introducción a matemática financiera

Preparación y Evaluación de Proyectos

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INTRODUCCIÓNA MATEMÁTICA FINANCIERA

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PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

I. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA

A. Introducción

B. Matemáticas Financieras

1. Interés simple y compuesto

2. Anualidades

3. Inflación y tasas de interés

4. Valor del dinero en el tiempo

5. Valor futuro y valor actual

6. Amortización y depreciación

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A. Introducción



2. Anualidades





1.- Tasas de interés compuesta y simple

Tasa de interés compuestaCorresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.

El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.

nrVAVF 1*

VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos

(1+r) n : Factor de capitalización

nrVF

VA

1 : Factor de descuento

1(1+r) n

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Tasa de interés simpleConcepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.

El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados

)*1(* nrVAVF VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos

(1+r*n) : Factor acumulación simple

nrVF

VA*1

: Factor descuento simple 1(1+r*n)

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Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple

Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Con tasa interés compuesta:

C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

Con tasa interés simple:

C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360

1000 14051120 1254

1+r 1+r 1+r

1000 1360

1+r*3

Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 134Año 3: $ 151

Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 120Año 3: $ 120

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Tasa de interés equivalente

Si se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa de interés mensual equivalente rm, puede ser calculada usando las siguientes expresiones:

12rr a

m

11 121

am rrCon interés compuesto:

Con interés simple:

Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo.

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A. Introducción



2. Anualidades





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2.- Anualidades

Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los años por un período de tiempo n a una tasa r

FlujosActualizados:

F1

(1+r)

F1

(1+r)2

F1

(1+r)3

F1

(1+r)n-1

F1

(1+r)n

0 1 2 3 n-1 n

F1 F1 F1 F1 F1

Año:

10

11

El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se define como:

n

n

rrr

F)1(*1)1(

*1

2.- Anualidades

rr

FVAn )1(1

*1

n

rF

rF

rFVA

)1(

1*1...

)1(

1*1

)1(

1*1 2

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Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:

El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se define como:

2.- Anualidades

rr

FVFn 1)1(

*1

1...1

)1(*1)1(*1 Fn

rFn

rFVF

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Ejemplo anualidad:

Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual.

¿ Cuál fue el valor del préstamo?

2.- Anualidades

847.310.5.01,0

)01,01(1*000.250

24

=+-

=-

VA

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Ejemplo anualidad:

Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la AFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5%.

¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar?

2.- Anualidades

301.090.20005,0

1)005,01(*000.20

360

VF

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Ejemplo anualidad:

Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual.

¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?

2.- Anualidades

r

rFVA

n

)1(1*1Si: Entonces: nr

rVAF

)1(1

*1

Así: 771.168)005,1(1

005,0*000.000.20 1801

F

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2.- Anualidades

PerpetuidadConsidérese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga a perpetuidad.Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo suficientemente grande para considerar los flujos finales como poco relevantes dado que al descontarlos al año 0 son insignificantes.

El Valor actual de esa anualidad se define como:

r

FVA 1

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Ejemplo perpetuidad: Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensuales hasta que muera. La tasa de interés relevante es de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100 años).¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener para poder cubrir dicha obligación?

2.- Anualidades

000.000.501,0000.50 VA

En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría:Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231

Todos muy cercanos a $5 millones



A. Introducción



2. Anualidades





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3.- Inflación y tasas de interés

Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC

Inflación:

En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más.

$100 $100Si π = 25%

Periodo 0(Año 0)

Periodo 1 (Año 1)

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La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:

Donde i = tasa de interés nominalr = tasa de interés real = Tasa de inflación

ri 1*11 AB

La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar:

A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)

B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación)

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RESUMEN:2 conceptos: Costo de oportunidad (tasa interés real) y Poder adquisitivo (inflación).

Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%

Paso 2: Valora costo de oportunidad y además; Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%


$1100 $1375

Año 1 Año 1Si π = 25%

$1000 $1100

Año 0 Año 1Si r = 10%

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Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual.

¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?

Ejemplo:

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Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )

Donde =0,25 y i =0,375

Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1 r = 10%

Si el capital inicial es C0 = $ 500

Entonces: C1 = C0*(1+i) = 500*(1,375) C1= $ 687,5


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La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro con el consiguiente problema de incertidumbre.

Nota importante

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3.- Inflación

Ejemplo: Deflactar, inflactar

Los costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2001 (diciembre) son $ 7.000 millones pero éste será ejecutado a partir del 1 de enero de 2003.

Se debe actualizar (inflactar) dicho costo según variación del Indice de Precios al Consumidor (IPC):

Si: IPC diciembre 2001 = 109,76IPC diciembre 2002 = 112,86

11

t

t

IPC

IPCCambioIPC

Así: )1(*1 cambioIPCCostoCosto tt

7.197,7=-+= )176,109

86,112(1(*000.7tCosto

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3.- Inflación

Ejemplo: Deflactar, inflactar

Los costos de inversión de un proyecto formulado en diciembre del año 2002 son $ 15.000 millones pero se necesita saber cual habría sido su costo real en diciembre de 2001.

Se deberá deflactar dicho costo según variación en Indice de Precios al Consumidor (IPC):

Si: IPC diciembre 2001 = 109,76IPC diciembre 2002 = 112,86

)1(1 cambioIPC

CostoCosto t

t

)1(*1 cambioIPCCostoCosto tt Así:

14.591=-+

=-

)176,10986,112

(1(

000.151tCosto



A. Introducción



2. Anualidades





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Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro

4.- Valor del dinero en el tiempo

Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro. Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco ganando

una rentabilidad.

La tasa de interés (r) es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo

La sociedad es un participante más que también tiene preferencia intertemporal entre consumo e inversión presente y futura.

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Periodo 0(Año 0)

$1.000 $1.100

Si r = 10%Periodo 1(Año 1)


EjemploUn individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco.

a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ?

1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad) 100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)

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Si : Sólo hay sólo 2 periodos Ingreso sólo hoy (Y0=1.000) Puede consumir hoy o en un año (C0, C1) Rentabilidad exigida por no consumir hoy: r=10%

b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un año si consume $200 hoy ?

Si C0=200, C1=(1000-200)*1,1= 880

EntoncesC1 = (Y0 – C0)*(1+r) 0

200

400

600

800

1.000

1.200

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1.00

0

Periodo 0

Peri

odo

1

(200, 880)

(500, 550)

(800, 220)

1.100

Consumo total= 200 + 880 = 1.080



A. Introducción



2. Anualidades





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5.- Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

31111* rVArrrVAVF

0 3

VF

Año:

VA

1 2

Si son 3 periodos

Caso General: nrVAVF 1*

VALOR FUTURO

rVAVF 1*

0 1

VFVA

Año:

Sólo 1 periodo

Donde:r = tasa de interés

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311*1*1 r

VFrrr

VFVA

0 3

VF

Año:

VA

1 2

Caso 3 periodos

Caso General: nrVF

VA

1

VALOR ACTUAL

rVF

VA

1

0 1

VFVA

Año:

Caso 1 periodo

Donde:r = tasa de interés

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Ejemplos VF y VA:


a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Año 0: 1.000Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405

VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

Alternativamente:

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Ejemplos VF y VA:


b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de interés anual es de 15%. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?

Año 4: 3.300Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8

VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8

Alternativamente:



A. Introducción



2. Anualidades





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