MATEMÁTICA FINANCIERAPARA FINANCIEROS

Carlos Alberto Montealegre Escobar.

Administrador financiero.

CONTENIDO

o Las tasas de interés.

o Interés simple.

o Interés compuesto.

o Tasa de interés real (precios corrientes y constantes)

o Tasa de devaluación (TRM)

o UVR

o DTF

o Valor del dinero en el tiempo

o Pagos únicos.

o Inversiones de pago único

o Serie de pagos iguales

oAnualidades vencidaso Valor presente de una anualidad vencida

o Valor futuro de una anualidad vendida

oAnualidades anticipadaso Valor presente de una anualidad anticipadas

o Valor futuro de una anualidad anticipadas

o Pagos con variación constante.

o Gradientes lineales

oCrecientes

oDecrecientes

o Gradientes geométricos

oCrecientes

oDecrecientes

o Evaluación de flujos de fondos

o Tasa interna de retorno (TIR)

o Tasa interna de oportunidad (TIO)

o Valor presente neto(VPN)

o Periodo de recuperación de la inversión (PRI)

o Costo Anual Equivalente (CAE)

LAS TASAS DE INTERÉS

1. Corriente y/o corriente bancaria2. Tasa de usura3. Al contado4. Tasa real5. Tasa Vencida6. Tasa Anticipada7. Tasa periódica o anticipada8. Tasa nominal9. DTF

1) Corrientes

La tasa de interés corriente, toda aquella tasa cobrada por un prestamista por debajo de la tasa de usura; sin embargo cuando en Colombia se habla de tasa de interés corriente, e lo mismo que la tasa de interés corriente bancaria, la cual es el promedio ponderado de las colocaciones realizadas por las instituciones financieras cobrada a sus clientes para los créditos de libre inversión.

2) Tasa de usura

Corresponde a una tasa superior en la mitad a la tasa de interés corriente que cobran los bancos por sus créditos de libre asignación. Esta tasa será expresada en términos efectivos anuales

3) Al contado (spot)

Tasa de cambio entre dos monedas que permite realizar las operaciones en el mismo día, un tipo operación spot , es una operación de contado.

4) Tasa real

Cuando hablamos de tasas reales, estamos frente a tasa que no poseen el efecto de lainflación y que refleja el costo de los bienes o servicios sobre un periodo base definido.

7) Tasas periódica o efectiva

Hace relación a la tasa remuneratoria del capital utilizada para un periodo definido .

8) Tasas NominalHace relación a la tasa remuneratoria del capital utilizada para un periododefinido, pero expresada en periodos anuales .

5) Tasas vencida

Hace relación a las operaciones que remuneran el uso del capital al final de unperiodo definido.

6) Tasas anticipada

Hace relación a las operaciones que remuneran el uso del capital al inicio de unperiodo definido.

LAS FECHAS DE CALCULO

• Días reales = Diferencia en días exactos entre dos fechas dadas

• Días contables = diferencia en días para meses de 30 días entre dos fechas dadas.

• Días reales/año de 365 días

• Días contables/ años de 360 días

COMPOSICIÓN DE LOS PERIODOSDías 360

Meses 12

Bimestres 6

Trimestre 4

Cuatrimestres 3

Semestres 2

Cuando existen periodos no exactos de calculo como es el caso de díascorridos desde una fecha “A” hasta una fecha “B” normalmente se tiene queutilizar periodos de 365 días a menos que se especifique lo contrario.

CONCEPTODE «TASA DE INTERÉS»

• Las tasas de interés es el porcentaje que uninversionista obtiene por invertir sus recursos,hacia una fecha futura. Esta rentabilidad puedeser obtenida de manera anticipada, para lo cualhablaremos de interés anticipado o podemosrecibirla al final para lo cual estaremos hablandode interés vencido. Cuando no se especifica si latasa es vencida o anticipada se entiende que latasa es vencida cuando se habla del montoganado por invertir un dinero determinado,estamos hablando de los intereses.

INTERÉS SIMPLE

• Es el que obtiene un inversionista por elcapital invertido, pero excluyendo de dicharentabilidad los ingresos percibidos por dichainversión; en otras palabras los interesesganados no pueden producir rentabilidad.

INTERÉS COMPUESTO

• Resulta de la rentabilidad obtenida tanto porel capital como por los intereses, toda vez queel interés generado es un excedente derecursos que al ser reinvertidos dentro delmismo negocio generan la mismarentabilidad.

TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS

• TASAS NOMINALES

– La tasa nominal, es aquella que se expresa como el producto de la tasa periódica, por el numero de veces que la misma se aplicaría en un año.

Así una tasa periódica del 2% mensual, en términos nominales equivaldría a decir el 2% * 12 = 24% anual por mes vencido.

Si la tasa es del 5% trimestral, tendríamos una tasa anual, trimestre vencido del 20%

Esta función permite convertir una tasa efectiva anual a nominalanual, esto significa el numero de veces que dicha tasa seconvertirá en el año. Al dividir una tasa nominal encontramos laperiódica.

Esta función permite convertir una tasa nominal anual, aefectiva anual; esto significa que una tasa nominal que convierten veces al año se convertirá en una tasa de una sola aplicación alaño, o lo que es lo mismo, esta tasa no se podrá dividir

FUNCIONES A DESARROLLAR EN EXCEL PARA INTERESES ANTICIPADOS

Excel no maneja funciones para realizar equivalencias entretasas vencidas y anticipadas, por tal razón se tiene que utilizarfunciones diseñadas por el usuario para poder realizar loscálculos requeridos

Ecuación para calcular la tasaequivalente de una nominal anticipadaa efectiva anual

Ecuación para calcular la tasaequivalente de una efectiva anual anominal anticipada

Procedimiento corto de calculo

Para pasar una tasa nominal a otra nominal , se requiere calcular

primero la efectiva anual y luego la nominal anual requerida

Procedimiento largo de calculo

Con esta ecuación tomamos la tasa dada en términosnominales como «TD» y «n» con el numero decapitalizaciones al año, si estas son anticipadas secolocan con signo negativo; y el «m» simboliza elnumero de capitalización requeridas por año para lanueva tasa, de igual forma que «n» en caso de seranticipada se coloca con el signo negativo.

CREANDO LAS FUNCIONES PERSONALIZADAS EN EXCEL

Para crear un complemento en VBA tenemos que tener activada la cinta de programador(1) en nuestro programa de Excel.Una vez estemos ubicados en esta cinta seleccionamos el menú de código y en elseleccionamos Visual Basic (2).Como lo que vamos es ha crear un complemento, el libro de Excel que vamos utilizar solocontendrá este código

1

2

Una vez seleccionada la opción descritacomo 2, pasamos al editor de VBA en el cualseleccionamos el menú insertar (3) yescogemos la opción Modulo (4) la cual noscrea una nueva hoja de programación

3

4

CÓDIGOS EN VBA

Una vez en la pagina en blanco del editor de VBA procedemos a escribir los textos que aparecen en la grafica.En la primera línea le indicamos al editor que vamos a crear una función seguida del nombre de la ecuación, y entre paréntesis y separado por comas las variables que la conforma. Al dar Enter el automáticamente cierra la instrucción creando una línea con la instrucción «End Function». Entre estas dos instrucción se escribe la función que requerimos .

COMO LAS VISUALIZAMOS EN EXCEL

Seleccionamos inicialmente Fx de la línea de edición de ecuaciones, y luego desplegamos las categorías de funciones, donde encontramos «Definidas por el usuario»

Una vez seleccionada esta categoría, pasamos a seleccionar nuestra funciones creadas, hasta este momento solo para este libro de Excel

TASAS DIFERENTES PARA PERIODOS HOMOGÉNEOS O IGUALES

En ocasiones, tenemos la obligación calcular la rentabilidad de un valor teniendo rentabilidades diferentes para cada periodo utilizamos la siguiente ecuación:

Para Excel el calculo se realiza mediantela función VF.Plan en la cual seincorpora la secuencia de tasas .Dondeel valor principal equivale a la unidad yal final de la ecuación se resta la unidad.

INTERÉS REAL

• En las economías actuales uno de losfenómenos que afecta la capacidad adquisitivade los recursos en la inflación. Esta deteriorael poder adquisitivo de los recursos de unperiodo determinado. Se entiende que unainversión genera riqueza cuando los dinerosinvertidos obtienen una ganancia por encimade la perdida de poder adquisitivo del dinero.

TASA REPRESENTATIVA DE MERCADO (TRM)

• La devaluación es el resultado de la perdida devalor de una moneda frente a otra. En el caso deColombia esta devaluación se mide frente aldólar. En los últimos años se ha venidopresentando un fenómeno distinto denominadola revaluación o apreciación del peso frente aldólar lo que ha generado una perdida decompetitividad de nuestra economía frente a laamericana; el precio al cual se cotiza nuestramoneda frente a la americana es lo queconocemos como la tasa representativa demercado.

UNIDAD DE VALOR REAL (UVR)

• La unidad de valor real UVR, remplazo elsistema UPAC en Colombia; este índicearranco con un valor inicial de 100 frente alpeso y se ajusta mensualmente con laCorrección Monetaria CM que no es otra cosaque la inflación causada en un periododeterminado. En otrora la CM se calculaba conotros componentes que generaron la crisishipotecaria en Colombia.

Depósitos a Termino FijoDTF

• Los Depósitos a Termino Fijo son el promedio decaptación del sistema financiero Colombia adiferentes periodos de tiempo. El mas utilizado esla DTF a noventa días, y su calculo se realiza portrimestre anticipado. Esta tasa a sido utilizadapara calcular los intereses a cancelar en diversasoperaciones de crédito y permiten tener uncomponente que se ajusta a los cambiosmacroeconómicos de las tasas de interés enColombia.

TASA DE INTERÉS PONDERADA

• Para realizar el costo promedio de diversas tasas realizamos el siguiente procedimiento:– Calculamos las tasas equivalente periódica para todas

las tasas.

– Calculamos el peso relativo que tiene cada deuda o inversión respecto del monto total.

– Multiplicamos el peso relativo por la tas equivalente calculada.

– Sumos dicha multiplicación para obtener la tasa promedio ponderada nominal o efectiva según el caso.

FORMULA COMPUESTA

12

MONTO TASA PERIODOS T-NOMINAL PESO T-ABS

35.000.000,00 24,00% (6) 24,74% 17,50% 4,33%

55.000.000,00 22,00% 4 21,61% 27,50% 5,94%

30.000.000,00 21,00% 12 21,00% 15,00% 3,15%

45.000.000,00 22,00% 1 20,05% 22,50% 4,51%

35.000.000,00 18,00% (12) 18,27% 17,50% 3,20%

200.000.000,00 100,00% 21,13%

PERIDOS REQUERIDOS

Para el calculo de la tasa promedio ponderado siempre se toma una tasa periódica base, en la mayoría de los casos se toma como tasa para el calculo del wacc la tasa efectiva anual.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO• PAGOS ÚNICOS:

– Los pagos únicos se presentan cuando tenemos unvalor que pagamos hoy para obtener un valor en elfuturo, o cuando, tenemos que cubrir una obligaciónen el futuro la anticipamos y la cubrimos a un valorequivalente hoy.

– En los periodos comprendidos entre el primer y elultimo pago no existen pagos adicionales ni deintereses ni de capital, lo cual permite utilizar unafunción matemática que resume estos doseventos, teniendo siempre para ello una tasa dedescuento o tasa de interés periódica, y un numero deperiodos en los cuales se capitaliza el valor inicial.

Las líneas de tiempo equivalentes

La función utilizada para un pago en el futuro teniendo un valor presente con una tasa periódica definida y un plazo establecido es:

Vp

Vf

n

Ip0

De la ecuación anterior y por despeje se deprenden el calculo de cada una de las ecuaciones que permiten hallar :El valor presente de un pago futuroEl numero de periodos para que se logre un valor presente y un valor futuro a una tasa determinada, yLa tasa de interés que se requiere para que un valor presente y futuro en determinado tiempo se cumplan.

PAGOS IGUALES O ANUALIDADES

• Los pagos anuales tanto para el calculo del valorpresente como para el calculo del valor futuro tienecomo fundamento la conformación de una cantidadque contiene capital e intereses, pero que siempre alsumarse se obtiene el mismo valor a cancelar.

• Cuando el valor de estos pagos se inicia después deltiempo 1 se dice que las mismas son diferidas o conperiodos de gracia.

• Si los pagos inician en el periodo cero se dice que sonanualidades anticipadas, que nada tiene que ver conlas tasas de interés anticipadas ya que estasanualidades tiene los intereses vencidos.

VALOR DE SALVAMENTO MAS CUOTA MENSUAL

GRADIENTES

• Los gradientes son progresiones aritméticas o geométricas que pueden crecer o decrecer con el tiempo, manteniendo la periodicidad en las progresiones y la tasa de interés.

GRADIENTES

CRECIENTES DECRECIENTES

FORMULACIÓN EN EXCEL

Utilizando la programación en VBA permite elcalculo de los gradientes en Excel, con la funciónIF….then…. Else se podrá realizar una programaciónde toma de decisiones, donde la variable «tipo» sepodrá utilizar con «0» para los gradientes crecientey con «1» para los gradientes descendiente.

VPGL

Function VPGL(gl, Nper, tasa, pago, tipo)a = (gl / tasa) * (((1 - (1 + tasa) ^ -Nper) / tasa) - (Nper / (1 + tasa) ^ Nper))b = pago * ((1 - (1 + tasa) ^ -Nper) / tasa)If tipo <> 1 Then

VPGL = a + bElseVPGL = a * -1 + b

End IfEnd Function

VFGL

Function VFGL(gl, Nper, tasa, pago, tipo)a = (gl / tasa) * (((((1 + tasa) ^ Nper) - 1) / tasa) - Nper)b = pago * ((((1 + tasa) ^ Nper) - 1) / tasa)If tipo <> 1 Then

VFGL = a + bElseVFGL = a * -1 + b

End IfEnd Function

CONTINUACIÓN

Function VPGG(gg, tasa, Nper, pago, tipo)If tasa = gg Then

VPGG = pago * Nper / (1 + tasa)Else

If tipo <> 1 ThenVPGG = (pago / (tasa - gg)) * (1 - ((1 + gg) / (1 + tasa)) ^ Nper)

ElseVPGG = (pago / (tasa + gg)) * (1 - ((1 - gg) / (1 + tasa)) ^ Nper)

End IfEnd If

End Function

CONTINUACIÓN

Function VFGG(gg, tasa, Nper, pago, tipo)If tasa = gg Then

VFGG = pago * Nper * (1 + tasa) ^ (Nper - 1)Else

If tipo <> 1 ThenVFGG = (pago / (tasa - gg)) * ((1 + tasa) ^ Nper - (1 + gg) ^ Nper)ElseVFGG = (pago / (tasa + gg)) * ((1 + tasa) ^ Nper - (1 - gg) ^ Nper)End If

End IfEnd Function

FUNCIONES EN EXCEL

Las funciones de valor presente y valor futuro enExcel tiene la posibilidad de incluir un pago tanto alfinal como al comienzo del horizonte de tiempo,también tiene la posibilidad de elegir si la cuota apagar es anticipada o vencida. En esta ecuaciónincluimos la ecuación de pago único al principiomas la ecuación de anualidades vencidas al final.

Permite calcular el valor presente de un pagofuturo, un pago periódico anticipado o vencido yun pago final con pago periódicos iguales.

Permite calcular el valor futuro de un pagopresente, mas unos pagos periódicos anticipadoso vencidos periódicos iguales.

funciones para el calculo de cada una de las variables de la función VA y VF

Despeja el total de periodos requeridos paraigualar un valor futuro mas un valorpresente mas anualidades vencidas oanticipadas, teniendo una tasa establecidapara todos los periodos.

Despeja la tasa de interés requerida parahacer que la suma de un pago presente masun pago futuro mas una serie de pagosiguales correspondan un numero de periodosestablecidos.

Permite calcular el valor periódico de una seriede pagos iguales, en los cuales se puede o noincluir un valor presente o inicial y un valorfuturo. Estas anualidades pueden ser vencidaso anticipadas.

Los pagos periódicos se componen de capital e interés, esto quiere decir que apesar de que los pagos sean iguales los montos de interés disminuyenmientras que el pago a capital aumenta , pero la suma de los dos terminasiempre siendo el mismo valor.

Determina cual es valor de los intereses de una cuota determinada; en este caso periodo significa la cuota a calcular

Determina cual es el valor del capital de una cuota determinada; en este caso, periodo significa la cuota a calcular

En ocasiones es necesario determinar cual es valor del capital pagado de ungrupo de pagos, al igual que el monto de los intereses. Esto se hace útilcuando queremos determinar el saldo de una obligación en momentodeterminado.

Esta función determina el total del valor pagado en intereses entre un grupo de cuotas

Esta función determina el total del valor pagado en capital entre un grupo de cuotas determinado

MODELO DE CUOTA FIJA

• EL MODELOS CALCULA

– CUOTA FIJA VENCIDA

– CUOTA FIJA ANTICIPADA

– CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA

– CUOTA FIJA ANTICIPADA CON PERIODO DE GRACIA

CONSTRUCCIÓN DEL PLAN DE AMORTIZACIÓN

TASA NOMINAL EQUIVALENTE

PLAN DE AMORTIZACIÓN

DESCRIPCIÓN VALORES

TIPO

PERIODO DE GRACIA

PLAZO TOTAL

01/05/2011

15.000.000,00

23,00%

36

12

20,88%

FECHA DE DESEMBOLSO

VALOR INICIAL

TASA DE INTERÉS EFECTIVA

PAGOS TOTALES

PAGOS AL AÑO

CUOTA PERIÓDICA $ 564.210,02

-

12

48

01/05/2014FECHA FINAL DE PAGO

El presente modelo de Excelpermite calcular planes depago con periodos de gracia,y cuotas anticipadas ovencidas.A nivel visual muestra lasceldas vacías para los camposque no tiene valores. En elmomento de imprimir serequiere seleccionar el área aimprimir para evitar la salidade paginas en blanco

DATOS DE SALIDA DE LOS PLANES DE PAGO

PERIODO

CUOTA

FECHA PAGO

SALDO

CAPITAL

INTERESES

EL PERIODO DETERMINA EL HORIZONTE DE TIEMPO DEL PAGO

LA CUOTA DETERMINA EL NUMERO DEL PAGO A REALIZAR

LA FECHA DE PAGO INDICA CUANDO TERMINA UN PERIODO

EL SALDO NOS PERMITE DETERMINAR CUANDO SE ADEUDA

DETERMINA DEL VALOR DE LA CUOTA CUAL ES EL VALOR A CAPITAL

DETERMINA DEL VALOR DE LA CUOTA CUAL ES EL VALOR DE LOS INTERESES

FORMULACIÓN DEL MODELO EN EXCEL

PERIODO 0

CUOTA SI(Y(D91;D100);1;0)

FECHA PAGO SI(A17"";"";FECHA.MES($D$3;12/$D$7*A17))

SALDO SI(A17"";"";SI(B17>0;$D$4+PAGO.PRINC.ENTRE($D$8/$D$7;$D$6;$D$4;1;B17;$D$9);$D$4))

CAPITAL SI(A17"";"";SI(B17>0;-PAGOPRIN($D$8/$D$7;B17;$D$6;$D$4;;$D$9);0))

INTERESES SI(A17"";"";SI(B17>0;-PAGOINT($D$8/$D$7;B17;$D$6;$D$4;;$D$9);0))

F O R M U L A C I Ó N E N E L P E R I O D O C E R O

PERIODO SI(MAX($A$17:A17)+1>$D$11;"";A17+1)

CUOTA SI(A18"";"";SI(MAX($D$9:$E$10)>A18;0;SI($D$91;1+B17;A18-$D$10)))

FECHA PAGO SI(A18"";"";FECHA.MES($D$3;12/$D$7*A18))

SALDO SI(A18"";"";SI(B18>0;$D$4+PAGO.PRINC.ENTRE($D$8/$D$7;$D$6;$D$4;1;B18;$D$9);$D$4))

CAPITAL SI(A18"";"";SI(B18>0;-PAGOPRIN($D$8/$D$7;B18;$D$6;$D$4;;$D$9);0))

INTERESES SI(A18"";"";SI(B18>0;-PAGOINT($D$8/$D$7;B18;$D$6;$D$4;;$D$9);0))

F O R M U L A C I Ó N E N E L P E R I O D O U N O

PLAN DE PAGOS CON ABONO FIJO A CAPITAL MAS INTERESES

EJERCICIOS DE PRACTICA

Una persona compra un carro de segunda por valor de $18,000,000 , da unacuota inicial del 20% de su valor total y el saldo lo paga en cuotas mensualesvencidas de $300,000 cada una , tanto tiempo como fuera necesarios, yreconoce unos intereses del 21% NAMV.Hallar el numero de pagos de $300,000 que debe realizar ,yCual será el pago final, que hecho después de tres meses del ultimo pagocancela la deuda total

EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

VALOR NETO ACTUAL

TASA INTERNA DE RETORNO

La tasa interna de retorno es aquella que permite que la suma de los flujos de caja de todos los periodos al ser sumados sean igual a cero.La tasa interna de retorno toma como premisa el hecho de reinvertir todos los flujos de caja excedentes y reinvertirlos a la misma tasa de interés que los utilizados por el proyecto.

TASA INTERNA DE OPORTUNIDAD

TASA INTERNA DE RETORNO MODIFICA

La tasa interna de retorno modificada, es un indicador financiero que elimina el problema de las tasas de retorno múltiples, al utilizar una tasa de inversión y una tasa de crédito diferenciada para los flujos finales de caja del proyecto.Los flujos de caja positivos los lleva a valor futuro y los flujos de caja negativos los trae a valor presente despejando posteriormente la ecuación de valor presente con respecto a la tasa de interés.