Universidad de Cuenca

Trabajo de lgebra Lineal

Nombre: Andrea Moncayo

Ciclo: 2dociclo 2

Profesor: Ing. Hernn Pesantez

DeterminantesContenido:

1) Introduccin bibliogrfica

2) Definicin de la funcin determinante

3) Propiedades de los determinantes

4) Clculo de determinantes por propiedades

5) Frmulas para desarrollar determinantes6) Multiplicacin de determinantes7) Determinantes de orden n-simo

8) Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular9) Determinante de la matriz transpuesta

10) Aplicaciones de los determinantes: Obtencin de la inversa de una matriz11) Aplicaciones de los determinantes: Regla de Cramer12) Aplicaciones de los determinantes: obtencin de reas, volmenes y ecuaciones de rectas y planos.13) Bibliografa

1. Introduccin bibliogrficaLos determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve captulos del arte matemtico.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminacin de Gauss-Jordan.

La historia de los determinantesLos determinantes hicieron su aparicin en las matemticas ms de un siglo antes que las matrices. El trmino matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era la madre de los determinantes.

Algunos de los ms grandes matemticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayora de los historiadores coinciden en afirmar que la teora de los determinantes se origin con el matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co inventor del clculo diferencial e integral. Leibniz emple los determinantes en 1693 con relacin a los sistemas de ecuaciones lineales simultneas. No obstante hay quienes creen que el matemtico japons Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 aos antes.

Las contribuciones ms prolficas a la teora de los determinantes fueron las del matemtico francs Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribi, en 1812 una memoria de 84 pginas que contena la primera demostracin del teorema detAB=detA detB. En 1840 Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemticas. En su texto de clculo de 1829 Leons sur le calcul diffrential, dio la primera definicin razonablemente clara de lmite.

Cauchy escribi ampliamente tanto en las matemticas puras como en las aplicadas. Solo Euler escribi ms. Cauchy hizo contribuciones en varias reas, incluyendo la teora de las funciones reales y complejas, la teora de la probabilidad, geometra, teora de propagacin de las ondas y las series infinitas.

A Cauchy se le reconoce el haber establecido nuevos niveles de rigor en las publicaciones matemticas. Despus de Cauchy, fue mucho ms difcil publicar escritos basndose en la intuicin; se exigi una estricta adhesin a las demostraciones rigurosas.

El volumen de las publicaciones de Cauchy fue abrumador. Cuando la Academis Francesa de Ciencias comenz a publicar su revista Comptes Rendus en 1835, Cauchy envi su obra para que se publicara, en poco tiempo los gastos de impresin se hicieron tan grandes, solo por la obra de Cauchy, que la academia impuso un lmite de cuatro cuartillas por cada documento a ser publicado.

Hay algunos otros matemticos que merecen ser mencionados aqu. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemtico francs Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocido por la transformacin que lleva su nombre que se estudia en los cursos de matemticas aplicadas.

Un contribuyente principal de la teora de los determinantes (estando solo Cauchy antes que l) fue el matemtico alemn Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue con l con quien la palabra determinante gan la aceptacin definitiva. Lo primero en lo que Jacobi emple los determinantes fue en las funciones, al establecer la teora de las funciones de varias variables. Sylvester llam ms tarde jacobiano a ste determinante.Algunos autores de mucha importancia para los determinantes, fueron:Gottfried Wilhelm Leibniz

(Leipzig, actual Alemania, 1646-Hannover, id., 1716) Filsofo y matemtico alemn. En 1661 ingres en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos aos despus se traslad a la Universidad de Jena, donde estudi matemticas con E. Weigel. En 1672 fue enviado a Pars con la misin de disuadir a Luis XIV de su propsito de invadir Alemania; aunque fracas en la embajada, Leibniz permaneci cinco aos en Pars, donde desarroll una fecunda labor intelectual. De esta poca datan su invencin de una mquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicacin, divisin y extraccin de races cuadradas, as como la elaboracin de las bases del clculo infinitesimal.

En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien ms adelante sera consejero, adems de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofa Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de prncipes empez a declinar. Dedic sus ltimos aos a su tarea de historiador y a la redaccin de sus obras filosficas ms importantes, que se publicaron pstumamente.

James Joseph Sylvester

(Londres, 1814-Oxford, 1897) Matemtico britnico. Fue profesor en las universidades de Londres, Baltimore y Oxford. En colaboracin con su amigo A. Cayley, estableci la teora de las invariantes algebraicas y la de los determinantes. Descubri un mtodo para eliminar una incgnita entre dos ecuaciones y cre un importante vocabulario matemtico.

Isaac Newton Fue un fsico, filsofo, telogo, inventor, alquimista y matemtico ingls, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, ms conocidos como los Principia, donde describi la ley de gravitacin universal y estableci las bases de la mecnica clsica mediante las leyes que llevan su nombre. Newton comparte con Leibniz el crdito por el desarrollo del clculo integral y diferencial, que utiliz para formular sus leyes de la fsica. Tambin contribuy en otras reas de la matemtica, desarrollando el teorema del binomio y las frmulas de Newton-Cotes.

Pierre Sarrus

Matemtico francs. Profesor en la Universidad de Estrasburgo, demostr el lema fundamental del clculo de variaciones y public numerosas obras sobre la resolucin de ecuaciones de varias incgnitas. Se le debe la regla de Sarrus, para el clculo de determinantes. Destaca su obra Mtodo para hallar las condiciones de integrabilidad de una ecuacin diferencialGabriel Cramer

Matemtico suizo. Fue catedrtico de matemticas (1724-1727) y de filosofa (1750-1752) en la Universidad de Ginebra. Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya haba utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incgnitas. Edit las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz.

2. Definicin de la funcin Determinante

Toda matriz cuadrada puede asociarse con un nmero real denominado su determinante. Histricamente, el uso de los determinantes surgi de la identificacin de patrones especiales que ocurren en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo:

a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2

es:

x1= y x2=Siempre que a11.a22-a21.a12 0. Ambas fracciones tienen el mismo denominador, a11.a22-a21.a12. sta cantidad se denomina el determinante de la matriz de coeficientes A.

La funcin determinante es una notacin matemtica formada por una tabla cuadrada de nmeros, u otros elementos, entre dos lneas verticales; el valor de la expresin se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron originalmente investigados por el matemtico japons Seki Kowa alrededor de 1683 y, por separado, por el filsofo y matemtico alemn Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta notacin se utiliza en casi todas las ramas de las matemticas y en las ciencias naturales.a11a12

a21a22

El smbolo es un determinante de segundo orden, pues es una tabla con dos filas y dos columnas; su valor es, por definicin, a11a22-a12a21. Un determinante de orden n-simo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas como se muestra en la figura:

a11a12..a1n

a21a22..a2n

::..:

an1an2..ann

Si A es una matriz cuadrada (de orden mayor o igual que 2), entonces el determinante de A es la suma de los elementos en el primer rengln de A multiplicados por sus cofactores. Es decir:A

= a11c11+a12c12++a1nc1nEjemplos:68

-12-3

A=A

= 6(-3)-(8)(-12) =787+i-4

2-i11

B=

B

= (1+i)(11)-(-4)(2-i)= 3+15i

814-6

23-i-73

-4520+i

C=C

=(8)(-7)(20+i)+ (14)(3)(-4)+(23-i)(5)(-6)-(-6)(-7)(-4)-(23-i)(14) (20+i)-(8)(5)(3)= -7376-17i2640

191327

5294

D= =

D

=(2)(13)(4)+(6)(27)(5)+(19)(29)(40)-(2)(13)(4)-(19)(6)(4)-(29)(27)(2)= 2082827012

52-i0

-8-9-1

E=

E

=(2)(2-i)(-1)+(70)(0)(-8)+(5)(-9)(12)-(12)(2-i)(-8)-(5)(70)(-1)-(-9)(0)(2)= -912-94i3. Propiedades de los determinantes1.- El determinante cambia de signo si se intercambian dos filas consecutivas:

det( ... , Ak, Ak+1, ) = -det( ... , Ak+1, Ak, ).

31

94

94

31

A= B= Entonces: = -

3 =-(-3)2.- El determinante cambia de signo, si dos filas cualesquiera Ai y Aj con i =1= j se intercambian.

124

32

32

124

B= C=

Entonces: = 12= -(-12) 3. El determinante de una matriz en cero cuando:

El determinante posee dosfilas iguales:

|A|=0 Todos loselementosde una fila sonceros.

|A|=0 Los elementos de una lnea soncombinacin linealde las otras.

|A|=0 F3= F1+ F2

4.- Si multiplicamos una fila o columna por un nmero el determinante queda multiplicado por dicho nmero. (Esta propiedad sirve para poder sacar factor comn en un determinante)

(F1*1/6) = Entonces:

= (1/6)Condiciones equivalentesSi A es una matriz nxn, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

1. A es invertible.

2. AX=B tiene solucin nica para toda matriz B nx1.

3. AX=0 tiene slo la solucin trivial.

4. A es equivalente por renglones a 1n.

5. A puede expresarse como el producto de matrices elementales.

A

6. 04. Clculo de determinantes por propiedades

Calcule los siguientes determinantes aplicando las propiedades:

36-7

104

291

36-7

291

104

1) A= B= B

El determinante cambia de signo si se intercambian dos filas consecutivas:A

= -129 =12926-8

157

157

2) A=

Cuando el determinante posee dosfilas iguales, ste se anula.

A

= 0

9-81

9-81

673

3)A=

Cuando el determinante posee dosfilas iguales, ste se anula.

A

= 0

5-i48+i

6-i52+i

000

4)A=

Cuando todos loselementosde una fila sonceros en un determinante, ste es cero.

A

= 0

5-i48+i

6-i52+i

000

5)A=A

=0

1711

2-4-6

335

6)A=

El determinante es 0 cuando Los elementos de una fila soncombinacin linealde las otras. (F1+F2=F3)A

=0145

374

23-1

7)A= =6F1+F3=F2

A

=0

Si multiplicamos una fila o columna por un nmero el determinante queda multiplicado por dicho nmero. (Esta propiedad sirve para poder sacar factor comn en un determinante)

143

374

23-1

286

374

23-1

8) A= *(f1*2) = B =

A

B

=10 =20Det(A)=1/2* det (B)

5. Frmulas para desarrollar determinantes

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es un mtodo fcil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 33. Recibe su nombre del matemtico francs Pierre Frdric Sarrus.

Considrese la matriz 33:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:

En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Despus sumar los productos de las diagonales descendentes (en lnea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

Un proceso similar basado en diagonales tambin funciona con matrices 22:

Esta regla no se puede aplicar para matrices mayores a 33.

Ejemplos:718

157

239

1)A=71871

15715

23923

A

= = (7*5*9)+ (1*7*2)+ (8*1*3)-(2*5*8)-

J (3*7*7)-(9*1*1) =117271

135

261

2)B=

27127

13513

26126

B

= = 9

215

763

412

3)C=

21521

76376

41241

C

= = -69

613

214

312

4)D=

61361

21421

31231

D

= = -7371

282

145

5)E=

37137

28228

14514

E

= = 40Desarrollo de menores Se llama menor del elemento aik de un determinante D de nxn al determinante Mik de orden que se obtiene al eliminar el rengln i y la columna k de DEjemplo 1.Obtener los menores M13 del determinante D de .

Para M13 eliminamos el rengln 1 y la columna 3 para obtener

Se llama cofactor del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo (-1)i+k y se denota Aik, esto es:

Ejemplo:Obtenga los cofactores A13 del determinante D dado:

De acuerdo con la frmula (1) el cofactor A13 est dado por

Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un rengln (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

Esto es:

Es el desarrollo del determinante D por el rengln i, y similarmente

Es el desarrollo del determinante D por la columna kEjemplos:

Desarrollar por cofactores del segundo rengln y calcular el valor del determinante D.

Entonces:D= a21A21+a22A22+a23A23= (4)(-2)+(5)(-4)+(2)(0)=-28

21-13

0140

05-26

0-310

2) Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un 2. Desarrollando por la columna (1) se tiene:

140

5-26

-310

DetA= = (2)

El determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos en la diagonal principal.Ejemplos:

A= det (A)= (4*1*5)= 20

B= det (B) = (1*1*5) = 5

C= det(C) = (6*8*1) = 48

D= det(D)= (6*8*1) = 48

E= det (E)= (4*2*5) =40

Clculo de determinantes por el mtodo de GaussSe conoce cmo mtodo de Gauss a un mtodo para facilitar el clculo de determinantes usando las propiedades de stos. Dicho mtodo consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fcil usando las propiedades de los determinantes. Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:

I) Intercambiar dos filas (o columnas) entre s. En este caso el determinante cambia designoII) Multiplicar una fila (o columna) por un escalar k 0. En este caso el determinante queda multiplicado por un escalar.

III) Reemplazar una fila (o columna) por la suma de ella y una combinacin lineal de la otra. En este caso el determinante no vara.Ejemplos:

A=

Det A= (1*1*-4) = -4B=Det (B) = (-7*-3*3) = 636. Multiplicacin de determinantesSi A y B son matrices cuadradas del mismo tamao. Entonces

det(AB)= det(A) det(B)

Considerar las matrices:

31

21

A=

-13

58

B=

217

314

AB=

Por lo tanto: det(A)= 1 det(B)= -23 det(AB)= -23

Ejemplos:19

-208

1)A=

-12

29

B=

1783

3632

AB=

Por lo tanto: det(A)= 188 det(B)= -13 det(AB)= -2444

188*-13=-244410

95

2)C=

67

-53

D=

67

2978

CD=

Por lo tanto: det(C)= 5 det(D)= 53 det(CD)= 265

5*53=265

-92

311

3)E=

92

31

F=

-75-16

6017

EF=

Por lo tanto: det(E)= -105 det(F)= 3 det(EF)= -315-105*3=-315241

-1-27

718

1-63

247

-51-2

5532

-405-31

-31-3022

4)G= H= GH=

Det(G)=1349 Det(H)= -364 Det(GH)=-4910361349*-364= -491036

7. Determinantes de orden n-simo.

Determinante de orden uno

|a 11|=a 11

Determinante de orden dos

= a 11 a 22 - a 12 a 21 Determinante de orden tres

=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.Determinante de orden superior a tresConsiste en conseguir que una de las lneas del determinante est formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdr 1.

Seguiremos los siguientes pasos:

1. Si algn elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos lneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor nmero posible de elementos nulos).

2. En caso negativo: Nos fijamos en una lnea que contenga el mayor nmero posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa lnea sea un 1 (operando con alguna lnea paralela ).

Luego de esto, vamos dividiendo la lnea por uno de sus elementos, por lo cual deberamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no variara. Es decir sacamos factor comn en una lnea de uno de sus elementos.

3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

Ejemplos: 1-103

22-1-2

1-204

2225

1-103

04-1-8

0-101

0037

1-103

0-101

04-1-8

0037

1)A= -101

4-1-8

037

-103

4-1-8

037

-103

-101

037

Det(A)= 1 + 0* + 0 * +0*

-103

-101

4-1-8

= 5180-1

2691

3401

40-79

180-1

0-12-257

0-2004

0-12-257

2)A= -12-257

-2004

-12-257

80-1

-2004

-12-257

80-1

-12-257

-12-257

Det(A)= 1 + 0* + 0 * 80-1

-12-257

-2004

+0* = -3101683

2457

1964

2671

3)A= Det (A)= 1766814

1222

36-6-7

01-2-1

4)A= Det (A)= -30

1453

2-45-7

15-9-1

1256

5)A= Det (A)= -256

8. Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular

Det(A-1)=

103

0-12

210

-

1--

--

A= A-1=

A

A-1

=4 =1/4Ejemplos:

201

11-4

37-3

25/547/54-1/54

-1/6-1/61/6

2/27-7/271/27

1)A= A-1= A-1

A

=54 =1/54

110

101

010

10-1

001

-111

2)A= A-1= A-1

A

=-1 =1/-1=-1

213

-140

110

0-1/54/5

01/51/5

1/31/15-3/5

3)A= A-1= A-1

A

=-15 =-1/15

54

76

3-2

-7/25/2

4)A= A-1= A-1

A

=2 =1/2

3-12

411

246

1/281/4-3/56

-11/281/45/56

1/4-1/41/8

5)A= A-1= A-1

A

=56 =1/56

9. Determinante de una matriz transpuestaSi A es una matriz cuadrada, entonces es cierto que:

A

At

= Consideremos:

31-2

200

-4-15

32-4

10-1

-205

A= AT=

A

At

=-6 =-6

Ejemplos:

65-3

11-74

812-13

6118

5-712

-34-13

1)A= AT=

A

At

=569 =569

273

95-1

-6-810

29-6

75-8

3-110

2)A= AT=

A

At

=-630 =-630

2+i4-5i

-93-i7

-1141

2+i-9-11

43-i4

-5i71

3)A= AT=

A

At

=-376-12i =-376-12i

-26

15

-21

65

4)A= AT=

A

At

=-16 =-16

-2i5

84i

-2i8

54i

5)A= AT=

A

At

=-32 =-32

10. Aplicacin de los determinantes: Obtencin de la inversa de una matrizLa transpuesta de la matriz de cofactores A indicada anteriormente, se denomina adjunta de A y se denota por adj(A). Es decir:

C11C12...C1n

C21C22...C2n

...

...

...

Cn1Cn2...Cnn

C11C21...Cn1

C12C22...Cn2

...

...

...

C1nC2n...Cnn

Cof(A)= Adj(A)= La adjunta de una matriz de una matriz A puede utilizarse para determinar la inversa de A, como se indica en el siguiente teorema:Si A es una matriz invertible de nxn, entonces es cierto que:

Se puede considerar A (se debe obtener A-1):

412

603

712

-132

0-21

10-2

A= C Cof(A)=

467

101

232

A

Adj(A)= =3

467

101

232

4/327/3

1/301/3

2/312/3

A-1= 1/3 =

Ejemplos:-4-8-7

365

-2-5-4

12-3

32-4

2-10

1)A= C Cof(A)=

-43-2

-86-5

-75-4

A

Adj(A)= =1467

101

232

-43-2

-86-5

-75-4

A-1= 1/1 = 110

001

-10-1

-101

121

-10-1

2)B= C Cof(B)= -11-1

020

11-1

B

Adj(B)= =-2

-101

121

-10-1

1/20-1/2

-1/2-1-1/2

1/201/2

B-1= -1/2 = 010

-111

-110

110

001

-10-1

3)C= C Cof(C)=

0-1-1

111

010

C

Adj(C)= =1

0-1-1

111

010

0-1-1

111

010

C-1= 1/1 = -16-81

-189-1

23-206

2-59

4-78

-120

4)D= C Cof(D)=

-16-1823

-89-20

1-16

D

Adj(D)= =-1071-16-1823

-89-20

1-16

16/107118/1071-23/1071

8/1071-9/107120/1071

-1/10711/1071-6/1071

D-1= 1/1071 = 33071

-1

-21

12

13

5)E= C Cof(E)=

3-2

-11

E

Adj(E)= =13-2

-11

3-2

-11

E-1= 1/1 = 11.Aplicacin de los determinantes: Regla de CramerLa regla de Cramer, as denominada en honor de Gabriel Cramer, es una frmula que usa determinantes para resolver un sistema de n ecuaciones lineales en n variables. Esta regla puede aplicarse slo a sistemas de ecuaciones lineales que tienen soluciones nicas.Si Ax=b es un sistema de n ecuaciones lineales con n incgnitas tal que det(A)0, entonces la solucin del sistema es nica. Esta solucin es:

Donde Aj es la matriz que se obtiene al sustituir los elementos de la j-sima columna de A por los elementos de la matriz.b1

b2

.

.

.

bn

b=

En otras palabras los pasos a seguir para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer es:1. Hallar la matriz (A) de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales dado.2. Se debe obtener el determinante de A.3. Es aqu donde se aplica la regla de Cramer, haciendo lo siguiente:

3.a) Debemos ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los trminos independientes. 3.b) Se divide el resultado de este determinante entre el determinante de A para hallar el valor de la primera incgnita. De esta manera vamos sustituyendo los trminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de incgnitas faltantes. Consideremos el sistema de ecuaciones y aplicar la regla de Cramer para resolver:

x1 + +2x3=6

-3x1+4x2+6x3=30

-x1 -2x2+3x3=8

X1X2X3

102

-346

-1-23

bX2X3

602

3046

8-23

A= a A1=

X1bX3

162

-3306

-183

X1X2b

106

-3430

-1-28

A2= a A3=

Ejemplos:Aplicar la ley de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones.

1)x1 -3x2+x3=4

2x1-x2 =-2

4x1 -3x3=0

X1X2X3

1-31

2-10

40-3

bX2X3

4-31

-2-10

00-3

A= a A1=

X1bX3

141

2-20

40-3

X1X2b

1-34

2-1-2

400

A2= a A3=

2)x+ y +z=1 x-2y+3z=2 x +z=5xyz

111

1-23

105

bxy

111

21-2

510

A= a A1=

xbz

111

123

155

xyb

111

1-22

105

A2= a A3=

3)4x +5y =2

11x +y+2z =3

X+5y+2z =1

xyz

450

1112

152

byz

250

312

152

A= a A1=

xbz

420

1132

112

xyb

452

1113

151

A2= a A3=

4)x+2y-2z=10 4x-y+ z =4-2x+y+z =-2xyz

12-2

4-11

-111

byz

102-2

4-11

-211

A= a A1=

xbz

110-2

441

-1-21

xyb

1210

4-14

-11-2

A2= a A3=

5)2x y-2z =-2

-x+ y +z =0 x- 2y +z =8xyz

2-1-2

-111

1-21

byz

-2-1-2

011

8-21

A= a A1=

xbz

2-2-2

-101

181

xyb

2-1-2

-110

1-28

A2= a A3=

12. Aplicaciones de los determinantes:rea de un triangulo en el plano xy.El rea de un triangulo cuyos vrtices son (x1,y1), (x2,y2) y (x3,y3) est dada por:

X1Y11

X2Y21

X3Y31

rea=

Cuando el signo () se elige para obtener un rea positiva.

Ejemplos:1) Calcular el rea de un tringulo cuyos vrtices son: A (2, 0), B (3,4) y C (-2,5).

201

341

-251

rea= = 21/2 u22) Calcular el rea de un tringulo cuyos vrtices son: A (1,0 ), B (3,5) y C (6,-2).

191

351

6-21

rea= = -2/2 u2 = 1 u23) Calcular el rea de un tringulo cuyos vrtices son: A (4, 0), B (6,4) y C (8,0).

401

641

801

rea= = -16/2 u2 = 8u2Prueba para determinar si tres puntos en el planos xy son colineales

Tres puntos (x1,y1), (x2,y2) y (x3,y3) son colineales si y solo si:

X1Y11

X2Y21

X3Y31

=0 Corolario de la prueba para determinar la colinealidad de puntos:Forma de dos puntos de la ecuacin de la recta

La ecuacin de la recta que pasa por los puntos distintos (x1,y1) y (x2,y2) est dada por:XY1

X1Y11

X2Y21

=0

Ejemplos:

XY1

201

681

1) Determinacin de la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (2,0) y (6,8).

=0

Para evaluar el determinante, se desarrolla por cofactores a lo largo del rengln superior, para obtener:01

811

21

61

20

68

x -y +1 = x(-81) y(-4) + 16= gggg81x+4y-16

2) Determinacin de la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (-1,3).

XY1

241

-131

=0

Ecuacin: x(1) y(3) + 1(10) = x -3y +10 =03) Determinacin de la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (3,9).

XY1

131

391

=0

Ecuacin: x(-6) y(-2) + 1(0) = 2y-6x =0

Volumen de un tetraedroEl volumen de un tetraedro cuyos vrtices son (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) (x3, y3, z3), y (x4, y4, z4) est dada por:

X1Y1Z11

X2Y2Z21

X3Y3Z31

X4Y4Z41

Volumen = 1/6 Donde el signo se elige para obtener un volumen positivo.1) Determine el volumen del tetraedro cuyos vrtices son (0,4,1), (4,0,0), (3,5,2) y (2,2,5)0411

4001

3521

2251

Volumen = 1/6 = 1/6 *(-72)= -12 Vol es 12 u3.

2) Determine el volumen del tetraedro cuyos vrtices son (0,3,2), (4,3,0), (1,3,2) y (2,2,2)

4301

0321

1321

2221

Volumen = 1/6 = 1/6 *(2)= 1/3Vol es 1/3 u3.

2) Determine el volumen del tetraedro cuyos vrtices son (1,5,2), (2,7,1), (1,3,2) y (3,3,3)

1521

2711

1321

3331

Volumen = 1/6 = 1/6 *(6)= 1Vol es 1 u3.

Prueba para determinar puntos coplanares en el espacioCuatro puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), y (x4, y4, z4) son coplanares s y slo si:

X1Y1Z11

X2Y2Z21

X3Y3Z31

X4Y4Z41

= 0 Esta prueba proporciona ahora la siguiente forma en determinante para la ecuacin de un plano que pasa por tres puntos en el espacio.

Forma de tres puntos de la ecuacin del plano

La ecuacin del plano que pasa por los puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3), est dada por:

XYZ1

X2Y2Z21

X3Y3Z31

X4Y4Z41

= 0 Ejemplos:

1) Determine la ecuacin del plano que pasa por los puntos (0,1,0), (1,5,4), (-2,1,2)

xyz1

0101

1541

-2121

= 0 Ecuacin: x(8) y(10) + z(8) -1(-10) = 8x-10y+8z+10=02) Determine la ecuacin del plano que pasa por los puntos (1,1,1), (2,3,4), (2,2,2)

xyz1

1111

2341

2221

= 0 Ecuacin: x(-1) y(-2) + z(-1) -1(0) = x-y+ z=0

3) Determine la ecuacin del plano que pasa por los puntos (3,4,6), (1,2,4), (1,1,1)

xyz1

3461

1241

1111

= 0 Ecuacin: x(4) y(6) + z(2) -1(0) = 4x-6y+ 2z=0

13. Bibliografa: Introduccin al algebra lineal. Ronald E. Larson y Bruce H. Edwards. Introduccin al algebra lineal. Howard Anton. Tercera Edicin.

Algebra lineal y sus aplicaciones. David C. Lay. Tercera Edicin.

Algebra superior. Hall Knight.

Determinantes y matrices. A.C. AITKEN. Dr Sc. F.R.S. Versin castellana de la cuarta versin inglesa.

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/cramer.htm

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.html http://www.estudiantes.info/lengua/los_determinantes.htm11