algebra superior 1

7/25/2019 Algebra Superior 1

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Captulo I

NMEROS REALES Y COMPLEJOS

INTRODUCCION.

Las frmulas matemticas pueden compararse con piezas de maquinaria

que trabajan sobre materias primas para obtener de stas, productos

acabados. En este caso, tales materias primas proceden de los

p-.roblemas que nos presenta el mundo fsico, usualmente en forma de

nmeros. Los productos acabados son las soluciones a los problemas.

Los nmeros que se emplean para este objeto son elementos de ciertos

conjuntos de nmeros designados como sistemas numricos. Las

propiedades de estos conjuntos son las de las materias primas. or lo

tanto es natural que se comience este estudio con un e!amen amplio de

las propiedades de los sistemas numricos.

Las frmulas son entramados matemticos en que entran smbolos

literales se colocan o disponen las materias primas en las piezas de esta

maquinaria matemtica " se reemplazan los smbolos de nmeros.

Luego las frmulas constan de letras " smbolos matemticos

relacionados entre s, ms bien que de nmeros particulares.

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#laro est que es solamente mediante el uso de letras para representar

nmeros no especi$cados que se pueden obtener resultados de algn

signi$cado general.

%l usar letras como smbolos es con&eniente elegirlas de manera que

sugiera cierto orden 'a, b, c,((.).

%lgunas &eces es con&eniente usar &arios conjuntos de letras para

denotar ternas de nmeros relacionados de cierta manera. *'a, b, c), '%,

+, #) ' , , .

ucas proposiciones o enunciados de resultados matemticos contiene

la frase /si0 " solo si. 1ales proposiciones constan realmente de dos

partes distintas, " e!presan una conclusin, es decir, una consecuencia,

es &lida si " solamente si, una iptesis, o sea, una suposicin, es

&erdadera. Esto signi$ca, primero, que si se izo la suposicin, la

conclusin ser &lida " signi$ca al decir que la suposicin es una

condicin su$ciente. 1ambin e!presa que la conclusin no puede ser

&lida, sin ser &erdadera la iptesis, por lo que esta es una condicin

necesaria. Luego las dos partes de la proposicin, iptesis "

conclusin, pueden llamarse condiciones equi&alentes.

En estos apuntes, se arn mucas cosas con los nmeros reales,

sumarlos, multiplicarlos, comparar sus magnitudes, etc. ara asegurarse

que puede acerse con ellos " que no, se presentan algunas

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suposiciones bsicas de los reales a lo largo del captulo, as como

algunas reglas que son consecuencia de estas suposiciones.

Origen el !lge"ra

Los babilonios desarrollaron tcnicas " mtodos para medir " contar,

impulsados en parte por la necesidad de resol&er problemas

prcticos de agrimensura, de intercambio comercial " del desarrollo

de las tcnicas cartogr$cas. Entre las tablillas babilnicas

descubiertas se an encontrado ejemplos de tablas de races

cuadradas " cbicas, " el enunciado " solucin de &arios problemas

puramente algebraicos, entres ellos algunos equi&alentes a lo que

o" se conoce como una ecuacin cuadrtica. 2n e!amen cuidadoso

de las tablillas babilnicas muestra claramente que mediante esos

clculos sus autores no slo intentaban resol&er problemas del

mundo real, sino otros ms abstractos " arti$ciales, " que lo acan

para desarrollar tcnicas de solucin " ejercitarse en su aplicacin.

En cuanto que, asta la mitad del siglo 343, el lgebra se ocup

principalmente de resol&er ecuaciones de este tipo, puede decirse

que fue en +abilonia donde tu&o su origen esta ciencia.

5ueron los rabes quienes le dieron a la nue&a ciencia de plantear "

resol&er ecuaciones un nombre6 aljabr. La nue&a ci&ilizacin que

surgi en la pennsula arbiga en la primera mitad del siglo 744,

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abra de transformar mu" pronto la &ida de gran parte del mundo

abitado de entonces. enos de un siglo despus de la captura de La

eca por aoma en el a8o 9:; d.#., el ejrcito islmico aba

con&ertido a las tribus politestas del edio ? d.#.

Los sucesores de aoma, los califas, primero establecieron su

capital en @amasco pero, tras cien a8os de guerras, el califato se

di&idi en &arias partes.

La fundacin en A99 d.#. por parte del califa %l B ansur de +agdad

como la nue&a capital de su califato, signi$c el comienzo de una

etapa ms tolerante del islamismo " permiti el desarrollo intelectual

de sus abitantes. =u sucesor, el califa Carun al B Dasid, quien

gobern entre A9 " ;F, estableci en +agdad una biblioteca en la

que se reunieron manuscritos pro&enientes de &arias academias del

#ercano


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in&estigaciones que fundara el califa al B aHmun " que funcion

durante ms de I;; a8os.

uammad usa al B JKarizmi, un miembro del +a"al alBCiGma

fue el autor de &arios tratados sobre astronoma " matemticas,

entre ellos uno de los primeros tratados islmicos acerca del lgebra.

5ue gracias a la traduccin al latn de su libro acerca del sistema de

numeracin ind, %lgoritmi de numero indorum, que Europa

B??:?),

mejor conocido en


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La contribucin de los algebristas islmicos de los siglos 34 " 344 en el

desarrollo del lgebra abra sido ms notoria si no ubiera tardado

tanto en ejercer su inOuencia en Europa, donde, un poco despus, el

lgebra abra de consolidarse de$niti&amente.

#i$toria el !lge"ra

La istoria del lgebra comenz en el antiguo Egipto " +abilonia,

donde fueron capaces de resol&er ecuaciones lineales 'a! P b) "

cuadrticas 'a!IQ b! P c), as como ecuaciones indeterminadas con

&arias incgnitas. Los antiguos babilonios resol&an cualquier

ecuacin cuadrtica empleando esencialmente los mismos mtodos

que o" se ense8an.

Los matemticos alejandrinos Cern " @iofante continuaron con la

tradicin de Egipto " +abilonia, aunque el libro /Las aritmticas de

@iofante0 es de bastante ms ni&el " presenta mucas soluciones

sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difciles. Esta antigua

sabidura sobre resolucin de ecuaciones encontr, a su &ez, acogida

en el mundo islmico, en donde se la llam /ciencia de reduccin "

equilibrio0. 'La palabra rabe al-jabr que signi$ca RreduccinH, es el

origen de la palabra lgebra). En el siglo 43, el matemtico al-

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SKarizmi escribi uno de los primeros libros rabes de lgebra, una

presentacin sistemtica de la teora fundamental de ecuaciones,

con ejemplos " demostraciones incluidas. % $nales del siglo 43, el

matemtico egipcio %bu Jamil enunci " demostr las le"es

fundamentales e identidades del lgebra.

En las ci&ilizaciones antiguas se escriban las e!presiones algebraicas

utilizando abre&iaturas slo ocasionalmenteT sin embargo, en la edad

media, los matemticos rabes fueron capaces de describir cualquier

potencia de la incgnita !, " desarrollaron el lgebra fundamental delos polinomios, aunque sin usar los smbolos modernos.

Esta lgebra inclua multiplicar, di&idir " e!traer races cuadradas de

polinomios, as como el conocimiento del teorema del binomio.

El matemtico, poeta " astrnomo persa


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% principios del siglo 374 los matemticos italianos =cipione del 5erro,

1artaglia " Uerolamo #ardano resol&ieron la ecuacin cbica general

en funcin de las constantes que aparecen en la ecuacin. Ludo&ico

5errari, alumno de #ardano, pronto encontr la solucin e!acta para

la ecuacin de cuarto grado ", como consecuencia, ciertos

matemticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la frmula

de las races de las ecuaciones de quinto grado " superior. =in

embargo, a principios del siglo 343 el matemtico noruego Viels

CenriG %bel " el francs W&ariste Ualois demostraron la ine!istenciade dica frmula.

2n a&ance importante en el lgebra fue la introduccin, en el siglo

374, de smbolos para las incgnitas " para las operaciones "

potencias algebraicas. @ebido a este a&ance, el Libro 444 de la

Geometra'?9:A), escrito por el matemtico " $lsofo francs Den

@escartes se parece bastante a un te!to moderno de lgebra. =in

embargo, la contribucin ms importante de @escartes a las

matemticas fue el descubrimiento de la geometra analtica, que

reduce la resolucin de problemas geomtricos a la resolucin de

problemas algebraicos. =u libro de geometra contiene tambin los

fundamentos de un curso de teora de ecuaciones, inclu"endo lo que

el propio @escartes llam la regla de los signospara contar el nmero

de races &erdaderas 'positi&as) " falsas 'negati&as) de una ecuacin.

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@urante el siglo 37444 se continu trabajando en la teora de

ecuaciones " en ?AFF el matemtico alemn #arl 5riedric Uauss

public la demostracin de que toda ecuacin polinmica tiene al

menos una raz en el plano complejo.

En los tiempos de Uauss, el lgebra aba entrado en su etapa

moderna. El foco de atencin se traslad de las ecuaciones

polinmicas al estudio de la estructura de sistemas matemticos

abstractos, cu"os a!iomas estaban basados en el comportamiento de

objetos matemticos, como los nmeros complejos.

@os ejemplos de dicos sistemas son los grupos " las cuaternas, que

comparten algunas de las propiedades de los sistemas numricos,

aunque tambin di$eren de ellos de manera sustancial. Los grupos

comenzaron como sistemas de permutaciones " combinaciones de

las races de polinomios, pero e&olucionaron para llegar a ser uno de

los ms importantes conceptos uni$cadores de las matemticas en el

siglo 343. Los matemticos franceses Ualois " %ugustin #auc", el

britnico %rtur #a"le" " los noruegos Viels %bel " =opus le icieron

importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron

descubiertas por el matemtico " astrnomo irlands Xilliam DoKan

Camilton, quien desarroll la aritmtica de los nmeros complejos

para las cuaternasT mientras que los nmeros complejos son de la

forma 'a Q bi), las cuaternas son de la forma 'a Q bi Q cj Q dG).

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@espus del descubrimiento de Camilton, el matemtico alemn

Cermann Urossmann empez a in&estigar los &ectores. % pesar de su

carcter abstracto, el fsico estadounidense S. X. Uibbs encontr en el

lgebra &ectorial un sistema de gran utilidad para los fsicos, del

mismo modo que Camilton aba eco con las cuaternas.

La amplia inOuencia de este enfoque abstracto lle& a Ueorge +oole

a escribir 4n&estigacin sobre las le"es del pensamiento '?Y>), un

tratamiento algebraico de la lgica bsica. @esde entonces, el

lgebra moderna Btambin llamada lgebra abstractaB a seguidoe&olucionandoT se an obtenido resultados importantes " se le an

encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemticas " en

mucas otras ciencias.

PERSONAJES DEL !L%E&RA

%eorge &oole '()(*+(),-/

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Declu" la lgica a un

lgebra simple. 1ambin trabaj en ecuaciones diferenciales, el clculo

de diferencias $nitas " mtodos generales en probabilidad.

+oole primero concurri a una escuela en Lincoln, luego a un colegio

comercial. =us primeras instrucciones en matemtica, sin embargo

fueron de su padre quin le dio tambin a Ueorge la a$cin para la

construccin de instrumentos pticos. El inters de Ueorge se &ol&i a

los idiomas " recibi instruccin en Latn de una librera local.

% la edad de ?I a8os aba llegado a ser tan bil en Latn que

pro&ocaba contro&ersia. Wl tradujo del Latn una


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+oole no estudi para un grado acadmico, pero a la edad de ?9 a8os

fue un profesor au!iliar de colegio. Wl mantu&o su inters en idiomas e

intent ingresar a la 4glesia. @esde ?:Y, sin embargo, pareci aber

cambiado de idea "a que abri su propio colegio " empez a estudiar

matemticas por s mismo. 1ard en darse cuenta que aba perdido casi

cinco a8os tratando de aprender las materias en &ez de tener un

profesor e!perto.

En ese periodo +oole estudi los trabajos de Laplace " Lagrange,

tomando apuntes, los cuales llegaron a ser ms tarde las bases para sus

primeros papeles matemticos. @e cualquier modo el recibi estmulos

de @uncan Uregor" quin se encontraba en #ambridge por ese tiempo "

del editor Z#ambridge atematical 5ormalZ recientemente fundado.

+oole fue incapaz de tomar los consejos de @uncan Uregor" " estudiar

cursos en #ambridgeT "a que necesitaba los ingresos de su colegio para

cuidar a sus padres. Vo obstante l comenz a estudiar lgebra. 2na

aplicacin de mtodos algebraicos para la solucin de ecuaciones

diferenciales fue publicada por +oole en el Z1ransaction of te Do"al

=ociet"Z " por este trabajo recibi la medalla de la Deal =ociedad. =u

trabajo matemtico fue el comienzo que le trajo fama.

+oole fue nominado para una ctedra de matemtica en el [ueens

#ollege, #orG en ?>F. Wl ense8 all por el resto de su &ida, ganndose

una reputacin como un prominente " dedicado profesor.

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En el ?Y> public 2na in&estigacin de las le"es del pensamiento sobre

las cuales son basadas las teoras matemticas de Lgica " robabilidad.

+oole apro!im la lgica en una nue&a direccin reducindola a un

lgebra simple, incorporando lgica en las matemticas.

%gudiz la analoga entre los smbolos algebraicos " aquellos que

representan formas lgicas. #omenzaba el lgebra de la lgica llamada

%lgebra +ooleana la cual aora encuentra aplicacin en la construccin

de computadoras, circuitos elctricos, etc.

+oole tambin tradujo en ecuaciones diferenciales, el inOu"ente Z1ratado

en Ecuaciones @iferencialesZ apareci en ?YF, el clculo de las

diferencias $nitas, Z1ratado sobre el #lculo de las @iferencias 5initasZ

'?9;), " mtodos generales en probabilidad. ublic alrededor de Y;

escritos " fue uno de los primeros en in&estigar las propiedades bsicas

de los nmeros, tales como la propiedad distributi&a que fundamento los

temas del lgebra.

ucos onores le fueron concedidos a +oole, fue reconocido como el

genio en su trabajo recibi grandes onores de las uni&ersidades de

@ubln "


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El sistema de lgica de +oole es una de las mucas pruebas de genio "

paciencia combinada. Esta el proceso simblico del lgebra, in&entado

como erramienta de clculos numricos, sera competente para

e!presar cada acto del pensamiento, " pro&eer la gramtica " el

diccionario de todo el contenido de los sistemas de lgica, no abra sido

creble asta probarlo. #uando Cobbes public su Z#omputacin

LgicaZ l tena un remoto reOejo de algunos de los puntos que an sido

ubicados en la luz del da por r. +oole.

El lgebra +ooleana tiene una amplia aplicacin el sKitc telefnico " en

el dise8o de computadoras modernas. El trabajo de +oole a llegado a

ser como un paso en la re&olucin de las computadoras o" en da.

NMEROS REALES

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(.(. CONCEPTOS Y DE0INICIONES

A1IOMAS. 'POSTULADO DE PEANO

?-.? V

Esto a$rma, que por lo menos V posee un elemento.

I-. =i n V

un nmero natural nico llamado el siguiente de n

*=4U'n).

Esto indica que V es un conjunto in$nito.

V P \?((((]

:-. =4U 'n) ^ ?T n _ VT este a!ioma dice que el ?, es el primer

elemento del conjunto V, es decir ningn elemento antes del ?.

>-. =i =4U 'n) P =4U 'm) n P m, o sea que no a" I naturales

diferentes que tenga el mismo siguiente.

Y-. =i J `VT que tiene las siguientes propiedades6

a)-. ? J.

b)-. =i J =4U ') J

J P V

@e$nicin6 % cada I nmeros naturales podemos asociarles un nmero

natural por medio de una operacin llamada suma en V, cu"as

propiedades son6

a)-. n Q ? P =4U 'n)

b)-. n Q =4U 'm) P =4U 'n Q m)

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DECIMALES PERIODICOS Y NO PERIODICOS

La presentacin racional de un nmero decimal o bien es $nita 'como en

:M P ;.:AY;;;) o se repite en ciclos regulares asta 'como en ?:M??

P ?.???) un poco de e!perimento por el proceso de la di&isin le

demostrara 'por que solo puede aber un nmero $nito de residuos

diferentes).

2n decimal $nito puede ser considerado como uno en el que se repite

ceros.

or ejemplo6 :M P ;.:AY;;;(

or lo tanto todo nmero racional puede escribirse como un decimal

peridico. Es un eco notable que el in&erso tambin es cierto. 1odo

decimal peridico representa un nmero racional. Esto es ob&io en el

caso de un decimal $nito '.E. :?:AM?;;;) " es fcil de demostrar en el

caso general.

Ejemplo6 'Los decimales peridicos son racionales)6

@emuestre que 3 P ;.?:9?:9?:9 " P ;.IA?A?A representan unnmero racional.

=olucin6 Destamos 3 de ?;;;! " despus despejamos a 3.

1000x=136.136136 100y=27.171717

x=0.136136 y=0.271717

999x=136 99y=26.9

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x=136

999 y=

26.9

99 =

269

990

En general nuestro primer paso consiste en multiplicar un decimal

peridico por ?;msi los decimales que se repiten en cada ciclo constan

de m dgitos.

Las representaciones decimales de nmeros irracionales no se repiten

en ciclos recprocamente, un decimal no peridico debe representarse

un nmero irracional.

. E. ;.?;?;;?;;;?;;;;?

@ebe representar un nmero irracional.

(.2. PROPIEDADES Y OPERACIONES

En este captulo introduciremos " estudiaremos el conjunto de los

a!iomas " trminos inde$nidos 'como punto " lnea) que forman la base

o fundamento para la prueba de teoremasT la utilizacin de estos

conceptos se le conoce como sistema deducti&o o a!iomtico.

Cla$i34a4i5n e lo$ n67ero$

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NUMEROSCOMPLEJOS '8

Vmeros Deales 'R

Vmeros 4rracionales 99 P {r M r es no racional}

Estos pueden ser numricosdecimales, no peridicas.

Vmeros Dacionales 9

9P {r M r P m MnT m, n RT n ;}

Estos pueden ser decimales $nitos


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#onsideraremos un conjunto de elementos llamados nmeros reales, e

indicaremos el conjunto con R.

%un cuando los nmeros reales no se de$nan, obtendremos un

conocimiento intuiti&o de su naturaleza al estudiar algunas de sus

propiedades.

En el cuadro de arriba, se dan algunas de las de$niciones.

(.2.(. NMEROS NATURALES.

Z

+=N

Es el conjunto de las /r0 tal que o tales que r=mn donde m, n

V " mn.

(.2.2. NUMEROS ENTEROS '8.

Es el conjunto de las /r0 tal que o tales que r=mn T donde m, n

V.

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5raccionario

Enteros ' Z )

#eroEntero Vegati&o

Z

={r M r PEntero Q '

+Z

)


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#omo se puede obser&ar el #onjunto de los nmeros enteros es unsubconjunto in$nito del sistema de los nmeros reales R.

(.2.:. NUMEROS RACIONALES '9

Es el conjunto de las /r0 tal o tales que r=mn;m, nR ; n 0 estos

pueden ser decimales $nitos o in$nitos peridicos.

(.2.-. NMEROS IRRACIONALES '9.

Es el conjunto de las /r0 tal o tales que /r0 es no racionalT estos pueden

ser nmeros decimales no peridicos.

El conjunto de los nmeros reales, tiene dos operaciones de$nidas

bsicas conocidas como ai4i5n ; 7ultipli4a4i5n


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c P dT ac P bdT " como dPcT ac P bc.

or lo general los ltimos : a!iomas se escriben de la siguiente forma6a) cantidades iguales a la misma cantidad son iguales entre s.b) =i cantidades iguales se suman a cantidades iguales, las sumas

son iguales.c) =i cantidades iguales se multiplican a cantidades iguales, los

productos son iguales.

1ambin, tendremos otros a!iomas llamados de campo para los nmeros

reales, los cuales se representan a continuacin " se plantean tanto para

la suma como para el producto6

=i !, ", z Rentonces6

( ! Q " R Cerraura

! ." R

2 ! Q " P " Q ! R Con7utati?a

! " P " ! R

: ! Q '" Q z) P '! Q ") Q z R A$o4iati?a

! '" z) P '! ") z R

- !-?M ! !-?P ? R In?er$o

- ! M ! Q '-!) P ; R

* ? M ! ? P ! R Neutro

; M ! Q ; P ! R

, ! '" Q z) P !" Q ! z R Di$tri"uti?o

@el diagrama de la clasi$cacin de los nmeros, se puede obser&ar que6

(+ZQR

Z

2

=Z+Z

Q Q'= ; Z

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: QQ'=U=R


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(.+ % partir de la clasi$cacin de los nmeros reales escoja el nombreque mejor describa a cada uno de los siguientes conjuntos de nmeros6

a) 6,4,2 , 2,7

b) 1,2,0,1

3

c) 2, ,1

2,3, 2

d) 4,2,3, 1

e)2

3 ,3,

4

6, 0

f)

1

3, 10,4

2.+@iga cul de las siguientes propiedades o a!iomas estudiados,justi$ca cada uno de los enunciados siguientes6

a) (x+y ) 1

x+ y=1

b) Si x+2=y y y =5 x+2=5

c) x ( 1x )=1

d) [(x+y )]=x+y

e) Si a+c=b+c a=b

f)3

4

a+b5

=3(a+b)

4 5

g) x+ (y+0 )+[(y+x )]=0

) x+ (5+y )=(5+x )+y

i) Siac=bca=b

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(.2.,. HALOR A&SOLUTO

@enotamos el &alor absoluto de un nmero real /a0 denotado por |a| ,

a un nmero real /a0 tal que6

|a|=aSia> 0

|a|=aSi a


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La propiedad ? es consecuencia inmediata de la de$nicin. La I sepuede demostrar con la regla de los signos.

La propiedad tres, puede consultarla en el libro de algebra superior deCumberto #rdenas " 5rancisco Daggi.

(.:. INDUCCIN M!TEMATICA

2no de los mtodos de demostracin de ms importancia en

matemtica es lo que se conoce como 4nduccin matemtica. El nombre

no es mu" afortunado "a que es natural asociar la palabra induccin con

razonamiento inducti&o, que consiste en sacar una conclusin a partir de

un gran nmero de casos especiales. En realidad la induccinmatemtica es de naturaleza deducti&a, puesto que lle&a a una

conclusin segura.

La induccin matemtica se utiliza generalmente para demostrar la

&alidez de proposiciones que inclu"en todos los &alores enteros positi&os

de n.

4lustraremos el mtodo mediante un ejemplo. =upongamos que

tenemos una escalera con un nmero inde$nido de pelda8os "

queremos demostrar que podemos subir asta un pelda8o determinado

cualquiera. odemos acerlo si conocemos dos ecos6 'a) podemos

subir al primer pelda8o, 'b) si estamos en un pelda8o cualquiera,

podemos subir al superior siguiente. @e 'a) sabemos que podemos subir

al primer pelda8oT de esto " de 'b) sabemos que podemos subir al

segundo pelda8oT nue&amente, de esto " de 'b), sabemos que podemos

subir al tercer pelda8o, etc.

2no de los mtodos para determinar races cuadradas con una mquina

calculadora o sumadora est basado en el eco que la suma de los n

primeros enteros impares es nIT espec$camente,

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1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

Esta propiedad es &lida para todo entero positi&o n " no es difcil de

demostrar.

EFe7plo (/@emustrese por induccin matemtica que para todo &alor

entero positi&o n,

1+3+5+"+ (2n1 )=n2

=olucin6arte'a)67eri$cacin para un &alor espec$co. a lo &eri$camos

para nP?, I, :, " >, aunque basta la &eri$cacin para un &alor

solamente.

arte 'b)6 ropiedad de induccin. =i la proposicin es &erdadera paranPG donde G es un &alor arbitrario de n, debemos demostrar que

tambin es &lido para, nPGQ?. =uponiendo que la proposicin &ale para

nPG tenemos6

1+3+5+"+ (2#1 )=#2($ )

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%ora para n=#+1 tenemos6

#+1

1+3+5+"+ [2 (#+1 )1 ]=

#+1

1+3+5+"+ [2 #+21 ]=

#+1

1+3+5+"+(2 #+1)=

% la ecuacin '%), le sumamos el ltimo trmino [(2 #+1 ) ] de la

ecuacin '+) tanto al lado dereco como al lado izquierdo, obtenemos6

1+3+5+"+ (2#1 ) (2#+ 1 )=#2 +(2 #+1)

#+1

1+3+5+"+ (2#1 ) (2#+1 )=( 2%)

#oncluimos que la parte dereca de la ecuacin '+) es igual que la parte

dereca de la ecuacin '#), con lo cual queda concluida la demostracin.

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1+2+3+"+#=#(#+1 )

2$

ara nPGQ?

1+2+3+"+( #+1 )=

(#+1 )[ (#+1 )+1]2

1+2+3+"+( #+1 )=(#+1 ) (#+2 )

2

%gregando 'GQ?) a ambos miembros de la ecuacin '%) se tiene

1+2+3+"+#+(#+1 )=#(#+1)

2 +[ (#+1 )]

1+2+3+"+#+(#+1 )=[#(#+1 )+2 ( #+1 )]

2

(%)

1+2+3+"+#+(#+1 )=(#+ 1 ) (#+ 2 )

2

28


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El lado dereco de la ecuacin '#) P Lado dereco de la ecuacin '+), locual queda demostrado que es &lido para cualquier &alor de n laproposicin.

(.-. NMEROS COMPLEJOS')

#on el objeto de despojar a los nmeros complejos de su aspecto /irreal0

o /complejo0 con el que se fueron abriendo paso en las matemticas a

tra&s de la istoria tratamos este tema.

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En este caso trataremos las races pares, especialmente las races

cuadradas de nmeros negati&os que son importantes en las

matemticas. =u uso a contribuido al desarrollo de una gran parte de

las matemticas, parte importante de las cuales tienen aplicaciones

&itales en ingeniera, " en las ciencias fsicas. Vumerosas ecuaciones "

mucos problemas no se pueden in&estigar en el sistema de los

nmeros reales. La ecuacin x2+1=0 por ejemplo posee una solucin

si solo si x2=1 . ero el cuadrado de cualquier nmero real no es

negati&o ", en consecuencia no tiene solucin real. #on el objeto de

resol&er esta ecuacin " algunas otras ms complicadas, necesitamosaumentar nuestro sistema numrico.

%s un nmero complejo se puede escribir de tres maneras diferentes

que son6

?.- Dectangular o +inmica.

I.- olar 1rigonomtrica.

:.- E!ponencial.

(.-.(. 0ORMA RECTAN%ULAR O &INOMICA.

Esta se puede escribir de la siguiente manera6

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(x+yi)

@onde6

! PVumero real

"i PVumero imaginario

i P+ase de los nmeros imaginarios P 1

@e tal manera que si se quiere resol&er la ecuacin x2+4=0 se

procedera de la siguiente manera6

x2+ 4=0

x=(4=(4 1=( 21

x=( 2i

@e lo anterior, se puede deducir, en base a la de$nicin del nmero

complejo, la siguiente tabla, que nos permitir escribir cualquier nmero

en la forma Dectangular o +inmica.

1%+L%6

1

i2=

i3=i2 i=1i=i

i4

=i3

i=i2

i2

=(1 ) (1 )=ii=i2

=(1 )=1

i5=i4 i=i

i6=i5 i=ii=i2=1

31


32/368

=e deduce, de las e!presiones planteadas arriba, que6 #uando /i0 estaele&ado a un nmero par nos da como resultado ? o -?, " cuando estaele&ado a un nmero impar da i o i.

Entonces en general in

P 'i)n-?

'i).(.-.2. OPERACIONES &!SICAS

ConFugao. (Z)

=e de$ne el conjugado de un numero complejo, de la forma P! Q"i,como aquel nmero, en el cual solamente se le cambia de signo a laparte imaginaria de dico nmero, @onde c se le denominar como conjugada.

cP!-"i.

Prou4to.

)1)2=(x1+y1 i ) (x2+y2 i )=(x1x2y1y2 )+(x1y2+x2y1 ) i

Di?i$i5n.

)1

)2=

(x1+y1 i )(x2y2 i)

(x2+y2 i )(x2y2 i)=

(x1x2+y1y 2)+ (x2y 1x1y2 ) i

x22+y2

2

Vota6 ara efectuar la operacin anterior, deber de multiplicarse tanto

el numerador como el denominador, por el conjugado del denominador,

tal como se muestra. Esto se realiza, para poder obtener en eldenominador solamente una parte real, " as poder escribir la operacin

de di&isin en forma +inmica.

E=ponen4ia4i5n.

32


33/368

)1n=(x1+y1 i ) (x1+y1 i ) (x1+y1 i )=)1)1)1)1 "

Halor a"$oluto.x2

x1

y2y1

|)1)2|=

[ue es la distancia entre los dos puntos )1y )2 *

Propieae$

Su7a ; Multipli4a4i5n

Si Z1 , Z2 , Z3 , +

(.+ Z1+Z2 +

Z1 Z2

2.+ Z1+Z2=Z2+Z1+

Z1 Z2=Z2 Z1

:.+ Z1(Z2+ Z3 )=Z1 Z2+Z1 Z3+

-.+ Z1+( Z2+Z3 )=( Z1+Z2 )+Z3 +

Z1(Z2 Z3 )=(Z1 Z2 )Z3

33


34/368

*.+ Z1/ Z1+(Z1)=0+0 i

Z11

0 /Z1 (Z1)=1+0 i

,.+ Z1 =0+0 i /(0+ 0i)+Z1=Z1

Z1 =(1+ 0 i)/ Z1 (1+0 i )=Z1

Propieae$ para lo$ 4onFugao$

.+ Z1cc=Z1

).+

Z2Z1+

.+

Z2Z1

(Z1c Z2c)=

(.+ Z1c=Z1 Z1R

((.+ Z1c

Z1R

(2.+ Z1c + Z1R

EJEMPLO/

?.- Dealizar la siguiente operacin de nmeros complejos " obtener lo

que se pide.

Z1=i

Z2=3

34


35/368

Z3=(2+i)

Z4=(2+3i)

Callar

a Z2

Z1Z3 , b

) 1c)2

)1)3 c

) 3)4)3

+)3c)4

c

=olucin6

a ) 2

)1 )3=

3

i (2+i )=2+2i

b )1 Z

2

c

)1)3=

i(3)

i(2+i)=

3(2i)(2+i )(2i)

=2+i

c ) 3)4

)3+)3

c)4

c =(2+i )(2+3 i)

2+i+ (2i )(23 i)

2+i23 i2+i

=2+22i

2+i-2i2i

=22+23 2 i

3 +(2i )(23i )

9+ 426122 i3

=3.343122.97056 i

3 =1.11437.6568 i

35


36/368

(.*. 0or7a Polar o Trigono7@tri4a.

#omo "a sabemos, un nmero complejo,

&iene dado por zP ! Q "iT por lo tanto podemos

representarlo en un plano complejo de la

siguiente manera6

./l 0ia1rama / 2/ 3or /l 4/or/ma 0/ &i5a1ora

r=x2+y2

por 1rigonometra

/n6=y

r y=r/n6

cos 6=x

r x=r cos 6

ero como )=x +yi

(1) )=r (cos 6+i/n6 )=r%i6

0on0/6=$rc 5an1y

x

@onde la ecuacin '?) se le conoce como la forma polar o 1rigonomtrica

de un nmero complejo.

%s tambin, se le conoce a /r0 como el modulo, " a /0 como el

argumento.

36

4

r

"

!


37/368

@ebe notarse que /#isP#os Qi =en0, se le considera un operador, es

decir una forma de simpli$cacin para escribir un nmero complejo en

forma polar.

%lgunas &eces se quiere escribir los &alores de algunas funciones

trigonomtricas como una razn de &alores numricos, es por eso que a

continuacin se presenta una forma de allar esta relacin, aqu

solamente se presentan para ngulos de :;, >Y " 9; grados a partir del

triangulo equiltero " de un cuadrado unitario.

S/n 30 -=1

2 S/n 45-=

1

2-22

=22

cos30 -=32

S/n 45-=22

4an1 30 -= 13

-33

=33

cos 45-=22

4an130 -=33

5an1 45-=1

S/n 60 -=32

cos60 -=1

2

tan1 60 -=3

37

2

?

? >Y

I

:;

9;

I

:

? I


38/368

ara cualquier nmero complejo Z 0 , corresponde solamente un &alor

de en 0 !6 ! 2 T no obstante cualquier otro inter&alo de longitud

2 , por ejemplo


39/368

:.+@ado el nmero complejo siguiente, representarlo en forma polar, a

partir de la forma polar encontrada, regresarlo a la forma +inmica, "

dibujar un diagrama del &ector en un plano complejo.

a

Z=1i Z=2 %i315 -

11

r=

Z=2(cos315 -+i/n 315 - )

r=2 Z=2(22

22

i )

6=511

6=45-+360 - Z=1i

6=315 -

Z=2 %i 315 -

"

Z=1+i Z=2 %i 135 -

Z=2

Z=2(cos135 -+iS/n 135 -)

6=511 Z=2(2

2 + 2

2 i)

6=45-+180 - Z=1+i

6=135 - Z=1+i

39

4

! ->Y

>Y

4

?:Y3


40/368

Z=2 %i 135 -

4

Z=i

Z=%i 270 -

r=1 Z=(cos270 -iS/n 270 - )

6=1

0 = Z=1(01)

6=270- Z=i

Z=%i 270 -

Z=1 Z=%i 180 -

r=1 Z=1(cos180 -+ iS/n180 -)

6=5110

1 Z=1+0

6=180 - Z=1

Z=%i 180 -

e

Z1=2 %i 60 -

Z1=2( cos60 -+ iS/n60 -)

Z1=2(1

2+ 3

2 i)

Z1=1+3 i

r%i (2 +6 )=r %i6

40

i

?;3

-?


41/368

Z2=2%i 420 -

Z2=2( cos420 - +iS/n 420 - )

Z2=2(1

2+ 3

2 i)

Z2=1+3 i

(.*.(. Opera4ione$ &K$i4a$.

Nota/ Las operaciones de suma " resta por esta forma no estn

de$nidas, a" que regresar a la forma rectangular, para poder

efectuarlas.

Multipli4a4i5n

Si Z1=r 1 %i 1y Z2=r2 %i2

Z1 Z2=(r1 %i 1) (r2 %i2)

Z1 Z2=r1 r2 %i( 1+ 2)

Di?i$i5n

Z1=r1 %i 1

Z2=r2 %i 2

Z1

Z2=

r1

r2ci( 1 2)

Poten4ia4i5n

r1 %i

Zn=

Zn=r1

n%i (n)

41


42/368

Rai4aliBa4i5n6

r%i

n)=)

1

n=

n)=r1

n=%i6

n

n)=r1

n=%i(6

n+

2 #

n )

0on0/#=0 , 1 ,2 , 3 , " n1

EFe7plo$/

(.+ Callar las operaciones indicadas, de los nmeros complejossiguientes6

S/a Z1=2%i 70 - y Z2=3 %i 225 -

a.+

70 -

2%i

Z12=

".+ Z23=(3 %i 225 -)

2

3

Z12=2 %i 140 - Z2

3=27 %i 675-

42


43/368

4.+

225 -

3 %i

Z24=

.+ Z1 +Z2=(2%i 70 - )+(3%i 225-)

3

Z1=2(cos 70-+iS/n 70 -)

Z4=81 %i 900 - Z1=2(0.3420+ 0.9396 i)

Z2=3 %i 225-

Z2=3 (cos225 -+iS/n 225-)

Z2=3 (2

2 2

2 i)

Z2=32

2

322

i

Z1+Z2=0.4836+1.3287 i2.12132.1213i

Z1+Z2=1.63770.7926 i

e.+ Z1 Z2=(2 %i 70 - )(3 %i 225 -)

Z1 Z2=32%i(225 - +70 -)

Z1 Z2=32%i 295-

.+ Z1=2 %i 70 - Z1=2 %i 70 -

Z2=3 %i 225- Z2=3 %i 225-

%i (6+2 )=%i6 Z1

Z2=2

3 %i(70 -225 -)

%i (70 -+ 360- )=%i6 Z1

Z2=2

3 %i (155-)

/n5onc/ %i 430-=%i 70 - Es decir que 6

43


44/368

23

%i 205=23

%i (155- )=0.427230.1992 i

2.+ S/a )1=2 %i 90 - )2=3+33i

)3=2%i 60 - )4=2


45/368

[) 3+)2)4 ])1 =(223 i )(2%i 90 -) Zc1=2i

(223 i )(2i)

22 i+26 i2

26+22i

asando 26+22i a la forma polar tendremos que6

62

22

2

r=

6=511 2226

=511(26)=30+180=150or lo tanto

P

150-

4 2 %i

24

1024 %i 600 -

1024 %i (240 - +360- )

45

i

?Y; 3

:;


46/368

1024 %i 240 -

P

1024 %i 240 -

@iagrama del ngulo L.9.9.D.

C.+)1+ )2

)4+)3)2

)1

)3

(2 %i 90 - )+(333 i)

2 + (2%i 60 - )(3+33i )

2 %i90 -

2 %i60 -

No5a :2 %i 90 -=2 (cos90 -+iS/n 90 - )=2 (0+i )=2i

2%i 60 -=2 (cos60 -+ iS/n 60 - )=1+3 i

(2 i )+(333 i)2

+(2 %i 60 - )(3+ 33 i )2

2 %i 30 -

2 i+ 333 i2

+(2%i 60 - )(3+33 i )22

%i 30-

1ransformando a (3+33i) a la forma polarT tendremos6

332

32+

r=

6=4an11(333)=60

33.7819 i

2 +(2 %i 60 - ) (6 %i 60 - )2

2(32 +12i)

46


47/368

33.7819 i

2 +12%i 1206

42

4 i=

33.7819 i2

+12(12 +32 i)64 24 i

6+7.5638 i24 +243 i62 i

4 =8.1124 +11.9297 i

Entonces6

Z1+ Z2Z4

+Z3 Z2Z1

Z3=8.1124+ 11.9297i L.9.9.D

:.+ @ado el nmero complejo en forma polar z P #is I?;k

Callar la3)

=olucin6

0or7ula/

n)=nr%i ( 6n +2 #

n)=r n1 %i(6

n+

2 #

n )

ara GP; 'primera raz)

831

%i(210

3 +

2 #

3 )

2%i 70-

ara GP? 'segunda raz)

2%i(210

3 +

360

3 )

2%i 190-

ara GPI 'tercera raz)

47

::Y

"

! ->Y


48/368

2%i (210

3 +

(360) 23 )

2%i 310-

-.+Desol&er la ecuacin, !: Q P ; " allar las tres races, tanto en

forma polar.

x3=8 5ormula

x=

3

8 n

)=)

1

n

%i(

6

n +

2 #

n )

r=86=180 -

)=8 %i 180 -

=i G P ;

x0

=81

3 %i

(180

3 +

360 (0 )

3

)=2 %i60 -=2 (cos60 - +iS/n 60 - )=2

(1

2+ 3

2 i

)2(12+32 i)x0=1+3i

%ora si GP?

x1=81

3 %i( 1803 +360

3)=x1=2 %i 180 - =2 (cos180+iS/n 180 )

x1=2 (1+0 )=2

48


49/368

ara GPI

x2=81

3 %i( 1803 +(360 )2

3 )=2%i 300-=2 (cos 300-+iS/n 300 - )=2(1232)

x2=13 i

*.+Desol&er la ecuacin Z41+i=0

=olucin6

Z41+i=0

Z4

=1i

Z= 41i

ero

1i=2 %i (45 - )=2%i 315-

r=2

6=45-

Z=4

2 ci 315-

n)=)1

n %i (6n +2 #

n)

ara GP;, usando la frmula para sacar raz en forma polar, obtenemos6

49


50/368

2

Z0=

ara GP?

Z1=21

8 %i (315 -4 +360 -

4 )=21

8 %i 168.75 -

ara GPI

Z2=21

8 %i (315 -4 +(360 - )(2)

4 )=21

8 %i 258.75 -

ara GP:

Z3=21

8 %i(315 -4 +(360 - )(3)

4 )=21

8 %i 348.75 -

,.+


51/368

i

3

4) 2)c=4 (a+bi )2 (abi )=

2 a+6 bi=(64 %i 180- )( 18

%i 30-)

2 a+6 bi=8 %i 210 -

2 a+6 bi=8 (cos210 -+ iS/n210 -)

2 a+6 bi=8 (32 12 i)

&or lo 5an5o 3or /l 3rinci3io 0/ lai18al0a0

2 a=4 3 a=4 3

2 a=23

6 b=4 b=4

6 b=

23

$ / 98/


52/368

(.,. 0ORMA E1PONENCIAL.

#omo "a abamos &isto, a" : formas de representar un nmero

complejo, " esta es la ltima que trataremos, "a que &eremos, que con

esta forma podemos allar los logaritmos naturales de estos.

Los complejos, de lo que se an &isto se pueden escribir como P

aQbiPr #is 6 " como se dijo /#is0 es un operador, si cambiamos ese

operador por la letra /e0 de los logaritmos naturales, entonces z sepuede escribir como6

Z=r /i 6

[ue sera la forma e!ponencial de

@educcin6

=i Z=i6

" K P a Q bi

Entonces, de la de$nicin que dice que eK P , tendremos quesustitu"endo a K " z. lo siguiente6

/a+bi=i6

/a

* /bi=i6

/a

=r y /bi

=/i6

or de$nicin6 Es decir de la ecuacin (/a=r ) le sacamos logaritmo

natural a ambos miembros, " a la ecuacin (/bi=/ i6) igualamos sus

e!ponentes, tendremos lo siguiente6

52


53/368

ln/ /a=ln (r )y b=6

a=ln(r )

#omo P eK

%plicando el logaritmo a ambos miembros tenemos Ln 'z) P KPaQbior lo tanto6

ln () )=ln (r )+(6+2 #) 0on0/#=0,1,2,3 " n1

En el cual /n0 es el nmero de logaritmos que se quiere obtener.

1ambin, podemos obtener la ecuacin para calcular el logaritmo natural

de un nmero complejo a partir de que, si consideramos que )=i6

,

aplicando la propiedad de los logaritmos a ambos miembros,tendramos6

ln)=ln (r / i6 )=ln (r )+ ln ( /i6 )=ln (r )+(6+2 #)#=0,1,2, " ..n1

Vota6ln ($ )=ln$ + ln

Entonces

ln () )=ln (r /i6

)=ln (r )+=(/i6

)

ln () )=ln (r )+(6+2 #) i #=0,1,2, ".. n1(1)

E!presiones de los nmeros complejos en forma e!ponencial, que seutilizan para efectuar las operaciones bsicas.

S/a )1=r1 /i 61 y )2=r2 /

i 62

(.,.(. Opera4ione$ &K$i4a$.

( SUMA Y RESTA

La suma " la resta de nmeros complejos en esta forma, no se puedeefectuar, a" que regresar a la forma +inmica " efectuarla desde a.

53


54/368

a) D


55/368

d) El logaritmo de) , de la ecuacin

)1)3

)1)4=)2c +)

3

2

=olucin6

a #omo piden los dos primeros logaritmos, eso quiere decir, que dela ecuacin '?) G debe tomar los &alores de ; " ?, 'es decir nPI)por lo tanto tendremos6

ln ()1 )=ln (2 /i )=ln (2 )+ (6+2 #) i

rimer logaritmo para G P;ln ()0 )=0.6931+ [+2 (0 )] i=0.6931+3.1416 i

=egundo logaritmo aora GP?

ln ()1 )=0.6931+[ +2 (1 ) ] i=0.6931+(3.1416+6.2832 ) i=0.6931+ (9.4248 ) i

"

ln ()5c )=ln (12i )=ln (1+2 i )=ln (5 /2.0344

)=ln (5 )+(2.0344 +2 #)i

#omo no se puede sumar grados con radianes en el ltimo trmino de lae!presin anterior, debe de cambiarse los 9:.>A grados a radianes,usando la relacin siguiente6

ra0ian/

180 1ra0o=

xra0ian/

63.471ra0o

or lo tanto

55


56/368

x ra0ian/=( 63.47)

180 =0.3526 =0.3526 (3.1416 )=1.1077 ra0ian/

@e lo anterior se deduce, que como piden un solo logaritmo '9ueta7"i@n $e lla7a el prin4ipal entonces, el nico &alor que tomara/G0 es cero.%s es que la respuesta se escribe como se muestra a continuacin6

ln ()5c )=0.8047+[1.1077+2 (0 ) ]i=0.80471.1077 i

4

ln

(

)2

)3

)4

)=ln

( 5 /

2i

2 /2

3

i3%i 60

)=ln

(

5

2

/( 2

2

3)i

)(3 %i 60)

ln( 52 /3 4

6i

3 %i 60)

ln(3.5355 /

6 i

3 %i 60)=ln [3.5355 %i (30 )3 %i 60 ]ln [3.5355 (0.86600.5 i )1.7320 (0.5+0.866 i )]=ln (2.19573.2676i)

ln(3.9367 /56.2764i)

ln (3.9367 )+(56.2764+2 #)i=1.3703+(0.3126+2 ) i

1.3703+1.6874 i=1.3703+5.3011i

ln()2)3 )4)=1.3703+5.3011 i

56


57/368

Nota/ara realizar los cambios de rectangular 'Dec) a polar 'ol) o depolar a rectangular, se puede usar una calculadora 'uede ser la #asiof!-I= con la f!-:Y;E= se obtiene en forma ms directa) de lasiguiente manera6

?.- =e oprime la tecla Dec. 'ol.) dependiendo del cambio que se quiererealizar.

I.- =e introduce los datos en el parntesis que muestra el displa",primero el modulo una coma " despus el argumento o %ngulo " cerrarel parntesis 'o si es polar primero la parte real del numero complejouna coma " despus la parte imaginaria).

:.- =e oprime igual o enter " se obtiene el primer resultado que sera laparte real " despus se teclea /D#L0 " /1%V0 " se obtendr la parte

imaginaria resultante, a esta ltima se la asocia la tecla /i0 para obtenerel resultado total 'si es ol. =e obtendra el modulo " despus de oprimir/D#L0 " /1%V0 el argumento o %ngulo).

57


58/368

58


59/368

(.. EFer4i4io$ Re$uelto$/

(.+@emostrar que las operaciones con nmeros reales pueden

efectuarse considerndolos como binomiosT es decir, queconsiderndolos como binomios se obtienen los mismos resultados que

con las e!presiones 44. ?.: " las formulas de uso prctico que se emplean

para la sustraccin " la di&isin.

a( ;Q;i

aQbiQ;Q;P (

aQbiP (

"'aQbi) '?Q;i)

aQbiQ;aiQ;biIP (

aQbiP (

4('2:) P ( 2(:

aQbi *'cQe)Q 'dQf) i

a 'cQe) Qa 'dQf) i Qb 'cQe) iQ b'dQf)i2

ac Q ae Q adi Q a$ QbciQbeiQbdi2 Qb$2

aQbi 'cQdi) Q aQbi 'eQ$)

'2Q ( ':)

2.+ @emostrar que para todo (_ c

=i Z1=a+biZ1=abi

&/rocomo R (Z1 )=0

Z1=bi yZ1=bi

Z1=Z1 = * Q * Q * . *

59


60/368

:.+ ? ? P _ D

'aQbi)'a-bi)

aI Qabi-abi-'bi)I

aI QbI _ D

-.+@etermina las soluciones de la ecuacin

a Z4+ 4=0&ara c8al98i/r R

Z4=4

4Z4=

44

Z=44 > 41

Z=44 > 41 %i 180 -

44 %i180 -

Z=r1

nci

1

n(6+2 #)

ara GP;

Z0=%i

1

4 (180 -)

Z0=%i (45 -)

ara GP?

60


61/368

Z1=%i1

4[180-+(2 ) (1 )]

Z1=%i(135 -)

ara GPIZ2=%i

1

4[180-+ (2 ) (2 )]

Z2=%i( 225-)

ara GP:

Z3=%i1

4[180 -+ (2 ) (3 )]

Z3=%i(315

-)

".+ @eterminar los &alores de ? R para los que, ?P?Qi " IP ?-i, son

soluciones de la ecuacin, " obtener las otras ecuaciones.

&

Z1 =

Z1

%i 135 - =

1+i%i 135-

=2 %i 45-%i 135-

=2 %i90 =2i

&

Z2 =

Z2

%i 225 - =

1i%i 225-

=2 %i45 -%i 225-

=2%i270 =2i

*.+


62/368

Z3=22 %i 375 -=2.7320+0.7320 i

,.+Escribir el siguiente nmero, dado en forma polar, a la forma

+inmica rectangular6

Z=2 %i 45-

45 -+iS/n 45 -cos

Z=2

Z=2( 2

2+ 2

2 i)

Z=1+ i

.+#alcular la forma binmica6

(1i )(3+ i)2%i 120-

=1i3i2%i120 -

22i2%i 120 -

2.8284 %i135 -

2%i 120 -

1.99991.9999i1+

3 i

=22 i1+

3 i

(22i )(1+3 i)

(13i)(13i)

2+23 i+2 i+23 i

2

1+3

223

4 +

(2+23) i4

132 +

1+32 i

a+bi

).+#alcular la forma polar del siguiente ejercicio.

62


63/368

1i

1.4142%i (45 -)4

> 2 ci 60 -

2 ci 150 -

(4 %i180 - ) (1%i90 - ) 4 %i270 -

.+ @iga cul de las siguientes propiedades o a!iomas estudiados,justi$ca cada uno de los enunciados siguientes.

a (x+y ) 1x+ y =1@n2/rom8l5i3lica5i2o

b Si x+2=y y=5 x+2=54rani5i2a

c x ( 1x )=1@n2/rom8l5i3lica5i2o

d [(x+y )]=x+y2 2/c/ .i5rib85i2a

e Si a+c =b+c a=b4rani5i2a

f3

4

a+b5

=3(a+b)

4 (5) $ocia5i2a

g x+ (y+0 )+[(y+x )]=0N/85ro a0i5i2o(y +0)

$ocia5i2a(x+y )

%onm85a5i2a 3aralaa0icion(x +y )

:l in2/ro a0i5i2o * (x +y )+[(x +y )]=0

x+ (5+y )=(5+x )+y.i5rib85i2a x+5+y=(5+x )+y

63


64/368

$ocia5i2a (x+5 )+y=(5+x )+y

%onm85a5i2a 3aralaa0iciAn (5+x )+y=(5+x )+y

i Siac=bca=bB8l5i3lica5i2a

(.+4ndique la's) propiedades que se usaron en el siguiente desarrollode las ecuaciones que se muestran.

(x+y )+ (a+b )=[(x+y )+a ]+b.i5rib85i2a (2 )y aocia5i2a (2 )

Cla conm85a5i2a 3arala a0ici A n y l8/1ola aocia5i2a

(x+y )+ (a+b )=[a+ (x +y )+b ]

.i5rib85i2a y 0/38/aocia5i2a

(x+y )+ (a+b )=[(a+x+y)+b ]

.i5rib85i2a y aocia5i2a

(x+y )+ (a+b )=(a+x )+(y+b)

((.+


65/368

(2.+Desuel&a la siguiente ecuacin " alle el &alor 'es) de ) T las tres

primeras races.

i+)2 %i 45-

+2=/

2 i+)2

+)

i+) +4 %i 45 -2 %i 45 -

=/

2 i+) +2)2

/

( 2 i+) +2))(2 ci 45 -)2 (i +) +4 ci 45 - )=

/

( 2 i+3) )(2ci45-)2 (i+)+4 ci45- )=

2i +2)+8 ci 45 -=2 /2i ci 45 -+6) ci 45 -

2 ) 6)ci 45 -=(2 /2i ci 45 - )(8 ci 45 - )2 i

2 [ )3) ci 45 - ]=2[/2i ci 45 -4 ci 45 -i]

2 )(2+2 i ) (3) )=(2 ci 45 - ) (1 ci 114.60 )(5.6568+5.6568 i)2i

2 (abi )2+2 i (3 (a+bi))=(2 ci159.60 - )5.65685.6568 i2i

2 a2 bi(2+2i )(3 a+3 bi )=(2 ci 159.60 - )5.65687.6568 i

2 a2 bi(3 a2+3 bi 2+3 a2i +3 bi 2 i2 )=1.8745+0.6971i5.65687.6568 i

2 a2 bi3 a23 a 2 i3 bi2+3 b2=7.53136.9597 i

2 bi+3 bi2+3 a2 i3 b2=7.53136.9597 i(2 a3 a2 )

65


66/368

(2 a4.2426 a ) (2 bi+4.2426 bi )3 a2 i+3 b2=7.53136.9597 i

2.2426 a6.2426 bi4.2426 ai+4.2426 b=7.53136.9597 i

(2.2426 a+4.2426 b )(6.2426 b+ 4.2426 a ) i=7.53136.9597 i

2.2426 a+4.2426 b=7.5313/c .1

6.2426 b4.2426 a=6.9597/c .2

@espejamos /a0 en la ecuacin ?

a=7.53134.2426 b

2.2426

a=3.3583+1.8918 b/c .3

El &alor de /a0 lo sustituimos en la ecuacin I

6.2426 b4.2426 a=6.9597/c .2

6.2426 b4.2426 (3.3583+ 1.8918b )=6.9597

6.2426 b14.24798.0261b=6.9597

14.2687 b=6.9597+14.2479

14.2687 b=7.2882

@espejamos a /b0

b=

7.2882

14.2687

b=0.5107

=ustituimos el &alor de /b0 en la ecuacin :

66


67/368

a=3.3583+1.8918 b/c .3

a=3.3583+1.8918(0.5107)

a=2.3921

)=2.39210.5107 i

)=2.3921+0.5107 i

?k raz para GP;

32.39210.5107 i

32.4460 ci12.0514 -

Z=rn cin (+2 #)

2.4460

1

Z=3

Z=1.3473%i4.01713

Ik raz para GP?

2.4460

1

Z=3

67


68/368

2.4460

1

Z= 3

Z=1.3473%i115.9828 -

:k raz para GPI

2.4460

1

Z= 3

Z=1.3473 ci235.9828 -

(:.+ Calle las races de z en la ecuacin siguiente6

1i

2)2

4denti$camos las &ariables a, b, " c para poder resol&erlo como unacuadrtica

1i

$=2i =

45 -2 ci

$=2ci 90 - =

68


69/368

x=b (b

24 ac2 a

135 -

8 ci

24(2 ci 90 -)(2ci 60 -)

[8 ci (135 - )](

[8 ci (135 - )](8 ci (270 - )4(4 ci150 -)2(2 ci 90 - )

[8 ci (135 - )](8 ci (270 - )(16 ci 150 -)2(2 ci 90- )

[8 ci (135 - )]( 0+8 i(13.8564 +8 i)2(2 ci 90 -)

0+8 i+13.85648 i

[8 ci (135- )]( 4 ci 90 -

[8 ci (135 - )](13.85644 ci 90 -

[8 ci (135 - )]( 3.72244 ci 90 -

22i (3.72244 i

ara la raz primera

22i+3.72244 i

=1.72242i

4 i =

2.6394 ci (49.2649- )4 ci 90 -

0.6598 ci[ (49.2649- ) (90 - )]

69


70/368

R1=0.6598 ci(139.2649 -)

ara la raz segunda

22i3.72244 i =

5.72242i4 i =

6.0618 ci (160.7352 - )4 ci 90-

1.5154 ci [(160.7352 -)(90 -)]

R2=1.5154 ci(250.7352)

(-.+Desuel&a la siguiente ecuacin6

2 /i+)2ci45-

+Z=13 Z

2i +2 i

2 /i+) +2Z ci 45 -2 ci 45 -

=13Z+ 4 i2

2i

2i (2 /i +) +2 Z ci 45 - )=(13Z+4 i2 )(2ci45-)

2i (2+)+ 2 Z ci 45- )=(3 Z3 )(2 ci 45-)

4 i+2)i+4Zici 45 -=6 ci 45 -6Z ci 45 -

2)i+4Zici 45 -+6Z ci 45 -=6 ci 45 -4 i

2 [)i+) %i 45 - (3+2i )]=6 %i 45 -4 i

2 [( a+bi )i +(abi ) (1.4142+1.4142 i) (3+2 i )]=6 (1.4142+1.4142 i )4 i

2 [aib+1.4142 a+7.071 b+7.071 ai1.4142 bi ]=8.48528.4852i4 i

2 [1.4142 a+6.0716 b+ 8.071ai1.4142bi ]=8.485212.4852 i

70


71/368

1.4142 a+6.0716 b=4.2426

8.071 a1.4142 b=6.2426

a=4.24266.071 b1.4142 =34.2928 b

8.071 (34.2928 b )1.4142b=6.2426

24.21334.647 b1.4142b=6.2426

36.06 b=17.9704

b=17.970436.06

b=0.4983

a=34.2928 (0.4983)

a=0.8608

Z=0.86080.4983 i y Z=0.8608+0.4983 i

(*.+Encontrar el &alor de

2i

2 ci30 -=2i Z

2i

4denti$camos las &ariables %, + #, " sustituimos en la ecuacin de la formulageneral del binomio.

71


72/368

i

2

26.56602.2360 ci

$=

x=b (b24 ac

2 a

x=2i (4 i

24 [5 ci (53.132 - )](2 ci 30-)2 [5 ci (53.132 - ) ]

x= 2i (

44 [10 ci (23.132 - )][10 ci (53.132- )]

x=2i 4[40 ci (23.132 - )]

[10 ci (53.132 - ) ]

x=2i (4(36.784015.7140 i)

[10 ci (53.132- )]

x= 2i (436.7840+15.7140 i[ 10 ci (53.132- )]

x=2i (40.784+15.7140 i

[10 ci (53.132 - ) ]

x=2i (43.7065 ci 158.9284 -

[10 ci (53.132- )]

x=2i ((6.6110 ci 79.4642- )

[10 ci (53.132- ) ]

x=2i ((1.2088+6.50 i)[10 ci (53.132- )]

72


73/368

x1=

1.2088+8.50i[10 ci (53.132- )]

x1= 1.2088+8.50i[10 ci (53.132- )]

x1=(8.5855 ci 81.9061-)

[10 ci (53.132- )] =0.8585 ci 135.038=0.6074+0.6066 i

x2= 1.20884.50 i[ 10 ci (53.132- )]

=+[ 4.6595 ci (+74.9640 - ) ]

[10 ci (53.132- ) ] =0.4659 ci (51.9039 - )=0.28740.3666 i

(,.+Efectuar las siguientes operaciones

a 1/i=1(1 ci180-)

1(1+0 i )=1+1+0 i=2

" 1/

2i

1+ /

2i= 1(1 ci90 -)

1+(1 ci 90 -)=1(0+1 i)

1+(0+1 i)= 1i

1+i =2 %i45 -2 %i 45-

=%i90 -=i

4 i+/2i=i+(1 ci360 - )

i+ (1+0i )=1+i=2 %i 45-

73


74/368

(.+


75/368

CAPITULO IIPolino7io$

Introu44i5n.

En mucos problemas de la fsica " la matemtica nos encontramos con

e!presiones de la forma& (x )=a0x0+a1x

1+a2x2+"+anx

n

los cuales seconocen como polinomios.

Los polinomios pueden ser tratados formalmente desde dos puntos de&ista.

El primero considera un polinomio como una e!presin, mientras que elsegundo lo considera un polinomio como una funcin. 1anto la funcincomo la e!presin son de la forma siguiente.

En el primer caso, es decir, al considerar al polinomio como una

e!presin, los smbolos x0 , x1 , x2 , " xn son indicadores de la posicin de

los nmeros a0 , a1 , a2 , " an " los signos 'Q) deben interpretarse

nicamente como medios de cone!in. En cambio cuando el polinomio

es considerado como una funcin, los smbolos x0

, x1

, x2

, " xn

representan potencias de la &ariable !T ax0

, a1x1

,a2x2

," anxn

representan

productos, " los signos 'Q) se interpretan como smbolos de adicin.

@e acuerdo con el primer punto de &ista deben de$nirse conceptos talescomo igualdad, adicin, " multiplicacin de polinomios, mientras que deacuerdo con el segundo, dicos conceptos estn determinados por laigualdad de funciones la adicin " la multiplicacin de nmeros.

En este captulo consideramos los polinomios como e!presiones, lo quees ms acorde con un tratamiento algebraico de los mismos, aunquetendremos siempre en cuenta que los polinomios pueden tambin ser

75


76/368

considerados como funciones, por lo que se ar incapi en que lasde$niciones sean consistentes con este otro enfoque.

De3ni4i5n/

2n polinomio, es un arreglo de trminos, ligados por un signo ms 'Q) menos '-), es decir este puede tener la forma que se muestra acontinuacin6

& (x )=anxn+an1x

n1+an2xn2+"+a0

En donde los coe$cientes a0 , a1 , a2 , " an1 , an2 an son elementos de los

reales " a0 0 .

@e lo anterior, podemos decir que el polinomio es de coe$cientes realeso pueden ser todos racionales 'o enteros), " diremos entonces que el

polinomio tiene coe$cientes racionales 'o enteros). ueden tambinconsiderarse polinomios cu"os coe$cientes pertenecen a algunaestructura algebraica distinta de los complejos.Caremos &arias obser&aciones6

a #uando a1=0 se con&iene, en que se puede omitir el termino

a1x1 al escribir el polinomio, siempre que no se omitan todos los

trminos. %s, los polinomios

2+3x+0x2+5x2

0+2x+ 0x2

0+0x

ueden escribirse, respecti&amente como

2+3x+5x2

2x

0

" se con&iene en escribir x1

en lugar de 1x1

" ax , en

lugar de (a)x1

o de +(a)x1

. %s el polinomio.

76


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(1 )x +0x+1x3+ (2 )x4 .

=e escribex +x32x4

4 el trmino a0 tambin puede escribirse como a0x0

nos

referimos al trmino aixi

como al trmino de grado i . %l

trmino de grado cero le llamamos trmino independiente. %lpolinomio cero le llamamos polinomio nulo.

Vo es necesarios escribir los trminos de un polinomio siempre en

el mismo orden. 1ampoco es necesario denotar siempre con a i

el coe$ciente del termino de grado i. or ejemplo, el polinomio

a+bx +cx2 puede escribirse tambin bx+cx2+a T a+cx

2+bx , etc.,

pero la forma ms usual, " utilizada, es ax2+bx+c , es decir en

orden decreciente de los grados.

e


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2.(. DE0INICIN DE I%UALDAD.

=e dice que dos polinomios son iguales, si " solo si, los trminossemejantes correspondientes son iguales.

Esto es, si tenemos un polinomio &1 (x )=a1xn+a2x

n1+a3xn2+"+a0

&2 (x )=b1xn+b2x

n1+ b3xn2 +"+b0 .

Entonces &1 (x )=&2 (x )

#uando

a1xn=b1x

n

a2xn1=b2x

n 1

a3xn2=b3x

n2

a0=b0

2.2. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES0UNDAMENTALES.

78


79/368

Su7a ; prou4to$ e polino7io$

=upongamos el polinomio.& (x )=anx

n+an1xn1+an2x

n2+"+a0

#omo si tu&iera una in$nidad de trminos, con&iniendo en que a partirdel grado n Q ? todos los coe$cientes son ceroT

Por eFe7plo/25x=25x2 +0x3+ 0x4+ 0x5 " " " " *

a0+a1x +" anxn=a0+ a1x " "0on0/a i=03arai>n

#on esta con&encin es mu" fcil de$nir la suma del producto6

De3ni4i5n e $u7a/(a0+a1x +" )+ (b0 +b1x +")=

(a0+b0 )+(a1+b1 )x+( a2+b2 )x2+"+

De3ni4i5n el prou4to/(a0+a1x +" )+ (" b0+b1x +")=

a0 b0+( a0 b1+a1 b0 )x+ (a0 b2+a1 b1+a2 b 0 )x2+"

El coe$ciente de xn

en la suma es an+bn " en el producto es

i+E=n

ai bE

Es importante obser&ar que la suma " el producto puede obtenersemanejando a ! como si fuera un nmero " aplicando las reglas usuales

de las operaciones con nmeros complejos que son de la conmutati&idad" asociati&idad de la suma " productos " la distributi&idad. or ejemplopara calcular el producto tendremos que multiplicar cada trmino delprimer factor por cada uno de los del segundo obtenindose productos.

ai bExi+E

79


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81/368

2.:. DIHISIN.

2.:.( Algorit7o e la i?i$i5n para polino7io$

%ora trataremos la di&isin entre los polinomios primeramentede$niremos lo que entenderemos como factor.

De3ni4i5n (/

=ean


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a


83/368

>. #onsidere el residuo as obtenido como un nue&o di&idendo " repitalos pasos I " : para encontrar el segundo trmino del cociente " elsiguiente residuo.

Y. #ontinu este proceso, asta que se obtenga un residuo que sea cero

o de menor grado en la literal comn que el grado del di&isor.=i el residuo es cero entonces la di&isin es e!acta " el resultado sepuede e!presar como6

.i2i0/n0o

.i2ior =%oci/n5/

=i el residuo no es igual a cero entonces e!presamos el resultado como

.i2i0/n0o

.i2ior =%oci/n5/+

R/i08o

.i2ior

En cualquier caso se puede comprobar el resultado mediante la relacin6

.i2i0/n0o=coci/n5/ x 0i2ior+r/i08o

1odo lo anteriormente e!puesto, se puede obser&ar en los siguientesejemplos.

EFe7plo$/

(.+=ean los polinomios


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@onde los polinomios buscados sernr (x )=21x8

9 (x )=2x27x+13

2.+Callar el cociente " residuo, de la di&isin de los polinomios


85/368

r (x )=15

9 (x )=2x2+x +7

@e los dos ejercicios anteriores se puede comprobar que


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R

Esto establece el teorema del residuo.

2.:.:. TEOREMA DEL 0ACTOR Y SU RECIPROCO

=i /r0 es una raz de la ecuacin polinomial '!)P;, entonces /!-r0Es un factor de '!), de manera reciproca si /!-r0 es un factor de '!)entonces /r0 es una raz de la ecuacin '!)P;

Esto se puede demostrar a partir del teorema del residuo, es decir, sisuponemos la siguiente ecuacin6

& (x )= (x r )Q (x )+R=(xr )Q (x )+& (r)

=i /r0 es una raz de la ecuacin '!)P;, entonces 'r)P;.En consecuencia tenemos6

& (x )= (xr )Q(x)

ara probar el reciproco del teorema solo necesitamos obser&ar quedado /!-r0 como factor, podemos escribir la identidad anterior, que escierta para todos los &alores de /!0 .#uando remplazamos a /!0 por /r0tenemos

& (r )=(rr )Q (r )=0Q (r )=0

2.:.-. OTROS TEOREMAS 0UNDAMENTALES

TEOREMA I/'Teore7a una7ental el alge"ra.1oda ecuacin polinomial de grado n? tiene al menos una raz real oimaginaria.

TEOREMA II/1odo polinomio p'!) de grado n? se puede e!presarcomo el producto de /n0 factores lineales.

TEOREMA III/1oda ecuacin polinomial '!)P; de grado /n0 tienee!actamente /n0 races.

86


87/368

2.:.*. DIHISIN SINTETICA.

De3ni4i5n/

Es un procedimiento abre&iado de efectuar una di&isin normal.

La idea de trabajar con la di&isin, es la de inducir a usar la di&isin

sinttica, que es una forma ms sencilla de acer la operacin entre unpolinomio " un binomio.


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#omo el residuo ser cero de grado cero, es decir un nmero /r0.Entonces de

& (x )=1 (x ) 9 (x )+r (x)

anx

n+an1xn1+an2x

n2+"+a0=(xc ) (bn 1xn1+bn2x

n2"+b0 )+r ($)

anxn+ an1x

n1+an2xn2+"+a0=bn1x

n+( bn2cbn1 )xn1+"+( b0cb1 )x+ (rcb0 ) ()

@e la igualdad de polinomios, tendremos 'igualando los miembros de lospolinomios % " +).

an=bn1

an1=bn2cbn1

a1=b0cb1

a0=rcb0

or lo que los coe$cientes del cociente " del residuo se obtienen comoan=bn1

an1 +cbn1=bn2

a1+cb1=b0

a0+

cb0=

r

@e tal manera que para tener los clculos, de forma simpli$cadautilizando la notacin sinttica se puede escribir de la siguiente manera6

an an 1 " " a1 a0

88


89/368

c cbn1 cb1 cb0

bn1 bn2 b0 r

@onde6bn1 ; bn2 ; b0 Sonlo co/


90/368

[ue se puede escribir como(2x33x2 +5x+ 1 )F (x2 )=(2x2 +x+ 7 )(x2 )+15

2.-. RACES DE UN POLINOMIO

2.-.(. DE0INICIN DE RAI8

=e dice que r es raz de un polinomio si dico &alor 'numrico, literal

o complejo) da solucin a dico polinomio, es decir, si al sustituir esaen el polinomio el residuo de este, es cero *D'r) o tambin se dice que

satisface al polinomio, es decir


91/368

El Vmero de races de un polinomio est basado en el siguienteteorema6TEOREMA I/'1eorema fundamental del algebra.)1oda ecuacin polinomial de grado n? tienen al menos una raz real oimaginaria.

TEOREMA III/1oda ecuacin polinomial '!)P; de grado /n0 tienee!actamente /n0 races.

2.*. TECNICAS ELEMENTALES PARA &USCAR RAICES

2.*.(.+ POSI&LES RAICES RACIONALES


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S/a & (x )=anxn+an1x

n1 +an2xn2+"+a0=0

rimer paso6

1omar los factores de a0

=egundo paso6

1omar los factores de an

1ercer paso6

1omamos la razn dea0

an

#uarto paso6

=e agrupan todas las posibles races, ordenndolos de menor a ma"orsimpli$cando los repetidos " los equi&alentes, esto se realiza para probarprimeramente con los &alores ms peque8os que pueden ser races.

[uinto paso6

=e efecta las di&isiones en forma sinttica, con todas las racesposibles, comenzando de menor a ma"or.Es posible allar todas las races por este mtodo, o bien se puede usarla ecuacin degradada.

EFe7plo$/

(.+ara el polinomio que a continuacin se muestra, aplique los pasosque se muestran en los prrafos anteriores " alle todas sus races.

& (x )=2x37x2+8x15=0

92


93/368

rimer paso6

5actores de a0(0/ 15 on : ( 1,( 3, (5, (15)

aso dos6

5actores de an(0/ 2 on( 1,( 2)

aso tres6

a0

an(0/

2

15on(

1

2, (

3

2(

5

2(

15

2 ,( 1, (3, (5, ( 15)

aso cuatro6

%grupando ((1

2, ( 1,(

3

2, (

5

2, ( 3, (5, (

15

2 ,( 15)

aso cinco6

Dealizando la di&isin sinttica, probando con cada una de las races,concluimos que la nica raz real es :, tal como se muestra a

continuacin, "a que con todas las dems el residuo no es cero " por lotanto no son races del polinomio.

27 815

3 63 15

21 5 0(r/i08o)

27 815

12 5 3

25 312(r/i08o)

93


94/368

Las otras races son complejas, las cuales se pueden obtener con laecuacin degradada de la di&isin, en la cual el residuo dio cero 'tercera$la), quedando una ecuacin cuadrtica, que al resol&erla, obtenemoslas otras dos races#omo se muestra

2x2x +5=0

%8yaraic/on1 (39i

4


95/368

11

2

5

20(r/i08o)

Desultando una ecuacin degradada, de la misma forma que en elejemplo anterior, es decir6

2x2x +5=0

%8ya raic/on1 (39i

4

1ambin se puede usar el teorema del residuo para allar las races de

un polinomio es decir, al sustituir la raz r en el polinomio &(x) , si

resulta que &(r ) es cero, entonces r es una raz del polinomio. En

el caso del ejercicio anterior resultara lo siguiente6

=i

& (x )=2x37x2 +8x15=0y r =3

33

& (r )=& (3 )=2

or lo tanto se puede &er qu r=3 , es raz del polinomio.

@e esta manera, se pueden probar todas las races, para conocer cualescumplen.ero esto no es de$niti&o "a que si algunas no cumplen no podemosacer ms para allarlos.ientras que utilizando la di&isin sinttica tenemos el recurso de usar

la ecuacin degradada.Es por esto, que es ms adecuado usar la di&isin sinttica.

2.*.2. RELACIN ENTRE LAS RACES Y LOSCOE0ICIENTES

95


96/368

En una ecuacin, escrita de forma que el coe$ciente de ma"or potenciade /!0 sea ?, como se muestra a continuacin6

& (x )=xn+ an1x

n1+an2xn 2+"+a0=0

E!isten las siguientes relaciones entren los coe$cientes " las races.an1=S8ma0/ la raic/ *

an2=S8ma 0/lo 3ro08c5o 0/laraic/ 5oma0a 0/0o /n 0o .

an3=S8ma0/ lo 3ro08c5o0/ la raic/ 5oma0a0/ 5r//n 5r/*

(1 ) a0=&ro08c5o 0/ 5o0ala raic/*

EFe7plo/

(.+ @eterminar los coe$cientes de a , b , y c de tal forma que sean

adems races del polinomio6 x3ax2+bxc=0

Solu4i5n/2sando el teorema del factor, e igualando los factores al polinomio dadoescribimos.

(xa ) (xb ) (xc )=x3ax2+bxc

@esarrollando el producto " agrupando trminos obtenemos la siguientee!presin6

x3(a+b +c )x2+(ab+ bc+ac )xabc=x3ax2+bxc

2tilizando la relaciones entre las races " los coe$ciente, se estable porla igualdad entre polinomios las siguientes ecuaciones.

a+b +c=a(a

n1)/c8aciAn 1

ab+bc+ac=b (an 2 ) /c8aciAn 2

1

( n a0 ] /c8aciAn3abc=c

96


97/368

Desol&iendo estas : ecuaciones, se obtienen los &alores de a, b, " c

a=1, b=1y c=1

Otro 7@too.

Este mtodo, se puede lle&ar a cabo efectuando la di&isin sintticaentre cada una de las races, en este caso a, b, " c que tambin sonraces del polinomio como a continuacin se muestra.

a 1a b c

a 0 ab

1 0 b abc

b b b2

1 b b2+b

c c

1 b+c

#on los residuos de la di&isin anterior, se escriben las ecuaciones quese muestran, "a que como lo indica el problema son races delpolinomio, por lo tanto dicos residuos deben &aler cero.

abc=0 /c .1

b2+b=0 /c* 2

b+c=0 /c .3

@espejando /b0 de la ecuacin : " sustitu"endo en la ?, obtenemos quea=1

@e la ecuacin I se obtiene que b=1y b=0 'este &alor no se

considera "a que indetermina el sistema).

uesto que b=c entonces c=1

97


98/368

#omo se puede obser&ar son los mismos &alores que se obtu&ieron con

el mtodo anterior, es decir a=1 b=1y c=1

La comprobacin se puede efectuar, sustitu"endo los &alores de a, b, " cen el polinomio original del problema, " efectuando la di&isin sintticaentre cada uno de estos mismos, dando todos los residuos cero, talcomo se muestra a continuacin.

11 11

1 1 2 1

1 2 1 0

111

11 0

11

1 0

2.*.:. COTAS DE RACES REALES

TEOREMA IH/=ea '!), con elementos dentro de los reales, si /a0 " /b0son dos nmeros reales tales que /a b0 " 'a) " 'b), tienen signoscontrarios entonces '!) tiene al menos una raz /r0 en el inter&alo ar b.

TEOREMA6 1oda ecuacin de grado impar tiene por lo menos una razreal cu"o signo es opuesto al de su ltimo trmino.1oda ecuacin polinomial de grado par, cu"o ltimo trmino es negati&otiene como mnimo dos races reales una positi&a " una negati&a


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1iene coe$cientes reales con a;positi&o " se aplica la di&isin sintticaa f'!)donde '!-r) es el di&isor, entonces.

?). =i r; todos los nmeros del tercer rengln son positi&os, r es una

cota superior de las races reales de f'!)P;.I). =i r ; " todos los nmeros del tercer rengln son, alternati&amente,positi&os " negati&os, r es una cota inferior de las races reales def'!)P;.

2n cero del tercer rengln se puede sustituir con un signo ms o unsigno menos.

rueba6 En el caso ?, para cualquier &alor ma"or que r todos losnmeros del tercer rengln, despus del primero sern ma"ores.En consecuencia ningn nmero ma"or que r puede ser una raz.

En el caso I, para cualquier nmero menor que r, todos losnmeros del tercer rengln, despus del primero, sern ma"oresen &alor absoluto. En consecuencia, ningn nmero menor que rpuede ser una raz.

2.*.- TEOREMA/ RE%LA DE LOS SI%NOS DE DESCARTES

El nmero de races reales positi&as de una ecuacin polinomial '!)P;

con coe$cientes reales, es igual al nmero de &ariaciones de signo en'!), es menor que ese nmero, menos un numero par entero.El nmero de races reales negati&as de '!)P;, es igual al nmero de&ariaciones de signo de '-!), es menor que este nmero, menos unnmero par entero.

EFe7plo/

(.+ara el polinomio x56x3+ 6x27x +6=0

a#onstruir una tabla de las posibles races, utilizando la regla de los

signos de @escartes.

"allar todas las races del polinomio si sabemos que es una de susraces.

Solu4i5n/

99


100/368

aPo$i"iliae$

? I :Ra4e$

reale$'

> >-IPI >->P;

Ra4e$reale$'+

? ? ?

Ra4e$4o7pleFa$

; I >

Total e ra4e$ Y Y Y

" =ii es raz, entonces i tambin lo es 'por el teorema de las

races imaginarias)@e esta manera, "a tenemos dos races, pero nos falta allar las otrastres, esto lo aremos utilizando la di&isin sinttica, " posteriormenteutilizando la ecuacin degradada resultante de di&idir sucesi&amente

entre i y i tal como se muestra a continuacin6

1 06 67 6

i i17 i 7+6 i6

1i7 67 i 6 i 0

ii 07 i6 i

1 07 6 0

Estableciendo la ecuacin degradada tomando la ltima $la de ladi&isin sinttica anterior tendremos6

x37x+6=0

Desol&indolo, utilizando los pasos dados con anterioridad, tendremosque6

Los factores sern (1, ( 2,( 3y ( 6 " que al acer la di&isin sinttica

entre cada uno de ellos, resulta que las races son6 1,2 y3

100


101/368

or lo tanto las Y races son6 1,2y3 as como i yi

2., TEOREMAS SO&RE RACES

2.,.( TEOREMA DE LAS RAICES IRRACIONALESCONJU%ADAS.

=uponga que los coe$cientes de una ecuacin polinomial, '!)P;, son

nmeros racionales. =i a+b con /a0 " /b0 racionales " raz de /b0

irracional, es una raz de la ecuacin, entonces ab tambin es una

raz de la ecuacin. @e manera reciproca si ab es una raz,

entonces a+b tambin es una raz.

EFe7plo (/a * Callar las races del polinomio siguiente x

42x35x2+10x3=0

si una de las races es35

2

b * Escribir el polinomio como n - factores lineales

101


102/368

Solu4i5n/

Esta ecuacin no se puede resol&er utilizando el proceso del ejemplo

anterior puesto que las nicas races de dico polinomio son solamente(1y (3 , al probar con la di&isin sinttica ninguno de estas cuatro

posibilidades son races, por lo que procede a la utilizacin del teoremade las races irracionales.

2tilizando el teorema anterior " tomando cada una de las races dadascomo factores se podr escribir.

[x

(

35

2

)][x

(

3+5

2

)]=

(x

3

2

+ 5

2

)(x

3

2

5

2

)=x23x+ 1

%ora efectuamos la di&isin normal entre el polinomio original " elpolinomio resultante obtenido en el paso anterior

aora resol&iendo la ecuacin del cociente x2+x3=0 obtenemos las

otras races las cuales son61+13

2 y

1132 por lo que las cuatro

races del polinomio sern6

r1=35

2 , r2=

352

, r3=1+13

2 y r4=

1132

102


103/368

b * Entonces el polinomio escrito como factores lineales es6

[x (352 )][x(3+52 )][x(1+132 )] [x (1132 )]=

(x23x+1 ) (x2+x3 )=x42x35x2+10x3= *Q * Q * . *

Otro 7@too.

2tilizando la di&isin sinttica, entre cada una de las races, " tomandola ecuacin degradada resultante para obtener las otras races como semuestra a continuacin6

125103

3

25

2

3

25

2

1

25

2

11

2+

352

3

11

25

2

9

25

2

9

2+

352

0

3

2+ 5

2

3

2+ 5

2

3

2+ 5

2

9

2

352

113 0

La ecuacin degradada resultante es x2+x3=0 que es la misma que

se obtu&o en lneas arriba " con la cual se obtienen las dos races quefaltan.

2.,.2 CNJU%ADAS COMPLEJAS O IMA%INARIAS.

=i el nmero complejo /aQbi0T b^;, es una raz de una ecuacinpolinomial con coe$cientes reales, entonces el nmero complejo /a-bi0'el conjugado), tambin es una raz de dico polinomio.

EFe7plo/

103


104/368

(.+Desuel&a la ecuacin x44x3+ 10x2+12x 39=0 , si 23 i es una

de las races " escriba el polinomio como un producto de factoreslineales

Solu4i5n/

#omo se pide que se resuel&a la ecuacin, a" que allar todas lasraces, por lo tanto efectuamos la di&isin sinttica como se muestra acontinuacin6

14101239

23 i 23 i136 +9 i 39

123i36 +9 i 0

2+3 i 2+3 i 069 i

1 03 0

#on la ecuacin degradada que se plantea de la ltima $la de la di&isinsinttica se pude allar las otras races.

x23=0

r/ol2i/n0o x=(3

or lo tanto las races del polinomio sern6r1=23i r2=2+3 i r3=3y r 4=3

or lo tanto el polinomio se puede escribir como un producto de factoreslineales de la siguiente manera

& (x )=(xr

1 ) (xr

2 ) (xr

3 ) (xr

4 )=

[x (23 i )

] [x(2+3 i )

][x

3 ][x(

3 )]

& (x )=x 44x3+10x2+12x39=0

Este mismo problema, se puede resol&er de otra forma o por otromtodo=e puede efectuar primeramente, el producto de los factores de las dosprimeras races, considerando el teorema de las races imaginarias, "

104


105/368

posteriormente efectuar una di&isin entre el polinomio resultante " eloriginal, tal como se muestra a continuacin.

[x(23 i )] [x (2+3 i )]=(x2+3 i ) (x23 i )=x24x+13

Efectuando la di&isin

#omo el residuo es cero, usamos el cociente de la di&isin, x23 " con

esta allamos las otras dos races, tal como se izo en mtodo anterior.

2.+@eterminar si los nmeros ;,-I,:MI, e i son races del polinomio

2 G4 G 3G 2G3

2tilizando la di&isin sinttica. =i los cuatro nmeros anteriores no sontodas races alle las que faltan.

21113

0 0 0 0 0

21113 (r/i08o)

#omo el residuo es diferente de cero, entonces no es raz

21113

24 101838

25 91935(r/i08o)

#omo el residuo es diferente de cero, entonces no es raz

105


106/368

21113

3

23 3 3 3

2 2 2 2 0

#omo el residuo es cero, entonces es raz

21113

i 2 i2i 13 i 3

21+2 i3i3 i 0

#omo el residuo es cero, entonces es raz.

=e &e que solamente dos &alores cumplieron con ser raz, pero segn elproblema tambin pide que se allen las otras races. Entoncesutilizando la di&isin sinttica con las dos races alladas " aplicando elteorema para las races complejas podemos allar todas las races comose muestra a continuacin.

rimeramente utilizamos el teorema de las races complejas, que

establece que, si 0+i es raz entonces 0i tambin &a ser raz, lo

que se demuestra utilizando la ecuacin degradada de la ltima di&isin

sinttica con la razi *

21113

i 2 i2i 13 i 3

21+2 i3i3 i 0

i2i i 3 i

213 0

@e la quinta $la de la di&isin sinttica, se plantea una ecuacincuadrtica como a continuacin se muestra6

2x2x 3=0

106


107/368

Desol&iendo esta ecuacin tendremos las otras dos races, que sern

1y3

2 .

1ambin se puede usar todo el proceso anterior " continuar la di&isin

con el &alor de3

2 que "a se prob en la primera parte del problema

como se muestra en las siguientes operaciones.

21113

i 2 i2i 13 i 3

21+2 i3i3 i 0

i2i i 3 i

213 0

3

23 3

22 0

@e la ltima $la se plantea la ecuacin 2x+2=0 , que se resuel&e para

allar la ltima raz que ser 1

Lo que da como resultado que las races son6

r1=i r2=i r3=3

2 y r 4=1

:.+ @ado el polinomio x4+6x3+ 17x2+36x +66=0 , si 3+2 i es una de

las races " acer una tabla de las posibles races segn el criterio de laregla de los signos de @escartes.

Solu4i5n.

M@too (.

%plicando el teorema del factor " el de las races imaginarias tendremos.

107


108/368

x(32 i ][x(3+2i )]=(x+3+2i ) (x+32i )=x2+6x+11=0

Efectuando la di&isin normal entre el polinomio original " este ltimoallado se obtiene.

Desol&iendo la ecuacin que resulta en el cociente de la di&isin anteriorx

2+6=0

Las races son6 6 i y6 i

or lo que las cuatro races del polinomio son6r1=3+2i r2=3+2i r3=6 i y r 4=6 i

%ora para armar la tabla, se puede obser&ar que a" cuatro cambios designo en el polinomio '!), lo cual nos indica que a" > posibles racesreales positi&as, " no a" ninguno en el de '-!), indicando con esto queno a" ninguna raz real negati&a, por lo tanto la tabla es6

Ra4e$ reale$po$iti?a$

> >-IPI >->P;

Ra4e$ reale$negati?a$

; < ;

Ra4e$

4o7pleFa$

> I >

Total e ra4e$ > > >

M@too 2.

En este mtodo como "a lo emos &enido aciendo, con otrosproblemas, se efecta la di&isin sinttica con la raz que se proporciona,

108


109/368

" se aplica el teorema de las races imaginarias, para establecer la otraraz, " se &uel&e a acer la di&isin.

16173666

3+2 i3+2 i1118+62i66

13 +2 i 6 18+ 62 i 0

32i32 i 01862 i

1 0 6 0

=e puede obser&ar que, de la ecuacin degradada obtenida en la ltima

di&isin sinttica x2+6=0 se pueden obtener las otras races tal como

se ace en el mtodo anterior.

2.,.: SOLUCIN DE ECUACIONES C&ICAS.

La forma general de una ecuacin cbica es6

x3+3x2+9x +r=0

[ue en forma ms simple se puede escribir6

109


110/368

x3+9x+r=0

[ue se tomara como una ecuacin tipo de las cbicas.ara resol&er este tipo de ecuaciones puede aplicarse los siguientespasos.

Pa$o (.

=uponemos a x=y+) el cual se sustitu"e en la ecuacin tipo " se

simpli$ca.


111/368

% partir de la relacin x=y+) se puede obtener que6

r2

r

2

4+

93

27

1

3

r2

+

r

2

4+ 9

3

27

1

3 +

x=

La ecuacin anterior es conocida como frmula de #%D@%V


112/368

y3+)3 +(3y) 15 )x=126

@e aqu que, esta ecuacin se &eri$ca para los &alores de ", zT quecumplan las condiciones.

3y)15=0 o/a y3)3=125y y3+)3=126

or lo tanto y3

, )3

son las races de la ecuacin

52126 5+125=0

Desol&iendo resulta que6y

3=125 y=5

)3=1 )=1

or lo tanto y +)=5+1=6

Entonces

Gy+G 2)=1+1+3 i

2 (5+1+3 i2 )=3+23 i

G2y +G)=323 i

or lo tanto las races son6

6,3+23 i y323 i =* Q * Q * . *

112


113/368

2. MTODOS ESPECIALES PARA LA SOLUCIN DEECUACIONES CUARTICAS

En esta parte se ar un bre&e estudio de algunos de los mtodos quese emplean para obtener la solucin general de una ecuacin de cuartogrado. =e &er que en cada uno de los mtodos tenemos que resol&eruna ecuacin au!iliar de tercer grado, " por lo tanto, se &er que, comoen el caso de las cbicas la solucin ggeneral no se adapta para escribirinmediatamente la solucin de una ecuacin numrica dada.

2..(. CAM&IO DE HARIA&LE.

En mucas ocasiones se encuentran ecuaciones de cuarto grado lascuales no se pueden resol&er tan fcilmente, en ese caso se puede usareste mtodo para encontrar la solucin.

=i la ecuacin es de la forma

c=0+

x4+x2

=e puede acer el siguiente cambio de &ariablex

4=523or lo5an5o x2=5

" de esta manera la ecuacin original queda como

c=0+

a5+

52

113


114/368

La cual como se puede &er es una ecuacin cuadrtica se puede resol&erms fcilmente, aunque el &alor allado de t no es la solucin de laecuacin de cuarto grado, " aqu es donde se puede usar el cambioestablecido para poder allar los &alores de la &ariable de la ecuacin

original ') por lo general es ms fcil usar x2

=5 " por lo tanto

obtendremos dos &alores que son6

x=(5

Si (5 Es puramente real, es sencillo allar los &alores de !,

pero si son imaginarias a" que acer uso de la forma polar de unnmero complejo.

Esto lo podemos aclarar en los siguientes ejercicios.

EFe7plo$/

(.+Desol&er la siguiente ecuacin6

x4x21

Solu4i5n/

x4=52

x2=5

5251=0

1

24(1)(1)

+

52

(1)(5=

51=1+5

2

114


115/368

52=15

2

Ra4e$

x1=1+5

2

x2=1+52

x3=

152

x4=1522.+ Desol&er la siguiente ecuacin6 x

4 +3x2+2=0

i x4=52 y x2=5

EntoncesLa ecuacin se escribe6

52 +3 5+2=0 Desol&iendo tendremos 51=1y 52=2 .

or lo que

x2=( 51 Entonces x=(1=( i " por lo tanto

x1=i y x2=i

%ora aciendo

x2

=( 52 /n5onc/ x3 , 4=(2i 3or lo 98/ x3=2 i y x4=2 i

[ue

son las soluciones de las ecuaciones.

OTRA 0ORMA/@e otra forma se puede factorizar " tendremos6

115


116/368

x4 +3x2+2=(x2+ 2)(x2 +1 )=0

4gualando a cero ambos factores se obtiene la solucin del prrafoanterior.

:.+Desol&er la siguiente ecuacin6 x4 +x2+1=0

Caciendo el cambio de &ariable que se muestra en el ejemplo I seobtiene la ecuacin6

52+5+1=0

Esta no se puede factorizar, por lo tanto aciendo el cambio de &ariablese tendr que

51=1+3i

2 y 52=13 i

2

or lo que usando los principios de nmeros complejos para obtenerraces con la ecuacin general en forma polar que dice6

nrci6=nrci( 6+2 #n )

Caciendo la igualacin que indica el cambio de &ariable obtendremos las

=iguientes ecuaciones63arax1,2=51y x3,4 =52

or lo tanto aciendo el clculo de estos

x1=ci 60=0.5+32

i 3ara #=0

x2=ci 240=0.532

i 3ara#=1

1omando aora el ngulo negati&o.

x1=ci60=0.532

i 3ara#=0

116


117/368

x2=ci 120=0.5+32

i 3ara#=1

#omo se puede obser&ar, las races son conjugadas la ? con la : " la Icon la >

2..2. MTODO DE 0ERRARI

La solucin de la ecuacin cuarta lo obtu&o por primera &ez 5EDD%D4,

discpulo de #%D@%V< de la siguiente manera.

ara ecuaciones cuarticas de la forma6

x4+23x3+9x2+2 rx+ =0(1)

Pa$o (. =umar a ambos miembros la e!presin

b

ax+

, de tal manera

que el primer miembro sea un cuadrado perfecto, entonces

desarrollando " agrupando t

algebra superior 1

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