libro matemática financiera

Colecc iCo lecc in : LAS C I ENC IAS NATURALES Y LA MATEMn: LAS C I ENC IAS NATURALES Y LA MATEMT ICATICA

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a u t o r i d a d e s

PRESIDENTE DE LA NACINDra. Cristina Fernndez de Kirchner

MINISTRo DE EDuCACINDr. Alberto E. Sileoni

SECRETARIA DE EDuCACINProf. Mara Ins Abrile de Vollmer

DIRECToRA EjECuTIvA DEL INSTITuTo NACIoNAL DEEDuCACIN TECNoLgICALic. Mara Rosa Almandoz

DIRECToR NACIoNAL DEL CENTRo NACIoNAL DEEDuCACIN TECNoLgICALic. Juan Manuel Kirschenbaum

DIRECToR NACIoNAL DE EDuCACIN TCNICo PRofESIoNAL yoCuPACIoNALIng. Roberto Daz

Ministerio de Educacin.Instituto Nacional de Educacin Tecnolgica.Saavedra 789. C1229ACE.Ciudad Autnoma de Buenos Aires.Repblica Argentina.2010


Kisbye, PatriciaTodo lo que ud. quiere saber sobre matemtica financiera pero no seanima a preguntar / Patricia Kisbye y fernando Levstein; dirigido porjuan Manuel Kirschenbaum.- 1a ed. - Buenos Aires: Ministerio de Educacin de la Nacin. InstitutoNacional de Educacin Tecnolgica, 2009.188 p.: il.; 24x19 cm. (Las ciencias naturales y la matemtica / juanManuel Kirschenbaum.)

ISBN 978-950-00-0745-0

1. Matemtica.2. finanzas.3. Enseanza Secundaria.I. Levstein, fernandoII. Kirschenbaum, juan Manuel, dir.III. Ttulo

CDD 510.712

Impreso en Anselmo L. Morvillo S. A., Av. francisco Pienovi 317 (B1868DRg),Avellaneda, Pcia. de Buenos Aires, Argentina.

Tirada de esta edicin: 100.000 ejemplares

fecha de catalogacin: 07/12/2009

Coleccin Las Ciencias Naturales y la Matemtica.Director de la Coleccin: juan Manuel KirschenbaumCoordinadora general de la Coleccin: Hayde Noceti.

Queda hecho el depsito que previene la ley N 11.723. Todos los de-rechos reservados por el Ministerio de Educacin - Instituto Nacional deEducacin Tecnolgica.

La reproduccin total o parcial, en forma idntica o modificada por cual-quier medio mecnico o electrnico incluyendo fotocopia, grabacin ocualquier sistema de almacenamiento y recuperacin de informacin noautorizada en forma expresa por el editor, viola derechos reservados.

Industria Argentina

ISBN 978-950-00-0745-0

Director de la Coleccin: Lic. juan Manuel KirschenbaumCoordinadora general y acadmica

de la Coleccin:Prof. Ing. Hayde Noceti

Diseo didctico y correccin de estilo:Lic. Mara Ins Narvaja

Ing. Alejandra SantosCoordinacin y produccin grfica:

Toms AhumadaDiseo grfico:

Sebastin KirschenbaumIlustraciones:

Diego gonzalo ferreyrofederico Timerman Retoques fotogrficos:

Roberto SobradoDiseo de tapa:

Toms AhumadaAdministracin:

Cristina CaratozzoloNstor Hergenrether

Colaboracin:Tc. op. en Psic. Soc. Cecilia L. vazquez

Dra. Stella Maris QuirogaNuestro agradecimiento al personaldel Centro Nacional de Educacin

Tecnolgica por su colaboracin.


Los Autores

Dra. Patricia KisbyeSe gradu como Licenciada en Ciencias Matemticas enla facultad de Ciencias Exactas de la universidad Nacio-nal del Centro de la Provincia de Buenos Aires.Posteriormente obtuvo su ttulo de Doctora en Matem-tica en la faMAf, universidad Nacional de Crdoba.Ha colaborado en el dictado de asignaturas especficas delProfesorado en Matemtica, entre ellas Matemtica fi-nanciera. Ha dirigido tesinas en el rea de finanzas paraalumnos de la licenciatura en Matemtica y de Cienciasde la Computacin. Posee adems publicaciones sobre laTeora de los Nmeros.Actualmente es Profesora Adjunta de la faMAf, uNC.

Dr. Fernando LevsteinSe gradu como Licenciado en Matemtica en el IMAfde la universidad Nacional de Crdoba. Luego obtuvoun doctorado en matemtica del InstitutoTecnolgico deMassachusetts. Durante varios aos contribuy a la orga-nizacin de la olimpada Matemtica Argentina y de laReunin de Educacin Matemtica. Dict en varias opor-tunidades un curso de matemtica aplicada a la economapara el Doctorado en Economa de la uNC y estuvo acargo del dictado de Matemtica financiera para el Pro-fesorado en Matemtica de la uNC. Actualmente es Pro-fesor Titular de la faMAf en la uNC. Su rea deespecialidad es la Teora de Lie, en la cual ha realizado di-versas publicaciones cientficas y dictado conferencias encongresos nacionales e internacionales.


Prefacio 8

Captulo 1: Introduccin: Un poco de historia 11

Captulo 2: Progresiones aritmticas y geomtricas 15 2.1. Progresiones aritmticas 16 2.2. Induccin completa y el efecto domin 17 2.3. Progresiones geomtricas 21 2.4. Ejercicios 26

Captulo 3: El inters 3.1. El fundamento del prstamo con inters 29 3.2. Inters 30 3.3. El inters simple y el inters compuesto 32 3.4. El inters aplicado en fracciones de tiempo 39 3.5. Si la incgnita es el tiempo 40 3.6. Ejercicios 41

Captulo 4: El descuento 4.1. Introduccin 43 4.2. operacin de descuento 43 4.3. El descuento compuesto 46 4.4. otros tipos de descuento 48 4.5. Ejercicios 50

Captulo 5: Operaciones financieras 5.1. Introduccin 53 5.2. formas de pago 53 5.3. operaciones de depsito 56 5.4. Prstamos 58 5.5. Ejercicios 58

Captulo 6: Capitalizacin y actualizacin 6.1. Introduccin 61 6.2. Rentas o anualidades 62 6.3. Capitalizacin de una renta 64 6.4. Actualizacin de una renta 71 6.5. Clculo del nmero de cuotas y de la tasa de inters de una anualidad 74 6.6. valor actual de rentas con cuotas en progresin aritmtica 77 6.7. Rentas perpetuas 79 6.8. otras anualidades 79 6.9. Ejercicios 81

Captulo 7: Sistemas de amortizacin 7.1. Introduccin 83

ndice


Introduccin al estudio de la Fsica 7

7.2. Sistema americano y fondo de amortizacin 88 7.3. Ejercicios 89

Captulo 8: Flujos de caja 8.1. El concepto de valor actual 91 8.2. Tasa interna de retorno 96 8.3. usufructo y nuda propiedad 101 8.4. Ejercicios 103

Captulo 9: Las apariencias engaan 9.1. No todo lo que reluce es oro 105 9.2. Deuda Pblica 108 9.3. Qu es el Riesgo Pas? 110 9.4. Correccin por inflacin 110 9.5. Ejercicios 114

Captulo 10: La matemtica financiera moderna 10.1. Las bases del modelo: la matemtica financiera moderna 117 10.2. Luz, cmara,... accin 119 10.3. opciones 120 10.4. El juego es un impuesto a quien no sabe matemtica 121 10.5. Riesgo calculado 123 10.6. El modelo para n perodos 125 10.7. Ejercicios 128

Captulo 11: El nmero e y la funcin exponencial 11.1. Introduccin 131 11.2. El nmero e 131 11.3. La funcin exponencial 135 11.4. Capitalizacin continua 138 11.5. Ejercicios 139

Apendice A: La planilla de clculo 141 A.1. Tabla de valores de 144 A.2. Tasa interna de retorno 146 A.3. Ejercicios 148

Apendice B: La calculadora financiera 149 B.1. Ejercicios 153

Apendice C: Tablas 155

Solucin de los ejercicios 163


8 Todo lo que usted quiere saber sobre matemtica f inanciera, pero no se anima a preguntar

Prefacio

Esta publicacin est dirigida a estudiantes y docentes del nivel medio. El objetivo hasido introducir las principales nociones de matemtica financiera, desde las ms bsicashasta las ms avanzadas que se puedan lograr en funcin de los conocimientos alcanza-dos por un alumno de secundaria.

El desarrollo de los temas se ha hecho a travs de ejemplos, en los cuales se introducengradualmente los conceptos y mtodos de resolucin de problemas. Al final de cadacaptulo se ha incluido una lista de ejercicios de aplicacin y sus resoluciones. Constade once captulos y tres apndices.

En el Captulo 1 se hace un breve repaso de los principales hitos que influyeron en eldesarrollo histrico de la Matemtica Financiera. De lo visto all, podemos separar endos partes el resto del libro. Una de las partes est formada por los captulos 2, 3, 4, 5,6, 7 y 9 que slo requieren de la matemtica disponible hasta el siglo XIII, en plenomedioevo. Los restantes captulos hacen uso de mtodos y tcnicas que fueron dispo-nibles recin a partir del siglo XVII.

En el captulo 2, se introduce el tema de sucesiones aritmticas y geomtricas y se mues-tra una gran variedad de sus aplicaciones.

En los captulos 3 y 4, se introducen las nociones bsicas de tasas de inters y de des-cuento, junto a una variedad de frmulas que los involucran.

En el captulo 5 se describen las operaciones financieras y formas de pago usadasms frecuentemente.

El captulo 6 trata sobre ciertas sucesiones de pagos de duracin finita o indetermina-da para los cuales se pueden encontrar frmulas que expresen el valor actual y el valorfinal de las mismas.

En el captulo 7 se desarrollan los sistemas ms comunes de pagos de deudas en cuotas:sistema francs, alemn y americano.

En el captulo 8 se introduce la nocin de flujo de caja, que permite ver con nuevosojos los conceptos desarrollados en los captulos anteriores.

El captulo 9 est dedicado a clarificar el abuso que se observa muchas veces en laspublicidades que se refieren a tasas de inters. En particular, se muestra cmo se puedeanunciar una tasa ms pequea que la real.

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Pre f ac i o

En el captulo 10 se intenta mostrar el comienzo del camino que sigui la matemticafinanciera en el siglo XX. Esto hace que se necesiten algunos conocimientos muy bsi-cos de probabilidades, los cuales han sido desarrollados en el texto. Con esto se lograhacer un modelo que permite dar un valor aproximado al derecho de comprar unaaccin a un precio prefijado y en un tiempo determinado.

En el captulo 11 se desarrollan los conceptos matemticos que permiten dar sentido ala capitalizacin continua.

Se han incluido tres apndices que complementan los conjuntos de ejercicios. Estos serefieren al uso de la planilla de clculo, la calculadora financiera y tablas de valores ti-les. Se recomienda al lector recurrir a ellos cuando la resolucin de los ejercicios vayams all del clculo con lpiz y papel. Se espera que una lectura temprana de estos apn-dices le permita al lector realizar los ejercicios con el menor nmero de inconvenientes.

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I n t r oducc i n : Un poco de h i s t o r i a

Cada vez que tomamos una decisin econmica estamos usando herramientas de lamatemtica aunque, muchas veces, nos cueste darnos cuenta. Muchas personas tomanbuenas decisiones, basadas en una gran experiencia, que incluye xitos y fracasos. Lamatemtica pone a nuestra disposicin tcnicas y mtodos para resolver todo tipo deproblemas, y en particular los econmicos. Su estudio nos provee un camino ms cortopara aprender a tomar las mejores decisiones y saber justificarlas.

En este libro trataremos diversos aspectos de la matemtica relacionados con la resolu-cin de problemas financieros.

El origen de la matemtica financiera se debe rastrear hasta los albores de la civilizacin.Podemos notar que, a lo largo del tiempo, el desarrollo de nuevas herramientas mate-mticas ha guardado una estrecha relacin con el surgimiento de operacionesfinancieras cada vez ms sofisticadas.

En el captulo 3 estudiaremos la nocin de inters. Desde un punto de vista histrico, obser-vamos que este concepto ha estado presente en toda sociedad que haya desarrollado, aunquesea mnimamente, su comercio. Por ejemplo, si nos remontamos a la civilizacin sumeriaasentada en la parte sur de la antigua Mesopotamia, considerada la primer y ms antigua civi-lizacin del mundo, vemos que, ya en el tercer milenio AC, tuvo una importante actividadcomercial. Esto ocurri a la par que desarrollaban un avanzado sistema de numeracin: elposicional de base 60. Este sistema, que tambin se conoce como sexagesimal, perdura hoyen la medicin de ngulos o de tiempo como tributo a los avances sumerios en astronoma.

Dicho sistema, permiti a los sumerios realizar con agilidad las operaciones aritmticas nece-sarias para el comercio, como por ejemplo, el cambio de monedas, que estaba basado en losporcentajes de las aleaciones de oro y plata que cada una posea.

En Babilonia hace cuatro mil aos, ya era usual prestar a inters. Por ejemplo: en el Cdigode Hammurabi (alrededor de 1850 AC) se encuentra tallada en piedra la siguiente ley:

Si un mercader ha hecho un prstamo de grano o plata, por el grano tomar unpanu y cuatro sutu por cada kur. Si hizo un prstamo de plata tomar un sextode shekel y seis granos por cada shekel.

Aunque para nosotros estos trminos sean tan lejanos como el tiempo en que fueronescritos, se puede desentraar su significado. Segn el historiador Roth, esto correspon-

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Captulo 1Introduccin: Un poco de historia

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de a una tasa del 33% en el primer caso y 20% en el segundo. Notemos que la nocinde tiempo no estaba explicitada en la ley. Esta falencia era aprovechada, a veces, parahacer usura, ya que podan cobrar un inters bajo y luego reclamar la devolucin delprstamo en un lapso corto. En el captulo 8 veremos formas actuales de producir unatasa de inters efectiva mayor que la tasa publicitada.

De la lectura de la Biblia, sabemos que los israelitas tenan prohibido prestarse entre sa inters. Ms adelante, el cristianismo retoma esta prohibicin. Santo Toms deAquino argumenta contra el inters porque dice que: slo Dios dispone del tiempo.A partir de dicho argumento, podemos notar que se introduce la nocin de tiempo enel clculo de intereses.

En la civilizacin griega, la mayora de los grandes pensadores consideraban indignaslas aplicaciones de las matemticas a los problemas cotidianos (comerciales). Aristtelesen su obra Politika toma una posicin contraria al comercio, porque lo considera unaactividad para ganar a costa de los dems. Tambin est en contra del inters, porque elhecho de que el dinero se reproduzca por s sola, le parece una aberracin. En concor-dancia con esto, hebreos, romanos y griegos desarrollaron un sistema numrico en elcual era muy difcil efectuar la multiplicacin, con lo cual se volva muy engorrosohacer, por ejemplo, una conversin de monedas o un clculo de inters.

En el captulo 3 veremos cmo los economistas ingleses, desde hace ya dos siglos, jus-tifican el cobro de inters.

En el ltimo captulo veremos que el mecanismo usado por Tales (ver recuadro), es el prin-cipio de los derivados. Estos instrumentos permiten a unos, asegurarse de no tener grandesprdidas, y a otros tener la posibilidad de obtener grandes ganancias con un pequeo capital.

El comercio se desarrolla muylentamente durante la edadmedia, hasta que hace 800 aosLeonardo de Pisa, ms conocidocomo Fibonacci, introduce enItalia la numeracin decimalque aprendi de los rabes que,a su vez, la obtuvieron de loshindes. Esta es posicional y, adiferencia de la babilnica, es enbase diez y posee una notacinespecial para el cero. Es la queusamos actualmente.

En su obra Liber Abaci (1202) Fibonacci resume toda la matemtica conocida por losrabes e hindes, muestra el uso de la nueva notacin, que es adoptada paulatinamen-te debido a sus ventajas de clculo.

Paralelamente, comienzan a funcionar los antepasados de los bancos europeos. En Italiaera comn que alguien con capital para prestar se ubicara en un banco de plaza (banca)

Aristteles, en la misma obra citada anteriormente, cuenta una ancdotamuy interesante sobre Tales de Mileto, al que conocemos por su famoso teo-rema de geometra. Dice que los vecinos de Tales se burlaban de l yopinaban que la filosofa (en esa poca la matemtica era una rama de ella)no serva para nada, ya que l no era rico. Para darles una leccin, us suhabilidad en astronoma y al observar que era muy probable que hubiera unabuena cosecha de aceitunas el siguiente ao. Esto le daba un dato impor-tante, pero l no posea un capital suficiente para comprar un olivar. Cmohizo entonces para aprovechar la situacin? Con su escaso capital dej lasseas necesarias para alquilar todos los molinos de la zona de Chios yMileto. Cuando la gran cosecha lleg, los dueos de los olivares debieronalquilarle a l los molinos, y Tales pudo cobrar lo que se le antoj y haceruna buena ganancia.


I n t r oducc i n : un poco de h i s t o r i a

y all hiciera sus negocios. De all deriva el nombre que damos actualmente a las insti-tuciones bancarias. As, en el siglo XIII se retoma el desarrollo de la matemticafinanciera, estancado durante ms de mil aos desde los tiempos del imperio romano.En este perodo se crean las tablas para el clculo del inters compuesto.

El gran avance siguiente es el desarrollo de las tablas de logaritmos, que permitieron rea-lizar clculos ms precisos y rpidos para obtener una raz ensima o una dividir entrenmeros con muchas cifras decimales. Esto ltimo fue de suma utilidad para el desa -rrollo de la astronoma de esa poca, y luego se extiende a todas las ramas de lamatemtica que necesitaban resolver ecuaciones con precisin. En particular, en mate-mtica financiera permitir resolver las ecuaciones planteadas para encontrar las tasasde inters reales de un negocio, en tiempos que no se dispona ni siquiera la idea de loque sera una calculadora.

Con el advenimiento del clculo infinitesimal en el Siglo XVII se hace posible la capi-talizacin continua. Es entonces que Bernoulli descubre el nmero e que es la cantidadque deberamos recibir al cabo de un ao si depositramos un peso a una tasa del 100%anual, y sta se capitalizara continuamente (ver captulo 11).

Tambin en el Siglo XVII, nace la estadstica. Con ella, aparecen las tasas de mortali-dad y se posibilita el desarrollo de las compaas aseguradoras. La idea es sencilla: sisabemos que la tasa de mortalidad es un 2%, y se destina un 2% de los ingresos a unfondo de compensacin a los deudos de quien fallezca, ninguna familia debera perderel sustento de un da para otro. De igual manera, si se transporta mercadera y se sabeque alrededor de un 5% no llega a destino, se puede formar un fondo comn dondecada comerciante aporta el equivalente al 5% de la mercanca enviada, y con ste se pro-tege a quienes sufran la prdida.

El clculo de probabilidades est en la base de la matemtica financiera moderna. Se con-sidera su fecha de nacimiento el 1900, cuando el matemtico francs Louis Bachelierpresenta su tesis doctoral: Sobre la especulacin financiera, en la que muestra un modelomatemtico para la cotizacin de acciones en bolsa. En dicha tesis, observa la similaridadentre los movimentos de la cotizacin de las acciones y de una partcula de polen flotan-do en el aire, u otro medio, fenmeno que haba sido observado por el botnico RobertBrown. Este se llam movimiento browniano en su honor, y fue llevado a la fama en1905 por Albert Einstein en su tesis de doctorado para la Universidad de Zurich.

En 1945, el matemtico japons Kiyoshi Ito desarrolla un anlogo del clculo diferencialaplicable a funciones de las cuales slo se conoce la probabilidad de que tomen distintosvalores. Esta rea se llama clculo estocstico, y en 2006 gan el premio Gauss por sudesarrollo. Esta es una herramienta imprescindible para la toma de decisiones en un con-texto de incertidumbre donde slo se tiene como dato la probabilidad de que algo suceda.

El siguiente gran paso se produce durante los aos setenta cuando Fisher Black, MyronScholes y Robert Merton desarrollan tcnicas para decidir el valor justo que le corres-ponde a ciertos instrumentos financieros llamados derivados. Por esta labor, los dosltimos recibieron el Premio Nobel de economa en 1997 cuando F. Black ya habamuerto. Sus desarrollos posibilitaron la multiplicacin de las operaciones realizadas.

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Esto caus una explosin en los mercados de valores. Un caso particular de estos deri-vados son las opciones de compra o venta, que sern tratadas en el ltimo captulo.

El costado negativo de estos avances es la propensin a generar nuevos mecanismos deinversin que, en caso de fallar la regulacin o el control de los gobiernos, pueden pro-ducir una crisis de magnitud nunca vista como la de 2008 que comenz con elotorgamiento masivo de crditos hipotecarios con escasa garanta en un momento enque las tasas de inters estaban en su mnimo histrico. Al subir stas bruscamente, sedesat la crisis.

Todo lo que usted quiere saber sobre matemtica f inanciera, pero no se anima a preguntar


Prog res i ones a r i tm t i cas y geom t r i cas

Muchas veces escuchamos hablar de un crecimiento aritmtico o geomtrico y lo asocia-mos con un crecimiento lento o rpido, respectivamente. Qu significan estos trminos?

Se dice que algo crece (o decrece) aritmticamente, si en cada etapa se le va sumando(o restando) una cantidad constante.

Por ejemplo, si durante la semana pasada la temperatura creci un grado por da, pode-mos decir que creci aritmticamente.

Si las reservas del BCRA (Banco Central de la Repblica Argentina) suben 200 millo-nes de dlares por semana, se habla de un crecimiento aritmtico.

Si el peso de una persona que realiza una dieta, reduce un kilogramo por mes, decimosque decrece en progresin aritmtica.

Se dice que algo crece (o decrece) geomtricamente si en cada etapa se multiplica poruna cantidad constante mayor que 1 (o menor que 1).

Algunos ejemplos de crecimiento geomtrico son:

Una poblacin de bacterias con suficiente alimento que se multiplica 8 veces por hora.

Una cantidad de carbono-14, donde el radioistopo del carbono se multiplica por 0,5cada 5.730 aos.

Otro ejemplo clsico de crecimiento geomtrico es el siguiente:

Cuenta la historia que un rey qued tan contento con el juego del ajedrez que habasido diseado para l, que ofreci a su creador regalarle lo que quisiera. Este le contes-t que slo quera obtener como recompensa un grano de trigo por el primercasillero, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y as sucesivamente hastallegar al casillero 64. El rey qued sorprendido por tan modesto pedido y mand a suvisir que trajera una bolsa con los granos reclamados. Mayor fue su sorpresa cuando elvisir hizo los clculos y vio que no haba tal cantidad de granos en toda la tierra.

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Captulo 2Progresiones aritmticasy geomtricas



Un crecimiento geomtrico similar ocurre en los primeros das despus de la concep-cin, cuando de una clula original se producen dos y de cada una de las obtenidas sevuelven a obtener dos, y as sucesivamente, aunque slo por unos das.

En otras palabras, si se cumple que an+1 an = R n N entonces {a1, a2, . . . , an, . . . } esuna progresin aritmtica.

Luego de considerar los ejemplos anteriores, la primera pregunta que nos planteamoses la siguiente:

Cmo se calcula el ensimo trmino de una progresin aritmtica {a1, a2, . . . , an, . . .}de razn R?

Vemos que: a2 = a1 + R, a3 = a2 + R = a1 + R + R = a1 + 2R, razonando de la mismaforma a4 = a1 + 3R, en general intuimos que an = a1 + (n 1)R. Esto se puede expresarcon el concepto de suma telescpica, esto es, una suma que colapsa. Observemos que

de donde an = a1 + (n 1)R

Si bien el razonamiento es muy convincente, no llega a ser una demostracin (el puntodbil son los puntos suspensivos que se usaron). En el ejemplo 2.6 se demostrar quela frmula es verdadera cualquiera sea el n.

R +R + +R = (an an1) + (an1 an2) + . . .+ (a2 a1)= an + (an1 + an1) + (an2 + an2) + + a2) a1= an a1

1. Progresiones aritmticas

Definicin 2.1 Llamamos progresin aritmtica a una sucesin de nmeros {a1, a2, . . . , an, . . . }que tiene la propiedad de que la diferencia entre dos consecutivos es igual a unaconstante R, que llamaremos razn de la progresin.

Ejemplo 2.1 La sucesin de los nmeros naturales {1, 2, 3, . . . } es una progresin aritmticade razn R = 1.

Ejemplo 2.3 La sucesin de los nmeros naturales {-1, -2, -3, . . . } es una progresin aritmticade razn R = -1.

Ejemplo 2.2 La sucesin constante {2, 2, 2, . . . } es una progresin aritmtica de razn R = 0

1.1. El ensimo trmino de una progresin aritmtica



Existe un mtodo muy ingenioso para probar queuna frmula es vlida para todos los nmerosnaturales. Para ilustrarlo visualmente, podemospensar que cada natural corresponde a una fichade domino y que stas se colocan en fila de talmanera que al caer la primera, sta hace caer lasegunda y as sucesivamente. (Ver figura 2.1). Sellama mtodo de induccin completa y consisteen lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos funcionesF : N R y G : N R y queremos pro-bar que F(n) = G(n) n N entonces:Primero, se prueba que la frmula es vlida para n = 1, es decir se verifica que F(1) = G(1).

Segundo, se hace una hiptesis inductiva, es decir, se asume que la frmula es vlida paraun natural n = k y, a partir de all, se prueba que eso implica que ser vlida para elsiguiente natural n = k + 1.

De esto, se concluye que la frmula vale para todo nmero natural, porque si se verifi-ca que vale para n = 1, entonces se podr aplicar la segunda parte del mtodo con k = 1y as concluir que vale para k = 2. Si repetimos el procedimiento pero con k = 2, sabre-mos que vale para k = 3. De esta manera, armamos una maquinaria que permiteverificar que la frmula ser vlida para todos los naturales.

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Ejemplo 2.4En un pas slo ingresan 1.000 inmigrantes por ao. Si llamamos con I1 la canti-dad de inmigrantes que hay actualmente, y con In+1 la que habr dentro de naos, se ve que {Ii} es una progresin aritmtica.

Ejemplo 2.5Es posible tener tringulos rectngulos cuyos lados sean enteros y estn en pro-gresin aritmtica? Supongamos que los lados son de longitud a, a + R y a + 2R,entonces debe cumplirse el teorema de Pitgoras:

Si despejamos R tenemos R = esto nos da las posibilidades R = a yR = . La primera nos da un lado de longitud 0, por lo tanto no sirve. En la segun-da como a y R deben ser enteros a es mltiplo de 3 y se tiene entonces las ternas{3n, 4n, 5n}, que corresponden a todos los tringulos que tienen lados enteros y sonequivalentes al clsico tringulo de lados 3, 4 y 5.

(a+ 2R)2 = (a+R)2 + a2 de donde

a2 + 4aR + 4R2 = a2 + 2aR +R2 + a2 por lo tanto obtenemos

3R2 + 2aR a2 = 0

2. Induccin completa y el efecto domin

F i gu r a 2 . 1

aa2+3a23a

3



En general, el mtodo sirve para probar que una familia de propiedades Pn son verdaderas.

Paso uno: probar que P1 es verdadera.Paso dos: probar que si Pk es verdadera, entonces Pk+1 es verdadera.

Del ejemplo se sigue que toda progresin aritmtica queda determinada por sus dos pri-meros trminos.

Una progresin {an}, puede pensarse como una funcin a : N R que asigna a cadanatural n el nmero an.

Si graficamos una progresin aritmtica, observaremosque los valores que va tomando estn alineados. Ellosse encuentran sobre el grfico de la recta y = a1 + Rx.

Una famosa ancdota sobre el gran matemtico Karl F.Gauss cuenta que, un da su profesor de primaria (apa-rentemente con el objetivo de descansar un rato) pidi asus alumnos que sumaran todos los nmeros del 1 al 100.El pequeo Gauss entreg la respuesta velozmente, sor-prendiendo al profesor. Cmo hizo tan rpidamente elclculo? Segn le explic al maestro, observ que si suma-ba el primero y el ltimo obtena 101, el segundo y el anteltimo tambin 101, y as hasta llegara 50+51=101. En total obtuvo 50 veces 101 es decir 5.050, que es la respuesta exacta.

Una variante de esta idea se puede usar para dar una frmula para la suma de los pri-meros n nmeros:

S = 1 + 2 + 3 + + (n 1) + nS = n+ (n 1) + + 3 + 2 + 1 sumando m. a m.2S = (n+ 1) + (n+ 1) + + (n+ 1)2S = n(n+ 1)

S = n(n+ 1)/2

Ejemplo 2.6 Una progresin aritmtica {an} cumple an = a1 + (n 1)(a2 a1).

Primero verificamos que a1 = a1 + (1 1)(a2 a1).

Luego, suponemos que vale ak = a1 + (k 1)(a2 a1), y probaremos que entoncesdebe ser cierta la igualdad ak+1 = a1 + (k + 1 1)(a2 a1).

Para esto usamos que, por ser una progresin aritmtica la diferencia entre dosconsecutivos debe ser la misma. Por lo tanto ak+1 ak = a2 a1.

Despejando, se obtiene ak+1 = ak + (a2 a1) y ahora reemplazamos ak usando la hip-tesis inductiva.

Tenemos entonces ak+1 = a1 + (k 1)(a2 a1) + (a2 a1) finalmente llegamos a queak+1 = a1 + (k + 1 1)(a2 a1) deber ser cierto.

Gr f i c o 2 . 1

1, 2, 3, 4,...



Una notacin muy til para trabajar con sumas es la siguiente:

Tiene la propiedad que:

Por ejemplo, con esta notacin escribimos la suma Sn de los primeros n nmeros como:

Supongamos que deseamos calcular la suma Sn de los primeros n trminos de una progre-sin aritmtica {ai} de razn R, esto es . Si recordamos que ai = a1 + (i 1) R,usando la propiedad, se tiene:

ni=1

cai + bi = cn

i=1

ai +n

i=1

bi

Sn =n

i=1

i

Sn =n

i=1 ai

ni=1

ai = a1 + a2 + + an1 + an

ni=1

ai =n

i=1

a1 + (i 1)R

=n

i=1

a1 +Rn

i=1

(i 1)

= na1 +Rn(n 1)/2

19

Ejemplo 2.7Podemos calcular la suma de los primeros n nmerosimpares.

Esto se puede ver en el grfico 2.2:

ni=1

(2i 1) = 2n

i=1

in

i=1

1 = n(n+ 1) n = n2

Ejemplo 2.8La forma de los dos grficos anteriores sugiere llamar nmeros triangulares y cua-drangulares a la suma de los primeros n trminos de las progresiones aritmticas1, 2, 3, . . . y 1, 3, 5, . . . , respectivamente. Denotaremos a los primeros con Tn y alos segundos con Cn. Esto se puede generalizar y definir nmeros pentagonales Pn ,hexagonales Hn ; etc. como la suma de los primeros n trminos de las progresionesaritmticas que comienzan con 1 y tienen razn 3; 4; etc. Geomtricamente secuentan los puntos en los correspondientes polgonos

Ejemplo 2.9Un problema que podemos resolver con estas sumas es calcular el nmero mxi-mo an de regiones en que se puede dividir un plano usando n rectas. Por ejemplo,si usamos una recta partimos al plano en dos, en consecuencia a1 = 2. Si usamosdos rectas, podemos partirlo en cuatro regiones si se cortan y en tres si no, por lotanto a2 = 4. Si tenemos el plano partido en an regiones y trazamos una nueva recta

Gr f i c o 2 . 2

42 = 1 + 3 + 5 + 7



que no sea paralela a ninguna de las anteriores, esta contendr n puntos distintosprovenientes de las intersecciones con las n rectas. Estos n puntos determinann + 1 segmentos (dos de ellos infinitos). Cada uno de estos segmentos, parte en dosa una de las an regiones agregando as una regin por cada segmento. Tenemosque an+1 = an + (n + 1). Entonces:

De donde obtenemos que an = n (n + 1)/2 + 1

ni=1

ai =n

i=1

a1 + (i 1)R

=n

i=1

a1 +Rn

i=1

(i 1)

= na1 +Rn(n 1)/2

Ejemplo 2.10 Si {an} es una progresin aritmtica de razn R, la sucesin derivada { } es laprogresin constante R, ya que an+1 an = R n N.Recprocamente, si {an} tiene sucesin derivada constante = R, entonces {an}es una progresin aritmtica de razn R. Si R = 0 entonces an es constante.

Si las sucesiones derivadas de {an} y {bn} son iguales, entonces la diferencia{an bn} tiene derivada 0 y por lo tanto an = bn + R n N. Geomtricamente, vemosque an y bn estn sobre rectas paralelas.

a n

a n

Ejemplo 2.10 Si la sucesin derivada de {an} es una progresin aritmtica de razn R, qupuede decirse de an?

Sabemos que = a0+ nR

Usando el TFCD tenemos .

Por lo tanto,

Quiere decir que la sucesin es un polinomio de segundo grado en n.

a n

an+1 a1 =n

i=1(a0 + iR) = na0 +Rn(n+ 1)/2

an+1 = a1 + na0 +Rn(n+ 1)/2 =R2n2 + (R

2+ a0)n+ a1

Definicin 2.2 Dada una sucesin de nmeros {an} podemos formar la sucesin derivada { }que est definida por: = an+1 an

a na n

Demostracin Basta observar que la suma de las derivadas es una suma telescpica que colap-sa en el miembro de la derecha.

Teorema 2.1 Teorema fundamental del clculo discreto n

i=1

ai = an+1 a1



Para definir una progresin geomtrica slo tenemos que cambiar diferencia por divi-sin en la definicin de progresin aritmtica, ms precisamente tenemos:

En otras palabras, si se cumple que n N, entonces {a1, a2, . . . , an, . . . }es una progresin aritmtica.

De los ejemplos, se observa que hay una manera muy sencilla de obtener una progre-sin geomtrica de una progresin aritmtica de nmeros enteros {an}. Se puede hacertomando cualquier nmero positivo, por ejemplo el 2, y formando { }. Esta es geo-mtrica, ya que constante. Usamos la propiedad que viene de abac = ab+c. Esta propiedad vale tambin para b y c racionales (e inclu-so para b y c reales) si definimos a .

El matemtico escocs John Napier en 1914, independientemente el suizo Joost Brgiseis aos despus, inventaron los logaritmos, tratando de relacionar las progresionesgeomtricas con las aritmticas. Si tenemos una progresin geomtrica an y fijamos unnmero positivo como el 10, queremos hacerle corresponder una progresin aritmti-ca bn de tal manera que . En otras palabras, se busca una operacin inversaa la potenciacin.

an+1an

= q

2anab

ac= abc2

an+1

2an= 2an+1an = 2R = q

a1n = n

a

an = 10bn

21

Definicin 2.3Dada una sucesin {an} podemos calcular la sucesin derivada de la sucesinderivada { } y la llamamos derivada segunda denotada por { }.Por lo visto anteriormente {an} es una progresin aritmtica si y slo s 0.

a n a na n

Definicin 2.4Llamamos progresin geomtrica a una sucesin de nmeros {a1, a2, . . . , an, . . . }que tiene la propiedad de que el cociente entre dos consecutivos es igual a unaconstante q, que llamaremos razn de la progresin.

3. Progresiones geomtricas

Ejemplo 2.12La sucesin de las potencias de dos {2, 4, 8, . . . } es una progresin aritmtica derazn q = 2.

Ejemplo 2.13La sucesin constante {2, 2, 2, . . . } es una progresin geomtrica de razn q = 1.

Ejemplo 2.14La sucesin de potencias de es una progresin geomtrica derazn .

12: {1

2, 14, 18, . . . }

12=q

Ejemplo 2.15La poblacin de un pas crece anualmente un 2%, quiere decir que si llamamos conPn a la poblacin en el ao n, Vemos que la poblacinforma una progresin geomtrica de razn 1,02.

Pn+1 = Pn +2100

Pn = 1, 02Pn



El problema que trataban de resolver Napier y Brgi a principios del siglo XVII, eraagilizar los clculos que realizaban los astrnomos de la poca, que necesitaban multi-plicar y dividir cantidades con muchas cifras decimales.

Dado que es mucho ms fcil sumar que multiplicar y restar que dividir, la idea bsicadetrs del desarrollo de los logaritmos fue encontrar una conexin que permitiera pasarde multiplicaciones a sumas y de divisiones a restas. El logaritmo es la respuesta, gra-cias a su propiedad caracterstica:

Su aplicacin requiri publicar tablas con gran cantidad de valores de logaritmos. Porejemplo, para multiplicar x por y se buscan en la tabla los valores de log10 x y log10 y, sesuman y se busca un nmero c cuyo logaritmo sea log10 x + log10 y, entonces c = xy.

El uso de los logaritmos permiti hacer clculos mucho ms precisos en astronoma, yse difundi hacia todas las reas que requirieran de clculos efectuados con rapidez yprecisin. Durante tres siglos fue una herramienta fundamental para el clculo.

En el siglo pasado, luego de la aparicin de las calculadoras y las computadoras, se per-di completamente su uso en la prctica; pero en la matemtica perdura como unafuncin fundamental porque permite modelar crecimientos no explosivos y transfor-mar una operacin de multiplicacin en una de suma.

Cmo calcular el ensimo trmino de una progresin geomtrica {a1, a2, . . . , an, . . . }de razn R?

Sabemos que , de donde concluimos que an = a1qn1

loga xy = loga x+ loga y

qn1 = anan1

an1an2 a2a1 = anbba1 = ana1

Definicin 2.5 Dados nmeros a, b, c con a > 0 el logaritmo de b en base a es c si ac = b.

Se denota por loga b

Ejemplo 2.16 Queremos saber si los nmeros 2, 6 y 42 forman parte de una progresin geomtri-ca. Si esto fuese cierto, existiran un nmero real q y dos enteros n y m tales que6/2 = qn y 42/6 = qm. Elevando la primera ecuacin a la m y la segunda a la n, vemos que:

Pero esto es imposible, ya que el nmero primo 3 divide al miembro de la izquierdapero no al de la derecha.

Entonces, concluimos que 2, 6 y 42 no forman parte de ninguna progresin geomtrica.

3m = (qn)m = (qm)n = 7n

Ejemplo 2.17 Se desea calcular el noveno trmino de una progresin geomtrica que comienzacon 3 y 6. La razn de esta progresin es 6/3 = 2, luego haciendo n = 9 en la frmu-la obtenida previamente, tenemos a9 = 3 28 = 768.



Recordemos que en 2.2 definimos la derivada de la sucesin {an}. Qu ocurrecuando tomamos la derivada de una sucesin geomtrica de razn q?

. Por lo tanto se tiene que /anes una constante igual a q 1.

Cuando la progresin no es geomtrica, la tasa tn = = an no es constante, pero se siguecumpliendo an+1 = (1 + tn)an.

an = an+1 an = an(an+1/an 1) = an(q 1) a n

a n

a n

23

Ejemplo 2.18Se quiere encontrar el nmero x que hace que {2, x, 18} estn en progresin geo-mtrica. Tenemos que hallar un x que cumpla 18/x = x/2. Despejando, tenemos que:x2 = 2 18 = 36 y por lo tanto x = 6.

Ejemplo 2.19Se hace un conteo de una poblacin de bacterias en intervalos de una hora, y seobserva que los valores se aproximan a una sucesin geomtrica de razn 8. Cules su tasa de crecimiento?

Por ser una sucesin geomtrica sabemos que su tasa de crecimiento es la constanteq 1 = 8 1 = 7. Decimos entonces que la tasa de crecimiento es de 700% por hora.

Ejemplo 2.20En 1978 haba 25 millones de argentinos, 30 aos despus hay 40 millones. Cul fue latasa de crecimiento anual? Si llamamos t a la tasa de crecimiento anual debemos tener:

entonces simplificando, debemos resolver 40/25 = (1 + t)30, por lo tanto .

40 106 = (1 + t)30 25 106

t = 301, 6 1

Ejemplo 2.22Compramos una herramienta que cuesta $ 100 y pagamos en 6 cuotas sin interscon una tarjeta cuyo banco nos devuelve el 10% de la compra, pero nos cobra unseguro de 3 %. Cul es el ahorro final?

Pf = (1 + 0,03)(1 0,1)100 = (1 0,073)100, el ahorro fue de $ 7,30.

Ejemplo 2.21El precio P de cierto artculo aumenta 5% en julio y vuelve a aumentar 10% endiciembre. El precio a fin de ao Pf se puede obtener haciendo

Observamos que el precio final hubiera sido el mismo, si el primer aumento hubie-ra sido de 10% y el segundo de 5 %.

Tambin vemos que ambos aumentos son equivalentes a un nico aumento de 15,5 %,ya que (1 + 0,1)(1 + 0,05) = (1 + 0,155).

Pf = (1 + 0,1)(1 + 0,05)P

Definicin 2.6Dada una progresin geomtrica {an}, la constante /an se conoce como tasa decrecimiento de la progresin {an}.

a n



Si observamos que vemos que an es siempre el nmero entero ms cercano a bn.

Para calcular a12 tomamos . Setiene que el entero ms cercano es 144 y este no es otro que el duodcimo tr-mino de la sucesin de Fibonacci.

Este nmero + = 1,618 . . . se conoce con el nombre de razn urea o nmerode oro, y se lo denota con la letra griega . El cociente de dos trminos conse-

n < 4/10

12+5 1, 61812/2,236 321,91574/2,236 143, 96947

Ejemplo 2.23 La sucesin de Fibonacci

En1202, Fibonacci plantea en su libro Liber Abaci el siguiente problema:

Un granjero tiene un corral y quiere dedicarse a la cra de conejos. Una pare-ja de conejos llega a su estado reproductivo en un mes y tarda un mes enengendrar una pareja de conejitos. Cuntas parejas de conejos tendr elgranjero al cabo de 12 meses si comienza con una pareja de conejos recinnacidos? Vemos que el primer mes tiene una, el segundo mes sigue teniendouna pero ya en estado reproductor, al tercer mes tiene la pareja original y unarecin nacida, al cuarto mes tendr la original, una en estado reproductor yuna recin nacida, en general en el mes n + 1 tendr las del mes n ms lasrecin nacidas, de las cuales hay una por cada pareja existente en el mes n 1.Esto da la ecuacin

de la que se puede obtener a12.

an+1 = an + an1 a1 = a2 = 1

Ejemplo 2.24 Frmula para la sucesin de Fibonacci

Se desea obtener una frmula para los trminos de la sucesin: 1, 1, 2, 3, 5, 8,. . . ,donde cada trmino es la suma de los dos anteriores, es decir, an+1 = an + an1.

Si calculamos la sucesin derivada, vemos que cumple: = an1 pero como an = qan1,con q constante, observamos que no es geomtrica.

Sin embargo, an se puede escribir como la diferencia de dos sucesiones geomtricas:an = bn cn. Cules son bn y cn? Supongamos que son de la forma y

. Queremos encontrar las razones + y .

Para esto consideramos .

Entonces si + y satisfacen las ecuaciones (+ 1)+ = 1 = ( 1) tendremosque .

Por ser las dos races de (x 1)x = 1, sabemos entonces que . La cons-tante C debe cumplir: .

Verificamos que se cumple que . Finalmente, concluimos quecomo bn+1 cn+1 = bn cn + bn1 cn1 y tiene los dos primeros trminos iguales aa1 y a2, debe coincidir con la sucesin de Fibonacci.

a n

bn = Cn+

cn = Cn

bncn=(+1)bn(1)cn=C(+1)n+C(1)n

bn cn = C+n1 Cn1= bn1 cn1 = 1

5

2

1 = a1 = C(+ ) = C5

1 = a2 =+

2 2 5



cutivos de la sucesin de Fibonacci an+1/an, se acerca cada vez ms a a medidaque aumenta n. Estas relaciones pueden verse en la naturaleza, por ejemplo, enuna flor de girasol los granos van formando una espiral con an granos en la en-sima vuelta. Algo similar ocurre en los caracoles de mar y en la distribucin dehojas alrededor de un tallo. Aparece tambin en la construccin de un pentgo-no o un dodecaedro.

25

Ejemplo 2.25Se quiere construir un tringulo rectngulo que tenga sus lados en progresin geo-mtrica, ser esto posible? Si lo fuese, denotemos por a, aq y aq2 las longitudesde los lados de dicho tringulo. Por el teorema de Pitgoras, cuando q > 1, deberacumplirse la ecuacin a2 + (aq)2 = (aq2)2. Si desarrollamos los cuadrados y dividimospor a2, vemos que la razn q deber ser solucin de q4 q2 1 = 0 y q > 1. O seaque q2 no es otro que el nmero de oro del ejemplo anterior. Los tringulos asconstruidos reciben el nombre de tringulos de Kepler, quien demostr por prime-ra vez esta caracterizacin.

Ejemplo 2.27La sucesin del ejemplo anterior se puede escribir como: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 22, 1+2+22 +23, . . . .Cada trmino Tn es la suma de la progresin geomtrica . Vemos que{2i}ni=0

Tn = 2Tn Tn =n+1i=1

2i n

i=0

2i = 2n+1 1

Ejemplo 2.26Las torres de Hanoi

Cuenta la leyenda1, que en un lejano pas del sudeste asitico hay tres postes y unconjunto de 64 discos de distinto radio. Originalmente, estaban encastrados en unode los postes, en orden de mayor a menor contando desde la base.Un grupo de monjes tiene, como tarea, que trasladarlos hacia otro delos postes. La regla bsica que deben cumplir es nunca superponerun disco de mayor radio sobre uno menor. Para esto, pueden usar altercer poste como auxiliar. Cuando acaben de trasladarlos la vida seextinguir. Cuntos traslados deben realizar? En la figura 2.2 sepuede ver una versin con 8 discos.

Si tuviramos un disco, el nmero de traslados sera 1. Si hubiera dos, deben tras-ladar el ms pequeo al poste auxiliar luego el mayor y finalmente el menor, esdecir, 3 traslados. En general, si llamamos Tn al nmero de traslados necesariospara cambiar de poste n discos, tendremos:

Tn+1 = Tn + 1 + TnEl primer Tn corresponde a trasladar, de acuerdo a las reglas, los n discos superiores alposte auxiliar, para esto usamos el poste final como si fuera auxiliar. El 1 corresponde atrasladar el disco mayor que qued en la base al poste de llegada que est vaco. Porltimo, tenemos Tn traslados para pasar al poste final los n discos que estn bien orde-nados en el poste auxiliar. As tenemos la sucesin 1 = T1, 2T1 + 1, 2(2T1 + 1) + 1, . . .

F i gu r a 2 . 2

1 Se le acredita haber creado el juego de las Torres de Hanoi al matemtico francs Edouuard Lucas en 1883



Ejemplo 2.29 La Paradoja de Zenn

La fbula de Esopo sobre la liebre y la tortuga, cuenta cmo la veloz liebre perdila carrera contra la tortuga por sobrestimar sus fuerzas. Zenn de Elea fue ms alle intent probar matemticamente que Aquiles, de los pies ligeros, nunca podraalcanzar a una tortuga si le daba 10 metros de distancia por ms que corriese diezveces ms rpido. Su razonamiento era el siguiente: para alcanzar a la tortuga,Aquiles debe recorrer primero los 10 metros de ventaja que la separan, pero cuan-do los haya cubierto, la tortuga, que corre a un dcimo de la velocidad, habrrecorrido un metro. Cuando Aquiles cubra ese metro la tortuga estar 10 centme-tros adelante y as siempre que Aquiles recorra la ventaja que le lleva la tortuga,esta habr avanzado un trecho ms y seguir en ventaja.

Esta paradoja de Zenn, puede explicarse si se entiende que una suma de infinitostrminos puede dar un resultado finito. Este es el caso de la suma de todos los tr-minos de una progresin geomtrica {qi} de razn q < 1. Hemos visto que la sumade los primeros n trminos es . Como a , le restamos elnmero positivo , el resultado siempre va a ser un nmero menor que ,por ms que sumemos todos los trminos que se nos antoje.

En el caso de Aquiles supongamos que tarda 10 segundos en hacer 10 metros,entonces tardar un segundo en recorrer el siguiente metro y una dcima desegundo los 10 centmetros siguientes. As, el tiempo empleado en alcanzar a latortuga no superar 10 + = 11+ segundos. En realidad, el tiempo empleadotampoco podr ser menor y, por lo tanto, ser igual a 11 segundos.

4. Ejercicios

Ejercicio 2.1 Si sabemos que el tercer trmino de una progresin aritmtica es 7 y el sptimotrmino es 27, cunto vale el dcimo trmino?

Ejercicio 2.2 Si 13, x, y, z, 25 forman una progresin aritmtica, cul es su razn?

Ejemplo 2.28 En general, si se desea una frmula para la suma de los primeros n trminos de unaprogresin geomtrica {Aqi} usamos la ecuacin:

y entonces obtenemos

(q 1)n

i=0

Aqi = qn

i=0

Aqi n

i=0

Aqi =n+1i=1

Aqi n

i=0

Aqi = Aqn+1 A

ni=0

Aqi =A(qn+1 1)

(q 1)

11qqnn+1+111qq ==

1111qq qq

nn+1+1

11qq1qn+11q =

11q qq

nn+1+1

11qq

1111qq

1111qq

10+ 111/10 = 11+1/911

19

1119


Prog res i ones a r i tm t i cas y geom t r i cas 27

Ejercicio 2.5Calcule la suma de los mltiplos de 13 comprendidos entre 20 y 400.

Ejercicio 2.6Muestre que la suma de los nmeros de n dgitos (n > 2) es igual a 495 x 102n - 3 - 45 x 10n - 2.

Ejercicio 2.9Encuentra dos sucesiones distintas an y bn cuyas derivadas cumplan = 2 = .an bn

Ejercicio 2.10Encuentra una sucesin an cuya derivada cumpla = anan

Ejercicio 2.11Calcule las sucesiones Pn y Hn de nmeros pentagonales y hexagonales.

Ejercicio 2.7Puedes descomponer 1.000.000 como producto de dos nmeros que no tenganningn dgito 0?

Ejercicio 2.8Los aos bisiestos son aquellos divisibles por 4 pero no por 100 y los divisiblespor 400.

a) Cuntos aos bisiestos habr entre el 2009 y el 2999?

b) Si el 9 de julio de 2008 fue mircoles, qu da de la semana ser el 9 dejulio de 2816?

Ejercicio 2.3Calcule el promedio de los nmeros de una progresin aritmtica que tiene 4 trminos,comienza en 7 y termina en 28.

Ejercicio 2.4Calcule el promedio de los nmeros de una progresin aritmtica que tiene ntrminos, comienza en p y termina en f.

Ejercicio 2.12Si los monjes de las torres de Hanoi tardan 10 segundos para cada traslado,Cuntos minutos tardarn en trasladar los 64 discos?

Ejercicio 2.13Si un supermercado hace un descuento del 15% y pagando con una tarjeta dedbito, el banco nos devuelve un 10% del monto pagado al supermercado, cules el porcentaje total de descuento que recibo?

Ejercicio 2.14Si cada artculo que compramos tiene incluido 21% de IVA (impuesto al valor agre-gado), pero pagando con tarjeta de dbito, el estado nos devuelve 5 puntos de IVA,cul es el porcentaje de lo pagado por el artculo que recibo?



Ejercicio 2.17 Decida si las siguientes ternas pertenecen a alguna progresin geomtrica denmeros enteros.

a) {2, 12, 20}

b) {3, 12, 24}

Ejercicio 2.18 a) Calcule los 15 primeros trminos de la sucesin de Fibonacci.

b) Muestre la aproximacin del undcimo mediante b11, el correspondiente trmi-no de la progresin geomtrica dada por la razn urea.

Ejercicio 2.19 Cunto miden los lados de un tringulo de Kepler si uno de ellos mide un dec-metro? Analizar todas las posibilidades.

Ejercicio 2.20 Cunto tardara Aquiles en alcanzar a la tortuga si fuera 20 veces ms rpido queella y corriese a una velocidad de un metro por segundo?

Ejercicio 2.21 Cuntos aos tardar un capital en duplicarse si est depositado y crece a unatasa del 12% anual?

Ejercicio 2.15 Si los sueldos docentes aumentan 10% en marzo y 9% en setiembre cul es elporcentaje total de aumento que recibo?

Ejercicio 2.16 Usando induccin completa como en 2.1 probar que una progresin geomtrica{an} cumple .an = a1(a2a1 )

(n 1)


E l I n t e r s

Podemos decir que toda operacin financiera es un prstamo, en el que un prestamistaentrega a un prestatario una cierta cantidad de dinero, a cambio de que este ltimo lodevuelva al cabo de un cierto tiempo con un recargo o inters.

Por ejemplo, si se pide dinero prestado a una entidad financiera, ste deber ser devuel-to en un cierto plazo con un inters acordado previamente. Del mismo modo, si sedeposita dinero en una cuenta bancaria, este capital se ir incrementando con el correrdel tiempo. En este ltimo caso, el prestamista es quien deposita el dinero y el presta-tario es la entidad financiera.

A lo largo de la historia, siempre que el hombre ha prestado algo a otro, ya sea dinerou otros bienes, ha exigido que se le devuelva una cantidad superior a la prestada. Porotro lado, quien recibe el prstamo acepta devolverlo bajo esas condiciones. Significaesto que la transaccin es siempre beneficiosa para el prestamista? Por qu entonces elprestatario acepta estas condiciones?

Ya en el siglo XVIII, Jeremy Bentham (1748-1832) formul la doctrina utilitaristasegn la cual todo acto debe ser juzgado y valorado segn la utilidad que brinda. tilera aquello que aumentaba el placer y disminua el dolor. Por lo tanto, el individuo queprestaba un bien tambin sacrificaba la utilidad que el mismo le podra dar si lo hubie-ra conservado. Por ello era razonable que, finalizado el prstamo, exigiera el valor delbien ms el valor de la utilidad perdida.

La lgica de este comportamiento fue retomada por los economistas neoclsicos acomienzos del siglo XX, y en particular por Irving Fisher (1867-1947). Fisher expusoen su obra Teora del Inters (1930) la razn de la exigencia de intereses en la devo-lucin de cualquier prstamo, fundamentando que no slo el inters se basa en lautilidad del bien en prstamo sino tambin en el tiempo que el mismo es prestado. Esdecir, no slo influyen aspectos cuantitativos del bien, sino tambin temporales. Fisherintroduce en su obra la nocin de tasa nominal y la tasa real de inters, relacionando aambas con la tasa de inflacin.

Las contribuciones de Irving Fisher a la teora econmica fueron muy importan-tes, y es considerado como uno de los economistas cientficos ms importantes dela historia.

29

Captulo 3El Inters

3.1. El fundamento del prstamo con inters



Como ya se ha visto hasta ahora, el hombre no es indiferente al tiempo en el cual puede dispo-ner de una cierta cantidad de dinero. Si se le ofrece disponer de $ 1.000 ahora o $ 1.300 quinsabe cundo, no sabr qu elegir. Si los $ 1.300 son para dentro de 1 mes, seguramente acepta-r esta opcin. Si son para dentro de 10 aos preferir recibir los $ 1.000 ahora, si es que existealguna forma de invertirlos de modo de producir ms de $ 1.300 durante 10 aos. Por esto, noslo importa cunto dinero ms se devolver a cambio, sino tambin cundo ser la devolucin.

En una operacin financiera intervienen distintos elementos:

CI : capital inicial, o capital prestado,

CF : capital final, o capital devuelto,

I: inters,

UM: unidad monetaria, por ejemplo, pesos, dlares, euros, libras, etc.

UT: unidad de tiempo, por ejemplo, das, meses, aos, semestres, etc.

La relacin existente entre el capital inicial, el capital final y el inters se expresa de lasiguiente manera:

I = CF CI

Si bien es claro que en el Ejemplo 3.2 se ha cobrado un inters mayor en cuanto almonto de dinero que representa, tambin es importante notar que el monto del prsta-mo y el tiempo transcurrido tambin son mayores. En realidad, el inters es un conceptorelativo al dinero o capital en prstamo y tambin al tiempo que dura dicho prstamo.

3.2. Inters

Definicin 3.1 En un intercambio no simultneo de capitales, se llama inters a la diferencia neta entrelo que se devuelve y lo que se presta, independientemente del tiempo transcurrido.

Ejemplo 3.1 Juan Prez realiz un depsito a plazo fijo de $ 30.000 y al cabo de 30 das haba ensu cuenta la suma de $ 30.497.

En este caso, Juan Prez presta dinero al banco, y el inters pagado por el bancoal trmino de 30 das es de $ 497. Esto es, I = CF CI = $ 30.497 $ 30.000 = $ 497.

Ejemplo 3.2 La empresa EMPRE S.A. solicit un prstamo por 5 aos de $ 200.000. Al cabo dedicho perodo deber devolver $ 300.000.

Aqu, la entidad financiera es quien presta dinero a la empresa, y el inters que cobra porel trmino de 5 aos es de $ 100.000 Esto es, I = CF CI = $ 300.000 $ 200.000 = $ 100.000.


E l i n t e r s

Entonces, es ms preciso comparar cul es el inters que se cobra por una unidad decapital prestada en cada caso, considerando una misma unidad de tiempo. Esto nosconduce al concepto de tasa de inters.

Ahora bien, el inters es directamente proporcional al capital en prstamo. Es decir, si por$ 1 se pagan $ 0,10 de inters por mes, entonces por $ 50 se pagarn $ 5, y por una can-tidad $ X el inters ser de $ X 0,10. Luego la tasa de inters se puede calcular como:

, o o .

En todos los casos el resultado es 0,10. La tasa de inters se puede calcular como elcociente entre el inters y el capital inicial en la unidad de tiempo considerada.

En el Ejemplo 3.1, la tasa de inters por 30 das es

En el Ejemplo 3.2, la tasa de inters por 5 aos es

An no es posible comparar estas dos tasas de inters puesto que una de ellas est expre-sada en 30 das y la otra en 5 aos. Para determinar cul es la tasa mayor es necesarioexpresar ambas en una misma unidad de tiempo.

Es importante notar que las tasas de inters son independientes de la unidad moneta-ria utilizada. Es decir, si la operacin financiera se expresa en otra unidad monetaria, latasa de inters sigue siendo la misma.

r =(X +X 0,10)X

Xr =

55 5050

r =1,10 1

1

rUT =CF CI

CI

t30 d =497

30.000= 0,16566

t5 a =100.000

200.000= 0,5

31

Definicin 3.2En una operacin financiera, la tasa de inters r por unidad de tiempo es el intersque corresponde a una unidad de capital en la unidad de tiempo considerada.

Ejemplo 3.3Supngase una situacin en la que un dlar (1 U$D) equivale a tres pesos ($ 3). Sipor un prstamo de 100 dlares se cobra un inters mensual de 30 dlares, la tasade inters (en dlares) es = 0,30.

Si se considera la situacin con el equivalente en pesos, se tiene que por un prstamo de$ 300 se cobra un inters mensual de $ 90 pesos. Por lo tanto la tasa de inters en pesos es

130 - 100100

390 300300

=90

300= 0,30



Es as que la tasa de inters es una magnitud adimensional, es independiente de la uni-dad monetaria elegida.

Tanto por uno y tanto por ciento. Es frecuente emplear la notacin de porcentajescuando se trata de tasas de inters, indicando que la tasa es del tanto por ciento. Eneste caso, una tasa de inters r se expresa en porcentajes como una tasa del 100r %. Amodo de ejemplos:

una tasa de inters del 3% anual es lo mismo que una tasa de inters anual de0,03; puesto que 3 = 100 0,03%.

una tasa de inters del 0,125% mensual es una tasa del 12,5 mensual, ya que0,125 100 = 12,5%.

en el Ejemplo 3.1 la tasa de inters es del 16,566% cada 30 das, mientras queen el Ejemplo 3.2 la tasa de inters por 5 aos es del 50 %.

Al realizar una compra en cuotas, al depositar dinero en el banco, al pedir un crdito,y en cualquier operacin financiera que involucre el cobro de intereses, siempre seenuncia una tasa de inters de la operacin. Esta tasa permite calcular el inters que secobrar en la operacin, si la duracin de la misma es una unidad de tiempo.

Ahora bien, si se quiere calcular el inters cobrado en un intervalo de tiempo arbi-trario, no es suficiente con conocer la tasa. Es necesario conocer adems lafrmula o tipo de inters que se aplica. Existen dos frmulas diferentes de calcu-lar el inters en base a la tasa, que dan lugar a dos tipos de inters: el inters simpley el inters compuesto.

Cada una de estas frmulas indica cmo debe calcularse el inters sobre un capital ini-cial CI despus de un cierto tiempo T. Por ejemplo, si se hace un depsito de $1.000 aplazo fijo por 3 meses a inters compuesto, con una tasa de inters del 2% mensual, seobtendr un inters diferente a si se aplica un inters simple, an con la misma tasa deinters y por el mismo perodo.

Para cualquiera de las frmulas, es necesario conocer el capital inicial CI , el tiempo enque se aplicar la tasa de inters y por supuesto, la tasa de inters r.

En el caso del inters simple, se asume que en cada unidad de tiempo transcurrida se sumauna cantidad proporcional al capital inicial, siendo la constante de proporcionalidad lamisma tasa de inters. As, el inters simple luego de n unidades de tiempo est dado por:

3.3. El inters simple y el inters compuesto

3.3.1. Inters simple


E l i n t e r s

I = CI n r

y el capital final obtenido es

CF = CI + I = CI (1 + n r)

En una operacin en la que se aplica el inters simple, el capital inicial se incrementa alo largo del tiempo de acuerdo a una progresin aritmtica. Es decir, si el capital iniciales CI y la tasa de inters por unidad de tiempo es r, entonces en las sucesivas unidadesde tiempo el capital ser:

CI , CI + r CI , CI + 2 r CI , CI + 3 r CI , CI + 4 r CI , . . . .

En la Figura 3.1 se ilustra el incremento del capital enlos sucesivos meses. Se puede apreciar en la figura queel crecimiento del capital sujeto a un tipo de interssimple es lineal, es decir, que es posible unir con unalnea o recta los puntos correspondientes a los sucesi-vos capitales.

En el caso del inters compuesto, el inters obtenido en cada unidad de tiempo secapitaliza, es decir, pasa a formar parte del capital; de manera que en el perodo

33

1150

1120

meses

1090

1060

5

1030

1000

4321

F i gu r a 3 . 1

Inters simple

3.3.2. Inters compuesto

Ejemplo 3.4Un capital de $ 4.000 es depositado a una tasa de inters simple del 5% mensualdurante dos meses. Esto significa que el inters ganado ser, en pesos, igual aI = 4.000 2 0,05 = 400, es decir de $ 400.

Ejemplo 3.5Un capital de $ 1.000 se deposita a una tasa de inters simple del 3% mensualdurante 5 meses. Esto significa que al finalizar cada mes se agrega al capital unasuma igual a $ 1.000 0,03 = $ 30. Por, lo tanto el capital se ir incrementando men-sualmente de acuerdo a una progresin aritmtica de razn 30:

$ 1.000, $ 1.030, $ 1.060, $ 1.090, $ 1.120, $ 1.150,

siendo el capital final al cabo de 5 meses igual a $ 1.150.



siguiente el inters se calcula sobre el monto formado por el capital inicial y el inte-rs obtenido hasta ese momento.

En el caso del Ejemplo 3.5, los intereses se capitalizan una vez al mes. As, para obte-ner el monto al final del primer mes se debe calcular

1.000 + 1.000 0,03 = 1.000 (1 + 0,03) = 1.030

al finalizar el segundo

1.030 (1 + 0,03) = 1.000 (1 + 0,03)2 = 1.060,90

al finalizar el tercero

1.060,90 (1 + 0,03) = 1.000 (1 + 0,03)3 = 1.092,727

y as, sucesivamente. De este modo, los sucesivos montos mensuales son:

$ 1.000 $ 1.030 $ 1.060,90 $ 1.092,727 $ 1.125,5088 $ 1.159,2741.

Como se puede observar, el monto obtenido al cabo de dos o ms unidades de tiempo,calculado segn el inters compuesto, es mayor que el obtenido segn el inters simple.En la Figura 3.2 se ha ilustrado esta situacin superponiendo los puntos correspondien-tes al monto obtenido segn se aplique elinters simple o el inters compuesto. Lospuntos superiores son los que corresponden alinters compuesto.

Para el inters compuesto, la frmula generalpara obtener el capital final, con una tasa deinters r, luego de n unidades de tiempo (n unnmero natural) es

CF = CI (1 + r)n

de donde deducimos que el inters producidoest dado por

I = CF CI = CI ((1 + r)n 1)En el caso del inters compuesto con una tasa de inters r, los sucesivos montos obte-nidos al final de cada perodo constituyen una progresin geomtrica, siendo la raznigual a (1 + r).

meses 5

1150

1120

4

1060

1000

321

F i gu r a 3 . 2

Inters simple y compuesto

Ejemplo 3.6 Un capital de $ 4.000 es depositado a una tasa de inters compuesto del 5% mensualdurante dos meses. Esto significa que al cabo de dos meses, el capital final ser deCF = 4.000 (1,05)2 = 4.000 1,1025 = $ 4.410 pesos y el inters ganado ser $ 410.


E l i n t e r s

Importante: En la prctica es muy poco frecuente hablar de inters simple o de tasasde inters simple. La razn es que el inters compuesto, a partir de la segunda unidadde tiempo, produce un inters mayor. Por lo tanto, a lo largo de este texto asumiremosque se aplica la frmula del inters compuesto, a menos que indiquemos lo contrario.

El grfico de la Figura 3.3 muestra el incremento de uncapital de $100 sometido a una tasa de inters mensualdel 20% para cada uno de los tipos de inters, simple ycompuesto. Puede apreciarse que la diferencia entre lossucesivos capitales es cada vez mayor. Precisamente, elcrecimiento de un capital sometido a un tipo de interssimple es lineal, mientras que el inters compuesto pro-duce un crecimiento de tipo exponencial.

Las tasas de inters pueden expresarse en diferentes unidades de tiempo: mensuales, oanuales, o cada 30 das, etc. A la hora de efectuar una operacin financiera en la que esposible optar por diferentes tasas, es importante saber distinguir cul es la tasa ms con-veniente. Si un individuo debe cobrar un inters, le interesar conocer cul es la tasaque da mayor rendimiento, es decir, aquella que una misma unidad de tiempo produ-ce un mayor inters. En cambio, si debe pagar un inters, optar por la tasa de menorrendimiento. Sea cual fuera el caso, es importante saber comparar dos tasas de inters.

Dos tasas de inters expresadas en una misma unidad de tiempo pueden comparar-se fcilmente: una tasa de inters mensual del 20% es mayor que una tasa mensualde 15%, y menor que una del 30 %.

35

Ejemplo 3.7Se ha realizado un depsito de $ 1.000 por tres meses con una tasa del 20% men-sual. Cul es el monto a retirar al cabo de tres meses?

En esta situacin el depsito se incrementar en un 20% cada mes. Esto significaque los importes sucesivos sern:

final del primer mes = $1.000 1,20 =$ 1.200

final del segundo mes = $1.200 1,20 =$ 1.440

final del tercer mes = $1.440 1,20 =$ 1.728

El monto a retirar es de $ 1.728. Tambin podramos haberlo calculado haciendo1.000(1,20)3 = $ 1.728.

int. compuesto

int. simple

50 20

3500

1510

500

2000

100

F i gu r a 3 . 3

Grfico comparativo de inters simple y compuesto

3.3.3. Tasas de inters proporcionales y equivalentes



En cambio, si se tienen dos tasas de inters expresadas en diferentes unidades detiempo, la comparacin no es tan sencilla. Por ejemplo, no es del todo claro si unatasa del 1% mensual produce menor, mayor o el mismo inters que una tasa del12,5% anual, o si una tasa del 20% cada 30 das es lo mismo que una tasa men-sual del 20 %.

Ahora bien, cmo medir un mismo perodo de tiempo con dos unidades de tiempodistintas? Por ejemplo, un perodo de un mes, cuntos das tiene? Si bien en la vidareal hay meses de 30, 31, 28 y 29 das, y tambin aos de 365 y de 366 das, en mate-mtica financiera se convienen otras relaciones y equivalencias entre las unidades detiempo ao, mes y da. As, el ao financiero es de 360 das, y el mes financiero de 30das. Por lo tanto, a lo largo de este texto se asumirn las siguientes relaciones, que porotro lado son las ms frecuentes:

1 ao = 12 meses

= 360 das

1 mes = 30 das

Tambin se emplean, quizs con menor frecuencia, las unidades de tiempo derivadasdel mes: bimestre, trimestre, semestre y cuatrimestre. Las relaciones son:

1 ao = 6 bimestres = 4 trimestres = 3 cuatrimestres = 2 semestres

De acuerdo a esta convencin, cada ao tiene 12 meses, cada mes tiene 30 das y losaos son de 360 das. En particular, esto dice que una tasa mensual r produce el mismointers en un mes que en 30 das. En otras palabras, que una tasa mensual r es equiva-lente a una tasa r cada 30 das.

Otro concepto que se utiliza frecuentemente es el de tasas proporcionales.

El siguiente ejemplo aclara esta definicin:

Definicin 3.3 Dos tasas de inters r y r se dicen equivalentes si el monto producido por un mismocapital, en un mismo perodo de tiempo, es el mismo para cada una de las tasas.

Definicin 3.4 Dos tasas de inters r y se dicen proporcionales, si la unidad de tiempo corres-pondiente a r es m veces la unidad de tiempo correspondiente a .

rm

rm

Ejemplo 3.8 Una tasa de inters anual del 3,6% es proporcional:

a una tasa de inters mensual del 0,3%, pues un ao son 12 meses y = 0,3,

a una tasa de inters bimestral del 0,6%, pues un ao son 6 meses y = 0,6,

a una tasa diaria del 0,01%, pues un ao son 360 das y = 0,01.

3,612

3,66

3,6360


E l i n t e r s

El Ejemplo 3.11 es til para remarcar que, si bien un ao tiene 12 meses, la tasa equivalente anualno se obtiene multiplicando por 12 a la tasa mensual cuando se trata de un inters compuesto.

37

Ejemplo 3.12Una tasa del 3% mensual es proporcional a una tasa del 36% anual. Para determi-nar la tasa equivalente anual calculamos el inters producido por una unidad decapital en un perodo de un ao. Esto es I = (1,03)12 1 = 0,42576, es decir que esequivalente a una tasa del 42,576% anual.

Ejemplo 3.11Si se considera un capital de $ 1.000 sujeto a una tasa de inters del 2% mensual,al cabo de un ao se tendr un capital igual a

$ 1.000 (1,02)12

por lo que el inters producido es

$ 1.000 ((1,02)12 - 1)La tasa de inters anual es entonces

r = (1,02)12 1 = 0,2682%Por lo tanto una tasa del 2% mensual es proporcional a una tasa del 24% anual, yequivalente a una tasa del 26,82% anual.

Ejemplo 3.9(Un ao de 365 das). En ciertas ocasiones se utiliza la relacin

1 ao = 12 meses = 365 das

Esto implica que cada mes tiene ms de 30 das, ms precisamente, un mes equi-vale a 365/12 = 30.41 das, aproximadamente.

Por lo tanto una tasa mensual r no es proporcional a una tasa r cada 30 das, nitampoco son equivalentes. Por ejemplo, una tasa del 5% cada 30 das produce uninters de $ 5 sobre un capital de $ 100 en 30 das, y en consecuencia producir uninters un poco mayor en 1 mes = 30,41 das.

Si las tasas son proporcionales, entonces producen el mismo inters simple en unmismo perodo de tiempo.

Ejemplo 3.10Una tasa del 20% mensual aplicado a un capital de $ 1.000, produce un inters sim-ple de $ 600 al cabo de tres meses: 1.000 0,2 3 = 600.

A su vez, la tasa del 60% trimestral tambin produce $ 600 de inters al cabo de 3meses, como lo muestra el clculo 1.000 0,6 1 = 600.

Sin embargo, si consideramos la frmula de inters compuesto, el capital producido porestas dos tasas no es el mismo a lo largo de tres meses. Si volvemos al Ejemplo 3.7, vemosque una tasa trimestral del 60% (proporcional a la tasa mensual del 20 %) producir uncapital final de $ 1.600, mientras que la tasa del 20% mensual produce un capital final de$ 1.728. Esto significa que la tasa del 20% mensual produce un inters del 72,8% trimes-tral. Por lo tanto, una tasa del 20% mensual es equivalente a una tasa del 72.8% trimestral.



Existe una notacin usual para referirse a las tasas proporcionales y equivalentes de unatasa de inters r determinada. La notacin es la siguiente:

Notacin: Si r es una tasa de inters asociada a una unidad de tiempo u, denotaremoscon r(m) a la tasa de inters proporcional asociada a m unidades de tiempo y r(m) a la tasaequivalente a r asociada a m unidades de tiempo. Las frmulas correspondientes son:

r(m) = m r , r(m) = (1 + r)m - 1

Si m = 1, entonces tenemos que r(1) = r(1) = r.

En el Ejemplo 3.11 se puede observar que si r = 1 es la tasa mensual, entonces la tasaproporcional anual r(12) es menor que la tasa equivalente anual r(12). Esto no es un hechocasual. Puede demostrarse que la tasa equivalente a m perodos de tiempo (con m > 1)es mayor que la tasa proporcional correspondiente.

La aclaracin m > 1 es importante, pues de lo contrario se da la relacin inversa.

Ejemplo 3.13 Consideremos una tasa r del 5% mensual, es decir, r = 0,05. Entonces:

1. La tasa proporcional anual es r(12) = 12 0,05 = 0,6, o sea, del 60% anual.2. La tasa equivalente anual es r(12) = (1,05)12 1 = 0,795856, es decir del 79,5856% anual.3. La tasa proporcional diaria es r(1/30) = = 0,001667, es decir del 0,1667% diario.0,0530

Ejemplo 3.14 Si r = 0,6 es una tasa anual, entonces r(1/12) = = 0,05 es la tasa proporcional men-sual. La tasa equivalente mensual se obtiene planteando la ecuacin:

(1 + r(1/12))12 = 1 + 0,6

cuya solucin es

una tasa inferior a 0,05.

0,612

r(1/12) =121,6 1 = 0,03994411

3.3.4. Relacin entre r(m) y r(m)

Demostracin Para demostrar esto, en primer lugar debe notarse que

(1 +r(m)

m)m = 1 + r(m)

Proposicin 3.1 Dada una tasa de inters r, un entero m, siendo m > 1, y las correspondientes tasasproporcional y equivalente r(m) e r(m), se verifica que

r(m) < r(m)


E l i n t e r s

Es frecuente que en las operaciones financieras se enuncia una tasa de inters, pero lacapitalizacin de intereses, o los pagos, se efectan en perodos menores. Por ejemplo,para un plazo fijo a tres meses se enuncia una tasa de inters del 6% anual. Esto signi-fica que en realidad se aplica una tasa del 1,5% (es decir 6/4 %) trimestral, pero seenuncia la tasa proporcional anual: 6 %. Esta tasa del 6% se denomina tasa nominalanual, y se simboliza como T.N.A.

La tasa de inters equivalente anual se llama tasa equivalente anual y se simboliza T.E.A.

Resumiendo, si se considera como unidad de tiempo la m-sima parte de un ao, y paraeste perodo se aplica una tasa de inters i, se llama tasa nominal anual a la tasa propor-cional anual y tasa equivalente anual a la tasa equivalente anual:

T.N.A. = i(m), T.E.A. = i(m)

Observemos que la T.N.A. slo es una tasa enunciada, pero no indica nada sobre el ren-dimiento a lo largo del ao.

Si se aplica una tasa de inters mensual r en un depsito de $ 1.000, entonces elcapital formado al cabo de n meses es $1.000 (1 + r)n. Ahora bien, cul es el capi-tal al cabo de 1 mes y medio?, o al cabo de 20 das? La pregunta general es: cmose calcula el inters cuando el tiempo transcurrido no es un mltiplo de la unidadde tiempo considerado?

39

Esta relacin se deduce de las correspondientes definiciones de r(m) y r(m).

Ahora bien, la potencia de un binomio del tipo (1 + )m puede desarrollarse comouna suma de potencias de , ms precisamente:

Esta suma es estrictamente mayor que 1 + r si m > 1, por lo tanto, si reemplazamosr por r(m) se obtiene que . Es inmediato entonces que

r(m) > r(m).

rm

rm

(1 +r

m)m = 1 +m

r

m+

mk=1

(m

k

)r

m

)k(1 + r

(m)

m)m > 1 + r(m)

Ejemplo 3.15Un banco enuncia una tasa de inters nominal anual del 0,6% con capitalizacinmensual de intereses. Esto indica que mensualmente se aplicar una tasa real del0,05% mensual, y que la T.E.A. es del (1,05)12 1 = 0,79585% anual.

3.3.5. Tasas de inters nominal, peridica o real y equivalente

3.4. El inters aplicado en fracciones de tiempo



Existen distintas opciones que se describen a continuacin.

Opcin 1 Capitalizacin mixta. Una posibilidad es aplicar el inters compuesto sobre lasprimeras unidades de tiempo, y en la ltima fraccin de tiempo emplear un tipo de interssimple. Por ejemplo, si un individuo deposita a una tasa del 3% mensual un capital de $ 500durante 45 das, entonces la forma de calcular el capital final es aplicar inters compuesto elprimer mes, e inters simple el medio mes restante. De este modo el capital final es:

Opcin 2 Inters compuesto. Una posibilidad es expresar el tiempo en la unidad de tiem-po considerada, y aplicar la frmula de inters compuesto. En el caso del ejemplo anterior, dadoque 45 das equivale a 1,5 meses (un mes y medio), entonces se calcula el capital final como:

Opcin 3 Una tercera opcin es considerar slo las primeras unidades de tiempo y no capi-talizar en la ltima fraccin de tiempo. En el ejemplo equivale a capitalizar los intereses sloel primer mes y no aplicar la tasa de inters en el medio mes restante. As el capital final ser:

La representacin grfica de estos casos es laque se observa en la Figura 3.4.

De estas tres opciones, la que se utiliza msfrecuentemente es la primera. Observemosque el monto es menor que en el segundocaso, lo cual favorece a quien debe pagar inte-reses (en general, al banco).

Puede ocurrir que un individuo desee depositar una cierta cantidad de dinero CI en unacuenta, a una determinada tasa de inters r, y quiera saber cunto tiempo debe deposi-tarla para que su capital ascienda a CF .

CF = $ 500 (1,03) (1 +0,3

2) = $ 522,725

CF = $ 500 (1,03)1,5 = $ 522,6679.

CF = $ 500 (1,03) = $ 515

Opc. 3

Opc. 2

Opc. 1

meses

500

0

medio mes1er mes

F i gu r a 3 . 4

3.5. Si la incgnita es el tiempo


E l i n t e r s

Para resolver esta situacin se debe despejar la incgnita r de la frmula del inters com-puesto: CF = CI (1 + r)t. Dividiendo en primer lugar ambos miembros por CI :

la forma de despejar t es aplicando logaritmo en ambos miembros, cualquiera sea labase del logaritmo:

Hemos utilizado las propiedades conocidas de la funcin logaritmo:

la frmula para obtener t es

En el caso del Ejemplo 3.16, se tiene que el tiempo en meses es

es decir 51 meses y medio.

A continuacin, se presentan una serie de ejercicios en orden de dificultad creciente.

(1 + r)t =CF

CI

log (1 + r)t)= log

CF

CI

)

log(a b) = log(a) + log(b), log(a/b) = log(a) log(b), log(ar) = r log(a),

tt ==lologg((CCFF )) lologg((CCII))

lologg((11 ++ rr))

t =log(55.833) log(38.000)

log(1,0075)= 51,4960076

41

Ejemplo 3.16Cunto tiempo debe depositarse un capital de $ 38.000, colocndolo a una TNA del9% con capitalizacin mensual, para obtener un capital final de $ 55.833?

3.6. Ejercicios

Ejercicio 3.1Dada una tasa nominal de inters del 0,60 = 60% anual, calcular la T.E.A. si la capitalizacin es

a) mensual, b) bimestral.

Ejercicio 3.2Calcular la tasa nominal anual con capitalizacin trimestral, sabiendo que la tasade inters equivalente anual es del 15%. Calcular adems la tasa peridica querige la capitalizacin.

Ejercicio 3.3Un capital de $1.000 es depositado en una cuenta, a una T.N.A. del 1% con capitalizacin tri-mestral. Calcular el capital que ser posible retirar al cabo de 225 das (2 trimestres y medio).


Todo lo que usted quiere saber sobre matemtica f inanciera, pero no se anima a preguntar

Ejercicio 3.4 De una caja de ahorro en la que se aplica el inters simple, se sabe que hoy, 5meses despus de haberla abierto con un depsito de $ 2.500 pueden retirarse$ 2.550. Cunto podra retirarse si se espera hasta el octavo mes? Cul es la tasade inters mensual simple que aplica dicha cuenta?

Ejercicio 3.5 Cul es el capital final correspondiente a un capital inicial de $ 20.000, coloca-do a un inters del 15% anual, durante 2 aos, si se capitaliza anualmente?

Ejercicio 3.6 Calcular el inters obtenido sobre un depsito de $ 59.500 colocados a una T.N.A.del 10 %, durante 3 aos, con capitalizacin semestral.

Ejercicio 3.7 Calcular el capital que debe depositarse a una T.N.A. del 10% con capitalizacintrimestral, para que al cabo de 6 aos y medio el capital sea de $ 105.600.

Ejercicio 3.8 Calcular el tanto por ciento mensual al que se debe colocar un capital de $ 5.000,para que al cabo de 60 das el monto sea de $ 5.304,50.

Ejercicio 3.9 Calcular el tiempo que debe depositarse un capital de $ 1.000, colocado a intersdel 5% mensual, para transformarse en $ 3.386,46.

42


E l descuen to

Existen documentos comerciales que implican promesas de pago futuro. Es decir,manifiestan el compromiso de una persona a pagarle a otra una determinada cantidadde dinero en un cierto plazo. Tal es el caso de los pagars y las letras de cambio o girosbancarios, de las cuales se har referencia explcita en el Captulo 5.

La cantidad de dinero que expresa el documento se denomina valor nominal, y el plazode pago es el vencimiento del documento. Si un individuo tiene en su poder un docu-mento de un determinado valor nominal N cuyo vencimiento se operar en un futuro,y si lo quisiera transferir, vender o negociar antes de su vencimiento, seguramente nopodr hacerlo por el valor nominal N, sino por uno inferior, simplemente porque Nrepresenta un valor futuro.

Por ejemplo, una persona posee un pagar por $ 1.000 con vencimiento a 30 das, peronecesita efectivo para afrontar ciertos gastos. Quien acepte este pagar a cambio de una can-tidad E de dinero, asume que est prestando este efectivo a cambio de recibir $ 1.000 en 30das. Por lo tanto el efectivo E ser seguramente menor que $ 1.000, dado que cualquierprstamo supone inters. As, los $ 1.000 correspondern al prstamo E ms el inters.

La forma de calcular E es a travs de una actualizacin del capital de $ 1.000, asumien-do una determinada tasa de inters. Se dice que se ha realizado un descuento sobre elvalor del documento.

En una operacin financiera de descuento, existe un proceso de actualizacin de uncapital disponible

libro matemática financiera

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