pruebas de hipotesis administración

séptima sección

Pruebas de hipótesis

MsC Edgar Madrid Cuello

Departamento de Matemática, UNISUCREEstadística II

Octubre 2015

MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis

séptima sección


De�nición

Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una

muestra aleatoria y signi�cativa, extraer conclusiones que permitan

aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor

de un parámetro desconocido de una población.

El propósito del análisis estadístico es reducir el nivel

de incertidumbre en el proceso de toma de

decisiones. Los gerentes pueden tomar mejores

decisiones sólo si tienen su�ciente información a su

disposición. La prueba de hipótesis es una

herramienta analítica muy efectiva para obtener

esta valiosa información, bajo una gran variedad de

circunstancias.


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De�nición (HIPÓTESIS )

A�rmación relativa a un parámetro de la población sujeta a

veri�cación.

Existen muchos ejemplos comunes en los negocios:

Ejemplo

Un empacador de arroz debe determinar si el peso promedio de sus

bolsas es de 450gr (µ = 450gr)

Ejemplo

Un embotellador de bebidas suaves debe determinar si el peso

promedio del contenido de sus botellas es 16 onzas (µ = 16 onzas).


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De�nición (Hipótesis nula y alternativa)

La estructura de la prueba de hipótesis se formulará usando el

término hipótesis nula, el cual se re�ere a cualquier hipótesis que

deseamos probar y se denota con H0. El rechazo de H0 conduce a

la aceptación de una hipótesis alternativa, que se denota con HA.

La hipótesis alternativa HA, por lo general, representa la pregunta

que debe responderse, la teoría que debe probarse y, por ello, su

especi�cación es muy importante.


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Ejemplo

Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz a�rma que el

contenido promedio de grasa saturada no excede de 1.5 gramos.

Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizar para probar esta

a�rmación y determinar dónde se localiza la región crítica.

H0 : µ = 1.5vs

HA : µ > 1.5


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Ejemplo

Un agente de bienes raíces a�rma que 60% de todas las viviendas

privadas que se construyen actualmente son casas con tres

dormitorios. Para probar esta a�rmación, se inspecciona una

muestra grande de viviendas nuevas. La proporción de tales casas

con tres dormitorios se registra y se utiliza como estadístico de

prueba. Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizarse en

esta prueba y determine la posición de la región crítica.

H0 : p = 0.6vs

HA : p 6= 0.6


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Valores críticos de Z y zonas de rechazo


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Estos valores de Z de ±1.96 son valores críticos que determinan laszonas de rechazo. Para hallarlos, divida por 2 el 95%. En la tablaZ, el área de 0.95/2 = 0.4750 indica un valor Z de 1.96. El 5%restante está distribuido entre las dos colas, con 2.5% en cada zonade rechazo. Este 5% es el nivel de signi�cancia, o el valor alfa de laprueba.

De�nición (Regla de decisión)

No se rechaza la hipótesis nula, con un nivel de con�anza, si los

valores Z están entre ±1.96. Se rechaza si el valor Z es menor que

-1.96 o mayor que 1.96.


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De�nición (Error tipo I )

Rechazar una hipótesis verdadera. La probabilidad de cometer un

error tipo I es igual al nivel de signi�cancia, o valor α en el que se

prueba la hipótesis.

Situación realH0 ver-dadera

HA ver-dadera

NUESTRADECISIÓN

Falta de evidenciasigni�cativa a favorde HA

Correcto Error tipo II

Evidencia signi�ca-tiva a favor de deHA

Error tipo I Correcto


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Ejemplo

Suponga que un alergólogo desea probar la hipótesis de que al

menos 30% del público es alérgico a algunos productos de queso.

Explique cómo el alergólogo podría cometer

un error tipo I

un error tipo II

Concluir que menos del 30% de el publico son alérgicos

a algunos productos de queso cuando, es cierto que,

30% o más son alérgicos.

Concluir que al menos 30% de el publico son alérgicos

a algunos productos de queso cuando, es cierto que,

menos 30% son alérgicos.


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Prueba de dos colas para µ

Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:

Paso 1 Plantear las hipótesis.

Paso 2 Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor delestadístico de prueba Z o t.

Paso 3 Determinar la regla de decisión con base en los valores críticosde Z o t.

Paso 4 Interpretación y conclusiones.


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De�nición

El valor Z utilizado para probar la hipótesis cuando σ es conocido

Z = X̄−µHσ√n

De�nición

El valor Z utilizado para probar la hipótesis cuando σ es

desconocido y n grande

Z = X̄−µHs√n


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Ejemplo

Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal para

pesca sintético que a�rma que tiene una resistencia media a la

rotura de 8 kilogramos con una desviación estándar de 0.5

kilogramos. Pruebe la hipótesis de que µ = 8 kilogramos contra la

alternativa de que µ 6= 8 kilogramos, si se prueba una muestra

aleatoria de 50 sedales y se encuentra que tiene una resistencia

media a la rotura de 7.8 kilogramos. Utilice un nivel de

signi�cancia de 0.01.a

aProbabilidad y Estadística, Walpole, Ejemplo 10.4


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Ejemplo (Planteamiento de hipótesis)

H0 : µ = 8vs

HA : µ 6= 8

Ejemplo (Estadístico de prueba Z)

Z = 7.8−80.5/√50

= −2.83


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Ejemplo (Contraste)


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Ejemplo (Interpretación y conclusiones)

Hay evidencia estadística para rechazar H0 y concluir que la

resistencia promedio a la rotura no es igual a 8 sino que, de hecho,

es menor que 8 kilogramos.


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De�nición (p-valora )

aTomado de Notas LLinas, 2011

El P-valor (o valor P) es el mínimo nivel de signi�cancia en el cual

la hipótesis nula H0 sería rechazada cuando se utiliza un

procedimiento de prueba especi�cado con un conjunto dado de

información. Una vez que el P-valor haya sido calculado, la

conclusión en cualquier nivel de signi�cancia a particular resulta de

comparar el P-valor con a. Así, entonces:

1 Si P-valor < α, entonces, rechace H0 al nivel α.

2 Si P-valor > α, entonces, no rechace H0 al nivel α.


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Ejemplo (P-valor)

Para el ejemplo anterior el p-valor es

2× p(Z < −2, 83) = 2× (0.0023274) = 0.0046548

Como este valor hallado es menor que α = 0.01, se rechaza H0 a

un nivel de signi�cancia del 0.01.


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Otras de�niciones

De�nición

Un valor P es el nivel (de signi�cancia) más bajo donde es

signi�cativo el valor observado del estadístico de prueba a.

aProbabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, R E. Walpole, Pearson

2007

De�nición

Valor p Es el nivel más bajo de signi�cancia (valor α) al cual sepuede rechazar la hipótesis nula. Es el área en la cola que está más

allá del valor del estadístico para la muestra a.

aEstadística aplicada a los negocios y a la economía, Tercera edición,

ALLEN L. WEBSTER, por McGRAW-HILL 2000.


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σ desconocido

De�nición

Cuando la varianza es desconocida, al igual que en casos anteriores

trabajaremos con la distribución t-Student, en vez de la distribución

normal.

t = X̄−µHs√n

con n− 1 grados de libertad


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Prueba de una cola

De�nición

Si la hipótesis alternativa da lugar a una región crítica "a un solo

lado del valor del parámetro", diremos que el test es unilateral o de

una sola cola


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Ejemplo

El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de

kilowatts-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se

a�rma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatts-hora

al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un

estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de

42 kilowatts-hora al año con una desviación estándar de 11.9kilowatts-hora, ¾en un nivel de signi�cancia de 0.05 (α) estosugiere que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46kilowatts-hora anualmente? Suponga que la población de

kilowatts-hora es normala.

aProbabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, R E. Walpole, Pearson

2007


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Ejemplo

Planteamiento de Hipótesis

H0 : µ = 46vs

HA : µ < 46

Observaciones:

Prueba de una sola cola (izquierda)

Varianza desconocida y n pequeño


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Ejemplo

Cálculo de el estadístico t

t = 42−4611.9√12

=−1.164

Cuyo p-valor −→pt(-1.16,11)= 0.1353036 > 0.05=α


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Ejercicio

El departamento de policía de Santa Clara, California, ha

descubierto que los agentes de tránsito deberían hacer un promedio

de 27 comparendos por mes. Si un agente hace más de esa

cantidad, es probable que sea demasiado entusiasta en el ejercicio

de sus funciones. Para evaluar a sus agentes, el jefe anotó el

número de comparendos realizados por los 15 agentes. Los

resultados aparecen en la siguiente tabla.

28 34 30

31 29 33

22 32 38

26 25 31

25 24 31

Con un nivel de signi�cancia del 5%, ¾parece que los agentes están

desempeñándose satisfactoriamente?


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Debido a la in�ación en las notas, en la cual los profesores hanvenido dando notas muy altas, el decano insiste que cada profesorrepruebe al 30% de sus estudiantes. En una muestra reciente de315 estudiantes, el Profesor Madrid reprobó a 112 estudiantes. ¾Elprofesor está cumpliendo con los requisitos que exige el decano?Sea α = 0.05. Calcule el valor p.


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Ejercicio


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Data & Analytics