Distribuciones intervalos y pruebas

de hipotesis

Distribución binomial

• Es de las mas utilizadas por sus aplicaciones, los experimentos correspondientes a distribuciones binomiales cumplen las siguientes características

• Se realizan n intentos independientes y en cada uno se obtienen dos resultados posibles (éxito y fracaso).

• Al soluciona una situación correspondiente a una distribución binomial se tiene en cuenta la siguiente información :

Distribución binomial.

n: Número de intentos independientes que se realizan.p: probabilidad de éxito.q: probabilidad de fracaso.p y q son mutuamente excluyentes por lo tanto p + q = 1X = número de éxitos que se desean tener.La fórmula utilizada para determinar la probabilidad binomial es:

Ejemplo

• En una fábrica se realiza el control de calidad de los productos, para esto se seleccionan 10 de los artículos elaborados y se inspeccionan con el fin de determinar si son defectuosos o no. La probabilidad de que un producto sea defectuoso es del 12%. Determinar:

• A) La probabilidad de que 10 de los artículos seleccionados sean defectuosos.

• B) La probabilidad de que mas de 2 o menos de 6 artículos de los seleccionados sean defectuosos.

Factorial

• Primero conozcamos como se calcula el factorial de un número, pues lo aplicaremos en la solución del problema

Factorial se utiliza para calcular permutaciones, combinaciones y otros análisis matemática avanzada. Un factorial es el resultado de multiplicar a un número determinado de números enteros consecutivos del 1 al número dado. Se escribe con el signo de exclamación: n! y se define como

0! = 11! = 12! = 2 x 1 = 23! = 3 x 2 x 1 = 64! = 4 x 3 x 2 x 1 = 245! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 etcétera

Solución inciso a)

• Datos:n=10P=12% = 0.12 q = 1-p = 1-0.12 = 0.88X = 3

Desglose:

Para convertir a porcentaje multiplicamos el resultado por 100

Por lo tanto la probabilidad de que 10 de los artículos seleccionados 3 sean defectuosos es de 0.0847 es decir es del 8.47%

A) La probabilidad de que 10 de los artículos seleccionados sean defectuosos.

Solución Inciso b)B) La probabilidad de que mas de 2 o menos de 6 artículos de los seleccionados sean defectuosos.

Entonces aplicaremos la fórmula tres veces

Procedemos a sumar las tres posibilidades encontradas

La probabilidad de que los 10 artículos seleccionados sean defectuosos mas de 2 y menos de 6 es de 0.1082 es decir, es del 10.82%

Distribución hipergeométrica

• Representa el número éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n seleccionada de N resultados posibles de los cuales k son considerados como éxitos y N-k son considerados.

• La fórmula utilizada para determinar las probabilidades en las situaciones que corresponden a distribuciones de propiedad hipergeométrica es:

•

x = 0,1,2,3, …, n son los valores que se sacan de la muestra.

Ejemplo

• En una empresa hay 28 empleados en el departamento administrativo y 43 en el departamento de ventas. Se desea seleccionar un comité de 5 empleados para que asistan a un evento. Determinar:

• A) La probabilidad de que los 3 empleados que se selecciona pertenezcan al departamento administrativo.

• B) La probabilidad de que mas de 3 empleados seleccionados pertenezcan al departamento administrativo.

Solución inciso a)• A) La probabilidad de que los 3 empleados que se selecciona

pertenezcan al departamento administrativo.

N es la suma de los empleados del área administrativa y departamento de ventas.

Representa los empleados a escoger

El total de elementos considerados como éxito es

Es el número de elementos que no cumplen con la condición

Datos:

Solución inciso a)El valor de x representa el número de personas que deseamos que sean del departamento administrativo.

Si hay 3 personas en el departamento administrativo debe haber dos personas en el departamento de ventas.

La probabilidad de que de los 5 empleados seleccionados en la empresa 3 pertenezcan al departamento administrativo es de 0.2272 es decir del 22.72%

La fórmula se traduce : Para obtener 3 personas del departamento administrativo de las 5 personas que serán seleccionadas si hay 28 personas del departamento administrativo de las 71 en total que hay en la empresa.

Solución inciso b)• B) La probabilidad de que mas de 3 empleados seleccionados

pertenezcan al departamento administrativo.

Por lo tanto la probabilidad de que los 5 empleados seleccionados en la empresa mas de 3 pertenezcan al departamento administrativo es de 0.0751 es decir del 7.51%

Distribución normal

• Se supone que la estancia de enfermos en un hospital sigue una distribución normal de media de 8 días y desviación típica 3. Calcular la probabilidad de que la estancia de un enfermo

• A) sea inferior a 7 días.• B) Sea superior a 3 días.• C) Este comprendido entre 10 y 12 dias

Solución

Manejo de la tabla normal inciso a)

• Hallar la probabilidad = p(z> 0.33) = 0.1293

Actividad

• Consulta el siguiente material y determina la probabilidad de los siguientes dos incisos

http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm

• Problemas

• Problema 1. Distribución binomial.• Usted ha contratado 8 vendedores por teléfono para que tomen los

pedidos para una línea de productos deportivos que su empresa está comercializando. Una vendedora está ocupada el 30% del tiempo catalogando pedidos. Usted desea que la probabilidad de que una llamada del cliente sea recibida con una señal de ocupado sea menor del 50%. ¿Deberían de contratarse más vendedores telefónicos si 3 clientes llaman al mismo tiempo?

• Problema 2. Distribución hipergeométrica.• De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y

exportaciones, se seleccionan 12 para ser enviados a Japón a estudiar un nuevo proceso de producción. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir al lejano oriente?

• Problema 3. Distribución normal• Para determinar la probabilidad de que un suceso ocurra nuevamente nos apoyamos en las distribuciones de

probabilidad las cuales se clasifican en discretas y continuas y se caracterizan por listar todos los resultados posibles de un experimento, junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de ellos.

• Al número de acciones negociadas diariamente en la Bolsa de Valores de Nueva York se le conoce como el volumen negociado. El 23 de abril de 2004 se negociaron 1395 miles de millones de acciones. Este volumen de negociaciones se acerca a la media de volumen para la bolsa de Nueva York.

• Suponga que el número de acciones negociadas en la bolsa es una variable aleatoria normal con una media de 1,4 miles de millones y una desviación estándar de 0.15 miles de millones. Para un día seleccionado aleatoriamente.

• Problema 3. Distribución normal• ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado en la bolsa sea?• a) menor a 1.7 miles de millones.

b) menor a 1.25 miles de millones.c) menor a 1.0 mil millones.d) mayor a 1.0 mil millones.

• Semana 6

• La política de una sucursal bancaria establece que los cajeros automáticos deben contener efectivo suficiente para satisfacer los clientes que hacen retiros durante todo el fin de semana. La aceptación del cliente depende de que tales servicios este cuando se requiera disponer de efectivo.

• En esta sucursal la cantidad media poblacional de dinero retirado del cajero automático por transacción durante el fin de semana es de 160 dólares con una desviación estándar poblacional de 30 dólares, suponga que una muestra de 36 transacciones se descubre que la cantidad media muestral del dinero retirado es de 172 dólares

• Aplicando la metodología de prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.05. ¿Existe evidencia para creer que la cantidad media de la población retirada es mayor de 160 dólares?

• Utiliza el método de valor para probar la hipótesis con un nivel de significancia de 0.05 ¿Existe evidencia para creer que la cantidad media poblacional retirada es mayor que 160 dólares

• Interpreta el significado del valor p• Cuales con sus conclusiones sobre la cantidad media que retira un

cliente en fin de semana.