matemática financiera

MATEMÁTICAS FINANCERAS -Apoyadas con Microsoft Excel-

(Versión preliminar)

Julio A. Sarmiento Sabogal

Edgardo Cayón Fallon

Bogotá D.C., marzo de 2004

PUJ Copyright® Julio A. Sarmiento Sabogal y Edgardo Cayón Fallon

2

Matemáticas Financieras

Pontificia Universidad Javeriana

Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas Departamento de Administración

Reservados todos los derechos © Julio Sarmiento Sabogal © Edgardo Cayón Fallón

Revisión técnica: Carlos R. Garcés Candamil ©

Edición:

Por definir

Diseño de portada: Andrés H. Mejía V.

Primera Edición: 2003

ISBN: XXXX

No. de ejemplares: XXX

Fotomecánica e Impresión: XXX


3


Tabla de contenido

1. El concepto de inversión................................................................................5

1.1. La tasa de descuento o tasa de retorno mínima aceptable. ...................9

1.2. Componentes de la tasa de interés. .....................................................14

1.3. La tasa de interés cuando existe mas de un período: El interés simple y

el interés compuesto. ......................................................................................15

2. Factores de conversión ...............................................................................20

2.1. Valor Futuro (VF)..................................................................................21

Cálculo de VF a partir de una suma presente..............................................22

Cálculo de VF a partir de una suma presente con tasa no constante..........25

Cálculo de VF a partir de una serie de cuotas uniformes. ...........................28

Cálculo de VF a partir de una serie de cuotas no uniformes. ......................32

2.2. Valor Presente (VP)..............................................................................35

Cálculo de VP a partir de una suma futura ..................................................36

Cálculo de VP a partir de una suma futura con tasa no constante. .............37

Cálculo de VP a partir de una serie de cuotas uniformes. ...........................40

Cálculo de VP a partir de una serie de cuotas no uniformes .......................42

Cálculo de VP a partir de una serie de cuotas no uniformes y tasa no

constante .....................................................................................................45

2.3. Ejercicios ..............................................................................................48

3. Tasas Equivalentes .....................................................................................50

3.1. Intereses anticipados y vencidos..........................................................50

3.2. Tasas nominales y efectivas.................................................................53

Tasa de interés efectiva...............................................................................57

Tasa de interés nominal...............................................................................58

Tasa de interés Periódica ............................................................................59

Relación entre las tasas efectivas, nominales y periódicas .........................60

La funcionalidad de las tasas efectivas .......................................................62


4


Ejercicios .....................................................................................................64

4. Tablas de amortización................................................................................65

4.1. Componentes de una tabla de amortización. .......................................65

4.2. Tipos de tablas de amortización ...........................................................66

4.3. Tablas de amortización cuando se define la cuota...............................66

Tablas de amortización con cuota fija..........................................................67

Tablas de amortización de cuota fija cuando se tienen tasas variables ......72

Tablas de amortización de cuota ascendente o descendente .....................75

4.4. Tablas de amortización con abono a capital uniforme..........................79

Tablas de amortización con abono a capital uniforme.................................80

5. Ejercicios Integradores ................................................................................83

6. Glosario .......................................................................................................86

7. Resumen de fórmulas..................................................................................90


5


1. El concepto de inversión

El diccionario define inversión como "Un sacrificio de recursos hoy, con la

esperanza de recibir un beneficio en el futuro".

Al examinar este concepto se puede encontrar que una inversión es un

"sacrificio" debido a que la mayoría de los seres humanos prefirieren consumir

en el presente a hacerlo en el futuro, cuando una persona invierte, deja de

consumir para entregar su dinero a otro, esperando que se le recompense por

su sacrificio. Para ilustrar este concepto recurriremos a un ejercicio que solemos

usar en nuestras clases:

Ejemplo 1.1

Imagine que Usted tiene hoy suficiente dinero para comprar de contado un

vehículo Sprint último modelo (2004), y alguien le propone que le preste ese

dinero y que a cambio le entregará en el año siguiente (2005), el mismo Sprint

modelo 2005. ¿Aceptaría usted ese negocio?, su respuesta seguramente es que

NO, Usted no estará dispuesto a postergar la compra de su automóvil por un

año a cambio de recibir el mismo carro. Pero si la persona que le propuso el

negocio, le ofrece un Corsa, seguramente Usted pensaría en que se puede

sacrificar un año, a cambio de recibir un carro de una gama superior, pero para

aquellos que siguen pensando que el negocio no les es favorable, ¿qué

opinarían si a cambio les ofrecen un Epica?. Seguramente habrá personas que

acepten la opción del Corsa, porque creen que es un buen “retorno” de su

sacrificio y otras que no quieran aceptar la opción del Epica1.

1 Para quienes no estén familiarizados con el tema, el Sprint es la gama más baja de la marca

Chevrolet, el Corsa es un vehículo de gama media y el Epica es el vehículo de gama alta de la

marca en Colombia.


6


Del ejercicio anterior se pueden extraer varias conclusiones:

• Las personas no invierten para recibir a cambio lo mismo que hubiesen

podido consumir sin invertir, es decir, si se quiere que alguien invierta, se

debe recompensarlo.

• Cada persona tiene un nivel requiere de una recompensa o retorno

diferente, pues su decisión depende factores subjetivos absolutamente

respetables como por ejemplo qué tanto necesita su carro en el momento,

cuanto tiempo lleva esperando para tenerlo etc.

Una inversión además es un sacrificio de "Recursos", observe que las

inversiones no solamente se hacen en dinero, sino en general, puede invertirse

cualquier bien o servicio deseable y escaso, por ejemplo, los activos fijos

(computadores, construcciones, maquinaria etc.), el conocimiento o el tiempo,

todo lo que el inversionista entrega debe ser considerado y cuantificado. Esto

implica un problema asociado a la valoración de los activos, por ejemplo imagine

que usted va ha invertir en su nuevo negocio un computador que compró hace 6

meses y costó $1.000.000 (valor de compra), adicionalmente usted lleva su

contabilidad personal, en la cual el computador aparece con un valor de

$833.333 (valor en libros). Un computador usado con características similares al

suyo se negocia por $500.000 (valor de mercado), pero si Usted no entrega el

suyo necesitaría comprar uno nuevo que cuesta aproximadamente $1.100.000

(valor de reposición), ¿Cuál de estos valores se tomará como el monto de la

inversión que Usted hizo al ceder el computador al nuevo proyecto?, este tema

se analizará con detenimiento en el capítulo 2.

Ahora analicemos la palabra "Hoy", el tiempo es el concepto más importante

dentro de las matemáticas financieras debido a que el dinero tiene sentido como

recurso únicamente cuando se retiene por un tiempo determinado. Para aclarar

esta idea, suponga que Usted le entrega a alguien $1.000.000 y esta persona le


7


entrega inmediatamente otros billetes de la misma moneda por el mismo valor.

¿Considera Usted que ha realizado algún negocio? ¿ganó o perdió algo por esa

transacción?, seguramente su respuesta será NO (aquí no se están teniendo en

cuenta los costos de transacción), pero si en el mismo caso, la persona le

devuelve el mismo millón de pesos pero un año más tarde ¿Usted lo recibiría sin

ninguna objeción?, lo más probable es que no, ha pasado un tiempo y Usted

esperaría recibir más de lo que le entregó a esta persona.

Por otra parte la "Esperanza" nos recuerda que siempre que se invierte se está

corriendo el riesgo de perder una parte o toda la inversión, no hay realmente en

el mundo ninguna inversión absolutamente libre de riesgo, aunque para efectos

prácticos en el mercado financiero internacional se considera que los bonos del

tesoro de los Estados Unidos son libres de riesgo y en el mercado colombiano

los TES (Títulos de Emisión Soberana emitidos por el Ministerio de Hacienda y

Crédito Público) son considerados cero riesgo.

Por último nos encontramos con los "Beneficios", estos son la razón por la cual

se invierte y para que estos existan se debe recuperar lo invertido y generar

excedentes, a estos excedentes comúnmente los llamamos intereses.

En finanzas se acostumbra dar algunos nombres diferentes a las cifras que

manejamos cotidianamente. A las inversiones se les llama VALOR ACTUAL, o

Valor Presente, porque la definición de inversión dice que esta es un Sacrificio

de recursos hoy, a los beneficios, que están situados “en el futuro”, se les llama

VALOR FUTURO. La rentabilidad, que es la medida en términos porcentuales

del rendimiento de un capital determinado, se le llama TASA DE INTERES y a la

Utilidad producida por la inversión se le llaman INTERESES.


8


Tabla 1. Términos usados en la matemática

financiera Nombre Común Matemática financiera

Inversión Valor Actual (VA) Valor Presente (VP)

Ingresos / Beneficio Valor Futuro (VF) Rentabilidad Tasa de interés (i) Utilidad Intereses (I)

Ahora debemos encontrar un valor de intereses que haga que la persona decida

sacrificarse e invierta en lugar de consumir. En general, más que un valor

absoluto del monto de los intereses, buscamos una tasa de rentabilidad a la cual

el inversionista decida invertir. A esta tasa se le llama Tasa de Descuento, Tasa

de Oportunidad o Tasa de Retorno Mínima Aceptable. Observe que esta tasa es

de absoluta importancia, pues es una tasa de inflexión de la decisión: por debajo

de esta preferirá consumir antes que ahorrar, y por encima decidirá invertir.


9


1.1. La tasa de descuento o tasa de retorno mínima aceptable.

Ejemplo 1.2

Suponga que Ud. ha venido guardando dinero debajo de su colchón, para

comprar una agenda electrónica, que, aunque no es indispensable, le gustaría

tener. Ya tiene un millón de pesos ahorrados. Yo le he pedido prestado ese

dinero por un año y Ud. ha pensado que no sería una mala idea, pues le he

ofrecido un respaldo que hace virtualmente imposible que se pierda el dinero o

se demore siquiera un día mas del plazo fijado.

Ahora estamos negociando el valor que yo le debo entregar el próximo año.

Observe que Usted tiene dos opciones, compra su agenda electrónica o me

presta el dinero a mi. ¿Cuánto sería lo mínimo que me cobraría dentro de un

año?. Piense en un valor que haga que Ud. se “sacrifique” por un año al no

comprar el aparato. ¿cuánto sería?

$_____________. ¡¡¡Realmente me parece que la suma que Ud. acaba de poner

es demasiado alta!!!, por favor, piense en la mínima suma que Usted me

cobraría por ese préstamo $_____________. Bueno, le ofrezco un peso menos

de lo que Usted acaba de escribir. ¿Acepta este negocio? Si , No .

Si la respuesta fue si, por favor piense por última vez cuál sería la mínima cifra

que estaría dispuesto a recibir $_____________.

ACABA USTED DE HALLAR SU TASA DE DESCUENTO. Por favor permítanos

explicarle

Observe que trabajar con valores es engorroso, si nosotros cambiáramos la cifra

de un millón, por cincuenta millones, Usted debería cambiaría ese valor y volver

a realizar el ejercicio por eso, siempre se trabaja con tasas de interés.


10


Calculemos entonces la tasa de interés que Usted decidió que era su tasa de

descuento:

(2) VAI

i ó (1) =−= 1VAVFi

(3) VF-VAI =

Suponiendo que Ud. dijo que lo mínimo que esperaba en un año era $1.150.000,

tendríamos:

15% ó ,..

......

(3) y (2) ecuaciones las Usando

15% ó ,....

1500000001

00015000015000000010001501

150100000010001501

==

=−=

=−=

i

I

i

Ahora por favor Ud. haga lo propio con los valores que eligió:

________% ó ______..

_________.._________(3) y (2) ecuaciones las Usando

______% ó ______..

==

=−=

=−=

0000001

0000001

10000001

i

I

i

La tasa de descuento es aquella a la cual un inversionista, que tiene una sola

oportunidad de inversión decide invertir. Esto supone que ha decidido sacrificar

su consumo inmediato para recibir en cambio una suma mayor en el futuro.

Observe que esta tasa es la que hace equivalente el consumo de hoy a un

consumo superior dentro de un periodo de tiempo. Si se le ofrece a este


11


inversionista una tasa menor, decidirá consumir ahora, si por el contrario, la tasa

es mayor, la persona optará por invertir.

Piense un momento detenidamente por favor el significado de la frase:

“Observe que esta tasa es la que hace equivalente el consumo de

hoy a un consumo superior dentro de un periodo de tiempo. Si se le

ofrece a este inversionista una tasa menor, decidirá consumir ahora,

si por el contrario, la tasa es mayor, la persona optará por invertir” .

En realidad, la tasa de descuento materializa el concepto de equivalencia, que

muestra que existe un nivel de rentabilidad a la cual el inversionista será

indiferente consumir ahora o invertir. Usando la ecuación (1) podríamos decir

que:

VF = VA * (1 + i) (4)

Y siguiendo con nuestro supuesto encontraríamos que:

VF = 1.000.000 * (1 + 0,15) = 1.150.000

Ahora hagámoslo con su tasas de descuento :

VF = 1.000.000 * (1 + ______) = ______________

Podemos concluir entonces que para Usted es lo mismo consumir $1.000.000

hoy o consumir $____________ dentro de un año. Si yo le ofreciera menos de

NO NO INVIERTEINVIERTE

SI INVIERTESI INVIERTERentabilidad de la

inversión

Tasa de descuento


12


este valor Usted preferiría comprar su agenda digital y si yo le ofreciera un valor

superior a esta suma Usted preferiría invertir.

Ahora por favor consiga cinco valores futuros que otras personas hayan anotado

en este mismo ejercicio. 1)_____________, 2)_____________,

3)_____________, 4)_____________, 5)_____________ .

¿Son iguales estos valores? ¿coincide alguno de estos con el suyo?, muy

seguramente la respuesta será NO, entonces ¿Alguno de estos valores es más

acertado que los demás?, ¿será que alguna de las personas que le dio un valor

tiene la razón sobre cuál es el valor adecuado y Usted no? ¿será lo contrario?.

La respuesta a estas preguntas es NO. Todos los valores son igualmente

válidos, esto, porque el millón de pesos es su dinero y solo Usted puede decidir

que hacer con él. Adicionalmente la tasa de descuento es subjetiva, cada

inversionista tiene su propia tasa de descuento, y esta alta, media o baja

(comparada con las de las otras personas) es igualmente correcta y respetable.

En la economía se empieza a encontrar que las tasas de interés están casi

todas dentro de un mismo rango, si el inversionista pone un valor por encima de

este rango, nadie estará dispuesto a pagar un costo tan alto por su dinero, si por

el contrario cobrase demasiado poco, estaría perdiendo dinero.

Por eso estudiaremos como explica la economía, desde un punto de vista

formal, cómo se forman las tasas de interés: Según Fisher (1930), la tasa de

interés es el resultado de la unión de varios componentes, en principio, Fisher

propuso que estos componentes eran la inflación y el interés real. Mas tarde se

incluyó el riesgo como un tercer componente adicional. Es decir:

Ic = (1+if) x (1+ir) x (1+iθ) – 1 (5)


13


Donde Ic es la tasa de interés, if es el componente de inflación, ir representa el

componente real e iθ es el componente de riesgo.


14


1.2. Componentes de la tasa de interés.

La inflación es la Medición del crecimiento del nivel general de precios de la

economía. La inflación es calculada mensualmente por el DANE sobre los

precios de una canasta básica de bienes y servicios de consumo para familias

de ingresos medios y bajos (Canasta Familiar). En Colombia se utiliza el IPC

(Indice de Precios al Consumidor) para su cálculo. Esta medida se basa en la

medición de la canasta familiar en diferentes ciudades. Esta canasta familiar

esta compuesta por diferentes grupos de gasto como alimentación, vestuario,

e.t.c. y para cada uno de los estratos socio-económicos.

El sistema financiero colombiano vivió una de las más agudas crisis de su

historia a causa del UPAC, un sistema creado ....

Existen diferentes metodologías para la medición de el riesgo de una inversión,

una de ellas consiste en medir los diferentes niveles de riesgo y combinarlos

aplicables a una inversión, estos diferentes son: a) riesgo país: que mide para

inversionistas extranjeros el cual puede ser obtenido por medio de los Spreads o

metodologías como la ICRG (International Country Risk Guide), b) riesgo sector:

que mide el riesgo asociado propio de la actividad económica desarrolla y c)


15


1.3. La tasa de interés cuando existe mas de un período: El interés

simple y el interés compuesto.

Hasta ahora hemos tomado ejemplos en donde solamente existe un período de

inversión, esto, porque cuando se trabaja con más de un período existen dos

formas de cálculo de los intereses. Para explicar esta situación recurriremos a

una anécdota personal.

Ejemplo 1.3 Cuando estaba en el colegio tenía un amigo al que su Papá le daba un dinero

para que comiese algo. Resulta que por lo general le sobraba alguna pequeña

cantidad, y nosotros sus compañeros, que sabíamos de esta situación, le

pedíamos siempre que les prestara pero nunca me pagaban. Aburrido, mi amigo

decidió que en lugar de perder el dinero, iba a hacer un negocio con éste.

Entonces, un día, cuando alguien le pidió prestado $100 le dijo que sí, pero que

al día siguiente le debería pagar $110. ¡¡¡el 10% diario!!! era lo que cobraba mi

amigo. Estará Usted escandalizado por esta tasa tan alta. Pero en honor a la

verdad, mi amigo debía cobrar esa tasa tan alta, porque la moneda de más

pequeña denominación en ese entonces era de $10. ¡¡¡Si nos hubiese cobrado

menos, no hubiésemos podido pagarle!!!. Un día, yo necesitaba un dinero

urgente para comprar los materiales de un trabajo y le pedí prestados $1.000. Al

día siguiente olvidé pedir el dinero para pagar, por lo que solo pude hacerlo al

segundo día. Cuando llegué a pagarle, le entregué $1.200, pero el me dijo que

en realidad le tenía que pagar $1.210.

¿Por qué me estaba cobrando mi amigo $1.210?


16


Para empezar, podemos ilustrar el ejemplo con un Diagrama de Flujo de Caja, el

cual muestra esquemáticamente los problemas financieros, este diagrama se

compone de una línea horizontal que representa el tiempo. En el extremo

izquierdo una división que representa el período 0 o momento 0, que es el

momento en el que se realiza la inversión. El extremo derecho representa el

último período de inversión y cortes intermedios que representan el final de cada

período. Flechas hacia abajo que representan inversiones y hacia arriba que

muestran los ingresos.

Explicación del diagrama de flujo de caja

El diagrama del problema desde mi punto de vista sería entonces:

00 n1 211 22

(1.000.000)(1.000.000)

1.000.0001.000.0001.000.000

Tiempo

Ingresos

Egresos

Fin del periodo

1.000

0 1

1.200

2

i%=10% Diario


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Observe que los mil pesos fueron una entrada para mí, por eso aparece

representado por una flecha hacia arriba en el periodo cero, y los mil doscientos

son un egreso en el segundo periodo.

La representación del problema para mi compañero sería:

Bueno, pero regresemos al problema: Yo pensaba que debía pagar $1.200,

pues pensaba que debería devolver los $1.000 que me había prestado y $200

de dos días de intereses de intereses de dos días. Pero mi compañero me

explicó que a mi cuenta había que adicionarle $10 de intereses de los cien que

no había cancelado de intereses el primer día.

Años después, ya en la Universidad entendí que el cálculo que yo había

realizado, se conocía como “Interés simple” en este, se cobran intereses

únicamente sobre la suma inicial de la inversión. Y lo que mi amigo había hecho

se conocía como “Interés Compuesto”, que supone que los intereses se cobran

sobre la suma inicial y sobre los intereses causados y no pagados.

Este último sistema, se ha tendido a satanizar en Colombia y los abogados le

han llamado Anatosismo, de hecho la Corte Constitucional lo declaró

inconstitucional y por lo tanto inaplicable en el país. Sin embargo este se usa en

todo el sistema financiero internacional, y la razón conceptual para esto se

puede explicar muy fácilmente con el ejemplo anterior por medio de la siguiente

reflexión: Mi amigo me cobraba intereses diarios de $100, al no pagar los

1.210

1.000

0 1 2

i%=10% Diario


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intereses del primer día, yo ocasioné que él no pudiera prestar ese dinero a otra

persona y por lo tanto había perdido el valor de los intereses que le hubiesen

generado los cien pesos, es decir había perdido diez pesos ($100*10%) .

Entonces ¿quién debía asumir esta pérdida?. Seguramente los 10 pesos debían

ser asumidos por mí, que era quien tenía y estaba usando el dinero durante ese

período de tiempo. Observe que quien tiene el dinero es quien debe pagar por

este, y por lo tanto, el sistema conceptualmente correcto desde el punto de vista

financiero es el Interés Compuesto.

Matemáticamente el interés compuesto completa nuestra fórmula (4) al elevar la

fracción (1 + i) al número de períodos de la inversión.

VF = VA * (1 + i)n (6)

La fórmula (6) es una de las bases más importantes en finanzas, esta se usa o

de ella se extraen modelos tan simples como saber cuánto será lo que se reciba

por una inversión, hasta temas avanzados como cálculo de precio de

instrumentos derivados.

Cuando se tiene mas de un período, se deben agregar dos términos a nuestra

tabla:

Tabla 2. Términos usados en la matemática

financiera - Completa Nombre Común Matemática financiera

Inversión Valor Actual (VA) Valor Presente (VP)

Ingresos / Beneficio Valor Futuro (VF) Rentabilidad Tasa de interés (i) Utilidad Intereses (I) Número de períodos (n) o (Nper) Cuotas o pagos Cuotas o pagos


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Aquí aparece un nuevo término llamado cuota o pago. Que aparece cuando en

lugar de recibir una sola suma al final de la inversión (VF), se le entregan una

serie de pagos en los periodos intermedios. Estas cuotas pueden ser cuotas uniformes en donde se le entrega exactamente en mismo monto durante todos

y cada uno de los periodos, o cuotas no uniformes en el caso en el que los

montos entregados difieran en algún periodo. Adicionalmente vale la pena

mencionar que cuando existe más de un período las fórmulas (1) y (2) no se

pueden usar.


20


2. Factores de conversión

La fórmula (6) nos permite calcular cuanto va a recibir un inversionista en el

futuro, o en otras palabras calcular el “beneficio” del que hablamos en la

definición de Inversión. Observe que esta fórmula tiene 4 factores, Valor Actual,

Valor Futuro, tasa de interés y número de períodos. En este capítulo

observaremos cómo se pueden calcular cada uno de estos, siempre y cuando

tengamos la información de otros tres de ellos y que por lo menos uno de ellos

sea o la tasa de interés o el número de períodos.

Suma Futura: Se puede calcular a partir de una suma presente, a partir de una

serie de cuotas uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes.

También se puede trabajar con tasas de interés iguales para todos los periodos

o con tasas de interés diferentes en cada uno de estos.

Suma presente: Se puede calcular a parir de una suma futura, una serie de

cuotas uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes. También se

puede trabajar con tasas de interés iguales para todos los periodos o con tasas

de interés diferentes en cada uno de estos.

Serie de cuotas uniformes -> Suma presente

Suma presente -> Serie de cuotas uniformes

Suma Futura -> Serie de cuotas uniformes

Serie de cuotas uniforme -> Suma Futura

Cálculo de la tasa de interés

Cálculo del número de Períodos

El cálculo de estos factores se mostrará de dos maneras: En primera instancia

realizaremos el planteamiento matemático y en segundo lugar se resolverá el

ejercicio usando como Herramienta Microsoft Excel, que es una de las


21


herramientas más sencillas para eliminar los problemas de la formulación

matemática propia de este tema.

2.1. Valor Futuro (VF)

Representa un solo flujo de dinero que se entrega al final del último período de

inversión. Se puede calcular a partir de una suma presente, una serie de cuotas

uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes. También se puede

trabajar con tasas de interés iguales para todos los periodos o con tasas de

interés diferentes en cada uno de estos. Es decir, antes de saber la fórmula

correcta para el cálculo se debe revisar si se cumplen o no los siguientes

supuestos:

Tabla 3. Opciones para el calculo del Valor Futuro

Cálculo de VF a partir

de: Pago

s un

iform

es

Perío

dos

igua

les

Tasa

co

nsta

nte

Fórmula Función en Excel

Una suma presente N.A. SI SI niVA )1(* + VF

Una suma presente N.A. SI NO [ ])1(*.....*)1(*)1(* 21 niiiVA +++ VF.PLAN

Una cuota uniforme SI SI SI

−+iiPAGO

n 11 )(* VF

Una cuota NO uniforme NO SI SI

nn

tnt

n

PAGOiPAGO

iPAGOiPAGO

++

++++

−

−−

11

11

1

11

)(*

...)(*)(* No existe

Una cuota NO uniforme NO SI NO

[ ][ ]

[ ]n

nn

n

n

PAGOiPAGO

iiPAGOiiiPAGO

...)(*...)(*.....*)(*

...)(*.....*)(*)(*

++

+++

++++

− 111

111

1

22

211

No existe


22


Cálculo de VF a partir de una suma presente Su fórmula matemática es:

VF = VA * (1 + i)n ( 6 )

Ejemplo 2.1 ¿Cuánto recibirá Luisa Fernanda en 12 meses, si ha invertido $1.000.000 a una

tasa del 2% mensual?.

El diagrama de flujo de caja del problema es:

El planteamiento matemático del problema es:

VF = 1.000.000 * (1 + 2%)12 = $ 1.268.241,79

Tal como habíamos anunciado arriba, resolveremos ahora el problema usando

como herramienta Microsoft Excel. En primera medida debemos incluir en las

celdas de Excel los datos del problema:

Después debemos llamar al asistente de funciones del programa. Esto se puede

hacer buscando el botón en la barra estándar o en el menú “Insertar”, escoger la

opción “Función”:

$1.000.000

0 12

VF=?

i = 2%


23


Dentro del menú de funciones, se escogen las funciones financieras y allí se

busca la función con el nombre del factor de conversión que se está buscando.

En este caso debemos buscar la Función VA:


24


En este momento aparecerá el cuadro de diálogo de la función:

En el extremo superior izquierdo aparece el nombre de la función que se va a

calcular, en este caso es VF. En los siguientes cuadros se preguntan todos los

posibles argumentos de la función, de los cuales llenaremos los que eran

pertinentes y los demás los dejaremos en blanco. En este caso tenemos Tasa,

Nper y VA. En la segunda parte del cuadro siempre aparecerá la información de

la Función que se ha llamado y la explicación del argumento sobre el cual esta

ubicado el cursor. Observe que en el cuadro anterior el cursor estaba en VA y

por lo tanto el segundo párrafo de explicación corresponde a la de VA. Por

último el cuadro muestra el resultado de la función, en caso de que no muestre

un número, significa que faltan argumentos o que alguno de ellos es incorrecto.

El resultado es el mismo que calculamos con la fórmula matemática:

Area de explicación de la fórmula

Fórmula que se desea aplicar

Resultado obtenido

Estos elemento se explicarán más adelante(Por favor déjelos en blanco)

Area de explicación de la variable en uso

Sintaxis de la fórmulaSintaxis de la fórmula


25


El resultado es negativo porque Excel supone que si al comienzo el flujo de caja

es positivo (como se muestra en el gráfico anterior), significa que se ha otorgado

un préstamo y por supuesto el VF será el pago del préstamo, si por el contrario,

al comienzo se hace una inversión, al final del flujo se dará el retorno positivo.

Cálculo de VF a partir de una suma presente con tasa no constante.

Este caso ocurre cuando la tasa proyectada para cada periodo es diferente. En

realidad esta en nuestra opinión es la mas común de las situaciones en la vida

práctica, pues los componentes de la tasa de interés la tasa de interés cambian

constantemente y por supuesto esta con ellos.

Su fórmula matemática es:

[ ])(*.....*)(*)(* niiiVAVF +++= 111 21 ( 7 )

Ejemplo 2.2 Pedro Pablo es un inversionista que quiere colocar hoy una tasa de $1.000.000

a cinco años. Ha estado haciendo averiguaciones y ha concluido que la tasa de

interés que para este año es del 10% anual, decrecerá un 1% cada año durante

su inversión. ¿ Cuánto recibirá en cinco años ?


26




[ ] 261.468.698,

)06,01(*)07,01(*)08,01(*)09,01(*)1,01(*000.000.1=

+++++=VFVF

Tal como se mostró en la Tabla 3, en Excel el ejercicio se debe resolver usando

la función VF.PLAN, sin embargo, algunas funciones (entre ellas VF.PLAN) que

por lo general no están cargadas en el programa. Para poder usarlas vaya al

menú “Herramientas”, y seleccione “Complementos”, busque y chulee

“Herramientas para análisis”

10% 9% 8% 7% 6%

VF=?

1.000.000


27


Ahora podemos solucionar el problema usando VF.PLAN, esta función solo tiene

dos argumentos: “Capital” y “Serie de tasas”, en el primero incluiremos el monto

invertido y en el segundo seleccionaremos el rango de tasas futuras. Observe

que no es necesario incluir los periodos pues Excel lo calcula a partir del número

de tasas incluidas. Nótese además que esta función no cambia de signo como lo

hacía VA.


28


Cálculo de VF a partir de una serie de cuotas uniformes.

Recordemos que las cuotas uniformes son una serie de flujos de caja

exactamente iguales durante todos y cada uno de los periodos de la inversión.


−+=

iiPAGOVF

n 11 )(* ( 8 )

Ejemplo 2.3 Carlos Humberto es un padre de familia quiere empezar a ahorrar a partir del

próximo mes y durante 6 meses $50.000 para las vacaciones de final de año, en

el fondo de ahorro de su compañía le han dicho que le pagarán un interés del

2%.


29


¿ De cuánto dispondrá para sus vacaciones ?



315.406,05 02,0

1)02,01(*000.506

=

−+=

VF

VF

En Excel el problema se resuelve de nuevo con la función VF, pero ahora no

tendremos VA, sino que únicamente tendremos PAGOS.

Observe que el flujo que diseñamos supone que se empieza a ahorrar no hoy,

sino dentro de un mes, adicionalmente la persona tendrá que pagar la última

cuota justo antes de que se empiece el viaje. ¿Qué pasaría si en lugar de

comenzar al final del primer mes, el señor pagase la primera cuota hoy mismo?.

La última cuota se pagaría un mes antes de viajar, de lo contrario terminaría

0

VF=?

1 2 3 4 5

50.000


30


pagando 7 cuotas en lugar de 6. La entidad podría entregar el dinero entonces

en el periodo 5 como se muestra en el gráfico:

Para la solución de este nuevo problema se puede usar el argumento “tipo”,

dándole valor 1, que significa anticipado.

Otra opción del mismo problema 2.3, es que la persona ahorre durante los

periodos 0 al 5 (como en el caso anterior), pero que el fondo de ahorro solo

entregue el dinero en el periodo 6, como se observa en el diagrama:

0

VF=?

1 2 3 4 5

50.000

0

VF=?

1 2 3 4 5

50.000


31


Este planteamiento no se puede solucionar usando una sola función o fórmula,

por lo que la solución se deberá dividir en dos pasos. En primer lugar

calcularemos el VF de una serie de pagos anticipados, tal como se hizo en el

caso anterior, esto nos dará el valor ahorrado en el período 5, el segundo paso

será pasar ese VF1 al periodo 6, como se muestra en el siguiente diagrama:

La solución de este ejercicio en Excel se dividirá también en dos pasos, primero

calcularemos el VF de una serie de pagos uniformes anticipados y después

calcularemos el VF a partir de un VA, como se muestra a continuación:

PASO 1 PASO 2

0

VF2=?

1 2 3 4 5

50.000

VF1

6


32


Cálculo de VF a partir de una serie de cuotas no uniformes.

Las cuotas no uniformes son una serie de pagos en los periodos intermedios, en

los que los montos difieren en alguno o todos los periodos. Su fórmula

matemática es:

nntn

tn PAGOiPAGOiPAGOiPAGOVF +++++++= −

−− 11

11 111 )(*...)(*)(*

Ejemplo 2.4

El 31 de diciembre del 2003 Javier Antonio decidió comenzar a ahorrar para su

pensión voluntaria, para lo cual entregó a WF Investments la suma de U$1.000.

Después de hacer cuentas, encontró que era prácticamente imposible conservar

su nivel debido a los mayores gastos en la educación de sus hijos, así que

encontró que su consignación de cada año disminuiría en U$100. Si la compañía

de inversión obtiene una rentabilidad del 10% anual, ¿Cuánto dinero ahorrado

tendrá después de hacer su consignación el 31 de diciembre de 2010?

El diagrama de Flujo de Caja del problema sería:

4005006007008009001000

40040050050060060070070080080090090010001000

VF=?

0 1 2 3 4 5 6 7

300


33


La solución matemática es:

80084001015001016001017001018001019001010001 23456

.),(),(),(),(),(),(.

=++++++++++++=

VFVF

Como anotamos en la tabla 3, no existe en Excel una función predefinida para

este caso, por lo cual debemos construir nuestra fórmula, la cual podría hacerse

de la siguiente manera:

En la celda B6 aparece la función incluida en la celda B5. Allí se calcula el VF

(hasta el periodo 1) de la inversión de mil en el periodo 0, de esta manera el

resultado obtenido queda en el mismo periodo del flujo de 1 y puede ser

sumado, lo cual se hace en la celda C6. La expresión (-C3+B5) está haciendo la

Fórmula usada para llevar el

flujo del período 0, al

periodo 1

Fórmula usada para llevar el

flujo de períodos

intermedios hasta el final de

la inversión.

VF


34


operación [-(-900)+1.100] y después lleva este resultado al período 2 al

multiplicarlo por uno mas la tasa. La fórmula que se muestra en C6 puede ser

copiada hasta n períodos, con lo cual se hace menos engorroso el cálculo. Esta

formulación además permitiría calcular el VF aun con tasas diferentes para cada

periodo.


35


2.2. Valor Presente (VP)

Es un ingreso o egreso en el momento en el presente, o al comienzo o inicio de

la inversión. Se puede calcular a partir de una suma futura, una serie de cuotas

uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes. También se puede

trabajar con tasas de interés iguales para todos los periodos o con tasas de

interés diferentes en cada uno de estos. Es decir, antes de saber la fórmula

correcta para el cálculo se debe revisar si se cumplen o no los siguientes

supuestos:

Tabla 4. Opciones para el calculo del Valor Futuro

Cálculo de VP a partir

de: Pago

s un

iform

es

Perío

dos

igua

les

Tasa

co

nsta

nte


Una suma futura N.A. SI SI ni

VF)( +1

VA

Una suma futura N.A. SI NO [ ])(*.....*)(*)( niii

VF+++ 111 21

No existe

Cuotas uniforme SI SI SI

+

−+n

n

iiiPAGO

)()(

*1

11 VA

Cuotas NO uniforme NO SI SI n

nnnt

iPAGO

iPAGO

iPAGO

iPAGO

)()(...

)()( ++

+++

++

+ −−

1111 11

211 VNA

Cuota NO uniforme NO SI NO

[ ]

[ ]

[ ])()....(*)(*)(

...)....(*)(*)(

....)(*)()(

nn

n

n

n

iiiiPAGO

iiiPAGO

iiPAGO

iPAGO

+++++

++++

+++

++

−

−

−

1111

111

111

121

121

1

21

2

1

1

No existe

Cuota NO uniforme NO NO SI VNA.NO.PER

N.A.: No aplica


36


Cálculo de VP a partir de una suma futura


niVFVP

)( +=

1

Ejemplo 2.5 ¿Cuánto tendrá que ahorrar hoy Cesar Augusto, si necesita recibir $2.000.000

dentro de un año, si en su entidad le pagan una tasa del 2% mensual?.



72759402121

000000212 ,..

%)(..

=+

=VP

Ahora resolvamos el problema usando Microsoft Excel. La función en Excel es

VA, y como ya explicamos en el numeral 2.1 paso a paso el procedimiento para

el uso de las funciones de Excel, mostraremos la solución de manera resumida:

VA=?

0 12

$2.000.000

i=2%


37


Cálculo de VP a partir de una suma futura con tasa no constante.

Este caso ocurre cuando la tasa proyectada para cada periodo es diferente. En

realidad esta en nuestra opinión es la mas común de las situaciones en la vida

práctica, pues los componentes de la tasa de interés la tasa de interés cambian

constantemente y por supuesto esta con ellos.



38


[ ])(*.....*)(*)( niiiVFVP

+++=

111 21

(¿?????)

Ejemplo 2.6 Gladys Marina de las Mercedes es una madre de familia muy preocupada por la

educación de su hija Laura Catalina. Ha estado pensando en empezar a

asegurar su educación ahorrando una suma que alcance a pagar el valor de la

matricula del primer semestre de Universidad, el cual ella estima estar alrededor

de los 15 millones de pesos en 5 años. Como es una persona muy bien

informada de la situación del mercado de capitales, considera que las tasas de

interés para los próximos cinco años se comportarán de la siguiente manera:

Año 1 2 3 4 5

Tasa 12% 12,5% 13% 14% 10%



[ ]2664018

1011401130112501120100000015

..),(*),(*),(*),(*),(

..

=+++++

=

VP

VP

12% 12,5% 13% 14% 10%

VP=?

15.000.000


39


En Excel no existe una función que resuelva el problema directamente, así que

es necesario hacer una solución paso por paso. Observe que el denominador de

la fórmula es la productoria de las tasas de interés sumadas con uno, esto

significa que el primer paso podría ser sumar uno a cada una de las tasas de

interés:

Ahora, para terminar el denominador de la función debemos multiplicar los

factores, esto se puede hacer con la función “PRODUCTO”, en esta función

seleccionamos en “Número1” todo el rango de valores a multiplicar:


40


Ya completado el denominador, simplemente se tiene que dividir la suma futura

entre el resultado arrojado en el denominador.

Cálculo de VP a partir de una serie de cuotas uniformes.

Recordemos que las cuotas uniformes son una serie de flujos de caja

exactamente iguales durante todos y cada uno de los periodos de la inversión.


B4:F4

=B1/B5


41


+

−+= n

n

iiiPAGOVP

)()(

*1

11

Ejemplo 2.7 Erasmo, un ingeniero contratista, sabe que los gastos mensuales de su familia

ascienden a $2.800.000. Como acaba de ganar una licitación, quiere conocer

cuál es el valor que debe consignar hoy en el banco “Megalómano” para cubrir

los egresos familiares durante 6 meses. “Megalómano” paga una tasa de interés

del 0,8% mensual.



4573391600801

1008010008002 6

6

..

),(),(*..

=

+

−+=

VPi

VP

En Excel el problema se resuelve de nuevo con la función VA:

0

VP=?

1 2 3 4 5 6

2.800.000


42


Cálculo de VP a partir de una serie de cuotas no uniformes

Las cuotas no uniformes son una serie de pagos en los periodos intermedios, en

los que los montos difieren en alguno o todos los periodos. Su fórmula

matemática es:

nn

nnt

iPAGO

iPAGO

iPAGO

iPAGOVP

)()(...

)()( ++

+++

++

+= −

−

1111 11

211


43


Ejemplo 2.8

A Juan Felipe le han ofrecido que le entregan cuando se pensione ciertos

montos para su subsistencia, Juanita, analista de WF le ha explicado que las

personas requieren de mayores ingresos cuando recien se pensionan y van

bajando a medida que envejecen, por eso, WF ha diseñado un plan pensional

que cubre estas necesidades.

A Juan Felipe le ha enviado el siguiente cuadro que muestra los pagos que le

realizarán en cada uno de los períodos. Si tiene una tasa de descuento del 15%

anual. ¿Cuánto sería lo máximo que debería invertir en el plan pensional?.

Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Flujo 0 0 0 0 100 95 90 85 80 75



1098765 150175

150180

150185

150190

150195

1501100

),(),(),(),(),(),( ++

++

++

++

++

+=VP

Para la solución en Excel se debe utilizar la función VNA, que trae a valor

presente cuotas no uniformes y se usa de la siguiente manera:

7575808085859090

9595100100

5 6 7 8 9 1043210

VP=?


44


La función, aplicada en la celda B4, requiere la tasa de descuento (tasa) y el

rango de valores desde el período 1 hasta el último, subrayamos que es desde

el periodo 1 y no se puede incluir dentro del rango valores ubicados en el

período cero, pues calcularía el valor presente del período (-1). Otra

característica de esta fórmula es que se pueden meter los valores uno a uno,

caso en el cual la función creará casillas para incluir más cuotas, o se puede

incluir un rango de fila o columna tal como lo hicimos aquí.

Debemos anotar también que se debe tener sumo cuidado con los rangos

intermedios en donde no existe flujo de caja (en este caso los periodos 1 al 4 en

donde no existen ni ingresos ni egresos), en estos se debe poner cero, de lo

contrario Excel asumirá que no existe el periodo. Observe el resultado que

mostramos en el siguiente gráfico en donde hemos eliminado los ceros de los

períodos 1 al 4.


45


Observe que el resultado de la fórmula cambió, el resultado ahora es

exactamente el mismo que si lleva las cuotas del periodo 5 en adelante, al

periodo 4.

Cálculo de VP a partir de una serie de cuotas no uniformes y tasa no constante

[ ] [ ] [ ])()....(*)(*)()....(*)(*)(....

)(*)()( nn

n

n

n

iiiiPAGO

iiiPAGO

iiPAGO

iPAGO

VP+++++

++++

++++

++

=−−

−

1111111111 121121

1

21

2

1

1

En muchas ocasiones, principalmente cuando se hace evaluación financiera de

proyectos, se deben calcular valores actuales con estas características, esto

supone un problema en la cantidad de cálculos necesarios, el cual trataremos de

simplificar usando la hoja de cálculo.

Ejemplo 2.9

La compañía FANATER está pensando en comprar un nuevo microbús, el cual

ofrece los ingresos que se muestran a continuación. FANATER, considera que

su tasa de descuento aumentará en los próximos años como resultado del

incremento del rendimiento de los títulos del tesoro de los Estados Unidos, y se

comportará de la siguiente manera:

FANATER quiere conocer a cuánto equivalen sus ingresos en términos de valor

actual.

Año 1 2 3 4

Ingresos 300 400 500 600

Tasa 15% 16% 18% 20%


46




[ ] [ ] [ ]1961

201180116011501600

180116011501500

16011501400

1501300

.),(*),(*),(*),(),(*),(*),(),(*),(),(

=++++

++++

+++

++

=

VP

VP

Aunque Excel no tiene una función específica para este problema, si se puede

simplificar el cálculo reexpresando la fórmula de la siguiente manera:

),(),(

),(),(

15011601

1801201

600500400

300

++

++

++

+=VP

Con esta reexpresión de la fórmula lo que hacemos es empezar a resolver la

ecuación desde los periodos más cercanos, hasta los mas cercanos a cero, esto

en Excel significa que se construye la fórmula en el último período y se copia

hasta el cero de la siguiente manera.

Observe que en la celda E4 se ha construido una fórmula cuyo numerador suma

lo que “viene” de los periodos posteriores (F4) más el flujo del año, y en el

denominador lo descuenta a la tasa del año. Cuando se copia esta fórmula para

15% 16% 18% 20%

VP=?300

400500

600


47


los periodos anteriores (1 al 3) se va logrando el efecto acumulativo que

buscábamos, de forma que la fórmula calculada en el periodo uno, obtiene

realmente el valor presente del periodo cero.

Solución


48


2.3. Ejercicios

1. Juan acaba de ganar una demanda por incumplimiento de un contrato

de construcción por parte de la ciudad. El valor del contrato hace 18

meses era de $158.000 y el juez determino que se le deben reconocer

intereses del 2% mensual. ¿Cuánto deberá reclamar Juan que le

paguen en la tesorería distrital?.

2. ¿Cuánto tendrá que ahorrar hoy Clarita, si necesita recibir $2.000.000

dentro de un año, si en su entidad le pagan una tasa del 2%

mensual?.

3. ¿Cuál es el valor futuro de un ahorro de $130, hecho en una entidad

que paga las siguientes tasas de interés:

Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 5 Periodo 6

10% 12% 16% 13% 18% 11%

4. Don Pepe quiere comprar un apartamento pero no tiene la cuota

inicial, así que planea abrir con su salario del próximo mes una cuenta

en el banco para ahorrar en cada uno de los próximos 36 meses una

cuota de $200.000. ¿De cuánto podrá ser valor de la cuota inicial, si la

tasa de interés que ofrece el banco es del 1,5% mensual?.

5. ¿En cuánto se debe comprar un bono cero cupón, con valor nominal

de $1.000, con plazo de tres años, si se quiere tener una rentabilidad

del 10% anual?

6. A Maria Teresa le acaban de ofrecer que le pagan hoy las 6 cuotas de

$100.000 que le deben. Si la tasa de interés a la cual fue pactado el

préstamo es del 1% mensual ¿Cuánto le deben pagar?.


49


7. Ivan Darío esta estudiando la posibilidad de comprar con sus amigos

un carro de perros calientes. Este negocio puede producir utilidades

por $100.000 en el primer mes, $120.000 en el segundo mes,

$180.000 en el tercer mes, $200.000 en el cuarto mes. Como él tiene

su dinero invertido en un CDT que le paga el 0,5% mensual, quisiera

saber a cuanto equivaldrían hoy estos flujos mensuales.

8. ¿Cuánto se deberá pagar por un bono cuyo valor de emisión fue de

100 y que paga un cupón del 15% anual durante 6 años, si se quiere

obtener una rentabilidad del 12% anual? ¿si se desea una rentabilidad

del 18% anual?.¿Cuánto sería el descuento en cada uno de los dos

casos?


50


3. Tasas Equivalentes

Hasta ahora solo hemos estudiado casos donde el flujo de dinero encaja

correctamente con el período en el que esta expresada la tasa. Sin embargo en

muchas ocasiones las tasas y los flujos de dinero no coinciden, por ejemplo,

cuando vamos a abrir un CDT a 3 meses, nos informan la tasa que nos pagarían

si invirtiéramos a un año. En estos casos es necesario poder manipular las tasas

para saber cuanto nos van a dar realmente. No sobra mencionar que la tasa que

nos pagarán no es simplemente la anual dividida entre cuatro. Más adelante

explicaremos esto con mayor detenimiento.

3.1. Intereses anticipados y vencidos

Los intereses se pueden pagar al comienzo o al final del periodo, aunque

internacionalmente no es muy común que se paguen de la primera forma, en

Colombia, se usan continuamente los dos formatos.

El interés anticipado se ocasiona cuando los intereses se pagan al comienzo del

periodo.

Por su parte, el interés vencido se ocasiona con el pago de intereses al final del

periodo.

VA

VAI


51


Para entender la relación entre estos dos tipos de interés recurriremos a un

ejemplo sencillo:

Ejemplo 3.1 A alguna empresa le acaban de pagar una factura por $400.000 con un cheque

posfechado a un mes. Como la empresa necesita urgentemente el dinero,

decide recurrir a los servicios de un prestamista que entre sus actividades tiene

el cambio de cheques posfechados.

El prestamista, gustosamente cambia el cheque y le entrega a Agricol $380.000,

pues cobró los intereses (5%) por adelantado. ¿Cuál es el costo de este

crédito?

A primera vista, podríamos decir que fue del 5%, sin embargo, detengámonos un

poco más en el problema. El diagrama de flujo de caja del prestamista es:

Este señor invierte 380.000 para ganar dentro de un mes 400.000, si calculamos

la tasa de interés, retomando la fórmula (1)

VA

VA

I

$380.000

0

$400.000

1


52


5,26% ó ,..

VAVFi 052601

0003800004001 =−=−=

¿Qué paso con el 5% del que habíamos estado hablando?

Cuando trabajamos con interés anticipado hay una disminución de la inversión,

por lo que la rentabilidad de la inversión aumenta. Observe que si hubiésemos

hecho el mismo ejercicio pero con una inversión de 400.000 y un ingreso de

420.000 la rentabilidad hubiese sido del 5%, pero al disminuir la base del cálculo

de 400.000 a 380.000, los intereses de 20.000 pasan a ser el 5,26% de la

inversión. Lo anterior nos muestra que hay una relación entre el interés

anticipado y el interés vencido. Es decir un 5,00% anticipado es equivalente a un

5,26% vencido. Matemáticamente podríamos decir que:

052600501

0501

,,

,=

−=

−=

a

av i

ii

De manera análoga podremos decir que:

050052601

052601

,,

,=

+=

+=

v

va i

ii

Por último queremos señalar que la rentabilidad o tasa de interés del ejercicio

3.1 es 5,26%, nunca 5%. De hecho, el interés anticipado tiene un problema

conceptual, recordemos que una inversión es “un sacrificio de recursos hoy, con

la esperanza de recibir un beneficio en el futuro”. Si nos detenemos a pensar el

momento en el que se pagan los intereses, no tiene mucho sentido que me

entreguen beneficios hoy, pues acordémonos que habíamos dicho que el dinero

solo tiene sentido como recurso cuando se puede tener por periodo de tiempo, y

en el caso de los intereses anticipados, estos se pagan antes de tenerlos un


53


tiempo, con lo cual se genera una contradicción, por eso hecho su uso es cada

vez más escaso.

Ejemplo 3.2 Una compañía de Leasing a empezado a comercializar su nuevo producto

“Supercarro”. Con este producto, la persona recibe un vehículo sin cuota inicial,

y paga un arrendamiento mensual anticipado, cuyo costo será del 1% mensual.

Calcule el costo del crédito en términos vencidos.

El costo sería de: _____________ mensual vencido.

3.2. Tasas nominales y efectivas

La diferencia entre las tasas efectivas y nominales, surge cuando se pacta una

tasa de interés para un periodo de tiempo determinado (Ej. Años) pero los

intereses se liquidan en lapsos de tiempo mas cortos (ej. Meses). La tasa de

interés nominal se ocasiona cuando los periodos de pago de intereses son

fracciones del periodo para el cual se ha pactado la tasa. Las tasas de interés

efectivas son el reconocimiento a la capitalización de intereses que ocasiona

una tasa de interés nominal.

Explicaremos esto con un ejemplo sencillo:


54


Ejemplo 3.3 La señora Pepita tiene $1.000.000 para invertir por un año.por lo cual ha llamado

a su asesor de la entidad financiera “Megalómano”, y este le ha ofrecido dos

opciones:

Opción uno: Invertir en un CDT a un año, con una tasa del 24.63% anual, en el

cual que le paga intereses cada trimestre vencido.

Opción dos: Invertir el millón en un CDT a un año con una tasa del 24.14%

anual, que le paga el intereses cada mes vencido.

¿Cuál de las dos opciones debe escoger doña Pepita?

Primero observemos los diagramas de flujo de caja de las dos opciones:

21 3 4

61.57661.576 61.576 61.576

1.000.000

i = 24,63% anual1.000.000

57661000000116646324

...*%,%,

==

Opción 1:

21 3 4

1.000.000

i = 24,14% anual

118200000001012121424

...*%,%.

==

20.118

Opción 2:

1.000.000


55


Observe que los dos flujos no son comparables porque cada uno tiene pagos en

diferentes períodos de tiempo. Entonces ¿qué podemos hacer?. Una alternativa

sería, dado que los dos flujos son a un año, suponer que la señora no recibe los

intereses en ninguno de los trimestres o meses y por lo tanto los intereses

quedarían “capitalizados” a la misma tasa a la que inicialmente fue puesto el

dinero. Es decir, todos los flujos serían llevados a VF a la tasa pactada

inicialmente:

Como puede observar cambiamos un flujo que estaba partido a la mitad, por uno

en el que solamente hay una inversión y un ingreso al final del año.

Si calculamos la rentabilidad que podría obtener la señora al final del año,

siempre y cuando capitalice todos los ingresos hasta el final de la vida del CDT y

2166157661 %),(*. +=VF

%),(*. 166157661 +=VF

61.576

65.367 65.367 65.367

69.392 69.392

61.576

21 3 4

61.576 61.576

1.000.000

73.665 73.665

270.000270.000

3166157661 %),(*. +=VF

1.000.000

1

1.000.000

1.270.000


56


que “Megalómano” sostenga siempre la misma tasa de interés para la

reinversión de intereses, sería:

27% ó .. ,

.

.VAVFi 2701

000000100027011 =−=−=

Hagamos ahora lo mismo con la opción dos:

Si doña Pepita reinvirtiera todos los intereses a la tasa pactada inicialmente, las

dos opciones serían iguales.

En este ejemplo manejamos tres tipos de tasas que son para la opción 1:

• 24,63%. Esta tasa es una nominal

• 6,16%. Que es una tasa periódica

• 27%. Es la tasa Efectiva.

Estudiemos ahora estos tres tipos de tasas:


57


Tasa de interés efectiva

La tasa efectiva es precisamente aquella a la que se llega cuando se capitalizan

los intereses pagados a la misma tasa a la cual se pactó el negocio al comienzo

del período. Observe que por su misma definición no puede existir una tasa

efectiva anticipada, pues los intereses no estarían capitalizados en el período.


._min 11 −

+=

nvencidoalno

efectivo ni

i

O partiendo de la tasa periódica:

( ) ._ 11 −+= nvencidoperiodicoefectivo ii

Calcule la tasa de interés efectiva de la inversión de doña Pepita a partir del

24,63%:

Ahora por favor calcule la efectiva a partir de la tasa periódica:


58


Tasa de interés nominal

Es una tasa pactada para un período, pero los intereses se pagan en períodos

menores al pactado en la tasa.


( )[ ]11 −+= nefectivoalno ini *min

O partiendo de la tasa periódica:

nii periodicoalno *min =

Nomenclatura de las tasas nominales

Una de los mayores cuidados que debemos tener cuando trabajemos con tasas

nominales es darles el nombre apropiado a cada una de ellas. Usando como

ejemplo la tasa nominal del caso anterior, podríamos decir que el 24,63% es una

tasa Nominal Anual trimestre vencido

Indica el periodo al cual fue pactada la tasa de interés

Advierte que los periodos de pago de intereses son menores que el período en el que se pactó la tasa de interés

Se refiere a los períodos de pago de intereses

Muestra si la forma de pago es anticipada o vencida

NOMINAL ANUAL TRIMESTRE VENCIDO24.63%


59


En la práctica, muchas veces se omiten algunos de estos términos y

simplemente se le llama 24,63% T.V. pues se asume que si se especifica el

periodo de liquidación de intereses, la base de la tasa es un año y se trata de

una tasa nominal.

Calcule la tasa de interés nominal anual semestre vencido de la inversión de

doña Pepita a partir del 27%EA:

Ahora por favor calcule la tasa N.A.T.V. a partir del 6,11% periódico:

Tasa de interés Periódica

La tasa de interés periódica es la tasa pactada para un periodo. Es l más común

de todas, siempre que hablamos del 2% mensual, del 25% anual estamos

hablando de una tasa periódica. En nuestro concepto es la más importante de

todas porque con ella se calculan los flujos de caja. Observe en el ejemplo de

Doña Pepita que el valor de los intereses fue calculado con la tasa periódica.


60



( ) 11 −+= nefectivoperiodico ii

O partiendo de la tasa nominal:

ni

i alnoperiodico

min=

Calcule la tasa de interés periódica mensual de la inversión de doña Pepita a

partir del 27%EA:

Ahora por favor calcule la tasa periódica a partir del 24,14% NAMV.

Relación entre las tasas efectivas, nominales y periódicas


61


La utilidad de poder establecer una relación entre las diferentes tasas de interés

es poder establecer equivalencias que permitan cambiar tasas de un periodo a

otro de manera que puedan ser armonizadas con los tiempos de los flujos de

caja. Es importante que se determine la relación entre las tasas y los flujos, esta

puede ser:

La tasa determina el flujo: En este caso, la tasa explica la forma de pago de los

intereses. Por ejemplo, un bono que paga una tasa del 24%NAMV, supone que

los intereses serán pagados cada mes y de forma vencida. En este caso no se

requiere hacer ninguna conversión de la tasa.

• La tasa no concuerda con los periodos del flujo: En algunas ocasiones

las tasas no son compatibles con el periodo del flujo y por lo tanto hay

que convertirla para que se ajuste a este. Por ejemplo en Colombia la

tasa referencia DTF es por su definición TA, y si se usa para un CDT a

un mes, se requerirá usar una tasa mensual y no trimestral.

En realidad hay muchas formas de convertir tasas, cada procedimiento se podría

hacer de muchas formas, sin embargo, nosotros aconsejamos usar una sola

forma de conversión que permita mecanizar un procedimiento sencillo.

Gráficamente las conversiones son las siguientes:

Observemos con un ejemplo numérico cómo usar este procedimiento, al

Efectiva

Nom

inalvencida

Periódica

ninom

[ ]niper * Vencida

Anticipada( )

−+ 11*

1nefin

Tasa.nominal

11 −

+

nn o m

ni

Int.efectivo)1( a

aV i

ii−

=

)1( v

va i

ii+

=

ninom

( )

−+ 11*

1nefin

[ ]niper *

)( v

va i

ii+

=127% 24,63% 6,16%

5,80%23,20%


62


convertir una tasa efectiva anual a una nominal anual trimestre anticipado:

Lo anterior también podría usarse de manera contraria, es decir, si nos

devolviéramos por el mismo camino podríamos buscar una tasa EA a partir de

una NATA.

Cuando se hacen estas conversiones es necesario seguir algunas reglas:

• NUNCA divida una tasa Efectiva. Si Usted divide la tasa del 27% entre

cuatro, no logrará nunca obtener el 24,63%

• NUNCA Multiplique una tasa de nominal: La relación entre las tasas

nominales y efectivas no son ni productos no divisiones.

• SIEMPRE que multiplique una tasa, el resultado será una nominal

• SIEMPRE que divida una tasa nominal el resultado será una tasa

periódica: Tenga cuidado, las tasas nominales solo se pueden dividir

entre el número de periodos de los intereses para los cuales fue

calculada. Es decir una tasa NATV solo se puede dividir entre 4 y una

tasa NASV solamente se podrá dividir entre 2.

• NUNCA divida una tasa periódica. Si Usted desea convertir el 6,16%

trimestral en una tasa mensual no la puede dividir entre tres.

La funcionalidad de las tasas efectivas

La última regla para la conversión de las tasas proponía que no se pueden

dividir las tasas periódicas y que si se multiplican los resultados serán

nominales, entonces ¿qué hacemos cuando queremos convertir por ejemplo un

6,16% trimestral en una tasa mensual o semestral?


63


En estos casos se encuentra la utilidad de las tasas efectivas, estas son un

puente para cuando se decide cambiar de un periodo a otro, ellas nos permiten

pasar de una tasa trimestral a una mensual o viceversa.

Una tasa efectiva nos permite entonces hacer múltiples conversiones a

diferentes tipos de periodos.

TVMVSVAA

TA

Efectiva

Perí

odic

a La tasa efectiva es un “puente” que permite cambiar tasas de un

período a otro


64


Ejercicios 1. Por favor complete la siguiente tabla:

EA

NA

SA

NA

TV

NA

MV

NA

AA

Sem

estr

al

venc

ida

Trim

estr

al

antic

ipad

a

Men

sual

an

ticip

ada

Anu

al

venc

ida

20%

18%

15%

10%

23%

5%

2%

1%

25%

24,14% NAMV

n = 12n = 12

n = 225,39% NASV

n = 2

n = 624,63% NATV 27,00% E. A. n = 6

n = 124,38% NABV

27,00% NAAV

n = 1

n=4


65


4. Tablas de amortización

Las tablas de amortización describen el plan de pagos (comportamiento

mensual) de un crédito, en términos del valor adeudado, la cuota cancelada, y

su distribución entre abonos a capital e intereses.

Estas tablas son muy importantes porque muestran cómo se distribuye la cuota,

que parte de esta se dedica al pago de intereses y cual se constituye como

amortización de capital. Adicionalmente se puede observar en ellas cómo se va

disminuyendo el monto adeudado hasta que llega a cero.

4.1. Componentes de una tabla de amortización.

Saldo Inicial: Es el valor adeudado al comienzo del período. En el primer

período es el valor del crédito y de allí en adelante es el mismo saldo final del

período anterior.

Intereses: Son el costo que se paga por tener el capital en el periodo. O en

otras palabras, lo que cobra el banco por prestar el dinero. Se calcula

multiplicando el saldo2 del crédito por la tasa de interés.

Abono a capital: Es el monto en el que se disminuye la deuda.

Cuota: Es el valor total que se paga, incluidos tanto los intereses como el abono

a capital.

Saldo final: Es el saldo del crédito después de haber aplicado la cuota. Se

calcula como el saldo inicial menos el abono de capital.

2 Será el saldo inicial cuando se trate de pagos vencidos y el saldo final cuando se trabajen

pagos anticipados.


66


4.2. Tipos de tablas de amortización

Observe por favor que en el numeral anterior no se definió la forma de cálculo ni

de los abonos a capital ni de las cuotas. Esto se debe estos cambiarán

dependiendo de la forma de amortización elegida. Se podría decir en general

que hay dos formas básicas de pagar un crédito: Cuando se decide el monto de

la cuota y cuando se decide el monto del abono a capital.

DOS FORMAS DE DEFINIR EL PAGO DE CREDITOS

Se decide el monto de la CUOTA o PAGOCUOTA o PAGO

Se decide el monto del Abono a CapitalAbono a Capital

4.3. Tablas de amortización cuando se define la cuota

En este caso se decide sobre el monto total a pagar, como consecuencia lo que

se abona a capital será simplemente la diferencia entre el valor pagado y los

intereses. En este esquema se pueden determinar cuotas uniformes o cuotas

variables.

En general la estructura de una tabla de amortización cuando se define la Cuota

es:

Periodo Saldo inicial Intereses Abono a

capital Cuota Saldo final

0 No existe No existe No existe No existe Valor del crédito

1Saldo final del periodo anterior

Saldo inicial por la tasa de interés

Cuota menos intereses

Depende si es fija o variable.

Saldo inicial menos abono a capital


67


Tablas de amortización con cuota fija

Esta es una de las formas más comunes de liquidación de los créditos, consiste

en que se paga una suma fija durante todos los periodos de duración del crédito.

Para calcular la cuota uniforme se utiliza la siguiente fórmula:

111

−++

= n

n

iiiVAPAGO

)()(

La tabla de amortización queda diseñada de la siguiente manera:

Ejemplo 4.1

Una persona ha pagado una compra de un millón de pesos con tarjeta de

crédito, y ha diferido el pago a 6 cuotas. Sabiendo que la entidad financiera

cobra intereses del 1% mensual, Calcule el valor de la cota mensual y la tabla

de amortización de este crédito.


Periodo Saldo inicial Intereses Abono a capital Cuota Saldo final






111

−++

= n

n

iiiVAPAGO

)()(

0

1.000.000

1 2 3 4 5 6

CUOTA = ?


68


El valor de la cuota mensual se calcula de la siguiente manera:

172.548,37),(

),(,.. =

−++

=10101

01010100000001 6

6

PAGO

En Excel debemos usar la función PAGO.

La tabla de amortización del crédito es:



0 1.000.000

1 1.000.000 10.000 162.548 172.548 837.452

2 837.452 8.375 164.174 172.548 673.278

3 673.278 6.733 165.816 172.548 507.462

4 507.462 5.075 167.474 172.548 339.988

5 339.988 3.400 169.148 172.548 170.840

6 170.840 1.708 170.840 172.548 0


69


Para construir la tabla de amortización en Excel debe primero armar el

encabezado de la tabla y el número de períodos.

Cuando las tablas de amortización tienen muchos periodos, es necesario usar

herramientas para poder poner rápidamente el número de los periodos, por lo

que se debe señalar la celda donde esta el periodo 0, y después arrastrarla con

el “ratón”, tomándola del cuadro que aparece en el borde inferior derecho de la

celda y oprimiendo siempre al mismo tiempo la tecla “Control”, si se hace de

manera correcta aparecerá a medida que va arrastrando el número que quedará

en la celda. Cuando llegue al último periodo suelte primero el botón del “ratón” y

después la tecla “Control”.

Este pequeño signo de adición aparecerá siempre que tenga oprimida la tecla “Control”

Número del período


70


Después se construye la primera línea de la tabla, debe tener cuidado con

aquellas celdas que son fijas, tal como se muestra en el siguiente gráfico:

Después se selecciona toda la fila desde el saldo inicial hasta el saldo final y se

copian las fórmulas oprimiendo doble clic en el cuadro inferior derecho de la

selección:


71


Ejemplo 4.2

Una persona acaba de solicitar un préstamo por $200.000 a 6 meses a una tasa

de interés mensual del 2%. Calcule el valor de la cota mensual y la tabla de

amortización de este crédito.

La cuota sería de:

El diagrama de flujo de caja del problema sería:

0 1 2 3 4 5 6


72


Y la tabla de amortización del crédito quedaría de la siguiente manera:



0 200.000

1

2

3

4

5

6

Tablas de amortización de cuota fija cuando se tienen tasas variables

Como mencionamos anteriormente, la tasa de interés varía a través del tiempo,

esto supone un riesgo que debe ser asumido por alguna de las dos partes. Cada

vez más, quien asume el riesgo es el que recibe el crédito. Esto supone en

principio que la cuota no puede ser constante, pues para ello se tendrían que

conocer con exactitud las tasas futuras. Sin embargo, se pueden construir tablas

de amortización con cuotas fijas hasta el penúltimo período, ajustando el error

acumulado en el último período.

Ejemplo 4.3

Se compró un carro con un préstamo de $1.000.000 a 6

meses. La tasa de interés al inicio del crédito fue del 1%,

pero, debido al mayor endeudamiento del gobierno, a

tenido una tendencia alcista y se ha comportado como

se muestra en la tabla. Construya la tabla de

amortización del crédito

Periodo Tasa 1 1,00% 2 1,10% 3 1,20% 4 1,30% 5 1,40% 6 1,50%


73


Para construir esta tabla, en primer lugar debemos calcular la cuota uniforme

que se usará desde la primera hasta la penúltima cuota, esta se calcula con la

tasa de interés del primer periodo. En este caso es de $172.548. Después se

construye la tabla normalmente desde el periodo 1 hasta el penúltimo periodo

construir la tabla de la misma manera que lo hicimos anteriormente, la única

diferencia es que los intereses no serán multiplicados por una tasa fija, sino por

la tasa de interés de cada periodo, como se muestra en los siguientes cuadros:

El último período, el abono a capital será igual al saldo final del penúltimo

período y el cálculo de la se redefine como los intereses más el abono a capital.

Abono a capital más intereses

674.115*0,012


74


En el segundo caso la persona define cuanto será lo que abona a capital, y la

cuota será entonces la suma de lo que se decidió pagar

Ejemplo 4.4

Alguien está necesitando un préstamo de

$200.000 para salir de vacaciones. En el banco le

han dicho que le prestan a una tasa de DTF + 3%

durante 6 meses con cuotas uniformes durante

los 6 primeros meses y una última cuota de

ajuste. Construya por favor la tabla de amortización del problema.

La cuota sería de:

Proyección de la DTF (T.A.) Periodo Tasa

1 10,00% 2 10,50% 3 11,00% 4 11,50% 5 10,40% 6 10,50%

Cálculo de la tasa de interés periódica

Periodo DTF T.A. Puntos adicionales Tasa T.A. Tasa E.A. Tasa M.V.

1 10,00% 3% 2 10,50% 3% 3 11,00% 3% 4 11,50% 3% 5 10,40% 3% 6 10,50% 3%


75


Y la tabla de amortización quedaría de la siguiente manera:



0 200.000

1

2

3

4

5

6

Tablas de amortización de cuota ascendente o descendente

Hasta hace algún tiempo, el manejo de las cuotas crecientes y decrecientes era

bastante complejo dada la gran cantidad de funciones de gradientes (factores

constantes de variación) que existían. Con la introducción de las hojas de

cálculo esta dificultad quedó superada.

La herramienta “Buscar objetivo” de Excel ayuda a construir casi cualquier forma

de tabla de amortización, observemos como funciona:

Ejemplo 4.5

Se debe construir una tabla de amortización de un préstamo por $100.000, a 12

meses de plazo y con una tasa de interés del 2% mensual, en donde la cuota

mensual se debe reajustar en un 5% cada mes.

Primero se debe construir una tabla de amortización común y corriente, con la

única diferencia que el valor de la cuota, no se ha calculado con la función


76


“PAGO”, sino que simplemente se escribe cualquier valor. En este caso hemos

escrito 100, pero hubiese podido escribir 55, 2.000 o simplemente dejarla en

blanco.

Observe que también creamos una columna donde aparecen los aumentos

(fíjese que esto implica que podríamos tener un aumento diferente para cada

período.

Después copiamos las fórmulas construidas en todas las columnas exceptuando

la de la cuota. Para fijar el valor de la segunda cuota, se debe tener en cuenta

que esta debe ser un 5% superior que la primera, esto, en términos matemáticos

se puede expresar como Cuota2=Cuota1*(1+5%), la tercera cuota debe tener el

mismo comportamiento y así sucesivamente, en general podíamos decir que

Cuotan=Cuotan-1*(1+5%). Se construye entonces la fórmula en Excel y se copia

para todo el resto de periodos.

=F53 =E54-D54 =B54*2% Cualquier valor

=B54-C54


77


Observe que el saldo final del periodo 12 es positivo, eso significa que todavía

no se ha terminado de pagar el capital. Si por el contrario, este valor fuese

negativo, significaría que hemos pagado más de lo que adeudábamos. También

se puede encontrar que los abonos a capital son negativos, esto sucede porque

lo que se está pagando como cuota no alcanza siquiera a cubrir los intereses, y

con el sistema de interés compuesto, la parte que queda sin cubrir se va

capitalizando y aumentando el saldo final.

EL siguiente paso entonces es encontrar un valor de la primera cuota que haga

que el saldo final del período 12 sea cero. Este es un procedimiento que Excel

puede hacer muy rápidamente con la función “Buscar objetivo”. Nuestro objetivo

Esta fórmula, construida en el

periodo 2 y copiada hasta el periodo 12,

nos garantiza un aumento del 5% en el valor de la cuota.

El valor del saldo final del último periodo debe ser igual

a cero.


78


es que la celda F65 (argumento: Definir la celda) sea cero (argumento: Con el

valor) , y para lograrlo debemos modificar la celda E54 (argumento: Para

cambiar la celda).

Al aceptar, Buscar objetivo resolverá el problema iterando hasta que se hallan

satisfecho satisfecho las condiciones. Después de encontrar la solución, la

función mostrará un cuadro de dialogo que anuncia que se ha encontrado una

solución.


79


4.4. Tablas de amortización con abono a capital uniforme

En este caso se decide sobre el valor en el que se disminuye el capital, es decir,

se determina cuanto será el abono a capital y por lo tanto el valor de la cuota

será simplemente la sumatoria del abono a capital y los intereses. En este

esquema no se pueden determinar cuotas uniformes sino que estas serán

variables. Por otro lado se podrá determinar si se hacen abonos a capital fijos o

variables.

En general la estructura de una tabla de amortización cuando se define la Cuota

es:





Depende si es fijo o variable.

Intereses mas abono a capital



80


Tablas de amortización con abono a capital uniforme

En este caso se busca disminuir el monto adeudado en partes iguales durante

cada uno de los periodos de pago del crédito. Para calcular el monto del abono

se utiliza la siguiente fórmula:

nVAABONO =

La tabla de amortización queda diseñada de la siguiente manera:

Ejemplo 4.6

Una persona ha solicitado un seiscientos mil pesos a su fondo de empleados, el

cual será cancelado en 6 cuotas con abonos a capital uniforme, a una tasa de

interés del 1% mensual, Calcule el valor de cada uno de los pagos mensuales.

El valor del abono constante será de 0005012

000600.

.==ABONO

Y la tabla de amortización quedará construida de la siguiente manera: Período Saldo Inicial Abonos Intereses Cuota Saldo Final

0 600.000

1 600.000 50.000 6.000 56.000 550.000

2 550.000 50.000 5.500 55.500 500.000

3 500.000 50.000 5.000 55.000 450.000

4 450.000 50.000 4.500 54.500 400.000

5 400.000 50.000 4.000 54.000 350.000







nVAABONO =


81


6 350.000 50.000 3.500 53.500 300.000

7 300.000 50.000 3.000 53.000 250.000

8 250.000 50.000 2.500 52.500 200.000

9 200.000 50.000 2.000 52.000 150.000

10 150.000 50.000 1.500 51.500 100.000

11 100.000 50.000 1.000 51.000 50.000

12 50.000 50.000 500 50.500 -

Siguiendo los mismos pasos mostrados en la sección “Tablas de amortización

con cuota fija”, la formulación del primer periodo en Excel quedaría:

Los abonos a capital también pueden ser ascendentes o descendentes, sin

embargo su construcción es igual a cuando se trata de cuotas uniformes, de

manera que lo invitamos a consultar la sección “Tablas de amortización de cuota

ascendente o descendente”


82


Ejemplo 4.7

Una persona ha solicitado un $1.200.000 mil pesos a su fondo de empleados, el

cual será cancelado en 6 cuotas con abonos a capital uniforme, a una tasa de

interés del 1% mensual, Calcule el valor de cada uno de los pagos mensuales.

El valor del abono uniforme sería de:

Y la tabla de amortización del crédito quedaría de la siguiente manera:



0 1.200.000

1

2

3

4

5

6


83


5. Ejercicios Integradores

1. ¿Cuánto se debe pagar por un bono que fué emitido hace 3 años y

medio, con un valor facial de $1.000.000, con vencimiento a cinco años,

que paga una tasa del 10% TV, si quiero que mi rentabilidad sea del 30%

EA?

2. Si una empresa recibe un crédito por $ 50.000.000 y realiza los siguientes

pagos trimestrales:

Trimestre 1 $ 5.000.000

Trimestre 2 $ 10.000.000

Trimestre 3 $ 15.000.000

Trimestre 4 y 5 $ 20.000.000

¿Cuál es la tasa efectiva anual que está pagando?

3. ACME S.A. ha emitido bonos de deuda a descuento, cuya rentabilidad es

del 25% anual. ¿Cuánto se tendrá que pagar si el título tiene un valor

facial de $1.000 y se redime en 180 días?

4. Don Pedro desea comprar una casa que vale $200 millones, de los cuales

pagará el 20% en un cuota inicial y el 80% lo obtendrá de un crédito

bancario a siete años, a una tasa del 2% mensual. Don Pedro considera

que la casa es muy grande, y piensa alquilar el primer piso de su nuevo

hogar, para pagar con el arrendamiento el 50% de la cuota. Don Pedro

recibirá el alquiler el primer día del mes, y lo colocará en una cuenta de

ahorros que paga intereses del 15% anual. ¿Cuánto debe cobrar Don

Pedro de arrendamiento?

5. Usted adquiere un vehículo que tiene un valor de $12.000.000 y se le

propone el siguiente esquema de pagos a dos años:


84


- Cuota inicial del 30%

- 24 Cuotas uniformes mensuales

- 2 cuotas extraordinarias de $500.000 c/u en los meses 12 y 24,

adicionales a la cuota mensual.

Si el costo del crédito es del 2% mensual. ¿A cuánto ascenderán las

cuotas mensuales ?

6. Calcule el valor de las cuotas del ejercicio anterior, suponiendo que el

monto total de las cuotas 12 y 24 es de $500.000.

Una empresa debe cobrar los siguientes valores:

· $3 millones de inmediato

· $4 millones dentro de un año

· $5 millones dentro de tres años

· $2 millones dentro de cuatro años

El deudor, que desea pagar lo más pronto posible esta obligación, ofrece

el siguiente plan de pagos: $5 millones de contado y el saldo a dos años.

Calcule el saldo si la tasa de descuento de la compañía es del 16%.

7. Se desea invetir hoy (3 de marzo de 2001) en un bono que fue emitido el

3 de marzo de 2000, con las siguientes características:

- Valor nominal: $100.000

- Tasa: Prime + 5% E.A.

- Plazo: 5 años

- Amortización: Al vencimiento.

Si Ud desea comprarlo hoy, ¿Cuánto sería lo máximo que debería pagar

por ese título si su tasa de descuento es del 6% anual?. Tasa Prime

8.75%.

8. Rodrigo es el dueño de una máquina que vale $1.000.000. Le hacen dos

ofertas de compra: La primera consiste en una cuota inicial de $200.000 y


85


cuatro cuotas iguales cada 3 meses. La segunda consiste en una cuota

inicial de $300.000 y dos cuotas semestrales. Si su tasa de descuento es

del 24% anual mes vencido, ¿Cuáles deben ser las cuotas trimestrales y

semestrales, para que las ofertas sean equivalentes?

9. Un inversionista ha puesto $1.000 en la bolsa, el primero de agosto del

2001 y obtiene los siguientes resultados:

- 01/08/01 compra 50 acciones por $1.000

- 06/08/01 vende 20 acciones por $350


- 13/08/01 recibe dividendos por $100


Ayude por favor a este desesperado señor a saber cual fué la rentabilidad

de esta operación en términos efectivos anuales.

10. Un inversionista desea saber cual es la rentabilidad en pesos, de un bono

que tiene las siguientes características:

- Valor nominal USD1.000

- Tasa: 8%

- Vencimiento: 3 años

- Amortizaciones: Al vencimiento

- Valor de compra: 98% de su valor nominal

- Devaluación anual esperada: 10%; TRM $2.000

11. Calcular cuánto recibirá un inversionista, que invierte $200.000 a diez

años, en un título con tasa flotante, si se sabe que la tasa de captación

del banco es de 22% anual y se estima que la tasa disminuirá un 1% los

primeros 4 años, y aumentará un 0.3% durante los 6 años siguientes.


86


6. Glosario Abono a capital: Es el monto en el que se disminuye la deuda.

Bono Yankee: Es un bono soberano de cualquier país, emitido en la Bolsa de

Nueva York, de tal forma hay Yankees colombianos, ecuatorianos etc.

Bono cero cupón: Bono a descuento que se vende al descuento y no tiene

cupones.

Bono Soberano: Bono emitido por el gobierno de cualquier país.

Bono3: Es la promesa de pago que hace una empresa con la cual se

compromete a pagar el valor nominal al vencimiento (maduración o redención) y

unos intereses pactados (cupones) que se pagan periódicamente. La firma los

puede vender a descuento o no (a descuento significa que los vende por menor

valor que el nominal). Así mismo, puede ofrecer intereses periódicos (cupones) o

no.

Cuota: Es el valor total que se paga, incluidos tanto los intereses como el abono

a capital.

Cuota: Se tiene una cuota o pago cuando en lugar de pagar la totalidad de la

inversión al finalizar el plazo, se entregan VARIAS sumas de dinero en

diferentes periodos de tiempo.

Cuotas no uniformes: en el caso en el que los montos entregados difieran en

algún periodo.

3 Tomado de Vélez 2004


87


Cuotas uniformes: Son cuotas en donde se le entrega exactamente en mismo

monto durante todos y cada uno de los periodos, o

Cupón4: Talón que debe desprenderse de un título de acciones para reclamar

dividendos, recibir acciones gratuitas o solicitar nuevas acciones, o que debe

desprenderse de un bono al portador para cobrar intereses. Orden presentada

para obtener un pago monetario, mercancía o servicio.

DTF (Depósito a término Fijo): Es el promedio semanal de la tasa de captación

de los certificados de depósito a término (CDTs) a 90 días emitidos por las

entidades de crédito, calculado por la Superintendencia Bancaria.

Intereses: Son el costo que se paga por tener el capital en el periodo. O en

otras palabras, lo que cobra el banco por prestar el dinero. Se calcula

multiplicando el saldo5 del crédito por la tasa de interés.

Número de periodos (n): Es el tiempo que dura inversión, desde que se inicia

hasta que se termina. También se puede interpretar como el número de periodos

que separan los valores en el tiempo y a su vez permiten hacer las

transformaciones.

Pago: Se tiene una cuota o pago cuando en lugar de pagar la totalidad de la

inversión al finalizar el plazo, se entregan VARIAS sumas de dinero en

diferentes periodos de tiempo. En EXCEL pago se entiende como una suma

uniforme que se entrega en todos y cada uno de los periodos en los que esta

compuesta la inversión.

4 Tomado del diccionario de términos de la Superintendecia de Valores 5 Será el saldo inicial cuando se trate de pagos vencidos y el saldo final cuando se trabajen

pagos anticipados.


88


Saldo final: Es el saldo del crédito después de haber aplicado la cuota. Se

calcula como el saldo inicial menos el abono de capital.

Saldo Inicial: Es el valor adeudado al comienzo del período. En el primer

período es el valor del crédito y de allí en adelante es el mismo saldo final del

período anterior.

Spread: Diferencia de rentabilidad annual entre el T’Bond y un Yankee. Medida

de riesgo usada para calcular riesgo de una economía específica.

Tabla de Amortización: describe el plan de pagos (comportamiento periódico)

de un crédito, en términos del valor adeudado, la cuota cancelada, y su

distribución entre abonos a capital e intereses.

Tasa de descuento: Es la tasa que hace equivalente el consumo de hoy a un

consumo superior dentro de un periodo de tiempo. Si se le ofrece a este

inversionista una tasa menor, decidirá consumir ahora, si por el contrario, la tasa

es mayor, la persona optará por invertir”.

T-Bond (Treasury Bond): Son los Bonos del Tesoro de Estados Unidos

emitidos en la Bolsa de Nueva York. Son los equivalentes en el mercado

norteamericano de los TES del mercado colombiano. Son los títulos de menor

riesgo en el mundo.

TES (TÍTULOS DE TESORERÍA)6: Títulos de deuda pública emitidos por la

Tesorería General de la Nación (en pesos, en UVR´s - Unidades de Valor Real

Constante - o en pesos ligados a la TRM) que son subastados por el Banco de

la República. Se caracterizan por ser una de las mayores fuentes de financiación

del Gobierno.

6 Tomado del diccionario de términos de la Superintendecia de Valores


89


Valor actual: Es un ingreso o egreso en el momento en el presente, o al

comienzo o inicio de la inversión. Se puede calcular a partir de una suma futura,

una serie de cuotas uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes.



Valor futuro: Representa un solo flujo de dinero que se entrega al final del

último período de inversión. Se puede calcular a partir de una suma presente,

una serie de cuotas uniformes o a partir de una serie de cuotas no uniformes.




90


7. Resumen de fórmulas

FACTORES DE CONVERSION

Opciones para el calculo del Valor Futuro

Cálculo de VF a partir

de: Pago

s un

iform

es

Perío

dos

igua

les

Tasa

co

nsta

nte


Una suma presente N.A. SI SI niVA )1(* + VF

Una suma presente N.A. SI NO [ ])1(*.....*)1(*)1(* 21 niiiVA +++ VF.PLAN

Una cuota uniforme SI SI SI

−+iiPAGO

n 11 )(* VF

Una cuota NO uniforme NO SI SI

nn

tnt

n

PAGOiPAGO

iPAGOiPAGO

++

++++

−

−−

11

11

1

11

)(*

...)(*)(* No existe

Una cuota NO uniforme NO SI NO

[ ][ ]

[ ]n

nn

n

n

PAGOiPAGO

iiPAGOiiiPAGO

...)(*...)(*.....*)(*

...)(*.....*)(*)(*

++

+++

++++

− 111

111

1

22

211

No existe



de: Pago

s un

iform

es

Perío

dos

igua

les

Tasa

co

nsta

nte


Una suma futura N.A. SI SI ni

VF)( +1

VA

Una suma futura N.A. SI NO [ ])(*.....*)(*)( niii

VF+++ 111 21

No existe

Cuotas uniforme SI SI SI

+

−+n

n

iiiPAGO

)()(

*1

11 VA

Cuotas NO uniforme NO SI SI n

nnnt

iPAGO

iPAGO

iPAGO

iPAGO

)()(...

)()( ++

+++

++

+ −−

1111 11

211 VNA


91




de: Pago

s un

iform

es

Perío

dos

igua

les

Tasa

co

nsta

nte


Cuota NO uniforme NO SI NO

[ ]

[ ]

[ ])()....(*)(*)(

...)....(*)(*)(

....)(*)()(

nn

n

n

n

iiiiPAGO

iiiPAGO

iiPAGO

iPAGO

+++++

++++

+++

++

−

−

−

1111

111

111

121

121

1

21

2

1

1

No existe

Cuota NO uniforme NO NO SI VNA.NO.PER

N.A.: No aplica

TASAS EQUIVALENTES

Cálculo de A partir de Nominales A partir de Efectivas A partir de

Periódicas

Periódicas En excel: N.A.

ni

i alnoperiodico

min= En excel: N.A.

( ) 11 −+= nefperiodico ii . N.A.

Nominales N.A. ( )[ ]11 −+= nefnom ini .. * nii pernom *.. =

Efectivas

En Excel: Int. Efectivo

.... 11 −

+=n

vencnomef n

ii

En Excel: N.A.

.... 11 −

−=−n

antnomef n

ii

N.A.

En Excel: N.A. ( ) 11 −+= n

venperef ii ...

En Excel: N.A. ( ) 11 −−= −n

venperef ii ...

Las siguientes fórmulas solo aplican para tasas periódicas:

anticipado

anticipadovencido i

ii

−=

1 vencido

vencidoanticipado i

ii

−=

1


92


TABLAS DE AMORTIZACION

Cuota Fija:

Abono a capital Uniforme:







nVAABONO =







111

−++

= n

n

iiiVAPAGO

)()(

matemática financiera

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