Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 2 CAPITULO I 1.MATRICES 1.1. ANTECEDENTES Lateoradematrices ladesarrollArthurCayley(18211895) y fue publicada en1858.CuandoCayleytrabajconproblemasrelacionadosconlas transformaciones lineales del tipo: dondea ,b ,cydson numero reales, observ que un arreglo rectangular del tipo:simplificaba cada paso en la solucin de dichos problemas. Este matemtico ingls no slo defini las matrices, sino que adems estableci las reglas para realizar las operaciones con dichas matrices; es decir, desarroll el lgebra matricial. Hoy en da, las matrices tienen diversas aplicaciones. Algunas de ellas estn relacionadas con la graficacin por computadora y con el estudio de vectores. 1.2. DEFINICIN Un arreglo rectangular de nmeros formado por m renglones y n columnas se llama matriz. Cada nmero de la matrizsellamacomponenteijdelamatriz,dondeiindicaelnmerodelafiladondeseencuentrayjel nmero de la columna donde se encuentra. De manera que una matriz de 3 2 consta de tres renglones (m = 3) y dos columnas (n = 2). Cuando se tiene que m = 1 es una matriz rengln o matriz fila, mientras que si n = 1 es una matriz columna.

Elordende unamatriz estadado por ladimensin quetiene. En losejemplos, lamatrizAesde orden 3 2, la matriz B es de orden 1 3 y la matriz C es de orden 3 1.Cuando una matriz contiene una sola fila o una sola columna se denomina tambin con el nombre de vector. Loscomponentesdeunamatrizseformanapartirdenmerosreales,perolasmatricescomotal constituyen un sistema matemtico diferente. Por este motivo se deben estudiar sus propiedades. 1.3. IGUALDAD DE MATRICES by ax x + = 'dy cx y + = '((

d cb aArthur Cayley | |Columna MatrizrenglnMatriz2 3 de Matriz

1 33121111x3 13 12 112 332 3122 2112 11= = =((((

= =((((

= C B AcccC b b b Ba aa aa aA Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 3 Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensin y sus componentes correspondientes son iguales. Ejemplo 1.1. ( )2 3214 1225548 1xxxLogA((((

= y 2 33523 1xxx B((((

= sonigualesportenerlamismadimensinyporquesus componentes correspondientes son iguales. Ejemplo 1.2. Silamatriz ((

+=z yx wA13 2esequivalentealamatriz ((

+=zxB5 13 2entonces,Culessonlos valores de las variables w, x, y y z? Solucin: Pordefinicindosmatricessonequivalentessitienenlamismadimensinysisuscomponentes correspondientes son iguales. Si A = B entonces: ((

+=((

+=zxz yx wB A5 13 213 2Los componentes correspondientes son iguales, por lo tanto podemos plantear 4 igualdades (ecuaciones) as: 12 2==ww 233 3=+ =xx x 01 1== +yy 05==zz z 1.4. CLASIFICACIN DE MATRICES. 1.4.1.MATRIZ CUADRADA Una matriz con el mismo nmero de columnas y de renglones se designa como matriz cuadrada. Se dice que una matriz cuadrada es de orden n si tiene n columnas y n renglones (filas).

1.4.2.MATRIZ DIAGONAL Se llama diagonal principal de una matriz a los elementos 11a ,22a , 33a , y nna .( )( )( )4 ordende 3 ordende2 ordende1111

4 02 14 44 4 43 3 32 2 21 1 13x333 32 3123 22 2113 12 112x2xz y xz y xz y xz y xCb b bb b bb b bB A(((((

=((((

=((

= Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 4 Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde los componentes que no estn en la diagonal principalsonceros,y,almenos,unodeloselementosdeladiagonalprincipalesdistintode cero. 1.4.3.MATRIZ IDENTIDAD SellamamatrizIdentidadaunamatrizdiagonal,cuyoselementosdeladiagonalprincipalson unos. La matriz idntica se denota por la letra nIdonde n es el orden de la matriz. 1.4.3.1. PROPIEDAD DEL PRODUCTO Sea A una matriz de (n n)e nI una matriz identidad de orden n, entonces: AnI =nI A = A 1.4.4.MATRIZ DIAGONAL ESCALAR Es una matriz cuya diagonal est formada por un mismo nmero. El resultado de multiplicar una matriz cualquieraA por una matriz escalar E (en ese orden AE), es igual al que se obtiene al multiplicar la matriz A por el nmero que forma la diagonal. 1.4.5.MATRIZ TRANSPUESTA LamatriztranspuestadelamatrizAdeorden(mn)esunamatrizAtdeorden(nm)que tiene como filas las columnas de A, es decir: ( )( ) 0 00 00 0 4 00 3Diagonales Matrices 3x33322112x2((((

=((

bbbB (((((

=((((

=((

=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1 1 0 00 1 00 0 1 1 00 1 Identidad Matrices 4 3 2I I IIn (((((((

=((((

=((

=210 0 00210 00 02100 0 021 3 0 00 3 00 0 3 2 00 2Escalares Diagonales Matrices C B A Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 5 Si ( ) nxmmn nmtmxnmn mna aa aAa aa aA((((

=((((

= 11 11) (11 11entonces . Ejemplo 1.3. Si ((((

=5 8 21 2 36 5 1Aentonces su matriz transpuesta es ((((

=5 1 68 2 52 3 1tA 1.4.5.1. PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA Sean A y B dos matrices cuadradas, entonces: (At)t = A (A +B)t= At + Bt (AB)t = BtAt Si r es un escalar entonces (rA)t=r(At) 1.4.6.MATRIZ NULA Unamatriznulaesaquellaquetodossuscomponentessonceros.Serepresentapor0.Puede tener cualquier dimensin. ) 3 x 3 (0 0 00 0 00 0 00Nula Matriz((((

= 1.4.7.MATRIZ SIMTRICA Una matriz cuadrada A es simtrica, si y solo si,A y su transpuesta son iguales; es decir A = At

simtrica. esentonces , y 7 0 30 5 23 2 1es esta su transpu y 7 0 30 5 23 2 1ComoAA A A At t=((((

=((((

= 1.4.8.MATRIZ ANTISIMTRICA UnamatrizcuadradaAesantisimtricasiysolosiA=At.Paraqueunamatrizsea antisimtrica su diagonal principal debe estar conformada por ceros. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 6 ica. Antisimetr es tanto lo por,implica ,0 6 36 0 23 2 0y 0 6 36 0 23 2 0 entonces0 6 36 0 23 2 0SiA A AA A Att =((((

= ((((

=((((

= 1.4.9.MATRIZ CONJUGADATiene como componentes nmeroscomplejos.Unamatrizconjugadaes lamatriz quecontiene los componentes conjugados de una matriz inicial. ((

+=((

+ =i ii iAi ii iA5 23 4 3conjugada matriz ,5 23 4 3inicial Matriz 1.4.10.MATRIZ TRANSCONJUGADA La matriz transconjugada es la transpuesta de una matriz conjugada ((

+=((

+=i ii iAi ii iA5 3 42 3* gada Transconju matriz ,5 23 4 3conjugada Matriz 1.4.11.MATRIZ TRIANGULAR 1.4.11.1.SUPERIOR Esunamatrizcuadradaquetienesuscomponentespordebajodeladiagonalprincipal equivalentes a cero. Ejemplo 1.4. ((((

=3 0 07 1 06 5 2superior rtriangula MatrizA 1.4.11.2.INFERIOR Esunamatrizcuadradaquetienesuscomponentessobreladiagonalprincipal equivalentes a cero. Ejemplo 1.5. ((((

=3 5 10 1 40 0 2inferior rtriangula MatrizA 1.4.12.INVERSA DE UNA MATRIZ Sean A y B dos matrices de n n, tales que: AB = I, entonces B se llama inversa de A y se denota como A1: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 7 Siunamatriznosepuedeinvertirsedesignacomosingular.Encasocontrario,sellamano singular.

1.4.12.1.PROPIEDADES DE UNA MATRIZ INVERSA (a)Si A es un matriz no singular, entonces A1 es no singular y (A1)1=A(b)Si A y B son matrices no singulares, entonces AB es no singular y (AB)1=B1A1

(c)Si A es una matriz no singular, entonces (At)1=(A1)t 1.5. OPERACIONES ENTRE MATRICES 1.5.1.SUMA DE MATRICES Sean A y B dos matrices del mismo orden o dimensin, lasuma de ambas matrices A + B, es la matriz que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de cada matriz; es decir: SiA= (((((

mn m mnna a aa a aa a a.........2 12 22 211 12 11yB=(((((

mn m mnnb b bb b bb b b.........2 12 22 211 12 11entonceslamatrizqueresultade sumar A + B es (((((

+ + ++ + ++ + +mn mn m m m mn nn nb a b a b ab a b a b ab a b a b a.........2 2 1 12 2 22 22 21 211 1 12 12 11 11 Ejemplo 1.6. Se A =((((((

7 61 2 , 0321 y B =((((

4 03 45 1. Hallar la matriz A + B. Solucin: Como la matriz A y la matriz B tienen la misma dimensin, entonces es posiblesumarlas A + B = ((((((

7 61 2 , 0321+((((

4 03 45 1=((((((

+ + + + + +) 4 ( 7 0 63 1 4 2 , 0) 5 ( 3 121=((((((

3 64 2 , 4223 AA1 = A1A= In Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 8 1.5.1.1. SUMA DE MATRICES CON UN ESCALAR Parasumarunamatrizcuadradaconunescalardebemosasumirqueelescalaresta multiplicado por la matriz idntica.Sea A un matriz cuadrada de dimensin n y k un escalar. La suma de A + k es equivalente a sumar la matriz A con la matriz que resulta de multiplicar el escalar k con la matriz idntica de dimensin n.A + k =(((((

nn n nnna a aa a aa a a.........2 12 22 211 12 11+ k=(((((

nn n nnna a aa a aa a a.........2 12 22 211 12 11+ kIn =(((((

nn n nnna a aa a aa a a.........2 12 22 211 12 11+k(((((

1 ... 00 ... 1 00 ... 0 1 =(((((

nn n nnna a aa a aa a a.........2 12 22 211 12 11+(((((

kkk... 00 ... 00 ... 0 =(((((

+++k a a aa k a aa a k ann n nnn.........2 12 22 211 12 11 1.5.2.PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NUMERO REAL k (ESCALAR) Sean A una matriz de cualquier orden yk un numero real dado, el producto del escalark por la matriz A es otra matriz denotada como kA, y se obtiene al multiplicar cada elemento de A por k. Ejemplo 1.7.. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 9 A = ((((

9 3 01 4 51 0 2; k = 3, obtenga kA; es decir, 3A Solucin: 3A = 3((((

9 3 01 4 51 0 2=( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ((((

9 3 3 3 0 31 3 4 3 5 31 3 0 3 2 3= ((((

27 9 03 12 153 0 6

1.5.3.RESTA DE MATRICES Sean A yB dos matrices del mismo orden. A B es otra matriz que resulta de resolver A+(1)B. Ejemplo 1.8. Sea A = ((

9 5 01 3 2 y B = ((

1 5 22 1 3. Hallar A B Solucin:A B= ((

9 5 01 3 2 ((

1 5 22 1 3 = ((

9 5 01 3 2+ (1) ((

1 5 22 1 3 = ((

9 5 01 3 2+ ((

1 5 22 1 3 =((

8 10 23 2 1 1.5.4.PROPIEDADESPARALASUMAYELPRODUCTODEUNNUMEROREALPOR UNA MATRIZ Si A, B y C son matrices de orden (m n) y k1, k2 son nmeros reales, entonces: -A + k1= k1+ APropiedad conmutativa de la adicin. -(A + B) + C = A + (B + C) Propiedad asociativa de la adicin. -A + 0 = AExiste un elemento identidad de la suma, la matriz cero. -A + (A) = 0 Para cada matriz existe un inverso aditivo. -k1 (A + B) = k1 A + k} BPropiedad distributiva -(k} + k2) A = k1 A + k 2APropiedad distributiva -( k1k2) A= K1(K2 A)Propiedad asociativa en la multiplicacin Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 10 -1A = AExiste un escalar identidad de la multiplicacin -0 A = 0Siendo 0, la matriz cero o matriz nula. 1.5.5.PRODUCTO DE MATRICES Sean A y B dos matrices, el producto AB (en el mismo orden) slo est definido si el numero de columnasdelaprimeramatrizAesigualalnmerodefilasdelasegundamatrizB.siesto suceda se dice queA y B son Conformables con respecto a la multiplicacin. SiA= n m((

yB=p n((

entoncesAyBsonmatricesconformablesysuproductoes AB = p m((

SeanA=( )ija deorden(mn)yB=( )ijb deorden(np),entonceselproductoAB(enel mismo orden es otra matriz de orden (m p), C =( )ijc en donde: =ijc (filai de A)(columnaj de B) Esdecir,el elementoij deABesproductodecadaunodeloselementosdelafila i deApor cada uno de los elementos de la columnaj de B, de manera que: nj in j i j i ijb a b a b a c + + =2 2 1 1 Ejemplo 1.8. A= 3 32 4 11 0 22 4 1((((

,B= 2 36 50 22 3((((

DadaslasmatricesAyB,compruebequesison conformables con respecto a la multiplicacin y encuentre AB. Solucin: DadoqueelnmerodecolumnasdeAcoincideconelnmerodefilasdeB,entoncesson conformables. Obtenemoscadaunodeloselementosdelamatrizproducto,multiplicandocadarenglndeA por cada columna de B, as: 11c= 1 (3) + 4 (2) + 2 (5) = 3 + 8 10 = 512c = 1 (2) + 4 (0) + 2 (6) = 2 + 0 + 12 = 14 21c = 2 (3) + 0 (2) + 1 (5) = 6 + 0 5 = 1122c = 2 (2) + 0 (0) + 1 (6) = 4 + 0 + 6 = 10 31c = 1 (3) 4 (2) 2 (5) = 3 8+ 10 = 5 Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 11 32c = 1 (2) 4 (0) 2 (6) = 2 + 0 12 = 14 Entonces: 2 3 2 3 3 314 510 1114 56 50 22 32 4 11 0 22 4 1 ((((

=((((

((((

1.5.5.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Si A, B y C sonmatrices de orden tal que se puedan multiplicar y k es un nmero real, entonces se cumple con: -(AB)C =A(BC) Propiedad asociativa de la multiplicacin -A(B+C) =AB + AC Propiedad distributiva de la multiplicacin por la izquierda -(B+C)A = BA + CA Propiedad distributiva de la multiplicacin por la derecha -k(AB) = (kA)B = A(kB) 1.6.POLINOMIO DE MATRICES Unpolinomioesunaexpresinalgebraicaquetienelaforma 0 1... ) ( kx bx ax x Pn n+ + =.SiAes cuadrada entonces 0 1... ) ( kA bA aA A Pn n+ + = Ejemplo 1.9. Si1 2 5 ) (2 3+ + = x x x x P y ((

=5 14 2Aentonces) (A P es igual a: Solucin: ((

=((

+((

((

+((

= + + =337 160640 143) (0 00 115 14 25 14 225 14 25 ) (1 2 5 ) (2 32 3A PA PI A A A A P Al evaluar un polinomio de matrices se obtiene una matriz. 1.7. COMBINACIN LINEAL Una de las definiciones ms importantes, en el estudio del algebra lineal, es el concepto de combinacin lineal el cual definiremos a continuacin: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 12 SiA1,A2,,Aksonmatricesdemnyc1,c2,,cksonnmerosreales,entoncesunaexpresindela forma se denomina combinacin lineal de A1, A2, , Ak y c1, c2,,ck se llaman coeficientes. Ejemplo 1.10. Si ((

=1 43 01A y ((

=0 12 12A entonces 2 1213 A A C =es una combinacin lineal deA1 y A2. Por medio de la multiplicacin de un escalar y la suma de matrices, podemos calcular C. (((

=(((

+((

=((

((

= =32258210211213 129 00 12 1211 43 032132 1A A C Otra de las formas de ver una combinacin lineal es el producto de Ac donde A es una matriz de m n y c es una matriz de n 1 (nvector). Este producto de Ac se puede escribir como una combinacin lineal de las columnas de A, en las que los coeficientes son las entradas en c. Si (((((

=mn m mnna a aa a aa a aA2 12 22 211 12 11 y (((((

=ncccc21 entonces (((((

+ +(((((

+(((((

=mnnnm maaaaaacaaac Ac 21222122121111. Ejemplo 1.11. Sean ((

=2 2 43 1 2A y ((((

=432c . Entonces el producto Ac escrito como una combinacin lineal de las columnas de A es((

=((

+((

((

=((((

((

=652342134224322 2 43 1 2Ac

1.8.APLICACIONES DE LAS OPERACIONES ENTRE MATRICES Sonmuchaslasaplicacionesdelasoperacionesentrematrices,entreellasseencuentranlas transformaciones matriciales, que nos permiten manipular vectores y grficas representadas en el plano cartesiano o en el espacio.En este captulo tomaremos las transformaciones matriciales como referente para nuestras aplicaciones. c1A1 + c2A2 + + ckAk. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 13 LanotacinRnlautilizaremosparareferirnosatodoslosnvectoresconentradasreales(Recordarla definicin matricial de vector 1.2). De acuerdo con ello, R2 denota el conjunto de todos los 2vectores y R3 el conjunto de todos los 3vectores.De manera geomtrica es importarte reconocer la representacin de un vector en R2 y en R3. En R2 el vector ((

=yxxesta representado por: En R3 el vector ((((

=zyxx esta representado por: Lastransformacionesmatricialessonfuncionesmatemticas.SiAesunamatrizdemnyuesun nvector,elproductodeAuesunmvector.Unafuncinf quetransformaRnenRmsedenotapor m nR R f : . Una transformacin matricial es un funcinm nR R f : , definida con( ) Au u f = . El vectorenRmsedenominaimagendeu,yelconjuntodetodaslasimgenesdelosvectoresRnse denomina rango def . Ejemplo 1.12. Seaf la trasformacin matricial definida por( ) u u f ((

=1 34 2 Hallar la imagen de ((

=12u . Solucin: Como( ) u u f ((

=1 34 2 entonces((

=((

((

=||.|

\|((

50121 34 212f Ejemplo 1.13. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 14 Sea ((

=1 1 10 2 1A ,yconsiderelatransformacinmatricialdefinidapor( ) Au u f = .Hallarlas imgenes de,101((((

de((((

310y de ((((

312. Solucin: AlevaluarlatransformacinmatricialconcadaunodelosvectoresenR3,seobtiene.00y22,21((

((

((

respectivamente. (Verifique). Ejemplo 1.14. Latransformacinmatricialdefinidapor( )((((

((

=|||.|

\|((((

=zyxzyxf u f0 1 00 0 1.Entonces ( )((

=|||.|

\|((((

=yxzyxf u f . Observe que ((((

=syxv , en donde s es cualquier escalar, entonces( ) ( ) u fyxv f =((

= . La transformacin matricialf es un ejemplo de una transformacin matricial denominada proyeccin de R3enelplano. xy siobservaconcuidadolagrfica,verqueelvectoru seproyectaalplanoxyformando el vector en R2 ( )((

=yxu f . Enocasiones,podemosdefinirunpolgonodemaneramatricial,esdecir,lasfilasocolumnasdela matrizpuedendeterminarelpolgonoalcontenerlascoordenadasdesusvrtices.Deestamanera, podramos manipularlo mediante operaciones con matrices y vectores. Porejemplo, el polgono ABCse podra representar por medio de una matriz, as: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 15 ((

=1 5 31 2 2C B AM , La matrizMcontienelas coordenadasdel polgona ABC.Cadacolumnarepresentaunpunto(vrtice)ycadaFilarepresenta una coordenada especfica. SialamatrizMlesumamosotramatrizdondeincrementemoselmismo valor1x enlascoordenadasxyelmismovalor 1y enlascoordenadasy estaramos realizando unatraslacin en direccin al vector ((

=11yxv . Ejemplo 1.15. DadoelpolgonoABCdeterminadoporlamatriz ((

=1 5 31 2 2C B AM yelvector ((

=24v .Hallarla traslacinque produce el vector v a M Solucin: Debemostenerclaroqueelvectorvdefineunamatrizde traslacin la cual corresponde a ((

=2 2 24 4 4tM , Lo cual define la operacin matricial de la siguiente manera: M + Mt=((

1 5 31 2 2+((

2 2 24 4 4 = ((

3 7 53 2 6Estamatrizcorrespondealpolgono trasladado DEF (ver grfica). Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 16 EJERCICIOS CAPITULO I 1.Indique la dimensin de cada una de las siguientes matrices.a. ((

=0 0 2 32 . 0 7 / 9 2 3Ab. c. ((

=1 00 1Cd. (((((

=0 0 01 0 03 1 05 4 1D(((((

=0021BCaptulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 17 2.Dada la matriz (((((

=9 7 2 , 13 4 152 0 3 , 35 , 0 5 1A indicar cada uno de los siguientes: a.a32 = b.a33 = c.a21 = d.a42 = e.a13 = f.a43 = 3.Si la matriz A es equivalente a la matriz B entonces hallar los valores de las incgnitas x, y, z y w (((

+ =22 4 22wz zy xAy ((

++=3 08 7 5wxB4.Para cada ejercicio halle la matriz X = ((

s rq p tal que: a. ((

= ((

6 53 16 53 1Xb. 21 41 2I X = ((

c. 23 23 2I X = ((

d. 22 50 13 2I X = + ((

5.Hallar la transpuesta de cada una de las matrices dadas a.A =| | 51 25 21 1 b.B = ((((

6 5 43 8 96 2 3 c.C = ((

9 5 04 3 2 d.D = (((((

7 7425 2 / 1ax 6.Determine los nmeros m y n tales que A = ((((

0 55 0 12 0nmsea antisimtrica 7.Determine los nmeros m y n tales queB = ((((

0 6 41 34 3nmsea simtrica 8.Verifique cules de las siguientes matrices son simtricas y cules antisimtricas: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 18 a.M = ((((

2 5 35 4 23 2 1 b.M = ((((

0 7 37 0 23 2 0 c.M = ((

0 99 1 d.M = ((((

7 8 58 6 35 3 2 e.M = (((((

6 1 9 41 0 2 39 2 7 44 3 4 5 f.M = ((((

0 1 31 0 23 2 0 9.Demuestre, con argumentos matemticos o un ejemplo, que: a.Toda matriz diagonal escalar es simtrica b.La transpuesta de toda matriz triangular superior es triangular inferior c.No existe una matriz simtrica y antisimtrica a la vez d.Si A y B son matrices antisimetricas, entonces A + B es tambin ansimtrica e.La transpuesta de una matriz idntica es la misma idntica 10.En el siguiente plano complejo se han representado los nmeros (u, v, w, z). Recuerde queen el plano complejo, el ejehorizontal corresponde a la parte real del nmero complejo,y el ejeverticala laparte imaginaria.Ademsrecuerdequeunnmerocomplejonoserepresentacomounpuntosinocomoun vector. Determine: a.La matriz M =((

z wv u (Mes una matriz conformada con nmeros complejos) b.LamatrizM,esdecirlamatrizconjugadadeM.Ubiqueloscomponentesdelamatriz conjugada en el plano complejo. Qu cambios observa con respecto al polgono inicial? Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 19 c.LamatrizM*,esdecirlaTransconjugadadeMyubiqueloscomponentesdelamatriz transconjugada en el plano complejo. Qu cambios observa con respecto al polgono inicial? 11.Verificar si cada pareja de matrices corresponde a una matriz dada y su inversa a. (((

((

75737471,1 34 5 b. ((((

((((

6 3 24 1 03 2 1,4141211 0 2454323 12.Dadas las siguientes matrices (Para los ejercicios 13, 14 y 15): A =((((

1 2 16 5 24 3 1B =((((

2 5 78 4 17 0 2C =((((

3 3 75 6 40 1 1 13.En los siguientes ejercicios efectu el calculo indicado con: a.5A b. A + 4B c.A 4B + 5C d.C 4B + 5C e.3A + 5B + 0B f.4C 2A g.3A C h.A + 4(C B) i.2(2A+(B+2C)) 14.Halle una matriz D tal queA+3B5CD sea equivalente a una matriz cero de orden 3 15.Encuentre una matriz E tal que3A+B5C+E sea equivalente a ((((

1 0 00 1 00 0 1 16.Dadas las siguientes matrices (para los ejercicios 17, 18, 19, 20 y 21): A = ((((

0 4 13 0 16 5 4B = ((((

0 5 31 2 53 2 1C =((((

2 1 24 9 53 5 0 17.Resolver: a.4A+B b.2A3C c.A4B+2C d.A2B3C e.C+BA f.C2B+A Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 20 18.Determine una matriz D tal queA+B+C+D sea equivalente a ((((

3 2 40 9 64 1 2 19.Halle una matriz E tal queAB+C2E sea una matriz cuyos componentes son todos 1 de orden 3 20.Encuentre la matriz A2, B3 21.Resuelva los productos ACy CA se cumple la propiedad conmutativa? 22.verifique que las matrices dadas son conformables, si lo son, realice el producto. a. ((

((

4 22 46 13 2 b. ((

((

3 87 54 12 3 c. ((((

((

2 9 04 6 71 1 32 3 41 5 4 d. ((((

((

3 23 26 13 6 24 1 7 e. ((((

((((

5311 2 01 5 43 2 1 f. ((((

((((

4 7 23 2 10 3 25 4 31 10 92 0 1 23.Realice cada uno de los siguientes productos como una combinacin lineal a. ((((

((((

5107 3 21 0 54 2 1 b. ((((

((

3211 3 20 1 2 c. ((

((((

535 40 31 2 d.| |(((((

731120 5 4 2 24.Dado el polgono ABCDE: a.Determine una matriz P con las coordenadas de los vrtices del polgono b.Calcule la matriz3P. Grafique el polgono resultante ABCDE e indique cual fue su transformacin c.Calcule la matriz 21P e indique cul fue su transformacin d.Calcule la matriz P e indique cul fue su transformacin Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 21 e.Qu matriz traslada al polgono ABCD dos unidades hacia la izquierda y tres unidades hacia arriba? f.Qu operacin entre matrices (polinomio de matrices)triplica el polgono, lo rota 180 grados y lo traslada 3 unidades a la derecha y 5 hacia abajo, a la vez? 25.La letra N mayscula de la figura esta determinada por ocho puntos o vrtices. Las coordenadas de los puntos se pueden guardar en una matriz de datos de dimensin 2 8, que llamaremos D. D=8 28 8 8 42 , 6 58 , 1 0 0 06 5 , 5 0 5 , 0 5 , 5 6 5 , 0 0CoordenadaCoordenada8 7 6 5 4 3 2 1Verticesxyx((

a.Ubique en el plano cartesiano cada uno de los vrtices de la letra N y grafquela b.Dada la matriz A=((

1 025 , 0 1, encuentre la matriz AD e indique que transformacin lineal se le produjo a la letra N c.Ubique en el plano cartesiano la transformacin AD 26.Dadas las siguientes matrices: A = ((((

2 0 14 4 00 2 1 B = ((((

2 0 31 1 20 0 2 y C = ((((

2 3 01 0 30 1 2, ylos polinomios:6 3 2 ) (2 3+ + = x x x x P ,5 4 ) (2 = x x Q y1 5 ) (2+ = x x x H , hallar: 1.1.1. P(A) 1.1.2. Q(B) 1.1.3. H(C) 1.1.4. P(B A) 1.1.5. Q(A) + H(B) 1.1.6. P(C) H(A) Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 22 1.1.7. P(A 4)1.1.8. Q(C)+51.1.9. Q[P(A)] CAPITULO II 2.DETERMINANTES 2.1.ANTECEDENTES Aunquelosdeterminantesyaseconocan(desdehaceaproximadamenteun siglo)antes delaaparicindelas matrices, hoy endasuestudio seencuentran ligado.AlgunoshistoriadoresconsideranqueGottfriedWilhelmLeibniz (16461716)desarrolllateoradelosdeterminantes,mientrasquealgunos otrossealanqueelmatemticojaponsSekiKowahizolomismodiezaos antes. Gottfried Wilhelm Leibniz Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 23 Por otro lado, James Joseph Sylvester (1814 1879) utiliz, por primera vez, el trmino matriz en 1850 para distinguir las matrices de los determinantes. De hecho, la intencin era que el trmino matriz tuviera el significado de madre de los determinantes. 2.2.DEFINICIN Eldeterminantedeunamatriznnesunnmeroreal asociado alamatriz cuadradaA, medianteuna funcin denominada funcin determinante. Si la matriz es A, el determinante que se asocia a A se denota como det(A) oA .El dominio de la funcin determinante es el conjunto de las matrices cuadradas, y su rango es el conjunto de los nmeros reales. Paradefinirlafuncinquepermitedeterminareldeterminanteaunamatriznnempezaremos definiendo el determinante de una matriz de orden 1, es decir de 1 1. SiA = [a11] entonces det(A)= a11 Ejemplo 2.1. Si A = [3] entonces el determinante de la matriz A est dado por det(A) = 3 Ahora si la matriz es de orden 2, es decir ((

=22 2112 11a aa aA , entonces el det(A) es a11a22 a21a12. Ejemplo 2.2. Si ((

=6 43 2A entonces el determinante de A es: det(A) = (2)(6)(4)(3)=12 (12)=24 Para calcular determinantes de matrices de orden superior a 2 haremos uso del siguiente procedimiento: Definicin Para n > 2, el determinante de una matriz Anxn = [aij] es la suma de los n trminos de la forma a1jdet(A1j), con los signos ms o menos alternndose, donde las entradas a11, a12,,a1n son de la primara fila de A y A1j es la matriz menor A1j que resulta de eliminar la fila 1 y la columna j de A. En smbolos: Ejemplo 2.3.det(A) = a11det(A11) a12det(A12) ++ (1)1+na1ndet(A1n) ==+njj jjA a11 11) det( ) 1 (Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 24 Calcule el determinante de ((((

=0 2 01 4 20 5 1ASolucin: El det(A)= a11det(A11) a12det(A12) + a13det(A13) ((

+((

((

=2 04 0det 00 01 2det 50 21 4det 1 ) det(A2 ) 0 4 ( 0 ) 0 0 ( 5 ) 2 0 ( 1 = + = Otramaneradedefinirelconceptodedeterminanteeshaciendousodelconceptodecofactor.DadaA = [aij], el cofactor (i, j) de A es el nmero Cij dado por Cij = (1)i+jdet(Aij) Conesteconceptosepuededefinirdeotramaneradeterminante.EldeterminantedeAnxnsepuede calcular haciendo un desarrollo por cofactores a lo largo de cualquier fila o descendiendo por cualquier columna. El desarrollo a lo largo de la fila i sima usando los cofactores es: El desarrollo por cofactores bajando por la columna j sima es Ejemplo 2.4. Useundesarrolloporcofactoresalolargodelatercerafilaparacalculardet(A),donde ((((

=0 2 01 4 20 5 1A . Solucin: 2 0 ) 1 ( 2 04 25 101 20 1) 2 (1 40 50) det( ) 1 ( ) det( ) 1 ( ) det( ) 1 () det(33 333 332 322 331 311 333 33 32 32 31 31 = + + =+ = + + =+ + =+ + +A a A a A aC a C a C a A 2.3.PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 ++ ainCin det(A) = a1jC1j + a2jC2j ++ anjCnj Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 25 2.3.1. Los determinantes de una matriz y su transpuesta son iguales; es decir, det(AT) = det(A) 2.3.2. SilamatrizBseobtienenintercambiandodosfilasointercambiandodoscolumnasdeAentonces det(B) = det(A) 2.3.3. Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A)=0 2.3.4. SiunafilaocolumnadeAes mltiplo de otra fila o columnadeA respectivamente, entonces el det(A) = 0 2.3.5. Si una fila de A o columna de A consta slo de ceros, entonces det(A)=0 2.3.6. SiBseobtienedeAmultiplicandounafilaocolumnadeAporunnmerorealc,entoncesdet(B) = cdet(A) 2.3.7. SilamatrizBseobtienendesumarnvecesunafiladeAaotrafiladeA,entoncesel det(A)=det(B) 2.3.8. SiunamatrizA=[aij]estriangularsuperioroinferior,entoncesdet(A)=a11a22annesdecir;el determinante de una matriz triangular es el producto d los elementos de la diagonal principal. Corolario:Eldeterminantedeunamatrizdigonaleselproductodelasentradasdesudiagonal principal. 2.3.9. Eldeterminantedelproductodedosmatriceseselproductodesusdeterminantes;esdecir, det(AB)=det(A)det(B). 2.3.10.Si A es no singular, entonces det(A) = 0 y ) det(1) det(1AA = 2.4.LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR COFACTORES RecordemosquetodamatrizA(nosingular),multiplicadaporsuinversa(A1)dacomoresultadola matriz idntica, es decir: Uno de los procedimientos utilizados para hallar la inversa de una matriz(no singular) es por cofactores. AlgunostextosdeAlgebralinealllamantambinaesteprocedimientoinversadeunamatrizpor determinantes. La inversa de una matriz no singular est dada por AA1=A1A = I (A) adjA1A1 - =Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 26 Dondeadj(A)eslamatrizadjuntaA,equivalentealatranspuestadelamatrizconformadaporlos cofactores de A. Ejemplo 2.5. Dadalamatriz ((((

=5 6 40 3 01 2 1A determinarsiesinvertible(nosingular),ysiloes,surespectiva inversa. Solucin: Primero: Se debe calcular el determinante de la matriz, ya que al encontrar un determinante equivalente acero indicara que lamatriz es singular, es decir no tendra inversa.Para estousaremosun desarrollo por cofactores a lo largo de la segunda fila, as encontraramos el det(A). ( )( ) ( )( ) ( ) ( )27 ) det(27 4 5 3 1 4 5 1 3 ) det(6 42 105 41 135 61 20 ) det() det( ) 1 ( ) det( ) 1 ( ) det( ) 1 ( ) det() det(23 233 222 222 221 211 223 23 22 22 21 21 = = = =+ = + + =+ + =+ + +AAAA a A a A a AC a C a C a A Comoeldet(A)esdistintodecero,entonceslamatrizAesnosingular,esdecirtieneinversa,locual indica que podemos hallar la inversa de la matriz A. Segundo:Despusdehaberconfirmadoquelamatrizesnosingular,procedemosahallartodoslos cofactores de la matriz A haciendo uso de la Cij = (1)i+jdet(Aij). 155 60 31 ) det( ) 1 (111 111= = =+A C05 40 01 ) det( ) 1 (122 112= = =+A C126 43 01 ) det( ) 1 (133 113 = = =+A C45 61 21 ) det( ) 1 (211 221 = = =+A C95 41 11 ) det( ) 1 (222 222 = = =+A C146 42 11 ) det( ) 1 (233 223= = =+A CCaptulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 27 30 31 21 ) det( ) 1 (311 331 = = =+A C00 01 11 ) det( ) 1 (322 332= = =+A C33 02 11 ) det( ) 1 (333 333 = = =+A C Con los cofactores de A podemos conformar la matriz Cof(A), es decir la matriz de cofactores de A

((((

=3 0 314 9 412 0 15) (A Cof . Tercero:PodemoshallarlaAdj(A)queeslamatrizadjuntadeAyequivalealamatriztranspuestade cofactoes de A, es decir, Adj(A) = (Cof(A))T. ( )((((

=((((

==3 14 120 9 03 4 15) (3 0 314 9 412 0 15) () ( ) (A AdjA AdjA Cof A AdjTT Cuarto: Con la matriz Adj(A) ya podemos hallar la inversa Como(A) adjA1A1 - =entonces: (((((

=((((

=91271494031091274953 14 120 9 03 4 1527111AA Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 28 UnamaneradeverificarquesehaencontradalamatrizinversadeAesrealizandoelproductodela matriz por su inversa para as obtener la idntica. Recordar que AA1=A1A = I. I A A =((((

=(((((

((((

= 1 0 00 1 00 0 191271494031091274955 6 40 3 01 2 11 (Verificar) 2.5. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES Y DE LA MATRIZ INVERSA Sonmuchasaplicacionesquetienenlosdeterminantesenelalgebralineal,yengeneral,enmuchos campos de las matemticas.Muchas de ellas las estudiaremos en otros captulos. A continuacin veremos como resolver una ecuacin de la forma Ax = b donde A es una matriz cuadrada de n n, x es un nvector o matriz de n 1y b es el nvector o matriz de n 1 producto que resulta de Ax. Si Ax = b entonces ( )( )b A xb A x Ib A x A Ab A Ax Ab Axn111 11 1 ===== Ejemplo 2.6. Si ((((

=1 5 53 2 01 1 1Ay ((((

=8248b entonces hallar, ((((

=zyxxtal que Ax = b Solucin: Si A es invertible (No singular) entonces x = A1b. Como det(A) = 8, entonces A es invertible (Verifique) ((((

=((((

((((

=82481 5 53 2 01 1 1zyxb Ax Como x = A1bentonces Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 29 ((((

=((((

=((((

((((

(((((((

=((((

80080082884104583218158121813xzyxzyx EJERCICIOS CAPITULO II 1.Evalu cada uno de los siguientes determinantes con el procedimiento que prefiera: a. 2 31 2 Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 30 b. 5 0 00 0 20 3 0 c. 3 0 05 2 00 2 4d. 0 1 0 01 0 0 30 0 0 20 2 2 4 e. 3 41 2 f. 0 0 40 3 02 0 0 g. 0 0 30 5 22 4 3 h. 3 0 3 12 0 1 30 1 3 20 0 2 4 2.Si 43 2 13 2 13 2 1 = =c c cb b ba a aA calcule los determinantes de las siguientes matrices haciendo uso de las propiedades de los mismos a. ((((

=1 2 31 2 31 2 3c c cb b ba a aBb. ((((

=3 2 13 2 13 2 12 2 2 c c cb b ba a aCc. ((((

+ + + =3 2 13 3 2 2 1 13 2 14 4 4c c cc b c b c ba a aDd. ((((

=3 2 13 2 13 2 1333c c cb b ba a aFe. ((((

=3 2 13 2 13 2 1b b bc c ca a aGf. ((((

+ + +=3 2 13 2 12 2 3 2 2 2 1 1 13 2 3 2 3 2c c cb b bc b a c b a c b aE 3.Verifique cada una de las propiedades de los determinantes por medio de ejemplos. 4.Evalucadaunadelassiguientesexpresiones.Encuentreeldeterminantedecadamatrizentrminos de . a. ||.|

\|((

2 32 1det Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 31 b. donde ((

=1 12 4Ac. |||.|

\|((((

3 0 02 2 02 1 1det d.( ) A I 3det donde ((((

=1 0 01 0 21 0 1A 5.Paracadaunadelasmatricesdelejercicio4,determinetodoslosvaloresde paralosqueel determinante sea igual a cero. 6.Si4 = A , determine: a. 2A b. 4A c. 1 A 7.Si A y b son matrices n n, con 2 = A y3 = B , calcule TB A1 8.Sea ((((

=1 2 30 2 13 1 2Aa.Calcule el det(A) b.Obtenga adj(A) c.Verifique que AAdj(A) = det(A)I3 9.Para cada una de las matrices, no singulares, encuentre su inversa: a. ((((

1 3 22 1 03 2 1 b. ((

4 32 1 c. ((((

2 7 14 1 22 3 1 d. ((((

2 6 43 1 25 3 4 e. (((((

7 2 1 00 2 5 27 1 4 35 0 2 1 10.Determine los valores depara los cuales: a.03 32 2det =||.|

\|((

| | ( ) A I 2det Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 32 b.| | ( ) 0 det3= A I , donde ((((

=1 0 01 0 21 0 1Ac.04 04 1det =||.|

\|((

d.| | ( ) 0 det3= A I , donde ((((

=2 1 20 3 03 1 3A 11.Si |||.|

\|=4 2 34 3 23 2 1Ay |||.|

\| =7 3 22 3 55 0 1Bhallar xtal queB Ax = , recuerde queB A x1 = 12.Hallar, si es posible, la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices. A = ((((

1 3 10 5 36 2 4 B = ((((

6 4 21 3 33 2 1 C = ((((

6 3 118 5 36 0 1 D = ((((

1 3 21 3 33 2 2 E = ((((

1 0 00 1 00 0 1 F = ((((

3 2 16 3 123 2 1 13.Califiquecadaenunciadocomoverdaderoofalso.Justifiquecadarespuesta.Supongaquetodaslas matrices son cuadradas. a.Si A es una matriz de 2 2 con determinante cero, entonces unacolumna de A es un mltiplo de la otra. b.Si dos filas de una matriz A 3 3 son iguales, entonces det(A) = 0. c.Si A es una matriz 3 3 entonces det(5A) =5det(A) d.Si A y B son matrices n n, con det(A) = y det (B) =3, entonces det (A + B) =5. e.Si A es n n y det(A) = 2, entonces det(A3) = 6 f.Si B se produce intercambiando dos filas de A, entonces det(B) = det(A)g.Si B se produce multiplicando la fila 3 de A por5, entonces det(B) = 5det(A) h.det(AT) = det(A)i. det(A) = det(A) j.Si A es invertible, entonces det(A1) = det (A) k.Si A es invertible, entonces (det (A))(det(A1)) = 1 Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 33 CAPITULO III 3.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1.ANTECEDENTES Unodelosprocedimientosmsimportantesendesarrollodeunsistemaecuaciones,enelestudiodel algebralineal,llevaelnombredereduccindeGaussJordanatribuidoadosmatemticosque trabajaron de manera independiente. Carl Friedrich Gauss (1777 1855) nacido en una familia pobre de obreros en Brunswick y muerto en Gotinga, Alemania, ha sido uno de los matemticos ms famososdelmundo.Fueunnioprodigioincomprendidoporsupadre.Sin embargo, su genio logrimpresionar lo suficiente a sus maestros como para que obtuviera del duque de Brunswick una beca para que pudiera asistir a la escuela secundaria local. Durante su adolescencia realiz descubrimientosoriginales en teora de nmeros y comenz a especular acerca de la geometra no euclidiana. Ensusinvestigacionesutilizunmtodoquedespussegeneralizparala reduccinporfilasdeunamatriz.AunquedichomtodoseaplicabaenChinadesdecasi2000aos antes, lleva el nombre de este ilustre matemtico en su honor. Wilhelm Jordan (1842 1899) naci en el sur de Alemania. Asisti a la universidaden Stuttgart y en 1868seconvirtienprofesordetiempocompletodegeodesiaenlaescuelatcnicadeKarlsruhe, Alemania.Pordesgracia,elmtododereduccindeGaussJordanhasidoampliamenteatribuidoa Camilla Jordan (1838 1922), matemtico francs bastante conocido.Adems, parece que el mtodo fue descubierto tambin, de manera independiente y en la mismapoca, por B. I. Clasen, un sacerdote avecindado de Luxemburgo. 3.2.DEFINICIN Una gran cantidad delos problemas que se presentan en las ciencias naturales y sociales, as como en ingenierayencienciasfsicas,tienenqueverconecuacionesquerelacionanadosconjuntosde variables. Una ecuacin deltipo ax = b, que expresa la variable b en trminos de x y de la constante a, se denomina ecuacin lineal. Aqu se utiliza la palabra lineal porque la grfica de la ecuacin anterior es una lineal recta. De manera anloga, la ecuacin a1x1 + a2x2 + + anxn = b, queexpresabentrminosdelasvariablesx1,x2,,xnylasconstantesconocidasa1,a2,,an,se denomina ecuacin lineal. En muchas aplicaciones se nos da b y las constantes a1, a2, a3 y se nos dice Carl Friedrich Gauss Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 34 que debemos determinar los nmeros x1, x2, , xn, denominados incgnitas, que satisfacen la ecuacin dada. Una solucin de la ecuacin lineal es una sucesin de n nmeros s1, s2,, sn que tienen la propiedad de satisfacer la ecuacincuando x1 = s1, x2 = s2,, xn = sn se sustituyen en ella. Demaneramsgeneral,unsistemademecuacioneslinealesconnincgnitasx1,x2,,xnalque podemos llamar simplemente sistema lineal , es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una con n incgnitas. Un sistema lineal puede denotarse mediante: = + + += + + += + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 Una solucin del sistema lineal es una sucesin de n nmeros s1, s2, , sn, que tiene la propiedad de que cada ecuacin del sistema se satisface cuando x1 = s1, x2 = s2,, xn = sn . 3.3.MTODOS DE SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Existenmuchosmtodosparasolucionarunsistemadeecuacioneslineales.Peroantesdeestudiar algunosdeellosveremoscmopodraserunasolucindeunsistemadeecuacionesalobservarla representacin grfica de los sistemas 2 2 y los sistemas 3 3. Unsistema22contienedosecuacionescondosvariables,ysabemosqueunaecuacindelaforma a11x + a12y = brepresentada en elplano cartesiano es una lineal recta, lo que nos llevaa pensar que un sistema de 2 2 representado en el plano cartesiano es un par de rectas las cuales se pueden comportarse de la siguiente manera. Vemos que si la representacin de un sistema de la forma = += +2 22 211 12 11b y a x ab y a x aes como el de la grfica (a), entonces es un sistema con una nica solucin, que satisface ambas ecuaciones del sistema. Esa solucin estarepresentadacomoelpuntoquecorrespondealainterseccindelasdosrectas.Ahora,sila Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 35 representacin grfica del sistema es como la grfica (b) entonces es un sistema con infinitas soluciones ya que las dos rectas se unen en infinitos puntos. y finalmente, si la representacin grafica del sistema es como la figura (c), donde hay dos rectas paralelas que no tienen ningn punto en comn, entonces es un sistema que no contienen soluciones. Una ecuacin con tres variables representa un plano en el espacio. Un sistema 3 3 es un conjunto de tresecuacioneslinealescontresincgnitas,lascuales,alrepresentarseenelespacio,representantres planos (ver grfica). Los sistemas 3 3 tambin pueden tener una nica solucin, cuando un solo punto pertenece a los tres planos. Un sistema 3 3 puede tener infinitas soluciones si los tres planos se unen formando una lnea recta o un solo plano, o puede que no tengan ningn puntoen comn. Podemosgeneralizarqueunsistemannpuedetenerunanicasolucin(sistemaconsistente determinado),infinitassoluciones(sistemaconsistenteindeterminado)oningunasolucin(sistema inconsistente). SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESCONSISTENTES(Con solucin)DETERMINADOS(Con nica solucin)INDETERMINADOS(Con infinitas soluciones)INCONSISTENTES(Sin solucin)Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 36 Estudiaremoslosmtodosderesolucindeunsistemadeecuaciones.Entrelosprocedimientosquese utilizan estn: 3.3.1. EL MTODO DE ELIMINACIN DE INCGNITAS El mtodo de eliminacin consiste en eliminar variables sumando un mltiplo de una ecuacin a otra, hasta encontrar una variable y sustituirla en otras ecuaciones del sistema para encontrar el valor a nuevas variables del sistema. Ejemplo 3.1. Resolver el sistema = += + = + +2 314 2 3 26 3 2z y xz y xz y x Solucin: Para resolver este sistema seguiremos los siguientes pasos: Para eliminar x, sumaremos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces la primera a la tercera, lo que da por resultado 20 10 52 4 76 3 2 = = = + +z yz yz y x Despuseliminamosycomosigue,conayudadelasegundaecuacindelpasoanterior. Multiplicamos la tercera ecuacin por (1/5), para obtener 4 22 4 76 3 2= += = + +z yz yz y x Luego intercambiamos la segunda y tercera ecuacin, lo que nos da 2 4 74 26 3 2= = += + +z yz yz y x Ahora sumamos 7 veces la segunda ecuacin a la tercera, para obtener 30 104 26 3 2= = += + +zz yz y x Al multiplicar la tercera ecuacin por 1/10, tenemos Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 37 34 26 3 2= = += + +zz yz y x Finalmente sustituyendo z = 3 en la segunda ecuacin obtenemos y = 2. Al sustituir z y y en la primeraecuacinencontramosx=1.Porlotantoelsistematienesolucinyesunsistema determinado consistente. En el mtodo de eliminacin se realiza repetidamente las operaciones: 1.Intercambiar dos ecuaciones2.Multiplicar una ecuacin por una constante diferente de cero 3.Sumar un mltiplo de una ecuacin a la otra. 3.3.2. MTODO DE REDUCCIN Paratrabajarconestemtododeresolucindesistemasdebemostrabajarconelconceptode matriz aumentada del sistema, la cual representar al sistema y permitir manipularlo para darle solucin. Dado un sistema de la forma: = + + += + + += + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 La matriz aumentada que le corresponde al sistema anterior es: | |(((((

=m mn m mnnb a a ab a a ab a a ab A2 12 2 22 211 1 12 11 Elobjetivodeestemtododeresolucindesistemasdeecuacionesconsisteenmanipularla matriz aumentada del sistema (sus filas), mediante las tres operaciones bsicas de filas, 1.(Reemplazo)Reemplazounafilaporlasumadesmismayunmltiplode otra fila 2.(Intercambio) Intercambiar dos filas 3.(Escalamiento)multiplicartodaslasentradasdeunafilaporunaconstante diferente de cero que se deducen de las tres operaciones bsicas del mtodo de eliminacin, hasta llevar la matriz aumentada a la forma: 3.3.2.1.ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS, OEsta forma matricial debe cumplir con: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 38 (a)Todaslasfilasqueconstansolodeceros,silashay,estnenlaparte inferior de la matriz. (b)Laprimeraentradadistintadecerodelafila,alleerdeizquierdaa derecha,esun1.estaentradasedenominaentradaprincipalouno principal de la fila. (c)Para cada fila que no consta de solo ceros, el uno principal aparecea la derechay abajo de cualquier uno principales las filas que la preceden. (d)Siunafilacontieneununoprincipal,lrestodelasentradasdedicha columna son iguales a cero. En una matriz escalonada reducida por filas, los unos principales describen unpatrndeescalera(escalonada)quedesciendeapartirdelaesquina superior izquierda.Cuandoresolvemosun sistemadeecuaciones lineales por este mtodo, decimosquelo hemos resuelto por reduccin de Gauss Jordan 3.3.2.2.ESCALONADA POR FILAS. Estaformamatricialsolocumpleconlaspropiedades(a),(b)y(c)delaforma escalonada reducida por filas.Cuandoresolvemosun sistemadeecuaciones lineales por este mtodo, decimosquelo hemos resuelto por eliminacin de gauss o gaussiana. Ejemplo 3.2. Resolver el sistema = = + = + +3 38 29 3 2z xz y xz y x mediante la reduccin GaussJordan. Solucin: Lo primero que debemos hallar es la matriz aumentada del sistema la cual corresponde a: ((((

3 1 0 38 1 1 29 3 2 1 Ahora transformamos como sigue la matriz del paso 1 a su forma escalonada reducida por filas, indicando cada operacin mediante una flecha: ((((

3 1 0 38 1 1 29 3 2 1 + + 3 12 132F FF F((((

24 10 6 010 5 5 09 3 2 1 251F((((

24 10 6 02 1 1 09 3 2 1 ((((

+12 4 0 02 1 1 09 3 2 13 26 F F 341F((((

((((

+ 3 1 0 01 0 1 09 3 2 13 1 0 02 1 1 09 3 2 12 31 F F Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 39 ((((

((((

+ + 3 1 0 01 0 1 02 0 0 13 1 0 01 0 1 00 0 2 11 2 1 32 3 F F F F La ltima matriz que se ha obtenido corresponde a una matriz escalonada reducida por filas, que llevada de nuevo a la forma del sistema de ecuaciones tendra la forma: = ==312zyx De modo que la nica solucin del sistema es x = 2, y = 1y z = 3. Ejemplo 3.3. Resuelvamedianteeliminacingaussianaelmismosistemalinealdelejemploanterior = = + = + +3 38 29 3 2z xz y xz y x Solucin: Para resolver este sistema por eliminacin gaussiana debemos realizar las operaciones entre filas de la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada por filas. La matriz aumentada del sistema es((((

3 1 0 38 1 1 29 3 2 1 Al aplicarle las operaciones entre filas correspondientes obtenemos la siguiente matriz ((((

3 1 0 02 1 1 09 3 2 1(Verifique) Esta matriz aumentada corresponde al sistema lineal == += + +329 3 2zz yz y x Al realizar operaciones de sustitucin hacia atrs se obtiene la solucin es x = 2, y = 1y z = 3. 3.3.3. LA ECUACIN Ax = b DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES n n Unaideafundamentaldelalgebralinealesvisualizarunsistemadeecuacionesdeunaforma matricial. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 40 Dado el sistema= + + += + + += + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 su forma matricial corresponde a: (((((

=(((((

(((((

n n mn m mnnbbbxxxa a aa a aa a a 21212 12 22 211 12 11 La anterior forma matricial de un sistema cuadrado podra representarse por Ax = b, lo cual es el producto de una matriz por un vector equivalente a otro vector. Ahora, la forma lineal Ax = b nos permitevisualizar,tericamente,alvectorxcomoelproductodelamatrizinversa deAporel vector b, as que x = A1b. Al encontrar x de esta manera estaramos encontrando la solucin al sistemasiesteesconsistentedeterminado,puessielsistemaesconsistenteindeterminadoo inconsistentenolosabramosdiferenciarconesteprocedimientoyaquenoencontraramosla matriz inversa de A, lo que nos indica que solo podramos resolver sistemas consistentes de esta forma. Ejemplo 3.4. Resolver el sistema = + = + = + +10 47 2 3 24 2 3z y xz y xz y xde la forma matricial Solucin: Lo primero que debemos realizar, es expresar el sistema en forma matricial. As: ((((

=((((

((((

10741 4 12 3 21 2 3zyx Ax = b Comox=A1b,entoncesdebemoshallareldeterminantedelamatrizAparaverificarqueA1 existe. det(A) = 4 (verificar). Al obtener el det(A) podemos continuar encontrando la matriz A1, la cual es equivalente aCaptulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 41 ((((((

=413254111 1 14723451A (Verificar) Como x = A1b, entonces: x = A1b ((((

=((((

((((

((((((

=((((

=4121074413254111 1 14723451zyxzyxb A x (Verificar) El sistema de ecuaciones tiene como solucin x = 2, y = 1 y z = 4. 3.4.MATRIZ INVERSA POR ELIMINACIN Recuerde que si AnxnBnxn = Inxn entonces B es la matriz inversa de A, y a su vez, A es la matriz inversa de B. Una manera practica de encontrar la inversa de una matriz no singular es conformando una matriz con la matriz A y con la idntica, de tal manera que al aplicarle operaciones elementales de fila a toda la matriz se debe lograr que la matriz A se transforme en la idntica y la matriz idntica se trasforme en B, donde B = A1. Si no es posible logra lo anterior entonces la matriz A es singular. | | | |n n n nB I I A fila de s elementale s Operacione Los pasos a seguir para calcular la inversa de la matriz A son los siguientes. Paso 1: Formar la matriz de n 2n| |n nI A , que se obtiene al adjuntar la matriz identidad In con la matriz A. Paso 2: Transformarlamatrizobtenidaenelpaso1asuformaescalonadareducidaporfilasmediante operaciones elementales por fila, recuerde que todo lo que haga a una fila de A tambin debe hacerse a la fila correspondiente de In. Paso 3: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 42 Suponga que el paso 2 ha producido la matriz| |n nB I en forma escalonada reducida por filas Sinologr encontrar reducir lamatriz enformaescalonadareducidapor filas, entonces lamatrizAes singular, es decir no tiene inversa. Ejemplo 3.5. Hallar la inversa de la matriz((((

3 0 10 2 12 3 2 Solucin: Paso 1: Debemos formar la matriz| |n nI A , es decir, ((((

1 0 0 3 0 10 1 0 0 2 10 0 1 2 3 2 Paso 2: Realizar las operaciones elementales de fila hasta llegar a una matriz en forma escalonada reducida por filas, es decir, | | | |n n n nB I I A fila de s elementale s Operacione. | | | |n n n nB I I A fila de s elementale s Operacione (((((((

((((

2572532521 0 02522582530 1 02542592560 0 11 0 0 3 0 10 1 0 0 2 10 0 1 2 3 2s elementale s Operacione(Verificar) La matriz que se obtiene en el lugar de Bn es la matriz inversa de An, es decir, (((((((

=2572532522522582532542592561A 3.5.SISTEMAS HOMOGNEOS Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 43 Un sistemalineal de la forma = + + += + + += + + +0 002 2 1 12 2 22 1 211 2 12 1 11n mn m mn nn nx a x a x ax a x a x ax a x a x a es un sistema homogneo. Tambin podemos escribirlo en forma matricial como Ax = 0. La solucin x1 = x 2 = = xn = 0 del sistema homogneo se conoce como solucin trivial. Una solucin x1,x2,, xndeun sistemaendondeno todas lasxiseanulenesunasolucinno trivial. Vemosqueun sistema homogneosiempre es consistente, pues siempre tiene solucin trivial. Unsistemahomogneoapartedetenerunasolucintrivialpuedetenerinfinitassoluciones,esdecir puede ser un sistema consistente indeterminado. Dado un sistema homogneo debemos verificar mirar si es la solucin trivial nica o si tiene mas soluciones. Ejemplo 3.6. Considere el sistema homogneo = + += += + + +0 200z y xw xw z y x La matriz aumentada de este sistema, ((((

0 0 1 2 10 1 0 0 10 1 1 1 1, es equivalente por filas (verifique) a ((((

0 1 1 0 00 1 0 1 00 1 0 0 1, Que est en forma escalonada reducida por filas. Por lo tanto, la anterior matriz es equivalente al sistema = += = +000w zw yw x Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 44 Si hacemos w = r, donde r es cualquier nmero real, encontraramos infinitas soluciones del sistema que dependen de r, pues, r wr zr yr x= == = As, si r = 2, entonces una solucin del sistema distinta a la trivial es x = 2, y = 2, z = 2 y w = 2. El sistema anterior es consistente indeterminado. EJERCICIOS CAPITULO III 1.Encuentreelpuntodeinterseccin,siexiste,decadaparejadeecuacioneslineales.Verifiquesusolucin realizando la representacin grfica. a. = + = 7 412 12 1x xx x b. = = 3 3 21 52 12 1x xx x 2.Resuelva cada uno de los sistemas lineales por el mtodo de eliminacin a. 1 2 35 212 4 3 2= + + = + = + z y xz y xz y x b. 48 2 2 42 2 3= + = + += + +z y xz y xz y x c. 2 4 3 25 2= + += +z y xz y x d. 4 2 8 312 4= += +z y xz y x e. 6 6 2 212 3= + += + +z y xz y x f. 2 4 35 21= += = +y xy xy x g. 27 2 53 213 3 2= += = +y xy xy x h. 7 38 2 26 3 2 = + = + = +z y xz y xz y x 3.Existeunvalordertalquex=1,y=2,z=rseaunasolucindelsiguientesistemalineal?Deseras, determnelo a. 12 2 47 211 3 2= + = + = +z y xz y xz y x Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 45 4.Existeunvalordertalquex=r,y=2,z=1seaunasolucindelsiguientesistemalineal?Deseras, determnelo a. 9 2 3 25 44 2 3= + + = + = z y xz y xz x 5.Lamatrizaumentadadeunsistemalinealsehareducidomedianteoperacionesdefilaalaformaquese muestra. En cada caso contine con las operaciones de filas apropiadasy describa el conjunto solucin del sistema original. a. ((((

0 1 0 00 3 1 00 7 5 1 b. (((((

2 1 0 01 0 0 00 5 1 00 0 3 1 c. (((((

4 1 0 0 02 3 1 0 07 0 2 1 05 0 0 1 1 d. (((((

1 1 0 0 05 0 1 0 02 4 0 1 09 3 0 2 1 6.Determine cuales matrices estn en forma escalonada reducida y cuales estn en forma escalonada (pero no en forma escalonada reducida). a. ((((

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1 b. ((((

1 0 0 00 1 1 00 0 0 1 c. ((((

0 0 01 0 01 1 0 d. ((((

0 1 00 0 10 0 0 e. ((((

0 0 0 01 0 0 00 1 1 1 f. ((((

1 0 0 01 1 0 00 1 0 1 g. (((((

0 0 0 01 0 0 00 1 1 00 1 0 1 h. (((((

5 4 0 0 05 4 3 0 05 4 3 2 05 4 3 2 1 7.Determine una forma escalonada por filas para la matriz dada en cada caso. a. (((((

1 4 2 32 1 3 15 4 3 23 2 1 0 b. (((((((

1 2 6 22 0 1 15 2 3 15 1 3 22 0 2 1 c. (((((

3 0 3 21 2 1 04 3 0 11 3 2 1 d. (((((

1 14 3 8 75 6 1 4 53 4 1 2 14 1 0 1 2 Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 46 8.En los siguientes ejercicios determine el (los) valor(es) de h tal(es) que la matriz sea la matriz aumentada de un sistema lineal consistente. a. ((

1 32 4 1h b. ((

h 3 24 1 1 c. ((

1 8 23 1 h d. ((

2 61 3 1h 9.Para cada una de las matrices del punto anterior, determine la forma escalonada reducida por filas. 10.Sea ((((

=2 1 22 1 11 2 1A En cada parte, determine si x es una solucin para el sistema lineal Ax = b. a.0 ;321=((((

= b xb. ((((

=((((

=563;211b xc.0 ;000=((((

= b xd. ((((

=((((

=113;321b x11.Determine todas las soluciones del los siguientes sistemas lineales a. 3 35 21 2= + + = + = + +z y xz y xz y x b. 8 6 38 4 27 2 3= += + = + + +z yw y xw z y x c. 7 6 2 57 2 3 45 3 21 3 23 4 2= += += + = + = +z y xz y xz y xz y xz y x d. 1 38 213 3 2= + += + + = + + +w z y xw z y xw z y x e. 2 23 21= + += += + +z y xz y xz y x f. 0 7 50 20 2= + += + += +z y xz y xz y x Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 47 12.Sea 3 3: R R f la transformacin lineal definida por ((((

((((

=|||.|

\|((((

zyxzyxf2 0 21 2 33 2 1.a.Determine x, y y z tales que ((((

=|||.|

\|((((

422zyxf . 13.Sea 3 3: R R f la transformacin lineal definida por ((((

((((

=|||.|

\|((((

zyxzyxf0 2 23 1 23 1 4.a.Determine x, y y z tales que ((((

=|||.|

\|((((

154zyxf . 14.Sea ((((

=4 1 01 1 15 0 1A . Determine una solucin no trivial de los siguientes sistemas homogneos a.( ) 0 43= x A Ib.( ) 0 23= x A I 15.Determine una ecuacin que relacione a, b y c de modo que el sistema lineal = += + += +c z y xb z y xa z y x6 9 53 3 23 2 sea consistente para cualesquiera valores de a, b y c que satisfaga esa ecuacin. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 48 CAPITULO IV 4.VECTORES EN Rn 4.1.ANTECEDENTES Algunos historiadores de la ciencia aseguran que el matemtico irlands William Hamilton (1805 1865) inici el estudio de los vectores. Su deseo de encontrar unaformaderepresentarciertosobjetosenelplanoyelespaciololleva descubrir lo que l llamo cuaterniones. A partir de esta idea se desarrollaron los vectores durante el siglo XIX. Actualmente,elestudiodelosvectoresabarcadiversosaspectos.Algunas disciplinassebasanenelanlisisdelosaspectosalgebraicos,dndolopoca importanciaalarepresentacingrfica.Otrasseapoyanenlosaspectos geomtricos de los vectores para resolver problemas prcticos. Acontinuacinsecitanalgunoscasosqueimplicanunniveldegeneralidaddistintoenelusodelos vectores: -comorepresentacindemagnitudesfsicasquerequierendireccinysentidocomo:la velocidad, fuerza, aceleracin, desplazamiento y otros. -Comoentidadesgeomtricasenelestudiodelageometraanalticayalgunasotras disciplinas. -Comoentidadesalgebraicasenelalgebralineal,endondelarepresentacingraficadelos vectores puede carecer de sentido debido a la cantidad y naturaleza de sus componentes (los cuales pueden ser nmeros reales o complejos). En este modulo se hace nfasis en los aspectos geomtricos y algebraicos de los vectores. Losvectoresconstituyenunsistemamatemticoconaxiomas,propiedadesyoperacionesdefinidasy aplicables a todos los vectores sin importar el mbito de estudio o aplicacin. 4.2.DEFINICINWilliam Hamilton Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 49 Desdeunaperspectivaalgebraica,lasmatrices1non1sedenominanunnvector,ylo denotaremosmedianteletrasminsculas.Cuandosesobreentiendaelvalorden,nosreferiremosalos nvectores solo como vectores. | | 3 2 1 = u esun3vectorpuestienentrescomponentesy (((((

=1001v esun4vector,puestiene4 componentes. Desdeunaperspectivageomtrica,unsegmentoderectadirigidoconmagnitud,direccinysentido definidos, se denomina vector. Consideremos el 2vector((

=11yxu , donde x1 y y1 son numero reales. Con u asociamos el segmento de recta dirigido con punto inicial en el origen O(0, 0) y punto terminal en P(x1, y1). El segmento de recta dirigido de O a P se denota mediante OP;OsedenominacolayPsucabeza.Paradistinguirentreambas,colocamosunapuntadeflecha sobre la cabeza. Unsegmentoderectodirigidotieneunadireccin,queeselnguloqueseformaentreellaylaparte positiva del eje x. La magnitud (o norma) de un segmento de recta dirigido es su longitud. Ejemplo 4.1. Sea ((

=32u , con u podemos asociar el segmento de recta dirigido con cola O(0,0) y cabeza P(2, 3), tal como se muestra en la figura. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 50 Demanerareciproca,conunsegmentoderectadirigido,OP,concolaO(0,0)ycabezaP(x1,y1), podemos asociar el 2vector ((

11yx. Enconsecuencia,tambinpodemosescribirucomou=(x1,y1).Estaasociacinseobtienepormedio del segmento de recta dirigido, donde O es el origen. Elplanopuedevisualizarsecomoelconjuntodetodoslospuntos,ocomoelconjuntodetodoslos vectores.PorestaraznenocasionestomaremosR2comoelconjuntodeparesordenados(x1,y1),o dependiendodelcontextocomoelconjuntodetodoslos2vectores.R2esunespaciovectorial, concepto que ampliaremos mas adelante. 4.3.IGUALDAD DE VECTORES Como un vector es una matriz, se dice que los vectores ((

=11yxu y ((

=22yxvSonigualessix1=x2yy1=y2.Estoes,dosvectoressonigualessisuscomponentesrespectivosson iguales. 4.4.VECTORES EN SISTEMAS COORDENADOS Un vector veRn se puede representar geomtricamente cuando n = 1, n = 2 o n = 3; es decir cuando el vector es unidimensional, bidimensional o tridimensional. Larepresentacingeomtricadeunvectorsellevaacabomedianteunsistemacoordenado,encuyo casodebecoincidirelpuntoinicialconelorigendelsistemadecoordenadas.Desdeluego,estono significa que no se consideren vectores en posiciones distintas. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 51 Vector unidimensional: v eR1 Vector bidimensional: v eR2 Vector tridimensional : v eR3 En muchas aplicaciones los vectores no aparecen con cola en el origen, es decir, hay vectores que tienen comocolaunpuntodistintodelorigen(vergrafica).ElvectorPQconsegmentoderectadirigidodel punto P(x1, y1) al punto Q(x2, y2) es un vector que esta en el plano pero que no inicia en el origen.Los componentes de este vector son x2 x1 y y2 y1. Por tanto el vectorPQ tambin puede representarse por mediodelvector(x2x1, y2y1) concolaenOycabezaenQ.LosvectoresPQyOQsoniguales pues tienen las componentes correspondientes iguales. 4.5.INTERPRETACIN GEOMTRICA DE UN VECTOR COORDENADO Unvectorsedefinegeomtricamenteapartirdesumagnitud,direccinysentido.Acontinuacin analizaremos su representacin en el espacio unidimensional, bidimensional y tridimensional. Vectores en R1 Sea v = ( x ), tal que v e R1. Se puede representar grficamente en un sistema coordenado con un eje real. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 52 Lamagnitud:Lamagnitud,longitudonormadelvectorvenR1esequivalentealalongituddel segmentodirigidoOX=x.Lamagnituddeunvectorserepresenteporelvectorentre.Asque x v = . Ladireccin:ElngulodireccionaludelvectorvenR1esequivalentea0oaunmltiplodeten radianes. Es decir que u = 0 o (0 + nt) donde ne Z. Elsentido:ElsentidodelvectorvenR1 estadadoporlapuntadelaflecha(sentidopositivoo negativo, o derecha o izquierda). Vectores en R2 Sea v = (x, y), tal que v e R2. Este vector, como ya lo hemos visto, se representa en el plano cartesiano. Lamagnitud:LamagnituddelvectorvenR2secalculaaplicandoelteoremadePitgoras,asque 2 2y x v + = . Si el vector v en R2 tiene la cola en un punto distinto al origen, recordemos que sus coordenadas serianx2x1yy2y1.Asiquelanormaomagnituddeestevectorsecalcularapormediode ( ) ( )21 221 2y y x x v + = .

Ladireccin:ElngulodireccionaludelvectorvenR2,secalculahaciendousodelasfunciones trigonomtricas. Como( )xy= u tanentonces |.|

\|=xy1tan u , donde u es el ngulo agudo formado entre el eje x y el vector v. Tambin es posible hacer uso de las otras funciones trigonomtricas( )vysen = u o ( )vx= u cos El sentido: El sentido del vector v en R2 esta dado por la punta de la flecha. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 53 Vectores en R3 Seav=(x,y,z), talqueveR3.Estevectorse representaenunsistemacoordenadoquerepresentael espacio, donde se utiliza el eje x, el eje y y el eje z. Lamagnitud:LamagnituddelvectorvenR3secalculaaplicandoelteoremadePitgoras, 2 2 2z y x v + + = . Si el vector v en R3 tiene la cola en un punto distinto al origen, sus coordenadas serianx2 x1,y2 y1 y z2z1.Asquelanormaomagnituddeestevectorsecalcularapormediode ( ) ( ) ( )21 221 221 2z z y y x x v + + = .

La direccin: Para determinar la direccin de un vector v en R3, se tiene en cuenta los tres ngulos que formaelvectorconcadaunodelosejes(verfigura).Deacuerdoalafigurapodemosestablecerlas siguientes relaciones: ( )||.|

\|= =vxvx1cos cos o o()||.|

\|= =vyvy1cos cos | |( )||.|

\|= =vzvz1cos cos u u . El sentido: El sentido del vector v en R3 esta dado por la punta de la flecha. Ejemplo 4.2. Dados los vectores v = (2, 3) y u = (1, 3, 4). Hallar sus magnitudes y sus direcciones, respectivamente. Solucin: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 54 Para v e R2 vse calcula de la siguiente manera: ( )133 22 22 2=+ =+ =vvy x v y su direccin se calcula como sigue ( )xy= u tan Entonces |.|

\|=xy1tan u as que ( ) 30 . 565 . 1 tan23tantan111= =|.|

\|=|.|

\|=uuuuxy Para v e R3 ( )264 3 12 2 22 2 2=+ + =+ + =uuz y x u y su direccin se determina como sigue: ( ) ( ) 69 . 78 1961 . 0 cos261cos cos cos1 1 1= = |.|

\|=||.|

\|= = uxuxo o() ( ) 03 . 126 5883 . 0 cos263cos cos cos1 1 1= =||.|

\| =||.|

\|= = uyuy| |( ) ( ) 32 . 38 7844 . 0 cos264cos cos cos1 1 1= =||.|

\|=||.|

\|= = uzuzo u 4.6.OPERACIONES CON VECTORES Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 55 4.6.1. SUMA DE VECTORES Sean u = (x1, y1) y v = (x2, y2) dos vectores en el plano. La suma de los vectores u y v es el vector (x1+ x2,y1+ y2) y se denota medianteu + v. En consecuencia, los vectores sumaron sus componentes. Ejemplo 4.3. Sea u = (1, 2) y v = (3, 4). Entonces u + v = (1 + 3, 2 + (4)) = (4, 2) Podemos interpretar de manera geomtrica la suma de vectores como sigue. El vector de (x1, y1) a(x1+x2,y1+y2)tambinesv.porlotanto,elvectorconcolaenOycabeza(x1 +x2,y1 +y2)es u + v.

Tambin podemos describiru + v como la diagonal del paralelogramo definido poru y v.La suma de vectores es un caso especial de la suma de matrices. CuandosenospidesumardosvectoresenR2ynoconocemossuscomponentes,perosisu magnitud y su direccin podemos hacer uso de las funciones trigonomtricas para hallar dichas componentes,yasrealizarlasuma.Estoesposibleporquequetodovectorsepuede descomponer como la suma de otros dos vectores proyectados en los ejes coordenados, as: Laproyeccindevenelejexladenotaremos como vx y su magnitud esta dada por: ( ) u cos = v vx as que( ) 0 ,x xv v = . Laproyeccindevenelejeyladenotaremos como vy y su magnitud esta dada por: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 56 ( ) u sen v vy =as que( )y yv v , 0 = . Al conocer las componentes de los vectores proyectados vx y vy podemos deducir que: ( )y xy xv v vv v v, =+ = Ejemplo 4.4. Al sumar los vectores u y v, de los cuales no se conocen sus componentes pero si sus magnitudes y ngulos, procedemos de la siguiente manera: Como u = ux + uyy v = vx + vy entonces : ( )( )y x y xv v u u v u + + + = +( ) ( )y y x xv u v u v u + + + = +por la propiedad asociativa de la suma ( )( ) ( ) ( )( ) ( )y y x xv u v u v u , 0 , 0 0 , 0 , + + + = +por la definicin de cada proyeccin ( )( )y y x xv u v u v u + + + = + , 0 0 ,suma de vectores ( )y y x xv u v u v u + + = + , Conloanteriorpodemosdeducirquealsumarvectoresdeloscualesnoconocemossus componentes, pero si su magnitud ydireccin,el vector resultante es equivalente a la suma de las proyecciones respectivas decadauno de losvectores dados. Debemosser muy cuidadosos con los signos de las proyecciones. Ejemplo 4.5. Si6 , 8 = u yladireccindelvectorues 54 . 35 = o y5 = v yladireccindelvectorves 87 . 36 = | . Hallar u + v. Solucin: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 57 Como( )y y x xv u v u v u + + = + ,entonces: ( ) () | o cos cos + = + v u v ux x ( ) ( ) 87 . 36 cos 5 54 . 35 cos 6 . 8 + = + x xv u9 . 3 9 . 6 + = + x xv u3 = + x xv u y ( ) ( ) | o sen v sen u v uy y + = +( ) ( ) 87 . 36 5 54 . 35 6 . 8 sen sen v uy y + = +1 . 3 9 . 4 + = +y yv u8 = +y yv u Por lo tanto u + v = (3, 8). 4.6.2. MULTIPLICACIN DE UN ESCALAR c POR UN VECTOR u. Si u = (x1, y1) y c es un escalar (un numero real), el mltiplo escalar cu de u por c es el vector (cx1, cy1). As, el mltiplo escalar cu de u por c se obtiene multiplicando cada componente de u por c. Si c > 0, entonces cu est en la misma direccin que u. Si c < 0, entonces cu est en la direccin opuesta que u. Ejemplo 4.6. Si c = 2, d = 3 y u = (1, 2), entonces cu = 2(1, 2) = (2, 4) y du= 3(1, 2) = (3, 6). 4.6.3. RESTA DE VECTORES La resta de vectores esta definida comou v = u + (1)v Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 58 Ejemplo 4.7. Sea u = (2, 2, 6) y v = (4, 0, 3). Hallar u v u v = (2, 2, 6) (4, 0, 3) = (2, 2, 6) +(1)(4, 0, 3) = (2, 2, 6) +(4, 0, 3) = (6, 2, 3) Lasoperacionesdelasuma,productodeunescalarporunvectorylaresta,sonoperaciones extensivas a vectores de otras dimensiones. 4.6.4. VECTORES UNITARIOS Un vector es unitario si su magnitud es igual a 1, es decir, si u es unitario entonces1 = u . Ejemplo 4.8. El vector ||.|

\|=23,21v es unitario, pues: 1 14341232122= = + =||.|

\|+|.|

\|= v Si x es un vector no nulo (es decir distinto de cero), el vectorxxu1=Es un vector unitario en la direccin de x. Ejemplo 4.9. Sea x = (3, 4). Entonces,( ) 5 4 32 2= + = x . Porlotantoelvector( )|.|

\| = =54,534 , 351u esun vector unitario, ya que12516 954532 2=+=|.|

\|+|.|

\| = u .Asimismo,uesta en la direccin de x (ver figura) Existen en R2 dos vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1) que permiten representar de otra forma cualquier otro vector v = (x, y) en R2. Si v = (x, y) entonces: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 59 v = (x, 0) + (0, y) v = x(1, 0) + y(0, 1) v = xi + yj Podemos concluir que todo vector de la forma v = (x, y) se puede expresar como v = xi + yj Ejemplo 4.10. Si |.|

\|= 3 ,21v entoncesj i v 321+ =Si( ) 4 , 3 = k entoncesj i k 4 3 = Particularmente,losvectoresunitariossepuedenescribirentrminosdesudireccin. Consideremosunacircunferenciaderadio1,a2+b2=1(recordemosquelaecuacindeuna circunferencia es x2 + y2 = r2) Comou = (a, b) y1 = u entonces:( )ua= u cosdespejando a,( ) u cos = u ay( )ubsen = udespejando b,( ) u sen u b = Por lo tanto el vector unitariou = (a, b) se puede expresar como: ( ) ( ) ( ) ( ) j sen i ubj ai ub a uu u + =+ ==cos) , ( Ejemplo 4.11. Paraexpresar el vectorj i v2321+ = entrminosdesudireccin,debemosencontrarel valor de ngulo, as: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 60 Como( ) a = u cosentonces ( )21cos = u3 6021cos1tuu= =|.|

\|= Por lo tantoj sen i v||.|

\||.|

\|+||.|

\||.|

\|=3 3cost t Para R3, los vectores unitariosestn definidos de la siguiente manera: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1). 4.6.5. PRODUCTO PUNTO, PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO INTERIOR El producto punto o producto interior de los n vectores a y b es la suma de los productos de las entradas de correspondientes. En consecuencia, si (((((

=naaaa21 y (((((

=nbbbb21, entonces == + + + = nii i n nb a b a b a b a b a12 2 1 1Ejemplo 4.12. El producto punto deCaptulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 61 (((((

=4321u y (((((

=1232ves ( )( )( )( )( )( )( )( ) 6 1 4 2 3 3 2 2 1 = + + + = v u 4.6.6. NGULO ENTRE DOS VECTORES Elnguloentredosvectoresdistintosdecero,u=(x1,y1)yv=(x2,y2)eselngulou, 0sust,quesemuestraenlafigura.Alaplicarlaleydecsenosaltringulodeesafigura, obtenemos ( )v uv u = u cos (0 s u s t)(verificar) Ejemplo 4.13. Si u = (2, 4) y v = (1, 2), entonces ( )( ) ( )( )( ) 5 2 120 4 26 2 4 1 22 22 2= + == + == + = vuv u De aqu que ( )( ) 8 53 6 . 0 cos6 . 05 206cos1= == =uu En consecuencia. Si u y v son vectores diferentes de cero entonces: a.u es paralelo a v si u = 0 o u = 180 = t b.u es perpendicular u ortogonal a v si u = 90 = t/2. Tambin podemos afirmar que u y v son ortogonales si uv = 0 El ngulo entre dos vectores tambin esta definido para R3 como en R2

Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 62 4.6.7. PROYECCIN DE UN VECTOR Si u y v son vectores distintos del vector nulo o cero, la proyeccin del vector u sobre el vector v esta dada por: vvv uuv2Proy = Debemos tener en cuenta que la proyeccin de u sobre v es otro vector. Ejemplo 4.14. Sea u = (3, 5) y v = (6, 3), la proyeccin del vector u sobre el vector v esta dada por ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 . 2 , 4 . 4 Proy 3 , 64533Proy 3 , 63 63 5 6 3Proy Proy 22 22==++==uuuvvv uuvvvv La proyeccin de vectores tambin est definida para vectores en R3. 4.6.8. PRODUCTO CRUZEN R3 ElproductocruzestadefinidosoloparavectoresenR3,peroestonoimplicaquetengapoca aplicacin, por el contrario, el producto cruz tiene muchas aplicaciones en distintos contextos de las matemticas. Sik u j u i u u3 2 1+ + =y k v j v i v v3 2 1+ + = son vectores en R3, su producto cruz es el vectoru v definido por: ( ) ( ) ( )k v u v u j v u v u i v u v u v u1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 + + = Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 63 El producto cruzu v puede escribirse como un determinante, 3 2 13 2 1v v vu u uk j iv u = . Ejemplo 4.15. Seank j i u 2 2 + + = yk j i v 3 3 = .Entonces,aldesarrollaralolargodelaprimerafila tenemos k k ik j iv u 5 123 1 32 1 2 + = = 4.6.8.1.PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ Si u, v y w son vectores en R3 y c es un escalar, entonces: (a)( ) u v v u = (b)( ) w u v u w v u + = + (c)( ) w v w u w v u + = +(d)( ) ( ) ( ) cv u v cu v u c = = (e)0 = u u(f)0 0 0 = = u u(g)( ) ( ) ( )w v u v w u w v u = (h)( ) ( ) ( )u v w v u w w v u = 4.6.8.2.APLICACIONES DE VECTORES REA DE UN TRIANGULO Considere un tringulo con vrtices P1, P2 y P3. El rea del tringulo esbh21, donde b eslabaseyheslaaltura.SitomamoselsegmentoentreP1yP2comolabase,y denotamosP1P2medianteelvectoruyelsegmentoP1P3comoelvectorventoncesel rea del tringulo esta definida por v u AT =21 Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 64 REA DE UN PARALELOGRAMO AlreaAPdelparalelogramocon ladosadyacentesuyves2AT,de manera que: v u AP = REA DE UN PARALELEPPEDO Considere el paraleleppedo que tiene vrtice en el origen y lados u, v y w. el volumen del paraleleppedo esta definido por: ( )|||.|

\|= =3 2 13 2 13 2 1detw w wv v vu u uVw v u V 4.7.RECTAS Y PLANOS 4.7.1. RECTAS EN R2 Dos puntosdistintoscualesquiera, P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en R2 determinan una lnea recta cuya ecuacin es ax + by + c = 0 dondea,bycsonnmerosreales,yaybnosonsimultneamentecero.ComoP1yP2 pertenecen a la recta, sus coordenadas satisfacen la ecuacinde la recta, entonces: 002 21 1= + += + +c by axc by ax Al escribir las ecuaciones anteriores como un sistema de ecuaciones lineal con incgnitasa, b y c, obtenemos: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 65 0002 21 1= + += + += + +c by axc by axc by xa Buscamosunacondicinsobrelosvaloresdexyyparaqueelsistemadeecuacionesanterior tengaunasolucinnotriviala,byc.comotodosistemahomogneo,tieneunasolucinno trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es cero, esto, es, si y solo si 01112 21 1=y xy xy x Deestamanera,todopuntoP(x,y)delarectasatisfaceeldeterminanteanteriory, recprocamente, todo punto que satisface al determinante pertenece a la recta. Ejemplo 4.16. Hallar una ecuacin de la recta determinada por los puntos P1(1, 3) y P2(4, 6). Solucin: Al sustituir en el determinante, obtenemos 01 6 41 3 11= y x Al desarrollar este determinante por cofactores a lo largo de la primera fila, obtenemos (verifique) 3x +5y 18 = 0 4.7.2. RECTAS EN R3 Una recta esta determinada en R3 si se especifican su direccin y uno de sus puntos. Seau = (a, b, c) un vector no nulo (distinto de cero) en R3, y sea P0 = (x0, y0, z0)un punto en R3. Seanw0 el vector asociado con P0, y x el vector asociado con el punto P = (x, y, z). la recta L que pasa por P0 y es paralela a u consiste de los puntosP = (x, y, z) tales que x = w0 + tu, < < t . Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 66 LaecuacinanteriorrecibeelnombredeecuacinparamtricadeL,yaquecontieneel parmetrot,alquepuedeasignarsecualquiernuemroreal.Laecuacinparametricatambien puede escribirse en terminosde las componentes, como tc z ztb y yta x x+ =+ =+ =000, < < tQue se denominan ecuaciones paramtricas de L. Ejemplo 4.17. Las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntosP0(3, 2, 1) y es paralela al vector u = (2, 3, 4), son t zt yt x4 13 22 3+ = =+ =, < < tEjemplo 4.18. DeterminarlasecuacionesparemetricasdelarectaLquepasaporlospuntosP0(2,3,4)yP1(3, 2, 5). Solucin: La recta que se busca es paralela al vector u = P0P1. Ahora ( ) ( ) ( ) 9 , 5 , 1 4 5 , 3 2 , 2 3 = = u Como P0 est en la figura, podemos escribir las ecuaciones paramtricas de L, como t zt yt x9 45 32+ = =+ =, < < t Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 67 Sia,b, ycsondistintosdecero en las ecuaciones paramtricas,podemosdespejar atdecada ecuacin e igualar los resultados para obtenerlas ecuaciones en forma simtricas de la recta que pasa por P0 y es paralela a u: cz zby yax x0 0 0== 4.7.3. PLANOS EN R3 Un plano en R3 puede determinarse mediante un punto en el plano y un vector perpendicular al plano, el cual se denomina normal al plano. Paraobtenerunaecuacindelplanoquepasaporelpunto( )0 0 0 0, , z y x P yquecontienenel vectornonulon=(a,b,c)comonormal,procedemosdelasiguientemanera.UnpuntoP (x, y, z) est en el planosi y solo si el vector P0P es perpendicular a n. por lo tanto,P (x, y, z) est en el plano si y solo si 00= P P nComo ( )0 0 0 0, , z z y y x x P P = Por lo tanto ( ) ( ) ( ) 00 0 0= + + z z c y y b x x a Ejemplo 4.19. Determinar una ecuacin del plano que pasa por el punto (3, 4, 3) y es perpendicular al vector n = (5, 2, 4). Solucin: Al sustituir en punto dado y el vector n en ( ) ( ) ( ) 00 0 0= + + z z c y y b x x aObtenemos ( ) ( ) ( ) 0 3 4 4 2 3 5 = + + z y x0 5 4 2 5 = + + z y x Ejemplo 4.20. DeterminarunaecuacindelplanoquepasaporlospuntosP1(2,2,1),P2(1,0,3)y P3(5, 3, 4). Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 68 Solucin: Unadelasmanerasderesolveresteejercicioespor mediodelproductocruz. Losvectoresno paralelos( ) 2 , 2 , 32 1 = P P y ( ) 3 , 1 , 33 1 = P Pestn en el plano. Ya que los puntosP1, P2 y P3 estn en el plano. Entonces el vector ( ) 3 , 15 , 83 1 2 1 = = P P P P nes perpendicular a 2 1P P y a3 1P P y por lo tanto es normal al plano. Si utilizamos el vectorn y el punto P1(2, 2, 1) en la ecuacin del plano obtenemos ( ) ( ) ( ) 0 1 3 2 15 2 8 = + + z y x0 17 3 15 8 = + + z y x Ejemplo 4.21. Determinar los puntos cuya interseccin es la recta t zt yt x4 52 33 2+ = =+ =, < < t Solucin: Primero determinamos las ecuaciones paramtricas de la recta, como 452332 ==+ z y x Entonces, la recta dada es la interseccin de los planos 2332=+ y x y 4532 =+ z x En consecuencia, la recta dada es la interseccin de los planos 0 5 3 2 = + y x y0 23 3 4 = + z x 4.8.TRANSFORMACIONES LINEALES Una transformacin lineal L de Rn en Rm es una funcin que asigna a cada u en Rn un nico vector L(u) en Rm, de modo que : (a)L(u + v) = L(u) + L(v), para cada u y v en Rn. (b)L(ku) = kL(u), para cada u en Rn y cada escalar k. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 69 Se dice que una funcinT de Rn en Rm es no lineal si no es transformacin lineal. El vector L(u) en Rm se denomina imagen de u. el conjunto de todas las imgenes en Rm de los vectores RneselrangodeL.puestoqueRnpuedeconsiderarsecomounasucesindepuntosovectores,L(u) tambin puede tomarse como punto o como vector de Rm, para cada u en Rn. escribimos el hecho de que L manda Rn en Rm, aunque no sea una transformacin lineal, como: . :m nR R L Si n = m, una transformacin lineal m nR R L :es llamada tambin operador lineal en Rn. Una transformacin matricial tambin es una transformacin lineal por que cumple con las propiedades (a) y (b). Acontinuacinsepresentanalgunasdelastransformacionesmatricialesquesepuedenevidenciar fcilmente desde el punto de vista geomtrico: Reflexin respecto del eje x 2 2: R R L se define mediante ((

=||.|

\|((

2121uuuuL Proyeccin al plano xy 2 3: R R L se define mediante ((

=|||.|

\|((((

21321uuuuuL Dilatacin 3 3: R R L se define mediante( ) ru u L = para r > 1 Contraccin 3 3: R R L se define mediante( ) ru u L = para0 < r < 1 Rotacin en sentido contrarioa las manecillas del reloj, en un ngulo |:2 2: R R L se define mediante( )( ) ( )( ) ( )usensenu L((

=| || |coscos Inclinacin en direccin de x Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 70 2 2: R R L se define mediante( ) uku L((

=1 01 donde k es un escalar Inclinacin en direccin de y 2 2: R R L se define como( ) uku L((

=10 1 donde k es un escalar Ejemplo 4.22. Sea 2 3: R R L definida como.13 21321((

+=|||.|

\|((((

u uuuuuL Para determinar si L es una transformacin lineal, sean ((((

=321uuuuy ((((

=321vvvvEntonces, ( )( )( ) ( )((

+ ++ +=|||.|

\|((((

+++=|||.|

\|((((

+((((

= +3 3 2 21 13 32 21 13213211v u v uv uv uv uv uLvvvuuuL v u L Por otra parte( ) ( )( )( ) ( )((

+ + +=((

++((

+= +3 2 3 21 13 213 2121 1v v u uv uv vvu uuv L u L Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 71 ComolasprimeracoordenadasdeL(u+v)yL(u)+L(v)sondiferentes,seconcluyequeLesuna transformacin no lineal. Sim nR R L :es una transformacin lineal, entonces ( ) ( ) ( ) ( )k k k ku L c u L c u L c u c u c u c L + + = + + +2 2 1 1 2 2 1 1 Para cualesquiera vectores u1, u2, , uk en Rn y cualesquiera escalares c1, c2, , ck. Ejemplo 4.23. Sea 2 3: R R L una transformacin lineal para la cual sabemos que ( ) ( ) 1 , 2 0 , 0 , 1 = L ,( ) ( ) 1 , 3 0 , 1 , 0 = L y( ) ( ) 2 , 1 1 , 0 , 0 = L Determine L(3, 4, 2). Solucin: Como(3, 4, 2) = 3i+4j+2k, entonces ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 11 , 42 , 1 2 1 , 3 4 1 , 2 32 4 32 4 3 2 , 4 , 3= + + =+ + =+ + = k L j L i Lk j i L L

EJERCICIOS CAPITULO IV 1.Encuentre la magnitud, direccin y sentido de cada una de los vectores representados grficamente. 2.Encuentre la magnitud de cada uno de los siguientes vectores. a.( ) 12 = vb.) 5 , 0 ( = u Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 72 c.( ) 5 , 2 , 3 = w d.( ) 1 , 0 , 0 = j e.AB x = si A=(2) y B=(5) f.AB y =Si A=(2,5) y B=(3,6) g.AB z = si A=(2,3,9) y B=(8,3,5) 3.Hallar cada uno de los siguientes vectores si se indica una de sus coordenadas y el ngulouque se forma entre el vector y el eje x. a.) , 2 ( y v = y 36 = ub.) 10 , (x u = y 40 = u c.( ) y w , 9 = y 50 = ud.( ) 5 , = x x y 10 = u4.Encuentre el vector si se conoce una de las coordenadas y su norma a.) , 2 ( y v = y20 = v b.) 10 , (x u = y50 = u c.( ) y w , 9 = y100 = w d.( ) 5 , = x x y10 = x 5.Dados los vectoresa, u, v,w yz. Realizar las siguientes operaciones: a.2 u +z b.3 a 2 w c.4( v+ z a) d.5( u2 w) e.a+uw+ z f.3 z 6 z+ 6 a 6.Dadas las magnitudes y direcciones de los vectoresa,b,c,d,e yf hallar las siguientes sumas: a.a +b b.b+ cd c.f+ e d.cb+e e.a + c+2b f.3 a 2 c+b Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 73 7.Dados los vectoresk j i p 5 3 2 + = ,k j i q 6 4 + =yk j i r 5 3 + = , hallar: a.q p 3 2 b.r q 5 3 + c.r q p 3 3 + d.r q p +e.r q p +212f.r q p 2 6 7 g.La direccin deq p 7 + h.La direccin dep r q 5 2i.La direccin der q p + + 8.Hallar vectores unitarios que conserven la misma direccin de cada uno de los vectores dados. a.) 5 , 2 ( = v b.k j i p + = 4 2c.cm r 20 = y 45 = ud.( ) 7 , 3 = w e.j i s 5 2 =f.cm e 50 = y 200 = u 9.Hallar el ngulo entre los vectores dados a.( ) ) 5 , 3 , 3 ( 5 , 3 , 2 = = u v b.j i w u5 6) 5 , 2 ( + = =c.( ) 3 , 2 , 6 = v y el vector cuya 20 = l cm. y 50 = ud.( ) 5 , 20 = vy el vector( ) 20 , 5 = u 10.Hallar cada una de las siguientes proyecciones sij i p 4 3 + =,j i q 7 2 + = yj i s + = 4 a.q proyp b.s proyp c.p proyq d.s proyq e.q proys f.p proys 11.Realizar las siguientes operaciones a.u + a + b b.Hallar Vector unitario en direccin de w c.Hallar el ngulo entre v y w d.Proyeccin de u en a e.Norma de w f.Direccin de a g.Angulo entre a y b h.u + v + w + b + a 12.Calcule el producto u v: Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 74 a.k j i u 4 3 2 + + = ,k j i v + = 3b.( ) 1 , 0 , 1 = u ,( ) 1 , 3 , 2 = vc.k j i u 2 + = ,k j i v + = 4 3d.( ) 1 , 1 , 2 = u ,u v 2 =e.( ) 2 , 1 , 1 = u ,( ) 2 , 1 , 3 = vf.k j i u 2 2 + = ,k i v 3 + =g.k i u + = 2 ,u v 3 = 13. Seank j i u 3 2 + = ,k j i v + + = 3 2 ,k j i w 2 2 + = y c = 3. Verifique las propiedades del producto cruz. 14.Verifique que cada uno de los productos cruz u v del ejercicio 12 es ortogonal a u y a v 15.Determine el rea del triangulo con vrtices P1(1, 2, 3), P2(3, 1, 4), P3(0, 4, 3). 16.Determine el rea del triangulo con vrtices P1, P2 y P3. dondek j i P P + = 3 22 1yk j i P P 2 23 1+ + = 17.Determine el rea del paralelogramo con lados adyacentesk j i u 2 3 + = yk j i v = 3 18.Determine el volumen del paraleleppedo que tiene un vrtice en el origen y ladosj i u = 2, k j i v 2 2 =y k j i w + = 3 . 19.en cada uno de los siguientes ejercicios, determine una ecuacin de la rectaen R2 determinada por los puntos dados. a.P1(2, 3), P2(3, 4) b.P1(2, 5), P2(3, 4) c.P1(0, 0), P2(3, 5) d.P1(3, 5), P2(0, 2) e.P1(1, 1), P2(2, 2) f.P1(3, 5), P2(0, 2) 20.En cada uno de los ejercicios siguientes, determine ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y es paralela al vector u. a.P0 = (3, 4, 2), u = (4, 5, 2) b.P0 = (3, 2, 4), u = (2, 5, 1) c.P0 = (0, 0, 0), u = (1, 1, 1) d.P0 = (7, 5, 4), u = (0, 1, 2) 21.Determine las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos dados a.(2, 3, 1), (4, 2, 5). b.(1, 5, 1), (2, 2, 7). c.(2, 3, 4), (2, 3, 5). d.(0, 0, 0), (4, 5, 2). 22.Determine la ecuacin del plano que: a.Pasa por (0, 2, 3), y es perpendicular a n = (3,2,4) b.Pasa por los puntos (0, 1, 2), (3, 2, 5), (2, 3, 4) c.Pasa por (1, 2, 3), y es perpendicular a n = (0, 1,3) d.Pasa por los puntos (2, 3, 4), (1, 2, 3), (5,4, 2) Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 75 e.Pasa por (2, 3, 4), y es perpendicular a n = (0, 0, 4) f.Pasa por los puntos (1, 2, 3), (0, 0, 0), (2, 3, 4) 23.Hallar las rectas de interseccin de los planos dados a.2x + 3y 4z + 5 = 0y3x + 2y + 5z + 6 = 0 b.x + 2y + z = 0y2x y + 2z + 8 = 0 24.Los puntos (2, 3, 2), (4, 2, 3) y (0, 8, 1) estn en la misma recta? 25.Determine un plano que pase por el punto (2, 4, 3) y sea paralelo al plano 2x + 4y 5z + 6 = 0 26.Cuales de las siguientes transformaciones son lineales? a.( ) ( ) y x y x y x L + + = , , 1 ,b. ((((

+=|||.|

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z xyy xzyxLc.( ) ( )2 2, , y y x x y x L + =d.( ) ( ) z x y x z y x L + = 2 , 0 , , , 27.Dibuje la imagen del punto dado, P, o del vector u bajo la transformacin lineal dad, L. a. 2 2: R R L se define mediante( ) ( ) ) 3 , 2 ( ; , , = = P y x y x Lb. 2 2: R R L se define mediante ( ). 2 , 1 ;1 21 1 =((

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uyxyxLc. 2 2: R R L es una rotacin de 30 en sentido contrario a las manecillas del reloj; P = (1, 3) d. 2 3: R R L se define mediante( ) 3 , 1 , 2 ; =((

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uy xxzyxLe. 3 3: R R L se define mediante;1 0 00 1 11 0 1((((

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zyxzyxL( ) 4 , 2 , 0 = u28.Describa de manera geomtrica las siguientes transformaciones lineales a.( ) ( ) x y y x L , , =b.( ) ( ) x y y x L = , ,c.( ) ( ) y x y x L 2 , 2 , = Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 76 BIBLIOGRAFA 1.Bernard Colman y David R. Hill. lgebra Lineal. Pearson, 8a ed., 2006. 2.S. I. Grossman. lgebra lineal. McGraw-Hill/Interamericana de Mxico, 5a. ed., 1991. 3.David C. Lay. lgebra Lineal y sus aplicaciones. Pearson, 2a ed., 1999. 4.RafaelIsaacsySoniaSabogal.Aproximacinalalgebralineal:unenfoquegeomtrico.Universidad Industrial de Santander. 2005 5.Fernando Hitt. Funciones en contexto. Prentice Hall. 1a ed. 2002. Captulo1 Matrices _________________________ VctorManuel Uribe Villegaslgebra Lineal 1 Parte 77 6.Miguel A. Herrera y Francisco Montero. Geometra analtica, descriptiva y proyectiva: para arquitectos y diseadores. Prentice Hall. 1 ed. 2002. 7.Kith Devlin. El lenguaje de las Matemticas. Robinbook. 2002