11. pruebas de hipotesis

8/17/2019 11. Pruebas de Hipotesis

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Es importanterecordarque las hipótesis son siempre afirmacionesrelativas a la poblacióno distri

buciónbajo estudio, no en tomo a la muestra.El valor del parámetro de la población especificado en

lahipótesis nula 2500 lpc en el ejemplo anterior suele determinarseen una de tres maneras.Primero,

puede resultar de la experienciao conocimientopasado del proceso, o incluso en un plan formal de ex

perimentaciónprevio. El objetivo de la prueba de hipótesis consiste, entonces, en determinar si la si

tuación experimental ha cambiado. Segundo, este valor puede determinarse a partir de alguna teoría

o modelo respecto del objeto que se estudia. Aquí el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la

32

11-2

o J 1

25001pc,

1 :

J 1 > 2500 lpc.

Al enunciado o J 1

2500 lpc de la ecuación 11-1 se le llama

hipótesis nula

al enunciado

H

J 1 : : ; :.

2500 lpc,

hipótesis alternativa.

Puesto que la hipótesis alternativa especifica valores de

J 1

que podrían ser más grandes o más pequeños que 2500 lpc, se le llama

hipótesis alternativa de dos

lados o bilateral . En algunas situaciones podemos estar interesados en formular una hipótesis al-

ternativa de un lado

o

unilateral

como en

11-1

o J 1

2500 lpc,

1 :

J 1 * 2500 lpc.

Una hipótesis estadística es una afirmación acerca de la distribución de probabilidad de una varia

ble aleatoria. Las hipótesis estadísticas a menudo involucran uno o más parámetros de esta distribu

ción. Por ejemplo, suponga que estamos interesados en la resistencia media a la compresión de un

tipo particular de concreto. Específicamente, estamos interesados en decidir si la resistencia media

a la compresión digamos

J 1

es o no de 2500 lpc libras por pulgada cuadrada;

psi: pound by squre

inch .

Podemos expresar esto de manera formal como

11 1 1 Hipótesis estadística

INTRODUCCiÓN

~fuchos problemas requieren decidir si se acepta o se rechaza una afirmación acerca de algún pará

metro.Tal afirmación suele llamarse hipótesis, el procedimiento de toma de decisiones en tomo a

ella recibe el nombre de prueba de hipótesis. Éste es uno de los aspectos más útiles de la inferencia

estadística, puesto que muchos tipos de problemas de decisión pueden formularse como problemas

e prueba de hipótesis. En este capítulo se desarrollarán procedimientos de prueba de hipótesis pa

r varias situaciones importantes.

Pruebas de

hipótesis

Capítulo



Error de tipo

Ningún error

Ningún error

Error de tipo I

Aceptación de

Rechazo de

es falsa

es verdadera

Tabla Decisiones en la prueba de hipótesis

11-3

11-4

a

{ rror tipo I}

P{rechazar

ol o

es verdadera},

f 3

P {error tipo TI}

P {aceptar ol o es falsa}.

La decisión para aceptar o rechazar la hipótesis nula se basa en una estadística de prueba calculada

a partir de los datos en una muestra aleatoria. Cuando se toma una decisión utilizando la informa

ción en una muestra aleatoria, ésta está sujeta a error. Pueden producirse dos tipos de errores cuan

do se prueban hipótesis. Si la hipótesis nula se rechaza cuando es verdadera, se ha cometido un error

del tipo 1. Si la hipótesis nula se acepta cuando es falsa, el error cometido es del tipo 11.Esta situa

ción se describe en la tabla 11-1.

Las probabilidades de ocurrencia de los errores de tipo I y de tipo TItienen símbolos especiales:

11 1 2 Errores de tipo tipo

teoría o modelo. Una tercera situación surge cuando el valor del parámetro de la población es resulta

do de consideraciones experimentales, como especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones

contractuales. En esta situación el objetivo usual de la prueba de hipótesis es confmnar la conformidad.

Estamos interesados en tomar una decisión en tomo a la veracidad o falsedad de una hipótesis:

Un procedimiento que conduce a tal decisión se llama prueb de un hipótesis Los procedimientos

de la prueba de hipótesis dependen del uso de la información en una muestra aleatoria de la pobla

ción de interés. Si esta información es consistente con la hipótesis, concluiríamos que la hipótesis es

verdadera; por el contrario, si esta información es inconsistente con la hipótesis, concluiríamos que

ésta es falsa.

Para probar una hipótesis, debemos tomar una muestra al azar, calcular una estadística de prueba

apropiada a partir de los datos de la muestra, y utilizar después la información contenida en esta esta

dística de prueba para tomar una decisión. Por ejemplo, al probar la hipótesis nula relativa a la resis

tencia media de compresión del concreto, en la ecuación 11-1, suponga que se prueba una muestra

aleatoria de 10 tipos de concreto

y

que se utiliza la media de la muestra

como una estadística de prue

ba. Si > 2550 lpc o si 2450 lpc, consideraremos que la resistencia media de compresión de

este tipo particular de concreto será diferente de 2500 lpc. Esto es, rech z rí mos la hipótesis nula

o u

2500. El rechazo de

o

implica que la hipótesis alternativa,

es verdadera. Al conjunto de

todos los valores posibles de

que son más grandes que 2550 lpc o menores que 2450 lpc se les lla

ma región crític o región de rech zo para la prueba. De modo alternativo, si 2450 lpc ~ 550 lpe,

cept rí mos la hipótesis nula

o f

2500. De tal modo, el intervalo [2450 lpc, 2550 lpc] se lla

ma región de cept ción para la prueba. Observe que las fronteras de la región crítica, 2450 lpc y

2550 lpc llamados a menudo v lores críticos de la estadística de prueba , se han determinado un po

co arbitrariamente. En las secciones siguientes mostraremos cómo construir una estadística de prue

ba apropiada para determinar la región crítica para diversas situaciones de prueba de hipótesis.

PROBABILIDAD ESTADíSTICA PARAINGENIERíA



igur 11-1 Curva característica de operación para el ejemplo de la prueba del concreto.

2300 2400 2500 2600 2700

,8 2300 ,8 2700

0.00

,8 2400 ,8 2600

1.00

_

Observe que la potencia de la prueba es la probabilidad de que una hipótesis nula falsa se recha

ce correctamente. Debido a que los resultados de una prueba de hipótesis están sujetos a error, no

podemos probar o rechazar una hipótesis estadística. Sin embargo, es posible designar procedi

mientos de prueba que controlen las probabilidades de error

y

[

a valores adecuadamente peque

ños.

La probabilidad

del error de tipo 1a menudo se llama nivelo t m ño de signific ciónde la prue

ba. En el ejemplo de la prueba de concreto, un error del tipo 1podría ocurrir si definimos que la me

dia de la muestra > 2550 lpc o si < 2450 lpc cuando, de hecho la resistencia media de compresión

verdadera es J 2500 lpc. En general, la probabilidad de cometer un error de tipo 1depende de la lo

calización de la región crítica. Por consiguiente, en la práctica para el analista suele ser fácil fijar la

probabilidad del error de tipo 1en o cerca de) cualquier valor deseado. Puesto que la probabilidad de

rechazar en forma errónea Ho depende directamente de quien toma las decisiones, el rechazo de Ho

siempre es una

conclusiónfuerte

Suponga ahora que la hipótesis nula Ho

J

2500 lpc es falsa. Es

to es, la verdadera resistencia media a la compresión J es algún otro valor diferente de 2500 lpc. La

probabilidad de cometer un error de tipo 11no es constante, sino que depende de la verdadera resisten

cia media a la compresión del concreto. Si J denota la verdadera resistencia media a la compresión,

[3 j1 denota la probabilidad de que ocurra un error de tipo II correspondiente a

J

La función f3 j1 se

evalúa encontrando la probabilidad de que la estadística de prueba en este caso

i

caiga en la región

de aceptación dado un valor particular de

J

Definimos la curv c r cterístic de oper ción o cur

va CO) de una prueba, como la gráfica de

[3 j1

contra

J

Un ejemplo de una curva característica de

operación para el ejemplo de la prueba de concreto se presenta en la figura 11-1. A partir de esta

curva, vemos que la probabilidad del error de tipo 11depende del grado en el que Ho

J

2500 lpc es

falsa. Por ejemplo, observe que [3 2700)

<

[3 2600). Por tanto, podemos considerar la probabilidad de

ocurrencia de un error de tipo 11como una medida de la capacidad de un procedimiento de prueba pa

ra detectar una desviación particular respecto de la hipótesis nula, Ho Las desviaciones pequeñas son

más difíciles de detectar que las grandes. Observamos también que, puesto que ésta es una hipótesis

alternativa de dos lados, la curva característica de operación es simétrica; esto es, [3 2400) [3 2600).

Además, cuando

J

2500, la probabilidad de que ocurra un error de tipo 11[3 1 -

11-5)

otencia

1 -

[

P{rechazar

HolH o

es falsa}.

Algunas veces es más conveniente trabajar con la potenci de la prueba, donde

PRUEBAS DE HIPÓTESIS 323



Figura 3

Efecto del error de tipo I en la curva característica de operación

J

5

f 3 1

Laprobabilidadde ocurrenciade un error de tipo es tambiénuna función del tamaño de lamues

tra como se ilustra en la figura 11-2.A partir de esta figura vemos que para un valor dado de la

probabilidad del error de tipo 1y un valor dado de la resistencia media a la compresión la proba

bilidad de ocurrencia del error de tipo disminuye conforme aumenta el tamaño

de la muestra.Es

to es en la hipótesis nula es más fácil de detectar una desviación específica de la media verdadera

respecto del valor en tamaños muestrales grandes que en pequeños. El efecto de la probabilidad

del

error de tipo 1 sobre la probabilidad del error de tipo para un tamaño dado de muestran se ilus

tra en la figura 11-3.La disminución de

provoca que

aumente y el incremento de

ocasiona que

disminuya.

Debido a que la probabilidad del error de tipo es una función tanto del tamaño de muestra

como del grado en el que es falsa la hipótesis nula opor lo común se considera que la decisión

de aceptar oes una conclusión débil a menos que sepamos que es aceptablemente pequeña. Por

tanto en vez de decir que aceptamos Ro preferimos la terminología no se rechaza Ro . El no

rechazar oimplica que no hemos encontrado la evidencia suficiente para rechazarla esto es para

Figura 2

Efecto del tamaño de la muestra de la curva característica de operación

J

324 PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



11-7

H o: J1

f lo

H¡:J1>f lo·

Esto implicaría que la región crítica se localiza en la cola superior de la distribución de la esta

dística de prueba. Esto es, si la decisión se basara en el valor de la media de la muestra

X

rechaza

ríamosHo en la ecuación 11-6si

fuera demasiado grande. La curva característica de operación para

la prueba correspondiente a esta hipótesis se muestra en la figura 11-4,junto con la curva caracte

rística de operación para una prueba bilateral. Observamos que cuando es cierto que la media ver

dadera

J1

es mayor que

flo

esto es, cuando la hipótesis alternativa

H¡: J1

>

flo

es verdadera , la prueba

unilateral es superior a la prueba bilateral en el sentido de que tiene una curva característica de ope

ración con pendiente más pronunciada. Cuando la media verdadera

J1

f lo

las pruebas unilaterales

y bilaterales son equivalentes. Sin embargo, cuando la media verdadera

J1

es menor que

f lo

las dos

curvas características de operación difieren. Si

J1

f lo

la prueba bilateral tiene una mayor probabili

dad que la prueba unilateral de detectar esta desviación respecto de

f lo

Esto resulta atractivo desde el

punto de vista intuitivo, ya que la prueba unilateral está diseñada suponiendo ya sea que

J1

no puede

sermenor que f lo o que sería deseable aceptar la hipótesis nula en caso de queJ1fuera menor que f lo·

En realidad, se pueden emplear dos modelos diferentes para la hipótesis alternativa unilateral.

En caso de que la hipótesis alternativa seaH ¡: J1> f lo estos dos modelos serían:

11-6

Ho:

f

f lo

H

1: f

flo ·

Muchos problemas de prueba de hipótesis involucran de manera natural las hipótesis alternati

vas unilaterales. Por ejemplo, suponga que deseamos rechazar

sólo cuando el valor verdadero de

la media es superior a f lo Las hipótesis serían:

Ho:

f

flo

H ¡:

f =

flo

Debido a que rechazar

siempre da por resultado una conclusión fuerte, en tanto que no rechazar

puede dar lugar a una conclusión débil, a menos que sesepa que f 3 es pequeña, casi en todos los

casos preferimos que la afirmación en tomo a la cual se desea una conclusión fuerte esté en la hipó

tesis alternativa, H ¡ Los problemas para los que es apropiada una hipótesis alternativa bilateral, en

realidad no permiten que el analista haga una elección. Esto es, si deseamos probar la hipótesis de

que la media de una distribución

f

es igual a un valor arbitrario, digamos

flo

y al hacerlo es impor

tante detectar valores de la media verdadera

f

que podrían ser más grandes o más pequeños que flo

debe utilizarse la alternativa bilateral en

11 1 3 Hipótesis unilaterales o bilaterales

hacer una conclusión fuerte. De este modo, no rechazar

no significa necesariamente que hay una

alta probabilidad de que esa hipótesis sea verdadera. Esto puede implicar que se requieran más datos

para llegar a una conclusión fuerte. Lo anterior puede tener importantes consecuencias en la formu

lación de hipótesis.

PRUEB S DE HIPÓTESIS 325



Considere la formulación

de

la ecuación 11-9.Si se rechaza la hipótesis nula, lasbotellas seránjuz

gadas satisfactoriamente; en tanto que si no se rechaza, se consideraría que las botellas no se

11-10

H a : f .1 ; : : :

200 lpe,

H ¡ :

f

<

200 lpc.

o

11-9

H a : f .1 : : : ; 200 lpc,

H ¡ : f . 1 200 lpc.

En la ecuación 11-7estamos suponiendo que

f . 1

no puede ser menor que 1 1 0 así que la curva carac

terística de operación no está definida para valores de f . 1 / 1 0 En la ecuación 11-8 suponemos que

f . 1 puede ser menor que 1 1 0

y

que, en una situación tal, sería deseable aceptar H a . Por tanto, en l a ecua

ción 11-8la curva característica de operación se define para todos los valores de

f .1 : :: ; 1 1 0

Específica

mente, si

f . 1 : : : ; / 1 0

tenemos

f 3 f . 1

1-

e x f . 1 ,

donde

e x f . 1

es el nivel de significación como una función

de

En situaciones en las que el modelo de la ecuación 11-8 es apropiado, definimos el nivel de

significación de una prueba como el valor máximo de la probabilidad e x del error de tipo 1;esto es,

el valor de e x en f . 1

=

/ 1 0 En situaciones en las que sea apropiada la hipótesis alternativa unilateral,

por lo general escribimos la hipótesis nula con la igualdad; por ejemplo, H a : f . 1 = 1 1 0 Esto se inter

pretará como la inclusión de los casos H a : f . 1 : : : ; 1 1 0 o H a : f .1 ; : : : 1 1 0 cuando sea apropiado.

En los problemas en que se indican procedimientos de prueba unilateral, los analistas en ocasio

nes tienen dificultad para elegir una formulación apropiada de la hipótesis alternativa. Por ejemplo,

suponga que un embotellador de refrescos compra botellas no retomables de 10 onzas a una com

pañía vidriera. El embotellador desea tener la certeza de que las botellas superarán la especifica

ción relativa a la presión interna media, o resistencia al rompimiento, que en el caso de las botellas

de 10onzas es de 200 lpc.El embotelladorha decidido formular el procedimiento de decisión para un

lote específico de botellas como un problema de hipótesis. Hay dos formulaciones posibles para es

te problema:

11-8

a : f . 1

f . 1 a ,

H ¡ : f . 1

1 1 0 ·

Figura 11 4 Curvas características de operación para las pruebas bilaterales

y

unilaterales

1 1

1 0

Curva CO para una

prueba unilateral

Curva CO para una

y prueba bilateral

1.00

{r

326 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



donde lo es una constante específica.

Sedispone de una muestra aleatoria de tamañon l 2 •

n

Cada observación de esta mues

r tiene una media

L

desconocida y una varianza conocida. El procedimiento de prueba para

H j: l

lo utiliza la estadística de prueba

11-11)

a :

l

lo

I l lo

nálisis est dístico

Suponga que la variable aleatoria X representa algún proceso o población de interés. Daremos por

hecho que la distribución de X es normal o que, si no lo es, se cumplen las condiciones del Teorema

del Límite Central. Además, consideraremos que se desconoce la media l de X, pero que se conoce

la varianza

a2

Estamos interesados en probar la hipótesis

11 2 1

rueb s de hipótesis sobre l medi de un distribución norm l

con v ri nz conocid

2 PRUEBAS DE H IPÓTES IS SO BRE U NA SO LA M UESTRA

apegan a las especificaciones y que, por tanto, no deberían utilizarse. Debido a que el rechazo de

H o

es una conclusión fuerte, esta formulación obliga a que el fabricante de las botellas demuestre que

la resistencia media de éstas al rompimiento supera la especificación. Considere ahora la formula

ción de la ecuación 11-10. En esta situación, las botellas se juzgarán satisfactorias

a menos

que

H o

se rechace. Esto es, concluiríamos que las botellas son satisfactorias a menos que hubiera una evi

dencia significativa en sentido contrario.

¿Cuál de las formulaciones es correcta, la de la ecuación 11-9 o la de la ecuación 11-10?Eso

depende. En el caso de la ecuación 11-9hay cierta probabilidad de que

H a

sea aceptada esto es, de

cidiríamos que las botellas no son satisfactorias), aun cuando la media verdadera sea ligeramente

mayor que 200 lpc. Esta formulación implica que deseamos que el fabricante de las botellas

demues-

tr e

que el producto cumple o supera nuestras especificaciones,y sería apropiada si, de acuerdo con la

experiencia, el fabricante ha enfrentado dificultades para cumplir las especificaciones, o si las consi

deraciones de seguridad del producto nos obligan a mantener estrictamente la especificación de 200

Ipc. Por otra parte, en lo que respecta a la formulación de la ecuación 11-10,hay cierta probabilidad

de que H a se aceptará y de que se juzgarán satisfactorias las botellas, aun cuando la media verdade

ra sea ligeramente menor que 200 lpc. En consecuencia, concluiríamos que las botellas no son satis

factorias sólo en caso de haber una fuerte evidencia de que la media no supera 200 lpc; esto es,

cuando la hipótesis

H a:

u ~200 lpc se rechace. Esta formulación supone que estamos relativamen

te satisfechos con el rendimiento que el fabricante de botellas ha tenido en el pasado, y que las pe

queñas desviaciones respecto de la especificación

u ~

200 lpc no son perjudiciales.

Al formular hipótesis alternativas, debemos recordar que el rechazo deH o es siempre una con

clusión fuerte y, en consecuencia, debemos enunciar la importancia de los hechos involucrados en

la hipótesis alternativa. A menudo, esto dependerá de nuestro punto de vista y experiencia en tomo

a la situación.

PRUE S DE HIPÓTESIS 7



H a: J

=

40 cm/s,

H ¡: J 40 cm/s.

Se está estudiando la tasa de quemado de un propulsor a chorro. Las especificaciones requieren que la tasa

media de quemado sea 40 cm/s. Además, suponga que sabemos que la desviación estándar de la tasa de que

mado es aproximadamente de 2 cm/s. El experimentador decide especificar una probabilidad de error de tipo

1

a

0.05,Ybasará la pruebaen una muestraaleatoriade tamaño n 25. Las hipótesis que deseamosprobar son:

La ecuación 11-14 define la

región de aceptación

para

Yla ecuación 11-13 define su

re-

gión crítica o región de rechazo La probabilidad de ocurrencia de un error de tipo 1para este pro

cedimiento de prueba es a

Figura 5 La distribución de

o

cuando Ho es verdadera

o

Región crítica

a/2

Región de

aceptación

Región

z

>

ZaJ2

U-13a

o

z

<

ZaJ2

ll-13b

no rechazarla si

ZaJ2 ::;;z sZaJ2·

11-14

Si la hipótesis nula H o: 1

=

1 0 es cierta, E X

=

f l D resulta que la distribución de Zo es N O 1

En consecuencia, siH o: 1

=

f l D

es verdadera, la probabilidad de que un valor de la estadística de prue

ba Zo caiga entre

ZaJ2 y

Z l_ a> en donde

ZaJ2

es

el

punto porcentual de la distribución normal están

dar, tal que

P

{Z ZaJ2} =

a/2

[esto es, ZaJ2 es el punto porcentual

100 1-a/2

de la distribución

normal estándar]. La situación se ilustra en la figura 11-5.Observe que a es la probabilidad de que

un valor de la estadística de prueba Zo caería en la región Zo >

ZaJ2

o Zo <

ZaJ2

cuando H o: J

= f l D

es

verdadera. Resulta obvio que sería inusual que una muestra produjera un valor de la estadística de

prueba que se ubicara en las colas de la distribución de Zo si H o:

J

= f l D es verdadera; esto también

es una señal de que H o es falsa. Por tanto, debemos rechazar H o si

11-121

x - f l D

z

¡¡n.

a n

8

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



Ho:

.1

. 1 0

H¡: .1 = . 1 0 .

lección del t m ño de l muestr

Al probar las hipótesis de las ecuaciones 11-11, 11-15Y 11-17,el analista selecciona directamente

la probabilidad

a

del error de tipo

1

Sin embargo, la probabilidad

3

del error de tipo II depende de la

elección del tamaño de la muestra. En esta sección mostraremos cómo seleccionar el tamaño de

muestra para llegar a un valor específico de

3

Considere las hipótesis bilaterales

11-18

calcularíamos la estadística de prueba Zo y rechazaríamos Ho en valores de Zo que fueran demasiado

pequeños. Esto es, la región crítica se ubicaría en la cola inferior de la distribuciónN O 1 ,y recha

zaríamos

Ho

si

11-17

o: .1

. 1 0

H¡: .1

. 1 0

De modo similar, para probar

01-16

Observe que también podríamos escribir Ho: .1 S .10 Al definir la región crítica para esta prue

ba, observamos que un valor negativo de la estadística de prueba Zo nunca nos conduciría a con

cluir que Ho: .1 .1 0 es falsa. Por lo tanto, colocaríamos la región crítica en la cola superior de la

distribución N O 1 , y rechazaríamos Ho en valores de Zo que fueran demasiado grandes. Esto es,

rechazaríamos Ho si

11-15

o: .1

. 1 0

H¡:

.1 > . 1 0 .

Suponga ahora que deseamos probar la alternativa unilateral, digamos

Puesto que a

0.05, las fronteras de la región crítica son ZO 025

1.96Y ZO 025

1.96, y observamos

que Zo cae en la región crítica. Por tanto,

H o

se rechaza y concluimos que la tasa media de quemado no es igual

a 40 cm/s.

Zo x f1

- C 5 /jii

41.25 - 40 3.125.

m

Se prueban 25 especímenes,

y

la tasa media de quemado que se obtiene en la muestra es x 41.25 cm/s.

El valor de la estadística de prueba en la ecuación 11-12es

PRUEB S DE HIPÓTESIS 9



Hemos elegido

d

de manera que un conjunto de curvas características de operación pueda em

plearse en todos los problemas, independientemente del valor de J y

a

Al examinar las curvas ca

racterísticas de operación o la ecuación 11-20y la figura 11-6,observamos que:

11-21

=

1 1 1 f l o l

=~

Si bien la ecuación 11-20podría emplearse para evaluar el error de tipo 11,es más conveniente

utilizar las curvas características de operación que se proporcionan en los diagramas VIa y VIb del

apéndice. En estas curvas se grafica

f 3

como se calcula con la ecuación 11-20,contra un parámetro

d para diversos ejemplos de tamaños n Se incluyen curvas tanto para e x =0.05 como para e x 0.01.

El parámetro d se define como:

Figura 6

Distribución de

Z o

bajo H a Y H

Bajo

H o J i

1 1

donde eI> z denota la probabilidad a la izquierda de z en la distribución normal estándar. Observe

que la ecuación 11-20 se obtuvo evaluando la probabilidad de que o caiga en el intervalo [-ZaJ2

ZaJ2]

en la distribución de o cuando 1 es verdadera. Estos dos puntos se estandarizaron para pro

ducir la ecuación 11-20.Además, observe que la ecuación 11-20se cumple también si 8

<O,

debi

do a la simetría de la distribución normal.

11-20

8 . f ñ 8 . . r n

3

l

ZaJ2 - ----;;- -

l

-ZaJ2 - a

La distribuciónde laestadística de prueba o respecto tanto de la hipótesis nula

Ho

como de la hi

pótesis alternativa

H

se muestra en la figura 11-6.Al examinar esta figura, observamos que si

H

es

verdadera,se presentará un error de tipo 11,sólo si

-ZaJ2 ~

o ~

ZaJ2

donde o

N 8. fñ/a

1 .Esto

es, la probabilidad

f 3

del error de tipo 11es la probabilidad de que

o

caiga entre -ZaJ2 y ZaJ2 dado

que

I

es verdadera. Esta probabilidad se muestra como la parte sombreada en la figura 11-6. Ex

presada en forma matemática, esta probabilidad es

11-19

Suponga que la hipótesis nula es falsa y que el valor verdadero de la media es

1 1

=

f l o

+ 8, por

ejemplo, donde

8>

O Ahora bien, puesto que H es verdadera, la distribución de la estadística de

prueba

Z

es




2. Para 1 3 yodadas, determinarn Esto se ilustró en el ejemplo 11-3.Este tipo de problema sue

le encontrarse cuando el analista tiene la oportunidad de seleccionar el tamaño de muestra

al principio del experimento.

1. Para

n

yodadas, obtener 1 3 Lo anterior se ilustró en el ejemplo 11-2.Este tipo de problema

se encuentra a menudo cuando al analista le interesa la sensibilidad de un experimento que

ya se ha efectuado, o cuando el tamaño de la muestra se restringe por economía u otros fac

tores.

En general, las curvas características de operación involucran tres parámetros:

1 3 O

y

n

Dado

cualquier par de ellos, es posible determinar el valor del tercero. Estas curvas tienen dos aplicacio

nes comunes:

Considere de nuevo el problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-1. Suponga que al analista le gustaría

diseñar la prueba de modo que si la verdadera tasa media de quemado difiere de 40 cm/s en 1 cm/s, la prueba

detecte esta diferencia es decir, se rechaza

o

40) con más alta probabilidad, por ejemplo 0.9. Las cur

vas características de operación pueden utilizarse para determinar el tamaño de muestra que nos dará tal prue

ba. Puesto que

1 1 1 u o l / ~

1/2,

0.05 y

0.10, encontramos, de acuerdo con el diagrama Vla del

apéndice, que el tamaño de muestra requerido es

n

40, aproximadamente.

y, con base en el diagrama Vla del apéndice, con

n

25, encontramos que 0.30. Esto es, si la verdadera

tasa media de quemado es 41 cm/s, hay una posibilidad de 30 de que el error no sea detectado en la prue

ba con

n

25.

I J l u o 1

= =_ _

o 2

Considere el problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-1. Suponga que el analista está interesado en la

probabilidad de que ocurra un error de tipo TIsi la verdadera tasa media de quemado es u

=

41 cm/s. Podemos

utilizar las curvas característicasde operaciónpara encontrar 3 De esta forma observamosque 8

41 - 40

1,

n

25,

2 y

0.05. Entonces

Cuanto más lejos esté el valor verdadero de la media

J

de J l f J menor será la probabilidad 1 3

del error de tipo 11para

n

y

dados. Esto es, vemos que para un tamaño de muestra y

es

pecíficos, las diferencias más grandes en la media son más fáciles de detectar que las más

pequeñas.

2. Para

y

dadas, la probabilidad

1 3

del error de tipo 11disminuye cuando

n

aumenta. Esto

es, para detectar una diferencia específica en la media o podemos hacer más eficaz la prue

ba aumentando el tamaño de la muestra.

PRUE S DE HIPÓTESIS



11-26

Ésta es una buena aproximación cuando

<P ZaJ2

8 .fii/cr es pequeña en comparación con f

Para cualquiera de las hipótesis alternativas unilaterales de la ecuación 11-15 o de la 11-17, el ta

maño de muestra que se requiere para producir un error del tipo 11específico con probabilidad

f

dadas 8 y

es

11-25

o

8 ñ

Z f3 ZaJ2 _-

puesto que

I ZaJ2

8

rn /

o

=

cuando 8 es positiva. A partir de la ecuación 11-24, tomando la

inversa de la normal, obtenemos

11-24

o si

0,

También es posible deducir fórmulas para determinar el tamaño de muestra apropiado para ob

tener un valor particular de f respecto de

y dadas. Estas fórmulas son alternativas comparables

al empleo de curvas características de operación. Con base en la ecuación 11-20, sabemos que, pa

ra las hipótesis alternativas bilaterales

11-23

. l o f 1

d= .

Cuando la hipótesis alternativa es H¡:

f 1

/ . l o la escala de la abscisa correspondiente es

11-22

1 f 1 o

d= .

En los diagramas VIc y VId del apéndice se presentan las curvas características de operación

para las alternativas unilaterales. Si la hipótesis alternativa es

H¡: f 1 > / . l o

la escala de la abscisa en

estos diagramas es




Valores de

Muchas veces se emplean paquetes de software para realizar pruebas de hipótesis estadística. Casi

todos estos programas calculan y presentan la probabilidad de que la estadística de prueba tome un

valor al menos tan extremo como el valor observado en ella cuando

H a

es verdadera. Esta probabi

lidad suele llamarse valor de

P y

representa el nivel de significación más pequeño que conduciría al

rechazo de

H a .

En consecuencia, si la computadora diera como resultado

P

0.04, la hipótesis nula

H a

se rechazaría en el nivel

e x

0.05, pero no en el nivel

e x

0.01. En general, si P fuera menor o

igual que e x , rechazaríamos

H a ,

en tanto que si

P

fuera superior a e x , no lo haríamos.

rueba de muestras grandes con varianza desconocida

Aunque hemos desarrollado el procedimiento de prueba para la hipótesis nula

H a :

f

f 1 o

suponiendo

que se conoce el valor de

a

en muchas situaciones prácticas

a

se ignorará. En general, si

n ~

30,

la varianza S de la muestra puede sustituirse sin mucho problema por a

en los procedimientos de

prueba. Por tanto, si contamos con una prueba para la

a

conocida, ésta puede convertirse con faci

lidad en un procedimiento de prueba de

muestra grande

para la

o?

desconocida. El tratamiento exac

to del caso en el que

a

se desconoce y n es pequeña, implica el uso de la distribución

t

y su análisis

se pospondrá hasta la sección 11-2.2.

conducirá al rechazo de

H a

si y sólo si

( J a

no está en el intervalo L

U J

Amodo de ilustración, con

sidere el problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-1.La hipótesis nula H a :

f

40 se rechazó,

empleando

e x

0.05. El intervalo de confianza bilateral de 95 en

f

para estos datos puede calcu

larse a partir de la ecuación 10-25 como 40.47 ~ f ~ 42.03. Esto es, el intervalo [L U J es [40.47,

42.03], y puesto que f 1 o 40 no se incluye en este intervalo, la hipótesis nula

H a :

f

40 se rechaza.

H a : ( J ( J a '

H

1 :

( J ( J a

elación entre la prueba de hipótesis

y

los intervalos de confianza

Hay una estrecha relación entre la prueba de hipótesis en tomo a un parámetro

( J

y el intervalo de

confianza

( J .

Si

[ L ,

U J representa un intervalo de confianza de 100 1 - e x ) % para el parámetro

( J ,

la

prueba de tamaño e x de la hipótesis

que guarda una cercana concordancia con el valor determinado a partir de la curva característica de operación.

Observe que la aproximación es buena, puesto que «1>

-Za/2 -

8. ¡¡i/a «1> -1.96 - ).J42 / 2 -5.20 =

O

que es un valor pequeño en relación con

f 3

Al regresar al problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-3, observamos que a 2, 8

41 - 40

1,

a 0.05 Y

f 3

0.10. Puesto que

Za/2

Z0025

1.96 YZ{3 ZO.IO 1.28, el tamaño de muestra requerido para

detectar esta desviación respecto de

H o

J

40

es, de acuerdo con la ecuación

11-25 :

(

Z a / 2 Z ( 3 ) a

1.96

1.28 2 2

2

n=

PRUEB S DE HIPÓTESIS



ignific do práctico en comp r ción con signific do est dístico

En los capítulos 10 y 11 presentamos intervalos de confianza y pruebas de hipótesis tanto para pro

blemas de una sola muestra como de dos muestras. En las pruebas de hipótesis hemos analizado el

significado estadístico cuando se rechaza la hipótesis nula. Lo que no se ha analizado es el signifi

cado práctico que conlleva rechazar la hipótesis nula. En la prueba de hipótesis, el objetivo es tomar

una decisión acerca de una demanda o creencia. La decisión entre rechazar o no la hipótesis nula a

favor de una alternativa, se basa en una muestra tomada de la población de interés. Si se rechaza la

hipótesis nula, decimos que existe una evidencia estadísticamente significativa encontra de la hipó

tesis nula

y

a favor de la alternativa. Los resultados estadísticamente importantes por rechazo de la

hipótesis nula , no necesariamente implican resultados prácticos significativos.

Como ejemplo, suponga que el promedio de la temperatura un solo día en todo un estado dado

es u 63 grados. Imagine que n 50 municipios del estado tuvieron un promedio de temperatura

de

62 grados

y

una desviación estándar de

0 .5

grados. Si probáramos la hipótesis H o

l

63 con

tra H ¡ l

63. obtendríamos como resultado un valor de P de aproximadamente Oy rechazaríamos

la hipótesis nula. Nuestra conclusión sería que la temperatura real promedio no es de 63 grados. En

otras palabras, este ejemplo evidencia una diferencia estadísticamente significativa entre el valor hi

potético y el promedio muestral que se obtuvo a partir de los datos. ¿Pero es ésta una diferencia re

levante en la práctica? Esto es, ¿63 grados es en realidad un valor

diferente

a 62 grados? Muy pocos

investigadores podrían realmente concluir que esta diferencia es relevante. En otras palabras. un sig

nificado estadístico no implica la existencia de un significado práctico.

Por consiguiente, H o

l

40 se rechazaría en cualquier nivel de significación donde a ~ P

0 .0018 . Por ejemplo,

H o

se rechazaría si 0.01, pero no si 0 .001 .

2[1 - <1> 3 .125 ]

0 .0018 .

A modo de ilustración, considere el problema del propulsor a chorro del ejemplo 11-1.El valor

calculado de la estadística de prueba es

20 3 .125

y puesto que la hipótesis alternativa es de dos

colas, el valor de es

para una prueba de dos colas,

para una prueba de cola superior,

para una prueba de cola inferior.

2[1 - <1> 1201 ]

P

1 - <1> 20

<1> 20

Se acostumbra calificar como signific tiv a l a estadística de prueba ylos datos , cuando se re

chaza la hipótesis nula H

o

por lo que podemos considerar elvalor de P como el nivel

a

más peque

ño en el que los datos son significativos. Una vez que se conoce el valor de

P

la persona encargada

de tomar las decisiones puede determinar por sí misma qué tan significativos son los datos, sin que

el analista imponga formalmente un nivel de significación preseleccionado.

No siempre es fácil calcular el valor P exacto de una prueba. Sin embargo, en el caso de las prue

bas de las distribuciones normales que hemos analizado es relativamente simple. Si 20 es el valor

calculado de la estadística de prueba, el valor de P es

PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



11-29a)

o

t

a

/2

n -

que sigue la distribución t con n - 1 grados de libertad si la hipótesis nula Ho:

u

/l o es verdadera. Pa

ra probar

o /l

/l o de la ecuación 11-27,se calcula la estadística de prueba

o

de la ecuación 11-28,

y

o

se rechaza si

11-28)

/l o

to

S Jr¡

El procedimiento de prueba se basa en la estadística

11-27)

o : /l

/l o

¡

/l

u «


Suponga que X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media u y varianza a2 desco

nocidas. Deseamos probar la hipótesis de que

/l

es igual a una constante /l o Observe que esta situa

ción es similar a la que se trató en la sección 11-2.1, excepto que ahora tanto

u

como

a

2 son

desconocidas. Suponga que se dispone de una variable aleatoria de tamaño n digamos Xl Xb X n

y sean

X

y S lla media y la varianza de la muestra, respectivamente.

Considere que deseamos probar la alternativa bilateral

Al probar hipótesis en relación con la media

/l

de una población cuando o? se desconoce, podemos

utilizar los procedimientos de prueba que se presentaron en la sección 11-2.1, siempre y cuando el

tamaño de muestra sea grande

n ;

30, por ejemplo). Estos procedimientos son más o menos válidos

independientemente de que la población base sea normal o no. Sin embargo, cuando el tamaño de

muestra es pequeño

y

se desconoce

a

2, debemos hacer una suposición en tomo a la forma de la dis

tribución base para obtener un procedimiento de prueba. Una suposición razonable, en muchos ca

sos, es que la distribución base es normal.

En la práctica, muchas poblaciones se aproximan de manera bastante adecuada a la distribución

normal, por lo que esta suposición conducirá a un procedimiento de prueba que puede aplicarse en

muchos casos. En efecto, la desviación moderada respecto de la normalidad que muestran estas po

blaciones tendrá un efecto mínimo sobre la validez de la prueba. Cuando la suposición no es razona

ble, podemos especificar otra distribución exponencial, de Weibull, etc.), y emplear algún método

general de construcción de prueba para obtener un procedimiento válido, o podríamos emplear una

de las pruebas no paramétricas que son válidas para cualquier distribución base véase el capítulo 16).

11 2 2

Pruebas de hipótesis sobre la media de una distribución

normal con varianza desconocida

El tamaño de la muestra que se está investigando tiene una influencia directa sobre la potencia

de la prueba y el significado práctico. Conforme aumenta el tamaño de la muestra, aun la más pe

queña diferencia entre el valor hipotético y el valor muestral se puede detectar mediante la prueba

de la hipótesis. Por tanto, debe tenerse cuidado al interpretar los resultados de una prueba de hipó

tesis cuando los tamaños de muestra son grandes.





La probabilidad de ocurrencia del error de tipo II para pruebas en la media de una distribución normal

con varianza desconocida, depende de la distribución de la estadística de prueba que se dio en la

El error de tipo 1 se especifica como

a

0.05. En consecuencia, tO.025.14

2.145 Y tO.025.14

-2.145, Y

concluiríamos que no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que J 1 150 lpc.

.t Ilo

152 18 150

to

= = =2 07

s/v i i

16 63/15

Se selecciona una muestra aleatoria de 15 especímenes de la fibra, y se determinan sus resistencias al rom

pimiento. La media y la varianza se calculan a partir de los datos de la muestra, resultandor

152.18 Y

s2

=

16.63.Por tanto, la estadística de prueba es

H o : J 1

150 lpc,

H : J 1 * 150 lpc.

La resistencia al rompimiento de una fibra textil es una variable aleatoria distribuidanormalmente.Las especifi

caciones requieren que la resistencia media al rompimiento debe ser igual a 150 lpc. Al fabricante le gustaría

detectar cualquier desviación significativa respecto de este valor. En consecuencia, desea probar

11-33

se rechazaría H o si

11-32

o : 1 1

flo

R 1 1 1 1

Para la otra alternativa unilateral,

11-31

calculamos la estadística de prueba lo de la ecuación 11-28 y rechazamos R o si

11-30

R o : 1 1

flo

R ¡ : 1 1

> flo

donde

t

an

n _

Y

t

an

n _

son los puntos porcentuales

a/2

superior e inferior de la distribución

t

con

n 1 grados de libertad.

Para la hipótesis a lt er na ti v a u n il ate ra l

11-29bJ

o

tan n

o si




11-37

0 - J 1

8

Tenga en cuenta que d depende del parámetro desconocido 2• Son varias las maneras en que se

ede evitar esta dificultad. En algunos casos podemos utilizar los resultados de un experimento

n tanto que si se desea el rechazo cuando J 1 < J 1 o como en la ecuación

11-32,

11-36

. . - J 1 o

8

d

En cuanto a las alternativas unilaterales, si se desea el rechazo, por ejemplo

J 1

> J como en la

uación 11-30, utilizamos los diagramas VIg y Vlh con

11-35

, . . - J 1 0 I 1 8 1

d

Las distribuciones de Z

y

Wen

la ecuación 11-34son

N O

1

y

X~

_I/ n -

1 , respectivamen

y Z y W son variables aleatorias independientes. Sin embargo, 8Fn/ a es una constante diferente

e cero, por lo que el numerador en la ecuación 11-34es una variablealeatoria N 8Fn/a 1 .La dis

bución resultante se denomina distribución t

no central

con

n

1 grados de libertad y parámetro

no centralidad 8Fn/ a Observe que si 8= 0, la distribución

t

no central se reduce a la usual o dis

ción central

t.

Por tanto, el error de tipo II de la alternativa bilateral por ejemplo sería

f 3

P {

on. n ~ to ~ ton. n _ O}

=P{-ta/2 n-l ~to~1a/2 n-l}

lo

denota la variable aleatoria

t

no central. La determinación del error de tipo II para la prue

a de t implica encontrar la probabilidad contenida entre dos puntos en la distribución

t

no central.

Las curvas características de operación en los diagramas Vle, VJj, VIg y Vlh del apéndice, gra

can f 3 contra un parámetro d para diversos tamaños de muestra n Se brindan las curvas tanto para

s alternativas bilaterales como para las unilaterales, y para a

0.05 o a

0.01. En el caso de la

ternativa bilateral de la ecuación 11-27, el factor de la escala de las abscisas en los diagramas Vle

Vlfse define como:

11-34

w

8 .¡n

-

a

t

_ X - J 1 o

o - S - /

. ¡ n - - n - - -

[i - J 1 o

8)]v l

ación 11-28 cuando la hipótesis nula

Ho:

J 1 J es falsa. Observe que, cuando el valor verdade

o de la media es J 1 J la estadística de prueba puede escribirse como:

PRUEBASDEHIPÓTESIS



11-39)

2

n -

o

0 0

empleamos la estadística de prueba

11-38)

Procedimientos de prueba para una población normal

Suponga que deseamos probar la hipótesis de que la varianza de una distribución normal 0 2 es

igual a un valor específico, por ejemplo 0 . Sea X - N ( I l , 0 2 ) , donde 1 1 y 0 2 se desconocen, y sea

XI 2 n una muestra aleatoria de n observaciones de esta población. Para probar

H o :

0 2

= 0 ,

H ¡ :

0 2

0 ,

Enocasiones se necesitanpruebas relativasa la varianza o la desviaciónestándarde una población.En

esta sección presentaremos dos procedimientos para lograrlo: uno basado en la suposición de nor

malidad, y el otro en la prueba de una muestra grande.

11 2.3 Pruebas de hipótesis sobre la varianza de una distribución normal

Considere el problema de la prueba de fibras textiles del ejemplo 11-5. Si la resistencia al rompimiento de

esta fibra difiere de 150 lpc en 2.5 lpc, el analista podría rechazar la hipótesis nula o

f l

150 lpc con pro

babilidad de por lo menos 0.90. ¿El tamaño de muestra n = 15 es adecuado para asegurar que la prueba es

así de sensible?

Si empleamos la desviación estándar de la muestra s =

16.63 = 4.08 para estimar

a

d = 1 1 l I j = 2.5/4.08

0.61. Utilizando las curvas características de operación del diagrama VIe, con d

0.61 15,encon

tramos que 0.45. Por consiguiente, la probabilidad de rechazar o

u

150 lpc si la media verdadera di

fiere de este valor en ±2.5 lpc es 1 -

1 - 0.45

=

0.55, aproximadamente, y concluiríamos que un tamaño

de muestra n

15 no es adecuado. Con el objetivo de encontrar el tamaño de muestra requerido para brindar

el grado de protección que se desea, considere las curvas características de operación del diagrama VIe con

= 0.61

0.10, Ylea el tamaño de muestra correspondiente como n = 35, aproximadamente.

~ _ . .

i I '

1,,, , ,, . , _ ~

••

previo o información anterior para hacer una estimación aproximada de 0 2 . Si estamos interesados

en examinar la curva característica de operación después de que se hayan recopilado los datos, po-

dríamos emplear la varianza de la muestra s 2 para estimar 0 2 . Si los analistas no tienen experiencia

previa a partir de la cual extraer una estimación de

0 2 ,

pueden definir la diferencia en la media 8 que

desean detectar en relación a

o:

Por ejemplo, si se desea detectar una pequeña diferencia en la me

dia, podría emplearse digamos) un valor de

d 1 0 1 1 0

S; 1, en tanto que si uno está interesado en de

tectar sólo diferencias moderadamente grandes en la media, puede seleccionarse d = 1 0 1 1 0 = 2 por

ejemplo). Esto es, el valor del cociente 1 0 1 1 0 es el que resulta importante en la determinación del ta

maño de la muestra y, si es posible especificar el tamaño relativo de la diferencia entre las medias

que nos interesa detectar, por lo general se elige un valor apropiado de

338 PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



Si elegimos 0.05, encontramos que

X .05,¡9

30.14, y concluiríamos que no hay suficiente evidencia

de

que la varianza de llenado excede 0.02 onzas de líquidoj-.

19 0.0225

2 38

0.02

2 n s2

Xo

0

Una muestra aleatoria de

n

20 latas produce una varianza de muestra de

s2

0.0225. Por tanto, la esta

dística de prueba es

H o: 0 2

0.02,

H ¡: 0 2>0.02.

Considere la máquina descrita en el ejemplo 10-16, la cual se utiliza para llenar latas de refresco. Si la varian

za del volumen de llenado excede 0.02 onzas de

Iíquidoj-,

un gran porcentaje de latas se llenarán por debajo

del nivel aceptable. El embotellador está interesado en probar la hipótesis

11-44

2

Xa<XI-a ,n -l

rechazaríamos

Ha

si

11-43

Ha: 0 2

0 5,

H¡ 0 2

<

0 5,

Para la otra hipótesis unilateral,

11-42

XO>Xa .n -l·

rechazaríamos

Ha

si

11-41

Ha: 0 2

0 5,

1:

0 2> 0 5,

donde

i~ l2 ,

-l Yx al2, n _ ¡son los puntos porcentuales aJ2 superior e inferior de la distribución ji

cuadrada con n 1 grados de libertad.

La misma estadística de prueba se emplea para las alternativas unilaterals. En el caso de una hi

pótesis unilateral:

11-40b

2

Xa

<

X

a l2, n -

i-

o si

11-40a

Xa>Xal2.n -l

donde es la varianza de la muestra. Ahora bien, si

Ha:

02

0 es cierta, la estadística de prueba

sigue la distribución ji cuadrada con n - 1 grados de libertad. En consecuencia, Ha: 02 0 se

rechazaría si

PRUEBAS DE HIPÓTESIS



11-47

Ho J

J~,

H ¡

J J~

es aproximadamente normal estándar.

Para probar

11-46

J

Zo -

JA/2Yt

rocedimiento de prueba de una muestra grande

El procedimiento de prueba ji cuadrada prescrito anteriormente es bastante sensible a la suposición

de normalidad. En consecuencia, sería deseable desarrollar un procedimiento que no requiera esta

suposición. Cuando la población base no es necesariamente normal, pero n es grande digamos n ~

35 o 40), podemos utilizar el siguiente resultado: si

Xl X

2 •

X

es una muestra aleatoria de una po

blación con varianza J2,la desviación estándar S de la muestra es aproximadamente normal con me

dia

E S = J

y varianza

VeS =

J2/2n, si n es grande.

Entonces, la distribución de

A partir del diagrama Vlk con 1.23 y

n

20, encontramos que

3

= 0.60. Esto es, sólo hay 40 de

posibilidades de que

H o

c¡2

0.02 se rechace si la varianza es realmente tan grande como

c¡2

0.03. Para re

ducir

3

debe emplearse un tamaño de muestra más grande. Tomando en cuenta la curva característica de ope

ración, observamos que para reducir

3

a 0.20 es necesario un tamaño de muestra de 75.

0.1732

1.23.

c¡o 0.1414

Tomando como base el ejemplo 11-7, determine la probabilidad de rechazar H o J 0.02 si la varianza ver

dadera es tan grande como c¡2 0.03. Puesto que

=-J0.03

0.1732 y r

=-J0.02

0.1414, el parámetro de

abscisa es

para diversos tamaños de muestra

n

donde

J

denota el valor verdadero de la desviación estándar.

Los diagramas VIk y VII corresponden a la alternativa unilateral

H ¡

J

> J~ en tanto que los dia

gramas VIm

y

VIn son para la otra alternativa unilateral

H ¡

J J~. Al emplear estos valores, con

sideramos

J

como el valor de la desviación estándar que deseamos detectar.

11-45)

Las curvas características de operación para las pruebas se presentan en los diagramas VIi a VIn

del apéndice para 0.05 y 0.01. En el caso de la hipótesis alternativa bilateral de la ecuación

11-38, los diagramas VIi

y

VI} grafican

contra un parámetro de abscisa,

lección del tamaño de la muestra





En muchos problemas de ingeniería y de administración nos interesa una variable aleatoria que siga

la distribución binomial. Por ejemplo, considere un proceso de producción en el que se manufacturan

artículos que se clasifican como aceptables o defectuosos. Por lo general, es razonable modelar la ocu

rrencia de defectos con la distribución binomial, donde

el

parámetro binomial

p

representa la propor

ción de artículos defectuosos producidos.

11 2 4 Pruebas de hipótesis sobre una proporción

Como Z o O ] =-2.33 Yel valor observado de Zono es más pequeño que este valor crítico, no se rechaza

H o Esto es, la evidencia respecto del proceso del proveedor no es lo suficientemente fuerte para justificar un

contrato a largo plazo.

s - jo 0.021 - 0.025

Zo

=

-1.60.

jo/ J2n

0.025/-liOO

puesto que 0.025 2=0.000625. Se obtiene una muestra aleatoria de

=

50 piezas, y la desviación estándar

de la muestra es s =0.021 mm. La estadística de prueba es

H o:

j2=6.25 X 10-4,

H ]: j2

6.25

X

10-4,

Una pieza de plástico moldeada por inyección se emplea en una impresora gráfica. Antes de acordar un con

trato a largo plazo, el fabricante de impresoras desea asegurarse, empleando 0.01, de que el proveedor

puede producir piezas con una desviación estándar de la longitud de cuando mucho 0.025 mm. Las hipótesis

que se probarán son:

rechazaríamos

Ro

si Zo < -

Za

11-50

rechazaríamos

H o

si Zo > Zw en tanto que si lo que probáramos fuera

2 _ 2

o vo ,

R J2

<

J5 ,

11-49

y rechazaríamos

H o

si Zo > Z 1/2 o si Zo

-Z 1/2 En las alternativas unilaterales se emplearía la mis

ma estadística de prueba. Si estuviéramos probando

Ho: J2

J~ ,

1: J2> J5 ,

11-48

sustituya Jopor J en la ecuación 11-46. En consecuencia, la estadística de prueba es




11-54)


Es posible obtener ecuaciones de forma cerrada correspondientes al error

para las pruebas anali

zadas en esta sección. El error

para la alternativa bilateral

H ¡:

p

P o

es aproximadamente

Al emplear 0.05, encontramos que ZO.05 1.645y, de ese modo, no podemos rechazar la hipótesis nu

lap

0.05.

x - npo 6 - 200 0.05)

Zo

-1.30.

-vnpo l - Po

v 200 0.05) 0.95)

Una muestra aleatoria de 200 dispositivos produce seis defectuosos. La estadística de prueba es

Ho:p 0.05,

H¡:

p

0.05.

Una firma de semiconductores produce dispositivos lógicos. El contrato con cierto cliente estipula una frac

ción de defectos no mayor de 0.05. Se desea probar

Las regiones críticas para las hipótesis alternativas unilaterales se localizarían de la manera usual.

11-53)

y

rechazamos

H o: P

=

P o

si

11-52)

Se brindará una prueba aproximada que se basa en la aproximación normal a la binomial. Este

procedimiento aproximado será válido siempre y cuando el valor de

P

no esté demasiado cerca de

cero o de 1 y si el tamaño de muestra es relativamente grande. Sea X el número de observaciones en

una muestra aleatoria de tamaño que pertenecen a la clase asociada con p Entonces, si la hipóte

sis nula

H o: P

P o

es cierta, tenemos que X ~

N n p o > n P o 1 - P o » ,

aproximadamente. Para probar

H o: P

=

P o calcúlese la estadística de prueba

11-51)

H o: P

=p«.

Hc p ep

Consideraremos probar

4




ue es un tamaño de muestra sumamente grande. Sin embargo, observe que estamos tratando de detectar una

sviación muy pequeña respecto del valor nulo

Po

0.05.

1174,

1.645.J 0.05 0.95 1.28.J 0.07 0.93

0.07 -0.05

Esta probabilidad de error de tipo II no es tan pequeña como podría parecer, aunque 200 no es en par

cular grande y 0.07 no está muy alejado del valor nuloPo = 0.05. Suponga que deseamos tener un error

no

ayor que 0.10, si el valor verdadero de la fracción defectuosa es tan grande como 0.07. El tamaño de

estra requerido se encontraría utilizando la ecuación 11-58como:

=

<D 0.05 - 0.07 1.645.J 0.05 0.95 /200

.J 0.07 0.93 /200

<D 0.30

0.6179.

rtiendo de la situación descrita en el ejemplo 11-10, suponga que deseamos encontrar el error f 3 de la prue

a si 0.07. Al emplear la ecuación 11-56, el error f 3 es

ra las alternativas unilaterales.

11-58

ZaVPo 1 - Po Zf3Vp 1 - p

P P«

ra la alternativa bilateral,

11-57

ZaJ2VPo 1 - Po Zf3Vp l - p

P P«

Estas ecuaciones pueden resolverse para encontrar el tamaño de muestra que proporciona una

rueba de nivel

con un riesgo específico fi.Las ecuaciones del tamaño de muestra son:

11-56

n tanto que si la alternativa es H¡

P

>

Po,

11-55

Po - P - ZaV Po 1 - po /n

fi=l-~

p 1 - p /n

Si la alternativa es

H¡ P

<

o

entonces




11-62

H o : /1 ¡

J 1 z

H

/1 ¡

J 1 z

Las hipótesis alternativas unilaterales se analizan de manera similar. Para probar

11-61b

o

l1-61a

Za

sigue la distribución N O , 1 .En consecuencia, el procedimiento para probar H o :

/1 1

J 1 z consiste en

calcular la estadística de prueba Z o de la ecuación 11-60, y rechazar la hipótesis nula si

11-60

¡

Ji J~

n n 2

Z o

Por tanto, si la hipótesis nula H o : /1 ¡

J 1 z es verdadera, la estadística de prueba

Suponga que una muestra aleatoria de tamañon ¡ se toma de X l digamos X l I X 1 2 . .. X ¡n y que

1

se toma una segunda muestra aleatoria de tamañon 2 de X 2 , digamos X 2¡, X 22 ... , X 2n . Se supone que

2

las

{X¡¡}

se distribuyen independientemente con media

/1 ¡

y varianza Ji, que las

{ X 2 ¡ }

se distribu-

yen independientemente con media J 1 z y varianza J~,y que las dos muestras { X ¡ ¡ } y { X 2 ¡ } son inde

pendientes. El procedimiento de prueba se basa en la distribución de la diferencia de las medias de

muestra, digamosX¡ En general, sabemos que

11-59

o : /1 ¡ / 1 2

H ¡ :

/1 ¡

J 1 z

Suponga que hay dos poblaciones de interés,

X ¡

y X Imagine que

X ¡

tiene media desconocida

/1 ¡

y

varianza conocida Ji, y que X2 tiene media desconocida J 1 z y varianza conocida J~.Estaremos in

teresados en la prueba de la hipótesis de que las medias

/1 ¡

y J 1 z son iguales. Se considera que las va

riables aleatorias X ¡ y X 2 se distribuyen normalmente, o que si no lo hacen de esa forma, se aplican

las condiciones del Teorema del Límite Central.

Considere primero las hipótesis alternativas bilaterales

Análisis estadístico

11 3 1 Pruebas de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones

normales con varianzas conocidas

3 PRU EBASDE H IPÓ TES ISSO BRE D OS M UESTR AS

PROBABILIDADY ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



11-66

l u ¡

J 1 z 1 I

c 5 I

a i a ~ a i a ~


as curvas características de operación que se proporcionan en los diagramas VIa, VIb, VIc y VId del

péndice, pueden utilizarse para evaluar la probabilidad de error de tipo 11para las hipótesis de las

aciones 11-59, 11-62 y 11-64. Estas curvas también son útiles en la determinación del tamaño

e la muestra. Se presentan las curvas para 0.05 y 0.01. En el caso de la hipótesis alter

va bilateral de la ecuación 11-59, la escala de abscisas de la curva característica de operación

n los diagramas VIa y Vlb es d donde

Al emplear a = 0.05, encontramos que ZO.05 l.645, Ypuesto que o > ZO.05 rechazaríamos Ho Ycon

luiríamos que el número medio de cajas producidas diariamente por la nueva línea de producción es mayor

ue el número medio de cajas producidas por la antigua línea.

2

824.9 - 818.6

Zo

2.10.

f f 2 :

J ~ } _ _

¡

10 10

El valor de la estadística de prueba es

H o: Ji¡ Ji2

H ¡: J i¡ > Ji2

a gerente de planta de una fábrica enlatadora de jugo de naranja, está interesada en comparar el rendimiento

de dos diferentes líneas de producción. Como la línea número 1es relativamente nueva, sospecha que el núme

ro de cajas que se producen al día es mayor que con la línea 2, más antigua. Se toman datos al azar durante 10

días en cada línea, encontrándose que x ¡

824.9 cajas por día y x 2

818.6 cajas por día. De acuerdo con la ex

eriencia en la operación de este tipo de equipo, se sabe que Ji 40 y J ~ 50. Deseamos probar

11-65

se utiliza la estadística de prueba Zo de la ecuación 11-60, y se rechaza H o: J 1 1

J 1 z si

ZO< Za

11-64

H o: J 1 1

J 1 z

H ¡: J 1 1 1 1 2 ,

11-63

> Za

Para probar las otras hipótesis alternativas unilaterales,

se calcula la estadística de prueba Zo de la ecuación 11-60, y se rechaza Ho: J 1 1

J 1 z

si




11-70

También es posible deducir fórmulas a fin de obtener el tamaño de muestra requerido para de

terminar una

1 3

específica para

y

dadas. Estas fórmulas son en ocasiones complementos útiles

para las curvas características de operación. En el caso de la hipótesis alternativa bilateral, el tama

ño de muestra

nI

=

n2

=

n

es

y puesto que a = 0.05, encontramos con ayuda del diagrama VIc del apéndice que n = = n2 = 8.

= PI

f =

10 = 1.05

¡ J i

+

J~

140 + 50

Considere el problema de la línea de producción de jugo de naranja del ejemplo 11-12.Si la verdadera diferen

cia en las tasas medias de producción fuera de 10 cajas diarias, encuentre los tamaños de muestra requeridos

para detectar esta diferencia con probabilidad de 0.90. El valor apropiado del parámetro de la abscisa es

Si

nI

¡

n2

Ysus valores se fijan de antemano, se emplea la ecuación 11-69 directamente para cal

cular

n

y las curvas características de operación se presentan con una d específica para obtener 1 3 . Si

estamos dando d y es necesario determinar

nI

Y

n2

para obtener una 1 3 específica, por ejemplo 1 3 , se

suponen entonces valores de ensayo para

n¡

Y

n2

se calcula

n

en la ecuación 11-69 y se presentan las

curvas con el valor especificado de para, finalmente, determinar 1 3 . Si 1 3 = 1 3 , los valores de ensayo

de nI Yn2 son satisfactorios. Si f 3 j : . 1 3 , se hacen ajustes a nI Y n2 Yse repite el proceso.

(11-69)

y n

=

nI

=

n2·

No es raro encontrar problemas donde los costos de obtención de datos difieren de manera

importante entre dos poblaciones, o donde una varianza de población sea mucho más grande que la

otra. En esos casos, a menudo se utilizan tamaños de muestra desiguales. Si ¡ ¡

2

las curvas ca

racterísticas de operación pueden presentarse con un valor

equiva len te

de

n

calculado a partir de

0 2

+

0 2

n

=

I 2

O i/n l + O yn2

(11-68)

=

J12-

=

¡

i + ~ v i + ~

en donde n

=

n¡

=

n2 La otra hipótesis alternativa unilateral,

I: J1¡ j1z requiere que

se defina

como:

(11-67)

y debemos elegir tamaños de muestra iguales, digamos n = = n2, La hipótesis alternativa unilate

ral requiere el empleo de los diagramas Vlc y VId. Para la alternativa unilateral

J1¡

> j1 z de la

ecuación 11-62, la escala de abscisas es

6

PROBABILIDAD

y

ESTADíSTICAPARAINGENIERíA



11-73

ni

n2

2

S2

ni -

l Sr

n2 -

l S1

p

Suponga que XlI X12, ... , XII es una muestra aleatoria de nI observaciones de Xl y que X21,

1 - -

X 22 ... , X es una muestra aleatoria de

n

observaciones de X 2. Sean XI X 2, SI y S2 las medias y

las varianzas de las muestras, respectivamente. Puesto que tanto S~ como S~ estiman la varianza co

mún

a

2, podemos combinarlas para producir una sola estimación, digamos

11-72

O:

112

H

i: ·

Caso 1: ~

a

Sean Xl

y

X2 dos poblaciones normales independientes con medias descono

cidas

111

y y varianzas desconocidas pero iguales, aI a~ a

2.

Deseamos probar

Consideraremos ahora pruebas de hipótesis respecto de la igualdad de las medias

y

de dos dis

tribuciones normales donde no se conocen las varianzas

aI

y

a~

Se empleará una estadística

t

para

probar estas hipótesis. Como se observó en la sección 11-2.2, se requiere la suposición de normali

dad para desarrollar el procedimiento de prueba, pero las desviaciones moderadas de normalidad no

afectan de manera adversa el procedimiento. Hay dos situaciones diferentes que deben tratarse. En

el primer caso, suponemos que las varianzas de las dos distribuciones normales no se conocen pero

son iguales; esto es, aI

a~

=

a2. En el segundo, suponemos que y a~ se desconocen

y

no son

necesariamente iguales.

11 3 2 Pruebas de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones

normales con varianzas desconocidas

que concuerda con los resultados obtenidos en el ejemplo 11-13.

z,

2/3 2

aI

aD

1.645

1.28 2 40

50

n

8

8

2 -

10

2 - ,

Las deducciones de las ecuaciones 11-70 y 11-71 son muy semejantes al caso de una sola mues

tra que se comentó en la sección 11-2. Para ilustrar el empleo de las ecuaciones, considere la situa

ción del ejemplo 11-13. Tenemos una alternativa unilateral con ex=

0.05,

8 =

10,

aI

40,

a~

50

y 3 0.10. Por tanto,

Z¿

ZO.05 1.645, Z/3 ZO.1O 1.28, Yel tamaño de muestra requerido se en

cuentra a partir de la ecuación 11-71 como

11-71

Esta aproximación es válida cuando < > -Zm2

8 fii/ ~

a n es pequeña en comparación con

3

Para la alternativa unilateral, tenemos ni = n2 =n donde


7



Ha: ¡ = 1 z

H ¡:

¡ = 1 =

1 z·

Los datos de la planta piloto producen ni = 8,

= 91.73, s = 3.89, nz = 8, Xz = 93.75 y s = 4.02. A par

tir de la ecuación 11-73,encontramos

Se están analizando dos catalizadores para determinar cómo afectan la producción media de un proceso quí

mico. Específicamente, se está empleando el catalizador 1, pero el catalizador 2 es aceptable. Puesto que el ca

talizador 2 es más barato, deberá usarse en lugar del otro, a menos que el proceso de producción cambie.

Suponga que deseamos probar las hipótesis

La prueba t de dos muestras dada en esta sección, a menudo se denomina prueba t mezclada

debido a que las varianzas de muestra se combinan o mezclan para estimar la varianza común. Se

conoce también como prueba

independiente porque se da por sentado que las dos poblaciones nor

males son independientes.

11-79)

calcule la estadística de prueba to Yrechace

Ho: / 1 1 1 1 1 .

si

11-78)

Ho: / 1 1 = 1 1 1 .

HI:

/ 1 1 < 1 1 1 .

Para la otra alternativa unilateral,

11-77

11-76)

Ho: / 1 1

112,

HI: / 1 1 > 1 1 1 .

calcule la estadística de prueba t

o

de la ecuación 11-74 y rechace

Ho: / 1 1

= 112si

rechazamos

Ho: / 1 1

1 1 1 . .

Las alternativas unilaterales se tratan de modo similar. Para probar

11-75b)

o si

11-75a)

Si Ho: / 1 1

=

1 1 1 . es verdadera,

o se distribuye como

n + n _ 2 · En consecuencia, si

11-74)

Este estimador combinado o mezclado se presentó en la sección 10-3.2. Para probar O / 1 1 = 1 1 1 .

en la ecuación 11-72, calcule la estadística de prueba

Xl

X

o = _ _ _ : :

S p

1 + 1

ni n




H O

Jil

= J i2

H :

J i, = F - J i2

Deseamos probar

s~= 10

s~=2

X

1 = 24 2

=23 9

Diseño 1

Diseño 2

fabricante de unidades de pantallas de video prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si produ

t1ujos de corriente equivalentes. Los ingenieros del departamento de desarrollo han obtenido los siguientes

la

hipótesis nula

H o ] =

es cierta. Por tanto, si

J i - J i

las hipótesis de las ecuaciones 11-72,

76 Y 11-78 se prueban como antes, excepto que se utiliza

t~

como estadística de prueba y

n

- 2 se sustituye por

al determinar los grados de libertad para la prueba. Este problema general

menudo se conoce como problema de Behrens- Fisher.

11-81)

distribuye aproximadamente como

t

con grados de libertad dados por

(11-80)

Xl

X

2

S2 S2

_l+...1..

n n

t~=

ao 2: u f

F l

En algunas situaciones no podemos suponer razonablemente que las varianzas des

as

a l

y

a i

son iguales. No hay una estadística

t

exacta disponible para

H o

111=

en este

Sin embargo, la estadística

. \1

emplear

= 0.05, encontramos que

fo 25• 14

= 2.145 Y

fo 25 14

= -2.145

y

en consecuencia, que

u]

=

no puede rechazarse. Esto es, no tenemos la suficiente evidencia para concluir que el catalizador

:

or resultado una producción media distinta de la producción media que se obtiene al emplear el catali

i ~ l.

91.73 - 93.75

= 2.03.

1.99

8

estadística de prueba es

n i -

l sr

n2 -

l si

(7)3.89

7(4.02)

S2= 3 96

P n

n2 - 2 - 8

8 - 2 -..




Tenga en cuenta que el parámetro d es una función de

a

la cual se desconoce. Como en la prue

ba t de una solamuestra sección 11-2.2),podríamos partir de una estimación previa de O; o emplear

una estimación subjetiva. De modo alternativo, podríamos definir las diferencias en la media que de

seamos detectar en relación con

a:

11-8- 1

=

2

fl =~.

a a

en tanto que para la hipótesis alternativa unilateral de la ecuación

11-78

utilizamos

d =

flI

2

=~

a a

Para poder usarlas, estas curvas deben considerar el tamaño de la muestra n n 1. Por lo qUe

respecta a la hipótesis alternativa unilateral de la ecuación

11-76,

utilizamos los diagramas VIg .:

VIh

y

definimos

11-8.2,


Las curvas de operación características de los diagramas VIe, VIj, VIg y VIh del apéndice se em

plean para evaluar el error de tipo II para el caso donde a l ai= a Desafortunadamente, cuando

a l * a i , la distribución de t~ se desconoce si la hipótesis nula es falsa, y no se dispone de curvas

características de operación para este caso.

Para la alternativa bilateral de la ecuación 11-72, cuando

al

ai= a

y

nI

n

n

se emplean

los diagramas VIe y VI con

Al emplear

a

0.10, encontramos que

fa lz v

t

O 05•

16

1.746. Puesto que

t ~

<

t

O 05 •

16

no podemos recha

zar

o Ji = J i

s t l n ¡ F s i J n 2 ) 2

nI 1 n 1

j _ : i 2 ~ ~ 2

n i n 2 15 10

v=--------2=--------2= 16.

10/15 220/10

2

_:_-- - _:_-- -

16 11

Los grados de libertad en t~se encuentran a partir de la ecuación 11-81 como:

X I x 24.2 - 23.9

t~ ;=;:=:::::;0: 0.184.

s t

s i ~

10 20

n ¡ n 15 10

donde se supone que ambas poblaciones son normales, pero no estamos dispuestos a considerar que las \;¡,...

rianzas desconocidas

J f

y

J i

son iguales. La estadística de prueba es

5 PROBABILIDAD ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



(11-85)

a:

J - L v = O ,

H ¡: J - L v i

O

n caso especial de las pruebas t de dos muestras ocurre cuando las observaciones en las dos pobla

ones de interés se recaban en pares. Cada par de observaciones, digamos

(Xli X 2 ,

se toma en con

ciones homogéneas, aunque estas condiciones pueden cambiar de un par a otro. Por ejemplo,

nsidere que estamos interesados en comparar dos tipos diferentes de boquillas para una máquina

prueba de dureza. Esta máquina presiona la boquilla contra un espécimen metálico con una fuer

conocida. Al medir la profundidad de la depresión ocasionada por la boquilla puede determinar

la dureza del espécimen. Si se seleccionaron varios especímenes y se les dividió en dos conjuntos

ra probar el primero con la boquilla 1 y el segundo con la boquilla 2 para, finalmente, aplicar la

t

mezclada o independiente, tal como se comentó en la sección 11-3-2, los resultados podrían

ecer de validez. Esto podría deberse, por ejemplo, a que quizá los especímenes metálicos provie

n de distintos lotes de materia prima que fueron tratados con diferentes niveles de calentamiento,

tal vez porque no son homogéneos en algún otro aspecto capaz de influir en su dureza. En conclu

ón, la diferencia observada entre los registros de dureza media de los dos tipos de boquilla deben

mbién tomar en cuenta la diferencia entre la dureza de los especímenes.

El procedimiento experimental correcto consiste en recabar los datos en pares; es decir, hacer

s lecturas de dureza en cada espécimen, uno con cada boquilla. El procedimiento de prueba con

stiría entonces en analizar las diferencias entre las lecturas de dureza de cada espécimen. Si no hay

ferencia entre las boquillas, la media de las diferencias debe ser cero. Este procedimiento de prue

se llama prueba t por pares.

Sea XIl , X 21 ), X ¡Z X 2 Z ) . . . , X

ln,

X

Zn

un conjunto de n observaciones en pares, donde supone

os que X

J ~

N J - L J 0 1 YX ~ N J 1 z , O i)· Defina las diferencias entre cada par de observaciones como

. Xlj X2j } 1,2, ...,

Las

D i

se distribuyen normalmente con media

J - L v E(XI - X2 ) E(X¡) - E(X2 ) J L J - L 2

r lo que las hipótesis de prueba en tomo a la igualdad de

J L J

y

)1 z

pueden realizarse efectuando una

t de una muestra en

J - L v .

Específicamente, probar

Ha: J - L 1

)1 z

contra

H I : J L i )1z,

es equiva

nte a probar

1 3 3 Prueba

por pares

emplearíamos tamaños de muestra de n 1

2

n 11.

n*

1 20 1 .

n

= ---

10.5 = 11 (por ejemplo),

sidere el experimento del catalizador del ejemplo 11-14.Suponga que si el catalizador 2 da por resultado

a producción distinta de la que genera el catalizador 1 en 3.0 ,nos gustaría rechazar la hipótesis nula con

obabilidad de por lo menos

0.85.

¿Qué tamaño de muestra se requiere? Al emplear

1.99

como una es

mación aproximada de la desviación común estándar 0 ,tenemos d 101/20 13.001/(2)(1.99) 0.75. A par

r del diagrama VIe del apéndice, con d 0.75 Y

0.15, encontramos n* 20, aproximadamente. Por

, puesto que n* 2n - 1,




Tabla 2

Predicciones de resistencia al corte en nueve vigas de placa de acero

carga predicha / carga observada

Viga

Método de Karlsruhe

Método de Lehigh

Diferencia

di

S1 1

1 186 1 061

0 125

S2 1

1 151 0 992

0 159

S3 1

1 322

1 063 0 259

S4 1

1 339

1 062 0 277

S5 1

1 200 1 065 0 135

S2 1 1 402 1 178 0 224

S2 2

1 365 1 037

0 328

S2 3 1 537 1 086 0 451

S2 4 1 559

1 052

0 507

0.2739 = 6.08.

0.1351j.J9

Un artículo del oumal of Strain nalysis Vol. 18, núm. 2, 1983) compara varios métodos para predecir la re

sistencia

al

corte de vigas de placa de acero. Los datos para dos de estos métodos, los procedimientos de

Karlsruhe y Lehigh, cuando se aplican a nueve vigas específicas, se muestran en la tabla 11-2.Deseamos deter

minar si hay alguna diferencia en promedio) entre los dos métodos.

El promedio de muestra y la desviación estándar de las diferencias

d

j son

J

=0.2739 y sd

=

0.1351, por

lo que la estadística de prueba es

son la media y la varianza de muestra de las diferencias. Rechazaríamos o J1D

=

O lo que impli

ca que

J11

:

J 2

si fo >

ta

n_lo si fo

a

n l

Las alternativas unilaterales se tratarían de mane-

ra similar.

11-88,

n

1

n 2

LD J

n

LD j

}=l J =

=

n

_

n

D

=-

D·

J

}=l

donde

11-86.

La estadística de prueba apropiada para la ecuación 11-85es

5

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



suponiendo que ambas poblaciones Xl y X 2 tienen varianzas idénticas y que

SJjn

estima la varianza

de

D

Ahora bien, siempre que hay una correlación positiva dentro de los pares, el denominador de

la prueba

t

por pares será más pequeño que el denominador de la prueba t de dos muestras. Esto pue-

de causar que la prueba

t

de dos muestras subestime de manera considerable la importancia de los

datos si se aplica incorrectamente a muestras por pares.

Aunque el pareado da lugar, muchas veces, a un valor más pequeño de la varianza de

i\ - X

tiene una desventaja. Es decir, la prueba

t

por pares origina una pérdida de

n -

1 grados de libertad

en comparación con la prueba t de dos muestras. En general, sabemos que aumentar los grados de

libertad de una prueba incrementa la potencia contra cualesquiera valores alternativos fijos del pa-

rámetro.

n

V Xl V X2 - 2Cov X X2

20 2 1-

p

los numeradores de ambas estadísticas son idénticos. Sin embargo, el denominador de la prueba

t

de

dos muestras se basa en la suposición de que Xl y X

2

son

independientes.

En muchos experimentos

por pares hay una fuerte correlación positiva entre Xl y X Esto es,

que se compara con ta/2.n l Observe que puesto que

I n

n n n

D

LDj L

Xlj-

X2 -¡¡LXlj - -¡¡LX2j

j j l } l } l

que podría compararse con

t

aJ2• 2n _

2

Ydesde luego, la estadística t en pares es

Xl X

lo

S

1

1

n n

Comparación de pares contra no pares. En ocasiones, al llevar a cabo un experimento comparati-

vo, el investigador puede elegir entre el análisis en pares y la prueba t de dos muestras no pares .

Si se van a efectuar n mediciones en cada población, la estadística t de dos muestras es

En el caso de la alternativa bilateral H

1: J o

f O

y

a 0.1, no la rechazaríamos sólo si t o

<

o

05, 8

1.86.

Puesto que lo > lO.05,8 concluimos que los dos métodos de predicción de resistencia producen resultados dife-

rentes. Específicamente, el método de Karlsruhe produce, en promedio, predicciones de resistencia más altas

que el método de Lehigh.




1l-91b

o

SI

1l-91a

a> F 1Yi2 n 1 nz l

se distribuye como F con

n

1 y

nz

1 grados de libertad, si la hipótesis nula

Ha: J f = J i

es ver

dadera. Por tanto, rechazaríamos

Ha

si

11-90

_

utilizamos el hecho de que la estadística

11-89

a:

J[

J i ,

H

J f

: : ¡ :

J i ,

rocedimiento de prueb p r pobl c iones norm les

Suponga que tenemos dos poblaciones de interés, por ejemplo

XI J 1 1

Jr y

X z N } lz , J i ,

don

de J 1 1 J r J lz y

J i

se desconocen. Deseamos probar hipótesis relativas a l a igualdad de las dos va

rianzas, digamos

Ha:

J r

J i .

Imagine que se toman dos muestras aleatorias: de tamaño

n i

de la

población 1 y de tamaño n z de la población 2, y sean y s i las varianzas de muestra. Para probar

la alternativa bilateral

Presentaremos ahora pruebas para comparar dos varianzas. Siguiendo el planteamiento en la sec

ción 11-2.3, presentamos pruebas para poblaciones normales y pruebas de muestras grandes que

pueden aplicarse a poblaciones no normales.

11 3 4

rueb s p r l igu ld d de dos v r i nz s

Aunque estas reglas son útiles, al emplearlas es necesario aplicar el criterio, ya que muchas ve

ces el valor de

J y p

no se conoce con precisión.Además, si el número de grados de libertad es gran

de digamos 40 o 50 , la pérdida de

n

1 debido al pareo podría ser poco importante. Sin embargo,

si el número de grados de libertad es pequeño digamos 10 o 20 , la pérdida de la mitad podría ser

significativa, a menos que se compense con el aumento de precisión que conlleva el pareo.

Así que, ¿cómo decidiremos llevar a cabo el experimento, es decir, debemos efectuar las obser

vaciones por pares o no? Aunque no hay una respuesta general a esta pregunta, podemos dar algu

nas guías con base en el análisis anterior. Éstas son:

1.

Si las unidades experimentales son relativamente homogéneas

J

pequeña y la correlación

entre pares es pequeña, la ganancia en precisión gracias al pareado se compensará por la pér

dida de grados de libertad, de modo que debe emplearse un experimento de muestras inde

pendientes.

2. Si las unidades experimentales son relativamente heterogéneas J grande y hay una gran

correlación positiva entre pares, lo mejor es recurrir al experimento por pares.

5

PRO ILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



11-95

al

2

a diversas

ni

n2

=

n.

Los diagramas VIq

y

VIr se emplean para la alternativa unilateral de la

uación 11-93.

s diagramas VIo, VIp, VIq y VIr del apéndice proporcionan las curvas características de opera

ión para la prueba para a

0.05

y

a

0.01, suponiendo que ni

n2

n. Los diagramas VIo

y

Ip se emplean con la alternativa bilateral de la ecuación 11.89. En ellos, se grafica contra el pa

ámetro de abscisa


H o: J [

J r

H1:

J f : t J i·

Dos muestras de tamaños nI

nz

8 producen 3.89 y

s r

4.02, Y

s r 3.89

F= = =0 97

s

4.02

Si

0.05, tenemos que

O 025

7, 7

4.99 Y

O 97 5

7, 7

=

O 025

7,

7 -1

4.99 -1

0.20. Por tanto, no po

rechazar H o:

J r =

J i y concluimos que no hay suficiente evidencia de que la concentración afecte la

za de la producción.

sustancia química se utiliza para remover cobre de unos tableros de circuitería. XI y X2 representan los

sultados del proceso cuando se utilizan dos concentraciones diferentes de dicha sustancia. Suponga que de

amos probar

h

ec azanamos

o:al = 2·

11-94

o

Fa nl I.nz I

Si

11-93

La misma estadística de prueba puede utilizarse para probar hipótesis alternativas unilaterales.

uesto que la notación Xl y X es arbitraria, dejemos queXI denote la población que puede tener la

arianza más grande. Por consiguiente, la hipótesis alternativa unilateral es

Ho:

=

ai

H1 : oi »

f

11-92

FI aI2 nl l n2 1

-

F al2 nz

1n

onde F al2 nI 1, nz _ 1 YFI uJ2 nI 1, nz _ 1 son los puntos porcentuales

a/2

superior e inferior de la

stribución F con nI 1 Yn2 1 grados de libertad, La tabla V del apéndice proporciona sólo los

s de la cola superior de

F

por lo que para determinar

F _

al2 nI _

1,

n2_

1

debemos emplear

PRUEB S DE HIPÓTESIS



Presentaremos un procedimiento de muestra grande basado en la aproximación normal a bino

mial, y describiremos después un posible planteamiento para tamaños de muestra pequeños.

11-98

H O : P I

P

H I: P I = P ·

Las pruebas de la sección 11-2.4 pueden extenderse al caso en el que hay dos parámetros binomiales

de interés, por ejemplo

P :

Y

P

Ydeseamos probar que son iguales. Esto es, tratamos de probar

11 3 5 Pruebas de hipótesis sobre dos proporciones

donde S p es el estimador mezclado de la desviación estándar común a. Esta estadística tiene una dis

tribución normal estándar aproximada cuando

ai

a~ Rechazaríamos Ho si 20

> Za 2

o si 20

< - Za 2

Las regiones de rechazo para las alternativas unilaterales tienen la misma forma que en otras prue

bas normales de dos muestras.

11-97

emplearíamos la estadística de prueba

11-96

rocedimiento de prueb de un muestr gr nde

Cuando ambos tamaños de muestra n¡ n2 son grandes, puede desarrollarse un procedimiento de

prueba que no requiere la suposición de normalidad. La prueba se basa en el resultado de que las

desviaciones estándar S¡ y S2 de muestra tienen, de modo aproximado, distribuciones normales con

media

a¡

a2

Y varianzas ai

/2n¡

y

a~ /2n2

respectivamente. Para probar

Ho:

ar=

ai

H¡: ar= ai

Al referimos al diagrama VIo, con

=

0.20 y =2, encontramos que es necesario un tamaño de muestra

n =n

= 20, aproximadamente.

1

1= =2.

2

Tomandocomobase el problemadel análisisde la producciónde la sustanciaquímica del ejemplo 11-18,supon

ga que si una de las concentraciones afectó la producción de manera que una varianza fue cuatro veces mayor

que la otra, deseamos detectar ésta con probabilidad de por lo menos 0.80. ¿Qué tamaño de muestra debe uti

lizarse? Observe que si una varianza es cuatro veces mayor que la otra,

6 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICAPARA INGENIERíA



x¡ x2250 178

0.7643.

+ n

2 300

+

260

Observe que

p ¡

250/300

0.8333,

178/260

0.6846, y

H o:

PI =P2

cp

i:-P2

Se están considerando dos tipos diferentes de computadoras de control de disparo que se utilizarán en baterías

de 6 cañones de 105mm del ejército. Los sistemas de las dos computadoras se someten a una prueba opera

tiva en la que se cuenta el número total de impactos en el blanco. El sistema de la computadora 1produce 250

impactos con 300 descargas, en tanto que el sistema 2 consigue 178 impactos con 260 descargas. ¿Hay algu

na razón para pensar que los dos sistemas difieren? Para responder esta pregunta, probamos

la hipótesis nula se rechaza.

11-100

Si

11-99

La estadística de prueba para

Ho: PI

P2

es entonces

l X2

P

se distribuye aproximadamente como

N O ,

1 Una estimación del parámetro común

P

es

n prueb de muestr gr nde p r Ha PI

P

Considere que se toman dos muestras aleatorias de tamaño ni n2 de dos poblaciones, y sea l y 2

el número de observaciones que pertenecen a la clase de interés en la muestra 1 y 2, respectivamen

te. Suponga además que la aproximación normal a la hinomial se aplica a cada población, por lo que

los estimadores de las proporciones de población X ni y Xin2 tienen distribuciones nor

males aproximadas. Ahora bien, si la hipótesis nula

H o: PI

P2

es verdadera, empleando el hecho de

que

PI P2 P

la variable aleatoria




11-104

-Z a ~ p ij O /n i l/n 2 ) - P I - P 2 ) )

f 3 = I-C I> .

Jp¡

si la hipótesis alternativa es H : P I <P 2

11-103

Jp¡ PZ

está dado por la ecuación 11-101. Si la hipótesis alternativa es H P I> P 2

n I 1 - P I)

n 2 P 2 )

ij

donde

11-102

_ C I > -Z c d 2 ~ P

l /ni

l: n 2 ) - PI - P 2 » ),

Jp¡

P2

Z c d 2 ~pij l /nl l/ n 2 )- P I - P 2 »)

f3

=

C I >

Jp¡ pz

Si la hipótesis alternativa es bilateral, el riesgo de un error f3 es aproximadamente:

11-1011

lO - P I) P 2 1 - P 2 )


El cálculo del error f3 para la prueba precedente es un poco más complejo que en el caso de una so

la muestra. El problema es que el denominador de

es una estimación de la desviación estándar

de P I - P 2 ante la suposición de que P I =P 2 =p . Cuando H o : P I =P 2 es falsa, la desviación están

dar de P I - P z es

Si utilizarnos a

=

0.05, entonces Z o 0 2 5

=

1.96 Z o O Z 5

=

1.96, rechazaríamos o concluyendo que ~

una diferencia significativa entre los sistemas de las dos computadoras.

P I - p z 0.8333 - 0.6846

Z o = ;:===== = ;:======= =4.13.

0.7643 0.2357 [_1- _1_]

300 260

El valor de la estadística de prueba es

8 PROBABILIDAD y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



11-106

Y nI

n2 -

Y .

XI ni

-Xl

Debido a que los resultados son igualmente posibles, la probabilidad de exactamente

X I

éxitos

en la muestra 1, es la razón del número de resultados de la muestra 1 que tiene X¡ éxitos respecto

del número total de resultados, o

Dado que X I

X2

Y

valores grandes de X I sustentan

H

I en tanto que valores pequeños o mo

derados de

X l

sustentan

Ho .

En consecuencia, rechazaremos

Ho

siempre y cuando

XI

sea lo suficien

temente grande.

Puesto que la muestra combinada de ni

n2 observaciones contiene un total de

X l

Xz

Y de

éxitos, si

Ho : P I = P 2

es improbable que los éxitos estén más concentrados en la primera muestra

que en la segunda. Esto es, todas las formas en las que las

ni n2

respuestas, pueden dividirse en

una muestra de ni respuestas y en una segunda muestra de n2 respuestas, son igualmente probables.

El número de maneras de seleccionar

X l

éxitos para la primera muestra dejando

Y

X I

éxitos para

la segunda es

a P I

P 2

H ¡: P I> P 2

Una prueba de muestra pequeña para

Ha:

PI

P

Casi todos los problemas que involucran la comparación de proporciones P I y

P:

tienen tamaños de

muestra relativamente grandes, por lo que el procedimiento basado en la aproximación normal a la

binomial se emplea mucho en la práctica. Sin embargo, en ocasiones se encuentra un problema ele

tamaño de muestra pequeño. En tales casos, las pruebas Z son inapropiadas y se requiere un proce

dimiento alternativo. En esta sección describimos un procedimiento que se basa en la distribución

hipergeométrica.

Suponga que X¡ y X representan el número de éxitos en dos muestras aleatorias de tamaños

y

n2

respectivamente. El procedimiento de prueba requiere que consideremos el número total de éxi

tos como fijo en el valor X¡

X

2 =

Y

Consideremos ahora las hipótesis

donde ql

1 - P I Y q z

1 - P 2 Para las alternativas unilaterales, Z a / 2 se sustituye por

en la ecua

ción 11-105.

11-105

Z a / Z ~ P 1

p z ) q ¡

q z ) 1 2

Z f 3 ~ P l q ¡

p z q z ) Z

P I pz)Z

En el caso de un par de valores específicos

P I

y

P »

podemos encontrar los tamaños de muestra

= =

requeridos para brindar la prueba de tamaño

que ha especificado

el

error

de tipo U.

Por lo que respecta a la alternativa bilateral, el tamaño de muestra común es

PRUEBASDEHIPÓTESIS 9



Este procedimiento de prueba en ocasiones recibe el nombre de prueba Fisher-Irwin. Debido a

que la prueba depende de la suposición de que

XI

X 2

se fija en cierto valor, algunos profesionales

de la estadística se han expresado en contra del uso de la prueba cuando

XI

X

2

no es en realidad

fijo. Es claro que XI X 2 no se fija por medio del procedimiento de muestreo en nuestro ejemplo.

Sin embargo, debido a que no hay métodos mejores que compitan, muchas veces la prueba Fisher

Irwin se utiliza sin importar que Xl X2 se haya fijado o no previamente.

El valor es 0.0750

0.0095

0.0003

0.OS4S. Por consiguiente, en el nivel 0.10, la hipótesis

nula se rechaza y concluimos que los cambios propuestos por los ingenieros han mejorado la producción del

proceso.

2 ~

P X

9112

éxitos

0.0095,

~

~

P X

10112

éxitos

0.0003.

~~

C s

2 ~

P XI

SI12 éxitos 0.0750,

~

Cierta tela aislante que se utiliza en tarjetas de circuitería se fabrica en grandes rollos. El fabricante está tra

tando de mejorar laproducción del proceso, esto es, el número de rollos producidos sin defectos. Una mues

tra de 10 rollos contiene exactamente 4 libres de defectos. A partir del análisis del tipo de defectos, los

ingenieros del departamento de manufactura sugieren varios cambios en el proceso. Después de la implemen

tación de estos cambios, otra muestra de 10rollos da como resultado S libres de defectos. ¿Los datos

confir

man que el nuevo proceso es mejor que el antiguo, empleando 0.10?

Para responder esta pregunta, calculamos el valor

P

En nuestro ejemplo, n n 10, y S 4 12 y

el valor observado de Xl S. Los valores de Xl son más extremos que S son 9 y 10. Por tanto,

dado que Ro: P I

P es verdadera. Reconocemos la ecuación 11-106 como la distribución hipergeo

métrica.

Para utilizar la ecuación 11-106 en la prueba de hipótesis, calcularíamos la probabilidad de de

terminar un valor de

XI

al menos tan extremo como el valor observado de

XI

Observe que esta pro

babilidad es un valor de P Si este valor de P es

1

suficientemente pequeño, se rechaza la hipótesis

nula. Este planteamiento también podría aplicarse a las alternativas de cola inferior y de dos colas.

6




Una distribución completamente especificada. Un científico de computadoras ha desarrollado un algorit

mopara generar enteros seudoaleatorios sobre el intervalo 0-9; luego, codifica el algoritmo

genera 1000dí

gitos seudoaleatorios. Los datos se muestran en la tabla 11-3. ¿Existe evidencia de que el generador de

números aleatorios está trabajando correctamente?

Si está trabajando de manera correcta, los valores 0-9 deben seguir la distribución uniforme discreta lo

cual

implica que cadauno de los enteros debe ocurrirmás o menos 100veces.Esto es, las frecuencias esperadas

Puede demostrarse que sigue aproximadamente la distribución ji cuadrada con

k

p 1 gra

dos de libertad, donde p representa el número de parámetros de la distribución hipotética estimada

por medio de estadísticas de muestra. Esta aproximación se mejora cuando n aumenta. Rechazaría

mos la hipótesis de que X se ajusta a la distribución hipotética si a

k p

Un punto que debe observarse en la aplicación de este procedimiento de prueba, se refiere a la

magnitud de las frecuencias esperadas. Si éstas son demasiado pequeñas, no reflejará la desvia

ción de las observadas respecto de las esperadas, sino sólo las frecuencias esperadas más pequeñas.

No hay un acuerdo general en relación con el valor mínimo de las frecuencias esperadas, aunque los

valores 3, 4 Y5 se utilizan ampliamente como mínimos. Si la frecuencia esperada es demasiado pe

queña, puede combinarse con la frecuencia esperada en un intervalo de clase adyacente. Las frecuen

cias observadas correspondientes se combinarían también en ese caso, y

k

se reduciría en 1. No se

requiere que los intervalos de clase sean de igual ancho.

A continuación brindaremos tres ejemplos del procedimiento de prueba.

11-107)

_

Oi

E ¡

ÁO ~

i=1

E¡

rueb de bond d de juste de l ji cu dr d

El procedimiento de prueba requiere una muestra aleatoria de tamaño de la variable aleatoria X, cu

ya función de densidad de probabilidad se desconoce. Estas

n

observaciones se arreglan en un histo

grama de frecuencias, teniendo k intervalos de clase. Sea O¡ la frecuencia observada en el intervalo

de clase í-ésimo. A partir de la distribución de probabilidad hipotética, calculamos la frecuencia es

perada en el intervalo de clase i-ésimo, denotada ¡ La estadística de prueba es

Los procedimientos de prueba de hipótesis que se han estudiado en las secciones previas son para

problemas en los que se conoce la forma de la función de densidad de la variable aleatoria y la hi

pótesis involucra los parámetros de la distribución. Sin embargo, con frecuencia encontramos otro

tipo de hipótesis: no conocemos la distribución de probabilidad de la variable aleatoria bajo estudio,

digamos X, y deseamos probar la hipótesis de que X sigue una distribución de probabilidad particu

lar. Por ejemplo, podría interesamos probar la hipótesis de que X sigue la distribución normal.

En esta sección describiremos un procedimiento de prueba formal de bondad de ajuste que se

basa en la distribución ji cuadrada. Analizaremos también una técnica gráfica muy útil llamada gra

ficación de la probabilidad . Por último, se brindarán algunas guías útiles para seleccionar la forma

de la distribución de la población.

P R U E D E O N D D D E JU S T E

4




La media de la distribución de Poisson supuesta en este ejemplo se desconoce,

y

puede estimarse a partir

de los datos de la muestra. La estimación del número medio de defectos por tarjeta es el promedio de la mues

tra; esto es, 32 . 0+ 15 . 1 + 9 . 2 + 4 . 3)/60

0.75. A partir de la distribución de Poisson acumulativa con

parámetro 0.75, podemos calcular las frecuencias esperadas como

E ¡

=

np¡

donde

P t

es la probabilidad hipo

tética teórica asociada con el intervalo de clase z-ésimo y es el número total de observaciones. Las hipótesis

apropiadas son:

32

15

9

4

1

2

3

Frecuencia observadaúmero de defectos

Una distribución discreta. Se desea probar si el número de defectos en ciertas tarjetas de circuitería sigue

una distribución de Poisson. Una muestra aleatoria de

60 tarjetas se ha recopilado para observar el núme

ro de defectos. Con base en ello se obtienen los siguientes datos:

Puesto que rl 05 9

16.92, no somos capaces de rechazar la hipótesis de que los datos provienen de una

distribución uniforme discreta. En consecuencia, el generador de números aleatorios parece estar trabajando

en forma satisfactoria.

94 - 100)2 93 - 100)2 94 - 100)2

+ + ... + .

100 100 100

3.72.

E ¡ lOO,para O, 1, . ,9. Puesto que estas frecuencias esperadas pueden estimarse sin que sea necesario

estimar ningún parámetro a partir de los datos de la muestra, la prueba resultante de bondad de ajuste de la ji

cuadrada tendrá 1

10 - O- 1

9 grados de libertad.

El valor observado de la estadística de prueba es

362

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARAINGENIERíA

Tabla 3 Datos para el ejemplo 11 22

Total

1

2

3

4

5 6

7

8 9

Frecuencias

observadas ¡ 94 93

112

101

104

95 100 99

108 94 1000

Frecuencias

esperadas E¡ 100

100 100

100

100 100 100 100 100 100

1000



an iguales. Suponga que decidimos emplear k 8 celdas. Para la distribución normal estándar, los interva

que dividen la escala en ocho segmentos igualmente espaciados son [O,0.32), [0.32,0.675), [0.675, 1.15),

0)

Ysus cuatro intervalos de imagen espejo al otro lado del cero. Denotando estos puntos extremos

Pi

n».,~

X ~

¡

i

f x dx

° l

a distribución continua

Un ingeniero de manufactura está probando una fuente de poder utilizada en una

taciónde trabajo de procesamiento de textos. Él desea determinar si una distribución normal describe en for

a adecuada el voltaje de salida. De una muestra aleatoria de n

100 unidades, el ingeniero obtiene estima

ones de la media

y

de la desviación estándar de la muestra 12.04V Ys

0.08 V.

Una práctica común en la construcción de los intervalos de clase para la distribución de frecuencia utili

ada en la prueba de bondad de ajuste de la ji cuadrada, consiste en elegir las fronteras de celda de modo que

frecuencias esperadas

E¡ = np¡

sean iguales para todas las celdas. Para emplear este método, deseamos ele

r las fronteras de celda ao, al ... , ak para las k celdas, de manera que todas las probabilidades

puesto que

ro os

3.84, no podemos rechazar la hipótesis de que la ocurrencia de defectos sigue una dis

ibución de Poisson con media 0.75 defectos por tarjeta.

32 - 28.32)2 15 - 21.24)2

13 10.44)2 2.94,

o 28.32 21.24 10.44

La estadística de prueba que tendrá

k

p 1 3 - 1 - 1 1grados de libertad) se vuelve

28.32

21.24

10.44

32

15

13

1

recuencia esperada

recuencia observada

úmero de fallas

Las frecuencias esperadas se obtienen multiplicando el tamaño de la muestra por las probabilidades res

. Puesto que la frecuencia esperada en la última celda es menor que 3, combinamos las dos últimas

:

Número de fallas Probabilidad

recuencia esperada

O

0.472

28.32

1

0.354

21.24

2 0.133

7.98

~3

0.041

2.46

Podemos calcular las frecuencias esperadas del modo siguiente:

H¡: p x) no es de Poisson con í 0.75.

x 0 1 2

e

l·

s

0.75}

Ho: p x)




Graficación de la probabilidad

Los métodos gráficos también son útiles cuandose selecciona una distribución de probabilidad pa

ra describir datos. La graficación de probabilidad es un método gráfico que se basa en un examen

visual subjetivo para determinar si los datos se ajustan a una distribución hipotética. El procedimien

to general es muy simple y puede efectuarse con rapidez. La graficación de la probabilidad requie

re papel especial, conocido como papel de

probabilidad

diseñado para la distribución hipotética.

Este papel de probabilidad es útil también para las distribuciones normal, lognormal, de Weibull y

Puesto que se han estimado dos parámetros en la distribución normal, compararíamos

1.12con una

distribución ji cuadrada con

k P

1

8 - 2 - 1

5 grados de libertad. Usando

0.10, vemos que

r o ¡

13.36, Yde este modo concluiríamos que no hay razón para creer que el voltaje de salida no se distribuye

normalmente.

lO - 12.5 2 14 - 12.5 2 14 - 12.5 2

... - ------

12.5 12.5 12.5

1.12.

Los valores calculados de la estadística ji cuadrada son:

Intervalo de clase Frecuencia observada, O í

Frecuencia esperada, E í

x

11 948

1

12 5

11 948 : :; x

11 986

14

12 5

11 986 : :;

x

12 14

12 12 5

12 14 : :; x « 12 4 13

12 5

12 4 : :; x

12 66 11

12 5

12 66 : :; x 12 94

12

12 5

12 94 : :; x 12 132 14

12 5

12 132 : :; x 14

12 5

1

1

Tabla 11-4 Frecuencias observadas y esperadas

Para cada intervalo,

Pi

t

0.125, así que las frecuencias de celda esperadas son

E¡

nP i

100 0.125

12.5.Todas las frecuencias observadas y esperadas se muestran en la tabla 11-4.

a sa 12.04 0.08 0.675 12.094.

estándares normales mediante ao al ... as lo único que resta es calcular los puntos extremos necesarios pa

ra el problema generalnormal; a saber,definimos los nuevos puntos extremos de los intervalos de clase median

te la transformacióna;

sa¡ O,1, ..., 8. Por ejemplo, el punto extremo del sexto intervalo a l a derecha es

364 PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARAINGENIERíA



Podemos obtener una estimación de la media

y

de la desviación estándar directamente de la grá

fica de la probabilidad normal. En la línea recta de la figura 11-7 se observa que la media se estima

como

el

500. percentil de la muestra o

¡1

0.10 aproximadamente

y

la desviación estándar se es

timacomo la diferenciaentre los percentiles 840. y 500. o

=

0.95 - 0.10

=

0.85 aproximadamente.

Los pares de valores de X j y j - 0.5 /n se grafican luego sobre papel de probabilidad normal. Esta grá

fica se muestra en la figura 11-7.Casi todo el papel de probabilidad normal grafica

100 j - 0.5 /n

en l a esca

la vertical derecha y 100[1-

j - 0.5 /n]

en la escala vertical izquierda con el valor variable graficado sobre la

escala horizontal. Hemos elegido graficar X j contra 100 j - 0.5 /n sobre la vertical derecha en la figura

11-7.Una línea recta elegida en forma subjetiva se ha dibujado a partir de los puntos graficados. Al dibujar

la línea recta debe haber mayor influencia de los puntos cercanos a la mitad que de los puntos extremos.

Puesto que los puntos caen por lo general cerca de la línea concluimos que una distribución normal descri

be los datos.

X j

j - 0.5 / n

1

-1.390

0.05

2 -0.801

0.15

3 -0.563 0.25

4 -0.314 0.35

5 -0.179

0.45

6 0.504

0.55

7 0.863

0.65

8 1.080

0.75

9 1.153 0.85

10 1.436

0.95

Consideramos la hipótesis de que una distribución normal modela de manera adecuada estos datos. Las

observaciones se arreglan en orden ascendente y sus frecuencias acumulativas j - O 5 /n se calculan del mo

do siguiente:

-0.314 1.080 0.863 -0.179 - 1.390 -0.563 1.436 1.153 0.504 -0.801.

Para ilustrar la graficación de la probabilidad considere los siguientes datos:

diversas distribuciones ji cuadrada

y

gamma. Para construir una gráfica de probabilidad se clasifi

can primero las observaciones d e la muestra de la más pequeña a la más grande. Esto es la mues

tra

Xl X

2

X;

se arregla como

X l) X 2) .. . , X C n )

donde

X j)::; X j+l)

Las observaciones ordenadas

X j

se grafican después contra su frecuencia acumulativa observada

j -

0.5 /n

en papel de probabi

lidad apropiado. Si la distribución hipotética describe de manera adecuada los datos los puntos gra

ficados caerán aproximadamente a lo largo de una línea recta; si los puntos graficados se desvían de

modo significativo de una línea recta significa que el modelo hipotético es inapropiado. Usualmen

te la determinación de si los datos se grafican o no como una línea recta es subjetiva.


6



j

X }

j

0.5 /

n

1 -l.390 0.05 -l.64

2

-0.801 0.15 -1.04

3 -0.563 0.25 -0.67

4 -0.314

0.35 -0.39

5 -0.179 0.45 -0.13

6 0.504 0.55 0.13

7

0.863

0.65 0.39

8 1.080 0.75 0.67

9 1.153

0.85 1.04

10 1.436 0.95

1.64

Por ejemplo, si

j 0 5 /n

0.05, <P Z¡ 0.05 implica que

Zj

l.64. A manera de ilustración,

considere los datos del ejemplo 11-25. En la tabla siguiente mostramos los conteos normales estan

darizados en la última columna:

Una gráfica de probabilidad normal puede construirse también sobre papel gráfico ordinario,

graficando los conteos normales estandarizados

Zj

contra

X j ,

donde los conteos normales estanda

rizados satisfacen

Figura 11 7 Gráfica de probabilidad normal

0. 5 1. 0 1. 5 2. 0

X jl

10

~ __ ~ __ ~ __ ~ __ ~ __ ~ ~ __ ~ __ ~ __ ~2

70 G

60

50 : : : ;

40 ~

30

80

95

900

20

~

30

40

;

50

. . . . .

60

70

80

90

95

98

2. 0 1. 5 1. 0 0. 5

1 . . ~99

2 98




3

E X fl

es una medida estandarizada del sesgo y

La elección de la distribución hipotética para ajustar los datos es importante. En ocasiones los ana

listas pueden utilizar su conocimiento de los fenómenos físicos para elegir una distribución que mo

dele los datos. Por ejemplo al estudiar los datos de defectos de tarjetas de circuitería del ejemplo

11-23 s e consideró de manera hipotética una distribución de Poisson para describirlos debido a que

las fallas son fenómenos de eventos unitarios y tales fenómenos a menudo son mejor modelados

por una distribución de Poisson. En ocasiones la experiencia previa puede sugerir la elección de la

distribución.

En situaciones en las que no hay experiencia previa ni alguna teoría que sugiera una distribución

para describir los datos el analista debe confiar en otros métodos. En muchas ocasiones la inspec

ción de un histograma de frecuencias puede indicar una distribución apropiada. También es posible

usar la disposición de la figura 11-9 para ayudar en la selección de una distribución que describa los

datos. En ese caso hay que tener en cuenta que el eje 3 2 aumenta en forma descendente. Esta figura

muestra las regiones en el plano { ¡ 3 2 para diversas distribuciones de probabilidad estándar donde

elección de l form de un distribución

igur 11 8 Gráfica de probabilidad normal

2.0 01 0

2 0

L___ ¡ l __ ¡

2 0

•

1 0

Z¡

1 0

La figura 11-8 presenta la gráfica de Zj contra X J) Esta gráfica de probabilidad normal es equiva

lente a la de la figura 11-7. Muchos programas de computadora construyen gráficas de probabilidad

para diferentes distribuciones. En la sección 11-6 encontrará ejemplos en los que se usó Minitab® .




Figura 9

Regiones en el plano

f 3

{ 3 ¿ para diversas distribuciones estándar. Adaptada de G. J. Hahn y S.

S. Shapiro, Statistical Mode s in Engineering JohnWiley

Sons, Nueva York, 1967; utilizada con autorización

del editor y profesor E. S. Pearson, Universidad de Londres.)

4

f 3

9

8

3

2

y

4

f 3 2

~

5

~/6

ó l. ? Ol

i r, h

1) J: i0/ .

o , >} ;s ó

<;lo:

(/el

6

1

(1)

o

3

: : : J

..c

.¡::

U í

7

5

es una medida de la curtosis o pico . Para utilizar la figura 11-9, se calculan las estimaciones de

muestra de f y

f 3 z

por ejemplo:




1

011

012

01c

2

021 022

02c

0 1

0 2

o

e

englón

Columna

Tabla 5 Una tabla de contingencia e

En muchas ocasiones, los

n

elementos de una muestra de una población pueden clasificarse de

acuerdo con dos criterios diferentes. Por ello, nos interesa conocer si dos métodos de clasificación

son estadísticamente independientes. Por ejemplo, podemos considerar la población de ingenieros

graduados, y tal vez deseemos determinar si el salario inicial es independiente de las disciplinas

académicas. Suponga que el primer método de clasificación tiene

r

niveles, y que el segundo méto

do de clasificación tiene

e

niveles. Sea

j

la frecuencia observada para el nivel del primer método

de clasificación y el nivelj del segundo. Los datos aparecerían, en general, como en la tabla 11-5.

Una tabla de tales características se llama comúnmente tabla de contingencia r x e renglón x co

lumna .

P RU EB AS D E T AB LA S D E C ON TIN G EN C IA S

5

y segrafica el punto 1 3 1

f z

Si este punto cae razonablemente cerca de un punto, línea o área que co

rresponda a una de las distribuciones dadas en la figura, esta distribución es una opción lógica para

modelar los datos.

A partir de la inspección de la figura 11-9,observamos que todas las distribuciones normales se

representanmediante el punto { ¡ y

f 3 2

3. Esto es razonable, puesto que todas las distribuciones

normales tienen la misma forma. De manera similar, las distribuciones exponencial y uniforme se

representan por medio de un solo punto en el plano { ¡ f 3 2 Las distribuciones gamma y lognormal

se representan mediante líneas, porque sus formas dependen de los valores de su parámetro. Obser

ve que estas líneas están muy próximas entre sí, lo que puede explicar por qué algunos conjuntos de

datos semodelan igualmente bien mediante cualquier distribución. Observamos también que hay re

giones del plano { ¡ f 3 2 para las que ninguna de las distribucionesde la figura 11-9es apropiada.Otras

distribucionesmás generales, tales como las familias de distribucionesde Johnson o Pearson, pueden

requerirseen estos casos. Los procedimientospara ajustar estas familiasde distribucionesy figuras si

milares a la 11-9 se presentan en Hahn y Shapiro 1967 .

2 3 4

n

M=

X-X

~

i=l

donde


9



34

6

5

4

6

4

6

2

6

4

2

Trabajadores asalariados

Trabajadores por horas

Totales

Total

Plan de pensión

Tabla 11 6 Datos observados para el ejemplo 11 26

El n a ¡ v ¡ 500 0.68) 0.40) 136.

Una compañía tiene que escoger entre tres planes de pensión. La administración desea saber si la preferencia

por algún plan es independiente de la clasificación del empleo. Las opiniones de una muestra aleatoria de 500

empleados se muestran en la tabla 11-6.Podemos calcular a ¡ 340/500) 0.68, a 160/500) 0.32, v ¡

=

200/500)

0.40,

v

200/500)

0.40, Y

v 3

100/500)

0.20. Las frecuencias esperadas pueden calcu

larse a partir de la ecuación 11-109.Por ejemplo, el número esperado de trabajadores asalariados que favore

cen el plan 1 es

11-110)

~~ O..

-E.. 2

E..

~

xZr-l) c-I)

i=1 j=l

aproximadamente, y rechazaríamos la hipótesis de independencia si >

r a

r 1 c - 1

Entonces, para

n

grandes, la estadística

11-109)

Por tanto, suponiendo independencia, el número esperado de cada celda es

11-108)

Estamos interesados en probar la hipótesis de que los métodos de clasificación de renglón y de

columna son independientes. Si rechazamos esta hipótesis, concluimos que hay cierta

interacción

entre los dos criterios de clasificación. Los procedimientos de prueba exactos son difíciles de obte

ner, pero una estadística de prueba aproximada es válida para n grande. Suponga las Oijcomo varia

bles aleatorias multinomiales y j como la probabilidad de que un elemento elegido al azar caiga en

la celda ij-ésima dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces, Pi}

=

u¡v

j,

donde u¡

es la probabilidad de que un elemento elegido al azar caiga en el renglón de clase

i y v j

es la proba

bilidad de que un elemento seleccionado en forma aleatoria caiga en la columna de clase j. Ahora bien,

suponiendo independencia, los estimadores de máxima probabilidad de u¡ y v

j

son:

1 e

i

LOij

n

j=1

1

V j =-LOi}

n

;=1

37 PROBABILIDAD y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



Existen muchos paquetes estadísticos que se pueden usar para construir intervalos de confianza, rea

lizar pruebas de hipótesis y determinar tamaños de lamuestra. En esta sección presentaremos los re

sultados que ofrece uno de ellos, Minitab , para diferentes problemas.

R E S U L T D O S D E L M U E S T R U S N D O O M PU T D O R6

El uso de la tabla de contingencias de dos vías para probar la independencia entre dos variables

de clasificaciónen una muestra a partir de una sola población de interés, no es la única aplicaciónque

tiene estemétodo. Otra situación común ocurre cuando hay poblaciones de interés y cada una de

ellas se divide en las mismas e categorías. Una muestra se toma luego de la población i-ésima, y los

conteos se anotan en las columnas apropiadas del renglón i ésimo En esta situación deseamos in

vestigar si las proporciones en las e categorías son las mismas para todas las poblaciones o no. La

hipótesis nula en este problema, establece que las poblaciones son homogéneas respecto de las ca

tegorías. Por ejemplo, cuando sólo hay dos categorías, tales como éxito y fracaso, defectuoso o no

defectuoso, etc., la prueba de homogeneidad es en realidad una prueba de igualdad de los

paráme

tros binomiales. El cálculo de las frecuencias esperadas, la determinación de los grados de libertad

y el cálculo de la estadística de la ji cuadrada para la prueba de homogeneidad son idénticas a la

prueba para la independencia.

Puesto que

ro OS 2

5.99, rechazamos la hipótesis de independencia

concluimos que la preferencia

respecto de los planes de pensión no es independiente de la clasificación del empleo.

(160 - 136)2+(140 - l36)2 + (40 - 68)2 + (40 - 64)2+ (60 - 64)2 + (60 - 32)2 49.63.

136 l36 68 64 64 32

Las frecuencias esperadas se muestran en la tabla 11-7.La estadística de prueba se calcula a partir de la

ecuación 11-110como sigue:

34

6

5

8

32

36

2

36

2

Trabajadores asalariados

Trabajadores por horas

Totales

Total

Plan de pensión

Tabla 7 Frecuencias esperadas para el ejemplo 26


37



Figura 11 1 Gráfica de probabilidad normal para el ejemplo 11 27

Resistencia a la tensión

400

00

00

~

~

~

I~

0.999

0.99

0.95

O

0.80

l

g

c

0.50

l

c

e

0.20

0.05

0.01

0.001

El valor P se reporta de 0.004, lo que nos conduce a rechazar la hipótesis nula y c oncluir que la media de

la resistencia a la tensión es mayor que 250 MPa. El intervalo de confianza interior de un solo lado del 95

está dado como 272

Test of mu 250 vs mu

>

250

Var i abl e

N

Mean St Dev SE Mean

TS 15 301 9 65 9

7 O

Var i abl e 95 0 Lower Bound T

p

TS 272 0 3 05 0 004

En la figura 11-10se muestra la gráfica de probabilidad normal construida para la resistencia a la tensión.

La suposiciónde normalidadqueda satisfecha.Se suponeque la varianza de la poblaciónpara la resistencia a la

tensión es desconocida, y en consecuencia, se usará una prueba de una sola muestra para este problema.

Los resultados que ofrece Minitab®para la prueba de hipótesis y el intervalo de confianza de la media son

H o :

=

250,

¡

> 250.

Suponga que nos interesa determinar si la media de la resistenci a a l a tensión es mayor que 250MPa. Es

to es, probar

226,237,272,245,428,298,345,201,327, 301, 317,395,332,238,367.

Se realizó un estudio sobre la resistencia a la tensión de varias fibras a diversas temperaturas. Los resultados

del estudio dados en unidades MPa) son




El valor dado es 0.048, lo cual indica que hay una diferencia significativaentre las proporciones de los

vuelos

canceladospor las compañíasAmericanAirlines yAmericanWestAirlinesa un nivel deconfianza de 5 .

0. 048

Est i mat e f or p l ) - p 2) : - 0. 0231240

95 Cl f or p l ) - p 2) : - 0. 0459949, - 0. 000253139)

Test f or p l ) - p 2)

O v s not

O) : Z

- 1. 98 P- Val ue

Sampl e p

0. 054041

0. 077165

2128

635

115

49

Sampl e

2

¿Existe una diferencia significativa en la proporción de vuelos cancelados por las dos aerolíneas? Las hi

pótesis de interés son H a PI

P z contra H PI

P z Una prueba de dos muestras y un intervalo de confianza

bilateral sobre las proporciones son:

0.054

0.077

115

49

2128

635

AmericanAirlines

AmericanWestAirlines

Proporción

úmero de vuelos canceladosúmero de vuelos

erolínea

El número de vuelos cancelados en cada día de servicio se registrapara todas las aerolíneas.A continuación se

lista tanto el número de vuelos programados como el de vuelos cancelados en un solo día de marzo de 2001,

en el caso de las dos aerolíneas principales.

Los resultados de Minitab®concuerdan con los que se encontraron en el ejemplo 11-17.Minitabf tam

bién proporciona el intervalo de confianza apropiado para el problema. Usando 0.10, el nivel de confian

za es 0.90; el intervalo d e confianza 90 sobre la diferencia entre los dos métodos es (0.1901, 0.3576). Puesto

que el intervalo de confianza no contiene al cero, también concluimos que hay una diferencia significativa en

tre los dos métodos.

SE Mean

0. 0487

0. 0165

0. 0450

St Dev

0. 1460

0. 0494

0. 1351

Mean

1. 3401

1. 0662

0. 2739

9

9

Kar l sr uhe

Lehi gh

Di f f er ence

pai r ed T f or Kar1sruhe - Lehi gh

6. 08 P- Va1ue

90 f or mean di f f er ence: 0. 1901, 0. 3576)

T- Test of mean di f f erence

O vs not

O T- Va1ue

0. 000

Reconsidere el ejemplo 11-17, comparando dos métodos para predecir la resistencia al corte de vigas de pla

ca de acero. El resultado, usando Minitab' , de la prueba

en pares usando 0.10 es




Por tanto, para detectar en forma adecuada un cambio significativo en la proporción de cinturones elásti

cos no ajustables, serían necesarias al menos

348 muestras aleatorias.

0. 01 versus> 0. 01

est i ng propor t i on

Al pha

0. 05

Act ual

Power

0. 9502

Tar get

Power

0. 9500

Sampl e

Si ze

8

Al t ernat i ve

Pr opor t i on

3. 50E- 02

Un fabricante de cinturones elásticos desea inspeccionar y controlar el número de cinturones no ajustables que

genera cierta línea de producción. La proporción de cinturones no ajustables aceptable es 0.01. Para fmes

prácticos, si la proporción aumenta a 0.035 o más, el fabricante quiere detectar el cambio. Esto es, la prueba

de interés sería o 0.01 contra ¡

>

0.01. Si el nivel de significación aceptable es a

0.05

y

la potencia

es 1 -

0.95, ¿cuántos cinturones elásticos debe seleccionar para llevar a cabo la inspección? Para

0.05

y

1- 0.95, el tamaño apropiado de la muestra se puede determinar usandoMinitab®.El resultado es

Para lograr la potencia el nivel de significación deseados, el número mínimo de especímenes que debe

utilizarse es

6.

Test i ng mean

nul l versus nul l

Cal cul at i ng power f or mean

nul l

+

di f f er ence

Al pha 0. 05 Si gma 1. 3

Act ual

Power

0. 9936

Target

Power

0. 9900

Sampl e

Si ze

6

Di f fe rence

- 2. 6

La resistenciamedia a la compresión de un concreto particular de alta resistencia se suponeque es

J

20 (MPa).

Se sabe que la desviación estándar de la resistencia a la compresión es

1.3MPa. Un grupo de ingenieros

quiere determinar el número de especímenes de concreto que serán necesarios en el estudio para detectar una

disminución en la media de la resistencia a la compresión de dos desviaciones estándar. Si el promedio de la

resistencia a la compresión es realmente menor que

J 20

los analistas quieren tener confianza de detectar

correctamente esta diferencia significativa. En otras palabras, la prueba de interés sería o

J

20 contra ¡

J

20. Para este estudio, el nivel de significación se establece en

0.05,

y

la potencia de la prueba es l -

0.99 ¿Cuál es el número mínimo de especímenes de concreto que se debe usar en este estudio? Para una

diferencia de 20 o 2.6 MPa,

0.05

y

l -

0.99, la muestra de tamaño mínimo se encuentra usando Mi

nitab' . El resultado es

El intervalo de confianza de 95 es (-0.0460, -0.0003), lo cual señala que American WestAirlines tiene una

proporción de vuelos cancelados estadísticamente más significativa que American Airlines para un solo día.

7

PRO ILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



11-7 Se emplean dos máquinas para llenar botellas

de plástico con un volumen neto de 16.0 on

zas. El proceso de llenadopuede suponersenor

mal, con desviaciones estándar de

JI=

0.015 Y

j

0.018. Los ingenieros del departamento

de control de calidad sospechan que ambas

máquinas llenan hasta el mismo volumen neto,

11-6 Considere los datos del ejercicio 10-41.Pruebe

lahipótesisdeque la resistenciamedia a la com

presión es igual a 3500 lpc. Utilice

0.01.

11-5 Considere los datos del ejercicio 10-40.Pruebe

la hipótesis de que la vida media de las bombi

llas eléctricas es de 1000horas. Use

=

0.05.

b

¡,Qué tamaño de muestra se requiere para

detectar un diámetro medio real de 74.030

mm con probabilidad de por lo menos

0.957

11-4 Considere los datos del ejercicio 10-39.

Pruebe la hipótesis de que el diámetrome

dio de un anillo de pistón es 74.035 mm.

Utilice

0.01.

Pruebe la hipótesis de que el diámetro me

dio real de los tornillos es igual a 0.255

pulg, empleando 0.05.

b ¡,Qué tamaño de muestra se necesitaría

para detectar un diámetro medio real de

0.2552 pulg con probabilidad de por lo

menos 0.907

11-3 Se sabe que el diámetro de ciertos tomillos tie

ne una desviación estándar de 0.0001 pulg.

Una muestra aleatoria de 10 tomillos produce

un diámetro promedio de 0.2546 pulg.

¡,Hayrazón para creer que el rendimiento

es menor a 90 7

b

¡,Qué tamaño de muestra se requeriría pa

ra detectar un rendimiento medio verda

dero de 85 con probabilidad de 0.95?

11-2 Seestá estudiando el rendimiento de un proce

so químico. A partir de la experiencia previa,

se sabe que la varianza del rendimiento con es

te proceso es 5 (unidades de

j =

porcentaje ).

Los últimos cinco días de operación de la plan

ta han dado como resultado los siguientes ren

dimientos (en porcentajes): 91.6, 88.75,90.8,

89.95, 91.3.

11-1 Se requiere que la resistencia al rompimiento

de una fibra utilizada en la fabricación de ropa

no sea menor que 160 lpc. La experiencia in

dica que la desviación estándar de la resisten

cia al rompimiento es de 3 lpc. Se prueba una

muestra aleatoria de cuatro especímenes y se

encuentra que la resistencia promedio al rom

pimiento es de 158 lpc.

¿Debe considerarse aceptable la fibra con

=

0.05?

b

¿Cuál es la probabilidadde aceptar

Ho l ~

160 si la fibra tiene una resistencia al rom

pimiento verdadera de 165 lpc?

EJERCIC IOS 8

En este capítulo se abordó la prueba de hipótesis. Los procedimientos para probar hipótesis en me

dias y varianzas se resumen en la tabla 11-8.La bondad de ajuste de la ji cuadrada se presentó para

probar la hipótesis de que una distribuciónempírica sigue una ley de probabilidad particular.Los mé

todos gráficos también son útiles en la prueba de la bondad de ajuste, en particular cuando los tama

ños de muestra son pequeños. Además, se presentaron las tablas de contingencia de dos vías para

probar la hipótesis de que dos métodos de clasificación de una muestra son independientes. También

se analizaron varios ejemplos cuyos resultados se obtuvieron usando computadora.


7 RESUMEN



F

o

< F1 - a/2

n

1

n2

1

F o > F

a n 1 n2 1

F o > F « 2 n 1 n2 1

o

xg> X ~ 2,n-1

o

X ~ < X L a/ 2, n-1

X g > X ;;,n -1

X ~ < X L a,n-l

H 1 : a2 > ag

H :a

2

<a~

t¿» ta v

fo < ta v

H : /1 1

/ 1 2

H1:/ 11 > / 1 2

H ,:/1 , < /12

X X

2

sf s~

n n2

H O :/1 1 = /1 2

a~ a~

desconocidas

d

=

1 / 11 - /1 21/ 2a

d

=

/1 , - /1 2 /2 a

d =

/1 2 - /1 1 /2 a

t o l > t / 2 n

n2- 2

to

>

a n n

2 2

to < -fa

n n

2 2

H

1 : /1 1

/ 1 2

H : ~l >

/1 2

H 1 :/1 1 < /1 2

H o :/1 1 = /1 2

a ~ = a~

=

a 2

desconocidas

d

=

1 /1 1- /1 21

~a~

a~

d = /1 , - / 1 2 /

¡ ; ¡ - ; ; ; ¡

d =

/ 1 2 -

/1 , / ~a~ a~

X

1

X

2

a~ a~

-

n n

2

H

O

:/1 1 = /1 2

a~y a~conocidas

d =

1 /1 - /1 ol/a

d =

/ 1 -

/1 o /a

d

=

/1 0 - /1 /a

I t o l > t / 2 n-1

t« > ta n -1

to < ta n -1

H

1 :

/1 f 1 o

H 1 :/1 > /10

H ,:/1 < /10

x - /1 0

lo

=

s

{r

H o :/1 = /10

a 2

desconocida

d = 1 /1 -

f 1 o l

a

d

=

/ 1 - /1o /a

d = / 1 0 - /1 /a

Z o > Z a /2

z ,

> z;

z <

z

H1 : /1

f 1 o

H 1 :/1 > /1 0

H,:/1</1 o

X -/ 10

Z o =---

aj..[r;

H o :/1 = /1 0

a 2

conocida

Criterio de

rechazo

Hipótesis

alternativa

Parámetro de

la curva CO

Hipótesis

Estadística de pruebaipótesis nula

Tabla 8 Resumen de procedimientos de pruebas de hipótesis en medias y varianzas

7

PROBABILIDAD Y ESTADíSTICA PARA INGENIERíA



a ¿Hay alguna evidencia de que el tiempo de

almacenamiento medio es mayor o igual

que 125días?

b

Si es importante detectar una razón

la

de

1.0 con probabilidad de 0.90 ¿el tamaño

de la muestra es suficiente?

128 días

163

159

134

108 días

134

124

116

11 13

El tiempo que se puede almacenar una pelícu-

la fotográfica es de interés para el fabricante.

Éste observa los siguientes datos para ocho

unidades elegidas al azar de la producción ac-

tual. Suponga que el tiempo de almacenamien-

to se distribuye normalmente.

Pruebe la hipótesis de que la desviación lateral

media de estos proyectiles de mortero es cero.

Suponga que la desviación lateral se distribuye

normalmente.

Etapa

Desviación Etapa Desviación

11.28

6

9.48

2 10.42 7 6.25

3

8.51 8 10.11

4 1.95

8.65

5 6.47

10 0.68

11 12

Un fabricante de propulsores está investigando

la desviación lateral en yardas de cierto tipo de

proyectil de mortero. Se han observado los si-

guientes datos.

11 11

Considere los datos de octanaje de gasolina

que se presentaron en el ejercicio 10 47.Al fa-

bricante le gustaría detectar que la fórmula 2

produce un octanaje más alto que la fórmula 1.

Cree y pruebe una hipótesis apropiada em-

pleando 0.05.

11 1

Considere los datos del ejercicio 10 46. Prue-

be

H o :

contra

H

112 empleando

5


11 9

Considere los datos del ejercicio 10 45.Pruebe

la hipótesis de que ambas máquinas llenan has-

ta el mismo volumen. Emplee 0.10.

8 El departamento de revelado fotográfico de

una tienda departamental está considerando

reemplazar su máquina procesadora actual. El

tiempo que necesita la máquina para completar

el procesamiento de un rollo de película es im-

portante. Por ello se selecciona una muestra

aleatoria de 12 rollos de 24 exposiciones a co-

lor para su procesamientoen la máquina actual.

El tiempo de procesamientopromedio es de 8.1

minutos conuna desviaciónestándarde 1.4mi-

nutos en la muestra. Se seleccionauna muestra

aleatoria de 10rollos del mismo tipo de pelícu-

la para probarlos en la máquina nueva. El tiem-

po de procesamiento promedio en este caso es

de 7.3 minutos con una desviación estándar de

0.9 minutos en la muestra. La tienda departa-

mental no comprará la máquina nueva a me-

nos que su tiempo de procesamiento sea menor

en 2 minutos en comparación con la máquina

actual. Con base en esta información ¿deberá

comprarse la máquina nueva?

e

¿Cuál es la capacidad de la prueba en

a

para una diferenciaverdaderaentre las me-

dias de 0.075?

b

Suponiendo tamaños de muestra iguales

¿qué tamaño de muestra se utilizaría pa-

ra asegurar que 0.05 si la diferencia

en medias reales es 0.075? Suponga que

0.05.

¿Piensa usted que los ingenieros están en

lo correcto? Utilice 0.05.

Máquina 1

Máquina 2

16.03

16.01 16.02 16.03

16.04

15.96 15.97

16.04

16.05

15.98

15.96 16.02

16.05

16.02 16.01

16.01

16.02

15.99 15.99

16.00

sin importar que éste sea o no 16.0 onzas. Se

toma una muestra aleatoria de la salida de ca-

da máquina.



e) Encuentre la potencia de la prueba en la

parte a si el rendimiento medio del proce

so 1 es 5 mayor que el del proceso 2.

a

¿Hay alguna razón para creer que el pro

ceso 1 tiene un rendimiento medio mayor?

Use

0.01. Suponga que ambas varian

zas son iguales.

Suponiendo que para adoptar el proceso 1

debe producirse un rendimiento al menos

5 mayor que el del proceso 2, ¿cuáles

son sus recomendaciones?

24.2 26.6 25.7 24.8 25.9 26.5

2 21.0 22.1 21.8 20.9 22.4 22.0

Rendimiento ( )

roceso

11-19 Se están investigando dos métodos para produ

cir gasolina a partir de petróleo crudo. Se su

pone que el rendimiento de ambos procesos se

distribuye normalmente. Los siguientes datos

de rendimiento se han obtenido en la planta pi

loto.

11-18 Un ingeniero desea probar la hipótesis de que el

punto de fusión de una aleación es 1000

o c

Si

el punto de fusión real difiere del hipotético en

más de 20

C, el ingeniero debe cambiar la com

posición de la aleación. Si suponemos que el

punto de fusión es una variable aleatoria que

se distribuye normalmente, a

0.05, 0.10 y

5 10 C, ¿cuántas observaciones deben efec

tuarse?

11-17 Suponga que debe probarse la hipótesis

o l ~

15,

l < 15,

donde se sabe que 52

2.5. Si

0.05 y la me

dia real es 12, ¿qué tamaño de muestra es nece

sario para asegurar un error de tipo II de 5 ?

e) Para 8/ 5

2.0, ¿cuál es la potencia de la

prueba anterior?

a En su opinión, ¿la proporción real de re

baba es menor que 7.5 ?

Si es importante detectar una razón de

5

1.5 con probabilidad de por lo me

nos 0.90, ¿cuál es el tamaño de muestra

mínimo que puede utilizarse?

7.32

8.81

8.56

7.46

5.51

6.49

6.46

5.37

11-16 Se desea probar si el porcentaje de rebaba pro

ducida en una operación de acabado metálico

es menor que 7.5 . Se eligieron varios días al

azar y se calcularon los siguientes porcentajes

de rebaba.

Suponiendo que las horas de trabajo se distri

buyen normalmente, ¿existe alguna evidencia

para concluir que la media del número de horas

de trabajo perdidas es mayor que ocho horas?

8.8 8.8

12.5

12.2

5.4 13.3

12.8 6.9

9.1

2.2

14.7

11-15 Un artículo del

Journal of onstruction ngi-

neering and Management

(1999, pág. 39) pre

senta algunos datos acerca del número de

horas de trabajo perdidas por día en un pro

yecto de construcción, a causa de incidentes

relacionados con el clima. En un periodo de

11 días de trabajo se registraron las siguientes

horas de trabajo perdidas.

¿Hay alguna evidencia de que el contenido

medio de titanio sea mayor que 9.5 ?

8.0 7.7

9.9 11.6

9.9 14.6

11-14 El contenido de titanio en una aleación se está

estudiando con la esperanza de incrementar fi

nalmente la resistencia a la tensión. Un análisis

de seis calentamientos recientes elegidos al azar

produce los siguientes contenidos de titanio.




e) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para

detectar una diferencia real entre las me-

dias de 5 con probabilidad de al menos

0.80 si se sabe al inicio del experimento

que una estimación aproximada de la va-

rianza común es 150?

11 23

Suponga que dos muestras aleatorias se extraen

de poblaciones normales con varianzas iguales.

Los datos de la muestra producen Xl 20.0,

nI

10,

L xli

Xl

1480,

x

15.8,

n2

10

Y L X2i

X Z

1425.

a Pruebe la hipótesis de que las dos medias

son iguales. Emplee 0.01.

Encuentre la probabilidad de que la hipó-

tesis nula en a se rechazará si la diferen-

cia real entre las medias es 10.

11 22 Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en

unaunidadquímica.Antes de su instalación,una

muestra aleatoria produce la siguiente informa-

ción acerca del porcentaje de impurezas: =

12.5,

101.17

nI

8. Después de la insta-

lación, unamuestra aleatoriaproduce z

10.2,

si= 94.73 nz

9.

a

¿Es posible concluir que las dos varianzas

son iguales?

b ¿El dispositivo de filtrado ha reducido en

forma significativa el porcentaje de impu-

rezas?

a

Pruebe la hipótesis de que las varianzas

son iguales. Use 0.05.

b

Empleando los resultados de

a

pruebe la

hipótesis de que los tiempos medios de

quemado son iguales.


9

Tipo 1 Tipo 2

63

82

64 56

81 68 72 63

57 59

83 74

66 75

59

82

82 73 65 82

11 21

Los siguientes. son tiempos de quemado en

minutos) de señales luminosas de dos tipos di-

ferentes.

Suponiendo que las varianzas son iguales,

realice una prueba de hipótesis para determi-

nar si existe una diferencia significativa entre

los datos de campo el modelo simulado. Use

a=0.05.

Campo

Modelo

53.33 57.14 47.40 58.20

53.33 57.14 49.80 59.00

53.33

61.54

51.90 60.10

55.17

61.54 52.20 63.40

55.17 61.54 54.50 65.80

55.17 69.57 55.70 71.30

57.14

69.57

56.70 75.40

11 2

Un artículo que apareció en el Proceedings of

the 1998 WinterSimulation Conference 1998

pág. 1079),analizael conceptode validaciónpa-

ra los modelosde simulaciónde tránsito.El pro-

pósito establecido para este estudio consiste

en diseñar

modificar los servicios avenidas

dispositivos de control) para optimizar la efi-

ciencia

seguridad del flujo de tránsito. Parte

del estudio compara las velocidades observa-

das en diferentes intersecciones,

simula la ve-

locidad mediante un modelo que se está

probando. El objetivo es determinar si

mo-

delo de simulación es representativo de la ve-

locidad real observada. Se reúnen datos de

campo en una ubicación particular,

después

se implementa el modelo de simulación. Se

miden 14 velocidades pies/s) en una ubica-

ción particular,

se simulan usando el modelo

propuesto. Los datos son:

d ¿Qué tamaño de muestra se requiere para

la prueba en la parte a a fin de asegurar

que la hipótesis nula se rechazará con pro-

babilidad 0.90 si el rendimiento medio del

proceso 1 excede el rendimiento medio

del proceso 2 en 5 ?



a Pruebe la hipótesis de que j 0.5. Em

plee

0.05.

Si el valor real de

j

1.0 ¿cuál es la pro

babilidad de que la hipótesis en

sea re

chazada?

4.76

5.54

5.44

4.61

5.65

5.55

5.35

5.35

5.34

5.00

5.07

5.25

11 29

El fabricante de una fuente de poder está inte

resado en la variabilidad del voltaje de salida.

Ha probado 12 unidades elegidas al azar con

los siguientes resultados:

28 Se supone que la desviación estándar de las

mediciones que realiza un termopar especial

es 0.005 grados. Si la desviación estándar es

tan grande corno 0.010 desearnos detectarla

con probabilidad de por menos 0.90. Em

plee

0.01. ¿Qué tamaño de muestra debe

emplearse? Si se emplea este tamaño de mues

tra y la desviación estándar s

0.007 ¿cuál es

su conclusión empleando 0.01?Construya

un intervalo de confianza superior a 95 para

la varianza real.

b

Calcule un intervalo de confianza de 99

para la varianza real.

¿Cuál es la potencia de la prueba si la des

viación estándar real es igual a O 00004?

d ¿Cuál es el tamaño de muestra que puede

utilizarse para detectar una desviación es

tándar real de 0.00004 con una probabili

dad de por lo menos 0.95? Emplee

0.01.

11 27 Un fabricante de instrumentos de medición de

precisión afirma que la desviación estándar

del instrumento es 0.00002 pulg. Un analista

que desconoce esta afirmación utiliza el ins

trumento ocho veces y obtiene una desviación

estándar de la muestra de 0.00005 pulg.

Al emplear 0.01 ¿s e justifica la afir

mación?

16.630 gramos

16.631

16.624

16.622

16.626

16.628gramos

16.622

16.627

16.623

16.618

26 Una compañía química produce cierta droga

cuyo peso tiene una desviación estándar de 4

miligramos. Se ha propuesto un nuevo método

de producción de esta droga aunque están in

volucrados costos adicionales. La administra

ción autorizará el cambio en la técnica de

producción sólo si la desviación estándar del

peso en el nuevo proceso es menor que 4 mili

gramos. Si la desviación estándar del peso en

el nuevo proceso es tan pequeña corno 3 mili

gramos a la compañía le gustaría cambiar los

métodos de producción con una probabilidad

de por lo menos 0.90. Suponiendo que el peso

se distribuye normalmente y que 0.05

¿cuántas observaciones deben efectuarse?

Suponga que los investigadoreseligen n

10 Y

obtienen los siguientes datos. ¿Es ésta una bue

na elección para n ¿Cuál debe ser la decisión?

25 Considere los datos del ejercicio 10-57. Supo

niendo que j I j ª pruebe la hipótesis de que

el diámetro medio de las barras producidas en

los dos tipos diferentes de máquinas no difie

re. Emplee 0.05.

d Encuentre la potencia de la prueba en si

la varianza de una población es cuatro ve

ces la de la otra.

Pruebe la hipótesis de que las varianzas de

dos distribuciones son iguales. Emplee

0.05.

24 Considere los datos del ejercicio 10-56.

Pruebe la hipótesis de que las medias de

las dos distribuciones normales son igua

les. Emplee 0.05 Ysuponga que

ji

j~ .

b ¿Qué tamaño de muestra se requiere para

detectar una diferencia entre las medias de

2.0 con probabilidad de por lo menos

0.85?




11 35 Un diseñador de aviones tiene evidencia teóri

ca de que la pintura del avión reduce la veloci

dad del mismo a una potencia especificada y

según la colocación del alerón. Para probarlo,

prueba seis aviones consecutivos de la línea de

ensamble antes y después de pintarlos. Los re

sultados se muestran a continuación:

Realice una prueba de hipótesis apropiada pa

ra determinar si existe una diferencia significa

tiva en el ritmo cardiaco debido al tipo de

equipo usado.

Persona

A

B

1

162

161

2

163

187

3

140 199

4

191 206

5

160 161

6

158 160

7 155 162

11 34 Dos tipos de equipo de ejercicio, A y B, para

personas minusválidas, se usan con frecuencia

para determinar el efecto en el ritmo cardiaco

de un tipo particular de ejercicio en latidos por

minuto . Han participado siete personas en un

estudio para determinar si los dos tipos de

equipo tienen el mismo efecto en el ritmo car

diaco. Los resultados se presentan en la tabla a

continuación:

Pruebe la hipótesis de que las dos bolas produ

cen la misma medición de dureza esperada.

Emplee 0.05.

Bola 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65

Bola

52 41 43 47 32 49 52 44 57 60

11 33 En una prueba de dureza, una bola de acero se

presiona contra el material que se está proban

do a una carga estándar.Luego se mide el diá

metro de la hendidura, el cual se relaciona con

la dureza. Se dispone de dos tipos debolas, y su

desempeño se compara en 10especímenes. Ca

da espécimen se prueba dos veces, una vez con

cada bola. Los resultados son los siguientes:


b

Pruebe la hipótesis de que las dos máqui

nas producen piezas con el mismo peso

medio. Use

=

0.05.

Pruebe la hipótesis de que las varianzas de

las dos máquinas son iguales. Emplee

0.05.

n 30

=0.907

s~

9.65

ni = 25

X

=

0.984

s i = 13.46

Máquina 2

áquina 1

32

Dos máquinas producen piezas metálicas. In

teresa la varianza del peso de estas piezas. Se

han recopilado los siguientes datos.

¿Hay alguna evidencia para concluir que la

varianza de la población 1 es mayor que la va

rianza de la población2?Use

=0.01. Encuen

tre la probabilidad de detectar

ji j~

4.0.

Muestra 1 Muestra 2

4.34 1.87

5.00 2.00

4.97

2.00

4.25 l.85

5.55 2.11

6.55 2.31

6.37 2.28

5.55 2.07

3.76 l.76

1.91

2.00

1 31 Considere las dos muestras siguientes, extraí

das de dos poblaciones normales.

11 3

En relación con los datos del ejercicio 11-7,

pruebe la hipótesis de que las dos varianzas

son iguales, empleando 0.01. ¿El resulta

do de esta prueba influye en la manera en la

que se conduciría una prueba respecto de las

medias? ¿Qué tamaño de muestra es necesario

para detectar jt j~= 2.5, con probabilidad de

por lo menos 0.90?



11 43 Suponga que deseamos probar la hipótesis

d

Ho: 11¡ Il z

contra

H ¡: Il z

don e JI

y

j2

se conocen. El tamaño de muestra total N es fi

jo, pero la distribución de las observaciones

para las dos poblaciones, tales que

nI

n2

N

se hará con base en costos. Si los costos del

muestreo para las poblaciones 1

y

2 son

el y

11 42 Dos tipos diferentes demáquinas de moldeopor

inyección se utilizan para formar partes plásti

cas. Una parte se considera defectuosa si tiene

un encogimiento excesivo o si se decolora. Se

seleccionan dos muestras aleatorias, cada una

de tamaño 500. Se encontraron 32 partes de

fectuosas en la muestra de la máquina 1, en

tanto que se encontraron 21 partes defectuosas

en la muestra de la máquina 2. ¿Es razonable

concluir que ambas máquinas producen la mis

ma fracción de partes defectuosas?

11 41

Mediante el empleo de los datos del ejercicio

10-71, ¿es razonable concluir que la línea de

producción 2 produce una fracción más alta

de producto defectuoso que la línea 1?Use

0.01.

11 40 Considere el estudio de los miembros del sin

dicato descrito en el ejercicio 10-70.Pruebe la

hipótesis de que la proporción de los hombres

que pertenecen al sindicato no difiere de la

proporción de las mujeres que pertenecen al

mismo. Use

0.05.

11 39

Suponga que deseamos probar la hipótesis

Ho: Il z

contra la alternativa H

Ilz

donde ambas varianzas jj

y

j~se conocen. Se

tomó un total de

n¡ n2 N

observaciones.

Cómo deben distribuirse estas observaciones

en las dos poblaciones para maximizar la pro

babilidad de que

H o

se rechazará si

HI

es real

Y I1 ¡-I l z=O O .

11 38

Considere los datos del ejercicio 10-68.Pruebe

la hipótesis de que la fracción de calculadoras

defectuosas producidas es 2.5 por ciento.

11 37 Considere los datos del ejercicio 10-66.Pruebe

la hipótesis de que la tasa de no asegurados es

de 10 .Use

a= 5

Realice una prueba de hipótesis para determi

nar si el preajustado aumenta significativa

mente la vida a la fatiga del material dental.

Use

a= 1

Diente Diente no

Par preajustado preajustado

1 3.813

2.706

2 4.025 2.364

3 3.042 2.773

4 3.831

2.558

5 3.320 2.430

6

3.080

2.616

7 2.498 2.765

8

2.417

2.486

9 2.462

2.688

10

2.236 2.700

3.932 2.810

11 36 En un artículo del International Journal of Fa-

tigue

(1998, pág. 537), se analiza el doblamien

to por resistencia a la fatiga de un material

dental cuando se usa un proceso d e pretensado

o preajustado El preajustado de un material

dental se obtiene cuando se aplica después se

elimina una sola sobrecarga al elemento de la

máquina. Para determinar las diferencias signi

ficativas en la resistencia a la fatiga debida al

preajustado, se formaronparejas de datos de la

fatiga. Se formaron parejas de un diente prea

justado

y

uno no preajustado , ambos con el

mismo material. Se formaron 11 parejas

y

se

midió la vida a la fatiga en cada uno. (La res

puesta final de interés es ln[vida a la fatiga

10-3].)

¿Los datos respaldan la teoría del diseñador?

Use

a= 5

Velocidad máxima (mph)

Avión Pintado No pintado

1 286 289

2 285 286

3

279 283

4 283

288

5 281

283

6

286

289




11 50 El tiempo de ciclo de una máquina automática

se ha observado registrado.

¿Este generador está trabajando en forma apro-

piada?

967 1008 975 1022 1003 989 1001 981 1043 1011

3 4 5 6 7 8 9

11 49 Un generador de números seudoaleatorios se

diseña de manera que los enteros Oal 9 tengan

igual probabilidad de ocurrencia Los primeros

10 000 números son:

¿La suposición de una distribución de Poisson

es apropiada como modelo de probabilidad pa-

ra este proceso?

Número de Número de obleas

defectos

con defectos

4

1

13

2

34

3

56

4

70

5

70

6

58

7 42

8 25

9 15

10

9

3

12

11 48 Los defectos sobre las superficies de obleas en

la fabricación de circuitos integrados son ine-

vitables. En un proceso particular se reúnen los

siguientes datos:

b Grafique los datos en un papel de probabi-

lidad normal. ¿Se justifica una suposición

de normalidad?

a ¿Es razonable concluir que estos datos pro-

vienen de una distribución normal? Use una

prueba de bondad de ajuste la ji cuadra-

da.

PRUEBASDEHIPÓTESIS

6

11

16

28

19

0 10

11 15

16 20

21 25

26 30

31 35

36 40

41 45

Veces observadas

Número de

defectos por día

47 El número de unidades defectuosas encontra-

das cada día por un probador funcional de cir-

cuitos en un proceso de ensamble de tarjetas

de circuitería se muestra a continuación:

46 Deduzca una expresión similar a la ecuación

11 20 para el error

correspondiente a la prue-

ba de igualdad de las varianzas de dos distribu-

ciones normales. Suponga que se especifica la

alternativa bilateraL

45 Deduzca una expresión similar a la ecuación

11 20 para el error correspondiente a la prue-

ba en la varianza de una distribución normal.

Suponga que se especifica la alternativa bilate-

raL

donde

11 [

es el tiempo de absorción medio del

producto del competidor lz es el tiempo de

absorción medio del nuevo producto Supo-

niendo que se conocen las varianzas J Y y J~

sugiera un procedimiento para probar esta hi-

pótesis.

H o : 11 [ = 2 lz

H [: 111 2 lz

44 El fabricante de una nueva pastilla analgésica

desearía demostrar que su producto actúa dos

veces más rápido que el de su competidor. Es-

pecíficamente le gustaría probar

c: respectivamente encuentre los tamaños de

muestra de costo mínimo que proporcionan una

varianza especificada para la diferencia de las

medias muestrales.



11-56 Se está realizando un estudio de las fallas de

un componente electrónico. Hay cuatro tipos

de fallas posibles y dos posiciones de montaje

para el dispositivo. Se tomaron los siguientes

datos:

Desviación lateral

Alcance yardas Izquierda

Normal Derecha

0-1,999

14

8

2,000 - 5,999

9 4

6,000 - 11,999

8 17

11-55 Un experimento con casquillos de artillería

produjo los siguientes datos acerca de las ca

racterísticas de las desviaciones laterales y al

cances. ¿Concluiría usted que la desviación y

el alcance son independientes?

¿Se relacionan las calificaciones en estadística

e investigación de operaciones?

Calificación de investigación

Calificación

de operaciones

de estadística

Otra

25 6 17 13

17

16

15

6

18

4 18

10

Otra

10 8

11 20

11-54 Las calificaciones en un curso de estadística y

en un curso de investigación de operaciones se

tomaron en forma simultánea, y fueron las si

guientes entre un grupo de estudiantes.

Pruebe la hipótesis de que los llamados pacien

tes quirúrgicos o clínicos son independientes

de que tengan o no seguro médico.

52

43

46

36

Sí

No

Clínicouirúrgicoeguro médico

Tipo de paciente

11-53 Los pacientes de un hospital se clasifican co

mo quirúrgicos o clínicos. Se lleva un registro

del número de veces que los pacientes requie

ren servicios de enfermería durante la noche y

de si tienen o no seguro médico. Los datos son

los siguientes:

Pruebe la hipótesis de que las interrupciones

son independientes del turno.

Máquinas

Turno

4 20 12 6

2

9

4

15 17 6

11-52 Una compañía opera cuatro máquinas en tres

turnos diarios. A partir de los registros de pro

ducción, se recopilan los siguientes datos res

pecto del número de interrupciones:

226.161pc

211.141pc

202.20

203.62

219.54 188.12

193.73 224.39

208.15 221.31

195.45 204.55

193.71 202.21

200.81

201.63

11-51 Un embotellador de refrescos está estudiando

la resistencia a la presión interna de botellas

no retornables de un litro. Se prueba una

muestra aleatoria de 16botellas y se obtiene la

resistencia a la presión. Los datos se muestran

enseguida. Grafique estos datos en papel de

probabilidad normal.

¿Es razonable concluir que la resistencia a la

presión se distribuye normalmente?

¿La distribución normal es un modelo de

probabilidadrazonableparael ciclode tiem

po? Emplee la prueba de bondad de ajuste

de la ji cuadrada.

b

Grafique los datos en papel de probabili

dad normal. ¿Parece razonable la suposi

ción de normalidad?

8 PROB BILID D Y EST DíSTIC P R INGENIERí



Enuncie claramente la hipótesis que se es

tá probando. ¿Está usted probando homo

geneidad o independencia?

e ¿Este procedimiento es equivalente al pro

cedimiento de prueba utilizado en el ejer

cicio 11-42?

11-60 Considere el proceso de moldeo por inyección

descrito en el ejercicio 11-42.

a Establezca este problema como una tabla

de contingencia de 2 x 2 y efectúe el aná

lisis estadístico indicado.

Condición

Política Subestándar Estándar Moderna

Agresiva 24 52 58

Neutral 15 73 86

No agresiva 17 80 36

11-59 Un artículo del Joumal 01Marketing Research

1970, pág. 36 , informa de un estudio de la re

lación entre las condiciones de las instalacio

nes en gasolinerías y la agresividad de su

política de venta de gasolina. Se investigó una

muestra de 441 gasolinerías con los resultados

obtenidos, mismos que se muestran a contin

uación. ¿Hay evidencia de que la estrategia re

lativa al precio de la gasolina y las condiciones

de la instalación sean independientes?


8

Telar

B

185 16

12

2 190

24

21

3

170

35

16

Número de piezas de tela en

la clasificación de la misma

11-58 Una tela se agrupa en tres clasificaciones: A B

Y Los resultados siguientes se obtuvieron de

cinco telares. ¿La clasificación de la tela es in

dependiente del telar?

Pruebe la hipótesis de que la actividad física es

independiente del estatus socioeconómico.

245

409

297

216

226

114

Bajo

Medio

Alto

Inactiva

Activa

status socioeconómico

Actividad física

11-57 Un artículo de Research in Nursing and Health

1999, pág. 263 , resume los datos reunidos en

un estudio previo Research in Nursing and

Health 1998, pág. 285 sobre la relación entre

la actividad física y el estatus socioeconómico

de 1507 mujeres caucásicas. En la siguiente ta

bla se presentan los datos obtenidos.

¿Concluiría usted que el tipo de falla es inde

pendiente de la posición de montaje?

Tipo de falla

Posición de

montaje B

1 22 46 18 9

2 4 17 6 12

11. pruebas de hipotesis

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