2014 - II

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Tercera Monografía

UNIVERSIDAD NACIONAL

DE INGENIERÍA

ALUMNO: GIANCARLO RAÚL MANRIQUE VILLARREAL

CÓDIGO: 20091348J

ESPECIALIDAD: INGENIERÍA SANITARIA

CURSO: MATEMÁTICA FINANCIERA

LIMA – PERÚ

2014

CONCEPTOS DE AMORTIZACIÓN Las amortizaciones son reducciones en el valor de los activos o pasivos para reflejar en el sistema

de contabilidad cambios en el precio del mercado u otras reducciones de valor.

Con las amortizaciones, los costes de hacer una inversión se dividen entre todos los años de uso

de esa inversión.

La amortización financiera es el reintegro de un capital propio o ajeno, habitualmente

distribuyendo pagos en el tiempo. Suele ser el producto de una prestación única, que genera una

contraprestación múltiple con vencimiento posterior. Es común que el pago de estas obligaciones

se haga a través de desembolsos escalonados en el tiempo, aunque también sepuede acordar un

solo pago al final del período. Un ejemplo típico de amortización es el pago o amortización de un

préstamo.

MÉTODOS DE AMORTIZACIÓN Los sistemas o métodos de amortización son diversos. La elección de uno u otro, aunque

usualmente lo propone la entidad financiera, afectará al importe y la composición de las cuotas

periódicas que tendrá que abonar el prestatario, ya que la amortización del préstamo se

corresponde con la cantidad que se va devolviendo del capital prestado. En el importe o cuota se

integran tanto el capital o principal amortizado como los intereses.

MÉTODO FRANCÉS: Es el más utilizado en España, implica que la cuantía de las cuotas (suma de la parte de capital

amortizado más los intereses correspondientes del período), es siempre la misma durante toda la

vida del préstamo; si bien, en cada período se va pagando una menor proporción de intereses,

dado que el capital pendiente de amortizar se va reduciendo con cada cuota pagada (es decir, al

principio se pagan más intereses que en los años siguientes). Se puede utilizar tanto con tipo fijo

como con tipo variable.

La cuota periódica se calcula mediante la siguiente expresión:

Donde i es la tasa de interés, n es igual al número de períodos del préstamo y el capital iniciales el

importe total prestado.

Ejemplo: Para un préstamo de 500.000 €, que se espera amortizar en un plazo de 10 años, con un

tipo de interés del 5% TAE, bajo el método francés, la cuota anual se calcula de la siguiente forma:

Con la citada cuota anual, de 64.752,29 €, la tabla de amortización sería la siguiente:

Método Francés de Amortización Financiera

Año Cuota

anual

Intereses Amortización Capital por

amortizar

Capital

amortizado

0 500.000,00 €

1 64.752,29 € 25.000,00

€

39.752,29 € 460.247,71 € 39.752,29 €

2 64.752,29 € 23.012,39

€

41.739,90 € 418.507,81 € 81.492,19 €

3 64.752,29 € 20.925,39

€

43.826,90 € 374.680,91 € 125.319,09 €

4 64.752,29 € 18.734,05

€

46.018,24 € 328.662,67 € 171.337,33 €

5 64.752,29 € 16.433,13

€

48.319,15 € 280.343,52 € 219.656,48 €

6 64.752,29 € 14.017,18

€

50.735,11 € 229.608,41 € 270.391,59 €

7 64.752,29 € 11.480,42

€

53.271,87 € 176.336,54 € 323.663,46 €

8 64.752,29 € 8.816,83 € 55.935,46 € 120.401,08 € 379.598,92 €

9 64.752,29 € 6.020,05 € 58.732,23 € 61.668,85 € 438.331,15 €

10 64.752,29 € 3.083,44 € 61.668,85 € 0,00 € 500.000,00 €

Como se puede observar en la tabla de amortización, la cuota anual no varía, es la misma todos los

años. En cambio la amortización del capital y los intereses tienen un comportamiento inverso

entre sí, mientras los intereses decrecen cada período, la proporción de la cuota que se dedica a

amortizar el préstamo es mayor.

EJEMPLO DE AMORTIZACIÓN POR MÉTODO FRANCÉS:

EJEMPLO 1

Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo:

Importe: 100.000 euros.

Duración: 3 años.

Tipo de interés: 10% anual.

Términos amortizativos anuales constantes.

(1) (2) (3) (4) (5)

Años Término

amortizativo

Cuota de

interés

Cuota de

amortización

Total

amortizado

Capital

vivo

0

1

2

3

40.211,48

40.211,48

40.211,48

10.000,00

6.978,85

3.655,59

30.211,48

33.232,63

36.555,89

30.211,48

63.444,11

100.000,00

100.000,00

69.788,52

36.555,89

Total 120.634,44 20.634,44 100.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro:

(1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de la fórmula

anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios del período correspondiente (5) y se pagan al final del período anterior. (3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedica a intereses (2). (4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital vivo a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado.

EJEMPLO 2

Analicemos un préstamo de 50.000 euros con término amortizativo constante, anual y pospagable que es amortizado en 12 años a un 9% anual.

En primer lugar debemos hallar el término amortizativo constante:

a= 50.000/(1-(1+0,09)^-12)/0,09= 6.982,53 euros

Los intereses de este primer período son:

50.000 * 0,09 = 4.500 euros

Por lo tanto, la amortización del principal será:

6.982,53 - 4.500 = 2.482,53 euros

El segundo año, el termino amortizativo será el mismo, pero los intereses no. Deberá pagar intereses sobre un nominal de 50.000 euros menos los 2.482,53 euros que había amortizado el primer período, es decir los intereses serán:

0,09 * (50.000 - 2.482,53) = 4.276,57 euros.

Por lo que este segundo año habrá amortizado:

6.982,53 - 4.276,57 = 2.705,96 euros

Repitiendo el proceso todos los años, obtendremos el siguiente cuadro de amortización:

Año Térm.

Amort.

Cuota

Amort. Intereses

Cap.

Amortiz.

Cap.

Pendiente

0

50.000,00

1 6.982,53 2.482,53 4.500,00 2.482,53 47.517,47

2 6.982,53 2.705,96 4.276,57 5.188,49 44.811,51

3 6.982,53 2.949,49 4.033,04 8.137,98 41.862,02

4 6.982,53 3.214,95 3.767,58 11.352,93 38.647,07

5 6.982,53 3.504,29 3.478,24 14.857,22 35.142,78

6 6.982,53 3.819,68 3.162,85 18.676,90 31.323,10

7 6.982,53 4.163,45 2.819,08 22.840,36 27.159,64

8 6.982,53 4.538,16 2.444,37 27.378,52 22.621,48

9 6.982,53 4.946,60 2.035,93 32.325,11 17.674,89

10 6.982,53 5.391,79 1.590,74 37.716,90 12.283,10

11 6.982,53 5.877,05 1.105,48 43.593,96 6.406,04

12 6.982,53 6.405,99 576,54 50.000 0

MÉTODO ALEMÁN:

Los rasgos distintivos del sistema alemán son:

Cuota de amortización de capital periódica constante.

Intereses decrecientes, al calcularse sobre un saldo que disminuye siempre en una suma fija.

Cuota total decreciente como consecuencia de las características de los componentes anteriores.

Atento a las características expuestas para el cálculo de los componentes se aplican las siguientes fórmulas:

A) La parte correspondiente a amortización es la resultante de dividir el valor nominal del préstamo por los períodos en los que se va a cancelar el capital:

B) El interés se calcula sobre el saldo del capital no cancelado:

C) La cuota total resulta de la suma de ambos componentes:

A los fines prácticos veamos la aplicación de estas fórmulas en un préstamo de $500 cuya devolución fue pactada en cinco cuotas mensuales a una tasa del 10% TNA bajo el sistema alemán:

n Saldo Inicial Interés del periodo Amortización Cuota Total Total Amortizado

1 500 4.11 100 104.11 100 2 400 3.29 100 103.29 200 3 300 2.47 100 102.47 300 4 200 1.64 100 101.64 400 5 100 0.82 100 100.82 500

Cálculo de la cuota

Amortización periódica:

Interés del Primer Período:

Cuota total:

Cálculo de la cuota en períodos intermedios:

Cuota total N° 3

Saldos en períodos intermedios:

Por último les adjunto una aplicación en Excel que permite calcular el detalle las cuotas mensuales a a pagar, segregando los componentes de amortización e intereses de cada período.

EJEMPLOS:

EJEMPLO 1

Por ejemplo, en el caso de solicitar un préstamo hipotecario de 10000 euros a pagar en 36 cuotas (durante tres años) y con un tipo de interés mensual pagadero de manera constante del 0.03%, acabaríamos pagando:

Intereses en total durante los tres años: 6516.89 euros

Cantidad total pagada por el préstamo de 10000 euros: 16516.89 euros

EJEMPLO 2

Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo:

Importe: 300.000 euros.

Duración: 3 años.

Tipo de interés: 10% anual prepagable.

Términos amortizativos anuales constantes.

Años Término

amortizativo

Cuota de

interés

Cuota de

amortización

Total

amortizado

Capital

vivo

0

1

2

3

30.000,00

110.701,11

110.701,11

110.701,10

30.000,00

21.033,21

11.070,11

–

89.667,90

99.631,00

110.701,10

89.667,90

189.289,90

300.000,00

300.000,00

210.332,10

110.701,10

Total 362.103,33 62.103,32 300.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro:

(1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

1 – (1 – 0,1)3

300.000 = a x -------------------

0,1

a = 110.701,11

(2) Conocido el término amortizativo del último período, también se conoce la cuota de amortización de ese período (ya que coinciden al no tener intereses ese término).

(3) A su vez, la cuota de amortización del último período coincide con el capital vivo a principios del último período, y al aplicarle el tipo de interés se conocerá la cuota de interés del año 3, que se safisface en el año 2.

(4) Del pago hecho en el año 2, ya se sabe cuánto es interés (la cuota de interés del año 3) y el resto, por diferencia, se destina a amortizar (cuota de amortización del año 2).

(5) La deuda pendiente del penúltimo período será la suma del capital pendiente en el período siguiente más la cuota de amortización del año 2.

(6) El resto del cuadro se realiza de la misma manera, hasta llegar al momento inicial donde solamente se pagan los intereses del primer período.

MÉTODO AMERICANO:

En el sistema americano, existe una sola amortización que tiene lugar al final del período, momento en el cual se retribuyen solamente los intereses. El alemán, por otro lado, propone una amortización de capital fija, que genera que los intereses vayan en decrecimiento.

EJEMPLO 1

Este tipo de préstamos se caracteriza por:

a) Sólo se realiza una amortización de capital al vencimiento del préstamo, por el total del mismo.

b) En las demás cuotas periódicas tan sólo se pagan los intereses del periodo.

En este tipo de préstamos, las cuotas periódicas hasta el periodo (n-1) serán:

Ms = Is

Los intereses de cada periodo se calculan:

Is = Ss-1 * i * t

(Siendo Ss-1 el saldo vivo al final del periodo anterior)

La última cuota de amortización será:

Mn = Co + In

(Siendo Co el capital inicial del préstamo y In los intereses del último periodo)

Un banco concede un préstamo de 3.000.000 ptas., según el método americano simple, con un

tipo de interés del 15% y a un plazo de 5 años: Calcular:

a) Importe de los intereses en cada periodo y de la cuota periódica.

b) Saldo vivo y capital amortizado a lo largo de la vida del préstamo.

SOLUCION

a ) Importe de los intereses y de la cuota periódica:

Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t

Periodo Intereses Amortización

capital Cuota

1 450.000 0 450.000

2 450.000 0 450.000

3 450.000 0 450.000

4 450.000 0 450.000

5 450.000 3.000.000 3.450.000

b ) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:

Periodo Saldo vivo Capital amortizado

0 3.000.000 0 1 3.000.000 0

2 3.000.000 0

3 3.000.000 0

4 3.000.000 0

5 0 3.000.000

EJEMPLO 2

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 1.000 euros contratado al 15% de interés anual, amortizándose el principal de una sola vez a los 4 años y pagándose anualmente los intereses.

Sabiendo que el prestatario se compromete a realizar aportaciones anuales constantes y pospagables en un fondo que devenga intereses del 10% anual, construir el cuadro de constitución del capital, que permita hacer frente a la devolución del préstamo anterior.

Cuadro de amortización del préstamo:

Años Término

amortizativo

Cuota de

interés

Cuota de

amortización

Total

amortizado

Capital

vivo

0

1

2

3

4

150,00

150,00

150,00

1.150,00

150,00

150,00

150,00

150,00

1.000,00

1.000,00

1.000,00

1.000,00

1.000,00

1.000,00

Total 1.600,00 600,00 1.000,00

Cuadro de constitución del capital

Cálculo de la aportación constante a realizar:

(1) (2) (3) (4) (5)

Años Aportación al

fondo Intereses

Variación anual del

fondo

Capital

constituido

Capital

pendiente

0

1

2

3

4

215,47

215,47

215,47

215,47

21,55

45,25

71,32

215,47

237,02

260,72

286,79

215,47

452,49

713,21

1.000,00

1.000,00

784,53

547,51

286,79

Total 861,88 138,12 1.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro:

(1) Cálculo de las aportaciones al fondo (F).

(2) Los intereses se calculan sobre el capital constituido al principio del período.

(3) Suma de la aportación al fondo (1) y los intereses generales durante el período (2).

(4) En el primer período coincide con la aportación al fondo primero efectuado. Los siguientes se obtienen añadiendo al capital constituido en el período anterior la variación anual del fondo del período donde estamos (3).

(5) El capital pendiente se obtiene de restar al capital inicial el capital constituido en cada momento.

SIMULACIÓN EN INTERNET En el internet encontramos plataformas donde podremos calcular la amortización, generalmente

éstas se encuentran en páginas de entidades financieras.

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