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1.- Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.

El término porcentaje se deriva del latín per centum que significa “por ciento”, representa fracciones cuyo denominador es cien. Generalmente se indica con el símbolo %. El porcentaje, conocido como tanto por ciento; se expresa también en forma de fracción común o decimal.

Si hablamos de porcentajes a todos nos resulta un tema familiar, pero: ¿sabríamos decir qué es un porcentaje? ¿cómo se calcula? y ¿qué significa exactamente?

El porcentaje es, realmente, un símbolo.

Un símbolo que representa una fracción de denominador 100. Así, en el lenguaje escrito, es mucho más sencillo escribir el porcentaje que la fracción:

El porcentaje está relacionado con la variación proporcional, ya que, si una cantidad aumenta o disminuye en determinada proporción, también el porcentaje aumenta o disminuye en la misma proporción.

Por ejemplo, un artículo cuesta $ 60 de contado, y si es a crédito aumenta un 25%. ¿Cuánto cuesta el artículo con el aumento?

Qué vamos a aprender: Que los alumnos resuelvan problemas que implican el cálculo de

porcentajes tomando como base el 50%, 25%, 10% y 1%.

Materiales: Libro, libreta, lápiz y borrador.

Te explico

1 SEMANA DEL 16 AL 20 DE NOVIEMBRE 2020

Procedimientos para calcular el precio con aumento de un artículo:

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Otro procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo es el siguiente:

Dados dos números calcular el porcentaje que es uno sobre el otro. Es decir, si tenemos 15 bolas blancas en una urna con 20 bolas, el porcentaje de bolas blancas es de: 20 --- 100 15 --- x Luego: 20x = (100) · (15) (producto cruzado), es decir, x = (100) · (15/20) = 1500/20 = 75%. El 75% de las bolas de las urnas son blancas.

Procedimientos para calcular el porcentaje que representa una cantidad de otra.

25

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Este apartado es muy útil para saber dónde es mayor el porcentaje cuando se están comparando variables, veamos un ejemplo: Si en una clase A de 25 personas hay 15 niños y en otra clase B de 34 hay 20 niños, ¿en qué clase hay mayor porcentaje de niños? Porcentaje de niños en la clase A: 25 --- 100 15 --- x x = (15) · (100/25) --> x = 60. En la clase A el 60% son niños. Porcentaje de niños en la clase B: 34 --- 100 20 --- x x = (20) · (100/34) --> x = 58.82. En la clase B el 58,82% son niños. Luego el porcentaje es mayor en la clase A. Otro ejemplo: En una urna hay 4 bolas blancas y 2 negras y en otra urna hay 6 bolas blancas y 4 negras. Si queremos sacar una bola blanca de una urna, ¿qué urna elegiremos? En la primera urna el porcentaje de bolas blancas es de: 6 --- 100 4 --- x x = 4·100/6 --> x = 66.67%. En la segunda urna: 10 --- 100 6 --- x x = (6) · (100/10) --> x = 60%. Luego elegiremos la primera urna ya que el porcentaje de bolas blancas es mayor.

Se sugiere ver los siguientes videos:

https://youtu.be/PId8BE7N_EI (Que porcentaje es un numero de otro). https://youtu.be/vZ7sNvR_JkY (Ganancia de un artículo en porcentaje 274.

Para aprender más

https://youtu.be/PId8BE7N_EI

https://youtu.be/vZ7sNvR_JkY

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ACTIVIDAD 1. Resuelve los siguientes problemas:

De los 100 alumnos de 1° de una secundaria, han ido de viaje solo 73. ¿Qué

porcentaje de alumnos no fue al viaje?

Manos a la obra

Repaso y practico

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El precio de un televisor es de 2 000 pesos sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por

él si el IVA es del 16%?

En una clase de 30 alumnos, el 30 % hacen las actividades todos los días.

¿Cuántos alumnos hacen las actividades?

Si de un total de 100 personas, 73 aprobaron un examen, ¿qué porcentaje de

personas reprobaron?

Sandra quiere regalarle a su madre una blusa que cuesta $250.00 más un 8 %

de impuesto. Ella calcula que el precio aumentará unos $12.00 pesos. ¿Es

correcta la aproximación que ha hecho? Argumentarán sus repuestas.

Carlos quiere comprarse un celular. El precio inicial del aparato es $1,800.00,

pero a esta cifra hay que añadirle el 25 % de impuestos. ¿Cuánto aumentará

entonces el precio del celular?

Una persona vende una aspiradora de $850.00, obteniendo una ganancia del

15% sobre el precio. ¿De cuánto fue la ganancia?

Una bicicleta de S1.000.00 se compra con un anticipo del 15% pagando el

saldo en 4 cuotas mensuales. ¿De cuánto es cada cuota?

Un jugador de baloncesto ha encestado 8 tiros libres de un total de 15, ¿Qué porcentaje representan?

De un total de 60 estudiantes, 35 han elegido una carrera de ciencias; ¿Qué porcentaje representan?

Recuerda:

Escribe tus operaciones de manera clara por cada uno de los problemas planteados,

Responder con lápiz legible,

Escribir tu nombre completo, grado y grupo en la hoja de resolución.

Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas)

Rellene los círculos si observa que su hijo logró lo siguiente:

o ¿Logró comprender que es un porcentaje?

o ¿Logro comprender la regla de tres?

o ¿Aprendió a usar la fórmula para encontrar el porcentaje de una cantidad a otra?

o ¿Tuvo dificultades en la resolución de problemas?

Lo que aprendí

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2.- Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.

El porcentaje es un símbolo matemático que representa que una determinada

magnitud está representada como una fracción de 100, de tal modo que:

X% = 𝐗

𝟏𝟎𝟎

Cantidad base de un porcentaje. La base es la cantidad total. La cantidad es el número que se relaciona con el porcentaje. Siempre es parte del total.

Qué vamos a aprender: Que los alumnos profundicen sus conocimientos sobre porcentajes al

calcular la cantidad base o el tanto por ciento dados los otros datos y al

interpretar porcentajes mayores a 100%.


Te explico

1 SEMANA DEL 23 AL 27 DE NOVIEMBRE 2020

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Cómo calcular el porcentaje de una proporción

Se nos puede plantear el caso de que conocemos la cantidad total y una proporción de esa cantidad y nos preguntan a qué porcentaje corresponde esa proporción. Por ejemplo:

En un pueblo de 3000 personas contraen una enfermedad 360 personas ¿Qué porcentaje del total representan esas 360 personas?

Los problemas de este tipo se resuelven mediante una regla de tres directa, sabiendo que siempre la cantidad total corresponde al 100% y por tanto, la proporción corresponderá a un porcentaje más pequeño. En nuestro caso, 3000 personas corresponden al 100%, por lo que 360 personas corresponderán a x%:

Resolvemos la regla de tres y nos queda:

Por tanto, 360 personas son el 12% de 3000 personas.

Cómo calcular el porcentaje mayor que el 100% Cuando trabajamos con porcentajes, el 100% es el total, pero podemos trabajar con porcentajes mayores que 100%.

Para sacar un porcentaje mayor que 100 procedemos del mismo modo que para

calcular un porcentaje menor que 100, solo que en el caso de porcentajes mayores

a 100 la porción será mayor que el valor original.

Tienes que usar la regla de 3 simple 100%____________230 130%____________x

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= (130 x 230)

100 = 299

Ejemplo Antonio medía 80cm a los 11 meses de edad y ahora mide el 212.5% de lo que medía entonces. ¿Cuánto mide Antonio?

El 100% es 80cm.

El 212.4% de 80cm es la altura actual:

Aplicamos una regla de tres:

Antonio mide 170cm.


https://youtu.be/PId8BE7N_EI https://youtu.be/cUmAuBjXem0 https://youtu.be/zrSoort4LE8

Para aprender más

Manos a la obra

https://youtu.be/PId8BE7N_EI

https://youtu.be/cUmAuBjXem0

https://youtu.be/zrSoort4LE8

https://www.calcularporcentajeonline.com/problemas/mayores/problemas-resueltos-porcentajes-mayores-100-ejemplos-calcular.html

https://www.calcularporcentajeonline.com/problemas/mayores/problemas-resueltos-porcentajes-mayores-100-ejemplos-calcular.html

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Regla de tres para calcular el porcentaje que representa una cantidad sobre otra

Ejemplo 1:

¿Qué porcentaje de 250 representa 50?

250 es el 100% y 50 es un porcentaje que no sabemos, X:

250 —— 100

50 —— X

X = (𝟏𝟎𝟎 𝐱 𝟓𝟎)

𝟐𝟓𝟎

X = 20

50 es el 20% de 250.

Ejemplo 2:

Recordamos el ejemplo anterior:

En una clase de 80 alumnos, 12 son rubios. Calculamos el porcentaje de alumnos rubios aplicando una regla de tres (con ayuda de una tabla):

Regla de tres para calcular el porcentaje mayor que el 100%

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Ejemplo 1. El precio de cierto objeto era de $4.55 y sube 14.78%. ¿Cuál es el precio nuevo?

Aquí, primero necesitamos hallar la cantidad de dólares que determinó el aumento del precio. Sabemos que la cantidad original es $4.55 y sabemos que esa cantidad se incrementa el 14.78%.

Pues necesitamos hallar el 14.78% de $4.55, y luego sumar eso a la cantidad original de $4.55.

Se halla 14.78% de $4.55 multiplicando 0.1478 por $4.55: 0.1478 × $4.55 = $0.67249.

Entonces eso es el incremento en dólares. Para hallar el precio nuevo, se suma el incremento al precio original: $4.55 + $0.67249 = $5.22249 = $5.22.

Haciéndolo más rápido. Ya que al final necesitamos sumar el incremento y el precio original, se puede hacer la cuenta completa así:

0.1478 × $4.55 + $4.55

Ahora, si se desea podríamos colocar $4.55 factor común, obteniendo:

= $4.55 (0.1478 + 1)

= $4.55 (1.1478)

= 1.1478 × $4.55.

Y así se tendrías que efectuar sólo la multiplicación de 1.1478 × $4.55.

Ejemplo 2. El precio de cierto objeto se incrementó en un 13%, o sea aumentó de $10.14. ¿Cuál fue el precio original?

Supongamos que el precio original sea p. Luego podremos escribir una ecuación basada en la idea de que el incremento en el precio (que sabemos que es $10.14) es 13% de p:

0.13p = $10.14

Resolviendo la ecuación de arriba: p = $10.14 ÷ 0.13 = $78

Repaso y practico

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ACTIVIDAD 1. Resuelve los siguientes problemas:

1.- En el colegio A, les gusta el rock a 12 de sus 60 alumnos. En el colegio B, les

gusta el rock a 18 de sus 120 alumnos. ¿A qué porcentaje de alumnos les

gusta el rock en cada colegio? ¿En qué colegio gusta más el rock?

2.- De los 684 lanzamientos que realizó Alberto, falló 513. ¿Qué porcentaje de

lanzamientos fallidos tiene Alberto?

3.- De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600.

¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

4.- En un pueblo de 5000 habitantes, 3750 de ellos son hombres. Calculamos el

porcentaje de hombres de dicho pueblo:

5.- De un total de 40 alumnos, a 36 les gusta ir al cine. ¿Cuál es el porcentaje de

alumnos a los que les gusta ir al cine?

6.- Si 6 de cada 10 alumnos aprobaron matemáticas, ¿cuántos alumnos

aprobaron matemáticas en un aula de 30 alumnos?

7.- El año pasado se vendieron 1200 videojuegos y 980 libros. Si este año subió

un 15% la venta de videojuegos y subió un 5% la de libros, ¿cuántos

videojuegos y libros se vendieron?

8.- Daniel tenía $260 en su alcancía y en dos meses consiguió ahorrar otro 55%

del dinero que ya tenía. ¿Cuánto dinero ahorró en los dos meses?

9.- El número de libros de Johana este año es un 35% superior al del año

anterior. Si ahora tiene 810 libros, ¿cuántos libros tenía Johana el año

pasado?

10.- Un litro de leche cuesta $21.00 sin I.V.A. Sabiendo que se aplica un 15% de

I.V.A., ¿Cuál será su precio sin I.V.A.?

Recuerda:




Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas).


o ¿Logró comprender como calcular la cantidad base?

o ¿Logro comprender como calcular el porcentaje aumentado?

o ¿Tuvo dificultades en la resolución de problemas?

Lo que aprendí

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3.- Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

El lenguaje algebraico o simbólico es aquel en el que se expresan relaciones entre cantidades por medio de letras, llamadas literales, y símbolos matemáticos. ¿Qué es una ecuación? Es una igualdad matemática en las que hay un valor desconocido. Este valor se representa con una literal, por lo general se usa x, pero puede emplearse cualquier letra, a La cual se le conoce como incógnita de la igualdad, en matemáticas a este tipo de expresiones se les denomina ecuaciones. ¿Qué es una ecuación lineal?

Una ecuación lineal es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos y desconocidos (denominados variables), y que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Partes de una ecuación Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de ellos.

Qué vamos a aprender: Que el alumno represente las relaciones entre dos cantidades

mediante ecuaciones e interprete la igualdad como equivalencia

entre las expresiones encontradas.


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1 SEMANA DEL 30 DE NOV AL 4 DE DIC 2020

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Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=). Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios. Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de diferente tenor. Por ejemplo: Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de ecuación.

ECUACIÓNES LINEALES DE LA FORMA x + a = b

Para resolver ecuaciones de la forma x + a = b se suma o se resta en ambos miembros de la ecuación el término independiente a. Así, Para resolver la ecuación x + 3 = - 8 se procede de la siguiente manera.

x + 3 = -8

x + 3 - 3 = - 8 - 3

x = - 11

Una aplicación del método anterior es la transposición de términos. Transponer términos en una ecuación consiste en cambiar los términos de un miembro a otro en una ecuación teniendo en cuenta la propiedad uniforme.

Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo. Esto es,

1). x + a = b 2). x - a = b

x = b - a x = b + a

Ejemplo: x + 13 = 6

x = 6 - 13

x = -7

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ECUACIÓNES LINEALES DE LA FORMA ax = b

Para resolver ecuaciones de la forma ax = b, se aplica la propiedad uniforme de las igualdades y se divide cada miembro entre el coeficiente de la incógnita. De la siguiente manera:

a x = b ax = b a a

x = 𝒃

𝒂

Por lo tanto, para despejar la incógnita en este tipo de ecuaciones, basta con pasar a dividir su coeficiente al otro miembro de la ecuación.

Ejemplo: la ecuación 2x = 4. Dividimos los dos miembros de la ecuación entre el mismo número, en este caso 2:

𝟐𝒙

𝟐 =

𝟒

𝟐

Observamos que el número 2 pasa de ser divisor en el primer miembro de la ecuación y en el segundo miembro.

X = 2

Ejemplo: - 5x = 45

Usando La propiedad de la Igualdad, dividimos los dos miembros de la ecuación entre el mismo número, en este caso -5:

−5𝑥

−5 =

45

−5

El número que pasa a dividir conserva su signo:

x = 45

−5

Al dividir dos números con signo diferente, el resultado es negativo. X = - 9

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https://youtu.be/u5iWTAMIyUw https://youtu.be/DKetsa_Fpbo https://youtu.be/IDk2UVS4iuw https://youtu.be/UNWFLuUfiX4

Problemas resueltos:

1. Pensé un número, a ese número le sume 15 y obtuve 27. ¿Cuál es ese número?

x + 15 = 27

x = 27 – 15

x = 12

El número pensado es 12.

2. Si al doble de la edad de Juan le sumas 8, obtienes 32. ¿Cuál es la edad de Juan?

2x + 8 = 32

2x = 32 – 8

2x = 24

x = 24

2

x = 12

La edad de Juan es 12.

3. Encuentra la medida de la base de un rectángulo sabiendo que su altura mide 4cm y su área es de 142m².

Sabemos que para obtener el área de un rectángulo usamos la formula A = b x h (base x altura).

Para aprender más

Manos a la obra

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Base = x, altura = 4cm y el A= 142m², sustituimos los valores en la formula y queda:

(x) . (4) = 142

4x = 142

x = 142

4

x = 35.5 cm

Por lo tanto, la base del rectángulo mide 35.5 cm.

4. Martha tiene 15 años, que es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Qué edad tiene la madre de Martha?

Llamamos x a la edad de la madre.

La tercera parte de la edad de la madre es la misma que la de Martha, es decir, 15.

Escrito matemáticamente: (tercera parte de un numero: 𝑥

3 ).

x

3 =15

Si 3 está dividiendo pasa multiplicando:

x= 15 x 3

Por tanto, la edad de la madre es x = 45.

ACTIVIDAD 1. Resuelve los ejercicios y responde las preguntas de las páginas:

140 y 141 de tu libro de texto, poniendo en práctica lo que aprendiste.



Recuerda:




Repaso y practico

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o ¿Sabe que es una ecuación?

o ¿Logra identificar las partes de una ecuación?

o ¿Presenta dificultades para resolver ecuaciones de primer grado

Lo que aprendí

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4.- Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Ecuación es una igualdad literal que sólo es cierta para algunos valores de las letras.

La letra o letras desconocidas de una ecuación se llaman incógnitas. En la ecuación x + 2 = 9 la incógnita es x. La incógnita de una ecuación se puede designar con cualquier letra, pero en general se utiliza la letra x

Soluciones de una ecuación son los números que la verifican, es decir, los números que convierten la ecuación en una igualdad de números cierta.

Resolver una ecuación es hallar sus soluciones

Así la ecuación x + 4 = 12 sólo se verifica si x = 8. Se dice que 8 es la solución de la ecuación

ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA ax + b = c

Ejemplo: Para resolver la ecuación: 2x + 7 = 13

1) Se deja el término en x en el primer miembro y los términos independientes se

pasan al segundo miembro: 2x + 7 - 7 = 13 - 7

2) Se reducen los términos semejantes: 2x = 6

3) Se despeja la incógnita: x = 𝟔

𝟐

x=3

Qué vamos a aprender: Que el alumno resuelva problemas con ecuaciones lineales de

la forma ax + b = c, y ax + b = cx + d


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1 SEMANA DEL 7 AL 11 DE DICIEMBRE 2020

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Ejemplo: Resolver la ecuación: 2x – 3 = 3

2x – 3 + 3 = 3 + 3 Se eliminan los términos semejantes con signo diferente (en este caso el primer miembro -3 + 3 = 0. Queda: 2x = 6 El coeficiente 2 que está multiplicando en el primer miembro, pasa dividiendo: x = 6

2

x = 3

ECUACIÓNES LINEALES DE LA FORMA ax + b = cx + d

Se agrupan en un miembro las incógnitas (hay que prestar atención al signo que tienen, ya que éste cambia al pasarlos al otro miembro y permanece el mismo si continúan en el mismo miembro).

Los números de la ecuación que no acompañan a la incógnita pasan al otro miembro, pero con la operación inversa a la que tenían en el miembro en el que se encontraban.

Se realiza la operación correspondiente con las incógnitas que están en un miembro y con los términos sin incógnita que están en el otro miembro de la ecuación.

Se despeja la incógnita y se haya su valor.

Ejemplo: Para resolver esta ecuación 6 x - 4 = 3x + 2

Ejemplo: 7x + 12 = 6x + 9

Se agrupan términos semejantes: 7x – 6x = +9 - 12

Se reducen términos semejantes

con signo diferente: x = -3

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1) Se pasan todos los términos en x a uno de los miembros de la ecuación, por

ejemplo, al primero y se pasan los términos independientes al segundo

miembro: 6x - 3x =2 + 4

2) Se reducen los términos semejantes: 3x = 6

3) Se despeja la incógnita:

Ejemplo: Para resolver esta ecuación

2(7 - x) + 7x = 8 - 5(x - 1) + 8x + 4

1) Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

14 - 2x + 7x = 8 - 5x + 5 + 8x + 4

2) Se trasponen los términos (los términos en x al primer miembro y los términos independientes al segundo):

-2x + 7x + 5x - 8x = 8 + 5 + 4 - 14

3) Se reducen los términos semejantes:

2x = 3

4) Se despeja la incógnita:

Toda ecuación con paréntesis se transforma en cualquiera de las ya estudiadas,

suprimiéndolos mediante la propiedad distributiva (multiplicando el número que va

delante del paréntesis por lo que contiene el paréntesis). Se debe prestar especial

atención en los casos en que el factor numérico que multiplica a la expresión

incluida dentro del paréntesis va precedido del signo menos.

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https://youtu.be/QLkNQWgYfEU https://youtu.be/bDudyZEGgIM https://youtu.be/nmOocDeGQFg https://youtu.be/23kjyp8LISY

Para aprender más

Manos a la obra

Ejemplo: 2(x – 3) – 3 (x – 4) = 2 – 5 (x – 2) + 10

Se eliminan los paréntesis multiplican el factor numérico

por el binomio dentro del paréntesis:

2(x – 3) – 3 (x – 4) = 2 – 5 (x – 2) + 10

2x – 6 -3x + 12 = 2 – 5x + 10 + 10

Se trasponen los términos (los términos en x al primer

miembro y los términos independientes al segundo):

2x – 3x + 5x = 2 + 10 + 10 + 6 – 12

Se reducen los términos semejantes: 7x – 3x = 26 - 12

4x = 16

Se despeja la incógnita:

x = 16

4

x = 4

https://youtu.be/QLkNQWgYfEU

https://youtu.be/bDudyZEGgIM

https://youtu.be/nmOocDeGQFg

https://youtu.be/23kjyp8LISY

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Problemas resueltos:

1. Tres hermanos se reparten $1300. El mayor recibe doble que el mediano y este el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno? Planteamiento: Hermano mayor: 2 (4x) (doble que el mediano) Hermano mediano: 4x (4 veces lo del pequeño) Hermano pequeño: x (llamamos “x” a lo que recibe el pequeño) Ecuación: “Tres hermanos se reparten $1300

8x + 4x + x =1300

Resolución: 8x + 4x + x= 1300 13x=1300

x= 1300

13

x=100

Solución: Hermano mayor: 2 (4x) = 8 x 100= 800 Hermano mediano: 4x = 4 x 100= 400 Hermano pequeño: x = 100

Las sumas de las tres cantidades corresponden a la suma total, $1300.

2. Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo?

Planteamiento:

Años transcurridos= X

Ahora Futuro

Padre 47 años 47+x

Hijo 11 años 11+x

Ecuación: “la edad del padre (47 + x) sea (=) triple que la del hijo 3. (x + 11)” (47 + x) = 3. (x + 11)

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Resolución: (47 + x) = 3. (x + 11) 47 + x = 3x + 33 47 – 33 =3x - x 14x = 2x

x= 14

2

x = 7 Solución:

X= 7 años transcurridos

Ahora Futuro

Padre 47 años 47+7=54 años

Hijo 11 años 11+x=11+7=18 años

3. En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Planteamiento: Base: x +18 (mide 18 cm más que la altura) Altura: x (desconocemos la longitud de la altura)

X X+18

Ecuación: “el perímetro mide 76 cm” (suma de sus lados) x + x + (x +18) + (x +18) = 76

Resolución: x + x + (x +18) + (x +18)= 76 4x =76 – 18 - 18 4x = 40

x = 40

4

x = 10 Solución: Base: x+18 = 28 cm Altura: x = 10 cm

10 cm 28 cm

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El perímetro es la suma de sus lados, 28 + 28 + 10 +10 = 76 cm

4. Tenemos tres peceras y 56 peces. Los tamaños de las peceras son pequeño, mediano y grande, siendo la pequeña la mitad de la mediana y la grande el doble. Como no tenemos ninguna preferencia en cuanto al reparto de los peces, decidimos que en cada una de ellas haya una cantidad de peces proporcional al tamaño de cada pecera. ¿Cuántos peces pondremos en cada pecera?

x = número de peces en la pecera mediana

𝑥

2 = número de peces en la pecera pequeña

2x =número de peces en la pecera grande

Como el total de peces es 56, tenemos la ecuación de primer grado

x + 𝑥

2 + 2x = 56

Resolvemos: x + 𝑥

2 + 2x = 56 (Se multiplican los factores por el denominador

2)

Se elimina el denominador de la fracción:

(2). (x) + x + (4). x = 56 (2)

Multiplicamos los factores:

2x + x + 4x = 112

Sumamos los términos comunes:

7x = 112

La solución es:

x = 112

7

x = 16

Peces en la pequeña: 16

2 = 8

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Peces en la mediana: 16

Peces en la grande: 2 x 16 = 32




146 a la 149 de tu libro de texto, poniendo en práctica lo que aprendiste.

Recuerda:






o ¿Logró comprender el planteamiento de los problemas?

o ¿Desarrolla de manera cada uno de los pasos para resolver ecuaciones?

o ¿Presenta dificultades para resolver ecuaciones de primer grado?

Repaso y practico

Lo que aprendí

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5.- Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica.

¿Qué es un Plano cartesiano? Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.

La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.

Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te explicamos cada uno.

Ejes coordenados

Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada.

Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la letra “x”.

Qué vamos a aprender: Que los alumnos comparen situaciones de variación lineal y no

lineal, analizando sus representaciones tabular, gráfica y algebraica.


Te explico

1 SEMANA DEL 14 AL 18 DE DICIEMBRE 2020

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Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la letra “y”. Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x”

es positivo, mientras que el izquierdo es negativo. El segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es negativo.

Coordenadas del plano cartesiano Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera:

P (x, y), donde:

P = punto en el plano;

x = eje de la abscisa (horizontal);

y = eje de la ordenada (vertical).

Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”.

Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”.

En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas.

Por ejemplo,

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¿Qué es la variación lineal?

La variación lineal ocurre entre dos magnitudes físicas cuando la gráfica que las representa es una línea recta y cuando dos cantidades están relacionadas de forma proporcional y el valor “0” de una no coincide con el “0” de la otra.

Es equivalente a afirmar que las variables están en dependencia lineal, de tal manera que, si a una de ellas la llamamos “y” y a la otra “x”, estarán relacionadas mediante la expresión matemática:

y = mx + b

Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que tomamos un taxi, y en cuanto nos subimos, el taxímetro empieza a correr:


https://youtu.be/k46XzRMG5BQ https://youtu.be/MRxSI6BeNaE https://toutu.be/OTeARiwd-JU

Para aprender más

https://youtu.be/k46XzRMG5BQ

https://youtu.be/MRxSI6BeNaE

https://toutu.be/OTeARiwd-JU

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Ejemplos

Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y = 2x y y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de

puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos mediante una línea

recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla.

1. y = 2x Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2, -4) Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1 , 2)

X y = 2x

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

Manos a la obra

http://4.bp.blogspot.com/-7gd0NG6Pgu8/Tb1p12BlLLI/AAAAAAAAAA8/3z8PUDYtFqI/s1600/Funcion+02+a.jpg

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2. y= - 3x + 4

Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = - 1, y = -3 (-1 )+ 4 = 7 quedando la pareja (-1 , 7) Para x = 2, y = -3 (2) + 4 = -2 quedando la pareja (2 , -2)

X y = - 3x + 4

-1 7

0 4

1 1

2 -2

3 -5





Repaso y practico

http://3.bp.blogspot.com/-0tPtdFyGE3M/Tb1p2fUEhDI/AAAAAAAAABA/FE3-po_wvdg/s1600/Funcion+02+b.jpg

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Recuerda:






o ¿Logra comprender la variación lineal?

o ¿Logro comprender el análisis tabular y grafico de ecuaciones lineales?

o ¿Tiene dificultad para graficar funciones lineales?

Lo que aprendí

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RAZÓN DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN

Para una función que depende de una variable, la razón de cambio de esa función se obtiene

al dividir la diferencia entre dos valores de la función correspondientes a dos valores de su

variable independiente y la diferencia entre esos valores de la variable. Los valores de la

variable no necesariamente son consecutivos.

Una función matemática es la igualdad que relaciona una variable independiente con una

dependiente de ella.

En una función de circo el encargado de la taquilla registra en una tabla cuantas personas

asistieron para poder llevar un control de cuánto ganan por día.

¿Qué cantidad de dinero recauda el circo con 36, 54 y 80 asistentes?

Podrás observar que, entre el número de asistentes y el dinero recaudado, existe una

relación que representa una variación lineal, siempre y cuando el costo del boleto sea el

mismo.

En este caso, la variable dependiente, que generalmente se representa con la letra y, es el

dinero recaudado, ya que depende totalmente del número de asistentes, de tal forma que la

variable independiente es el número de asistentes al circo, la cual representamos con la letra

“x” y la variable dependiente también se puede expresar como “f(x)”, lo que representa una

función matemática.

Y = f (x)

Número de asistentes (x)

15 20 36 54 80

Qué vamos a aprender: Que los alumnos comparen diversos tipos de variación lineal; y determinen la

razón de cambio de un proceso o fenómeno modelado con una función lineal.

Asimismo, que construyan la gráfica de una situación de variación lineal y

analicen la relación entre la inclinación de la recta y la razón de cambio.


Te explico

1 SEMANA DEL 11 AL 15 DE ENERO 2020

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Dinero recaudad F(x)

$120 $160 ? ? ?

Para poder conocer cuanto pago cada persona para asistir a la función, es necesario encontrar la razón de cambio:

Razón de cambio: a = 𝑦

𝑥 =

120

15 = 8 Variación lineal

Entonces, si asisten 36 personas a ver el espectáculo circense, basta con multiplicar $8 por las 36 personas.

36 x 8 = 288

La razón de cambio, 8, significa que se pagan $8 pesos por cada persona que asiste al circo. Entonces, si asisten 54 personas a ver el espectáculo, basta con multiplicar 54 por 8.

54 x 8 = 432

Para 80 asistentes, el dinero que se recaudaría es de $640 y se calculó a través de la razón de cambio y/x que, en este caso, es igual a $8 por cada asistente. Así que es posible expresar f(x) = 8x

Donde 8 es la razón de cambio que significa el costo de la entrada en pesos por cada persona que asiste al circo. Esta relación f(x) = 8x, o bien y = 8x, es una relación proporcional.

Rubén trabaja en una tienda departamental, el recibe un salario base de $1000 y una comisión de $150 por cada electrodoméstico que vende.

Electrodomésticos 0 5 10 15

Salario 1000

Cuando aparece un número que suma o resta en una expresión algebraica, éste generalmente se expresa con la letra “b”, entonces la relación ya no es proporcional, ya que siempre existirá una cantidad fija, aun cuando la variable independiente tenga el valor de 0. Comisión = 150 a = y/x y = 150 x 5 = 750(comisión de Rubén por número de productos vendidos)

a = 5 (número de electrodomésticos vendidos)

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a = 750

5 =150

Razón de cambio = 150 Planteamos la expresión algebraica y = ax + b y = 150 x + 1000 Calculemos el salario que recibirá Rubén por la venta de 5 electrodomésticos. Cómo “y” = 150x + 1000. Dónde” x” representa el número de electrodomésticos vendidos, y la variable “y” representa el salario obtenido.

Sustituimos “x” por el número de electrodomésticos vendidos para obtener el salario correspondiente; queda:

y = 150(5) + 1000, al multiplicar 150 x 5= 750 podemos expresar:

y = 750 + 1000, lo que resulta 1750, que en el ejemplo representa $1750 es decir, el salario de Rubén por vender 5 electrodomésticos.

Para completar la tabla del ejemplo, calculemos el salario que recibirá Rubén por la venta de 10 electrodomésticos.

Como y = 150 x + 1000. Donde “x” representa el número de electrodomésticos vendidos, y la variable y representa el salario obtenido.

Sustituimos x por el número de electrodomésticos vendidos para obtener el salario correspondiente; queda:

y = 150(10) + 1000, al multiplicar 150 x 10 = 1500 podemos expresar: y = 1500 + 1000, lo que resulta en 2500 que en el ejemplo representa $2500 es decir, el salario de Rubén por vender 10 electrodomésticos.

¿Puedes plantearte encontrar el salario de Rubén si vende 15, 35, 40, 50 o más electrodomésticos?


https://youtu.be/M9UeJ7N-Ghs https://youtu.be/e8J1QiUIp4k

Para aprender más

https://youtu.be/M9UeJ7N-Ghs

https://youtu.be/e8J1QiUIp4k

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Identifica si en el siguiente ejemplo se tiene una relación de variación lineal proporcional o no proporcional a partir de su expresión algebraica. El cobro de boletos de una obra de teatro virtual está dado por la siguiente función:

y = 120x + 50

Donde 120 representa el costo del boleto por enlace virtual activo y 50 representa la cuota que cobra el teatro bajo el concepto de gastos de operación electrónica. ¿Es una relación proporcional o no proporcional?

Probablemente hayas notado que, si no existiera la cuota que cobra el teatro bajo el concepto de gastos de operación electrónica, la relación de variación lineal sería proporcional, dado que se ajustaría a la forma:

y = ax

Donde “a” es la razón de cambio, “x” la variable independiente y “y” la variable dependiente.

Sin embargo, al existir esa cuota, la forma a la que se ajusta es:

y = ax + b

Donde “a” vale 120, que representa el costo del boleto por enlace virtual activo; y “b” vale 50, que representa la cuota que cobra el teatro bajo el concepto de gastos de operación electrónica. Por otro lado, “x” representa la variable independiente que, en este caso, es el número de boletos comprados para el evento virtual; y finalmente “y” representa la variable dependiente que, en este caso, es el costo total de los boletos vendidos más la cuota que cobra el teatro bajo el concepto de gastos de operación electrónica.

Hasta ahora has observado relaciones de variación lineal ascendentes, lo que implica que, si la variable independiente aumenta, entonces la variable dependiente también lo hace. Sin embargo, existen relaciones de variación lineal descendentes.

Una variación lineal descendente implica que, si la variable independiente aumenta, la variable dependiente disminuye. Por ejemplo: si una barda se construye en 10 días, con 3 personas trabajando en la construcción, es posible pensar que, con la misma organización y carga de trabajo para cada persona, si en

Manos a la obra

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lugar de trabajar 3 personas, lo hacen 6, la barda quedará construida en sólo 5 días.

Vas a revisar otra situación, muy común de la vida cotidiana, que ejemplifica esta forma de variación lineal.

Si contratas un paquete de datos de Internet, a medida que pasa el tiempo y los usas, te vas quedando con menos datos disponibles hasta llegar a un momento en que ya no podrás conectarte a Internet.

Por ejemplo, si contratas un paquete de 500 Mb y tienes un flujo de datos promedio de 120 Mb, a la semana, ¿cómo es la relación del tiempo de uso con los datos que tienes disponibles?

Es una relación de variación lineal descendente, pues inicias con 500 Mb, al transcurrir la primera semana, te quedarán 380 Mb, transcurrida la segunda semana, te quedarán 260 Mb, etcétera.

¿Cuándo te acabarás tus datos?

Como notaste, en los ejemplos que has trabajado durante la sesión, las relaciones de variación se pueden expresar utilizando expresiones algebraicas.





Recuerda:





Repaso y practico

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o ¿Logró comprender que es la razón de cambio?

o ¿Logró comprender cuál es la diferencia entre una variación proporcional y una variación no proporcional?

o ¿Logró graficar una situación de variación lineal sin dificultad?

Lo que aprendí

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Pendiente de una recta

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Se denota con la letra m. Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

Qué vamos a aprender: Que los alumnos construyan la gráfica de una situación de variación

lineal y analicen la relación entre la inclinación de la recta y la razón de

cambio.


Te explico

1 SEMANA

DEL 18 AL 22 DE ENERO 2020

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Nos encontramos con muchos ejemplos de pendiente en la vida cotidiana. Por ejemplo, una pendiente se encuentra en la inclinación de un techo, de una carretera, o bien de una escalera apoyada en una pared. En matemática usamos la palabra pendiente para definir, de forma particular, el grado de inclinación de algo.

Pendiente = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑚𝑡𝑒

Esto es a menudo formulado de otra manera para que sea más fácil de recordar:

Pendiente = 𝐸𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝐴𝑣𝑎𝑛𝑐𝑒

Esencialmente, la pendiente es el cambio en y si x se incrementa en 1.

En la figura siguiente, la pendiente sería la razón de la altura de la colina (su elevación) a la longitud horizontal de la colina (el avance).

Pendiente = 3

4 = 0.75

Si el automóvil fuese conducido hacia la derecha, entonces subiría por la colina. Decimos que esta es una pendiente positiva. Cada vez que observes la gráfica de una línea recta que se eleva a medida que te mueves hacia la derecha, entonces la pendiente de dicha línea será positiva.

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Si el carro continuase su marcha luego de alcanzar la cima de la colina, comenzaría a descender. Cuando el carro avanza hacia la derecha y desciende, entonces decimos que la pendiente es negativa. La figura mencionada anteriormente tiene una pendiente negativa igual a - 0.75.

¡Por favor, evita confusiones! Si el carro retornara y fuese conducido hacia abajo sobre la primera pendiente (la que está a la izquierda de la cima), aun así la pendiente sería clasificada como positiva. Esto es así porque la elevación sería igual a -3, pero el avance sería igual a -4 (recuerda que si te mueves de derecha a

izquierda sobre el eje x, entonces te estás moviendo en la dirección negativa de x).

La razón de cambio al movernos hacia la izquierda es: Pendiente = − 3 – 4 = 0.75 Un numero negativo dividido entre otro negativo da por resultado un numero positivo.

Así cuando nos movemos de izquierda a derecha, para las pendientes positivas se incrementa nuestra elevación, mientras que para la negativas disminuye nuestra elevación.

Determinación de una Pendiente Positiva

Hemos visto que una función lineal con pendiente positiva se incrementa en y a medida que x se incrementa. Una manera simple de encontrar un valor para la pendiente es dibujar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea paralela a la línea recta (la cual representa gráficamente a la función lineal). Entonces la pendiente se encuentra fácilmente a partir de las medidas de los lados del triángulo rectángulo que corresponden a la elevación (la dimensión vertical) y al avance (la dimensión horizontal). Ejemplo 1

Encuentra las pendientes para las tres gráficas mostradas anteriormente.

Existen triángulos rectángulos previamente dibujados para cada una de las líneas rectas. En la práctica, tú tendrías que dibujarlos por ti mismo. Observa que es más fácil dibujar triángulos cuyos vértices sean puntos de cuadrícula (es decir, que todas sus coordenadas sean números enteros).

Pendiente = − 3

− 4 = 0.75 Un número negativo dividido entre otro negativo da

por resultado un número positivo

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a. La elevación mostrada en este triángulo es igual a 4 unidades, el avance es igual a 2 unidades.

Pendiente = 4

2 = 2

b. La elevación en este triángulo es de 4 unidades, el avance es también de 4 unidades.

Pendiente = 2

4 =

1

2

Ejemplo 2

Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos (1, 2) y (4, 7)

Nosotros ya sabemos cómo graficar una línea recta cuando conocemos dos puntos del Plano Coordenado. Simplemente graficamos los puntos y los unimos con la recta. Observa la gráfica mostrada anteriormente.

Dado que conocemos las coordenadas para los vértices de nuestro triángulo rectángulo, fácilmente podemos concluir que la elevación es 5 y que el avance es 3 (ver el diagrama). He aquí el valor de nuestra pendiente.

Pendiente = 7 − 2

4 − 1 =

5

3

Si observas cuidadosamente los cálculos realizados para determinar la pendiente, notarás que las cantidades 7 y 2 son las coordenadas en y de los dos puntos graficados. Similarmente, las cantidades 4 y 1 son las coordenadas en x de dichos puntos. Esto nos sugiere un patrón que podemos seguir para conseguir una fórmula general para la pendiente que existe entre dos puntos (x1, y1) y (x2,y2).

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Pendiente entre (x1, y1) y (x2, y2) = y2 − y1

x2 − x1 ó m =

△y

△x

En la segunda ecuación, la letra m denota la pendiente (tú verás dicha notación

muy frecuentemente en este capítulo) y la letra griega delta (Δ) representa cambio.

Así, otra forma de definir la pendiente es cambio en y dividido entre cambio en x.

En la siguiente sección tú verás que no interesa cuál punto escojas como punto 1 y cuál como punto 2.

Determinación de una Pendiente Negativa

Cualquier función con una pendiente negativa es sencillamente aquella que

decrece a medida que incrementamos x. Si asumimos que dicha función es

análoga a la inclinación de una carretera, entonces una pendiente negativa corresponde a una carretera que va cuesta abajo a medida que tú conduces tu automóvil hacia la derecha. Ejemplo 3

Encuentra las pendientes de las líneas rectas mostradas en la gráfica siguiente.

Observa las rectas. Ambas caen (o decrecen) a medida que nos movemos de izquierda a derecha. Por lo tanto, ambas poseen una pendiente negativa.

Ninguna de dichas líneas pasa a través de muchos puntos de la cuadrícula. Sin embargo, observando cuidadosamente, podrás ver unos cuantos puntos que tienen coordenadas enteras. Como puede verse en la figura anterior, estos puntos

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han sido identificados convenientemente (con círculos alrededor de los mismos y los utilizaremos para determinar las pendientes de las líneas respectivas. Además, haremos dos veces nuestros cálculos, para mostrar que obtenemos la misma pendiente, sin importar cuál es nuestro punto 1 y cuál nuestro punto 2.

Para la línea recta A:

(x1, y1) = (−6, 3) (x2, y2) = (5, −1)

m = y𝟐 − y𝟏

x𝟐 − x𝟏 =

(−𝟏) − (𝟑)

(𝟓)− (−𝟔) =

−𝟒

𝟏𝟏 ≈ − 0.364

(x1, y1) = (5, −1) (x2, y2) = (−6 ,3)

m = y𝟐 − y𝟏

x𝟐 − x𝟏 =

(𝟑) − (−𝟏)

(−𝟔) − (−𝟓) =

− 4

11 ≈ −0.364

Para la línea recta B:

(x1, y1) = (- 4, 6) (x2, y2) = (4, -5)

m = y𝟐 − y𝟏

x𝟐 − x𝟏 =

(−𝟓) − (6)

(4) − (−4) =

−11

8 = - 1.375

(x1, y1) = (4, −5) (x2, y2) = (−4, 6)

m = y𝟐 − y𝟏

x𝟐 − x𝟏 =

(𝟔) − (−𝟓)

(−𝟒) − (𝟒) =

11

−8=−1.375

Como puedes ver, sin importar el orden en que selecciones los puntos, ¡Las respuestas son siempre las mismas!

Solución

La línea recta A tiene una pendiente igual a - 0.364. La línea recta B tiene una

pendiente igual a -1.375.

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Determinación de Razones de Cambio

La pendiente de una función que describe cantidades reales y medibles es, a menudo, llamada razón de cambio. En este caso, la pendiente se refiere al cambio

de una cantidad (y) por unidad de cambio de otra cantidad (x). Ejemplo 5

Andrea tiene un empleo de medio tiempo en la tienda local. Ella está ahorrando para sus vacaciones a razón de $15 por semana. Expresa esta razón de cambio como dinero ahorrado por día y dinero ahorrado por año.

La conversión de razones de cambio es usualmente sencilla siempre que recuerdes las correspondientes ecuaciones de pendiente y los factores de conversión apropiados. En este caso los factores de conversión que se necesitan son: 1 semana = 7 días y 52 semanas = 1 año.

Razón de cambio = $15

1 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 x

1 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎

7 𝑑𝑖𝑎𝑠 =

$15

7 𝑑𝑖𝑎𝑠 =

15

7 dólares por día ≈ $2.12 por

día

Razón de cambio: $15

1 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 =

52 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

1 𝑎ñ𝑜 = $15 x

52

𝑎ñ𝑜 = $780 por año.


https://youtu.be/ULxjPNTiAZ8 https://youtu.be/44z-uD5IR-0

Para aprender más

https://youtu.be/ULxjPNTiAZ8

https://youtu.be/44z-uD5IR-0

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Ejemplo 6

Una vela (o candela) tiene una longitud inicial de 10 pulgadas. 30 minutos después de haber sido encendida, su longitud es de 7 pulgadas. Determine la razón de cambio de su longitud a medida que se derrite. Determina el tiempo que le toma a la vela derretirse totalmente, hasta desaparecer.

En este caso, graficaremos la función para visualizar lo que está pasando.

Tenemos dos puntos para iniciar nuestro trabajo. Sabemos que en el instante de encenderse por primera vez (tiempo = 0) y que su longitud es de 10 pulgadas. Después de 30 minutos, (tiempo = 30), su longitud es de 7 pulgadas. Dado que la longitud de la vela es una función del tiempo, el eje horizontal corresponderá a esta última variable, el eje vertical corresponderá a la longitud de la vela. He aquí una gráfica que muestra toda esta información.

Longitud de la vela respecto al tiempo que se mantiene encendida

La razón de cambio de la longitud de la vela es simplemente la pendiente observada en la

gráfica. Dado que tenemos los dos puntos (x1, y1) = (0, 10) y (x2, y2) = (30, 7) podemos utilizar fácil y directamente la fórmula.

Razón de cambio = y2 − y1

x2 − x 1 =

(7 pulgadas) − (10 pulgadas)

(30 minutos) − (0 minutos) =

−3 pulgadas

30 minutos = − 0.1 pulgadas

por minuto

Manos a la obra

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2DO. TRIMESTRE

1º S

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AR

IA Razón de cambio =

−0.1 pulgadas

1 minutos x

60 minutos

1 hora =

− 6 pulgadas

1 hora = − 6 pulgadas por hora

Par encontrar el tiempo para el cual la vela tiene longitud cero, simplemente lo leemos de la gráfica (100 minutos). Podemos usar la ecuación de la razón de cambio para verificar este resultado algebraicamente.

Longitud derretida = razón de cambio × tiempo 0.1 x 100 = 10

Dado que la longitud original de la vela fue originalmente de 10 pulgadas, este resultado confirma que 100 minutos es la cantidad de tiempo correcta.





Recuerda:






o ¿Logra comprender que es la pendiente de una recta?

o ¿Utiliza la fórmula de la pendiente de manera correcta?

o ¿Tiene dificultad para resolver ejercicios y problemas de pendiente y razón de cambio?

Repaso y practico

Lo que aprendí

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8.- Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es una progresión de números dispuestos uno a continuación de otro. Una progresión aritmética es una sucesión de números tales, que cada uno de ellos es igual al anterior más un número fijo.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión

finita.

Ejemplos

{1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

Qué vamos a aprender: Formular en lenguaje común expresiones generales que definen las reglas

de sucesiones de figuras y números con progresión aritmética.


Te explico

1 SEMANA

DEL 25 AL 29 DE ENERO 2020

http://www.vitutor.com/al/sucesiones/res.html

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{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión

infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este

caso un orden alternativo)

Regla: xn = an + b

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

10º término,

100º término, o

n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene

el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la

regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n Término Prueba

1 3 2n = 2×1 = 2

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2 5 2n = 2×2 = 4

3 7 2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo

que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n + 1

n Término Regla

1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n + 1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término

Es normal usar xn para los términos:

xn es el término

n es la posición de ese término

Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que

escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

xn = 2n + 1

Para determinar el valor de un término se usa la fórmula: xn = an + b

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¿Cuál es la regla general para la sucesión: 5, 7, 9, 11, 13, 15, …?

La diferencia entre términos es 2, por lo tanto, a= 2. Para el primer término se tiene:

2n + b = 5

Para encontrar el valor de b se sustituye n= 1.

2 (1) + b = 5

2 + b = 5

b = 5 – 2

b = 3

La regla general para la sucesión dada es 2n + 3. Podemos comprobarla con los

demás términos.

Para el término 2, 2n + 3 = 2 (2) + 3 = 4 + 3 = 7

Para el término 3, 2n + 3 = 2 (3) + 3 = 6 + 3 = 9

Para el término 4, 2n + 3 = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Para el término 5, 2n + 3 = 2 (5) + 3 = 13

Para el término 6, 2n + 3 = 2(6) + 3 = 12 + 3 = 15


https://youtu.be/FGoSqeFI5zg https://youtu.be/WObkKBR0Q_I

Ejemplo: si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2 n + 1 = 2 (10) + 1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Para aprender más

Manos a la obra

https://youtu.be/FGoSqeFI5zg

https://youtu.be/WObkKBR0Q_I

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Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o

progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una

constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n – 2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.

La regla es xn = 5n - 2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por

un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.

La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.

La regla es xn = 4 × 2 - n

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Recuerda:






o ¿Logró aprender que es una sucesión?

o ¿Puede distinguir entre la sucesión aritmética y la sucesión geométrica?

o ¿Le resulta complicado encontrar la regla general de una sucesión?

Repaso y practico

Lo que aprendí

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9.- Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.

Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras, etc.) que responden a una regla de diseño o construcción. A los elementos de la sucesión se les llaman términos. Las sucesiones se construyen siguiendo una regla.

El día de hoy verás sucesiones de figuras, donde hay una regularidad, características o patrón de construcción de la sucesión que permite determinar todas las figuras que forman parte de la progresión; empezando por la que ocupa el primer lugar de la sucesión, luego la que ocupa el segundo, luego la que ocupa el tercero y así sucesivamente.

Se llama figura 1 o primer término a la que ocupa el primer lugar en la sucesión, figura 2 o segundo término a la que ocupa el segundo lugar, figura 3 o tercer término a la que ocupa el tercer lugar y así sucesivamente.

Observa el siguiente ejemplo con figuras construidas a partir de un cuadrado.

Analiza cómo se construyeron los términos de la sucesión, los cuales por cierto utilizan los números ordinales: 1°, 2°, 3°, 4°, 5°, 6°, etc., para indicar precisamente el lugar que ocupan en la serie:

El primer término, que representa la figura 1; está compuesto por un cuadrado; el segundo término, que representa la figura 2, está compuesto por 2 cuadrados; el tercer término, que es la figura 3; está compuesto por 3 cuadrados; el cuarto

Qué vamos a aprender: Formular en lenguaje común expresiones generales que definen las

reglas de sucesiones de figuras y números con progresión aritmética.

Materiales: Libro, libreta y lápiz, borrador.

Te explico

1 SEMANA

DEL 2 AL 5 DE FEBRERO 2020

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término que representa la figura 4, está compuesto por 4 cuadrados y el 5° y último término que lo representa la figura 5, está compuesto por 5 cuadrados.

Como puedes observar en la imagen, a cada término se le van agregando más cuadrados de manera que la figura incremente el número de ellos, y esta cantidad se obtiene al ir sumando una cantidad que puede ser en algunos casos constante, o sea la misma, al término anterior o figura anterior. En este caso, se agrega un cuadrado a cada término.

Esto se puede representar también numéricamente como una serie de números:

Seguramente ya observaste lo que se tiene que hacer para dibujar la sexta figura: debes aumentar en uno el número de cuadrados con relación a lo que se aumentó en la figura anterior.

Así que, ¿cuántos cuadrados se deben dibujar al quinto término, para obtener el sexto? La respuesta es: uno más

«Cada nueva figura o término se obtiene sumando 1 cuadro

al terminar el anterior»

Es muy importante que además de identificar la regla de construcción, tengas muy claro la posición en la que debes agregar las nuevas figuras que formarán el término que vas crear; de manera que, considerando lo anterior se puede complementar la redacción de la regla de construcción o diseño, de la siguiente manera:

Regla de regularidad:

Seguramente ya tienes una redacción propia para esta regla. La progresión quedaría dibujada correctamente hasta el séptimo término de la siguiente manera:

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Regla:

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Entonces podemos escribir la regla para {1,2, 3, 4 5, 6, 7, ...} en forma de ecuación.


¿Cuál es la regla general para la sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …?


xn = 1n

Como en este caso obtenemos el número de la progresión no se busca el valor de

b, ya que b = 0.

La regla general para la sucesión dada es 1n. Podemos comprobarla con los demás

términos.

Para el término 2, 1n = 1(2) = 2





Entonces queda comprobada que 1n es la regla de la sucesión.

2. Analiza la siguiente sucesión, encuentra la regla de regularidad y la regla general de la sucesión para encontrar los términos 10, 25 y 40:

En la siguiente sucesión ¿Cuál será su regularidad?

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Seguramente contar muchos cuadrados te confunde un poco, qué tal si elaboras algún registro que te ayude a tener presente la información que vas encontrando, por ejemplo, al contar los cuadrados anotas cuantos tiene cada figura, de la siguiente forma:

Analiza: la figura 1 tiene 5 cuadrados, la figura 2 tiene 9 cuadrados, la figura 3 tiene 13 cuadrados y la figura 4 tiene 17 cuadrados. Por lo que la regla de construcción, regularidad o patrón de diseño, puede tener la siguiente redacción:


Regla general:


¿Cuál es la regla general para la sucesión: 5, 9, 13, 17, …?

9 – 5 = 4 13 – 9 = 4 17 – 13 = 4


4n + b = 5


4 (1) + b = 5

4 + b = 5

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b = 5 – 4

b = 1


demás términos.

Para el término 2, 4n + 1 = 4 (2) + 1 = 8 + 1 = 9

Para el término 3, 4n + 1 = 4 (3) + 1 = 12+ 1 = 13

Para el término 4, 4n + 1 = 4(4) + 1 = 16 + 1 = 17

Para el término 10, 4n + 1 = 4 (10) + 1 = 40 + 1 = 41

Para el término 25, 4n + 1 = 4 (25) + 1 = 100 + 1 = 101

Para el término 40, 4n + 1 = 4 (40) + 1 = 160 + 1 =161

Entonces queda comprobada que 4n + 1 es la regla de la sucesión.

3. Analiza la siguiente sucesión, encuentra la regla de regularidad y la regla general de la sucesión para encontrar los términos 8, 14 y 30:

Al examinar las figuras, puedes observar que: la figura 1, tiene 4 círculos; la figura 2 tiene 7 círculos; la figura 3 tiene 10 círculos; la figura 4 tiene 13 círculos y la figura 5 tiene 16 círculos. Por lo que la regularidad o patrón de diseño, puede expresarse de la siguiente manera:


A cada término se le agregan tres círculos y dos de estos se colocarán para completar filas de tres quedando uno en la primer columna siempre.

Regla general:


¿Cuál es la regla general para la sucesión: 4, 7, 10, 13, 16 …?

7 – 4 = 3 10 – 7 = 3 13 – 10 = 3 16 – 13 = 3

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La diferencia entre términos es 3, por lo tanto, a = 3. Para el primer término se

tiene:

3n + b = 4


3(1) + b = 4

3 + b = 4

b = 4 – 3

b = 1


demás términos.

Para el término 2, 3n + 1 = 3 (2) + 1 = 6 + 1 = 7

Para el término 3, 3n + 1 = 3 (3) + 1 = 9 + 1 = 10

Para el término 4, 3n + 1 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13

Para el término 5, 3n + 1 = 3 (5) + 1 = 15 + 1 = 16

Para el término 8, 3n + 1 = 3 (8) + 1 = 24 + 1 = 25

Para el término 14 3n + 1 = 3 (14) + 1 = 42 + 1 =43

Para el término 30 3n + 1 = 3 (30) + 1 = 90 + 1 = 91



https://youtu.be/SPJwfXwwaOg https://youtu.be/wO7B9HyIXhI

Para aprender más

Manos a la obra

https://youtu.be/SPJwfXwwaOg

https://youtu.be/wO7B9HyIXhI

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Reflexiona sobre la siguiente situación, encuentra la regla de regularidad y la regla general de la sucesión para encontrar los términos 12, 23 y 50:

¿Qué pasa si en una sucesión faltaran una o varias figuras? ¿Cómo puedes saber cuántos elementos las integran?

Para responder a estas preguntas, analiza el siguiente ejemplo:

Como has hecho en los ejemplos anteriores, primero identifica la regularidad o el patrón de crecimiento: en la figura 1 hay un cuadrado, la figura 2 tiene 3 cuadrados, es decir dos más que la anterior; la figura 3, tiene 5 cuadrados, también dos más que la anterior. Entonces por lo que concluimos que la regularidad de diseño o construcción es:


La figura 5, como puedes ver, tiene 9 cuadrados, entonces ¿Cuántos cuadrados tendrán las figuras 6 y 7?

Si la figura 5, tiene 9 cuadrados y le sumo 2, la figura 6 tendrá 11 cuadrados, y si a la figura 6 le sumo dos más, la figura 7 tendrá 13 cuadrados.

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Regla general:


¿Cuál es la regla general para la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, …?

3 – 1 = 2 5 – 3 = 2 7 – 5 = 2 9 – 7 = 2


tiene:

2n + b = 1


2(1) + b = 1

2 + b = 1

b = 1 - 2

b = - 1

La regla general para la sucesión dada es 2n - 1. Podemos comprobarla con los

demás términos.

Para el término 2, 2n - 1 = 2 (2) -1 = 4 - 1 = 3

Para el término 3, 2n - 1 = 2 (3) - 1 = 6 - 1 = 5

Para el término 4, 2n - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7

Para el término 5, 2n - 1 = 2 (5) - 1 =10 - 1 = 9

Para el término 12, 2n - 1 = 2 (12) - 1 = 24 - 1 = 23

Para el término 23, 2n - 1 = 2 (23) - 1 = 46 - 1 = 45

Para el término 50, 2n - 1 = 2 (50) - 1 = 100 - 1 = 99


‒ Dada la siguiente sucesion de figuras, determina la regla de regularidad y la regla general y encuentra los términos 20, 45 y 60.

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Regla general:


¿Cuál es la regla general para la sucesión: 1, 4, 7, 10, 13, …?

4 – 1 = 3 7 – 4 = 3 10 – 7 = 3 13 – 10 = 3


tiene:

3n + b = 1


3(1) + b = 1

3+ b = 1

b = 1 - 3

b = - 2

La regla general para la sucesión dada es 2n - 1. Podemos comprobarla con los

demás términos.

Para el término 2, 3n - 2 = 3 (2) - 2 = 6 - 2 = 4

Para el término 3, 3n - 2 = 3 (3) - 2 = 9 - 2 = 7

Para el término 4, 3n - 2 = 3 (4) - 2 = 12 - 2 = 10

Para el término 5, 3n - 2 = 3 (5) - 2 =15 - 2 = 13

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Para el término 20, 3n - 2 = 3 (20) - 2 = 60 - 2 = 58

Para el término 45, 3n - 2 = 3 (45) - 2 = 135 - 2 = 133

Para el término 60, 3n - 2 = 3 (60) - 2 = 180 - 2 = 178

Entonces queda comprobada que 3n - 2 es la regla de la sucesión.





Recuerda:






o ¿Tiene dificultad para plantear la regla de regularidad?

o ¿Logró comprender la obtención de la regla general?

o ¿Tiene dificultad para encontrar el término n de una sucesión?

Repaso y practico

Lo que aprendí

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10.- Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando formulas.

¿Qué es el perímetro?

Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese

contorno.

En otras palabras, en una figura, el perímetro es la suma de todos sus lados. De esta

manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que

resulta de gran utilidad.

El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de todos sus lados.

Qué vamos a aprender: Que el alumno desarrolle fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al perí metro de polí gonos y del cí rculo.


Te explico

1 SEMANA


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Para calcular el perímetro de una superficie, es necesario conocer la

longitud de todos sus lados. Por ejemplo: un triángulo cuyos lados miden

3 centímetros, 8 centímetros y 9 centímetros, tiene un perímetro de 20

centímetros.

También hay que subrayar que, de igual modo, se puede calcular el

perímetro de un círculo que es una circunferencia.

Calcular perímetros de cuadrados

La característica especial del cuadrado es que tiene sus cuatro lados iguales. Podemos aprovechar esto para simplificar nuestros cálculos.

Puedes calcular el perímetro de este cuadrado sumando la longitud de cada uno de sus cuatro lados.

Perímetro = 6cm + 6cm + 6cm + 6cm = 24cm

Como los cuatro lados son iguales al multiplicar por cuatro la longitud del lado obtienes el mismo resultado.

Perímetro = 4 x 6cm = 24cm

Así, descubres una regla que te sirve para cualquier cuadrado.

Perímetro del cuadrado = 4 x longitud lado

P = 4 x l

Calcular perímetros de rectángulos

En todos los rectángulos los lados opuestos son iguales, tiene lados que son iguales dos a dos.

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Para calcular el perímetro del rectángulo del ejemplo puedes sumar la longitud de sus lados, dos de 6cm y dos de 4cm.

Perímetro = 6cm + 4cm + 6cm + 4cm = 20cm

Cualquier rectángulo tiene repetidos 2 veces los dos lados. Así que, al multiplicar por dos la suma de las longitudes de la base y la altura llegamos al mismo resultado.

Perímetro = 2x (6cm + 4cm) = 20cm

Entonces, tienes una regla para cualquier rectángulo.

Perímetro del rectángulo = 2 x (base + altura)

Calcular perímetros de triángulos equiláteros

Igual que en los cuadrados, los lados de los triángulos equiláteros son iguales. Todos miden lo mismo.

Cada lado mide 7cm y puedes calcular la longitud de su contorno de la siguiente manera.

Perímetro = 7cm + 7cm + 7cm = 21cm

O de una manera más fácil. Como los tres lados son iguales puedes multiplicar por tres la longitud del lado y el resultado no cambia.


Y esto sirve para cualquier triángulo equilátero.

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Perímetro del triángulo equilátero = 3 x longitud lado

Cálculo de perímetros de rombos

El rombo tiene sus cuatro lados iguales. Pero no todos sus ángulos son iguales, sólo los ángulos opuestos son iguales entre sí .

Como los cuatro lados son iguales podemos multiplicar por cuatro la longitud del lado para obtener la medida del perímetro.


Esta regla es la misma que la de los cuadrados, porque también tienen sus cuatro lados iguales.

Perímetro del rombo = 4 x longitud lado

P = 4 x l

Cálculo de perímetros de triángulos isósceles

En los triángulos isósceles dos de sus lados son iguales y uno diferente.

Para recordar los tipos de triángulos puedes visitar este post.

Como tiene dos lados iguales y uno diferente, para calcular el perímetro sólo tenemos que multiplicar por 2 la longitud del lado que se repite y sumarle la del lado diferente.

Perímetro = 5cm x 2 + 6cm = 16cm

Así, para cualquier triángulo isósceles:

https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/figuras-geometricas-triangulo/

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Perímetro triángulo isósceles = longitud lado repetido x 2 + longitud lado diferente

Cálculo de perímetros de trapecio isósceles

Los trapecios isósceles tienen una forma especial. Tienen dos lados oblicuos iguales y otros dos lados paralelos diferentes, la base mayor y la base menor.

En este caso, hay que multiplicar la longitud de uno de los lados oblicuos por dos y sumarle las longitudes de las dos bases.

Perímetro = 5cm x 2 + 12cm + 6cm = 28cm

Entonces, para calcular el perímetro de cualquier trapecio isósceles:

Perímetro del trapecio isósceles = longitud lado oblicuo x 2 + longitud base mayor + longitud base menor

Cálculo de perímetros de polígonos escalonados

Los polígonos escalonados tienen una característica muy peculiar. La suma de las longitudes de los lados que son paralelos a la base mide lo mismo que la longitud de la base. Y lo mismo ocurre con la suma de las longitudes de los lados paralelos a la altura, que mide lo mismo que la longitud de la altura.

Así que para calcular el perímetro de cualquier polígono escalonado podemos utilizar la misma fórmula que para el rectángulo, porque podemos tratar la suma de las longitudes de los lados horizontales y de los verticales como si fueran igual a la longitud de la base y de la altura. Es como si tuviéramos repetidas las longitudes de la base y la altura.

Perímetro = 2x (6cm + 8cm) = 28cm

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Esta regla sirve para cualquier polígono escalonado de este tipo:

Perímetro del polígono escalonado = 2 x (base + altura)

Calcular perímetros de cualquier polígono regular

El rasgo que define a los polígonos regulares es que todos sus lados tienen la misma longitud.

Como el pentágono tiene cinco lados iguales, para hallar su perímetro se multiplica por cinco la longitud del lado.

Perímetro del pentágono = 5 x longitud lado. P = 5 x l

Y en el hexágono, que tiene seis lados iguales, multiplicas por seis la longitud de lado.

Perímetro del hexágono = 6 x longitud lado. P= 6 x l

De estos ejemplos podemos extraer una regla para calcular, de una manera sencilla, el perímetro de cualquier polígono regular.

Multiplicar el número de lados del polígono por la longitud del lado.

Perímetro de un polígono regular = nº lados x longitud lado. P = n x l

Cómo calcular el perímetro de un círculo

Para calcular el perímetro de un círculo, lo primero que tienes que saber es que el perímetro de un círculo es igual a la longitud de su circunferencia.

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Para calcular la longitud de una circunferencia tienes que multiplicar el diámetro de ésta por el número Pi:

Perímetro de un círculo es igual a PI por el diámetro (d):

Perímetro de un círculo = π x D.

También puedes multiplicar dos por PI por el radio (r):

Perímetro de un círculo = 2.π x r, esto es porque el diámetro es el doble que el radio. Siempre.

Las fórmulas que acabamos de ver utilizan el número PI, cuyo símbolo es π, y vienen de que este número representa el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (d), π=Perímetro del círculo/d. Tiene infinitos

decimales, pero en la etapa escolar se suele aproximar a las centésimas: π ≃ 3,14.


https://youtu.be/OTT85KMdBD8 https://youtu.be/GUAA75tXiko https://youtu.be/4MYS2vFkO

Para aprender más

Manos a la obra

https://www.smartick.es/blog/matematicas/curiosidades-matematicas/el-numero-pi/

https://youtu.be/OTT85KMdBD8

https://youtu.be/GUAA75tXiko

https://youtu.be/4MYS2vFkO

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Repaso y practico

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Recuerda:






o ¿Logró comprender que es un polígono?

o ¿Logró comprender que es el perímetro de una figara geométrica?

o ¿Tuvo dificultad para desarrollar las fórmulas de perímetro de figuras?

Lo que aprendí

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11.- Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando formulas.

¿Qué es el área?

El área o superficie de una figura plana se refiere a la cantidad de espacio que se encuentra delimitado dentro de una figura plana. En este caso se utilizan diversas fórmulas y procesos para poder encontrar el área de una figura plana. Dependiendo cuantos lados tenga esta y si es regular o irregular.

El área o superficie además es una magnitud de dos dimensiones es decir involucra siempre el largo y el ancho de una figura por lo que la unidad de medida que utilicemos debe ser expresada siempre al cuadrado. Ejemplo cm2, m2, Km2, etc.

Hallar el área de las siguientes figuras geométricas:

Cuadrado

Ejemplo

Calcular el área de un cuadrado de 5 cm de lado.

Qué vamos a aprender: Que el alumno desarrolle formulas o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al área de polí gonos y del cí rculo.


Te explico

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A = l x l = 5 x 5 = 25 cm²

A = l ² = 5 ² = 25 cm²

Rectángulo

Ejemplo:

Calcular el área de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

A = b x h

A = 10 x 6 = 60 cm²

Área del triángulo

Hallar el área del siguiente triángulo:

A = 𝑏 𝑥 ℎ

2

A = 11 𝑥 7

2 =

A = 77

2 = 38.5 cm²

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Rombo

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.

A = 𝐷 𝑥 𝑑

2 =

A = 30 𝑥 16

2 =

A = 480

2 = 240 cm²

Área del romboide

A = b x h

Ejemplo:

Calcular el área de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.

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AR

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A =b x h

A = 4 x 4 = 16 cm²

Área del trapecio

Ejemplo:

Calcular el área y el perímetro del siguiente trapecio:

A = (𝐵+𝑏)𝑥 ℎ

2 =

A = 14 𝑥 4

2

A = 56

2 = 28 cm²

Área de un polígono regular

n es el número de lados

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n x l significa el número de lados (n) por el valor de un lado (l) del polígono; que si recuerdas, es la fórmula para obtener el perímetro del polígono regular. Por eso la fórmula que se utiliza para obtener el área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por él apotema

Ejemplo:

Calcular el área del siguiente polígono

https://matematicasparaticharito.files.wordpress.com/2015/09/poligonosreg2-6.png

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AR

IA

P = 11 · 2 + 5 + 13 + 12 = 52 cm

AD = BC; AB = DC Romboide

A = A R + A T

A = 11 · 12 + (12 · 5): 2 = 162 cm2

Área de un círculo

El área de un círculo es la cantidad de espacio que abarca. También podemos pensarla como la cantidad total de espacio dentro del círculo. Para encontrar el área de un círculo podemos utilizar la siguiente fórmula:

Área del circulo = π × radio²

Ejemplo 1: encontrar el área, dado el radio

Encuentra el área de un círculo de radio 2cm.

El procedimiento para calcular el área de un círculo es:

A = π x r²

A = π x 2²

A= 3.14 x (2 x 2) = 3.14 x 4 = 12.56 cm²

Podemos detenernos aquí y escribir la respuesta como 4 𝝅. O bien podemos

sustituir 3.14 por π y multiplicar.

A= 3.14 x 4

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AR

IA A = 12.56 cm²

El área del círculo es 4π cm² (que es la manera correcta de escribir el área) o 12.56

cm² (que es una aproximación del área).

Ejemplo: encontrar el área, dado el diámetro

Encuentra el área de un círculo de diámetro 12 cm.

Primero encontremos el radio:

r = 𝐷

2

r = 12

2 = 6

Ahora podemos encontrar el área.

La ecuación para el área de un círculo es:

𝐴 = 𝜋 𝑥 𝑟2

A = 𝜋 x 6²

A = 𝜋 x (6 x 6)

A = 𝜋 x 36

Podemos detenernos aquí y escribir la respuesta como 36 𝝅. O bien podemos

sustituir 3.14 por π y multiplicar.

A = 3.14 x 36

A = 113.04 cm²

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AR

IA

El área del círculo es 36π cm² (que es la manera correcta de escribir el área) o

113.04 cm² (que es una aproximación del área).


https://youtu.be/TZDgCnfDrIE https://youtu.be/ybFRxtTqgA0

Para aprender más

Manos a la obra

https://youtu.be/TZDgCnfDrIE

https://youtu.be/ybFRxtTqgA0

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Recuerda:






o ¿Logró comprender que es el área de una figura geométrica?

o ¿Logró comprender que son las formulas?

o ¿Le resulto complicado obtener el área de figuras geométricas?

Repaso y practico

Lo que aprendí

1.- resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento...

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