Algebra para informtica (U.N.E.D.)

Unidad Didctica I

ALGEBRAUnidad Didctica I.En ella se introduce el Espacio Vectorial, as como las tcnicas y herramientas bsicas que se van a utilizar en el resto del curso. Comienza con el estudio de los espacios vectoriales. Una de las misiones del informtico es procesar la informacin, y los datos son parte de la informacin. Es mucho mas fcil para su manejo, tener los datos organizados segn una estructura que tenga propiedades que permitan soluciones algortmicas. En lgebra se estudia la estructura matemtica.

Captulo 1. Espacios VectorialesConocimientos previos: - Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de los pares ordenados de la forma (x, y) con x elemento de A e y elemento de B forman un tercer conjunto designado AxB, que es su producto cartesiano. - Correspondencia: - Aplicacin: Dados dos conjuntos A y B, una aplicacin f de A en B es una terna formada por f: (C, A, B), donde C es un subcojunto del producto cartesiano AxB tal que para cada a de A existe un nico b de B tal que (a, b) es elemento de C. - Imagen: Para a elemento de A, es el elemento b de B que le corresponde por la aplicacin. - Aplicacin inyectiva: la aplicacin donde los elementos del conjunto imagen poseen a lo sumo una antiimagen. - Aplicacin sobreyectiva: La aplicacin, donde cada elemento del conjunto imagen, posee por lo menos una antiimagen. - Aplicacin biyectiva: Aplicacin inyectiva, que es a la vez sobreyectiva. - Grupo: Conjunto G con una operacin * definida en l que verifica: 1. La operacin es asociativa: (a*b)*c=a*(b*c) para a, b, c elementos de G. 2. Existe un elemento neutro e en G, para cualquier a de G se verifica a*e=e*a=a. 3. Cada elemento a de G posee simtrico, existe b tal que a*b=b*a=e. Si la operacin definida es adems conmutativa (para a y b elementos del grupo cualquiera se verifica que a*b=b*a) se trata de un grupo abeliano. - Subgrupo: Un conjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si la operacin con la que G tiene estructura de grupo (producto o suma) de dos elementos de H est en H y adems es un grupo con la mismo operacin que G. - Anillo: En un conjunto A con dos operaciones en l definidas, suma(+) y producto (.) que verifica: 1. Es un grupo abeliano respecto a la suma. 2. El producto posee propiedad asociativa Si la operacin producto es conmutativa, se trata de un anillo conmutativo. Si existe un elemento neutro para el producto llamado elemento unidad del anillo, se trata de un anillo unitario.

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Cuerpo: Un anillo K, con las operaciones suma y producto, se dice que es un cuerpo si: 1. Es anillo conmutativo. 2. Es unitario y su unidad es distinta del elemento neutro para la suma (cero). 3. Todos los elementos distintos del cero poseen inverso respecto del producto.

Estructura del espacio vectorial sobre R. Vector: Recordar: Un vector v es un segmento orientado. Cada vector se simboliza por las coordenadas cartesianas de su extremo (v1,v2), - con origen de coordenadas (0, 0) vector libre en caso de que nos den un vector indicando las coordenadas de su origen y de su extremo, lo reduciremos a su vector libre correspondiente, restando las coordenadas del extremo menos las del origen. Direccin de un vector es la recta sobre la que se apoya el vector, cada direccin tiene dos sentidos (indicado por la punta de la flecha de cada vector). Modulo de un vector es la longitud de la flecha que lo representa. |v|=(v1)2+(v2)2+ ... +(vn)2 (El mdulo de un vector siempre es positivo) Vectores opuestos, son dos vectores con la misma direccin pero diferente sentido. u , v , Vectores unitarios, son aquellos cuyo mdulo es 1. [(0,1), (0,0,1),...] Elemento de un espacio vectorial. Dados 2 puntos p y q en el plano, se llama vector con origen p y extremo q al segmento orientado que une p y q (pq ). Dos vectores son iguales si tienen la misma direccin, sentido y longitud, el conjunto de vectores iguales (equipolentes) forman una clase. Se puede escoger un representante que denominaremos v. Operaciones con vectores: Suma: u + v=(u1, u2)+(v1, v2)=(u1+v1, u2+v2). Producto de un vector y un escalar: u.k=(u1, u2).k=(u1k, u2k). Espacio vectorial: (Los elementos de E se llaman vectores y los de K escalares) Dados un conjunto E, se dice que tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K, (E, +, .) si 1. E es un grupo abeliano respecto a la suma. 2. a, b K y u, v E, KxEE y se verifican las propiedades: a) asociativa de escalares: a.(b.u)=(a.b).u b) elemento neutro de escalares: 1.u=u. c) Distributiva respecto a la suma de vectores a.(u+v)=a.u+a.v d) Distributiva respecto a la suma de escalares (a+b).u=a.u+b.u Si K (cuerpo de escalares) es R, C, Q, el espacio vectorial E se dice, Real, Complejo o Racional, respectivamente. Son espacios vectoriales de inters: - Todo cuerpo K es espacio vectorial sobre s mismo. - El conjunto C (nmeros complejos) es espacio vectorial sobre R. - El conjunto Producto Cartesiano E1 xE2 de espacios vectoriales sobre K es espacio vectorial sobre el mismo K, para las operaciones: Pgina: 2 de 32

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(u1, u2) + (v1, v2) = (u1+v1, u2+v2) (u1, u2) = (u1, u2) R2, R3, ... , Rn, son espacios vectoriales sobre R, con esas operaciones. El conjunto Pn[x] de los polinomios en una variable de grado menor o igual a n y coeficiente en K es espacio vectorial sobre K, con las operaciones de suma de polinomios y de producto por un K.

Subespacio vectorial. Sistemas de Generadores. Subespacio vectorial: Sea E un k-espacio vectorial. Toda parte S no vaca de E que sea un k-espacio vectorial para las misma leyes que E, se llama subespacio vectorial de E. La condicin necesaria y suficiente para que un subconjunto S de E sea subespacio vectorial suyo es que se verifique: - u, v S; u+v S. - K, u S; u S. Ejemplo.- Comprobacin de un subespacio vectorial: Sea S={(x, 2x, z)} (x, 2x, z)+(x', 2x', z')=[x+x', 2(x+x'), z+z'] S k(x, 2x, z)=(kx, 2kx, kz) S. Sistema de vectores: Se llama sistema, o familia de vectores de E cualquier subconjunto finito de E. F={u1, u2, u3, ..., un} ui E. Combinacin lineal de vectores: Toda expresin del tipo 1u1+ ... + nun con i K, se llama combinacin lineal de vectores de la familia F={u1, ..., un}. Toda combinacin lineal de vectores de E es un vector de E. u=1u1+ ... +nun; u es combinacin lineal de u1, ..., un. Subespacio vectorial generado por un sistema F: Dado un sistema F de vectores de E, el conjunto de todos los vectores combinacin lineal de vectores de F es un subespacio vectorial, L(F). F={u1, ..., un}; L(F)={1u1+ ...+ nun; i K}. Un sistema de vectores es libre, o linealmente independiente, si para que la combinacin lineal de ellos sea el vector nulo, i=0. 1u1+ ...+ nun=0 1=2= ... =n=0. Un sistema no libre se llama ligado, o linealmente dependiente. En todo sistema ligado existe al menos un vector que puede ponerse como combinacin lineal de los restantes. F={u1, ..., un} ligado ui F tal que ui=u1+ ...+ i-1ui-1+ i+1ui+1+ ...+ nun. Determinacin Si un sistema dado F = {u1, , un } de vectores es linealmente dependiente, el vector cero debe poderse expresar como combinacin lineal de ellos, por tanto: c1u1 + c2u2 + + cnun = 0 Esto nos lleva a un sistema homogneo de ecuaciones. Los vectores sern linealmente dependientes si y slo si el sistema tiene soluciones no triviales. El sistema se escribe empleando una matriz aumentada y luego se reduce por filas. Si el resultado es del tipo:

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1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 el sistema no tiene soluciones distintas de la trivial (c1 = 0; c2 = 0; ... cn = 0) y en consecuencia los vectores dados son linealmente independientes. Si por el contrario el resultado es del tipo: 1 a b 0 0 1 c 0 0 0 0 0 el sistema tiene un nmero infinito de soluciones y al menos un vector es combinacin lineal de los dems. Sistemas de generadores: Dado un subespacio vectorial S, se dice que el sistema F de vectores genera, o es sistema de generadores de S, si L(F)=S. Sistemas equivalentes: Dos sistemas F1, F2 son equivalentes si generan el mismo espacio vectorial. L(F1)=L(F2). Si aun sistema F se le aade un vector combinacin lineal de los de F, si se obtiene un sistema equivalente. Si F es ligado, el sistema resultante de eliminar en F el vector combinacin lineal de los restantes, es equivalente a F. Interpretacin geomtrica de la dependencia lineal en R3 Supngase que u , v y w son tres vectores linealmente dependientes en R3. Entonces existen constantes c1, c2 y c3, no todas cero, tales que c1u + c2 v + c3w = 0 Supngase que c3 0 (se obtiene un resultado similar si c1 0 si c2 0). Entonces ambos lados de la ecuacin se pueden dividir por c3 y acondicionar los trminos a fin de obtener c c w = 1 u 2 v = Au + Bv c3 c3 donde A = c1 /c3 y B = c2 /c3. A continuacin se demuestra que u , v y w son coplanares. Se calcula

w (u v ) = ( Au + Bv ) (u v ) = A[u (u v )] + B[v (u v )]= A 0 + B 0 = 0

ya que tanto u como v son ortogonales (vase pag. 9, capitulo 2) a u v . Sea n = u v . Entonces u y v se encuentran en un plano que consiste en todos los vectores que pasan por el origen y que son ortogonales a n . Pero w est en el mismo plano, porque w n = w (u x v) = 0. Esto muestra que u , v y w son coplanares. Se llega as a la conclusin siguiente: Tres vectores en R3 son linealmente dependientes si y slo si son coplanares. Base de un espacio vectorial finito. Coordenadas. Teorema de la base. Base de un espacio vectorial: Se llama base de un espacio vectorial a todo sistema libre, de generadores. En todo espacio vectorial existe al menos una base. (Teorema de la base).

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En un espacio vectorial todas las bases tienen el mismo nmero de vectores. Sea E es un espacio vectorial, B={e1+ ...+ en} una base de E y u E. Los escalares 1, ..., n tales que u=1e1+ ...+ nen, se llaman coordenadas de u en B, siendo estas nicas en esa base. Llamamos base cannica al conjunto de vectores que van teniendo 1 en un elemento y los dems cero, de forma alternativa, sern bases cannicas: (0, 1), (1, 0) (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) ... Dimensin de un espacio vectorial: Se llama dimensin de un espacio vectorial, en nmero de vectores de una cualquiera de sus bases. Si E es un espacio vectorial de dimensin n: - Todo sistema de generadores de E con n vectores, es una base de E. - Todo sistema libre de E tiene un nmero de vectores n. - Todo sistema de E con ms de n vectores, es ligado. Suma y suma directa de subespacios Suma de espacios vectoriales: Si S1, S2 son subespacios vectoriales de E(K), el conjunto suma S1+S2={x=u+v; u S1 , v S2 } Verifica: - S1+S2 es subespacio vectorial de E. - Si F1, F2 Son sistemas de E tales que S1=L(F1), S2=L(F2), S1+S2=L(F1F2) - Si S1+S2=S, entonces x S, u S1, v S2 / x=u+v. Es decir, todo vector de S puede descomponerse como suma de uno S1 y otro S2. Interseccin de subespacios vectoriales: Si S1, S2 son subespacios vectoriales de E, el conjunto S1S2 es tambin subespacios vectorial de E. Relacin entre dimensiones de los subespacios suma e interseccin: Se verifica: dim(S1+S2) + dim(S1S2)= dim S1 + dim S2. Suma directa. Espacios suplementarios: La suma S1+S2 de subespacios vectoriales de E, es directa si su interseccin es nula. Se denota S1 S2. As si S= S1+S2, siendo S1S2={}, se dice que S es suma directa de S1 y de S2. Los subespacios S1 y S2 se llaman suplementarios de S. En el caso particular de ser E=S1S2, los espacios S1 y S2 se llaman suplementarios. Si S1 y S2 son suplementarios, todo vector de E puede descomponerse, de manera nica, como suma de un vector de S1 y otro de S2: E=S1S2 x E, u1 S1 (u1 nico), u2 S2 (u2 nico), tal que x=u1+u2. Rango de un sistema de vectores: Se llama rango de un sistema F de vectores la dimensin del subespacio S generado por F. rg(F). El rango de un sistema de vectores es el mayor nmero de vectores independientes contenidos en l.

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Teorema de la base incompleta: Si E es un espacio vectorial de dimensin n y F={u1, ..., ur} (rn. Pgina: 8 de 32

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a a a 0 a a 0 0 a Matriz triangular inferior, matriz cuadrada en la que los coeficientes por encima de la diagonal principal tienen el valor 0. amn=0 para mi n

... 1 ... a n 2 ... an ... ... n ... a n 1

significa producto).

Ejemplo: Resolver el determinante 4 y generalizar la expresin para n: 1 1 1 1 1 1 1 1 a1 a 2 a 3 an a b c d 2 2 2 2 ; n= a1 a 2 a3 an 4= 2 2 2 2 a b c d a 3 b3 c 3 d 3 n n n a1n a2 a 3 an SOLUCIN Clculo de 4: Tomamos a11=1 como pivote y hacemos ceros los restantes elementos de la primera columna. Para ello se sustituye: Pgina: 25 de 32

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2 fila por 2 fila a.(1 fila) 2 fila por 3 fila a.(2 fila) 2 fila por 4 fila a.(3 fila) 1 1 1 1 ba ca d a 0 ba ca d a 4 = = b(b a ) c(c a ) d (d a ) 0 b 2 ba c 2 ca d 2 da b 2 (b a ) c 2 (c a ) d 2 ( d a ) 0 b3 b2 a c 3 c 2a d 3 d 2a Sacando (b - a) de la 1 columna, (c a) de la 2 y (d a) de la 3: 1 1 1 4=(b a)(c a)(d a) b c d b2 c2 d 2 Procediendo igual en el determinante (que es 3), es decir, tomando el a11=1 como pivote y haciendo ceros los elementos restantes de la 1 columna 1 1 1 4=(b a)(c a)(d a) 0 c b d b = 2 0 c cb d 2 db cb d b = c( c b) d ( d b) 1 1 =(b a)(c a)(d a)(c d)(d b) = c d =(b a)(c a)(d a)(c d)(d b)(d c) En el caso de n ser: n=(a2 a1)(a3 a1) ... (an a1)(a3 a2) ... (an a2) ... (an an-1). Caracterizacin de las matrices regulares Una matriz cuadrada es regular si, y solo si, su determinante es distinto de cero. Es decir, dada una matriz cuadrada de orden n: A Mn ; A regular |A| 0 En caso contrario se dice singular. =(b a)(c a)(d a) Matriz Inversa Clculo de la matriz inversa mediante determinantes Sea A una matriz regular (|A| 0). Llamando: A = Matriz adjunta de A (matriz que resulta de sustituir en A cada elemento por su adjunto). Se verifica 1 A 1 = ( A)t A Esta frmula ofrece los pasos a seguir para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular A: Se calcula la matriz adjunta de A. Se halla la traspuesta de la matriz adjunta. Se calcula el determinante de A. Se divide cada elemento de la matriz A t por el valor |A|. Pgina: 26 de 32

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ADVERTENCIA Algunos autores denominan matriz adjunta a la traspuesta de la matriz que resulta de sustituir cada elemento de la matriz por su adjunto, con lo cual en esta formula, resultara la matriz inversa igual al cociente de la matriz adjunta por el determinante de la matriz. Ejemplos: Clculo de la matriz inversa Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices: a)

b)

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B y su traspuesta, as pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son: B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22 = 3 y el adjunto de B, y su traspuesto sern: 5 2 5 1 T = B= 1 3 , ( B) = 2 3 Aplicando la propiedad: B 1 = 1 ( B )t B

b) Empezaremos por hallar el det A,

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

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La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto traspuesto de A:

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:

Rango de una Matriz Definicin: El rango de una matriz es el mayor de los rdenes de sus menores no nulos. Rango de una matriz mediante determinantes Esta definicin permite calcular el rango de una matriz hallando todos sus menores y observando cual o cuales son los de mayor orden, no nulos. Para ello es conveniente seguir el siguiente camino que simplificar el proceso. Primero es aconsejable observar si hay lneas iguales a otras, o combinacin lineal de varias paralelas. En este caso se eliminan, obteniendo matrices ms simples. Despus se toma un menor de orden 2 no nulo (si es que el rango es al menos 2) y se le amplia con una fila fija y se forman los determinantes de tercer orden resultantes de ampliar las columnas una a una. Si todos son cero el rango de la matriz es 2. Si alguno de tercer orden es distinto de cero, se amplia ste de la misma forma y as sucesivamente. Ejemplos: a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como mximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. As pues

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Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2. Aadimos ahora una columna y una fila ms para ver si el rango puede ser tres:

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango (A) = 3. No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, sta tiene que ser cuadrada. As, en el siguiente ejemplo: b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 4.

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuacin los determinantes de orden superior:

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

As pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recurdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, stas tienen que ser cuadradas. Aplicaciones de los determinantes En el tema de matrices y su aplicacin a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cmo resolverlas mediante el teorema de Gauss (pgina 18, captulo 2). Con los determinantes, y aplicando la regla de Cramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales

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Determinante de la matriz producto de otras dos El determinante de la matriz producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices factores. |A B| = |A| |B| Consecuencia: Recordando que |A| = |At| se verifica: |A B| = |A| |B| = |At| |Bt| = |At Bt| Es decir, el determinante del producto de dos matrices es igual al del producto de sus traspuestas. Regla de Cramer Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones segn la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna est formada por las entradas de los coeficientes de la primera incgnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incgnita, y as hasta llegar a la ltima columna, que estar constituida por las entradas de los trminos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los trminos independientes; b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incgnita; c) continuar sustituyendo los trminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incgnitas. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incgnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones lineales:

El segundo paso es calcular el determinante de A. As pues:

Y el tercero y ltimo paso consiste en calcular las incgnitas:

[Error en x, valor de x= (-5+6)/17=1/17].

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) Polinomio caracterstico Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

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La matriz (A - In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y un escalar indeterminado, se denomina matriz caracterstica de A:

Su determinante, det (A - In) , que es un polinomio en , recibe el nombre de polinomio caracterstico de A. Asimismo, llamamos a det (A - In) = 0 ecuacin caracterstica de A. Ejemplo: Hallar la matriz caracterstica y el polinomio caracterstico de la matriz A:

La matriz caracterstica ser (A - In). Luego:

y el polinomio caracterstico,

As pues, el polinomio caracterstico es 2 - + 4. Valores propios y vectores propios Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar Kn se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v Kn para el que Av = v Todo vector que satisfaga esta relacin se llama vector propio de A perteneciente al valor propio . Los trminos valor caracterstico y vector caracterstico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio. Ejemplo: Sea

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As pues, v1 y v2 son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios 1 = 4 y 2 = -1 de A.

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Unidad Didctica II.Continuacin de la anterior, dedicada al estudio de los sistemas lineales, donde se estudian los sistemas de ecuaciones lineales, las variedades lineales vectoriales y la diagonalizacin de matrices y formas cuadrticas.

Captulo 4. Sistemas de Ecuaciones LinealesConocimientos previos: Sistemas de ecuaciones lineales: Es un conjunto de m ecuaciones lineales con n incgnitas de la forma a11.x1+a12.x2+ ... +a1nxn=b1 a21.x1+a22.x2+ ... +a2n.xn=b2 ...... am1.x1+am2.x2+ ... +amn.xn=bm Los nmeros aij, para i de 1 a m y j de 1 a n, se llaman coeficientes de las incgnitas. Mtodo de Gauss: Unidad didctica I, pagina 16. Regla de Cramer: Unidad didctica I, pgina 27. Ecuaciones de cambio de base: Unidad didctica I, pgina 12.

Clasificacin de Sistemas. Definicin: Dados dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo de definicin K, una aplicacin f : E F se llama aplicacin lineal u homomorfismo entre E y F si para cualquier par de vectores u , v E y todo escalar K se verifica: f ( u + v ) = f (u ) + f ( v ) f (u ) = f ( u ) Caracterizacin: Estas dos propiedades son equivalentes a: f : E F ; f lineal , K, u , v E es f (u + v ) = f ( u ) + f ( v )

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Tipos: Si f biyectiva, la aplicacin lineal es isomorfismo. Si f : E E la aplicacin se dice endomorfismo. Si f no es inyectiva ni sobreyectiva, se dice aplicacin en. El endomorfismo biyectivo se dice automorfismo. La aplicacin lineal de un espacio sobre su cuerpo de escalares; f : E(K) K se dice forma lineal. Principales propiedades: Si f : E F es aplicacin lineal, se verifica: a) f( 0 ) = 0 b) u E; f ( u ) = f ( u ) c) S E, S subespacio vectorial de E f(S) subespacio vectorial de F. f ( L ) = { f (u1 ),

d) Si L = {u1, e) Si L = {u1,

, un } sistema de generadores de E, entonces: , f ( un )} es sistema de generadores de f(E). , un } es un sistema ligado de E, entonces: , f ( un )} es sistema ligado de f(E).

f ( L ) = { f (u1 ),

Imagen de una aplicacin lineal: Dada una aplicacin lineal f : E F, el conjunto f(E) F que es tambin espacio vectorial, se llama imagen de f. Se denomina Im(f) = f(E). La aplicacin lineal f : E F ser sobreyectiva si f(E) = F. Los vectores v1 , v2 , ..., v n generan a E, los vectores f( v1 ), f( v2 ), ..., f( v n ) F generan Im(f). Supongamos que u Im(f); entonces f( v ) = u para algn vector v E. Como los vi generan a E y v E, existen escalares a1, a2, ..., an tales que v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an v n . En consecuencia,

u = f ( v ) = f ( a1v1 + a2 v2 +

+ an vn ) = a1 f ( v1 ) + a2 f ( v2 ) +

+ an f ( vn )

y por tanto los vectores f( v1 ), f( v2 ), ..., f( v n ) generan a Im(f). Para la aplicacin lineal definida: F(x, y) = (2x y, -8x + 4y) Para que el vector (1, -4) pertenezca a Im(f), ha de ser f(x, y) = (1, -4), es decir: 2x y = 1 y = 2x - 1 -8x + 4y = -4 Los vectores (x, 2x-1) se aplican en (1, -4). El vector dado pertenece a Im(f).

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) Ncleo de una aplicacin lineal:

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Dada una aplicacin lineal f : E F, se llama Ncleo de f , y se denota Ker(f) o bien N(f), el conjunto de vectores de E que se aplican en el vector nulo de F. Es decir, es la imagen inversa del vector nulo de F. N(f) = { x E, tal que f( x ) = 0 } = f -1( 0 ) N(f) es subespacio vectorial de E, y se verifica: dim(N(f)) + dim(Im(f)) = dim E Tienen que existir (x, y) tales que f(x, y) = (0,0) Para la aplicacin lineal definida: f(x, y) = (2x y, -8x + 4y) El vector (5, 10) pertenece al ncleo, pues F(5, 10) = (2*5 10, -8*5 + 4*10) = (0,0) Ejemplo: Dada la aplicacin lineal f : R4 R3 definida por: f(x, y, s, t) = (x y + s + t, x + 2s t, x + y + 3s 3t) Se trata de hallar una base y la dimensin de: 1) la imagen U de f y 2) el ncleo W de f. Solucin: 1) Las imgenes de los siguientes generadores de R4 generan la imagen U de f: f(1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1) f(0, 1, 0, 0) = (-1, 0, 1) f(0, 0, 1, 0) = (1, 2, 3) f(0, 0, 0, 1) = (1, -1, -3) Formamos la matriz cuyas filas son los generadores de U y la reducimos por filas a la forma escalonada 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 a 0 1 a 0 1 2 1 0 1 0 0 0 2 3 2 1 1 3 0 2 4 0 0 0 Luego {(1, 1, 1), (0, 1, 2)} es una base de U; por tanto dimU = 2. 2) Buscamos el conjunto de los (x, y, s, t) tales que f(x, y, s, t) = (0, 0, 0, 0), esto es f(x, y, s, t) = (x y + s + t, x + 2s t, x + y + 3s 3t) = (0, 0, 0) Igualando las componentes correspondientes, forman el siguiente sistema homogneo cuyo espacio solucin es el ncleo W de f. x y + s +t +2 s t x x + y +3s 3t =0 =0 =0 x y + s +t y + s 2t 2 y +2 s 4t =0 =0 =0

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x y + s +t = 0 y + s 2t = 0 Las variables libres son s y t; luego dimW = 2. Hacemos a) s = -1, t = 0 para obtener la solucin (2, 1, -1, 0), b) s = 0, t = 1 para obtener la solucin (1, 2, 0, 1). Luego {(2, 1, -1, 0), (1, 2, 0, 1)} es una base de W. (Obsrvese que dimU + dimW = 2 + 2 = 4, que es la dimensin del dominio R4 de f.)

Ejemplo: Dada la aplicacin lineal f : R3 R3 definida por: f(x, y, z) = (x + 2y - z, y + z, x + y -2z) Se trata de hallar una base y la dimensin de: 1) la imagen U de f y 2) el ncleo W de f. 1) Las imgenes de los generadores de R3 generan la imagen U de f: f(1, 0, 0) = (1, 0, 1) f(0, 1, 0) = (2, 1, 1) f(0, 0, 1) = (-1, 1, -2) Formamos la matriz cuyas filas son los generadores de U y la reducimos por filas a la forma escalonada 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 a 0 1 1 a 0 1 1 1 1 2 0 1 1 0 0 0 Luego {(1, 0, 1), (0, 1, -1)} es una base de U, y, por tanto dimU = 2. 2) Buscamos el conjunto de los (x, y, z) tales que f(x, y, z) = (0, 0, 0), esto es, f(x, y, z) = (x + 2y - z, y + z, x + y -2z) = (0, 0, 0) Igualando las componentes correspondientes formamos el sistema homogneo cuyo espacio solucin es el ncleo W de f. x +2 y z = 0 y +z = 0 x + y 2 z = 0 x +2 y z = 0 y +z = 0 y z = 0

x +2 y z = 0 y +z = 0 La nica variable libre es z; luego dimW = 1. Sea z = 1; entonces y = 1 y x = 3. Luego {(3, -1, 1)} es una base de W. (Obsrvese que dimU + dimW = 2 + 1 = 3, que es la dimensin del dominio R3 de f.)

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) Determinacin de una aplicacin lineal. Matriz:

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Una aplicacin lineal f : E F queda determinada conociendo las imgenes de los elementos de una base de E. Sea n la dimensin del espacio vectorial E, y sea B = {e1, e2 , , en } una base de E. Una aplicacin lineal queda determinada conociendo f ( e1 ) , ..., f ( en ) , es decir, las imgenes por f de los vectores de la base de E. Si u E tiene de coordenadas (x1, x2, ..., xn) en la base B y su imagen f ( u ) tiene de coordenadas (y1, y2, ..., ym) en la base B'. Se verifica la siguiente ecuacin matricial: ... a n1 x1 ... a n 2 x 2 ; Y = AX ... ... ... ... a nm x n donde las columnas de la matriz A son las coordenadas de los vectores f ( e1 ) , ..., f ( en ) en la base B' de F. As: f ( e1 ) = (a11, a12, ..., a1m) en la base B' a 21 a 22 ... a2m ... f ( en ) = (an1, an2, ..., anm) en la base B' La expresin matricial puede resumirse: YB' = M(f,B,B')XB y se llama expresin matricial de f en las bases B y B'. Conocida M(f,B,B') queda determinada la aplicacin, y elegidas previamente las bases, cada matriz determina una aplicacin lineal, esa matriz se llama matriz de f en las bases B y B'. Las ecuaciones deducidas al resolver la expresin matricial de f, se llaman ecuaciones de f. Ejemplo 1: Hallar una aplicacin lineal f : R3 R4, cuya imagen es generada por (1, 2, 0, 4) y (2, 0, 1, 3). Mtodo 1. Consideremos la base usual de R3: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Hacemos f(e1) = (1, 2, 0, 4), f(e2) = (2, 0, 1, 3) y f(e3) = (0, 0, 0, 0). La aplicacin lineal f existe y es nica, adems la imagen de f es generada por los f(ei). Hallamos un formula general para f(x, y, z): f(x, y, z) = f(xe1 + ye2 + ze3) = xf(e1) + yf(e2) + zf(e3) = x(1, 2, 0, 4) + y(2, 0, 1, -3) + z(0, 0, 0, 0) = (x + 2y, 2x, y, 4x3y) Pgina: 5 de 35 y1 a11 y a 2 = 12 ... ... y m a1m

Sea m la dimensin del espacio vectorial F, y sea B' = {v1, v2 ,

, vm} una base de F.

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Mtodo 2. Formamos una matriz A43, cuyas columnas son los vectores dados, por ejemplo: 2 1 2 0 A= 0 1 4 3 0 0 0 0

Recordamos que A determina una aplicacin lineal A : R3 R4 cuya imagen es generada por las columnas de A. Luego A satisface las condiciones requeridas. Ejemplo 2: Hallar el ncleo y la imagen de la aplicacin lineal f:R4 R3 tal que: f(1, 0, 0, 0) = (1, 1, 2) f(0, 1, 0, 0) = (2, 1, 1) f(0, 0, 1, 0) = (4, 1, 5) f(0, 0, 0, 1) = (-1, 5, 4) En concreto, se piden sendas bases del ncleo y la imagen. Resolucin: Respecto de las bases cannicas de R4 y R3, la ecuacin matricial, Y = AX, de la aplicacin lineal es: y1 y = 2 y3 x1 1 2 4 1 1 1 1 5 x 2 x 2 1 5 4 3 x 4

El ncleo lo forman las soluciones de f( x ) = 0 , que si se usan coordenadas se pone en la forma AX = 0. Para resolver este sistema lineal homogneo, realizando operaciones elementales en las filas de su matriz A, se obtienen sucesivamente las matrices: 1 2 4 1 0 3 3 6 0 3 3 6 1 2 4 1 0 1 1 2 0 0 0 0 = 2 3 = + 2 luego = = 3 1 0 2 0 1 1 2 0 0 0 0

Por tanto, los vectores del ncleo son los que cumplen (para , R): x1 x2 x3 x4

(-2, -1, 1, 0) y (-3, 2, 0, 1) forman una base de N(f). La imagen es el espacio de R3 que engendran las cuatro columnas de A. Realizando operaciones elementales en las columnas de A se obtienen sistemas de columnas equivalentes al dado; al proceder de este modo, se obtiene sucesivamente: Pgina: 6 de 35

Algebra para informtica (U.N.E.D.) 1 0 0 0 1 3 3 6 2 3 3 6 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0

Unidad Didctica II 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

Por tanto, los dos vectores columna no nulos de la ltima matriz, generan la imagen y, como son independientes, son base de ella; esto es: (1, 1, 0) y (0, 1, -1) forman una base de Im(f). Ej.- Obtener una base del espacio vectorial solucin del sistema:1 1 3 b 0 0 0 x 0 0 1 a y 0 . = 0 1 a z 0 0 0 1 t 0

x + 0y + 0z + 0t = 0 x + 0y - 1z + at = 0 x = 0 ( x, y, z, t ) = ( 0, y, 0, 0) 3x + 0y - 1z + at = 0 t=0 bx + 0y + 0z + 1t = 0 z=0 La solucin es < ( 0, 1, 0, 0 ) > que es base del espacio vectorial formado por las soluciones. Rango de una aplicacin lineal Se llama rango de una aplicacin lineal f : E F la dimensin del espacio vectorial imagen. Se denota rg(f). rg(f) = dim(Im(f)) = dim(f(E)) Propiedad: El rg(f) coincide con el rango de la matriz asociada a f en cualquier base: rg(f) = rg(Mf) Aplicaciones lineales inyectivas Las aplicaciones lineales inyectivas son de especial inters. 1. Una aplicacin lineal f : E F es inyectiva si, y solo si, su ncleo contiene slo el vector nulo. Es decir: f : E F , f inyectiva N(f) = { 0 } 2. Una aplicacin lineal f : E F es inyectiva si, y solo si, un sistema libre de E se aplica en un sistema libre de F. Es decir, si la imagen de una base de E es una base de f(E). f inyectiva [B base de E f(B) base de f(E)] 3. Si E tiene dimensin finita, entonces f es inyectiva si y solo si dim E = dim f(E) o tambin rg(Mf) = dim E. Ejemplo: La aplicacin lineal f:R3 R4 definida mediante

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) f(x, y, z) = (x, x + y, y + z, x + y + z)

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es inyectiva ya que las imgenes de los vectores de la base cannica de R3 son los vectores: f(1, 0, 0) = (1, 1, 0, 1) f(0, 1, 0) = (0, 1, 1, 1) f(0, 0, 1) = (0, 0, 1, 1) que forman una base de la imagen, ya que son linealmente independientes. La inyectividad de f tambin se poda haber comprobado viendo que N(f) = 0; as es, ya que: x x + y N ( f ): y + z x + y + z Isomorfismos Cuando se dispone de una aplicacin lineal, entre dos espacios vectoriales E y F, que adems es biyectiva, puede considerarse que E y F son iguales, se pueden identificar. Desde el punto de vista de los espacios vectoriales, no hay nada que permita diferenciar a E de F. Estas aplicaciones lineales y biyectivas se llaman isomorfismos. Un isomorfismo f:E E, de un espacio en s mismo, recibe el nombre de automorfismo. 1. La composicin de dos isomorfismos es, tambin, un isomorfismo. 2. Una aplicacin lineal f:E F es isomorfismo si y slo si: Im(f) = F y N(f) = 0 3. Si E tiene dimensin finita, una aplicacin lineal f:E F es un isomorfismo si y slo si: dim E = dim f(E) = dim F 4. Si E tiene dimensin finita, una aplicacin lineal f:E E es un automorfismo si y slo si es inyectiva o sobreyectiva. 5. Si f:E F es un isomorfismo, entonces f 1:F E tambin es un isomorfismo. 6. Dos espacios vectoriales de dimensin finita (sobre el mismo cuerpo K) son isomorfos si y slo si tienen la misma dimensin. Ejemplo 1: El espacio vectorial Rn es isomorfo al espacio vectorial V de los polinomios de grado menor que n. Un isomorfismo entre ellos lo es la aplicacin f:V Rn dada por f(a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1) = (a0 + a1 + a2 + ... + an-1). =0 =0 =0 =0 x = 0 N ( f ): y = 0 N ( f ) = 0 z = 0

Ejemplo 2:

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Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 2 y considrese la aplicacin lineal f:V R3 definida por f(a + bx +cx2) = (a + b 2c, 2a + b + c, 2a + 3b + hc) Hallar h R para que f no sea un isomorfismo. Para dicho valor de h, hallar una base de la imagen Im(f). Solucin: El valor buscado de h es aquel que hace singular a la matriz A de f (en la base usual de V y en la cannica de R3); realizando, pues, operaciones elementales en las columnas de A, se tiene sucesivamente: 1 1 2 1 0 1 0 0 0 A = 2 1 1 2 1 5 2 1 0 2 3 h 2 1 h + 4 2 1 h + 9 La matriz A es singular para h = 9. Para este valor, el rango de A vale 2, la dimensin de Im(f) es 2 y una base de este espacio la forman las dos columnas no nulas de la ltima matriz, es decir, los vectores (1, 2, 2) y (0, 1, -1) de R3. Caracterizacin de endomorfismos biyectivos: Las aplicaciones lineales f : E E son endomorfismos. La matriz de f en una base ser cuadrada. Si el endomorfismo es biyectivo el rango de la matriz ser la dimensin de E, es decir, su determinante ser distinto de cero f : E E biyectivo |Mf| 0

Conjunto de las aplicaciones lineales entre dos espacios E y F El conjunto de todas las aplicaciones lineales entre E y F, espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, se denota (E,F). Si f, g son dos aplicaciones lineales entre E y F; f, g (E,F), se define: Aplicacin suma de f y g, a la aplicacin f + g : E F tal que: u E; ( f + g )( u ) = f ( u ) + g( u ) La suma as definida es interna: (f + g) (E,F) Si B y B' son dos bases de E y F respectivamente, y M(f, B, B') y M(g, B, B') son las matrices de f y g en esas bases, se verifica: M(f + g, B, B') = M(f, B, B') + M(g, B, B') Aplicacin producto por un escalar. Si K y f (E,F), se define aplicacin f : E F la aplicacin tal que, u E , (f )u = f ( u ) . La aplicacin f es aplicacin lineal, y se verifica: Pgina: 9 de 35

Algebra para informtica (U.N.E.D.) M(f, B, B') = M(f, B, B')

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El conjunto (E,F) con las operaciones suma y producto por un escalar es un K-espacio vectorial. El anillo

(E) de los endomorfismos de E:

En el conjunto (E) de las aplicaciones lineales sobre E, adems de las operaciones suma y producto por un escalar, es posible definir otra operacin interna, el producto, que ser la propia composicin de aplicaciones. Dados f : E E y g : E F endomorfismos en E, se llama producto de f y g la aplicacin g f : E E La aplicacin as definida es aplicacin lineal; g f (E). Si B es una base de E, se verifica la relacin entre matrices: M(g f, B) = M(g, B) M(f,B) El conjunto ( (E), + , ) es anillo unitario. Si f (E) tiene aplicacin inversa f-1, tambin f-1 (E) y su matrizM ( f 1 , B ) = M (f1, B )

Matrices asociadas a un endomorfismo en dos bases distintas Sea E un K-espacio vectorial de dimensin n y sean: B1 = {e1, e2 , , en } ; B2 = {v1 , v2 , bases de E, donde los vectores de B2 en B1 son: v1 = a11e1 + a12e2 +

Sea una aplicacin lineal f : E E de matrices M ( f , B1 ) y M ( f , B2 ) en las bases B1 y B2 respectivamente. La relacin existente entre ambas matrices es: M ( f , B2 ) = C 1 M ( f , B1 ) C donde C = Matriz de cambio de base ... a1n ... a 2n = M ( B2 , B1 ) ... ... ... a nn la matriz que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base B2 expresados en B1. a12 a 22 ... a n2 Pgina: 10 de 35 a11 a 21 C = ... a n1

u E; ( g f )( u ) = g( f ( u ))

, v m}

+ a1n en

............................................ v n = an1e1 + an 2e2 + + annen

Algebra para informtica (U.N.E.D.) Recordando que1 M ( B2 , B1 ) = M (B1 , B2 )

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la expresin M ( f , B2 ) = C 1 M ( f , B1 ) C quedar1 M ( f , B2 ) = M ( B1 , B2 ) M ( f , B1 ) M (B1 , B2 )

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Captulo 5. Sistemas de ecuaciones linealesConocimientos Previos: Vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos es combinacin lineal de los dems. Sistemas generadores de vectores: Dado un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, se llama subespacio engendrado por dicho sistema y se representa por C(S), al conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores de S. El conjunto S es el generador del subespacio C(S). Vectores base: Vectores que forman parte de la base. Dimensin de un espacio vectorial: el nmero de vectores de cualquiera de sus bases. Base de un espacio vectorial: Se dice que un sistema de vectores B es una base de V si es un sistema linealmente independiente de generadores de V. Teorema de la Base: (Vase pgina 6 Unidad Didctica I) Coordenadas de un vector respecto a la base: Dado un vector como combinacin lineal de los que forman la base, sus coordenadas sern los escalares que forman parte de la combinacin lineal. Siendo la base u1, u2, , sern las coordenadas del vector u, siendo v= u1+ u2.

-

Clasificacin de Sistemas: Definiciones Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas a un conjunto de ecuaciones de la forma: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ............................................... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm en las que aij y bi son escalares de un cuerpo Ki y x1, x2, ..., xn son las incgnitas. Se llama solucin del sistema la n-upla (1, 2, ..., n) de elementos de K, tales que sustituidos en (x1, x2, ..., xn) verifican todas las ecuaciones. Un sistema de ecuaciones lineales en el que bi = 0 se llama homogneo. Enfoque vectorial Un sistema de ecuaciones tal como el del apartado 1, puede expresarse en forma matricial: AX = B

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a11 a12 ... a1n b1 x1 a b x a 22 ... a 2 n 2 2 ; A = 21 X= ; B= ... ... ... ... ... ... a m1 a m2 ... a mn bn xn Por tanto, un sistema de m ecuaciones con n incgnitas puede interpretarse como la expresin de una aplicacin lineal: f : E F, de matriz asociada A donde E es un K-espacio vectorial de dimensin n y F un K-espacio vectorial de dimensin m y tal que la bsqueda de soluciones equivale a hallar vectores u = (x1, x2, ..., xn) E que se aplican en el vector b = (b1, b2, ..., bm) F. La discusin del sistema puede realizarse segn que b pertenezca o no al conjunto Im(f), de la siguiente forma: a) b Im(f). En este caso no existe u = (x1, x2, ..., xn) tal que f( u ) = b . El sistema no tiene solucin (sistema incompatible). b) b Im(f). Existen vectores u tales que f( u ) = b . El sistema tiene solucin (sistema compatible). Cabe ahora investigar si la solucin es o no nica (sistema determinado o indeterminado, respectivamente). En el caso particular de un sistema homogneo (AX = 0), la bsqueda de soluciones equivale al clculo del N(f), es decir, el ncleo de la aplicacin lineal de matriz A. En este caso, al ser N(f) 0, un sistema homogneo tiene al menos la solucin u = (0, 0, ..., 0). El problema de inters ahora es buscar si existen o no ms soluciones, lo que equivale a analizar si la aplicacin es o no inyectiva. Equivalencia de sistemas Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen los mismos sistemas de soluciones. Proposicin: Sea un sistema de ecuaciones lineales de matriz A. Si en A se efectan operaciones elementales con las filas, la matriz obtenida corresponde a un sistema de ecuaciones equivalente al primero. Teorema de Rouch-Frobenius. Anlisis de las soluciones Teorema de Rouch-Frobenius Empleando notacin matricial AX = B para un sistema de ecuaciones lineales, se verifica: La condicin necesaria y suficiente para que el sistema AX = B sea compatible es que coincidan los rangos de la matriz A y de la matriz A|B que resulta de ampliar A con la columna matriz de los trminos independientes B. Es decir, Sistema AX = B compatible r(A) = r(A|B)

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Consecuencias: Si n = nmero de incgnitas del sistema, y el sistema es compatible: I) Si r(A) = r(A|B) = n el sistema es determinado. II) Si r(A) = r(A|B) < n el sistema es indeterminado. En el caso de sistema homogneo (AX = 0), al ser r(A) = r(A|0) es sistema es compatible. Ser: I) = n determinado (solucin nica u = (0, 0, ..., 0)). II) < n indeterminado.Dado Ax = b un sistema de m ecuaciones con n incognitas, tiene solucin si: rango A = rango A* = n de incognitas (n) rango A = rango A* < n de incognitas (n) rango A < rango A* S. C. DETERMINADO S. C. INDETERMINADO S. INCOMPATIBLE

Ejemplos: Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:

Puesto que rango (A) = 1 rango (A b) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solucin.

Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nmero de incgnitas, el sistema es compatible y determinado; es decir, existe una nica solucin.

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Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 < nmero de incgnitas, el sistema es compatible e indeterminado; existen infinitas soluciones.

Mtodos de resolucin. Mtodo de Gauss Resolucin de ecuaciones lineales Se presentan algunos mtodos de inters: a) Mtodo general Sea el sistema AX = B de m ecuaciones con n incgnitas, compatible. Si r = r(A), existe una submatriz cuadrada de orden r obtenida de A, cuyo determinante es distinto de cero. Suponiendo que sea la matriz correspondiente a las r primeras filas y r primeras columnas (si no fuese as, se intercambiaran ecuaciones para ponerlas de esta forma). En ese supuesto, el sistema dado es equivalente al siguiente: a11x1 + ... + a1rxr = b1 (a1r+1xr+1 + ... + a1nxn) a21x1 + ... + a2rxr = b2 (a2r+1xr+1 + ... + a2nxn) .......................................................................... ar1x1 + ... + arrxr = br (ar r+1xr+1 + ... + ar nxn) donde se han pasado al segundo miembro las incgnitas que no intervienen en la matriz regular de orden r, y se han eliminado las ecuaciones que tampoco intervienen en la misma matriz. Este nuevo sistema, llamando parmetros a las incgnitas xr+1, ..., xn, es determinado. Se resolvera por cualquiera de los mtodos clsicos de reduccin o eliminacin. b) Sistema de Cramer Un sistema de ecuaciones se dice de Cramer si tiene igual nmero de ecuaciones que de incgnitas y la matriz del sistema es regular. Un sistema determinado puede reducirse a uno de Cramer siguiendo el procedimiento general indicado en el apartado anterior. Dado un sistema de Cramer AX = B, con A regular, su solucin es nica: xi = Ai A i = 1, 2, ..., n

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donde Ai es la matriz que resulta de sustituir en A la columna i por el vector columna B de los trminos independientes. Dado un sistema COMPATIBLE DETERMINADO, tenemos que: Su expresion matricial es A X = B y al ser rg A = n |A| 0 y adems A tiene inversa A -1. As pues:A-1 A X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B X = ( 1/|A| At ) B xi = 1/|A| ( A1i b1 + A2i b2 +....+ An i bn )

De donde obtenemos la Regla de Cramer:det(B, C2, C3,..., Cn) x1 = det |A| , x2 = det |A| det(C1, B, C3,..., Cn) , ....... xn = det |A| det(C1, C2, C3,..., B)

Ej.- Resolver el sistema x + y + z = 1 x - y + 3z = 3x + y = 1 x y = 3 3. 1 1 A= 1 1 (1 ) 1 1 A* = 1 1 (3 3. )

por Cramer

Cambiamos z por y pasamos a la derecha

Resolvemos el sistema por Cramer y obtenemos: x = -2 +2 de modo que la solucin es {(-2 + 2, -1 + , ) ; R} {(2, -1, 0) + (-2, , ) ; R} y = -1 + y por ultimo extrayendo tenemos que las infinitas soluciones del sistema son: { ( 2, -1, 0 ) + < ( -2, 1, 1 ) > } Ejercicio: clculo de las incgnitas en un sistema de ecuaciones lineales Discutir y calcular el valor de las incgnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

Calculamos a continuacin el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b): El rango de la matriz A ser:

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El rango de la matriz ampliada (A b):

Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nmero de incgnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una nica solucin. Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer: Calculamos el det (A):

Aplicando la regla de Cramer:

x = 68/23; y = -53/23; z = -42/23. c) Mtodo de Gauss Es un mtodo de fcil programacin y por tanto de sencilla resolucin con ayuda informtica. La idea del mtodo es aplicar a la matriz ampliada A|B del sistema, transformaciones elementales de las filas hasta conseguir una matriz A triangular, cuyo sistema asociado es fcilmente resoluble. Ej.- Resolvemos el sistema anterior por Gauss x + y +z = 0 x+y-z =0 3x + 3y + z = 0

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e1 e2 = 0 0 2 3.e1 e3 = 0 0 2 e3 e2 = 0 0 2 = 3 3 1 3 3 1 0 0 2 0 0 0

x + y+ z = 0 z = 0 x = -y Solucin: < ( x, -x, 0 ) > ; x R

d) Mtodo de la matriz inversa Expresado el sistema en su forma matricial AX = B, podemos multiplicar ambos trminos de la igualdad por A1, resultando A1AX = A1B, o lo que es lo mismo, IX = A1B, luego X = A1B, que nos da la solucin del sistema, calculando la inversa de la matriz de los coeficientes y multiplicndola por la matriz de los trminos independientes. Sistemas homogneos Sistema homogneo asociado Dado un sistema lineal de ecuaciones AX = B, se denomina sistema homogneo asociado al resultante de hacer cero la matriz de trminos independientes AX = 0. Supngase que x1 y x2 son soluciones del sistema no homogneo. Entonces su diferencia, x1 x2, es una solucin del sistema homogneo asociado. A(x1 x2) = Ax1 Ax2 = B B = 0 Sean x e y dos soluciones particulares del sistema no homogneo, entonces existe una solucin h del sistema homogneo asociado tal que y = x + h. (Siendo x e y soluciones del sistema no homogneo, entonces h = y x es solucin del sistema homogneo asociado y por tanto y = x + h) Para hallar todas las soluciones de un sistema no homogneo, basta con hallar una solucin y todas las soluciones del sistema homogneo asociado. Ej.- Resolver el siguiente sistema homogeneo: x+y+z =0 2x + 2y +2z = 0 x+y-z =0 3x + 3y + z = 0 Primero eliminamos la segunda ecuacion porque es proporcional a la primera. Hallamos el determinante de A para saber el rango1 1 1 1 1 1 = 0 3 3 1 rg ( A) < 3

Como C1 = C2 el rango es dos. Y al ser homogeneo Rg A = Rg A* = 2 < n.incognitas S.C.I

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Si resolvemos el sistema por igualacion tenemos x = - y por lo que la solucin es { ( x, -x, 0) : R} O lo que es lo mismo { < (1, -1, 0) > } = Ker ( f ) si tomamos el sistema como la ap. lineal f. Ecuaciones paramtricas e implcitas de un subespacio vectorial El conjunto de soluciones de un sistema homogneo es un subespacio vectorial (es el ncleo de una aplicacin). Las ecuaciones de dicho sistema se llaman ecuaciones implcitas o no paramtricas del subespacio vectorial solucin. En el caso de que el sistema tenga infinitas soluciones, dichas soluciones, en funcin de los parmetros correspondientes, se llaman ecuaciones paramtricas del subespacio vectorial. Al ser el nmero de parmetros a utilizar en la resolucin del sistema AX = 0, igual al nmero de incgnitas menos el rango de la matriz A, se verifica la siguiente relacin: Dimensin del subespacio = Nmero de incgnitas Nmero de ecuaciones independientes. Clculo de las ecuaciones de un subespacio vectorial Las ecuaciones paramtricas e implcitas de un subespacio vectorial, y el paso de un tipo a otro de ecuaciones se efecta de la siguiente manera: a) Conocida las ecuaciones implcitas; AX = 0 Se halla el rango de la matriz A, que sera el nmero de ecuaciones independientes. Se resuelve el sistema. Esa solucin en funcin de parmetros sern las ecuaciones paramtricas. b) Conocidas las ecuaciones paramtricas del subespacio Se eliminan los parmetros hasta obtener un nmero de ecuaciones independientes igual al nmero de incgnitas menos el nmero de parmetros.

Variedades lineales vectorialesIntroduccin Al trabajar con subespacios vectoriales se suelen encontrar expresiones del tipo: L = {(x1, x2, x3) R3 / x1 x2 + x3 = 0} Esta expresin significa que L es el subconjunto de los vectores de R3 cuyas coordenadas verifican la relacin x1 x2 + x3 = 0; a esta frmula la llamamos ecuaciones implcitas del subespacio vectorial. Resulta menos frecuente pero es as mismo muy interesante ver expresiones de un subespacio vectorial escrito de la siguiente forma: L = {(x1, x2, x3) R3 / (x1, x2, x3) = (1, 1, 0) + (0, 1, 1)} o lo que es lo mismo: L = {(x1, x2, x3) R3 / x1 = , x2 = + , x3 = } esta ltima expresin constituye las ecuaciones paramtricas del subespacio vectorial L. Es interesante observar que la ltima de las tres expresiones se dedujo de la segunda, desarrollando la igualdad vectorial y que dicha expresin quiere decir que cualquier

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vector de L se puede escribir como combinacin lineal de dos vectores de R3 notables, (1, 1, 0) y (0, 1, 1) que pertenecen a L y tienen la propiedad de que a la vez de ser generadores de L, son linealmente independientes por lo que constituyen una base de L. Por tanto, B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)} son una base de L y la expresin (x1, x2, x3) = (1, 1, 0) + (0, 1, 1) es la ecuacin que expresa el conjunto de todos los vectores de L para los diferentes valores de los parmetros y . Es obvio pues que la dimensin de ese espacio es de dos y que el nmero de parmetros utilizados en la expresin es dos y que a su vez, considerada la ecuacin implcita del subespacio como un sistema de ecuaciones lineales homogneo de una ecuacin con tres incgnitas, su rango ser uno y, por tanto, el nmero de incgnitas a determinar sern dos, que es la diferencia entre el nmero de incgnitas, tres en este caso, y el rango de la matriz, uno en esta ocasin. Variedades lineales Hemos considerado hasta ahora el espacio vectorial Rn como el conjunto de las nuplas con nmeros reales de la forma (x1, x2, ..., xn) con xi R para i = 1, 2, ..., n. A este espacio tan notable como til le llamaremos Vn y escribiremos Vn = Rn, n 2. A los subespacios vectoriales de Vn les llamaremos variedades lineales. Cuando n = 2 nos queremos referir al plano vectorial V2, cuando n = 3, llamaremos a V3 el espacio vectorial o espacio, para no interferir con el concepto genrico. Es evidente que V2 y V3 tienen dimensiones 2 y 3 respectivamente por lo que pueden darse las siguientes situaciones: En el plano V2, consideremos L V2 una variedad lineal propia (es decir, L V2), entonces: Si dim L = 0, L = { 0 }. Si dim L = 1, L es una recta vectorial del plano V2. En el plano V3, consideremos L V3 una variedad lineal propia, entonces: Si dim L = 0, L = { 0 }. Si dim L = 1, L es una recta vectorial del espacio V3. Si dim L = 1, L es un plano vectorial del espacio V3. Dada una base {e1, e2 } de V2. Si L es una recta vectorial del plano V2 y v L con v 0 , entonces cualquier vector de L es de la forma v para todo que pertenece a R. Sea B = {e1, e2 , e3} una base de V3 a) Si L es una recta vectorial del espacio V3 y v L con v 0 , se tiene que u = v para cualquier que pertenece a R. b) Si L es un plano vectorial y v1, v2 L son linealmente independientes, se tiene que u = v1 + v2 para cualquier pareja (, ) R2.

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) Teorema

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El conjunto de soluciones de un sistema homogneo de ecuaciones lineales con n incgnitas es un subespacio vectorial de Rn, de dimensin igual a n menos el rango de la matriz de los coeficientes del sistema. En efecto, consideremos el sistema de la forma vectorial Ax = 0 . Ser A una matriz m n donde m es el nmero de ecuaciones y n el de incgnitas y x es un vector n 1, es decir de n filas y una columna. Consideremos x1 y x2 dos soluciones del sistema. Evidentemente cualquiera que sea , R se verifica que: A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = 0 pues Ax1 = 0 y Ax2 = 0 luego si x1 y x2 son soluciones, x1 + x2 es solucin, luego el conjunto de soluciones del sistema es una variedad lineal de Rn. Veamos si la dimensin de la variedad lineal de la soluciones es n r, siendo n el nmero de incgnitas y r el rango de la matriz A de los coeficientes del sistema. En efecto, si el rango de la matriz A de los coeficientes del sistema es r, eso significa que existen r ecuaciones del sistema (eventualmente puede coincidir con m) que son linealmente independientes y que podemos escribir: a11x1 + a12x2 + ... + a1rxr = a1r+1xr+1 ... a1nxn ............................................................................... ar1x1 + ar2x2 + ... + arrxr = arr+1xr+1 ... arnxn Si consideramos los valores: xr+1 = 1, xr+2 = 0, ..., xn = 0 xr+1 = 0, xr+2 = 1, ..., xn = 0 ............................................ xr+1 = 0, xr+2 = 0, ..., xn = 1 Obtenemos las soluciones x1, x2 , , xr correspondientes, que son linealmente independientes y evidentemente, cualquier otra solucin ser combinacin lineal de ellas, pues la solucin asociada a los valores: xr+1 = 1, xr+2 = 2, ..., xn = nr ser 1x1 + 2 x2 + + n r xr por lo que la dimensin de la variedad lineal de las soluciones del sistema es n r como queramos demostrar. Se puede demostrar que recprocamente, dada una variedad lineal de dimensin r, si x1, x2 , , xr es una base de la variedad lineal y x es un vector de dicha variedad, se verificar: rango L( x1, x2 , , xr , x ) = r ya que x necesariamente tendr que ser una combinacin lineal de los vectores de la base. Tambin podemos escribir:

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) x11 x 21 rango ... x n1 x12 x 22 ... x n2 ... x1r ... x 2 r ... ... ... x nr

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x1 x2 =r ... xn Donde evidentemente el determinante de las r primeras filas y columnas es no nulo, pues los vectores x1, x2 , , xr son linealmente independientes. La condicin para que la matriz anterior tenga rango r es que con cada una de las n r filas restantes obtenemos al primer determinante aludido aadiendo as mismo la ltima columna y todos los determinantes as obtenidos iguales a uno, llegaremos as a n r ecuaciones homogneas que se denominan ecuaciones cartesianas del subespacio. Ejemplo: Consideremos una variedad lineal L de R4 que tiene por base los vectores (1, 2, 0, 3) y (1, 3, 1, 0), si (x1, x2, x3, x4) es otro vector de la variedad lineal, ser combinacin lineal de los vectores de la base, y se verificar: 1 2 rango 0 3 y adems 1 1 0 2 3 Por lo tanto, la condicin para que el rango de la matriz considerada sea 2, es que los dos menores que resultan de orlar el anterior determinante con las filas tercera y cuarta sean iguales a cero, es decir: 1 1 x1 1 1 x1 2 3 x2 = 0 ; 2 3 x2 = 0 0 1 x3 3 0 x4 y desarrollando ambos determinantes obtenemos: 2 x1 + x2 5 x3 = 0 9 x1 3x2 + 5x4 = 0 que son las ecuaciones cartesianas de la variedad lineal y quieren decir que si (x1, x2, x3, x4) L tendrn que verificar dichas ecuaciones. Caracterizacin de Variedades Lineales mediante ecuaciones paramtricas Sea un espacio vectorial V de dimensin n y un subespacio L de dimensin r que tiene como base los vectores B = {e1, e2 , , er } cuyas coordenadas sern: los vectores de la variedad lineal L se caracterizan por que si x L existirn r escalares 1, 2, ..., r tales que x = 1e1 + 2e2 + + r er bien su expresin desarrollada: Pgina: 22 de 35

1 x1 3 x2 = 2 1 x3 0 x4

ei = ( ei1, ei 2 ,

, ein ) i = 1, 2, ..., r

Algebra para informtica (U.N.E.D.) x1 = 1e11 + 2e21 + ... + rer1 x2 = 1e12 + 2e22 + ... + rer2 ...............................................

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xn = 1e1n + 2e2n + ... + rern ecuaciones que caracterizan al subespacio L y se denominan ecuaciones paramtricas de la variedad lineal L. Resulta evidente que el nmero de parmetros de las ecuaciones paramtricas coincide con la dimensin del subespacio vectorial de procedencia. Como resumen podemos establecer que, dado un subespacio vectorial o variedad lineal L de dimensin r contenido en un espacio vectorial V de dimensin n, el subespacio vectorial est caracterizado por sus ecuaciones cartesianas, que sern n r ecuaciones homogneas linealmente independientes. Resolveremos el sistema, y la solucin consistir en expresar n r variables como combinacin de las restantes r variables. Si igualamos estas a r parmetros, obtenemos n variables como combinacin lineal de r parmetros que son las ecuaciones paramtricas. Recprocamente, para calcular las ecuaciones cartesianas o implcitas de la variedad lineal, a partir de las paramtricas, hay que llevar a cabo un proceso que se llama de eliminacin de parmetros. Eliminar los parmetros 1, 2, ..., r de un sistema de ecuaciones lineales, es hallar las relaciones que deben cumplir los coeficientes para que el sistema tenga solucin. O expresado de otra forma, considerando la expresin paramtrica como solucin de un sistema de ecuaciones lineales homogneas, buscar este sistema.

Ejemplo: Sea el subespacio L de R3 cuya ecuacin matricial es: x 1 2 0 1 0 Ax = x2 = = 0 1 3 2 0 x3 Como el rango de la matriz A es dos, y el nmero de incgnitas es tres, resulta: x1 + 2 x2 = 0 x1 + 3x2 + x3 = 0 que son las ecuaciones implcitas de la variedad lineal. Haciendo x2 = , es decir, parametrizando la coordenada x2 (como cualquier otra, pero solo una, pues n r es igual a uno en este caso), ser:

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) x1 = 2 x2 = R x3 = que son las ecuaciones paramtricas de la variedad lineal. Mtodos de eliminacin Mtodo matricial

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Las ecuaciones paramtricas de una variedad lineal son un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: x1 = x1(1, 2, ..., r) x2 = x2(1, 2, ..., r) ................................ xn = xn(1, 2, ..., r) cuya expresin matricial es A = x , donde y A es una matriz n r. Considerando el sistema de ecuaciones lineales en las incgnitas 1, 2, ..., r con los trminos independientes x1, x2, ..., xn, aplicando el teorema de Rouch-Frbenius, la condicin de compatibilidad resulta ser: rg[ A] = rg[ A x ] siendo [A| x ] la matriz ampliada de A con los trminos independientes x . Si rg[A] = r, existir una submatriz Ar r tal que |Ar r| 0, entonces la condicin analtica de la expresin rg[A| x ] = r la obtendremos obligando a que todos los menores obtenidos orlando a Ar r con una fila y una columna sean iguales a cero, como podemos adjuntar n r filas distintas, podemos enunciar: Si n ecuaciones paramtricas contienen r parmetros, la eliminacin de stos produce n r ecuaciones cartesianas. Veamos un ejemplo de este mtodo que es el ms seguro. El resto de los procedimientos constituyen artificios de clculo interesantes y podrn ser usados, cuidando de interpretar correctamente los resultados. Ejemplo: Sean las ecuaciones paramtricas: x1 = 1 + 2 x2 = 1 2 x3 = 21 2 x4 = 1 + 22 Escribindolas en forma matricial sern:

t = ( 1, 2 ,

, r ) y x t = ( x1 , x2 ,

, xn )

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) 1 1 x1 1 1 1 = x2 = x A = 2 1 2 x 3 1 2 x4

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es evidente que A es de rango 2 y que una submatriz de 2 2 tiene por determinante A2 2 = luego la condicin de compatibilidad ser: 1 1 x1 1 1 x 2 rg[A] = 2 = rg[A| x ] = rg 2 1 x 3 1 2 x 4 y eso implica: 1 1 x1 1 1 x1 1 1 x2 = 0 y 1 1 x 2 = 0 2 1 x 3 1 2 x4 que desarrolladas sern: x1 + 3x2 2 x3 = 0 3x1 x2 2 x4 = 0 ecuaciones cartesianas implcitas de la variedad. Mtodo de igualacin Ejemplo: Sean las ecuaciones paramtricas x1 = 1 2 x2 = 1 + 2 x3 = 21 + 2 Despejamos uno de los parmetros, por ejemplo 1, ser: 1 1 = x1 + 2 = x2 2 = (x3 2) 2 que podemos escribir: x1 + 2 = x2 2 1 o tambin x 2 2 = ( x 3 2 ) 2 1 2 = ( x2 x1 ) 2 2 = 2 x2 x3 1 1 = 2 0 1 1

que no contiene 1. Por tanto, igualando ambas expresiones tenemos: 1 (x2 x1) = 2x2 x3 2 Pgina: 25 de 35

Algebra para informtica (U.N.E.D.) y operando, resulta: x1 3x2 2x3 = 0 que es la ecuacin cartesiana implcita de la variedad lineal. Mtodo de sustitucin

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Consiste en despejar un parmetro de la primera ecuacin e introducirlo en las restantes. Si eran n ecuaciones y r parmetros, tendremos ahora n 1 ecuaciones con r 1 parmetros. Continuando el proceso llegamos a tener n r ecuaciones sin parmetros. Estas ltimas serian las ecuaciones implcitas cartesianas de la variedad. Mtodo de reduccin Consiste en aplicar el mtodo de Gauss al sistema de ecuaciones en los parmetros, hasta conseguir un nuevo sistema de ecuaciones sin parmetros.

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Capitulo 6. Diagonalizacin de matrices. Formas cuadrticas.Conocimientos previos: Aplicacin lineal: Dados dos espacios vectoriales E y F sobre el cuerpo K, se llama aplicacin lineal u homomorfismo entre E y F, cuando para cualquier par de vectores u, v y todo escalar se cumple: F(u+v) = f(u) + f(v) F(u) = f(u) Endomorfismo: Aplicacin de tipo f: EE Matriz regular: Se llaman matrices singulares a aquellas cuyo determinante es cero, y regulares si es distinto de cero. Relacin de Equivalencia. Clases de Equivalencias:

Matriz simtrica y antisimtrica: Matriz simtrica es una matriz cuadrada en la que los elementos situados simtricamente respecto de la diagonal principal son iguales. Matriz antisimtrica es una matriz cuadrada que tenga los elementos situados simtricamente respecto de la diagonal principal iguales y con signo contrario, siendo los elementos de sta nulos.

Diagonalizacin de MatricesIntroduccin En este captulo se analizan las expresiones analticas de un mismo endomorfismo respecto de diferentes bases, en este caso las matrices correspondientes son semejantes entre si, y todas ellas pertenecen a una clase de equivalencia. Se busca que en esta clase exista una matriz diagonal y en su caso la matriz asociada al cambio de base, respecto a la cual la expresin analtica del endomorfismo es diagonal. Como se ver, no siempre todas las matrices de una clase son semejantes a una matriz diagonal. En este captulo se estudian las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz sea diagonalizable. Valores y vectores propios de una aplicacin lineal Sea f : V V una aplicacin lineal sobre el espacio vectorial V. Se define: Autovalor o valor propio de f es todo escalar tal que existe un vector u V no nulo para el que f( u ) = u . Autovector o vector propio de f, correspondiente al autovalor es todo vector u no nulo de V tal que f( u ) = u . Valores y vectores propios de una matriz cuadrada Al ser toda matriz cuadrada A representante de una aplicacin lineal f : V V, se define valor y vector propio de A el valor y vector propio de la aplicacin asociada. En forma matricial: autovalor de A X 0 tal que AX = X X 0, X autovector de A R tal que AX = X Pgina: 27 de 35

Algebra para informtica (U.N.E.D.) Ecuacin caracterstica

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Para una matriz cuadrada A, los vectores propios asociados al valor , son las soluciones de la ecuacin matricial: (A I)X = 0 La ecuacin: | A I | = 0 se llama ecuacin caracterstica de A, sus soluciones son los autovalores de A. El polinomio en : | A I | se llama polinomio caracterstico de A. Subespacios propios Para cada autovalor de de A, el conjunto X de autovectores asociado se obtiene resolviendo el sistema resultante de la ecuacin: (A I)X = 0. Para cada ese conjunto es un subespacio vectorial que se llama subespacio propio asociado a . Se denota L, y su dimensin es: dm L = n rg(A I) donde n = orden de A. Proposicin: Si 1, 2, ..., p son autovalores de una matriz de orden n, distintos dos a dos, el sistema {X1, X2, ..., Xn}, donde Xi es vector propio asociado a i, es un sistema libre. Si adems p = n, el sistema es una base del espacio vectorial V de definicin de la aplicacin asociada a A. Semejanza de matrices Dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz P regular, tal que: B = P-1AP (P = matriz de paso) Algunas propiedades de inters: Si A y B son semejantes |A| = |B|. Si A y B son semejantes, tambin lo son An y Bn. Las matrices asociadas a un endomorfismo en diferentes bases, son semejantes. Si A y B son semejantes, tienen la misma ecuacin caracterstica y, con ello, los mismos autovalores con el mismo orden de multiplicidad en ella. Diagonalizacin de matrices Una matriz cuadrada A de orden n se dice diagonalizable si, y solo si, es semejante a una matriz D diagonal. Es decir, si existe una matriz P, regular, tal que D = P-1AP. Diagonalizar una matriz es el proceso de encontrar la matriz D diagonal semejante y la matriz P de paso. Teorema de caracterizacin de matrices diagonalizables: Una matriz A de orden n, con nmeros reales, es diagonalizable si, y solo si, admite n vectores propios linealmente independientes. Esto sucede cuando: 1. La ecuacin caracterstica tiene n races reales (iguales o no). 2. El orden de multiplicidad de cada autovalor en la ecuacin caracterstica coincide con la dimensin del subespacio propio asociado.

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) Proceso de diagonalizacin. Su clculo

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Sea A matriz de orden n diagonalizable. Si 1, 2, ..., r, son los autovalores con ordenes de multiplicidad 1, 2, ..., r, respectivamente (1 + 2 + ... + r = n), entonces la aplicacin lineal f, de matriz asociada A, tiene tambin asociada en una cierta base la matriz diagonal D cuya diagonal principal es1

2

r

( 1 ,

, 1 , 2 ,

, 2 ,

, r ,

, r )

La matriz de paso P es la que tiene por columnas: Las 1 primeras, los vectores de una base del subespacio asociado a 1. Las 2 siguientes, los vectores de una base del subespacio propio asociado a 2, y as sucesivamente. Ese conjunto de vectores propios que forman las columnas de P son la base donde f tiene asociada la matriz D. Este proceso de diagonalizacin se llama por semejanza. Ejemplo: Dada la matriz 3 1 0 A = 1 2 1 0 1 3 calcularemos los valores propios, los vectores propios correspondientes, la matriz diagonal y la matriz de paso. La ecuacin caracterstica ser: 3 |A I| = 1 0 1 0 2 1 = (3 )[2 5 + 4] 1 3

cuyos autovalores son 1 = 1, 2 = 3, 3 = 4. Para calcular los vectores propios correspondientes a cada un de ellos, tenemos la ecuacin matricial (A I) = 0 , y siendo u1 u = u2 u3 resultar, para 1 = 1: 2 1 0 u1 1 1 1 u2 = 0 1 2 u3 0 2u1 u2 = 0 2u1 u2 = 0 0 u1 + u2 u3 = 0 u2 + 2u3 = 0 0 u2 + 2u3 = 0

u1 = , u2 = 2, u3 = ; R o bien escribiendo L1 = {(, 2, ), R}. La base de L1 ser (1,2,1). Para 2 = 3:

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) 0 1 0 u1 1 1 1 u2 = 0 1 0 u3

Unidad Didctica II 0 u2 = 0 0 u + u + u = 0 1 2 3 0

u1 = , u2 = 0, u3 = ; R o bien escribiendo L2 = {(, 0, ), R}. La base de L2 ser (1,0,1). Para 3 = 4: 1 1 0 u1 0 u1 + u2 = 0 u1 + u2 = 0 1 2 1 u2 = 0 u1 + 2u2 + u3 = 0 u2 + u3 = 0 0 1 1 u3 0 u2 + u3 = 0 u1 = , u2 = , u3 = ; R o bien escribiendo L3 = {(, , ), R}. La base de L3 ser (1,1,1). La matriz diagonal se compone colocando los autovalores en la diagonal de una matriz, con el resto de los trminos igual a 0, y la matriz de paso formando una matriz cuyas columnas son los las bases de cada uno de los vectores propios: 1 0 0 D = 0 3 0 0 0 4 1 1 1 P = 2 0 1 1 1 1

Para comprobar la correccin de la solucin debera verificarse que D = P-1AP. Matrices simtricas Si la matriz A es simtrica, en la diagonalizacin existen ciertas caractersticas: a) Los autovalores son todos reales. b) Verifican el teorema de caracterizacin de matrices diagonalizables. c) La base de vectores propios es ortogonal. Matriz ortogonal Dividiendo cada vector de la base ortogonal por su mdulo se obtiene una base ortonormal (ortonormalizacin). La matriz cuadrada que tiene por columnas (o filas) un sistema ortogonal se llama Matriz ortogonal y verifica: A ortogonal A' = A-1 Diagonalizacin ortogonal Toda matriz real y simtrica es ortogonalmente diagonalizable, es decir: A simtrica P ortogonal tal que D = P-1AP es diagonal Formas bilineales sobre un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Una forma bilineal sobre V es una aplicacin f : V V K, tal que: Pgina: 30 de 35

Algebra para informtica (U.N.E.D.) 1. f (u1 + u2 , v ) = f ( u1, v ) + f ( u2 , v ) 2. f ( u ,v1 + v2 ) = f ( u , v1 ) + f ( u , v2 )

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Si el cuerpo K = R (reales), la forma bilineal se dice real. Una forma bilineal se dice simtrica si f ( u , v ) = f ( v , u ) , u , v V . Una forma bilineal se dice alternada si f ( u , u ) = 0 , u V . (Esta definicin es equivalente a: f ( u , v ) = f ( v , u ) , u , v V ). Ejemplo: La aplicacin f:R2R2 R, que a cada par de vectores x = ( x1, x2 ) , y = ( y1, y2 ) le asigna el valor f ( x , y ) = f [ ( x1 , x2 ),( y1 , y2 )] = 3x1 y1 6 x1 y2 + 5x2 y1 + 4 x2 y2 es una forma bilineal sobre R2. Ntese que esta forma bilineal se puede expresar matricialmente poniendo: 3 6 y1 f ( x , y ) = [ x1 x2 ] 5 4 y2

Expresin matricial de una forma bilineal Sea f:VVR una forma bilineal sobre V de dimensin n, y sea B = {e1, e2 , , en } una base de V. Si u = ( x1, x2 , , x n ) , v = ( y1, y2 , , yn ) son las coordenadas de ambos vectores en la base B, la imagen f ( u , v ) puede expresarse: f ( u , v ) = [ x1 x 2

donde: Xt = matriz fila de las coordenadas de X en B. Y = matriz columna de las coordenadas de Y en B. A = matriz asociada a f en la base B. Cada aij de A en la base B verifica aij = f ( ei , e j ) ; i, j = 1, 2, ..., n Por tanto, una forma bilineal f en una base B queda determinada conociendo la imagen por f de cada par de vectores de B. Se dice que A es la matriz (de Gram) de la forma bilineal f en la base B. La correspondencia f A es un isomorfismo del espacio vectorial (V), de las formas bilineales sobre el espacio V de dimensin n, en el espacio vectorial Mn, de las matrices cuadradas n x n. Consecuencia: Una forma bilineal f de matriz asociada A es: Pgina: 31 de 35

an2

a11 a 21 xn ] a n1

a12 a 22

a1n y1 a2 n y2 = XtAY a nn y n

Algebra para informtica (U.N.E.D.) Simtrica si A simtrica Alternada si A es antisimtrica.

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Ejemplo: Sea f:R3 R3 R la forma bilineal definida por f((x1,x2,x3),(y1,y2,y3)) = 2x1y1 3x1y2 + x2y1 + 6x1y3 + 4x3y2 x3y3 La expresin matricial de f en la base cannica de R3 es: 2 3 6 y1 x 3 1 0 0 y 2 = XtAY 0 4 1 y 3

f((x1,x2,x3),(y1,y2,y3)) = x1

[

x2

]

La matriz A' de f en la nueva base ( u1, u2 , u3 ) , donde u1 = (2,0,0), u2 = (1,2,0) y u3 = (-3,1,1), ser: f (u1 , u1 ) A' = f (u2 , u1 ) f (u3 , u1 ) f (u1 , u2 ) f (u2 , u2 ) f (u3 , u2 ) f (u1 , u3 ) f ( u2 , u3 ) = f ( u3 , u3 ) 8 8 6 2 9 8 10 21 9

Cambio de base en una forma bilineal

Sea f : V V R una forma bilineal y B = {e1, e2 , , en } ; B' = {e '1 , e '2 , bases de V, tales que: e '1 = a11e1 + a12e2 + + a1n en = (a11, a12, ..., a1n) en B ................................................................................ e ' n = an1e1 + an2e2 +

, e 'n } dos

+ annen = (an1, an2, ..., ann) en B

Si A y A' son las matrices de f en las bases B y B', respectivamente, se verifica: A' = P tAP donde P es la matriz que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de B' expresadas en B. Es decir, a11 a 12 P= ... a1n Matrices congruentes Dos matrices A y B cuadradas del mismo orden se dicen congruentes si existe una matriz regular P tal que: A = PtBP Las matrices A y A' de una forma bilineal sobre dos bases diferentes, son congruentes. Pgina: 32 de 35 a 21 a 22 ... a2n ... a n1 ... a n 2 ... ... ... a nn

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Vectores conjugados respecto a una forma bilineal simtrica. Ncleo Dos vectores u , v son conjugados respecto una forma bilineal simtrica f, si: f (u , v ) = 0 Un vector u es conjugado con un subespacio S respecto de f si lo es con todos los vectores de S. u conjugado con S u conjugado con S f ( u , v ) = 0; v S

Si B es base de S, la anterior definicin es equivalente a: f ( u , v ) = 0; v B siendo B = base de S

Se llama ncleo de una forma bilineal simtrica f : V V R, el conjunto de vectores de V conjugados con todos los de V. N(f) = { u V tal que f ( u , v ) = 0; v V } Al ser f ( u , v ) = X t AY = 0 N(f) = {Y tal que AY = 0} Una forma bilineal simtrica se dice degenerada si N(f) = 0, es decir, cuando: rg(A) < n (n = dm V)

Formas cuadrticasDefinicin Sea V un espacio vectorial real y f : V V R una forma bilineal sobre V. Se llama forma cuadrtica asociada a f, la aplicacin q : V R definida por q( u ) = f ( u , u ) para todo u V Forma polar asociada a una forma cuadrtica De la definicin de forma cuadrtica se deduce que existe una sola forma cuadrtica asociada a una forma bilineal dada. El recproco no es cierto, existen diferentes formas bilineales asociadas a una forma cuadrtica. De todas ellas una sola es simtrica y se llama Forma polar de la forma cuadrtica. As, si q : V R es una forma cuadrtica, su forma polar est definida: 1 f : V V R tal que f ( u , v ) = [ q( u + v ) q( u ) q( v )] 2 Propiedades de las formas cuadrticas Si q : V R es la forma cuadrtica asociada a f : V V R; a) q( u ) = f ( u , u ) = 2 f ( u , u ) = 2 q( u ) b) q( q( 0 ) = 0 ) = 0 c) q( u + v ) = f ( u + v , u + v ) = q(u ) + q( v ) + f ( u , v ) + f ( v , u )

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) Formas cuadrticas definidas

Unidad Didctica II

En toda forma cuadrtica es q( 0 ) = 0 . Ahora bien, podra haber otros vectores u V tales que q( u ) = 0 . Una forma cuadrtica, q : V R se dice definida si q definida

[ q( u ) = 0 u = 0]

Expresin matricial de una forma cuadrtica Si f : V V R es una forma bilineal de matriz A en una base B, ser: f ( u , v ) = X t AY La forma cuadrtica asociada a f, en la misma base de V ser: q( u ) = f (u , u ) = X t AX Ahora bien, al existir diferentes formas bilineales asociadas a q, se define: Matriz de una forma cuadrtica la matriz de su forma polar asociada. Esta matriz ser, por lo tanto, simtrica. Cambio de base en una forma cuadrtica Si q( u ) = X t AX es la expresin de una forma cuadrtica en la base B, y es P la matriz que expresa en columnas las coordenadas de los vectores de una nueva base B' en B, la expresin de q en B' ser: q( u ) = X t AX siendo A' = P tAP Las dos matrices A y A' son, por tanto, congruentes. Por tanto, dos matrices cuadradas del mismo orden con congruentes si lo son de una misma forma cuadrtica en dos bases distintas. Diagonalizacin de una forma cuadrtica Diagonalizar una forma cuadrtica consiste en encontrar una base respecto de la cual la matriz sea diagonal. Su expresin, en esa nueva base, quedar reducida a una suma de cuadrados Proposicin: En toda forma cuadrtica q : V R existe alguna base de V donde la matriz asociada a q es diagonal. Rango y signatura de una forma cuadrtica El rango de una forma cuadrtica es el rango de su matriz rg(q) = rg(A) Signatura de una forma cuadrtica q : V R se llama al par (p, m) donde p es el nmero de elementos positivos que posee la diagonal de la matriz diagonal asociada a q, y m los negativos. Se designa sg(q) y se verifica: p + m = rg(q)

2 q( u ) = a11x12 + a22 x2 +

2 + ann xn

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Unidad Didctica II

Teorema de Silvester: El nmero de elementos positivos que hay en la matriz diagonal de cualquiera de las matrices diagonales asociadas a una forma cuadrtica dada, es el mismo. Tanto el rango como la signatura de una forma cuadrtica son invariantes expresada la forma en cualquier base. Proceso de diagonalizacin Hay diversas formas de diagonalizar una forma cuadrtica e incluso la misma matriz asociada diagonal no es nica. Las formas distintas son las mismas de la diagonalizacin de matrices simtricas. Clasificacin de las formas cuadrticas Sea q : V R forma cuadrtica, donde dmV = n. La forma cuadrtica puede ser: 1. Definida positiva. Si q( u ) > 0; u V , u 0. 2. Definida negativa. Si q( u ) < 0; u V , u 0. 3. Semidefinida positiva. Si q( u ) 0; u V , u = 0 tal que q(u ) = 0 . 4. Semidefinida negativa. Si q( u ) 0; u V , u 0 tal que q(u ) = 0 . 5. Indefinida. Si u1, u2 V tal que q( u1 ) > 0; q( u2 ) < 0 . Una forma cuadrtica puede clasificarse haciendo uso de su diagonalizacin y recordando que tanto el rango como la signatura son invariantes. As: 1. Definida positiva: sg(q) = (n, 0); rg(q) = n o bien, cuando todos los autovalores son positivos. 2. Definida negativa: sg(q) = (0, n); rg(q) = n o bien, cuando todos los autovalores son negativos. 3. Semidefinida positiva: sg(q) = (r, 0); rg(q) = r < n los autovalores son mayores que cero, con alguno de ellos cero. 4. Semidefinida negativa: sg(q) = (0, r); rg(q) = r < n los autovalores son negativos, con alguno de ellos cero. 5. Indefinida: Restantes casos. Los autovalores son positivos y negativos.

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Unidad Didctica III

Unidad Didctica III.Podemos distinguir dos partes, una donde se estudia el espacio Afn y el espacio Eucldeo, y una segunda parte entorno a la programacin Lineal. En la primera parte, adems de los vectores del espacio vectorial se estudian otras nociones como distancias, puntos, ngulos..., y esto nos permite llegar al espacio Afn y el espacio Eucldeo. La programacin Lineal y el Mtodo Simplex son un buen mtodo para aplicar los conocimientos adquiridos.

Captulo 7. El Espacio AfnConocimientos previos: Espacio vectorial: Ver tema 1. Base de un espacio vectorial. Base ortonormada. Funcin inyectiva y biyectiva: Isomorfismo Producto cartesiano Relacin de Equivalencia, Clase de Equivalencia Propiedad transitiva, reflexiva y simtrica.

Espacio afn Sea E un conjunto E = {P, Q, R, ...} cuyos elementos se llamarn puntos y sea V un K-espacio vectorial. Se dice que E es un espacio afn asociado a V, si se define una aplicacin: f:EEV tal que a cada par de puntos (P, Q) le haga corresponder un vector v V que se le denominar v = PQ (es decir: f(P,Q) = v = PQ ) y que verifique: 1 P E, v V ; Q E tal que f(P,Q) = v = PQ ) 2 f(P,Q) = 0 P = Q 3 P, Q, R E, tales que PR = PQ + QR f(P, R) = f(P, Q) + f(Q, R) La dimensin del espacio afn es la dimensin del espacio vectorial asociado. Se denota E2 el espacio de puntos en el plano asociado al espacio vectorial R2 sobre R. De igual forma, E3 es el espacio de puntos asociado al espacio vectorial R3 sobre el cuerpo R.

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Algebra para informtica (U.N.E.D.) Referencia afn

Unidad Didctica III

Sea E un espacio afn asociado al espacio vectorial V, de dimensin n. El conjunto R = {O, u1, u2 , , un } , donde O E y B = {u1, u2 , , un } es una base de V, se llama referencia afn de E. Un punto P E tiene de coordenadas en R las que el vector OP tiene en la base vectorial B. Es decir: P(p1, p2, ..., p3) en R OP = (p1, p2, ..., p3) en B En E2 la referencia usual es: R = {O, u1 , u2} ; donde O = (0,0); u1 = (1,0); u2 = (0,1) En E3 ser: R = {O, u1, u2 , u3} ; donde O = (0,0,0); u1 = (1,0,0); u2 = (0,1,0); u3 = (0,0,1); Ecuaciones de una recta Una recta es un subespacio de dimensin 1 en un espacio afn. Se determina por: a) Un punto y una direccin (vector de direccin de la recta). b) Dos puntos no coincidentes. Cada caso se hallara de la siguiente manera. Supongamos E2. a) Si el punto es P = (a, b) y la direccin d = (d1, d2), la recta r puede expresarse de las siguientes formas: Ecuacin vectorial: OX = OP + d ; donde x = (x, y) r. Ecuaciones paramtricas: x = a + d1 y = b + d2 Ecuacin continua: xa yb = d1 d2 Ecuacin cartesiana: Ax + By + C = 0; donde A = d2; B = d1; C = d2a d1b b) La recta que contiene los puntos P = (a, b) y Q = (c, d) es la recta que tiene como direccin d = PQ = (c a, d b). Se reduce al caso anterior. Si el espacio afn es E3 las ecuaciones sern similares con tres coordenadas. No tendra una expresin la ecuacin cartesiana, su correspondiente es la expresin de una recta como interseccin de dos planos. Posiciones relativas de dos rectas en E2 Sean las rectas r y s de direcciones respectivas d r = (u1, u2) y d s = (v1, v2): 1. Si d r = k d s u1 v1 = r y s paralelas. u2 v2

2. Si d r = k d s y adems P r es P s r y s coincidentes. Pgina: 2 de 22

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3. Si d r k d s r y s se cortan en un punto solucin del sistema de ecuaciones cartesianas de ambas. Si las rectas vienen expresadas por su ecuacin cartesiana, se verifica: Interseccin de dos rectas: Dadas dos rectas r y s cuyas ecuaciones generales son r : a1x + a2y + a0 = 0 y s : b1x + b2y + b0 = 0, y llamando M y M' a las matrices: a1 M= b1 a2 a1 y M ' = b b2 1 a2 b2 a0 b0

rg[M] = 2 r s consta de un solo punto (r y s son secantes). rg[M] = 1 y rg[M'] = 2 r s = y las rectas son paralelas. rg[M] = rg[M'] = 1 las rectas coinciden (son la misma). Interseccin de tres rectas: Dadas las siguientes rectas r, s y t, y llamando M y M' a las matrices que abajo se sealan r : a1x + a2y + a0 = 0 s : b1x + b2y + b0 = 0 t : c1x + c2y + c0 = 0 a1 M = b1 c1 a1 a2 b2 y M ' = b1 c1 c2 a2 b2 c2 a0 b0 c0

rg[M'] = 3 r s t = y forman tringulo o dos son paralelas. rg[M] = rg[M'] = 2 r s t consta de un solo punto. rg[M] = 1 y rg[M'] = 2 r s t = (son paralelas y no coinciden las tres) rg[M] = rg[M'] = 1 las tres rectas coinciden (son la misma). Haz de rectas de vrtice P Si las rectas r y s se cortan en un punto P = (a, b), la ecuacin r + s = 0 ; , R donde r y s representan las ecuaciones cartesianas respectivas, es la del conjunto de rectas de E2 que pasan por P (haz de rectas de vrtice P). Para cada valor de y real se obtiene una recta del haz. r P s

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Ejercicio: Hallar la recta t que es paralela a r y pasa por la interseccin de s1 y s2, siendo r, s1 y s2 las rectas de ecuaciones generales r : 3x + 2y + 5 = 0; s1 : x + 2y +1 = 0; s2 : 2x + y = 7 Solucin: La recta t, como pasa por la interseccin de s1 y s2, pertenece al haz que estas definen, luego: t : (x + 2y +1) + (2x + y 7) = 0 para un cierto R Dado que t y r son paralelas, tendrn proporcionales los coeficientes de x e y: 1 + 2 2 + = , luego = 4 y t : 3x + 2y = 9. 3 2 Ecuaciones de un plano Un plano es un subespacio de dimensin 2 en un espacio afn. Puede determinarse por: a) Un punto y dos vectores contenidos. b) Tres puntos no alineados. c) Un punto y un vector perpendicular (vector director o direccin del plano). Se hallara de la siguiente manera: a) Si el punto es P = (a, b, c), y los vectores contenidos: u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3); el plano puede expresarse por las siguientes ecuaciones: Ecuacin vectorial: OX = OP + u + v ; donde X R. Ecuaciones paramtricas: Si X = (x, y, z) x = a + u1 + v1 y = b + u2 + v2 z = c + u3 + v3 Ecuacin cartesiana: x a u1 y b u2 z c u3 v1 v2 = 0; A(x a) + B(y b) + C(z c) = 0 v3 u2 u3 v2 u ; B= 1 v3 u3 v1 u ;C= 1 v3 u2 v1 v2

donde A, B, C sern los menores: A=

b) El plano que contiene los tres puntos: P1 = (a1, b1, c1); P2 = (a2, b2, c2); y P3 = (a3, b3, c3) ser el plano que contiene como vectores, por ejemplo, PP2 y 1 PP , y contiene a un punto cualquiera de los tres dados. 1 3

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c) El plano que contiene al punto P = (a, b, c) y tiene como vector de direccin d = (A, B, C) tiene la ecuacin cartesiana A(x a) + B(y b) + C(z c) = 0 Las restantes ecuaciones pueden hallarse eligiendo tres puntos cualesquiera y procediendo como en el caso b) anterior.

Posiciones relativas de dos planos en E3 Sean los planos 1 y 2 de ecuaciones: 1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0; 2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Analizando las soluciones del sistema formado por ambas, utilizando el teorema de Rouch se obtiene: A1 B1 [M | N] = A2 B2 C1 | D1 C2 | D2

1. Si r[M] = r [M | N] = 1 Planos coincidentes Esto sucede cuando: A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 2. Si r[M] = 1; r[M | N] = 2 Planos paralelos Esto sucede cuando: A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 Es decir, cuando el vector de direccin coincide en ambos planos. 3. Si r[M] = r[M | N] = 2 Los planos se cortan segn una recta.

Ecuacin de una recta como interseccin de planos Toda recta en E3 puede expresarse como interseccin de dos planos. La recta: r x a y b z c = = d1 d2 d3

resolviendo dos de las tres igualdades, resulta: d2 ( x a ) d1 ( y b) = 0 r d3 ( x a ) d1 ( z c ) = 0 que es la ecuacin de dos planos cuya interseccin es la recta r. Haz propio de planos de eje la recta r Dados los planos: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Pgina: 5 de 22

Algebra para informtica (U.N.E.D.) que se cortan segn la recta r, la ecuacin:

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(A1x + B1y + C1z + D1) + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0; , Rrepresenta el conjunto de planos que contienen a r. Para cada par de valores , se obtiene uno de ellos. Ese conjunto se llama haz propio de planos de eje r.

r

Haz de planos paralelos a uno dado Dado un plano de ecuacin: Ax + By + Cz + D = 0 La ecuacin Ax + By + Cz + = 0, representa para cada R, un plano paralelo a . El conjunto de todos ellos se llama haz impropio de planos paralelo a .

Posicin relativa de tres planos en E3 Dados tres planos 1, 2, 3 de ecuaciones: 1 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 3 A3x + B3y + C3z + D3 = 0 Sus posiciones relativas se obtendrn del anlisis del sistema de matrices: A1 B1 C1 | D1 [M | N] = A2 B2 C2 | D2 A B C | D 3 3 3 3 a) Si r[M] = r[M | N] = 1 Los tres planos son coincidentes. b) Si r[M] = 1; r[M | N] = 2 Tres planos paralelos o dos planos coincidentes y el otro, paralelo.