repaso de matemática financiera

www.RiesgoFinanciero.com

SEMINARIO-TALLER SOBRE RIESGOS DE MERCADO Y LIQUIDEZ Página 1

Institutodel

Riesgo Financiero

Instituto del Riesgo Financiero - BOLIVIA-

SEMINARIO-TALLER SOBRE

RIESGOS DE MERCADO Y LIQUIDEZ

La Paz, del 13 al 15 de octubre 2004

Hotel Camino Real

REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS Y FINANZAS

www.RiesgoFinanciero.com Repaso de conceptos básicos de matemáticas y finanzas


Institutodel

Riesgo Financiero

REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS Y FINANZAS ......................................................1

REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS Y FINANZAS ......................................................4

SECCIÓN 1: INTRODUCCIÓN..................................................................................................................................4

OBJETIVOS:....................................................................................................................................................................4

SECCIÓN 2: GEOMETRÍA DE COORDENADAS.................................................................................................6

OBJETIVOS:....................................................................................................................................................................6

SECCIÓN 3: MATEMÁTICAS DE BONOS.............................................................................................................9

OBJETIVOS:....................................................................................................................................................................9 EL VALOR TIEMPO DEL DINERO......................................................................................................................................9

Valor futuro ..............................................................................................................................................................9 Valor actual............................................................................................................................................................10

RELACIÓN PRECIO-RENDIMIENTO ................................................................................................................................12 MEDIDAS DE RENDIMIENTO COMUNES ........................................................................................................................14

Rendimiento corriente............................................................................................................................................15 Rendimiento al vencimiento...................................................................................................................................16 Retorno total...........................................................................................................................................................17

SENSIBILIDAD DEL PRECIO...........................................................................................................................................22 Valor precio de un punto básico (PV01) ...............................................................................................................25 Duración Macaulay ...............................................................................................................................................25 Duración modificada .............................................................................................................................................26 Convexidad.............................................................................................................................................................29 Combinación de la duración modificada y la convexidad para estimar la sensibilidad del precio de un bono ........................................................................................................................................................................32

SECCIÓN 3: MATEMÁTICAS DE BONOS – PREGUNTAS DE REPASO......................................................36

SECCIÓN 3: MATEMÁTICAS DE BONOS – CASO DE GESTIÓN DE RIESGO DE CARTERA ..............43

APÉNDICE 3A: DERIVACIÓN MATEMÁTICA DE DURACIÓN MODIFICADA Y CONVEXIDAD.......44

DURACIÓN MODIFICADA ..............................................................................................................................................44 CONVEXIDAD...............................................................................................................................................................45

APÉNDICE 3B: NORMAS PARA LA DIFERENCIACIÓN ................................................................................48

SECCIÓN 4: CAPITALIZACIÓN DE INTERESES..............................................................................................49

OBJETIVOS:..................................................................................................................................................................49 CAPITALIAZACIÓN DE INTERESES DISCRETA ...............................................................................................................49 CAPITALIZACIÓN DE INTERESES CONTÍNUA ................................................................................................................51

SECCIÓN 4: CAPITALIZACIÓN DE INTERESES – PREGUNTAS DE REPASO ........................................53

SECCIÓN 5: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAS..............................................................................................54

OBJETIVOS:..................................................................................................................................................................54 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA .........................................................................................................................................54

Medidas de tendencia central ................................................................................................................................54 Medidas de dispersión ...........................................................................................................................................56

ESTADÍSTICA DEDUCTIVA ............................................................................................................................................63 Probabilidad objetiva ............................................................................................................................................64 Probabilidad subjetiva...........................................................................................................................................64

SECCIÓN 5: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA - PREGUNTAS DE REPASO............................................71

SECCIÓN 6: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE FIJACIÓN DE PRECIO DE LAS OPCIONES ...........73



Institutodel

Riesgo Financiero

OBJETIVOS:..................................................................................................................................................................73 REPASO DEL COMPORTAMIENTO DEL PRECIO DE LAS ACCIONES ................................................................................73 MODELO BINÓMICO DE FIJACIÓN DE PRECIO ...............................................................................................................76

Modelos con reticulado..........................................................................................................................................77 Modelos con reticulado vs. modelo Black-Scholes ...............................................................................................77 El reticulado binómico...........................................................................................................................................78 Fijación de precio de opciones utilizando el modelo binómico............................................................................79

EL MODELO BLACK-SCHOLES .....................................................................................................................................83

www.RiesgoFinanciero.com


Institutodel

Riesgo Financiero

REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS Y FINANZAS

Sección 1: Introducción

OBJETIVOS: Comprender la importancia de los métodos cuantitativos en el estudio de la gestión del riesgo Repasar los conceptos básicos de matemáticas en el contexto del material del curso Adquirir familiaridad con los conceptos utilizados en la presentación del material del curso Comprender la importancia de conocer los conceptos matemáticos básicos para el proceso de

inspección El proceso de inspección de la exposición al riesgo y gestión del riesgo de una entidad bancaria requiere dos cosas. Primero, que el analista como primera medida debe recavar información acerca de las fuentes y magnitud de los diversos riesgos que enfrenta la entidad. Segundo, el analista debe entonces evaluar la efectividad de los procesos de gestión de riesgo de la institución. A fin de lograr cada una de estas tareas, el analista primero debe comprender los tipos de riesgo que son inherentes tanto a los instrumentos financieros en forma individual como a las carteras compuestas por dichos instrumentos. Además, debe estar familiarizado con los métodos y herramientas cuantitativas que se utilizan para capturar y medir estas exposiciones. En este módulo se realiza un repaso de muchos de los conceptos básicos de matemáticas y finanzas que constituyen los pilares para el estudio del riesgo y su gestión. El alumno debe ver este material no como una fuente exhaustiva de conocimiento, sino más bien como un repaso de algunos de los conceptos más fundamentales. Se espera que algunos de los conceptos financieros y de gestión de riesgo que puedan no haber quedado claros para el alumno se aclaren aquí ya que este análisis está completamente integrado con la parte final del material del curso. Se ofrecen gran cantidad de referencias para el alumno interesado en avanzar en un análisis más profundo de los temas. Los conceptos matemáticos que se abarcan se presentan dentro del contexto del material del curso. Ello permitirá al alumno ingresar en la lógica que se encuentra detrás de determinadas estructuras de medición y de modelos que aquí se analizan. El alumno recibirá una introducción a las numerosas técnicas de medición y realización de modelos que se analizarán en mayor detalle en el transcurso de las clases. Se espera que este enfoque brinde al alumno múltiples oportunidades para lograr comprender el material del curso. Como analista de un banco, usted será responsable de evaluar el grado de adecuación y efectividad de los procesos de gestión de riesgo de una institución. Para arribar a esta evaluación se requiere de la comprensión de los riesgos inherentes de las posiciones que constan en los balances y aquellas que no, la comprensión de las técnicas de medición generalmente aceptables y familiaridad con las políticas y procedimientos necesarios que la gerencia debe seguir a fin de monitorear y controlar eficazmente estos riesgos. Este repaso cuantitativo le será de utilidad en cada una de estas tres áreas. En el estudio de gestión de riesgo, uno no puede evitar encontrarse con técnicas sofisticadas de creación de modelos y aplicaciones de análisis cuantitativo que tal vez le produzcan dolores de cabeza. Antes de pasar a analizar algunos de estos tópicos más avanzados, comenzaremos en el casillero número uno para


SEMINARIO-TALLER SOBRE RIESGOS DE MERCADO Y LIQUIDEZ Pág. 5 La Paz, 13 al 15 de noviembre, 2004

Institutodel

Riesgo Financiero

asegurarnos de que estamos todos en la misma página. Para mucha gente, el solo hecho de ver un gráfico o una ecuación numérica puede resultar una experiencia desconcertante. Esperamos que este análisis, así como el nivel de discurso que utilizaremos, sirva no sólo para que este material resulte accesible, sino también para motivar al lector a buscar el material de referencia citado. El lector que ya se sienta cómodo con la geometría básica de coordenadas y los usos de los conceptos de gráficos y de curvas puede optar por saltear la próxima sección y pasar a la Sección 3: Matemáticas de Bonos. Para aquéllos que todavía se pregunten porqué se están sometiendo a esta experiencia, la próxima sección los conducirá al material a un ritmo más confortable. El objetivo no es convertirlos en expertos en matemáticas aplicada y técnicas de gestión de riesgo, tarea lo suficientemente ardua para lograr en toda una vida, mucho menos en una semana. Más bien, se trata de brindarles un marco en el que puedan organizar la información dispersa que ustedes adquieren a diario. Estar al día con los últimos avances en el campo de la gestión de riesgo puede resultar una tarea intimidante. Sin lugar a dudas, el esfuerzo requiere de un estudio extensivo así como también una devoción permanente de autosuperación. Con esto en mente, demos el primer paso.



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 2: Geometría de coordenadas

OBJETIVOS: Comprender la importancia de la representación gráfica de las ideas Repasar el concepto de curva Calcular la curva de una relación lineal Calcular la curva de una relación no lineal Comprender las limitaciones del cálculo de la curva para relaciones no lineales

Uno de los conceptos más básicos de la geometría de coordenadas es la curva. Conceptualmente, no es más que la medición de una tasa de cambio de una variable respecto de otra. Respecto de los bonos, que se analizarán en profundidad en la próxima sección así como también a lo largo del curso, uno puede estar interesado en saber cuánto oscilará el precio de un bono para una determinada oscilación en las tasas de interés. Utilizaremos el concepto de curva para calcular esta oscilación. Como verán, la relación entre el precio del bono y su tasa de interés, o retorno al vencimiento, no es lineal. Antes de entrar en las complejidades de esa relación específica, primero repasemos el cálculo de la curva para una relación lineal simple. Si dos variables se relacionan en forma lineal, significa que la proporción de oscilación de una variable respecto de las oscilaciones de la otra es constante. Por ejemplo, un banco puede generar 50 nuevas relaciones de préstamo para cada oficial de préstamos nuevo que contrata. Esto vale ya se contrate a uno o a cinco nuevos oficiales de préstamos. Si se mostrara esta relación en un gráfico, se representaría por medio de una línea recta como se ilustra en la Figura 2-1.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Oficiales de préstamos

Rea

lcio

nes

con

clie

ntes

A

B



Institutodel

Riesgo Financiero

Figura 2-1 Relaciones con clientes y oficiales de préstamos La relación entre las oscilaciones en el número de clientes nuevos y el número de funcionarios de préstamos se puede identificar a través de un gráfico. La curva de la línea representa esta información. La fórmula de la curva de una línea es simplemente la oscilación en el valor de la variable que mide el eje vertical (relaciones con clientes) dividido por la oscilación correspondiente al valor de la variable que mide el eje horizontal (oficiales de préstamos) entre dos puntos de la línea. Por ejemplo, tome los puntos A y B de la línea. Si el banco contrata dos oficiales de préstamos más (4 – 2) y el número de nuevas relaciones con clientes aumenta 100 (200 – 100), el cálculo de la curva, m, es: 502/100 ==m . Como la relación entre el número de oficiales de préstamos y el número de relaciones con clientes es constante, la curva siempre será la misma independientemente de cuáles sean los números que se utilicen para calcularla. Otra manera de establecer esta relación es que los retornos por contratar nuevos oficiales de préstamos sea constante. Dado esto, se puede extrapolar. Por ejemplo, si contratar 1 nuevo oficial de crédito resulta en 50 nuevas relaciones con clientes, se puede decir que contratar 5 oficiales de préstamos nuevos resultará en 250 nuevas relaciones con clientes. Ahora, veamos el impacto de las relaciones no lineales sobre el cálculo de la curva. Utilizando las mismas dos variables del ejemplo anterior, este mismo banco podría encontrar que a partir de determinado punto, los retornos de contratar nuevos oficiales de préstamos comienzan a disminuir. Por ejemplo, la contratación de 11 nuevos oficiales de préstamos podría resultar en 500 relaciones nuevas con clientes. La contratación de 12 nuevos oficiales de préstamos podría resultar en 540 relaciones nuevas. 13 nuevos oficiales de préstamos podrían resultar en 570, y así sucesivamente. Esta relación no lineal se ilustra en la Figura 2-2. En este caso, la curva se calcula utilizando dos puntos en la línea, pero su valor será una función de cuáles son los dos puntos que se utilizan. Por ejemplo, utilizando los puntos A y B, vemos que si se contrata al oficial número doce,

500

520

540

560

580

600

620

640

11 12 13 14 15 16 17

Oficiales de préstamo

Rel

acio

nes

con

clie

ntes

A

B

C



Institutodel

Riesgo Financiero

Figura 2-2 Reducción de los retornos en relación a nuevos oficiales de préstamos

la cantidad de las relaciones de clientes se incrementará de 500 a 540. La curva entre los puntos A y B es entonces: .40)1112/()500540( =−−=m Si extrapoláramos utilizando este valor para la curva, podríamos suponer que agregar el oficial de préstamo número trece resultaría en otras nuevas 40 relaciones con clientes (un total de 580). Sin embargo, en realidad vemos que el oficial número trece sólo es capaz de agregar 30 relaciones nuevas. Utilizando los puntos B y C, la curva entre estos dos puntos es: .30)1213/()540570( =−−=m De manera similar, al agregar el oficial de préstamos número catorce resulta en sólo 20 relaciones nuevas. Vemos, por lo tanto, que la disparidad entre el número proyectado de nuevas relaciones con clientes por cada oficial de préstamos calculado inicialmente, 40, y el número real de nuevas relaciones con clientes por oficial de préstamos pasa a ser cada vez más importante a mayor número de nuevos oficiales contratados. Esto se debe a la disminución en los retornos. Ejemplo de ello sería un banco que crece en un área geográfica pequeña. Lo que podemos observar de todo esto es que el cálculo de la curva de una relación no lineal es representativo de una relación sólo en el entorno del lugar donde se realice el cálculo. Esta lección es extremadamente importante para nuestro análisis de relación precio/retorno de bonos, de la próxima sección. Debemos ser concientes del hecho de que el estimado de la sensibilidad al precio de un bono puede ser erróneo si no tomamos en cuenta que el precio y el retorno no se relacionan en forma lineal. Puntos clave para recordar:

La curva de una línea es la relación de la tasa de oscilación de una variable respecto de las oscilaciones de otra variable.

Los cálculos de las curvas de relaciones no lineales son exactos sólo aplicados al entorno en el que se realizan los cálculos.



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 3: Matemáticas de bonos

OBJETIVOS: Poder describir los componentes básicos identificatorios de un título de renta fija Comprender los cálculos de valor futuro y valor actual Comprender la relación precio/retorno Comprender las distinciones entre las diferentes mediciones de retorno: retorno corriente,

retorno al vencimiento y retorno total. Comprender los factores que afectan la volatilidad en el precio de los bonos Poder calcular el valor precio de un punto básico Poder calcular la duración Macaulay y la duración modificada de un bono Comprender porqué la duración es una medida de la sensibilidad del precio de un bono Comprender el significado de la convexidad y la importancia de los ajustes de convexidad

para el cálculo de la sensibilidad del precio de los bonos Esta sección abarca las propiedades básicas del comportamiento de los títulos de renta fija. En particular, se profundiza en la relación entre los precios de los bonos y las tasas de interés. Analizamos técnicas para cuantificar esta relación, así como también las complicaciones que surgen cuando se combinan las opciones con los bonos simples, por ejemplo, los bonos rescatables. Antes de entrar al análisis, repasemos algunos componentes básicos de los títulos de renta fija. El valor par o valor nominal es el monto o volumen de capital del bono. La tasa del cupón es el porcentaje estipulado del valor nominal que se abona anualmente al tenedor del bono. El valor nominal y la tasa del cupón se multiplican para calcular el monto en dólares de estos pagos anuales de cupón. El vencimiento o plazo es el tiempo que transcurre hasta que se devuelve el capital al tenedor del bono. El precio es el precio corriente de mercado del bono. El rendimiento al vencimiento es el rendimiento para el inversor que paga el precio corriente de mercado por el bono y lo mantiene en cartera hasta su vencimiento.

EL VALOR TIEMPO DEL DINERO Antes de poder comprender plenamente los modelos de fijación de precio para los bonos y las mediciones de rendimiento, necesitamos entender el valor tiempo del dinero. Aquí se repasarán dos conceptos: el valor futuro y el valor actual. La idea de que el valor del dinero está vinculado al tiempo se relaciona con el hecho de que se puede invertir a alguna tasa de interés.

Valor futuro

Intuitivamente, todos sabemos que un dólar que se invierte hoy tendrá más valor en el futuro. Esto es así porque podemos ganar un interés sobre ese dólar. Al calcular el valor futuro (FV) de una inversión, debemos considerar una serie de factores. Específicamente, necesitamos conocer la tasa de interés que se está pagando y el tiempo durante el cual el capital estará invertido. También necesitamos sabér con qué frecuencia se capitaliza el interés.



Institutodel

Riesgo Financiero

Si el valor futuro de una inversión se calcula al final de un determinado período sin capitalización de intereses, se denomina de interés simple. En la ecuación (3-1), si el capital, P, se invierte durante un año a una tasa de interés i, el valor futuro se calcula de la siguiente manera:

(3-1) )1( iPFV += . Si la inversión se mantiene durante varios períodos y se calcula el interés al final de cada período sobre el capital y el interés devengado, lo llamamos interés compuesto. El valor futuro de una inversión, P, mantenida durante n períodos, en la que cada uno da un interés a la tasa i por período, se calcula de la siguiente manera. (3-2) niPFV )1( += . Una complicación más a los cálculos del FV implica el pago de interés más de una vez por período. Por ejemplo, los bonos del Tesoro estadounidense realizan pagos de cupón dos veces por año. Si la tasa del cupón es 8%, sobre un valor nominal de U$S1000, el tenedor del bono recibirá dos pagos de cupón de U$S40 por año. Debido a que el primer pago se puede reinvertir a una tasa de interés, el rendimiento real para el tenedor del bono, suponiendo que el bono se compró a la par, será mayor que 8%. En esta sección, analizaremos específicamente los bonos que pagan cupones semestrales. En la próxima sección, veremos otros períodos de capitalización de intereses y la relación entre la tasa del cupón y la tasa de interés efectiva. Usted ya ha completado la primera parte de esta sección. Ahora, ya debe saber qué significa el concepto de valor tiempo del dinero. En los cálculos de valor futuro, ha observado que el FV de una inversión es una función positiva del capital, plazo de vencimiento y tasa de interés.

Valor actual

Ahora que ya comprende el concepto de valor futuro, volvamos atrás para calcular el valor actual de un determinado valor en el futuro. El valor actual (PV) es el monto que se debe invertir hoy a una tasa de interés determinada a fin de realizar un determinado monto en el futuro. El proceso de resolver el valor actual de una corriente futura de flujo de fondos se conoce como proceso de descuento. La tasa de interés que se utiliza para esto se conoce como tasa de descuento. Más aun, la tasa de descuento que pone en ecuación el PV de una corriente de flujo de fondos futura respecto de su precio de mercado corriente se conoce como rendimiento al vencimiento. Analizaremos esta medida de rendimiento así como también otras en más detalle, más adelante. Supongamos que usted tiene una oportunidad de inversión que le pagará U$S1.000 a un año. Dada una tasa de interés de mercado positiva, esperaría pagar menos de U$S1.000 hoy por esa oportunidad. Esto se debe a que su capacidad para invertir dinero hoy le permitiría a usted ganar un interés tal que el FV de su inversión sea mayor a su inversión inicial. La fórmula del valor actual deriva de la fórmula de valor futuro que se presentó anteriormente. A continuación, se repite la ecuación (3-2).



Institutodel

Riesgo Financiero

(3-2) niPFV )1( += En esta fórmula, recuerde que P representa el capital que se invirtió inicialmente. Resolviendo P, obtenemos una expresión para el valor actual del flujo de fondos futuro, o del capital que tendríamos que haber invertido a la tasa i a fin de realizar el FV al vencimiento. Así, obtenemos la siguiente expresión:

(3-3) niFVPV

)1( +=

donde P fue reemplazado por PV. En estos problemas, note que hay un solo flujo de fondos asociado a la inversión. La fórmula para el PV de una corriente de flujo de fondos es apenas levemente más complicada y se analiza a continuación.

(1) Anualidad

Cuando periódicamente se paga el mismo monto en efectivo al inversor, se denomina anualidad. A los fines de este análisis, supondremos que los flujos de fondos se pagan todos al final de cada período. En este caso, la anualidad se conoce como anualidad ordinaria.1 Para calcular el valor actual de una anualidad, debemos descontar cada uno de los distintos flujos de fondos y luego agregar los valores presentes de todos los flujos de fondos juntos. La fórmula siguiente ilustra el cálculo del PV de una anualidad, donde el flujo de fondos constante, o pago, es PMT, e i es la tasa de descuento.

(3-4) niPMT

iPMT

iPMT

iPMTPV

)1(...

)1()1()1( 321 +++

++

++

+=

Esta fórmula se puede replantear de la siguiente manera:

(3-5)

+

−=

iiPMTPV

n)1(11

* .

Nota – Cálculo de anualidades con calculadora financiera (Hewlett-Packard 12C o 17B) Con varios flujos de fondos, utilizar la función yx de una calculadora llevaría mucho tiempo. La calculadora financiera facilita mucho más el proceso. Para resolver cualquiera de las fórmulas que están más arriba, utilice la siguiente guía:

HP 12C HP 17B

1La anualidad de flujo de fondos al comienzo de un período se denomina anualidad vencida.



Institutodel

Riesgo Financiero

Variable Ingrese Ingrese n (Número de períodos) n N I (Tasa de descuento / período) I I%YR PMT (Pago periódico) PMT PMT FV (Capital) FV FV (Para una anualidad, FV = 0) PV (Valor actual) PV PV

(2) Títulos de renta fija

Muchos instrumentos de renta fija requieren de un egreso de fondos inicial y, a su vez, ofrecen un retorno periódico en efectivo en la forma de un pago de cupón, así como también el retorno del capital a una fecha final de vencimiento. Los títulos de renta fija son simplemente una anualidad más un flujo de fondos adicional que es el retorno del capital del inversor o Par. A fin de determinar el valor actual de un instrumento de estas características, uno debe determinar el valor actual de todos los flujos de fondos y sumarlos a todos de la siguiente manera:

(3-6) nn iPar

iPMT

iPMT

iPMT

iPMTPV

)1()1(...

)1()1()1( 321 ++

+++

++

++

+= .

El precio de un bono no es más que su valor actual. Como se verá en mayor detalle más adelante, la tasa de descuento, i, que se utiliza para calcular el valor actual es el rendimiento al vencimiento del bono. La ecuación de PV se simplifica de la siguiente manera:

(3-7) ∑= +

=n

tnt

iPMTPV

1 )1(,

donde PMTt es igual al pago de cupón para los períodos comprendidos entre 1 y t-1 y es igual al pago de cupón más el valor nominal del bono en el período t. Observe el caso especial de un bono con cupón cero. Un bono con cupón cero no da pagos de cupón y se vende a descuento de su valor nominal. Al vencimiento, el inversor recibe el valor nominal del bono. Vale la misma fórmula, la ecuación 3-6, para el valor actual de un título de renta fija, pero es mucho más fácil de resolver ya que es un solo flujo de fondos. Todos los períodos PMT equivalen a cero. El único plazo aplicable es el último.

RELACIÓN PRECIO-RENDIMIENTO En el análisis anterior, usted se familiarizó con los conceptos de valor futuro y valor actual. En esta sección, aplicaremos estos conceptos para comprender el comportamiento de los títulos de renta fija.



Institutodel

Riesgo Financiero

Antes de enumerar estas características, aclaremos un término: rendimiento al vencimiento. En las ecuaciones 3-6 y 3-7, usted utilizó una tasa de descuento constante en el denominador para realizar la ecuación del PV de los flujos de fondos al precio del bono. Esta tasa de descuento constante se denomina rendimiento al vencimiento (prometido). En la próxima sección, exploraremos más a fondo este significado. De algunos de los cálculos que usted ya realizó más arriba, ya debe de haber comenzado a inferir que el precio de un bono y su rendimiento al vencimiento se relacionan de algunas maneras muy específicas. En el próximo análisis, demostraremos cuatro características importantes de esta relación:

El precio y el rendimiento al vencimiento se relacionan inversamente. Cuando el rendimiento al vencimiento está por debajo de la tasa del cupón, el precio del bono

estará por encima del valor nominal; es decir, el bono venderá a una prima. Cuando el rendimiento al vencimiento está por encima de la tasa del cupón, el precio del

bono estará por debajo del valor nominal; es decir, el bono venderá a descuento. El precio y el rendimiento son convexos.

Podemos observar estas cuatro características en la Figura 3-1, que es una representación gráfica de la relación entre el precio y el rendimiento al vencimiento para un bono a 10 años con una tasa de cupón de 7,0%. En el eje vertical del gráfico medimos el precio del bono. En el eje horizontal, medimos el rendimiento al vencimiento del bono. Los puntos de los datos para la línea precio-rendimiento ilustrada en la Figura 3-1 son los que aparecen en la tabla 3-1, a continuación.

Figura 3-1 Relación precio-rendimiento para un bono a 10 años, con cupón 7,0%

0

20

40

60

80

100

120

140

160

2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00% 12,00% 14,00% 16,00%

Rendimiento al vencimiento

Prec

io



Institutodel

Riesgo Financiero

Precio Rendimiento Variación en el rendimiento

U$S130,00 3,43% - U$S120,00 4,49% 1,06% U$S110,00 5,68% 1,19% U$S100,00 7,00% 1,32% U$S 90,00 8,50% 1,50% U$S 80,00 10,24% 1,74% U$S 70,00 12,29% 2,05%

Tabla 3-1 Datos de precio-rendimiento para un bono a 10 años, con cupón 7,0%

La primera observación que se debe hacer es que la curva de la línea P-i es negativa. Es decir, cuando el rendimiento al vencimiento aumenta, el precio del bono es más bajo. Esto también se puede observar en la tabla 3-1. Cuando el precio del bono está en su valor nominal, U$S100, su rendimiento al vencimiento es igual a la tasa del cupón, 7,0%. Obsérvese lo que sucede al rendimiento al vencimiento cuando el precio sube a U$S110: el rendimiento cae a 5,68%. Esto sucede porque cuando el inversor paga más del valor nominal por el bono, aun cuando siga recibiendo los mismos pagos anuales de cupón de U$S70, la tasa de descuento que se utiliza para realizar la ecuación del PV de los flujos de fondos es necesariamente inferior. Intuitivamente, esto tiene sentido cuando nos referimos a la ecuación 3-6. Si el precio, PV, es superior al valor nominal del bono, dados los mismos pagos de cupón, la única manera de que la ecuación dé es si la tasa de descuento, i, es menor. Por el contrario, veamos lo que sucede cuando el precio del bono cae por debajo de su valor nominal. Si el precio de nuestro bono cae a U$S90, la tabla 3-1 indica que el rendimiento al vencimiento subirá a 8,50%. En este caso, el inversor ha pagado menos del valor nominal por el mismo grupo de flujos de fondos; por lo tanto, su rendimiento sobre esa inversión será superior. En los términos de la ecuación 3-6, si el PV es menor, dados los mismos pagos de cupón, la ecuación dará sólo si los denominadores del miembro derecho son mayores. Esto implica un rendimiento al vencimiento mayor. Para las características claves finales de los títulos de renta fija, refiérase nuevamente a la tabla 3-1. Vemos que por cada oscilación en el precio de U$S10, la oscilación correspondiente del rendimiento no es constante. Por ejemplo, si el precio del bono cae de U$S130 a U$S120, el rendimiento al vencimiento aumenta un 1,06%. Si el precio del bono cae más aun de U$S120 a U$S110, el rendimiento al vencimiento aumenta un 1,19%. Esta relación no constante se denomina convexidad (positiva), y constituye una característica de todos los títulos de renta fija libre de opciones. La convexidad también se observa en la figura 3-1, en la que se puede ver que la línea precio-rendimiento no es recta.

MEDIDAS DE RENDIMIENTO COMUNES En la sección previa, incorporamos el rendimiento al vencimiento. Si bien esta es la medida clave de rendimiento para la mayoría de los bonos, en esta sección hablaremos de otras medidas de rendimiento que probablemente encontrarán en el estudio de los títulos de renta fija.



Institutodel

Riesgo Financiero

Esta sección analiza tres medidas de rendimiento. La primera, el rendimiento corriente es la más fácil de calcular, pero puede ser muy inexacta comparada con el verdadero retorno del inversor. La segunda, el rendimiento al vencimiento, es una versión mejorada del rendimiento corriente, pero su exactitud está sujeta a consideraciones muy estrictas. La tercera, el retorno total, si bien más engorroso para calcular, es la medida de rendimiento más exacta. Para ilustrar mejor la distinción entre estas tres medidas, compararemos los rendimientos de los tres bonos diferentes sobre los tres tasas esperadas diferentes. Las descripciones de los tres bonos figuran en la tabla 1, a continuación.

Plazo al vencimiento

Valor Nominal

Precio Cupón Rescatable Precio de rescate

Bono 1 5 años 100,00 100,00 6,00% - - Bono 2 5 años 100,00 100,00 6,75% a los 2 años 102,00 Bono 3 5 años 100,00 105,23 8,00% a los 2 años. 102,00

Tabla 3-2 Descripción de los bonos Para este análisis, supongamos un inversor hipotético con un período de tenencia de dos años. Puede elegir entre estos tres bonos, cada uno de ellos con riesgo crediticio similar. Se supone que a cada uno de ellos todavía le restan cinco años hasta el vencimiento. El Bono 1 no es rescatable. Los Bonos 2 y 3 son rescatables a partir de los 2 años a los precios de rescate que se especifican en la tabla 3-2. Cada uno de los bonos paga un cupón semestral equivalente a la mitad de la tasa del cupón multiplicada por el valor nominal.

Rendimiento corriente

La medida más simple de rendimiento es el rendimiento corriente, calculada como (3-8) mc PCY /= donde Yc es el rendimiento corriente, C es el pago del cupón anual del bono, y Pm es el precio corriente de mercado del bono. La tabla 3-3 contiene los rendimientos corrientes para cada uno de los tres bonos de la tabla 3-2. Si nuestro inversor utiliza esta medida de rendimiento para tomar su decisión de compra, optará por el Bono 3.

Precio Cupón Rendimiento corriente

Bono 1 100,00 6,00% 6,00% Bono 2 100,00 6,75% 6,75% Bono 3 105,23 8,00% 7,60%



Institutodel

Riesgo Financiero

Tabla 3-3 Rendimiento corriente Si bien el rendimiento corriente brinda una medida de ingreso corriente, no toma en cuenta las ganancias o pérdidas de capital que puedan resultar ya sea de la venta o del rescate antes de la vencimiento. Más aun, no toma en cuenta la amortización de la prima o el acrecentamiento por descuento que resulta de la compra del bono por encima o por debajo de su valor nominal.

Rendimiento al vencimiento

El rendimiento al vencimiento mejora con la medida de rendimiento corriente en cuanto le brinda la tasa de retorno prometida totalmente capitalizada al inversor, que compra el bono al precio corriente de mercado. Sin embargo, el rendimiento al vencimiento se realizará sólo si se cumplen dos suposiciones críticas: (1) que el bono se mantenga en cartera hasta el vencimiento, y (2) que se reinviertan todos los pagos de cupones interinos al rendimiento al vencimiento calculado. Si estas hipótesis son inexactas, el rendimiento realizado podría ser diferente al rendimiento calculado al vencimiento. Específicamente, si el bono se vende o se rescata antes de su vencimiento, la ganancia o pérdida de capital resultante afectará el retorno general del inversor. Además, si las tasas del mercado se modifican después de la compra inicial, la tasa a la que se reinviertan los pagos de cupón serán diferentes, afectando así el rendimiento realizado. El rendimiento al vencimiento es la tasa de interés que, cuando se utiliza para descontar todos los flujos de fondos asociados al bono, equivalen a esta corriente de pagos al precio corriente de mercado del bono. Con la información clave necesaria (precio corriente, monto de flujos de fondos, cantidad de flujos de fondos, timing de los flujos de fondos y el valor futuro esperado) se puede llegar a este número con la mayoría de las calculadoras financieras y los programas de computación de planillas de cálculos. Suponiendo pagos de interés semestrales, el rendimiento al vencimiento iy, se calcula de manera que se cumpla,

(3-9) ny

pn

tt

ym i

Pi

CP 2

2

1 )2/1()2/1(2/

++

+=∑

=

donde Pm es el precio corriente de mercado del bono, C es el pago de cupón anual, Pp es el valor nominal del bono y n es la cantidad de años hasta el vencimiento. La tabla 3-4 da el rendimiento al vencimiento para cada uno de los bonos de la tabla 3-2. Si nuestro inversor utiliza esta medida de rendimiento para tomar su decisión de compra, el Bono 2 y el Bono 3 le resultarían indiferentes.

Precio Cupón Rendimiento al vencimiento

Bono 1 100,00 6,00% 6,00% Bono2 100,00 6,75% 6,75% Bono 3 105,23 8,00% 6,75%



Institutodel

Riesgo Financiero

Tabla 3-4 Rendimiento al vencimiento Si bien el rendimiento al vencimiento representa el impacto de amortización de la prima o acrecentamiento por descuento, no toma en cuenta las ganancias o pérdidas de capital que puedan resultar ya sea de la venta o del rescate antes del vencimiento. Una variación en el rendimiento al vencimiento es el rendimiento al rescate (venta). En la ecuación 3-9, n representaría la cantidad de años del período de tenencia proyectado y Pp sería reemplazado por Pm

T, donde PmT representa el precio de venta del bono al

final del período de tenencia. El precio de venta puede ser el precio de mercado si el bono se vende o el precio de rescate si el bono se rescata. Ambas medidas de rendimiento —al vencimiento y al rescate (venta)— se siguen calculando sobre la hipótesis de que todos los pagos de cupones interinos se reinvierten al rendimiento calculado al vencimiento (al rescate). Consideremos el caso especial del bono de cupón cero. Recuerden que este es un bono que no da pagos de cupón interinos. Se compra a un descuento de su valor nominal. Al vencimiento, el inversor recibe el valor nominal completo. El rendimiento al vencimiento de este tipo de bono no está sujeto a la salvedad de que todos los pagos de cupón interinos se reinviertan al rendimiento al vencimiento, ya que no hay pagos interinos para invertir. Si bien no existe el riesgo de reinversión asociado a los bonos de cupón cero, estos demuestran una sensibilidad extrema a la tasa de interés. Es decir, las oscilaciones más pequeñas en los rendimientos de mercado generan grandes oscilaciones en los precios de los bonos de cupón cero.

Retorno total

El cálculo del retorno total otorga una sofisticación mayor que el cálculo del rendimiento ya que exige una especificación no sólo del precio de venta (rescate) proyectado del bono, sino también las tasas de interés a las que se reinvertirán todos los pagos de cupón interinos. Si bien existe un nivel agregado de complejidad, este calculo puede resultar especialmente importante para los pequeños bancos o los inversores individuales ya que estos generalmente depositan los pagos de cupón que reciben a una tasa del mercado monetario. Es probable que esta tasa sea inferior al rendimiento al vencimiento estimado del bono. Hay cuatro pasos en el cálculo del retorno total: Paso 1 – Calcular el FVc, el valor futuro de todos los pagos de cupón. Este cálculo requiere el monto y timing específico de todos los pagos de cupón y el interés ganado como resultado de su reinversión hasta el final del período de tenencia. Utilice la siguiente fórmula para el valor futuro de una anualidad, que le permite especificar la tasa de reinversión esperada a la que se reinvertirán los pagos de cupón interinos.

(3-10) ( )

−+=

2/1)2/1(2/

2

iiCFV

n

c

donde C es el monto de cupón anual, i es la tasa de reinversión anual, y n es la cantidad de años que se mantiene la inversión. Para este análisis, supondremos que todos los pagos de cupón se reinvierten a la misma tasa de interés. Sería una extensión relativamente simple calcular el FVc donde las tasas del mercado monetario cambian con el paso del tiempo y cada pago de cupón se reinvierte a una tasa diferente.



Institutodel

Riesgo Financiero

Paso 2 – Especificar PmT, el precio de venta o de rescate proyectado del bono al final del período de

tenencia. Utilice la ecuación (2), sustituyendo PmT por Pm. Si el bono se vende, esta venta requerirá un

estimado del rendimiento al vencimiento, , iy, mínimo para los inversores potenciales. Este rendimiento al vencimiento será una función de las tasas de interés vigentes en el mercado. El precio de venta proyectado será igual al valor actual de los flujos de fondos restantes descontado de este rendimiento al vencimiento estimado. Si por el contrario, el bono se rescata, el precio de rescate será conocido. Paso 3 – Agregar los valores futuros calculados en los pasos 1 y 2. Esta suma, el FVtotal, representa la cantidad de dólares futura total que se espera al final del período de tenencia. (3-11) mTctotal PFVFV += Paso 4 – Calcular el retorno total utilizando la siguiente fórmula. (3-12) ( )[ ]( ){ }1/2 2/1 −= n

ptotal PFVTR donde FVtotal es la cantidad de dólares totales futuros esperada al final del período de tenencia, Pm

0 es el precio de compra del bono, y n es la cantidad de años de la inversión. El valor entre {} equivale al retorno semestral. Si se multiplica por 2 se obtiene el rendimiento anual equivalente al bono. Básicamente, lo que estamos haciendo es calcular el valor futuro en dólares resultante de los pagos de cupón, los intereses ganados por la reinversión de los pagos de cupón, y toda ganancia o pérdida de capital realizada durante el período de tenencia. Dado este valor futuro, calculamos el retorno compuesto, o geométrico, entre la fecha de compra y el final del período de tenencia. Ahora, utilicemos estos cuatro pasos para calcular el retorno total de los tres bonos. Veremos el impacto en el retorno del inversor, resultante de las diferentes tasas de reinversión del cupón y las ganancias y pérdidas de capital asociadas a la venta de las tenencias antes de su vencimiento. Debido a que las tasas de interés futuras afectan tanto el valor futuro de los pagos de cupón reinvertidos como el precio de venta de los bonos, necesitaremos especificar cuáles serán estas tasas. Para hacerlo simple, consideremos tres ejemplos de tasa de interés: sin cambio, un shock de -200pb y un shock de +200pb. Estos shocks suponen que las tasas de interés suben (bajan) el día después de que se compraron los bonos y se mantienen en esos niveles hasta que se venden o rescatan los bonos. En el Paso 1 calculamos el valor futuro de todos los pagos de cupón incluyendo los intereses ganados sobre la reinversión de dichos pagos. Utilizando la fórmula del Paso 1, la tabla 3-5 nos da los resultados de estos cálculos para los tres ejemplos de tasa. Supongamos que todos los pagos de cupón de cada uno de los bonos se reinvierten a una tasa del mercado monetario de 2,00% por debajo del rendimiento al vencimiento de un bono no rescatable. Así, en el caso de las tasas fijas, la tasa de reinversión, i, es 4,00%. En el caso del shock de -200pb, la tasa de reinversión es 6,00%. Y en el caso del shock de +200pb, la tasa de reinversión es 2,00%.

Cupón Tasa fija + 200pb -200pb Bono 1 6,00% 12,36 12,55 12,18



Institutodel

Riesgo Financiero

Bono2 6,75% 13,91 14,12 13,70 Bono 3 8,00% 16,49 16,73 16,24

Tabla 3-5 Valor futuro de los pagos de cupón Observe que cuando las tasas de interés suben, el valor futuro de los pagos de cupón es mayor porque mayores son las tasas de reinversión que se aplican a los pagos de cupón interinos. Lo contrario sucede cuando las tasas de reinversión menores se aplican al bajar las tasas. En el Paso 2 el inversor debe especificar los precios de venta (rescate) del bono al final del período de tenencia. Este paso se complicado porque si el bono se vende, el inversor debe hacer alguna suposición en cuanto al rendimiento futuro mínimo al vencimiento. Esta es una razón por la que hemos especificado tres ejemplos de tasas de interés diferentes. Evaluando estos tres ejemplos tendremos una idea del riesgo que enfrenta el inversor como resultado de tasas de interés futuras inciertas. Suponemos que las diferencias de crédito permanecen sin cambio durante el período de tenencia y es de esperar que se mantengan sin cambio hasta el vencimiento del bono. Por lo tanto, el rendimiento al vencimiento mínimo será el mismo para cada uno de los bonos, así como lo fue al comienzo del período de tenencia, ajustado por las oscilaciones en las tasas del mercado. Por ejemplo, el rendimiento al vencimiento mínimo al final del período de tenencia para el Bono 1 en el ejemplo de tasa fija será 6,00%. Para el mismo bono en el ejemplo del shock de +200pb, el rendimiento mínimo al vencimiento será 8,00%. La tabla 3-6 contiene los precios estimados para cada uno de los tres bonos en los tres ejemplos de tasa de interés.

Cupón Tasas fijas + 200pb -200pb Bono 1 6,00% 100,00 94,76 105,60 Bono 2 6,75% 98,75 94,82 102,00 Bono 3 8,00% 102,00 98,06 102,00

Tabla 3-6 Precios estimados de los bonos al final del período de tenencia En el caso del bono no rescatable, dado un rendimiento estimado al vencimiento para cada uno de los tres ejemplos de tasas, calcular el precio de venta surge de la aplicación directa de la ecuación 3-9. En el caso de los bonos rescatables, primero tenemos que determinar si la opción de rescate se ejercerá al final del período de tenencia. (Recuerde que los bonos no se pueden rescatar sino hasta pasados dos años.) Podemos determinar cuándo se ejercerá la opción de rescate al final del período de tenencia a través del siguiente proceso. Primero, usamos la ecuación 3-9 para determinar el precio de mercado estimado para cada uno de los bonos rescatables utilizando el rendimiento al vencimiento mínimo del bono rescatable de cada ejemplo de tasa. En otras palabras, calcular el precio de mercado tomando a cada bono como si fuera no rescatable. Segundo, comparamos el precio de mercado estimado con el precio de rescate (es decir, U$S102,00 por cada uno de los bonos). Si el precio de mercado estimado es mayor al precio de rescate, el bono se rescata. El bono se rescataría porque la empresa emisora podría emitir un bono similar no rescatable a una



Institutodel

Riesgo Financiero

tasa inferior, reduciendo así su costo de endeudamiento. Este es el caso del Bono 2 en el ejemplo del shock de –200pb y del Bono 3 tanto respecto de la tasa sin cambio y del shock de –200pb. En cada uno de estos casos, consecuentemente el inversor realizará el precio de U$S102,00 (el precio de rescate) al final del período de tenencia. Cuando la opción de rescate no ha de ejercerse al final del período de tenencia, la fijación del precio del bono requiere del uso de un modelo de fijación de precio de opciones. Este paso requiere el cálculo de la estructura de plazo de las tasas de interés, tema que no está dentro del alcance de esta sección. Para este análisis, los precios de los bonos rescatables son estimados.2 En los ejemplos de +200pb, se supone que los valores de las opciones de rescate es cero. Esta suposición se debe a que el precio de ejercicio de las opciones será superior al precio de mercado (out of the money), y por lo tanto tendrán poco valor. En realidad, los precios de los Bonos 2 y 3 serán levemente inferiores a lo que se estipula en la tabla 3-6. Antes de que venzan los bonos, hay probablilidades de que las tasas caigan lo suficiente como para que los bonos sean rescatados. En el caso del Bono 2 a tasa sin cambio, la opción de rescate decididamente tendrá algún valor ya que no está demasiado out of the money. Si la opción de rescate no tuviera ningún valor, el precio del bono sería U$S100,00. A los fines ilustrativos, supondremos que el precio del bono es U$S98,75. En el Paso 3 debemos agregar el valor futuro de los cupones (tabla 3-5) al precio esperado de los bonos (tabla 3-6). La tabla 3-7 tiene estos valores.

Cupón Tasas fijas + 200pb -200pb Bono 1 6,00% 112,36 107,31 117,78 Bono 2 6,75% 112,66 108,94 115,70 Bono 3 8,00% 118,49 114,79 118,24

Tabla 3-7 Valor futuro esperado de los flujos de fondos más el precio del bono esperado al final del período de tenencia Finalmente, en el Paso 4 calculamos el retorno geométrico para el período de tenencia aplicando la ecuación 3-12. Para cada uno de los bonos, n es 2 años. Los valores para Pm

0, el precio de rescate del bono, se encuentran en la tabla 3-2. Los valores de FVtotal, la cantidad futura de dólares al final del período de tenencia se encuentran en la tabla 3-7. Los retornos totales calculados se proveen en la tabla 3-8.

Cupón Tasas fijas + 200pb -200pb Bono 1 6,00% 5,91%3 3,56% 8,35% Bono 2 6,75% 6,05% 4,33% 7,43%

2 Los modelos de fijación de precio de opciones son tema de una sección posterior. 3 Usted seguramente tenía esperanzas de que el retorno total del Bono 1 habría sido 6,00% si las tasas de interés se hubieran mantenido sin cambio. Recuerde que hemos supuesto una tasa de reinversión del cupón de 2,00% por debajo del rendimiento al vencimiento. Por lo tanto, si las tasas se hubieran mantenido sin cambio, el valor futuro de los pagos de cupón se habría calculado utilizando una tasa de reinversión de sólo 4,00%, lo cual resulta en un retorno total de 5,91%. Si se hubiera utilizado una tasa de reinversión de 6,00%, el retorno total en el ejemplo de tasa sin cambio habría sido de 6,00%.



Institutodel

Riesgo Financiero

Bono 3 8,00% 6,02% 4,40% 5,91% Tabla 3-8 Retornos estimados totales para cada bono A partir de los retornos estimados, vemos que la elección del inversor de invertir en un bono depende de las expectativas respecto del nivel de tasas de interés para el período de tenencia. Estas tasas afectan directamente el valor futuro de los pagos de cupón interinos así como también el precio esperado del bono al final del período de tenencia. Ambos valores son críticos para el cálculo del retorno total. Deberá notar que el cálculo tanto del rendimiento corriente como del rendimiento al vencimiento no necesitaban que se especificaran las tasas de interés para el período de tenencia. Al calcular estas medidas de rendimiento está implícita la suposición de estas tasas futuras. Sólo la medida de retorno total da al inversor la capacidad para especificar explícitamente cuáles pueden ser estos valores. Más importante aun, la medida de retorno total obliga al inversor a darse cuenta de que su verdadero retorno estará en función del nivel de las tasas de interés durante el período de tenencia. Podemos observar que los retornos de la tabla 3-8 tienen sentido. Los retornos del Bono 1 son directos. Si las tasas de interés suben durante el período de tenencia debido a que realizamos una pérdida de capital al vender el bono, nuestro retorno total es menor que cuando las tasas permanecen sin cambio o bajan. De modo similar, si las tasas de interés caen durante el período de tenencia, realizaremos una ganancia de capital cuando se venda el bono, incrementando así el retorno total. En el caso del Bono 2, si las tasas de interés suben, realizaremos un retorno inferior en comparación a aquel realizado en el ejemplo de tasas sin cambio, sin embargo, mayor al del Bono 1. Esta diferencia se debe a pagos de cupón mayores recibidos4. Sin embargo, si las tasas de interés caen, el retorno realizado será menor que el del Bono 1. Este retorno bajo resulta principalmente de que el bono se rescata al final del período de tenencia. El precio recibido, U$S102,00, es menor que el valor de mercado de un bono similar no rescatable. Finalmente, si las tasas suben el retorno del Bono 3 será el más alto de los tres porque es el que tiene los pagos de cupón más altos.5 Sin embargo, si las tasas caen su retorno total será el más bajo de los tres porque el precio de rescate de U$S102,00 es significativamente inferior al precio que se realizaría con un bono similar no rescatable. Reveamos las elecciones de compra que se hubieran hecho utilizando cada una de las tres mediciones de rendimiento. Volviendo a la tabla 3-3, la medida de rendimiento corriente nos dice que el “mejor” bono es el Bono 3. La tabla 3-4 nos dice que por la medida de rendimiento al vencimiento nos resulta lo mismo comprar los Bonos 2 y 3. Finalmente, de la tabla 3-8 surge que por retorno total el “mejor” bono es diferente en cada uno de los ejemplos de tasa de interés. Debido a que el cálculo del retorno total requiere de un pronóstico de las tasas de interés para el período de tenencia, nuestro estimado de retorno, y de allí nuestra elección del “mejor” bono, depende del panorama de las tasas de interés.

4 Si piensa en términos de duración, el Bono 2, con un cupón mayor, tendrá una duración menor que el Bono 1. Por lo tanto, el Bono 1 demostrará una mayor sensibilidad del precio a una determinada variación en las tasas de interés. 5 Nuevamente, el Bono 3 tendrá una duración menor aun que el Bono 2.



Institutodel

Riesgo Financiero

SENSIBILIDAD DEL PRECIO Luego del repaso de las últimas dos secciones, ahora debería estar claro que el precio de un bono y el rendimiento al vencimiento se relacionan inversamente. En esta sección, desarrollaremos varias medidas de la sensibilidad del precio del bono a las oscilaciones en el rendimiento. Como verán, el bono tiene numerosas características que afectarán la sensibilidad de su precio. Por ejemplo, los bonos con cupones bajos demuestran una mayor sensibilidad del precio que los bonos de cupón alto. Tradicionalmente, los analistas han empleado alguna medida de sensibilidad de precio, como ser el plazo al vencimiento o la vida útil ponderada, pero la mayoría, en el mejor de los casos, ha resultado cruda. En vez de detenernos en estas medidas, saltaremos directamente a las técnicas de medición actuales. En esta sección, demostraremos las cuatro propiedades siguientes de los bonos libres de opciones:

Dado una oscilación específica en el rendimiento, el porcentaje de oscilación en el precio no es el mismo para todos los bonos

Ante una oscilación pequeña en el rendimiento, el porcentaje de oscilación en el precio de un bono es aproximadamente el mismo ya sea para un aumento o una caída en el rendimiento

Ante una oscilación importante en el rendimiento, el porcentaje de oscilación en el precio de un bono no es el mismo para un aumento en el rendimiento que para una caída en el rendimiento

Para una determinada oscilación en el rendimiento en puntos básicos, el porcentaje de aumento en el precio es mayor que el porcentaje de caída en el precio

Es conveniente tener estas propiedades en mente al analizar las medidas de sensibilidad. En este análisis, compararemos las sensibilidades de precio de los seis bonos diferentes de la tabla 3-9.

Cupón Vencimiento Bono 1 9,0% 5 años Bono 2 9,0% 25 años Bono 3 6,0% 5 años Bono 4 6,0% 25 años Bono 5 0,0% 5 años Bono 6 0,0% 25 años

Tabla 3-9 Descripción de los bonos La tabla 3-10 brinda los precios de estos seis bonos dada una cantidad de diferentes rendimientos mínimos al vencimiento.



Institutodel

Riesgo Financiero

Precio al rendimiento mínimo

Rendimiento

mínimo

9,0% 5 años

9,0% 25 años

6,0% 5 años

6,0% 25 años

0,0% 5 años

0,0% 25 años

6,00% 112,7953 138,5946 100,0000 100,0000 74,4094 22,8107 7,00% 108,3166 123,4556 95,8417 88,2722 70,8919 17,9053 8,00% 104,0554 110,7410 91,8891 78,5178 67,5564 14,0713 8,50% 102,0027 105,1482 89,9864 74,2587 65,9537 12,4795 8,90% 100,3966 100,9961 88,4983 71,1105 64,7017 11,3391 8,99% 100,0395 100,0988 88,1676 70,4318 64,4236 11,0975 9,00% 100,0000 100,0000 88,1309 70,3570 64,3928 11,0710 9,01% 99,9604 99,9013 88,0943 70,2824 64,3620 11,0445 9,10% 99,6053 99,0199 87,7654 69,6164 64,0855 10,8093 9,50% 98,0456 95,2539 86,3214 66,7773 62,8723 9,8242 10,00% 96,1391 90,8720 84,5565 63,4881 61,3913 8,7204 11,00% 92,4624 83,0685 81,1559 57,6712 58,5431 6,8767 12,00% 88,9599 76,3572 77,9197 52,7144 55,8395 5,4288

Tabla 3-10 Relaciones precio-rendimiento La tabla 3-11 brinda los porcentajes de oscilación en el precio para las oscilaciones en el rendimiento dado un rendimiento mínimo inicial de 9,00%. Repasemos las cuatro propiedades que se enumeran al comienzo de esta sección. La propiedad 1 dice que el porcentaje de oscilación en el precio para una determinada oscilación en el rendimiento no es el mismo para todos los bonos. Ustedes deberán poder observar que el plazo al vencimiento y la magnitud del cupón son significativos para determinar el grado de sensibilidad del precio. En particular, los bonos con vencimiento a más largo plazo muestran una mayor sensibilidad de precio para una determinada oscilación en el rendimiento en relación a los bonos con vencimiento a menor plazo, si todas las demás variables se mantienen constantes. De manera similar, los bonos de cupón más bajo muestran una mayor sensibilidad del precio para una determinada oscilación en el rendimiento al vencimiento en comparación con los bonos de cupón más alto. Comparemos el bono a 5 años al 9,0% y el bono a 25 años al 9,0% que figuran en las columnas 3 y 4 de la tabla 3-11. Para un aumento en el rendimiento mínimo de 9,0% a 10,0%, el porcentaje de oscilación en el precio para el bono a 5 años es -3,86%. Para el bono a 25 años, el porcentaje de oscilación en el precio es de -9,13%. Observando el resto de la tabla, usted podrá ver que la mayor sensibilidad de precio para los bonos con vencimiento a más largo plazo también se cumple ante las disminuciones en el rendimiento mínimo. La propiedad 2 dice que ante una oscilación pequeña en el rendimiento, el porcentaje de oscilación en el precio de un bono es aproximadamente el mismo ya sea para un aumento o una caída en el rendimiento. Para cada uno de los seis bono de la tabla 3-11, vemos que ante un incremento o reducción en el



Institutodel

Riesgo Financiero

rendimiento mínimo de 1pb, el porcentaje de oscilación en el precio es el mismo. Para oscilaciones levemente mayores en el rendimiento mínimo, por ejemplo, 10pb, el porcentaje de oscilación en precio es casi idéntico. A medida que aumenta la oscilación del rendimiento mínimo, aumenta la diferencia entre el porcentaje de incremento en el precio y el porcentaje de reducción en el precio. La propiedad 3 dice que para grandes oscilaciones en el rendimiento, el porcentaje de oscilación en el precio para un bono no es el mismo para un incremento en el rendimiento que para una reducción en el rendimiento. La propiedad 4 es más específica al respecto, para una determinada oscilación en el rendimiento (expresada en puntos básicos), el porcentaje de incremento de precio que resulta de una caída en el rendimiento será mayor que la caída correspondiente en el precio que resulta de un aumento en el rendimiento. Podemos observar que estas propiedades se cumplen al ver que todos los porcentajes de oscilación de precio que se producen en el primera mitad de la tabla 3-11

Porcentaje de oscilación en el precio

El

rendimiento (%) oscila a:

Oscilación en puntos

básicos

9,0% 5 años

9,0%

25 años

6,0% 5 años

6,0%

25 años

0,0% 5 años

0,0%

25 años 6,00% -300 12,80 38,59 13,47 42,13 15,56 106,04 7,00% -200 8,32 23,46 8,75 25,46 10,09 61,73 8,00% -100 4,06 10,74 4,26 11,60 4,91 27,10 8,50% -50 2,00 5,15 2,11 5,55 2,42 12,72 8,90% -10 0,40 1,00 0,42 1,07 0,48 2,42 8,99% -1 0,04 0,10 0,04 0,11 0,05 0,24 9,00% - - - - - - - 9,01% 1 -0,04 -0,10 -0,04 -0,11 -0,05 -0,24 9,10% 10 -0,39 -0,98 -0,41 -1,05 -0,48 -2,36 9,50% 50 -1,95 -4,75 -2,05 -5,09 -2,36 -11,26 10,00% 100 -3,86 -9,13 -4,06 -9,76 -4,66 -21,23 11,00% 200 -7,54 -16,93 -7,91 -18,03 -9,08 -37,89 12,00% 300 -11,04 -23,64 -11,59 -25,08 -13,28 -50,96

Tabla 3-11 Porcentaje de oscilación de precio para diversos rendimientos mínimos (correspondientes a aumentos de precio) son mayores que sus valores correspondientes en la mitad inferior de la tabla (correspondientes a disminuciones de precio). Ahora que comprendemos algunas de las características de los bonos, que afectan la sensibilidad de su precio, desarrollaremos medidas particulares que intentan cuantificar esta sensibilidad. Analizaremos cuatro de dichas medidas en esta sección.

Valor de Precio de un Punto básico Duración Macaulay Duración Modificada



Institutodel

Riesgo Financiero

Convexidad

Valor precio de un punto básico (PV01)

El valor precio de un punto básico (PV01), o valor dólar de un punto básico (DV01), es la oscilación de precio resultante de una oscilación en el rendimiento mínimo de 1 punto básico (pb). En general, el PV01 de un bono es el mismo ya sea para un aumento o una reducción en el rendimiento mínimo. En referencia a la tabla 3-10, partiendo de un rendimiento mínimo de 9,00%, podemos calcular la oscilación de precio resultante de una oscilación de 1 pb en el rendimiento mínimo para cada uno de los seis bonos de la tabla 3-9. Los PV01s se encuentran en la tabla 3-12. Se debería poder demostrar que para una baja en el rendimiento a 8,99%, el PV01 calculado sería aproximadamente el mismo. Dividiendo el PV01 por el precio del bono, se obtiene el porcentaje de oscilación en el precio resultante de una oscilación en el rendimiento de 1 pb. Esto demuestra nuevamente la segunda propiedad de los bonos libres de opciones que se enumera al comienzo de esta sección.

Precio inicial Precio a 9,01% PV01 9,00%/5 años 100,00 99,9604 0,0396 9,00%/25 años 100,00 99,9013 0,0987 6,00%/5 años 88,1309 88,0945 0,0364 6,00%/25 años 70,3570 70,2824 0,0746 0,00%/5 años 64,3928 64,3620 0,0308 0,00%/25 años 11,0710 11,0445 0,0265

Tabla 3-12 Cálculo del PV01

Duración Macaulay6

Frederick Macaulay desarrolló una medida para la longitud de tiempo promedio que una inversión en bonos está en circulación. A esta medida le dio el nombre de duración. La formula de duración Macaulay es

(3-13) P

iCFt

D

n

ttt

Mac

∑= +

⋅

= 1 )1(

CFt es el flujo de fondos periódico, i es el rendimiento al vencimiento mínimo y P es el precio del bono. n es el número de pagos de cupón, es decir 2 veces el número de años para un bono de cupón semestral. Observe que la fórmula de duración Macaulay tiene una unidad de medida igual a la periodicidad de los pagos de cupón. Por ejemplo, si el instrumento tiene pagos de cupón anuales, la unidad de medida es

6 Frederick Macaulay, Some Theoretical Problems Suggested by the Movement of Interest Rates, Bond Yields, and Stock Prices in the U.S. since 1856 (New York: National Bureau of Economic Research, 1938). (Algunos problemas teóricos sugeridos por el movimiento en las tasas de interés, los rendimientos de los bonos y los precios de las acciones en EE.UU. desde 1856, Nueva York: Instituto Nacional de Investigación Económica, 1938).



Institutodel

Riesgo Financiero

años. Si el instrumento tiene pagos de cupón semestrales, la unidad de medida es medio año. En este caso, a fin de que las unidades se expresen en años, dividir el valor calculado por 2.

Duración modificada

Sería ideal contar con una medida de sensibilidad de precio del bono que relacione las oscilaciones de precio de un bono con las oscilaciones en los rendimientos mínimos. Resulta que con una pequeña modificación a la fórmula de duración Macaulay, podemos llegar precisamente a esta medida.7 Todo lo que tenemos que hacer es dividir la duración Macaulay por (1+i) (o multiplicar por el recíproco), donde i es la tasa de interés periódica, por ejemplo, respecto de los bonos de cupón anual, i equivale a la tasa de cupón; pero para los bonos de cupón semestral, i equivale a la mitad de la tasa del cupón. Así, la duración modificada resulta en la siguiente fórmula:

(3-14)

+⋅

+=

∑=

Pi

CFt

iD

n

ttt

Mod1 )1(

)1(1

.

La duración modificada se utiliza para calcular el porcentaje de oscilación aproximado8 del precio para una determinada oscilación en el rendimiento, di, de la siguiente manera: (3-15) diDP Mod ⋅−=∆% . La tabla 3-13 brinda todos los cálculos necesarios para computar tanto la duración Macaulay como la modificada del bono a 5 años de cupón 9,00%, valuada para un rendimiento del 9,00%. Todos los cálculos están hechos sobre la base de un valor nominal de U$S100,00.

Período, t

CFt PV de U$S1 a 4,5% PV de CFt t x PV de CFt

1 U$S4,50 0,9569 4,3062 4,3062 2 U$S4,50 0,9157 4,1208 8,2416 3 U$S4,50 0,8763 3,9433 11,8300 4 U$S4,50 0,8386 3,7735 15,0941 5 U$S4,50 0,8025 3,6110 18,0551 6 U$S4,50 0,7679 3,4555 20,7332 7 U$S4,50 0,7348 3,3067 23,1471 8 U$S4,50 0,7032 3,1643 25,3147 9 U$S4,50 0,6729 3,0281 27,2526 10 U$S104, 0,6439 67,2904 672,9044

7 Ver derivación matemática de duración modificada en el Apéndice 3A. 8 El cálculo es una aproximación porque la Duración Modificada se calcula tomando el primer derivado de la ecuación de precio de un bono. Esto equivale a estimar la pendiente de la curva P-i, y para un bono, esta curva es convexa. Por lo tanto, el estimado de la pendiente sólo tiene precisión en el caso de oscilaciones muy pequeñas en el rendimiento mínimo, i.



Institutodel

Riesgo Financiero

50 Suma: 100.00 826.8790

Tabla 3-13 Cálculos de la duración Macaulay y la duración modificada de un bono a 5 años con cupón 9,00% que se vende a un rendimiento del 9,00%

MacD (expresado en períodos semestrales) = 826.88/100.00 = 8.27

MacD (expresado en períodos anuales) = 8.27/2 = 4.139

ModD = 4.13/(1+0.045) = 3.96.10 Observando la ecuación 3-15, podemos ver que la duración modificada nos brinda una medida del porcentaje aproximado de oscilación en el precio para una oscilación de un punto porcentual (100pb) en el rendimiento mínimo. La tabla 3-14 presenta la duración Macaulay y modificada para cada uno de los seis bonos de la tabla 3-9. La siguiente es una lista de las principales propiedades de la duración:

La duración Macaulay de un cupón cero es equivalente a su plazo al vencimiento. La duración Macaulay de un bono con pagos de cupón es siempre inferior a su plazo al

vencimiento. Existe una relación inversa entre el cupón y la duración. Generalmente existe una relación positiva entre el plazo al vencimiento y la duración Macaulay.

(La duración de los bonos con vencimiento a largo plazo, que se venden a un profundo descuento, en un determinado punto comienza a reducirse.)

Existe una relación inversa entre el rendimiento al vencimiento y la duración.

DMac DMod 9,00%/5 años 4,13 3,96 9,00%/25 años 10,33 9,88 6,00%/5 años 4,35 4,16 6,00%/25 años 11,10 10,62 0,00%/5 años 5,00 4,78 0,00%/25 años 25,00 23,92

Tabla 3-14 Duraciones Macaulay y modificada de 6 bonos con precio para un rendimiento mínimo del 9,00%

9 Recuerde que el bono paga un cupón semestral. Por lo tanto, la unidad de medida para un período es de seis meses. Para anualizar la duración calculada, necesitamos dividir el resultado por 2. 10 Un error común consiste en interpretar la duración modificada como medida de la vida promedio ponderada de un instrumento. Esto se debe a la interpretación original de la duración. Por ejemplo, hay ciertas clases de obligaciones garantizadas con hipoteca (CMO) con duraciones superiores a los 30 años aun cuando los activos subyacentes son hipotecas a 30 años. Se deberá considerar la duración modificada como una medida de la sensibilidad del precio de un instrumento para una determinada oscilación en los rendimientos mínimos.



Institutodel

Riesgo Financiero

Basándose en los datos de la tabla 3-14, se podrá observar que las primeras cuatro propiedades son obvias. La última propiedad se puede observar refiriéndose a la figura 3-1. Ante rendimientos al vencimiento menores, la pendiente de la línea P-i es muy empinada. Por lo tanto, a estos niveles de rendimiento menores, ante una oscilación en el rendimiento mínimo, mayor será la oscilación de precio correspondiente. La tabla 3-15 brinda la duración modificada de un bono a 25 años, cupón 9,00%, a diversos niveles de rendimiento al vencimiento. Queda clara la relación inversa entre el rendimiento al vencimiento y la duración modificada.

Rendimiento (%)

DMod

7,00% 11,21 8,00% 10,53 9,00% 9,88

10,00% 9,27 11,00% 8,70 12,00% 8,16 13,00% 7,66 14,00% 7,21

Tabla 3-15 Duración modificada de un bono a 25 años, cupón 9,00% a diversos niveles de rendimiento Ahora que tenemos esta medida de sensibilidad de precio, nuestro próximo paso será comparar las oscilaciones reales de precio (expresadas en porcentaje de oscilación) para los seis bonos de la tabla 3-9 con la oscilación prevista utilizando la duración modificada. Para obtener las oscilaciones reales de precio ante las diversas oscilaciones en los niveles de rendimiento mínimo de los seis bonos, nos debemos referir a la tabla 3-11. Utilizando la duración modificada, aplicaremos la ecuación 3-15, que se repite a continuación: (3-15) diDP Mod ⋅−=∆% . Comencemos con el bono a 5 años, de 9,00% valuado a un rendimiento del 9,00%. Tiene una duración modificada de 3,96. Por lo tanto, la oscilación de precio prevista que resulta de un incremento en el rendimiento mínimo de 100 pb (de 9,00% a 10,00%) se calcula de la siguiente manera:

%.96.30396.01.096.3% −=−=⋅−=⋅−=∆ diDP Mod Refiriéndonos a la tabla 3-11, vemos que la variación real del precio es sólo de –3,86%. Por lo tanto, utilizando la duración modificada, hemos sobreestimado levemente la reducción del precio, resultante de un incremento en el rendimiento mínimo. Para el mismo bono, si se proyectara que los niveles de rendimiento mínimo fueran a caer 100 pb (de 9,00% a 8,00%), utilizando la duración modificada, podríamos predecir un incremento en el precio de



Institutodel

Riesgo Financiero

3,96%. Refiriéndonos a la tabla 3-11, vemos que el precio real sube un 4,06%. En este caso, utilizando la duración modificada, hemos subestimado levemente el incremento de precio, resultante de una caída en el rendimiento mínimo. En cada uno de los estimados anteriores, el error absoluto es 10 pb. En el caso de los incrementos en el rendimiento, sobreestimamos la reducción de precio, pero en el caso de las reducciones de rendimiento, subestimamos el incremento de precio: podríamos referirnos a estos como estimados conservadores. Para el mismo bono, veamos la comparación para oscilaciones aun mayores en el rendimiento mínimo. Para un incremento de 200pb en el rendimiento mínimo, utilizando la duración modificada, anticiparíamos que el precio del bono caería un 7,92%. La tabla 3-11 indica que la oscilación real del precio es una reducción de sólo 7,54%. Para una reducción de 200 pb en el rendimiento mínimo, utilizando la duración modificada, anticiparíamos que el precio del bono subiría un 7,92%. La tabla 3-11 indica que la variación real del precio es un incremento del 8,32%. Para una oscilación de 200 pb en el rendimiento mínimo, el error absoluto promedio es de 39 pb. Nuevamente, observe que hemos sobreestimado la reducción del precio y subestimado el incremento del precio. La tabla 3-16 brinda las oscilaciones de precio previstas para cada uno de los seis bonos utilizando la duración modificada, calculada suponiendo que cada bono inicialmente está valuado para un rendimiento del 9,00%. La tabla 3-17 muestra los errores entre estos estimados y las verdaderas oscilaciones de precio dadas en la tabla 3-11. Observe que los errores reultantes de pequeñas oscilaciones en el rendimiento mínimo son relativamente insignificantes. Sin embargo, ante oscilaciones mayores en el rendimiento mínimo el error de estimación es más significativo. También deberá notar otros dos hechos interesantes que generalmente se cumplen. Cuando se comparan dos bonos con vencimiento similar, el error de estimación será mayor para los bonos de cupón más bajo. De manera similar, para dos bonos con tasas de cupón similar, el error de estimación será mayor para los bonos con vencimiento a más largo plazo. A esta altura, usted verá que tenemos una manera de estimar la sensibilidad del precio de un bono respecto de las oscilaciones en el rendimiento al vencimiento mínimo. También observamos que en el proceso hay margen de error. Dada la naturaleza sistemática de este error, uno se pregunta si es posible medirlo. Ya hemos notado que el origen del error surge del hecho de que la duración se calcula tomando el primer derivado de la función precio respecto del rendimiento. Simplemente estamos estimando una función de la curva. Dado que este es un estimado lineal de una función no lineal, debería resultar claro que el tamaño del error entre nuestro estimado y la variación real del precio es en función del grado de convexidad de la función precio. Esto confirmaría las observarciones que acabamos de hacer respecto de las características específicas de los bonos que conducen a mayores errores de estimación; tasas de cupón más bajas y mayores plazos al vencimiento.

Convexidad

Ahora que comprendemos el origen del error de estimación cuando utilizamos la duración modificada para calcular la sensibilidad del precio de un bono, necesitamos desarrollar una medida para la



Institutodel

Riesgo Financiero

convexidad de la función precio.11 Entonces, podremos combinar esta medida de convexidad con nuestro estimado de duración a fin de lograr un mejor estimado de la sensibilidad del precio del bono. La expresión para la convexidad de un bono es:

(3-16) P

ittCF

C

n

tt

t∑=

+++

= 12)1(

)1)((

.

Porcentaje estimado de variación de precio utilizando duración modificada

Variación de rendimiento

a: (%)

Variación en Puntos

básicos

9,0% 5 años

9,0%

25 años

6,0% 5 años

6,0%

25 años

0,0% 5 años

0,0%

25 años

6,00% -300 11,88 29,64 12,48 31,86 14,34 71,76 7,00% -200 7,92 19,76 8,32 21,24 9,56 47,84 8,00% -100 3,96 9,88 4,16 10,62 4,78 23,92 8,50% -50 1,98 4,94 2,08 5,31 2,39 11,96 8,90% -10 0,396 0,988 0,416 1,062 0,478 2,392 8,99% -1 0,0396 0,0988 0,0208 0,1062 0,0478 0,2392 9,00% - - - - - - - 9,01% 1 -0,0396 -0,0988 -0,0208 -0,1062 -0,0478 -0,2392 9,10% 10 -0,396 -0,988 -0,416 -1,062 -0,478 -2,392 9,50% 50 -1,98 -4,94 -2,08 -5,31 -2,39 -11,96

10,00% 100 -3,96 -9,88 -4,16 -10,62 -4,78 -23,92 11,00% 200 -7,92 -19,76 -8,32 -21,24 -9,56 -47,84 12,00% 300 -11,88 -29,64 -12,48 -31,86 -14,34 -71,76

Tabla 3-16 Porcentaje estimado de variación de precio utilizando duración modificada

Error en el porcentaje estimado de variación de precio utilizando Duración Modificada

Variación de rendimiento

a: (%)

Variación en Puntos

básicos

9,0% 5 años

9,0%

25 años

6,0% 5 años

6,0%

25 años

0,0% 5 años

0,0%

25 años

6,00% -300 -0,920 -8,950 -0,990 -10,270 -1,220 -34,280 7,00% -200 -0,400 -3,700 -0,430 -4,220 -0,530 -13,890 8,00% -100 -0,100 -0,860 -0,100 -0,980 -0,130 -3,180

11 Ver derivación matemática de convexidad en el Apéndice 3A.



Institutodel

Riesgo Financiero

8,50% -50 -0,020 -0,210 -0,030 -0,240 -0,030 -0,760 8,90% -10 -0,004 -0,012 -0,004 -0,008 -0,002 -0,028 8,99% -1 0,000 -0,001 -0,019 -0,004 -0,002 -0,001 9,00% - - - - - - - 9,01% 1 0,000 0,001 0,019 0,004 0,002 0,001 9,10% 10 -0,006 -0,008 -0,006 -0,012 0,002 -0,032 9,50% 50 -0,030 -0,190 -0,030 -0,220 -0,030 -0,700 10,00% 100 -0,100 -0,750 -0,100 -0,860 -0,120 -2,690 11,00% 200 -0,380 -2,830 -0,410 -3,210 -0,480 -9,950 12,00% 300 -0,840 -6,000 -0,890 -6,780 -1,060 -20,800

Table 3-17 Error en el porcentaje estimado de variación de precio utilizando duración modificada

Podemos calcular el porcentaje de variación aproximado en el precio para una variación determinada en el rendimiento, di, debido a la convexidad, de la siguiente manera:

(3-17) ( )221% diCP ⋅=∆ .

La tabla 3-18 contiene todos los cálculos necesarios para computar la convexidad de un bono a 5 años de cupón al 9,00% valuado para un rendimiento del 9,00%. Todos los cálculos están hechos sobre la base de un valor nominal de U$S100,00.

Período, t CFt 1/(1.045)t+2 CFt(t)(t+1) t x (t+1) x PV del CFt

1 U$S4,50 0,8763 9 7,8862 U$S4,50 0,8386 27 22,6413 U$S4,50 0,8025 54 43,3324 U$S4,50 0,7679 90 69,1105 U$S4,50 0,7348 135 99,2016 U$S4,50 0,7032 189 132,9017 U$S4,50 0,6729 252 169,5718 U$S4,50 0,6439 324 208,6329 U$S4,50 0,6162 405 249,56010 U$S104,50 0,5897 11.495 6.778,186

Suma: 7.781,020 Tabla 3-18 Cálculos de convexidad de un bono a 5 años cupón 9,00% vendido para un rendimiento del 9,00% Convexidad (expresada en períodos semestrales) = 7.781,02/100,00 = 77,8102 Convexidad (expresada en períodos anuales) = 77,8102/4 = 19,452612 12 La convexidad se mide en términos de períodos al cuadrado. Para anualizar, hay que dividir por 4 (dos períodos semestrales al cuadrado).



Institutodel

Riesgo Financiero

Mirando la ecuación 3-17, vemos que la convexidad nos da una medida del porcentaje de variación en el precio para una variación de 100pb de un rendimiento mínimo debido a la curvatura de la función P-i. La tabla 3-19 nos da la medida de convexidad para cada uno de los seis bono de la tabla 3-9.

C 9,00%/5 años 19,45 9,00%/25 años 160,72 6,00%/5 años 20,85 6,00%/25 años 182,92 0,00%/5 años 25,18 0,00%/25 años 583,78

Tabla 3-19 Convexidad de los 6 bonos valuados a un rendimiento mínimo del 9,00% El siguiente es un listado de las principales propiedades de la convexidad:

Existe una relación inversa entre el rendimiento mínimo y la convexidad. Para un determinado rendimiento y vencimiento, a menor cupón mayor convexidad del bono. Para un determinado rendimiento y duración modificada, a menor cupón menor convexidad.

La propiedad 1 se puede observar en la información de la tabla 3-20, que brinda los estimados de convexidad, a diversos niveles de rendimiento mínimo para un bono a 25 años cupón 9,00%. A aumentos en el rendimiento mínimo —si todo el resto permanece constante—, se reduce la convexidad. La propiedad 2 se puede observar volviendo atrás a la tabla 3-19. Mirando filas alternadas, podrá observar que, para un determinado plazo al vencimiento, a medida que se reduce la tasa del cupón, aumenta la convexidad. La propiedad 3 es un poco difícil de demostrar. De todas maneras, intuitivamente, indica que los bonos de cupón cero tienen la menor convexidad de todos para una determinada duración modificada.

Rendimiento (%)

C

7,00% 195,61 8,00% 177,52 9,00% 160,72

10,00% 145,23 11,00% 131,04 12,00% 118,14 13,00% 106,46 14,00% 95,94

Tabla 3-20 Convexidad de un bono a 25 años cupón 9,00% a diversos niveles de rendimiento

Combinación de la duración modificada y la convexidad para estimar la sensibilidad del precio de un bono

Ahora podemos juntar nuestras dos medidas de sensibilidad del precio del bono debido a la duración y la convexidad y realizar una mejor medida de sensibilidad del precio debido a las variaciones en el



Institutodel

Riesgo Financiero

rendimiento mínimo. La ecuación 3A-16, que se deriva en el Apéndice 3A, se reproduce aquí. Muestra cómo el porcentaje de variación en el precio de un bono se explica tanto con su duración como con su convexidad.

(3A-16) ( )2

21 diCdiD

PdP

Mod += .

La tabla 3-21 utiliza esta ecuación, junto con nuestos cálculos anteriores de duración y convexidad, a fin de estimar los porcentajes de variación de precio de los seis bonos de la tabla 3-9. La tabla 3-22 muestra el error entre estos estimados y las variaciones reales de precio de la tabla 3-11. Se podrá observar que utilizando la convexidad además de la duración modificada resulta en importantes mejoras en la sensibilidad estimada de los precios de la mayoría de los bonos. Solamente en el caso de bonos con cupones muy bajos y largos plazos al vencimiento persiste algún error de importancia. Es interesante tomar las lecciones anteriores y considerar el caso de emisiones de bonos en los países en vías de desarrollo. Si la inflación es relativamente alta, esta resultará en bonos con cupones altos. Si los mercados financieros también están plagados de inestabilidad debido a los frecuentes cambios en los regímenes políticos u otros factores, generalmente el vencimiento de los bonos tiende a ser muy corto. Dadas estas circunstancias, sabemos que la duración será suficiente como medida relativamente exacta de la sensibilidad del precio de un bono.

Porcentaje estimado de variación de precio utilizando duración modificada y convexidad Variación

del rendimiento

a: (%)

Variación en puntos

básicos

9,0% 5 años

9,0%

25 años

6,0% 5 años

6,0%

25 años

0,0% 5 años

0,0%

25 años

6,00% -300 12,76 36,87 13,42 40,09 15,47 98,03 7,00% -200 8,31 22,97 8,74 24,90 10,06 59,52 8,00% -100 4,06 10,68 4,26 11,53 4,91 26,84 8,50% -50 2,00 5,14 2,11 5,54 2,42 12,69 8,90% -10 0,40 1,00 0,42 1,07 0,48 2,42 8,99% -1 0,04 0,10 0,04 0,11 0,05 0,24 9,00% - - - - - - - 9,01% 1 -0,04 -0,10 -0,04 -0,11 -0,05 -0,24 9,10% 10 -0,40 -0,98 -0,41 -1,05 -0,48 -2,36 9,50% 50 -1,96 -4,74 -2,05 -5,08 -2,36 -11,23 10,00% 100 -3,86 -9,08 -4,06 -9,71 -4,65 -21,00 11,00% 200 -7,53 -16,55 -7,90 -17,58 -9,06 -36,16 12,00% 300 -11,00 -22,41 -11,54 -23,63 -13,21 -45,49

Tabla 3-21 Porcentaje estimado de variación de precio utilizando duración modificada y convexidad

Error en el porcentaje estimado de variación de precio utilizando duración modificada y convexidad



Institutodel

Riesgo Financiero

Variación del

rendimiento a: (%)

Variación en puntos

básicos

9,0% 5 años

9,0%

25 años

6,0% 5 años

6,0%

25 años

0,0% 5 años

0,0%

25 años

6,00% -300 -0,0448 -1,7176 -0,0518 -2,0386 -0,0869 -8,0099 7,00% -200 -0,0110 -0,4856 -0,0130 -0,5616 -0,0264 -2,2144 8,00% -100 -0,0027 -0,0564 0,0043 -0,0654 -0,0041 -0,2611 8,50% -50 0,0043 -0,0091 -0,0039 -0,0114 0,0015 -0,0303 8,90% -10 -0,0030 -0,0040 -0,0030 0,0011 -0,0007 0,0012 8,99% -1 -0,0004 -0,0011 0,0016 -0,0037 -0,0022 -0,0005 9,00% - - - - - - - 9,01% 1 0,0004 0,0013 -0,0016 0,0039 0,0022 0,0011 9,10% 10 -0,0050 0,0000 -0,0050 -0,0029 0,0033 -0,0028 9,50% 50 -0,0057 0,0109 -0,0039 0,0087 0,0015 0,0297 10,00% 100 -0,0028 0,0536 0,0042 0,0546 0,0059 0,2289 11,00% 200 0,0090 0,3844 0,0070 0,4484 0,0236 1,7256 12,00% 300 0,0352 1,2324 0,0482 1,4514 0,0731 5,4701

Table 3-22 Error en el porcentaje estimado de variación de precio utilizando duración modificada y convexidad



Institutodel

Riesgo Financiero

Puntos clave para recordar:

El precio de un bono libre de opción y su rendimiento al vencimiento se relacionan inversamente.

Cuando el rendimiento al vencimiento está por debajo de la tasa del cupón, el precio del bono estará por encima de su valor nominal, es decir, el bono se venderá a una prima.

Cuando el rendimiento al vencimiento está por encima de la tasa del cupón, el precio del bono estará por debajo de su valor nominal, es decir, el bono se venderá a descuento.

La relación precio-rendimiento de los bonos libres de opción es convexa.

El rendimiento corriente es la relación de una tasa de cupón anual respecto del precio corriente de mercado de un bono.

El cálculo del rendimiento corriente no toma en cuenta ganancias y pérdidas de capital así como tampoco la amortización de primas y descuentos del precio.

El rendimiento al vencimiento es la tasa de descuento que pone en ecuación a todos los flujos de fondos futuros con el precio corriente de mercado del bono.

El cálculo del rendimiento al vencimiento supone que todos los flujos de fondos interinos se reinvierten al rendimiento al vencimiento calculado.

El cálculo del rendimiento al vencimiento supone que el bono se mantiene en cartera hasta el vencimiento.

El cálculo de retorno total requiere que se especifiquen las tasas de reinversión de los flujos de fondos interinos así como también el precio de venta al final del período de tenencia.

Cuando las oscilaciones del rendimiento son pequeñas, el porcentaje de variación del precio del bono es simétrico.

En el caso de una determinada variación de rendimiento en puntos básicos, el porcentaje de incremento en el precio es mayor que el porcentaje de la reducción del precio.

Para un determinado vencimiento y rendimiento, a menor cupón, mayor volatilidad en el precio.

Para una determinada tasa de cupón y rendimiento, a vencimiento más a largo plazo, mayor volatilidad en el precio.

Para una determinada tasa de cupón y vencimiento, a menor rendimiento, mayor volatilidad en el precio.

La duración modificada es una medida del porcentaje aproximado de variación en el precio para una variación de 100 pb en el rendimiento mínimo.

La duración modificada es una buena medida del porcentaje aproximado de variación en el precio para pequeñas variaciones en el rendimiento.

La duración modificada brinda una medida de mayor precisión del porcentaje aproximado de variación en el precio para bonos de cupón alto y bonos con plazos de vencimiento cortos.

La convexidad se utiliza para explicar en la mayor medida posible el error entre el estimado de la sensibilidad del precio de un bono utilizando la duración modificada y su sensibilidad de precio real.



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 3: Matemáticas de Bonos – Preguntas de Repaso 1. Para un certificado de depósito (CD) de U$S1000 a tres años y un cupón anual del 10% sin

capitalización de intereses, ¿cuál será el valor futuro del CD al vencimiento? a. U$S1100 b. U$S1300 c. U$S1330 d. U$S1600 2. Dado el mismo CD de la pregunta 1, ¿cuál será el valor futuro del CD al vencimiento con

capitalización de intereses anual? a. U$S1100 b. U$S1300 c. U$S1330 d. U$S1600 3. ¿Cuál es el valor futuro de una inversión de U$S1000 a 7 años que paga un 12 % por año, con

capitalización de intereses anual? a. U$S1840 b. U$S2210,68 c. U$S7840 d. U$S1190 4. ¿Cuál es el valor actual de U$S1331 pagados a tres años de hoy suponiendo que los pagos de cupón

se reinvierten anualmente si se tiene una tasa de descuento del 10%? a. U$S1000 b. U$S1300 c. U$S931,70 d. U$S1100 5. ¿Cuál es el valor actual de una inversión que paga una suma total de U$S1000 al final de siete años si

el inversor desea ganar 5% por año con capitalización de intereses anual? a. U$S710,68 b. U$S965 c. U$S712,99 d. U$S1000 6. Supongamos por un momento que usted se acaba de ganar U$S1 millón en la lotería. El Estado ofrece

pagarle el U$S1 millón a 20 años en 20 cuotas anuales de U$S50.000. La primera cuota se la abonan inmediatamente y luego siguen las 19 restantes. Si usted tuviera una tasa de retorno mínima de 8%, ¿aceptaría un pago total de U$S550.000 abonados inmediatamente en lugar de las anualidades?

a. Sí. b. No. 7. ¿A qué tasa de retorno le resultaría lo mismo aceptar la anualidad o el pago total? a. 6,52%



Institutodel

Riesgo Financiero

b. 7,44% c. 8% d. 10,44% 8. Calcular el precio de un bono a diez años (valor nominal = U$S100) que paga un cupón de anual de

8% y con un rendimiento al vencimiento del 7%. a. U$S100 b. U$S107,02 c. U$S56,19 d. U$S110,96 9. Calcular el precio de un bono a diez años (valor nominal = U$S100) que paga un cupón de anual de

8% y con un rendimiento al vencimiento del 9%. a. U$S100 b. U$S107,02 c. U$S56,19 d. U$S93,58 Para las próximas cinco preguntas, utilizar la siguiente información. Bono A – Nominal = U$S1000, Cupón = 8,5% (pagos semestrales), Precio = U$S989,21, Plazo = 10 años. Bono B – Nominal = U$S1000, Cupón = 4% (pagos semestrales), Rendimiento = 8,72%, Plazo = 10 años. 10. ¿Cuál es el “rendimiento corriente” del Bono A? a. 8,59% b. 8,50% c. 8,14% d. 4,07% 11. ¿Cuál es el precio del Bono B? a. U$S1000 b. U$S952.60 c. U$S728.19 d. U$S689.31 12. ¿Cuál es el rendimiento al vencimiento del Bono A? a. 8,66% b. 8,50% c. 8,14% d. 4,07% 13. ¿Cuál sería el retorno total si comprara el Bono A a su precio corriente, pudiera reinverir los pagos de

cupón interinos al 6%, mantuviera el bono durante dos años y lo pudiera vender a U$S1025,31? a. 8,66% b. 10,03% c. 6%



Institutodel

Riesgo Financiero

d. 9,65% 14. ¿Cuál es el bono sujeto a mayor riesgo de reinversión? a. El Bono A b. El Bono B 15. La duración de un bono generalmente aumenta con el aumento de: a. la tasa del cupón b. el tiempo hastal vencimiento c. el rendimiento al vencimiento d. la calificación de Moody's 16. De los siguientes bonos, ¿cuál tiene la duración más corta? a. cupón cero, vencimiento a 10 años b. cupón cero, vencimiento a 13 años c. cupón al 8%, vencimiento a 10 años d. cupón al 8%, vencimiento a 13 años 17. Si todas las demás variables se mantienen igual, de los bonos siguientes ¿cuál tendrá la duración más larga? a. Bono a 15 años, cupón 8% b. Bono a 5 años, cupón 8% c. Bono a 15 años, cupón 12% d. Bono a 5 años, cupón 12%

18. Si todas las demás variables se mantienen igual, de los bonos siguientes ¿cuál tendrá mayor volatilidad? a. 20 años, cupón 15% b. 5 años, cupón 10% c. 20 años, cupón 10% d. 5 años, cupón 15% 19. De los siguientes bonos, ¿cuál tendrá el menor porcentaje de oscilación en el precio si el rendimiento mínimo aumenta 150 puntos básicos? a. 20 años, cupón 15% b. 10 años, cupón 10% c. 10 años, cupón 15% d. 20 años, cupón 0% 20. ¿Qué grupo de condiciones resultará en el bono de mayor volatilidad? a. Cupón alto y vencimiento corto b. Cupón alto y vencimiento largo



Institutodel

Riesgo Financiero

c. Cupón bajo y vencimiento corto d. Cupón bajo y vencimiento largo 21. La duración mide: a. Longitud de tiempo hasta que el bono vence b. Flujos de fondos ponderados por el timing de los flujos de fondos c. Longitud de tiempo durante el cual el bono es rescatable d. Timing de flujos de fondos ponderado por el valor proporcional del valor actual de cada flujo de

fondos 22. Normalmente, la duración de un bono aumenta con un aumento de: a. tasa del cupón.. b. tiempo al vencimiento. c. rendimiento al vencimiento. d. valor nominal. 23. Un administrador de cartera anticipa un importante aumento en las tasas de interés del mercado. ¿Qué estrategia de negociación debería generar retornos por encima del promedio? a. comprar bonos con vencimiento a largo plazo y tasas de cupón bajas b. comprar bonos basura con tasas de cupón altas c. comprar bonos con vencimiento a corto plazo y tasas de cupón altas d. comprar bonos con larga duración. 24. La volatilidad del precio de un bono es una función de las tasas de interés de mercado y de una de las

siguientes variables del bono: a. la tasa del cupón. b. el plazo restante al vencimiento. c. el precio relativo a su valor nominal. d. todas las anteriores. 25. ¿Por qué los administradores de carteras de bonos utilizan el concepto de duración? a. evalúa el elemento tiempo de los bonos en términos de cupón y de plazo al vencimiento. b. permite estructurar una cartera para aprovechar los cambios en la calidad crediticia. c. permite realizar comparaciones entre las emisiones de bonos con diferentes niveles de riesgo. d. la duración es la única medida del riesgo de los bonos. 26. Comparados con bonos que se venden a la par, los bonos con grandes descuentos tienen: a. mayor riesgo de reinversión. b. mayor volatilidad en el precio. c. menor protección contra el rescate d. menor volatilidad en el precio. 27. El riesgo de tasa de interés de un bono, generalmente, es:



Institutodel

Riesgo Financiero

a. mayor para plazos de vencimiento más cortos. b. menor para cupones más altos. c. menor para duración más larga. d. todas las anteriores. 28. De las siguientes afirmaciones respecto de la duración, ¿cuál es incorrecta? a. A mayor YTM (rendimiento al vencimiento), mayor duración. b. A mayor cupón, menor duración. c. La diferencia de duración es pequeña entre dos bonos, ambos con vencimiento a más de 15 años. d. La duración es igual al plazo al vencimiento sólo en el caso de los bonos con cupón cero.



Institutodel

Riesgo Financiero

29. Para un bono con cupón cero: a. La duración es menor que el vencimiento. b. La duración es igual al vencimiento. c. La duración es mayor que el vencimiento. d. La duración no guarda relación con el vencimiento. 30. En los bonos que pagan cupón, la duración y la cantidad de años hasta el vencimiento a. son iguales b. son desiguales, y la duración supera la cantidad de años al vencimiento c. son desiguales, y la duración es inferior a la cantidad de años al vencimiento d. pueden ser iguales, según la tasa del cupón. 31. Un bono tiene rendimiento 10% y una duración modificada de 7,5 años. Si el rendimiento de mercado varía en 10 puntos básicos, ¿cuál es la oscilación en el precio del bono? a. 0,375% b. 0,75% c. 1,50% d. 2 % 32. Un bono a 9 años tiene un rendimiento del 10% y una duración modificada de 6,54 años. Si el rendimiento de mercado varía en 50 puntos básicos, ¿cuál es la variación en el precio del bono? a. 3,27% b. 3,66% c. 6,54% d. 7,21% 33. Si un bono de cupón semestral tiene duración Macaulay de 8,2 años y la tasa de interés del mercado es 9%, ¿cuál es la duración modificada del bono? a. 7,52 b. 7,85 c. 8,20 d. 8,57 34. De los siguientes bonos, ¿cuál tiene la mayor convexidad? a. 10 años, cupón cero. b. 10 años, cupón 10%. c. 20 años, cupón cero. d. 20 años, cupón 10%. 35. De las siguientes afirmaciones respecto de la convexidad, ¿cuál es incorrecta?



Institutodel

Riesgo Financiero

a. Si todas las demás variables se mantienen constantes, a mayor rendimiento, menor convexidad. b. Si todas las demás variables se mantienen constantes, a menor cupón, mayor convexidad. c. La diferencia de convexidad entre dos bonos puede ser grande si ambos vencen a más de 15

años. d. La convexidad es la misma que el plazo al vencimiento sólo en el caso de los bonos de cupón

cero. 36. Si usted no toma en cuenta el ajuste por convexidad en la estimación de la sensibilidad del precio de un bono, de las siguientes afirmaciones, ¿cuál es verdadera? a. Si los rendimientos mínimos bajan usted subestimará el incremento en el precio, y si los

rendimientos mínimos suben subestimará la reducción del precio. b. Si los rendimientos mínimos bajan usted subestimará el incremento en el precio, pero si los

rendimientos mínimos suben sobreestimará la reducción del precio. c. Si los rendimientos mínimos bajan usted sobrestimará el incremento en el precio, pero si los

rendimientos mínimos suben subestimará la reducción del precio. d. Si los rendimientos mínimos bajan usted sobrestimará el incremento en el precio, y si los

rendimientos mínimos suben sobreestimará la reducción del precio. 37. Si usted debe estimar la sensibilidad del precio de un bono emitido por una entidad en un país con inflación en el que la emisión tiene un plazo de vencimiento de solamente un año y una tasa de cupón de 25%, ¿diría usted que el ajuste por convexidad es importante para el análisis? ¿Por qué? 38. Explique por qué usted estaría de acuerdo o no con la siguiente afirmación. Dado que la duración de un bono de cupón cero es igual al vencimiento, el grado de respuesta de un bono de cupón cero ante las oscilaciones en el rendimiento es el mismo independientemente del nivel inicial de las tasas de interés.



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 3: Matemáticas de bonos – Caso de gestión de riesgo de cartera

Durante una inspección exhaustiva de un banco, usted está analizando con el principal funcionario financiero la política de inversión de la entidad respecto de una cartera de renta fija de U$S100 millones. Una de las disposiciones claves de la política del Banco es restringir las inversiones a aquellas que mantendrán las variaciones de valor de cartera dentro de una banda de ±3% dado una variación paralela en la curva de rendimiento de 100 pb. La composición de la cartera es la siguiente:

Bono Monto (U$S millones)

Rendimiento Vencimiento (años)

Duración (años)

Duración modificada

Convexidad

A 5 6,00% 10 9,52 9,29 67,43 B 10 5,50% 8 7,66 7,49 48,86 C 20 5,00% 7 6,73 6,60 39,84 D 30 4,50% 2 1,93 1,90 4,57 E 35 4,00% 1 0,97 0,96 1,42

¿Esta cartera cumple con las pautas de sensibilidad a la tasa de interés de la política de inversión? Considere su respuesta, primero, solamente en términos de duración, y, en segundo lugar, en términos de duración y convexidad. Explique de qué otra manera construiría una cartera una persona que desconoce las propiedades de la convexidad.



Institutodel

Riesgo Financiero

Apéndice 3A: Derivación matemática de duración modificada y convexidad

DURACIÓN MODIFICADA Recuerde que el precio, P, de un bono es igual al valor actual de sus flujos de fondos, CFt. Para una tasa de descuento, i, es válida la siguiente expresión:

(3A-1) ∑= +

=n

tt

t

iCFP

1 )1(.

Podemos pasar el denominador al numerador de la siguiente manera:

(3A-2) ∑=

−+=n

t

tt iCFP

1

)1( .

Sacando un primer derivado respecto de una tasa de interés, i, obtenemos la expresión para la variación en precio de un pequeño cambio en el rendimiento:

(3A-3) ∑=

−−+−=n

t

tt itCF

didP

1

1)1)(( .13

Reformulando el exponente del último término del miembro derecho, obtenemos:

(3A-4) ∑=

+−+−=n

t

tt itCF

didP

1

)1()1)(( .

Pasando el último término al denominador y dividiéndolo en dos partes, tenemos

(3A-5) ∑= +

−+

=n

tt

t

it

iCF

didP

1 )1()(

)1(.

Extrayendo el término constante del denominador por sumatoria, tenemos

(3A-6) ∑= +

⋅+−

=n

ttt

iCFt

ididP

1 )1()1(1

.

Esta expresión representa la variación del precio en dólares para una pequeña variación en el rendimiento. Se trata simplemente de los flujos de fondos descontados ponderados en el tiempo divididos por (1+i).

13 Ver Normas de Diferenciación en el Apéndice 3B. La ecuación (3A-3) resulta de la aplicación de la función de potencia generalizada.



Institutodel

Riesgo Financiero

Dividiendo ambos miembros por P, el precio del bono, obtenemos la siguiente expresión para el correspondiente porcentaje de variación en el precio del bono dada una pequeña variación en los rendimientos:

(3A-7)

+⋅

+−

=∑=

Pi

CFt

iPdidP n

ttt

1 )1()1(

1.

El término entre paréntesis es la duración Macaulay. El producto de los dos términos del miembro derecho es la duración modificada. Podemos pasar el di al miembro derecho de la siguiente expresión:

(3A-8) diP

iCFt

iPdP

n

ttt

+⋅

+−

=∑=1 )1(

)1(1

.

El miembro izquierdo es el porcentaje de variación en el precio. El miembro derecho es la duración modificada del bono multiplicada por la variación en el rendimiento.

CONVEXIDAD La convexidad es una medida del porcentaje de variación de la duración respecto de las variaciones de i, el rendimiento al vencimiento. Se lo calcula tomando el derivado de segundo orden de la función precio respecto de i, y dividiéndolo por P. A continuación se repite la ecuación 3A-4, el primer derivado del precio respecto de i:

(3A-4) ∑=

+−+−=n

t

tt itCF

didP

1

)1()1)(( .

La ecuación 3A-9 muestra el cálculo del segundo derivado. Observe que los dos signos negativos se anulan.

(3A-9) ∑=

+−++=n

t

tt ittCF

diPd

1

)2(2

2

)1)(1)(( .

Pasando el último término del miembro derecho al denominador, tenemos



Institutodel

Riesgo Financiero

(3A-10) ∑=

+++

=n

tt

t

ittCF

diPd

122

2

)1()1)((

.

Esta expresión se la denomina convexidad dólar. Multiplicando la convexidad dólar por el cuadrado de la variación del rendimiento mínimo, da la variación de precio estimada del bono debido a la convexidad. Dividiendo ambos miembros de la ecuación 3A-10 por P, tenemos nuestra medida de convexidad.

(3A-11) P

ittCF

Pdi

Pd n

tt

t∑=

+++

= 122

2

)1()1)((

.

El porcentaje de variación en el precio para una determinada variación en el rendimiento mínimo debido a la convexidad se calcula de la siguiente manera:

(3A-12) ( )212)1(

)1)((

21 di

Pi

ttCF

PdP

n

tt

t

+

+

=∑=

+

.

Este último paso necesita de mayor aclaración. Podemos utilizar una expansión de serie de Taylor para estimar la variación del precio de un bono para una variación en el rendimiento mínimo de la siguiente manera:

(3A-13) ( ) ( ) +++= 33

32

2

2

!31

!21 di

diPddi

diPddi

didPdP mayores términos de orden.

Dividiendo sucesivamente por P para obtener una expresión para el porcentaje de variación del precio nos da:

(3A-14) ( ) ( ) +

+

+

= 3

3

32

2

2 1611

211 di

PdiPddi

PdiPddi

PdidP

PdP

mayores términos de orden

En la práctica, al calcular la sensibilidad de precio de los bonos, los términos de tercer orden y los términos de órdenes mayores generalmente no se toman en cuenta porque son muy pequeños. Nuestra expresión simplificada es entonces:

(3A-15) ( )22

2 1211 di

PdiPddi

PdidP

PdP

+

= .

En el primer término de la parte derecha de esta ecuación, la expresión entre paréntesis es la duración modificada del bono que calculamos en la ecuación 3A-7. La multiplicamos por di para obtener el



Institutodel

Riesgo Financiero

porcentaje de variación en el precio debido a la duración. En el segundo término del miembro derecho, la expresión entre paréntesis es la convexidad del bono. La convexidad se multiplica por ½ y (di)2 para obtener el porcentaje de variación del precio debido a la convexidad. Este segundo término es la parte derecha de la ecuación 3A-12. Simplemente podemos hacer la ecuación 3A-15 para obtener la siguiente expresión:

(3A-16) ( )2

21 diCdiD

PdP

Mod += .



Institutodel

Riesgo Financiero

Apéndice 3B: Normas para la diferenciación Hipótesis:

x es una variable independiente k es una constante )(xf , )(xg , )(xh son funciones de x )(1 xf es el primer derivado de la función f respecto de x

1) Norma de potencia

2) Sumas y diferencias

3) Norma de producto

4) Norma de cociente

5) Función de potencia generalizada

11 )()()(

−=

=n

n

xnkxfkxxf

)()()()()()(111 xhxgxf

xhxgxf±=

±=

)()()()()()()()(

111 xgxhxhxgxfxhxgxf

∗+∗=

∗=

[ ]2

111

)()()()()()(

)()(

)(

xhxhxgxgxhxf

xhxg

xf

∗−∗=

=

[ ][ ] )()()(

)()(111 xgxgnxf

xgxfn

n

∗=

=−



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 4: Capitalización de intereses

OBJETIVOS: Comprender la distinción entre rendimiento anual nominal y efectivo Comprender el significado de la capitalización de intereses contínua

En el análisis sobre valor futuro y valor actual que hemos hecho en la sección anterior, suponíamos implícitamente que el interés se abonaba una vez por período. En esta sección, analizaremos los pagos de interés que suceden más de una vez por período y la relación entre una tasa de porcentaje nominal o anual y una tasa de interés anual efectiva.

CAPITALIAZACIÓN DE INTERESES DISCRETA Utilizando la ecuación 4-1, la ecuación del valor futuro de una sola inversión de flujo de fondos, suponemos un período de tenencia, n, de 1 año, un capital, P, de U$S100, y una tasa de interés nominal, i, del 10%. Imagíne un depósito bancario en el que el banco acredita el interés en su cuenta a fin del año. (4-1) niPFV )1( += . Dados estos valores, el valor futuro de la inversión al final de un año es U$S110. Esto equivale al retorno de U$S100 del capital más un pago de interés de U$S10.

00.110$00.1000.10010.100.100)10.01(00.100 1 =+=⋅=+=FV . Ahora, supongamos que el banco acredita el interés en su cuenta dos veces por año. A usted se le acreditaría un pago de interés luego de seis meses sobre la base de la inversión de capital inicial. Se le acreditaría otro pago de interés al final del año sobre la base no sólo del capital inicial, sino también sobre el interés acreditado luego del primer semestre. Diríamos que la capitalización del interés es semestral. Necesitamos modificar la ecuación 4-1 para que nos dé el valor futuro de la cuenta con la capitalización del interés semestral. La ecuación 4-2 indica que aplicamos la mitad de la tasa de interés anual para dos veces la cantidad de períodos. (4-2) niPFV 2)2/1( += . Utilizando los mismos valores que figuran más arriba, aplicamos un interés del 5% para 2 períodos. Esto nos da que el valor futuro al final de un año equivale a U$S110,25.

25.110$25.1000.1001025.100.100)05.01(00.100 2 =+=⋅=+=FV . Ahora, supongamos que el interés se acredita trimestralmente. La ecuación 4-3 nos da el valor futuro con capitalización de intereses trimestral. Indica que aplicamos un cuarto de la tasa de interés anual para cuatro veces la cantidad de períodos.



Institutodel

Riesgo Financiero

(4-3) niPFV 4)4/1( += . Utilizando los valores del análisis anterior, aplicamos un interés de 2,5% para 4 períodos. Esto nos da que el valor futuro al final de un año equivale a U$S110,38.

38.110$38.1000.1001038.100.100)025.01(00.100 4 =+=⋅=+=FV . Comenzamos a ver que cuanto más a menudo se paga el interés, mayor es el pago último al final del período de tenencia. Podemos generalizar las ecuaciones de la 4-1 a la 4-3 para cualquier periodicidad de capitalización de intereses para cualquier longitud de período de tenencia. La ecuación 4-4 nos da la fórmula general para una capitalización de intereses m multiplicada por n períodos: (4-4) mnmiPFV )/1( += . En todas partes del mundo y en los diferentes mercados financieros, usted encontrará diferentes períodos de capitalización de intereses para diferentes tipos de instrumentos financieros. Por ejemplo, algunos bonos del gobierno estadounidense tienen capitalización de intereses semestral y la mayoría de las cuentas bancarias tienen capitalización de intereses diaria. A fin de comparar con precisión instrumentos con diferente periodicidad de capitalización de intereses, necesitamos colocarlos sobre una base común. Por lo tanto, necesitaremos distinguir entre la tasa de interés nominal, o cotizada, y la tasa de interés anual efectiva o equivalente. La tasa de interés nominal es la tasa cotizada. En cada uno de los ejemplos anteriores, la tasa de interés nominal siempre fue de 10%. La tasa de interés efectiva es la tasa que produciría el mismo valor futuro si se hubiera utilizado la capitalización de intereses anual. En el primer ejemplo, con capitalización de intereses anual, la tasa de interés efectiva era exactamente igual a la tasa de interés nominal de 10%. En el segundo ejemplo, con capitalización de intereses semestral, la tasa de interés efectiva era de 10,25%. Finalmente, en el tercer ejemplo, con capitalización de intereses trimestral, la tasa de interés efectiva era 10,38%. Dado períodos de capitalización de intereses m, podemos calcular la tasa anual efectiva (EAR) de la siguiente manera: (4-5) 1)/1( −+= mmiEAR . Para ilustrar aun más la distinción entre las tasas anuales cotizadas y las tasas de interés anual efectivas, considere el caso de las tarjetas de crédito. Muchas tarjetas de crédito cotizarán una tasa de porcentaje anual (APR) de 18%. Sin embargo, pueden aplicar un interés del 1,5% todos los meses. Luego, la EAR es:

%56.191956.00.1)015.1(1)1218.01( 1212 ==−=−+=EAR

Incluso pueden aplicar interés diario. Luego, la EAR sería:

%72.191972.00.1)0004932.1(1)365

18.01( 365365 ==−=−+=EAR .



Institutodel

Riesgo Financiero

En cada uno de los ejemplos anteriores, m, era algún número finito. Nos referimos a cada uno de estos ejemplos como capitalización de intereses discreta. En algunos casos, es conveniente dejar que m se acerque al infinito. Nos referimos a esta como capitalización de intereses contínua. La próxima sección profundiza sobre este tema.

CAPITALIZACIÓN DE INTERESES CONTÍNUA Una vez que ha comprendido la capitalización de intereses discreta, es relativamente simple comprender la capitalización de intereses contínua. La capitalización de intereses contínua se logra dejando que la frecuencia de dicha capitalización se agrande cada vez más. Llegamos a una expresión para el valor futuro de una inversión con una tasa que se capitaliza de manera contínua dejando que m (la frecuencia de capitalización de intereses) se acerque al infinito. (4-5) mn

m miPFV )/1(lim += ∞→ . La ecuación 4-5 se puede simplificar para lograr la siguiente expresión: (4-6) inPeFV = . Por ejemplo, si usted invierte U$S1000 por un año a una tasa de interés nominal de 8%, dada una capitalización de intereses contínua el valor futuro se calcula de la siguiente manera:

Desde un punto de vista cuantitativo, el resultado de utilizar la capitalización de intereses contínua no es significativamente diferente de utilizar la capitalización de intereses diaria. Utilizando un monto de capital de U$S100 y una tasa de interés nominal de 10%, si utilizamos capitalización de intereses diaria, el valor futuro es

52.110$516.110$516.1000.10010516.100.100)0003.01(00.100 365 ==+=⋅=+=FV . Si tenemos capitalización de intereses contínua, tenemos

52.110$517.110$517.1000.10010517.100.10000.100 )1)(10.0( ==+=⋅== eFV . En resumen, no hay diferencia entre los dos cálculos. La suposición de tasas de interés de capitalización contínua se utiliza en gran medida en la derivación de numerosos modelos de fijación de precio de opciones. Por ejemplo, el cálculo estocástico utilizado por Black y Scholes para arribar a su famoso modelo se apoya en la suposición de la capitalización de intereses contínua. Si bien esta suposición puede no ser una descripción realista de los hechos, los precios

29.083,1$00.000,1$ 1*08.0 == eFV



Institutodel

Riesgo Financiero

de las opciones que surgen de modelos que se basan en ella, generalmente tienen un alto grado de precisión. Puntos clave para recordar:

La tasa de interés nominal es la tasa anual cotizada. La tasa de interés efectiva es la tasa que produciría el mismo valor futuro si se hubiera utilizado una

capitalización de intereses anual. Para una determinada tasa de interés nominal, a mayor frecuencia del período de capitalización de

intereses, mayor es la tasa de interés anual efectiva. La capitalización de intereses discreta implica una frecuencia de capitalización de intereses finita. La capitalización de intereses contínua implica una frecuencia de capitalización de intereses infinita.



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 4: Capitalización de intereses – Preguntas de repaso 1. Si la capitalización de intereses tiene una frecuencia mayor que 1 por período, de las siguientes

afirmaciones; ¿cuál es verdadera? a. La tasa anual efectiva será mayor que la tasa nominal, o cotizada, por período. b. La tasa anual efectiva será menor que la tasa nominal, o cotizada, por período c. La tasa anual efectiva será igual a la tasa nominal, o cotizada, por período d. La tasa anual efectiva podría ser mayor o menor que la tasa nominal, o cotizada, por período. 2. Si la tasa de interés nominal se determina en 12% y suponemos una capitalización de intereses

mensual, ¿cuál es la tasa de interés anual efectiva? a. 1%. b. 12%. c. 12,68%. d. 24%. 3. Si se invierten U$S1000 a 5 años a una tasa de interés nominal del 5%, y suponemos una

capitalización de intereses contínua, ¿cuál es el valor futuro de la inversión? a. U$S1051,27. b. U$S1250. c. U$S1284,03. d. U$S5256,36.



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 5: Probabilidad y estadísticas

OBJETIVOS: Comprender la distinción entre la estadística descriptiva y la estadística deductiva. Comprender la distinción entre una población y uina muestra Sobre la base de datos de muestra, poder calcular medidas de tendencia central: promedio,

mediana y modo Sobre la base de datos de muestra, poder calcular medidas de dispersión: desvío promedio,

varianza y desvío estándar Poder calcular y comparar coeficientes de variación Comprender las propiedades de la distribución de probabilidades normal Comprender las propiedades de la distribución de probabilidades normal estándar Poder calcular e interpretar el valor Z

En esta sección, haremos un repaso de varios conceptos de estadística claves, que probablemente se necesitarán para la preparación y revisión de diversos informes de gestión de riesgo. Presentaremos conceptos tanto de estadística descriptiva como de estadística deductiva. La estadística descriptiva se ocupa básicamente de la descripción de conjuntos de datos. La estadística deductiva trata de la toma de decisiones ante resultados inciertos. Nuestro estudio de gestión de riesgo está íntimamente interrelacionado a estas ramas de la estadística. Nos limitaremos principalmente a la presentación de mediciones cuantitativas de características de los datos en contraposición a la representación gráfica de los datos. Observaremos diferentes conjuntos de datos. A veces, el conjunto de datos será toda la población de observaciones. Otras veces, sólo tendermos una muestra de todo el conjunto de datos. Esta distinción revestirá importancia para algunas de las mediciones estadísticas que desarrollamos.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA El área de la estadística descriptiva se ocupa de la descripción de los conjuntos de datos que hemos recogido. A continuación, ejemplos de estadística descriptiva:

Durante el año pasado, los rendimientos de los bonos del Tesoro a 30 años superaron los 6,50% sólo tres veces.

Según el examen retrospectivo de nuestro modelo de VaR (valor a riesgo), nuestras carteras traspasaron los límites de riesgo sólo dos veces durante el último cuatrimestre.

El retorno anual promedio de las acciones de pequeña capitalización a lo largo de los últimos cincuenta años fue de 12,3%.

Medidas de tendencia central

Dado un conjunto de datos, posiblemente consistente en cientos o miles de observaciones, queremos poder resumir las principales características de dichos datos. Generalmente, el primer paso es describir un promedio de los datos. Por lo general, describiremos el promedio como una medida de tendencia central.



Institutodel

Riesgo Financiero

Existen tres medidas claves de tendencia central: promedio, mediana y modo. Promedio El promedio de un conjunto de datos es la suma todas las observaciones de una población, dividido la cantidad de valores de la población. El cálculo se ilustra en la ecuación 5-1, donde µ es el símbolo para el promedio, X representa el valor particular de la población y N es la cantidad total de observaciones.

(5-1) N

X∑=µ .

Si sólo tuviéramos una muestra de todas las observaciones, la fórmula sería:

(5-2) n

X∑=µ ,

donde n es la cantidad de observaciones de muestra. Desde un punto de vista cuantitativo, no hay diferencia en el cálculo. La tabla 5-1 contiene los datos de ingresos netos del Banco A correspondientes a los últimos 12 meses.

Ene ‘98 114.300 Feb ‘98 112.800 Mar ‘98 113.300 Abr ‘98 117.300 May ‘98 119.700 Jun ‘98 118.800 Jul ’98 117.300 Ago ’98 120.000 Sep ‘98 118.700 Oct ‘98 120.800 Nov ‘98 120.500 Dic ‘98 141.100

Tabla 5-1 Datos de utilidades de un Banco A Este promedio, µA, se calcula de la siguiente manera:

00.550,11912

)100,141500,120800,120700,118000,120300,117800,118700,119300,117300,113800,112300,114(

=+++++

++++++

=Aµ .

Mediana



Institutodel

Riesgo Financiero

La mediana de un conjunto de datos es el valor del medio. Esta puede ser una medida muy importante de tendencia central si un conjunto de datos contiene elementos lejanos a su origen. Observando los datos de la tabla 5-1, vemos que las utilidades para diciembre de 1998 fueron considerablemente superiores a las de los meses anteriores. Algún hecho extraordinario debe de haber ocurrido, como ser la liquidación de algunos títulos con importantes ganancias de capital. Si el conjunto de datos tiene una cantidad impar de observaciones, la mediana es simplemente el valor del medio. Si el conjunto de datos tiene una cantidad par de observaciones, la mediana es el promedio de los dos valores del medio. Para calcular la mediana de nuestro conjunto de datos, primero necesitamos distribuir los datos. Los datos de utilidades distribuidos se brindan en la tabla 5-2.

Feb ‘98 112.800 Mar ‘98 113.300 Ene ‘98 114.300 Abr ‘98 117.300 Jul ‘98 117.300 Sep ‘98 118.700 Jun ’98 118.800 May ’98 119.700 Ago ‘98 120.000 Nov ‘98 120.500 Oct ‘98 120.800 Dic ‘98 141.100

Tabla 5-2 Datos de utilidades distribuidos para el Banco A La mediana se calcula de la siguiente manera:

00.750,1182

800,118700,118=

+=median .

Observe que el promedio del conjunto de datos es superior a la mediana. Esto se debe a la única observación grande de diciembre de 1998. El cálculo de la mediana no se ve afectado por este factor lejano. Modo El modo de un conjunto de datos es la observación más frecuente. Para los datos de la tabla 5-1, el modo es U$S117.300. Muchos conjuntos de datos no tienen modo, ya que cada observación es única. Si los datos de las utilidades no se hubieran redondeado, sino que se hubieran informado con los valores dólar exactos, es probable que no hubiera existido ningún modo.

Medidas de dispersión

En la sección anterior, describimos varias medidas de tendencia central. Si bien esto nos salva del problema de tener que informar el conjunto de datos completo, no nos dice nada acerca de la variabilidad



Institutodel

Riesgo Financiero

de las observaciones. En esta sección, presentaremos varias medidas de dispersión que nos permitirán describir con mayor detalle los datos del conjunto. Podemos ver cómo estas medidas adicionales pueden ser útiles observando los datos de las utilidades de un segundo banco, el Banco B, de la tabla 5-3. El promedio, µB, de las utilidades del Banco B, calculado a continuación, es el mismo que el promedio de las utilidades del Banco A.

00.550,11912

)100,130100,121500,123500,119000,121700,117600,116400,120300,119500,115600,115300,114(

=+++++

++++++

=Bµ

Si sólo debiéramos informar los promedios de los dos conjuntos de datos, no podríamos distinguir a estos últimos. Sin embargo, si comparáramos ambos conjuntos de datos, notaríamos que las utilidades del Banco A exhiben mucha mayor volatilidad mes a mes. Nuestras medidas de dispersión contribuirán a describir esta diferencia en variabilidad.

Ene ‘98 114.300 Feb ‘98 115.600 Mar ‘98 115.500 Abr ‘98 119.300 May ‘98 120.400 Jun ‘98 116.600 Jul ’98 117.700 Ago ’98 121.000 Sep ‘98 119.500 Oct ‘98 123.500 Nov ‘98 121.100 Dic ‘98 130.100

Tabla 5-3 Datos de las utilidades de un banco de muestra Desvío promedio Nuestra primera medida de dispersión es el desvío promedio. Se calcula de la siguiente manera:

(5-3) n

XXMD

∑ −= ,

donde X es el valor de cada observación, X bar es el promedio de los valores y n es la cantidad de observaciones de la muestra. Este es simplemente el promedio de la distancia absoluta de cada observación al promedio. La presencia del valor absoluto es muy importante. El promedio tiene la propiedad de que la suma de la distancia entre cada punto sobre el promedio y el promedio es exactamente igual a la distancia total entre cada punto debajo del promedio y el promedio. Por lo



Institutodel

Riesgo Financiero

tanto, sin el valor absoluto, el desvío promedio sería exactamente cero para cada conjunto de datos: una estadística no muy útil. La tabla 5-4 contiene los cálculos del desvío promedio de un Banco A y un Banco B. La mayor variabilidad que notamos en las utilidades del Banco A se reflejan en un mayor desvío promedio de sus datos. Para el Banco A, el desvío promedio se calcula de la siguiente manera:

33.058,412700,48

==AMD .



Institutodel

Riesgo Financiero

Banco A Banco B

Utilidades mensuales

Distancia del promedio


Distancia del promedio

1 114.300 5.250,00 114.300 5.250,00 2 112.800 6.750,00 115.600 3.950,00 3 113.300 6.250,00 115.500 4.050,00 4 117.300 2.250,00 119.300 250,00 5 119.700 150,00 120.400 850,00 6 118.800 750,00 116.600 2.950,00 7 117.300 2.250,00 117.700 1.850,00 8 120.000 450,00 121.000 1.450,00 9 118.700 850,00 119.500 50,00

10 120.800 1.250,00 123.500 3.950,00 11 120.500 950,00 121.100 1.550,00 12 141.100 21.550,00 130.100 10.550,00

Suma 1.434.600 48.700,00 Suma 1.434.600 36.700,00

Pro-medio

119.550 4.058,33 DP Pro-medio

119.550 3.058,33 DP

Tabla 5-4 Desvío promedio del Banco A y del Banco B Para el Banco B, el desvío promedio se calcula de la siguiente manera:

33.058,312700,36

==BMD .

Varianza La varianza es una medida de dispersión alternativa. Comparada con el desvío promedio, en vez de sumar el valor absoluto de la distancia desde el promedio, se suma el cuadrado de la distancia desde el promedio. También deberá notar que las fórmulas de varianza de población y de varianza de las muestras son levemente diferentes. La fórmula de la varianza de población es la siguiente:

(5-4) ( )

NX 2

2 ∑ −=

µσ ,

donde X es el valor de cada observación, µ es el promedio de población y N es la cantidad de observaciones de la población.



Institutodel

Riesgo Financiero

Los cálculos para la varianza de las utilidades del Banco A y el Banco B se encuentran en la tabla 5-5. Al igual que con el desvío del promedio, la varianza de las utilidades del Banco A es mayor que la del Banco B.

Banco A Banco B Utilidades mensuales

Distancia del

promedio

Distancia del promedio al

cuadrado


Distancia del

promedio

Distancia del promedio al

cuadrado 1 114.300

(5.250,00) 27.562.500 114.300

(5.250,00) 27.562.500

2 112.800 (6.750,00)

45.562.500 115.600 (3.950,00)

15.602.500

3 113.300 (6.250,00)

39.062.500 115.500 (4.050,00)

16.402.500

4 117.300 (2.250,00)

5.062.500 119.300 (250,00) 62.500

5 119.700 150,00 22.500 120.400 850,00 722.500 6 118.800 (750,00) 562.500 116.600

(2.950,00) 8.702.500

7 117.300 (2.250,00)

5.062.500 117.700 (1.850,00)

3.422.500

8 120.000 450,00 202.500 121.000 1.450,00 2.102.500 9 118.700 (850,00) 722.500 119.500 (50,00) 2.500

10 120.800 1.250.00 1.562.500 123.500 3.950,00 15.602.500 11 120.500 950,00 902.500 121.100 1.550,00 2.402.500 12 141.100 21.550,00 464.402.500 130.100 10.550,00 111.302.500

Promedio

119.550 Promedio

119.550

Suma 590.690.000 Suma 203.890.000 Varianza 49.224.167 Varianza 16.990.833 Desvío

estándar 7.016 Desvío

estándar 4.122

Tabla 5-5 Cálculo de la varianza de utilidades y desvío estándar del Banco A y el Banco B. Para el Banco A, el cálculo es:

167,224,4912

000,690,5902 ==σ .

Para el Banco B, el cálculo es:

833,990,1612

000,890,2032 ==σ .

Si los datos para los que calculáramos la varianza fueran una muestra de una población mayor, el cálculo de la varianza sería levemente diferente. La fórmula de la varianza de muestra es:



Institutodel

Riesgo Financiero

(5-5) ( )

1

2

2

−

−= ∑

nXX

s ,

donde X es el valor de cada observación, X bar es el promedio de los valores de la muestra, y n es la cantidad de observaciones en la muestra. La varianza de la muestra estima la varianza de la población. Además de utilizar el promedio de la muestra, X bar, al contrario del promedio de la población, µ, en el numerador, la única diferencia sustantiva está en el denominador. Hemos sustituido n-1, la cantidad de observaciones menos uno, por N, la cantidad de observaciones en la población. Se puede probar que si n se utilizara en el denominador, el cálculo resultante subestimaría la verdadera varianza de la población. Es decir, la varianza de muestras estimaría pero con cierto sesgo la varianza de la población. Al reducir el denominador, se elimina el sesgo. Existe una pequeña complicación cuando se utiliza la varianza como medida de dispersión, que surge al interpretar el significado del número. La unidad de varianza es el cuadrado de las unidades de los datos; en este caso, dólares al cuadrado. Intente explicar esto a un gerente de jerárquía. Para encarar esta complicación, podemos calcular lo que se conoce como desvío estándar, que es simplemente la raíz cuadrada de la varianza. La ecuación 5-6 es la fórmula para el desvío estándar de la población:

(5-6) ( )

NX 2∑ −

=µ

σ .

Los cálculos de la varianza de utilidades del Banco A y el Banco B figuran en la tabla 5-5. Al igual que con el desvío promedio, la varianza de utilidades del Banco A es mayor que la del Banco B. Para el Banco A, el cálculo es:

016,712

000,690,590==σ .

Para el Banco B, el cálculo es:

122,412

000,890,203==σ .

Al igual que con nuestros cálculos anteriores de desvío promedio y varianza, el desvío estándar de las utilidades del Banco A es mayor que el desvío estándar de las utilidades del Banco B. La ecuación 5-7 es la fórmula para el desvío estándar de la muestra, que es un estimado del desvío estándar de la población:



Institutodel

Riesgo Financiero

(5-7) ( )

1

2

−

−= ∑

nXX

s .

Interpretación y usos del desvío estándar Hemos visto que el desvío estándar es una medida que se puede utilizar para comparar la cantidad de dispersión en diferentes conjuntos de datos. Esta medida de dispersión nos puede brindar información adicional acerca de nuestro conjunto de datos, como veremos en la declaración de La Norma Empírica. La norma empírica (o normal)

Para una distribución de frecuencia simétrica con forma de campana, aproximadamente el 68% de las observaciones se encontrarán a más/menos 1 del desvío estándar del promedio; alrededor del 95% de las observaciones se encontrarán a más/menos 2 de los desvíos estándar del promedio; y prácticamente todo (99,7%) se encontrará a más/menos 3 de los desvíos estándar del promedio.

Dada una distribución con forma de campana y su desvío estándar, tenemos una idea de cómo se han dispersado las observaciones alrededor del promedio. La distribución con forma de campana que más a menudo encontraremos será la distribución normal, que se analiza más adelante en esta sección. Coeficiente de variación Frecuentemente, al comparar conjuntos de datos, cada uno de éstos puede tener diferente unidad de medida, o, dada una misma unidad de medida, pueden tener diferentes promedios. En cada uno de estos ejemplos, podemos llegar a tener dificultades para comparar los desvíos estándar. Un clásico ejemplo se encuentra en las finanzas, cuando el desvío estándar generalmente se utiliza como la medida de riesgo de un activo (o una cartera). Cuanto más concentrada esté la distribución de probabilidades de retornos futuros esperados, menor será el riesgo de una determinada inversión. Al comparar dos activos que tienen el mismo retorno promedio (o esperado), el que tenga el menor desvío estándar generalmente indicará menor riesgo para el mismo retorno: elección obvia. Por el contrario, si dos activos tienen diferente retorno esperado y diferente desvío estándar, la elección no es tan clara, especialmente si el activo con mayor retorno esperado también exhibe un mayor desvío estándar. Para encarar este dilema, tenemos el coeficiente de variación, que es la relación del desvío estándar respecto del promedio, como se ilustra en la ecuación 5-8 a continuación.

(5-8) XsCV = .

Para considerar más profundamente el problema financiero, si el desvío estándar es nuestra medida de riesgo, el coeficiente de variación puede considerarse como las unidades de riesgo por unidad de retorno.



Institutodel

Riesgo Financiero

Si consideráramos dos carteras diferentes con retornos esperados diferentes y desvíos estándar diferentes, podríamos elegir la que nos brinda el menor riesgo por unidad de retorno; es decir, aquella que tenga el menor coeficiente de variación.

ESTADÍSTICA DEDUCTIVA El área de estadística deductiva trata de las interferencias de una población sobre la base de una muestra tomada de dicha población. Para nuestro estudio de la estadística deductiva un elemento crítico es la teoría de la probabilidad, a la que nos podemos referir como la ciencia de la incertidumbre. Las personas a cargo de la toma de decisiones y los administradores de riesgo se manejan en un entorno de incertidumbre, ya que miran al futuro y tratan de establecer los resultados y las implicancias de sus decisiones. El administrador de una cartera de bonos debe observar las tasas de interés a fin de establecer si se irá largo o corto en su cartera. Debe comprender el riesgo inherente a esta decisión. Utilizando una combinación de los modelos de VaR y de simulación, que pueden depender en gran medida de la teoría de la probabilidad, puede estimar su exposición a acontecimientos adversos. Sobre la base de esta información, puede decidir si habrá de cubrir esta exposición o no. Puede decidir si cubrir la exposición de manera total o parcial. A fin de tomar estas decisiones, ya sea de manera explícita o implícita, habrá de realizar numerosas hipótesis de probabilidad, como ser la probabilidad de que se produzcan determinados hechos; es decir, un rescate de bonos (bond calling), o la distribución de tasas de interés en algún punto del futuro. Las siguientes definiciones son necesarias para el siguiente análisis: Probabilidad – medida de probabilidad de que se produzca un evento en el futuro; esta medida adoptará un valor entre 0 y 1. Experimento – la observación de determinada actividad o el acto de tomar una medición. Resultado – un resultado en particular de un experimento. Evento – la recolección de uno o más experimentos. Tomemos un ejemplo. Un experimento puede ser tirar una moneda 100 veces. Sabemos que la probabilidad de que salga cara es 0,5 por tiro. Un resultado del experimento podría ser 42 caras y 58 cecas. Podríamos realizar el mismo experimento nuevamente y obtener un resultado diferente, digamos, 51 caras y 49 cecas. También podríamos realizar un tercer experimento y obtener 54 caras y 46 cecas. Un evento posible sería recoger los experimentos que resultaron en una cantidad par de caras. Con las probabilidades se pueden tomar dos enfoques. Nos podemos referir a una rama objetiva y a una rama subjetiva. La probabilidad objetiva se puede subdividir en probabilidad clásica (o a priori) y probabilidad de frecuencia relativa (o a posteriori).



Institutodel

Riesgo Financiero

Probabilidad objetiva

La probabilidad clásica deriva de la hipótesis subyacente de que los resultados de un experimento son igualmente probables. Sobre esta hipótesis, la probabilidad de que se produzca un evento se computa dividiendo la cantidad de resultados favorables por el número total de resultados posibles. Por ejemplo, si el experimento consiste en hacer rodar un dado con 6 lados, la probabilidad de un "3" es 1/6. De modo similar, la probabilidad de que salga un número impar es 3/6. Ahora es necesario definir dos propiedades importantes de los eventos: Si sólo puede ocurrir uno de varios eventos por vez, nos referimos a estos como recíprocamente excluyentes. La implicancia es que si un evento ha ocurrido, ninguno de los otros eventos se producirá. Adicionalmente, nos podemos referir a un conjunto de eventos como colectivamente exhaustivos. Esto implica que al menos uno de los eventos debe producirse en un determinado experimento. Volviendo al ejemplo del dado de seis lados, el conjunto de eventos posible es “uno”, “dos”, “tres”, “cuatro”, “cinco” y “seis”. Son recíprocamente excluyentes en cuanto sólo es posible un evento por vez. De modo similar, son colectivamente exhaustivos en cuanto se debe producir uno de los eventos a cada tiro del dado. Dadas estas dos propiedades, tenemos un resultado muy importante: Si una colección de eventos es recíprocamente excluyente y colectivamente exhaustiva la suma de las probabilidades equivale a 1. En resumen, la probabilidad clásica y todas sus implicancias se aplica cuando cada uno de los eventos tiene la misma probabilidad de ocurrir y el conjunto de eventos es recíprocamente excluyente y colectivamente exhaustivo. Dadas estas características, podemos concluir que a fin de establecer la probabilidad de un determinado evento, no necesitamos realizar un experimento. Tenemos toda la información necesaria para calcular la probabilidad del evento. El concepto de frecuencia relativa nos permite arribar a la probabilidad de que se produzca un determinado evento a largo plazo sobre la base de qué fracción de tiempo ese mismo evento se ha producido en el pasado. Ejemplo de ello sería la cantidad de veces que el rendimiento de un bono del Tesoro a 30 años ha variado en más de 100 pb en una misma sesión de operaciones. Podríamos observar retrospectivamente un determinado período y calcular la probabilidad de que esto suceda en el futuro. Por ejemplo, podemos decir que durante los últimos dos años, aproximadamente en 500 sesiones de operaciones, el rendimiento varió más de 100 pb 5 veces. Así, diríamos que la probabilidad de que dicha oscilación se produzca es de 5/500 ó 1%.

Probabilidad subjetiva

A menudo, no se cuenta con datos del pasado sobre los cuales calcular o estimar la probablidad de que se produzca un evento. O los eventos que generaron los datos históricos pueden no necesariamente producirse en el futuro. En este caso, se dice que el estimado de la probabilidad es subjetivo. Es decir, el estimado de probabilidad se basa sobre un conjunto de opiniones respecto de la probabilidad de eventos futuros. Un gran ejemplo sería el estimado de las velocidades de los pagos anticipados de hipotecas. Aun



Institutodel

Riesgo Financiero

cuando podamos contar con datos del pasado, sabemos que hacia adelante, la condiciones serán diferentes de modo que dichos datos pasados sólo tendrán una utilidad limitada. Las velocidades proyectadas a las que arribemos se basarán, en parte, sobre nuestras opiniones respecto de la probabilidad del comportamiento del mercado y del tomador. Al trabajar con modelos estadísticos, siempre es importante comprender si se trata de una aplicación de probabilidad objetiva o de probabilidad subjetiva. Dado el enfoque de este curso, la gestión de riesgo de mercado, se puede dar por seguro que la mayoría de las aplicaciones se basarán en las medidas subjetivas de probabilidad. Desafortunadamente, es la naturaleza de la bestia. Dada la incertidumbre inherente de los estimados de probabilidades futuras del usuario, es de vital importancia establecer un nivel de confianza para interpretar los resultados de los modelos. El siguiente análisis nos conducirá por el camino para determinar una medida de resultados esperados así como también niveles de confianza para estos resultados proyectados. Por ejemplo, muchas entidades utilizan un modelo de VaR (valor a riesgo) para estimar su exposición al riesgo de mercado. Algunas lo hacen voluntariamente, aunque muchas lo deben hacer en cumplimiento con el Acuerdo sobre Capitales Mínimos del Comité de Basilea. El VaR de una cartera se define como el potencial máximo de pérdida a lo largo de un determinado período de tenencia a un determinado nivel de confianza, en condiciones de mercado normales. El uso del VaR supone que las oscilaciones en los mercados financieros se producen de una manera relativamente azarosa; especialmente aquellas que se puedan describir con una curva de distribución normal con forma de campana. La hipótesis de normalidad permite al usuario inferir la probabilidad de determinados eventos. (Ver trabajo sobre Medición y gestión del riesgo de mercado.) Cuando revisa un modelo de VaR, el usuario podría afirmar que su límite de VaR diario sobre una cartera es de U$S1.000.000. Es decir, el máximo que se podría esperar perder en un solo día es U$S1.000.000. Para que este número resulte de utilidad se necesita al menos un dato adicional: el nivel de confianza del límite de pérdida. En otras palabras, ¿están diciendo que la probabilidad de perder U$S1.000.000 o más es cero? ¿Es 1%? ¿5%? Según el Acuerdo, los modelos de VaR se deben construir de manera tal que la probabilidad de pérdida por sobre su límite determinado sea sólo de 1%. En otras aplicaciones, como la gestión de riesgo interna, los usuarios pueden emplear otros niveles de confianza. A continuación, analizaremos cómo encajan las distribuciones normales de probabilidad en el marco de la probabilidad y la estadística. Distribuciones de probabilidades Las distribuciones de probabilidades brindan un listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado. Para una determinada distribución, la variable que se está midiendo puede ser discreta o contínua. Una variable discreta aleatoria puede asumir sólo determinados valores claramente separados que resultan de un conteo de un ítem de interés; por ejemplo, la cantidad de ciudadanos que votan a favor de una reducción de los impuestos a la propiedad locales. Una variable aleatoria contínua puede asumir una cantidad infinítamente grande de valores; el peso de una muestra de camiones grúa. Lógicamente, si organizamos un conjunto de variables aleatorias discretas en una distribución de probabilidades, la distribución es de probabilidad discreta. De manera similar, si organizamos un conjunto de variables aleatorias contínuas en una distribución de probabilidades, la distribución será de probabilidad contínua. A menudo, la variable que se está midiendo es discreta pero se la toma como contínua. Esto se debe a que las distribuciones contínuas tienen unas buenas propiedades



Institutodel

Riesgo Financiero

matemáticas que facilitan el análisis estocástico. Tomemos el ejemplo del peso de los camiones grúa. Lo más probable es que la balanza mida en cientos de libras. Para que la distribución de pesos sea verdaderamente contínua, la balanza debe medir hasta un número infinito de decimales. Aun con esta limitación, generalmente supondríamos que la variable se distribuye de manera contínua. Respecto de los datos de mercado, como el precio de una acción, para que los precios sean contínuos, necesitarán cotizar a un número infinito de decimales. En la realidad, cotizan al 1/8, 1/16, ó 1/32 más cercano, según la bolsa. Nuevamente, en la mayor parte del análisis, se supone que los precios se distribuyen de manera contínua. Dado el alcance de este curso, existe una necesidad específica de comprender las propiedades y atributos de la distribución normal de probabilidades y determinadas distribuciones relacionadas. Por lo tanto, nuestro análisis estará limitado a estas distribuciones.. La distribución normal de probabilidades es un ejemplo de la distribución contínua de probabilidades. La distribución normal de probabilidades y su correspondiente curva normal tienen las siguientes propiedades:

La curva normal tiene forma de campana y un solo pico exactamente en el centro de la distribución. El promedio, mediana y modo aritméticos de la distribución son iguales entre sí y están ubicados en el pico de la distribución. Así, la mitad de la superficie debajo de la curva está por encima del punto central y la otra mitad, por debajo de él.

La distribución normal de probabilidades es simétrica alrededor de su promedio. Si hiciéramos un corte vertical de la curva normal en su valor central, ambas mitades serían imágenes especulares.

La curva normal cae afuera suavemente en ambas direcciones desde su valor central. Es asintótico, lo cual significa que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás lo toca. Las dos "colas" de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones. Sin embargo, para los problemas del mundo real, esto es un tanto irrealista.

La figura 5-1 muestra el gráfico de una distribución normal.

Prob

abili

dad



Institutodel

Riesgo Financiero

Figura 5-1 Distribución normal Una distribución normal se describe completamente con dos variables: el promedio y el desvío estándar. El promedio está representado por la letra µ y el desvío estándar, por σ. Existe una cantidad infinita de distribuciones normales, cada una con un promedio y una distribución estándar potencialmente diferentes. Dada la cantidad de dichas distribuciones, podría pensarse que es difícil comparar variables que se distribuyen normalmente, aunque con promedios y desvíos estándar diferentes. Sin embargo, es posible transformar cualquier variable que se distribuye normalmente con promedio µ y desvío estándar σ en una variable con distribución normal estándar. En la distribución normal estándar µ equivale a 0,0 y σ equivale a 1,0. Para transformar el valor de muestra tomado de una distribución normal no estándar al valor equivalente de una distribución normal estándar, se computa el valor Z de la muestra. El valor Z se calcula de la siguiente manera:

(5-9) σµ−

=XZ

donde X es el valor de una observación o medición cualquiera, µ es el promedio de la distribución original y σ es el desvío estándar de la distribución original. El valor Z mide la distancia entre la observación tomada y el promedio en unidades de desvío estándar. Calculando el valor Z de cualquiera de los miembros de una distribución normal, podemos calcular la probabilidad de la distribución utilizando una única tabla conocida como Tabla Normal Estándar. Funcionará para cualquier variable que se distribuya normalmente. Supongamos que tenemos una distribución de precios para alguna catergoría de bonos de cupón cero. Si una observación X equivale a U$S50,00 y la distribución tiene un promedio igual a U$S30,0 y un desvío estándar de U$S10,047. Utilizando la ecuación 5-9, computamos el valor Z de la siguiente manera:

91.1047.10

00.3000.50=

−=Z .

Refiriéndonos a la Tabla Normal Estándar, veremos que la probabilidad es 0,4719. Interpretaríamos este valor para significar que 47,19% de la superficie debajo de la curva está entre el promedio y el valor X que está a 1,91desvíos estándar del promedio; U$S30,00 y U$S50,00, respectivamente. También podemos interpretar el 47,19% como la probabilidad de que una observación se encontrará entre U$S30,00 y U$S50,00. Si quisiéramos conocer el porcentaje de todos los valores debajo de la distribución que son inferiores a U$S50,00, sólo necesitaríamos darnos cuenta de que el 50% de los valores están debajo del promedio. Por lo tanto, el porcentaje de valores que están por debajo de U$S50,00 es 0,4719 + 0,5000, ó 0,9719, que es el 97,19%. Si quisiéramos conocer el porcentaje de valores entre U$S25,00 y U$S35,00, necesitaríamos calcular los valores Z para cada una de estas observaciones. Podríamos darnos cuenta de que cada una de estas



Institutodel

Riesgo Financiero

observaciones es equidistante del promedio y por lo tanto tiene los mismos valores Z absolutos. Para X igual a U$S25,00, el valor Z es igual a:

4977.0047.10

00.3000.25−=

−=Z .

Deberá notar que sólo encontrará valores Z positivos en la Tabla Normal Estándar. Esto se debe a la simetría de la distribución normal, lo cual significa que la probabilidad asociada a una determinada Z es exactamente igual a la probabilidad asociada a su inverso aditivo. Buscando Z de 0,4977, el porcentaje de valores entre ella y el promedio es 19,06%. El valor Z de la observación igual a U$S35,00 indica una probabilidad de 19,06%. Para obtener el porcentaje de valores entre U$S25,00 y U$S35,00, simplemente sumamos ambas probabilidades para obtener 38,12%. En otras palabras, dada la distribución de precios, tenemos una chance mejor que 1/3 de que un precio seleccionado al azar esté entre U$S25,00 y U$S35,00. Podríamos querer saber la probabilidad de un precio inferior a U$S20,00. Primero debemos calcular el valor Z correspondiente, que es –0,9953. Refiriéndonos a la Tabla Normal Estándar, nos da una probabilidad de 34,01%. Recordemos que esta probabilidad es para un valor entre la observación y el promedio. Para encontrar la probabilidad de que el valor sea inferior a la observación de U$S20,00, debemos restar esta probabilidad del 50,00%, que da 15,99%. En otras palabras, la probabilidad de que un precio seleccionado al azar esté por debajo de U$S20,00 es aproximadamente 16,00%. Las siguientes generalizaciones serán de utilidad para su análisis:

Aproximadamente 68% de la superficie debajo de la curva normal está entre un desvío estándar del promedio más uno y menos uno , µ±1σ, o entre Z = -1,0 y Z = +1,0.

Aproximadamente 95% de la superficie debajo de la curva normal está entre desvíos estándar del promedio más dos y menos dos, µ±2σ, o entre Z = -2,0 y Z = +2,0.

Prácticamente toda la superficie (99,74%) debajo de la curva normal está entre desvíos estándar del promedio más tres y menos tres, µ±3σ, o entre Z = -3,0 y Z = +3,0.

Deberá sentirse cómodo con los pasos necesarios para calcular e interpretar el valor Z. También verá cómo se puede utilizar esta transformación para comparar observaciones tomadas de diferentes distribuciones que pueden tener diferentes promedios, desvíos estándar e incluso unidades de medida. Otro tipo de función de distribución con el que deberá familiarizarse es la función de distribución acumulada. La función de distribución acumulada da la probabilidad acumulada asociada a un determinado resultado de un experimento. Es decir, muestra la probabilidad de todos los valores menores o iguales a dicho resultado. Los valores de una función de distribución acumulada siempre están entre 0 y 1. La distribución normal estándar acumulada es la función de distribución acumulada de una distribución normal estándar. Para el promedio de la distribucion, que es 0, el valor de la distribución normal estándar acumulada es 0,5. Es decir, hay un 50% de probabilidades de que un valor de la muestra sea menor o igual a cero. La figura 5-2 muestar un gráfico de la distribución normal estándar acumulada.



Institutodel

Riesgo Financiero

Encontrará la distribución normal estándar acumulada cuando vea la fórmula de fijación de precio de opciones Black-Scholes. Los valores de la función están en las tablas que aparecen en las últimas hojas de la mayoría de los textos de estadísticas. Figura 5-2 Distribución normal estándar acumulada

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

Prob

abili

dad



Institutodel

Riesgo Financiero

Puntos clave para recordar:

El promedio de un conjunto de datos se calcula como la suma de todas las observaciones de una población, dividido la cantidad de valores de la población.

La mediana de un conjunto de datos es el valor del medio. El modo de un conjunto de datos es la observación más frecuente. El desvío promedio de un conjunto de datos es el promedio de la distancia absoluta de cada

observación al promedio. La varianza de una población es la suma del cuadrado de la distancia de cada observación desde el

promedio dividido por la magnitud del conjunto de datos. La varianza de una muestra es la suma del cuadrado de la distancia de cada observación desde el

promedio dividido por la inferior a la magnitud del conjunto de datos. El desvío estándar es la raíz cuadrada de la varianza.. El coeficiente de variación es la relación entre el desvío estándar y el promedio. Para una distribución normal de probabilidades, el promedio, la mediana y el modo son iguales. La distribución normal estándar tiene un promedio de 0 y un desvío estándar igual a 1. El valor Z se calcula tomando la diferencia entre el valor de la observación y el promedio de la

muestra, dividiendo por el desvío estándar de la muestra.



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 5: Probabilidad y estadística - Preguntas de repaso Para las siguientes siete preguntas, utilice los siguientes datos: Datos de la muestra: 4, 15, 28, 28, 35, 49, 56, 61, 75 1. ¿Cuál es el promedio de la muestra? a. 28 b. 35 c. 39 d. 49 2. ¿Cuál es la mediana de la muestra? a. 28 b. 35 c. 39 d. 49 3. ¿Cuál es el modo de la muestra? a. 28 b. 35 c. 39 d. 49 4. ¿Cuál es el desvío promedio? a. 0,6 b. 18,9 c. 23,0 d. 528,5 5. ¿Cuál es el desvío estándar? a. 0,6 b. 18,9 c. 23,0 d. 528,5 6. ¿Cuál es la varianza? a. 0,6 b. 18,9 c. 23,0 d. 528,5 7. ¿Cuál es el coeficiente de variación? a. 0,6 b. 1,7 c. 18,9



Institutodel

Riesgo Financiero

d. 23,0 8. Un inversor neutral al riesgo debe elegir entre dos inversiones A y B recíprocamente excluyentes ,

donde A tiene un retorno esperado del 8% y un desvío estándar del 12% y B un retorno del 12% y un desvío estándar del 18%. ¿Qué inversión elige?

a. A. b. B. c. Le resulta lo mismo A o B. d. No cuenta con la información suficiente como para tomar un decisión correcta. 9. ¿Cuál es el valor Z de un valor de muestra de 8,4 tomado de una distribución con un promedio de 9,5

y un desvío estándar de 2,5? a. -1,1 b. 1,1 c. –0,44 d. 0,44



Institutodel

Riesgo Financiero

Sección 6: Introducción a la teoría de fijación de precio de las opciones

OBJETIVOS: Comprender el comportamiento básico de los precios de las opciones como requisito previo a

la comprensión de los modelos de fijación de precio de las opciones Poder describir el proceso estocástico Poder utilizar el modelo estocástico (proceso Weiner generalizado) de retorno de acciones Comprender el modelo de fijación de precio binómico Comprender la aplicación del modelo de fijación de precio Black-Scholes

En esta sección se brinda una breve introducción a la teoría de fijación de precio de opciones. El objetivo no es que resulte completa sino más bien apunta a dar un lugar de partida desde el cual iniciar un estudio más profundo de la materia. El análisis se concentra en un par de modelos básicos de fijación de precio de opciones sobre acciones. Las variaciones de estos modelos básicos se utilizan en la práctica para fijar el precio de las opciones sobre tasas de interés y divisas, así como también opciones complejas sobre todo tipo de títulos valores subyacentes. Como este análisis sólo se ocupa de modelos de opciones sobre acciones, la primera sección detalla características observadas en los precios de las acciones. Esto conducirá al desarrollo de un modelo de precio de acciones general. A continuación, una introducción al modelo de fijación de precio binómico, modelo matemático que le permitirá analizar y valuar muchos tipos de productos derivados. Finalmente, introducimos el modelo de fijación de precio de opciones Black-Scholes. El modelo Black-Scholes es un caso especial limitante del modelo binómico y es un modelo de referencia utilizado por los participantes del mercado de opciones sobre acciones. Recordarán que un instrumento derivado es un instrumento financiero cuyo valor depende del valor de una o más variables subyacentes, como ser el precio de una acción, una tasa de interés o el valor de alguna moneda extranjera. Una opción es una especie particular de derivado que brinda al tenedor la opción, pero no la obligación de comprar o vender un determinado título; por ejemplo, una acción o un commodity, a un precio previamente especificado en una determinada fecha futura. En particular, una opción de compra (call) es el derecho a comprar y una opción de venta (put) es el derecho a vender. En una sección posterior del curso se da un análisis detallado de las opciones.

REPASO DEL COMPORTAMIENTO DEL PRECIO DE LAS ACCIONES Si nuestro objetivo es fijar el precio de una opción sobre una acción, por ejemplo, una opción de compra sobre la acción XYZ, primero deberíamos darnos cuenta de que el valor de la opción es una función del precio de la acción XYZ14. Por lo tanto, todos los modelos de fijación de precio de opciones necesitan poder caracterizar la evolución del precio del papel o commodity subyacente del cual se deriva el valor de la opción. Por lo tanto, una pieza clave del modelo de fijación de precio de las opciones es un modelo que 14 Al vencmiento, una opción de compra tendrá un valor igual a max[0,S-X], donde S es el precio de contado del papel y X es el precio de ejercicio de la opción; por ejemplo, si usted tiene una opción de compra sobre la acción XYZ, que tiene un precio de ejercicio de U$S50,00 y un precio de mercado corriente de la acción XYZ de U$S60, la opción de compra vale U$S10.



Institutodel

Riesgo Financiero

capturará el comportamiento del precio de la acción a lo largo del tiempo. (De manera similar, si fijamos el precio de una opción sobre tasa de interés, necesitamos un modelo que pueda describir las fluctuaciones de las tasas de interés a lo largo del tiempo.) Los modelos de precios de acciones en consecuencia incorporan características observadas en el comportamiento del precio de las acciones. La primera de estas característica es la suposición de que los precios de las acciones son determinados por un mercado eficiente. Un mercado es eficiente es aquél en el que los precios de los títulos valores reflejan plenamente toda la información disponible. De la teoría de mercado de capitales, recordarán que hay tres formas de eficiencia de mercado; la forma débil, la forma semi-fuerte y la forma fuerte. La eficiencia débil dice que el precio de un título valor refleja plenamente toda la información histórica del precio de dicho papel. Se han realizado numerosos estudios empíricos para testear esta forma de hipótesis, la mayoría de los cuales dan lugar a conjeturas.15 Una de las implicancias de la eficiencia débil es que en las oscilaciones históricas de precios no hay información útil respecto de las oscilaciones futuras de los precios. La eficiencia semi-fuerte establece que toda la información disponible al público está plenamente incorporada en los precios de las acciones. Al igual que con la eficiencia débil, la mayoría de los estudios avalan esta hipótesis, si bien se destacan algunas excepciones. Una de las implicancias de la eficiencia semi-fuerte es que es improbable que el análisis fundamental revele discrepancias en la fijación de los precios ya que toda la información públicamente disponible sobre la compañía se refleja plenamente en el precio de la acción. La eficiencia fuerte dice que toda la información disponible en forma pública y privada se refleja en los precios de las acciones. Sin embargo, se ha demostrado en estudios académicos que personas con acceso a información material no pública, por ejemplo, aquellas personas que están dentro de las empresas y los especialistas de mercado, pueden utilizar dicha información para generar retornos excesivos. Si aceptamos al menos una forma débil de eficiencia de mercado, se puede demostrar que las oscilaciones en los precios de las acciones son fáciles de encajar en un modelo a través del proceso estocástico. El proceso estocástico es aquel cuyos resultados son influenciados por eventos al azar a lo largo del tiempo. En vez de tener precios futuros conocidos, utilizando este proceso, nos damos cuenta que cualquier precio futuro tiene algún elemento de incertidumbre asociado a él. Comenzamos con lo que ya sabemos respecto de la distribución de los retornos de acciones. Los retornos de acciones son considerados relativamente constantes, al menos a lo largo de períodos cortos; lo cual es opuesto al precio de la acción, que generalmente se espera que, con el tiempo, suba. Combinamos esto con la observación de que la mayoría de los participantes del mercado creen que el retorno de una acción es independiente de su precio; es decir, es probable que una acción de U$S10 suba un 10%, al igual que una de U$S100. Por lo tanto, nuestro modelo comienza con la afirmación de que el retorno logarítmico16 de una acción se distribuye normalmente. Esta suposición, a su vez, implica que los precios de las acciones en sí mismos se distribuyen de manera logarítmica normal. La mayoría de los modelos suponen

15 Para un análisis más detallado ver Investment Analysis and Portfolio Management, 5th ed., Reilly, Frank K. and Brown, Keith C., Dryden, 1997, Ch. 7 Efficient Capital Markets. 16 Si el precio de una acción en tiempo t es St, y en tiempo t+1 es St+1, el retorno logarítmico entre t y t+1 se calcula de la siguiente manera: ln(St+1/ St). El retorno logarítmico se calcula suponiendo una capitalización de intereses contínua. Contrariamente a los retornos normales, con capitalización de intereses en un intervalo discreto, se utilizan los retornos logarítmicos porque facilita significativamente el manejo de la matemáticas subyacente. Si bien la capitalización contínua de los intereses no es una hipótesis totalmente realista, los precios de los modelos que se basan en esta hipótesis tienden a estar muy cerca de los precios de la plaza.



Institutodel

Riesgo Financiero

todavía que los retornos logarítmicos de períodos correlativos son variables independientes de distribución normal.17 La primera expresión que presentamos es para la distribución del retorno logarítmico. A modo de intuición, simplemente dice que a mayor tiempo que se mantenga el título, mayor incertidumbre habrá respecto de su retorno esperado. Esto se debe a que existe una mayor oportunidad de que el mercado reciba noticias o información al azar que afectará la valuación que el mercado hará del título. Si α representa el retorno logarítmico esperado por año y σ el desvío estándar por año, el retorno logarítmico esperado y el desvío estándar por unidad de tiempo, ∆t, es α∆t y σ√∆t. El retorno logarítmico, r, se puede expresar de la siguiente manera: (6-1) Zttr ∆+∆= σα , donde Z representa la variable al azar normal estándar18. Nota: La ecuación 6-1 es el modelo mayormente utilizado para el comportamiento del precio de las acciones. También podemos derivar la expresión implícita del retorno simple de la acción durante un determinado período de tenencia ∆t. Utilizando las mismas variables que más arriba, donde α es el retorno logarítmico esperado por año y σ el desvío estándar por año, el retorno simple será igual a lo siguiente: (6-2) ZttSS ∆+∆=∆ σµ/ , donde 2/2σαµ += . Observe que tenemos dos promedios en estas ecuaciones, α y µ. α es el retorno anual promedio dado una capitalización de intereses contínua y µ es el retorno anual promedio sin capitalización de intereses. He aquí una aplicación de la ecuación 6-1. Si se nos da un retorno esperado anualizado para una acción y el desvío estándar del retorno (calculado para un determinado período histórico), podemos calcular la probabilidad de lograr un determinado retorno para un período de tenencia futuro. Por ejemplo, supongamos que IBM tiene un retorno logarítmico esperado de 20% por año y una volatilidad (desvío estándar) de 30% por año. Si suponemos un período de tenencia de 6 meses, el retorno logarítmico esperado es 10% y la volatilidad es 21,2% (=30%*√0.5). Si queremos saber qué probabilidad hay de que el retorno logarítmico supere el 18% para el período de tenencia de 6 meses, podemos computar la estadística Z y buscar la probabilidad resultante en una tabla normal estándar. La estadística Z se calcula de la siguiente manera:

17 Esto surge de la suposición de la eficiencia de mercado; es decir, donde los retornos futuros no se corresponden en serie con los retornos pasados. Ver Derivative Markets: Theory Strategy, and Applications, Ritchken, Peter, Harper Collins, 1996, Ch. 7 The Stochastic Process of Stock Prices, p. 164-6, para un análisis del comportamiento del retorno de acciones. 18 Z es un número generado al azar tomado de la distribución normal estándar. Recuerde que la distribución normal estándar tiene un promedio igual a 0 y el desvío estándar equivale a 1.



Institutodel

Riesgo Financiero

377.0212.0

)10.018.0(=

−=Z

. De una tabla normal estándar, podemos calcular

%3.35)377.0( =>ZP . En otras palabras, la probabilidad de que el retorno logarítmico supere el 18% es 35%. A través de diversas manipulaciones algebraicas, también podemos derivar expresiones para el valor esperado y el desvío estándar del precio de una acción en un determinado tiempo T en el futuro. La ecuación 6-3 expresa el precio esperado y la ecuación 6-4 expresa el desvío estándar. (6-3) TeSTSE )2/(

0

2

)]([ σα+=

(6-4) [ ]1)]([)]([22 −= TeTSETSsd σ ,

donde S0 es el precio de contado corriente de la acción, α es el retorno logarítmico esperado por unidad de tiempo, y σ2 es la varianza (el cuadrado del desvío estándar) del retorno. Utilizando el retorno logarítmico esperado y el desvío estándar de la acción analizada más arriba (α = 0,20 y σ = 0,30), y suponiendo que el precio corriente de la acción es U$S100, podemos calcular el precio esperado y el desvío estándar para el tiempo T (a 6 meses) utilizando las ecuaciones 6-3 y 6-4 de la siguiente manera:

03.113$100$)]([ 5.0)2/)30.0(20.0( 2

== +eTSE

[ ] [ ] 25.24$103.113$)]([ 5.0)30.0(2 2

=−= eTSsd .

MODELO BINÓMICO DE FIJACIÓN DE PRECIO En esta sección, presentamos el modelo binómico de fijación de precio de opciones. La fijación de precio binómica es un método numérico que permite analizar y valuar muchos tipos de productos derivados, desde las opciones de venta y de compra (puts y calls) más sencillos hasta los productos más complejos como las opciones de tasa promedio y las opciones barrier. El objeto de esta sección es dar un panorama general de los conceptos de fijación binómica de precio utilizando simples opciones europeas y americanas como ilustración19. La comprensión de estos casos que no presentan complejidad es un importante paso adelante hacia la comprensión de estructuras más complejas. El modelo binómico que analizaremos es el conocido latis Cox-Ross-Rubenstein.20

19 La opción europea se puede ejercer al vencimiento, la opción americana se puede ejercer en cualquier momento entre su origen y el vencimiento. 20 Cox, J., Ross, and Rubinstein, “Option Pricing: A Simplified Approach,” Journal of Financial Economics, 7 (Octubre 1979), p. 229-264.



Institutodel

Riesgo Financiero

Modelos con reticulado

Los modelos de fijación de precio de opciones vienen en muchas variedades, y se siguen desarrollando y mejorando nuevos modelos. Los traders y otros profesionales los mejoran para intentar que sus modelos se acerquen lo más posible a la realidad. En todos los casos, los modelos emplean distribuciones de probabilidad para describir cómo evolucionan las tendencias de los precios. El modelo binómico, al igual que muchos otros, crea una distribución de los precios. La distribución no necesariamente debe ser normal y se aplica a toda norma que rija la evolución del precio del activo subyacente —siempre y cuando la norma se pueda traducir en un árbol binómico—. La distribución terminal puede ser normal, pero ello puede ser simplemente el resultado del teorema de límite central Al utilizar un reticulado binómico, explícitamente está creando una distribución potencial futura de precio de la cual se supone que derivan los valores de la opción. Una vez que se ha establecido esta distribución de precios posibles del activo, el modelo comienza con los valores terminales (ver “Su3 → Sd3” en la figura 6-1) y funciona hacia atrás en el árbol, descontando los valores terminales en cada nodo por las tasas de descuento apropiadas "ajustadas por probabilidad" (también conocidas como precios Arrow-Debreu) para determinar el precio de la opción.

Modelos con reticulado vs. modelo Black-Scholes

Antes de seguir adelante, haremos una breve digresión. El Modelo Black-Scholes (BSM) es el pilar de la mayor parte de la teoría de fijación de precio de opciones, y su creación fue, en cierto modo, como "la gallina antes que el huevo". Es decir, la resolución de una ecuación diferencial parcial deriva del precio de la opción del BSM. Este cómputo no es tan intuitivo como el reticulado binómico, y resulta interesante, en el limite3, que el resultado producido por el reticulado binómico converge en el del BSM. Este es un punto interesante de comprender porque destaca la similitudes entre ambos enfoques. Comprender uno de ellos permitirá comprender el otro. Así, uno se pregunta, ¿por qué usar un modelo binómico si el BSM y el binómico convergen en el límite21? Si bien el BSM es indiscutidamente el modelo de fijación de precio de opciones más conocido, lo que no es tan conocido es que sin modificaciones, el BSM es limitado en cuanto a flexibilidad debido a que la solución se basa en la fórmula (una ecuación de forma cerrada) y a las hipótesis de una tasa de interés constante, dividendos cero y volatilidad estática. Aun cuando el enfoque general binómico comparte algunas de estas limitaciones, es un modelo dinámico que permite variaciones en las hipótesis del BSM de manera que se pueden implementar tanto intuitiva como fácilmente. Además, el BSM se basa en las opciones europeas y aunque se le puede hacer modificaciones para acomodarlos a las opciones americanas (por ej., Barone-Adesi y Whaley22), estos modelos no son tan flexibles como el método del árbol binómico.

21 Por “en el límite,” nos referimos a la cantidad de pasos del latis. Un latis binómico comprende una cantidad discreta de pasos; sin embargo, a medida que los pasos se acercan al infinito (es decir, el límite), el valor converge con los valores del BSM. 22 El modelo BAW, también conocido como la aproximación cuadrática, está estructurado de manera que debe dar valores más altos que el BSM, una restricción razonable dado que las opciones americanas se pueden ejercer en cualquier momento antes del vencimiento.



Institutodel

Riesgo Financiero

El reticulado binómico

¿Qué es un reticulado binómico? El reticulado binómico adopta la siguiente forma

donde, So = precio de activo inicial Su = precio del activo en la suba (donde u es un factor multiplicador) Sd = precio del activo en la baja (donde d es un factor multiplicador) p = la probabilidad de un movimiento ascendente 1-p = la probabilidad de un movimiento descendente En este diagrama simple, el activo subyacente (So) sólo se puede mover en dos direcciones futuras posibles: ascendente o descendente. Desde este simple mundo de dos estados, es muy fácil imaginar un mundo en el que el reticulado binómico se replica muchas veces, como se observa en la figura 6-1, donde cada nodo representa un momento en el tiempo.

Este proceso se puede aplicar repetidamente hasta que se hayan producido un gran número de resultados posibles. Sin embargo, a esta altura, debemos desarrollar un concepto que explica cómo se despliegan los estados ascendente y descendente. Es decir, a fin de computar el precio exacto de una opción, debemos construir un modelo que explique cómo se comporta el activo subyacente. (Gran parte de esta explicación ya se dio en la sección anterior, pero se repite aquí para mayor claridad.) Recuerden que un proceso estocástico es aquél en el que los resultados futuros son inciertos. Es decir, hay un nivel de azar en cómo se despliegan los estados futuros. Recuerden también que la hipótesis de los mercados eficientes de forma débil implica que no se puede utilizar patrones de precios pasados como base para obtener retornos sobre el promedio. Este concepto se relaciona nominalmente a una propiedad estocástica conocida como proceso Markov. El proceso Markov está incorporado en la mayoría de las estructuras binómicas de fijación de precio de opciones y, más específicamente, un tipo especial de proceso Markov conocido como el modelo Wiener. Este modelo se utiliza para crear los límites dentro de

Sup

So1-p

Sd

Su3

Su2

Su Su2d

So SuSd

Sd Sud2

Sd2

Sd3

Figura 6-1 – Reticulado binómico de 3 períodos



Institutodel

Riesgo Financiero

55.4.0

71828.2×

55.4.0

71828.2×−

los cuales deben fluir los precios binómicos del activo subyacente. Utilizando este modelo, el punto hasta el cual se puede extender el precio de un activo se da en estas dos ecuaciones: Movimiento ascendente (u) = Movimiento descendente (d) = donde e = base de logaritmo natural s (e = 2,71828) s = volatilidad (es decir, el desvío anualizado estándar de un retorno) Dt = modificación en el tiempo, como función de los pasos del reticulado23

Fijación de precio de opciones utilizando el modelo binómico

Supongamos una opción de venta europea con las siguiente variables. (Nota: con el modelo binómico se puede fijar el precio de opciones europeas y americanas.)

Variable Símbolo Valor Precio del activo So U$S30 Precio de ejercicio X U$S35 Tasa libre de riesgo r 6,5% Volatilidad σ 40% Tiempo T 0,5 Rendimiento Y 2%

Tabla 6-1 Características de la opción de venta (put) Utilizando las ecuaciones y variables que figuran más arriba, podemos construir un árbol binómico; en este caso un reticulado binómico de cinco pasos de tiempo. Para comenzar, debemos cuantificar el grado en que se puede mover en forma ascendente o descendente el activo subyacente (en nuestro ejemplo, una acción). La fórmula para un proceso Weiner que se describe más arriba nos brinda el patrón “de tendencia”. Insertando los valores adecuados, obtenemos los siguientes resultados: Movimiento ascendente (u) = = 1.135 Movimiento descendente (d) = = 0.881

23 El intervalo de tiempo se define como el tiempo total hasta el vencimiento del contrato (0,5 si es de seis meses) dividido la cantidad de pasos del reticulado binómico. Es decir, t/n.

te ∆σ

te ∆−σ



Institutodel

Riesgo Financiero

Así, si subiéramos un paso del valor de hoy de U$S30, el valor pasaría a ser U$S34,045 (U$S30 por 1,135); el valor descendente sería igual a U$S26,435 (U$S30 por 0,881). Continuando con este proceso en cada nodo por todo el árbol por los cinco pasos, terminamos con el árbol de la figura 6-2.

Figura 6 – 2 Distribución del precio de una acción Dada esta distribución, ahora necesitamos determinar el valor terminal esperado de la opción en cada uno de los 6 nodos. Por ejemplo, en el nodo Sd5 (es decir, U$S15,939) el valor implicado es U$S19,061, que es el valor terminal esperado de U$S15,939 menos la tasa de ejercicio de U$S35. En el nodo Sd4u1, el valor es U$S14,473; en el nodo Sd3u2, el valor es U$S8,565; en Sd2u3, el valor es U$S0,955; y en los nodos Sdu4 y Su5, los valores son U$S0. Una vez que se obtienen estos valores terminales, los valores propuestos se descuentan en cada nodo según lo que anteriormente nos referimos como factores de descuento "ajustados por probabilidad". A fin de obtener estos factores de descuento, utilizamos las siguientes fórmulas:

AD+ = ntr

ntYr

edu

de

/*

/)*(

)(

−

−−

AD- = 1 – AD+ Aplicando estos factores de descuento en cada nodo del árbol, obtenemos la distribución que se ilustra en la figura 6-3.

56,467Stock 49,758Price 43,845 43,845

38,636 38,63634,045 34,045 34,045

30,000 30,000 30,00026,435 26,435 26,435

23,294 23,29420,527 20,527

18,08815,939

Figure 6-2 - Price distribution of a stock



Institutodel

Riesgo Financiero

Figura 6 – 3 Valores descontados de los precios de las opciones potenciales – árbol binómico de cinco pasos (Opción europea – Precio de la opción) Aquí vemos que el valor de la opción de venta europea es U$S5,973. A fin de demostrar la efectividad del modelo, hemos dado los valores de la misma opción utilizando dos modelos adicionales, que aparecen en la tabla 6-2.

Modelo Valor de referencia

N = 5 N = 30 N = 50 N = 100

Modelo de referencia24

U$S6,042

Binómico U$S5,973 U$S6,065 U$S6,033 U$S6,046 Trinómico

U$S6,032 U$S6,037 U$S6,046 U$S6,042

Tabla 6-2 Comparación de precios de la opción de venta utilizando diversos modelos El modelo binómico lo acerca al valor benchmark con sólo 5 pasos de tiempo. Con 30 pasos (que es el mínimo que generalmente se utiliza), el valor es casi exacto. Ahora que hemos creado este reticulado para valuar una opción europea, ¿cómo aplicaría usted el árbol para valuar una opción americana? Para utilizar un árbol para valuar una opción americana, en vez de descontar el valor terminal en cada nodo, debemos evaluar cuál es el valor intrínseco de la opción en cada nodo y comparar dicho valor con el valor descontado en ese nodo. Es decir, max[valor intrínseco,25 AD valor descontado]. Dicho de otra manera, estamos determinando si la opción vale más "muerta" o "viva". Si en un determinado nodo encontramos que el valor intrínseco es mayor que el descontado, reemplazamos el valor intrínseco en ese nodo (por el valor descontado) y luego continuamos volviendo hacia atrás en el árbol. Como ejemplo, ver la figura 6-4 más adelante. En este caso, se trata de la misma opción que describimos más atrás; sin embargo, ahora tenemos el derecho, pero no la obligación, de ejercer la opción en cualquier momento a partir de ahora hasta el vencimiento. 24 El modelo de referencia (benchmark) es el BSM ajustado por dividendos. 25 El valor intrínseco es simplemente el valor si se ejerce inmediatamente. Es el precio (valor) corriente menos el precio de ejercicio.

European Option 0.0000.000

Option 0.249 0.000Price 1.500 0.487

3.532 2.703 0.9555.973 5.501 4.833

8.359 8.218 8.56511.169 11.525

14.103 14.47316.722

19.061Figure 6-3 - Discounted values of potential option prices -five step binomial tree.



Institutodel

Riesgo Financiero

Figura 6-4 Valores descontados de los precios de las opciones potenciales – árbol binómico de cinco pasos Como hicimos en el ejemplo anterior, utilizamos las variables de la lista para crear una dispersión de valores. Como pueden ver, en el nodo Sd4 (es decir, U$S18,088 de la figura 6-2), el valor intrínseco es U$S16,912. Si creáramos las tasas de descuento ajustadas por probabilidad y las aplicáramos a los valores terminales de U$S19,061 (es decir, U$S35 - U$S15,939) y U$S14,473, veríamos que en el mismo nodo, el valor es U$S16,722. Como U$S16,912 (el valor de la opción si está muerta — el valor intrínseco—) es mayor que U$S16,722, reemplazamos el valor U$S16,912 en el árbol y continuamos con el mismo juego en cada nodo. Este proceso nos llevará al nodo inicial y nos dará el valor de la opción americana de la figura 6-5.

Figura 6-4 Valores descontados de los precios de las opciones potenciales – árbol binómico de cinco pasos

0,0000,000

0,249 0,0001,543 0,487

3,665 2,788 0,9556,231 5,719 5,000

8,738 8,565 8,56511,706 11,706

14,473 14,47316,912

19,061Figure 6-4 - Discounted values of potential option prices;five step binomial tree.

American Option 0,0000,000

Option 0,249 0,000Price 1,543 0,487

3,665 2,788 0,9556,231 5,719 5,000

8,738 8,565 8,56511,706 11,706

14,473 14,47316,912

19,061Figure 6-5 - Discounted values of potential option prices;five step binomial tree.



Institutodel

Riesgo Financiero

Así, en este ejemplo, el valor de la opción de venta americana es U$S6.23126 contra el valor europeo de U$S5,973. Los valores en negrita de la figura 6-5 representan aquellos nodos en los que el valor intrínseco es mayor que el valor o los valores descontados. Ahora que podemos derivar el valor de una opción con árboles binómicos como los anteriores, podemos —aunque no se dé cuenta— fijar el precio de opciones barrier de muy diferentes tipos, como las down-and-out, up-and-in, down-and-in y up-and-out. También puede modificar el árbol para fijar precio de opciones forward-start y productos de tasa promedio. Esto se debe a la enorme flexibilidad que se puede introducir dentro del modelo. A modo de breve ejemplo, una opción up-and-out utilizando nuestro modelo con una barrera de U$S50 (ver figura 6-2) tendría un valor de U$S1,23. Creamos este valor reemplazando Su5 (U$S56,467) del árbol de la opción por “0,” ya que el subyacente ha cruzado la barrera. Este valor no es muy exacto debido a los ajustes adicionales que hay que hacer, pero nos da una idea cómo se puede aplicar el modelo a estas situaciones. Esperamos —si es que ha llegado hasta aquí— que ya tenga una comprensión intuitiva del modelo binómico de fijación de precio de opciones. El enfoque es flexible y puede dar valores exactos en muchas situaciones diferentes de fijación de precios.

EL MODELO BLACK-SCHOLES En 1973, Fischer Black y Myron Scholes publicaron el primer modelo exitoso de fijación de precios de opciones financieras. El primer modelo se aplicaba a simples opciones de venta (puts) y de compra (calls) sobre acciones que no pagaban dividendos. Las metodologías que introdujeron se han expandido y se han comenzado a utilizar para la fijación de precio de una amplia gama de instrumentos derivados y créditos contingentes. En esta sección, presentamos la fórmula Black-Scholes y resolvemos un ejemplo simple. La derivación de este modelo no está dentro del alcance de este curso. Aquellos interesados en profundizar en el tema pueden consultar las referencias adecuadas.27 En la derivación de la ecuación Black-Scholes, suponemos que los mercados de acciones y de opciones no son objeto de fricción. Es decir, no existen gastos de negociación, márgenes iniciales ni impuestos. Se supone que los precios de las acciones son divisibles al infinito y que la negociación se lleva a cabo de manera contínua. Se supone que todos los inversores pueden tomar y prestar a la misma tasa constante libre de riesgo, r. Los precios de las acciones siguen un proceso Wiener con volatilidad conocida, σ. La acción no paga dividendos antes de la fecha de vencimiento, T. Finalmente, suponemos que la opción es para una sola acción de un capital accionario. 26 Utilizando la aproximación Barone-Adesi-Whaley de la solución generalizada del BSM, el valor analítico de referencia es U$S6,21. Utilizando 30 pasos en el latis binómico, el valor es U$S6,25; 100 pasos, el valor es U$S6,23. 27 Options, Futures, and Other Derivatives, 3rd ed. Hull, John. Prentice Hall, 1997 es un texto abarcador que analiza paso a paso el cálculo estocástico que hay detrás de la ecuación Black-Scholes. Derivative Markets: Theory, Strategy, and Applications, Ritchken, Peter. Harper Collins, 1996 pone mayor énfasis en la explicación del modelo desde un punto de vista intuitivo, analizando sus aplicaciones y extensiones, y repasando la evidencia empírica que apoya el modelo.



Institutodel

Riesgo Financiero

La ecuación Black-Scholes para el precio de una opción de compra europea figura en la ecuación 6-5. (6-5) )()( 21 dNXedSNC rT

v−−= .

Donde Cv es el valor de la opción de compra europea, S es el precio de contado de la acción, N(⋅) es la función de distribución normal acumulada, X es el precio de ejercicio de la opción, r es la tasa de interés libre de riesgo, T es el plazo restante al vencimiento de la opción y d1 y d2 se definen de la siguiente manera:

T

TrXS

dσ

σ )5.0(ln 2

1

++

= Tdd σ−= 12

Al utilizar el modelo Black-Scholes para establecer el precio teórico de una simple opción sobre una acción, puede observar que el precio es una función de diversos factores que describen los términos y condiciones del contrato. Estos factores son los elementos mínimos que forman parte de prácticamente todos los modelos para la fijación de precio de las opciones. Para recordar cuáles son los factores que influyen en el precio de una opción, podemos utilizar la sigla DIVEST (que en inglés significa “desinvertir”), y que se explica a continuación:



Institutodel

Riesgo Financiero

D Dividendos En los ejemplos de este documento, tomamos un instrumento que no paga dividendos, de manera que este no es un problema. Sin embargo, para opciones con flujo de fondos previos al vencimiento, sería importante evaluar la magnitud y el timing de los flujos de fondos al desarrollar el precio de una opción (para mayor información, ver el modelo Merton).

I Tasa de interés

La tasa de interés es la tasa que se utiliza para determinar el valor actual del precio de ejercicio estimado. Es similar a un factor de descuento; sin embargo, en la mayoría de los modelos de fijación de precio de opciones, se trata de una tasa de descuento de capitalización contínua. (En el análisis anterior utilizamos r como tasa de interés.)

V Volatilidad Para la fijación de precio de opciones, la volatilidad es sinónimo de desvío estándar, que en nuestro análisis hemos denotado con σ.

E Precio de ejercicio

Este es el precio al que se ejerce la opción. Generalmente, en la mayoría de las fórmulas se representa con una X.

S Precio de la acción

Si bien “S” representa a la acción (stock, en inglés), podría tratarse de cualquier otra variable Subyacente, no simplemente una acción.

T Tiempo al vencimiento

Este es el plazo o vencimiento de la opción.

Tabla 6-3 DIVEST – Variables del modelo de fijación de precio de opciones Black-Scholes El precio de la acción subyacente S y el precio de ejercicio X están íntimamente ligados a través de lo que llamamos el valor intrínseco de la opción. Sabemos que el valor intrínseco es importante para determinar el rinde de una opción; sin embargo, podemos ver por los parámetros recién citados que los dividendos, las tasas de interés, la volatilidad y el tiempo al vencimiento son consideraciones críticas. Estas son las variables que se utilizan para determinar el “valor tiempo” de la opción. Así, los factores que se utilizan en la ecuación Black-Scholes se concentran en cuantificar los dos componentes del valor de una opción: el valor intrínseco y el valor tiempo. Habiendo identificado los términos de nuestro contrato de opciones, ahora podemos utilizar el modelo Black-Scholes para computar el valor de una simple opción de compra sobre una acción. Recuerde que una opción de compra sobre una acción es la opción de comprar esa acción a un precio específico en una fecha futura. La tabla 6-4 contiene las variables de una opción hipotética.



Institutodel

Riesgo Financiero

Estilo Europeo (sobre la acción de ABC S.A.) Tipo Opción de compra (call) Precio subyacente (S) 100 Precio de ejercicio (X) 100 Tiempo al vencimiento 90 días (0,25 años) Tasa libre de riesgo 6% Volatilidad 20%

Tabla 6-4 Opción de compra hipotética Colocando los valores en los lugares correspondientes, obtenemos el siguiente cálculo28:

75.4)5398.0(100)5793.0(100 )25.0(06.0 =−= −eCv . A través de esta introducción, usted ya cuenta con los elementos básicos del modelo de fijación de precio de opciones Black-Scholes. Si bien este es un buen comienzo, aún no hemos visto cómo medir y evaluar el riesgo de las posiciones en opciones. Esto requiere de un análisis de la sensibilidades de las opciones, generalmente conocidas como las "griegas". Comprender las "griegas" es la clave para la valuación y gestión del riesgo de las posiciones en opciones. Esto se debe a que las "griegas" describen la sensibilidad del precio de una opción a diversos factores de mercado. Además, necesitaríamos ver cómo se pueden utilizar las opciones dentro de un contexto de gestión de activo/pasivo.

28 Los valores de la función de distribución normal acumulada se encuentran en las últimas páginas de muchos libros de estadística.

repaso de matemática financiera

Economy & Finance