puntos criticos en funciones racionales

CARACAS, OCTUBRE 2011

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA DE MATEMÁTICAS CENTRO LOCAL METROPOLITANO

“CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS, DE FUNCIONES RACIONALES POLINÓMICAS, SIN LA UTILIZACIÓN DEL ANÁLISIS DIFERENCIAL”

INFORME DE PASANTÍA PRESENTADO COMO REQUISITO PARA OPTAR AL TÍTULO DE:

LICENCIADO EN MATEMÁTICA

MENCIÓN ANÁLISIS NUMÉRICO

Autor. Tcnel. Guillermo González Hernández

Tutor. Lic. Alvaro Stephens

ii

Alvaro

Rectángulo

Alvaro

Rectángulo

iii

RESUMEN

El presente trabajo tiene por finalidad calcular máximos y mínimos (valores extremos) de funciones racionales polinómicas de la forma:

f (x) =

Siendo: y funciones algebraicas racionales enteras, llamadas

Polinomios y ≠ 0 desde la perspectiva de un sistema de coordenadas

cartesianas en , esto es,

f : → definida por:

f (x) = ⋯

⋯

con , ∈ ,{i = 0, 1,...n}, { j = 0, 1,...m}.

Trabajaremos con elementos algebraicos, aritméticos y geométricos

elementales, como la tangente de una recta, la tangente de una parábola, expresión

de una parábola por el vértice y los métodos conocidos de la geometría analítica

elemental, además con las nociones de límite y continuidad de funciones, para

obtener así valores extremos de funciones sin el uso del análisis diferencial y

generando un método numérico basado en el Álgebra Matricial simple como lo es

el cálculo de determinantes en lugar de calcular derivadas numéricas.

Este método permite ilustrar la teoría de máximos y mínimos de funciones

de este tipo en la educación media donde no se tienen las herramientas del cálculo

diferencial.

iv

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a mi padre Rafael González, quien me enseñó la curiosidad científica, y que Dios lo tenga en su gloria.

También a mi madre Alida Margarita Hernández de González, quien me enseñó la idea intuitiva del infinito aritmético y así colocó el camino que he seguido durante toda mi vida.

v

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar agradezco a mi esposa Haydee por su apoyo, a mis hijas:

Gabriela y Patricia; a mis hermanos: Rafael, Luis, Andrés y Dolores. A mi Universidad Nacional Abierta, que es un verdadero templo del saber;

y con ella todo el gran equipo que hace posible una Educación particularmente

muy especial, como lo son las modalidades Abierta y a Distancia, muy agradecido

a todos desde los comienzos de esta difícil experiencia hasta nuestros días;

imposible nombrarlos porque son muchos, desde cualquier ángulo, como,

Rectores, Personal Directivo, Profesores, Empleados, Obreros, Compañeros de

Estudios, que durante todos estos años hemos compartido de alguna u otra forma

el sabor que deja la Sabiduría de la especialidad que hemos decidido hacer nuestra

profesión.

Pero nunca olvidaré a los que han dejado una huella profunda en mi

existencia:

Gracias de manera especial a mi Tutor, Prof. ÁLVARO STEPHENS quien

con su ayuda, extremadamente valiosa y acertada, guió todos mis pasos para que

este trabajo llegara a su exitosa culminación, por ello mi agradecimiento profundo,

no tan solo por enseñarme a tener los conocimientos de Cálculo Numérico y

Ecuaciones Diferenciales Parciales con valores en la frontera, sino por transformar

mi consciencia de un recopilador de fórmulas como una suerte de matemático de

recetas, en un Pensador Matemático, capaz de crear nuevas ideas, de creer en ellas

y llevarlas valientemente hasta su final.

Igualmente gracias a todos mis profesores, de esta prestigiosa Universidad:

Prof.: José Ramón Gascón, por sus enseñanzas académicas, y orientaciones fuera

del ámbito académico, mediante charlas, conferencias y jornadas sobre

vi

matemáticas; Carla de Pinho, Alfredo Espejo, Luis Antonio Azocar, Alejandra

Lameda, Walter Beyer, Sergio Rivas, José Luis Flores, Richard Rico, Amarylis

Mota, Alfredo Robles entre muchos.

En el Área de Orientación mi gran agradecimiento a la Dra. María

Milagros Páez, quien supo darme sabios consejos en los momentos difíciles

durante mis estudios.

vii

INDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN 01

1. CONCEPTOS BÁSICOS

1.1.- Introducción

1.2.- Punto límite

1.3.- Límite de un función en un punto

1.4.- Unicidad del límite

1.5.- Entorno de un punto

1.6.- Continuidad de una función

1.7.- Operaciones con límites

1.8.- Operaciones con funciones continuas

1.9.- Principio de intercalación

1.10.- Conservación del signo de funciones continuas

1.11.- Teorema de Bolzano

1.12.- Valor intermedio para funciones continuas

1.13.- Funciones monótonas y monótonas a trozos

1.14.- El proceso de inversión

1.15.- funciones continuas que se conservan por inversión

1.16.- Valores extremos para funciones continuas

1.17.- Acotación para funciones continuas

1.18.- Máximo (mínimo) para funciones continuas

1.19.- Máximo relativo

1.20.- Extremos

1.21.- Anulación de la derivada en un extremo interior

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24

INDICE GENERAL

viii

2. Funciones Racionales 2.1.- Polinomio

2.2.- Función Racional Polinómica

2.3.- Función Racional Polinómicas de orden n = 1

2.4.- Función Racional Polinómicas de orden n = 2

26

26

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29

3. Método Máximal no diferencial 3.1.- Generalidades

3.2.- Definición de Función Extrema

3.3.- Deducción del Método Máximal no Diferencial

3.4.- Teorema Máximal

31

31

35

37

4. Generalización del Método Máximal 4.1 Generalidades

4.2 Caracterización de la Función Extrema

4.3 Triangulo Extremo

47

47

50

Conclusiones 57 Recomendaciones 58 Bibliografía 59

1

INTRODUCCIÓN

Desde los más lejanos tiempos, en la más remota antigüedad los hombres

se preocuparon siempre por el conocimiento, práctico en primer lugar, que dio

origen, a edificar sobre unas bases que soportaran tanto conocimiento, que día a

día se iba acumulando poderosamente, así surgió otro tipo de conocimiento: el

Teórico, entre estos se encuentra el conocimiento organizado teórico matemático.

Ocurrió en las distintas ramas del saber: en la mecánica, la economía, la física la

química, necesario era conocer sobre las cantidades, cuanto de esto, cuanto de

aquello, hasta que: “la teoría pensó que la práctica ayudaría mejor” si conocemos

el máximo de todos estos valores o el mínimo, preguntas que se hicieron con la

denominación de VALORES EXTREMOS.

Ejemplo de esto tenemos:

[La historia de la Matemática de Ehrenfried Hofmann 1960]

“En el círculo de los neoplatónicos alejandrinos (250-650) se reúne de

nuevo la herencia de los grandes matemáticos griegos, Pappo de Alejandría, nos

ofrece (aprox. 320) en sus Collectiones una importante recopilación, con extractos

interesantes, de escritos conservados o perdidos de Euclides, Arquímedes y

Apolonio y con unos suplementos excelentes, entre los cuales destacan los

principios sobre figuras proyectivas, las observaciones sobre el manejo de los

máximos y mínimos, el llamado teorema de Guldon sobre el centro de gravedad en

los cuerpos de revolución, y sus investigaciones sobre la cuadratiz, la espiral de

Arquímedes y la esférica, y asimismo sobre las superficies helicoidales.”

INTRODUCCIÓN

2

Con los Griegos, podemos observar el deseo de conocer, estos grandes, dan

un enfoque a la importancia que el cálculo de los valores extremos tiene para el

mundo de la Ciencia y en especial el de la Matemática. Pitágoras expresa:

[Aritmética teórica de los pitagóricos: Los Números. Thomas Taylor

1991.]

“Sobre la cantidad relativa y las especies de desigualdad mayor y menor.

La primera división de la cantidad relativa es doble: porque todo lo que se mide

por comparación a otra cantidad, es igual o bien desigual. Y es igual el que no es

menor ni mayor cuando se compara con otro. Sin embargo, esta parte de la

cantidad relativa, es decir la igualdad, es indivisible por naturaleza: porque no se

puede decir que una porción de la igualdad es diferente de otra. Ya que toda

igualdad conserva una medida en su propia medición. Y la cantidad comparada no

tiene denominación diferente de aquella a la que se compara. Porque del mismo

modo que un amigo es amigo de un amigo y un vecino es vecino de un vecino,

decimos que lo igual es igual al igual. Pero de la cantidad desigual surge una

división doble: ya que lo desigual se puede dividir en mayor y menor, que tienen

denominaciones contrarias entre sí. Porque lo mayor es mayor que lo menor y lo

menor es menor que lo mayor. De ahí que los dos no tienen la misma

denominación, como vimos que era el caso con la cantidad igual, sino que se

distinguen con nombres diferentes, como el maestro y el alumno o cualquier otro

caso de parecidos que se comparan con contrarios denominados de otra manera.

De la desigualdad mayor tenemos cinco partes. Una parte es la llamada

múltiple; la otra es superparticular; la tercera superparciente; la cuarta

superparticular múltiple; y la quinta superparciente múltiple.”

INTRODUCCIÓN

3

Impresionante la manera como el intelecto va penetrando en ideas que

luego otros van redefiniendo y cambiando hasta llegar a problemas conceptuales

básicos. Así como los presentados por:

[Hall and Knight, Algebra Superior 1967]:

“Hallar el valor máximo de un producto sabiendo que la suma de sus

factores es una constante”.

“La media aritmética de cualquier número de cantidades positivas es mayor

que su media geométrica”.

“Hallar el término numéricamente más grande en el desarrollo de 1 x

para cualquier valor racional de n”.

Estos ejemplos en su momento histórico fueron creando unas bases muy

poderosas para cuando se hizo presente la idea de la aproximación con la tangente,

la concepción maravillosa de Arquímedes de resolver los crecientes por el método

de exhaución al conocer la aproximación por la ideal del límite, al establecerse una

poderosa relación entre la geometría y el álgebra que concluyó en los tiempos de

Fermat, Descartes, Newton y Leibnitz, con una obra que sin exageración podemos

decir que es una de las más altas genialidades de la humanidad a través de toda su

historia: la creación del CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.

Hasta estos días donde los problemas se han complicado más, pero siguen

siendo la base de nuestro crecer como entes pensantes matemáticos, ejemplo de

ello tenemos los siguientes autores, quienes resolvieron esta problemática aliados

con la maravillosa obra del Cálculo Infinitesimal:

INTRODUCCIÓN

4

[Del análisis algébrico e infinitesimal., de Carlos Mataix Aracil;

Madrid 1957].

“Método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los máximos y

mínimos relativos en el caso general. Para funciones del tipo:

f (x, y,…, u, v,…) = V ligadas a , , … , , , … 0

Que se obtienen a través de diferenciales parciales y luego se igualan a

cero”

“Hallar en el plano de un triángulo dado, un punto tal que la suma de los

cuadrados de sus distancias a los tres vértices sea mínima”

“Determinar el punto del suelo desde el cual se ve un segmento vertical AB

bajo un ángulo máximo.”

O los interesantísimos problemas de:

[Gallego-Díaz, Nuevos problemas de Matemáticas 1965]

“Por el punto P interior a un triángulo dado ABC se trazan paralelas a los tres

lados del mismo, formándose así tres paralelogramos y tres triángulos. ¿Para cuál punto es

mínima la suma de las áreas de estos triángulos? ”

“Sean: A , A , A yA los vértices de un cuadrado y sea P un punto arbitrario

en el plano. Demostrar que:

∑ A ≥ (1+√2) máx A P + mín A P

y determinar los puntos del plano para los cuales tiene lugar la igualdad.”

INTRODUCCIÓN

5

Más que herramienta o instrumento el Cálculo ha sido un consejero, o una

guía que ha permitido desarrollar los más intrincados problemas matemáticos de

todas las épocas, y de dar a conocer otros que han simplificado la manera

conceptual de nuestra posición científica en nuestras vidas. Así como lo establece

[Heber Nieto en: XIII Escuela Venezolana para la enseñanza de la

Matemática: Aplicaciones del Cálculo Diferencial]

“Fermat desarrolló un método para hallar extremos de funciones

polinómicas que hoy identificaríamos con hallar los puntos donde se anula la

derivada. Sin embargo, no define la derivada ni nada parecido, ni justifica su

método.

A pesar de ello, lo utilizó con indudable éxito para resolver algunos

problemas no triviales. Por ejemplo, formuló el principio óptico según el cual la

luz viaja de un punto a otro siguiendo la trayectoria que haga mínimo el tiempo

empleado (hoy conocido como Principio de Fermat) y de allí dedujo la ley de

refracción de Snell.”

Todo esto representa sin duda alguna una fuerte evolución del pensamiento

matemático, donde cada concepto hasta cada letra muchas veces ha tardado hasta

siglos para que los implicados puedan llegar a fructíferos acuerdos.

En este trabajo estudiaremos las funciones racionales polinómicas,

colocando en primer lugar las consideraciones fundamentales del método a

desarrollar, luego bajo una concepción del análisis deductivo construiremos el

método, pasando antes por una revisión de los elementos a utilizar y finalmente

llegaremos a los valores máximos y mínimos de estas funciones.

6

Capítulo I

Conceptos Básicos

1.1 Introducción

Antes de estudiar los máximos y mínimos de funciones en forma general,

recordemos algunos conceptos, definiciones y los teoremas básicos, más

importantes que nos servirán de apoyo para después en capítulos posteriores

mostrar un método donde no utilizaremos el concepto de derivadas para obtener

estos valores máximos y mínimos, en funciones racionales polinómicas.

Sea δ un número real positivo y sea a un número real dado. Una

δ-aproximación de a es cualquier número real x tal que el error absoluto | |

sea menor que δ; es decir, | |< δ, (1.1). Tomando en cuenta que la relación

| | < δ es equivalente con a–δ < x < a + δ resulta que un número real x es una

δ-aproximación de a si y sólo si x está en el intervalo abierto (aδ, a+δ). Este

intervalo coincide entonces con el conjunto de todas las δ-aproximaciones del

número real a.

1.2 Definición 1: Punto Límite

Sea A un conjunto de números reales, y sea a un número real. Diremos que

a es un punto límite de A, si y sólo sí para cada δ > 0, existe un punto x en A tal

que x ≠ a y x es una δ-aproximación de a.

Observemos que en esta definición no se exige que a sea un elemento de A.

Así mismo el elemento x correspondiente a un δ dado debe ser diferente de a, es

decir 0 < | |< δ y x ∈A. (1.2)

Capítulo I Conceptos Básicos

7

1.3 Definición 2: Límite De Una Función En Un Punto

Sea A un conjunto de números reales, a un punto límite de A, y f: A una

función. Diremos que f tiene límite en el punto a si y sólo si existe un número real

b tal que para cada número real ε > 0 existe un δ > 0 que verifica la siguiente

condición: si x ∈ A es una δ-aproximación de a diferente de a, entonces f(x) es una

ε-aproximación de b en otras palabras:

Si x ∈A, y 0 < | | < δ, entonces | | < ε. (1.3)

1.4 Proposición 1: Unicidad Del Límite

Sea f: A una función, y sea a un punto límite de A. Si b y c son puntos

límites de f en a, entonces b = c. Es decir, si f posee un punto límite en A, entonces

este punto límite es único.

Demostración:

Supongamos que b y c son puntos límites de f en a y que b ≠ c. Sea

ε = | |

, entonces ε > 0, y de acuerdo con la definición anterior, tenemos:

a) Existe un δ > 0 tal que si x ∈ A y 0 < | | <δ, entonces | |<ε.

b) Análogamente existe δ’ > 0, tal que si x ∈ A y 0 < | | < δ’, entonces

será:

| | < ε. (1.4)

Como a es un punto límite de A, existe un punto ∈ A tal que

0 < | | < δ y 0 <| | < δ’.

De las relaciones anteriores (a) y (b) se deduce:

| | = | | | | + | | ε ε

2ε | |

.


8

En conclusión, se obtiene | | | |

; es decir, | | 0. Esta

contradicción proviene de suponer b c, y así podemos concluir que b = c.

De acuerdo con el resultado de la proposición anterior, si f: A es una

función y tiene límite b en un punto límite a de A, entonces este límite b es único,

y se acostumbra a denotar:

lim→

= b (1.5)

Que se lee “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es igual a b”.

1.5 Definición 3: Entorno De Un Punto

Cualquier intervalo abierto que contenga un punto p como su punto medio

se denomina entorno de p.

Notación: Designemos los entornos con N(p), , , etc. Puesto

que un entorno N(p) es un intervalo abierto simétrico respecto a p, consta de todos

los números reales x que satisfagan p – r < x < p + r para un cierto r > 0. El

número positivo r se llama radio del entorno. Las desigualdades p – r < x < p + r

son equivalentes a –r < x – p < r , y a | |< r.

P

Alvaro

Óvalo

Alvaro

Cuadro de texto

p


9

1.6 Definición 4: Continuidad De Una Función

La definición de límite no hace mención del comportamiento de f en el

punto p. No obstante, si ocurre que f está definida en p y que f(p) = A, se dice

entonces que la función f es continua en p. Dicho de otro modo tenemos la

siguiente definición.

Se dice que una función f es continua en un punto p si:

a) festá definida en p.

b) lim→ = f(p). (1.6)

Esta definición también puede formularse con entornos. Una función f es

continua en p si para todo entorno [f(p)] existe un entorno tal que:

f(x) ∈ [f(p)] siempre que x∈ . 1.7

Puesto que f(p) pertenece siempre a [f(p)], no se precisa la condición

x p en (1.7). Especificando los radios de los entornos, la definición de

continuidad puede darse como sigue: Una función es continua en p si para todo

ε>0 existe un δ> 0 tal que | | < ε siempre que | | < δ.

Función Continua

p

f(P)

Alvaro

Línea

Alvaro

Línea

Alvaro

Óvalo

Alvaro

Texto escrito a máquina


10

1.7 Teorema 1: Operaciones Con Límites

Sean fy g dos funciones tales que:

lim→ = A.

lim→ = B.

Se tiene entonces:

i lim→ A B

ii lim→ A–B

iii lim→ AB

iv lim→ / A/B,B 0

Demostración:

Puesto que las dos igualdades

lim→ = A y

lim→ = 0

Son completamente equivalentes, y como se tiene:

f(x) + g(x) – (A + B) = [f(x) – A] + [g(x) – B].

Basta demostrar las igualdades (i) e (ii) del teorema cuando los límites de A y B

son ambos cero.

Supóngase pues, que f(x) ⟶ 0 y g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p. Se demostrará en

primer lugar que f(x) + g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p. Para ello se tiene que probar que

para cada ε> 0 existe un δ> 0 tal que:

| | < ε siempre que 0 <| | < δ. (1.8)

Sea ε dado, puesto que f(x) ⟶ 0 cuando x⟶p, existe un > 0 tal que:


11

| | < , Siempre que 0 <| | < . (1.9)

Análogamente, puesto que g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p existe un > 0 tal que:

| | < siempre que 0 <| | < . (1.10)

Se indica por δ el menor de los dos números y , entonces ambas

igualdades (1.9) y (1.10) son validas si 0 <| |< δ, y por lo tanto, en virtud de

la desigualdad triangular, se tiene:

| | | | | | = ε

Esto demuestra (1.8) que, a su vez, demuestra (i). La demostración de (ii)

es completamente análoga, salvo que en él último paso se emplea la desigualdad

| |

Demostración de (iii). Supóngase que se ha demostrado (iii) en el caso

particular en que uno de los límites es 0. Entonces el caso general resulta

fácilmente de este caso particular, como se deduce de la siguiente igualdad:

– AB = f(x) [ (x) – B] + B[ f(x) – A].

El caso particular implica que cada término del segundo miembro tienda a

0 cuando x⟶p y en virtud de la propiedad (i) la suma de los dos términos tiende

también a 0. Por tanto, abasta sólo probar (iii) en el caso en que uno de los límites,

por ejemplo B, sea 0.

Supóngase que f(x) ⟶A y g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p. Se trata de probar que

f(x) g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p. Para ello se ha de ver que dado un número positivo ε,

existe un δ> 0 tal que:

| | < ε siempre que 0 <| | < δ (1.11)


12

puesto que f(x) ⟶A cuando x⟶p, existe un tal que

| | 1 siempre que 0 <| | < (1.12)

para tal x, tenemos

| | = | | | | + | | < 1 + | | , y por tanto

| | = | || | < (1 + | | | | (1.13)

ya que (x) ⟶ 0 cuando x⟶p, para todo ε> 0 exista un tal que

| | < | |

Siempre que 0 <| | < δ2 (1.14)

por consiguiente, si llamamos δ al menor de los dos números y entonces las

dos desigualdades (1.11) y (1.12) son validas siempre que:

0 < | | < δ, y para tal valor de x deducimos (1.9), lo que completa la

demostración de (iii).

Demostración de (iv). Puesto que el cociente f(x) / (x) es el producto de

f(x) / B por B / (x) basta demostrar que B / (x) ⟶ 1 cuando x⟶p y luego aplicar

(iii). Sea h(x) = (x) / B por lo que h(x) ⟶ 1 cuando x⟶p, y se quiere demostrar

que 1/h(x) ⟶ 1 cuando x⟶p.

Dado ε> 0, se trata de ver si existe un δ> 0 tal que

1 < ϵ siempre que 0 <| | < δ (1.15)

la diferencia se puede escribir como sigue:

1 = | |

| | (1.16)

puesto que h(x) ⟶ 1 cuando x⟶p se puede elegir un δ > 0 tal que ambas

desigualdades:


13

| 1| < y | 1| < (1.17)

se satisfagan siempre que 0 < | |< δ. La segunda de estas desigualdades

implica h(x) > y por lo tanto < 2 para tales valores de x. Empleando este

resultado en (1.14) junto con la primera desigualdad (1.15), obtenemos (1.13).

Esto completa de demostración de (iv).

1.8 Teorema 2: Operaciones Con Funciones Continuas

Sean f y dos funciones continuas en un punto p. La suma f+ , la

diferencia f – , y el producto f• son también continuas en p. Si (p) 0,

también el cociente f÷ es continua. Siendo f= f(x) y = (x).

Demostración:

Puesto que f y son continuas en p, se tiene lim→ = f(p) y

lim→ = (p). Aplicando las fórmulas para los límites, dadas en el teorema 1

cuando A = f(p) y B = (p), se deduce el teorema 2.

Ejemplos:

1.- Las funciones constantes son siempre continuas. Si f(x) = c para todo x,

entonces: lim→ =

lim→ = c = f(p) para todo p, con lo cual f es continua

para todo x.

2.- La función identidad es continua para todo x. Si f(x) = x para todo x, entonces:

lim→ = = p = f (p) Para todo p, con lo cual f es continua para todo x.


14

Suma de funciones continuas

3.- Continuidad de Polinomios. Si se toma f(x) = (x) = x, de la continuidad del

producto se deduce la continuidad en cada punto de la función cuyo valor en cada

x es . Por inducción completa se prueba, que para cada número real c y cada

entero n la función f para la cual (x) = es continua para todo x. Como la suma

de dos funciones continuas es a su vez continua, por inducción completa se prueba

que también es continua la suma de un número finito de funciones continuas. Por

tanto, todo polinomio p(x) = ∑ es función continua en todos los puntos.

4.- Continuidad de funciones racionales. El cociente de dos polinomios se llama

función racional polinómica. Si r es una función racional, se tiene:

r(x) = ,

donde p y q son polinomios. La función r está definida para todo número real x tal

que q(x) 0. Como el cociente de funciones continuas es continuo, la función

racional es continua en todos los puntos en que está definida.

y=sen(x+2) + 2cos(2x)

y=sen(x+2)

y=2cos(2x)

Alvaro


y = sen(x+2)+2cos(2x)

Alvaro


Alvaro


Alvaro


Alvaro


y = sen(x+2)

Alvaro


Alvaro


y = 2cos(2x)

Alvaro

Línea

Alvaro

Línea

Alvaro

Línea


15

1.9 Teorema 3: Principio De Intercalación

Supongamos que f(x) g(x) h(x) para todo x p en un cierto entorno

N(p) supongamos también que:

lim→ =

lim→ =a

se tiene entonces que

lim→ =a

Demostración:

Sean G(x) = g(x) – f(x), y H(x) = h(x) – f(x). Las desigualdades f g h

implican 0 g – f h – f, o 0 G(x) – H(x) para todo x p en N(p). Para

demostrar el teorema, basta probar que G(x) ⟶ 0 cuando x⟶p.

Sea (0) un entorno cualquiera de 0. Puesto que H(x) ⟶ 0 cuando

x⟶p, existe un entorno (p) tal que H(x) ∈ 0 siempre que x ∈ y

x p.

Podemos suponer que ⊆ N(p). Entonces la desigualdad 0 G H

establece que G(x) no está más lejos de 0 que H(x) si x esta en , x p por

consiguiente G(x) ∈ (0) para tal valor de x, y por tanto G(x) ⟶ 0 cuando x⟶p.

Esto demuestra el teorema, y es válida si todos los límites son límites

laterales o a un lado.

1.10 Teorema 4: Conservación Del Signo De Las Funciones Continuas

Sea f continua en c y supongamos que f(c) 0. Existe entonces un intervalo

(c δ, c+δ) en el que f tiene el mismo signo que f(c).


16

Demostración:

Supóngase f(c) > 0. En virtud de la continuidad, para ε > 0 existe un δ > 0

tal que:

f(c) – ε< f(x) < f(c) + ε siempre que c – δ< x < c + δ (1.18)

tomando el δ correspondiente a ε = , ε> 0, entonces (1.18) se transforma en:

c < f(x) < f siempre que c – δ< x < c+ δ.

1.11 Teorema 5: Teorema De Bolzano

Sea f continua en cada punto del intervalo cerrado [a, b] y supongamos que

f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Existe entonces por lo menos un c en el intervalo

abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Demostración:

Sea f(a) < 0 y f(b) > 0. Sea S el conjunto de todos los puntos del intervalo

[a, b] para los cuales f(x) ≤ 0. Hay por lo menos un punto en S puesto que f(a) < 0.

Por tanto, S es un conjunto no vacío. S está acotado superiormente puesto que

todos los puntos de S están en [a, b], y puesto que todo conjunto no vació de

números reales que está acotado superiormente tiene un extremo superior, a éste se

le llama c. Entonces se trata de demostrar que f(c) = 0.

Hay sólo tres posibilidades:

f(c) > 0, f(c) < 0, y f(c) = 0.

Si f(c) > 0 hay un intervalo (c δ, c + δ) o (c δ, c] si c = b, tal que f(x) es positivo

si x está en este intervalo, por lo tanto c – δ es una cota superior del conjunto S,


17

pero c – δ< c y c es el extremo superior de S, por tanto la desigualdad f(c) > 0 es

imposible.

Si f(c) < 0 hay un intervalo (c δ, c + δ) o [c, c + δ] si c = a, en el cual f

es negativa y por tanto f(x) < 0 para algún x > c, contra el hecho de que c es una

cota superior de S. Por tanto f(c) < 0 también es imposible y queda sólo la

posibilidad f(c) = 0. Además a < c < b puesto que f(a) < 0 y f(b) > 0. Con lo que

queda demostrado el teorema de Bolzano.

1.12 Teorema 6: Valor Intermedio Para Funciones Continuas

Sea f continua en cada punto de un intervalo [a, b]. Si < son dos

puntos cualesquiera de [a, b] tales que f( f( , la función f toma todos los

valores comprendidos entre y por lo menos una vez en el intervalo

( , ).

Demostración:

Supóngase f( f( y sea k un valor cualquiera comprendido entre

y . Sea g una función definida en [ , ] como sigue: g(x) = f(x) – k.

g es continua en cada punto de [ , ] y se tiene:

g( ) = f( ) – k< 0, g( ) = f( ) – k> 0

aplicando el teorema de Bolzano a g se tiene g(c) = 0 para algún c entre y , lo

cual significa que f(c) = k, quedando así demostrado el teorema.

1.13 Funciones Monótonas Y Monótonas A Trozos

Una función f se dice que es creciente en un conjunto S, si f(x) f(y) para

cada par de puntos x e y de S con x < y. Si se verifica la desigualdad estricta

f(x) < f(y) se dice que la función es creciente en sentido estricto en S.


18

Análogamente una función se dice decreciente en un conjunto S, si f(x) f(y) para

cada par de puntos x e y de S con x < y. Si se verifica la desigualdad estricta

f(x) > f(y) se dice que la función es decreciente en sentido estricto en S.

Una función se denomina monótona en S si es creciente en S o decreciente

en S. Monótona en sentido estricto significa que f, o es estrictamente creciente en S

o es estrictamente decreciente en S. Una función se dice que es monótona a trozos

en un intervalo si su gráfica está formada por un número finito de trozos

monótonos.

1.14 El Proceso De Inversión

Vamos a considerar una función f, con dominio en A y recorrido en B. A

cada x de A corresponde un y en B tal que y = f(x). Para cada y en B, existe por lo

menos un x de A tal que f(x) = y. Supongamos que existe uno solo de esos x.

Entonces podemos definir una nueva función g en B del modo siguiente:

g(y) = x significa que y = f(x)

Dicho de otro modo, el valor de g en cada punto y de B es el único x de A

tal que f(x) = y. Esta nueva función g se llama la inversa de f. El proceso mediante

el cual se obtiene g a partir de f se llama inversión. Obsérvese que g[f(x)] = x para

todo x de A y que f[g(y)] = y para todo y de B.

1.15 Teorema 7: Sobre Las Propiedades De Las Funciones Que Se

Conservan Por La Inversión

Sea f estrictamente creciente y continua en un intervalo [a, b]. Sean c =f(a)

y d = f(b) y sea g la inversa de f. Esto es, para cada y en [c, d], sea g(y) aquel x de

[a, b] tal que y = f(x). Entonces:


19

a) g es estrictamente creciente en [c, d].

b) g es continua en [c, d].

Demostración:

Elijamos < en [c, d] y pongamos = g( ), = g( ). Entonces:

= f( ) y = f( ). Puesto que f es estrictamente creciente, la relación <

implica que < , la cual, a su vez, implica que g es estrictamente creciente en

[c, d]. Esto demuestra la parte a).

Para demostrar la parte b). Elijamos un punto en el intervalo abierto

(c, d). Para demostrar que g es continua en , debemos probar que para todo ε > 0

existe un δ > 0 tal que:

g( ) – ε < g(y) < g( ) + ε siempre que y (1.19)

Pongamos , de modo que f( . Supongamos ε dado. (No

se pierde generalidad si consideramos aquellos valores de ε bastante pequeño para

que – ε y + ε quedan en el interior de [a, b].) Sea δ el menor de los dos

números:

f ( ) – f ( ε) y f ( + ε) – f ( ).

Es fácil comprobar que con este δ se verifica (1.19).

Existe un teorema análogo para funciones decreciente. Esto es, la inversa

de una función f estrictamente decreciente es estrictamente decreciente y continua.

Se comprueba al sustituir en este teorema f por –f.

Esto puede aplicarse a funciones monótonas a trozos. Consideramos

simplemente una tal función como una reunión de funciones monótonas a e

invertimos cada uno de los trozos.


20

1.16 Teorema 8: Valores Extremos Para Funciones Continuas

Sea f una función de valores reales definida en un conjunto de S de

números reales. Se dice que la función f tiene un máximo absoluto en el conjunto S

sí existe por lo menos un punto c en S tal que:

f(x) ≤ f(c) para todo x en S.

El número f(c) se llama máximo absoluto de f en S. Decimos que f tiene un

mínimo absoluto en S si existe un punto d en S tal que

f(x) ≥ f(d) para todo x en S.

Queremos demostrar que si S es un intervalo cerrado y f es continua en

todo S, entonces f posee un máximo absoluto y un mínimo absoluto en S. Este

resultado, conocido como el teorema de máximo (mínimo) para funciones

continuas, se deducirá como una sencilla consecuencia del siguiente teorema.

Máximos y Mínimos Absolutos

Alvaro


Máximo Absoluto

Alvaro


Alvaro


Alvaro


Mínimos Absolutos

Alvaro


Alvaro

Línea

Alvaro

Línea

Alvaro

Línea


21

1.17 Teorema 9: Acotación Para Funciones Continuas

Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es acotada en

[a, b], esto es, existe un número C ≥ 0 tal que | | ≤ C para todo x en [a, b].

Demostración:

Razonamos por reducción al absurdo o contradicción, utilizando una

técnica llamada método de bipartición. Supongamos que f no es acotada en [a, b].

Sea c el punto medio de [a,b]. Ya que f no es acotada en [a, b] tampoco lo está por

lo menos en uno de los subíntervalos [a, c] o [c, b]. Sea [ , ] aquella mitad de

[a, b] en la que f no está acotada. Si f no es acotada en ambas mitades, sea [ , ]

la mitad izquierda de [a, c]. Continuemos el proceso de bipartición reiteradamente,

designando con [ , ] la mitad de [ , ] en la cual f no está acotada en

ambas mitades. Como la longitud de cada intervalo es la mitad de su precedente,

observamos que la longitud de [ , ], es (ba)/2 .

Designemos con el conjunto de los extremos izquierdos , , … así

obtenidos, y sea α el extremo superior de . Tal punto α está situado en [ , ]. Por

la continuidad de en α, existe un intervalo de la forma (α – δ, α + δ) en el que

| | 1. (1,20)

Si α = este intervalo tiene la forma [ , + δ), y si α = tiene la forma

( – δ, ]. La desigualdad (1.20) implica:

| | 1 | α |

De modo que es acotada por 1 | α | en ese intervalo. Sin embargo, el

intervalo [ , ] está contenido en (α – δ, α + δ) cuando n es lo bastante grande

para que (ba)/2 < δ. Por consiguiente f también es acotada en [ , ], en


22

contradicción con el hecho de que f está acotada en [ , ]. Esta contradicción

completa la demostración.

Si f es acotada en [a, b], el conjunto de todos los valores f(x) está acotado

superior e inferiormente. Por consiguiente, este conjunto tiene un extremo superior

y un extremo inferior que designamos por Sup f y por Inf f, respectivamente. Esto

es:

Sup f = Sup \

Inf f = Inf \ ,

para cualquier función acotada tenemos Inf f ≤ f(x) ≤ Sup f para todo x en [a, b],

ahora veremos que los valores Inf f y Sup f están en [a, b].

1.18 Teorema 10: Máximo (Mínimo) Para Funciones Continuas

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], existen puntos c y d en [a, b]

tales que: f(c) = Sup f y f (d) = Inf f.

Demostración:

Basta probar que f alcanza su extremo superior en [a, b]. Para el extremo

inferior basta tener en cuenta que el extremo inferior de f es el extremo superior de

–f.

Sea M = Sup f. Supondremos que no existe un x en [a, b] para el que

f(x) = M y se llegará a una contradicción. Sea g(x) = M – f(x). Para todo x en [a, b]

será entonces g(x) > 0 con lo que la función recíproca 1/g es continua en [a, b],

pongamos 1/g(x) < C, con lo que f(x) < M – 1/C para todo x de [a, b]. Esto está en

contradicción con el hecho de que M es la menor cota superior de f en [a, b]. Por

consiguiente, f(x) = M para un x por lo menos en [a, b].


23

Nota: Este teorema demuestra que si f es continua en [a, b], el Sup f es su

máximo absoluto, y el Inf f es su mínimo absoluto. Luego, en virtud del teorema

del valor intermedio, el recorrido de f es el intervalo cerrado [Inf f, Sup f].

El termino máximo, (mínimo), tienen dos sentidos, uno referente al valor

absoluto, ya visto y otro a un significado relativo.

1.19 Definición 5: Máximo Relativo

Una función f, definida en un conjunto S, tiene un máximo relativo en un

punto c de S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene c tal que:

f(x) ≤ f(c) para todo x I ∩ S.

El mínimo relativo se define del mismo modo con la desigualdad invertida.

Es decir, un máximo relativo en c es un máximo absoluto en un cierto

entorno de c, si bien no es necesariamente un máximo absoluto en todo el conjunto

S.

Alvaro


Mínimos Relativos

Alvaro


Máximos Relativos

Alvaro

Línea

Alvaro

Línea

Alvaro

Línea

Alvaro

Línea


24

1.20 Definición 6: De Extremo

Un número que es o un máximo relativo o un mínimo relativo de una

función f se denomina valor extremo o extremo de f.

Estos puntos extremos se caracterizan por la anulación que toma la tangente

de la función, cuando se hacen horizontales.

Para los efectos de cálculo de estos puntos extremos tradicionalmente o

desde un punto de vista clásico se trabaja haciendo las derivadas igual a cero y

donde se anula encontramos un punto crítico, que indicara el extremo, como lo

indica el siguiente teorema:

1.21 Teorema 11: Anulación De La Derivada En Un Extremo Interior

Sea f definida en un intervalo abierto I, y supongamos que f tiene un

máximo relativo o un mínimo relativo en un punto c interior a I. Si la derivada

f´(c) existe, es f´(c) = 0.

Demostración:

Definamos en I una función Q como sigue:

Q(x) = si x c, Q(c) = f´(c).

Puesto que f´(c) existe, Q(x) ⟶Q(c) cuando x⟶c, con lo que Q es continua

en c. Queremos demostrar que Q(c) = 0. Esto lo conseguiremos demostrando que

cada una de las desigualdades Q(c) > 0 y Q(c) < 0 nos lleva a una contradicción.

Supongamos Q(c) > 0. Según la propiedad de conservación del signo de las

funciones continuas, existe un intervalo que contiene a c en el que Q(x) es positiva.

Por tanto el numerador del cociente Q(x) tiene el mismo signo que el denominador


25

para todo x ≠ c en ese intervalo. Dicho de otro modo, f(x) > f(c) cuando x > c, y

f(x) < c cuando x < c. Esto contradice la hipótesis de que f tiene un extremo en c.

Luego, la desigualdad Q(c) > 0 es imposible. En forma parecida se demuestra que

no puede ser Q(c) < 0. Por consiguiente Q(c) = 0, como se afirmó.

Nosotros no utilizaremos el método de la anulación de la derivada para el

cálculo de los valores extremos, puesto que vamos a suponer que no conocemos

dichas aproximaciones es decir:

f´(x) = lim⟶ ∞

.

Utilizaremos la propiedad de que tendremos un mínimo local o un máximo

local, cuando en el entorno de un punto hay un cambio de monotonía decreciente a

monotonía creciente o de monotonía creciente a monotonía decreciente

respectivamente.

26

Capítulo II

Funciones Racionales

2.1 Polinomio

Definición 7. Polinomio

Una función f es un polinomio si:

f(x) = anxn+an-1x

n-1+. . . a1x+a0

donde los coeficientes a0, a1, a2, . . . an son números reales y los exponentes

son enteros no negativos.

Se puede pensar en una función polinomial como una suma de funciones

cuyos valores están dados por akxk para algún número real ak y un entero no

negativo k.

La expresión en el lado derecho de la igualdad en la Definición 7, es un

polinomio en x, (con coeficientes reales) y cada akxk es un término del polinomio.

El término a0 es un término constante. Se llama polinomio tanto la expresión del

lado derecho de la igualdad como la función que dicha expresión define. Si an ≠ 0,

entonces an es el coeficiente principal de f(x) y se dice que f es de grado n.

2.2 Función Racional Polinómica

Una función racional polinómica es el cociente de dos polinomios.

Entonces f es racional si, para todo x en su dominio

f(x) = gh x

donde g(x) y h(x) son polinomios. El dominio de un polinomio es , pero el

dominio de una función racional consta de todos los números reales excepto los

valores de la variable x que anulan el denominador.

Capítulo II Funciones Racionales

27

En general utilizaremos la expresión:

f: → definidas por:

f (x) =⋯

⋯

con , ∈ ,{i = 0, 1,...n}

Aún se puede generalizar más escribiendo así la expresión de función

racional polinómica con:

f (x) =⋯

⋯

con , ∈ ,{i = 0, 1,...n} y {j = 0, 1,...m}

Donde se suele llamar a n–m el grado de esta función, en adelante para

efectos prácticos escribiremos:

f (x) =⋯

⋯

por la razón de que utilizaremos determinantes de segundo orden, y será

muy cómodo trabajar con esta representación.

En vez de referirnos al grado, como se menciona arriba, diremos que el

orden de la función racional polinómica, es el mayor exponente entre n y m. Esto

es si n > m será de orden n, y si m > n entonces diremos que la función racional es

de orden m, evidente si m = n, entonces es de orden n.

Ejemplos:

f (x) = será de orden 3



f (x) = será de orden 5.


28

2.3 Función Racional Polinómica De Orden n = 1

En este caso, el polinomio tanto del numerador como del denominador su

mayor exponente es 1, o al menos uno de ellos, lo que representa, una línea recta o

una hipérbola equilátera.

f (x) = formada por un polinomio en el numerador y uno en el

denominador. Ambos polinomios son lineales es decir el numerador constituye

una gráfica correspondiente a una línea recta y también el denominador. Pero la

función no existe para el valor x = 2, ya que aquí se produce un cero. La gráfica

de esta función racional corresponde a una hipérbola.

Podemos observar que esta función es decreciente en las dos ramas separadas por

la recta x = 2.

Función Racional Polinómica con n = 1

Si los exponentes de ambos polinomios son uno (n = 1) y los polinomios son

completos, entonces la gráfica será la de una hipérbola, ya que al dividirlos dará

una constante más un cociente formado por una constante entre una función lineal


29

f(x) = = +

la cual siempre representará una hipérbola.

Para el ejemplo anterior tenemos las siguientes características:

1.- La función no tiene máximos ni mínimos relativos.

2.- Corte con el eje X.

Para y = 0, tendremos: x = que es el único corte con X.

3.- Corte con el eje Y.

Para x = 0, tendremos: y = que es el único corte con Y.

4.- La curva presenta una asíntota vertical en x = 2.

5.- La curva presenta una asíntota horizontal en y = .

2.4 Función Racional Polinómica De Orden n = 2

Este es un caso más interesante, ya que con este tipo de funciones se nos

van a presentar valores extremos relativos, en general trabajaremos con la función:

f: ⟶ definidapor:

f (x) = = .

Con respecto a esta función podemos señalar que:

Sus cortes con el eje X, se determinar haciendo 0, y buscando sus

raíces.

Sus Asíntotas verticales, se determinar haciendo 0, y buscando

sus raíces.

Tiene una Asíntota horizontal que es y = .

Tiene un corte con el eje Y, que es y = .


30

Ejemplo

Sea la Sea la Función Racional Polinómica: f (x) =

1.- No presenta corte con el eje X.

2.- Corte con el eje Y. y = 4.

3.- No tiene Asíntotas Verticales.

4.- La curva presenta una Asíntota Horizontal en x = 0.5.

5.- Mínimo: x = 4.3194 y = 0.4525.

6.- Máximo: x = 0.3473 y = 7.2618.

FunciónRacionalPolinómicaconn 2

31

Capítulo III

Método Máximal no Diferencial

3.1 Generalidades

En este capítulo vamos a deducir el cálculo de los máximos y mínimos,

para funciones racionales polinómicas cuando el mayor exponente del numerador

o denominador, o ambos es dos, si se cumple para n = 2 los casos de n = 1

quedarán suficientemente justificados puesto que pasarán a ser casos particulares.

El caso de funciones racionales polinómicas de orden 2, asume

características importantes puesto que aquí comienzan a presentarse máximos y

mínimos locales, a diferencia de n = 1

Sea f : ⟶ representada por:

y = f (x) = = ,

la función con la cual vamos a trabajar, pero antes veamos una definición

crucial para la construcción del Método Máximal.

3.2 Definición De Función Extrema

Una función extrema ζ , ζ: ⟶ , asociada a una función racional

polinómicadeordenn

f (x) = ⋯

⋯

es el polinomio

A B C ⋯

donde los coeficientes A, B, C… son generados por el producto de constantes con

todos los determinantes de segundo orden posibles que se forman combinando los

Capítulo III Método Máximal no Diferencial

32

coeficientes de la función racional polinómica tomados de dos en dos, siguiendo el

orden de los términos de igual exponente tanto en el numerador como en el

denominador:

(x) = 2 3 x ⋯

Diremos que , es la función extrema asociada a la función racional

polinómica f (x).

Ejemplos:

Si el orden de la función racional es 1, tendremos:

f(x) =

el determinante será

Δ = ; n = 1

la función extrema asociada x es

A ,

tendremos así,

A, con A = Δ

finalmente,

en este caso la función extrema es una constante.

Si el orden de la función racional es 2, tendremos:

(x) = Ax2+Bx+C

quien tendrá solo dos raíces, demostraremos que una corresponde a un mínimo y la

otra a un máximo de la función racional polinómica asociada. Las raíces reales e


33

iguales de esta ecuación no definen valores extremos así como tampoco lo hacen

las raíces complejas conjugadas.

Sea la función racional polinómica:

f (x) =

los determinantes serán:

Δ1 = ; Δ2 = ; Δ3 = ; n=2

la función extrema asociada será:

(x) = 2

(x) = Ax2+Bx+C;

Si el orden de la función racional es 3, la función racional polinómica es:

f (x) =

cuyos determinantes son:

Δ1 = ; Δ2 = ; Δ3 = ;

Δ4 = ; Δ5 = ; Δ6 = ;

la función extrema asociada será:

(x) = 2 3 2

(x) = Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E

Esta función extrema tiene a lo sumo cuatro raíces, esto nos conducirá a la

obtención de dos máximos y dos mínimos para la función racional polinómica, que


34

se presentan en forma alternada ya que dos máximos locales no pueden estar uno a

continuación de otro, ni tampoco dos mínimos.

En general una función racional de orden n tendrá 2(n-1) puntos extremos,

que definirán a lo sumo n-1 máximos y n-1 mínimos locales, que se presentarán de

forma alternada. Decimos a lo sumo, puesto que las soluciones reales e iguales no

satisfacen un cambio de crecimiento, ni tampoco aquellas que sean soluciones

complejas conjugadas puesto que estas últimas no cortan el eje X, y ambas se

cuentan por pares.

El problema es determinar los factores que multiplican los determinantes y

así formar los coeficientes A, B, C, . . . estos valores aparecerán mediante la

construcción de cada función extrema en particular.

Para efectos de simplificación en algunos casos usaremos la siguiente

notación

, = .

Veamos algunos ejemplos

3.2.1 Sea f (x) = ; entonces, Δ = 3 52 4

en el mismo orden como están los

coeficientes de los polinomios, los colocamos en un determinante de segundo

orden, en este caso el valor es: Δ= 22. En general con el polinomio del

numerador y del denominador haremos determinantes de segundo orden

combinándolos como sea posible de tal forma tenemos que:

(x) = 22

El número de determinantes que tendrá la función extrema viene

determinada por todas las combinaciones posibles de los coeficientes de la función


35

racional polinómica de orden n, tomados de dos en dos sin repetición, esto nos

dará:

C , = ∗

! = .

Si el orden es uno, tendremos un determinante. (Nd, número de determinantes)

Nd = 1

Si el orden es dos, tendremos 3 determinantes:

Nd = 3

Si el orden es tres, tendremos 6 determinantes:

Nd = 6

3.3 Deducción del Método Máximal No Diferencial

Sea la función racional polinómica de orden dos f: ⟶ definida por:

y= (1)

Para la deducción del método despejaremos x de la expresión anterior

= y( )

transponiendo el segundo miembro al primero previamente multiplicado por y, y

factorizando tendremos:

0 (2)

que es una ecuación de segundo grado la cual podemos resolver en x para así

obtener:

x = (3)

Podemos observar que esta expresión no es una función inversa, ya que la

misma no es biyectiva, entonces por conveniencia eliminamos el radical


36

x =

así, observamos que lo que nos queda es precisamente un punto que es el valor del

vértice de la parábola (2),

Cambio de Ejes

despejando y, obtendremos:

y =

pero este valor pertenece a la función racional polinómica asociada, según el

teorema 7. por lo tanto esta expresión será igual a la función racional en el punto

de cambios de crecimiento.

=

que serán las x donde están los valores críticos de la función racional polinómica

asociada.


37

Luego se tiene que:

2 2

2 0.

multiplicando ambos miembros por 1 y escribiendo el resultado en forma de

determinantes:

x2+2 x + = 0.

De aquí construimos la función extrema

(x)= x2+2 x + .

A = B = 2 C =

Notemos que de esta manera obtenemos los factores que multiplican los

determinantes (1, 2, 1), que llamaremos Factores Triangulares.

Finalmente, si tenemos una función racional polinómica de segundo orden

f(x) =

Su función extrema asociada es:

(x) = x2 + 2 x + .

Esto nos conduce al siguiente teorema.

3.4 Teorema Máximal

Si (x) es una función extrema asociada a la función racional

polinómica f(x) entonces las raíces reales y distintas de (x) = 0,

determinan los valores extremos de f(x).


38

Veamos algunos ejemplos

3.4.1 Un caso a observar es cuando las funciones son enteras, por ejemplo:

f (x) = 2x2+4x8 podemos escribir como f (x) =

entonces (x) = 2 40 0

2 2 80 1

4 80 1

4 4.

Note que el caso en que el denominador de la función racional

polinómica sea una constante la función extrema coincide con la derivada de la

función racional, esto es, ´ .

3.4.2 Sea la Función Racional Polinómica

(x) = 2 71 2

2 2 31 8

7 32 8

Función Extrema (x)= 3x238x62

Raíces de : x1 = 10.7429189 x2= 1.9237478

Mínimos Locales: x1= 10.7429189 y1 = 1.846042

Máximos Locales: x2= 1.9237478 y2 = 0.37618


39

3.4.3 Sea la Función Racional Polinómica:

4 7 114 4 35

(x) = 4 74 4

2 4 114 35

7 114 35

Función Extrema

(x) = 44 192 289

Raíces de : No corta el eje X

Máximos locales: No existen

Mínimos locales: No existen

4 7 114 4 35


40


2 10

20

Función Extrema

(x) = 60 10

Raíces de : x1= 0.1692 x2 = 60.1662




41


3x 2 85 1

Función Extrema (x) = 10 86 2

Raíces de : x1= 0.0232 x1 = 8.6232




42


4x 12 96 5x


Raíces de : x1= 1.5 x2 = 0.3261

Mínimos Locales: x1= 1.5 y2 = 0


4x2 12 9

6 2 5x


43


6x 1

2 9x 9


Raíces de : x1= 0.083 x2 = 2.0089




44


8x 3

3 16x 5


Raíces de No Tiene

Máximos Locales: No Tiene

Mínimos Locales: No Tiene

8x 3

3 2 16x 5


45


5x 6x

7 x 11


Raíces de : x1= 0.5119 x2 = 3.4848




46


3x 5x 6

x 11


Raíces de : x1= 0.7693 x2 = 21.2307



3x2 5x 6

x 11

47

Capítulo IV

Generalización del Método Máximal

4.1 Generalidades

Podemos pensar que es posible generalizar el Método Máximal para

obtener valores críticos de una función racional polinómica cuando su orden es

mayor que dos, y así encontrar sus máximos y mínimos relativos sin la aplicación

del cálculo diferencial.

Aunque no realizaremos la deducción para n 2 en este trabajo, veremos

que una serie de características de estas funciones nos permitirán postular una

solución adecuada.

4.2 Caracterización De La Función Extrema

Los coeficientes de la función extrema se generan con los coeficientes de la

función racional polinómica.

Ejemplos:

4.2.1 Dada

f(x) = ,

genera a la función extrema

(x) = a, b 2 a, c b, c

4.2.2 Dada

f(x) = ,

genera a la función extrema

CAPITULO IV Generalización del Método Máximal

48

(x) = 5 21 7

2 5 11 4

2 17 4

Las raíces de la función extrema son los valores críticos de la función

racional.

En este caso tendríamos la función extrema (x) = 33x2+38x+1 cuyas raíces

son: 1.1246 0.0269 estos son los valores críticos de la

función racional polinómica asociada.

Observamos que la parábola es la función extrema y los otros dos ramales

son de la función racional. En este caso existen un máximo y un mínimo.

Si demostramos para n = 3, el caso n = 2 será un caso particular de n = 3 y

así sucesivamente. Los casos n = 3 y n = 4, se pueden demostrar con las

soluciones de Tartaglia y Cárdano para las ecuaciones de tercer y cuarto

grado, puesto que estas ecuaciones tienen soluciones por radicales, luego es

posible demostrarlo en general usando métodos numéricos o inducción

completa.

ζ(x)

f(x)


49

Si la función racional polinómica tiene un polinomio de grado cero en el

denominador estamos en presencia de un polinomio y su función extrema

asociada corresponde a la curva tangente del polinomio en cualquier

punto.

Ejemplo

4.2.3 Si f(x) = su función extrema asociada es:

(x) = 25x4 12x3 6x2 16x 3

Si la función extrema es una recta paralela al eje X, no hay valores

máximos ni mínimos locales en su función racional asociada.

Si todas las raíces de la función extrema son complejas, la función racional

no tiene ni máximos ni mínimos locales.

Si la función extrema tiene valores mayores que cero, la función racional

asociada es creciente, en caso contrario la función racional asociada es

decreciente.

Si en la función extrema (x) = A B C ⋯tenemos

que A 0 la función racional asociada presentará primero un máximo

local y luego un mínimo local. En caso contrario la función racional

asociada presentará primero un mínimo local y después un máximo local.

Siguiendo las reglas de la formulación presentada para obtener las

funciones extremas de funciones racionales polinómicas de segundo orden

podemos hacer una aproximación a la solución para encontrar los valores

extremos cuando n 3.

Los máximos locales y mínimos locales se presentan en forma alternada.


50

Lafrecuenciaydistribuciónenquesepresentanlosexponentesdela

función extrema, dependen del orden de la función racional

polinómica,enlasiguienterelaciónaritmética:

Orden de la función racional 1 2 3 4 … n

Exponente de la función extrema 0 2 4 6 … 2(n-1)

Si tenemos una función racional polinómica de orden n, el número de

determinantes que debemos calcular es Nd = ∑ , Siguiendo las series:

Orden de la función racional 1 2 3 4 … n

Numero de Determinantes 1 3 6 10 …2

Los coeficientes de estos determinantes en su formulación son simétricos,

puesto que ellos siguen una regla según la teoría combinatoria.

Estos determinantes son tomados de acuerdo a la teoría combinatoria,

según el orden de la función racional polinómica (número de objetos);

tomados de dos en dos, sin repetición.

4.3 Triangulo Extremo

Con las caracterizaciones anteriores podemos construir un ordenamiento

triangular donde cada columna que se sume es un factor que multiplica a la

variable de la función extrema con su respectivo exponente y cada uno de estos

números que hemos llamado Factores Triangulares multiplica un determinante. El

exponente del término principal de la función extrema comienza en 2(n1) y

decrece hasta 0.


51

Nos quedaría para n = 2

ζ(x) = a,bx2 + 2a,cx + b,c

Para n = 3

ζ(x) = a,bx4 + 2a,cx3 + (3a,d + b,c) x2 + 2b,dx + c,d

ζ(x) = Ax4 + B x3 + C x2 + D x + E

Para n = 4

4a,e

3a,d 3b,e

2a,c 2b,d 2c,e

a,b b,c c,d d,e

x6 x5 x4 x3 x2 x x0

ζ(x) = a,bx6 + 2a,cx5 + (3a,d + b,c) x4 + (4a,e +2 b,d)x3 + (3b,e + c,d) x2 +

2c,ex + d,e

ζ(x) = A x6 + B x5 + C x4 + D x3 + E x2 + F x + G

2a,c

a,b b,c

x2 x1 x0

3a,d

2a,c 2b,d

a,b b,c c,d

x4 x3 x2 x1 x0


52

Para n = 5

5a,f

4a,e 4b,f

3a,d 3b,e 3c,f

2a,c 2b,d 2c,e 2d,f

a,b b,c c,d d,e e,f

x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0

ζ(x) = a,bx8 + 2a,cx7 + (3a,d + b,c) x6 + (4a,e +2b,d)x5+ (5a,f + 3b,e +

c,d) x4 +(4b,f +2 c,e)x3 + (3c,f + d,e)x2+ 2d,fx

+ e,f

ζ(x) = A x8 + B x7 + C x6 + D x5 + E x4 + F x3 + G x2 + H x + I

Ejemplos:

4.3.1. Sea la función

f (x) =

cuya Función Extrema asociada es:

x 1 121 16

2 1 471 71

3 1 601 56

12 4716 71

2 12 6016 56

47 6071 56

(x) = 4 48 88 576 1628

sus raíces son:

3.4625 3.4325 4.624 = 7.4059

3.4625 = 0.7626 mínimo local

3.4325 = 0.0097 máximo local

4.624 = 0.0131 mínimo local

= 7.4059 = 23.3714 máximo local


53

f (x) =

4.3.2 Sea la función racional polinómica:

f( x ) =

de donde resultará la siguiente:

Función Extrema

ζ(x) = 7x8 10 x7 8 x6 8x5 150 x4 16x3 6x2 10x 19

y los siguientes máximos y mínimos locales:

= 0.619 = 2.5032 Mínimo local

= 0.5963 = 0.83 Máximo local

f(x)

ζ(x)


54

f( x ) =

4.3.3. Sea la función racional polinómica:

f( x ) =

Aplicando el triangulo extremo tendremos:

(x) = 5 229 17

2 5 89 16

3 5 159 8

22 817 16

4 5 79 1

2 22 1517 8

5 5 69 19

3 22 717 1

8 1516 8

ζ(x)

f(x)


55

4 22 617 19

2 8 716 1

3 8 616 19

15 78 1

2 15 68 19

7 61 19

cuya Función Extrema asociada es:

ζ(x) = 283 x8 304x7 501x6 1134x5 800 x4 1872 x3 673x2 474x 139

máximos y mínimos locales:

= 1.7873 = 3.2657 Máximo

= 0.5187 = 0.3542 Mínimo

= 0.2743 = 0.3679 Máximo

= 0.5753 = 0.0547 Mínimo

= 1.0708 = 0.2973 Máximo

= 1.3821 = 0.3034 Mínimo

ζ(x)


56

f (x) =

f(x)

ζ(x)

57

CONCLUSIONES

Después de una revisión del presente trabajo, podemos llegar a las

siguientes conclusiones consideradas importantes:

[1]. Es completamente válido realizar cálculos de valores extremos de

funciones racionales polinómicas de una manera rápida, sencilla y exacta

sin el método clásico, es decir sin la utilización del análisis diferencial.

[2]. Una función extrema es un polinomio formado por los coeficientes

ordenados de una manera única en determinantes, de una función racional

polinómica, de tal forma que sus cortes con el eje X, sean los valores

críticos que conducen a valores máximos y mínimos relativos de esta

función racional polinómica; y si no corta al eje o lo hace con raíces reales

e iguales, la función racional polinómica no tiene extremos relativos o no

los tiene en el punto donde las raíces son reales e iguales.

[3]. Si (x) es una función extrema asociada a la función racional polinómica

f(x) entonces las raíces de (x) = 0, determinan los valores extremos de f(x).

[4]. El método es útil aplicarlo a los alumnos preuniversitarios, que desconocen

el análisis diferencial, pero deben conocer según las exigencias académicas

establecidas, el realizar representaciones gráficas de funciones en especial

las del tipo racional polinómica.

58

RECOMENDACIONES

[1]. Para futuros estudios o trabajos, es conveniente pensar en la demostración

para los casos donde n = 3 y n = 4, utilizando como recurso la solución

por radicales de las ecuaciones de tercer y cuarto grado; o utilizar de

manera general y para n ≥ 5 métodos del Análisis numérico, y reafirmar

mediante la Inducción Completa.

[2]. Incorporar métodos numéricos para hallar la solución de la función

extrema.

[3]. Estudiar las posibles relaciones existentes entre las raíces de la función

racional polinómica, sus puntos de inflexión y características notables con

las raíces y corte con los ejes de las funciones extremas de funciones

extremas.

[4]. Realizar estudios de la posibilidad de que se considere el problema de

hallar valores extremos en espacios más generales, espacios con

características especiales o espacios de dimensión mayores que dos; donde

sería posible utilizar determinantes de orden tres, cuatro etc. según la

dimensión, y siguiendo el mismo ordenamiento presentado anteriormente

en la construcción de este tipo de funciones, encontrando valores extremos

de volúmenes, superficies y curvas en el espacio sin la utilización del

gradiente y otras herramientas para tal fin.

59

BIBLIOGRAFIA

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comienzo hasta Fermat y Descartes. Primera edición en español, Editorial

Hispano Americana. México. Uteha(1.970).

[2]. Dr. Joseph Ehrenfried Hoffman., Historia de la Matemática. Desde Fermat

y Descartes hasta el descubrimiento del Cálculo y creación del nuevo

método. Primera edición en español, Editorial Hispano Americana.

México. Uteha (1.970).

[3]. Tom M Apóstol., Calculus., Cálculo con funciones de una variable, con

una introducción al álgebra lineal. Volumen I, Segunda Edición. Editorial

Reverté S. A. – (1.985).

[4]. Universidad Nacional Abierta., Cálculo I., Segunda Edición, contenido por

LibuskaJuricek, Jesús González (1.995).

[5]. Universidad Nacional Abierta., Cálculo II., Segunda Edición, contenido

por LibuskaJuricek, Jesús González (1.995).

[6]. Universidad Nacional Abierta., Álgebra II., Tercera Edición, contenido

por Luis González Ferrer, (1.985).

[7]. Aritmética teórica de los pitagóricos: Los Números. Thomas Taylor

Editorial Humanitas 1991.

[8]. Del Cálculo Diferencial Tomo I Quinta Edición., de Carlos MataixAracil;

Editorial Dossat. S. A. Madrid 1957.

[9]. Gallego-Díaz, Nuevos problemas de Matemáticas., Editorial Norte y Sur.

1965.

[10]. Heber Nieto en: XIII Escuela Venezolana para la enseñanza de la

Matemática: Aplicaciones del Cálculo Diferencial

puntos criticos en funciones racionales

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