 0,21 ) 23 ) ( 0,41 - 0,83 ) × ( - 0,6 ) 24 ) ( 0,36 - 0,21 ) ÷ 1,5 25 ) - ( 0,02 + 0,1 ) ÷ 0,0006 26 ) ( 0,2 + 0,05 ) × ( 0,3 + 0,01 ) 27 ) ( 0,3 + 0,01 ) ÷ ( 0,2 + 0,05 ) 28 ) ( 1,4 - 2,3 ) × ( - 3,5 + 7,2 ) 29 ) ( 4,1 + 1,4 ) ÷ ( 6,2 - 6,25 ) 30 ) 0,25 + 1/4


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31 ) 0,75 - 1/2 32 ) 0,1 × 1/6 33 ) - 2/5 × 0,8 34 ) 2,25 ÷ 1/2 35 ) 3/5 ÷ 0,1 36 ) ( 3/4 + 1/2 ) × 0,5 37 ) ( 0,26 - 0,66 ) × 3/4 38 ) ( 0,36 - 0,2 ) ÷ 2/5 39 ) 0,6 × ( 1/6 + 1/4 ) 40 ) 0,2 ÷ ( 1/5 - 2/15 )

VI ) Ordena de mayor a menor:1 ) 0,03, 0,035 y 0,16 2 ) 0,01, - 0,2 y 0,006 3 ) - 0,018, - 0,01 y - 0,009 4 ) - 0,06, - 0,03 y 0,02 5 ) 0,0508, 0,05082 y 0,05009

VII ) Ordena de menor a mayor:1 ) 0,06, 0,061 y 0,1 2 ) 4,06, - 2,3 y 1,063 ) -1,25, - 2,79 y 6,45 4 ) 1,304, 1,3061 y 1,3009 5 ) - 2,008, - 2,0009 y - 2,0076

VIII) Expresa en notación científica:1 ) 28.000 2 ) 0,0009 3 ) 502.000.000 4 ) 0,00201 5 ) 0,15

IX) Expresa en forma decimal:1 ) 3,7 × 10 8 2 ) 1,5 × 10 - 6 3 ) 4,08 × 10 3 4 ) 7,4 × 10 - 5 5 ) 2,09 × 10 - 4

X) Expresa:1 ) 240.000 m en Km 2 ) 3,6 Km en m 3 ) 27.000 cm en m 4 ) 0,048 m en mm 5 ) 6,021 m en dm


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6 ) 0,08 dm en mm 7 ) 0,105 m en cm 8 ) 79 cm en mm 9 ) 58.000 mm en m 10 ) 370 mm en cm 11 ) 8.204 cm 2 en m 2 12 ) 0,006 Km 2 en m 2 13 ) 9,3 × 10 10 m 2 en Km 2 14 ) 2,3 × 10 -6 m 3 en cm 3 15 ) 1.800 ml en l 16 ) 0,2 l en ml 17 ) 0,03 Kg en g18 ) 7 × 10 5 mg en g19 ) 0,064 g en mg 20 ) 297 g en Kg 21 ) 1,5 hr en min 22 ) 0,5 hr en seg 23 ) 720 seg en min 24 ) 270 min en hr 25 ) 2,5 min en seg 26 ) 28 m + 96 cm en m 27 ) 0,3 Km + 406 m en m 28 ) 1,8 m 2 + 3.000 cm 2 en m 2 29 ) 5,9 l + 600 ml en l 30 ) 700 ml - 0,3 l en l 31 ) 0,9 Kg + 400 g en Kg 32 ) 0,7 Kg - 250 g en g 33 ) 5,6 g + 800 mg en g 34 ) 1 hr + 30 min en hr 35 ) 5 min + 48 seg en min

XI) Calcula:1 ) 7,3 °C sobre cero + 4,5 °C bajo cero 2 ) 0,8 °C bajo cero + 0,6 °C sobre cero 3 ) 3,6 °C sobre cero - 2,7 °C sobre cero 4 ) 7,5 °C bajo cero - 5,8 °C bajo cero 5 ) 1,8 °C sobre cero - 9,1 °C bajo cero

Respuestas:

I) Ordena de mayor a menor:1 ) R: 3/4 > 2/32 ) R: 3/5 > 5/93 ) R: 4/7 > 1/2 > 3/8


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II) Ordena de menor a mayor:1 ) R: 7/9 < 4/52 ) R: 3/4 < 6/73 ) R: 2/5 < 3/7 < 4/9

III) Transforma a decimal:1 ) R: 0,752 ) R: 0,83 ) R: 0,375

IV) Transforma a fracción:1 ) R: 7/202 ) R: 7/53 ) R: 5/2

V) Calcula:1 ) R: 0,242 ) R: 2,513 ) R: 10,1824 ) R: 0,185 ) R: -1,096 ) R: - 0,087 ) R: -12,198 ) R: 2,719 ) R: 0,2610 ) R: 0,01211 ) R: - 0,10512 ) R: - 3,2213 ) R: 0,0000314 ) R: 0,615 ) R: - 516 ) R: - 517 ) R: 0,218 ) R: 0,2519 ) R: - 0,0720 ) R: - 80021 ) R: 9022 ) R: 0,14523 ) R: 0,25224 ) R: 0,125 ) R: - 20026 ) R: 0,077527 ) R: 1,2428 ) R: - 3,33


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29 ) R: - 11030 ) R: 1/2 ( 0,5 )31 ) R: 1/4 ( 0,25 )32 ) R: 1/6033 ) R: - 8/25 ( - 0,32 )34 ) R: 9/2 ( 4,5 )35 ) R: 636 ) R: 5/8 ( 0,625 )37 ) R: - 3/10 ( - 0,3 )38 ) R: 2/5 ( 0,4 )39 ) R: 1/4 ( 0,25 )40 ) R: 3

VI) Ordena de mayor a menor:1 ) R: 0,16 > 0,035 > 0,032 ) R: 0,01 > 0,006 > - 0,23 ) R: - 0,009 > - 0,01 > - 0,0184 ) R: 0,02 > - 0,03 > - 0,065 ) R: 0,05082 > 0,0508 > 0,05009

VII) Ordena de menor a mayor:1 ) R: 0,06 < 0,061 < 0,12 ) R: - 2,3 < 1,06 < 4,063 ) R: - 2,79 < -1,25 < 6,454 ) R: 1,3009 < 1,304 < 1,30615 ) R: - 2,008 < - 2,0076 < - 2,0009

VIII) Expresa en notación científica:1 ) R: 2,8 × 10 42 ) R: 9 × 10 - 4 3 ) R: 5,02 × 10 84 ) R: 2,01 × 10 - 35 ) R: 1,5 × 10 - 1

IX) Expresa en forma decimal:1 ) R: 370.000.0002 ) R: 0,00000153 ) R: 4.080 4 ) R: 0,0000745 ) R: 0,000209


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X) Expresa:1 ) R: 240 Km2 ) R: 3.600 m3 ) R: 270 m4 ) R: 48 mm5 ) R: 60,21 dm6 ) R: 8 mm7 ) R: 10,5 cm8 ) R: 790 mm9 ) R: 58 m10 ) R: 37 cm11 ) R: 0,8204 m 212 ) R: 6.000 m 213 ) R: 9,3 × 10 4 Km 214 ) R: 2,3 cm 315 ) R: 1,8 l16 ) R: 200 ml17 ) R: 30 g18 ) R: 700 g19 ) R: 64 mg20 ) R: 0,297 Kg21 ) R: 90 min22 ) R: 1.800 seg23 ) R: 12 min24 ) R: 4,5 hr25 ) R: 150 seg26 ) R: 28,96 m27 ) R: 706 m28 ) R: 2,1 m 229 ) R: 6,5 l30 ) R: 0,4 l31 ) R: 1,3 Kg32 ) R: 450 g33 ) R: 6,4 g34 ) R: 1,5 hr35 ) R: 5,8 min

XI) Calcula:1 ) R: 2,8 °C2 ) R: - 0,2 °C3 ) R: 0,9 °C4 ) R: - 1,7 °C5 ) R: 10,9 °C


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Problemas que usan fracciones

1. Los dos quintos de los ahorros de Laura son $53,40. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?

2. José sale de su casa con $50 y gasta 4/5 en el cine y 1/10 en chocolates, ¿qué fraccióndel total ha gastado?

3. Gonzalo vive en Buenos Aires y decide visitar a su hermano que vive en la provinciade Santa Cruz. El primer día recorre 2/7 del camino y el segundo día 2/5 de lo que lefalta. Si le quedan aún 900 km por recorrer, ¿cuántos km tiene el camino?

4. Ya completé los 2/5 de un álbum. Para llenar un cuarto de lo que me falta necesito 36figuritas. ¿Cuántas figuritas en total tiene el álbum?

5. Pagamos $38 por un libro, un cuaderno y una birome. El precio del cuaderno es unquinto del precio del libro. La birome cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno¿Cuánto cuesta el libro?

6. Del total de alumnos de una escuela de Mendoza, la mitad nació en esa provincia, untercio en otra provincia argentina y los restantes nacieron en otros países. Si son 83 losalumnos extranjeros de la escuela, ¿cuántos de los alumnos de la escuela nacieron enMendoza?

7. María gastó en el supermercado las tres cuartas partes del dinero que llevaba. Despuésfue a la zapatería y quiso comprar tres pares de zapatillas a $9,90 cada una, pero lefaltaban $6,50. ¿Cuánto dinero tenía al entrar al supermercado?

8. Javier ayuda a su papá en su negocio. Durante las vacaciones lo hace de lunes aviernes y en época de clases, los sábados. Por cada día de trabajo recibe $4,50. Alterminar las 8 semanas de vacaciones había ganado 2/3 del dinero que necesita paracomprarse una bicicleta nueva. ¿En cuántos sábados reunirá lo que le falta? ¿Cuántocuesta la bicicleta que quiere comprar?

9. Sobre un terreno rectangular de 630 X 800 m hay una pequeña laguna que ocupa el10% de la superficie total, un pequeño bosque que ocupa 2/9 de la superficie restante yun viñedo que se extiende sobre el resto. ¿Cuántas hectáreas ocupa el viñedo?

10. El Sr. Gómez decide repartir su capital en partes iguales entre sus tres hijos: Roberto,Jorge y Gloria, reservándose para sí un quinto del total. A su vez, Roberto renuncia a susderechos a favor de sus hijas: Ana, Mercedes y María, que se reparten lo heredado enpartes iguales. Jorge es el padrino de María, le da a ésta la mitad de lo que le correspondea él y entonces María recibe en total $8000. ¿Con cuánto se quedó el Sr. Gómez?


19

Respuestas

1. 133,50$

2. 9/10

3. 2100 km

4. 240 figuritas

5. El libro cuesta $30

6. Nacieron en Mendoza 249 alumnos.

7. Al entrar al supermercado tenía $92,80

8. Tiene que trabajar 20 sábados. La bicicleta cuesta $270

9. 35,28 ha.

10. El Sr. Gómez se quedó con $7200


20

Módulo

A2__________________________

Resolver problemas de potencias__________________________

_________________________________________________________ Potencias

Tu puedes ocupar potencias para escribir números, en estudios científicos

Para resolver y aplicar problemas de potencias tendrás que:

- Definir una potencia, identificar sus partes- Identificar propiedades de una potencia- Aplicar propiedades de las potencias usando ejercicios y problemas de los operadores.


21

Ê Potencias

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja ensu cuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene 2*2 = 4 abuelos.Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene 2*2*2 = 8 bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos. Operación ResultadoPadres 2 = 2 2" œAbuelos 2*2 = 2 4# œBisabuelos 2*2*2 = 2 8$ œTatarabuelos 2*2*2*2 = 2 16% œ

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Paraabreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 2 y lo llamaremos potencia.%

2 se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".%

5 se lee "5 elevado a 2" o también " elevado al cuadrado", que es más habitual.# &

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. Elnúmero que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la basese llama exponente.

En la potencia 2 , la base es 2 y el exponente es 4.%

Calcula las siguientes potencias: 3 , 5 , 7 , 2 , 10 , 4 . En cada caso escribe cuál es la& $ # ( % $

base y cuál es el exponente.Luego podemos indicar que: Así, a8 − ß + † + † + † ÞÞÞ † + œ +8™ ðóóóóóóñóóóóóóò n veces

Ejemplos:1) 2 + 5 = ( 2 2 2 2 2 ) + ( 5 5 5 ) = 32 + 125 = 1575 3 † † † † † †

2) ( 3) = 3 3 3 = 27 † † 3


22

Propiedades:

I. Potencias de igual base.

a) Producto de potencias de igual base À Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. + † + œ +8 7 87

Ejemplos : 1) + † + œ +5 3 8

2) B † B œ B+$ , #+%, $+ ,

3) ( ) 8 8 8 † 8 œ 8 8 82 3 4 5 3 2 5 5 7 7 3 1+ + + + + +

4 Ñ B † B œ B2 3 2 + 3 œ B&


23

b) División de potencias de igual base: Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

+ À + œ œ + + Á !+

+8 7

8

787

Ejemplos:

1) : + + œ + œ +5 3 5 3 2

2) : B B œ B5 3 28 8

3) ( ) : B B B B œ B B B8 4 1 + 1 7 2 38 8 8 8 8 8

4 Ñ 7 À 7 œ 7 œ 7 # $ # Ð$Ñ &

II. Potencias de igual Exponente.

c) Producto de potencias de igual exponente: Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conservan los exponentes.

+ † , œ Ð+ † ,Ñ7 7 7

Ejemplos :

1) 2 5 (10) 10003 3 3† œ œ

2) (2 ) 2 4 8

+ † œ + † œ, , ,

+ %+3

3 3 3Œ Œ 3 2Ñ † " œ # † œ $ œ #(

3 Š ‹ Š ‹" $# #

$ $$


24

d) División de potencias de igual exponente: Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente À

ó+ À , œ Ð+ À ,Ñ œ à , Á !+ +

, ,7 7 7

7

7

7Š ‹

Ejemplos :

1) 48 : 16 3 814816

4 4 44

œ œ œŠ ‹

2) ( - ) : ( ) ( )( ) ( )

( )+ , + , œ œ + ,

+ , † + ,

+ ,2 2 3 3

33– —

3 Ñ % À # œ Ð% À #Ñ œ Ð#Ñ œ $#& & & &

III. Potencia elevada a potencia. Para elevar una potencia a una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ð+ Ñ œ +7 8 7†8

Ejemplos : 1) ( ) + œ +2 5 10

2) [ ( 2 ) ] ( 2 ) 1 1

( 2) 16 œ œ œ

2 2 4

4

3) ( ) ( ) ( ) + , † - . + , - .

+ , - . + , - .œ œ + , - .

2 3 2 2 3 4 6 3 6

1 2 3 2 2 4 6 26 2 9 4

4) (3 ) (3) 2 3 œ œ $# †$ '

IV. Otras propiedades - Toda potencia elevada a exponente uno es igual a su base.

aa =1

- Toda potencia de exponente cero es igual a uno.0;10 ≠= aa


25

- Toda potencia de exponente negativo es igual a uno dividido por la potenciacon exponente positivo.

0;1≠=− a

aa n

n

- Toda potencia de base fraccionaria con exponente negativo es igual alrecíproco de la base y exponente positivo.

0;0; ≠≠

=

−

baab

ba nn

Ejemplos : 1 ) 40 & #) œ $! !

2) + † , † + † , œ + † , œ "8" $8 "8 8$ ! !

3) Ò $ÐB #CÑ & Ð(B %CÑ #)Ó œ "# $ !

4) 2 1 12 8

33œ œ

5) 2 + 4 + 8 + + 1 1 1 32 4 8 64

6 3 2 6 3 2

œ œ

6) Œ Œ $ % "'

% $ *œ œ

# #

Signos de una Potencia

Potencia de Exponente Par: Sabemos que un número par cualquiera se expresa por 28siendo perteneciente al conjunto . Por lo tanto, si la base de una potencia es positiva8 ™y su exponente es par, la potencia también es positiva.

( ) [ ( ) ] ( ) = , œ , œ , ,2 2 2 28 8 8 8

Si la base es negativa y el exponente par, se obtiene( ) [ ( ) ] ( ) + , œ , œ , œ ,2 2 2 2 n8 8 8 8

Luego "Toda potencia de exponente par de un número real es siempre positivo". Es decir;( ) para que pertenezca al conjunto y al conjunto .„ , œ , 8 ,2 28 8 ™ ‘


26

Ejemplos : 1) ( 7) ( 7) ( 7) = 49 œ † 2

2) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) = 256 œ † † † 4

Potencia de Exponente Impar.Un número impar se forma agregando la unidad a un número par. Por lo tanto, (2 + )8 "expresa un número impar cualesquiera siendo perteneciente al conjunto .8 ™ Entonces:Si la base es positiva y real la potencia también es positiva es decir :, ß

( ) ( ) ( ) = , œ , † , ,2 2 2 18 " 8 8

Si la base es negativa se obtiene:,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , œ , † , œ , † , † " œ ,2 1 2 2 2 18 8 8 8

Por lo tanto"Toda potencia de exponente impar tiene el signo de la base "( ) „ , œ „ ,2 1 2 18 8

Ejemplos : 1) ( 3 ) ( 3) ( 3) 243 † œ œ 4 5

2) ( ) ( ) ( ) ; + † + œ + œ + B3 2 4 3 4 B B " B B $

pertenece a 3) ( 2) (2) 4 8 32 † œ † œ2 3

4) ( 2 ) ( 2) ( 2) 32 † œ œ 3 2 5

Ejercicios Propuestos

I) Simplifique las siguientes expresiones

1) 2) ( ) + , † +, B B B † B2 5 3 3 1 4 5 1 3+ + +

3) ( : ) 4) 3

B B † B , +

+ , + ,3 4 5

2 3

5 2 2 7

5) [ ] 2 6) 6 1 13 4

B C †8 8 2 3 4 0 44 4Œ Œ

7) ( ) : ( ) 8) (0,5) + (0,25) + (0,125)+ , + ,2 2 3 3 6 3 2

9)

Š ‹ Š ‹ Š ‹+ , + , - .

+ , - . + ,† †

2 3 4

10) (0, 5) + (0, 25) + (0, 125) 11) [ ( ) ] 8 + 6 3 2 3-


27

II) Simplifique las siguientes expresiones y de la solución sin exponentes negativosÞ

1) 5) #+ , - Ð+ , Ñ

%+ , - Ð, +Ñ

% # $ # " #

# ) $ # "

"œ 2) 6)

Š ‹ $+, Ð$BC Ñ ÐB C Ñ

- $B CÐ+ , Ñ

% # $

"$ # #

# $ $ %

3) 7) BC B C + , - + , -

ÐBCÑ C , + - + , -† À

# # $ # % $ % #

# # % # $ # ! &

" # $œ” • ” • 4)

Ð'B DÑÐ$ÑÐBD Ñ

*B C

$ # #

% #

Respuestas I ) 1) 2) + 3) + , B B B B3 8 0 2 3 5 8 12 + +

4) 5) 3 6) + 3

16, + , + "

+ ,

9 8 5 3

5 7

7) ( ) 8) 364

+ , 3

9) 10) 192 11) ( ) ( )

( )+ , † - .

+ ,-2

3+ 8

II)

1) 2) 3) , - +

#+ , B C

"! % &

# && $

4) 5) 6) #D C + *

B , B C

& # $

& % # &

7) +

, -

#&

"' &


28

Notación Científica

Las potencias de 10 tanto con exponentes positivos como negativos tienen bastanteimportancia y aplicación sobre todo en Física y Química para escribir cantidades muygrandes o muy chicas en forma abreviada. Veremos algunos ejemplos:

1) La masa de la tierra es 5.980.000.000.000.000.000.000.000, Kg. aprovechando laspotencias de 10 se escribe sencillamente 5,98 10 Kg.† 24

2) Un coulomb tiene tres mil millones de statcoulomb = 3000.000.000 Stcabreviadamente se esribe: 3 • 10 stc.9

3) El grueso de una hoja de papel de cuaderno corriente es siete cien milésimos demetros. 0,00007m; abreviadamente se escribe 7 10 m† 5

4) El diámetro de la órbita del electrón del hidrógeno es un diez millonésimos demilímetro = 0,0000001 mm lo que se escribe 10 mm. 7

Ejercicos propuestos Aprobeche las potencias de 10 y escriba abreviadamente con una cifra enteray un decimal las cantidades indicadas.

) 280.000.000.000" ) El número de avogadro es :# 602.300.000.000.000.000.000.000 .moléculas

mol

) El grueso de un vidrio corriente de venta es de un milésimo de metro.$

Respuestas ) 2, 8 10" † 11

)6, 023 10 # † 23 moléculasmol

)10 m$ 3


29

Análisis Dimensional

La palabra tiene un significado especial en física. Suele significar la naturalezadimensiónfísica de una cantidad. Ya sea que se mida una distancia en unidades pies o metros, setrata de una distancia.Se dice que una dimensión es la longitudSi los símbolos empleados para especificar longitud, masa y tiempo son , yP Q X

respectivamente, escribiremos las dimensiones de velocidad como .@ @ œP

XOtro ejemplo las dimensiones de área, son . Las dimensiones de área,Eß E œ P#

volumen, velocidad y aceleración se registran en la tabla siguiente.Cabe destacar que SI corresponde al sistema internacional de unidades. En este sistemalas unidades de longitud, masa y tiempo son el metro, el kilógramo y el segundorespectivamente.

Sistema Área ( Volumen ( Velocidad AceleraciónSI

De ingeniería británico

P Ñ P Ñ

7 7 7Î= 7Î=

-1= -7 -7 -7Î= -7Î=

:3/ :3/ :3/Î= :3/

# $ P PX X

# $ #

# $ #

# $

ˆ ‰ ˆ ‰#

Î=#

En muchas situaciones será necesario deducir o verificar una fórmula específica. Aunquese hayan olvidado los detalles de la deducción, hay un útil y eficaz método conocidocomo análisis dimensional que puede utilizarse en la deducción o verificación de suexpresión final. Este procedimiento se debe emplear siempre, puesto que ayudará aminimizar la memorización rutinaria de ecuaciones. El análisis dimensional aprovecha elhecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas. Es decir, lascantidades pueden sumarse o restarse sólo si tienen las mismas dimensiones. Asimismo,los términos de ambos lados de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Conestas sencillas reglas puede emplear el análisis dimensional para determinar si unaexpresión tiene o no la forma correcta, puesto que la relación sólo puede corregirse si lasdimensiones en ambos lados de la ecuación son iguales.Para ilustrar este procedimiento, supóngase que se desea obtener una fórmula para ladistancia recorrida por un carro en un tiempo si el carro parte del reposo y se mueveB >con aceleración constante . La expresión correcta para esto es . Utilizaremos+ B œ +>"

##

el análisis dimensional para comprobar la validez de esta expresión.La cantidad en el lado izquerdo tiene la dimensión de la longitud. Para que la ecuaciónBsea dimensionalmente correcta, la cantidad en el lado derecho también debe tener lamisma dimensión. Se puede efectuar una comprobación dimensional al sustituir las

dimensiones de la aceleración, y el tiempo , en la ecuación. es decir, la formaP

XX

#

dimensional de la ecuación es:B œ +>"

##

P œ X œ PP

X ##


30

Si cancelamos las unidades de tiempo nos queda la unidad de longitud.Ejemplos: Muestre que la expresión es dimensionalmente correcta, donde@ œ @ + > @!

y representan velocidades, es la aceleración y es un intervalo de tiempo.@ + >!

Si observamos la tabla, tenemos:

@ œ † X œP P P

X X X#

Lo que es dimensionalmente correcto

Conversión de Unidades:Algunas veces es necesario convertir unidades de un sistema a otro. Los factores deconversión entre las unidades SI y convencionales de longitud son como siguen:

1 7366+ œ "'!*7 œ "Þ'!* 57 "7 œ $*Þ$(:?61 œ $Þ#)" :3/ ." :3/ œ !Þ$!%)7 œ $! %) -7 " :?61 œ !Þ!#&%7 œ #Þ&%-7

Es posible tratar las unidades como cantidades algebraicas que pueden cancelarse entresí. Por ejemplo, si se desea convertir 15.0 a como 1 , se:?61 -7ß :?61 œ #Þ&%-7encuentra que:

"&Þ! :?61 œ Ð"&Þ! :?61Ñ #Þ&% œ $)Þ" -7-7

:?61Œ

Ejemplos : Respiraciones en una vida:Estime el número de respiraciones que se realizan durante una vida promedio de 70 años.El único cálculo que debe hacerse en este ejemplo es el número promedio derespiraciones que una persona efectúa en 1 minuto. Este número varía, dependiendo de sila persona hace ejercicio, duerme, tiene hambre, está serena, etcétera. Así, se tomarán 8respiraciones por minuto como rpomedio. El número de minutos en un año es:

año 60 5.26 10 mindías h minaño día h

" † $'& † #% † œ † 5

Por tanto:, en 70 años habrá (70) (5.26 10 ) 3.68† † œ † "!5 (

A una tasa de 8 respiraciones por minuto el individuo realizaría cerca de 3.68 † "!(

respiraciones.


31

Módulo

A3_________________________

Aplicar propiedades de las raícesen ejercicios combinados_________________________

_________________________________________________________ Raíces

Tu vas a emplear raíces para analizar gráficos, también trabajando como operador vas aocupar raíces para resolver problemas opuestos a las potencias

Para aplicar las propiedades de las ráices en la definición de ´problemas deberás:- Definir una raíz e identificar sus partes- Identificar las propiedades de las raíces- Aplicar propiedades de las raíces usando ejercicios y problemas de los operadores


32

Ê Raices

Sabemos que 7 49. Esta igualdad la podemos expresar también como# œ

( œ %*Èy se lee 7 es igual a la raíz cuadrada de 49. En general, se define la raíz cuadrada de unnúmero como otro número tal que .+ , , œ +#

Igualmente, se define raíz -sima de un número al número tal que 8 + , , œ +8

Y escribimos: , œ +È8El número se llama radicando y el número , índice.+ 8

Por ejemplo 1) por que 2À ) œ # œ )È$ $

2) por que 4È% #&' œ % œ #&'%

De esta forma 3) 9 + 25 = 3 + 5 = 8È È 4) 27 + 81 + 16 + 32 = 3 + 3+ 2 + 2 = 10È È È È 3 54 4

Es importante precisar que no todos los números poseen raíces. Las raíz cuadradade no existe, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o negativo, siempre %es positivo. Por la misma razón no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo nila raíz de índice par de ningún número negativo.

Ejemplo : È 25 no pueden ser un número real, pués tanto ( + 5 ) como ( 5) es 2 2

+25. Es necesario, entonces, " imaginarse " un valor para 25 y para ello seÈ

escribe en forma de producto. En efecto 25 25 ( 1) 5 1 .À œ † œ È È ÈEste número no pertenece a los números reales.

Nota: Es un error muy común considerar iguales a: 64 36 con 64 36 si observamos se tiene:È È È

64 36 64 36È È È Á

100 8 + 6È Á 10 14Á

Luego È ÈÈB C Á B C2 2 2 2

È ÈÈB C Á B C2 2 2 2


33

:Potencia de exponente fraccionario

Toda raíz se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario cuyonumerador es el exponente de la cantidad subradical y el denominador es el índice de laraíz.

; de modo + œ + + œ +8:

: 8È È8 8

Ejemplos : 1) 81 81 81 30,25 œ œ œ

14 4È

2) 32 32 ( 32 ) 2 80,6 3 3œ œ œ œ

35 5È

3Ñ + œ +

$# È $

4Ñ B œ BÈ( $

($

5Ñ + œ +È& &

Observación: El índice fraccionario se puede amplificar o simplificar según convenga8:

sin que cambie el valor.Esta propiedad también se aplica cuando queremos multiplicar o dividir raíces dedistinto índice.

Ejemplos : 1 Simplificar las raíces: Ñ + œ + œ +È È È#! #!À# "!"% "%À# (

2 Convertir a igual índice las raíces: Ñ B à BÈ È$ '# (

a) È ÈÈ $ $†% "#B œ B œ B# #†% )

b) È È È' '†# "#B œ B œ B( (†# "%

3) È È ÈÈ$ %% $†%+ , + , . # & #†% & œ † †$ †$

œ †È È"# "#+ ,) "&

œ È"# + ,) "&


34

Ê Propiedades de las raíces

I. Multiplicación de raíces de igual índice. Para multiplicar raíces de igual índice se conserva el índice y se multiplican lascantidades subradicales y viceversa.

È ÈÈ È È8 88 8 8+ † , œ + † , à + à , − ‘

Ejemplos :

1) 2 4, 5 9 3È È È† œ œ

2) ( 7 + 27 ) 3 21 + 81 9 + 21È È È ÈÈ È† œ œ

3) 8 0, 125 8 1 1È È É È5 5 5 5œ † œ œ18

II. División de raíces de igual índice.Para dividir raíces de igual índice se conserva el índice y se dividen las cantidadessubradicales y viceversa.

ÈÈ Ê È ÈÈ8

8

8 8 88+

,œ œ + À , à , Á !à + à , −

+

,‘

Ejemplos À 1) 4 2ÈÈ 8

2 82œ œ œÉ È

2) 625 : 5 125 56255

È ÈÈ Ê3 33 3œ œ œ

III. Raíz de una raíz o producto de índices. Para extraer raíz de una raíz se multiplican los índices y se conserva la cantidadsubradical.

ÉÈ È È È7 8 7†8 8 7†8+ œ + à + à − à + −‘ ‘


35

Ejemplos :

1) ÉÈ È3 6, œ ,

2) 7 7É È0,25 4 œ

IV. Potencia de una raíz.

Para elevar una raíz a una potencia se transforma la raíz a potencia de exponentefraccionario y se aplica la propiedad de potencia elevada a una potencia.

Ð + Ñ − Ê + œ +

;:

8È È8 8; ;:: ‘

Ejemplos: 1) (È È$ $& "!

$ $B Ñ œ ÐB Ñ œ B œ B& "!# #

2) Ð BÑ œ ÐB Ñ œ B œ B7È 7 7" 77 7

3) Ð% # Ñ œ Ð% † # Ñ œ % † Ð# ÑÈ$ " "$ $$ $ $ $

œ '% † # œ "#)

V. Intoducir el coeficiente de una raíz como factor del subradical.

En general, si se tiene se obtiene:+ † ,È8È È È8 8 8 + † , œ + ,8 8

Luego: + , œ + ,È È8 8 8

El coeficiente de una raíz pasa como factor del subradical elevándolo al índice de laraíz.Ejemplos : 1) 3 5 3 5 9 5 45 È È È Èœ † œ † œ2

2) 2 3 5 2 6 Š ‹È È ÈÉ †

2 3 5 2 6 œ † ÊŠ ‹ Š ‹È È È 2


36

(2 2 6 3) (5 2 6 ) (5 2 6 ) 5 2 6 ) œ † œ † Ð É È È È ÈÉœ † œ œ 25 4 6 25 24 1È È

VI. Signos de una raíz.

Raíz de indice impar. Tiene el indice de la cantidad subradical.

Ejemplos : 1) 64 4 pués ( 4) 64È3 œ œ 3

2) 27 3 pués ( + 3) +27È3 œ œ3

3) 32 2 pués ( 2 ) 32È5 œ œ 5

Ejercicios

Sin usar calculadora, determina el valor aproximado de las siguientes raices+Ñ ( ,Ñ )& -Ñ &! È È È.Ñ * /Ñ #&* 0Ñ #) È È È$ $%

Empleando tu calculadora determina el valor aproximado de.+Ñ #) ,Ñ#! -Ñ )& È È& $$

)$ $

.Ñ &) /Ñ &* 0Ñ # #&

%È È( (

Racionalización de Denominadores.Son muy comunes las expresiones fraccionarias que contienen raíces en eldenominador, su racionalización consiste en eliminar las raíces del denominador .


37

Primer caso À Cuando el denominador es un monomio irracional se amplifica lafracción por éste monomio.

+ + , + ,

, , ,œ † œ

,È È ÈÈ È

Ejemplos 1:

3 26 6 2 6 22 2 2 2È È È

È È Èœ † œ œ

Segundo caso: Si el denominador es un binomio irracional se amplifica la fracción poreste binomio, pero, cambiando de signo de uno de sus términos, es decir, se amplificarápor el "binomio conjugado " . En esta forma queda en el denominador el producto de lasuma por la diferencia de los dos términos del denominador.

Ejemplos :

"Ñ 12 1213 2 13 2 13 2

13 2È È ÈÈ

œ †

12 13 2

13 4œ

Š ‹È

12 13 2 4 13 2

9 3œ œ

Š ‹ Š ‹È È

2) = 3 3 5 2

5 2 5 2 5 2È È ÈÈ È ÈÈ È

†

3 5 2 3 5 2

5 2 3œ œ

Š ‹ Š ‹È ÈÈ È

5 + 2œ È È


38

Ê Ejercicios combinados

1 2) 5 2 Ñ + +È Š ‹ Š ‹È È3 434 2

3) 4) 1 7 7 Š ‹ Š ‹ Š ‹È ÈÈ È È+ , + , 2

5) 9 16 6) 16 32"# 0, 25 0, 75 0, 4

7) 12, 5 2 8) 8 18 È È È È† †

9) 125 64 10) 49 È È3 † + , -2 4 6

11) 75

3

ÈÈ + ,

+,

3

12) 15 50 18 32 6 200 : 3 2 Š ‹È È È È

13) 14) 8 16 3227 81 243

Ê Ê Ê3 54

15) 32 16) È È5 53 13,

17) 18) È È É È2 2 3 8 8, , ,7 3 9 7 8 8

19) 3 2 20) 5 7 21) 3 5

È È È 22) 23)

6 18 8 5 + 2 18 8 È È È È

È È

2 ) Determina el valor aproximado de%

a) 3 È È# ,Ñ % $ '

-Ñ .Ñ#' %

& &

ÈÈ


39

Respuestas

1) 2 2) 50 3) a b +

4) 344 14 7 5) 5 6) 4 È 7) 5 8) 12 9) 20

10) 7 11) 5 12) 29+, - +2 3

13) 14) 15) 8 2 43 3

16) 17) 18) , , , ,2 33È È5 6

19) 18 ) 175 2 ) 3 5

5È È È

#! "

2 ) 2 ( 5 2 ) 2 ) 5 # $È È #%Ñ +Ñ %ß #% ,Ñ"#ß *#) -Ñ "ß !"* .Ñ "ß ()


40

Autoevaluación de la Unidad

"Þ Simplificar las siguientes expresiones.

a)D - , #D,

%+, D -†

$ & # $

$ # (

,Ñ Ð: +Ñ À Ð+ :Ñ#

-Ñ Ð$- +Ñ#(- ,+

# $

' #

Resp: Þ À +Ñ ,Ñ + : -Ñ + À ,D ,

#+-

# #

#

#Þ Si se tiene 15 milimetros, expresar en metros y en kilometros utilizando notacióncientifica.

$Þ ßObtener la medida 25 pies, en pulgadas.

4 De 230 ( , obtener en ( .Þ Ñ Ñ57 72< =/1

&Þ "

& 'Resolver: È È


41

Módulo

B1_________________________

Identificar dominio y recorridode relaciones_________________________

_________________________________________________________ Dominio y recorrido de relaciones

Tu podrás utilizar las relaciones en la industria para explicar la vinculación entre materiaprima y productos finales de un proceso

- Definir una relación- Esquematizar una relación- Identificar dominio y recorrido de una relación- Identificar relaciones en al vida como operador de planta


42

Ê Relación

El concepto de relación función es uno de los más importantes de las matemáticas.Ejemplos de correspondencias en la vida diaria son:

- A cada artículo de un estante se le hace corresponder su precio. - A cada nombre de la guía telefónica se le hace corresponder uno o más números de teléfono. - A cada cuadrado se le hace correponder su área. - A cada estudiante un número de matrícula. . . ..........etc.

Uno de los aspectos más importantes en cualquier ciencia es establecercorrepondencias entre diversos tipos de fenómenos. Una vez que se conoce unacorrespondencia se pueden calcular valores para una variable, conocida la otra. Unanalísta de costos podría predecir los costos de diferentes niveles de salida de un procesode manufactura; un investigador médico podría conocer la correpondencia entre lasenfermedades cardíacas y el aumento del peso.

Los ejemplos anteriores tienen en común que cada uno intenta formar pares de elementosde un primer conjunto, llamado , con los elementos de un segundo conjuntoDominiollamado Codominio.

Ê Dominio y recorridoSe define así una como una correpondencia que asigna a cada elemento delRelaciónDominio Codominio uno o más elementos del .Una es una relación con la restricción de que a cada valor del leFunción Dominiocorreponde del ." uno y sólo un valor " Codominio

Ejemplos :


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El conjunto se denomina y se denota por , el conjunto seE H97 0 Fdominio de 0 a bdenomina y se denota por y el conjunto de imágenes de secodominio de 0 G9. 0 0 Ba b a bdenomina y se denota porrecorrido V/- 0 Þa b

Al determinar dominio y recorrido de:

Se tiene: H97Ð 1Ñ œ Ö+ß ,ß -ß .× V/- Ð1Ñ œ Ö"ß #ß × H97Ð0Ñ œ Ö × V/- Ð0Ñ œ Ö ×Otro ejemplo sería:Sea una relación tal queV œ Ö Ð"ß #Ñß Ð$ß 'Ñß Ð&ß 'Ñ×Dom V œ Ö"ß $ß &×Rec V œ Ö#ß '×

Enumera distintas relaciones presentes en tu vida como las descritas anteriormente.


44

Módulo

B2____________________________________

Identificar funciones en gráficos y diagramas____________________________________

_________________________________________________________ Funciones en gráficos y diagrámas

Utilizando funciones tu podrás reconocer en los indicadores gráficos los distintoscomportamientos o tendencias del proceso industrial

- Definir funciones- Identificar una función mediante gráficos- Identificar una función mediante diagramas.


45

Ê Función

Una es una relación con la restricción de que a cada valor del leFunción Dominiocorreponde del ." uno y sólo un valor " Codominio

A través de los gráficos también es posible darse cuenta cuando una relación es función ycuando no lo es. Para ello se trazan paralelas al eje Y, si la paralela corta al gráfico sóloen un punto, entonces el gráfico es una función, en caso contrario es sólo una relación.


46

Notación Funcional.Las funciones generalmente se simbolizan por las letras ó designando por0 1 2 Bß , " " ala variable independiente " " a la variable dependiente y por y la notación másCcomún es en donde es la fórmula algebraíca que relaciona a " C œ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ B " con " " .C

Ejemplos À 1) Al perímetro de una circunferencia se le hace correponder el doble del valor de multiplicado por su radio. Si designamos por el radio 1 B (variable independiente) y por al perímetro (variable dependiente) C tenemos :

C œ B 2 1


47

2) A cada valor de Z se le hace corresponder el doble de disminuido : en 6.

^ œ : 2 6

3)A la temperatura en grados celsius se la hace correponder. La 59

partes de la temperatura en grados fahrenheit disminuyendo en 32 . Asignando por la temperatura en grados celsius y por a laC B temperatura en grados F, tenemos :

C œ B ( 32 )59

Sabemos que una Función comprende dos conjuntos de elementos, un Dominio, unCodominio y una regla de correspondencia que permite asignar cada elemento deldominio exactamente un elemento del Codominio. Si representa un elemento delBdominio de una función , entonces, a menudo usaremos el símbolo en lugar de 0 0 ÐB Ñ Cpara designar el número del codominio de la función con el cual se aparea.0

B Ä C œ 0 ÐB Ñ

Observación À Si a una función , definida sobre los reales , no se le indica el dominioal definir la correpondencia se entenderá que el dominio está constituido por todosaquellos números reales para los cuales el valor de la función existe y es real.

Dominio de Una Función.

El dominio de una función hace referencia al conjunto de los posibles valores que puedetomar la variable independiente esto es:

= , H970 ˜ ™B E Î b B F C œ 0ÐBÑ% %

Ejemplos: 1)Determine el dominio de las siguientes función .

a) ( ) 3 4 Solución 0 B œ B B À H97 œ2 ‘

b) ( ) Solución : { 4 } 9 4

1 B œ H97 œ B

B

2‘


48

c) 3 6 Solución : 22ÐBÑ œ B H97 œ B È d) ( ) = Solución :

7 + 1

: B H97 œB2 ‘

Observación: El dominio de las funciónes lineales, cuadráticas y polinomial es elconjunto de los números reales.

Recorrido de una Función.

El Recorrido de una función hace referencia al conjunto de todas las imágenes que poseeuna función. Es decir los posibles valores que puede tener la variable dependiente .ß

{ , } V/- 0 œ C F Î b B E C œ 0ÐBÑ% %

Ejemplos À Determine el recorrido de las siguientes funciones.

a) ( ) 7 1 0 B œ B V/- 0 œ ‘

b) 1ÐBÑ œ B V/- 1 œ2 +0‘

Puesto que el recorrido es el conjunto de todas las posibles imágenes, entonces una formapráctica de determinar el recorrido es garantizando la existencia de su preimagen ( ) ;Besto se logra despejando dicha variable y analizando para que valores de " " existeC" "B


49

Módulo

B3_______________________________

Interpretar mediante la gráfica eldominio y recorrido de una función lineal_______________________________

_________________________________________________________ Función lineal

Tu podrás determinar el tipo de variable que utiliza un proceso productivo además loque resulta en dicho proceso .

- Definir dominio y recorrido de una función- Identificar dominio y recorrido en una función lineal- Graficar una función lineal- Interpretar gráfica de una función lineal


50

Ê Función Lineal

Definición: ( )Una función bien definida , es de primer grado o lineal cuandoC œ 0 Bestá representada por una expresión de la forma donde y sonC +B ,= + ,constantes.Ê Dominio y recorrido

El dominio y el recorrido de una función lineal son todos los reales

Ê Representación gráfica de una función lineal.

Para cualquier función definida en las variables e se puede considerar un conjunto deB Cpuntos que satisfacen la relación dada; estos puntos pueden ser representados en elsistema de coordenadas cartesianas; en donde el eje es asignado a la variable" "Bindependiente y el eje a la variable dependiente. La gráfica de una función lineal es" " Cuna linea recta y para graficarla debemos conocer como mínimo 2 puntos que lasatisfagan.

En una función lineal de la forma reconoceremos el valor de " " comoC œ +B , +la pendiente , designada por de la recta, el punto (0, ) la intersección de la recta" " 7 ,con el eje , por lo cual a la función le llamaremos forma intersecto -C C œ +B ,pendiente

Ejemplos À En la función 7 reconoceremos pendiente, y3 3 2 2

C œ B 7 œ

el punto ( 0,7 ) de intersección de la recta con el eje ( 0 ).C B œPara graficar una función lineal de la forma , se necesita hallar 2 puntosC œ + B ,que satisfagan la ecuación y unirlos con una linea recta.Conocido el intersecto " " (0, ) , sólo se necesita un punto más por conocer, el que seC ,puede determinar hallando el intersecto " " , esto es, haciendo 0B C œEjemplos Representar graficamente la función :

3 7C œ B 0 7B œ Ê C œ 0 C œ Ê B œ 7

3 Dom ; Rec œ œ‘ ‘


51

Idea gráfica :

Ê Gráfica de una función lineal

Ejercicios: Dadas las siguentes funciones determinaremos su pendiente, para luegoanalizar su pendiente y con ello analizar su inclinación:

a) 1 su pendiente es .C œ B 7 œ3 34 4

Su gráfica corresponde a una con pendiente positiva

b) = 2 6 su pendiente es 2C B 7 œ Su gráfica corresponde a una con pendiente negativa

) = 4 su pendiente es - C 7 œ ! Su gráfica corresponde a una recta paralela al eje B

d) 3 su pendiente es B œ 7 œ _ Su gráfica corresponde a una recta paralela al eje

e) 2 su pendiente es .....B C ' œ ! 7 œ Su gráfica corresponde a una con pendiente ...

f) 3 2 su pendiente es B C œ ) 7 œ ÞÞÞ


52

Su gráfica corresponde a una con pendiente ÞÞÞÞ g) su pendiente es C œ #B $ 7 œ ÞÞÞ

Su gráfica corresponde a una con pendiente ÞÞÞÞ h) su pendiente es C œ $B # 7 œ ÞÞÞ

Su gráfica corresponde a una con pendiente ÞÞÞÞ


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Módulo

B4_________________________

Resolver problemas aplicandofunciones lineales_________________________

_________________________________________________________ Aplicación función lineal

Mediante funciones lineales tu podrás identificar cuando un proceso se comporta enforma lineal y con ello cuantificarlo y analizar su tendencia

- Determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos- Transformar la ecuación de la recta a función lineal- Aplicar la función lineal a situaciones prácticas


54

Ê Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Pendiente de una Linea Recta

: pendienteDefinición La de una linea recta mide el cambio en ( ) tambiénC CJconocida como " " dividida por un cambio en ( ), incremento en C B BJconocido como" ". La pendiente indica la inclinación y la dirección deincremento en Buna linea recta. Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente, más inclinada es larecta.

En la forma intersecto pendiente de una función lineal , es laC œ 7B , " "7pendiente. Para una recta que pasa por los puntos ( , ) ; ( , ) , la pendiente"B C B C1 1 2 27 " se puede expresar de cualquiera de las 2 formas siguientes :

7 œ œ

C C C

B B B

J

J2 1

2 11 2 ( )B Á B

Una recta con pendiente que pasa por el punto ( , ) tiene la siguiente ecuación7 B C1 1llamada forma " punto pendiente ".

C C œ 7 BB ( )1 1

Ejemplos À Determinar la ecuación de la recta que une los puntos (2,3) y (-1,5).

Pendiente : 3 5 22 1 3

7 œ œ

Ecuación : 3 ( 2)23

C œ B

3( 3 ) 2 4C œ B 3 2 13C œ B

2 133 3

C œ B

Ejemplos À Determine ecuación y pendiente de la recta de pendiente y pasa por3 5

7 œ

el punto , 3 .1

2Œ

Ecuación : 3 3 1 5 2

C œ B Œ


55

5 ( 3 ) 3 C œ B "

#Œ

5 15 3 32

C œ B † #‚ 10 30 6 3C œ B 10 6 27C œ B

3 27 5 10

C œ

Ejercicios

1).- En 1870, la temperatura media del suelo en París fue de 11.8° . Desde entonces haGaumentado a una tasa casi constante, y en 1969 alcanzó los 13.5° .GExprese la temperatura , en ° , en términos del tiempo , en años, siendo =0 el año deX G > >1870, y 0< <100.>¿Durante qué año la temperatura promedio del suelo fue 12.5 ° ?G

Muchas áreas de la admimistración y las ciencias económicas se manejan eficientementecon funciones lineales.

Función Lineal de Costo: A las empresas les interesan entre otros factores los costospor que reflejan el dinero que gastan. Estos flujos de dinero suelen destinarse al pago desueldos, materias primas, calefacción, arriendo, teléfono y otros gastos. Suele definirse elcosto total en términos de dos componentes:costo total variable y costo total fijo.ambos componentes deben sumarse para determinar el costo total.

Ejemplos À Una firma que tiene costos fijos de $ 120 (en miles de pesos) por conceptode arriendo y salario que deben pagar sin importar el nivel de producción, y un costoßmarginal de $ 18, que es el gasto en que se incurre por cada unidad adicional deproducción ( ) . En resumen, la firma enfrenta un costo total ( ) que se puede expresarB Gmediante una función lineal de la forma dondeC œ 7B , Costos TotalesC œ costos marginales7 œ costos fijos, œ Así : 18 0G œ B "#Sí se producen 240 unidades, de forma que 240, los costos totales ascienden a:B œ 18 40 120G œ † # 4 440 miles de pesosG œ ÞEjemplos À Una empresa que elabora un sólo producto quiere determinar la función queexpresa el costo total anual y en función de la cantidad de unidades producidas . LosBcontadores indican que los gastos fijos cada año son de 50.000 dólares. también hanestimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a


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$5 50, que los de mano de obra son de $1 50 en el departamento de montage, $0,75 en elß ßcuarto de acabado y $ 1 25 en el departamento de empaque y embarque.ß La función de costo total tendrá la forma À C œ GÐBÑ costo total variable costo total fijoœ

Los costos totales variables constan de dos componentes: los costos de materias primas ylos de mano de obra. Los segundos se calculan al sumar los respectivos costos de manode obra de los tres departamentos. El costo total se define por medio de la función

costo total de materias primas costo de mano de obra costo total fijo C œ C œ &ß &!B Ð"ß &!B !ß (&B "Þ#&BÑ &!Þ!!! C œ *B &!Þ!!!

Funciones Lineales del Ingreso:El dinero que entra en una organización por la venta desus productos o por la prestación de servicios suele recibir el nombre de Laingreso.forma más clásica para calcular el ingreso total por la venta de un servicio es. Ingreso total (precio) (cantidad vendida)œ †

En esta relación una suposición es que el precio de venta es el mismo para todas lasunidades vendidas.

Si una compañía vende productos , donde es el número de unidades vendidas del8 B3

producto y indica el precio del producto , la función que permite calcular el ingreso3 T 33

total obtenido del producto .8

V œ : B : B : B ÞÞÞ : B" " # # $ $ 8 8

Esta función de ingreso puede formularse de manera más concisa empleando la notaciónde sumatoria:

V œ : B!3œ"

8

3 3

Ejemplos À Si la firma recibe un precio constante ( ) por cada unidad de producción ( ): Bsu ingreso total ( ) se puede expresar mediante la ecuación lineal de la forma: V V œ: † B

Así si se venden 240 unidadesa $ 8 el ingreso será : 240 V œ † B 240 8 1 920 miles de pesosV œ † œ Þ


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Funciones Lineales de Utilidad: utilidadLa de una organización es la diferencia entre elingreso total y el costo total.

Utilidad ingreso total costo totalœ

Cuando tanto el ingreso total como el costo total son funciones lineales de la(s) misma(s)variable(s), la función de utilidad es también una función lineal de la(s) misma(s)variable(s).Luego la utilidad se define como :

TÐBÑ œ V ÐBÑ GÐBÑ

Ejemplos À La utilidad definida como el ingreso total menos el costo total. El nivelTde ganancia tambien se puede expresar como una ecuación lineal SustituyendoT œ V G 240 ( 18 120 )T œ B B 240 18 120T œ B B 222 120T œ B

Punto de Equilibrio: Uno de los puntos principales es aquel en donde el nivel deoperación o de producción dé por resultado una utilidad cero. A ese nivel se le da elnombre de Es un punto muy útil de referencia ya que representa elpunto de equilibrioÞnivel de operación en que los ingresos totales son iguales a los costos totales. Cualquiercambio en este nivel poducirá una utilidad o una pérdida.

El análisis del equilibrio es útil sobre todo como instrumento de planeación cuando lasfirmas estudian futuras expansiones; por ejemplo, ofrecer nuevos productos o servicios.De manera semejante, ayuda a evaluar el pro y el contra de emprender un nuevo negocio.en todos los casos el análisis permite efectuar una proyección a la rentabilidad.Ejemplos À Con la información anterior se puede hallar fácilmente el "punto deequilibrio" , el nivel de producción enque los ingresos sólo cubren o igualan los costos,es decir o en forma equivalente 0 . Sustituyendo, se tiene :ß V œ G T œ

= 0T 222 120 = 0B 0,5B œEs decir para una producción de 0,5 unidades la firma no pierde ni gana , es decir, losßcostos se igualan a los ingresos , la utilidad es nula.


58

Ejemplos À A una compañía grabadora le cuesta $6.000 preparar un álbum de discos,loscostos de grabación, los costos de diseño del álbum, etc. Estos costos representan uncosto fijo en el tiempo. La fabricación, ventas y costos de regalías (todos costosvariables) son $2 50 por álbum. Si el álbum se vende a las distribuidoras en $4 0 cadaß ßuno¿Cuántos álbumes debe vender la compañía para estar en el punto de equilibrio?. Sean: número de unidades vendidasB œ costo para producir unidadesG œ B Ingreso sobre la venta de unidadesV œ B

La compañía alcanza su punto de equilibrio cuando , conV œ G

$6.000 $2 50G œ ß B $4V œ B

Debe encontrarse tal que es decirB V œ Gà 4 6.000 2 50B œ ß B 6.000"ß &!B œ 4.000B œ

Comprobación: Para 4.000B œ

6.000 2 50 y 4G œ ß B V œ B 6.000 2 50(4.000) 4(4.000)œ ß œ 6.000 10.000 $16.000œ œ $16.000 œ

Se tiene, entonces que, la compañía debe vender 4.000 unidades para estar en el punto deequilibrio; cualquier venta por sobre 4.000 producirá una utilidad; y las ventas por bajode 4.000 producirá una pérdida.


59

¿Cuál es el punto de equilibrio, en este ejemplo, si los costos fijos son $9.000 y loscostos variables son de $2 80 por unidad?ß Respuesta: 7.500.


1) La gerencia de una empresa que fabrica patines tiene costos fijos (costos a cerosalidas) de $300 diarios y costos totales por $ 4 300 diarios cuando hay una salida de 100Þpares de patines por día. Suponga que el costo está linealmente relacionado con laGsalida.

a) Determine la pendiente de la recta que une los puntos asociados con las salidasde 0 y 100; es decir, la recta que pasa por (0,300)y (100,4 300)Þ b) Encuentre la ecuación de la recta que relaciona la salida con el costo. Escribala respuesta final de la forma G œ 7B ,Þ c) Construya la gráfica de la ecuación del costo tomado de la parte b para! Ÿ B Ÿ #!!Þ d) Resuelva las partes a y b del ejemplo para los costos fijos de $250 diarios ycostos totales de $3 450 diarios para una salida de 80 patines por díaÞ

2) Si $ (capital) se invierte a una tasa de interés de , entonces la cantidad que seT < Eobtiene después de años se calcula con Si $100 se invierten a 6%> E œ T < > T Þ( ), entonces < œ !ß !' E œ '> "!! ß > !Þ a) ¿A cuánto ascenderá la cantidad de $100 después de 5 años? ¿Después de 20 años?. b) Construya la gráfica de la ecuación para ! Ÿ > Ÿ #!!Þ c) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica ?(la pendiente indica el aumento en lacantidad por cada año adicional de inversión).E

3) Una compañía manufacturera está interesada en introducir una nueva segadora. Sudepartamento de investigación de mercados dió a la gerencia el pronóstico de precio-demanda que se presenta en la siguiente tabla.

Precio Demanda estimada$70 7.800$120 4.800$160 2.400$200 0

a) Marque estos puntos e indique con número de segadoras que se espera que la.gente compre (demanda) a un precio $ cada una.: b) Observe que los puntos de la parte (a) están a lo largo de una recta. Encuentrela ecuación de esa recta.


60

(Nota: La pendiente de la recta que se determina en la parte (b) indica el decremento enla demanda por cada $ 1 de aumento en el precio).

4) El equipo de oficina se adquirió por $20.000 y se supone que tiene un valor debaratillo de $ 2.000 después de 10 años. Si su valor se deprecia linealmente (parapropósitos de impuestos) de $20.000 a $2.000.

a) Encuentre la ecuación lineal que relaciona el valor (V) en dólares al tiempo Ð>Ñen años. b) ¿Cuál sería el valor del equipo después de seis años?. c) Construya la gráfica de la ecuación para ! Ÿ > Ÿ "!

(Nota: La pendiente que se encontró en la parte (a) indica el decremento en el valor poraño).

5) La ecuación de costo para una cierta empresa que produce equipos estereofónicos es lasiguiente:

G œ *'Þ!!! )!8donde: $ representa los costos fijos (construcción y gastos generales) y $ es el*'Þ!!! )!costo variable por unidad (materiales, manufactura, etc). Construya la gráfica de estafunción para 0 1.000Ÿ 8 Ÿ

6) Un electricista cobra $1200 por visita domiciliaria más $500 por hora de trabajoadicional. Exprese el costo de llamar a un electricista a casa en función del número dehoras que dura la visita y estime costo para 7 horas de trabajo.

7) Un artista que hace una exhibición de cuadros recibe $ 320.000 por cada cuadrovendido menos $ 45.000 por cargo de almacenaje y exhibición. Represente el ingreso Vque él recibe en función del número de cuadros vendidos y calcule el ingreso si seBvenden 5 cuadros.8) Un autor recibe honorarios por $ 120.000 más $1.800 por cada libro vendido. Expresesu ingreso como función del número de libros vendidos y calcule su valor para 8V Blibros vendidos.

9) Las ventas de una empresa farmaceutica local crecieron de $ 6.500.000 en 1980 a$11.000.000 en 1990. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal,exprese las ventas como función de tiempo Z >Þ

10) Una fábrica de computadores vendió 320 en 1990 y 400 en 1994. Asumiendo que lasventas se aproximan a una función lineal, exprese las ventas de la empresa en funciónZde tiempo .>


61

11) Una maquinaria industrial vale $ 480.000 y se deprecia en $ 5.000 al año. Empleandodepreciación lineal exprese el valor de la máquina como una función del número deZaños . Calcule su valor pasado 3 años de uso.>

12) Una industria de papel vendio 5.000 toneladas en 1992 y 3200 en 1996. Asumiendoque las ventas se aproximan a una función lineal exprese la venta de la industria enZfunción del tiempo y evalúe venta para 1997.>

13) Desde el principio del mes, una represa local ha perdido agua a una tasa constante.El día 12, la represa tenía 200 millones de galones de agua; el día 21, 164 millones. a) Exprese la cantidad de agua en la represa como una función del tiempo yelabore la gráfica. b) El día 8 ¿Cuánta agua había en la represa?.

14) a) La temperatura en grados Farhrenheit es una función lineal de la temperaturamedida en grados Celsius. Si se conoce que 0° Celsius son iguales a 32° Fahrenheit yque 100° Celsius son iguales a 212° Farhrenheit, escriba la ecuación de esta funciónlineal. b) Emplee la función que ha obtenido en el literal (a) para convertir 15° Celsius engrados Farhrenheit. c) Convierta 68° Farhrenheit en grados Celsius.


62

Respuestas 1) a) 407 œ b) G œ %!B $!! d) a) 40 b) 7 œ G œ %!B #&!

2) a 130; 220Ñ

b)

c La pendiente es 6Ñ

3) b).Ð:Ñ œ '!: "#!!!

4) a) (t)=-1800p + 20000Z b) $9200

c)


63

5)

6) $ 4.700 el trabajo

7) $ 1.555.000

8) $ 134.400

9) ( ) 450.000 6.500.000Z B œ >

10) V(t) = 20t + 320

11) V (3) = $ 465.000

12) V(5) = 2.750 Toneladas.

13) a) b) 216 millones de galonesC œ %B #%)

14) a) ° ° C œ B $# ,Ñ &* J -Ñ #! G*&


64

Módulo

C1_________________________________

Interpretar mediante la gráfica el dominioy recorrido de una función cuadrática_________________________________

_________________________________________________________ Función Cuadrática

Dado que podrás encontrar en la industria actividades que se modelan de formacuadrática como por ejemplo el rendimiento de una persona a medida que transcurrenlas horas del día que se inicia en forma creciente para luego decrecer

- Identificar dominio y recorrido en una función cuadrática- Definir función cuadrática- Resolver ecuación cuadrática- Graficar función cuadrática- Interpretar grafica de una función cuadrática


65

Funciones Cuadráticas Cualquier función definida por una ecuación de la forma :

donde , y son constantes, se denomina función cuadrática.+ , -

Ecuación Cuadrática.Cuando ( ) 0 , es decir, 0 para algún valor del dominio de , la expresión0 B œ C œ 0B , B - œ2 0, se denomina " ".Ecuación cuadrática" ó de "segundo grado

Fórmula General de Resolución de una Ecuación Cuadrática

4

2B œ

,„ , + -

+

È 2

Generalmente ésta fórmula se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas cuandolos métodos anteriores no funcionan. La expresión 4 se denomina Discriminante y de este valor podemos, + -2

obtener información útil respecto de las soluciones.i) 4 0 Raíces reales e Iguales., + - œ2

ii) , + -2 4 > 0 Raíces reales y Distintasiii) 4 < 0 Raíces Complejas., + -2

Representación Gráfica de una función Cuadrática.La gráfica de una función cuadrática 0 es una 0 + Á( ) ; "parábola"B œ +B , B -2

que tiene su eje (recta de simetría) paralelo al eje vertical. Si > 0 la parábola es+cóncava hacia arriba; y si 0 la parábola es concava hacia abajo.+ Los elementosdeterminantes para la gráfica de una función cuadrática son las coordenadas del vértice ylas intersecciones de la parábola con los ejes cordenados.a) Intersección eje ( 0 )B C œ 0 ; las soluciones o raíces las designaremos por y + B , B - œ B B2

1 2Þ

b) Coordenadas del vértice se determinan por VŒ , ,

#+ #+ß 0Ð Ñ

o bien V( don de B ß C Ñ B œ ß C œ 0Ð Ñ@ @ @ @B B B B

# #" # " #


66

Módulo

C2_________________________

Resolver problemas de aplicaciónde funciones cuadráticas_________________________

_________________________________________________________ Aplicación funciones cuadráticas

Dado que en la empresa donde trabajes existen procesos y actividades que se comportancomo funciones cuadráticas, como por ejemplo el ingreso que generan las ventas de unproducto.

- Identificar una función cuadrática- Graficar una función cuadrática- Resolver problemas de aplicación de funciones cuadráticas.


67

Ejercicios À Un productor de alevines requiere colocar canales rectangulares de plástico"Ñpara el aporte de agua de mar a los tanques principales de producción de juveniles. Setiene una lámina larga, rectangular de PVC, de 12 pulg de ancho. Se doblan dos orillashacia arriba para que queden perpendiculares al fondo. ¿Cuántas pulgadas deben quedarhacia arriba para que el canalón tenga capacidad máxima?

Solución ÀSi representa el número de pulgadas verticales, en cada lado, el ancho de la base delBcanalón es 12 - 2 pulg. La capacidad será mayor cuando el área de la sección transversalBdel rectángulo cuyos lados son y 12 - 2 , tenga su valor máximo. Si representaB B JÐBÑesta área, se obtiene que 0ÐBÑ œ BÐ"# #BÑ 0ÐBÑ œ "#B #B#

0ÐBÑ œ #B "#B#

que posee la forma donde y .0ÐBÑ œ +B ,B - + œ #ß , œ "# - œ !#

Como es función cuadrática y , de acuerdo con el teorema del valor0 + œ # !máximo o mínimo de una función cuadrática, el valor máximo de se obtiene en0 Þ

B œ œ œ $ , "#

#+ #Ð #Ñ

Por lo tanto, se deben doblar hacia arriba 3 pulg de cada lado para alcanzar la capacidadmáxima. Otra posibilidad para la solución es que la gráfica de la función0ÐBÑ œ BÐ"# #BÑ B œ ! B œ ' tiene abscisas en el origen y . Por lo tanto, el promediode ellas, es la abscisa del vértice de la parábola, y el valor que produce la capacidadmáxima.

B œ œ $! '

#

#Ñ CCrecimiento de los niños. La tasa de crecimiento , de un niño, en libras por mes, serelaciona con su peso actual , en libras, mediante la fórmulaBC œ -BÐ#" BÑ - C ! B #", en la cual es una constante positiva, . ¿A qué peso setiene la tasa máxima de crecimiento?

$Ñ RÐBÑEn cierto cultivo con medio limitado, la tasa de crecimiento bacteriano está enfunción del numero de bacterias presentes a través de la fórmula : B

RÐBÑ œBÐ"Þ!!!Þ!!! BÑ

"''&!!!!

calcule el número máximo de bacterias.


68

%Ñ C En un bosque, un depredador se alimenta de las presas y su población esta enfunción del numero de presas que hay en el bosque a través de la fórmula: B

C œ B "!B *!"

'#

Para que valor de el número de depredadores es máximo.B

&Ñ.- En un lago grande un pez depredador se alimenta de uno más pequeño y la poblaciónde depredadores en cualquier instante esta en función del numero de peces pequeños quehay en el lago en ese momento. Suponga que cuando hay peces pequeños, la poblaciónBde depredadores es . Si la temporada de pesca termino hace t semanas,C œ > )!"

%#

entonces . Exprese y en términos t, calcule el valor de t para el cual y es máximo.

9.- Una masa de aire frío se aproxima a la universidad. La temperatura es de z grados thoras después de la media noche y para cuando . Calcule el valor de t para la cual latemperatura es mínima.

Muchos de los problemas que se dan en Economía, Cs Sociales, y en Administraciónestán modelados por funciones cuadráticas, como por ejemplo: Las funciones de ingresoy ganancia .

Ejemplo: La utilidad de una fábrica de computadores para cada unidad vendidaT Bviene calculado como : ( ) 600 3 12 000T B œ B B Þ2

a) ¿ Para qué producción la utilidad es máxima ?Como la gráfica de esta función es una parábola abierta hacia abajo, es claro que lamáxima utilidad se logra en la coordenada del vértice. Así tenemos :B ( ) 600 3 12 000T B œ B B Þ2

( ) 3 600 12000T B œ B B 2

completando cuadrados, la función se puede expresar como :T B œ B B Þ ( ) 3 ( 200 ) 12 0002

T B œ B B Þ Þ Þ( ) 3 ( 200 10 000 ) 12 000 30 0002

T B œ B Þ( ) 3 ( 100 ) 18 0002

Luego el vértice tiene por coordenadas (100, 18 000), por lo tanto cuando se venden 100Þ

unidades la utilidad se maximiza en $ 18 000Þ

b) Para que producción la utilidad es nula ( = 0)T

3 600 12 000 0 3 B B Þ œ Î À 2

200 400 0B B œ2


69

200 40000 1600

2B œ

„ È

, para efectos prácticos diremos que200 196

2B ¸

„

198 ; 2B œ B œ1 2

Luego, para la producción de 2 y 198 unidades la utilidad es nula, es decir , son puntos deequilibrio .idea gráfica :

Eje X

Eje Y

2 198

Ejemplo : Dadas las siguientes funciones de Ingreso total ( ) de costo total ( )V B G B

exprese la ganancia como una función explícita de y determine el nivel máximo deT B

ganancia, haciendo el vértice de ( ) y los puntos de equilibrio ( ) 0T B T B œ

( ) 600 5V B œ B B2

( ) 100 10 500G B œ B Þ

Puntos de equilibrio: ( ) 600 5 ( 100 10 500 )T B œ B B B Þ2

( ) 5 500 10500T B œ B B 2

0 5 500 10 500 5œ B B Þ Î 2

0 100 2 100œ B B Þ2

100 10 000 8 400

2B œ

„ Þ ÞÈ

70 ; 30100 40

2B œ Ê B œ B œ

„1 2


70

Puntos de equilibrio 30 y 70 unidades.Nivel máximo de ganancia

50 70 30

2 2B œ œ œ

B B @

1 2

2000C œ@

Luego, para una producción de 50 unidades , la utilidad se maximiza en $ 2 000 .Þ

Idea gráfica :

Ejemplo : El departamento de investigación de mercados de una empresa recomendó ala gerencia que la compañía fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Despuésde amplias investigaciones, el departamento apoyó la recomendación con la ecuación dedemanda. (1)B œ 0Ð:Ñ œ 'Þ!!! $!:

donde es el número de unidades que los distribuidores comprarán probablemente cadaB

mes a $ por unidad.:

Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costo GÐBÑ œ (#Þ!!! '!B (2)La ecuación de ingreso por vender unidades a $B :

(3) V œ B:

Y, finalmente, la ecuación de rentabilidad es (4) T œ VG

donde; es la utilidad, es el ingreso y es el costo.T V G

Nótese que la ecuación de costo (2) expresa como una función de y laG Bß

ecuación de demanda (1) expresa como una función de . Al substituir (1) en (2), seB :

obtiene el costo como función lineal del precio :G :

Función lineal (5)G œ (#Þ!!! '! Ð'Þ!!! $!:Ñ


71

œ %$#Þ!!! "Þ)!!:

En forma similar, al sustituir (1) en (3), se obtiene el ingreso como una funciónV

cuadrática del precio ::

V œ Ð'Þ!!! $!:Ñ: Función cuadrática (6) œ 'Þ!!!: $!:#

Ahora, vamos a construir las gráficas de las ecuaciones (5) y (6) en el mismo sistema decoordenadas. Se obtiene la siguiente figura.

Conviene observar detenidamente la información contenida en esta gráfica.Calcularemoslos puntos de equilibrio, es decir, los precios a los cuales el costo es igual al ingreso (lospuntos de intersección de las dos gráficas anteriores).Se calcula de modo que::

G œ V

%$#Þ!!! ")!!: œ 'Þ!!!: $!:#

$!: (Þ)!! : %$#Þ!!! œ !#

: #'!: "%Þ%!! œ !#

: œ#'!„ #'! %Ð"%%!!Ñ

#

È #

: œ#'!„"!!

#

$80, $: œ ")!

Por lo tanto, al precio de $ , o bien $ por unidad, la empresa se encontrará en el)! ")!

punto de equilibrio. Entre estos dos precios se puede predecir que la empresa obtendráuna utilidad.


72

¿A qué precio se obtendrá la máxima utilidad?.Para calcular ese valor, se escribe T œ V G

œ Ð'Þ!!!: $!: Ñ Ð%$#Þ!!! ")!!:Ñ#

œ $!: (Þ)!!: %$#Þ!!!#

Puesto que ésta es una función cuadrática, la utilidad máxima se obtiene en

$: œ œ œ "$!, (Þ)!!

#+ #Ð $!Ñ

Observe que éste no es el precio con el cual el ingreso es máximo. Este último ocurre en: œ "!!ß$ como muestra la figura anterior.

Ejemplo : El departamento de investigación de mercados de una empresarecomendó a la gerencia que la compañia fabrique y venda un nuevo producto.El departamento adoptó la recomendación con la ecuación de demanda 2.000 10B œ :

donde es el número de unidades que los distribuidores compraran cada mes a $ porB :

unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costos G œ

36.000 30 donde $36.000 es el costo fijo y $30 es el costo marginal. B

a) Determine la Ecuación de Ingreso.La cantidad de dinero , que recibe la compañia por vender unidades a $ por unidadV B :

es :

, pero , luego2.000

10V œ B † : : œ

B

2.000

10V œ B †

BŒ

2.000

10V œ

B B2

b) Función Utilidad

T œ BB B

36.000 302.000

10Œ 2

T œ # B BB

00 36.000 3010

2

T œ B B

170 36.00010

2


73

c) Puntos de Equilibrio. B

B œ Î † "!2

10 170 36.000 0 ( )

B B œ2 1.700 360.000 0

B œ„

1.700 2.890.000 1.440.000

2È

B œ„

1.700 1.204, 2

2B œ B œ1 2 1.452,1 ; 247,9

d) Producción para una Utilidad Máxima

B œ œ

@ 8501.452,1 247,9

2C œ@ 36.250

La máxima utilidad se logra para una producción de 850 unidades.Ejemplo: Halle los puntos de equilibrio de una fábrica dadas las funciones deingreso total ( ) y costo total ( ) en forma gráfica y en forma analitícaV G Þ

V B œ B B( ) 750 5 2

G B œ B ( ) 100 20.000

Solución: Los puntos de equilibrio se presenta cuando , en forma equivalenteV œ G

cuando 0, así tenemos :T œ

( ) ( )V B œ G B

750 5 100 20.000B B œ B 2

B B œ 5 650 20.000 02

150 4000 0B œ2

( 80) ( 50 ) 0B B œ

80 ; 50B œ B œ1 2

Los ingresos se igualan a los costos, es decir, la utilidad es nula para una producción de50 y 80 unidades.


74

Idea gráfica :

V B œ B B( ) 750 5 2

0 750 5 œ B B2

0 (750 5 )œ B B

B œ B œ1 2 0 ; 150B œ@ 75C œ@ 28125

G B œ B ( ) 100 2000

B GÐBÑ0 20000100 30000


1 En una cierta industria, el costo total de producción de unidades durante el períodoÑ ;

diario de producción es ( ) = dólares. En un día normal de trabajo, seG ; ; ; *!!#

fabrican ( ) unidades durante las primeras " " horas de un período de; > œ #& > >

producción. a) Exprese el costo total de producción como una función de > b) ¿ Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora?


75

c) ¿ Cuándo alcanzara el costo total de producción US $ ?""Þ!!!

2) El departamento de investigación de mercados de una empresa recomendó a lagerencia que la compañía fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Después deamplias investigaciones, el departamento apoyó la recomendación con la ecuación dedemanda.

B œ 0Ð:Ñ œ *Þ!!! $!:

donde es el número de unidades que los distribuidores comprarán probablemente cadaB

mes a $ por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de:

costo:

GÐBÑ œ *!Þ!!! $!B

a) Exprese el costo como una función lineal del precio G :

b) Exprese el ingreso como una función cuadrática del precio V :

c) Construya la gráfica de las funciones de costo e ingreso obtenidas en las partes (a) y(b) en el mismo sistema de coordenadas, e identifique las regiones de utilidad y pérdida.d) Calcule los puntos de equilibrio; es decir, encuentre los precios al valor más próximoen el cual .V œ G

e) Calcule el precio que produce el máximo ingreso.

$Ñ ; œ 0Ð:Ñ œ &!! !!! $!!!:La función de demanda de un producto particular es .donde se expresa en unidades y en dólares. Determine la función cuadrática del; :

ingreso total, donde es una función de " " osea ¿Cuál es la concavidad de laV : V œ 1Ð:ÑÞ

función?:¿Cuál es la intersección con el eje ?. ¿Cuál es el ingreso total con un precio deC

$20?.¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?¿A qué precio se maximizará elingreso total?Þ

4) La función de demanda de un producto es 2 . 25 donde se; œ 0Ð:Ñ œ ! !!! : ;

expresa en unidades y en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total,:

donde es una función de " " osea ¿Cuál es la concavidad de laV : V œ 1Ð:ÑÞ

función?:¿Cuál es la intersección con el eje ?.¿Cuál es el ingreso total con un precio deC

$60?.¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?¿A qué precio se maximizará elingreso total?


76

5) El costo, en dólares, de una fábrica en función del número de unidades producidasviene dado, por ( ) 1500 40 . Su nivel de producción es una función del tiempo (G ; œ ;

horas) y viene dada por ( ) 16 .0 > œ > >2

4

Determine:a) El costo en función del tiempo y gráfica .b) Instante en que se maximiza el costo.c) Instante en el que los costos asociados a 10 300 dólares.Þ

d) ¿En qué instante los costos son nulos? .e) Costos para las 7 primeras horas.


77

Respuetas 1) a) GÐ>Ñ œ '#&> #&> *!!#

b Ñ GÐ$Ñ œ ''!!

c) > œ %

2) (a) $'!Þ!!! *!!:

b) Ð V œ 8: œ Ð*Þ!!! $!:Ñ: œ *Þ!!!: $!:#

(c)

d) $ $288%#ß

e) $150.

3) 500.000 3.000 abajo (0,0),V œ 1Ð:Ñ œ : : ß#

$8.800.000; $440.000 unidades$83.331Ð#!Ñ œ 0Ð#!Ñ œ

4) 20.000 abajo (0,0) $ . . ;V œ 1Ð:Ñ œ : #&: ß ß 1Ð'!Ñ œ " ""! !!!#

. unidades$0Ð'!Ñ œ ") &!! %!!

5) a) 10 640 1500 > > #

b) Los costos se maximizan en 32 horas.> œ

c) Los costos ascendieron a 1030 para 20 y 44 horas.> œ > œ

d) Los costos se anulan para 66, 3 horas.> œ

e) 5490- œ


78

Módulo

D1_________________________________

Interpretar mediante la gráfica el dominioy recorrido de una función exponencial

_________________________________

_________________________________________________________ función Exponencial

Encontramos en la empresa que algunas etapas del proceso productivo vistos en losindicadores gráficos poseen un comportamiento exponencial

- Identificar una función exponencial- Definir función exponencial- Graficar función exponencial- Interpretar grafica de una función exponencial


79

Ê Función Exponencial.

Hasta ahora hemos estudiado la mayoría de las funciones algebráicas, es decir,funciones que se pueden definir utilizando las operaciones algebraicas de adición,sustracción, multiplicación, división, potencia y raíces. En ningún caso se ha tenido unavariable como exponente. Así definimos una nueva función que se compone de una base+ B y un exponente en la variable que se denomina función exponencial. Definimos unafunción de la siguiente forma:

C œ + + + Á ; > 0 y 1B

Las funciones exponenciales se emplean para expresar crecimiento y decrecimiento, estaes la razón por la cual a estas funciones frecuentemente se les da el nombre de funcionesde crecimiento.

En general se emplean para describir por ejemplo, aumento monetario, a un interéscompuesto, crecimiento demográfico de número de animales y bacterias, desintegraciónradiactiva, etc.

Ejemplo:Si se desea construir la gráfica de la función exponencial 2C œ B

Se tiene la siguiente tabla de valores B C

$

#

"

! "" ## %$ )

")"%"#


80

Idea gráfica

En general, independiente de la base ( > 1) , ( 1 ) toda función exponencial de la+ + Áforma pasa por el punto (0, 1).C œ +B

Propiedades de la función exponencial. Supuesto > 0; , 1 e cualquier número real.+ß , + , Á à B C1) + † + œ +B C BC

2) 1

+ œ+

BB

3) Œ +

+œ +

B

CB C

4) a b+ œ +B B † CC

5) ( )+ † , œ + † ,B B B

6) + +

, ,œ

B

B

BŠ ‹Ejemplo: 2C œ B

842

0 1 1 2 3

B C $ # "

"#1418

Idea gráfica


81

Una función exponencial tienen las siguientes características. Dada ; > 0 1C œ + + ß + ÁB

a) El de la función es el conjunto de todos lo números reales, el de ladominio rangofunción es el conjunto de todos los números reales positivos.

b) Para > 1 la función es creciente y cóncava hacia arriba; para 0 < < 1, la función es+ +decreciente y cóncava hacia arriba.

c) Independiemtemente de la base, la función exponencial pasa siempre por elC œ + B

punto (0, 1).

En las funciones exponenciales, la base que con más frecuencia se utiliza es el númeroirracional cuyo valor matemático aproximado a la quinta cifra es 2,171828...Así la" "/función: la denominaremos " ".C œ /B función exponencial natural Las funciones que involucran potencias de " " juegan un papel central en matemática/aplicada se usan en demografía para preveer tamaños de población en finanzas paracalcular al valor de inversiones, en arqueología para fechar objetos antigüos.


82

Módulo

D2_________________________

Resolver problemas de aplicaciónmediante funciones exponenciales

_________________________

_________________________________________________________ Aplicación función exponencial

Puedes observar que existen enfermedades que crecen en forma muy rápida oexponencialmente, como también en la empresa existen máquinas que se deprecian a suvez en forma exponencial

- Identificar si el comportamiento de la función exponencial es creciente odecreciente- Identificar las partes que componen una función exponencial.- Resolver problemas de aplicación mediante funciones exponenciales.


83

Ê Aplicaciones de las Funciones Exponenciales.

Crecimiento exponencial.Una cantidad ( ) que crece de acuerdo a una ley de la forma ( ) o donde U > U > œ U / UO >

!

y son constantes positivas se dice que experimentan un "crecimiento exponencial ".O

Ejemplo: Sea ) el número de bacterias presentes pasado minutos responde elUÐ> >modelo ( ) 2000 U > œ /0,05 >

¿Cuántas bacterias habrán pasado 20 minutos?

Solución:U œ Þ /(20) 2 000 0,05 20†

U œ Þ(20) 5 436, 6 bacterias.

Decrecimiento exponencial.

Una cantidad ( ) que decrece de acuerdo con la ley ( ) donde y U > U > œ U / U O! !O>

son constantes positivas se dice que experimenta un "decrecimiento exponencial ".

Ejemplo : Los bosques de un país están desapareciendo a razón de 3,6 % al año. Sioriginalmente habían 2 400 (millones).¿Cuántos árboles habían desaparecido 7 años?Þ

Solución:

U > œ Þ /( ) 2 400 †0, 036 7

U œ Þ /(7) 2 400 0,252

U œ Þ(7) 1 865, 4 millones de árboles.

Interés Compuesto.Si se invierten dólares a un tipo anual de interés y el interés se compone veces porT < 5año, el saldo ( ) pasado años será:F > >

dólares. F > œ T( ) 1 + ˆ ‰r5

5 >

Cuando crece la frecuencia con lo que es compuesto el interés, el correspondiente saldoF >( ) también crece.

Interés compuesto contínuamente:

Si se intervienen dólares se compone continuamente, el saldo ( ) después de añosT F > >será:

( ) F > œ T /< > dólares


84

Ejemplo: Suponga que invierten 3 000 dólares a un tipo anual de intéres del 4 %.ÞCalcule el saldo después de 8 años si el intéres se compone.

a) Semestralmente.b) Mensulamente.c) Continuamente.

Solución:a) ( ) 3 000 1 4 118, 4 dólares.F > œ Þ œ Þˆ ‰0, 04

22 8†

b) ( ) 3 000 1 4 129, 2 dólares.F > œ Þ œ Þˆ ‰0, 0412

12 8†

c) ( ) 3 000 4 131, 4 dólares.F > œ Þ / œ Þ0,04 8†


85

DepreciaciónCuando las organizaciones adquieren vehículos, edificios, equipos y otras clases de"bienes", los contadores acostumbran asignar el costo del objeto a lo largo del periódo enque se usa. En el caso de un camión que cueste $10.000 y cuya vida útil sea de 5 años,asignarán 2 000 dólares por año como costo de posesión. Se da el nombre deÞdepreciación al costo asignado a un periódo determinado. Los contadores llevan asimismo registros de los principales activos y su valor actual o " en libros". El valor enlibros representa la diferencia entre el precio de compra del activo y la cantidad dedepreciación asignada, o sea.

Valor libro costo de compra depreciación.œ El valor en libros de un equipo industrial se representa mediante la función exponencial.

300 000(2,5)Z œ Þ >0,1

Donde es el valor libro expresado en dólares y representa el número de añosZ >transcurridos desde la adquisición del equipo. El valor del equipo al cabo de 5 años es:

Z œ 0Ð&Ñ œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß"† Ð&Ñ

œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß&

œ $!!Þ!!!"

Ð#ß &Ñ!ß&

œ$!!Þ!!!

"ß &) $ 189 873,42œ Þ

¿Cuál era el valor del equipo cuando se compró?.¿Y cuál era al cabo de 10 años?¿De 20años?.

Respuestas. $300 000, $120 000, $48 000.Þ Þ Þ


86


1) Suponga que se convierten 1 200 dólares a un tipo anual de interés del 3,2 %.ÞCalcule el saldo después de 5 años si el interés se compone:

a) Mensualmente.

b) Contínuamente.

2) Una cierta maquinaria industrial se deprecia de forma que su valor pasado años viene>dado por: ( ) U > œ U / > 0, 03

a) Después de 20 años la maquinaria tiene un valor de 9000 dólares. ¿Cuál era suvalor original ? b) ¿Cuál será su valor pasado 3 años? c) Establezca una gráfica.

3) El ritmo al que un empleado medio de correo puede clasificar cartas después de >meses en el trabajo está dada por:

( ) 420 120 e carta por hora .G > œ >0, 4

a) Esboce una gráfica. b) Estime número de cartas clasificadas pasado 4 meses.c) Si el numero de cartas clasificadas a 300 por hora.¿Cuánta antigüedad tiene en eltrabajo?.

Respuestas 1) a) 1 407, 9 dólares.Þ b) 1 408, 2 dólares.Þ 2) a) 16 400 dólares.Þ b) 14 988 dólares.Þ

3) b) 395, 77cartas. c)0 mes de antigüedad.


87

Módulo

E1_________________________________

Interpretar mediante la gráfica el dominioy recorrido de una función logarítmica.

_________________________________

_________________________________________________________ Función Logarítmica

Existen etapas del proceso productivo de la empresa que gráficamente se modelan comouna función logarítmica, como por ejemplo el ciclo de prensado

- Identificar una función logarítmica.- Definir función logarítmica- Graficar la función logarítmica.- Interpretar gráfica de una función logarítmica.


88

Ê Función Logarítmica

Definición: La función define la variable " " en función de " " esta ecuaciónC œ + C BB

también puede determinar a " " como una función de " " lo que se denota por , aB C B œ +C

esta nueva función se le dará el nombre de función logarítmica en base " " lo que se+denota por:

, > 0 ; 1C œ 691 B B œ + si y sólo si +C + + Á

Es importante recordar que y la expresión describen la mismaC œ 691 B B œ ++C

función. Puesto que el dominio de una función exponencial incluye a todos losnúmeros reales y su recorrido es el conjunto de los números reales positivos, el dominiode una función logarítmica en el conjunto de todos los reales positivos y su recorrido elconjunto de todos los números reales.

Ejemplo : Determine gráficamente de que es equivalente a C œ 691 B B œ $$C

Idea gráfica

En general, independiente de la base ( > 0 , 1) la función pasa+ + Á C œ 691 B+siempre por el punto (1, 0).

Propiedades de la función Logarítmica.

Sea > 0, 2, > 0, > 0 ., , Á Q R

1) 691 , œ B,B


89

2) 691 QR œ 691 Q 691 R, , ,

3) 691 œ 691 Q 691 R, , ,QR

4) 691 Q œ : 691 Q,T

,

5) , si y solo si , 691 Q œ 691 R Q œ R, ,

6) 1 0691 œ,

Logarítmo Natural

Si nos encontramos con la forma exponencial , es natural que deseemos resolverB œ /C

la ecuación para , lo que equivale a:C

C œ 691 B 691 ÞÞÞ/ / a la expresión " " la denominaremos "Logarítmo natural de ", ennuestro caso logarítmo natural de lo que se denota por:Bß

C œ 68B B œ / si y sólo si C

Las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversa entre sí. Comotales, la una contribuye en la solución de la otra. Puesto que significa la potencia a68 Bla que debe elevarse " " para obtener , se concluye que:/ B

1) ; ; / œ + / œ B / œ 0ÐBÑ68 + 6 8 B 6 8 0ÐBÑ

2) ; ; ( )68 / œ " 68 / œ + 6 8 / œ 0 B+ 0ÐBÑ


90

Módulo

E2_________________________

Resolver problemas de aplicación de funciones logarítmicas_________________________

_________________________________________________________ Aplicación función logarítmica

Si deseas solicitar un crédito al banco, y quieres saber por ejemplo en cuanto tiempo vasa pagar una determinada deuda, aplicando funciones logarítmicas, puedes resolver esteconflicto.Además si un proceso se comporta en forma exponencial y deseas saber la taza decrecimiento, los logarítmicos te ayudaran.

- Aplicar propiedades de la función logarítmica.- Resolver mediante función logarítmica problemas de situaciones cotidianas delos operadores de planta


91

Ê Aplicaciones de Logarítmo Natural

Ejemplo: La población del mundo está creciendo a un ritmo aproximado del3% anual reponiendo el modelo ( ) donde es el tiempo enß T > œ T / >!

>0,03

años. ¿ Cuánto tardará la población mundial en duplicarse?.

Solución:T > œ T /( ) ! >0,03

2 T œ T /! !>0,03

2 e œ Î 680,03 >

6 8 œ > 68 / 2 0, 03

68 œ > 2 0, 03

68œ > Ê > œ

20, 03

23, 1 años.

Ejemplo: ¿Cuántos años demorará una suma de dinero para triplicarse a un interés> Tcompuesto del 8 %, anual.

Solución:A (1 0,08)œ T >

3 (1 0,08)T œ T >

3 (1 0,08) œ Î6 8>

68 œ > 6 8 3 1,08.

6 8

6 8œ >

3 1, 08

14 años .> œ

Ejemplo : El fermento de un cultivo aumenta de 5 gramos a 12 gramos despúes de 9horas. Halle la razón de crecimiento .<Solución:12 5 œ /9 <

2, 4 œ / Î 6 89 <

6 8 œ < 2, 4 9


92

6 8œ <

2, 49

0,09 9 %.œ < < œ

Ejemplo : Las moscas de árboles frutales crecen a razón de 5, 8% aldía.¿Cuánto demorará la población en llegar a ser cuatro veces su tamañoactual?.

Solución :

T > œ T /( ) ! 0, 058

4P P! !œ /0, 058T

4 œ / 0,058

6 8œ D

40, 058

24 dias.D œ


93

Módulo

E3_________________________

Resolver problemas mediantefunciones compuestas._________________________

_________________________________________________________ función Compuesta

Supuesto que conocemos el nivel de contaminación de la empresa en función de laproducción, además sabemos que la producción depende del tiempo, la funcióncompuesta nos permitirá ver como se relaciona la contaminación y el tiempo.

- Definir función compuesta.- Resolver ejercicios de función compuesta.- Resolver problemas con función compuesta.


94

Ê Composición de Funciones.

Hay muchas situaciones en las que una cantidad viene dada en función de una variable,la que a su vez puede ser escrita en función de otra.Combinando las funciones de un modo adecuado se puede expresar la cantidad originalcomo una función de la tercera variable. Éste proceso se conoce como composición defunciones.

Observación:Comúnmente la notación [ ( ) ] se denota por ( o )( ) a condición0 1 B 0 1 Bde que .V/- 0 © H970

Ê Aplicaciones de la Compuesta.

Ejemplo À Un estudio ambiental sugiere que el nivel medio diario de monóxido decarbono en el aire será 0, 7 3 partes por millón cuando la población sea GÐ:Ñ œ : :miles . Se estima que dentro de años la población será ( ) 8 0, 2 miles.> : > œ >2

a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo. ( ) 0, 7G : œ : $ ( ) 8 0, 2 : > œ > 2

[ ( ) ] 0, 7 [ 8 0, 2 ] 3G : > œ > 2

[ ( ) ] 0,14 8,6G : > œ > 2

b) Nivel de monóxido transcurrido 5 años.

[ (5) ] 0, 14 0, 25 8, 6G : œ † [ (5) ] 12, 1 partes por millónG : œ

Ejemplo À Una empresa determina que la función de la demanda para " " artículosBviene dada por ( ) 4800 20 donde " " es el precio de venta (dólares). A su vezB : œ : :los costos totales vienen definidos por ( ) 6000 30 en dólares.G B œ B

a) ¿Qué cantidad de artículos se habían vendido para un precio de 4,2 dólares ?. Resp : (4, 2) 471 dólares .B œ

b) ¿ Cuál es el costo para x artículos vendidos a 5, 8 dólares? [ ( ) 6000 30 (4.800 20 )G B : Ó œ : [ ( 5, 8) ] 146.520 dólares.G B œ

Ejercicios Propuestos.

" B :) La función demanda " " de un producto en término de su precio " " viene dadopor 9000 20 La función costo totales viene dado por 12000 30B œ :Þ G œ BÞ


95

Determine:

a) Función ingreso total.b) Estime el ingreso para 12 artículos vendidos.c) Función utilidad.d) ¿Cuánta utilidad genera la venta de 48 artículos? .e) Estime costo para una producción de 36 artículos .

#) Un estudio ambiental de una cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel mediodiario de monóxido de carbóno en el aire será ( ) 0 8 3 partes por millón cuandoG : œ ß : la población sea miles. Se estima que dentro de siete años la población de la:comunidad será: ( ) 8 0,2 miles. Exprese el nivel de monóxido de carbono en: > œ > 2

función del tiempo y estime su valor cuando han transcurrido siete años.

$) En cierta industria el costo total de fabricación durante el proceso diario deproducción es de ( ) 2 400 dolares. En un día típico de trabajo, se fabricanG ; œ ; ; 2

; > œ > >( ) 30 unidades durante la primera horas del procesos de producción. Exprese elcosto total en función de y estime ¿cuánto habrá sido gastado en producción al final de>la tercera hora?.

%) Un importador de arroz estima que los consumidores locales comprarán

aproximadamente ( ) miles de kilos por mes, cuando el precio sea de 1280

2 H : œ :

:dólares. Se estima que dentro de semanas el precio del arroz será>: > œ > > ( ) 0,3 1,2 16 dolares por miles de kilos .2

a) Exprese la demanda de consumo de en función de .>b) ¿Cuántos miles de kilos de arroz comprarán cuando el precio sea de 1, 2 dolares?c) ¿ Cuál será el precio del kilo de arroz en la tercera semana ?d) ¿ Cuál será la demanda a la quinta semana ? Respuestas

" V B œ B B

) a) ( ) 450 20

2

b) (12) 5.392, 8 pesos .V œ

c) ( ) 420 12.000 x

20T B œ B

2

d) (48) 8.044, 0 pesos .T œ e) (36) 13.080 pesos.G œ

# G > œ > ) ( ) 0, 16 9, 4 2

(7) 17, 24 partes por millónG œ


96

$ G > œ) ( ) 900t + 60 t + 4002

(3) 8.680 dolares .G œ

%Ñ H > œ> >

a) ( ) .1.280

[ 0, 3 1, 2 16 ] 2 2

b) (1,2) 889 miles de kilosH œ

c) (3) 22, 3 dolares: œ

d) (5) 1, 4 miles de Kilos.H œ


97

Módulo

F1_________________________

Resolver ecuaciones lineales_________________________

_________________________________________________________ Ecuaciones Lineales

Tu debes poder sumar o restar productos de un mismo tipo, para luego, determinar conexactitud lo que vas a necesitar.

- Definir ecuación lineal- Reducir términos semejantes.- Resolver ecuaciones lineales.


98

Ideas Básicas de ÁlgebraA continuación se indican tres ideas básicas del álgebra y las reglas para manejar lasrelaciones ("ecuaciones") que implican cantidades desconocidas, cuyos valores estáintentando hallar.

En la mayoría de los cálculos intentamos encontrar un número. Por ejemplo, el área de unterreno rectangular de 25 metros de longitud y 40 metros de anchura (o yardas o pies) es

25 40 1000 † œ 7#

Hasta que llevemos a cabo la multiplicación, podemos representar la respuesta poralguna letra, normalmente la , y escribirB

25 40 † œ B

Podemos decir que " simboliza una cantidad desconocida". La idea fundamental delBálgebra es muy simple:

La cantidad desconocida es un número como cualquier otro. Se puede sumar, restar,Bmultiplicar o dividir de la misma forma que los números comunes.A la relación matemática que implica a números conocidos (como 25 ó 40) y adesconocidos (como ) se la conoce como una ecuación. A veces no tenemos de unaB Bforma tan clara como anteriormente, sino que está dentro de alguna expresióncomplicada. Par obtener una solución, deberemos reemplazar la susodicha ecuación (oecuaciones) por otras que contengan la misma información pero de forma más clara. Elobjetivo final es aislar la incógnita, para que parezca aparte, para proporcionar a laecuación la entedicha fórmula, a saber

B œ (expresión conteniendo solo números conocidos)

Una vez alcanzado esto, el número que representa la puede calcularse rápidamente.B

Por ejemplo:"¿Cual es el número que si lo dobla, luego le suma 5 y luego divide esa suma por 3,obtiene 3?"Llame a ese número . La declaración hecha mediante palabras puede también escribirseBpor medio de una ecuación:

Ð#B &Ñ

$œ $

El paréntesis encierra las cantidades que se manejan como un número único, y 2Bsignifica "2 veces ". En álgebra, los símbolos (o paréntesis) colocados junto a otros seBsobreentiende que están multiplicados. Si sigue esta regla, nunca se confundirá por lasimilitud entre la letra y el signo de la multiplicación.B


99

Una segunda idea fundamental en álgebra es:Si tiene una ecuación y modifica ambos lados de la misma exactamente igual, lo queobtiene también es una ecuación válida.Puede sumar, restar, multiplicar o dividir cualquier número que desee; si lo hace deforma igual en ambos lados de la igualdad, el resultado sigue siendo válido. Asimismo lanueva ecuación sigue conteniendo la misma ecuación que antes. (Pero no multipliqueambos lados por 0 y obtenga! œ !; el resultado es correcto, pero toda su información se ha desvanecido en el aire.)Por ejemplo, la ecuación dada anteriormente:

Ð#B &Ñ

$œ $

Multiplique ambos lados por 3:

Ð#B &Ñ œ *

Reste 5 en ambos lados:

#B œ * & œ %Divida ambos lados por 2:

B œ œ #%

#

Se obtiene el resultado, . Las reglas anteriores, más el objetivo básico de "aislar elB œ #número desconocido", Te dará buenos resultados.

Frecuentemente se salta un último paso, pero no se debe hacer. Para estar seguro de queno ha cometido un error por el camino, tome la ecuación original

Ð#B &Ñ

$œ $

y reemplace en ella la cantidad desconocida por el valor que ha calculado, en este casoBel número 2, y compruebe si los dos lados son iguales. Si lo son, puede estar seguro deque su respuesta es correcta.

Relata una situación simple que se pueda plantear como una ecuación


100

Ecuación de Primer Grado o Lineal

Definición: Cuando 0, para algún valor del dominio, la expresión 0ÐBÑ œ +B , œ !se denomina " Ecuación de primer grado o Lineal ".

El conjunto solución de una ecuación son los valores que sustituidos en la ecuación, latransforman en una igualdad, a dichos valores se les denomina de"raíces o soluciones " la ecuación.

Ejemplo: La ecuación 2 3 0 tiene por raíz pues sustituida en la3 2

B œ B œ

ecuación la hace verdadera Þ

Resolución de una Ecuación Lineal

Las siguientes propiedades de la igualdad son fundamentales para el proceso de resolverecuaciones.Sean , , números reales, entonces:+ , -

a) Si , se cumple (Propiedad Aditiva)+ œ , + - œ , -b) Si , se cumple (Propiedad Sustracción)+ œ , + - œ , -c) Si , se cumple (Propiedad Multiplicación)+ œ , + † - œ , † -

d) Si , se cumple , 0 (Propiedad División )+ œ , œ - Á+ ,

- -

Observación: En una ecuación de la forma tenemos:+ B , œ !

i) Si 0 la solución es unica + Á B œ ,

+ ii) Si , existen infinitas soluciones.+ œ ! , œ ! iii) Si , No tiene solución.+ œ ! , œ !

Si la ecuación original se modifica mediante el uso de cualquiera de las propiedadesanteriores se obtendra una ecuación equivalente.Ejemplo: 5 2 8 / +2B œ 5 8 2B œ 5 10 / 5B œ 2B œ

Ejemplo: 7 3 5 4 / 5B œ B 2 3 4 / 3B œ 2 7 / 2B œ

72

B œ


101

Ejemplo: Resuelva 8 3 (5 2 ) 3( 1) 3B B œ B 8 15 6 3 3 3B B œ B 14 15 3 / 3B œ B B 11 15 0 / 15B œ 11 15 /:11B œ

1511

B œ

Ejemplo: Resuelva / 12 1

3 4B B "

œ †#

4( 1 ) 3 6B B œ 4 4 3 6B B œ 4 6B œ 2B œ

Ejemplo : Resuelva 3 1 2 5

B B

B B œ

( 3 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 2 )B B œ B B 5 3 15 2 2B B B œ B B B 2 2

2 15 2 / B B œ B B B2 2

2 15 2B œ B 14B œ

Ejemplo: Resuelva 2 8 4 3

( 1 ) ( 1 ) ( 1)B B B œ

B 2

2 ( 1 ) 8 ( ) 4 3B B " œ B 2 2 8 8 4 3B B œ B 6 10 4 3 B œ B 7 10 œ B

710

œ B


102

Módulo

F2_________________________________

Aplicar ecuaciones lineales en la resoluciónde problemas del operador de planta_________________________________

_________________________________________________________ Aplicación ecuaciones lineales

Cada vez que recibes tu sueldo, has de distribuirlo en diferentes tareas, donde la suma deellos ha de ser igual al sueldo que tienes.

- Identificar una función lineal- Aplicar ecuaciones lineales para resolver problemas


103

Ê Aplicaciones de Ecuaciones Lineales

Para resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por los siguientes guías:ì Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que se estábuscando.ì Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar. Usualmente se utilizan lasvariables y .B 8ì Utilizar los datos dados para establecer una ecuación involviendo las variables de losvalores desconocidos.ì Resolver la ecuación y cotejar la respuesta.

Ejercicios:1)Un estudiante tiene calificaciones de 64y 78, en sus exámenes. ¿Qué calificación debealcanzar en la tercera prueba para obtener un promedio de 80?SoluciónRegla 1. Lea el problema cuando menos una vez más.Regla 2. La cantidad desconocida es la calificación de la tercera prueba, de modo que se define : calificación en la tercera prueba.B œRegla 3. Para este problema no es necesario un esquema o croquis.Regla 4. (a) Lo que se conoce son las calificaciones de 64y 78 en los dos primeros exámenes. (b) Una relación en la que interviene es el promedio de las calificacionesB

64, 78 y . Así calificación promedio .B À'% () B

$Regla 5. Como la calificación promedio en la regla 4 debe ser 80, entonces

'% () B

$œ )!

Regla 6. Resuelva la ecuación formulada en la regla 5: '% () B œ )! † $ "%# B œ #%! B œ *)Regla 7. Comprobación: Si las tres calificaciones son 64, 78 y 98, entonces su

promedio es es lo que se deseaba.'% () *)

$œ )!

2) Se dispone de dos clases de café. ¿Cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase,a razón de 105 y 125 pesetas el kilogramo, respectivamente, para obtener otra de 120pesetas el Kilogramo, si de la clase mejor se han tomado 20 Kg. Más que de la otra?.Solución: Kg. empleados de 105 pesetas: B Kg. empleados de 125 pesetas: B #! "!&B "#&ÐB #! œ "#!Ð#B #!Ñ B œ ÞÞÞ


104

$ÑUn tren que marcha a 90 Km./h pasa por la estación A en el mismo instante en que otrotren, que va a 70 km./h, pasa por la estación B. Ambos van en el mismo sentido. ¿Cuántotiempo tardaran en encontrarse si B dista de A 80 km.? ¿A que distancia de B lo harán?Solución:El tiempo de ambos es 4 hSe encontraran a 280 Km. de B

%ÑUn numero se multiplica por 3. El resultado se divide por 4 y luego se le resta 5. Estenuevo resultado se multiplica por 10, obteniéndose así la cuarta parte del numeroaumentada en 37. ¿Cuál es el numero?Solución:B œ "#

&ÑCalcula los ángulos de un triángulo sabiendo que es la mitad del otro y que el terceroes la cuarta parte de la suma de los dos primeros.Solución:B œ %) C œ *' D œ $'° º º

Otro Ejemplo: Empleando la depreciación lineal o de linea recta, una firmacalcula el valor actual " " de una máquina después de " " años en :C B = 30.000 2 00C % Ba) Hallar el valor actual de la máquina Al inicio 0 luego ;B œ 30.000 2400 0C œ † 30.000C œ

b) El valor después de 5 años 5, luego ;B œ 30.000 2.400C œ † & 18.000C œ

c) El valor de salvamento después de 9 años 30.000 2400 9C œ † 8.400C œ


105

Módulo

G1_________________________

Resolver y graficar sistemas de ecuaciones lineales._________________________

_________________________________________________________ Sistema de Ecuaciones Lineales

Tu puedes emplear la gráfica de un sistema de ecuaciones para ver en forma más nítidaque sucede a la vez con dos procesos productivos que se comportan en forma lineal.

- Resolver sistemas de ecuaciones- Graficar sistemas de ecuaciones lineales


106

Ê Sistema de Ecuaciones Lineales.Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas estáformada por una pareja de valores ( ), que gráficamente representa las coordenadas deBß Cun punto en el plano. Al dibujar esos infinitos puntos en un sistema de ejes coordenados,se obtiene una recta.

Dos ecuaciones que tengan las mismas dos variables se puede resolver de una maneragráfica o algebraica. Una forma de resolver algebraicamente un sistema es expresar lasecuaciones en la forma intersecto - pendiente. Igualando ambas expresiones se despeja lavariable , la que finalmente determina sustituyéndola en cualquera de las ecuacionesB Cintersecto - pendiente.Ejemplo : Resuelva algebraicamente 2 10B C œ 6 4 16B C œ

i) Forma intersecto - pendiente

2 10 (1)C œ B 1,5 4 (2)C œ B

ii) :Igualando

2 10 1,5 4 B œ B 14 3,5œ B % œ B

iii) :Reemplazando en (1) ó (2) se tieneB 2 4 10C œ † 2C œ

Luego el punto de intersección de ambas rectas es (4,2).Para resolver el sistema anterior se grafican ambas ecuaciones en el mismo plano y sedetermina el plano donde se cruzan ambas rectas. En el ejemplo anterior : 2 C œ B

10 0 10 0 5œB œ C œ

C œ B œ

C œ B B œ C œ C œ B œ

1,5 4 0 4 0 2,7œ


107

Ê Idea gráfica :

Ejemplo : Dadas las ecuaciones de costo e ingreso para una industria definidos por : 5 120G œ B 8V œ B Determine algebraicamente y gráficamente el punto de equilibrio : a) Algebraicamente: V œ G 8 5 120B œ B 40B œ

Para una producción de 40 artículos la utilidad es nula. b) :Gráficamente 5 120 C œ B C œ )B 120 0 0B œ ! Ê C œ B œ Ê C œ 0 24 6 48C œ Ê B œ B œ Ê C œPunto de equilibrio 40 unidades.B œ


108

Módulo

G2___________________________

Resolver problemas de la vida realmediante ecuaciones lineales.___________________________

_________________________________________________________ Aplicación sistema de ecuaciones

Tu vas a emplear los sistemas de ecuaciones cuando desees saber por ejemplo quenúmero de toneladas de producción permiten que el ingreso y el costo de la empresasean iguales.

- Identificar ecuaciones lineales- Aplicar la resolución de sistemas de ecuaciones a situaciones reales de unoperador


109

Ê Identificar ecuaciones lineales Una ecuación lineal es aquella de la forma donde es la pendiente,C œ 7B 8 78 es el coeficiente de posición, debes recordar además que dependiendo de la pendiente,será la posición que adoptará la recta. Todo proceso que se comporte linealmente, tendráque satisfacer una ecuación con estas características

Ê Problemas de aplicación. Un entrenador de tenis compra comida para su equipo en un restaurante. Ordena ochohamburguesas y cinco porciones de papas a un costo de $4 750. Como algunos de losÞjugadores quedan con hambre, el entrenador compra seis hamburguesas más y otras dosporciones de papas por $3 300. ¿Cuál es el precio de una hamburguesa y de una porciónÞde papas?

El planteamiento del problema puede hacerse mediante un sistema de dos ecuaciones condos incógnitas. Cada compra se expresa como una ecuación lineal con incógnitas e ,B Cdonde representa el precio de una hamburguesa e representa el precio de una porciónB Cde papas:

)B &C œ %Þ(&!'B #C œ $Þ$!!Resuelva el sistema por el método que más le agrade, sus resultados debes ser eB œ &!!C œ "&!

Resuelva los problemas

1) Dadas las ecuaciones de oferta y demanda :

; œ : ; œ : 2500 8000 4000 18.000

Halle el precio de equilibrio y cantidad en forma algebraica y gráficamente.

2) Dada las ecuaciones Ingreso total y costos totales. Indique punto de equilibrioy explique el significado gráficamente y algebraicamente

75 50 + 150V œ B G œ B

3) Dadas las ecuaciones 40 y 30 120, ingresos y costos totales deV œ B G œ B una fábrica, determine punto de equilibrio, algebraicamente y gráficamente.


110

4) Los costos marginales de una empresa ascienden a U$ 20 y los costos fijos a U$800.Si el precio de venta por cada unidad será de U$ 32 . Determine gráfica y analíticamenteel punto de equilibrio para dicha empresa.

Respuestas

1) = 4 ; = 2000: ;

2) Punto de equilibrio = 5 unidades.B

3) 12 unidades.B œ

4) 66,6 unidadesB œ


111


1.- Se tiene los siguientes puntos que pertenecen a una recta: (-2, -1); (6,-5)

a) Calcular la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos dados.b) Graficar la recta indicando los puntos de intersección a los ejes.c) Indicar el valor de "y" si "x" es igual - 5. Graficar este punto.

Res: a) C œ #à -Ñ C œB "# #

3.- El crecimiento de un cultivo de microorganismos esta dado por la función:

P años.3!ß!!$ >œ #!!!/ > À

P Población en el año i.3À

a) Indicar la población inicial.b) Indicar la población en el tercer año.c) En cuantos años se tendrá 8.000 microorganismos.d) Cuantos años pasaran para que la población se triplique.

Resp.: a) Hab. b) Hab. años. T œ #Þ!!! T œ #Þ")) -Ñ > œ %'ß # .Ñ >! $

œ $'ß ' años.

4.- Considerando que las ventas, de la empresa ABC, tienen una tendencia lineal. Se sabeque para año 2000 las ventas fueron de 8.000 unidades y para el 2001, de 10.000unidades. a) Indicar cual será el nivel de venta para el año 2002.b) Graficar la función indicando la ecuación de la función.

Res.: a) 12.000 unidades.


112

Módulo

G3_________________________

Resolver y graficar sistemasde inecuaciones lineales._________________________

_________________________________________________________ Sistema de Inecuaciones

Tú puedes emplear la grafica de un sistema de inecuaciones para ver en forma mas clarala región de confianza en la combinación de dos productos diferentes- Resolver sistemas de inecuaciones- Graficar indicando zona de confianza.


113

Relaciones de Orden en ‘. Dados y números reales se cumple una y sólo una de las siguientes alternativas:+ , i) ; " mayor que "+ , + , ii) ; " menor que "+ , + , iii) ; " es igual que "+ œ , + ,

Otras desigualdades son : ; " mayor o igual que "+ , + , ; " a menor o igual que "+ Ÿ , ,

Propiedades de las Desigualdades.

1) Si , entonces 0+ , + ,

2) Si , entonces ó + Ÿ , + , + œ , 3) Si , 0 , entonces + Ÿ , - + † - Ÿ , † -

4) Si , 0 , entonces + Ÿ , - + † - , † -

5) Si y , entonces + Ÿ , , Ÿ - + Ÿ -

6) Si 0 ,entonces ( 0 0 ) o ( 0 0)+ † , + • , + Ÿ • , Ÿ

7) Si 0 , entonces ( 0 0) o ( 0 0)+

, + • , + Ÿ • ,

8) Si 0 ,entonces( 0 0 ) o( 0 0 )+ † , Ÿ + • , Ÿ + Ÿ • ,

9) Si 0, entonces ( 0 b 0) o ( 0 0)+

,Ÿ + • + Ÿ • ,

Desigualdad Absoluta :

Es válida para todo número real. Ejemplo : 1 0B 2

Esta desigualdad es válida para todo número real .


114

Desigualdad Condicional o Inecuación Lineal.

Es la que es válida solo para ciertos valores ,Ej : 3 es una inecuación pués es válidaB para . El conjunto de valores que hacen verdadero una inecuación se denominaBconjunto solución y a diferencia de una ecuación, este conjunto es Infinito.

Ejemplo :

3 2 Solución : 1B œ B œ 3 2 Solución : 1 B † B

Inecuaciones de primer grado en una variable.

La solución de una inecuación en una variable, consiste en todos los valores de para losBcuales la inecuación es verdadera. Estos valores pertenecen a uno o más intervalos de larecta real. Intervalos : Dados y con + , − + ,‘

a) , ’ “ š ›+ , œ B Î + Ÿ B Ÿ ,

b) , “ “ š ›+ , œ B Î + B Ÿ ,

c) , ’ ’ š ›+ , œ B Î + Ÿ B ,

d) , “ ’ š ›+ , œ B Î + B ,

Ejemplo : Resuelva 3 2 1B Ÿ

Solución : 3 3B Ÿ 1B ŸGraficando:


115

Intervalo Solución: , 1 “ “ _

Ejemplo : Resuelva : 7 1 632 3B B

Î‡

Solución: 9 42 2 6B B 7 36B

367

B

Intervalo Solución: ,+ “ ’367 _

Ejemplo : ( 3 ) 7 2 ( 5 ) 6B B B B 2

6 9 7 + 2 + 5 6B B B B B 2 2

4 2 5 6 B B 9 8 1 B Î‡ 9 8B

89

B

Intervalo Solución: , + “ ’89 _

Valor Absoluto.

Es frecuente en el cálculo operar con desigualdades. Son de particular importancia lasque se relacionan con la noción de " valor absoluto " . Si es un número real, su valorBabsoluto es un número real no negativo designado por , es que se define por :k kB

k k œB œB B B B

; 0 ; 0

Ejemplo : a) ( 5 ) 5 5k k œ œ

b) 73

¸ ¸73 œ

c) 0,6 ( 0,6 ) 0,6k k œ œ


116

Inecuaciones de primer grado con dos variables

Resolver una inecuación presentada en 2 variables significa determinar todos los puntosdel plano que hacen verdadera la desigualdad presente; estos puntos al representarlosgráficamente conforman un " semiplano " cuya frontera natural corresponde a la rectaasociada a la inecuación. Esta recta se incluye al conjunto solución si la desigualdadpresente es " " o " ", de lo contrario se dibuja con linea discontinua para dividir el Ÿplano.

Ejemplo: Sea 2 1B C Ÿ

Para encontrar el intervalo solución tomanos como referencia la cordenada (0,0). Luegoverificamos si satisface la inecuación: #B C Ÿ " #Ð!Ñ ! Ÿ " ! Ÿ "Se satisface la inecuación, por lo tanto como este punto pertenece al conjunto solución,todos los puntos que estan a la izquerda de la recta de ecuación 2x+y = 1


117

S = ( , ) 2 1Ö B C Î B C Ÿ ×

Observación: El conjunto solución es infinito.En resumen, la gráfica de una desigualdad lineal en 2 variables de la forma+ B ,C - + B , C - , Á o bien con 0, es el semiplano inferior osuperior (pero no ambos ), determinado por la recta + B , C œ -

Observación: El semiplano generalmente puede ser determinado por un punto dereferencia que no pertenezca a la recta. ( generalmente el origen (0, 0)).Si 0, la, œgráfica de o bien > es el semiplano izquierdo o derecho ( pero no+ B - + B -ambos), según pueda ser determinado por la recta + B œ -

Ejemplo : Construya la gráfica de 4; recta asociada = 4B B


118

Ê Sistema de Inecuaciones con una Variable.

Dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita pueden formar un sistema deinecuaciones. Resolver un sistema consiste en determinar el conjunto de solucionescomunes a todas las inecuaciones que lo forman. Un procedimiento de resolución esresolver independientemente cada inecuación, luego se establece el conjunto intersecciónde los conjuntos solución de cada inecuación.Ejemplo : 3 2 5

6 8B

B Ÿ

1) 3 2 5 2) 6 8B B Ÿ 3 3 2B B Ÿ 1B

: 1 Solución 1 Ö B − Î B ×‘

: { 2 }Solución 2 B − Î B Ÿ‘

: S1 S2Solución

: / 1 2 Solución Ö B − B Ÿ ×‘

Ejemplo : 12 1 11

5 2 14 3 3 1

B B B B

1) 12 1 11 2) 5 2 1 3) 4 3 3 1B B Ÿ B B 1 2 4B B B




: S S SSolución 1 2 3

: 2 4 Solución Ö B − Î Ÿ B ×‘


119

Ê Sistema de Inecuaciones en 2 variables.

Solucionar un sistema de inecuaciones de primer grado en dos variables equivale adeterminar la intersección de los semiplanos que satisfacen a ambas inecuaciones :

Ejemplo :

5 2 3 2 3 5 2 3 54 1 4 1 4 1

B Ÿ C Ê B C Ê B C ŸC B B B C

Rectas asociadas À

2 5 1

3 4C œ C œ

B B

B C B C

!&

$&

#!

!"

% " !

S ( ) 2 3 5 4 1 œ B ß C Î B C Ÿ • B C ×˜


120

Módulo

G4_______________________________________

Resolver problemas de optimización mediantesistemas de inecuaciones lineales (1 y 2 variables)

________________________________________

_________________________________________________________ Optimización

Dados los requerimientos de una empresa te encontraras con que además existenrestricciones como por ejemplo la cantidad de recursos humanos y físicos, lo quegenerará la búsqueda de la mejor mezcla sin perder de vista las limitaciones, es aquí endonde los sistemas de inecuaciones nos facilitan la decisión.

- Identificar restricciones,- Identificar función objetivo- Resolver problemas de optimización en forma gráfica y analítica.


121

Ê Elementos de Optimización.

Una de las principales aplicaciones de los sistemas de Inecuaciones en 2 variables dicerelación con " Programación Lineal ", en donde, el objetivo principal es la maximizacióno minimización de una función objetivo, la que depende de dos o más variables. Dichasvariables suelen estar relacionadas entre sí por una o varias restricciones(Desigualdades).La función objetivo ( maximizar o minimizar ) para nuestro estudio queda definida por lafunción lineal de la forma :

^ œ +B , C - D B ß C ß D ... con ( número de productos, máquinas, etc )

Observación :

Normalmente además de las restricciones, específicas de cada problema suele ser preciso,añadir que las variables sean positivas ( ... 0 )Bß C ß D

Ê Restricciones1) Restricciones estructurales

2) Restricciones de no negatividad, una para cada variable de decisión. Las restriccionesestructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras condiciones queimpone la situación del problema. Las restricciones de no negatividad garantizan queninguna variable de decisión sea negativa.

Ê Función ObjetivoEl modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una funciónobjetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones:

En problemas de optimización, debe ubicarse las variables que el modelo matemáticodebe maximizar ó minimizar, entonces el primer paso es determinar las VARIABLES DEDESICIÓN del modelo. Es fundamental este primer paso porque de este depende lacorrecta descripción de la funcion objetivo y las restriciones que tenga el modelo.En un modelo matemático que pueda dar solución a un problema de obtener el maximode ganacias económicas, diciendo cuantos productos vender de cada tipo, resulta seratractivo para quien lo utiliza, r , lo quelo fundamental es llegar ha obtene dicho modeloen algunos casos es complejo, porque el resolverlos existen métodos gréficos, aplicaciónde algoritmos matemáticos y software que ayudan a encontrar las soluciones.


122

Ejemplo : Una planta fabrica 2 tipos de lancha una para 2 personas y una para 4personas. Cada lancha para 2 personas requiere 2,7 horas de trabajo en el departamentode corte y 2,4 horas en el departamento de montaje. Cada lancha para cuatro personasnecesita 5,4 horas en el departamento de corte y 3,6 horas en de montaje. El máximo dehora de trabajo cada mes en los departamentos de corte y montaje son 2592 y 2016respectivamente.

La información dada se resume en la siguiente tabla:

Departamento corte Departamento Montajelancha (2) 2,7 2,4lancha (4) 5,4 3,6Máximo hrs 2592 2016

Si cada lancha para 2 personas tiene un valor de 3200 dólares y cada lancha para 4personas un valor de 5600 dólares ¿ Cuántas lanchas de cada tipo se deben fabricar yvender para que el ingreso sea máximo ?

Solución: :Variables de Decisión Sean : Nº de lanchas para 2 personasB : Nº de lanchas para 4 personas.C

i) :RESTRICCIONES


123

Por lo tanto: 2,7 5,4 2.592 Departamento de Corte.B C Ÿ 2,4 3,6 2.016 Departamento de Montaje.B C Ÿ

Restriccones de No Negatividad: Como se tienen que fabricar cierta cantidad de productos de un tipo o de otro o bien a lomenos ninguno de algun producto, por lo tanto estas restricciones obliga a que lasvariables tomen valores mayores o iguales a cero, quedando de la siguiente forma:

B ! C !

ii) FUNCIÓN OBJETIVO

Si cada lancha para 2 personas tiene un valor de 3200 dólares y cada lancha para 4personas un valor de 5600 dólares. Función objetivo a máximizar

3.200 5.600^ Bß C œ B Ca b


124

Por lo tanto el modelo de Programación Lineal para este ejemplo queda expresado como:

Para resolver este problema utilizaremos el método gráfico.

Ejemplo : Una empresa produce tres tipos de vidrios de alta calidad, incluyendoventanas y puertas de vidrio. Esta empresa tiene tres fábricas , en la primera se hacen losmarcos y molduras de aluminio, los marcos de madera se fabrican en la planta dos y en laplanta tres se producen los vidrios y se ensamblan los productos.Los productos que la empresa ofrece son:Producto 1: Una puerta de vidrio de 2 mts. con marco de aluminio.Producto 2: Una ventana de resbalón con marco de madera de 60 x 70 cm.Los requerimientos de tiempo de producción de cada producto son los siguientes paracada fábrica.

Fabrica

Tiempo de Producción(hrs/uni) Tiempo de Producción

Producto 1 Producto 2 Disponible a la Semana(hrs)

1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18

Además se sabe que se tiene una utilidad de $3.000 y $5.000 por unidad del producto 1 y2 respectivamente.La empresa desea saber la cantidad de cada producto que debe producir cada semana paraobtener mayores utilidades.Formular el modelo de Programación Lineal para este problema

Solución: Variable de Decisión: Xi = Cantidad de producto i a fabricar a la semana. i = 1,2 X = Producto 11 X = Producto 22

Función Objetivo: Max. Z = 3.000X +5.000 X1 2


125

Restricciones X 41 Ÿ X 122 Ÿ 3X + 2X 181 2 Ÿ X ,X 01 2

Ê Solución Gráfica Sea el siguiente modelo de programación lineal.

Resolviendo gráficamente el sistema se determina la región de óptima. Recta Asociada :

2,7 5,4 2592 2,4 3,6 2016B C œ B C Ÿ

2,7 2592 2,4 2016

5,4 3,6C œ C œ

B B

B C B C! %)! ! &'!*'! ! )%! !

Idea gráfica :


126

Los valores que maxímizan dicha función deben ser extraídos de la región deconfianza. Si la región de confianza es acotada, es decir, queda limitada por los ejescoordenados y las rectas asociadas a cada restricción, entonces la función se evalúa en losvértices de la región para determinar los valores máximos o mínimos.En este ejemplo los vértices corresponden a los puntos À

(0,0), (0,480), (840,0) y el punto de intersección de las rectas asociadas.

Intersección de las rectas: 2,7 5,4 2.592

2,4 3,6 2.016B C œB C œ

Por sustitución: 2,7 5,4 2.592B C œ

480 0,5C œ œ B#&*# #ß (B

&ß %

Reemplazando en la segunda ecuación: 2,4 3,6 480 0,5 2.016B Ð BÑ œ 2.4 1728 1,8 2.016B B œ 0,6 288B œ 480B œ

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones = 480, se puede encontrar B CÞ

Por lo tanto: 240 C œPunto de intersección: (480,240)


127

Para encontrar el punto optimo que maximiza la la función objetivo reemplazamos cadapunto extremo en la función objetivo.

^ B C œ B Ca b, 3200 5600

, 3200 ( 0 ) 5600 ( 0 ) 0^ B C œ œa b , 3200 ( 0 ) 5600 (480) 2.688.000^ B C œ œa b , 3200 (840) 5600 (0) 2.688.000^ B C œ œa b , 3200 (480) 5600 (240) 2.880.000^ B C œ œa bPor lo tanto, el máximo ingreso se logra al fabricar 480 lanchas para 2 personas y 240lanchas para 4 personas.

Ejemplo: Resuelva el siguiente problema de programación lineal :

Función objetivo : ( , ) 20 100 B C œ B C

Restricciones : 12 4 72B C Ÿ 4 8 64B C Ÿ 0B 0C

Cantidad de e para minimizar y maximizar la función objetivo. ResolviendoB Cgráficamente el sistema de inecuaciones y determinando la región de óptima acotada setiene :

B C B C! ") ! )' ! "' !


128

Idea gráfica :

Punto intersección : ( 4, 6 ) Evaluación :

( ) 20 ( 0 ) 10 ( 0 ) 00 Bß C œ œ

( ) 20 ( 0 ) 10 ( 8 ) 800 Bß C œ œ

( ) 20 ( 6 ) 10 ( 0 ) 1200 Bß C œ œ

) 20 ( 4 ) 10 ( 6 ) 1400ÐB ß C œ œ

Por lo tanto, la función se minimiza para una producción nula de e , y se maximizaB Cpara 4 artículos , y 6 artículos B CÞ

Ejemplo : Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en losdepartamentos 1 y 2 .En la tabla siguiente se resumen las necesidades de horas de trabajopor unidad de cada producto en uno y otro departamento. También se incluyen lascapacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamentos y los márgenesrespectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. El problema consiste endeterminar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con objeto demaximizar la aportación total de costos fijos y a las utilidades.

Producto Producto Capacidad de trabajo semanal

Departamento 1 3 h por unidad 2 h por unidad 120 hDepartamento 2 4 h por unidad 6 h por

E F

unidad 260 hDepartamento 3 $5 por unidad $6 por unidad

Solución Si se supone que y son el número de unidades fabricadas y vendidas,B B" # respectivamente, de los productos y , entonces puede calcularse la aportación a lasE F


129

utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. La que hace cada unose obtiene al multiplicar el margen de utilidad por el número de unidades producidas yvendidas. Si se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá:D 5 6D œ B B" #

Según la información suministrada en el planteamiento del problema, las únicasrestricciones al decidir el número de unidades que deben fabricarse son las capacidadesde trabajo semanal en los dos departamentos. Luego tenemos que: 3 2 120 departamento 1B B Ÿ" #

4 6 260 departamento 2B B Ÿ" #

Si bien no hay una expresión formal de tal restricción se sabe implícitamente que y B B" #

no pueden ser negativas.Hay que explicar esta clase de restricción en la formulación delmodelo.

Al combinar la función objetivo y las restricciones, el modelo de programación linealque representa el problema se formula así: maximice 5 6D œ B B" #

sujeta a 3 2 120 B B Ÿ" #

4 6 260 B B Ÿ" #

0B "

0B #

Representación gráfica

Reemplazando en la función objetivo 5 6 los valores que limitan laD œ B B" #

región que es solución se tiene, para: a) (0,0) D œ !


130

b) (0, ) 5130 1303 3D œ † ! ' †

260D œ

c) (20,30) 5 6 30D œ † #! † œ 280

d) (40,0) 5 0D œ † %! ' † 200œ

El valor que hace a máximo es el punto (20,30) lo que nos indica que se han de fabricarD20 unidades del producto y 30 unidades del producto siendo $280B B D œ" #


131


1) Una empresa fabrica 2 tipos de productos, para lo cual un operario trabaja 8 horas. Lamateria prima para producir dichos productos es de 11 kilos como máximo; Si el operariodemora 3 horas en el primer producto y 2 horas en el segundo utilizando 4 kilos demateria prima para el primero y 3 kilos para el segundo.Determine el número de productos a fabricar de cada tipo para obtener el máximo debeneficios sabiendo que los productos sean vendidos a $ 800 y $ 420 respectivamente.

2) Una planta fabrica 2 tipos de botes, un bote para 2 persona y un bote para 4 personas.Cada bote para 2 personas requiere 0,9 horas de trabajo en el departamento de corte y 0,8horas de trabajo en el departamento de montaje. Cada bote para 4 personas necesita 1,8horas de trabajo en el departamento de corte y 1,2 horas en departamento de montaje. Elmáximo de horas de trabajo disponible cada mes en los departamentos de corte y montajeson 864 y 672 respectivamente. Calcule número de botes de cada tipo de bote paraobtener el máximo de ingreso, sabiendo que el bote para 2 personas se vende a $160.000y el de 4 personas en $320.000

3) Un paciente de un hospital necesita que se le administren diariamente por lo menos 84unidades de medicamentos A y 120 unidades de medicamento B . Cada gramo de lasustancia M contiene 10 unidades de medicamento A y 8 unidades de medicamento B ycada gramo de la sustancia N contiene 2 unidades del medicamento A y 4 unidades delmedicamento B ¿ Cuántos gramos de la sustancia M y N se pueden mezclar para cumplircon los requisitos diarios mínimos?.

4) Se desea programar una dieta con dos alimentos A y B .Una unidad del alimento Acontiene 500 calorías y 10 gramos de proteínas; una unidad de B contiene 500 calorías y20 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 3000 calorías y 80 gramos deproteínas. Si el precio de una unidad de A es 8 y de una unidad de B es 12,¿Qué cantidadde unidades de A y B se debe comprar para satisfacer las exigencias de la dieta a un costomínimo? 5) Una compañía fabrica dos productos. Uno y otro deben ser procesados en dosdepartamentos. El producto A requiere dos horas por unidad en el departamento 1 y 4horas por unidad en el departamento 2 . El producto B requiere 3 horas por unidad en eldepartamento 1 y 2 horas por unidad en el departamento 2. Los departamentos 1 y 2tienen respectivamente, 60 y 80 horas disponibles a la semana. Los margenes de utilidadde los productos son $3 y $4 por unidad. Formule el modelo de programación lineal paradeterminar la mezcla de productos que maximice las utilidades totales. Intérprete losresultados que indiquen la mezcla de productos recomendada.¿Qué porcentaje de lacapacidad diaria se utilizará en cada departamento?.

6) Una compañía fabrica tres productos: A,B y C. Para producir estos productos serequiere tres tipos de recursos: Servicio técnico, Mano de obra y Administración. Lasiguiente tabla proporciona los requerimientos de cada uno de estos recursos.


132

Recursos(hrs) Producto Servicio

Técnico Mano de Obra Administración Utilidad

($/uni) A 1 10 2 10 B 1 4 2 6 C 1 5 6 4

Disponibilidad de Recursos

100 hrs. 600 hrs 300 hrs.

La empresa necesita un modelo matemático que le ayude a resolver el problema decuantas unidades producir de cada producto. Formular el modelo de Programación lineal.

7) Una compañía manufacturera descontinuó producción de cierta línea de productos norentable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencaquiere dedicar esta capacidada a uno o más productos; llámense productos 1, 2 y 3. En lasiguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar laproducción.

Tipo de Máquina Tiempo Disponible (hrs. por semana)

Fresadora 500 Torno 350 Rectificadora 150

El número de horas que se requiere para cada unidad de los productos respectivoses:

Tipo de Máquina Producto 1 Hrs/ unid

Producto 2 Hrs/ unid

Producto 3 Hrs/ unid

Fresadora 9 3 5 Torno 5 4 0 Rectificadora 3 0 2

El departamento de ventas ha indicado que la demanda total de los productos 1 y 2 noexceden las 50 unidades. Además se sabe que la demanda ala semana del producto 3 esde 20 unidades. Por otro lado el costo unitarios de fabricación de los productos 1, 2 y 3son de $20, $5 y $ 5. Los ingresos por ventas son de $70, $25 y $30 para el producto 1, 2y 3 respectivamente. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

Respuestas

1) Se deben producir 0 cantidad del primer producto y del segundo producto113


133

para que la ganancia sea máxima.

2)Para obtener el máximo de ingreso se deben producir 480 botes para 4 personas o 480 botes para 2 personas y 240 botes para 4 personas.

3) Región de confianza limitada por los puntos ( 0 , 42 ) , ( 4, 22 ) y ( 15 , 0 ).

4) El valor mínimo de la función es 56. Corresponde a 4 e , es decir, aB œ C œ # 4 unidades de A y 2 unidades de B. Tales cantidades de A y B proporcionan un total de calorías y proteínas de acuerdo a las exigencias planteadas.

5) 85 cuando y 10. deben fabricarse 15 unidades delD œ B œ "& B œ" #

producto A y 10 unidades del producto B. 100% de uso de ambos departamentos.

6) : Cantidad de producto tipo i a fabricarB3

: 1, 2, 33 Max: D œ "!B 'B %B" # $

S/a: 100B B B Ÿ" # $

600"!B %B &B Ÿ" # $

300#B #B 'B Ÿ" # $

0B 3

7) : Cantidad de producto tipo i a fabricarB3

: 1, 2, 33 Max: D œ &!B #!B #&B" # $

S/a: 500*B $B &B Ÿ" # $

350&B %B Ÿ" #

150$B #B Ÿ" $

50B B Ÿ" #

20B $

0B 3


134


"Þ Una compañía posee una pequeña fábrica donde se elaboran dos tipos de pinturas,una para exterior y la otra para interior, en la fabricación de la pintura se utilizan dosmaterias primas A y B.Los requerimientos diarios por tonelada de producto final se indican en la tabla siguiente:

Materia Prima Pintura Exterior Pintura Interior

Disponibilidad Diaria

A 1 (ton Pintura/ton M.P.) 0,5(ton Pintura/ton M.P.)

6 (ton M.P./día)

B 0,5 (ton Pintura/ton M.P.) 1 (ton Pintura/ton M.P.)

8 (ton M.P./día)

Utilidad 3.000 ($/unidad) 2.000 ($/unidad)

Un estudio de mercado indica que la demanda diaria de pintura interior no superará lademanda diaria de pintura exterior por más de una tonelada. El estudio indica que lademanda por pintura interior no superará las dos toneladas.

Formule el problema y resuélvalo por el método gráfico.

Res.: B œ %ß '(à C œ &ß '(ß D œ #&Þ$&!


135

Módulo

H1____________________________

Explicar y resolver problemasmediante el teorema de Pitágoras.____________________________

_________________________________________________________ Teorema de Pitágoras

Tu puedes ver como al construir una casa el trazado se hace ocupándose en que lasparedes queden perpendiculares, si aplicamos el teorema de Pitágoras, esto resulta enforma bastante rápida y confiable.

- Explicar el teorema de Pitágoras- Resolver problemas con el teorema de Pitágoras.


136

Ê Teorema de Pitágoras

Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C.,residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia.De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoylleva su nombre:

Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de90 grados ("ángulo recto"), tenemos que+ , œ -# # #

Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas secruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también sepuede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulosatisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados y debe ser de 90 grados.+ ,Por ejemplo, un triángulo con los lados , , (pulgadas, pies, metros,... lo+ œ $ , œ % - œ &que sea) es rectángulo porque

+ , œ $ % œ -# # # # # * "' œ -#

#& œ -#

Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3,4,5) y usarlo(mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día losalbañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear unaesquina.

Teorema de Pitágoras:

Sea ABC un triángulo rectángulo en y sean los lados y catetos del triángulo y seaG + ,el lado ( frente al ángulo recto) a quién llamaremos hipotenusa.-

Se tiene : c = a + b 2 2 2


137

Ejemplos: Para cada triángulo rectángulo determine el lado que falta. aÑ

B œ $ %# # #

B œ * "'#

B œ #&# È B œ &

b)

"$ œ B &# #2

"'* œ B #&2

"'* #& œ B2

"%% œ B2

"# œ BEjercicios1)Un albañil apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. El pie de la escalera estáa 2m del muro. Calcula a que altura se encuentra la parte superior de la escalera.

2)Los lados de una plaza rectangular mide 48 m y 64m. Si queremos recorrer la máximadistancia sin cambiar de dirección. ¿Cómo lo harías?. Calcula esa distancia.Recordemos que en un triángulo rectángulo se verifican las siguientes relacionesgeométricas.

1) 90º de donde = 90º ! " " ! œ

2) ( teorema de Pitágoras).- œ + ,2 2 2


138

Conceptos Previos:

1) es todo ángulo cuyo vértice coincide con el origen de unÁngulo en posición normal Àsistema de coordenadas rectangulares en donde el coincide con el eje positivolado inicialde las X y el queda ubicado en algún cuadrante.lado terminal

2) es un número real que representa cuantas veces debe rotar el ladoMedida del ángulo Àinicial para coincidir con el lado terminal. Si la rotación es antihorario, el ángulo tieneuna medida positiva y si la rotación es en sentido horario, la medida del ángulo esnegativa. Para medir ángulos se usan principalmente el y el sistema sexagesimal sistemaradian.

3) es la medida del ángulo del centro de una circunferencia queUn grado sexagesimal Àsubtiende un arco de longitud de la longitud de la circunferencia."

$'!

4) es la medida de un ángulo del centro de una circunferencia que subtiendeUn radián Àun arco igual al radio de la circunferencia.


139

Relación entre el Sistema Sexagesimal y el Sistema Radián.

Dado un ángulo cualquiera este se puede expresar en grados sexagesimal o en radianes;la relación entre dichos sistemas está dada por:

360º = 2 rad1

Luego:

180º °

rad1 !

!œ

con º ángulo medido en grados;! œ rad ángulo medido en radianes! œ

Ejemplos:

1) 540º 3 radœ 1

2) 90º rad2

œ1

3) 30º rad6

œ1

4) 120º rad23

œ1

5) 60º rad3

œ1

6) 45º rad4

œ1


140

Ejercicios propuestos

Transformar a radianes À

+Ñ ,Ñ #(!15° °

-Ñ "$& .Ñ $#!° °

Transformar a grados À

+Ñ ,Ñ" &

# %1 1

-Ñ .Ñ" &

' $1 1

Soluciones

I 1 312 2

+Ñ ,Ñ1 1

3 164 9

-Ñ .Ñ1 1

II

+Ñ ,Ñ90º 225

-Ñ .Ñ30º 300


141

Módulo

H2_____________________________

Explicar funciones trigonométricas_____________________________

_________________________________________________________ Funciones Trigonométricas

Si por ejemplo deseas calcular la altura de un edificio, conociendo la sombra queproyecta y el ángulo de inclinación desde el suelo al extremo superior del edificio teserán útiles las funciones trigonométricas

- Explicar funciones trigonométricas- Aplicar las distintas funciones trigonométricas a situaciones reales.


142

Ê Funciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo

La trigonometría, se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.

Para iniciarnos en éste capítulo primeramente hablaremos de un tipo especial detriángulo, el rectángulo, para luego generalizar con los distintos tipos de triángulos.

Definiciones:

Seno de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. El senodel ángulo se abrevia así: =/8

; =/8 œ =/8 œ+ ,

- -! "

Coseno de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Elcoseno del ángulo se abrevia así:-9=

; -9= œ -9= œ, +

- -! "

Tangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el catetoadyacente. Para un ángulo se abrevia así>1 À

; >1 œ >1 œ+ ,

, +! "

Como consecuencia inmediata de éstas definiciones se obtienen las relaciones tambiénllamadas recíprocas.

Cotangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el catetoopuesto. Para un ángulo se abrevia :-9>1

; -9>1 œ -9>1 œ, +

+ ,! "

Secante de un ángulo: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, lasecante del ángulo se abrevia . Para el ángulo y se obtiene respectivamente:=/- ! "

; =/- œ =/- œ- -

, +! "

podemos decir también que :

1

=/- œ

-9=!

!

Cosecante de un ángulo: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.La cosecante del ángulo se abrevia . Para el ángulo y se tienen-9=/- ! "respectivamente:


143

; -9=/- œ -9=/- œ- -

+ ,! "

podemos decir también que:

1

-9=/- œ

=/8!

!De lo anterior resulta: =/8 œ -9=! " -9= œ =/8! " >1 œ -9>1! " -9>1 œ >1! "

Pero = 90 . Luego, podemos escribir la siguiente conclusión importante:" !

=/8 œ -9= -9= œ =/8 >1 œ -9>1 -9>1 œ >1

(90 ) (90 )

(90 ) (90 )

! !! !! !! !

Nota: La función de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su complemento.

Ejemplos :+ -9= œ =/8) 70º 20º, -9> œ >1) 25º 65º-) Los catetos de un triángulo rectángulo en C miden 15 cm y 20cm. Calcule las

funciones de los dos ángulos agudos.

Solución À -Primeramente se calcula la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras.


144

Luego:

20 cm 4 15 cm 325 cm 5 25 cm 5

=/8 œ œ =/8 œ œ! "

15 cm 3 20 cm 425 cm 5 25 cm 5

-9= œ œ -9= œ œ! "

20 cm 4 15 cm 315 cm 3 20 cm 4

>1 œ œ >1 œ œ! "

15 cm 3 20 cm 420 cm 4 15 cm 3

-9>1 œ œ -9>1 œ œ! "

25 cm 5 25 cm 520 cm 4 15 cm 3

-9=/- œ œ -9=/- œ œ! "

25 cm 5 25 cm 515 cm 3 20 cm 4

=/- œ œ =/- œ œ! "

Nota À Si se desea calcular los valores de y basta saber por ejemplo! "que si se aplica (0, 8) 53, 13º . De igual forma si se sabe=/8 œ !ß ) =/8 œ œ! ! 1

que À 0, 6 se tiene que (0, 6) 36,87° .=/8 œ =/8 œ œ" " 1

Recuerde que 90º; el valor de pudo obtenerse reemplazando en! " " ! œ 90 36, 87º" !œ œ

Ejemplos: ¿ Cuál es la altura de un edificio si la visual dirigida al borde del techo, desdeuna distancia de 40 m de la pared, mide 38º?

Solución À Veamos el dibujo que representa la situación:

Conocemos el ángulo y el cateto adyacente a él, teniendo como incógnita el lado opuestoal ángulo; la función que relaciona a éstos tres elementos es el de tangente;luego:


145

38º>1 œB

%! 38º m.%! >1 œ B Ê B œ $"ß #&

Signos de las Funciones:Dado un circunferencia unitaria radio igual uno , laa bdividiremos en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Según estas características de las funciones seno, coseno y tangente es posible observarlo siguiente À

Ubicación PIIIIIIIV

a b! ! ! !-9= =/8 >1

Como P , entoncesa b a b a b a b! ! ! ! !œ -9= ß =/8 À -9= =/8 œ "# #

-9= =/8 œ " B C œ "# # # #! ! a bValores de las funciones coseno,seno y tangente para ángulos de !ß ß ß ß #

" $

# #1 1 1 1


146

P! ! ! ! !

1

1

1

1

a ba ba ba ba ba b

-9= =/8 >1! "ß ! " ! !"

#!ß " ! " _

"ß ! " ! !$

#!ß " ! " _

# "ß ! " ! !

Se ha indicado los signos de los puntos P ubicados en los distintos cuadrantes, quea bBß Ctambién corresponden a los signos de las funciones trigonométricas coseno, senorespectivamente, así tenemos:Si el ángulo tiene su lado terminal en el segundo cuadrante, determinaremos cuanto nosfalta para completar 180º, preocupándonos además del signo que le corresponde a lafunción en dicho cuadrante, es decir:

sen ( 180 ) y cos(180 )! ! ! !œ =/8 -9= œ Ejemplos : 150º 30º =/8 œ =/8 œ "

#

120º 60° -9= œ -9= œ "#

tg 135º tg 45º 1œ œ Si el ángulo tiene su lado terminal en el tercer cuadrante determinaremos cuán superior a180º es el ángulo, es decir. ( 180º )=/8 œ =/8 ! ! ( 180º )-9= œ -9= ! !Nota: con 180º.! Ejemplos: 210º 30º = =/8 œ =/8 "

#

225º 45º 1>1 œ >1 œ

Si el ángulo tiene su lado terminal en el cuarto cuadrante determinaremos cuanto nosfalta para completar 360º. Así se tiene que: (360 )=/8 œ =/8 ! ! (360 )-9= œ -9= ! !

Ejemplos: 300º 60º =/8 œ =/8 œ

È $#

330º 30º -9= œ -9= œÈ$#

15º 45º =/- œ =/- œ #

#È

300º 60º -9>1 œ -9>1 œ È $$


147


Resolver sin calculadora: ) º º º" =/8"#! -9="#! #-9=/- "&! œ

) º º º # -9=#"! =/- #%! $>1##& œ

) º º $ =/8$$! -9>1 $"& -9=$!! œ

) º º º% =/8"&! $>1 $"& (-9=/- #"! œ

) º 2 º

º º& œ

=/- $"& -9="&!

# -9>1 ##& $>1 $"&

) º º

º º' œ

-9=/- $$! &=/8#%!

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Soluciones

)

"$ (

#

È

)

## $

#

È ) $ ! ) % "

) & # $È È ) ' % & $È


148

Ê Aplicación

Ángulos de Depresión y Elevación

Un ángulo de depresión es aquel que se forma desde la línea de vista horizontal delobservador hasta un objeto abajo de ésta. El ángulo de elevación es aquel que se formadesde la línea de vista horizontal del observador hasta un objeto situado arriba de ésta.En la figura el ángulo de depresión del punto A al punto B es y el ángulo de elevación!del punto B al punto A es . Dado que ambos ángulos se miden a partir de las líneas"horizontales, las cuales son paralelas, la línea de vista AB es transversal, y como losángulos opuestos internos de dos líneas paralelas son iguales .! "œ

Ejemplo:De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un botees de 15º ¿ A que distancia está el bote del faro?Þ

Solución ÀConocemos el ángulo(15°) ,el lado opuesto al ángulo y desconocemos el catetoadyacente, la función trigonométrica que relaciona estos valores es la función tangente,Obteniéndose:


149

15º 447, 846>1 œ Í B œ œ120 120 15ºB >1

Ejemplo: Encuentre la altura de un poste, si el ángulo de elevación de su partesuperior cambia de 18º a 39º. Cuando el observador avanza 21 m.

Solución:

En el triángulo rectángulo ABC, 18º ; luegoABCB

-9>1 œ

AC CB 18º ó bién DC + 20 = CB 18º.œ † -9>1 † -9>1

En el triángulo DBC; 39º = ; luego DC = CB 39º.DCCB

-9>1 -9>1

Se tiene : DC = CB 18 20 CB 39º; es decir :-9>1 œ -9>1 CB 18º CB 39º 20 -9>1 œ

CB ( 18º 39º) 20-9>1 -9>1 œ

CB20

18º 39º œ

-9>1 -9>1

CB 10, 85 m.20

3, 077 1, 234 œ œ

Luego À DC = 10,85 cot39º = 13, 39 m.† La altura del árbol apróximadamente es de 10, 85.


150

Ejemplos : ¿Qué longitud debe tener una escalera tal que inclinada respecto al terreno enun ángulo de 72º alcanza hasta el borde de una ventana ubicada a 8 mts de altura?.

Solución:

72º8

=/8 œB

8 8 72º 0, 95106

B œ œ=/8

8, 41.B œ


151


1) Un árbol de 30 metros de alto arroja una sombra de 36 metros de largo.Hallar el ángulode elevación del sol.

2) Cuando el sol está 20º sobre el horizonte. ¿ Qué largo tiene la sombra que proyectaun edificio de 45 metros de alto?

3) De lo alto de un faro que emerge 36 metros sobre el mar, el ángulo de depresión de unbote es de 15º.¿A qué distancia está el bote del faro ?.

4) Un hombre conduce durante 150 metros a lo largo de una vía inclinada 20º sobre lahorizontal. ¿A qué altura se encuentra sobre su punto de partida?

5) Un árbol quebrado por el viento forma un triángulo rectángulo con el suelo. Si laparte quebrada hace un ángulo de 50º con el suelo y si la copa del árbol esta ahora a 6metros de su base. ¿Qué altura tenía el árbol?.

6) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del más bajo de 12 metrosde alto, el ángulo de elevación del borde del techo del más alto es de 40º. ¿ Cuál es la altura del edificio más alto.?

7) Dos caminos rectos se cortan bajo un ángulo de 75º . Hallar la mínima distancia deuno de ellos a una estación de gasolina que está sobre el otro a 300 metros del cruce.

Soluciones:

1) El ángulo de elevación es de 40º.

2) El largo de la sombra del edificio es de 124 metros.

3) La distancia del bote al faro es de 134 metros.

4) La altura corresponde a 51 metros.

5) La altura del árbol es de 16,8 metros.

6) La altura del edificio mas alto corresponde a 27 metros.

7) La mínima distancia corresponde a 291 metros.


152

Módulo

H3_________________________

Explicar y aplicar los teoremasseno y coseno_________________________

_________________________________________________________ Teoremas del Seno y del Coseno

Tu puedes emplear estos teoremas, en situaciones en los que desees conocer ángulos odistancias, en donde al trazar las distancias, estas no son perpendiculares.

- Explicar teoremas del seno y del coseno- Aplicar los distintos teoremas en la solución de problemas de situaciones reales.


153

Ê Teoremas el seno y del coseno

Teorema del seno

En todo triángulo ABC de ángulos , y se cumple! " #

+ , -

=/8 =/8 =/8œ œ

! " #

Ejemplo : ¿Cuál es la altura de un cerro si las visuales dirigidas a la cumbre desde dospuntos situados a 100 metros forman respectivamente con la horizontal un ángulo de 30ºy 50º.

Se sabe que el ángulo ACB = 20º; pués 20º + 30º = 50º

= z 100sen 30º sen 20º

100

0, 342D œ †

"

# 146, 2 metros.D œ Por otra parte en el triángulo BDC se tiene:


154

sen 50º = h = 146,2 sen 50ºB

DÍ †

h = 112 metros.

Teorema del coseno

En todo triángulo ABC de ángulos , y se cumple! " #

+ œ , - #,- -9=# # # ! , œ + - #+- -9=# # # " - œ + , #+, -9=# # # #

Ejemplo : Un avión está a 150 Km. de una estación de radar y se desplaza con rumbo NEde 50°, un segundo avión está a 220 Km. de la estación y vuela con rumbo SE de 70°.¿Cuál es la distancia entre los dos aviones?.

Por teorema del coseno À

a b a b a b a ba ba ba bAB ° AB# # #œ "&! ##! # "&! ##! -9= (! Ê œ #"*ß )$Los dos aviones están separados por 219,83 Km.


155

Ejemplo:Un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a ladosopuestos. los ángulos que forman los tirantes con el suelo son 28° y 48°. Si la distanciaentre las cuñas es de 50 m. ¿Cuánta cantidad de cable se ha gastado? ¿Cuál es la alturadel mástil?

Por teorema del seno À

, &! &! =/8 %)

=/8%) =/8 "!% =/8 "!%œ Ê , œ Ê , œ $)ß #*

° ° °°

+ &! &! =/8 #)

=/8#) =/8 "!% =/8 "!%œ Ê + œ Ê + œ #%ß "*

° ° °°

En triángulo CDB À

=/8 %) œ Ê #%ß "* Ð=/8 %) Ñ œ 2 Ê "(ß *( œ 22

#%ß "*° °a b

Se ha gastado metros de cable.'#ß %)

El mástil mide metros de alto."(ß *(


156


"ÑUn piloto vuela desde A, 125 Km en la dirección NO 38º y regresa.Por un error, el

piloto vuela 125 Km en la dirección SE 51º.¿A qué distancia quedó de A y en que

dirección debe volar para regresar al punto de partida ?.

# =) AB son dos puntos de orilla opuestas de un río. Desde A se mide una base recta

AC=275 metros y se miden los ángulos CAB = 125º y ACB = 49º. Hallar la longitud de

AB.

$) Una torre de 125 metros de altura está sobre una roca en la orilla de un río. Desde lo

alto de la torre el ángulo de depresión de un punto de la orilla opuesta es de 29º y desde

la base de la torre el ángulo de depresión del mismo punto es de 18º. Hallar el ancho del

río y la altura de la roca.

Soluciones

1) El piloto debe volar en dirección SO 45, 72º una distancia de 28,3 Km para

llegar de C a A.

#Ñ La longitud de AB corresponde a 1986 metros.

$) El ancho del río posee 544 metros .

La roca posee una altura de 177 metros.


157


1.- Pasar de sistema sexagesimal a radian ó viceversa.

a) 215°

b) 41

c) &%1

d) 230 °

Res: a) 1.9444 b) 720° c) 225° d) 1.27771 1

2.- En la siguiente figura se tiene un cable con una peso justo en la mitad de este. Se

quiere saber cual debe ser el desplazamiento desde el poste, en forma horizontal, al peso

del cable.

80 cm

15 mts

x

Res: 12.2975 mts.

algebra aplicada 1

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