PRUEBAS DE HIPOTESIS

Una creencia sobre la población, principalmente sobre sus parámetros:

MediaVarianzaProporciónDiferencia de medias entre dos poblacionesDiferencia de proporciones entre dos poblacionesEtc.

¿Qué es una hipótesis Estadística?

Creo que el % de enfermos es superior al 10%

Identificación de hipótesis

Hipótesis nula HoLa que contrastamos

Los datos pueden rechazarla

No debería ser rechazada sin una buena razón.

Hip. Alternativa H1

Niega a H0

Los datos pueden mostrar evidencia a favor

No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

:H

:H

1

0 %50p

%50p

, ,

, ,

¿

Problema: ¿La osteoporosis está relacionada con el sexo?

Solución:

Traducir a lenguaje estadístico:

Establecer su opuesto o complemento:

Seleccionar la hipótesis nula

%50p

%50p

%50:0 pH

Problema:¿El colesterol medio para la dieta mediterránea es 6 mmol/l?

Solución:

Traducir a lenguaje estadístico:

Establecer su opuesto:

Seleccionar la hipótesis nula

66

6:0 H

... el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

20X40

Razonamiento básicoSi supongo que H0 es cierta...

¿qué hace un científico cuando su teoría no coincide con sus predicciones?

... el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

RECHAZA Ho

Razonamiento básico

4038X

Si supongo que H0 es cierta...

... el resultado del experimento es coherente.

• No hay evidencia contra H0

•No se rechaza H0

•El experimento no es concluyente

•El contraste no es significativo

¿Si una teoría hace predicciones con éxito, queda probado que es cierta?

Región crítica y nivel de significación

Región críticaValores ‘improbables’ si...Es conocida antes de realizar el experimento: resultados experimentales que rechazarían H0

Nivel de significación: Número pequeño: 1% , 5%Fijado de antemano por el investigadorEs la probabilidad de rechazar H0 cuando es verdadera

No rechazo H0

Reg. Crit.Reg. Crit.

=5%

0 : 40H

Contrastes o Pruebas: unilateral y bilateralLa posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa

UnilateralUnilateral

Bilateral

H1: <40 H1: >40

H1: 40

Significación: p

43X

No se rechazaH0: =40

H0: =40

Significación: p

43X

No se rechazaH0: =40

Es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor del estadístico obtenido de la muestra. Es la probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H0. Es la probabilidad de que por puro azar obtengamos una muestra “más extraña” que la obtenida.p es conocido después de realizar el experimento aleatorioEl contraste es no significativo cuando p>

P

P

Significación : p

50X

Se rechaza H0: =40

Se acepta H1: >40

Significación : p

P

P

50X

Se rechaza H0: =40

Se acepta H1: >40

El contraste es estadísticamente significativo cuando p<Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori.

Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presuntapresunta comisión de un delito comisión de un delito

H0: Hipótesis nula Es inocente

H1: Hipótesis alternativa Es culpable

Los datos pueden rechazarlaLa que se acepta si las pruebas no indican lo contrarioRechazarla por error tiene graves consecuencias

Riesgos al tomar decisiones

No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.Rechazarla por error tiene consecuencias consideradas menos graves que la anterior

Tipos de error al tomar una decisión

Realidad

Inocente Culpable

veredicto Inocente OK Error

Menos grave

Culpable Error

Muy grave

OK

Tipos de error al contrastar hipótesis Realidad

H0 cierta H0 Falsa

No Rechazo H0 No hay error Error tipo II

No rechazar cuando es falsa

Rechazo H0

Acepto H1

Error tipo IRechazar cuando es verdadera

No hay error

0H

0H

TIPOS DE PRUEBAS HIPOTESIS

EXISTEN DOS TIPOS DE PRUEBAS DE HIPOTESIS, LAS CUALES DEPENDEN DEL OBJETIVO DEL ESTUDIO.

1) UNILATERALES. (UNA COLA)

2) BILATERALES. (DOS COLAS)

ACEPTACIÓN

BILATERAL

ACEPTACIÓN

Rechazo

Prueba unilateral por la derecha

HIPOTESIS RESPECTO DE LA MEDIA POBLACIONAL 1.- SUPUESTOS:

Población Normal y Varianza conocida 2

Tipos de Hipótesis:

UnilateralH

H

UnilateralH

H

BilateralH

H

01

00

01

00

01

00

:

:

:

:

:

:

Estadística para la dócima o Prueba

nX

ZC0

0)(2

0)(2

CC

CC

ZsiZZP

ZsiZZPpvalor

)( CZZPpvalor

)( CZZPpvalor

EjemploSe sabe que la variable Nivel total de proteínas en un adulto sano es de 7.25 ,y que se distribuye normalmente con desviación estándar 0.025. A un paciente que cree estar enfermo, se le aplican 8 análisis de sangre a lo largo de varios días, obteniendo los siguientes valores:7.23 – 7.25 – 7.28 – 7.29 – 7.32 – 7.26 – 7.27 – 7.24¿Qué hipótesis plantearía?

25.7:

25.7:

1

0

H

H

La estadística es una variable Z

036.2

025.0

825.7268.70

nX

Zc

0418.00209.02)036.2(2 ZPpv

Se rechaza la hipótesis nula, el paciente realmente está enfermo

HIPOTESIS RESPECTO DE LA MEDIA POBLACIONAL 2.- SUPUESTOS:

Población Normal y Varianza desconocida

Tipos de Hipótesis:

UnilateralH

H

UnilateralH

H

BilateralH

H

01

00

01

00

01

00

:

:

:

:

:

:

Estadística para la dócima o Prueba

)1(

0

nC t

S

nXt

0)(2

0)(2

)1(

)1(

CCn

CCn

tsittP

tsittPpvalor

)( )1( Cn ttPpvalor

)( )1( Cn ttPpvalor

EjemploSe ha realizado un experimento para estudiar el efecto del ejercicio físico en la reducción del nivel

de colesterol en pacientes ligeramente obesos, con riesgo de infarto de miocardio. Ochenta pacientes se someten a un régimen específico de ejercicios mientras mantienen una dieta normal. Transcurridas 4 semanas se anotará la variación del nivel de colesterol. Se piensa que el programa reducirá la media del nivel de colesterol en más de 25 puntos. Al final del estudio, los datos obtenidos son:¿Corroboran estos datos la teoría de la investigación?

Se trata de una hipótesis respecto a la media poblacional, unilateral.La población se supone normal y la varianza poblacional desconocidaComo la media muestral supera al valor propuesto para la media poblacional, las hipótesis son las siguientes:

La estadística es una variable

cuyo valor es y el v-p=

Luego no hay evidencia en la muestra para rechazar la hipótesis nula, porque el valor p es muy grande.

27 18x y s

0

1

: 25

: 25

H

H

0

1C n

X nt t

s

27 25 800.994

18Ct

79( 0.994) 0.1616P t

HIPOTESIS RESPECTO DE LA VARIANZA

SUPUESTO:

Población NormalEstadística para la prueba

22 2

( 1)20

( 1)C n

n S

Tipos de hipótesis

2 20 0 2 2

( 1)2 21 0

2 20 0 2 2

( 1)2 21 0

2 20 0 2 2

( 1)2 21 0

:2 ( )

:

:( )

:

:( )

:

n C

n C

n C

HBilateral p P

H

HUnilateral p P

H

HUnilateral p P

H

Ejemplo

El calcio se presenta en la sangre de los mamíferos en concentraciones de alrededor de 6 mg/100mL de sangre total. La desviación estándar normal de esta variable es 1 mg de calcio por cada 100 mL de sangre total. Una variabilidad mayor que ésta puede ocasionar graves trastornos en la coagulación de la sangre. Se realizaron una serie de 9 pruebas sobre un paciente, la que dio una media de 6.2 mg de calcio por 100mL de sangre total y una desviación estándar de 2 mg de calcio por 100mL de sangre total. ¿Hay alguna evidencia de que el nivel medio de calcio en este paciente sea más alto que el normal? ¿Hay alguna evidencia que la desviación estándar del nivel de calcio sea más alta que la normal?

Se trata en primer lugar de probar una hipótesis unilateral para la media poblacional. (Supuesto: la población es normal, la varianza poblacional es conocida e igual a 1) La estadística es una N(0,1)

No hay evidencia para rechazar la hipótesis nula.

En segundo lugar, se trata de una hipótesis sobre la varianza, de tipo unilateral.

La estadística es una variable

Cuyo valor es :

Hay evidencia altamente significativa en la muestra para rechazar la hipótesis nula y aceptar que la desviación estándar es más alta que la normal

6.2 6 90.6

1CZ

0

1

: 6

: 6

H

H

( 0.6) 0.2743v p P Z

20

21

: 1

: 1

H

H

0

22 2

12

1C n

n S

22 2

82

9 1 232 ( 32) 0.0001

1C v p P

HIPOTESIS RESPECTO DE LA PROPORCION DE EXITOS p EN LA POBLACION

Supuestos:

Población Bernoulli. Tamaño grande de muestraEstadística para la

prueba

0

0 0

ˆ(0,1)C

p pZ N

p q

n

Tipos de hipótesis

0 0

1 0

0 0

1 0

0 0

1 0

:2 ( )

:

:( )

:

:( )

:

C

C

C

H p pBilateral p P Z Z

H p p

H p pUnilateral p P Z Z

H p p

H p pUnilateral p P Z Z

H p p

EJEMPLO

En un estudio sobre el consumo de cigarrillos entre los adolescentes de una región del país, se sostiene que el porcentaje de mujeres fumadoras es mayor al 40% de las mujeres de esa población. Para probar la hipótesis, se tomó una muestra de 200 mujeres, donde 100 de ellas fumaban. Pruebe la hipótesis.

Se trata de una hipótesis unilateral sobre el parámetro p.

0

1

100ˆ: 0.5

200: 0.4 0.5 0.4

2.88 ( 2.88) 0.002: 0.4 0.4 0.6

200

C

El estimador puntual de p es p

H pZ p P Z

H p

Se rechaza la hipótesis nula y se acepta que el % de fumadoras supera la 40%

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA POBLACIÓN

DO

S P

OB

LA

CIO

NE

S