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Repartido MATEMÁTICA FINANCIERA – Liceo Nº 19 Nocturno – 5º H 1 – ABRIL 2013

1) PORCENTAJE

Definición: Un porcentaje es una fracción cuyo denominador es 100. La expresión “x%” significa 100

x. Decir que una

cierta cantidad “a” es el “x por ciento” de otra cantidad “b”, significa que se cumple la siguiente igualdad: 100

x

b

a

Por ejemplo, el 20% de 70 es 14, ya que se cumple que 100

20

70

14

Es decir, cuando hablamos de porcentajes estamos hablando de fracciones. Por ejemplo decir que algo es el 50% de

otra cosa es otra forma de decir que es la mitad (ya que 100

50

2

1 ). Un detalle: puesto que no siempre se obtiene un

resultado exacto al calcular un porcentaje, es habitual que se “redondee”; por ejemplo, 100

33

3

1 , pero como sí es

cierto que 100

33

3

1 se suele decir que

3

1 es el 33% de 1 (aunque matemáticamente no sea correcto; en todo caso

podemos aproximar algo mejor, diciendo por ejemplo que es el 33,3% o el 33,33%).

Calcular un porcentaje es entonces encontrar una fracción equivalente a otra. Por ejemplo, encontrar cuánto es el

30% de 80 equivale a encontrar la solución de esta ecuación: 80

x

100

30

Encontrar qué porcentaje de 130 es 52 equivale a resolver esta otra ecuación: 100

x

130

52

Y responder a la pregunta ¿cuál es el número cuyo 25% es 22? equivale a resolver esta otra ecuación: 100

25

x

22

Ahora bien, utilizando convenientemente la propiedad de las fracciones equivalentes, es decir, dos fracciones son

equivalentes si y solo sí sus “productos cruzados” son iguales ( b.ca.dd

c

b

a , siempre que b 0 y d 0; por ejemplo,

si 100

50

2

1 se cumplirá entonces que 1.100=2.50), se establece fácilmente la conocida REGLA DE TRES para trabajar

con porcentajes.

Luego, las ecuaciones planteadas más arriba se pueden resolver mediante Regla de Tres simple. Veámoslo con un

ejemplo:

Ejemplo: Calcular el 30% de 80.

De acuerdo a lo visto, debemos resolver esta ecuación: 80

x

100

30

Como se trata de una igualdad de fracciones, podemos utilizar la propiedad de sus productos cruzados:

100.x30.8080

x

100

30

Ahora, despejando “x” obtenemos: 24100

30.80x Por lo tanto la respuesta es: El 30% de 80 es 24.-

Planteándolo como Regla de Tres tenemos:: 30 x y calculamos “x” así: 24100

30.80x

100 80

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Es decir, la Regla de Tres no es otra cosa que un planteamiento más sencillo para resolver una ecuación donde

intervienen dos fracciones equivalentes.

Análogamente para resolver las restantes ecuaciones, tendremos 52 130 de donde: 40 130

52.100x

x 100

y 22 x que resolvemos así: 8825

22.100x

25 100

Ejercicio 1) i) Calcula el 20% de 1,36

ii) Calcula el número cuyo 40% es 2800 iii) ¿Qué porcentaje es 4836 de 7800?

Ejercicio 2) Indica qué porcentaje de la unidad es cada fracción (aproximar en caso de ser necesario):

25

1 v ii) ;

10

1 v i) ;

3

11 v ) ;

4

7 iv ) ;

5

2 iii) ;

4

3 ii) ;

2

1 i)

Abreviando cálculos…

La forma “clásica” de calcular un porcentaje es mediante Regla de Tres (que a su vez es una manera más sencilla de

resolver una ecuación con fracciones), pero esto se puede hacer de una manera mucho más rápida y sencilla aún.

Calculemos el 35% de 120. Plantearíamos la siguiente Regla de Tres:

35 100 y resolveríamos así: 100

35.120x

x 120

Si quisiéramos calcular el 40% haríamos algo muy similar:

40 100 y resolveríamos así: 100

40.120x

x 120

Escribamos de manera ligeramente diferente estas soluciones.

Para calcular el 35% hacemos 100

35.120x que es lo mismo que:

100

35120.x que a su vez es también 120.0,35x

Y para el cálculo del 40% tenemos 100

40.120x que es lo mismo que:

100

40120.x y que también es 120.0,40x

Observemos entonces que para calcular el “tanto por ciento” de algo basta con multiplicar ese algo por el porcentaje

escrito como número decimal (suele decirse que el porcentaje se escribe “llevado a la unidad”, ya que 100%=1).

Esta forma de escribir un porcentaje se llama RAZÓN DE PROPORCIONALIDAD, y lo denotaremos con la letra “ r “.

se puede escribir así 0,35

Ídem

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Aplicaciones prácticas

Resolvamos unos típicos ejercicios, aplicando esto último.

Ejemplo: Un pantalón cuesta $ 700 y me ofrecen una rebaja del 20%. ¿Cuál es el precio que debo pagar?

Usualmente se plantea la Regla de Tres y se llega a que el 20% de $ 700 es $ 140; luego $ 700 - $ 140 = $ 560 es la

respuesta.

Podemos ahorrar mucho tiempo si simplemente multiplicamos 700.0,20 para hallar el descuento, o mejor aún, por

0,80 para hallar la respuesta final (como 100% - 20% = 80%, calcular primero el 20% y luego restarlo no es necesario;

hallando directamente el 80% obtenemos el precio final a pagar: $ 700.0,80 = $ 560).

Ejemplo: Un mouse sin IVA cuesta U$S 7. Calcular el precio IVA incluido (IVA=22%).

Si directamente hallamos el 122% de U$S 7 obtendremos

la respuesta correcta (ya que 100% + 22% = 122%).

Como 7.1,22 = 8,54 la respuesta será entonces: El precio

del mouse IVA incluido es de U$S 8,54.-

Observación: Si el planteo es al revés, es decir si el precio

de un artículo es $ 200 IVA incluido, para hallar el precio

sin IVA la Regla de Tres es:

200 122 %

x 100 %

Luego,

163,931,22:200100

122:200

122

100200.

122

200.100x

por lo que el precio buscado es $ 163,93.-

En resumen, aquí terminamos dividiendo entre 1,22. El

estudiante puede elegir cuándo utilizar Regla de Tres o

no, y en este último caso quizás es adecuada. Pero es

muy práctico calcular un porcentaje directamente como

más arriba, es decir, multiplicando por el porcentaje

llevado a la unidad.

2) INTERESES

En el mundo financiero, el interés es el costo de un préstamo de dinero, que suele expresarse en porcentajes. Así, si

solicito un préstamo en un banco, éste me cobra por su servicio un cierto interés. Igualmente si yo soy quien le presta

dinero al banco (mediante un depósito a plazo fijo, por ejemplo), es lógico que yo le “cobre” al banco por mis

servicios. Es claro que los conceptos que incluye este curso son básicos y representan una mínima parte de lo que

ocurre en el mundo real. Hecha esta salvedad, veamos algunas definiciones:

Capital - C - es la cantidad de dinero invertida para obtener un beneficio en una operación financiera. Quien aporta

este dinero se denomina inversor. Quien lo recibe se denomina prestatario.

Interés - I - es la cantidad de dinero recibida por el inversor como compensación por el uso del capital invertido.

Ejercicio 3) i) Calcula el 15% del 40% de 10000, ¿Qué porcentaje de 10000 calculaste en realidad? ii) ¿Qué porcentaje es del total el 75% de la mitad? iii) La tercera parte del 36% de un número a qué porcentaje de ese número equivale? Ejercicio 4) ¿Qué número es mayor: 23% de 34 o 34% de 23? Ejercicio 5) Si una persona gana $ 7000, ¿Cuál de los siguientes tipos de aumentos le convienen más?

a) Pasar a ganar de lo que ganaba antes.

b) Un Aumento del 25%.

c) Un aumento de $ 2000.

Ejercicio 6) Me proponen 5 opciones de aumento de sueldo durante un año:

i) 12% de aumento cada 3 meses. ii) 24% de aumento cada 6 meses.iii) 16% cada 4 meses. iv) 4% mensual. v) 48% anual.

¿Cuál conviene más?

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EJERCICIOS INTERÉS SIMPLE Ejercicio 7) Calcular a cuánto asciende el interés simple y el monto producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Ejercicio 8) Calcular el interés simple y el monto producido por $30 000 durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Ejercicio 9) Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el capital de dicha cuenta en ese año? Ejercicio 10) Un préstamo de 20 000 pesos se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés mensual cobrada? Ejercicio 11) Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 1,5 % semestral durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? Ejercicio 12) Un capital de $800 se transformó en $850 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual. Ejercicio 13) Un cierto capital se transformó en $25000 en dos trimestres, si se aplicó un 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial?

Tiempo - t - es la duración de la inversión, es decir, el intervalo de tiempo transcurrido entre que el inversor entrega y

recibe su dinero.

Monto - M - es la suma de dinero recibida por el inversor al finalizar el tiempo estipulado para la inversión. El Monto

es entonces la suma del capital y del interés, es decir M = C + I.

Tasa de interés - i - es un porcentaje que expresa el interés producido por cada 100 unidades de capital en un

período de tiempo estipulado entre las partes que participan en una operación financiera (no debe confundirse la tasa

de interés con el interés).

Existen dos modalidades de inversión que se denominan Interés simple e Interés compuesto.

INTERÉS SIMPLE

En una operación a interés simple los Intereses son generados únicamente por el capital inicial invertido. Puede que

se utilice en operaciones de corto plazo.

Ejemplo: Se invierte un capital de $ 14.000 a interés simple con una tasa del 2,15% trimestral durante un año y medio.

Calcule el interés y el monto en dicha operación financiera.

Solución La tasa de interés está dada en trimestres, por lo tanto el tiempo que dura la operación también debe

expresarse en trimestres. Un año y medio corresponde a 6 trimestres. En cada trimestre el interés producido está

dado por 14000.2,15%. Es decir 14000.0,0215 .En seis trimestres el interés obtenido será (14000.0,0215).6= 1806

El monto es M = 14000 + 1806 = 15806

Fórmula principal – INTERÉS SIMPLE

Sea C el capital invertido, i% la tasa de interés acordada

por período de tiempo, y t la cantidad de períodos

transcurridos durante la inversión. Entonces el interés I

generado está dado por

100

C.i.t.t

100

iC.I

Ahora, si escribimos el interés “llevado a la unidad” (le

habíamos llamado “ r ”), esta fórmula la podemos escribir

C.r.tI

En esta fórmula es necesario que la unidad de tiempo en

que se miden la tasa de interés y el tiempo que dura la

inversión sean iguales.

Es claro además que cualquiera de las variables se puede despejar de la misma fórmula. Por ejemplo,

r .t

IC

,

r .C

It , etc.

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Ejercicio 14) Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de $3000 que al ser depositado con una tasa anual de 9% obtuvo una ganancia de $400. Ejercicio 15) El monto que generó un capital tras ser depositado a interés simple durante 2 años y medio a una tasa del 4% semestral fue de $ 60000. Calcula el capital inicial y el interés producido en esos 2 años y medio. Ejercicio 16) Una unidad indexada equivale a 2,59270 pesos uruguayos, el interés que producen los plazos fijos a un año en UI en el BROU es de 1% anual. Pero la unidad indexada sube mes a mes según el IPC. Si una persona depositó $ 200000 en UI a plazo fijo en el BROU por un año y luego del mismo el IPC fue de 9%, ¿Cuánto pasó a valer la UI luego de ese año? ¿Cuánto dinero pasó a tener la persona? Ejercicio 17) Una persona decide depositar $150000 en una cuenta en dólares en el BROU a un interés anual del 2,20%. Si el dólar estaba a $ 20 a la venta cuando depositó y la persona retira su capital luego de un año con el dólar a $19,20 a la compra. ¿Ganó o perdió dinero en pesos uruguayos la persona? Explica por qué.

INTERÉS COMPUESTO

Supongamos que depositamos cierta cantidad de dinero en un banco durante algunos años. En el primer año ese

capital generó un cierto interés. Si no retiramos los intereses producidos en cada año, éstos se van acumulando. Éste

es el concepto del “interés compuesto”.

De igual manera, la inflación y los aumentos salariales también se comportan como un “interés compuesto”. También

por supuesto si tenemos una deuda, ésta generará intereses compuestos.

Ejemplo: Una persona deposita $ 2000 a una tasa de interés capitalizable del 10% mensual, ¿cuánto será el monto

total que obtendrá en 6 meses?

Vayamos primero “paso a paso”:

Al cabo del primer mes $ 2000 . 1,10 = $ 2200

Segundo mes: $ 2200 . 1,10 = $ 2420

Tercer mes: $ 2420 . 1,10 = $ 2662

Cuarto mes: $ 2662 . 1,10 = $ 2928,20

Quinto mes: $ 2928,20.1,10= $ 3221,02

Al cabo del sexto mes: $ 3221,02.1,10= $ 3543,12

Ahora, ¿qué operación terminamos realizando? En resumen, partimos de 2000 y lo multiplicamos por 1,10 seis veces.

Esto es, 2000. veces 6

1,10.1,101,10.1,10.1,10.1,10. pero esto se expresa más fácilmente así: 2000(1,10)6

Es decir, si no es necesario calcular el monto “mes a mes” directamente calculamos 2000(1,10)6 = 3543,12

Fórmula principal – INTERÉS COMPUESTO

De acuerdo a la deducción que hicimos previamente, presentemos

directamente la fórmula de cálculo del interés compuesto.

Llamémosle C al capital invertido, i a la tasa de interés correspondiente a un período de capitalización, t a la cantidad

de períodos que dura la inversión (en caso que la cantidad de períodos sea cero, nos queda M0, que podemos

considerar como el monto al inicio de la operación y es igual al capital invertido).

t

100

i1CtM

que expresado con el interés llevado a la unidad queda tr1CtM

Para realizar este cálculo 2000(1,10)6,

escribimos la siguiente secuencia:

1,10 6 2000

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Ejercicio 18) Si depositamos un capital de $20000 en un banco durante 4 años con una tasa del 2,2% semestral (cada seis meses) y capitalizaciones semestrales ¿Cuál será nuestro monto luego de esos 4 años? Ejercicio 19) Una persona tiene $30000 y decide depositarlos durante 15 meses a una tasa del 2,8% con capitalizaciones trimestrales. ¿Qué interés genera dicho capital en ese tiempo? Ejercicio 20) Calcular el capital que debe depositarse para retirar $ 254650 en 15 años al 3,5% de capitalización anual. Ejercicio 21) ¿Qué capital depositado durante 18 meses a una tasa del 3% capitalización trimestral genera un monto de $9552,50? Ejercicio 22) Calcular la tasa mensual a la que es necesario colocar a IC: a) $ 56000 para retirar $68900 en 2 años b) $ 25000 para retirar $ 37150 en 4 años. Ejercicio 23) ¿A qué tasa trimestral debe colocarse un capital de $25000 durante un año y medio con capitalizaciones trimestrales para generar un interés de $9667,60?

Ejercicio 24) Una persona compró un auto y le costó $100 000, tuvo depositado durante 15 meses un capital de $90600 pesos y con el Monto obtenido le alcanzó para la compra. ¿qué tasa de interés trimestral le pagó el banco? Ejercicio 25) El señor José dispone de un capital de $ 12000 y desea depositarlos para generar intereses durante dos años y medio. En el banco le proponen dos opciones diferentes de depósito: a) Depositarlo a interés simple a una tasa del 24% anual. b) Depositarlo a interés compuesto a una tasa del 8% capitalizaciones semestrales. ¿Qué opción le será más conveniente? ¿Cuánto dinero tendrá con dicha opción luego de los dos años y medio? Ejercicio 26) La Señora Mónica cobra una herencia inesperada por valor de $400000 y está dudando entre dos opciones de depósito. El Banco A le ofrece depositarlo a plazo fijo semestral a una tasa del 5% y el Banco B, le ofrece depositarlo a plazo fijo anual a una tasa del 10,25%. ¿Cuál es más conveniente para depositar durante 2 años? ¿Por qué?

3) DIFERENTES TASAS DE INTERÉS

Tasa nominal anual

Se conoce como tasa de interés nominal o tasa

nominal al interés que capitaliza más de una vez al año. Se trata

de un valor de referencia utilizado en las operaciones

financieras que suele ser fijado por las autoridades para regular

los préstamos y depósitos.La tasa nominal es igual a la tasa de

interés por periodo multiplicada por el número de periodos.

Tasa efectiva anual (TEA)

La tasa efectiva anual (TEA) es el porcentaje de

crecimiento anual del capital cuando los períodos de

capitalización son menores a un año. Por ejemplo: la tasa

nominal suele expresarse en base anual. Los contratos, de todas

formas, pueden especificar que el interés se calculará varias

veces durante el año (ya sea mensual, trimestral, semestral u

otro periodo). El año, por lo tanto, puede dividirse en doce

meses, cuatro trimestres o dos semestres. Si la tasa de interés es

del 2% por trimestre, es posible hablar de una tasa nominal anual del 8% (ya que el año tiene cuatro trimestres).

La Tasa Efectiva Anual (T.E.A.) es un indicador expresado como tanto por ciento anual, que muestra el costo o

rendimiento efectivo de un roducto financiero. El cálculo de la

TEA está basado en el tipo de interés compuesto y parte del

supuesto de que los intereses obtenidos se vuelven a invertir a la

misma tasa de interés.

Por ejemplo, si se habla de una tasa aplicable del 24%

nominal anual, capitalizable semestralmente, primero se calcula

la tasa semestral, es decir 24% / 2 (en un año hay dos semestres)

= 12%. Luego calculo TEA. Como se conoce que es capitalizable

semestralmente, la TEA la calcularé como (1+0,12)2= 1,2544. Es

decir que la TEA equivalente a una tasa nominal anual

capitalizable semestralmente del 24%, asciende al 25,44%.

Como se ha visto, la TEA se calcula con la fórmula de interés

compuesto porque se trata de una tasa capitalizable

semestralmente, es decir que, cuando llega el término el

semestre, se generaron intereses que se acumulan al capital

para generar nuevos intereses.

Ejemplo: Se quiere calcular el capital que genera un capital de

$ 1300 a un interés anual del 23% con un período de

capitalización trimestral en el transcurso de un año.

Aplicamos alguna de las fórmulas de interés compuesto

t

100

i1CtM

ó tr1CtM sustituyendo

correctamente los valores dados:

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Ejercicio 27) Dadas las tasas efectivas anuales: a) 25% anual y b) 65% anual. Determina las tasas nominales mensuales, trimestrales y semestrales equivalentes a cada una. Ejercicio 28) Si una persona deposita 20000 pesos, durante dos años y medio con capitalizaciones trimestrales a una TEA del 8%, ¿qué monto obtuvo durante los dos años y medio? ¿cuál fue el interés? Ejercicio 29) El Sr. Juan deposita cierta cantidad de dinero durante 10 años, con capitalizaciones semestrales. Calcula la TEA que le pagó el banco si se sabe que Juan duplico su capital en los 10 años. Ejercicio 30) Para el pago de intereses de préstamos el Banco A cobra una tasa del 3,5% semestral y el Banco B una del 0,5% mensual, ¿en qué Banco conviene más pedir un préstamo? Ejercicio 31) Un capital se depositó durante 3 años y generó un interés en todo el período del 24%, si las capitalizaciones eran mensuales, ¿cuál era la tasa mensual de interés?

NOTA: Varios ejercicios fueron tomados de repartidos de colegas ubicados a través de internet. Particularmente utilizamos varios ejercios del Prof. Nicolás Ramos, a quien agradecemos.-

9425781251625,7915262560886878901300.1,250451300.1,05740,057511300

4

1004

2311300tM

Si únicamente observamos el factor 1,2506088687890625 éste es la TASA EFECTIVA ANUAL que produce una tasa

nominal anual del 23% (es decir, una Tasa Nominal Anual del 23% significa una TEA de aproximadamente el 25%).

En caso de utilizar la fórmula con el porcentaje llevado a

la unidad, el planteo es

4

4

0,2311300tM …

Observación I: La Tasa Efectiva Anual está muy

relacionada con la inflación. Es decir, nadie depositaría

dinero en un banco si al cabo de un año (por ejemplo)

pierde mucho valor. Si la inflación ronda el 100% (lo que

significa que en un año con el mismo dinero se pueden

comprar la mitad de las cosas), la expectativa de quien

deposite dinero es que al menos al cabo de ese año su

dinero tenga el mismo valor real. Igualmente quien recibe

un préstamo no debería querer pagar una cuota

desproporcionada respecto a la inflación.

En el Uruguay actual, la tasa de inflación anual es menor

al 10%, así que cualquier préstamo que tenga una TEA

muy superior al 10% obviamente no es conveniente.

Observación II:

Salvo que la letra de algún ejercicio indique lo contrario,

todos los problemas se expresan en tiempos bancarios.

Esto es, todos los meses tienen 30 días, y un año tiene

360 días. Esto significa por ejemplo que tanto un depósito como un préstamo solicitado supongamos el 28 de febrero

de 2013 y pagado el 1° de marzo de 2013, generó 3 días de interés.

Observación III:

Si uno solicita un préstamo, no es necesario

saber prácticamente nada de matemática

financiera para elegir la mejor opción; alcanzará con hacer las preguntas correctas.

La primer pregunta debe ser ¿cuánto es la cuota por cada $ 1000 en diferentes plazos? Supongamos que

averiguamos en 3 instituciones financieras diferentes y nos dijeron:

En A, por cada $ 1000 son 12 cuotas de $ 100

En B, por cada $ 1000 son 12 cuotas de $ 98

En C, por cada $ 1000 son 12 cuotas de $ 115

Luego, elegir el préstamo más barato se reduce a comparar las cuotas. Pero también debemos tener en cuenta que

pueden existir otros costos que no nos fueron informados; por ejemplo, si la institución es una cooperativa

probablemente debamos pagar la cuota social (y sumarla a la cuota del préstamo); en otras financieras es probable

que nos “obsequien” una tarjeta de crédito junto con el préstamo (a la que no podamos renunciar) y que ésta tenga

un costo mensual… y así pueden haber otras “sorpresas”.

Tengamos en cuenta también que en el Uruguay existe el Banco Central y que éste fija las tasas

máximas que se pueden cobrar… en las instituciones que están sujetas a sus disposiciones, es decir,

Bancos, tanto públicos como privados. Muchas instituciones financieras giran por fuera de sus

normas y sus TEAs suelen ser exageradamente altas. En compensación, suelen pedir muchos menos

requisitos para otorgar préstamos.

Prof. Fernando Vales