3 - otras pruebas de hipotesis estadisticas

Materia: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS V – ESTADÍSTICA IIProfesora: Verónica Herrero

- 1 -

MODULO 3 3.- ANÁLISIS DE VARIANZA (PRUEBA ANOVA) Bibliografía básica: Berenson y Levine (1996) Estadística para Administración y Economía. 6ª. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. Madrid. Capítulos: 14 (Apartados 14.1, 14.2, 14.3, 14.4), 15 (Apartado 15.6) 4. PRUEBAS DE VARIABLES CATEGÓRICAS Hasta ahora, cuando trabajábamos con datos categóricos, nos concentramos en el parámetro proporción. En muchas ocasiones debemos abordar algunas de las siguientes situaciones:

a) Considerar toda una distribución de valores de una variable categórica (y no sólo una variable dicotómica)

b) Tener en cuenta la distribución bivariada de dos variables categóricas (es decir, analizar las ocurrencias de categorías de ambas dimensiones al mismo tiempo)

Para el primer tipo de situación desarrollaremos una prueba denominada de bondad de ajuste, que sirve para sacar una conclusión acerca de la distribución que efectivamente sigue una determinada variable. El segundo tipo de problema, en el que nos auxiliaremos con tablas de contingencia, es abordado por las pruebas denominadas de independencia. Ambas pruebas utilizan estadísticos con distribución chi cuadrado. 4.1. Prueba de bondad de ajuste La prueba de bondad de ajuste sirve para determinar si una población tiene una distribución teórica específica, ya sea una distribución conocida o una distribución ad hoc. La prueba se basa en qué tan buen ajuste o concordancia se tiene entre las frecuencias de ocurrencia de las observaciones en una muestra observada y las frecuencias esperadas que se obtienen a partir de la distribución hipotética. El estadístico de prueba tiene distribución chi cuadrado con (k-1) grados de libertad, donde k es la cantidad total de valores que tiene la distribución analizada.


- 2 -

∑=

−−

=k

i e

oek f

ff1

22

1)(χ

En este caso las hipótesis nula y alternativa que se consideran en la prueba de hipótesis son: Hipótesis nula: Ho: La variable tiene la distribución supuesta (en este lugar se especifican los aspectos a probar, ya sea una descripción de cómo distribuye, o con el nombre de la distribución conocida y sus parámetros correspondientes) Hipótesis alternativa: H1: La variable no sigue la distribución supuesta En las pruebas chi cuadrado de bondad de ajuste, siempre se coloca el riesgo de no aceptar la hipótesis nula siendo ésta cierta (el nivel de significación, α) en el extremo superior de valores de la distribución chi cuadrado, como muestra la siguiente figura. Figura Prueba chi cuadrado de bondad de ajuste-Ubicación de la zona de rechazo

Fuente: elaboración propia, con captura de imagen de distribución chi cuadrado de http://media.photobucket.com/image/distribuci%2525C3%2525B3n%20chi%20cuadrado/BlogAqueronte/Estadistica/Tablas/Ji%20Cuadrado/JiCuadrado.gif


- 3 -

Como puede observarse en el estadístico de prueba, el valor que surja a partir de los datos muéstrales será elevado cuando difieran sistemáticamente las frecuencias observadas de las esperadas (que se construyen teniendo en cuenta la distribución hipotética indicada en la hipótesis nula). Por ello es que valores elevados del estadístico caerán en la zona de rechazo. Veamos una aplicación completa de esta prueba.

Se supone que el número de defectos en un dispositivo para pagos electrónicos sigue una distribución Poisson. Toma una muestra aleatoria de 43 dispositivos y se observa el número de defectos. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Número de defectos

Frecuencia observada

0

25

1

10

2

6

3 ó más 2

En primer lugar, explicitaremos las hipótesis de la prueba. Ho: El número de defectos en el dispositivo tiene una distribución de Poisson. H1: El número de defectos en el dispositivo no tiene una distribución de Poisson. Si trabajamos con un α=0,05, el valor crítico de chi cuadrado con 3 grados de libertad será 7,83. La regla de decisión quedará entonces: Si el estadístico muestral es inferior a 7,83, no se rechaza Ho. Si el estadístico muestral es mayor o igual a 7,83, se rechaza Ho.


- 4 -

A los fines de construir la tabla de distribución teórica, o frecuencias esperadas, deberemos estimar en primer lugar el valor de λ, ya que no nos ha sido proporcionado. Calcularemos entonces, el valor esperado con los datos de la muestra:

432.36.210.125.0 +++

=λ

4328

=λ

65,0=λ Podemos utilizar ahora el parámetro estimado λ=0,65, para calcular con la fórmula de la distribución de Poisson o con la tabla las frecuencias esperadas:

!)(

xexP

xλλ−=

Con esta fórmula obtuvimos las siguientes probabilidades, que luego aplicaremos al tamaño total de la muestra para calcular las frecuencias esperadas.

Defectos

Probabilidad

0

0,52205

1

0,33933

2

0,10519

3 ó más 0,03343


- 5 -

Frecuencias esperadas:

Defectos Frecuencia Esperada

0 22,44815 1 14,59119 2 4,52317

3 o más 1,43749 Total 43

Ahora aplicaremos la fórmula del estadístico de prueba.

∑=

−−

=k

i e

oek f

ff1

22

1)(χ

Defectos Frecuencia esperada

Frecuencia observada

fe-fo (fe-fo)2 (fe-fo)/fe

0 22,44815 25 -2,55185 6,51193842 0,29008798

1 14,59119 10 4,59119 21,0790256 1,44464061

2 4,52317 6 -1,47683 2,18102685 0,48218989

3 ó más 1,43749 2 -0,56251 0,3164175 0,22011805

Total 43 43 2,43703653

Teniendo en cuenta la regla de decisión, no se rechaza la hipótesis nula. En síntesis, con la evidencia aportada por la muestra, no podemos descartar, con una significación de 0,05, que el número de defectos se distribuye Poisson.

Tenga en cuenta que este tema (prueba de bondad de ajuste) no se encuentra desarrollado en la bibliografía básica de la materia.


- 6 -

4.2. Prueba de independencia de dos variables categóricas La prueba de independencia permite establecer si existe o no relación entre variables categóricas, cuando cada una de las cuales posee dos o más categorías. Veamos un ejemplo. Se llevó a cabo una encuesta de expectativas económicas vinculada con la confianza de los consumidores, y se toma como referencia, la evolución previa de la situación económica que percibieron los encuestados. En particular, se distinguen en las respuestas quienes mejoraron su situación, quienes la mantuvieron igual y quienes empeoraron en el último año. Interesa considerar la posible relación de la evolución de la situación económica percibida para diferentes segmentos de edad de la población. Se distinguieron los encuestados de acuerdo con los siguientes grupos: De 18 a 29 años: Jóvenes De 30 a 59 años: Adultos plenos De 60 años y más: Adultos mayores. Se consideraron de manera conjunta ambas variables en una tabla de contingencia, donde en las celdas se indica cuántos individuos reúnen al mismo tiempo las características reflejadas en la fila y columna correspondientes. Los resultados arrojados por el estudio son los siguientes: Tabla: Encuestados según cambio en la situación económica personal y grupos de edad Cambios en la situación económica personal en el último

año Edades

Mejoró Se mantuvo igual Empeoró

Jóvenes

180 150 90

Adultos plenos

120 180 70

Adultos mayores

70 100 130

Fuente: elaboración propia La prueba Chi cuadrado que presentaremos permite establecer si existe relación entre escalas como las planteadas en el ejemplo. La prueba Chi cuadrada es una prueba de carácter general que se utiliza cuando se desea determinar si las frecuencias absolutas obtenidas en la observación (como en la tabla del ejemplo previo), difieren significativamente o no de las que se esperarían bajo


- 7 -

cierta hipótesis planteada de interrelación de las categorías de las variables consideradas. Tabla cruzada: Datos observados, frecuencias absolutas, porcentajes totales, en filas y en columnas

Tabla cruzada: cambio en la situación económica * grupo de edad

Cambios en la situación

económica personal en el último año

Total

Mejoró Se mantuvo igual

Empeoró

Grupo

de edad

Jóvenes Total 180 150 90 420

% en grupo de

edad

42,9% 35,7% 21,4% 100,0%

% en cambio 48,6% 34,9% 31,0% 38,5%

% del total

16,5% 13,8% 8,3% 38,5%

Adultos

plenos

Total 120 180 70 370

% en grupo de

edad

32,4% 48,6% 18,9% 100,0%

% en cambio 32,4% 41,9% 24,1% 33,9%

% del total

11,0% 16,5% 6,4% 33,9%

Adultos

mayores

Total 70 100 130 300

% en grupo de

edad

23,3% 33,3% 43,3% 100,0%

% en cambio 18,9% 23,3% 44,8% 27,5%

% del total

6,4% 9,2% 11,9% 27,5%

Total Total 370 430 290 1090

% en grupo de

edad

33,9% 39,4% 26,6% 100,0%

% en cambio 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

% del total 33,9% 39,4% 26,6% 100,0%


- 8 -

Considerando los datos de la tabla previa, se puede observar que entre los que mejoraron, es más elevada la proporción de jóvenes, respecto del total, en tanto, entre los que se mantuvieron, la proporción que se destaca es la de Adultos plenos. Finalmente, entre los individuos que vieron desmejorar su situación económica, presentan proporcionalmente una mayor presencia de Adultos mayores que el resto. A los fines de corroborar si tal observación puede sostenerse, o bien si se trata sólo de una casualidad presente en los datos de la muestra, la prueba Chi cuadrado permite someter a contraste las siguientes hipótesis: Ho: Las variables son independientes entre sí (es decir, no tienen relación) H1: Las variables no son independientes. Observe que si bien estamos interesados en considerar la vinculación entre las variables, la hipótesis nula parte del supuesto neutral de no relación o independencia. En el caso de rechazar la hipótesis nula, detectaremos la relación que suponemos que existe, que motivó el estudio. El estadístico justamente considerará esta situación, en la cual, si los valores observados se distancian significativamente del valor esperado bajo el supuesto de independencia, el estadístico resultará en un valor elevado (ubicado en la zona de rechazo), y se rechazará la hipótesis nula. El estadístico Chi cuadrado está dado por:

∑ −=

e

eo

fff 2

2 )(χ

Este estadístico se distribuye Chi cuadrado con (c-1).(f-1) grados de libertad. Donde fo: frecuencias observadas fe: frencuencias esperadas c= número de columnas f= número de filas También en la prueba chi cuadrado de independencia se localizaa el riesgo de no aceptar la hipótesis nula siendo ésta cierta (el nivel de significación, α) en el extremo superior de valores de la distribución chi cuadrado, como muestra la siguiente figura.


- 9 -

Figura Prueba chi cuadrado de independencia -Ubicación de la zona de rechazo

Fuente: elaboración propia, con captura de imagen de distribución chi cuadrado de http://media.photobucket.com/image/distribuci%2525C3%2525B3n%20chi%20cuadrado/BlogAqueronte/Estadistica/Tablas/Ji%20Cuadrado/JiCuadrado.gif Nuevamente puede observarse que si las frecuencias esperadas (bajo la hipótesis nul cierta de independencia o no relación entre variables), difieren sistemáticamente de las observadas, tendremos elementos como para descartar la independencia, y concluiremos que existe relación entre las variables. En tal caso, el valor del estadístico asumirá valores elevados. De lo contrario, si en general, las frecuencias esperadas (bajo la hipótesis de no relación) no difieren de las observadas, no tendremos elementos para descartar la independencia. Continuemos ahora con el ejemplo, obteniendo las frecuencias esperadas y completando el test. Suponiendo una significación de 0,05, dado que se trabaja con 4 grados de libertad (tres filas y tres columnas), el valor crítico del estadístico chi cuadrado es: 9,5. La regla de decisión será: Si el estadístico obtenido con datos muestrales es inferior a 9,5, no se rechazará la hipótesis nula. Si el estadístico basado en los datos muestrales es mayor a 9,5, se rechazará la hipótesis nula de independencia, y se concluirá que existe relación entre las variables.


- 10 -

Para calcular las frecuencias esperadas de cada celda de la tabla de contingencia, se debe multiplicar la frecuencia marginal de la fila de la celda por la frecuencia marginal de la columna de la celda, y luego dividir ese resultado por el tamaño total de la muestra. Por ejemplo, para calcular la frecuencia esperada de la celda “Jóvenes que mejoraron su situación económica”, realizamos la siguiente operación:

1090370.420

=ef

La siguiente tabla sintetiza las frecuencias marginales para poder calcular las frecuencias esperadas de todas las celdas interiores de la tabla. Tabla de contingencia: frecuencias marginales

Cambios en la situación económica personal en el

último año

Edades Mejoró Se mantuvo

igual

Empeoró Total

Jóvenes 420

Adultos plenos 370

Adultos mayores

300

Total 370 430 290 1090

Con el procedimiento descripto, la tabla de frecuencias esperadas resulta: Frecuencias esperadas


- 11 -

Cambios en la situación económica personal en el último año

Edades Mejoró Se mantuvo igual

Empeoró Total

Jóvenes 142,569 165,688 111,743 420

Adultos plenos

125,596 145,963 98,440 370

Adultos mayores

101,835 118,349 79,817 300

Total 370 430 290 1090

La siguiente tabla surge de comparar los valores observados y esperados:

Cambios en la situación económica personal en el último año

Edades Mejoró Se mantuvo igual

Empeoró

Jóvenes ‐37,431 15,688 21,743

Adultos plenos

5,596 ‐34,037 28,440

Adultos mayores

31,835 18,349 ‐50,183

Finalmente los valores que suman de cada celda para construir el estadístico muestral. El valor del estadístico basado en datos muestrales es: 76,3, que cae en la zona de rechazo, por lo tanto se concluye las variables grupo de edad de los encuestados se relaciona con la percepción de cambio en su situación económica en el último año.


- 12 -

Tabla con los valores que se suman para obtener el estadísitico muestral, cada

celda contiene los valores de ije

eo

fff

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ − 2)( , para la celda ij, respectivamente.

Cambios en la situación económica

personal en el último año Edades Mejoró Se mantuvo igual Empeoró

Jóvenes 9,827 1,485 4,231

Adultos plenos

0,249 7,937 8,217

Adultos mayores

9,952 2,845 31,552

5. ANÁLISIS DE VARIANZA 5.1. Análisis de varianza de un factor El análisis de varianza o como es más conocido, ANOVA, sus siglas de la denominación en inglés: ANalysis Of VAriance, examina dos o más conjuntos de datos, en particular sus varianzas, e intenta detectar diferencias estadísticamente representativas entre las medias de dichos conjuntos. El propósito del ANOVA es comprobar si existen diferencias significativas entre las medias de c grupos (c≥3). Si sólo comparamos dos medias, el ANOVA producirá el mismo resultado que la prueba t para muestras independientes (si estamos comparando dos grupos diferentes de casos u observaciones) o la prueba t para muestras dependientes (si estamos comparando dos variables en un conjunto de casos u observaciones). El problema de aplicar la metodología de comparación de a pares cuando la cantidad de grupos estudiados es superior a dos, es que, en cada comparación se está sujeto a la probabilidad de cometer el error tipo I (con riesgo α), y en consecuencia la significación real de la prueba no será la comprometida. El método de análisis de varianza se basa en el hecho de que hay una diferencia entre los grupos sólo si la varianza intergrupos es mayor que la varianza intra-grupo. El análisis se inicia calculando la varianza intra-grupo para cada grupo, y la media de todas estas varianzas de grupo.


- 13 -

La separación de la suma de cuadrados La idea básica del ANOVA es el hecho de que las varianzas pueden ser divididas, es decir separadas. Se debe recordar que la varianza se calcula como la suma de desviaciones al cuadrado respecto de la media general (o gran media), dividida por n-1 (el tamaño de la muestra menos uno). Por eso, para una muestra de tamaño n, la varianza es una función de las sumas de cuadrados (de desvíos), a la cual denominaremos SS. La partición de la varianza funciones como mostraremos a continuación: Figura. Descomposición de la suma de cuadrados

Fuente. Elaboración propia La nomenclatura que usaremos en este tema difiere levemente de la empleada en el texto de la bibliografía básica. Todos los valores correspondientes a las sumas de cuadrados entre grupo se identificarán en este caso con una letra E (mientras que en el texto se utiliza una A, por “among”). Todos los valores correspondientes a las sumas de cuadrados dentro grupo se identificarán en este caso con una letra D (mientras que en el texto se utiliza una W, por “within”). Lógica básica del ANOVA El propósito del análisis de varianza es probar si son estadísticamente significativas las diferentes en las medias para tres ó más grupos de casos. Para ello se analiza la varianza, particionando la varianza total en sus componentes: el que se debe al error aleatorio (Suma de cuadrados dentro de los grupos) y el que se debe a las diferencias entre las medias (Suma de cuadrados entre los grupos).


- 14 -

Estos componentes de la varianza son sometidos a la prueba de significación estadística, y si resulta significativa, se rechaza la hipótesis nula referida a la no existencia de diferencia entre las medias y se concluye que hasta nueva evidencia se mantiene como válida la hipótesis alternativa referida a que las medias de la población son diferentes entre sí (o más precisamente, que al menos una de las medias consideradas lo es). Analizaremos un problema específico para presentar todos los conceptos y procedimientos de la prueba. Una cadena de supermercados posee tres sucursales en una ciudad, cada una ubicada en zonas con características diferenciadas, que determinan una aparente distinta frecuencia mensual de compra por parte de los clientes. Interesa saber si efectivamente las zonas presentan diferencia en este aspecto, para lo cual se llevó a cabo un seguimiento de tres clientes seleccionados al azar en cada sucursal durante el último mes, y se registró el número de veces que realizaron compras en la sucursal respectiva. La siguiente tabla resume lo observado. Tabla: Frecuencia mensual de concurrencia a la sucursal correspondiente Zona 1 Zona 2 Zona 3 Observación 1

2 6 8

Observación 2

3 7 8

Observación 3

1 5 7

Media del grupo

2 6 7,67

En la prueba ANOVA, las hipótesis se explicitan de la siguiente manera: Hipótesis nula: Ho: Las medias de los c grupos son iguales Hipótesis alternativa: Al menos una de las medias de los grupos es diferente a las demás. En el ejemplo planteado, quedarían expresadas de la siguiente manera.


- 15 -

Hipótesis nula: Ho: Las medias de frecuencia mensual de compra de las 3 zonas son iguales Hipótesis alternativa: Al menos una de las medias de las zonas es diferente a las demás. 5.1.1. Dispersión total La variación total (SST) está dada por la suma de cuadrados de todos los valores respecto de la media del total de datos o gran media.

∑∑= =

−=c

j

n

iij

j

xxSST1 1

2)(

Donde

x es la gran media

ijx es la i-ésima observación del grupo j nj indica la cantidad de casos del grupo j c es la cantidad de grupos Tabla: Cálculo de la gran media y de la SST Zona 1 Zona 2 Zona 3 Observación 1

2 6 8

Observación 2

3 7 8

Observación 3

1 5 7

Media del grupo

2 6 7,67

Gran Media

5,2

Suma de cuadrados totales 55,56


- 16 -

5.1.2. Dispersión entre grupos La variación o dispersión entre grupos se resume a través de la suma de cuadrados entre grupos (SSE), que considera las diferencias entre las medias de cada grupo y la gran media.

∑=

−=c

jjj xxnSSA

1

2)(

Donde

jx es la media del grupo j 5.1.3. Dispersión dentro de grupos La variación o dispersión dentro grupos considera la suma de cuadrados dentro de grupos (SSD), que tiene en cuenta las diferencias entre cada uno de los valores observados en cada grupo y la media correspondiente a su grupo.

∑∑==

−=jn

ijij

c

jxxSSD

1

2

1)(

Donde

jx es la media del grupo j Veamos los resultados de las SSE y SSD para los datos del ejemplo: Zona 1 Zona 2 Zona 3 Observación 1

2 6 8

Observación 2

3 7 8

Observación 3

1 5 7

Media del grupo

2 6 7,67


- 17 -

Zona 1 Zona 2 Zona 3 Suma de cuadrados (dentro)

2 2 0,67

4,67

Suma de cuadrados entre

50,86

Gran Media

5,2

Suma de cuadrados totales

55,56

Las medias de los tres grupos, parecen ser bastante diferentes. Las sumas de cuadrados en cada grupo son relativamente reducidas. En total suma 4,56. Por otra parte, si analizamos la SS total, obtenemos 55,56. En definitiva, calcular la varianza (suma de cuadrados) basados en la variabilidad en los grupos conduce a una estimación mucho menor de la varianza que calcularla basada sobre la variabilidad total. La razón para ello en este ejemplo es que hay una gran diferencia entre las medias, y esta diferencia genera la diferencia entre las SS. Cada una de las sumas de cuadrados descriptas tiene asociados grados de libertad diferentes:

• La SST tiene n-1 grados de libertad, ya que pierde un grado de libertad respecto del total de datos de la muestra, por el cálculo de la gran media

• La SSE tiene c-1 grados de libertad, también debido a que si se conoce la gran

media, al menos uno de los valores de las medias de los grupos quedará automáticamente determinado.

• La SSD tiene n-c grados de libertad, ya que en cada uno de los c grupos resultan (nj -1) grados de libertad, ya que en cada grupo se pierde un grado de libertad por el cálculo de la media muestral de ese grupo.

Suma de cuadrados del Error (Suma de Cuadrados Dentro) y Suma de cuadrados del Efecto (Suma de Cuadrados Entre) La variabilidad dentro de los grupos es generalmente denominada Varianza de Error. Este término denota el hecho de que no podemos realmente explicarlo o tenerlo en cuenta en este diseño que estamos considerando. Sin embargo, la variabilidad entre grupos (Efecto), puede ser explicada. Como su nombre lo indica, esta variabilidad se debe a las diferencias en las medias entre los grupos. Explicado de otra forma, ser miembro de un grupo explica esta variabilidad ya que conocemos que esto se asocia con las diferencias en las medias.


- 18 -

El ANOVA es otro ejemplo de prueba en la que se desea conocer la significación estadística. En este caso el test o prueba se basa en la comparación de la varianza debida a la variabilidad entre grupos (Cuadrados medios entre, CME) con la variabilidad dentro de los grupos (Cuadrados medios dentro, CMD, o Cuadrados medios del error). Bajo hipótesis nula (que se expresa como: no hay diferencias entre las medias de los grupos de la población), la varianza estimada basada en la variabilidad dentro de los grupos debería ser aproximadamente la misma que la varianza debida a variabilidad entre grupos. Podemos entonces comparar estas dos estimaciones de la varianza a través de la prueba F, la cual somete a prueba si el cociente de dos varianzas es significativamente mayor que 1. En el ejemplo, el test es elevadamente significativo, por lo cual se concluye que en efecto las medias de los grupos (al menos una de ellas) son significativamente diferentes entre sí. Considerando las sumas de cuadrados y sus respectivos grados de libertad podemos obtener las tres varianzas que caracterizan al problema:

• Los cuadrados medios totales (o términos cuadráticos medios totales) se obtienen de la siguiente manera:

1−=

nSSTCMT

• Los cuadrados medios entre (o términos cuadráticos medios entre) se obtienen de la siguiente manera:

1−=

cSSECME

• Los cuadrados medios dentro (o términos cuadráticos medios dentro) se

obtienen de la siguiente manera:

cnSSDCMD−

=

El texto de la bibliografía básica denota con MS a los Cuadrados medios.


- 19 -

Contraste de hipótesis en el ANOVA El estadístico de prueba tiene distribución F, y se construye en base a los datos de la muestra de la siguiente manera:

CMDCMEF =

La distribución, que corresponde a un cociente de varianzas, tiene asociados grados de libertad del numerador iguales a los de los CME, que son c-1, y grados de libertad en el denominador iguales a los de los CMD, que son n-c. La zona de rechazo en las pruebas ANOVA se establece determinando un valor crítico en la distribución F, con los grados de libertad mencionados, de manera que resulte por encima de este valor, una probabilidad igual al nivel de significación elegido. En este caso también, la zona de rechazo se ubica en los valores elevados de la distribución. Este hecho se relaciona con la relación mencionada previamente de los cuadrados medios dentro y entre como estimadores de la varianza. En términos intuitivos, puede observarse que un valor elevado del estadístico muestral, proviene de una situación en la cual los CME son más elevados (predominantes en cuanto a la fuente de variación de los datos). En tal situación, la variabilidad de los datos se asocia principalmente con el grupo al cual pertenece el individuo, y en consecuencia resulta sospechosa la hipótesis de igualdad de todas las medias poblacionales de los grupos. El valor crítico de la prueba en el ejemplo, de una distribución F, con 2 grados de libertad en el numerador y 6 grados de libertad en el denominador, con una significación de 0,05, es 5,14. La regla de decisión queda determinada de la siguiente manera:

• Si el estadístico muestral F es mayor o igual a 5,14, se rechaza la hipótesis nula (y en consecuencia no puede afirmarse que las medias de todos los grupos son iguales).

• Si el estadístico muestral F es menor a 5,14, no se rechaza la hipótesis nula (y

en consecuencia no disponemos de evidencia para descartar que las medias de todos los grupos sean iguales).


- 20 -

El siguiente gráfico muestra dónde se ubica la zona de rechazo en las pruebas ANOVA. Figura

Fuente: elaboración propia, con captura de imagen de distribución tomada de http://media.photobucket.com/image/distribuci%2525C3%2525B3n%20f/BlogAqueronte/Estadistica/Tablas/f.gif Toda la información requerida para un ANOVA se sintetiza en una tabla ANOVA. Para el ejemplo, la siguiente tabla ANOVA, nos permite llevar a cabo la prueba: Tabla de ANOVA Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

F

Entre grupos (Efecto)

50,89 2 25,44

32,71

Dentro de grupos (Error)

4,67 6 0,778

Total 55,56 8 -


- 21 -

El valor de estadístico muestral F es 32,71, superior al valor crítico, por lo tanto, en base a la evidencia obtenida, podemos afirmar que al menos una de las zonas donde están implantadas las sucursales del supermercado, posee una frecuencia promedio de compra de los clientes distinta al resto. Comparaciones Post hoc El hecho de rechazar la hipótesis nula de un ANOVA no nos dice nada acerca de las diferencias de las medias entre sí, sólo nos permite asegurar que tal diferencia es significativa, en al menos una de las medias consideradas. Nos preguntamos en el ejemplo, ¿cuál o cuáles de las sucursales difieren significativamente en cuanto a sus frecuencias promedio de compra? Para poder identificar cuál o cuáles medias difieren se realizan pruebas como el test de Tuckey, que posibilitan su detección. Dado que estas pruebas se realizan una vez que ha sido rechazada la hipótesis nula del ANOVA, a posteriori, se denominan post hoc. Para llevar a cabo esta prueba se sigue el siguiente procedimiento:

1. En primer lugar se calculan las diferencias de a pares de todos los grupos Para todo Es decir, para todas las medias de diferentes grupos. En total serán necesarias Comparaciones de medias de a pares.

2. En segundo lugar, se debe obtener el alcance crítico, con la siguiente fórmula:

'jj xx −

'jj ≠

2)1( −cc


- 22 -

Si los tamaños de las muestras de cada grupo son diferentes debe calcularse el ac para cada par de medias de muestra. El valor de Q se obtiene de la tabla correspondiente a la tabla de Tuker Kramer.

3. Finalmente se comparar las diferencias obtenidas en (1) con el ac que le corresponde. Si la diferencia obtenida excede al ac, pueden considerarse distintas las medias respectivas.

Supuestos del ANOVA Para poder realizar la prueba ANOVA debe verificarse el cumplimiento de los supuestos, que garantizan la validez.

1. Aleatoriedad o independencia de errores

Es imprescindible garantizar la aleatoriedad en la asignación de los casos a los diferentes niveles del tratamiento, ya que de lo contrario, no será posible arribar a conclusiones correctas acerca del efecto del nivel del tratamiento o grupo al cual está asignado el caso, sobre la variable dependiente. Este aspecto debe ser garantizado desde el propio diseño del estudio experimental del cual provenga la muestra de análisis.

2. Normalidad La segunda condición que debe cumplirse se relaciona con la distribución de los datos de cada uno de los grupos. Los datos deben distribuirse de manera normal en torno de la media de cada grupo. En general, la prueba ANOVA es robusta (en el sentido de resistir aún si no se cumple de manera estricta esta propiedad), siempre que las distribuciones no sean demasiado sesgadas.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

'),(

11.2 jj

cncU nnCMDQac


- 23 -

3. Homogeneidad de varianzas

Las varianzas de todos los grupos deben ser iguales. Este supuesto es crítico, y puede verificarse su cumplimiento a través de un test de Levene de igualdad de varianzas. Si las muestras tienen igual tamaño, no se verá afectado el resultado del ANOVA por la falta de cumplimiento de este supuesto.


- 24 -

Ejercicios Resolver los siguientes ejercicios con las técnicas aprendidas.

1. Supongamos que un fármaco que se administra a 3 grupos de personas y se les realiza cierta medición del efecto causado:

Resultado de la medición Gripe (nivel 1) 5 3 2 5 4 3

Apendicitis (nivel 2) 8 9 6 7 8 9 10 8 10 5 Sanos (nivel 3) 2 3 2 1 2 3 2

En este caso los factores que influyen en las observaciones son tres: el que la persona padezca la gripe, apendicitis, o que esté sana.

a. Plantee las hipótesis del problema. b. Utilice una significación de 0,05. c. Escriba una conclusión

2. Se aplican 4 tratamientos distintos a 4 grupos de 5 pacientes, obteniéndose los resultados de la tabla que se adjunta. Queremos saber si se puede concluir que todos los tratamientos tienen el mismo efecto.

Tratamientos

Observaciones ni

Tratamiento 1

-1 1 2 0 -1 5

Tratamiento 2

-2 -4 -5 -4 -7 5

Tratamiento 3

0 -1 -2 -4 -1 5

Tratamiento 4

1 4 6 3 8 5

a. Plantee las hipótesis del problema. b. Utilice una significación de 0,05. c. Escriba una conclusión


- 25 -

3. La tabla siguiente presenta la distribución de frecuencia del número de defectos encontrados en el análisis de los últimos 200 artículos producidos en un proceso de producción. Usando un nivel de confianza del 5% se desea verificar mediante una prueba chi cuadrado si dichos valores proceden de una distribución de Poisson con una media de3.5 defectos por artículo.

4. Se realizó una encuesta para caracterizar a los lectores de diarios en ciudades pequeñas, en áreas rurales y en granjas. La respuesta acerca de si leían o no algún diario, resultó en la siguiente tabla:

Comunidad Lectores? Total

Si No Urbana 529 121 650 Rural 373 137 510 Granja 237 89 326

Total 1139 347 1486

a) Con α=0.05 ¿brindan los datos evidencia suficiente para indicar que las proporciones de lectores difieren entre los distintos grupos de comunidades?

b) Encuentre el valor p para la prueba.

5. Se realizó un estudio de las decisiones de tres administradores de carteras de acciones, para comparar las ganancias obtenidas. ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia para indicar que hay diferencias en las compras exitosas entre los administradores (α=0.05)?

Resultado Administrador Total

A B C Con ganancia 63 71 55 189 Sin ganancia 37 29 45 111

Total 100 100 100 300


- 26 -

6. Ante la sospecha de que el hábito de fumar de una embarazada puede influir en el peso de su hijo al nacer, se tomaron dos muestras, una de fumadoras y otra de no fumadoras, y se clasificó a sus hijos en tres categorías en función de su peso en relación con los percentiles P10 y P90 de la población. El resultado se expresa en la tabla siguiente:

Peso del niño

¿Madre fumadora? Menor de P10 Entre P10 y P90 Mayor de P90

Si 117 529 19

No 124 1147 117

¿Hay una evidencia significativa a favor de la sospecha teniendo en cuenta los resultados de la muestra?

3 - otras pruebas de hipotesis estadisticas

Documents