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ALGEBRA LINEAL I

NUMEROS COMPLEJOS

MATRICES Y DETERMINANTES

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

MC JOSE FRANCISCO DURAN TORRES

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TEMA I: NUMEROS COMPLEJOS

Definicin y operaciones en el conjunto de los nmeros

complejos.Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales, cumplindose que . Los nmeros complejos representan todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales.

ESTRUCTURA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Nmeros

Complejos Reales

Racionales

Enteros

Naturales

Uno

Primos

Compuesto

Cero

Negativos

Fraccionarios

Fraccin

propia

Fraccin

impropia

Irracionales

Algebraicos

irracionales

Trascendentes

Imaginarios

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Entero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_fraccionariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_propiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_propiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_impropiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_impropiahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraicohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraicohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendentehttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario

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Definicin. Llamamos conjunto de los nmeros complejos y lo denotamos con la

letra al conjunto de los pares de nmeros reales en el cual definimos las

siguientes operaciones:

Suma.

Multiplicacin.

En el nmero complejo ,a b llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la

suma y producto de pares no est definida en 2 .

Dos propiedades que cumplen los pares de nmeros reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad. , ,a b c d a c b d Multiplicacin por un escalar. ( , ) ( , )a b a b

Donde .

Ejemplo. Dados 2,1 y 0, 3 , hallar:

a) 2,1 0, 3 2 0,1 ( 3) 2, 2

b) 2, 1 0, 3 2(0) 1( 3), 2( 3) 1(0) 3, 6

c) 2,1 0, 3 2 1,1 3, 6 2, 2 5, 8

Definimos el conjunto de los nmeros complejos de la siguiente manera:

Donde i denota la unidad imaginaria, es decir

POTENCIAS i

Potencias de la Unidad Imaginaria:

4

Ejemplo:

Para encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria i cogemos su exponente, y lo dividimos entre 4, y el resto siempre que va a se menor que 4 , ser el valor que buscamos.

Ejemplo:

EL PLANO COMPLEJO O DIAGRAMA DE ARGAND

Como los nmeros complejos son pares de nmeros reales podemos efectuar

una representacin de los mismos mediante el plano 2 (Grfica 1) En esta

representacin se le dice eje real (Re) al eje de las x y eje imaginario (Im) al

eje de las y .

EJEMPLO: La representacion de los complejos Z= 3 + 5i, Z= -3-5i , Z= 3- 5i,

tiene las siguientes formas:

5

O bien, Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo

(a, b).

REPRESENTACION BINOMICA O CARTESIANA

Un nmero complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del nmero complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias

maneras, como se muestra a continuacin:

Forma cartesiana ( a , b ) Conjugado de un nmero complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por

ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como ) es un nuevo nmero

complejo, definido as:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

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Con este nmero se cumplen las propiedades:

Esta ltima frmula es el mtodo elegido para calcular el inverso de un nmero

complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Ejemplo. Si , entonces , y si ,

entonces .

EL PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS

EJEMPLO:

( 5 + 2 i) ( 2 3 i) =

=10 15i + 4i 6 i2 = 10 11i + 6 = 16 11i

Ejemplo. Si y ,

halle

sO SOLUCION:

EJEMPLO:

( 3+5i ) ( 5+3i ) ( 2-i ) = 15+9i+6-3i+25i+15i +10i-5t = 34+64i

7

( 3-2i ) ( 2+i ) ( 1-i ) = ( 6+3i-4i-2i ) ( 1-i ) = ( 8-i ) = 8-8i-i+i = 7-9

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

EJEMPLO

EJEMPLO

ACTIVIDAD 1

I) Calcula las siguientes potencias de i en tu cuaderno.

II) CALCULA LAS SIGUIENTES DIVISIONES EXPRESANDO LOS RESULTADOS EN FORMA BINOMICA O CARTESIANA

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III) Exprese los siguientes complejos en la forma a +bi:

a)

b)

c)

IV) Calcule:

(a) 4ni , (b) 4 1ni , (c) 4 2ni , (d) 4 3ni , (a) 3i , (b) 4i , (c) 5i , (d) 1

i , (e)

2

1

i.

V) Resuelva la ecuacin ( 2 ) 3i z i .

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VALOR ABSOLUTO O MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO

Sea ( , )z a b a bi un nmero complejo cualquiera. Llamaremos mdulo

del nmero complejo z , al nmero real dado por 2 2a b y lo

denotaremos por z . El mdulo se interpreta como la distancia al origen

del nmero z .

EJEMPLO

Si ,entonces

Aqu no va la i

Observar que la i no va dentro la raz.

3.2 Propiedades.

1. |z| = 0 ==> z = 0 2. |-z| = |z| 3. |z| = |z|

4. |z1 + z2| < |z1| + |z2| (Llamada propiedad triangular).

5. |z1| - |z2| < |z1 - z2| 6. |z1 z2| = |z1| |z2| 7. Si c C R, |cz| = |c| |z|, donde |c| es el valor absoluto de c.

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ARGUMENTO DE UN NMERO COMPLEJO

Por otra parte, llamaremos argumento del nmero complejo z a bi , al ngulo

comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a z . El argumento

de z se denota por arg( )z y se calcula mediante la expresin:

arg( ) arctanb

za

.

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al nico valor tal que , y se

denota

EJEMPLO

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/08/complejos3.html

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Sean z1 = (1,1) y z2 = (1,1), y vamos a calcular sus mdulos y sus

argumentos:

Pero esto es el resultado de la calculadora, nosotros sabemos que

arctg 45 + 180k.

Ahora el problema es determinar el valor de k para cada nmero, pero eso no

es difcil:

z1 = (1,1) est en el cuarto cuadrante, por tanto el argumento debe ser un

ngulo de dicho cuadrante, y eso se tiene para k=0, o sea 45o.

z2 = (1,1) est en el segundo cuadrante, por tanto el argumento debe ser un

ngulo de dicho cuadrante, y eso se tiene para k=1, o sea 135o.

Por otra parte es evidente que la diferencia entre el argumento de un nmero

complejo y el de su opuesto debe ser 180o.

Forma trigonomtrica y polar de un nmero complejo

La forma trigonomtrica de un nmero complejo se establece observando el tringulo amarillo

de la Figura 3:

Grfica 3: Forma trigonomtrica de un nmero complejo.

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En este caso se tiene que ( , )r z x y y que 1arg( ) tany

zx

.

Luego:

sin sin

cos cos

yy r

r

xx r

r

Por lo tanto:

( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i

Que es la forma trigonomtrica del nmero complejo

EXPRESIN DE UN NMERO COMPLEJO

EN FORMA POLAR .

La forma polar de un nmero complejo es

z = r

|z| = r es el mdulo.

arg(z) = es el argumento.

Cambio de forma binmica a polar y viceversa:

Cambio de binmica a polar Cambio de polar a binmica

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ACTIVIDAD 2

1) Escribe en las formas polar y trigonomtrica, los conjugados y los

opuestos de:

1) 4 + 4i

2)2 + 2i

R:

3)

R:

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4)

R:

5). Escribe en forma polar los siguientes nmeros complejos:

a) 1 + i

R 2,60

b) 3+ i

R: 2,30

c) 1 + i

R: 2,135

d) 5 12i

R: 13,292 37'

e) 3i

R: 3,90

f ) 5

R: 5

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EJEMPLOS: PASAR A LA FORMA POLAR Y TRIGONOMTRICA:

z = 260 = 2(cos 60 + i sen

60)

z = 2120

=2(cos 120 + i sen 120)

z = 2240

=2(cos 240 + i sen 240)

z = 2300

=2(cos 300 + i sen 300)

z = 2

z = 20

=2(cos 0 + i sen 0)

z = 2

z = 2180

=2(cos 180 + i sen 180) z = 2i

z = 290

=2(cos 90 + i sen 90)

z = 2i

z = 2270

=2(cos 270 + i sen 270)

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z = 260 = 2(cos 60 + i sen

60)

z = 2120

=2(cos 120 + i sen 120)

z = 2240

=2(cos 240 + i sen 240)

z = 2300

=2(cos 300 + i sen 300)

PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Si tenemos dos nmeros complejos no nulos

z = |z| (cos(1) + i sen(1)), w = |w| (cos(2) + i sen(2)) .

y los multiplicamos, obtenemos que

zw = |z| |w| (cos(1) + i sen(1)) (cos(2) + i sen(2)) =

= |zw| [(cos(1) cos(2) sen(1) sen(2)) + i(sen(1) cos 2 +

cos(1) sen(2))] =

= |zw| (cos (1 + 2) + i sen (1 + 2)) .

Es decir: para multiplicar dos nmeros complejos se multiplican sus mdulos y se suman sus argumentos.

Divisin de complejos en forma polar

La divisin de dos nmeros complejos en forma polar es otro complejo en

forma polar cuyo mdulo es el cociente de los mdulos y el argumento la

diferencia de los argumentos de los respectivos complejos

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Teorema.PNG

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En forma polar seria

Ejemplo

Ejemplo: dividir 15 32 por 3 25

Frmula de De Moivre Si z es un complejo no nulo, es un argumento de z y n es un nmero entero, se verifica que

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, o bien

zn = |z|n (cos(n) + i sen(n)), y, en particular, n Arg(zn).

Ejemplo 2.11. Aunque ya es conocido, veamos cmo podemos aplicar la frmula de De Moivre para calcular cos(2x), con x real.

Utilizando que cos(x) + i sen(x) es un nmero complejo de mdulo uno, la

frmula de De Moivre nos dice que

cos(2x) + i sen(2x) = (cos(x) + i sen(x))2

= cos2(x) + (i sen(x))2 + 2i cos(x) sen(x)

cos2(x) sen2(x) + 2i cos(x) sen(x).

Igualando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria obtenemos que

cos(2x) = cos2(x) sen2(x) y que sen(2x) = 2 cos(x) sen(x).

Ejemplo: Si

, entonces

ACTIVIDADA 3

1) Encuntrense los valores de que verifican la

identidad

FORMULA DE EULER

la identidad de Euler

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Esto se basa en las siguientes series

La serie de Taylor de e x es:

Son similares serie de Taylor para sen () y cos ():

y

Ahora simplificar y agrupar todos los trminos reales juntos y agrupar todos los

trminos imaginarios juntos. Se tiene:

FORMA EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como frmula de Euler:

para .

Esto nos permite escribir un nmero complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cmoda para expresar productos y cocientes ya que slo hay que tener en cuenta las propiedades de la funcin exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes

enteros se tiene .

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Esto nos permite dar una nueva expresin para el inverso de un complejo no nulo en la

forma

Races n-simas complejas:

1

=

Donde r es el valor absoluto de Z Y = arg(Z). Desarr

Desarrollo

. . .

. . .

Es bueno notar tambin que todas las races n-simas de tienen el mismo mdulo:

. . .

Esto significa que todas esas races son nmeros complejos cuya representacin grfica en el plano

cartesiano est en el crculo de radio . Por ejemplo, si

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Se observa que las 3 races estn sobre el crculo de radio 3. Adems, si se unen

los extremos de , y mediante segmentos de recta, se obtiene un tringulo

equiltero inscrito en el crculo.

Si se representan las races n-simas de un nmero complejo, y se unen los

puntos consecutivos mediante segmentos de recta, se obtiene un polgono regular.

Una manera bastante usada para abreviar la notacin de un nmero complejo en forma polar es la

siguiente: Si , se escribe:

cis

Por ejemplo, se escribe cis

La multiplicacin y la divisin de nmeros complejos tambin se facilita con la notacin en forma

polar: Si cis y cis , con , entonces:

cis y cis

Ejemplo:

Sean

cis y cis .

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Entonces:

cis cis

cis cis

Ejercicio: Hallar las races cbicas de 8. Resolucin: El mtodo descrito permite calcular races nicamente en la forma mdulo-argumental. Se debe escribir el nmero 8 en dicha forma:

Como la parte real de 1 es positiva el valor adecuado es = 0. Calculando los valores precisos:

As, las races cbicas son las que tienen mdulo igual a 2 y argumento 0 + 120k, donde k puede tomar los valores 0, 1 y 2. Se tienen pues las tres races:

20 = 2(cos 0 + i sen 0) = 2(1 + 0i ) = 2

Hallar las races cuartas de 2 + 2i . Resolucin: En primer lugar se calcula el mdulo y el argumento de 2 + 2i :

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Dando a k los valores 0, 1, 2 y 3 se obtienen las cuatro races cuartas de 2 + 2i, que son:

FIN