1 algebra de boole

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Algebra de Boole Teoría matemática desarrollada por el filósofo y matemático Británico, George Boole en el año 1854. 0 y 1 Todos los elementos que contempla el álgebra de Boole, constantes y variables sólo admiten dos estados. Así, un interruptor puede estar "abierto" o "cerrado", un relé eléctrico admite estar "activado" o "desactivado", un diodo semiconductor, "conduciendo" o "bloqueado”. Debe notarse que los elementos 0 y 1 no representan números enteros, sino más bien alguna condición física del sistema. La posibilidad de que todos los elementos sólo admitan dos estados ha llevado a llamarla "álgebra binaria“.

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Page 1: 1 algebra de boole

Algebra de BooleTeoría matemática desarrollada por el filósofo y matemático

Británico, George Boole en el año 1854. 0 y 1

Todos los elementos que contempla el álgebra de Boole, constantes y variables sólo admiten dos estados.

Así, un interruptor puede estar "abierto" o "cerrado", un relé eléctrico admite estar "activado" o "desactivado", un diodo semiconductor, "conduciendo" o "bloqueado”.

Debe notarse que los elementos 0 y 1 no representan números enteros, sino más bien alguna condición física del sistema. La posibilidad de que todos los elementos sólo admitan dos estados ha llevado a llamarla "álgebra binaria“.

Page 2: 1 algebra de boole

Algebra de BooleEn 1938, Claude Shannon, sugirió que el A.B. podría usarse para resolver problemas de diseño de circuitos de conmutación.

Las variables y constantes binarias de entrada y salida se suelen expresar con las letras del alfabeto.

Sus operaciones se expresan con signos muy similares a los empleados en las operaciones matemáticas clásicas, como la suma y la multiplicación.

Diferencia.El álgebra clásica establece relaciones cuantitativas.El álgebra de Boole establece relaciones de tipo lógico.

Page 3: 1 algebra de boole

Algebra de Boole

En el álgebra de Boole se pretende conocer en cuál de los dos estados posibles se halla uno de los términos de una ecuación lógica.

Operaciones básicas en AB:

▪ OR -- O SUMA ▪ NOR -- NO OR

▪ AND -- Y PRODUCTO ▪ NAND -- NO AND

▪ NOT -- NEGACIÓN ▪ XOR –- OR Exclusiva

▪ XNOR -- NOR Exclusiva

Page 4: 1 algebra de boole

puerta lógicaUna puerta lógica es un elemento eléctrico simple, quetoma una o más entradas y genera una salida cuyo valordepende de los valores de entradas.

Una tabla de verdad de la puerta define cuál será elresultado de la salida para cada combinación de entradas.Los valores de entrada y salida son representadosmediante voltajes.

Típicamente, 5 volts representa un 1y 0 volts representa un 0.

B A S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Page 5: 1 algebra de boole

puerta OR

Cuando distintas variables lógicas se combinan mediante la

función OR, el resultado toma el estado ALTO (1) si alguna de

ellas tiene dicho estado. S = A + BB A A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1implementación eléctrica de la función OR

Page 6: 1 algebra de boole

puerta OR

+Vcc

-Vcc

TTL

CMOS

Page 7: 1 algebra de boole

puerta AND

Cuando varias variables lógicas, de tipo binario, se combinan

mediante la operación lógica AND, producen una variable de

salida, que sólo toma el nivel lógico 1, si todas ellas tienen dicho

nivel. S = A ·B

Implementación eléctrica de la función AND

B A A*B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Page 8: 1 algebra de boole

CMOS

TTL

puerta AND

Page 9: 1 algebra de boole

puerta NOT

En la operación NOT, la salida «niega» la entrada, es decir la

salida será lo contrario que la entrada.

X = A

Entrada Salida

A X

A = 0 X = 1 A =1 X= 0

Page 10: 1 algebra de boole

• El orden de las variables en la operación OR es indiferente:Ley conmutativa de la suma para dos variables A+B = B+A

A + (B + C) = (A + B) + C

• El orden de las variables en la operación AND es indiferente:Ley conmutativa de la multiplicación para dos variables AB = BA

A(BC) = (AB)C

• Ley distributiva para tres variablesA(B + C) = AB + AC

Factor común

Leyes ConmutativasLeyes Conmutativas

Page 11: 1 algebra de boole

Leyes Conmutativas

• Ley distributiva para tres variables

(A B) + C = (A+C) ( B+C)

Sumando común

• • • •

• •

• • • •

• • • •

BA

C

A B

CC

Hacer la comprobación

mediante la tabla de verdad

A B C A.B (A.B)+C A+C B+C (A+C)(B+C)

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Page 12: 1 algebra de boole

A + 0 = A A + A = A

A + 1 = 1 A + A = 1

A · 0 = 0 A · A = A

A · 1 = A A · A = 0

A = A

Reglas básicas

Hacer la comprobaciónmediante interruptores

Simplificar las siguientes expresiones aplicando la propiedad distributiva.

1.- A + AB = ?

2.- A · (A+B) = ?

3.- A + A ·B = ?

4.- (A+B) · B = ?

5.- (A+B) ·(A+B) = ?

6.- (A·B)+(A·B) = ?

7.- (A+B) ·(A+C) = ?

Page 13: 1 algebra de boole

Ejercicios:

1º Construir mediante interruptores, el cto. correspondiente a las siguientes funciones

F1 = a · b + a · b

F2 = (a · b · c + a · c) ·d

F3= llaves combinadas

F4= Dar la función y el esquema de interruptores para la selección automática

de ingenieros técnicos en una empresa, debiendo cumplir los siguientes requisitos:

1º poseer el titulo académico con al menos 2 años de antigüedad

2º ó no titulados, pero con 5 años de experiencia en la industria

3º recomendados.

2º Representar la tabla de verdad de cada una de las funciones anteriores.

3º Dibujar el esquema lógico de las funciones.

Page 14: 1 algebra de boole

Teorema de Morgan

La inversa de una suma lógica es = al producto lógico de las inversas de las variables

A+B = A · B A+B+C = A · B · C

La inversa de un producto lógico es = a la suma lógica de las inversas de las variables

A · B = A + B A · B · C = A + B + C

Se demuestran con la tabla de verdad

Ejercicios:

M = [(a+b+c) ·d]+e M = ?

X = [(a+b)+ c + a] · (b + d) X = ?

Page 15: 1 algebra de boole

Formas canónicas de las expresiones algebraicas

Una función está en forma CANÓNICA cuando cada sumando o cada producto secompone de todas las variables.

1ª FC: Suma de Productos (1)

2ª FC: Producto de Sumas (0)

Ejercicio:

Expresar la siguiente función en sus formas canónicas:

F =(a · b ·c) + (a · c) + (a · b) + c

C B A F

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

F1 = ?

F2 = ?

Page 16: 1 algebra de boole

puerta NOR (NO-OR)

F= A+BA B F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

7402

Page 17: 1 algebra de boole

puerta NAND (NO-AND)

A B F

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

F=A·B

7400

Page 18: 1 algebra de boole

puerta XOR (OR-EXCLUSIVA)

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

F= A + B

7486

Page 19: 1 algebra de boole

puerta XNOR (COINCIDENCIA)

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

F= A + B

747266

Page 20: 1 algebra de boole

Ejercicios:

Resolver los ejercicios 1, 2, 3 aplicando en todos ellos el siguiente procedimiento:

1º.- Obtener la tabla de la verdad

2º.- Obtener las ecuaciones lógicas

3º.- Simplificar las ecuaciones

4º.- Dibujar el esquema lógico con un solo tipo de puerta.

1- Coincidencia de 3 variables

2- Diseñar el cto. Lógico para la activación de una lámpara empleando 3 interruptores,

de forma que se active solamente cuando este accionado un solo interruptor ó los 3

simultáneamente.

3- Para trasladarse desde un punto hasta otro de una gran ciudad existen varias

combinaciones:

- Enlazar las líneas 1 y 2 del metro

- Elegir la línea A de autobuses y a continuación la B de autobuses

- Coger 1º la línea A de autobuses y luego la 2 del metro

En todo caso será necesario disponer del bono de transportes

Page 21: 1 algebra de boole

Ejercicios:

4- Implementar con puertas NAND de 2 entradas las siguientes funciones

F1 = a · b · c + a · b · c

F2 =( a + b) · (a + b + c)

5- Implementar con puertas NOR de 2 entradas las siguientes funciones

F1 = a · b · c · a · c

F2 =( a + b) · (a + b + c)