ÁLGEBRA I

-Relación-RelaciónRelación inversaRelación inversa

Tipos de relacionesTipos de relaciones

Relación inversa

DefiniciónDefinición: Si R es una relación inversa : Si R es una relación inversa definida en un conjunto A, se llama relación definida en un conjunto A, se llama relación inversa de R al conjunto R-1 al conjuntoinversa de R al conjunto R-1 al conjunto

R-1 = R-1 = {(y;x)/(x;y) {(y;x)/(x;y) R}R}

Ejemplos: Ejemplos:

a) Si A = {0,1,2 } y R = {(0;2) , (1;0) , (2;1) }a) Si A = {0,1,2 } y R = {(0;2) , (1;0) , (2;1) }

R-1 = {(2; 0) , (0; 1) , (1; 2) }R-1 = {(2; 0) , (0; 1) , (1; 2) }

Ejercicio de clase

Si A = Si A = {1,2,3} y R: (x;y) / y {1,2,3} y R: (x;y) / y x x

R = R = {(1,2) , (1,3) , (2,3)}{(1,2) , (1,3) , (2,3)}

Luego R-1, por definición será:Luego R-1, por definición será:

R-1 = {(2, 1) , (3, 1) , (3, 2)}R-1 = {(2, 1) , (3, 1) , (3, 2)}

En símbolos: R-1: (y; x) / y En símbolos: R-1: (y; x) / y x x

TIPOS DE RELACIONES

Las relaciones definidas en un conjunto Las relaciones definidas en un conjunto pueden cumplir o no las propiedades ya pueden cumplir o no las propiedades ya descriptas. Las relaciones más usuales en descriptas. Las relaciones más usuales en matemática son:matemática son:

Las relaciones de equivalenciaLas relaciones de equivalencia Las realciones de orden Las realciones de orden Las relaciones funcionales o aplicaciones.Las relaciones funcionales o aplicaciones.

RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Definición: una relación R en un conjunto A es de Definición: una relación R en un conjunto A es de equivalencia si y sólo sí es reflexiva, simétrica y equivalencia si y sólo sí es reflexiva, simétrica y transitiva.transitiva.

O sea, una relación bianria R (simbolizada O sea, una relación bianria R (simbolizada ~)~)

en un conjunto A es una relación de equivalencia en un conjunto A es una relación de equivalencia

sí y sólo si posee las siguientes propiedades: sí y sólo si posee las siguientes propiedades:

E1: a E1: a A A a ~ a a ~ a

E2: a ~ b E2: a ~ b b ~ a b ~ a

E3: (a ~ b E3: (a ~ b b ~ c ) b ~ c ) a ~ c a ~ c

Ejemplo La relación de “La relación de “congruencia módulo ncongruencia módulo n” para n ” para n

número natural, definida en el conjutno de los número natural, definida en el conjutno de los números enteros, es una relación de equivalencia.números enteros, es una relación de equivalencia.

Se dice que dos números son congruentes módulo Se dice que dos números son congruentes módulo n o que pertenecen a la misma clase residual n o que pertenecen a la misma clase residual módulo n cuando tienen el mismo resto en la módulo n cuando tienen el mismo resto en la división por n. Y se escribe: a división por n. Y se escribe: a b (n b (n

“ “ a es congruente módulo n con b”a es congruente módulo n con b” Sea Z el conjunto de los enteros y a Sea Z el conjunto de los enteros y a c(3 c(3 a – b = 3q con q a – b = 3q con q Z Z

Demostración

E1: E1: a a Z, a – a = 0 Z, a – a = 0 a a a(3 a(3

E2: E2: a a Z, Z, b b Z, a – b Z, a – b 3q 3q

b – a = 3 (-q) o sea a b – a = 3 (-q) o sea a b(3 b(3 b b a(3 a(3

E3: E3: a a Z, Z, b b Z, Z, c c Z, ( Z, (a – b = 3q a – b = 3q b – c = 3q’ ) b – c = 3q’ ) a – c = 3(q + q’) = 3 h a – c = 3(q + q’) = 3 h

o sea ( a o sea ( a b(3 b(3 b b c(3 ) c(3 ) a a c(3 c(3

Clases de Equivalencia y conjunto cociente

Ya se ha probado que la relación de Ya se ha probado que la relación de congruencia módulo n, definida sobre el congruencia módulo n, definida sobre el conjunto Z de los enteros, es una relación conjunto Z de los enteros, es una relación de equivalencia.de equivalencia.

Si se considera en especial la congruencia Si se considera en especial la congruencia módulo 3, esta relación produce una módulo 3, esta relación produce una partición del conjunto Z en tres clases no partición del conjunto Z en tres clases no vacìas y disjuntas: vacìas y disjuntas:

Clases de equivalencia:

Z 0 = Z 0 = ..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, ......, -9, -6, -3, 0, 3, 6, ... Z 1 = Z 1 = ..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, ......, -8, -5, -2, 1, 4, 7, ... Z 2 = Z 2 = ..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, ......, -7, -4, -1, 2, 5, 8, ... Se observa que cada número entero pertenece a uno y Se observa que cada número entero pertenece a uno y

sólo uno de estos subconjuntos de Z y que la unión sólo uno de estos subconjuntos de Z y que la unión de Z0, Z1 y Z2 es el conjunto Z.de Z0, Z1 y Z2 es el conjunto Z.

El conjunto formado por estas tres clases de El conjunto formado por estas tres clases de equivalencia es el conjunto cociente de Z sobre la equivalencia es el conjunto cociente de Z sobre la congruencia módulo 3, y se indica Z/congruencia módulo 3, y se indica Z/

CONCEPTOS Clase de Equivalencia

Definición: Si A es un conjunto, Definición: Si A es un conjunto, ~ una ~ una relación de equivalencia definida en A y a relación de equivalencia definida en A y a un elemento cualquiera de A, entonces Ca es un elemento cualquiera de A, entonces Ca es una clase de equivalencia en A, respecto de una clase de equivalencia en A, respecto de la relación ~, si y sólo si Ca es el la relación ~, si y sólo si Ca es el subconjunto de A formado por todos los subconjunto de A formado por todos los elementos de A equivalentes al elemento a.elementos de A equivalentes al elemento a.

Ca = {x / x Ca = {x / x A A x ~ a} x ~ a}

Conjunto Cociente

A/~ es el conjunto cociente del conjunto A A/~ es el conjunto cociente del conjunto A sobre la relación de equivalencia definida sobre la relación de equivalencia definida en A, sí y sólo si es el conjunto de todas las en A, sí y sólo si es el conjunto de todas las clases de equivalencia determinadas sobre clases de equivalencia determinadas sobre A por dicha relación.A por dicha relación.

A/~ = {Ka , Kb, ..., Kn}A/~ = {Ka , Kb, ..., Kn}

PARTICIÓN DE UN CONJUNTO

Una relación de equivalencia produce una Una relación de equivalencia produce una partición del conjunto A si y sólo si:partición del conjunto A si y sólo si:

1) A es la unión de las clases de 1) A es la unión de las clases de equivalenicaequivalenica

2) Las clases de equivelencias son disjuntas 2) Las clases de equivelencias son disjuntas de a pares.de a pares.

3) Las clases de equivelencias son no 3) Las clases de equivelencias son no vacías. vacías.

Relaciones funcionales

Definición:Definición:

Una relación Una relación f f entre elementos de un conjunto A y entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B es una función o elementos de un conjunto B es una función o aplicación de A en B si y sólo si, verifica las aplicación de A en B si y sólo si, verifica las siguientes condiciones:siguientes condiciones:

1º) Condición de Existencia:1º) Condición de Existencia:

x x A, A, y y B / (x ; y) B / (x ; y) f f 2º)Condición de Unicidad:2º)Condición de Unicidad:

(x ; y) (x ; y) f f (x ; z) (x ; z) f f y = z y = z

Situación Una fábrica de impresoras quiere lanzar al Una fábrica de impresoras quiere lanzar al

mercado un nuevo modelo. Para ello realiza un mercado un nuevo modelo. Para ello realiza un estudio y se determina que la ganancia estudio y se determina que la ganancia

( en miles pesos) está dada por el precio de venta (en ( en miles pesos) está dada por el precio de venta (en pesos) y esta relación viene establecida por la pesos) y esta relación viene establecida por la siguiente fórmula: g(p) = -4 ( p – 250) + 10000, siguiente fórmula: g(p) = -4 ( p – 250) + 10000, donde representa el precio de venta.donde representa el precio de venta.

a)a) ¿ A qué precio conviene vender las impresoras ¿ A qué precio conviene vender las impresoras para obtener la máxima ganancia?para obtener la máxima ganancia?

b)b) ¿Existe algún precio para el cual no hay ¿Existe algún precio para el cual no hay ganancia’ganancia’

Las funciones

Las funciones son una herramienta útil para Las funciones son una herramienta útil para describir, analizar e interprestar situaciones describir, analizar e interprestar situaciones provenientes de la Matemática misma y de provenientes de la Matemática misma y de otras ciencias. Hemos analizado el concepto otras ciencias. Hemos analizado el concepto de función y daremos lugar al estudio de las de función y daremos lugar al estudio de las diferentes formas de representación. diferentes formas de representación. Además, estudiaremos algunas propiedades Además, estudiaremos algunas propiedades de las funciones a través de sus gráficos.de las funciones a través de sus gráficos.

Es la pregunta con que inicia el estudio de Es la pregunta con que inicia el estudio de las “funciones” el gran matemático Miguel las “funciones” el gran matemático Miguel de Guzmán, y continúa proponiéndonos las de Guzmán, y continúa proponiéndonos las siguientes situaciones:siguientes situaciones:

El precio del transporte depende del precio El precio del transporte depende del precio del combustible.del combustible.

El volumen que ocupa un gas depende de la El volumen que ocupa un gas depende de la presión a la que es sometido.presión a la que es sometido.

La presión atmósférica depende de la alturaLa presión atmósférica depende de la altura

Planteamientos al abordar las funciones

Las preguntas que podríamos Las preguntas que podríamos hacernos al abordar este concepto hacernos al abordar este concepto podrían ser, entre otras, las podrían ser, entre otras, las siguientes:siguientes:

¿Qué tipos de funciones son las que necesitamos conocer?

¿Para qué valores de la variable independiente resulta que la

variable dependiente va creciendo o decreciendo...?

¿Cómo es el crecimiento de la función rápido, lento, ...? ¿Cómo

medir el crecimiento’

¿ Qué representación se les puede dar para hacernos una mejor idea

de sus características y de su significado?

Escribe ahora aquellas preguntas que vos quieras plantear o que

vos te harías

Preguntas de los alumnos de Tecnología referidas al tema… No sé que preguntarNo sé que preguntar No me animo a preguntarNo me animo a preguntar Me da vergüenzaMe da vergüenza Por qué son dos las variables en una Por qué son dos las variables en una

función?función? Qué utilidades dan los profesores de Qué utilidades dan los profesores de

tecnología a las funciones?tecnología a las funciones? ……

Veamos algunos casos

Y sus diferentes representacionesY sus diferentes representaciones

Representación Verbal

““Se deja caer una piedra desde el techo de un Se deja caer una piedra desde el techo de un edificio que mide 80 m de altura y se quiere edificio que mide 80 m de altura y se quiere describir còmo varìa la altura de la piedra en describir còmo varìa la altura de la piedra en relación con el tiempo, es decir, desde que relación con el tiempo, es decir, desde que comienza a caer hasta que toca el suelo.”comienza a caer hasta que toca el suelo.”

Como en cada instante Como en cada instante tt la piedra se encuentra a la piedra se encuentra a una ùnica altura una ùnica altura hh del suelo, se dice que la relación del suelo, se dice que la relación entre entre hh y y tt es una función, o que es una función, o que hh es fucnión de es fucnión de tt..

Representación algebraica

La física ha adoptado de la matemática un modelo La física ha adoptado de la matemática un modelo que se adapte para describir la caída libre de los que se adapte para describir la caída libre de los cuerpos a través de la fórmula:cuerpos a través de la fórmula:

h(t) = hh(t) = h00 + v + v00 . t – ½ g t . t – ½ g t22

Donde h0 y v0 son parámetros: el primero Donde h0 y v0 son parámetros: el primero representa la altura desde donde es lanzado un representa la altura desde donde es lanzado un cuerpo, y el segundo, la velocidad con la que el cuerpo, y el segundo, la velocidad con la que el cuerpo es arrojado; g es una constante que cuerpo es arrojado; g es una constante que representa la aceleración de la gravedad.representa la aceleración de la gravedad.

Representación gráfica

Representación algorítmica

Se trata, entonces, de encontrar una fórmula Se trata, entonces, de encontrar una fórmula que permita calcular para cada valor de t, el que permita calcular para cada valor de t, el único valor de h que le corresponde. único valor de h que le corresponde.

Si hSi h00 = 80m ; v = 80m ; v00 = 0, porque la piedra se = 0, porque la piedra se

deja caer a partir del reposo, y ½ . g deja caer a partir del reposo, y ½ . g 5 5

la expresión algebraica buscada será: la expresión algebraica buscada será:

h(t) = 80 – 5 . th(t) = 80 – 5 . t22

Funciones que se obtienen experimentalmente

Representación verbal o coloquial

Representación por tabla (registro tabla)

Representación gráfica

Relaciones entre variables

Para describir una relación entre dos variables x e y, Para describir una relación entre dos variables x e y, utilizando una función, es necesario encontrar una utilizando una función, es necesario encontrar una ley que asigne a cada valor de x ( variable ley que asigne a cada valor de x ( variable independiente), un único valor de y (variable independiente), un único valor de y (variable dependiente).dependiente).

En la situación de caída libre –de la piedra- En la situación de caída libre –de la piedra- tt es la es la variable independiente, variable independiente, hh es la variable dependiente, es la variable dependiente, y la fórmula y la fórmula h(t) = 80 – 5th(t) = 80 – 5t22 es la ley o propiedad que es la ley o propiedad que asigna a cada valor de asigna a cada valor de tt un único valor de un único valor de hh..

Más definiciones

Una función f queda determinada por:Una función f queda determinada por: Un conjunto A llamado dominio.Un conjunto A llamado dominio. Un conjunto B llamado codominio.Un conjunto B llamado codominio. Una ley que asocia a cada elemento x del Una ley que asocia a cada elemento x del

conjunto A un único elemento de B.conjunto A un único elemento de B.

Veamos esto gráficamente:Veamos esto gráficamente:

Dominio y Codominio

Análisis de los conceptos

Esta definición incluye conjuntos de elementos Esta definición incluye conjuntos de elementos cualesquiera, numéricos o no numéricos, y abarca cualesquiera, numéricos o no numéricos, y abarca tanto la ley de correspondencia como los tanto la ley de correspondencia como los conjuntos en los que toman sus valores las conjuntos en los que toman sus valores las variables.variables.

De acuerdo con esta definición, dos funciones son De acuerdo con esta definición, dos funciones son iguales sicoinciden su dominio, su codominio y la iguales sicoinciden su dominio, su codominio y la ley de correspondencia que relaciona los ley de correspondencia que relaciona los elementos de ambos conjuntos.elementos de ambos conjuntos.

El dominio

El El dominiodominio de una función es el conjunto de una función es el conjunto formado por todos los valores que toma la formado por todos los valores que toma la variable independiente variable independiente xx y se simboliza y se simboliza

Dom(Dom(ff) ) En la situación 1, de la piedra, el dominio En la situación 1, de la piedra, el dominio

de la función es el intervalo de la función es el intervalo 0 ; 40 ; 4

El codominio

El El codominiocodominio de una función de una función f f es un es un conjunto que contiene a todos los valores conjunto que contiene a todos los valores que puede tomar la función.que puede tomar la función.

Las funciones estudiadas, en este curso, Las funciones estudiadas, en este curso, tendrán como dominio al conjunto de los tendrán como dominio al conjunto de los números números RR o a un subconjunto del mismo, y o a un subconjunto del mismo, y como codominio igual a como codominio igual a R.R.

Imagen de una función

Cada elemento Cada elemento yy está asociado a un elemento está asociado a un elemento xx del dominio de del dominio de ff, se llama imagen de , se llama imagen de xx y se escribe y se escribe f(x)f(x) (se lee “efe de x”). (se lee “efe de x”).

En la situación 1, el valor h = 0 está asociado a t = 4, que es un En la situación 1, el valor h = 0 está asociado a t = 4, que es un elemento perteneciente al dominio de la función; 0 es la imagen elemento perteneciente al dominio de la función; 0 es la imagen de 4 y se escribe h(4).de 4 y se escribe h(4).

El conjunto formado por todas las imágenes de los elementos El conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio de f se llama imagen de f y se simboliza Im(f). del dominio de f se llama imagen de f y se simboliza Im(f). observemos que la imagen está contenida en el codominio.observemos que la imagen está contenida en el codominio.

En la situación 1, la imagen de la función es el intervalo En la situación 1, la imagen de la función es el intervalo 0 ; 800 ; 80

Después de los estudiado hasta aquí.......

Veamos algunas cuestionesVeamos algunas cuestiones