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El equipo que llevo a cabo esta revista está

conformado por:

Gabriela Araujo (Escritora)

Sandy Guarcax (Editora y escritora)

Nicole Macías (Escritora)

Alma Real (Escritora)

Comentario y sugerencias a

mxn@gmail.com

¡ESPERA NUESTRA

PRÓXIMA EDICIÓN!

Contenido Pág

.

Entrevista con una matriz …………………………………………… 3

Operaciones con matrices …………………………………………… 5

Algebra matricial …………………………………………… 8

La inversa de una matriz …………………………………………… 10

Determinantes …………………………………………… 14

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Por: Gabriela Araujo.

Editora: Sandy Guarcax

Muchas veces nos preguntamos, ¿Qué es ser una matriz? ¿Qué hace? ¿Cómo son sus compañeros?

En esta entrevista, nos encargaremos de responder sus preguntas pues

platicamos con una matriz que nos dio una explicación general sobre

ciertos temas.

1. ¿Qué representa ser una matriz? Una matriz representa un arreglo rectangular de números llamados

entradas o elementos.

2. ¿Podría darnos un ejemplo de una matriz? Sí, este es un ejemplo de una matriz:

El tamaño de una matriz es la descripción de los números de

renglones y las columnas que tiene. Una matriz se llama m X n si tiene

m renglones y n columnas. Si una matriz es de 1Xn se llama matriz

renglón y una matriz de nX1 se llama matriz columna.

3. Oh, ok, entiendo. En algunas ocasiones he observado que hay matrices que las escriben como aij, ¿a qué se refieren con esto?

Sí, tienes razón. La notación de doble subíndice Indica la entrada de

la matriz en el renglón i y la columna j denotándola como aij. Por

ejemplo:

Entonces a13=-1 y a22= 5. Por tanto una matriz A se puede denotar

mediante [aij] o [aij] mxn si es importante especificar el tamaño de A.

4. En base a la explicación que nos ha dado, ¿Cuál sería entonces la representación de una matriz general A de m X n? Buena pregunta, la representación general se vería algo como esto:

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Ahora, si las columnas de A son los vectores a1, a2…….. an, entonces A

se puede representar como

Si los renglones de A son A1, A2,…, Am, entonces A se puede presentar

como

5. Si el número de renglones y columnas fuera el mismo, ¿la matriz tendría algún nombre especial? ¿Existen algunas otras matrices que tengan nombres especiales? Las entradas diagonales de A son a11, a22, a33, …, y si m=n entonces A

es una matriz cuadrada.

Una matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales sean todas cero

es una matriz diagonal.

Una matriz diagonal cuyas entradas sean todas iguales es una matriz

escalar.

Si el escalar en la diagonal es 1, la matriz escalar es una matriz

identidad.

Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y si sus entradas

correspondientes son iguales.

6. Muchísimas gracias por la entrevista concedida. Creo que tanto yo como todos los lectores hemos aprendido más sobre las matrices. Gracias a ustedes, para mí ha sido un gusto compartir este tiempo y

dar a conocer las matrices de una forma más clara.

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Algunos conceptos Suma de matrices: para generalizar la suma de vectores, se define la suma

de matrices por componentes. Si A= [aij] y B= [bij] son matrices de m x n, su

suma A+B es la matriz de m x n que se obtiene al sumar las entradas

correspondientes. Por tanto: A+B= [aij + bij]

Diferencia de matrices: Si A y B tienen el mismo tamaño entonces A-B= A+

(-B)

Multiplicación por un múltiplo escalar: Si A es una matriz m x n y c es un

escalar, entonces el múltiplo escalar cA es la matriz m x n que se obtiene al

multiplicar cada entrada de A por c. De esta manera se tiene cA= c[aij]=

[caij]

Multiplicación de matrices: Si A es una matriz de m x n y B es una matriz de

n x r, entonces el producto C=AB es una matriz de m x r. La entrada (i, j) del

producto se calcula del modo siguiente: cij= a1j b1j + ai2 b2j +…+ ain bnj

Note que A y B no tienen que ser del mismo tamaño. Sin embargo, el número

de columnas de A debe ser igual al número de renglones de B. Si escribe

en orden los tamaños de A, B y AB, podrá ver antes de hacer cálculo

alguno, pues el número de renglones de AB es igual al número

de renglones de A, mientras que el número de

columnas de AB es igual que el número de

columnas de B.

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En base a los conceptos proporcionados realice la operación indicada.

Sea

Realice:

1. A+B

2. A*B

3. 5A

*Si alguna de las operaciones no puede realizarse indique el por qué.

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Potencias de matrices: Cuando A y son dos matrices de n x n, su producto

AB también será una matriz de n x n. Un caso especial ocurre cuando A =

B. Si A es una matriz cuadrada y r y s son enteros no negativos, entonces.

1. ArAs = Ar+s

2. (Ar)s= Ars

Traspuesta de una matriz: La traspuesta de una matriz A de m x n es la

matriz AT de n x m que se obtiene al intercambiar los renglones y columnas.

Esto es: la i-ésima columna de AT es el i-ésimo renglón de A para toda i.

Matriz simétrica: una matriz cuadrada A es simétrica si AT = A.

Intenta escribir una matriz cualquiera y luego escribe su matriz traspuesta:

¿Es la siguiente matriz simétrica?

Respuesta: Sí es simétrica

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Algunos conceptos Propiedades algebraicas de la suma y multiplicación escalar

matriciales:

Sean A,B y C matrices del mismo tamaño, y sean c y d escalares,

entonces…

a) A+B=B+A conmutativa

b) (A+B)+C=A+(B+C) asociativa

c) A+0=A

d) A+(-A)=0

e) c(A+B)=cA+cB distributiva

f) (c+d)A=cA+dA distributiva

g) c(dA)=(cd)A

h) 1A=A

La propiedad de asociatividad permite sin ambigüedades combinar la

multiplicación por un escalar y la suma sin paréntesis. Si A,B y C son

matrices del mismo tamaño, entonces…

(2A+3B)-C = 2A+(3B-C)

…Por lo tanto simplemente puede escribirse 2A+3B-C. Entonces si A1,

A2,…,Ak son matrices del mismo tamaño y c1,c2,…,ck son escalares puede

formarse una combinación lineal

Se puede definir espacio generado por un conjunto de matrices

como el conjunto de todas las combinaciones lineales de las

matrices.

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La independencia lineal también tiene sentido para matrices, se dice

que las matrices A1, A2,…,Ak del mismo tamaño son linealmente

independientes si la única ecuación tiene una solución…

C1A1+c2A2+…+ckAk=0

Es la trivial c1=c2=…=ck=0 Si no hay coeficientes triviales que

satisfagan entonces A1, A2,…,Ak se llama linealmente dependiente

Propiedades de la multiplicación de matrices:

- Sean A, B y C matrices cuyos tamaños son tales que pueden

realizarse las operaciones indicadas y sea k un escalar entonces…

a) A(BC)=(AB)C asociativa

b) A(B+C)=AB+AC distributiva izquierda

c) (A+B)C=AC+AB distributiva derecha

d) k(AB)=(kA)B=A(kB)

e) ImA=A=AIm, si A es m x n identidad multiplicativa

Ejemplo

Propiedades de la transpuesta

- Sean A, B y C matrices cuyos tamaños son tales que pueden

realizarse las operaciones indicadas y sea k un escalar entonces…

a) (AT)T=A

b) (A+B)T=AT+BT

c) (kA)T=(kAT)

d) (AB)T=BTAT

e) (Ar)T=(AT)r

para todos los enteros r no negativos

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Ejemplo

Por: Alma Lucía Real Edición: Sandy Guarcax

Los mejores consejos para reconocer, resolver y aprender más acerca de la inversa una matriz.

Seguramente que en algún momento de tu vida te has cruzado con una

matriz y te preguntaste ¿Será que esta matriz es invertible?, pero por la

falta de conocimiento no lo has podido determinar, pero ahora con

nuestra ayuda podrás encontrar la inversa de cualquier matriz que se

atraviese. Para eso lo primero que debes hacer es saber que es la inversa

de una matriz.

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1. Lo primero que debes de identificar es que si la matriz que te está

causando problema es una matriz cuadrada, es decir, tiene un

tamaño , ya que solo de esta manera podrás resolverla.

2. Ahora debes conocer a la matriz inversa

Si es una matriz de , una inversa de es una matriz de

con la siguiente propiedad

Donde es la matriz identidad. Si tal existe, entonces es

invertible

Debes de tomar en cuenta que si es invertible, entonces su

inversa es única.

3. Ya conoces a la inversa de una matriz, pero ¿Cómo saber si una matriz es invertible?, a continuación te lo indicamos.

Si

, entonces es invertible si , en cuyo caso

Si , entonces no es invertible.

4. ¿Qué más debes de saber acerca de las matrices invertibles?

Estas son algunas de las propiedades más importantes de las

matrices invertibles:

a. Si es una matriz invertible, entonces es invertible y

b. Si es una matriz invertible y es un escalar distinto de cero,

entonces es una matriz invertible y

c. Si y son matrices invertibles del mismo tamaño, entonces

es invertible y

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d. Si es una matriz invertible, entonces es invertible y

e. Si es una matriz invertible, encontes es unvertible para todo

entero no negativo y

5. Otro concepto a tomar en cuenta son las matrices elementales…

¿Qué es una matriz elemental?

Una matriz elemental es aquella matriz que puede obtenerse al

realizar una operación elemental con renglones sobre una matriz

identidad.

Cada matriz elemental es invertible y su inversa es una matriz

elemental del mismo tipo.

6. Por último te presentamos el teorema fundamental de las matrices

invertibles, para que siempre lo tengas presente.

Sea una matriz de . Los siguientes enunciados son

equivalentes:

a. es invertible.

b. tiene un asolución única para

todo en .

c. tiene sólo la solución trivial.

d. La forma escalonada reducida por

renglones de es .

e. es un producto de matrices

elementales.

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TIP EXTRA

Existe otra forma para determinar la inversa, este es el método de Gauss-

Jordan:

Es posible realizar operaciones con renglones sobre e simultáneamente al construir una “matriz superaumentada”, esto es . Si es equivalente por renglones a , entonces operaciones

elementales con renglones producirán

Ahora que ya sabes más acerca de la inversa de una matriz ya puedes

responder esa pregunta que te hacías, si una matriz es invertible o no,

prueba tus habilidades y conocimiento con los siguientes ejercicios.

1. Encuentra la inversa de

2. Demuestra que es la inversa de

3. Use la inversa de la matriz de coeficientes para resolver el sistema

lineal

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Algunos conceptos

El determinante de una matriz A es el escalar denotado por |A| o det A.

*Está definido solamente para matrices cuadradas.

El determinante de una matriz A…

1X1

Si A = [a], su determinante está dado por |A| = a

Ejemplo

A = [-5]

|A| = det A = -5

2X2

Si A =

entonces su determinante es |A| = a11a22 – a21a12

Ejemplo

B

|B| = det A = (4 x 6) - (-3 x -1) = 24 – 3 = 21

3X3

Método de las diagonales

Para calcular el determinante de una matriz de 3 x 3 utilizaremos un método que sólo es válido para matrices de este orden. Este método, análogo al

método para calcular el determinante de una matriz de 2 x 2.

Este consiste en:

1. copiar las primeras dos columnas de A a la derecha de la matriz

2. Se toman los productos de los elementos de las 6 diagonales. Los

productos de las diagonales descendentes se toman con signo + y

los productos de las diagonales ascendentes se toman con signo –.

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Ejemplo

c

=

det C = (2+0+0)-(0-15-16) = 2-(-31) = 33

nxn Expansión de Laplace

Esta consiste en la expansión por cofactores a lo largo de un renglón o de

una columna.

Se define el cofactor (i, j) de A como Cij = (–1)i+j detAij, donde Aij es la

submatriz de A obtenida mediante la eliminación del renglón i y la

columna j. Para cualquier matriz cuadrada A, detAij se denomina menor-

(i, j) que A.

El determinante de cualquier matriz A está dado por:

|A| = det A = (expansión por cofactores a lo largo del i-ésimo

renglón) ó |A| = det A = (expansión por cofactores a lo largo

de la j-ésima columna).

Ejemplo

C

Renglón 1:

det C = a11C11 + a12C12 + a13C13

Cofactores:

C11 = (-1)1+1 det

= 17

C12 = (-1)1+2 det

= 4

C13 = 0

det C = (1)(17) + (4)(4) + 0 = 33

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IMPORTANTE

Es conveniente utilizar el teorema de la expansión de Laplace cuando la

matriz contiene un renglón o columna con varios ceros.

TEOREMA

El determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas

sobre su diagonal principal. Es decir, si A = [aij] es de n x n, entonces

det A = a11a22a33…ann.

Propiedades de los determinantes

Sea A una matriz cuadrada.

a. Si A tiene un renglón (o columna) cero, entonces det A = 0.

b. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (o columnas) de A,

entonces det B = – det A.

c. Si A tiene dos renglones (o columnas) idénticos,entonces det A = 0.

d. Si B se obtiene al multiplicar un renglón (o columna) de A por un

escalar k, entonces det B = k det A.

e. Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (columna) de

C sea la suma de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces det

C = det A + det B.

f. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro

renglón (columna), entonces det B = det A.

Ejemplo

det E = 1 x 45 x 33 = 1485

det C x 5 x 9 = 1485

det C = 1485 / 45 = 33

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Calcule el determinante de

Respuesta: detA=5

Regla de Cramer

Esta regla proporciona una fórmula para encontrar la solución de ciertos

sistemas de n ecuaciones lineales con n variables. Completamente en

términos de determinantes.

Para una matriz A de n x n y un vector b en IRn, denotemos como Ai(b) la

matriz obtenida al reemplazar la i-ésima columna de A por b. Sea A una

matriz invertible de n x n y sea b un vector en IRn. Entonces, la única

solución del sistema Ax = b está dada por

para i = 1, 2, …,n

Ejemplo

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Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema

x + y – z = 1

x + y+ z = 2

x – y = 3

Históricamente los determinantes precedían a las matrices, un hecho

curioso a la luz de la forma como se enseña el álgebra lineal en la

actualidad, con las matrices antes que los determinantes.

Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos

XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las

propiedades de los determinantes. La mayoría de los

historiadores coinciden en afirmar que la teoría de

los determinantes se originó con el matemático

alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien

fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial

e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693

con relación a los sistemas de ecuaciones lineales

simultáneas. No obstante hay quienes creen que el

matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos

10 años antes.

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