tomo 1 algebra

7/25/2019 Tomo 1 Algebra

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Leyes de Exponentes y Ecuaciones Exponenciales

1 POTENCIACIN

Es la operacin que consiste en determinar una cantidadllamada potencia conociendo otras dos denominadasbase y exponente; es decir:

basebn!e x p o n e n t e =p!potencia

1.1 Deniciones

1.1.1 Exponente Natural

an = a , sin= 1

a a a, si n2Ejemplo:54 = 5 5 5 5 = 625

1.1.2 Exponente Cero

a0 = 1 ,8a2R f0gEjemplo:

320 = 1, (12)0 = 1, p30 = 1

1.1.3 Exponente Negativo

an = 1an

=

1a

n

, a6= 0Propiedad:a

b

n=

b

a

n, a6= 0 ^ b6= 0

Ejemplo:

21 = 1

2, 45 =

1

45,

2

7

9=

7

2

9

1.2 Teoremas

1.2.1 Bases Iguales am an =am+n

am

an =amn

1.2.2 Potencia de Potencia

(am)n =amn = (an)m

(am bn)p =amp bnp

[(am)n]pq =amnpqImportante:

amnpq

6= [(am)n]pq amn

pqgx=am

nxgy=a m

ygz =az

1.2.3 Exponentes Iguales

am bm = (a b)m

am

bm =

ab

m

2 RADICACIN

2.1 Deniciones

2.1.1 Exponente Fraccionario

amn = n

pam

= np

am

Si a 0)a mn = npam

2.1.2 Radicacin en R

La radicacin es la funcin inversa a la potenciacin. Laradicacin entre un nmero natural "a" llamado "subrad-ical" y otro nmero natural "n" llamado "ndice", es iguala un nmero "x" llamado raz, que elevado a la potencia"n" da como resultado el nmero "a"

n

pa= x()xn

=aDonde:n: ndicea: Subradicalx: Raz ensima de a

2.2 Teoremas

2.2.1 Raz de Raz

mp

np

a= mnp

a

2.2.2 ndices Iguales

mpa mpb= mpa b

mp

amp

b= m

ra

b

2.2.3 Radicales Susecivos

mq

xa np

yb pp

zc = mp

xa mnp

yb mnppzc

mr

xa n

qxb

pp

xc qp

xd = mnpq

px[(an+b)p+c]q+d

Importante:

x npy = npxn y

nkp

xmk = np

xm


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3 ECUACIONES EXPONEN-CIALES

Una ecuacin es considerada exponencial si la variable oincgnita se presenta como exponente en una igualdad.

3.1 Ecuaciones de Bases Iguales:Si: Am =An ^ (A6= 0; A >1) =)m = n

3.2 Ecuaciones de Exponentes Iguales

Si: Am =Bm =)A = B

3.3 Analogas

Si: xx =aa =)x = a

3.3.1 Otras propiedades

Si: xxxx

xn

=n =)x = npn

Si: A= abcd1

=)A = 1a

( 1b )( 1c )( 1d )

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Simplicar:

N= (xy)2

x2y2

4 x3y3

3(xy)18

A)2 B)20 C)xy D)x=y E)x2y2

2. Reducir: A= 243125273

1

A)3 B)9 C)31 D)33 E)33

3. Para n6= 0, simplique la expresin:

4n3 5n1n20n nn

A)41 B)161 C)321 D)641 E)1281

4. Si: aa = 2. Determine el valor de: Y =h

aaaaaia

A)2 B)4 C)8 D)16 E)32

5. Reducir:

A= 2n+2 + 2n+3 + 2n+4

2n1 + 2n2 + 2n3

A)16 B)32 C)8 D)64 E)128

6. Indicar el equivalente de:

P = 7ns

2p2n

213n

A)p

2 B)p

2=4 C)p

2=2 D)2 E)4

7. Simplicar:

M=mnp

4m + mnp

4n

mnp

2m+n

A)1 B)1=5 C)2; 5 D)3 E)2

8. Hallar el exponente nal de "x" en:

B=

r 10p

x q

x 5p

x4

A)1=2 B)2 C)1=4 D)1=5 E)1

9. Si: x >0 ^ x6= 1; calcular "n" en:p

x 3px 6px= xn

A)1=2 B)2 C)3 D)1=3 E)1

10. Hallar "x" si:1

3xp

a =a

3x5

donde: a >0 ^ a6= 1A)1=2 B)2 C)4 D)1=4 E)1

11. Hallar "x" en:

2x+1 23x5 25x9 = 25

A)2 B)4 C)6 D)8 E)10

12. Resolver:

125x

3

= 252x+1

A)10 B)9 C)11 D)12 E)213. Calcule "x" si: 163

3x

= 843x

A)1=3 B)1=2 C)3 D)1=6 E)1

14. Hallar "x" en: xx6

=p

2p2

A)p

2 B) 4p

2 C) 8p

2 D) 3p

2 E) 6p

2

15. Calcular el valor de:

H=

2kr 2k1q 2k2p28

k

A)8 B)64 C)128 D)256 E)512

16. Simplicar:

A=

mpnn(nm)

pnnn

( mpnn)n

A)nn B)n C)nn D)n1 E)nm

17. Si: 2x = 5. Determinar el valor de:

2x+3 + 4x+1

8x + xp

5 + 13

A)2 B)1 C)5 D)3 E)4


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18. Sabiendo que: ab= bb = 2. Simplicar:

A= ababab

A)16 B)8 C)4a D)8a E)16a

19. Resolver: 25x + 4x = 2 (10x)

A)1 B)0 C)2 D)1 E)220. Calcular "x" en: r

3n+5 + xx

3n xx + 3 = 3

A)1 B)3 C)9 D)27 E)81

21. Calcular "x" si:xx

3

= 44

A)2 B)4 C)8 D)16 E)32

22. Si: xx = 2; determine el valor de:

S= xx1+2x1+x

A)48 B)46 C)48 D)412 E)410

23. Si: x66x

= 6:

Calcular: xp

x

A)361 B)61 C)6 D)36 E)32

24. Hallar "x" si se cumple:

xx = 625

r1

5

A)51 B)52 C)53 D)55 E)54

25. Resolver:xx

x

= 33p93

A)1=3 B)2 C)9 D) 3p

3 E) 9p

3

26. Luego de resolver:

2x + 1 =32"r

1x#4x1

six >0 seale el valor de

1

x

( 1x )A)16 B)81 C)1=64 D)1=256 E)256

27. Resolver la ecuacin:

4x2+ 12 3x2 12 = 3x2+ 12

Indicar el cociente de las soluciones.

A)1 B)0 C)1 D)2 E)328. Si: 4x + 4y = 4 ^ 2x+y = 6. Halle: 2x + 2y

A)4 B)2 C)0 D)2 E)4

29. Hallar "x" de: x=p

2 + (xp2)2p

2

A)p

2 B)2p

2 C)4p

2 D)p

2p2

E)p

2p21

30. Si x2 R+ ^x 6= 1, y ademspxpxx+1

= xpxx

.Hallar "2x"

A)1=8 B)1=4 C)1=2 D)1 E)2

31. Hallar "x" en: xx2x2

=p2pp

2

A)1=4 B)1=2 C)p

2=2 D)p

2=4 E)p

2

32. Si: aa =a + 1, entonces el equivalente de:

aaaq

(a + 1)(a+1)

es:

A)1 B)1=4 C)a D)a2 E) ap

a

33. Calcular "x", x >0, si:x1+x

1+x1+ 1

2

=x12+x

12+x

12+

A)2 B)8 C) 5p

4 D) 4p

5 E)p

2

34. Resolver: x16x+2 = 16. Dar el valor de: (x)xA)1=2 B)p2 C)1=4 D) 8p4 E) 16p4

35. Halle "x " en:xx

161

= 4p

4

A)24 B)216 C)264 D)2128 E)216


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Expresiones Algebraicas y Polinomios

1 Expresin Algebraica (E.A.)

Es aquella expresin matemtica formada por letras ynmeros ligadas entre si por un nmero limitado de op-eraciones.

Nota:Toda expresin no algebraica recibe el nombre de

EXPRESIN TRASCENDENTE y entre ellos tenemos:exponenciales, trigonomtricas, circulares, logartmicas,hiperblicas.

1.1 Trmino AlgebraicoEs la expresin algebraica que se caracteriza por no pre-sentar las operaciones de adicin y sustraccin.

Dado:Q (x;y;z) =27x4y5z3

sus partes son:

x;y;z!V ariables 4; 5; 3!Exponentes 27!Coeficiente

1.2 Clases de Expresiones Algebraicas

Por la naturaleza de los exponentes se tienen:

LA E.A. ES: SI LOS EXPONENTES:RACIONAL TODOS2 ZEntera Todos2 Z+0Fraccionaria Por lo menos uno2 Z

IRRACIONAL AL MENOS UNO2 Qpero =2 ZEjemplos:

P(x; y) =x2y33x2+7!E.A. Racional Entera

Q (x; y) = 2x3y53x8y2! E.A. Racional Fraccionaria R (x; y) = 3 + 2x 23 3xy4!E.A. Irracional

2 Valor Numrico (V.N.)

Es el resultado que se obtiene de reemplazar a las variablesde una expresin matemtica por valores determinados.

Ejemplo:Determinar el V.N. de la siguiente expresin:

P(x;y;z) = 2xy z4

parax = 2; y= 1; z =1Reemplazando:

P(2; 1; 1) = 2(2) (1) (1)4 = 3

3 Cambio de Variable

Es el proceso mediante el cual la variable original es reem-plazada por otra.

Ejemplo:Si f(x+ 2) = 2x 3. Halle f(x 2)Hacemos el cambio de x por y en la expresin como

dato es decir: f(y+ 2) = 2y3, ahora solo igualamoslas variables y+ 2 = x2 de donde y = x4 que alreemplazar se obtienef(x 2) = 2 (x 4) 3 = 2x 11

4 Polinomios

4.1 Polinomio

Es toda expresin algebraica racional y entera.La representacin general de un polinomio en variable

"x" es de la forma:

P(x) =a0xn+a1x

n1+a2xn2+ +an1x+an , a06= 0

Donde:a0; a1; a2; ; an!Coecientesn; n

1; n

2;

; 1; 0

!Exponentes

a0!Coeciente Principal (C.P.)an!Trmino Independiente (T.I.)Propiedades:

Suma de coecientes de [P(x)] =P(1) Trmino Independiente de [P(x)] =P(0)

Nota:Un polinomio de acuerdo al nmero de sus trminos

recibe el nombre de:Polinomio de1trmino!Monomio

Polinomio de2trminos!BinomioPolinomio de3trminos!Trinomio, etc

4.2 Grados

4.2.1 En un Monomio

Grado Relativo (GR) Est dado por el exponente dela variable en referencia.

Grado Absoluto (GA) Es la suma de exponentes delas variables.

Ejemplo:

Dado el monomio: M(x;y;z) = 25x3y4z7

GRx(M) = 3; GRy(M) = 4; GRz(M) = 7 yGA (M) = 3 + 4 + 7 = 14


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4.2.2 En un Polinomio

Grado Relativo (GR) Est dado por el mayor expo-nente de la variable en referencia.

Grado Absoluto (GA) Es el grado del trmino demayor grado absoluto.

Ejemplo:

Sea el polinomio: P(x; y) = 2x3y6| {z }T1

3x4y3| {z }T2

+ x7y|{z}T3

GRx(M) = 7; GRy(M) = 6;GA (T1) = 9; GA (T2) = 7; GA (T3) = 8 =)GA (P) = 9

4.2.3 Grados en Operaciones

Dados dos polinomios P y Q, con GA (P) = m y

GA (Q) =n (m > n), entoces: GA (P Q) =m

GA (P Q) =m+n

GAPQ

= m n

GA Pk= km GA

kp

P

= mk

4.3 Polinomios Especiales

4.3.1 Polinomio Ordenado

Se llama as cuando el exponente de la variable en refer-encia est en forma creciente o decreciente

Ejemplos:

P(x) = x10 2x6 + 3x2 +x 13

Q (x) = 12 3x3 +x5 7x6 +x2011

4.3.2 Polinomio Completo

Es completo cuando la variable en referencia presenta to-dos los exponentes desde el cero hasta el mayor de todos.

Ejemplos:

P(x) = 2 x3 + 3x2 + 7x+x4

M(x) = 2x5 + 3x4 x3 + 2x2 + 5x 12

Propiedades:

En todo polinomio completo y ordenado la diferenciade dos grados relativos consecutivos es uno.

En un polinomio completo respecto a una variable elnmero de trminos es igual a su grado aumentadoen uno

4.3.3 Polinomio Homogneo

Es aquel polinomio cuyos trminos tienen el mismo gradoabsoluto y debe tener por lo menos dos variables.

Ejemplo:P(x; y) = 2x4y3

| {z }GA=7

5x2y5

| {z }GA=7

+ 23x6y

| {z }GA=7

4.3.4 Polinomios Idnticos ()P(x)Q (x)

Dos polinomios son idnticos si:

Los coecientes de sus trminos semejantes soniguales.

Si ax2 +bx+c mx2 +nx+p) a = m; b = n yc= p

Tienen el mismo V.N. para un sistema de valores

diferentes.P(x) Q (x)P(1) = Q (1)

P(3) = Q (3)

P(5)...

= Q (5)...

4.3.5 Polinomio Idnticamente Nulo

P(x)0

Un polinomio es idnticamente nulo si: Todos sus coecientes son iguales a cero.

Si P(x) =ax2 +bx+c0)a = b = c = 0 Si es de grado "n", entonces se anula para "n+ 1"

valores diferentes.

4.3.6 Polinomio Constante

Es aquel que permanece constante para cualquier sistemade valores diferentes asigando a su variable

P(x)k; k2 R f0gEjemplo:

P(x) = 4 (no depende de la variable)

4.3.7 Polinomio Mnico

Este polinomio se caracteriza por que su coeciente prin-cipal es igual a 1.

C:P:= 1

Ejemplo:P(x) = 2x4 3x+ 4 + 1 x6

EJERCICOS PROPUESTOS1. Si: P(x) = x2 2. Halle: P(3)

A)9 B)8 C)7 D)10 E)6


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2. Halle: F(F(3)). Si F(x) = x 2A)2 B)3 C)2 D)1 E)3

3. Si: Q (x+ 3) = 4 3x. Halle Q (2x 5)A)28 + 6x B)28 6x C)28 + 6x

D)18 6x E)28 6x

4. Si se cumple: f(x 1) f(x) =x, para algn poli-nomio no constante. Calcular: f(0) f(3)A)2 B)4 C)5 D)6 E)7

5. Si los trminos:

P(x; y) = 3x3m+2y2n5

Q (x; y) = 9x2m+7yn+3

son semejantes. Halle "m+n"

A)12 B)13 C)14 D)15 E)10

6. Si la suma de coeentes del polinomio:

P(x) = (2x 1)4 (x 1 n)2 11es igual a su trmino independiente aumentado en7.Halle "n"

A)2 B)4 C)6 D)8 E)07. Calcular "n" en el polinomio:

P(x) = (3nx 2n)2 +x2n + 12xsi la suma de coecientes de P(x) excede en 1 altrmino independiente.

A)2 B)4 C)3 D)5 E)28. Si en el polinomio:

P(2x 1) = (4x 3)n + (2x)n 128 (4x 1)se cumple que la suma de coecientes y el trminoindependiente suma 1. Calule "n"

A)7 B)4 C)13 D)9 E)11

9. Dado el monomio:

P(x; y) = 4x3y5

Halle: GRx(P) +GRy(P) +GA (P)

A)12 B)5 C)16 D)10 E)14

10. Dado el polinomio:

Q (x; y) =2abx2a+by8b

Si: GA (Q) = 14 ^ GRy(Q) = 5. Halle su coecienteA)27 B)54 C)81 D)27 E)54

11. Sea el polinomio:

P(x;y;z) = x3

y4

z 52

y5

z10

+ p2x5

y6

z2

Determine: GRx(P) + GRy(P) + GRz(P) + GA (P)

A)15 B)8 C)36 D)42 E)38


P(x; y) = 5x4yn 2nx5yn2 +x2yn5

Halle el grado relativo a "y", si el grado de P es16:

A)12 B)10 C)14 D)16 E)13

13. Si se sabe que:

M(x; y) = 5xa3y5b 2xb+1ya5

es un monomio. Indicar el grado absoluto.

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

14. Sea:

P(x) = (x+ 1)2

x2 + 2

x3 + 3 x10 + 102

Calcular: GA (P)

A)66 B)65 C)67 D)68 E)69

15. Si:

P(x) = 3xmk+12xm+k2n+5xn5+3xnkxk+np

es un polinomio completo y ordenado en forma de-creciente. Halle: m+n+p+k

A)35 B)26 C)40 D)29 E)38

16. Si el polinomio:

N(x;y;z) = xab

+ 2x17yba abx11y70

es homogneo. Calcular: (a+b)2

A)27 B)49 C)1 D)25 E)36


P(x; y) = (m 3) x2y3 (5 n) x5y2 +pnxy

Si: P(x; y)0. Calcular:pmn+p+ 1A)2 B)4 C)5 D)6 E)7

18. Hallar el trmino independiente del polinomio:

P(x) = xn+2 +xm1 + +mx+ (m+n)

si es completo y ordenado y posee 8 trminos.A)7 B)6 C)14 D)13 E)12

19. Sea P(x)un polinomio mnico de grado 3. Halle lasuma de coecientes del trmino cuadrtico y lineal,siendo su trmino independiente igual a 5. Adems:

P(x+ 1) =P(x) +nx+ 2

A)2 B)4 C)0 D)1 E)3

20. Si se cumple:

a (x+ 3) +b (x 4)7 (2x 3)Calcular: N=

3p

a+p

b

A)2 B)4 C)5 D)6 E)7


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21. Si:

P(x; y) = (a 3b) x22ab y5b + (a+ 5b) xay9es homogneo. Hallar la suma de coecientes.

A)2 B)4 C)5 D)6 E)7

22. SiP(x) = x6

+ 6x5

+ 9x4

8x3

24x2

+ 12, es idn-tico a Q (x) = (x+ 1)

x2 +kx 2 x3 + 3x2 6.Determine el valor de "k"

A)2 B)2 C)4 D)4 E)323. Dado el polinomio:

P(x; y) = 2xab4

+ 3ya2(b4)

+ 4 (xy)ab4

+ 5y4+ab4

Si la suma de todos los grados absolutos de todos sustrminos es

a6 + 2

2. Calcular el valor de "b"

A)5 B)7 C)10 D)14 E)19

24. SiP(x) =x2n+x4n+x6n+ (2n+ 1)sumandos;hallar:

A= P(1) +P(2) P(2) +P(3) P(3)

A)2n B)2n+ 1 C)n=2 D)n E)(2n+ 1) =2

25. En el polinomio:

P(x+ 1) = (3x+ 2)2n (5x+ 7)2 (4x+ 7)

se observa que el triple de la suma de sus coecienteses igual a 343 veces el trmino independiente. Cal-cular el valor de "n".

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

26. Si P(x)es un polinomio denido por:

P(2x 1) = P(2x) +P(1)

ademsP(0) = 2; calcular P(3).

A)2 B)1 C)4 D)4 E)327. Si al polinomio:

P(x; y) =nx

m

y

p

+mx

m1

y

p3

+x

n8

le restamos 12x3y4 su grado disminuye. Halle "m+n+p"

A)20 B)24 C)28 D)48 E)19

28. Dado el polinomio homogneo:

P(x; y) =m2xmmn

+nx2y6 +mx6ymm+n

Halle la suma de sus coecientes.

A)2 B)2 C)5 D)4 E)5

29. SeaP(x) = a3 7x5 + ax2 + a2 + 1un polinomiomnico;(a2R). Halle el trmino que no depende dela variable.

A)5 B)2 C)10 D)17 E)26

30. Halle la suma de los valores de m y n para que elpolinomio sea completo y (n < p)

P(x) = (2 +n) xm+3 + 5x2 +xp+m + 2xn

A)4 B)5 C)2 D)7 E)3

31. Si el polinomio completo:P(x) = 2x2a + (2a 1) x2a1 + (2a 2) x2a2 +

es de(4 +a)trminos. Hallar el valor de "a"

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4


P(2x 3) = (2x+ 3)4m+2(12x 6)2m+(2x+ 1)2m

Calcular "m", si su trmino independiente es iguala1600.

A)0 B)1 C)2 D)3 E)733. Si en el polinomio:

P(x; y) = 34xn3ym+2z6n +xn+2ym3

se cumple que: GA (P) = 11; GRx(P) GRy(P) =5. Halle el valor de "m+n".

A)5 B)15 C)10 D)25 E)12

34. Si:

P

x+ 1

x 1

= x2011 2x2010 + 4

hallar el valor de (P(3))P(1)

A)9 B)16 C)81 D)256 E)243

35. Calcular el grado del polinomio:

P(x; y) = 4xn2 +xy 85n +y4n

A)0 B)1 C)3 D)4 E)5


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Multiplicacin Algebraica - Productos Notables

1 Multiplicacin Algebraica

Tiene por objetivo deterimar una expresin algebraica de-nominada producto a partir de dos o mas expresiones de-nominadas factores.

P(x)M(x) N(x)

1.1 Leyes de la Multiplicacin

Dadosa; bycentoces se cumple:Ley Conmutativa: a

b= b

a

Ley Asociativa: a (b c) = (a b) cLey Distributiva: a (b + c) = a b + a cElemento Inverso Multiplicativo

a a1 =a1 a= 1 (a6= 0)

Elemento Neutro: a 1 = 1 a= a

2 Productos Notables

Son ciertas multiplicaciones algebraicas, que por la formaparticular de sus factores se puede obteber el resultado sinla necesidad de efectuar el proceso de la multiplicacin;entre ellos tenemos:

2.1 Binomio al Cuadrado

(a + b)2 =a2 + 2ab + b2

(a b)2 =a2 2ab + b2

2.2 Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a b)2 = 2 a2 + b2

(a + b)2 (a b)2 = 4ab

(a + b)4 (a b)4 = 8ab a2 + b2

2.3 Diferencia de Cuadrados

(a + b) (a b) =a2 b2

(am + bn) (am bn) =a2m b2n

2.4 Identidades de Steven

(x + a) (x + b) =x2

+ (a + b) x + ab

(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2+ (ab + bc + ac) x + abc

2.5 Binomio al Cubo

(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3 =a3 + b3 + 3ab (a + b) (a b)3 =a3 3a2b + 3ab2 b3 (a b)3 =a3 b3 3ab (a b)

Nota:

(a + b)3 + (a

b)3 = 2a a

2 + 3b2(a + b)3 (a b)3 = 2b 3a2 + b2

2.6 Suma y Diferencia de Cubos

(a + b) a2 ab + b2 =a3 + b3 (a b) a2 + ab + b2 =a3 b3

2.7 Identidad Trinmica de Argand

x2 + x + 1 x2 x + 1 =x4 + x2 + 1

(x2m +xmyn +y2n)(x2m

xmyn +y2n) = x4m +

x2my2n + y4n

2.8 Trinomio al Cuadrado

(a + b + c)2 =a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) (a + b c)2 =a2 + b2 + c2 + 2 (ab ac bc) (a b c)2 [ (b + c a)]2 (b + c a)2

2.9 Trinomio al Cubo

(a + b + c)3 =a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c)

+3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc

(a+b+c)3 =a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)3abc (a + b + c)3 =a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) (b + c) (a + c)

2.10 Identidades Condicionales

Si: a + b + c= 0, entonces se cumple:

a2 + b2 + c2 =2 (ab + ac + bc)

a3

+ b3

+ c3

= 3abc

a4 + b4 + c4 = 2 a2b2 + b2c2 + a2c2 a5 + b5 + c5 =5abc (ab + bc + ac)


9/18

(ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

Adems:

a2 + b2 + c22 = 2 a4 + b4 + c4

a2+b2+c2

2 a3+b3+c3

3 = a

5+b5+c5

5

a2+b2+c2

2

a5+b5+c5

5

= a

7+b7+c7

7

2.11 Identidades de Lagrange

a2 + b2 x2 + y2 = (ax + by)2 + (ay bx)2 a2 + b2 + c2 x2 + y2 + z2 = (ax + by+ cz)2

+ (ay bx)2 + (az bx)2 + (bz cy)2

2.12 Identidades de Gauss

(a + b + c) a2 + b2 + c2 ab bc ac= a3 +b3 +c3 3abc

(a + b + c)[(a b)2 + (b c)2 + (a c)2] = 2(a3 + b3 +c3 3abc)

(a + b) (b + c) (a + c) + abc =(a + b + c) (ab + bc + ac)

2.13 Otras Implicaciones

Si: a2 + b2 = 2ab=)a = b

Si: ab

+ ba

= 2 =)a = b

Si: a + a1 =m =)

a2 + a2 =m2 2a3 + a3 =m3 3m

Si: a a1 =n =)

a2 + a2 =n2 + 2a3 a3 =n3 + 3n

Si: a2 + a2 =k =)

a + a1 =pk+ 2a a1 =pk 2

Si: x; y;z

2R=x2+y2+z2 =xy+yz+xz

)x = y = z

Si:x;y;z2 R ^ m;n;p2Z+=x2m + y2n + z2p = 0

=)x = y = z = 0

EJERCICOS PROPUESTOS

1. Si: a + b= 4 ^ ab= 2. Calcule: a2 + b2A)8 B)10 C)12 D)14 E)16

2. Si: a2 + b2 = 6 ^ a + b= 4. Calcule "ab"A)3 B)5 C)7 D)9 E)11

3. Si: a2 + b2 = 7 ^ ab= 4; 5. Halle: "a + b"A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

4. Si: a b= 5 ^ ab= 3. Determine: a2 + b2A)19 B)25 C)31 D)33 E)41

5. Halle un valor de: "a b". Si se cumple:

a2 + b2 = 11 ^ ab= 1

A)1 B)5 C)3 D)6 E)4

6. Simplique: A= (x + 3)2 (x 3)2(2x + 1)

2 (2x 1)2A)2=3 B)1=3 C)3=2 D)3=2 E)1=2

7. Reducir: N=

p5 +

p32

+p

5 p32p8 p22 p8 + p22

A)1 B)1 C)0 D)2 E)28. El equivalente de la expresin:

A= (x y) (x + y)x2 + y2

x4 + y4

x8 + y8

+ y16

es:

A)x8 B)x16 C)2x16 D)2y16 E)y16

9. Calcule: P = 32p

2 4 10 82 6562 + 1A)3 B)

p3 C)2

p3 D)3

p3 E)1

10. Si: x + y= 7 ^ xy= 12. Determine: x3 + y3A)91 B)91 C)81 D)144 E)49

11. Si se cumple: x3 + y3 = 14^

xy= 4. Calcule:

F = 20 (x + y)3 + 12 (x + y)

A)4 B)6 C)8 D)4 E)6

12. Si: a b= 3; calcule: M=3a2 + 3b2 27

a3 b3 27A)3 B)3 C)31 D)31 E)1

13. Simplique: A= 2 (x + 1) (x + 5) 30

(x 3) (x + 9) + 17A)1 B)

1 C)2 D)

2 E)3

14. Reducir:

H= (x 2) (x + 2) (x + 5) (x + 1) + 8 x2 + 3x

(x + 3) (x + 4) (x 1) x + 4x (x + 3) 20

A)1 B)1 C)2 D)2 E)315. Reducir: N =

3p

3 + 2

3p

9 2 3p3 + 4 3p27A)3 B)8 C)8 D)3 E)6

16. Reducir la expresin:

P = (x + 2) (x 2)x2 2x + 4

x2 + 2x + 4

xp2

p18

A)26 B)26 C)x6 83 D)x3 + 83 E)0


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17. Sabiendo que: a3 +b3 +c3 = 3 y a2 +b2 +c2 = 2.

Calcular: Y =(a + b + c) (2 ab bc ac)

1 3abcA)1=3 B)3 C)1=2 D)1 E)2

18. Calcular "abc", si: a + b + c= 5; a2 + b2 + c2 = 13ya3 + b3 + c3 = 120

A)80 B)85 C)90 D)95 E)100

19. Si: a + b + c= 0, calcular:

A=

a2

bc +

b2

ac+

c2

ab

a2 + ab + b2

b2 + bc + c2

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

20. Si:p

a + x +p

a x= 2x.Calcular:

pa + x pa x ; x6= 0

A)3 B)1 C)1 D)5 E)4

21. Si: x;y;z2 R, talque:x2 + y2 + z2 + 14 = 2 (x + 2y+ 3z)

Halle el valor de: xyz

x3 + y3 + z3

A)1=2 B)1=4 C)1=3 D)1=6 E)2=3

22. Si:fa;b;cg R, calcular: a3

b2c. Si se cumple que:

a2 + 2b2 = 2a (b + c) 2c2

A)2 B)4 C)6 D)8 E)12

23. Si: x + x1 = 6. Calcule: x x1A)2

p2 B)3

p2 C)

p2 D)4

p2 E)6

p2

24. Si: abc= 0, calcular: (a + b) (b + c) (a + c)

ab + bc + ac

A)a + b + c B)abc C)ab + bc + ac

D)a2 + b2 + c2 E)a1 + b1 + c1

25. Si: abc= 0 ^ a + b + c= 1. Halle:

N =a2 + b2 + c2

2 a

3 + b3 + c3

3

A)1=3 B)1=6 C)1=4 D)2=3 E)1=5

26. Si: a2 + b2 = 6 ^ ab= 2Halle el valor de: R= a + b; (R >0)

A)10 B)5 C)p

6 D)p

10 E)p

2

27. Si: a + b= 5 ^ ab= 3Hallar: N=a b ; (N >0)A)1 B)

p3 C)7 D)

p17 E)

p13

28. Reducir:

A=

x y2

2

x + y2

2

A)xy B)xy C)x2 + y2 D)2xy E)2xy

29. Si: x= 3

p1 +

p28 +

3

p1 p28

Calcular: A= x3 + 9x + 7

A)3 B)5 C)7 D)9 E)11

30. Sabiendo que: b= (a + 1) (a + b) ; a6= 0Hallar el valor de: M=a3 + b3 3abA)1 B)1 C)0 D)2 E)2

31. Si: a + b=5 y ab = 3.Determine: N=a3 + b3

A)70 B)80 C)80 D)75 E)9032. Si: x + x1 = 3

Entonces un valor de: x x1 es:A)

p3 B)3

p3 C)

p5 D)5

p5 E)2

p3

33. Si: x4 + x4 = 34

Determine un valor de: x

x1

A)4 B)3 C)2 D)3 E)4

34. Si:

rx

y 6

ry

x = 1

Calcule: A=

rx + 7y

x

A)3

4 B)

4

3 C)

5

2 D)2 E)3

35. Si x; y2R, tales que:

x2 + 2y2 + 2 = 2x 2xy

entonces el valor de: 3xy

x2 + y3 es:

A)2 B)1 C)1 D)2 E)1=4


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Divisin Entera de Polinomios

1 Divisin Entera de Polinomios

Dados dos polinomiosD (x)y d (x)de grados "m" y "n"respectivamente (m n) denominados dividendo y divi-sor; dividirD (x)entred (x)consiste en determinar otrosdos polinomiosQ (x)y R (x)llamados cociente y residuo,donde el grado de R (x) es menor que "n"; tal que es-tos polinomios cumplan la identidad fundamental de ladivisin entera.

1.1 Algoritmo de la Divisin

Llamado tambin identidad fundamental de la divisinentera o Algoritmo Euclideo.

Dados los polinomios dividendo (D (x)) y divisor(d (x)), entonces existen dos polinomios nicos cociente(Q (x))y residuo (R (x))tal que:

D (x) d (x) Q (x) + R (x)

1.2 Propiedades de los Grados

Grado (Q) =Grado (D) Grado (d) Gradomaximo(R) = Grado (d) 1 Grado (D) Grado (d)> 0 Grado (d)> Grado (R) 0

1.3 Clases de Divisin

1.3.1 Divisin Exacta: (R (x) 0)Llamaremos as cuando el resto o residuo que se obtienees un polinomio idnticamente nulo. De donde:

D (x) d (x) Q (x)

Nota: Si la divisin es exacta entonces de dice queD (x)es divisibleentred (x)

1.3.2 Divisin Inexacta (R (x) 6= 0)Llamada tambin divisin no exacta, se le denomina asporque el residuo que se obtiene no es un polinomio idn-ticamente nulo. De donde:

D (x) d (x) Q (x) + R (x)

2 Mtodos de Divisin

Existen cuatro mtodos de divisin, entre ello ten-emos: Mtodo Clsico, Mtodo de Coecientes Separa-dos, Mtodo de Horner y el Mtodo de Runi. En estaparte slo describiremos el Mtodo de Horner y Runi.

Nota: Para poder dividir utilizando cualquier mtodoprimero se debe completar i ordenar en forma decrecienteel dividendo y el divisor.

2.1 Mtodo de Guillermo Horner

ste mtodo emplea slo los coecientes del dividendo ydel divisor ubicados en el siguiente esquema:

Ejemplo:

8x5 + 4x4 + 6x2 + 6x 14x2

4x + 2

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Luego de dividir:

4x5 x2 + 5x3 + 23 x2 + 2x3

Dar como respuesta la suma de coecientes del co-ciente obtenido.

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

2. Hallar "a + b" si la divisin:

2x4

+ 3x2

ax + b2x2 + 2x + 3

no deja resto.

A)9 B)13 C)19 D)17 E)20

3. Si luego de dividir:

9x4 x2 + Ax + B+ 13x2 + x 2

se obtiene un residuo de la forma "3x + 1". Calcular:A BA)

4 B)1 C)3 D)5 E)6

4. Sabiendo que resto de la siguiente divisin:

8x5 + 4x3 + mx2 + nx +p

2x3 + x2 + 3

es: 5x2 3x + 7. Determine: "m + n +p"A)21 B)27 C)30 D)39 E)45

5. En la divisin:

8x4 + Ax3 + Cx + Bx2 + D

2x2 x + 1

Se obtiene un cociente cuyos coecientes disminuyende1 en 1 y un residuo igual a7x + 2. Calcular:"A +B+ C+ D"

A)17 B)18 C)19 D)20 E)23


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6. Si la divisin:

Ax4 Bx3 + 22x2 13x 156x2 4x + 5

es exacta. Calcule: "A B"A)24 B)22 C)22 D)24 E)26

7. Hallar el valor de "k" si al dividirx4

2x3

+ kx10entre x + 2, deja como resto un polinomio idntica-mente nulo.

A)0 B)11 C)11 D)16=5 E)5=168. Al dividir:

8x4 + 18x3 + mx2 + nx +p

2x + 3

se obtiene un cociente cuyos coecientes son enterosy consecutivos y adems el residuo que se obtiene es3. Hallar: "m + n +p"

A)25 B)27 C)30 D)33 E)369. Hallar el resto de la siguiente divisin:

5x4 7x3 + 12x2 + (5n + 1) x + 35x 2

sabiendo que el trmino independiente del cocienteses3.

A)9 B)10 C)11 D)13 E)21

10. Calcular: "a + b" en la divisin:

ax61 + 26x + 26 bx

1

sabiendo que la suma de coecientes del cociente es256y el resto es 24:

A)5 B)7 C)9 D)10 E)11

11. Hallar el resto de la siguiente divisin:

x2009 8x2006 + x 3x + 2

A)2 B)1 C)0 D)1 E)212. Hallar el resto de la siguiente divisin:

3x3n

+1 x3n + 4x3n + 1

; n 2 Z+

A)2 B)1 C)0 D)8 E)213. Hallar el resto de la divisin:

x2 + 2x + 3

2009+

x2 + 2x + 3

1982+ 2x2 + 4x + 1

x2 + 2x + 4

A)9 B)8 C)7 D)6 E)514. Si la divisin:

x21

ax2 + b

x2 2x + 1es exacta. Calcular: a1 (b + 1)

A)2 B)1 C)0 D)1 E)2

15. El resto de dividir "x42x2+px3" entre "x +1" esel triple del resto de dividir el mmismo entre "x1".Hallar "p"

A)2 B)4 C)4 D)3 E)216. Si un polinomio P(x) de tercer grado cuyo primer

coeciente es la unidad, se anula para x = 2, x = 3.

Qu otro valor lo anula, si la suma de sus coecienteses igual a 10?

A)0 B)4 C)4 D)5 E)217.

8x5 + 4x3 + Ax2 + Dx + E+ 2

2x3 + x2 + 3

es:14x2 + 12x + 2. Calcular:p

ADE

A)40 B)13 C)169 D)60 E)9

18. Calcular el residuo de dividir:

x2

3x 14

+ 2 (x 3)5

+ xx 4

A)88 B)89 C)87 D)95 E)98

19. Si la divisin:

6x4 + 16x3 + 25x2 + Ax + B

3x2 2x 1es exacta, entonces el valor de: N=A + B, es:

A)20 B)17 C)47 D)47 E)3720. Para qu valor de "m", la divisin:

5x3 m x2 + x 1

5x2 + 2x 4es exacta?

A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

21. Si al dividir: P(x)entre(x b)da como resto "a"; aldividirP(x)entre(x a)da como resto "b". Hallarla suma de coecientes del resto que se obtiene aldividir :

P(x)

(x

a) (x

b) , (a

6=b)

A)ab B)b a C)a + b D)ab E)2ab


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Divisibilidad y Cocientes Notables

1 Divisibilidad

Dados dos polinomios D (x)y d (x)de grados no nulos, sedir D (x) es divisible por d (x) si existe un nico Q (x),tal que la divisin es exacta. Es decir:

D (x) d (x) Q (x)

1.1 Teorema del Factor

Un polinomio P(x)de grado no nulo se anula para x = asi y soli si P(x)es divisible por (x

a), entonces(x

a)

es un fcator de P(x) :

1.2 Teoremas de Divisibilidad

1.2.1 Teorema 1

Si F(x) es divisible por G (x) y G (x) es divisible porH(x), entonces F(x)es divisible por H(x).

1.2.2 Teorema 2

SiF(x)y G (x)son divisibles por H(x), entonces la sumay la diferencia de F(x)y G (x)es divisible por H(x).

1.2.3 Teorema 3

) Si el polinomio P(x) es divisible separadamentepor los binomios (x a), (x b) y (x c) tal que(a 6=b 6=c), entonces P(x) es divisible por el producto(x a) (x b) (x c)( Recprocamente si el polinomio P(x)es divisible por

el producto(x a) (x b) (x c), entonces ser divisibleseparadamente por(x a),(x b)y (x c). (a 6=b 6=c)

2 Cocientes Notables (C.N.)

Llamaremos cocientes notables (C:N:) a aquellos co-cientes que obtienen en forma directa, es decir, sin lanecesidad efectuar el proceso de la divisin.

en forma general se tendr divisiones de la siguientemanera:

xm ypxa yb

la cual genera un cociente notable (C:N:)si se cumple lasiguiente:

2.1 Condicin Necesaria y Suciente

ma

= pb

=n

donde "n" es el nmero de trminos del cociente notable(n 2; n 2 Z).

2.2 Teorema del Trmino General

Si un cociente notable consta de "n" elementos y se quierecalcular un trmino de lugas "k", se utilizar la siguienteexpresin:

Caso 1xm ypxa yb

entoces:T k|{z}lugar

= (xa)nk

ybk1

Caso 2xm ypxa +yb

entoces:

T k|{z}lugar

= (1)k+1 (xa)nkybk1

2.3 Caso Particular

A continuacin mostraremos un cuadro resumn de loscocientes notables que se obtienen de las divisiones de la

forma xn yn

x yDiv. Cociente Notable Residuoxnyn

xy

xn1+xn2y+xn3y2

+ +yn1 nulo8n 2 Z+

xn+y

n

x+y

xn1xn2y+xn3y2 xyn2 +yn1

xn1xn2y+xn3y2 +xyn2 yn1

nulo si n impar

2yn si n par

xnyn

x+y

xn1xn2y+xn3y2 +xyn2 yn1

xn1xn2y+xn3y2 xyn2 +yn1

nulo si n par

2yn si npar

xn+yn

xyxn1

+xn2

y+xn3

y2

+ +xyn2 +yn1 2yn; 8n 2 Z+

EJERCICOS PROPUESTOS1. Determinar "mn" sabiendo que el polinomio "mx4+

nx3 7x2 + 16x + 15" es divisible por "x2 3x + 5".A)1 B)2 C4 D)3 E)5

2. Se tiene un polinomio de segundo grado que es di-visible por (x 1); se sabe adems que su trminoindependiente es3y que al dividirlo por (x+ 1) seobtuvo como resto 8. Hallar el resto que resulta dedividir el polinomio por(x 3).A)56 B)44 C)46 D)40 E)48


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3. Si el siguiente cociente notable:

x80 x5nxm y4

tiene10 trminos. Calcular: "m+n"

A)12 B)14 C)16 D)18 E)20

4. Sabiendo que el C.N.

an2 bm+5a3 b2

tiene9 trminos en su desarrollo, calcular:p

n mA)1 B)4 C)5 D)3 E)7

5. Determinar el valor de "n" si la siguiente divisin:

x4n+12

y4n3

xn8 yn9

genera un Cociente Notable.

A)10 B)11 C)12 D)13 E)14

6. Hallar el nmero de trminos del desarrollo del C.N.

a5n+3 b5n+30an1 bn+2

A)3 B)5 C)6 D)7 E)9

7. Calcular el grado del trmino de lugar 5 en el sigu-iente cociente notable:

xn y128x2 yn

A)60 B)64 C)70 D)72 E)76

8. Simplicar:

A= x14 +x12 +x10 + +x2 + 1

x6 +x4 +x2 + 1

A)x8

+ 1 B)x8 1 C)x16 + 1 D)x16 1 E)1

9. Evaluar el quinto trmino del C.N. a partir de:

x36 y12x6 y2

para: x= 28 e y = 26

A)24 B)210 C)16 D)1 E)28

10. Qu lugar ocupa el trmino independiente en el de-sarrollo del C.N.

P(x) = x27 x9

x3 x1

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

11. Calcular "n" para que el trmino independiente delC.N.

x24 n6x6x4 nx1

sea81.

A)3 B)4 C)5 D)6 E)9

12. Dado el cociente notable:x120 y40

x3 ySabiendo que el Tp = x90y

n. Hallar: "p n"A)56 B)72 C)90 D)110 E)132

13. Hallar el grado absoluto del trmino central del de-sarrollo del siguiente C.N.:

Q (x; y) = x6k3 y8k+3

x3 y5

A)22 B)24 C)26 D)28 E)30

14. Si C(x; y) es el trmino central del desarrollo delC.N.:

(3x+ 2y)15 y153x+y

Indicar el valor de C(1;2)A)128 B)37 C)64 D)37 E)128

15. Hallar el vigsimo tercer trmino del desarrollo delcociente notable:

x120 y96

x5

y4

Indicar la suma de exponentes.

A)91 B)93 C)95 D)97 E)99

16. Si el trmino de lugar 4 contado desde el extremonal del desarrollo del C.N.:

x5k y2kx5 y2

tiene grado absoluto 37.

Calcular el nmero de trminos del desarrollo delC.N.

A)10 B)12 C)14 D)15 E)18

17. Si la siguiente divisin:

xn2+81 y2n

x27 y3

genera un cociente notable. Halle el nmero de tr-minos de dicho cociente notable.

A)6 B)12 C)15 D)13 E)9

18. Si el cociente notable:

x30

ym

xn y2tiene10trminos, Halle el valor de "m+n".

A)23 B)21 C)25 D)35 E)50


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19. Qu lugar ocupa el trmino independiente en el de-sarrollo del C.N.:

Q (x) = x27 x9

x3 x1

A)6 B)7 C)8 D)9 E)No tiene

20. Si el siguiente cociente notable:

x120 y40x3 y

tiene un trmino Tp = x90ym. Hallar: "m p"

A)72 B)110 C)132 D)56 E)90

21. Si: x66y7+5r es el sptimo trmino del desarrollo delC.N.

xp yqx11 yr

Indicar el trmino de lugar 5 contado a partir del

extremo nal.

A)x55y49 B)x66y42 C)x55y35

D)x44y56 E)x5y66

22. Sabiendo que el Cociente Notable:

am2 bn+5a3 b2

tiene9 trminos en su desarrollo, calcular:p

m nA)1 B)3 C)4 D)5 E)7

23. Evaluar el quinto trmino del Cociente Notableobtenido a partir:

x36 y12x6 y2

para: x= 28; y= 26

A)24 B)210 C)24 D)28 E)1

24. Calcular "m n", si el trmino de lugar 24 del C.N. :x325m y260n

x5m y4n

esx345y984

A)6 B)12 C)15 D)18 E)24

25. El grado absoluto del trmino de lugar 6 del siguientecociente notable:

x3n+9 +y3n

x3 +y2

es:

A)9 B)10 C)18 D)19 E)21

26. Calcular elT20 del siguiente cociente notable:

x70 + 1x2 + 1

A)x30 B)x28 C)x32 D)x30 E)x28

27. Sabiendo que el quinto trmino del siguiente cocientenotable:

a4xb4

x

a5y9 b5y9

esa176b64. Calcule: n + x + y, siendon el nmero detrminos.

28. Calcular "a + b", si el quiento trmino del desarrollodel C.N. :x14 y35

x2 y5es x9ay12+b

A)11 B)13 C)13 D)8 E)529. Dar el nmero de trminos enteros en el cociente no-

table:x30 x30

x3 x3A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

30. Cul es el nmero de trminos en el siguiente co-ciente notable?

xn 1x 1

si se cumple:(T10) (T50) (T100) =x236

A)122 B)127 C)133 D)149 E)132

31. Qu lugar ocupa el trmino independiente del desar-rollo del C.N.

x27 x45x3 x5

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

32. Calcular "m" para que el trmino independiente delC.N.

x24 m6x6x4 mx1

sea 81.

A)3 B)4 C)5 D)6 E)9

33. Si el trmino de lugar 4 contado desde el extremonal del desarrollo del C.N.

x5p y2px5 y2

tiene grado absoluto 37. Indicar el nmero de trmi-nos.

A)10 B)12 C)14 D)15 E)18

34. Cul es el cociente notable que dio origen al desar-rollo:

x10 +x8 +x6 +x4 +x2 + 1

A)x101

x1 B)x

121

x1 C)x

141

x1 D)x

81

x1 E)x

111

x1

35. Sabiendo que el cociente notable:

xk ymx2 y7

admite en su desarrollo xcy70 como su trmino cen-tral. Halle "m 3k c"A)10 B)20 C)36 D)10 E)50


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Factorizacin

1 Factorizacin

es el proceso mediante el cual un polinomio se puede ex-presar como la multiplicacin de dos o ms polinomios

P(x) M(x) N(x)

1.1 Factor Primo

Es aquel polinomio que no puede descomponerse en lamultiplicacin de otros polinomios.

Nota: Todo polinomio de primer grado siempre es

primo en cualquie campo numrico.

1.2 Propiedades

1.2.1 Propiedad 1

El nmero mximo de factores primos que tiene un poli-nomio es t dado por su grado.

1.2.2 Propiedad 2

Slo se pueden factorizar polinomio no primos

2 Mtodos de Factorizacin

2.1 Mtodo del Factor Comn - Agru-

pacin de Trminos

Consiste en determinar factores comunes que pueden sermonomios o polinomios de ms de un trmino; en casode no haber algn factor comn, se agrupar covenien-temente con la nalidad de que aparezca algn factorcomn.

Ejemplo:

P(x; y) = x y 3 x

P(x; y) =x (y 3)

2.2 Mtodo de las Identidades

En este caso utilizaremos las equivalencias de todos losproductos notables, es decir:

x2 2xy+ y2 = (x y)2

x2 y2 = (x + y) (x y)

x3 y3 = (x y)

x2 + xy+ y2

x3 + y3 = (x + y)

x2 xy+ y2

x3 y3 3xy (x y) = (x y)3

entre otros

Ejemplo:

Factorizar P(x) = x3 + x2 x 1agrupando convenientemente se tiene:P(x) = x2 (x + 1) (x + 1) = (x + 1)

x2 1

de donde: P(x) = (x + 1) (x + 1) (x 1) =

(x + 1)2 (x 1)

2.3 Mtodo de las Aspas

EJERCICOS PROPUESTOS

1. Factorice:

P(x;y;z;w) =x2z2 + xzw + xyz + yw

Indique el nmero de factores primos

A)1 B)2 C)4 D)3 E)5

2. Determine el nmero de factores primos cuadrticosal factorizar:

P(x;y;a) =a2xy ay2 + ax2 xy

A)1 B)2 C)4 D)3 E)5

3. Factorice:

P(x) =x2 + 6x 187

Indique la suma de coecientes de un factor primo.

A)12 B)10 C)10 D)17 E)19

4. Factorice:

P(x) = (x + 2)2 4x 13

Calcule la suma de los trminos independientes de los

factores primos de P(x).

A)1 B)0 C)1 D)3 E)5

5. Halle la suma de coecientes de un factor primo queresulat al factorizar:

P(x; y) = 10x2 + 11xy 6y2 x 11y 3

A)1 B)0 C)1 D)3 E)5

6. Calcule el producto de los trminos independientesde los factores primos de:

P(x; y) = 6x2 + 9xy+ 16x + 15y+ 10

A)10 B)10 C)6 D)15 E)5


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7. Factorice:

P(x; y) = 5x2 + 16xy+ 3y2 + 11x + 5y+ 2

Indicar el trmino independiente de uno de sus fac-tores primos.

A)1 B)0 C)1 D)3 E)5

8. Factorizar:

P(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1

Indicar el nmero de factores primos cuadrticos.

A)1 B)2 C)4 D)3 E)5

9. Halle la suma de los trminos independientes de losfactores primos de:

P(x) = x4 x3 25x2 + 37x + 60

A)1 B)1 C)2 D)2 E)6

10. Calcula la suma de raices del polinomio:

P(x) = x4 + 2x3 13x2 38x 24

A)1 B)1 C)2 D)2 E)6

11. Factorizar:

P(x) = x3 2x2 x + 2

Hallar el trmino intependiente de uno de sus factores

primos.A)4 B)1 C)2 D)4 E)6

12. Luego de factorice:

P(x) = x5 x4 2x3 x2 + x + 2

Determinar el nmero de factores primos

A)1 B)2 C)4 D)3 E)5

13. Despus de factorizar:

P(x) =x5 2x4 4x + 8

Indique el nmero de factores primos.

14. Luego de factorizar:

P(a) =a4 + 64

La suma de coecientes de uno de sus factores primoses:

A)13 B)12 C)15 D)21 E)25

15. Indique el trmino independiente de uno de los fac-tores primos de:

P(x) =

x2 x + 12 10x (x 1) + 11

A)6 B)4 C)1 D)2 E)3

16. Factorice:

P(x) = a2x4 + c2

b2 + 2ac

x2

Luego indique la suma de trminos lineales de susfactores primos.

A)2bx B)2bx C)0 D)2ax E)2ax


P(x;y;z) = (x + y+ z) (xy+ xz+ yz) xyz

Determine el nmero de factores primos

A)1 B)2 C)4 D)3 E)5

18. Indique el nmero de factores lieneales que se obtieneal factorizar:

T(x;y;z) = x (y+ z)2

+y (x + z)2

+z (x + y)24xyz

A)1 B)2 C)4 D)3 E)5


4

x2 + 2ax + a2 a2x2 (x + a)2

Determine el nmero de factores primos.

A)2 B)3 C)4 D)5 E)1

20. Indique el nmero de factores primos de:

M(x;y;z) =x

x2 y2 + xz y2z

A)3 B)2 C)5 D)1 E)4

21. Determine el producto de la suma de coecientes delos factores primos de:

P(x; y) =xm+a + xmyb + xayn + yn+b + zpxa + zpyb

A)3 B)4 C)6 D)8 E)12

22. Factorice: P(x; a) = x2 b2 + 2ax + a2

Halle la suma de los trminos independientes de susfactores primos.

A)2a B)0 C)2b D)2a E)2b

23. Halle el nmero de factores lineales de:

P(x; a) = a2x2 ax 6

A)0 B)1 C)2 D)3 E)5

24. Dado:P(x; y) = 2x2 3xy+ 4x 2y2 + 7y 6

Indique el trmino independiente de uno de los fac-tores primos.

A)3 B)3 C)2 D)6 E)6

25. Factorice e indique la suma de la suma de coecientesde los factores primos de:

B (x; y) = 2x2 + 5xy 7x 3y2 + 7y 4

A)0 B)3 C)2 D)3 E)5


18/18

26. determine el producto de la suma de coecientes delos factores primos de:

A (x; y) = 8x 8y 2xy+ x2 + 16

A)10 B)10 C)15 D)14 E)12

27. Seale el coeciente del trmino lineal de uno de losfactores primos de:

P(x) = x2

x2 4x + 11 14x + 10

A)2 B)1 C)1 D)4 E)5

28. Halle el nmero de factores primos de:

P(x) = x4 + 2x3 3x2 4x + 4

A)2 B)1 C)3 D)4 E)5

29. Determine el nmero de factores primos cuadrticos

que se obtiene al factorizar:

Q (x) = x4 x3 4x2 4x + 16

A)1 B)2 C)0 D)3 E)4

30. Factorizar e indicar la suma de coecientes de uno delos factores primos de:

R (x) = x3 + 2x2 x 2

A)1 B)4 C)0 D)5 E)6


N(x) = 2x5 x4 15x3 + 19x2 + x 6

indicar el nmero de factores primos.

A)1 B)2 C)3 D)5 E)4

32. Factorice:

P(x) =x5 + 3x4 5x3 15x2 + 4x + 12

determine el producto de los trminos independientesde sus factores primos.

A)12 B)11 C)15 D)12 E)14

33. Factorizar: P(x) =x4 + x2 + 1, indicar el nmero defactores primos cuadrticos.

A)1 B)2 C)3 D)5 E)4

34. Determine el nmero de factores primos al factorizar:

P(a; x) = a4 + 4x4

A)1 B)2 C)3 D)5 E)4

35. Indique el grado de uno de los factores primos de:

P(x) = x5 + x + 1

A)1 B)2 C)3 D)5 E)4

tomo 1 algebra

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