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Capítulo

Colegios

TRILCE Central: 6198 – 100

1

LECTURA: NOTACIÓN MATEMÁTICA Y ALGEBRAICA

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los

problemas más antiguos de la Matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos

actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

En el problema 14° del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C) se pidecalcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular.

El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4 (t2, b2),

multiplica 2 por 4(tb), suma los anteriores resultados (t2 + b2

+ tb) y multiplica por un tercio de 6 (h/3); naliza diciendo:

“Ves, es 56, lo has calculado correctamente”. En notación

algebraica actual sería: V = h (t2 + b2 + tb) / 3, un polinomio

de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite

obtener la cuarta variable.

Así tenemos el volumen de una pirámide truncada:Algunos polinomios, como: f (x) = x2 + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el

conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene

una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del Álgebra.

h=6

t=2

b=4

( )V

h t bt b3

2 2

= + +

En este capítulo aprenderemos

Expresiones algebraicas

. El término algebraico y sus componentes.

. Cómo identifcar términos algebraicos semejantes.

. La reducción de términos algebraicos semejantes.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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Álgebra

5

www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria

Síntesis teórica

Expresiones Algebraicas

Defnición

Notación

Términos semejantes

Reducción de términosalgebraicos semejantes

Término

algebraico

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Capítulo

Colegios


Saberes previos

1. Calcula en cada caso:

a) 4+9=

b) −8+3=

c) −10+6=

d) −9+(−4)=

2. Calcular en cada caso:

a) −4−5=

b) −9−11=

c) −9+5=

d) 7−10=

1

3. Calcular el valor de: −3+8−11+2


a) (−2)(4)=

b) (−5)(−3)=

c) (7)(−5)=

d) (8)(9)(−2)=

5. Calcular el valor de: −3(2−5)−8(5−3)

Aplica lo comprendido

1. Indicar las partes del siguiente términoalgebraico:

T(x)=−4x9

• Variable : _____________

• Exponente : _____________

• Coeciente : _____________

• Parte literal : _____________

2. Indicar con un aspa (x), el término algebraicoque no es semejante a los demás:

5x3−8x3 4x2 9x3

4x2y3 5x2y3 9y3x2 5xy2

3. Reducir en cada caso:

a) 5x4+8x4=

b) 2m3−7m

3=

c) −4ab−5ab=

d) 11x2y−5x2y=

4. Reducir: −2x2y+x

2y−3x

2y+5x

2y

5. Reducir: 4x3−2x

2−5x

3+7x

2

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Álgebra

7


Aprende más

1. Siendo: A=5xy–4xy–2xy

B=–xy+3xy–4xy

Hallar A–B

a) 0 b) 3xy c) xyd) –xy e) –3xy

2. Reducir:

P(x;y)=5x2–2xy+y2–4x2+xy+2y2–x2+3xy–5y2

a) 2xy–2y2 b) 2xy+y2 c) 2xy+2y2

d) 2xy–y2 e) –y2–2xy

3. Si: A=–xy+3xy–(4xy–2xy)

B=2xy–[xy–2xy]

Hallar A–B

a) xy b) 2xy c) −3xyd) 4xy e) 5xy

4. De 14mn restar –mn

a) 13mn b) –15mn c) –13mnd) 15mn e) 12mn

5. Restar –2mnp de –mnp

a) –3mnp b) 3mnp c) 0d) –mnp e) mnp

6. Reducir: –2xyz–{3xyz–[4xyz–5xyz]}

a) 2xyz b) –2xyz c) –4xyzd) 4xyz e) –6xyz

7. Reducir:

3xy–{2xy–[–5xy–(12xy–5xy)]–3xy}

a) 8xy b) –8xy c) 3xyd) –3xy e) 0

8. Siendo

P(x)=–x2+x–1

Q(x)=2x2–x+2

Hallar P(x)+ Q(x)

a) x2–x+1 b) x2+1 c) x2–1d) x2–x–1 e) x2

9. Si P(x)=x3+3x2+2x+3Q(x)=–2x3–4x2–4x+2

Determine 2 P(x)+ Q(x)

a) x2+8 b) 2x2–8 c) 2x2+8d) x2 e) 2x2+6

10. Reducir la siguiente expresión:

E(x;y)= ( )x y x y

2

16 20 2 3 5+ − +

a) 5x+5y b) 8x+10y c) 3x+2yd) 13x+15y e) 5x+2y

11. Sabiendo que P(x)=4x5 es semejante con

Q(x)=–5x2a–3

, hallar aa) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

12. Si T(x;y)=3xayb–1; R(x;y)=5x4y5 son semejantes,

hallar “a+b”

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

13. Si:

2x2m+p+3x3n+p=px17; entonces “m+n+p”

será:

a) 15 b) 9 c) 10d) 11 e) 26

14. Si los términos en variable "x", T1=mxa–b;

T2=nxb–c son semejantes; calcular:b

a c+

a) 1 b) 2 c) 2

3

d)3

4 e)2

1

15. Si la expresión:P(x)=(a+3)xb+2+2xa+3+(b+4)x6, se reduce aun solo término. Calcule su coeciente.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

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Capítulo

Colegios


1Practica en casa

1. Siendo: A=6xy–4xy–5xyB=–2xy+5xy–6xy

Hallar: A+B

2. Reducir:

P(x;y)=2x2+xy–2y2–x2–3xy+y2+xy–2x2+y2

3. Si: A=2mp–[mp–(3mp–mp)]B=–mp–(mp–4mp)

Hallar: A+B

4. De: (4x–7y+3) restar (–3x–7y+2)

5. Restar: (3m+4) de (5m+4)

6. Reducir:–{5mn–[4mn–(2mn–5mn)+4mn]–4mn}+mn

7. Reducir: P(x;y)=2x–y–[3x–(4x–2y)+3y]–x+2y8. Siendo: P(x)=2x2+4x–2

Q(x)=x2–4x+1Hallar: P(x)+Q(x)

9. Si: F(x)=2x3+2x2–x+4

Q(x)=x3+x2+2x+3Hallar: F(x)–2Q(x)

1. Si x4y; 3xn+1ym son semejantes; ¿qué podemos

armar de: (m+2)x5y3

∧ nx5ym+2?

a) Diferentes

b) Iguales

c) Semejantes

d) Hay 2 correctas

e) Constantes2. Sabiendo que “a” y “b” son números naturales

tales que: 3x8+m+x10=abx5–n, hallar la sumade: m+n+a+b, si: a!b

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Al sumar x6+2x6+3x6+....+nx6 se obtuvo55x6, indique: n2

a) 76 b) 81 c) 49d) 100 e) 196

10. Reducir la siguiente expresión:

E(x;y)= ( )x y x y

5

18 30 4 2 5− − −

11. Sabiendo que Q(x)=3x12 es semejante con

R(x)=–5x2a–6, hallar: a

12. Si: M(x;y)=5xa+1yb+2; A(x;y)=7x7y7

son semejantes, hallar: a+b

13. Si: 3xm–1+4xp+1=qx5

Hallar: m+p+q

14. Si se cumple: (a–2)xb–1+(a+3)x4 ≡ 11xc+1

Hallar: ab–c

15. Si la expresión: P(x)=(a+6)xb+1+5xa+2+(b+3)x8

se reduce a un solo término, calcule su

coeficiente.

4. Jorge compró tres artículos distintos en $(4a+b).

El primero le costo $a y el segundo $(2a–b).¿Cuánto le costó el tercero?

a) $a b) 7a c) 3a–bd) 3a+2b e) a+2b

5. Sea: A(x)=x+3x+5x+7x+9x

B(x)=2x+4x+6x+8x+10xReducir

S(x)=5A(x)–{2B(x)+(4A(x)–3B(x))}

a) 35x b) 45x c) 55xd) 65x e) 75x

Tú puedes

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9


Capítulo


Teoría de exponentes I

. Exponente cero, natural, negativo.

. Teoremas de multiplicación y división de potencias.

. Potencia de potencia y exponentes sucesivos.

TEORÍA DE EXPONENTES I

2

LECTURA: GAUSS ES, SIN DUDA, UNO DE LOS MEJORES MATEMÁTICOS DE TODOS LOS TIEMPOS.Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edady asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarloporque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos losnúmeros del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría variashoras en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cincominutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución.Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara

el procedimiento que había seguido.En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo losiguiente: Acomodó en una la todos los números del 1 al 100 ydebajo de esa la acomodó, en otra la, todos los números del 100al 1. Después sumó las dos las.

100 99 98 3 2 1 1 2 3 ... 98 98 100

101 101 101 ... 101 101 101

Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría

dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos losnúmeros del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación.

Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 =

o lo que es lo mismo:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050

No se sabe si la leyenda es cierta o no pero en cualquier caso tratándose de Gauss es perfectamente posible.

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Capítulo

Colegios


Síntesis teórica

Teoría de Exponentes I

Teoremas

Exponente Negativo

Exponente Cero

División

Potencia de potencia

Exponente Natural

Deniciones

Multiplicación

Exponentes iguales

Bases iguales

2

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Álgebra

11


Saberes previos

Calcular las siguientes operaciones:

1. –9–(–5)+(–11)–(–12)+5–(–7)

2. 3x+4(3x–4)+5x+4(–5x+4)

3. 4

5

4

3+

4.2

5

3

4−

5.2

52−


1. Efectuar: 40–20

–(–4)0–5(–7

0)+320

2. Reducir:. . ...... . ..... ; 0

a a a aa a a a a

veces

veces

40

50

^

6 7 8 44 44

1 2 3 44 44

3. Reducir:( )

( ) . ( )

3

3 34 5

2 4 3 22

4. Calcular: (4–1+ 4

–2)–1

5. Calcular: 9.3–1+16.2–1

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Capítulo

Colegios


Aprende más

1. Reducir: ..... ( ) .33 3 3 3 3

veces40

38 2# # # # − −

1 2 3 4 4 44 4 4 44

a) 1 b) –3 c) 2d) 0 e) 1

2. Reducir:. . ( )

. ( ) . ( );

x x x

x x xx 0

7 12 7 3

30 2 3 4 2

!

a) x4 b) x c) x2

d) x6 e) x5

3. Efectuar: M=(b–3)5.(–b)8.(b2)3.(–b)7

a) b6 b) –b6 c) bd) b2 e) b5

4. Reducir: .

36

6 18

2

2 3

a) 150 b) 160 c) 162d) 62 e) 40

5. Reducir:(( . ) . )

((( . ) . ) . )

a b b

a b b a3 2 3 7

2 4 5 2

a) a18.b2 b) a2b3 c) ab

d) a.b5 e) a19.b

6. Reducir:.

.

81 3

27 3

x x

x x

2 3 2 4

3 2 12

+ +

+ +

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 18

7. Si: ;Ma

a

a

a a 08

4

4

8 2

!=-

-

-

-e eo oCalcular: M–1

a) a3 b) a4 c) a5

d) a6 e) a7

8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:

. ( )

(( ) );N

x x

xx 0

37 4

5 2 4

!=- -

- -

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

9. Si: A3

1

4

1

2

12 3 3

= + +

- - -

` ` `j j j entonces el valor

de: A

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

10. Reducir: .9 2 32 2

50 0

+- -

-8 B

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Descomposición de potencias

11. Reducir:m mm m

m m

m m

3 1

5 3

+

+

+ +

+ +

a) m b) m2 c) m3

d) m4 e) m5

12. Reducir:n2

2 2

n n

n n

2 1

4 3

−

−

+ +

+ +

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

13. Si: aa=3, calcular: aaa 1+

a) 25 b) 27 c) 81d) 243 e) 39

Exponente negativo

14. Reducir:5 2

5 2

n n

n n

+

+

- -

a) 10 b) 10–n c) 10n

d) n10 e) 10n

15. Si: x–n=9; reducir: 81x2n+x–2n

a) 81/82 b) 1/82 c) 1/81d) 82/81 e) 82

2

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Álgebra

13


Practica en casa

1. Reducir: 2 2 2 ... 2 ( 2) .230

veces35

5# # ## − −

1 2 3 4 4 44 4 4 44

2. Reducir:( ) ( ) ( )

. ( ) . ( );

x x x

x x xx 0

5 7 3 6

20 3 2 5 2

!

3. Efectuar: R=(x–4)2.(–x)2.(–x2)4.(–x)3

4. Reducir: .

45

15 75

3

4 2

5. Reducir:(( . ) . )

((( ) . ) . );

x y y

xy x yxy 0

2 2 8

2 3 4

!

6. Reducir: .

.

343 7

49 7

x x

x x

2 2 7

2 1 3

- +

- +

7. Si: ; 0Nx

x

x

x x6

3

3

6 2

!=-

-

-

-e eo oCalcular: N–1

8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:

. ( )

(( ) );M

x x

xx 0

( )6 2 2

4 2 3

3 !=

- -

- -

9. Si: B5

1

3

12

2 2

= + +

- -

` `j j

entonces el valor de: B

10. Reducir: ( . )16 15 163 4 11

0 0 0

+- - -

Descomposición de potencias

11. Reducir:x xx x

x x

x x

3 1

5 3

+

+

+ +

+ +

12. Reducir:3 33 3

n n

n n

3 1

5 3

−

−

+ +

+ +

13. Si: ,b b2b bb 1

=

+

14. Reducir: 7 2

7 2

a a

a a

+

+

- -

15. Si: x–n=8Reducir: 64x2n+x–2n

Tú puedes

1. Efectuar: . .3

2

4

9

27

8x 2x x

` ` `j j j

a)3

2 b)2

3 c) 1

d)4

9 e)9

4

2. Efectuar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x x x x x( )2 3 3 2 3 3 3

2 2 2= − − −

- - -

a) x9b) –x9

c) –x6

d) x6 e) x3

3. Efectuar: ... ...A 2011 4 3 2 59 60

= - - -^``c h j j m

a) 0 b) 1 c) 30

d)innito

e) absurdo

4. Determinar el valor de:

5 5 5 55 5 5 51

1

2 3

x x x 2 x 3

x x x x

+ + +

+ + ++ + +

- - -

a) 5 b) 25 c) 125

d) 625 e) 3125

5. Efectuar: 55 1 55

5

/3 55

5

-^ h; E) 3a) 0,1 b) 0,2 c) 0,25d) 0,55 e) 0,5

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Capítulo

Colegios



Teoría de exponentes II

. Exponente fraccionario.

. Teoremas de multiplicación y división de radicales.

. Raíz de raíz

TEORÍA DE EXPONENTES II

3

LECTURA: EL TABLERO DE AJEDREZ Y LOS GRANOS DE TRIGO

El juego del ajedrez que conocemos hoy día, tiene su origenen un juego hindú denominado Chaturanga, y posiblementese fusionó con otro juego griego denominado Petteia, ambos juegos existen desde la antigüedad, las primeras aparicionesdel juego actual son de los alrededores del año 500 denuestra era, y llegó a Europa a través de los árabes.

Cuenta la leyenda sobre el inventor de este juego:ElBrahmán Lahur Sessa, también conocido como Sissa BenDahir (recordemos que Ben Dahir signica “hijo de Dahir”),escuchó que el Rey Iadava estaba triste por la muertede su hijo y fue a ofrecerle el juego del ajedrez comoentretenimiento para olvidar sus penas; el rey quedó tansatisfecho con el juego, que juego quiso agradecer al jovenotorgándole lo que este pidiera.

Sessa lo único que pidió fue trigo, pidió que el rey le dieraun grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, el doble por la segunda, el doble por la tercera, y asísucesivamente hasta llegar a la casilla número 64.

Iadava accedió a esta petición, pero cuando hizo los cálculos se dio cuenta de que la petición era imposible

de cumplir. ¿Cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor?Para calcularlo hemos usado las potencias, y hemos obtenido que tenía que darle 263, es decir9223372036854780000 granos de trigo.

Si lo expresamos con notación cientíca sería redondeando 9.22 1018 granos de trigo.

1 2 4 8 16

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Álgebra

15


Síntesis teórica

Teoría de Exponentes II

TeoremasDeniciones

Multiplicación de

radicales

División de

radicales

Raíz de raíz

Exponente

Fraccionario

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Capítulo

Colegios


Saberes previos

1. Efectuar: . . ....x x x x

veces201 2 3 44 44

2. Efectuar:4

1

5

1+

3. Efectuar:3

8

3

1+

4. Reducir: 5(m+3)+2(4–m)–3(m–1)

5. Simplicar:

a)24

4 =

b)105

30 =

3



a) 81=

b) 1253 =


a) 361/2=

b) 271/3=


a) 82/3=

b) 1252/3=

4. Reducir la expresión: A x x x2 3 3 4 4= + +

5. Reducir la expresión: A 7 7 76 2 15 5 9 3

# #=

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Álgebra

17


Aprende más

1. Reducir: . . .... .x x x

factores

5 5 5

601 2 3 4 4 44 4 4 44

a) x5 b) x7 c) x9

d) x12

e) x24

2. Reducir: 2 2 2 2

2

a) 2 b) 4 c) 8

d) 2 e) 16

3. Reducir: M

3 7

3 7x x

x x

x=

+

+

- -

a) 10 b) 21 c) 3

d) 7 e) 21

x

4. Efectuar:

. . ( ) ; n n2 2 2 2Nnn nn nn4 3 10 7 2

! H+ + -

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 128

5. Al efectuar: .a b16 64 ; se obtiene am.bn

Calcular: m+n

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. Efectuar: .x x4 3

246 @

a) x4 b) x8 c) x16

d) x24 e) x32

7. Efectuar: . .x x x5 3

126 @

a) x15 b) x25 c) x30

d) x35 e) x24

8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar:x x3

a) 1/2 b) 3/2 c) 5/4d) 3/4 e) 5/2

9. Efectuar: .A 2 3249

=

a) 2 b) 2 c) 24

d) 23 e) 26

10. Efectuar:.

.A

2 16

2 4

35

53

=

a) 2 b) 4 c) 8d) 1 e) 16

11. Reducir:.

. ; 0Ra b

b a abbab

aba

!=

a) 1 b) ba c) ab

d) a e) b

12. Efectuar:.

. ; 0a b

a b a b 0n m

m n

m n ! !-

-

+

a) 1 b) a/b c) abd) a e) b

13. Reducir: L

1 3

1 3

1 6

1 6x

x

xy

yy

=

+

++

+

+

- -

a) 2 b) 3 c) 6

d) 9 e) 1/2

14. Efectuar: ( ) . ;x x x 0>64 16

2162 2 420 3

16

c m8 B

a) 2 b) 1 c) xd) x2 e) 2x

15. Simplicar:20 4

80 16

n n

n nn2

+

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

7/25/2019 Algebra 1-Copy (1)


Capítulo

Colegios


Practica en casa

1. Reducir: . . .... .a a a

factores

3 3 3

901 2 3 4 4 44 4 4 44

2. Reducir: 2

. .3 3 3 32

3. Reducir: L

2 3

2 3a a

a a

a=

+

+

- -

4. Efectuar: . ( ) .3 3 3nn nn nn2 1 2 4 3- - -

5. Al efectuar: .a b36 32432

; se obtiene ax.by

Calcular: yx 2

6. Efectuar: ( . )x x25 53 45

7. Efectuar: ( . . )x x x4 44 32

8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar:x x34

9. Efectuar: .L 3 3103

=

10. Efectuar: L

2 9

3 16

4

4

=

11. Reducir:.

.; 0L

x y

y xxy

yxy

xyx

2

2

!=

12. Efectuar:.

. ; 0 0a b

a b a by x

x yx y

2

22 ! !

-

-+

13. Reducir:1 2

1 2

1 5

1 5

a

aa

b

bb

+

++

+

+

-

14. Calcular: 16 254 4

2 21 1

+- -

- -- -

15. Reducir: M= 8 32

64 16n n

n n

n

2

+

+

Tú puedes

1. Reducir: ( ) ( ) ( )2 231 4 3

3 4 1 0− + − + − +

-; E

a) 4 b) 2 c) 0d) 3 e) 1

2. Calcular: E36

12 3

40 1

25 5

13 7

= + +

- -

-

` j

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20

3. Simplique la expresión "S":

.

.S

2 3 3

3 2 3x x

x x

1

2 1

=

−

+

+

+ +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcule el valor de "M":

.M 8 18

4

5001

/

3

35

1 3

= − − −

= Ga) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Halle el exponente nal de "x" luego de reducir

la siguiente expresión: . . .x x x x2 7 435

a) –2 b) –1 c) 0

d) 1 e) 3

3

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19


Capítulo


Ecuaciones exponenciales

. Los principios básicos para la resolución de ecuaciones de pri-

mer grado con una incógnita.

. A las ecuaciones exponenciales; y sus criterios básicos de reso-

lución.

. Los criterios básicos para resolver ecuaciones exponenciales:

– Potencias de bases iguales.

– Potencias de exponentes iguales.

– Resolución por comparación (x x=4

4 ).

ECUACIONES EXPONENCIALES

4

LECTURA: VIETA FRANCISCO (1540 - 1603)

Matemático francés, nacido en Fontenay-le-Comte y fallecido en París.

La más espectacular de sus virtudes, fue su capacidad para descifrar

enigmas, llegando incluso a descifrar, las claves utilizadas por el rey

Felipe II de España. Tomó las matemáticas como pura diversión,

y sin embargo, llegó a elaborar un gran trabajo en Álgebra yTrigonometría.

Fue el primero en utilizar letras para simbolizar incógnitas y

constantes en las ecuaciones algebraicas; de esta manera el libro

que escribió en 1591, Isagoge in artem analiticam se considera

como el primer libro de Álgebra con la notación actual. Por esta

razón se le llamo padre del Álgebra Moderna.

También fue acionado a la Geometría, calculando el número “pi”

con una aproximación correcta de diez decimales.

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Capítulo

Colegios


Síntesis teórica

Ecuaciones

exponenciales

Ecuación DeniciónCriterios básicos de

resolución

Teoría de exponentes

Ecuación de primergrado

Principios básicos deresolución

Potencias debases iguales

Potencias deexponentes

iguales(exponente cero)

4

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Álgebra

21


Saberes previos

Reducir las siguientes expresiones:

1. –5x+6x–7x+11x

2. –7(x+4)

Resolver las siguientes ecuaciones:

3. 3x–2=91

4. x

3

4 15

−=

5. 5x+8=3x+30


1. Resolver: 5x–2=25

2. Resolver: 72x–3=32x–3

3. Al resolver la ecuación 73–x=49x–1

Indicar el valor de: 3x+1

4. Resolver: 49x–2=343x–5

5. Resolver:3

19

xx

51

=

-+` j

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Capítulo

Colegios


Aprende más

1. Resolver: 8x–2=4x+3

a) 6 b) 5 c) 12d) 10 e) 11

2. Resolver: 4x–1. 5=5x–1 . 4

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Resolver: 73x–2=492–x

a)5

1 b) 6 c)5

6

d)6

5 e)6

1

4. Resolver: 45x 2- =425x 1+

a) –2 b) –3 c) –4d) 1 e) 2

5. Encontrar el valor de “x”, al resolver: 3 93x

=6 @

a)3

1 b)4

3 c)3

4

d) 2 e)2

1

6. Determinar el valor de “x”, al resolver:

2 42 8

x x7 1 2 3

=

- +

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

7. Hallar “x”, si (4x+1)(8x–1)=16x+3

a) 10 b) 13 c) 14d) 15 e) 20

8. Encontrar el valor de “x”: 3 273 9

x x5 1 3

=

+ +

a) 1 b) 2 c)2

1

d)3

1 e)4

1

9. Hallar “x” en: 5 1253 3

x x2 1 5

=+ +

a) 2 b) 3 c)5

1

d) 5 e) 1

10. Calcular el valor de “x” en:

3x+1+3x–1+3x=351

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11. Al resolver: 16 83 4

2 2x x

= , se obtiene como

solución la fracción irreductible:b

a ; indique

a+b.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

12. Resolver: (3). (2x+3)=(192) . (3x–3)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13. Encontrar el valor de "y", si: 1

b1

y–12( )= b

18y

a)3

1 b)3

2 c)3

4

d)3

5 e) 3

14. Resolver: 5 31255 25x x5 2

=- +

a) 10 b) 15 c) –15d) –10 e) –5

15. Hallar "x+3"; en: 9 332 1

25 x

1

=- -

- -

-

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

4

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Álgebra

23


Practica en casa

1. Resolver: 53x–2=25x+9

2. Resolver: 9 936 216x x1 1

=

- +

3. Hallar "x" en: 7 494 2x x2 1 2 1

=

+ -

4. Calcular el valor de "x" en: 5x+1+5x+5x–1=3875

5. Al resolver: 81 2435 4

x x3 3

=

Se obtiene la fracción irreductible:n

m

indique: m+n

6. Resolver: x x81 316 4

x

=

7. Resolver: 2 51238

x

=

8. Resolver: 3 273 9

x x5 1 3

=+ +

9. Resolver: 5 53 3

99

39

x

=` j

10. Resolver: 93

18 9 x 1

=- -

- -

11. Si: 216 . 6x=6–5, hallar el valor de x

12. Si: 25 58 1

27 x

1

=- -

- -

-

, hallar: x+1

13. Resolver: x x8 4

16x

x12

=

-

6 @

14. Si:a a

a a an

n

3

2511

+

+= . Determinar "n"

15. Si 2

10

5

a

a

1

2 24

=+

-, encontrar "a"

Tú puedes

1. Hallar "x", si 77 7

7 7x

x

3

12 57

+

+=

+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Resolver: xx=2

1 .

Indicar el producto de soluciones.

a) –2–1 b) –2–2 c) 2–2

d) 2–3 e) –2–3

3. Hallar "x"; si xxn

=n

a) n b) 2 n c) nn

d) n–1 e) n–2

4. Hallar "x"; en: x 4x 1 3

=-

a) 2 b) 4 c) 32

d) 40 e) 54

5. Hallar "x" en: x3

9x 3/1 3

=

a) 3–6 b) 3–2 c) 3–8

d) 3–3 e) 3–9

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Capítulo

Colegios


5

LECTURA: LEGENDRE, ADRIEN-MARIE (1752-1833)

Matemático francés nacido el 18 de septiembre de 1752 en París y fallecido el

10 de enero de 1833 en la misma ciudad, a quien se deben gran parte de

los métodos de análisis matemático de las teorías físicas. Fue miembro del

Instituto y catedrático de Matemáticas en la Escuela militar de París, e

hizo grandes adelantos en varias ramas de la ciencia, pudiendo citarse su

teorema sobre la solución de los triángulos esféricos de lados pequeños,

sus descubrimientos sobre la teoría de números, su método de los

menores cuadrados, etc. Dejó asimismo muchas obras de mérito, como

son: Elementos de geometría; Ejercicios de cálculo integral; Tratado de las

funciones elípticas y de las integrales eulerianas; Teoría de los números;

Investigaciones sobre la figura de los planetas; etc.


Valor numérico en polinomios

. La notación polinómica; sus elementos y características.

. Las diferentes formas de hallar el valor numérico de un polino-

mio (casos P (x) ; P (x+a) ; P (x−a) ; P (ax±b) )

VALOR NUMÉRICO EN POLINOMIOS

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Álgebra

25


Síntesis teórica

Valor Numérico en Polinomios

Notaciónpolinomica

Estrategias para calcularel valor numérico de un

polinomio de una, dos omás variables.

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Capítulo

Colegios


Saberes previos

1. Completar:

Polinomio Variables Exponentes Coeficiente

M(x)=–4x3

T(x;y)=8x2y5

2. Efectuar: C=–5+7–3–10–8+23

3. Efectuar: A=(–2)2+(–1)3+(2)(–5)–(–1)2

4. Efectuar: 9.310−27.39

5. Sea: P=(x+5)(x+2)+x2–xyHallar el valor que toma "P", si: x=3 ∧ y=5


1. Si: P(x)=x2+5x+1Hallar: P(1)+P(−1)

2. Sea: P(x;y)=3xy–2xy2

Hallar: P(2;–2)

3. Sea: F(x−1)=4x+3Hallar: F(3)

4. Sea: M(x−5)=x2–3xHallar: M(1)

5. Sea: P(x)=25x10–125x9

Hallar: P(5)

5

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Álgebra

27


Aprende más

1. Si: A=x2+2xy, hallar el V.N. de "A" cuando:x=5; y=–2

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 82. Si: P(x)=8x3+2x2–x+

2

3

Calcular: P2

1` j

a)2

1 b)2

3 c)2

5

d)2

7 e) 4

3. Si: M(x;y)=(x+y)2–(x–y)2

Calcular: M(0;5)

a) 0 b) 1 c) 4d) 16 e) 25

4. Si: A(m;n)=m2+n3+3mnHallar: A(−2;−1)

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

5. Si "E" es el cuadrado de la diferencia de "x" y"4", hallar el V.N. de "E" cuando: x=–1

a) 0 b) 4 c) 25d) 36 e) 49

6. Si: A(x)=x2–60x+900, hallar: A(31)

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

7. Si "B", es el cuadrado de la suma de "x" y eldoble de "y", hallar el valor de "B" si: x=5; y=–10

a) 100 b) 220 c) 225d) 226 e) 625

8. Si: P(x)=27x5−81x4+x

Hallar: P(3)

a) 0 b) 1 c) 3d) 1000 e) 27000

9. Si: P(x)=2x99−64x94+x+1

Hallar: P(2)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 510. Si: P(x−2)=4x+11

Hallar: P(2)+P(0)

a) 44 b) 46 c) 48d) 50 e) 52

11. Si: Q(3x−1)=3−8xHallar: Q(2)−4.Q(−4)

a) –48 b) −49 c) −47d) −

50e) −

5212. Si: P(5x+3)=x2–4x+2

Hallar: P(−2)+3.P(3)

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

13. Si: R=x2–482, hallar el V.N. para: x=50

a) 200 b) 198 c) 196d) 194 e) 192

14. Si: M=(x+y)(x–y)+y2; hallar el V.N. para:x=100; y=89

a) 1 b) 10 c) 100d) 1000 e) 10000

15. P(x–3)=2x2–5xHallar: P(2)+P(0)

a) 15 b) 25 c) 28d) 35 e) 38

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Capítulo

Colegios


Practica en casa

1. Si: M(x;y)=3x2–xyHallar: M(1;3)

2. Si: P(x)=27x2+9x

Hallar: P3

1` j3. Si: P(x;y)=(x+y)2–(x–y)2

Hallar: P(–1;4)

4. Si: M(x;y)=x2–2xy+y2

Hallar: M(15;10)

5. Si: Q(x;y)=x2+2xy+y2

Hallar: Q(20;–10)

6. Si: A(x)=x2

–40x+400Hallar: A(22)

7. Si "R" es el cuadrado de la suma de "x" e "y",hallar el valor de "R" cuando x=–5; y=8

8. P(x;y)=2xy+y2

Hallar: P(0;2)+P(0;5)

9. Si: F=x2–y2; hallar el V.N. de "F" para:x=38; y=22

10. Si: G=(x+2y)(x–2y)–x2

Hallar el V.N. cuando: x=100; y=–1

11. Si: M(x)=4x98–16x96+xHallar: M(2)

12. P(x)=(x+3)2+5xHallar: P(0)+P(1)+P(–2)

13. Si: M(x)=x3

Hallar: M(–1)+M(–2)+M(3)

14. Si: P(x–2)=3x+8Hallar: P(9)

15. Si: Q(x+3)=5x–7Hallar: Q(2)+Q(5)

Tú puedes

1. Cuál es el valor numérico de: (2–x–x2)1–x; para:x=–2

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

2. Si: P(x)=3x99–729x94+x+1Calcular: P(3)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Si: P(x;y;z)=x2+xy+xz+yzHallar: P(–3;3;–2)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

4. Si: P(x;y)=(3x+y)(9x2–3xy+y2)Hallar: P(2;–3)

a) 184 b) 185 c) 187d) 189 e) 200

5. Sabiendo que:

(a+b+2c)2+(a+b–2c)2=8(a+b)(c)

Calcular el valor de: E

c b

a c 3=

−

−

` ja) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5

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29


Capítulo

En este capítulo recordaremos

Teoría de grados

. Concepto de grado.

. Grado relativo para monomios y polinomios.

. Grados absoluto para monomios y polinomios.

TEORÍA DE GRADOS

6

LECTURA: EL TRIÁNGULO DE PASCAL

En matemática, el triángulo de Pascal es una representaciónde los coecientes binomiales ordenados en forma triangular.

Es llamado así en honor al matemático francés BlaisePascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité

du triangle arithmétique. También se le denomina comoTriangolo di Tartaglia debido a que el matemático italianoNiccolò Fontana Tartaglia fue el primero en describirlo en untratado de la primera mitad del siglo XVI.

En regiones como Uretra, India o Persia, esta formulaciónera bien conocida y fue estudiada por matemáticos comoAl-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera susaplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa OmarKayam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo

de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lodescribió en el año 1303.

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Capítulo

Colegios


6Síntesis teórica

Grado

Concepto

Grado

Relativo

Grado

Absoluto

Para monomios ypolinomios

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Álgebra

31


Saberes previos

1. Dada la expresión: M(x;y)=6x5y7z3

Indicar:

• Las variables

• Los exponentes de las variables

2. Calcular la suma de coecientes de:

E(x)=x4+2x3+3x2+4x+5

3. De la expresión: P(x)=xa–2

+xa–3

+xa–1

Calcular el valor de "a", si el mayor exponentede "x" es 5.

4. Dada la expresión: A(x;y)=x9y5+x8y7+x6y6

Indicar:

a) El mayor exponente de "x".

b) El mayor exponente de "y".

5. Halla "x" en cada caso:

a) x–3=11

b) x+2=7


4. Del polinomio: E(x;y)=x5y10+x7y8+x2y12

Calcular:

G.R(x)=

G.R(y)=

G.A.=

5. Del problema: A(x;y)=x7+y6+1Hallar:

G.R(x)=

G.R(y)=

G.A.=

1. Si: H(x;y)=5x8y7z10

Calcular:

G.R(x)=

G.R(y)=

G.A.=

2. Si el grado relativo de: M(x)=3xa–2 es 5Calcular: "a"

3. Si el exponente de la variable es un númeroentero positivo en: R(x)=8x12/a

Calcular la suma de los posibles valores quepuede asumir "a".

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Capítulo

Colegios


6 Aprende más

1. Del monomio: H(x;y)=3x8y6

Calcular: G.R(x)–G.R(y)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Calcular: "a+b", si G.R(x)=3 ∧ G.R(y)=5, en:

P(x;y)=2a.xa–7.yb+7

a) 11 b) 10 c) 9d) 8 e) 7

3. Si el G.R(x)=2, calcular el grado absoluto del

monomio: R(x;y)=–7xm–3 . y10+m

a) 17 b) 12 c) 19d) 15 e) 13

4. Si los monomios:

A(x;y)=5xm . y2m–1

B(x;y)=–6x5m . ym–13

Poseen igual grado absoluto, calcular "m".

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

5. Calcular el coeciente de:

M(x;y)=(2a+3b)x3a–2 . y2b–3

si: G.R(x)=13 ∧ G.R(y)=5

a) 18 b) 16 c) 24d) 20 e) 22

6. De: H(x;y)=8(x2m+3)3.(y3n–5)2

Se sabe que el grado absoluto es 47, calcular"m+n"

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

7. Del polinomio: P(x;y)=3x7y6+4x5y10+2x6y8Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A

a) 32 b) 36 c) 30d) 28 e) 26

8. En el polinomio: F(x;y)=xa+5.y5+x7.yb+2

G.R(x)=10 ∧ G.R(y)=8

Calcular: "a.b"

a) 35 b) 36 c) 20

d) 30 e) 31

9. Calcular el valor de "a", en:

H(x)=xa+2+xa+1+xa+3+xa

si: G.R(x)=21–2a

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. Calcular el valor de "m", en:

R(x)=xm–5+xm–3+xm–7+x10

si el grado absoluto es 13

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

11. Calcular m+n en el polinomio:

A(x;y)=xm–2yn+3+xm+1yn–3+xm–3yn+5

si el grado absoluto de "A" es 15,además: m>3 ∧ n>3

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

12. Del polinomio: H(x)=xa/3+xa–1+x17–a

Calcular la suma de los posibles valores de "a".

a) 40 b) 39 c) 45d) 63 e) 31

13. Del polinomio:N(x)=xa–3+xa/2+xa/3+x31–a

Calcular la suma de los posibles valores de "a"

a) 85 b) 87 c) 98d) 90 e) 76

14. Si la suma de coeficientes del polinomio:K(x)=(a+2)xa–3+(a+1)xa–2+(a+3)xa–1

es 21, calcular su grado absoluto.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

15. Del polinomio: P(x;y)=3 . 7 .x y x ya b35 5 2 3 112 2

+- -

se sabe que: G.R(x)=a2+3 ∧ G.R(y)=b2+7

identicar un valor de "a+b"

a) 8 b) –3 c) –1d) 2 e) 5

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Álgebra

33


Practica en casa

1. Del monomio: E(x;y;z)=5x7y8z3

Calcular: 2(G.R(x))+3(G.R(y))–5(G.R(z))

2. Si el G.R(y)=8, calcular el grado absoluto del

monomio: H(x;y)=12x3m–2ym+3

3. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=5

en: M(x;y)=–10xa+3.yb–8

calcular: "a+b"

4. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=4

en: E(x;y)=(3a–2b)x5a+2.yb–5

calcular el coeficiente.

5. Calcular el coeficiente de:

S(x;y)=(3a–2b)x5a–3.y4b–1

si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=156. De: A(x;y)=(x4m–2)3.(y2n–1)6

se sabe que el grado absoluto es 48, calcular"m+n"

7. Del polinomio: H(x;y)=5x9y5+3x6y11+4x8yCalcular: G.A.+G.R(x)–G.R(y)

8. Del polinomio: E(x;y)=xm+7y8+x3yn+4

se sabe que: G.R(x)=16 ∧ G.R(y)=14calcular el valor de "m+n"

9. Calcular el valor de "a", en:

P(x)=xa+5+xa+7+xa+2+xa+1

si: G.R(x)=35–3a

10. Calcular el valor de "m", en:A(x)=xm–4+3xm–6+xm–2+x13

si su grado absoluto es 18.

11. Del polinomio:H(x;y)=xm–5yn+4+xm+3yn–6+xm–2yn+5

se sabe que el G.A(H)=16Calcular: "m+n"

12. Calcular la suma de los posibles valores de "a",

en el polinomio: P(x)=xa/5+xa–3+x32–a

13. Del polinomio: E(x)=x43–a+xa–1+xa/2+xa/5

Calcular la suma de posibles valores de "a".14. Si la suma de coeficientes del polinomio:

R(x)=(a+5)xa–4+(a–3)xa–3+(a+1)xa–1

es 27, calcular su grado absoluto.

15. Del polinomio: M(x;y)= . .x y x ya b9 7 4 2 1

2 2

++ +

se sabe que: G.R(x)=2a2+5 ∧ G.R(y)=b2+10

Calcular el mínimo valor de "a+b"

Tú puedes

1. En el monomio: E(x;y;z)=2012.xm.yn.zp

la suma de sus grados relativos tomados de 2 en2 es 9, 10, 11 respectivamente, calcular el valor

de: m n p n

+- ; además GR(y)<GR(x)<GR(z)

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 7

2. Calcular: m.n, si G.A(p)=11,

en: P(x;y)=6xn+3ym–2+xn+2ym–3, si además:G.R(x)–G.R(y)=5

a) 25 b) 30 c) 21d) 24 e) 16

3. Si el grado del monomio: P(x;y;z)=.

.

w z

x y

b a a b

a b a b

- +

- +

es 16. Hallar el grado de: S(x;y;z;w)=.

.

w z

x y

b a

a b

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

4. Si el monomio: P(x)= .

x

x x

n

n n

14

2 37

3

+

-

es de grado 2. Calcular el valor de "n".

a) 8 b) 5 c) 10d) 2 e) 7

5. Calcule la suma de posibles valores de "n", en:

H(x)=2 3 4x x xn

3

n 2

2

19 n

+ +

- -

si es un polinomio.

a) 27 b) 30 c) 31d) 33 e) 35

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Capítulo

Colegios


7


Polinomios especiales

. Polinomio homogéneo.

. Polinomio completo (propiedad).

. Polinomio ordenado.

. Polinomios idénticos.

. Polinomio idénticamente nulo.

POLINOMIOS ESPECIALES

LECTURA: EL OBJETIVO DEL ÁLGEBRA

"En el mundo laboral nos encontramos diariamente

con problemas referentes al cálculo de cantidades e

incógnitas, lo cuál exige de operadores competentes y

ecaces para resolver dichas dicultades de un modo

optimo".

FUENTE: http://google.com.pe

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Álgebra

35


Síntesis teórica

Polinomios

Especiales

Polinomio Homogéneo

Polinomio Completo

Polinomio Ordenado

Polinomios Idénticos

Polinomio Idénticamente Nulo

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Capítulo

Colegios


Saberes previos

1. En: P(x;y;z)=35x4y6z3

Determinar:

• G.R(x)= ______________________________

• G.R(y)= ______________________________

• G.R(z)= ______________________________

2. En Q(x;y)=x5y4+2x4y7–3x2y8

Determinar:

• G.R(x)= ______________________________

• G.R(y)= ______________________________

• G.A(Q)= ______________________________

3. Dado el monomio: P(x;y)=63x7y9

Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A(P)

4. Dado el polinomio: S(x;y)=7x4y2–3x3y5–y9

Determinar: G.R(x)+2G.R(y)–G.A(S)

5. Hallar el valor de "x" en:

a) x+3=15

b) x–4=10

c) 3x–5=2x+1

d) 4x–1=2x+7


1. Hallar: "a–1"; si el polinomio:

P(x;y)=5xa+3y7–x6y8 es homogéneo.

2. Dado el polinomio completo:

Q(x)=x4

–2x2

+5xb

+3x+7Hallar el valor de "b"

3. Dado el polinomio completo y ordenado enforma decreciente: P(x)=xa+1+xb–2+xc–3+5Calcular: "a+b+c"

4. Si: (a–3)x+16 ≡ 5x+2bHallar: "a.b"

5. Si: (m–5)x2+(n+1)x+(P-2)≡0Hallar: "m+n+p"

7

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Álgebra

37


Aprende más

1. Calcular "a"; si el siguiente polinomio:

Q(x;y)=x3+ay2–5x4y7 es homogéneo

a) 6 b) 3 c) 5

d) 7 e) 112. Calcular: "a+b"; si el polinomio:

M(x;y)=3x4ya–5xby5+2x2y8 es homogéneo.

a) 10 b) 9 c) 8d) 12 e) 11

3. Calcular: m+n2, si el siguiente polinomio:

P(x;y)=xm–1y4+7xm+1yn–x9y5 es homogéneo.

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

4. Dado el polinomio: N(x;y)=2nx3ym+2–3xn–3y4

tiene como grado de homogeneidad a 15;calcular "m.n".

a) 140 b) 150 c) 160d) 180 e) 190

5. Sea el polinomio completo:

P(x)=x4+x2–3xa+1+x

Hallar: a2

a) 4 b) 16 c) 9d) 25 e) 1

6. Calcular: a2+b2; si el siguiente polinomio:

P(x)=x5–6x2+3xa+x4–5xa+b–7(b>a) es completo

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

7. Dado el trinomio ordenado:P(x)=x4+xa+2; (a Z!

+ )Calcular la suma de los posibles valores de "a".

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

8. Si el polinomio: P(x)=18xa+xb+2x2–xc+5es completo y ordenado en forma decreciente,hallar: "a+b+c"

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

9. Si el polinomio es completo y ordenado en formacreciente: P(x)=2a+xn–1+3xm–2+xp–3+5xa

Hallar: m+n–p+a

a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 8

10. Hallar el término independiente del siguientepolinomio completo y ordenado:P(x)=x2013+xa+...+xn+x5+...+2na–2010

a) 64 b) 32 c) 16d) 18 e) 72

11. Dada la identidad:

(a–1)x2+(b–2)x+12 ≡ 3x2+x+3c

Calcular: a+b+c

a) 12 b) 3 c) 11d) 9 e) 6

12. Calcular: "m.n"Si: (m+n–3)x+m–n ≡ 8x+7

a) 5 b) 16 c) 20d) 18 e) 22

13. Si: (a–8)x2+(b–5)x+(c+3) ≡ 0

Hallar: a b c5

+ +

a) 2 b) 5 c) 1/2d) 10 e) 1

14. Dado el polinomio:P(x)=(a–9)x2+(b–6)x+(3c–15)

es idénticamente nulo, hallar: a b c2+ +

a) 5 b) 3 c) 2d) 6 e) 7

15. Dado la identidad:

(a2–8)x2+(b+2)x+16 ≡ x2+5x+c2

Hallar el máximo valor de: a+b+c; (c<0)

a) 10 b) –4 c) 6d) 2 e) 5

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Capítulo

Colegios


Practica en casa

1. Calcular "a" si el siguiente polinomio:

Q(x;y)=x5y8–3x4+ay3 es homogéneo

2. Calcular: m–n; si el siguiente polinomio:P(x;y)=57xmy5–3x6yn–7x3y9 es homogéneo.

3. Dado el polinomio homogéneo:

P(x;y)=axa+3–abxa–1yb+2+2byb+8

Hallar: "a.b"

4. Dado el polinomio: N(x;y)=2x4ym+3–4xn–4y5

tiene como grado de homogeneidad a 16,hallar "n–m"

5. Si el polinomio:P(x;y)=xa–2bya+b–5xbya+2b+7xa–by8

es un polinomio homogéneo, el valor de:

E=(a+b)ab es:6. Sea el polinomio completo:

A(x)=4x6+x5+xm+x+x2+3+x4

Hallar: "5–m"

7. Calcular: m2+n2; si el siguiente polinomio:

S(x)=x4+7x2–xm+xm+n+4; (n>m) es completo

8. Dado el trinomio ordenado: P(x)=5+2xm+x5

Calcular la suma de los posibles valores de "m".

9. Si el polinomio: Q(x)=2013xm+xn+3x2–5xp+7es completo y ordenado en forma decreciente,hallar: m+2n–p

10. Si el polinomio es completo y ordenado en forma

creciente: P(x)=3a+xn–1+xm–2–4xp–3+xaHallar: m+n+p–a

11. Hallar el término independiente del siguientepolinomio completo y ordenado.

P(x)=x215+xa+...+xn+x4+...+3na–212

12. Calcular "m.n"Si: 3ax+12 ≡ 24x+4b

13. Dada la identidad:(a+1)x2+(b–1)x+3 ≡ 4x2+5x+cHallar: a+b+c

14. Si: (a–3)x4+(b+2)x2+(5–c) ≡ 0

Hallar: a b c

3

+ +

15. Dada la identidad:

(a2–2)x2+(b–3)x+c2 ≡ 2x2+4x+25; a>0

Hallar el mínimo valor de a+b+c

Tú puedes

1. Si el polinomio:

P(x;y)=5ax2bya+2+10bx2ay4b

es un polinomio homogéneo, calcular P(1;1)

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

2. Si el polinomio:P(x;y)= 5 xm–2yn–1(x7+y2n–3)

es homogéneo cuyo grado de homogeneidades 16, determinar los valores de m y nrespectivamente.

a) 2;6 b) 7;5 c) 6;8d) 5;8 e) 6;9

3. Si el polinomio:P(x;y)=axa+b+xa+2–x2a+3xa+xa–1

es completo y ordenado, hallar el valor de "b+1"

a) 12 b) 6 c) 4d) 2 e) 1

4. Si los polinomios:P(x)=mx(1+x)+n(x+p)+x2

Q(x)=3x2+8x+12

son idénticos , hallar: m+n+p

a) 5 b) 10 c) 13d) 14 e) 16

5. El polinomio:P(x)=x(ax2+bx+c)–2x(bx2+cx+d)+2d–1

es idénticamente nula, halla: abcdacd

a) 8 b) 6 c) 4d) 2 e) 1

7

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39


Capítulo


Multiplicación algebraica

. Multiplicar un monomio por otro monomio.

. Multiplicar un monomio por un polinomio. . Multiplicar un polinomio por otro polinomio.

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

8

LECTURA: AL-KHWARIZMI, EL ÁLGEBRA Y LOS ALGORITMO

Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe,nacido en Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año 780.Entonces reinaba el califa Harun al-Rashid, quinto califa de ladinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun, tuvo dos hijosy a su muerte, hubo una guerra de sucesión entre los dos hermanos,al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra al-Mamun y al-Amin fueejecutado en 813.

al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había

iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñabanlósofos y cientícos griegos. También construyó una biblioteca y

un observatorio astronómico.

Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun yastrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra,aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente elpensamiento matemático.

La obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primeravez, en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha inuencia

en las matemáticas de la época. La traducción del título de la obraera complicado, por lo que los traductores optaron por latinizar el título, convirtiéndolo en aljeber queacabó derivando en el actual álgebra.

La palabra jebr se reere a la operación de pasar al otro lado del igual un término de una ecuación y la

palabra muqabalah se reere a la simplicación de términos iguales.

La versión latina del tratado de al-Khwarizmi sobre álgebra fue responsable de gran parte del conocimientomatemático en la Europa medieval.

Otro libro de al-Kharizmi fue De numero indiorum (Sobre los números hindúes). En este libro se dan lasreglas para hacer las operaciones aritméticas. Estas reglas se denominaron como las reglas de al-Kharizmiy por deformación de la palabra llegó al término actual algoritmo.

Su trabajo con los algoritmos introdujo el método de cálculo con la utilización de la numeración arábiga y

la notación decimal. Las matemáticas le deben a al-Khwarizmi la introducción del sistema de numeraciónactual y el álgebra.

Murió alrededor del año 835.

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Capítulo

Colegios


Síntesis teórica

Multiplicación algebraica

Monomio pormonomio

Monomio porpolinomio

Polinomio porpolinomio

8

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Álgebra

41


Saberes previos

1. Efectuar:

a) 4x3–7x3=

b) –8a6–4a6=

2. Efectuar:

a) (–4)(5)=

b) (–8)(–4)=

3. Efectuar:

a) x.x.x=

b) a4.a3.a6=

4. Indicar verdadero (V) o falso (F):

• 3.5=5.3 ..........................................( )

• x.y=y.x ...........................................( )

5. Calcular:

a) 5×3×4=

b) (–4)(–2)(–5)=


1. Efectuar: (4x2)(5x)

2. Efectuar: (–4xy3)(–5x2y)

3. Efectuar: (–2x2)(2x+5)

4. Efectuar: (–4xy)(2x–3y)

5. Efectuar: (3x+5)(x–1)

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Capítulo

Colegios


Aprende más

1. Efectuar: (3x2y3)(–5x4y)+14x6y4

a) x6y4 b) –x8y3 c) 29x2y

d) –x6y4 e) –x4y

2. Efectuar: x(x+6)–6(x–1)–x2

a) 6x b) 12x c) 2x2

d) 6 e) 12

3. Efectuar: (2x+1)(4x)–8x(x+1)

a) –4x b) 16x c) 4xd) 0 e) 12x

4. Efectuar: 3x.2x2.3x3.5x4

a) 13x10 b) 45x10 c) 90

d) 90x24 e) 90x10

5. Efectuar: (–8x2y4)(–2x3y)(–6x4y2)

a) 96x9y7 b) –96x9y7 c) 64x24y8

d) –96x24y8 e) –16x9y7

6. Efectuar: 3x(x–2)–(3x+2)x+8x

a) 6x b) 9x2 c) 1d) 8x e) 0

7. Dados: A=3x(x–2)B=6x(x+1)

Hallar: A B+

a) 2x b) 3x c) 6

d) 3x2 e) x

8. Efectuar: (4x–6)(5x–8)–20x2+62x

a) 32x+48 b) 30x c) 48

d) 48x e) 30x

9. Si: A=3x(2x3–5x2)–x3(6x–16)

Hallar: A3

a) x b) x63 c) 63

d) x2 e) 2x

10. Efectuar: A=x(x2–2x+4)–(x3–2x2)

Hallar: A2

a) 4x6+16 b) 16x4 c) 16x2

d) 0 e) 4

11. Efectuar: (x–5)(x2+2)–x3+5x(x+2)–10(x–1)

a) 2x3 b) 10x2 c) 2x

d) 10 e) –2x

12. Efectuar: (x2+2y)(3y–5x2)+6y(x2–y)+x2y

a) 5x2 b) 3x2y c) 9x2y–21x4y4

d) –5x4 e) 6x4y

13. Efectuar:

(x2+x–1)(x2+x–2)–(x2+x+1)(x2+x+2)

a) –6(x2+x) b) 2 c) –6x2

d) 5x e) 0

14. Dados: ( ) ( ) ( )A a a a a6 9 4 22

= + + − + +

( ) ( )B a a a a8 16 1 72

= + + − + +

Hallar: A–B

a) 2 b) 1 c) –2d) –1 e) 0

15. Si: x2+y2=2

Hallar: ( ) ( ) ( )x y x y x y x2 3+ + − −

a) 4 b) 2 c) 3d) 1 e) 0

8

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Álgebra

43


Practica en casa

1. Efectuar: (2a2b)(–3a2b4)+5a4b5

2. Efectuar: x(x2+5)–5(x–2)–x3

3. Efectuar: 4x(2x+1)–8x(x–1)–11x

4. Efectuar: 4a.5a2.3a3.7a4

5. Efectuar: (–5a2b4)(–2a3b)(6a4b2)

6. Efectuar: 4x(x–5)–(3x–2)x–x2

7. Si: A=5.(x2–3)

B=3.(5+3x2)

Hallar: A B x2 2

+ +

8. Efectuar: (5x–3)(3x–4)–15x2+29x

9. Si: A=6x(2x2+x3)–x3(6x–4)

Hallar: A4

3

10. Efectuar: M= . ( – ) –

x

x x x x x12

2 2+ +

11. Efectuar: (a+1)(a–1)(a2+1)+1

12. Efectuar: (a+1)(a2–a+1)+(a–1)(a2+a+1)

13. Efectuar:(x10+x7–1)(x7+x10–2)–(x10+x7+1)(x10+x7+2)

14. Si: ( ) ( )A a a a a6 9 5 12

= + + − + +

( ) ( )B a a a a8 16 1 72

= + + − + +

Hallar: A–B

15. Si: a2+b4=2

Hallar: ( ) ( ) ( )a b a b a b a2 32 2 2+ + − −

Tú puedes

1. Dada la expresión: P(x;y)=( )n x y n3 2 1-

cuyo grado es igual a 15. Halle el valor de sucoeciente.

a) 4 b) 6 c) 8d) 16 e) 20

2. Dado el polinomio cúbico: P(x)=4xn.(3x3–2x+n)

Halle el grado de: Q(x)=xn+m+4.(x3–m)

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 103. Halle el grado de siguiente polinomio:

R(x)=(x+2)(x–2)(x4+4x2+16)

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

4. Dada la identidad:(5x+3)(2x–2)(x5+3x–5) ≡ axm+...+bx+6k;m N! ∧ m>6Hallar el valor de: a+m+k

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

5. Halle el grado de:

P(x)=(x8+4)(x3+2)(x–1)+5x(x4–3)(x2+x+5)+3x5(x–300)

a) 10 b) 12 c) 20

d) 25 e) 27

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Capítulo

Colegios


En este capítulo recordaremos

Repaso I

. Expresiones algebraicas; agregando además el concepto de gra-

do para polinomios en una variable.

. Teoría de exponentes.

. Ecuaciones exponenciales.

. Notación P (x)−Valor numérico

LECTURA: LOS DESCENDIENTES DE CARLOMAGNO

Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser

un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto día topó con un

matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos:

“Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que

ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos

tiene dos padres, el número de ascendentes que contamos son 14, y

si nos remontamos 40 generaciones, el número de antepasados que

tiene usted es:

2+22+23+24+ ... +238+239+240=22 199023, 255550

Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de

descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra

historia pensó “Poca sangre noble tiene este buen hombre”;pero sigió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan

noble cuna.

FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com

REPASO I

9

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Álgebra

45


Saberes previos

1. Reducir: A=7ab4–5a4b+9a4b–18ab4

2. Efectuar: B4

15 81

/1

0 1 4= + −

-

` j

3. Reducir:( . )

( . )C

a b

a b3 2

2 3 3

=

4. Sea: P(x)=4x3–5x2+4Calcular: P(–1)

5. Resolver: 73x–2=492–x


1. Reducir: P(x)=4x5+x8–9x5+4x8

2. Reducir: (–x)4.(–x)3.(–x)5

3. Hallar "x"; si: 43x–1=0,25

4. Calcular:.

.Q3 15

9 5x x

x x

1 1

1

=- +

-

5. Hallar el grado de Q

si: Q(x;y;z)=4x4.y5.z4.y3.z2.x

6. Hallar el grado de PSi: P(x;y)=x4y3+5x2y3–7x3y2z4

7. Dado el polinomio homogéneo:

P(x;y)=4x2ya+5x4yb–ax3y8 ; hallar: "a.b"

8. Sea: P(x)=4x3+2xa+3xb+70un polinomio completo y ordenado, hallara2+b2

9. Halle: Q(5)

si: Q(2x+1)=4x+3

10. Resolver:2 8

x x23 2=

- -

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Capítulo

Colegios


Aprende más

1. Completar el siguiente cuadro:

Coeficiente Variables Exponentes

x y23 4 2

xy z57 3 4

x y5 34 2+

2. Reducir:

A=x2y3–7xy+x2y3–3xy+8xy–2x2y3

a) xy b) –xy c) 2xyd) –2xy e) 0

3. Dado los términos semejantes: 5xa–b

y5

; 31

x4

ya+b

Calcular: a2–b2

a) 0 b) 1 c) 10d) 15 e) 20

4. Dado el polinomio:

P(x;y)=4x3yn+5–3xm+1y5–2x8y6

Halle el valor de "m.n"; si P(x;y) es un polinomiohomogéneo.

a) 47 b) 48 c) 49d) 50 e) 52

5. Efectuar: A=70+40–(–3)0+23

1 0

−` j –3 50

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

6. Efectuar: . . .... ( 5) .25B 5 5 5 5

veces60

58= − −

1 2 3 44 44

a) –2.(5)60 b) –1 c) 1d) 0 e) 2.(5)60

7. Efectuar:( ) .

. . .C3 3

3 3 3 39 8 38

19 21 33 37=

a) 0 b) 1 c) 3d) 9 e) 27

8. Efectuar: ;Da b

a b aab 0

7 3 4

2 3 5

!=

^

^`h

h j

a) a7b b) ab3 c) a7b3

d) ab e) 1

9. Reducir: A 5 3 3 102 1 7

22

1 2 0 2

= − + − −` ^j h

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) –3

10. Efectuar:( ) .

( ) ( ) ( )M

3 5

15 45 81

2 9 3

6 4 2

2

0

=

a) 1 b) 5 c) 3

d) 9 e) 2511. Resolver: 8x–2

=4x+3

a) 1 b) 4 c) 12d) 16 e) 32

12. Resolver:3

19

xx

51

=

-+` j

a) 1 b) 6 c) 7d) –5 e) –7

13. Resolver: 4 425 5x x1 2

=

+ -

a) –4 b) –3 c) –2d) 1 e) 2

14. Hallar "x" en: 125 53 3

x x5 2 1

=

+ +

a) 1/5 b) 1 c) 2d) 3 e) 5

15. Calcular el valor de "x" en:

5x+5x+1+5x–1=3875

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

16. Hallar "x" en: 4x–2=5x–2

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

17. Sea: P(x)=x2–16x+64Hallar: P(10)

a) 4 b) 8 c) 16d) 64 e) 128

18. Sea: M(x+3)=2x2+7x–25Hallar: M(5)+M(4)

a) –20 b) –10 c) 20d) 10 e) –19

19. Sea: P(x)=x2+1 Q(x)=5–3xHallar: PP Q Q(2) (1)+^ ^h h

a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 4

20. Sea: ;

;

P x si x

x si x

5 0

2 3 0

(x) <

2

H

=

+

−)Calcular: P(–3)+P(1)+ ( 2)PP^ h

a) –1 b) –4 c) –5d) 4 e) 5

9

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Álgebra

47


Practica en casa

1. Completar el siguiente cuadro:

Coeficiente Variables Exponentes

x y5 3 5

xy z32 3 4

−

–7x6y3

2. Reducir:

A=–5x7

y2

+3x3

y5

+2x7

y2

–9x3

y5

+x7

y2

3. Dado los términos semejantes:

7xb+8ya–7;5

2 x7y9

Calcular: a2.b2

4. Dado el polinomio:Q(x;y)=8x4yn+1–2xm+2y4–13x9y5

Halle el valor de m.n; si Q(x;y) es un polinomiohomogéneo.

5. Reducir: A 53

15 2 7

2 0 0 2

0

= − + − + +^ `h j

6. Efectuar: 3.3.3...3 ( ) .B 3 81

veces102

98= −

S

7. Efectuar:( ) . ( )

. . . ....C3 3

3 3 3 3 39 5 2 5

2 3 4 10

=

8. Reducir: ( );D

x y

x y yxy 0

1 0 13 2

3 2 5 3 2

!=

^

^

h

h

9. Efectuar: ( ) ( )M 2 5 2 53 1 3 4 2

0 7 0

= − + − −

10. Efectuar:( ) . ( ). ( ) . ( )N3 2

6 24 322 5 6 6

7 5 3

=

11. Resolver: 25x–2=125x–4

12. Resolver:7

1 x3-

` j =49x+5

13. Resolver: 3 34 2x x1 2

=+ -

14. Hallar "x" en: ( )49 72 2

x x2 1 5

=

+ +

15. Calcular "x"en: 3x–1+3x+3x+1=117

16. Hallar "x" en: 7

3x–1

=9

3x–1

17. Sea: M(x)=x2–24x+144Hallar: M(15)

18. P(x)=x2+40x+400Hallar: P(–18)

19. P(x)=x2–5R(x)=3x+7Hallar: P(5)–R(7)+ ( 2)RP^ h

20. Si: ;

;S

x si x

x si x

3 2 0

10 0(x)

<2

H=

+

+)

Hallar: S(–3)+S(–4)+ SS ( 2)^ h

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Capítulo

Tú puedes

1. Calcular el valor numérico de:

( ) ( )F x x y x y xy

34

45

5(x;y) = + +− −

Para: x=4

1 ; y=3

2

a)60

443 b)30

331 c)37

143

d)31

141 e)720

101

2. De:3

4

2

5

4

7ab bc a b

2 2 2 2+−` j

Restar: bc a b ab5

2

2

9

4

32 2 2 2− −` j

a) ab2+ 41 a2b2–101 bc2

b)12

25 ab2+4

25 a2b2–10

29 bc2

c) ab2+4

13a2b2–10

19 bc2

d)12

25 ab2+4

25 a2b2+10

29 bc2

e) ab2+4

25 a2b2

3. El valor simplicado de: Mx y

x yn n

n nn

1

=

+

+- -e o

tal que xy!0, es:

a) x–1y b) xy–1 c) xy

d) (xy)–1 e) x/y

4. Simplicar:( )

.P81 3

3 9 27n

n n n

3

1 1 2 2

= +

-

+ - -

a) 9 b) 3 c) 28/3

d) 1/3 e) 5

5. Simplicar:. . . ......." "

. . . ......." "Q

y y y y n factores

y y y y n factores2 4 6 8

3 5 7

= ;

y!0

a) y b) y–1 c) y–2

d) y–3 e) y–n

9

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