manual matemática financiera

PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015

Julio Quispe Salguero

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MATEMATICA FINANCIERA APLICADA


Una anualidad es una serie de pagos iguales que se efectan a

intervalos fijos durante cierto nmero de periodos.

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes

condiciones.

Todos los pagos son de igual valor

Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo

A todos los pagos se les aplica la misma tasa de inters

El nmero de pagos es igual al nmero de periodos

2


El concepto de anualidad es muy importante, ya que es frecuente que

las transacciones comerciales impliquen pagos iguales en trminos

iguales de tiempo, en lugar de un pago nico.

Son ejemplos de anualidades:

Pago mensual del crdito hipotecario o de la renta de la casa

Pago trimestral de los impuestos prediales

El pago o abono mensual por el pago de artefactos que se adquieren a plazos

El tiempo entre dos pagos sucesivos se llama periodo de pago o

periodo de renta

El inicio entre el primer periodo de pago y el ultimo se llama plazo de la

anualidad

3


Clasificacin de las anualidades

4

Por el Tiempo

Ciertas Contingentes

Los pagos comienzan y terminan en fechas definidasCuando las fechas de los pagos dependen de algn

suceso que se sabe ocurrir pero no se sabe cuando

Por los Pagos o Abonos

Vencidas Anticipadas

Llamadas ordinarias son las que se realizan al final del

periodoSon las que se realizan al principio de cada periodo

Por los intereses

Simples General

Periodo de Pago coincide con el periodo de

Capitalizacin de los intereses

Periodo de pago no coincide con el periodo de

capitalizacin de los intereses

Por el momento de iniciacin de la Anualidad

Inmediata Diferida

Los pagos se realizan desde el primer periodo de

pagoLos pagos se aplazan por cierto periodo de tiempo

Clasificacin de las Anualidades


Anualidad cuyos pagos se efectan al final de cada periodo.

0 1 2 3 4 5

10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

Aos

0 2 4 6 8 10

5,000 5,000 5,000 5,000 5,000

Aos

0 3 6 9 12 15

400 400 400 400 400

Meses

Una anualidad vencida de

S/.10 mil durante 5 aos a

intervalos anuales.


S/.5 mil durante 10 aos a

intervalos bianuales.


S/.400 durante 15 meses a

intervalos trimestrales.

5

Anualidades Vencidas u Ordinarias


Anualidad cuyos pagos iguales realizan al inicio de cada periodo.

0 1 2 3 4 5

8,000 8,000 8,000 8,000 8,000

Aos

0 3 6 9 12 15

2,500 2,500 2,500 2,500 2,500

Aos

0 1 2 3 4 5

1,400 1,400 1,400 1,400 1,400

Meses

Una anualidad anticipada

de S/.8 mil durante 5 aos

a intervalos anuales.

Una anualidad anticipada

de S/.2.5 mil durante 12

aos a intervalos de tres

aos.

Una anualidad diferida de

S/.1.4 mil durante 5 meses

a intervalos mensuales

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Anualidades Anticipadas


0 1 2 3 4

A

n

n-1

A A A A

VP = A (1+i)-1 + A (1+i)-2 + A (1+i)-3 + + A (1+i)-4 + A (1+i)-(n-1) + A (1+i)-(n)

VF = A (1+i)(n-1) + A (1+i)(n-2) + A (1+i)(n-3) + A (1+i)(n-4) + A (1+i)1 + A (1+i)0

Valor Presente y Futuro de Anualidades Vencidas

A


0 1 2 3 4

A

n

n-1

A A AA

VP = A (1+i)-0 + A (1+i)-1 + A (1+i)-2 + + A (1+i)-3 + A (1+i)-(n-2) + A (1+i)-(n-1)

VF = A (1+i)(n) + A (1+i)(n-1) + A (1+i)(n-2) + A (1+i)(n-3) + A (1+i)2 + A (1+i)1

Valor Presente y Futuro de Anualidades Anticipadas

A


VP = A1 (1+i)-n

iVF = A

(1+i)n 1

i

VF = A(1+i)n 1

i(1+i)VP = A

1 (1+i)-n

i(1+i)

VALOR PRESENTE VALOR FUTURO

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

Leyenda:

i : tasa de inters

n : nmero de periodos

A : anualidad


EJEMPLOS

Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de

las siguientes anualidades:

Una anualidad vencida de S/.14.5 mil durante 7 aos a intervalos anuales.

Una anualidad vencida de S/.2.5 mil durante 10 aos a intervalos bianuales.

Una anualidad vencida de S/.750 durante 12 meses a intervalos bimestrales.

* En todos los casos considerar una TEA de 10%.

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Valor Presente y Futuro de Anualidades Vencidas


EJEMPLOS

Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro

(VF) de las siguientes anualidades:

Una anualidad anticipada de S/.3.4 mil durante 15 aos a intervalos anuales.

Una anualidad anticipada de S/.500 durante 12 meses a intervalos mensuales.

Una anualidad anticipada de S/.1.8 mil durante 4 aos a intervalos semestrales.


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Valor Presente y Futuro de Anualidades Anticipadas


VP = VA(tasa, nper, pago,,0) VF = VF(tasa, nper, pago,,0)

VALOR PRESENTE (VP) VALOR FUTURO (VF)

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

VP = VA(tasa, nper, pago,,1) VF = VF(tasa, nper, pago,,1)

Leyenda:

tasa : tasa de inters

nper : nmero de periodos

pago : anualidad

0 : anualidad vencida

1 : anualidad anticipada


Anualidad Diferida es aquella cuyo plazo comienza despus de

transcurrido un periodo sin pago, desde el momento en que la operacin

quedo formalizada.

El periodo inicial que transcurre entre el momento inicial y el inicio del

plazo de la anualidad se llama periodo de gracia o periodo de

diferimiento

0 1 2 3 4

A

76

A AA

5

A

8

0 1 2 3 4 5

Periodo de gracia Plazo de la anualidad

Anualidades Diferidas


EJEMPLOS

Calcular el Valor Presente (VP) de las siguientes

anualidades:

Carlos compra un televisor mediante el pago de 6 mensualidades sucesivas de S/. 300, pagando la

primera cuota dentro de 3 meses despus de la

compra. Cual es el precio al contado del televisor si se

cobra una tasa de inters anual del 24%.

Miguel toma un curso de capacitacin que cuesta S/. 4000 soles, por el elevado monto solicita el siguiente

financiamiento, 5 pagos mensuales iguales con un

periodo de gracia de 2 meses cual es la mensualidad

si la tasa de inters es TEA 15%.

Valor Presente y Futuro de Anualidades Diferidas


Anualidad cuyos pagos iguales se espera que se prolonguen indefinidamente.

Este tipo de anualidad se presenta, cuando se coloca un capital y unicamente se

retiran los intereses.

0 1 2 3 4 5

6,000 6,000 6,000 6,000 6,000

0 2 4 6 8 10

3,200 3,200 3,200 3,200 3,200

Aos

0 3 6 9 12 15

800 800 800 800 800

Meses

Una anualidad perpetua

de S/.6 mil a intervalos

anuales.

Una anualidad perpetua de

S/.3.2 mil a intervalos

bianuales.

Una anualidad perpetua de

S/.800 a intervalos

trimestrales.

Aos

. . .

. . .

. . .

15


Solo existe el valor presente de una anualidad, el valor final de una anualidad infinita

sera infinito.

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VP = A1 (1+i)-n

i

VALOR PRESENTE

VALOR FUTURO

Leyenda:

i : tasa de inters

n : nmero de periodos (n )

A : anualidad

lim n = A

1 (1+i)-n

ilim

n

lim n = A

1 0

i=

A

i


Series de gradientes, se basan en la suposicin terica que la cifra de una anualidad

se incrementara de manera constante en una misma cantidad o porcentaje.

Fernando adquiere una maquinaria y espera que el costo de mantenimiento sea

S/.100 en el primer ao y espera que en los siguientes periodos aumente a razn de

S/.50, por los siguiente 5 periodos. Cual es el valor presente si se tiene una tasa de

8% anual.

0 1 2 3 4 5

100

150

200

250

300

6

350

La gradiente se denota por G y en el ejemplo seria igual a S/. 50 que es el

incremento de la anualidad en el segundo periodo

VP=?

Series de Gradientes


EJEMPLOS

Calcular el Valor Presente (VP) de las siguientes anualidades:

Una inversin en bonos otorga un pago anual de S/.1,200 indefinidamente. Cual es el valor presente de los pagos futuros?

Una empresa familiar genera utilidades semestrales de S/.300, el dueo espera que la misma permanezca en su familia indefinidamente

cual ser el valor presente de las utilidades que otorga la empresa.

Calcular el valor presente de una mensualidad perpetua de S/.100.



La solucin de anualidades con gradientes se puede realizar desdoblando la

anualidad del incremento o decremento constante

0 1 2 3 4 ..

AA + G

A+ 2G

A + 3G

A + (n 1)G

n

P

=0 1 2 3 4 ..

A

n

P

AAA A

0 1 2 3 4 ..

G2G

3G

(n 1)G

n+

P

P = A1 (1+i)-n

iP = P =

G (1+i)n -1

ii- n

(1+i)n1

+



EJEMPLOS

Calcular el Valor Presente (VP) de las siguientes series de

gradientes:

Fernando adquiere una maquinaria y espera que el costo de mantenimiento sea S/.1000 en el primer ao y espera que en los

siguientes periodos aumente a razn de S/.500, por los siguiente 5

periodos. Cual es el valor presente si se tiene una tasa de 12% anual.

Una tienda de artefacto vende televisores con las siguiente condiciones S/. 2,000, como primer pago y 9 pagos mensuales adicionales que

disminuyen a razn de S/. 100 cada mes con respecto al pago anterior.

Si el inters es 12% anual. Cual es el valor a pagar al contado por la

compra de la computadora.



Explique:

a) Suponga un depsito de S/.7,500 al final de cada uno de los tres aos siguientes en una

cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. Cunto tendr al terminar el periodo de tres

aos?

b) Suponga un depsito de S/.7,500 al inicio de cada uno de los tres aos siguientes en una

cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. Cunto tendr al terminar el periodo de tres

aos?

c) Qu diferencia hay en el valor futuro de la anualidad de S/7,500 de acuerdo a los

resultados de a y b?

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Para la compra de un automvil que vale $25,000, se exige una cuota inicial del 40% y el

resto se cancela en 5 cuotas mensuales, A cuanto ascender la cuota, si los intereses

son del 1.5% efectivo mensual?

Una persona arrienda una casa en $5,000 pagaderos por mes anticipado. Si tan pronto

como recibe cada arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual.

Cul ser el monto de sus ahorros al final del ao?

El contrato de arriendo de una casa estipula pagos mensuales de $4,000, al prinicpio de

cada mes, durante un ao. Si suponemos un inters del 12% anual. Cul ser el valor

del pago nico que, hecho al principio del contrato, lo cancelaria en su totalidad?


Palma Industria S.A. requiere contar con oficinas, por un periodo de 10 aos, para ello

tiene dos alternativas, emplear el edificio A o emplear el edificio B. Ambos edificioscumplen con las especificaciones que requiere la empresa, la diferencia radica en:

a) El edificio A requiere S/.5 millones cada ao como costo de mantenimiento y S/.6millones cada 5 aos para reparaciones

b) El edificio B requiere S/.5.1 millones cada ao como costo de mantenimiento yS/.1 milln cada 2 aos para reparaciones.

Suponiendo una TEA del 15% Cul de los edificios le resulta mas conveniente utilizar?


Palma Industria S.A. desea adquirir un equipo de procesamiento para su planta. En la

lnea de tiempo mostrada a continuacin le presentan la serie de pagos (en dlares) que

debera hacer al inicio de cada ao, durante 5 aos. Palma Industria desea que le ayude

a sustituir esta serie de pagos por el equivalente a una serie de 5 pagos anuales:

a) Iguales anticipados

b) Iguales vencidos

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0 1 2 3 4 5

10,000

Aos

10,000 10,000

5,000 5,000

TEA = 10%

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