PRUEBAS DE PRUEBAS DE HIPÓTESISHIPÓTESISUNA POBLACIÓNUNA POBLACIÓN

Pruebas de hipótesisPruebas de hipótesisuna poblaciónuna población

Pruebas para una media: Pruebas para una media: Determinar la probabilidad de Determinar la probabilidad de

seleccionar una observación que seleccionar una observación que estuviera dentro de un rango de estuviera dentro de un rango de valores dado.valores dado.

X

Z

Pruebas para una media:Pruebas para una media:Muestras grandes.Muestras grandes.

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Tenemos un programa de entrenamiento Tenemos un programa de entrenamiento

diseñado para mejorar la calidad. Un diseñado para mejorar la calidad. Un estudio de los participantes anteriores estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 horas, y completar el programa es de 500 horas, y que esta variable aleatoria tiene un que esta variable aleatoria tiene un σ σ desviación estándar de 100 horas.desviación estándar de 100 horas.

   1- ¿Cuál es la probabilidad de que un 1- ¿Cuál es la probabilidad de que un

participante elegido al azar requiera más participante elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa?de 500 horas para completar el programa?

500

Horas

.5

2.- ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas

500

Horas

650

Horas

5.1100

500650

x

Z

1.5 en la tabla = .4332

Pruebas de hipótesis:Pruebas de hipótesis:Una población.Una población.

Pruebas para proporciones:Pruebas para proporciones:

n

PP

Ppz

)1(

Pruebas para una proporción:Pruebas para una proporción:

Ejercicio 1:Ejercicio 1: La Policía Federal de Caminos informa que el La Policía Federal de Caminos informa que el

52% de los Chihuahuenses que conducen por 52% de los Chihuahuenses que conducen por las autopistas de cuota son hombres: una las autopistas de cuota son hombres: una muestra de 300 automovilistas que viajan muestra de 300 automovilistas que viajan hacia la Ciudad de Juárez revelo que 170 eran hacia la Ciudad de Juárez revelo que 170 eran conducidos por hombres . En un nivel de conducidos por hombres . En un nivel de siginficancia de .01 ¿Es posible concluir que siginficancia de .01 ¿Es posible concluir que una proporción mayor de hombres conducen una proporción mayor de hombres conducen por la autopista a Cd Juárez de lo que indican por la autopista a Cd Juárez de lo que indican las afirmación de la PFClas afirmación de la PFC

Pruebas para la proporciónPruebas para la proporción

0.5667 -0.520.5667 -0.52

Z=------------------------Z=--------------------------

√ √ 0.52*0.48/3000.52*0.48/300

Z= 1.6215Z= 1.6215

Zc=2.575Zc=2.575

No Rechazar HoNo Rechazar Ho

Ho: P≤ 0.52Ho: P≤ 0.52

Ha: P> 0.52Ha: P> 0.52

ɑɑ/2ɑ/2

1.6215-1.6215

Región de no rechazo

Pruebas de hipótesis:Pruebas de hipótesis:Muestras grandes.Muestras grandes.

Pruebas para la media de la Pruebas para la media de la población:población:

X - X - μμ Z= ------------Z= ------------ σσ/n/n

Pruebas para la mediaPruebas para la media Un estudio mostró que el adulto Un estudio mostró que el adulto

mexicano típico consume al año 68 mexicano típico consume al año 68 litros de refresco de cola. Según la litros de refresco de cola. Según la misma investigación, la desviación misma investigación, la desviación estándar del consumo es de 11.3 litros. estándar del consumo es de 11.3 litros. Una muestra aleatoria de 64 estudiantes Una muestra aleatoria de 64 estudiantes universitarios revelo que el año anterior universitarios revelo que el año anterior consumieron un promedio de 64.2 litros. consumieron un promedio de 64.2 litros. En el nivel de significancia de .05.En el nivel de significancia de .05.

¿es posible concluir que existe una ¿es posible concluir que existe una diferencia entre consumo medio de los diferencia entre consumo medio de los estudiantes y de los adultos en general?estudiantes y de los adultos en general?

Pruebas para la media:Pruebas para la media:

Ho: Ho: μμ= 68= 68 Ha: Ha: μ≠μ≠ 68 68 Z=64.2-68/11.3/8Z=64.2-68/11.3/8 Z= -2.69Z= -2.69 Zc= 1.96, -1.96Zc= 1.96, -1.96 Rechazar Ho.Rechazar Ho.

ɑ/2ɑ/2

1.96-1.96

Pruebas de hipótesis:Pruebas de hipótesis:Muestras pequeñas.Muestras pequeñas.

Pruebas para la media :Pruebas para la media :

νν = grados de libertad. = grados de libertad.

nsx

t

Pruebas de hipótesis:Pruebas de hipótesis:Dos poblaciones.Dos poblaciones.

Pruebas para la diferencia de dos medias Pruebas para la diferencia de dos medias con muestras grandes e independientes con muestras grandes e independientes y varianzas iguales (conocidas)y varianzas iguales (conocidas)

( X₁ -X₂ )-(( X₁ -X₂ )-(μ₁μ₁--μ₂μ₂)) Z =Z = √ √ σ₁²σ₁²/n₁ + /n₁ + σ₂²σ₂²/n₂/n₂ Cuando las varianzas son desconocidas Cuando las varianzas son desconocidas

se substituyen por la S muestral.se substituyen por la S muestral.

Pruebas para la diferencia de Pruebas para la diferencia de mediasmedias

Supóngase que un investigador desea Supóngase que un investigador desea determinar si una dieta complementada con determinar si una dieta complementada con una hormona de crecimiento puede una hormona de crecimiento puede aumentar significativamente el peso en los aumentar significativamente el peso en los pollos. Con esta finalidad se seleccionan al pollos. Con esta finalidad se seleccionan al azar dos grupos independientes de pollos: azar dos grupos independientes de pollos: Uno alimentado con la dieta acostumbrada y Uno alimentado con la dieta acostumbrada y el otro con una dieta con la hormona de el otro con una dieta con la hormona de crecimiento. Los aumentos de peso para los crecimiento. Los aumentos de peso para los grupos se registran tres meses después de grupos se registran tres meses después de que se han estado usando las dietas.que se han estado usando las dietas.

Pruebas para la diferencia de Pruebas para la diferencia de medias:medias:

Los datos son los siguientes:Los datos son los siguientes: Grupo I Grupo IIGrupo I Grupo II n 100 100n 100 100 Medias 16 19Medias 16 19 Var 128 128Var 128 128 ¿Con el nivel de significancia de 0.05, ¿Con el nivel de significancia de 0.05,

puede llegarse a la conclusión de que una puede llegarse a la conclusión de que una dieta complementada con hormonas dieta complementada con hormonas incrementará el peso de los pollos?incrementará el peso de los pollos?

Pruebas para la diferencia de Pruebas para la diferencia de medias:medias:

Ho: Ho: μ₁≥μ₂μ₁≥μ₂ Ha: Ha: μ₁μ₁<<μ₂μ₂

16 - 1916 - 19

Z=----------------------------Z=--------------------------------

√ √ 128/100 128/100 +128/100+128/100

Z= -1.875Z= -1.875

Z= -1.65Z= -1.65

Se rechaza Ho.Se rechaza Ho.

ɑ/2

ɑ/2

1.645-1.645

Pruebas de hipótesis para dos Pruebas de hipótesis para dos poblaciones: Muestras pequeñas.poblaciones: Muestras pequeñas.

Muestreo independiente, varianzas Muestreo independiente, varianzas iguales (desconocidas).iguales (desconocidas).

21

2

21

11

nns

xxt

c

2

))(1())(1(

21

222

2112

nn

snsnsc

Pruebas para la diferencia de Pruebas para la diferencia de dos medias: m. pequeñasdos medias: m. pequeñas

Se prueban dos motores distintos de Se prueban dos motores distintos de automóvil para determinar si presentan automóvil para determinar si presentan diferencias en cuanto al control de diferencias en cuanto al control de contaminación. En una prueba de 16 días contaminación. En una prueba de 16 días del motor 1, las medidas indican un del motor 1, las medidas indican un índice promedio de contaminación de 60 índice promedio de contaminación de 60 y una desviación de 9; En una prueba de y una desviación de 9; En una prueba de 16 días del motor 2, las mediciones 16 días del motor 2, las mediciones indican un índice promedio de 55 y una indican un índice promedio de 55 y una desviación de 9.desviación de 9.

Pruebas para la diferencia de Pruebas para la diferencia de dos medias: m. pequeñas.dos medias: m. pequeñas.

Se cree que las mediciones tienen Se cree que las mediciones tienen una distribución normal y varianza una distribución normal y varianza idéntica, y que las muestras son idéntica, y que las muestras son independientes. ¿existe suficiente independientes. ¿existe suficiente evidencia de que el motor 1 y el evidencia de que el motor 1 y el motor 2 tienen distinto control de motor 2 tienen distinto control de contaminación para contaminación para ɑ =0.05?ɑ =0.05?

Pruebas para la diferencia de Pruebas para la diferencia de mediasmedias

Ho: Ho: μ₁μ₁==μ₂μ₂ Ha: Ha: μ₁≠μ₂μ₁≠μ₂ T=1.57T=1.57 Tc =2.131Tc =2.131 Pv= 0.127Pv= 0.127 No Rechazar HoNo Rechazar Ho

2.131-2.131

Pruebas de hipótesis para dos Pruebas de hipótesis para dos poblaciones: Muestras pequeñas.poblaciones: Muestras pequeñas.

Muestreo independiente y varianzas Muestreo independiente y varianzas desiguales:desiguales:

(X₁ - X₂)-((X₁ - X₂)-(μ₁μ₁--μ₂μ₂)) T= T= √ √ s₁²/n₁+s₂²/n₂s₁²/n₁+s₂²/n₂

Pruebas de hipótesis para dos Pruebas de hipótesis para dos poblaciones:poblaciones:

Pruebas para la diferencia entre dos Pruebas para la diferencia entre dos proporciones poblacionales:proporciones poblacionales:

21

21

)1()1(

n

PP

n

PP

PPz

cccc

21

21

nn

XXPc

Pruebas para la diferencia entre Pruebas para la diferencia entre dos proporciones poblacionales:dos proporciones poblacionales:

Ejemplo 1:Ejemplo 1: De 150 adultos que probaron una nueva De 150 adultos que probaron una nueva

pastilla de menta con sabor a durazno, 87 la pastilla de menta con sabor a durazno, 87 la consideraron excelente. De 200 niños en la consideraron excelente. De 200 niños en la muestra 123 la calificaron como excelente. muestra 123 la calificaron como excelente. Utilizando un nivel de significancia de .10, Utilizando un nivel de significancia de .10, ¿Es posible concluir que existe una ¿Es posible concluir que existe una diferencia significativa en la proporción de diferencia significativa en la proporción de adultos contra la de niños que consideran el adultos contra la de niños que consideran el nuevo sabor como excelente? nuevo sabor como excelente?

Pruebas de hipótesis para dos Pruebas de hipótesis para dos poblaciones:poblaciones:

Pruebas para muestras Pruebas para muestras dependientes:dependientes:

nsd

td

Pruebas para muestras Pruebas para muestras dependientes:dependientes:

Se ha realizado un estudio para investigar Se ha realizado un estudio para investigar el efecto del ejercicio físico en el nivel de el efecto del ejercicio físico en el nivel de colesterol en plasma, en el que colesterol en plasma, en el que participaron 11 sujetos. Antes del ejercicio participaron 11 sujetos. Antes del ejercicio se tomaron muestras de sangre para se tomaron muestras de sangre para determinar el nivel de colesterol de cada determinar el nivel de colesterol de cada participante. Después, los sujetos fueron participante. Después, los sujetos fueron sometidos a un programa de ejercicios y sometidos a un programa de ejercicios y se tomaron nuevamente muestras de se tomaron nuevamente muestras de sangre y se obtuvo una segunda lectura sangre y se obtuvo una segunda lectura del nivel de colesterol en plasma. De este del nivel de colesterol en plasma. De este modo se recogieron las siguientes datos:modo se recogieron las siguientes datos:

Pruebas para muestras dependientes:Pruebas para muestras dependientes:

SujetoSujeto Nivel previoNivel previo Nivel Nivel posteriorposterior

11 182182 198198

22 232232 210210

33 191191 194194

44 200200 220220

55 148148 138138

66 249249 220220

77 276276 219219

88 213213 161161

99 241241 210210

1010 480480 313313

1111 262262 226226

Pruebas para muestras Pruebas para muestras dependientes:dependientes:

¿Indican los datos que existe una ¿Indican los datos que existe una diferencia significativa entre las dos diferencia significativa entre las dos medias muestrales para alfa 0.01?medias muestrales para alfa 0.01?

Comparación de dos varianzas Comparación de dos varianzas poblacionales:poblacionales:

2

2

2

1

S

SF

2

2

2

1

2

2

2

1

: Ha

:o H2

2

2

1

2

2

2

1

: Ha

:o H

Comparación de dos varianzas:Comparación de dos varianzas:

ALTEC Chihuahua ensambla componentes ALTEC Chihuahua ensambla componentes eléctricos. Durante los últimos 10 días, eléctricos. Durante los últimos 10 días, Mario Duarte ha tenido un promedio de 9 Mario Duarte ha tenido un promedio de 9 rechazos con desviación estándar de 2 rechazos con desviación estándar de 2 rechazos. El mismo lapso, Mónica Méndez rechazos. El mismo lapso, Mónica Méndez promedió 8.5 rechazos con desviación promedió 8.5 rechazos con desviación estándar de 1.5 rechazos. Con un nivel de estándar de 1.5 rechazos. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿es posible concluir significancia de 0.05, ¿es posible concluir que hay más variación en el número de que hay más variación en el número de rechazos por día que se atribuye a Mario rechazos por día que se atribuye a Mario Duarte?Duarte?

Comparación de dos varianzas:Comparación de dos varianzas:

gl1=10-1=9gl1=10-1=9 gl2=10-9=9gl2=10-9=9 Ho se rechaza si F>3.18Ho se rechaza si F>3.18 Ho no se rechaza. La variación es la Ho no se rechaza. La variación es la

misma para ambos empleadosmisma para ambos empleados

2

2

2

1

2

2

2

1

:

:

Ha

Ho