pruebas hipotesis 2pob2 (1)

UIA-ING

PRUEBAS DE HIPTESIS DE DOS POBLACIONES P. Reyes/Sept. 2007

PRUEBAS DE HIPTESIS

DE DOS POBLACIONESP. Reyes

Septiembre 2007

CONTENIDO1. Experimentos de comparaciones simples

2. Frmulas para calcular los estadsticos de prueba

3. Ejemplos de pruebas de hiptesis de dos poblaciones4. Ejercicios adicionales

Pruebas de hiptesis de dos poblacionesE

n esta seccin se analizan ciertos experimentos que se usan para comparar condiciones (a menudo llamadas tratamientos). A menudo, se denominan experimentos de comparacin simples. Ejemplo 2.1: La resistencia adhesiva a la tensin del cemento es una caracterstica importante del producto. Se desea probar la resistencia de una frmula modificada, a la que se han agregado emulsiones de polmeros de ltex durante el mezclado, contra la resistencia de la argamasa hecha con la frmula no modificada. Se hacen 10 observaciones de la resistencia de la frmula modificada y otras 10 de la frmula no modificada. Los datos aparecen en la Tabla 1.

Tabla 1

Cemento j

modificadoCemento

original

JY1jY2j

116.8517.50

216.4017.63

317.2118.25

416.3518.00

516.5217.86

617.0417.75

716.9618.22

817.1517.90

916.5917.96

1016.5718.15

Las dos frmulas pueden considerarse como dos tratamientos, o dos niveles de las formulaciones de factor.

A primera vista, estos datos dan la impresin de que la resistencia del cemento original es mayor que la del modificado, se refuerza al comparar los valores medios de la resistencia a la tensin, es decir, 16.76 kgf/cm2 del cemento modificado contra 17.92 kgf/cm2 del cemento original.

Una tcnica de inferencia estadstica llamada prueba de hiptesis (algunos prefieren denominarla pruebas de significacin), puede servir para ayudar al experimentador al comparar estas dos frmulas.

Inferencias sobre la diferencia de medias, diseos aleatorizados

A

hora se analizan los datos de este experimento de comparacin simple, usando procedimientos de prueba de hiptesis y de intervalos de confianza, para comparar las medias de los dos tratamientos.

Prueba de Hiptesis

Una hiptesis estadstica es una afirmacin acerca de los parmetros de una poblacin. Por ejemplo, en el problema del cemento puede pensarse que el nivel medio de la resistencia a la tensin de ambas formulas es similar. Esto lo podemos expresar, formalmente, de la siguiente manera:

En donde (1 es el valor medio de la resistencia a la tensin del cemento modificado, mientras que (2 es el valor medio de la resistencia a la tensin del cemento original. La afirmacin H0 se conoce como hiptesis nula, mientras que H1 se conoce como hiptesis alterna. La hiptesis alterna propuesta en este ejemplo es una hiptesis alterna bilateral, ya que puede ser verdadera s (1 < (2 o bien s (1, > (2.

Para probar una hiptesis hay que disear un procedimiento para tomar una muestra aleatoria y calcular un estadstico de prueba apropiada con objeto de rechazar o no la hiptesis nula H0. Parte de este procedimiento consiste en especificar el conjunto de valores del estadstico de prueba que conduzcan al rechazo de H0. Este conjunto de valores se denomina regin crtica o regin de rechazo de la prueba.

Al efectuar pruebas de hiptesis pueden cometerse dos tipos de error. Ocurre un error de tipo I cuando la hiptesis nula es rechazada siendo verdadera. Si la hiptesis nula no es rechazada cuando es falsa se comete un error de tipo II. Las probabilidades de cometer estos errores reciben un smbolo especial.

( = P(error tipo I) = P(rechazar H0(H0 es verdadera)

( = P(error tipo II) = P(no rechazar H0(H0 es falsa)

En ocasiones, es ms conveniente trabajar con la potencia de la prueba, donde Potencia = 1 - ( P(rechazar H0( H0 es falsa)

El procedimiento general de la prueba de hiptesis consiste en especificar un valor para (, la probabilidad de error tipo I, llamado a menudo, nivel de significacin de la prueba, para despus disear un procedimiento que asegure un valor pequeo para la probabilidad de error tipo II.

Supongamos que puede aceptarse que poseen el mismo valor las variancias en ambas frmulas de cemento. Una estadstica de prueba apropiada para usarse en la comparacin del nivel medio de los dos tratamientos en un diseo completamente aleatorizado es:

Donde son las medias mustrales, n1 y n2 el tamao de las muestras, Sp2 es una estimacin de la variancia comn (12 = (22 = (2 calculado mediante:

S12 y S22 son las dos variancias mustrales individuales. Hay que comparar t0 con respecto a la distribucin t con n1 + n2 - 2 grados de libertad, para decidir si se rechaza H0: (1 = (2. Se debe rechazar H0 y concluir que el nivel medio de la resistencia a la tensin para las dos frmulas de mortero de cemento Prtland difieren si (to( > to(/2, n1 + n2 2, donde to(/2, n1 + n2 2 es el punto porcentual (/2 superior de la distribucin t con n1 + n2 -2 grados de libertad.

Este procedimiento se justifica de la siguiente manera: Si se realiza el muestreo de dos poblaciones normales independientes, la distribucin de es N{(1 - (2, (2(1/n1+ 1/n2)}.

En este caso, si (2 es conocida, y s, adems, H0: (1 = (2 resulta verdadera, la distribucin de:

Ser NID(0,1 ). Sin embargo, al reemplazar ( por Sp en la Ecuacin anterior se cambia la distribucin Zo de la normal estndar a t con n1 + n2 -2 grados de libertad. Ahora bien, si H0 es verdadera, t0 en la Ecuacin de la prueba de to tiene una distribucin tn1 + n2 -2 y, en consecuencia, se espera que el 100(1 -() por ciento de los valores de t0 se encuentren entre t(/2, n1 + n2- 2 y t(/2, n1 + n2- 2. Una muestra que produzca un valor de to fuera de estos lmites es inusual si la hiptesis nula es verdadera, y constituye una evidencia de que Ho debe ser rechazada. Ntese que ( es la probabilidad del error tipo I para la prueba.

En algunos problemas el experimentador puede estar interesado en rechazar Ho slo si una media es mayor que la otra. En este caso se especifica la hiptesis alterna unilateral Ho: (1 > (2 y se rechaza Ho slo s to > t(, n1 + n2- 2. Si se desea rechazar Ho cuando (1 es menor que (2 solo si menor que (1, la hiptesis alterna ser H1: (1 < (2 y el experimentador debe rechazar s H s to < -t(,n1 + n2 -2.

Del ejemplo, con los datos de la tabla 2.1, se tiene:

Cemento modificado:

Cemento original::

Y

Ntese que no es razonable concluir que las variancias poblacionales son iguales por el hecho de que las variancias mustrales sean similares. La estadstica de prueba es:

Ahora bien, el punto porcentual superior de 2.5 de la distribucin t con n1 + n2 2 = 10 + 10 2 = 18 grados de libertad, es t.025,18 = 2.101. Como (to(= 9.13 > t025,18 = 2.101, debe rechazarse Ho y concluir que existe diferencia en el nivel medio de la resistencia a la tensin de las dos clases de mortero.

2. Frmulas para calcular los estadsticos utilizados en las pruebas de Hiptesis de 2 poblaciones.

Frmulas para Intervalos de confianza para parmetros de dos poblacionesa) Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales ((1-(2) con muestras grandes (n >= 30 ) y cuando ya se cuenta con historial, o sea que ( es conocida:

Si las ( poblacionales no se conoce entonces se usan las S de las muestras en su lugar:

b) Intervalo de confianza para estimar la diferencia entre dos medias poblacionales ((1-(2) con muestras pequeas (n < 30;). Con varianzas iguales ((1=(2) desconocidas:

c) Intervalo de confianza para estimar la diferencia entre dos medias poblacionales ((1-(2) con muestras pequeas (n < 30; grados de libertad = gl. Con varianzas desiguales ((1 ( (2): desconocidas:

d) Intervalo de confianza para la diferencia de medias con observaciones pareadas (gl = n-1):

e) Intervalo de confianza para estimar la diferencia de proporciones poblacionales ((1- (2):

Frmulas para calcular los estadsticos utilizados en las pruebas de Hiptesis de 2 pob.f) Estadstico Zc para probar la diferencia entre 2 medias poblacionales con muestras grandes

(n >= 30):

Lo normal es que.

g) Estadstico Fc para probar la igualdad de varianzas

Seleccionar que S1 sea la mayor.

h) Estadstico tc para probar la diferencia de medias de 2 poblaciones con muestras pequeas

(n < 30) y donde se asume que las (1 y (2 son iguales pero desconocidas:

i) Estadstico tc para probar la diferencia entre 2 medias poblacionales con muestras pequeas

(n < 30) y se asume que las (1 y (2 son desiguales y desconocidas:

j) Estadstico tc para probar la igualdad de dos medias poblacionales para observaciones pareadas:

k) Estadsico Zc para probar la diferencia de dos proporciones poblacionales:

A continuacin se presentan ejemplos de cada caso:

a) Estadstico Zc para probar la diferencia entre 2 medias poblacionales con muestras grandes

(n >= 30):

Lo normal es que.

Estadstico de tablas Zalfa o Zalfa/2 en Excel =DISTR.NORM.ESTAND.INV(alfa o alfa/2)

Estadstico de tablas Zalfa o Zalfa/2 en Minitab >Calc >Probability distributions> Normal:

Inverse Cummulative prob; Mean = 0; Std. Dev. = 0; Input constant = Alfa o alfa/2

Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales ((1-(2) con muestras grandes (n >= 30 ) y cuando ya se cuenta con historial, o sea que ( es conocida:

Si las ( poblacionales no se conoce entonces se usan las S de las muestras en su lugar:

El valor p de probabilidad correspondiente al estadstico Zc se determina como sigue:

P value en Excel =DISTR.NORM.ESTAND(Zc)

P value en Minitab >Calc >Probability distributions> Normal:

Cummulative prob; Mean = 0; Std. Dev. = 0; Input constant = Zc

Prueba Minitab

>Stat >Basic statistics > 2- Sample t

Summarized data

Sample size Mean

Standar deviation

First

60

587

145Second

50

512

125! Assume equal variances

Options: Confidence level 98%

Test difference

0.0

Alternate

Not equal

OK

Criterios de rechazo de Ho:

Si Zc cae en la zona de rechazo

El valor Cero de la Hiptesis no se encuentra en el Intervalo de confianza

El valor P es menor que el valor de alfa (prueba de una cola) o de alfa/2 (dos colas).

b) Estadstico Fc para probar la igualdad de varianzas

Seleccionar que S1 sea la mayor.

Estadstico de tablas Falfa/2 en Excel = DISTR.F.INV(Alfa/2, gl. n1-1, gl. n2-1)

El valor p de probabilidad correspondiente a Fc en Minitab se determina como sigue:

P value en Excel =DISTR.F(Fc, gl. n1-1, gl. n2-2)

P value en Minitab >Calc >Probability distributions> F:

Cummulative prob; Numerator degrees of freedom = n1- 1; denominator degrees of freedom = n2-1; Input constant = Fc

Prueba Minitab

>Stat >Basic statistics > 2- Variances

Summarized data

Sample size Variance

First

60

21025Second

50

15625Number of trial 500Number of events 225


OK

Resultados

Test for Equal Variances

98% Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Sample N Lower StDev Upper

1 60 116.937 145 188.881

2 50 98.928 125 167.622

F-Test (normal distribution)

Test statistic = 1.35, p-value = 0.287Criterios de rechazo de Ho:

Si Fc cae en la zona de rechazo



c) Estadstico tc para probar la diferencia de medias de 2 poblaciones con muestras pequeas (n < 30) y donde se asume que las (1 y (2 son iguales pero desconocidas:

Estadstico de tablas Talfa o Talfa/2 en Excel =DISTR.T.INV(2*alfa o alfa, grados de libertad n1+n2-2)

Estadstico de tablas Talfa o Talfa/2 en Minitab >Calc >Probability distributions> :

Inverse Cummulative prob; Degrees of freedom = n1+n2-2; Input constant = Alfa o alfa/2

Intervalo de confianza para estimar la diferencia entre dos medias poblacionales ((1-(2) con muestras pequeas (n < 30;). Con varianzas iguales ((1=(2) desconocidas:

El valor p de probabilidad correspondiente al estadstico Tc se determina como sigue:

P value en Excel =DISTR.T(Tc, grados de libertad = n1 + n2 - 2, 1 o 2 colas)

P value en Minitab >Calc >Probability distributions> T:

Cummulative prob; Degrees of freedom = n1 + n2 - 2; Input constant = Tc


Si Tc cae en la zona de rechazo



Prueba Minitab


Summarized data

Sample size Mean

Standar deviation

First

60

587

145Second

50

512



Test difference 0.0

Alternate

Not equal

OK

Resultados

Two-Sample T-Test and CI

SE

Sample N Mean StDev Mean

1 60 587 145 19

2 50 512 125 18

Difference = mu (1) - mu (2)

Estimate for difference: 75.0000

98% CI for difference: (13.3739, 136.6261)

Si en el IC no se encuentra el 0 se rechaza la Hiptesis nula.T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.87 P-Value = 0.005 DF = 108Both use Pooled StDev = 136.2901

d) Estadstico tc para probar la diferencia entre 2 medias poblacionales con muestras pequeas (n < 30) y se asume que las (1 y (2 son desiguales y desconocidas:

Estadstico de tablas Talfa o Talfa/2 en Excel =DISTR.T.INV(2*alfa o alfa, grados de libertad calculados)


Inverse Cummulative prob; Degrees of freedom =calculados; Input constant = Alfa o alfa/2

Intervalo de confianza para estimar la diferencia entre dos medias poblacionales ((1-(2) con muestras pequeas (n < 30; grados de libertad = gl. Con varianzas desiguales ((1 ( (2): desconocidas:


P value en Excel =DISTR.T(Tc, grados de libertad =calculados, 1 o 2 colas)


Cummulative prob; Degrees of freedom = calculados; Input constant = Tc





e) Estadstico tc para probar la igualdad de dos medias poblacionales para observaciones pareadas:

Estadstico de tablas Talfa o Talfa/2 en Excel =DISTR.T.INV(2*alfa o alfa, grados de libertad = n-1)


Inverse Cummulative prob; Degrees of freedom = n 1; Input constant = Alfa o alfa/2

Intervalo de confianza para la diferencia de medias con observaciones pareadas (gl = n-1):


P value en Excel =DISTR.T(Tc, grados de libertad = n 1, 2 colas)


Cummulative prob; Degrees of freedom = n - 1; Input constant = Tc

Prueba en Minitab

>Stat >Basic statistics > Paired t

Summarized data (differences)

Sample size

81

Mean

36.5

Standar deviation 29.1


Test difference 0.0

Alternate

Not equal

OK

Resultados

Paired T-Test and CI

N Mean StDev SE Mean

Difference 81 36.5000 29.1000 3.2333

99% CI for mean difference: (27.9682, 45.0318)

T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 11.29 P-Value = 0.000Criterios de rechazo de Ho:




f) Estadsico Zc para probar la diferencia de dos proporciones poblacionales:

Estadstico de tablas Zalfa o Zalfa/2 en Excel =DISTR.NORM.ESTAND.INV(alfa o alfa/2)

Estadstico de tablas Zalfa o Zalfa/2 en Minitab >Calc >Probability distributions> Normal:

Inverse Cummulative prob; Mean = 0; Std. Dev. = 0; Input constant = Alfa o alfa/2

Intervalo de confianza para estimar la diferencia de proporciones poblacionales ((1- (2):

El valor p de probabilidad correspondiente al estadstico Zc se determina como sigue:

P value en Excel =DISTR.NORM.ESTAND(Zc)

P value en Minitab >Calc >Probability distributions> Normal:

Cummulative prob; Mean = 0; Std. Dev. = 0; Input constant = Zc

Prueba Minitab

>Stat >Basic statistics > 2- Proportion

Summarized data

Trials

Events

First 120 83

Second 150 109

Confidence level 95%Test differenca 0.0

Alternative Not equal

! Use pooled estimate of p for test

OK

Resultados

Test and CI for Two Proportions

Sample X N Sample p

1 83 120 0.691667

2 109 150 0.726667

Difference = p (1) - p (2)

Estimate for difference: -0.035

95% CI for difference: (-0.144150, 0.0741499)

Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = -0.63 P-Value = 0.528Si Zc cae en la zona de rechazo



3. Ejemplos de pruebas de hiptesis de dos poblacionesPrueba Z de 2 colas

Problema 1

Se toman muestras de tamao n2=50 y n1=60, revelan medias y desviaciones estndar X2=512, s2 =125, X1=587, s1=145 respectivamente. A un nivel del 2% pruebe la hiptesis de que las medias de ambas poblaciones son iguales.

Solucin

a) Prueba de igualdad de varianzas

Solucin

1) Ho: 12 = 22

Ho: 12 222) Fc = 145*145 / 125*125 = 1.3456

3) F0.02/2,59,49 = distr.f.inv(0.01, 59, 49) = 1.92

4) Dado que Fc= 1.34 es menor que Ft= 1.92 la Ho no se rechaza a un nivel de alfa del 2%. Indicando que las varianzas son iguales:5) El valor P correspondiente a Fc es: =distr.f(1.34, 59,49) = 0.1467

Prueba Minitab

>Stat >Basic statistics > 2- Variances

Summarized data

Sample size Variance

First

60

21025Second

50

15625Number of trial 500Number of events 225


OK

RESULTADOS Y CONCLUSIONESLas varianzas son iguales

b) Prueba de la igualdad de medias

1) Ho: 1 = 2

Ho: 1 2

2) S= (125)2 / 50 + (145) 2 / 60 = 312.5 + 350.42 = 25.75

Zc= (512 -587) 0 / 25.75 = -75 / 25.75 = -2.91

3) = 2%

0.02/2 = 0.01

Z de tablas para 0.01 = -2.32

4) Dado que Zc= -2.91 es menor a Zt=-2.32 la Ho se rechaza a un nivel alfa del 2%.

Las medias de las poblaciones no son iguales5) Valor P correspondiente a Zc es 0.0018 con =distr.norm.estand(-2.91)

Prueba Minitab


Summarized data

Sample size Mean

Standar deviation

First

60

587

145Second

50

512



Test difference 0.0

Alternate

Not equal

OK

RESULTADOS Y CONCLUSIONESProblema 2Se toman muestras de tamao n2=64 y n1=81, revelan medias y desviaciones estndar X2=65.2 s2=21.2 X1=58.6, s1=25.3 respectivamente. A un nivel del 5% pruebe la hiptesis de que las varianzas y despus de que las medias de ambas poblaciones son iguales.

Solucin

a) Prueba de igualdad de varianzas

1) Ho: 12 = 22

Ho: 12 22

2) Fc = 25.3*25.3/ 21.2*21.2 = 1.424

3) F0.05/2,80,63 = distr.f.inv(0.025, 80, 63) = 1.61

4) Dado que Fc= 1.424 es menor que Ft= 1.61 la Ho no se rechaza a un nivel de alfa del 5%. Indicando que las varianzas son iguales:

El valor P correspondiente a Fc para media cola es: =distr.f(1.424, 80, 63) = 0.072Prueba con Minitab: RESULTADOS Y CONCLUSIONESb) Prueba de igualdad de medias1) Ho: 1 = 2

Ho: 1 2

2) S= (21.2)2 / 64 + (25.3) 2 / 81 = 7.02 + 7.90 = 3.86

Zc= (65.2 -58.6) 0 / 3.86 = 1.71

3) = 5%

0.05/2=0.025

Z de tablas para 0.025 = 1.95

4) Dado Zc= 1.71 menor a Zt=1.95 la Ho no se rechaza a un nivel de confianza del 5%.

Indicando que las medias poblacionales no son diferentes

5) Valor P de la prueba para Zc = 1.71 =distr.norm.estand(-1.71) = 0.0436

Este valor es mayor que alfa/ 2 = 0.025 por tanto se rechaza Ho.

Prueba con Minitab: RESULTADOS Y CONCLUSIONESProblema 3

Determinar a un 90% de nivel de confianza si hay diferencia entre las varianzas y las medias de los tiempos que se tarda en arreglar una cocina y una recmara:

CocinaRecamara

25.218.0

17.422.9

22.826.4

21.924.8

19.726.9

23.017.8

19.724.6

23.021.0

19.7

16.9

21.8

23.6

A) Prueba de igualdad de dos varianzas

B) Prueba de igualdad de dos medias

Prueba con Minitab: RESULTADOS Y CONCLUSIONESProblema 4

Probar si hay diferencia entre los mtodos actual y nuevo para la realizacin de una tarea, a un 95% de nivel de confianza:

Los datos de los tiempos de respuesta para ambos mtodos se muestran a continuacin:

ActualNuevo

300276

280222

344310

385338

372200

360302

288317

321260

376320

290312

301334

283265

A) Probar la igualdad de las varianzas

B) Probar la igualdad de las medias

Prueba con Minitab: RESULTADOS Y CONCLUSIONESPrueba Z de dos colas para proporciones

Problema 5

Muestras de tamao n1=120 y n2=150 produjeron proporciones de p1=0.69 y p2=0.73. Pruebe la igualdad de las proporciones de las poblaciones a un nivel del 5%.

1) Ho: 1 = 2

Ho: 1 2

2) s= (0.69)(1-0.69) / 120 + (0.73)(1-0.73)/150 = 0.00178 + 0.00131= 0.056

Zc= 0.69 0.73 / 0.056 = -0.714

3) 0.05/2 = 0.025

Z de tablas para 0.025= -1.95

4) Dado que Zc=- 0.714 es mayor que Zt=-1.95 la Ho no se rechaza a un nivel de confianza del 5%.

5) El valor P correspondiente a la Zc es 0.2376 con =distr.norm.estand(Zc = -0.714

Prueba Minitab

>Stat >Basic statistics > 2- Proportion

Summarized data

Trials

Events

First 120 83

Second 150 109

Confidence level 95%Test differenca 0.0 Alternative Not equal

! Use pooled estimate of p for test

OK

RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Problema 6

Yahoo hizo una encuesta para determinar el porcentaje de personas que usaban Internet en el trabajo:

En Mxico se encontr que el 40% de los adultos usa Internet de una muestra de 240.En Monterrey el 32% de los adultos usaba Internet de una muestra de 250.Es mayor la proporcin que usa Internet en Mxico que en Monterrey para un 95% de nivel de confianza?

4. Ejercicios adicionales:

1. Se toman 200 muestras de dos segmentos normales de clientes identificando su preferencia en los productos de la empresa, los datos obtenidos son: Media 1 = 6.40, Sigma 1 = 2.19, Media 2 = 6.80, Sigma 2 = 2.42.

Probar a un 95% de nivel de confianza si no hay diferencia en las medias.

2. Los resultados para dos diferentes equipos se muestran a continuacin:

A60.056.068.877.074.472.057.664.275.258.060.256.6

B55.244.462.067.640.060.463.452.064.062.466.853.0

Probar a un 95% de nivel de confianza si:

a) Si no hay diferencia en las varianzas de los segmentos.

b) Si no hay diferencia en las medias de los segmentos.

3. Los tiempos de llamadas a dos servicios de Call centres en minutos son los siguientes:

A2.953.163.123.453.23.223.53.222.983.753.383.453.483.9

B3.223.33.343.283.293.253.33.273.383.343.353.193.353.05

Probar a un 80% de nivel de confianza si hay diferencia:

a) Entre las varianzas de los dos Call Centers.

b) Entre las medias de los dos Call Centers.

4. A dos grupos de inspectores se les pidi que indicaran el porcentaje de rechazo en dos lneas de produccin:

Lnea A: Lotes inspeccionados 50 Lotes rechazados 21

Lnea B: Lotes inspeccionados 65 Lotes rechazados 26

Probar a un Nivel de Confianza del 98% se hay diferencia de calidad en las dos lneas productivas.

5. Determinar a un nivel de confianza del 90% si hay diferencia entre las medias de dos poblaciones.

Cocina25.217.422.821.919.723.019.723.019.716.921.823.6

Recamara18.022.926.424.826.917.824.621.0

6. Se toman muestras aleatorias de 15 mujeres sindicalizadas y 20 no sindicalizadas con los siguientes: salarios por hora:

22.418.916.714.116.220.016.116.319.116.518.519.817.014.317.2

Sind.No sind.

17.614.416.615.017.715.017.613.311.215.919.211.916.7145.215.3

17.015.114.313.914.5

7. Los tiempos de terminacin del programa y estadsticos del estudio de prueba del programa se muestran a continuacin:

Tecnologa actual: 300280344385372360288321376290301283

Nuevo programa: 276222310338200302317260320312334265

8. Los tiempos de terminacin para la tarea con un mtodo mejorado y actual son, para el mismo empleado:Pareadas

Mtodo 1

6.05.07.06.26.06.4

Mtodo 2

5.45.26.55.96.05.8

9. Un comprador califica un producto antes y despus de ver un comercial: pareadas

Antes

54735856

Despus66743976

10. A dos grupos de personas se les pidi que indicaran el porcentaje de recordatorio de dos comerciales:

ComercialLo vieronLo recordaron

A

150

63

B

200

60

Probar a un 5% si son iguales los dos grupos

11. Yahoo hizo una encuesta para determinar el porcentaje de personas que usaban Internet en el trabajo:

En Mxico se encontr que el 40% de los adultos usa Internet de una muestra de 240.

En Monterrey el 32% de los adultos usaba Internet de una muestra de 250.

Es mayor la proporcin que usa Internet en Mxico que en Monterrey?

12. Los tiempos de respuesta en das de dos procesos de atencin al cliente se muestran a continuacin:

Proceso A2.953.163.123.453.23.223.53.222.983.753.383.453.483.9

3.73.263.363.343.333.253.183.23.283.353.12

Proceso B3.223.33.343.283.293.253.33.273.383.343.353.193.353.05

3.363.2583.33.283.33.33.23.163.33

Probar a un 95% de confianza si hay diferencia entre las varianzas de las dos muestras.

PAGE 38

_1073239352.unknown

_1125076032.unknown

_1125077152.unknown

_1168959721.unknown

_1168959760.unknown

_1168959525.unknown

_1125076927.unknown

_1125076947.unknown

_1125076855.unknown

_1125075379.unknown

_1125075671.unknown

_1125076005.unknown

_1125075556.unknown

_1125075557.unknown

_1125074069.unknown

_1125074331.unknown

_1125073348.unknown

_1125073372.unknown

_1073239378.unknown

_1067859302.unknown

_1073239281.unknown

_1073239314.unknown

_1067859533.unknown

_1073239252.unknown

_1067859321.unknown

_1056175419.unknown

_1067427014.unknown

_1056029566.unknown

_1056032940.unknown

pruebas hipotesis 2pob2 (1)

Documents