matemática financiera -

1

Historia que compromete

Diplomado en Gerencia Financiera

de Empresas

Matemtica Financiera

Rafael J. Avila D.

2


Presentacin y cules son sus expectativas

Objetivos

Informacin General

Metodologa

Agenda

Contenido del Mdulo


Cmo impacta el uso del crdito a la empresa?

Qu se puede hacer para mejorar la situacin financiera de la empresa?

Cuando hablamos de Finanzas surgen distintas interrogantes sobre el tema;

algunas de ellas son:

Cul es la situacin financiera de la empresa?

Cmo puede el buen manejo de las finanzas mejorar el desempeo de la empresa?

Preguntas frecuentes sobre Finanzas

Cmo puedo evaluar un proyecto? Cmo comparo opciones de inversin?

Cmo es su desempeo? Cmo lo mido?

3


Objetivos del Mdulo

Introducir conceptos tericos de las finanzas y familiarizar al participante con la

terminologa financiera.

Introducir al participante en el concepto del valor del dinero en el tiempo, de modo que

sepa discernir acerca del riesgo y rendimiento de las inversiones.

Suponiendo ausencia de incertidumbre, presentar metodologas y modelos matemticos

para calcular rentas y amortizaciones haciendo uso del inters simple y del inters

compuesto.

Introducir cmo funcionan los productos financieros ms frecuentes de la banca

venezolana: crditos de automviles y viviendas, fondos de ahorro, etc. A su vez,

introducir la metodologa para valorar otros instrumentos financieros como bonos y

acciones.

Hacer consideraciones generales de evaluacin de proyectos y valoracin de empresas

en marcha.

Por ltimo, introducir algunos productos derivados y conceptos de VaR.


Rafael J. Avila D.

Ingeniero Civil, UCAB (1998). Master en Administracin de Empresas, IESA (2002), Master en Polticas Pblicas, IESA (2005), Master en Finanzas, IESA (2005), Caracas, Venezuela. PhD. in Economics de la SMC University, Zug,

Suiza (candidato).

Orientado a Finanzas Corporativas, anlisis de mercado y estrategia. Slida experiencia en gerencia de proyectos,

Banca y Finanzas, y Evaluacin de proyectos y Emprendimiento. Experiencia en riesgo de mercado, riesgo de

liquidez, riesgo financiero y control de riesgo crediticio. Ha trabajado en gerencia de construccin, banca y casas de

bolsas. Amplia experiencia en consultora financiera, y creacin y manejo de portafolios de inversin.

Profesor con concentracin en Contabilidad, Finanzas Personales, Economa, Emprendimiento, Evaluacin de

Proyectos y Finanzas Corporativas, en IESA, UCAB, Universidad Montevila e Instituto de Finanzas y Empresas,

en Caracas, Venezuela. Ha sido ponente en distintos foros sobre Economa y Finanzas, y Emprendimiento. Es

Decano de la Facultad de Ciencias Econmicas y Administrativas de la Universidad Montevila. Es director-

fundador del Centro de Estudios para la Innovacin y el Emprendimiento de la Universidad Montevila, y del Centro

de Polticas Pblicas Fundacin Siglo y Compromiso.

Co-autor del Time Series Stochastic Properties of Growth Miracles and Growth Disasters, ganador del Best

Paper Award en el International Business & Economic Research Meeting 2006, y publicado en el International

Business & Economics Research Journal (Nov. 2006).

Informacin General

4


Rafael J. Avila D.

Ofic. 0212-2666460

Cel. 0414-3384146

PIN: 2687DC71

[email protected]

twitt me @rjavilad

www.rafael-avila.net

Informacin General


Discusiones terico-prcticas sobre principios y conceptos generales,

y sobre tcnicas y/o herramientas particulares.

Asignacin de ejercicios y evaluacin conceptual para poner en

prctica los conocimientos adquiridos.

Por favor no se quede con dudas.

Metodologa del Mdulo

5


GARAY, Urbi; GONZLEZ, Maximiliano. Fundamentos de Finanzas. 2da. Ed.

Ediciones IESA, 2007.

ROSS, Stephen A.; WESTERFIELD, Randolph W; JAFFE, Jeffrey. Finanzas

Corporativas. McGraw Hill, 7ma. Ed., Mxico, 2005.

BESLEY, Scott; BRIGHAM, Eugene; Fundamentos de Administracin

Financiera. McGraw Hill.

HORNGREN, SUNDEM, ELLIOT. Introduccin a Contabilidad Financiera.

7ma. Ed. Prentice Hall.

NAJUL, Miguel. Valoracin de Proyectos. Ediciones IESA.

HULL, John. Options, Futures, and Other Derivatives (9th Edition).

FABOZZI, Frank J. The Handbook of Fixed Income Securities. Eighth

Edition.

Bibliografa Recomendada


1. Introduccin: La importancia de las Finanzas en el mundo de los negocios

2. Inters simple

3. Inters compuesto

4. Descuentos

5. Rentas

6. Derivados

7. Value at Risk

8. Reflexiones finales

Contenido

6


Introduccin al tema

Qu son las Finanzas?

La ciencia del dinero

Negocios, banca, asuntos econmicos, en muchos aspectos de la vida

Disciplina que estudia la relacin entre las personas y el dinero

Los postulados bsicos

El dinero vale ms hoy que maana

No existe nada gratuito

El mercado define el valor de las cosas

El ser humano es adverso al riesgo, excepto por el beneficio

La diversificacin reduce el riesgo


Introduccin al tema

Para qu sirven las Finanzas? Toma de decisiones:

Evaluacin de Proyectos

Proyecciones: Expectativas de futuro

Correcciones de proyectos o empresas en marcha

Control de Gestin: El manejo de un recurso escaso

Quines las usan?

Emprendedores

Gerentes y Administradores

Financistas y Acreedores

Inversionistas

Estado

7


Intermediacin Financiera

Excedentarios Familias

Particulares

Empresas

Estado

Deficitarios Familias

Particulares

Empresas

Estado

Instituciones

Bancarias


Desintermediacin Financiera

Excedentarios Familias

Particulares

Empresas

Estado

Deficitarios Empresas

Estado

Dividendos, Intereses

Capital

8


El Mercado Monetario

Intermediacin financiera del dinero.

Bancos e instituciones financieras.

Instrumentos de Inversin del Mercado Monetario:

Depsitos a plazo fijo:

Emitidos por los bancos.

Otorgan rendimientos predeterminados.

Derecho de percibir intereses o una renta fija as como el reembolso de capital.

Cuenta Corriente o ahorro.


El Crdito

El crdito es la oportunidad de utilizar dinero de otras personas en nuestro beneficio.

El punto clave es: Cundo endeudarse, por qu endeudarse, para qu endeudarse y

cmo garantizamos que el crdito no se convierta en una carga que aleje a la

empresa de alcanzar sus metas financieras.

394,5 BsF.

1.000 BsF. 1.000 BsF.

Intereses efectivos cobrados

Se us una tasa del 23%, en un periodo de 36 meses.

9


Al hablar de Crditos hay que hablar de

Inters

El inters o tasa de inters es la cantidad que nos cobran por

prestarnos una suma de dinero, y tambin es la cantidad de

dinero que nosotros cobramos cuando prestamos a otros.

La tasa de inters siempre est dada en trminos

porcentuales anuales.

Tasa de Inters Nominal: La que nos dicen que nos van a

cobrar.

Tasa de Inters Efectiva: La que realmente nos cobran.

Tipos de inters:

Inters Simple

Inters Compuesto


100 10 10 10 10 10

10% 10% 10% 10% 10%

El Inters Simple Total Capital + Intereses = 150

100 100 100 100 100

100 10 11 12 15 13

10% 10% 10% 10% 10%

110 121 133 146 161

El Inters Compuesto

Intereses sobre Intereses

10


El Valor del Dinero en el Tiempo

El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el

valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1 milln de

bolvares hoy que dentro de un ao, ya que el dinero se va

depreciando como consecuencia de la inflacin.

Por lo tanto, 1 milln de bolvares en el momento actual ser

equivalente a 1 milln de bolvares ms una cantidad

adicional dentro de un ao. Esta cantidad adicional es la que

compensa la prdida de valor que sufre el dinero durante ese

periodo.



Hay dos reglas bsicas en matemticas financieras:

Ante dos capitales de igual cuanta en distintos momentos, se preferir

aqul que sea ms cercano.

Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se

preferir aquel de importe ms elevado.

Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay

que hallar el equivalente de los mismos en un mismo

momento, y para ello utilizaremos las frmulas de matemtica

financiera.

11



Ejemplo: Qu es preferible disponer de 2 millones de

bolvares dentro de 1 ao, de 2 millones dentro de 5 aos?

Qu es preferible disponer de 2 millones de bolvares dentro

de 1 ao, de 4 millones dentro de 5 aos?

Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes

de ambos importes en un mismo instante.

As, por ejemplo, si aplicando las leyes financieras resulta que

el primer importe equivale a 1,5 millones en el momento

actual, y el segundo equivale a 1,4 millones, veremos que es

preferible elegir la primera opcin.



Hemos calculado los importes equivalentes en el momento

actual, pero podramos haber elegido cualquier otro instante

(dentro de 1 ao, dentro de 5 aos, etc.), y la eleccin habra

sido la misma.

Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente

de un capital en un momento posterior, se llaman Leyes de

Capitalizacin, mientras que aquellas que nos permiten

calcular el equivalente de un capital en un momento anterior,

se denominan Leyes de Descuento.

Estas leyes financieras nos permiten tambin sumar o restar

capitales en distintos momentos.

12



Ejemplo: Si vamos a recibir 1 milln de bolvares dentro de 6

meses y 2 millones dentro de 9 meses, no los podemos

sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus

equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro

de 6 meses, 9 meses, etc.) y entonces s se podrn sumar.



2. Inters simple

3. Inters compuesto

4. Descuentos

5. Rentas

6. Derivados

7. Value at Risk


Contenido

13


100 10 10 10 10 10

10% 10% 10% 10% 10%

El Inters Simple

Total Capital + Intereses = 150

100 100 100 100 100

Recuerdan cmo funciona?


La capitalizacin simple es una frmula financiera que permite

calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.

Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo

(periodos menores de 1 ao), ya que para periodos ms largos

se utiliza la "Capitalizacin compuesta", que veremos ms

adelante.

La Capitalizacin Simple

14


La frmula que nos sirve para calcular los intereses que genera

un capital es la siguiente:

I = Co * i * t

Donde:

I: son los intereses que se generan

Co: es el capital inicial (en el momento t=0)

i: es la tasa de inters que se aplica

t: es el tiempo que dura la inversin

Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5

millones de dlares a un tipo del 15% durante un plazo de 1

ao.



I = 5.000.000 * 0,15 * 1

I = 750.000 USD.

Una vez que hemos calculado el importe de los intereses,

podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I

Cf = Co + ( Co * i * t )

Cf = Co * ( 1 + ( i * T ))

Donde, Cf: es el capital final


15


Ejemplo: Cul era el capital final en el ejemplo anterior?

Cf = Co + I

Cf = 5.000.000 + 750.000

Cf = 5.750.000 USD

Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de

inters y el plazo deben referirse a la misma medida temporal

(si el tipo es anual, el plazo debe de ir en aos, si el tipo es

mensual, el plazo ir en meses, etc.)



Cmo se calcula el tipo de inters equivalente, segn distinta

unidad de tiempo?

Veamos un ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.

Base temporal Clculo Tipo resultante

Ao 15 / 1 15 %

Semestre 15 / 2 7,5 %

Cuatrimestre 15 / 3 5 %

Trimestre 15 / 4 3,75 %

Mes 15 / 12 1,25 %

Da 15 / 365 0,041 %


16


El resultado que se habra obtenido en el anterior ejemplo es

independiente del tipo de base temporal que se hubiera

tomado. Eso s, si el inters va en base semestral, el plazo ir

en semestre, etc.

Base temporal Intereses

Ao 5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000

Semestre 5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000

Cuatrimestre 5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000

Trimestre 5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000

Mes 5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000

Da 5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000



Ejemplo: calcular los intereses que producen 5 milln de

bolvares al 15% anual durante 3 meses:

Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual

equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

Ya puedo aplicar la frmula: I = Co * i + t

I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = Bs 187.500


17


1. Calcular el inters que generan 500.000 USD durante 4 meses a un tipo de

inters anual del 10%. (Rta. I = 16.666 USD)

2. Calcular el capital final que tendramos si invertimos 1.000.000 Bs durante 6

meses al 12%. (Rta. Cf = Bs 1.060.000)

3. Recibimos 500.000 ptas. dentro de 6 meses y 800.000 ptas. dentro de 9

meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular que

importe tendramos dentro de 1 ao.

4. Qu es preferible recibir 500.000 Euros dentro de 3 meses, 400.000 Euros

dentro de 6 meses, o 600.000 Euros dentro de 1 ao, si estos importe se

pueden invertir al 12%?

5. Calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral; b) 3% cuatrimestral;

c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual.

La Capitalizacin Simple Ejercicios



2. Inters simple

3. Inters compuesto

4. Descuentos

5. Rentas

6. Derivados

7. Value at Risk


Contenido

18


La Magia del Inters Compuesto

Recuerdan cmo funciona?

100 10 11 12 15 13

10% 10% 10% 10% 10%

110 121 133 146 161

Intereses sobre Intereses


La capitalizacin compuesta es otra frmula financiera que tambin

permite calcular el equivalente de un capital en un momento

posterior.

La diferencia entre la capitalizacin simple y la compuesta radica

en que en la simple slo genera intereses el capital inicial, mientras

que en la compuesta se considera que los intereses que va

generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos

intereses.

Decamos que la capitalizacin simple slo se utiliza en

operaciones a corto plazo (menos de 1 ao), mientras que la

capitalizacin compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto

plazo, como a largo plazo.

La Capitalizacin Compuesta

19


La frmula de capitalizacin compuesta que nos permite

calcular los intereses es la siguiente:

Donde,

I: son los intereses que se generan


i: es la tasa de inters que se aplica



11* tiCoI


Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2

millones de bolvares a un tipo del 10% durante un plazo de 1

ao.

I = 200.000 Bs.

Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular

el importe del capital final:

Cf = Co + I

Ejemplo: Cual ser el capital final en el ejemplo anterior?

Cf = 2.000.000 + 200.000

Cf = 2.200.000 Bs.


20


Al igual que vimos al estudiar la capitalizacin simple, tambin en

la capitalizacin compuesta es importante tener en cuenta que el

tipo de inters y el plazo deben referirse a la misma base

temporal.

El clculo de los tipos de inters equivalentes, referidos a distinta

base temporal, es diferente al que vimos en la capitalizacin

simple. La formula de clculo es la siguiente:

(m se refiere a la base temporal que se utiliza)

(m = 1, para aos) (m = 2, para semestres)

(m = 3, para cuatrimestres) (m = 4, para trimestres)

(m = 12, para meses) (m = 365, para das)


mmii 11


La tasa de inters siempre esta dada en trminos anuales.

Tasa de Inters Nominal: La que nos dicen que nos van a cobrar

Tasa de Inters Efectiva: La que realmente nos cobran


100 110 10%

1 ao

100

105 1 ao

5% 5% 110,25

21


Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual.

Base temporal Clculo Tipo equivalente Semestre Cuatrimestre Trimestre Mes Da


365365

12

12

4

4

3

3

2

2

115,01

115,01

115,01

115,01

115,01

i

i

i

i

i

%038,0

%17,1

%56,3

%76,4

%24,7

365

12

4

3

2

i

i

i

i

i


Ambas leyes de capitalizacin dan resultados diferentes.

Vamos a analizar en qu medida la aplicacin de una u otra ley

en el clculo de los intereses, da resultados mayores o

menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos:

Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el

ao): en este supuesto, los intereses calculados con la ley de

capitalizacin simple son mayores que los calculados con la ley

de capitalizacin compuesta.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un

capital de 4 millones de euros, durante 3 meses, a un tipo de

inters del 12%:

Capitalizacin Compuesta

vs Capitalizacin Simple

22


Capitalizacin simple

I = 120.000 euros.

Capitalizacin compuesta

I = 116.000 euros.

Se comprueba, por tanto, como el inters calculado con la

frmula de la capitalizacin simple es superior al calculado con

la frmula de capitalizacin compuesta.




Periodos iguales a un ao: en estos casos, ambas frmulas dan

resultados idnticos.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un

capital de 2 millones de dlares, durante 1 ao, a un tipo de

inters del 15%:


I = 300.000 USD


I = 300.000 USD

Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con

ambas frmulas son iguales.



23


Periodos superiores a un ao: en estos casos, los intereses

calculados con la frmula de capitalizacin compuesta son superiores

a los calculados con la frmula de capitalizacin simple.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital

de 5 millones de pesetas, durante 2 aos, a un tipo de inters del

10%:


I = 1.000.000 ptas.


I = 1.050.000 ptas.

Se puede comprobar, por tanto, cmo en este caso el inters

calculado con la frmula de capitalizacin compuesta es ms elevado.




No obstante, como ya hemos indicado anteriormente, la frmula

de capitalizacin simple slo se utiliza con operaciones de corto

plazo (menos de 1 ao), mientras que la de capitalizacin

compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo plazo.



24


La Capitalizacin Compuesta Ejercicios

1. Calcular el inters de un capital de 5.000.000 ptas. invertidos durante

un ao y medio al 16%, aplicando capitalizacin simple y

capitalizacin compuesta.

2. Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b)

cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la frmula de capitalizacin

compuesta. Rta: i = 0,0124; i = 0,0507; i = 0,0770

3. Se recibe un capital de 1 milln de Bs. dentro de 6 meses y otro

capital de 0,5 millones Bs. dentro de 9 meses. Ambos se invierten al

12% anual. Qu importe se tendr dentro de 1 ao, aplicando

capitalizacin compuesta? Rta: Ct= 1.058.301 + 514.369 = 1.572.670

Bs.


La Capitalizacin Compuesta Ejercicios

4. Qu intereses seran mayores: los de un capital de 600.000 USD

invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalizacin

simple, o los de un capital de 500.000 USD invertidos durante 8

meses al tipo del 16% en capitalizacin compuesta?

5. Si un capital de 1 milln de euros genera unos intereses durante 6

meses de 150.000 euros, qu tasa de inters se estara aplicando si

se estuviera usando la capitalizacin simple?, y la capitalizacin

compuesta? Rta: Capitalizacin simple: i = 0,3 (30%) Capitalizacin

compuesta: i = 0,322 (32,2%)

25



100 110 132 156 212 183

10% 10% 10% 10% 10%

10 10 10 10

120 142 193 166

Inters compuesto + aportes



Tipo Capital Intereses Total

Inters Simple 100 50 150

Inters Compuesto 100 61 161

Inters Compuesto ms Aportes 140 72 212

El Inters es la herramienta para multiplicar su dinero

26


Tasas Nominales vs. Tasas Efectivas

Si el inters es Simple:

Tasa Nominal anual = Tasa Efectiva

Si el inters es Compuesto:

Tasa Nominal anual Tasa Efectiva

Donde:

L: perodo mayor

l: perodo menor

lLlL ii/

11


Tasas Nominales vs. Tasas Efectivas

A mayor periodicidad, mayor es la tasa de inters.

27



2. Inters simple

3. Inters compuesto

4. Descuentos

5. Rentas

6. Derivados

7. Value at Risk


Contenido


La operacin financiera de descuento es la inversa a la

operacin de capitalizacin. Con esta operacin se calcula

el capital equivalente en un momento anterior de un

importe futuro.

Mientras que la ley de capitalizacin calcula unos

intereses que se les aade al importe principal,

compensando el aplazamiento en el tiempo de su

disposicin, en las leyes de descuento es justo al

contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por

adelantar la disposicin del capital.

Descuento

28


Dentro de las leyes de descuento, se pueden

distinguir tres modelos:

1. Descuento comercial

2. Descuento racional

3. Descuento compuesto (econmico)

Descuento


La ley financiera del descuento comercial, que permite

calcular el importe del descuento, es la siguiente:

D = Co * d * t

Donde,

D: son los intereses que hay que pagar


d: es la tasa de descuento que se aplica


Descuento Comercial

29


Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento

que generan 2 millones de bolvares, descontados a un

tipo del 15%, durante un plazo de 1 ao.

D = 2.000.000 * 0,15 * 1

D = 300.000 Bs.

Una vez que conocemos el importe del descuento, se

puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial

menos el importe del descuento):

Cf = Co D

Descuento Comercial


Cf = Co - ( Co * d * t )

Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))

Donde,

Cf: es el capital final

Ejemplo: Cul ser el capital final en el ejemplo anterior?

Cf = 2.000.000 -300.000

Cf = 1.700.000 Bs.

Descuento Comercial

30


Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalizacin, es

importante tener en cuenta que el tipo de inters y el plazo deben

referirse a la misma medida temporal. El tipo de inters equivalente se

calcula tal como visto al estudiar la capitalizacin simple.

Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.

Base temporal Clculo Tipo resultante

Ao 15 / 1 15 %

Semestre 15 / 2 7,5 %

Cuatrimestre 15 / 3 5 %

Trimestre 15 / 4 3,75 %

Mes 15 / 12 1,25 %

Da 15 / 365 0,041 %

Descuento Comercial


Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento

de un capital de 600.000 pesetas al 15% anual durante 3

meses:

Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el

tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual:

1,25% (= 15 / 12)

D = 600.000 * 0,0125 * 3 = 22.500 ptas.

La ley de descuento comercial, al igual que la de

capitalizacin simple, slo se utiliza en el corto plazo

(operaciones a menos de 1 ao)

Descuento Comercial

31


Descuento Comercial Ejercicios

1. Calcular el descuento por anticipar un capital de 800.000 Bs. por 7 meses a

un tipo de descuento del 12%. Rta: D = 56.000 Bs.

2. Calcular el capital final que quedara en la operacin anterior. Rta: Cf =

744.000 Bs.

3. Se descuentan 200.000 euros por 6 meses y 900.000 euros por 5 meses, a un

tipo de descuento del 15%. Calcular el capital actual total de las dos

operaciones. Rta: Cf = 185.000 + 843.759 = 1.028.759

4. Qu importe actual es ms elevado: el que resulta de descontar 1.000.000

USD por 6 meses al 12%, o el de descontar 1.200.000 USD por 9 meses al

15%?.

5. Se descuentan 800.000 por un plazo de 4 meses, y los intereses del

descuento son 40.000 . Calcular el tipo del descuento. Rta: tipo anual del

15,02%


La ley financiera de descuento racional viene definida de

la siguiente manera:

Donde,

D: son los intereses que hay que pagar




Descuento Racional

tdtdCo

D*1

**

32


Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento,

podemos ver cmo se determina el capital final:

Cf = Co D

Luego,

Donde,

Cf es el capital final

Descuento Racional

tdCo

Cf*1


Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento

por anticipar un capital de 1.200.000 , durante 8 meses, a

un tipo de inters del 14%.

D = 102.345

Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a

calcular de dos maneras:

a) Aplicando la frmula Cf = Co D (capital final es igual al capital inicial

menos los intereses de descuento):

Cf = 1.200.000 -102.345

Cf = 1.097.655

Descuento Racional

33


b) Aplicando la frmula

Cf = 1.097.655

La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido

inverso, de la ley de capitalizacin simple, y, al igual que

sta, slo se suele utilizar en operaciones a menos de 1

ao. Esta relacin de equivalencia no se cumple con la ley

de descuento comercial.

Descuento Racional

tdCo

Cf*1


Con el trmino equivalente nos referimos al hecho de que

descontando un capital a un tipo de inters, y

capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de

inters, volvemos al capital de partida.

Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000

Bs., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe

resultante capitalizarlo (capitalizacin simple) por el mismo

plazo y con el mismo tipo de inters.

a) Aplicando el descuento racional;

b) Aplicando el descuento comercial.

Descuento Racional

34


a) Aplicando el descuento racional

Primero descuento aplicando la frmula

Luego, Cf = 952.381 Bs.

Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo

aplicando la frmula de capitalizacin simple

(El capital descontado, 952.381 Bs, pasa a ser ahora "Co")

Luego, Cf = 1.000.000 Bs.

Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que

hemos vuelto al capital de partida.

Descuento Racional

tdCo

Cf*1


b) Aplicando el descuento comercial

Primero descuento aplicando la frmula Cf = Co * ( 1 -( d * t ))

Luego, Cf = 950.000 Bs.

Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))

Luego, Cf = 997.500 Bs.

No se cumple, por tanto, la relacin de equivalencia.

Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se

calcula aplicando la ley de descuento racional es menor

que el que se calcula aplicando la ley de descuento

comercial.

Descuento Racional

35


Descuento Racional Ejercicios

1. Calcular el descuento por anticipar un capital de 500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de

descuento del 12%; a ) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento

comercial.

2. Se ha descontado un capital de 1.000.000 yenes por 3 meses, y los intereses de

descuento han ascendido a 40.000 yenes. Calcular el tipo de inters aplicado

(descuento racional) Rta: tipo anual del 16,66%

3. Se descuentan 200.000 Bs. al 12% y los intereses de descuento ascienden a 15.000

Bs. Calcular el plazo del descuento (descuento racional) Rta: 0,67567 aos, u 8,1

meses.

4. Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a

120.000. Calcular el importe del capital inicial (descuento racional)

5. Se descuentan 2.000.000 USD por un plazo de 4 meses, a un tipo del 10% (descuento

racional). Calcular que tipo habra que aplicar si se utilizara el descuento comercial,

para que el resultado fuera el mismo. Rta: tipo anual del 9,6774% (menor a 10%)


La ley financiera de descuento compuesto viene definida

de la siguiente manera:

Donde,

D: son los intereses de descuento




Descuento Compuesto

tt dCo

d

CoCoD

)1(

11*

1

36


El capital final queda definido de la siguiente manera:

Cf = Co D

Luego,

Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento

por anticipar un capital de 900.000 Bs., durante 8 meses,

a un tipo de inters del 14%.

D = 75.281 Bs.

Descuento Compuesto

tdCo

Cf

1


Calculamos ahora el capital final, utilizando dos

procedimientos:

a) Aplicando la frmula Cf = Co D (capital final es igual al

capital inicial menos los intereses de descuento):

Luego, Cf = 900.000 -75.281

Cf = 824.719 Bs.

b) Aplicando la frmula

Luego, Cf = 824.719 Bs.

Descuento Compuesto

tdCo

Cf

1

37


La ley de descuento compuesto es inversa de la ley de

capitalizacin compuesta: si descontamos un capital

utilizando el descuento compuesto, y el importe obtenido

lo capitalizamos (capitalizacin compuesta), aplicando el

mismo tipo de inters y plazo, obtenemos el importe

inicial.

Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 2.000.000

euros, por un plazo de 6 meses al 15%, y el importe

resultante capitalizarlo (capitalizacin compuesta) por el

mismo plazo y con el mismo tipo de inters.

Descuento Compuesto


Primero descuento aplicando la frmula

Luego, Cf = 1.865.010 euros

Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo

aplicando la frmula de capitalizacin compuesta

El capital descontado, 1.865.010 euros, pasa a ser ahora "Co

Luego, Cf = 2.000.000 euros

Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que

hemos vuelto al capital de partida

Descuento Compuesto

tdCo

Cf

1

38


El descuento compuesto, al igual que la capitalizacin

compuesta, se puede utilizar tanto en operaciones de

corto plazo (menos de 1 ao), como de medio y largo

plazo.

En este sentido contrasta con el descuento comercial y el

racional, que slo se utilizan en operaciones a corto plazo.

Descuento Compuesto


Hemos estudiado tres leyes de descuento:

1. Ley de descuento comercial

Intereses de descuento: D = Co * d * t

Capital final: Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))

2. Ley de descuento racional

Intereses de descuento:

Capital Final:

Repaso de los 3 tipos de Descuento

tdtdCo

D*1

**

tdCo

Cf*1

39


3. Ley de descuento compuesto

Intereses de descuento:

Capital final:

La ley de descuento comercial y racional slo se utilizan

en operaciones a corto plazo (menos de 12 meses).

Mientras que la ley de descuento compuesto se puede

utilizar en operaciones de corto y largo plazo.


td

CoD1

11*

tdCo

Cf

1


La ley de descuento racional es inversa de la ley de

capitalizacin simple, mientras que la ley de descuento

compuesto es la inversa de la ley de capitalizacin

compuesta. Es decir, que si se descuenta un capital, y el

importe resultante se capitaliza al mismo plazo y tipo, se

vuelve al capital inicial.

La ley de descuento comercial no cumple esta propiedad.


40


El resultado de aplicar estas leyes es el siguiente:

La mayor carga de intereses Descuento comercial

La 2 mayor carga de intereses Depende del plazo

La menor carga de intereses Depende del plazo

(*) El plazo de 1 ao es en el caso de que se aplique un mismo tipo de inters

anual. Si el mismo tipo de inters que se aplica es trimestral, entonces el plazo

sera 3 meses, y as sucesivamente.


Operaciones < 1 ao (*) Operaciones > 1 ao (*)

Descuento racional Descuento compuesto

Operaciones < 1 ao (*) Operaciones > 1 ao (*)

Descuento compuesto Descuento racional


Veamos un ejemplo: Calcular el importe de los intereses

de descontar un capital de 1.000.000 Bs., a un tipo de

inters del 16%, por un plazo de 8 meses.

a) Ley de descuento comercial

Intereses de descuento: D = 106.007 Bs.

b) Ley de descuento racional

Intereses de descuento: D = 96.386 Bs.

c) Ley de descuento compuesto

Intereses de descuento D = 94.209 Bs.


41


Cul de estas leyes se utiliza?

Se puede utilizar cualquiera, con la limitacin que

hemos sealado antes entre operaciones de corto y

medio-largo plazo. Lo importante para el cliente de una

entidad financiera es conocer el importe de los

intereses de descuento segn la ley elegida, y decidir

si la operacin planteada le resulta aceptable o no.



Descuento Ejercicios

1. Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 2.500.000 Bs. por 4

meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando a ) descuento comercial, b)

descuento racional. c) descuento compuesto Rta: a) D = 100.000 Bs. b) D =

96.154 Bs. c) D = 92.679 Bs.

2. Calcular la misma operacin anterior al plazo de 1 ao.

3. Calcular la misma operacin anterior a un plazo de 1 ao y medio.

4. En el ejercicio 1, calcular los tipos de inters que habra que aplicar en el

descuento racional y en el compuesto, para obtener el mismo resultado que en el

descuento comercial. Rta: a) 12,5% b) 13,028%

5. Los intereses de descontar 2.000.000 USD a un tipo del 10% ascienden a 150.000

USD. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado la ley de a) descuento

comercial, b) descuento racional, c) descuento compuesto. Rta: a) 0,75 aos = 9

meses. b) 0,8108 aos = 9,7 meses. c) 0,8180 aos= 9,8 meses

42



2. Inters simple

3. Inters compuesto

4. Descuentos

5. Rentas

6. Derivados

7. Value at Risk


Contenido


Una renta financiera es una sucesin de capitales

distribuidos a lo largo de un periodo temporal.

Por ejemplo, un contrato de alquiler de un apartamento,

por un periodo de 5 aos, con pagos mensuales de

100.000 Bs.

Rentas Financieras

43


En una renta financiera distinguiremos los siguientes

elementos:

a) Trmino de la renta: importe del capital que se paga (o

se cobra) en cada momento (en el ejemplo, las

100.000 Bs. de alquiler mensual)

b) Periodo de maduracin: cada sub-periodo en el que

se realizan los cobros o pagos (en el ejemplo, es el

mes)

c) Duracin de la renta: el periodo total de vigencia (en el

ejemplo, 5 aos)

Rentas Financieras


En la renta financiera se denomina "valor capital", a un importe,

en un momento dado, equivalente al total de la renta:

En el ejemplo anterior (pago mensual de 100.000 Bs. durante

un periodo de 5 aos), aplicando leyes financieras, puedo

calcular que esta renta es equivalente a un slo pago de

3.000.000 Bs. en el momento actual.

El "valor capital" de una renta se puede calcular en cualquier

momento: momento inicial, final, momento intermedio, etc. Los

importes calculados varan segn el momento, pero son

equivalentes (si se aplican leyes de descuento o capitalizacin

para llevarlos a un mismo periodo, coinciden)

Rentas Financieras

44


Cuando se calcula en el momento inicial, se denomina "valor

actual".

Cuando se calcula en el momento final, se denomina "valor

final".

Dos rentas son equivalentes cuando sus valores de capital son

los mismos en cualquier momento en que se calculen:

Por ejemplo, si el valor capital del alquiler mensual de 100.000

durante 5 aos, coincide en cualquier momento con el de una

renta de 240.000 Bs. trimestral durante 7 aos, diramos que

ambas rentas son equivalentes.

Rentas Financieras


Las rentas cumplen las siguientes propiedades:

a) Proporcionalidad del "valor capital": el valor capital de una renta

de 200.000 Bs., mensual, durante 5 aos, es el doble del de

una renta de 100.000 Bs., mensual, por el mismo periodo.

b) Adicin de rentas: una renta se puede descomponer en varias

sub-rentas, siendo la suma del "valor capital" de las sub-rentas

igual al de la renta. (p.e. el contrato de alquiler de 5 aos, se

descompone en cinco contratos anuales)

Rentas Financieras

45


Las rentas se pueden clasificar:

1. Segn la duracin de la renta:

a) Temporales: duracin finita

b) Perpetuas: no tienen fin

2. Segn el importe del trmino de la renta:

a) Constantes: siempre es la misma cantidad

b) Variable: la cantidad puede variar de un periodo a otro

3. Segn los sub-periodos en los que se divide:

a) Discreta: nmero de periodos finitos

b) Continua: flujo continuo de capital

c) Peridica: todos los sub-periodos tienen la misma duracin

d) No peridicas: la duracin de los sub-periodos vara

4. Segn el momento del sub-periodo en que se genera el cobro o el pago:

a) Prepagable: se genera al comienzo del sub-periodo (por ejemplo, pago del alquiler a

comienzo de cada mes)

b) Postpagable: se genera al final de cada sub-periodo (por ejemplo, pago del alquiler al

final de cada mes)

Rentas Financieras


Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los

importes de capital (trminos de la renta) son siempre iguales.

Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las

siguientes modalidades:

1. Renta temporal pospagable

2. Renta temporal prepagable

3. Renta perpetua pospagable

4. Renta perpetua prepagable

5. Renta diferida

6. Renta anticipada

Renta Constante

46


Es aquella de duracin determinada, en la que los importes de

capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e.contrato de

alquiler por 5 aos, con pago del alquiler al final de cada mes).

Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a

comenzar por el caso ms sencillo: el importe de capital en

cada periodo es de 1 Bs (renta unitaria). Es decir, tenemos una

sucesin finita (de "n" periodos) de importes de 1 Bs.

Periodo 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n

Importe (Bs) 1 1 1 1 1 1 1 .1 1 1

Renta temporal constante pospagable


Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que

traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento

compuesto:

Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t

Vamos a ir descontando cada importe:

Periodo Importe Importe descontado

1 1 1 / ( 1 + i )

2 1 1 / ( 1 + i )^2

3 1 1 / ( 1 + i )^3

..... ..... .....

..... ..... .....

n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2

n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1

n 1 1 / ( 1 + i )^n


47


La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si

realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1

Bs, durante 7 aos, con un tipo de inters del 16%:

Aplicamos la frmula

luego,

luego, Ao= 4,0386 Bs.

Luego el valor actual de esta renta es 4,04 Bs.


nii

Ao1

11*

1

nii

Ao1

11*

1

716,01

11*

16,0

1Ao


IMPORTANTE: plazo, tipo de inters e importes han de ir referidos a la

misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son

anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes

hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo iran en base trimestral.

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay

que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes

y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de

capitalizacin compuesta:


tiCoCf 1*

48


Veamos el ejemplo:

Periodo Importe Importe capitalizado

1 1 1 * ( 1 + i )^n-1

2 1 1 * ( 1 + i )^n-2

3 1 1 * ( 1 + i )^n-3

..... ..... .....

..... ..... .....

n-2 1 1 * ( 1 + i )^2

n-1 1 1 * ( 1 + i )^1

n 1 1



Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos

a:

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 Bs,

durante 7 aos, con un tipo de inters del 16%:

Aplicamos la frmula

luego,

luego, Sf = 11,4139 Bs.

Luego el valor final de esta renta es 11,4 Bs.


11*1 nii

Sf

11*1 nii

Sf

116,01*16,0

1 7Sf

49


Podemos ver qu relacin existe entre el valor inicial Ao y el valor final

Sf, y esto nos viene dado por la siguiente frmula:

Sf= Ao * (1 + i)^n

Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:

Hemos visto que Ao= 4,0386 Bs.

y que Sf= 11,4139 Bs.

Luego 11,4139 = 4,0386 * (1+ 0,16)^7

Luego 11,4139 = 4,0386 * 2,8262

Luego 11,4139 = 11,4139

Se cumple, por tanto, la relacin.



Una vez que hemos visto cmo se valora una renta unitaria, vamos a estudiar

cmo se valora una renta de importes constantes.

Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplan las rentas: la

proporcionalidad.

Si los trminos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor capital

ser tambin "x veces" superior.

Por lo tanto, el valor de una renta, cuyos trminos son de importe "C", ser "C

veces" mayor que el de una renta unitaria.

El valor actual "Vo" de una renta temporal de trminos constantes de cuanta "C"

ser: Vo = C * Ao

Por lo que:


nii

CVo

1

11*

50


Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable de

200.000 pesetas, durante 5 aos, con un tipo de inters del 12%:

Aplicamos la frmula

luego,

luego, Vo= 720.955 ptas.

El valor actual de esta renta es 720.955 ptas.

Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor final

de una renta de trminos constantes "C", ser "C veces" superior al de una

renta unitaria Vn = C * Sf

Por lo que:


nii

CVo

1

11*

512,01

11*

12,0

000.200Vo

11* nii

CVn


Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo

anterior

Aplicamos la frmula

luego,

luego, Vn= 1.270.569 ptas.

Luego el valor final de esta renta es 1.270.569 ptas.


11* nii

CVn

112,01*12,0

000.200 5Vn

51


La renta constante temporal prepagable es aquella de duracin

determinada, en la que los importes de capital se generan al comienzo

de cada sub-periodo (p.e.contrato de alquiler por 5 aos, con pago del

alquiler al comienzo de cada mes)

Para ver cmo se calcula su valor capital vamos a comenzar,

nuevamente, por estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1

Bs. en cada periodo)

Periodo 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n

Importe (Bs) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por o. Como

vimos en el caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento

compuesto

Renta temporal constante prepagable


Vamos descontando cada importe:


1 1 1

2 1 1 / ( 1 + i )

3 1 1 / ( 1 + i )^2

..... ..... .....

..... ..... .....

n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-3

n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-2

n 1 1 / ( 1 + i )^n-1


52


La suma de todos los importes descontados es el valor actual o. Si


Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1

Bs, durante 4 aos, con un tipo de inters anual del 16%:

Aplicamos la frmula para o

Luego,

Luego, Ao= 3,246 Bs

Luego el valor actual de esta renta es 3,246 Bs.


nii

ioA

1

11*

1

416,01

11*

16,0

16,01oA


IMPORTANTE: plazo, tipo de inters e importes han de ir referidos a la

misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son

anuales, hay que utilizar la base anual

Este valor actual o guarda la siguiente relacin con el valor actual Ao

de una renta pospagable:

o= (1 + i) * Ao

Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta

era pospagable:

Aplicamos la frmula

luego,

luego, Ao= 2,7982 Bs.


nii

Ao1

11*

1

416,01

11*

16,0

1Ao

53


Hay que demostrar que o= (1 + i) * Ao

luego, o= 1,16 * 2,7983

luego, o= 3,246 Bs. (coincide con el valor que

habamos calculado)

Vemos, por tanto, cmo se cumple la relacin.



Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, se utiliza la

ley de capitalizacin compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta

unitaria:

Periodo Importe Importe capitalizado

1 1 1 * ( 1 + i )^n

2 1 1 * ( 1 + i )^n-1

3 1 1 * ( 1 + i )^n-2

..... ..... .....

..... ..... .....

n-2 1 1 * ( 1 + i )^3

n-1 1 1 * ( 1 + i )^2

n 1 1 * ( 1 + i )


54


Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:

Aplicamos la frmula para Sf

luego,

luego, Sf= 5,877 Bs.

Luego el valor final de esta renta es 5,877 Bs.


11*1 ni

i

ifS

116,01*

16,0

16,01 4

fS


La relacin entre Sf y el valor final de una renta pospagable Sf, es la

siguiente: Sf = (1 + i) * Sf

(Realizar la misma comprobacin que hemos realizado con el valor inicial)

Por otra parte, la relacin entre el valor inicial o y su valor final Sf es:

Sf = (1 + i)^n * o

Vamos a comprobarlo siguiendo el ejemplo que venimos utilizando:

Hemos visto que o = 3,246 Bs. y que Sf = 5,877 Bs.

Hay que demostrar que 5,877 = 3,246 * (1+0,16)^4

Luego 5,877 = 3,246 * 1,8106

Luego 5,877 = 5,877

Se cumple, por tanto, la relacin.


55


Una vez que hemos visto cmo se valora una renta unitaria, veremos cmo se

valora una renta de importes constantes.

El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de trminos constantes

de cuanta "C" ser:

Vo = C * o

Por lo que:

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral

prepagable de 500.000 USD, durante 5 aos, con un tipo de inters anual del

12%:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base

semestral.


nii

iCVo

1

11*

1*


Tipo de inters semestral: 1 + i = (1 + i2)^2

Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2

Luego, i2 = 5,83%

Una vez que tenemos el tipo de inters semestral, vamos a aplicar la frmula

del valor actual, Vo

luego,

"n" es 10, ya que 5 aos tienen 10 semestres (todo va en base semestral)

luego, Vo= 3.926.151 USD

El valor actual de esta renta es de 3.926.151 USD


100583,01

11*

0583,0

0583,01*000.500Vo

56


Para calcular el valor final "Vn

Vn = C * Sf

Por lo que:

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:

Aplicamos la frmula para Vn

luego, Vn = 6.919.185 USD

Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 USD


10583,01*

0583,0

0583,01*000.500

10

Vo

11*1* ni

i

iCVn


La renta perpetua constante es aquella de duracin

infinita, en la que los importes de capital son siempre

iguales (p.e. un ttulo de deuda pblica a perpetuidad a

tipo de inters fijo)

Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas

pueden ser pospagables (los importes se originan al final

de cada subperiodo) o prepagables (se originan al

principio de los subperiodos)

Renta perpetua constante

57


A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES

Comenzaremos viendo el caso ms sencillo, el de las rentas unitarias:

Periodo 1 2 3 4 5 ..... ..... ..... ..... .....

Importe (Bs) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada

importe:


1 1 1 / ( 1 + i )

2 1 1 / ( 1 + i )^2

3 1 1 / ( 1 + i )^3

4 1 1 / ( 1 + i )^4

5 1 1 / ( 1 + i )^5

..... 1 1 / ( 1 + i )^....



La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si


APo = 1 / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual

pospagable de 1 Bs, con un tipo de inters anual del 16%:

Aplicamos la frmula APo= 1 / i

luego, APo= 1 / 0,16

luego, APo= 6,25 Bs.

Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe

constante "C", entonces la frmula del valor actual ser:

Vo = C * APo = C / i


58


Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral

pospagablede 1.000.000 Bs., con un tipo de inters anual del 10%:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral


Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2

Luego, i2 = 4,88%

Aplicamos ahora la frmula de valor actual, Vo= C / i

luego, Vo= 1.000.000 / 0,0488

luego, Vo= 20.491.803 Bs.

En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca

finalizan)



B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES

Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por Po.


1 1 1

2 1 1 / ( 1 + i )

3 1 1 / ( 1 + i )^2

4 1 1 / ( 1 + i )^3

5 1 1 / ( 1 + i )^4

..... 1 1 / ( 1 + i )^....

Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Po= (1 + i) / i


59


Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1

Bs, con un tipo de inters anual del 16%:

Aplicamos la frmula Po= (1 + i) / i

luego, Po= (1 + 0,16) / 0,16

luego, Po= 7,25 Bs.

Si la renta es de importe constante "C", entonces la frmula del valor actual

ser: Vo= C * Po= C * (1 + i) / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral

prepagable de 1.000.000 Bs., con un tipo de inters anual del 10%:

Aplicamos la frmula de valor actual, Vo= C * (1 + i) / i

luego, Vo= 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488 = 21.491.803 Bs.



La relacin entre el valor actual de una renta perpetua

pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable

Po es la siguiente:

Po= (1 + i) * APo

Comprobar esta relacin con el ejemplo de la renta

unitaria.


60


La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al

comienzo de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner

en vigor dentro de 6 meses.

La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un

momento posterior a la finalizacin de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depsitos mensuales que fui

realizando en un banco y que finalic hace unos meses.

En la modalidad de renta diferida, lo que vara respecto a los modelos

que hemos venido analizando es el clculo del valor inicial, ya que el

valor final coincide con la terminacin de la renta (al igual que en los

modelos que hemos visto)

Renta diferida y anticipada


En la renta anticipada, la peculiaridad est en el clculo del valor final, ya

que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta .

Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los

distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado:

Una renta diferida puede ser una renta temporal

(prepagable o pospagable), o una renta perpetua

(tambin prepagable o pospagable)

Por su parte, la renta anticipada slo puede darse en rentas temporales,

nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan

nunca.

Vamos a analizar ahora en qu medida estas peculiaridades afectan al

clculo del valor actual de la renta.


61


A) RENTA DIFERIDA

Vamos a suponer que entre el momento de la valoracin y

el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos.

Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado,

en los que se descontaban los importes hasta el momento

de inicio de la renta, est en que en el caso de la renta

diferida hay que descontar cada importe "d" periodos

adicionales.



Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo Importe descontado Importe descontado

(Renta normal) (Renta diferida)

1 1 / ( 1 + i ) 1 / ( 1 + i )^1+d

2 1 / ( 1 + i )^2 1 / ( 1 + i )^2+d

3 1 / ( 1 + i )^3 1 / ( 1 + i )^3+d

..... ..... .....

..... ..... .....

n-2 1 / ( 1 + i )^n-2 1 / ( 1 + i )^n-2+d

n-1 1 / ( 1 + i )^n-1 1 / ( 1 + i )^n-1+d

n 1 / ( 1 + i )^n 1 / ( 1 + i )^n+d


62


Luego, el valor actual sera el siguiente:

Renta normal Renta diferida

Valor actual


nii

Ao1

11*

1

ndiii

Aod1

11*

1*

1

1/


Este mismo razonamiento se aplica en todos los casos. En el siguiente cuadro

se presentan las frmulas del valor inicial de una renta diferida en los distintos

supuestos:

Tipo de renta Renta normal Renta diferida

Temporal pospagable

Temporal prepagable

Perpetua pospagable

Perpetua prepagable


nii

Ao1

11*

1

ndiii

Aod1

11*

1*

1

1/

nii

ioA

1

11*

1

ndiii

oAd1

11*

1*

1

1/

1

iAPo

1 ii

APodd

1*

1

1/

i

iPoA

1 ii

PoAdd

1*

1

1/

1

63


Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de

300.000 Bs, con un tipo de inters anual del 16%, y que se encuentra diferida

2 aos:

Aplicamos la frmula Vo= C * d/Apo

luego, Vo= 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16

luego, Vo= 1.393.430 Bs.

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de

1.000.000 ptas. durante 7 aos, con un tipo de inters anual del 8%, y que se

encuentra diferida 3 aos:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral


luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2

Luego, i2 = 3,92%



Aplicamos ahora la frmula de valor actual, Vo= C * d/o

luego,

luego,

(los periodos van expresados en semestres)

luego, Vo= 1.000.000*0,825*10,619

luego, Vo= 8.760.783 ptas.


ndiii

CVo1

11*

1*

1

1*

1

14160392,01

11*

0392,0

1*

0392,01

1*000.000.1Vo

64


B) RENTA ANTICIPADA

Comentamos anteriormente que en las rentas anticipadas, lo que

vara respecto a los modelos normales que hemos analizado es el

clculo del valor final, ya que el clculo del valor inicial es el

mismo.

Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoracin

transcurren "k" periodos.

La diferencia en el clculo del valor final est en que en los

modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento

final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe

hay que capitalizarlo "k" periodos adicionales.



Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo Importe capitalizado Importe capitalizado

(Renta normal) (Renta anticipada)

1 1 * ( 1 + i )^n-1 1 * ( 1 + i )^n-1+k

2 1 * ( 1 + i )^n-2 1 * ( 1 + i )^n-2+k

3 1 * ( 1 + i )^n-3 1 * ( 1 + i )^n-3+k

..... ..... .....

..... ..... .....

n-2 1 * ( 1 + i )^2 1 * ( 1 + i )^2+k

n-1 1 * ( 1 + i )^1 1 * ( 1 + i )^1+k

n 1 1 * ( 1 + i )^k


65


Luego, el valor final sera el siguiente:

Renta normal Renta anticipada

Valor final

Este mismo razonamiento se aplica tambin en el caso de la renta

prepagable:

Renta normal Renta anticipada

Valor final

Hemos comentado anteriormente, que la modalidad de renta

anticipada slo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las

rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede

calcular un valor final.


11*1 nii

Sf

11*1 ni

i

ifS

11*1*1/ nk ii

iSfk

11*1/

1

nk

ii

ifSk


Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual

pospagable de 500.000 Bs, de 6 aos de duracin, con un tipo de

inters anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 aos:

Aplicamos la frmula del valor final Vn= C * k/Sf

luego,

luego,

luego, Vn= 500.000 * 1,5735 * 8,1152

luego, Vn= 6.384.625 Bs.


11*1*1* nk ii

iCVn

112,01*12,0

1*12,01*000.500

64Vn

66


Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de 150.000

ptas. durante 5 aos, con un tipo de inters anual del 12%, y que se encuentra

anticipada 2 aos y medio:

Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral

Tipo de inters trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4

luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4 Luego, i4 = 2,874%

Aplicamos ahora la frmula de valor final, Vn= C * k/Sf

luego,

luego,

(los periodos van expresados en trimestres)

luego, Vn= 150.000 * 1,3657 * 26,5286 = 5.434.521 ptas.


11*1*1* 1 nk ii

iCVn

102874,01*02874,0

1*02874,01*000.150

20110

Vn



2. Inters simple

3. Inters compuesto

4. Descuentos

5. Rentas

6. Derivados

7. Value at Risk


Contenido

67


Dentro del los mercados de valores hay un tipo de activos

financieros llamados derivados (o instrumentos financieros),

cuya principal cualidad es que su valor de cotizacin se basa en

el precio de otro activo.

Puede haber gran cantidad de derivados financieros

dependiendo de el ndice valor inicial del que se deriven,

pueden ser: acciones, renta fija, renta variable, ndices

burstiles, bonos de deuda privada, ndices macroeconmicos

como el Euribor o los tipos de inters, etc.

Instrumentos derivados


Algunas de sus principales caractersticas son:

Normalmente cotizan en mercados de valores, aunque tambin

pueden no hacerlo.

El precio de los derivados vara con respecto siempre al del

llamado activo subyacente, el valor al que est ligado dicho

derivado.

Tambin puede ser referido a productos no financieros ni

econmicos como las materias primas. Algunos de los ejemplos

ms conocidos son el oro, el trigo o el arroz.

Normalmente la inversin que debes realizar es muy inferior a si

compraras una accin o una parte del valor subyacente por el que

desees apostar.

Los derivados financieros tienen que cumplir una cualidad

indispensable y es que siempre se liquidan de forma futura.


68


Futuros:

Acuerdo de comprar o vender un activo a un cierto precio en un

cierto momento.

No hay que pagar nada en el momento de su contratacin, pero si

hay que predisponer una garanta ante el pago. La principal

cualidad de este tipo, es que contraemos una obligacin de pago

sobre los derivados adquiridos, el riesgo es grande, pero tambin

los beneficios posibles tambin.



Contratos Forward vs Contratos de Futuros:


Contrato Privado entre 2 partes Negociado en bolsa

Contrato No-estndar Contrato Estndar

Usualmente especifica una

Sola fecha de entrega Rango de fechas de entrega

Settled a la madurez Settled diariamente

Usualmente ocurre una

entrega final o efectivo

El contrato es usualmente

cerrado antes de la madurez

FORWARDS FUTUROS

69


Opciones:

Al contratar una opcin has de pagar una pequea prima y en

ocasiones suscribir tambin una garanta. Lo bueno de las

opciones es que realmente estamos fijando un compromiso de

beneficios y prdidas; si perdemos siempre el lmite ser el valor

de la prima previa y los beneficios de carcter ilimitados.

Calls y Puts.



Swap:

Tradicionalmente, es el intercambio de un ttulo por otro para

cambiar el plazo (bonos), la calidad de las emisiones (acciones y

bonos), o porque los objetivos de inversin han cambiado.

Recientemente, los swaps han crecido hasta incluir a los swaps de

divisas y swaps de tasas de inters.

Si empresas de diferentes pases tienen ventajas comparativas en

tipos de inters, entonces un swap podra beneficiar a ambas

empresas.

Por ejemplo, una empresa puede tener una tasa de inters fija ms

baja, mientras que la otra tiene acceso a un tipo de inters variable

ms bajo. Estas empresas podran hacer un swap para tomar ventaja

de las tasas ms bajas.

Swaps de tasas de inters

70


Ejemplo: el 31 de diciembre de 2010, la empresa A y la empresa B

celebran un intercambio de cinco aos con los siguientes trminos :

La empresa A paga la empresa B una cantidad igual al 6 % anual

sobre el principal nocional de US $ 20 millones.

La empresa B paga la empresa A una cantidad igual a un ao LIBOR

+ 1 % anual sobre el principal nocional de US $ 20 millones.

Para simplificar, supongamos que las dos partes intercambian pagos

anualmente el 31 de diciembre, a partir de 2011 y concluyendo en

2015.



A finales de 2011, la Compaa A pagar a la Compaa B

$20.000.000 * 6 % = $1.200.000 .

El 31 de diciembre de 2010, un ao LIBOR fue de 5.33%; Por lo tanto,

la empresa B pagar $20 millones la empresa A * ( 5,33% + 1%) =

$1.266 millones.

En un swap de tasas de inters plain vanilla, el tipo de inters variable

se determina por lo general al principio del periodo de liquidacin .

Normalmente, los contratos de swap permiten que los pagos se

compensen entre s para evitar pagos innecesarios.

Aqu, la empresa B paga $66.000, y la empresa A no paga. En ningn

momento cambia el principal de manos, por lo que se conoce como

una cantidad "notional".


71


La titularizacin es un mecanismo de financiamiento que

consiste en transformar activos o derechos futuros en valores

de titularizacin negociables en el Mercado de Valores, para

obtener liquidez en condiciones competitivas en trminos de

plazo y costos financieros.

Los activos o derechos deben tener caractersticas comunes

(homogeneidad) y deben generar flujo de caja. Con la cesin de

estos activos o derechos se constituyen Patrimonios

Autnomos, independiente del patrimonio del cedente

(originador) que sern administrados por la sociedad

titularizadora.

Titularizacin de Activos


Los Patrimonios Autnomos sirven de respaldo a la misin

de valores de titularizacin que se negocian en el Mercado

de Valores.

Los activos o derechos se transfieren absolutamente al

Patrimonio Autnomo en trminos jurdicos, contables y

con carcter de irrevocabilidad. Los activos o derechos

transferidos respaldan en forma exclusiva la emisin de

valores.


72


Los Patrimonios Autnomos pueden ser constituidos por:

Personas Individuales o Naturales

Personas Jurdicas

Sociedades de Titularizacin

El Patrimonio Autnomo se constituye a travs de:

Contrato de Cesin irrevocable de Bienes o Activos suscrito entre

el cedente (originador) y la Sociedad de Titularizacin, donde se

establece la cesin de los bienes o activos.

Declaracin Unilateral de Cesin, efectuada por la Sociedad de

Titularizacin, en caso que sta hubiera adquirido bienes o

activos que constituirn el Patrimonio Autnomo, para ser

titularizados.



Titularizacin de Activos Esquema

73



2. Inters simple

3. Inters compuesto

4. Descuentos

5. Rentas

6. Derivados

7. Value at Risk


Contenido


"Valor en Riesgo VaR

Tcnica estadstica utilizada para medir y cuantificar el nivel de

riesgo financiero dentro de una empresa o de carteras de

inversin durante un perodo de tiempo especfico.

VaR es utilizado por los gestores de riesgos con el fin de medir

y controlar el nivel de riesgo en el que la empresa

se compromete. El trabajo del gestor de riesgos es asegurar

que los riesgos no se tomen ms all del nivel en el que la

empresa puede absorber las prdidas de un peor resultado

probable.

Value at risk

74


VaR se mide en tres variables:

1. El monto de prdida potencial,

2. La probabilidad de ese monto de la prdida,

3. El marco de tiempo.

Por ejemplo: una firma financiera puede determinar que tiene un valor de 5% en riesgo de $100 millones, en un mes.

Esto significa que hay una probabilidad del 5% de que la empresa pierda ms de $100 millones en un mes determinado.

Por lo tanto, se debe esperar una prdida de $100 millones a

ocurrir una vez cada 20 meses.

Value at risk



2. Inters simple

3. Inters compuesto

4. Descuentos

5. Rentas

6. Derivados

7. Value at Risk


Contenido

75


Concluyendo

Vimos herramientas bsicas de finanzas, tiles para la

toma de decisiones.

Un apropiado entendimiento de las matemticas

financieras, nos facilitan la interaccin con los

instrumentos de inversin.


Somos parte de un equipo

Saberse parte de la empresa. Cada decisin se refleja en las

finanzas de la organizacin.

Tomar acciones para alcanzar las metas, y agregar valor.

Pensar en el mediano y largo plazo.

A las rdenes de ustedes para acompaarlos y asistirlos en el

camino del interesante mundo de las finanzas.

76


MUCHAS GRACIAS


www.bbvaresearch.com

www.ecoanalitica.net

http://espanol.doingbusiness.org

www.heritage.org/index

www.instituto-finanzas.com

www.rafael-avila.net

Rafael J. Avila D.

Links de inters

matemática financiera -

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