algebra intermedia[1]

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA

CALIFORNIA

ÁLGEBRA INTERMEDIA II

GUÍA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO PARA EL DESARROLLO DECOMPETENCIAS

SEXTO SEMESTRE

FEBRERO DE 2012

COLEGIO DE BACHILLERESDEL ESTADO DE BAJACALIFORNIA

LIC. RAFAEL AYALA LÓPEZDIRECTOR GENERAL

ING. ANA LILIA MARTÍNEZ MUÑOZDIRECTORA DE PLANEACIÓN ACADÉMICA

Edición, febrero de 2012

Diseñado por: Mtro. Rafael Iván Ayala FigueroaArq. Juan Ramón Islas SambranoLic. Irma González CarriónMtro. José Alejandro Andalón Estrada

La presente edición es propiedad delColegio de Bachilleres del Estado deBaja California, prohibida la reproduccióntotal o parcial de esta obra.

En la realización del presente material, participaron: JEFE DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADESEDUCATIVAS, Teresa López Pérez; COORDINACIÓN DE EDICIÓN, Roque Juan Soriano Moreno;EDICIÓN, Elvia Munguía Carrillo.

PRESENTACIÓN INSTITUCIONAL

Impartir educación de calidad del nivel medio superior, con un enfoque humanista,propedéutico y de capacitación para el trabajo, dentro de un ambiente que fomente losvalores universales, la creatividad y la efectividad de las actividades académicas,deportivas, sociales y culturales; con el propósito de alcanzar la excelencia, la formaciónintegral del educando y la consolidación de nuestra Institución como un sistema educativode vanguardia, es nuestra Misión.

Para lograrla son múltiples las acciones que día a día realiza el personal docente,administrativo y técnico del Colegio, quienes con el liderazgo y entrega de la DirecciónGeneral suman esfuerzos para mantener la calidad del servicio educativo queproporcionamos a los jóvenes de Baja California, mejorándola continuamente.

Comprometidos así, conscientes de la dificultad que existe para que nuestrosalumnos tengan acceso a una bibliografía suficiente y pertinente al entorno económico ysocial que viven y les rodea, es que la Institución, con el afán de que todos los jóvenesdispongan oportunamente de materiales didácticos y bibliográficos modernos y adecuadospara el mejor desarrollo de los programas de las asignaturas del Plan de Estudios y con elapoyo otorgado por el Gobierno Federal a través de la Secretaría de Educación Pública y elGobierno del Estado, ponemos a la disposición de los estudiantes, textos como el quepresentamos en esta ocasión, aprovechando así, la experiencia de sus docentes parafortalecer el proceso enseñanza-aprendizaje y lograr el acceso a la excelencia educativa quepretendemos.

Este material dirigido principalmente a los estudiantes, es producto de un granesfuerzo institucional que conjuga la participación de los docentes en el diseño, delpersonal de la Dirección de Planeación Académica en la revisión técnica y edición, y de laDirección Administrativa a través de la Unidad de Diseño Gráfico e Imprenta en suimpresión, reproducción y distribución a todos los planteles.

Í N D I C E

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESANEL PERFIL DEL EGRESADO

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DELCAMPO DE MATEMÁTICAS

BLOQUE I. RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDOLA TRIGONOMETRÍA.......................................................................... 3

BLOQUE II. RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDOECUACIONES E INECUACIONES LINEALES .................................21

BLOQUE III. RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDOSISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS YTRES INCÓGNITAS........................................................................... 39

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESANEL PERFIL DEL EGRESADO

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en lacapacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local,regional, nacional o internacional e influir en él, contar con herramientas básicas para continuaraprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social,profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen elPerfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Se autodetermina y cuida de sí:1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los

objetivos que persigue2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en

distintos géneros3. Elige y practica estilos de vida saludables

Se expresa y se comunica4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas apropiados

Piensa crítica y reflexivamente5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos

establecidos6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,

considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva

Aprende de forma autónoma7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Trabaja en forma colaborativa8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

Participa con responsabilidad en la sociedad9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y

el mundo10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,

valores, ideas y prácticas sociales11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DEMATEMÁTICAS

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación deprocedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para lacomprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientosmatemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y eluso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o naturalpara determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente lasmagnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso ofenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticosy científicos.

BLOQUE I

RESUELVESPROBLEMASEMPLEANDO LATRIGONOMETRÍA

3

Desempeños a demostrar:

Aplica las razones trigonométricas en problemas reales o hipotéticos. Aplica la ley de senos y ley de cosenos en problemas reales o hipotéticos.

Competencias a desarrollar:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientosaritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales ohipotéticas.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes delespacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cadauno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

RESUELVES PROBLEMASEMPLEANDO LA

TRIGONOMETRÍA

BloqueI

Objeto de aprendizaje

Solución de problemas relacionados con lasrazones trigonométricas.

Solución de problemas relacionados con leyestrigonométricas.

4

SOMBRA DE UN VASO.

En un plantel de COBACH de Baja California, se encuentran dos muchachas Yolis yTere disfrutando de una soda en su horario de receso. De repente, Yolis se da cuenta que lasombra del vaso aumentaba al caer el atardecer y le comenta a Tere sobre su observación.Entonces Tere dice que lo que el profesor explico en la clase de trigonometría sobre lasrelaciones que existen en un triángulo rectángulo, eran ciertas.

Figura 1.

(X es el ángulo de elevación en el triángulo rectángulo formado en la figura 1)

De lo anterior Tere y Yolis, necesitarán de tu ayuda para contestar las siguientespreguntas:

1.- ¿De quién dependerá el valor del ángulo de elevación X en la figura 1?

2.- ¿Qué pasa con el valor del ángulo X al aumentar la sombra del vaso? Y ¿en caso contrario?

3.- Escribe las 6 relaciones trigonométricas que se pueden establecer entre los lados deltriángulo rectángulo y el ángulo X.

4.- ¿Qué relación trigonométrica se utilizaría para calcular el valor del ángulo X, dada lalongitud de la sombra y altura del vaso?

5.- ¿Cuál sería el valor de la longitud de la sombra si el ángulo de inclinación X vale 30 grados?

5

Ejercicio: Solución de problemas relacionados con el triángulo rectángulo.

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: ________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando unafunción trigonométrica. De la misma manera resuelve los siguientes ejercicios de triángulosrectángulos (los valores de ángulos básicos se obtendrán por aproximación).

1.- Una escalera eléctrica debe ascender a una altura del piso de 20 pies, con un ángulo deelevación de 30º respecto al piso. ¿Qué longitud tendrá la escalera?

2.- Goku se prepara para un enfrentamiento con uno de sus enemigos. Si en cierto momentodel día, la longitud de su sombra es igual a la longitud de su altura. ¿Cuál sería el ángulo deelevación respecto al piso?

6

3. Un salvavidas se encuentra en una torre a 20 m del nivel del mar. Descubre a una personaque necesita su ayuda, a un ángulo de depresión de 60º. ¿A qué distancia de la base de latorre se encuentra esa persona?.

4.- Un helicóptero se mantiene a una altitud constante de 300 m y pasa directamente porencima de un observador. Después de un minuto, el observador ve el helicóptero con unángulo de elevación de 65º. Determina la distancia que recorrió el helicóptero al cabo de unminuto.

Considera el valor de las siguientes funciones trigonométricas:

Sen65o = 0.9063 Cos65o = 0.4226 Tan65o = 2.1445

5.- Una palma proyecta una sombra de 18.7 m de largo. Si el ángulo que se forma desde elfinal de la sombra hasta el punto más alto de la palma es de 48º. ¿Cuál es la altura de lapalma?


Sen48o = 0.7431 Cos48o = 0.6691 Tan48o = 1.1106

7

No. Ejercicio Desarrollo

6

7

8

9

10

8

Ejercicio Integrador: Solución de problemas con triángulos rectángulos.

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones:

1.- Calcula la longitud de la variable “x”:

2.- Resuelve los siguientes problemas:

a) Si un cono tiene una base con diámetro 8.4 cm y altura 8.5 cm, ¿cuánto mide el ángulogenerador del cono?

9

b) Una escalera de 8.5 m de largo está apoyada en la cornisa de una casa. Si la cornisa está a7.5 m de altura, ¿cuál es el ángulo que forma con la escalera con el suelo?

c) Un poste de 5m se fija con un tirante de 7m, ¿cuánto mide el ángulo que forman el tirante yel poste?

d) La altura de un triángulo isósceles es 16 cm y uno de los ángulos iguales mide 30°. Calculael área del triángulo.

e) Desde un barco se ve un faro hacia el Este, y hacia el Noreste, en un ángulo de 60°, unacasa. Si se sabe que la distancia de la casa al faro, yendo hacia el Sur, es 2.5 kilómetros, ¿quédistancia hay del barco al faro?

f) Si una persona se coloca a 240 m de la base de la Torre Eiffel, ve la punta de la estructura aun ángulo de elevación de 53°. Calcula la altura de la Torre Eiffel.

10

RALLY ESCOLAR.

En un Rally escolar, la última fase para ganar el concurso consiste en que un integrantede los 2 últimos equipos deberá tomar un banderín y regresar a su lugar. Si los integrantesestán separados 8 metros del banderín como se muestra en la figura, ¿a qué distancia deseparación se encontraban los participantes?

Con base en la situación planteada, contesta las siguientes preguntas.

1.- Para encontrar la distancia entre A y B, ¿puedes utilizar las funciones senC, CosC y tanC?¿Por qué?

2.- Según tus conocimientos anteriores de trigonometría, ¿qué ley sugieres para hallar ladistancia entre A y B?

3.- ¿Cuáles son los criterios que debes tomar en cuenta para utilizar la ley de Senos o ley deCosenos en la resolución de triángulos oblicuángulos?

4.- Calcula la distancia de separación entre los participantes:

11

Ejercicio: Solución de problemas relacionados con triángulos oblicuángulos..

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando la leyde Senos o Ley de Cósenos. De la misma manera resuelve los siguientes ejercicios detriángulos oblicuángulos (los valores de ángulos básicos se obtendrán por aproximación).

1.- Un poste inclinado con respecto a la vertical en un ángulo de 10° tiene una longitud de 6 m.Es sostenido por un tubo de 8.4 m enganchado desde la parte superior. ¿Con qué ángulo deelevación se debe asegurar el tubo en el piso?


Sen80o = 0.9848 Cos80o = 0.1736 Tan80o = 5.6712

2.- La distancia por aire entre Mexicali (A) y Culiacán (B) es de 1100 km, la de Culiacán aMonterrey (C) es de 600 km, y la Monterrey a Mexicali, de 1300 km. Obtener la expresióntrigonométrica que permite calcular el valor de cada ángulo del triángulo de la situaciónplanteada.

12

3. Las manecillas del reloj tienen 4 y 5 cm de largo respectivamente. Si el reloj marcaexactamente las 12:10 pm, en ese momento, ¿a qué distancia se encuentran separadas laspuntas de las manecillas?

No. Ejercicio Desarrollo

4

Considera el valor de las siguientes funcionestrigonométricas:

Sen40o =0.6427

Cos40o =0.7660

Tan40o =0.8390

5

6

13

7

8

9

10

14

11

12

Considere el valor de las siguientes funcionestrigonométricas:

Sen100o =0.9848

Cos100o =-0.1736

Tan100o =-5.6712

13

14

15

Ejercicio Integrador: Solución de problemas relacionados con triángulosoblicuángulos.

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando la leyde Senos o Ley de Cosenos. En el caso de encontrar un valor de un ángulo, redondearlo alvalor entero de un ángulo básico.

1.- Un satélite en órbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones deobservación en Phoenix y Los Angeles, a 340 millas de distancia. En un instante cuandoel satélite está entre esas dos estaciones, simultáneamente observa que el ángulo deelevación es de 60º en Phoenix y de 75º en Los Angeles. ¿A qué distancia está elsatélite de Los Ángeles? En otras palabras, encuentra la distancia AC en la siguientefigura.

2. Resuelve el triángulo de la siguiente figura:

16


Sen20o = 0.3420 Cos20o = 0.9396

Sen25o = 0.4226 Cos25o = 0.9063

Sen135o = 0.7071 Cos135o = -0.7071

3. Encuentra el ángulo B en el triángulo ABC, donde el A= 45º , a 7 2 , y b=7.

4.- Para encontrar la distancia de un lado al otro de un río, una topógrafa selecciona lospuntos A y B que están separados 200 pies en un lado del río (véase la figura).Entonces ella escoge un punto de referencia C del lado opuesto del río y determina que BAC 75o , y ABC 45o . Calcula aproximadamente la distancia de A a C.(Sen75°=0.9659)

17

5. Encuentra la distancia entre los puntos A y B en los lados opuestos de un lago a partirde la información que se da.

6. Se piensa construir un túnel a través de una montaña. Para estimar la longitud del túnel,un topógrafo toma las medidas que aparecen en la figura 2. Utiliza los datos deltopógrafo para hacer un cálculo aproximado de la longitud del túnel.

18

7. Un gato está haciendo volar dos cometas simultáneamente. Uno de ellos tiene 380 piesde cordón y el otro 420 pies. Se supone que el ángulo entre los dos cables es de 30º.Estima la distancia entre los cometas.

8.- Encuentra el ángulo básico aproximado en la siguiente figura:

19

BLOQUE II

RESUELVES PROBLEMASEMPLEANDO

ECUACIONES EINECUACIONES

LINEALES

21


Reconoce a una ecuación lineal como relación entre dos variables. Aplica los elementos de una recta para solucionar problemas o ejercicios de la vida

cotidiana. Aplica las desigualdades para comparar dos variables. Aplica las desigualdades en la toma de decisiones.


Crea y expresa argumentos matemáticos. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos. Traduce e interpreta desde el lenguaje natural al simbólico y formal, y viceversa. Estructura el campo o situación que va a modelarse. Interpreta los modelos matemáticos en términos reales. Trabaja con un modelo matemático. Maneja enunciados y expresiones que contengan símbolos y fórmulas. Resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos mediante una diversidad de vías. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,

analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de lastecnologías de la información y la comunicación.

RESUELVES PROBLEMASEMPLEANDO ECUACIONES E

INECUACIONES LINEALES

BloqueII

Objetos de aprendizaje

Solución de problemas relacionados con ecuaciones lineales.

Solución de problemas relacionados con inecuaciones lineales.

22

TARIFAS TELEFÓNICAS

La tarifa telefónica es la manera en la que se determina el costo de una llamada, el cualestá en función del tiempo que dura. Las diferentes compañías tienen distintas tarifas,dependiendo de quién será el receptor de la llamada.

En la ciudad donde vive Alberto operan doscompañías de telefonía celular. La compañía MarcaTeltiene las siguientes tres tarifas

Tipo de llamada. Tarifa*Celular-Celular de la misma compañia. $1.80Celular-Celular de diferentes compañias. $2.90Celular-Telefono fijo. $3.20

*Cada tarifa está dada por minuto.

Alberto es cliente de esta compañía y habla frecuentemente con su novia Angélica. Elpago que hace a la compañía de teléfonos es prácticamente únicamente por concepto dellamadas a su novia. En ocasiones él le habla desde su celular al de ella que también tiene uncelular de la misma compañía, algunas ocasiones Angélica olvida su celular y Alberto le hablaal celular de la mamá de Angélica el cual es de la otra compañía y otras veces Alberto habla alteléfono fijo de la casa de Angélica. Durante el mes antepasado Juan le habló desde su celularal celular de Angélica 8.3 horas y 1 hora y 22 minutos al teléfono de su casa.

Actividad 1. Leer, analiza y contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Cuánto dinero pagó Alberto durante ese mes?

23

b) El siguiente mes hablaron 8 horas y 42 minutos entre sus celulares, 1.2 horas él habló alcelular de la mamá de Angélica y 1.3 horas hablo él a casa de ella. ¿Cuál fue el cobro?

c) El último pago que tiene que hacer Alberto es de $1404.5, él recuerda que habló al teléfonode Angélica 500 minutos; pero también habló al teléfono de su casa y al de su mamá.¿Cuántos minutos crees que pudo hablar a los otros números?

d) ¿Cuáles son las ecuaciones que representan cada una de las tres tarifas?

Alberto vio en televisión un plan de la otra compañía que ofrece 400 minutos a teléfonosde la misma compañía, 200 minutos para hablar a celulares de MarcaTel y 50 minutos ateléfonos fijos por $700. Con la condición de que si el usuario rebasa la cantidad de minutos enalguna de las modalidades se aplicarán las siguientes tarifas.

*Cada tarifa está dada por minuto.

Tipo de llamada Tarifa*Celular-celular de la misma compañía. $1.60Celular-celular de diferentes compañías. $3.00Celular-teléfono fijo. $3.10

24

Actividad 2. Leer, analiza y contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Cuáles son las gráficas de cada una de las tarifas del cuadro anterior?

b) Si Alberto hubiera tenido el plan de la otra compañía, ¿cuánto hubiera pagado en cada unode estos tres meses?

Una tercera compañía llamada Celufon pretende entrar al mercado con tarifas que secobran por segundo. La propuesta tarifaria es como sigue:

Tipo de llamada. TarifaCelular-Celular de la misma compañia. $0.026Celular-Celular de diferentes compañias. $0.051Celular-Telefono fijo. $0.052

c) Tomando en cuenta lo que ha pagado Alberto en los últimos meses, ¿cuál es la compañíaque más le conviene?

25

TEMPERATURA EN MANCHESTER

En los países anglosajones suelen usar la escala Fahrenheit para medir la temperatura.En esta escala el punto de congelación del agua se alcanza a 32 oF, y el de ebullición a 212 oF.En México oficialmente se utiliza la escala Celsius en la que los puntos de congelación yebullición del agua son 0oC y 100oC respectivamente.

Mariana tiene un amigo en Manchester, Inglaterra con el que suele platicar por Chat.Ella ha planeado visitarlo en las vacaciones de primavera.

Mientras ella planea qué ropa llevará se pregunta cómo es el clima en esa época deaño. Busca en Internet y encuentra la siguiente gráfica.

Mariana observa la línea que marca la temperatura más baja que se ha registrado y laroja la temperatura más alta en cada uno de los meses de año. Sin embargo la gráfica está engrados Fahrenheit.

26

Actividad 3. Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es la ecuación que relaciona los grados centígrados y con los Fahrenheit?

2. Si Mariana decide viajar en el mes de abril, ¿cuál es la temperatura más baja y más alta quepuede esperar?

3. ¿Cuál es la temperatura más alta del año en grados centígrados?

4. ¿Cuál es la temperatura más baja del año en grados centígrados?

5. Finalmente Mariana decide viajar en el mes de diciembre, pero ya tenía decidido qué ropallevaría. ¿Tendrá que volver a pensar en el tipo de ropa que debe llevar?

27

Ejercicio: Tablas y Ecuaciones LinealesFecha: ___/_____/201___

Nombre: _______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Expresa cada una de las siguientes tablas como una ecuación lineal.

a)X y

1 5

2 8

3 11

4 14

Ecuación:

b)

Kilos $

1 2.7

2 5.4

3 8.1

4 10.8

Ecuación:

c)

Cantidad $

3 94.5

4 126

5 157.5

6 189

Ecuación:

28

d)

oK oC

300 27

325 52

350 77

375 102

Ecuación:

29

Ejercicio: Ecuaciones linealesFecha: ___/____/201___

Nombre: _______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Lee, analiza, discute con tus compañeros y resuelve los siguientes problemas.Supón que las situaciones se describen adecuadamente para funciones lineales.

a) Si una compañía puede fabricar 8 relojes en 10,100 dólares y 22 de ellos en 16,400dólares, ¿cuánto cuesta hacer x relojes?

b) Si el valor depreciado de un sistema de computación es de 120,000 pesos al término de suvida fiscal de 15 años y su costo inicial fue de 1,320,000 pesos. ¿Cuál es su valor fiscal alcabo de x años?

c) Si durante el primer año una compañía vendió 6,720 bicicletas y en el sexto año vende8,320, ¿cuántas vende en x años?

d) Si la longitud de una varilla metálica es de 108.75 cm. a 25 oC y de 109.08 cm. a 36oC,¿cuál es su longitud a x oC?

30

RENTA UN AUTO

José, Claudia y Mónica son tres viajeros que necesitan rentan un auto en el aeropuerto.Las empresas “RentasAuto” y “SuperRentas” compiten por los clientes que desean rentar unauto en el aeropuerto. Cada una de ella tiene su propia tarifa.

RentasAuto cobra por la renta de autos medianos, $300.00 más $3.00 por cadakilómetro recorrido, mientras que SuperRentas cobra por renta de autos medianos, $240.00más $3.5 por cada kilómetro recorrido

Actividad 4. Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es la ecuación matemática que representa el cobro de cada empresa?

2. José decide rentar un auto a RentasAuto. Piensa viajar al menos 120 Km, ¿cuál es lacantidad mínima de dinero que deberá pagar?

3. Si José piensa invertir máximo $930 en la renta del auto, ¿cuál es la cantidad máxima dekilómetros que podrá viajar?

31

4. Claudia renta su auto en SuperRentas y también tiene la intención de pagar máximo $930,¿quién puede viajar más por esa cantidad de dinero, Claudia o José?

5. Mónica va a viajar entre 90 Km. y 180 Km. ¿Cuál es la cantidad de dinero mínima y máximaque deberá pagar si renta su auto en SuperRentas?

6. Al final, Mónica viajó menos de lo esperado, 83 Km. ¿Si hubiese rentado el auto en la otraempresa hubiera pagado menos?

7. Claudia viajó mucho más de lo esperado, 271 Km. ¿Se excedió de lo que ella pensabapagar por la renta del auto? ¿Hubiera sido mejor rentar el auto en la otra empresa?

32

Ejercicio: Inecuaciones lineales.Fecha: ___/____/201___

Nombre: _______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios:

a) 103 x

b) 74 x

c) 2133 x

d) xx 1032

e) 3572 xx

33

f) 9.48.17.3 x

g) Si zx 1.37.4 y 50 x , ¿entre qué valores puede oscilar z ?.

h) Si Ar 1.61.7 y 31 A , ¿entre qué valores puede oscilar r ?

34

Ejercicio: Aplicaciones de Inecuaciones lineales

Fecha: ___/____/201___

Nombre: _______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Lee, analiza, discute con tus compañeros y resuelve los siguientes problemas.Supón que cada situación se describe adecuadamente para funciones lineales.

a) Si F y C son grados en las escalas Fahrenheit y Celsius, respectivamente. Se sabe queF = 1.8C +32. ¿Qué valores de C corresponden a 68 ≤ F ≤ 86?

b) Suponga que la fuerza F necesaria para deformar cierto resorte una distancia x esF=6.5x. ¿Qué valores de F harán que 1/8 ≤ x ≤ 7/8?

c) Supón que las resistencias R, R1, R2 satisfacen la ecuación:

11

111RRR

35

Si R1=15, determina los valores de R2 que hacen R≤10.

d) Una furgoneta pesa 875 Kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el pesode la carga que lleve no debe ser superior a 415 Kg. Si hay que cargar cuatro cajonesiguales, ¿cuánto debe pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos enesa furgoneta?

e) Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edaddel padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.

36

f) Un automóvil se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100Km./h y 150 Km./h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del carro al punto de partida alcabo de 3 horas?

g) Una fábrica paga a sus vendedores $10 por artículo vendido más una cantidad fija de$500. Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántosartículos debe vender un empleado de la competencia para ganar más dinero que elprimero?

BLOQUE III

RESUELVES PROBLEMASEMPLEANDO SISTEMASDE ECUACIONES CON

DOS Y TRESINCÓGNITAS

39


Representa relaciones entre los elementos de diversas situaciones del ámbito escolary cotidiano.

Emplea sistema de ecuaciones con dos incógnitas para resolver situaciones de la vidacotidiana.

Representa gráficamente un sistema de ecuaciones. Emplea sistema de ecuaciones de tres incógnitas para resolver situaciones reales que

se le presenten.


Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientosaritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales,hipotéticas o formales.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes delespacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

RESUELVES PROBLEMASEMPLEANDO SISTEMAS DE

ECUACIONES CON DOS Y TRESINCÓGNITAS

BloqueIII

Objeto de aprendizaje

Solución de problemas relacionados consistemas de ecuaciones lineales

40

EN EL SUPERMERCADO

En el pueblo, donde vive la señora AlmaRentería y doña Josefa, acaban de inauguraruna tienda de autoservicio. Entre algunas de lasofertas de apertura se encuentran los artículosde limpieza. La señora Alma piensa comprar 3suavizantes para ropa y 2 detergentes al preciode 57 pesos, y a los mismos precios, doñaJosefa compra un suavizante y 5 detergentes alcosto de 84 pesos. ¿Cuánto pagó la señoraAlma si finalmente llevó 4 suavizantes y 3detergentes para ropa?

1. Si llamas “x” al precio del suavizante, “y” al precio del detergente, ¿cómo expresarías conecuaciones las compras de las dos señoras?

2. ¿Qué métodos conoces para resolver sistema de ecuaciones?

3. ¿Hay alguno en especial que te parece más sencillo?

4. Resuelve el sistema por el método que elegiste y compara los resultados obtenidos conalgunos de los compañeros que utilizaron otro método.

5. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

41

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Método gráfico en la resolución de un sistema de ecuaciones.

En una promoción de la empresa donde trabaja Marcos, al de mayor puntuación se leentrega un premio al fin de mes. Se entregan puntos si llegan a tiempo a trabajar o se restanpuntos si llegan unos minutos tarde. De tal manera que si un trabajador tiene un retardo y undía llega a tiempo a trabajar obtiene – 2 de puntuación.

En una ocasión Marcos llegó un día tarde y tres días a tiempo, obteniendo 12 puntos.

¿Cuántos puntos se descuentan por faltar en esta empresa?

Actividad.

1. Si llamas “x” a los puntos descontados por cada retardo, “y” a los puntos obtenidos porllegar temprano, ¿cómo expresarías cada una de las dos ecuaciones?

2. Expresa cada ecuación anterior a su forma y = mx +b (pendiente – ordenada al origen) ygrafícalas en un mismo sistema cartesiano.

3. ¿Cuál es la coordenada del punto de intersección de las dos rectas?

4. ¿Cuántos puntos se descuentan por llegar tarde al trabajo? ¿Cuántos se obtienen por llegartemprano?

5. ¿Cuántos puntos obtendrá Marcos si en un mes llega temprano 18 días y tiene 6 retardos?

42

Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por el método gráfico.

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas graficando cadaecuación del sistema en un mismo plano cartesiano. De la misma manera resuelve lossiguientes sistemas de ecuaciones.

1.- Se tienen dos tipos de monedas, si 6 monedas de un tipo equivalen en valor a unamoneda de la otra denominación más un peso, y 5 veces el valor de la primera monedaequivale al valor de una moneda del segundo tipo, ¿cuántas monedas se tienen decada una?

2.- En un concurso de Ciencias competirán equipos integrados de la misma manera. Serán6 integrantes entre hombres y mujeres, n total 5 veces la cantidad de hombres equivalea 12 personas más que 4 veces la cantidad de mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeresson en cada equipo?

3.- 3x – y = 5

8x – 4y = 4

4.- 2x = 16 – y

x – y = - 1

5.- 3x + 2 = 2x – y + 4

3x – 2y = 1

6.- 3x + 3 = - y + 12

5x + y = - 4x + 4y - 9

43

Métodos analíticos en la resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

TODAVÍA EN EL SUPERMERCADO

Ya en la sección de frutas y verduras, la señora Almacompra 10 duraznos y 4 chabacanos, como el precio deestas frutas era de tan solo 62 pesos decidió regresar acomprar otros 3 duraznos y 5 chabacanos, pagando ahora30 pesos.

Doña Josefa había comprado una docena demanzanas y algunos plátanos. Ya anteriormente la señoraAlma había comprado tres manzanas y un plátano a unprecio de 15 pesos.

Como ya había gastado más de lo que tenía, doñaJosefa regresó 4 plátanos y compró otras 5 manzanas,pagando solamente 8 pesos.

Actividad

1.- Para las compras de duraznos y chabacanos, encuentra las ecuaciones que forman elsistema de ecuaciones con la información dada.

2.- Determina el costo de cada durazno y chabacano, utilizando el método de reducción (suma-resta).

3.- Para las compras de manzanas y plátanos, encuentra las ecuaciones que forman elsistema de ecuaciones.

4.- Determina el costo de cada manzana y plátano, utilizando el método de sustitución

5.- ¿Qué ventajas y desventajas encuentras con estos métodos analíticos en relación almétodo gráfico?

44

Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por los métodos analíticos (suma-resta ysustitución)

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: _________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando algunode los métodos analíticos vistos en clase. De la misma manera, resuelve los demás sistemasde ecuaciones.

1.- Si Patricia le da a Cecilia 1 peso, ambos tienen lo mismo; y siCecilia le entrega a Patricia 1 peso; Patricia tendrá el triple delo que le queda a Cecilia. ¿Cuánto dinero tiene cada una?

2.- Marcos para ir a su trabajo recorre cierta distancia, pero deregreso se viene por otro camino ya que tiene que ir por suesposa Alma que se encuentra estudiando un curso derepostería. De ida recorre 5 kilómetros menos que el doble dela distancia que viaja de regreso. Si en total recorre 55 km,¿qué distancia se desplaza de ida y cuánto de regreso?

3.- 2x – 3y = 12x + 4y = - 5

4.- 6x – y = 109x - 4y = - 5

5.- 4x + 3 = - 2(- x -3) + 3y3x = 14 – 5y

6.-7

2

1123

yx

yx

7.-2

865

143

32

yx

yx

8.- 3x – 4y = 13y = 12 – 2x

45

Regla de Cramer (determinantes) en la resolución de sistemas de ecuaciones con dosincógnitas.

CONOCIENDO A LA FAMILIA DE ALMA RENTERÍA

Alma es esposa de Marcos, sus hijos son Patricia, Arturo, Pepe y Cecilia. Viven conellos los padres de Marcos.

Sus edades

Entre Marcos y su padre tienen la edad de 92 años y sudiferencia de edad es 20.

Si a la edad de Arturo le sumamos 1, se obtiene el mismonúmero que si a la edad de Pepe le restamos 1 y multiplicamos elnúmero obtenido por 2. Si a la edad de Arturo le restamos 1 seobtiene la misma cantidad que si a la edad de Pepe le sumamos 1.

De visita al museo

La familia de Patricia fue el pasado fin de semana al museo.Por la entrada de 4 adultos (sus papás y abuelos) y 4 niños (ella ysus hermanos) pagaron 220 pesos. El día de hoy piensan ir otra vezal museo, pero esta vez la promoción consiste en que los abuelos nopagan entrada y Pepito que tiene menos de 6 años tampoco pagará.De esta manera, el costo de la entrada será de 130 pesos.

Actividad

1.- Para determinar la edad de cada integrante forma sistemas de ecuaciones y resuélvelospor el método de determinantes.

El primer sistema será para determinar la edad de Marcos y su padre, el segundosistema será para determinar la edad de Arturo y Pepe.

2.- ¿Cuál es la edad de cada uno?

3.- Forma un sistema de ecuaciones con la información dada sobre los costos de boletosen el museo. Determina el valor de las variables mediante el método de determinantes.

4.- ¿Cuál es el precio del boleto en día normal para niños y adultos?

5.- ¿Qué ventajas y desventajas encuentras con este método en relación al métodoanalítico?

46

Ejercicio: Solución de un sistema 2x2 por el método de determinantes.

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: ________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando elmétodo de determinantes. De la misma manera resuelve los demás sistemas de ecuaciones.

1.- El doble de un número menos el triple de otro es 5 y la diferencia de ambos es – 1,¿Cuáles son dichos números?

2.- Doña Cuca para su tienda de dulces compró paletas de dos tamaños distintos, una quele costó 2 pesos y otras de 6 pesos, pagando un total de 352 pesos. En la caja se indicaque son por los dos tipos 80 paletas. ¿Cuántas paletas son de cada una?

3.- 3x + 2y = - 65x - 2y = - 10

4.- 2x – 3y = - 75x + 4y = 17

5.- 5x + 7y = 610x - 3y = 46

6.- 2x = 3 – 9y5x + 8 = - 7y

7.-12

32

25

532

3

yx

yx

8.-0

85

245

4

yx

yx

9.-54551631

yx

yx

47

Ejercicio Integrador: Sistema de Ecuaciones 2 x 2

Fecha: ___/_____/201___

Integrantes: ________________________________________________________________________________________________________________________

Grupo: _________

Equipo:_________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando elmétodo que consideres más conveniente sobre sistemas de ecuaciones.

1.- ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo que tiene 72 cm de perímetro si la basees 3 cm mayor que la mitad de la altura?

2.- La edad de Santiago excede en 13 años a la edad de Luis, y el doble de la edad de Luisexcede en 29 años a la edad de Santiago. ¿Qué edad tiene cada uno?

3.- A las hermanas Sofía y María les gusta intercambiar sus blusas. Si Sofía le presta aMaría dos de ellas ambas tendrían lo mismo, y si María le presta a Sofía dos blusasentonces Sofía tendrá el triple de lo que le quede a María. ¿Cuántas blusas tienen cadauna?

4.- Durante 6 días seguidos Jorge trabajó en un supermercado empacando mercancía, lamisma cantidad de horas por día. A la siguiente semana disminuyó el trabajo y sólopudo trabajar 5 días y menor cantidad de horas por día, acumulando 63 horas en ambassemanas. Si la cantidad de horas trabajadas por día de la segunda semana esequivalente a 21 horas menos que el triple de la cantidad de horas trabajadas por día enla primera semana, ¿cuántas horas diarias trabajó cada día de la primera semana?

5.- ¿Cuántos kilómetros corren Carmina y Antonio, si tres veces el recorrido que realizaCarmina más 2 veces el recorrido que hace Antonio equivale a 42 kilómetros y el tripledel recorrido de Carmina es la misma cantidad que 4 veces el recorrido de Antonio más24 kilómetros?

6.- En una caja se tienen varias canicas entre rojas y azules. Si sacamos 3/7 de las canicasazules y 3/8 de las canicas rojas tendríamos fuera de la caja 15 canicas. Las volvemosa meter y dentro de la caja si a las 2/3 partes de las canicas rojas le restamos las 3/4partes de las canicas azules tendremos solamente dos. ¿Cuántas canicas de cada unatenemos?

48

CAMBIANDO PESOS POR DÓLARES

Marcos trabaja en una casa de cambio. Durante la primera hora de trabajo puso a laventa 880 dólares en billetes de 5, 10 y 50 dólares. La suma total de billetes vendidos fueron 44y los billetes de 10 fueron dos veces la cantidad de 50 dólares.

En la siguiente hora Marcos puso a laventa menos cantidad de billetes. De tal maneraque 5 veces la cantidad de billetes de 5 dólaresmás 10 veces la cantidad de billetes de 10 dólaresson 35 billetes más que 5 veces la cantidad debilletes de 50 dólares. Pero la cantidad de billetesde 5 dólares más 5 veces la cantidad de billetesde 50 dólares equivale a 40 billetes más que losbilletes de 10 dólares. Además, los billetes de 5dólares más 21, es la misma cantidad de billetes que el doble de la suma de billetes de 10 y 50dólares.

¿A cuánto equivalen los dólares vendidos en la segunda hora?

Actividad 1

1.- Para determinar la cantidad de billetes de las tres denominaciones se deben formarsistemas de ecuaciones de tres incógnitas.

2.- Asigna una literal para cada una de las cantidades de billetes de diferentedenominación. Forma el primer sistema de ecuaciones con la primera informaciónproporcionada. ¿Cuántas ecuaciones debes tener?

3.- Toma una pareja de ecuaciones con tres variables y aplicando el método de reducciónelimina una de ellas. ¿Cuál es la ecuación resultante?

4.- Toma ahora otro par de ecuaciones de tres variables y utilizando también el método dereducción elimina la misma variable. ¿Cuál es la ecuación resultante?

5.- Ambas ecuaciones si las reúnes forman un sistema de ecuaciones que de igual manerase puede resolver por un método analítico. ¿Cuáles son los valores para ambasvariables?

49

6.- Ambos valores sustitúyelos en cualquiera de las ecuaciones que tienen tres incógnitas.¿Cuántos billetes son de cada denominación?

7.- De la misma manera forma un sistema de ecuaciones con la información dada sobre laventa de dólares en la segunda hora. Determina el valor de las variables mediante elmétodo analítico desarrollado anteriormente.

8.- ¿Cuántos billetes son de cada denominación?

9.- ¿En cuál de las dos horas obtuvo mayores ganancias en la venta de dólares?

Actividad 2

Realiza una investigación bibliográfica o en páginas electrónicas acerca del método dedeterminantes, con expansión de columnas.

Realiza el ejercicio de la venta de dólares en la primera hora de trabajo de Marcos,utilizando el método de determinantes.

¿Crees que este método es más sencillo que un método analítico como el de reducción- sustitución?

¿Cuáles son sus ventajas y cuáles sus desventajas?

Entrega el reporte escrito a tu profesor.

50

Ejercicio: Solución de un sistema de ecuaciones de tres incógnitas.

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: ________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas utilizando elmétodo indicado.

Analítico.

1.- En un banquete hay 43 personas entre hombres, mujeres y niños. En total el banquetecostó 1, 075 pesos. Cada hombre pagó 45 pesos, cada mujer 30 pesos y cada niño 15pesos. Si el número de hombres y mujeres es igual al número de niños menos 1,¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay?

2.-222123

zyxzyxzyx

3.-

25311

1214

3112

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zyx

zyx

Determinantes

1.- Calcula las edades de un abuelo, un padre y un hijo. Si la edad del padre es la edad delhijo, las edades del padre y del abuelo suman 102, y cinco veces la edad del hijoexcede en 10 años la del abuelo.

2.-1442382

zyxzyxzyx

3.-2522

zyxzyxzyx

51

Ejercicio Integrador: Sistema de Ecuaciones 3 x 3Fecha: ___/_____/201___

Integrantes: ________________________________________________________________________________________________________________________

Grupo: _________

Equipo:_________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resuélvelas, utilizando elmétodo que consideres más conveniente sobre sistemas de ecuaciones.

1.- Patricia se fue de compras navideñas. Por la envoltura pagó5 pesos por cada regalo para sus abuelos, 1 peso por laenvoltura de los regalos de sus hermanos y 3 pesos por lasenvolturas de los regalos de sus papás, pagando enenvolturas 17 pesos.

Por los moños le cobraron 2 pesos por cada regalo de losabuelos, 2 pesos por cada regalo de los hermanos y 1 pesopor los regalos de los papás, pagando en moños 16 pesos.

Si el número de regalos para los hermanos es el triple que elde los papás. ¿Cuántos regalos compró en total y cuántospara cada uno?

2.- Ricardo, Rubén y Ramiro compraron sus útiles escolares enla misma papelería. Ricardo compró tres lápices, dos plumas y cuatro cuadernos,pagando 34 pesos; Rubén compró dos lápices, una pluma y un cuaderno y pagó 14pesos; mientras que Ramiro pagó 24 pesos por cuatro lápices, dos plumas y uncuaderno. ¿Cuál era el precio de cada uno de los artículos que compraron?

3.- Una caja contiene clavos, tornillos y tuercas. El número de clavos es el triple que el detornillos y la cantidad de tornillos es tres veces el de tuercas. ¿Cuántos clavos, tornillosy tuercas hay en la caja si en total suman 1,872 objetos?

4.- Entre María, Marcela y Marcelo tienen 140 pesos. Marcelo tiene la mitad de lo que tieneMaría, y María 10 pesos más de lo que tiene Marcela, ¿cuánto tienen cada una?

5.- La suma de tres números es 300. La suma de dos de ellos es igual a la mitad deltercero y su diferencia es igual a la cuarta parte del tercero. ¿Cuáles son los números?

Baja California Camalú

Ciudad Morelos Ejido Nayarit

El Florido Ensenada

Estación Coahuila Extensión Mtro. Rubén Vizcaíno Valencia

Extensión Maneadero del Plantel Ensenada Extensión Primer Ayuntamiento

Extensión Tecate Guadalupe Victoria

La Mesa Mtro. José Vasconcelos Calderón

Mtro. Rubén Vizcaíno Valencia Mexicali

Miguel Hidalgo y Costilla Nueva Tijuana

Nuevo León Primer Ayuntamiento Playas de Rosarito

Profr. Arturo David Velázquez Rivera Rosarito

San Felipe San Quintín

Tecate Tijuana Siglo XXI

Valle de Guadalupe

El Hongo El Rosario

Punta Colonet Real del Castillo

San Vicente Trabajadores No. 1 Trabajadores No. 2 Trabajadores No. 3 Valle de la Trinidad Valle de las Palmas

PLANTELES

CENTROS EMSAD

ESTE MATERIAL FUE ELABORADO BAJO LA COORDINACIÓN Y SUPERVISIÓN DE LA DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA Y

REPRODUCIDO POR LA UNIDAD DE DISEÑO GRÁFICO E IMPRENTA DEL COLEGIO DE BACHILLERES DEL

ESTADO DE BAJA CALIFORNIA.

Blvd. Anáhuac 936, C. Cívico, Mexicali, B. C.

FEBRERO DE 2012 Esperamos recibir de los usuarios, en especial de los maestros

y alumnos del Colegio, cualquier observación que a su juicio

sea necesario hacernos llegar, más aún si se tratara de errores

u omisiones.

Dirigirse a la Dirección y domicilio arriba consignados.

algebra intermedia[1]

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