matemática financiera

Lic. A. Ramrez Guzmn 1

Matemtica Financiera

Conceptos Bsicos



Conceptos BsicosObjetivos de aprendizaje Definir la Matemtica Financiera. Explicar y medir el valor del dinero en el

tiempo. Describir el sistema financiero nacional. Graficar diagramas de flujo de caja.

Conceptos Bsicos


Matemtica Financiera Es una rama de la Matemtica cuyo objeto de estudio son el clculo de las

variaciones cuantitativas que se producen por el uso u obtencin del dinero debido al transcurso del tiempo, mediante la aplicacin de una ley financiera. La ley financiera que se aplique puede ser:

de rgimen de inters simple cuando los intereses generados en el pasado no se acumulan periodo a periodo y, por lo tanto, estos intereses no generan, a su vez, intereses en el futuro. Los intereses siempre se calculan sobre el valor actual y se acumulan al final de una operacin financiera.

de rgimen de inters compuesto cuando los intereses generados en el pasado s se acumulan al valor actual y generan, a su vez, periodo a periodo intereses en el futuro, los intereses se capitalizan periodo a periodo al valor actual que lo genero.

Segn el sentido en el que se aplica la ley financiera existen : operaciones de capitalizacin cuando se sustituye un valor actual por otro

valor futuro. operaciones de actualizacin o de descuento: cuando se sustituye un

valor futuro por otro valor actual.

Conceptos Bsicos


Valor del Dinero en el Tiempo Las decisiones financieras se refieren a costos y beneficios que se distribuyen a

lo largo del tiempo. Por tanto, los encargados de tomar estas decisiones (en las familias, las

empresas y el gobierno) deben comparar los valores de cantidades de dinero en distintas fechas. Principio:

Unidades monetarias en ubicados en distintos puntos en el tiempo deben ser consideradas como monedas diferentes, es decir que no tienen el mismo valor

Por las siguientes razones:1. Podemos invertirlo hoy y ganar intereses.2. El poder adquisitivo puede cambiar.3. La incertidumbre respecto al futuro.

VF

0 n

VAConceptos Bsicos


Equivalencia Financiera Debemos tener presente que lo racional es que el dinero aumente

en el tiempo, este aumento medido a travs del Inters o de la Tasa de Inters, vendra a ser el valor que le damos al dinero en el tiempo.

Principio:Dos capitales o flujos son equivalentes a una misma tasa de interes

si los valores actuales o valores futuros respectivos son iguales

VF

0 i n

VA

Conceptos Bsicos

Lic. A. Ramrez Guzmn Conceptos Bsicos 6

Operacin Financiera

Una operacin financiera representa un intercambio de dinero en diferentes fechas que son equivalentes a cierta tasa de inters.

Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 7

Sistema Financiero

Intermediacin Financiera

Unidades Superavitarias

Inversin

Unidades Deficitarias

Financiacin

FINANCIAMIENTO DIRECTO

FINANCIAMIENTO INDIRECTO

Mercado de ValoresMercado PrimarioMercado Secundario

BancarioNo Bancario

Ahorrista Prestatario

Inversionista Emisor

Depsito Prstamo

Desintermediacin Financiera

DineroDin

ero

Dinero

Ttulos ValoresDeuda : InteresesCapital: Dividendos

Tasa

Pasiva

Tasa Activa

InstrumentosFinancieros


Instrumentos Financieros Es todo producto de naturaleza financiera que es objeto de

transaccin u operacin financiera en el Sistema Financiero. Estos instrumentos adoptan la forma de ttulos valores o formas contractuales como operaciones bancarias.

Ttulos valores: Letras de Cambio Bonos Acciones

Operaciones Bancarias: Ahorros Sobregiros Prstamos

Conceptos Bsicos


Flujo de Caja Flujo de Caja (FC): Cuando se evala la

conveniencia de una determinada alternativa de financiamiento o inversin, debe realizarse dicha evaluacin en trminos de su flujo de caja (FC), definindose esta como el conjunto de ingresos (I) y egresos (E) de dinero que se generaran en el tiempo como consecuencia directa de elegir tal alternativa.

Flujo de Caja Neto (FCN): Es la diferencia de los ingresos y egresos en cada unidad de tiempo.

FCN = Ingresos Egresos (en cada unidad de tiempo)

Conceptos Bsicos


Diagrama de Flujo de CajaSon representaciones grficas de un FC, de los movimientos de efectivo (ingresos y egresos) que se generan en una operacin financiera. Elementos:-El Horizonte temporal.-Los ingresos o ahorros (flecha hacia arriba en diagramas o signo positivo + en Excel).-Los egresos o prdidas (flecha hacia abajo en diagramas o signo negativo - en Excel)

0 1 2 n - 1 n

Inicio del periodo 1

Final del periodo 1 e inicio del periodo 2

Final del periodo 2 e inicio del periodo 3

Periodo 1 Periodo 2 Periodo n

Final del periodo n-1 e

inicio del periodo n

Fin del periodo n

Conceptos Bsicos


Flujo de CajaClasificacin

Por el comportamiento de los flujos de efectivo: Flujo de Caja convencional:

consiste en un egreso (ingreso) inicial seguido de una serie de ingresos (egresos) de efectivo.

Flujo de Caja No convencional: consiste en un egreso (ingreso) inicial seguido de una serie de ingresos (egresos) intermitentes de efectivo.

Conceptos Bsicos


Operaciones de Inversin: Tasa de Rentabilidad

Punto de Vista de Inversin

Operaciones de Financiamiento: Tasa de Costo

Punto de Vista de Financiacin

i Tasa de Rentabilidad

i Tasa de Costo

Flujo de CajaClasificacin


Medicin del Valor del Dinero en el TiempoMedicin Absoluta

Inters (I): mide de manera absoluta la variacin del dinero por unidad de tiempo, se le calcula restndole al valor final el valor actual de una operacin financiera, debido a ello el inters se expresa en unidades monetarias.

Dado que es una medida absoluta, no siempre nos indicara la alternativa financiera correcta.

VAVFI =

Conceptos Bsicos


Medicin del Valor del Dinero en el TiempoMedicin Relativa

La Tasa de Inters (i): mide de manera relativa la variacin del dinero por unidad de tiempo, se le calcula dividiendo el inters (I=VF-VA) entre el valor actual de una operacin financiera. Nos informa cuanto es el inters que se genera por cada unidad monetaria en la operacin financiera.

La Tasa Porcentual de Inters (i%): Es la expresin porcentual de la tasa de inters, se le calcula multiplicando a esta ultima por 100%.

1===VAVF

VAI

VAVAVFi

%1001%100%100

==

=

VAVF

VAI

VAVAVFi

Conceptos Bsicos


Tipos de Transformacin delValor del Dinero en el Tiempo

Para analizar y valuar el proceso de transformacin del dinero en el tiempo se utilizan las siguientes regimenes:Rgimen de Inters de capitalizacin Simple.Rgimen de Inters de capitalizacin Compuesto.Rgimen de Inters de capitalizacin Continua.

Conceptos Bsicos


Tasas de Inters

Regimenes de Crecimiento del Dinero en el Tiempo

Inters simpleTasa Nominal

Inters compuesto Tasa Nominal Tasa Efectiva (con periodo de capitalizacin)

Tasa Efectiva

Conceptos Bsicos


Unidad de Tiempo

Se considera convencionalmente el ao bancario de 360dias o meses de 30 das.

Cuando en una operacin financiera intervienen fechas se considerara meses calendario.

Unidad N Unidades en un Ao (m) N dias por UnidadAo 1 360

Semestre 2 180Cuatrimestre 3 120

Trimestre 4 90Bimestre 6 60

Mes 12 30Quincena 24 15

Dia 360 1

El tiempo y sus equivalencias

Conceptos Bsicos


Periodo de Tiempo comprendidoentre dos fechas

Es la Fecha de Vencimiento (FV) menos Fecha Inicial (FI) de la operacin financiera.

Para que una operacin financiera genere intereses es necesario que por lo menos haya transcurrido un da, por lo que para calcular el periodo de Tiempo comprendidoentre dos fechas la primera fecha (FI) se excluye y la ultima fecha (FV) se incluye.

FI FV

Conceptos Bsicos


Periodo de Tiempo comprendidoentre dos fechas

Entre el 17/08/12 y el 18/08/12 1 Da

Entre el 17/08/12 y el 31/08/12 14 Das

Entre el 17/08/12 y el 25/10/12 14+30+25 = 69 Das

Entre el 23/09/12 y el 23/12/12 7+31+30+23 = 91 Das

Entre el 10/11/12 y el 23/03/13 20+31+31+28+23 = 133 Das

Conceptos Bsicos


Porcentajes Una fraccin representa en trminos relativos, un cociente o

razn, cuanto un nmero representa de otro (X/Y). Puede expresarse como fraccin o decimal o porcentaje (tanto por ciento). 50/100 = 0.50 = 0.50 x 100% = 50 % 10/100 = 0.10 = 0.10 x 100% = 10 % 5/100 = 0.05 = 0.05 x 100% = 5 % 125/100 = 1.25 = 1.25 x 100% = 125 % 1/100 = 0.01 = 0.01 x 100% = 1 % 0.5/100 = 0.005 = 0.005 x 100% = 0.5% 20/80 = 0.25 = 0.25 x 100% = 25% 125/50 = 2.5 = 2.5 x 100% = 250% 48/73 = 0.6575 = 0.6575 x 100% = 65.75%

En la Matemtica Financiera se utiliza la notacin decimal o de fraccin para el calculo financiero y la notacin porcentual usualmente en las preguntas y respuestas.

Conceptos Bsicos


Mapa Conceptual Valor del Dinero en el Tiempo

Valor del Dinero en el Tiempo

Regimenes

Absoluta Relativa

Medicin

Inters Simple VA, VF

Inters Compuesto

VA, VF

I = VF-VA

Descuento

d Nom

Rentas Amortizacin

Constante

Variable

i Nom

Descuento

d Nom, Dcto

i Nom, Cap

i Efect

i

i %

Conceptos Bsicos


Bibliografa Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica

Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo I.

Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 1.

Valera Moreno, Rafael. Matemtica Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edicin, Piura. 2001: Captulo I.

Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo I.

Conceptos Bsicos


Inters Simple

Matemtica para las Finanzas



Inters SimpleObjetivos de aprendizaje Definir el Inters Simple Graficar flujos de caja Formular ecuaciones de valor equivalente a

inters simple. Resolver ecuaciones de valor equivalente a

inters simple con tasa constante y tasa variable para hallar VA, VF, I, i y n


Inters Simple Una operacin financiera esta sujeta a rgimen de

inters simple cuando el Valor Actual VA (capital inicial P), que es el importe que genera los intereses; permanece constante periodo a periodo, en el plazo total de vigencia de la transaccin financiera. Los intereses devengados periodo a periodo se generan aplicando la tasa de inters peridica sobre dicho valor actual. La adicin de los intereses calculados al valor actual se realiza al trmino de la vigencia de la operacin financiera, conformando el Valor Futuro VF (capital final S).


Inters Simple


Tasa de Inters Tasa Nominal (j) Es una tasa de inters de referencia y es la que va a

proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) segn la periodicidad del horizonte temporal. Usualmente el periodo de referencia de esta tasa es Anual, pero puede indicarse para otros plazos: TNA TNS TNT TNB TNM TND

Tasa Proporcional (i) Es la tasa de inters que se aplicara por periodo dentro del plazo de vigencia de la operacin financiera. Se determina de la siguiente manera:

donde: m es el numero de periodos contenidos en el plazo de la TN. Cabe resaltar que el periodo de aplicacin de la tasa de inters proporcional debe

ser homogneo con los periodos del horizonte temporal. Asimismo, cuando enlas operaciones de inters simple multiplicamos o dividimos una tasa nominal, la tasa resultante tambin ser nominal.

100%jim

=


Valor Futuro en el Inters Simple Si a un Valor Actual (VA) se le adiciona el inters total I que este

ha generado durante n periodos, a una tasa i por periodo, se obtiene como resultado el Valor Futuro (VF) de dicho valor actual.

(1 )VF VA i n= + niVAI =

VA i VA i VA i VA i VA i

0 1 2 3 4 n-1 n

VA IVAVF +=

niVAVAVF +=

)1( niVAVF +=


Valor Actual en el Inters Simple Si a un Valor Futuro (VF) se le sustrae el inters total I que este ha

generado durante n periodos, a una tasa i por periodo, se obtiene como resultado el Valor Actual (VA) de dicho valor futuro.


Tasa de Inters (i) y el Tiempo (n) en el Inters Simple en funcin de VF y VA

iVAVF

nn

VAVF

i11

=

=


Inters Simple (I) con Valor Actual y Tasa Nominal Constante

niVAI =

IVAi n

=

IiVA n

=

In

VA i=

Inters Simple (I) con Tasa Nominal Constante en funcin de VA

[ ]1)1()1(

+=

+=

=

+=

niVAIVAniVAI

VAVFIIVAVF


Inters Simple con Valor Actual Constante y Tasa Nominal Variable

kk niVAniVAniVAniVAniVAI +++++= ..............44332211)..............( 44332211 kk nininininiVAI +++++=


Valor Futuro con Valor Actual Constante y Tasa Nominal Variable

IVAVF +=

)..............( 44332211 kk nininininiVAVAVF ++++++=)..............1( 44332211 kk nininininiVAVF ++++++=

Valor Actual en funcin del Valor Futuro y Tasa Nominal Variable

)..............ii(1 44332211 kk nininninVFVA

+++++++=


Inters en funcin del Valor Futuro y Tasa Nominal Variable


Inters con Valor Actual Variable y Tasa Nominal Constante


Valor Futuro con Valor Actual Variable y Tasa Nominal Constante

IVAVF +=)..............()..........( 221121 kkK nVAnVAnVAiVAVAVAVF +++++++=

)1(...)1()1()1( 332211 kk niVAniVAniVAniVAVF ++++++++=


Inters y Valor Futuro (o Valor Actual) con Valor Actual (o Valor Futuro) Variable y

Tasa Nominal VariableCuando en el horizonte temporal de la operacin financiera se presentan varios VA (o VF) y se tienen variaciones en la tasa deinters nominal en distintos momentos en el tiempo; el importe por intereses y el valor futuro (o VA) se obtiene efectuando los clculos de inters simple por tramos segn como se presenten las variaciones, aplicando las relaciones antes expuestas.


Tasa de inters vencida (i) en el rgimen de inters simple

La tasa de inters vencida i es la tasa de inters aplicada a un valor actual, el cual devenga al vencimiento del plazo de la operacin financiera pactada.

Ecuaciones de Valor Equivalente a Inters Simple Una ecuacin de valor equivalente a inters simple se obtiene

igualando en una fecha de comparacin o fecha focal, la suma (a valor actual y/o valor futuro) de un conjunto de ingresos (egresos) con otra de un conjunto de egresos (ingresos) considerando en ambos la misma tasa de inters.

En el inters simple, si dos conjuntos de importes son equivalentes en una fecha focal no necesariamente son equivalentes en otra fecha focal.


Mapa Conceptual Inters Simple

Inters Simple

Valor Futuro Inters Valor Actual n, i

Valor ActualConstanteVariable

Valor FuturoConstanteVariable

iNomConstanteVariable

)1( niVFVA

+=)1( niVAVF +=

)...1( 332211 kk ninininiVAVF +++++= )...1( 332211 kk ninininiVFVA

+++++=

)...( 332211 kk ninininiVAI ++++=niVAI =

IVAVF +=

VAVFI =

IVFVA =

In

VA i=

iVAVF

n

1=

nVAIi

=

n

VAVF

i1

=


Bibliografa Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un

enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 2.

Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo I.

Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo II.

Valera Moreno, Rafael. Matemtica Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edicin, Piura. 2001: Captulo I.

Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 41


Inters Compuesto

Lic. Armando Ramrez Guzmn



Inters CompuestoObjetivos de aprendizaje Definir el Inters Compuesto Graficar flujos de caja Formular ecuaciones de valor equivalente a

inters compuesto. Resolver ecuaciones de valor equivalente a

inters compuesto con tasa constante y tasa variable para hallar VA, VF, I, i y n



Inters Compuesto En el inters compuesto los intereses generados

en el periodo anterior se acumulan al valor actual y generan, a su vez, periodo a periodo intereses en el futuro, los intereses se suman periodo a periodo al valor actual que lo genero.

Este proceso de acumulacin de intereses periodo a periodo al valor actual que lo genero se denomina capitalizacin.


Inters Compuesto

niVAVF )1( += )1(...)1()1()1( iiiiVAVF ++++=

1)1( iVA + 2)1( iVA + 3)1( iVA + )1()1( iiVA ++ )1()1( 2 iiVA ++ )1()1( 1 iiVA n ++

iVAVA + iiVAiVA +++ )1()1( iiVAiVA +++ 22 )1()1( iiVAiVA nn +++ 11 )1()1( iVA iiVA + )1( iiVA + 2)1( iiVA n + 1)1( (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 1 2 3 4 ...... n-1 n

VA

i por periodo niVAVF )1( +=

VAVFI = VAiVAI n += )1( [ ]1)1( += niVAItambin:


Inters Compuesto Tasas de Inters

Tasa Nominal Junto con el perodo de capitalizacin al cual est asociado constituyen slo una forma indirecta de informar una tasa efectiva.

Tasa Efectiva Mide el verdadero crecimiento proporcional del dinero en el tiempo, con sta se halla la tasa (o el factor) de capitalizacin para cada perodo.


Transformacin Equivalente de Tasa Nominal a Tasa EfectivaSe multiplica o divide

Tasa Nominal Tasa Efectiva

En este caso, se transforma la tasa nominal en forma proporcional al periodo de capitalizacin, siendo la tasa resultante efectiva.

30% TNA capitalizable mensualmenteief mensual = 0.30/12 = (0.30/12) x 1 = (0.30/360) x 30 = 0.025 = 2.5% TEM

18% TNA capitalizable trimestralmenteief trim = 0.18/4 = (0.18/12) x 3 = (0.18/360) x 90 = 0.045 = 4.5% TET

54% TNA capitalizable semestralmenteief semestral = 0.54/2 = (0.54/12) x 6 = (0.54/360) x 180 = 0.27 = 27% TES

7.5% TNT capitalizable bimestralmenteief bim = 0.075/1.5 = (0.075/3) x 2 = (0.075/90) x 60 = 0.05 = 5% TEB

6% TNM capitalizable diariamenteief diaria = 0.06/30 = (0.06/30) x 1 = 0.002 = 0,2% TED

13.5% TNS capitalizable bimensualmenteief bim = 0.135/3 = (0.135/6) x 2 = (0.135/180) x 60 = 0.045 = 4.5% TEB

1.25% TNM capitalizable trimestralmenteief trim = 0.0125x3 = (0.0125/1)x3 = (0.0125/30)x90 = 0.0375 = 3.75% TET

2% TNT capitalizable semestralmenteief trim = 0.02x2 = (0.02/90)x180 = 0.04 = 4% TES

5% TNB capitalizable cada 77 Dasief mensual = (0.05/60)x77 = 0.0642 = 6.42% TE77Das


Transformacin Equivalentede Tasa Efectiva a Tasa Efectiva

Operacin exponencial

Tasa Efectiva 1 Tasa Efectiva 2

Hallar la Tasa Efectiva 2, debe ser entendido como el proceso de trasformar equivalentemente el factor de capitalizacin de la Tasa Efectiva 1.


Expresin general:

Tasa Efectiva2 = (1 + Tasa Efectiva1) n2/n1 - 1Donde:n1 = perodo de la Tasa Efectiva 1n2 = perodo de la Tasa Efectiva 2

Transformacin Equivalentede Tasa Efectiva a Tasa Efectiva


Ejemplos: Tasas efectivas equivalentes a otra tasa efectiva 18% TEA

ief mens = (1,18) (1/12) -1 = (1,18) (30/360) -1 = 1,3888% TEMief trim = (1,18) (3/12) -1 = (1,18) (90/360) -1 = 4,2247% TETief bim = (1,18) (2/12) -1 = (1,18) (60/360) -1 = 2,7970% TEBief diaria = (1,18) (1/360) -1 = 0,0460% TED

7.5% TETief bim = (1,075) (2/3) -1 = (1.075) (60/90) -1 = 4.9395% TEB ief anual = (1,075) (12/3) -1 = (1,075) (360/90) -1 = 33,5469% TEAief mens = (1,075) (1/3) -1 = (1,075) (30/90) -1 = 2,434% TEMief diaria = (1,075) (1/90) -1 = 0,0804% TED

4.25% TE127Dasief bim = (1.0425) (60/127) -1 = 1.9858% TEB

ief anual = (1,0425) (360/127) -1 = 12.5225% TEAief mens = (1,0425) (30/127) -1 = 0.9880% TEMief diaria = (1,0425) (1/127) -1 = 0,0328% TED

5% TEBief 19Das = (1.05) (19/60) -1 = 1.557% TE19Das


Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Constante


Valor Futuro en el Inters Compuesto con Tasa Constante

IVAVF +=

[ ]1)1( ++= niVAVAVFniVAVF )1( +=

)1(...)1()1()1( iiiiVAVF ++++=

niVAVF )1( +=

o tambin:

n factores


Valor Actual en el Inters Compuesto con Tasa Constante

IVAVF +=

IVFVA =[ ]1)1( += niVAVFVA

niVFVA )1( +=

)1(...)1()1()1( iiiiVFVA

++++= ni

VFVA )1( +=o tambin:

n factores


Inters con Valor Futuro y Tasa Constante

IVAVF += VAVFI =

niVFVFI )1( +=

+=

niVFVFI )1(1

Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:


Inters con Valor Actual Constante y Tasa Constante

11

=

n

VAVFi

IVAVF += VAVFI =


VAiVAI n += )1( [ ]1)1( += niVAITasa de Inters (i) y el Tiempo (n)

)1( iLogVAVFLog

n+

=


Tasa Efectiva (ie)

niVAVF )1( +=

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 1 2 3 n

VA

ie

%100

=

VAVAVFi

%100)1(

+

=

VAVAiVAi

n

e[ ] %1001)1( += ne ii


por periodo


Inters Devengado entre Periodos con Tasa Constante

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 0 k-1 k z n

VA

i por perodo

11 )1( += kk iVAVF zz iVAVF )1( +=

1 = kzkz VFVFI1)1()1(

++= kzkz iVAiVAI


Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable

VF

(1+i1) .. (1+i1) (1+i2) .. (1+i2) (1+i3) .. (1+i3) .. (1+ik) .. (1+ik) 0

VA

...

1i 2i 3i ki 1n 2n 3n kn



Valor Futuro de un Valor Actual Constante con Tasa Variable

Valor Actual de un Valor Futuro con Tasa Variable

knk

nnn iiiiVAVF )1(.....)1()1()1( 321 321 ++++=

knk

nnn iiiiVFVA )1(.....)1()1()1( 321 321 ++++

=



Inters con Valor Actual Constante y Tasa Variable

Inters con Valor Futuro y Tasa Variable

IVAVF +=

VAVFI =

VAiiiiVAI knknnn

++++= )1(.....)1()1()1( 321 321

[ ]1)1(.....)1()1()1( 321 321 ++++= knknnn iiiiVAI

++++=

knk

nnn iiiiVFI )1(.....)1()1()1(

11321

321

knk

nnn iiiiVFVFI )1(.....)1()1()1( 321 321 ++++

=


Valor Futuro (o Valor Actual) con Valor Actual (o Valor Futuro) Variable y Tasa Variable

Cuando en el horizonte temporal de la operacin financiera se presentan varios VA (o VF) y se tienen variaciones en la tasa de inters en distintos momentos en el tiempo; el importe por intereses y el valor futuro (o VA) se obtiene efectuando los clculos de VF (o VA) por tramos segn como se presenten las variaciones, aplicando las relaciones antes expuestas.

Tambin puede hallarse el VF (o VA) calculando el VF (o VA) de los ingresos y restndole el VF (o VA) de los egresos, a las correspondientes tasas de inters.

Inters Devengado entre Periodos con Tasa Variable Para determinar el inters devengado de un VA entre el periodo k-simo

y el periodo z-simo incluidos del horizonte temporal se debe restar el VFz del VFk-1 calculados a sus correspondientes tasa de inters.


Ecuaciones de Valor Equivalente a Inters Compuesto

En el inters compuesto un flujo de ingresos y un flujo de egresos ubicados en diferentes periodos de un horizonte temporal son equivalentes, si a una fecha determinada o fecha focal, sus respectivos valores actualizados, capitalizados, o uno actualizado y otro capitalizado, etc.; aplicando en todos los casos la misma tasa de inters, son iguales.

VA(Ingresos) = VA(Egresos) VF(Ingresos) = VF(Egresos)

Propiedades Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos son

equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluacin, tambin lo sern en cualquier otra fecha focal.

Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos no son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluacin, tampoco lo sern en cualquier otra fecha focal.


Mapa Conceptual Inters Compuesto

Inters Compuesto

Valor Futuro Inters Valor Actual n, i

Valor ActualConstanteVariable

Valor FuturoConstanteVariable

iNom, Capie

ConstanteVariable

niVFVA )1( +=

niVAVF )1( +=kn

knnn iiiiVAVF )1(...)1()1()1( 321 321 ++++=

[ ]1)1( += niVAI

IVAVF +=

VAVFI =

IVFVA =

)1( iLogVAVFLog

n+

=

[ ]1)1(...)1()1()1( 321 321 ++++= knknnn iiiiVAI

knk

nnn iiiiVAVA )1(...)1()1()1( 321 321 ++++

=

11

=

n

VAVFi


Bibliografa


Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo III.

Valera Moreno, Rafael. Matemtica Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edicin, Piura. 2001: Captulo II.

Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo II.



Clasificacin de las tasas de inters en el sistema financiero

nacional




Clasificacin de las tasas de inters en el sistema financiero nacional

Objetivos de aprendizaje Clasificar las tasas de inters en el SF Definir las tasas de inters en el SF Formular ecuaciones de valor equivalente con las tasas

de inters en del SF. Resolver ecuaciones de valor equivalente con las tasas

de inters en del SF para hallar VA, VF, I, ITM, iDev y iReal

Valor Futuro e Inters Total en MoraTasa de Inters Compensatoria y Moratoria

Tasa de inters compensatoria: es la pagada (cobrada) por el uso del dinero.

Tasa de inters moratoria: indemnizacin por el incumplimiento del reembolso del prstamo (o cuota). Es adicional al inters compensatorio.

En caso de incumplimiento, hay que calcular el valor futuro en mora: al importe de valor vencido se le suma el importe de inters compensatorio adicional y el importe de inters moratorio, ambos por el plazo en mora. El calculo de inters se realiza utilizando:

VAiVAI n += )1(

Bibliografa

Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 5 y 6.

Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo V.

Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo VII.

Tasa de Devaluacin y Tipo de Cambio Tipo de Cambio: Es el precio de la ME en trminos de la MN.

Directo: Cuantos soles debemos pagar (cobrar) por cada dlar: 2.90 S/US $ (t0) Indirecto: Cuantos dlares debemos pagar (cobrar) por cada sol: 1/2.90 = 0.345 US $/S

(29/12) Devaluacin (Depreciacin): Si este precio se incrementa por unidad de tiempo

(da, mes, trimestre, etc.): 2.95 S/US $, (t1). Revaluacin (Apreciacin): Si este precio se decrementa por unidad de tiempo

(da, mes, trimestre, etc.): 2.85 S/US $, (t1). Tasa de devaluacin (iDev): Mide el incremento proporcional del tipo de cambio

por unidad de tiempo. Es una tasa de inters compuesto, es decir se capitaliza, por lo tanto es efectiva.

Tasa de revaluacin (iRev): Mide el decremento proporcional del tipo de cambio por unidad de tiempo. Es una tasa de inters compuesto, es decir se capitaliza, por lo tanto es efectiva.

MensualiTCTC

TCTCTCi Dev

I

F

I

IFDev %7241.1190.2

95.290.2

90.295.21 =====

MensualiDev %4482.3190.280.2

90.290.280.2

==

=

TE en soles equivalente a una TE en dlares

2. En (1.) si que se espera una tasa de devaluacin S/US $ de 1% mensual hallar iS/. TEA. 42.1964% TEA

3. Qu es mas conveniente endeudarse en S/. o en US $, si se sabe que la tasa de prestamos bancarios en S/. es de 30% TEA y en US $ es de 20% TEA y que se espera una tasa de devaluacin S/US $ de 1% mensual?

4. En la pregunta anterior Cul seria la mxima TEA US $ en aceptar pagar para que me resulte conveniente endeudarme en US $ antes que en S/.

1)1()1(1)1()1(

$/$./

/

++=

++=

USSdUSS

MEMNdMEMN

iiiiii

TEAiS %2190.351)126825.01()20.01(./ =++=Anualid %6825.121)01.01( 12 =+=

TEAii USUS %36.151)126825.01()30.01(1)126825.01()1(30.0 $$ =+

+=++=

Tasa de Inters Real e Inflacin Inflacin: Crecimiento sostenido de los precios de los bienes y

servicios de la economa en un periodo determinado, calculado sobre la base de una canasta bsica de consumo familiar.

Tasa de inflacin ( ): Indicador de este crecimiento. Es medida relacionando dos Indices de Precios. Es una tasa de inters compuesto, es decir se capitaliza, por lo tanto es efectiva.

4. El PGR se ha elaborado considerando 10% de inflacin anual de que magnitud tendra que ser la inflacin mensual promedio para lograr este objetivo?

pi

%7974.01)10.01( 121

=+=Mensualpi

10

1

0

01=

=

IPIP

IPIPIP

pi

Tasa de Inters Real5. Cul ser la inflacin acumulada en el ao, si se

sabe que la inflacin mensual ha sido de 0.5% en promedio?

6. Si la tasa de inflacin para los meses de enero, febrero y marzo ha sido de 0.45%, 0.50% y 0.75% respectivamente

Cul ser la inflacin acumulada para el trimestre pasado?

Cul ser la inflacin promedio mensual para el trimestre pasado?

%1678.61)005.01( 12 =+=Anualpi

%7094.11)0075.01()005.01()0045.01( =+++=Trimpi

%3678.01)017094.01( 31

=+=Mensualpi

Tasa de Inters Real ir : Todos los conceptos anteriores de tasa de inters, dejan de

lado la inflacin, es decir, consideran solo el valor nominal del dinero sin tener en cuenta la perdida del poder adquisitivo del mismo por el incremento generalizado de los precios de los bienes y servicios. Cuando se desea trabajar en trminos de poder adquisitivo se debe trabajar con la tasa de inters real.

7. En (2.) si que se espera una tasa de inflacin de 7.5% anual hallar iS/. real mensual. 32.2757% Anual, 2.3584% Mensual

8. Calcular el inters real mensual que se pagaba el ao pasado, si se sabe que el banco cobra 3% TEM y la tasa de inflacin fue de 6% anual.

1)1()1(

)1()1()1(

+

+=

+

+=+

pipie

re

r

iiii

Mensual%4868.01)06.01( 121

=+=pi Mensualir 5010.21)004868.01()03.01(

=

+

+=

Tasa de Inters Real9. Si se desea obtener una rentabilidad real del 1% mensual, y se

espera que la inflacin anual sea del 7% a cuanto tendra que ascender la tasa de rentabilidad efectiva ?

10. Si un banco pagaba 9.5% TEA por un deposito a plazo fijo y el inters real obtenido es de 3.5% anual a cuanto ascendi la inflacin mensual promedio?

Anualir %6825.121)01.01( 12 =+=

TEAie %5703.201)07.01()126825.01( =++=

%7971.51)035.01()095.01(

)1()095.01()035.01( =

+

+=

+

+=+ Anual

Anual

pipi

%4707.01)057971.01( 121

=+=Mensualpi

Bibliografa

Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 5 y 6.

Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo V.

Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo VII.



Descuento Compuesto




Descuento CompuestoObjetivos de aprendizaje Definir las operaciones de Descuento Compuesto Graficar un flujo de caja de una operacin de

descuento compuesto Formular ecuaciones de valor equivalente de

descuento compuesto. Resolver ecuaciones de valor equivalente de descuento

compuesto con tasa constante y tasa variable para hallar VA, VF, D, d y n

Descuento 7777

Descuento Bancario Compuesto El descuento (D) se obtiene de la diferencia entre el

valor futuro de una operacin financiera y su valor actual.

VF: Es el Valor Futuro en este caso toma el nombre de Valor Nominal (VN).

VAVFD =

Lic. A. Ramrez Guzmn

Descuento 7878

Descuento Bancario A Inters Compuesto (Db) Con tasa nominal con periodo de descuento, Fija o Variable Con tasa efectiva adelantada, Fija o Variable

Valor a Recibir y Valor Nominal en el Descuento Bancario con Tasa Fija d

Valor a Recibir de un Valor Nominal con Tasa Fija d

Valor Nominal de un Valor a Recibir con Tasa Fija d

Descuento Bancario con Tasa Fija d

n

B dVFVA )1( =

n

B

dVA

VF )1( =

n

B dVFVFD )1( =


Descuento 7979

Descuento Bancario A Inters Compuesto (DB)Valor a Recibir y Valor Nominal en el Descuento Bancario con

Tasa Variable d Valor a Recibir de un Valor Nominal con Tasa Variable d

Valor Nominal de un Valor a Recibir con Tasa Variable d

Descuento Bancario con Tasa Variable d

knk

nnn

B ddddVFVA )1(...)1()1()1( 321 321 =

kn

knnn

B

ddddVAVF )1(...)1()1()1( 321 321

=

kn

knnn

B ddddVFVFD )1(...)1()1()1( 321 321 =


Descuento 8080

Descuento Comercial (Dc) Descuento Comercial Unitario

Precio Rebajado o Precio de Contado con Descuento Comercial Unitario

Descuento Comercial Sucesivo Precio Rebajado o Precio de Contado con descuentos sucesivos

Descuento Comercial Sucesivo

cD c PL=

cPC PL D= PLcPLPC =

1 2 3(1 ) (1 ) (1 ) ............... (1 )kPC PL c c c c=

[ ]1 2 31 (1 ) (1 ) (1 ) ........ (1 )c kD PL c c c c=

)1( cPLPC =

=

)1()1(..........)1()1()1( 1321 kk cccccPLPLD


Descuento 81Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 81

Bibliografa


Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo IV.

Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo II.

Clasificacin de las Tasas de Inters Utilizadas en el Sistema Financiero

Fuente: Manual de Matemtica Financiera, Carlos Aliaga Valdez. UP

ActivaPasiva

Segn el balance bancario

Nominal y proporcionalEfectiva y equivalente

Por el efecto de la capitalizacin n

VencidaAdelantada

Segn el momento del cobro de intereses

CompensatoriaMoratoriaTasa de Inters Total en Mora

De acuerdo al cumplimiento de la obligacin

TAMN Tasa Activa Moneda NacionalTAMEX Tasa Activa Moneda Extranjera Segn el tipo de monedaTIPMN Tasa de Inters Pasiva M.N.TIPMEX Tasa de Inters Pasiva M.E.De InflacinRealCorregida por inflacin (inflada)

Considerando la prdida del poder adquisitivo

DiscretaContinua

Por el tipo de capitalizacin

ExplcitaImplcita

De acuerdo a su anuncio en la operacin

Tasa de Inters LegalTasa de Inters Moratorio TIM

Para operaciones no financieras

matemática financiera

Documents