ALGEBRA DE BOOLE

1. INTRODUCCION

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas, haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma función. También se dan a conocer algunas aplicaciones que tiene esta ciencia y se da a conocer también una breve reseña histórica. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, por tener más operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo. Como solución a este problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica de proposiciones.

2. RESEÑA HISTORICA

En 1847 un matemático inglés autodidacta llamado George Boole (1815 – 1864), desarrolla unos símbolos matemáticos con unas reglas que pueden ser aplicadas en problemas de lógica deductiva.

Hacia el año 1854, publicó un libro en el que explicaba cómo convertir las proposiciones lógicas en símbolos matemáticos y cómo aplicar ciertas reglas muy simples para determinar la verdad o falsedad de proposiciones relacionadas entre sí.

George Boole, fue nominado para una cátedra de matemáticas en el Queens College, en 1849, donde enseñó por el resto de su vida, ganándose una reputación como un

prominente y dedicado profesor

A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.A mediados del siglo XX el álgebra Booleana resultó de una gran importancia práctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros días, en el manejo de información digital (por eso hablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teoría de la codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generación.Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra

tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador), Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera.Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. Estos dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseño, y la ulterior implementación, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, así como de muchos de los elementos físicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control de máquinas, etcétera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarquía de niveles, la base o nivel inferior sería ocupada por la lógica digital (en el nivel más alto del ordenador encontraríamos los actuales lenguajes de programación de alto nivel).En esta unidad se representan las puertas lógicas elementales, algunas puertas complejas y algunos ejemplos de circuitos digitales simples, así como algunas cuestiones de notación. Por otra parte se plantean actividades de trabajo, muchas de las cuales implican una respuesta escrita en vuestro cuaderno de trabajo. El deseo del autor es que os resulte sencillo y ameno adentraros en el mundo de la lógica digital y despertaros la curiosidad, tanto por ella, como por la matemática que subyace en ella.

3. LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE

En el ´algebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:

1) Conmutatividad:X + Y = Y + XX · Y = Y · X

2) Asociatividad:X + (Y + Z) = (X + Y ) + ZX · (Y · Z) = (X · Y ) · Z

3) Distributividad:X + (Y · Z) = (X + Y ) · (X + Z)X · (Y + Z) = (X · Y ) + (X · Z)

4) Elementos Neutros (Identidad):X + 0 = XX · 1 = X

5) Complemento:X + X = 1X · X = 0

6) Dominación:X + 1 = 1 X · 0 = 0Demostración:X + 1 = (X + 1) · 1 = (X + 1) · (X + X)(X + 1) · (X + X) = X + (1 · X) = 1

7) Impotencia:X + X = XX · X = X

8) Doble complemento:X = X

9) Absorción:X + X · Y = XX · (Y + X) = XDemostración:X + X · Y = (X · 1) + (X · Y ) = X · (1 + Y ) = X

10) DeMorgan:A · B = A + BA + B = A · BRAE ´

TEOREMAS

Luego se establecen los siguientes Teoremas:

Teorema de la SimplificaciónA + A · B = A + BA · (A + B) = A · B

Demostración: ! A · A = 0A · A + B = B(A + B) · (A + B) = BA · (A + B) · (A + B) = A · BA · (A + B) = A · B

Teorema del complemento ´únicoSuponemos 2 complementos para A (A1 y A2)

A + A1 = 1 A + A2 = 1A · A1 = 0 A · A2 = 0

Luego,A1 = A1 · 1 = A1 · (A + A2) = A1 · A + A1 · A2A1 = 0 + A2 · A1A1 = A · A2 + A1 · A2 = (A + A1) · A2

A1 = 1 · A2 = A2

Algunas definiciones:Literal: Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin complementar, en una expresión deConmutación.Por ejemplo, en la expresión de conmutación:

A · B + C · A + D + B · 1A, B, C y D son Variables.A, B, C, A, D y B son Literales.

1 es una Constante.Algunas definiciones:Expresión Dual: Esta expresión se obtiene, intercambiando las operaciones AND por OR (y vice versa), e intercambiando las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en la expresión deConmutación.Por ejemplo, para la expresión de conmutación:

(A · B) + (C · D) + 0La Expresión Dual es:(A + B) · (C + D) · 1

Las funciones de conmutación se pueden expresar: de Forma Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma Canónica.La manera más didáctica de representar una función de conmutación es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella se muestran los valores de salida para cada combinación de valor de entrada.Las Tablas de Verdad permiten modelar los SistemasCombi nacional.

Ejemplo de una tabla de VerdadDada la función de conmutación: f (X1,X2,X3) = X1 + (X2 · X3)

La Tabla de Verdad es:X1 X2 X3 f (X1,X2,X3)0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

Dada una tabla de verdad también es posible obtener la forma algebraica.Existen 2 métodos para identificar la forma algebraica: la forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva.En el caso de la forma normal disyuntiva, es necesario identificar los 1’s que resultan de la tabla de verdad y formar los términos (conjunciones fundamentales) que los representan.Para formar las conjunciones fundamentales, se usa la variable complementada si para esa combinación tiene un cero, o se deja sin complementar, si en la combinación hay un 1.

Forma normal disyuntiva Dada la Tabla de Verdad:

X1 X2 X3 f (X1, X2, X3)0 0 0 00 0 1 00 1 0 1 X1 · X2 · X30 1 1 01 0 0 1 X1 · X2 · X31 0 1 1 X1 · X2 · X31 1 0 1 X1 · X2 · X31 1 1 1 X1 · X2 · X3

Del ejemplo anterior, se suman las conjunciones fundamentales, resultando la forma normal disyuntiva:F (X1, X2, X3) = X1 · X2 · X3+X1 · X2 · X3+X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3+X1 · X2 ·

X3Estos términos formados por todas las variables conectadas mediante operadores AND se denominan mint´erminos (conjunciones fundamentales).Como la función de conmutación corresponde a un OR de todos los mint´erminos, se puede expresar también de la forma canónica (OR canónico de AND).

F(X1,X2,X3) =∑Xm (m0,m1, . . . ,mn)

Para la representación de la forma canónica, se utilizan las posiciones de los mint´erminos en la Tabla de Verdad.Para el ejemplo anterior resulta:

F (X1,X2,X3) =∑Pm(2, 4, 5, 6, 7)

Mint´erminos en una Tabla de VerdadDada una Tabla de Verdad:

X1 X2 X3 Mint´ermino Etiqueta0 0 0 X1 · X2 · X3 00 0 1 X1 · X2 · X3 10 1 0 X1 · X2 · X3 20 1 1 X1 · X2 · X3 31 0 0 X1 · X2 · X3 41 0 1 X1 · X2 · X3 51 1 0 X1 · X2 · X3 61 1 1 X1 · X2 · X3 7

En el caso de la forma normal conjuntiva, se opera de manera contraria a la vista anteriormente.En este caso es necesario identificar los 0’s que resultan de la tabla de verdad y formar los términos (disyunciones fundamentales o maxt´erminos) que los representan.Para ello se utiliza la variable complementada si para esa combinación tiene un 1, o se deja sin complementar si en la combinación hay un 0.Forma normal conjuntiva

Dada la Tabla de Verdad:X1 X2 X3 f (X1,X2,X3)0 0 0 0 ! X1 + X2 + X30 0 1 0 ! X1 + X2 + X30 1 0 10 1 1 0 ! X1 + X2 + X31 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

Del ejemplo anterior, se opera con un AND sobre las disyunciones fundamentales, resultando la forma normal conjuntiva:

F (X1,X2,X3) = (X1 + X2 + X3) · (X1 + X2 + X3)·(X1 + X2 + X3)

De igual manera es posible expresar esta función de conmutación, compuesta por maxt´erminos, de la forma canónica (AND canónico de OR).

F(X1,X2,X3) =πYM(M0,M1, . . . ,Mn)

Para la representación de la forma canónica, se utilizan las posiciones de los mint´erminos en la Tabla de Verdad.Para el ejemplo anterior resulta:

F (X1,X2,X3) =πQM(0, 1, 3)

¿Cómo pasar de una forma algebraica, directamente a unaForma canónica?

F(X1,X2,X3) = X1 + (X2 · X3)= X1 · (X2 + X2) · (X3 + X3)+(X1 + X1)(X2 · X3)= X1 · X2 · (X3 + X3) + X1 · X2 · (X3 + X3)+X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3= X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3

¿Cómo convertir de una forma OR canónico de AND a una forma AND canónico de OR?F(X1,X2,X3) =∑Pm(2, 4, 5, 6, 7)F(X1,X2,X3) =∑Pm(0, 1, 3)= (X1 · X2 · X3) + (X1 · X2 · X3) + (X1 · X2 · X3)F(X1,X2,X3) = (X1 + X2 + X3) · (X1 + X2 + X3) · (X1 + X2+X3)F(X1,X2,X3) =πQM(0, 1, 3)

Se dice que dos funciones de conmutación son equivalentes si tienen expansiones en forma canónica idénticas. Es decir, que tienen valores de salida idénticos para las mismas combinaciones de entrada.Dicho de otra manera, dos funciones de conmutación son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.

¿Cuantas funciones distintas (No equivalentes) existen para un número n de variables?22n

Esto se puede demostrar fácilmente, construyendo tablas deVerdad y basándose en que las funciones no equivalentes tienen tablas de verdad distintas.

Algunos operadores...NOT F(X1) = X1AND F(X1,X2) = X1 · X2OR F(X1,X2) = X1 + X2NAND F(X1,X2) = X1 · X2 = X1 + X2NOR F(X1,X2) = X1 + X2 = X1 · X2XAND F(X1,X2) = X1 · X2 + X1 · X2XOR F(X1,X2) = X1 · X2 + X1 · X2

Se dice que un conjunto de operadores es funcionalmente completo si se puede expresar cualquier función de conmutación, utilizando solo los operadores del conjunto.Por ejemplo el conjunto {AND, OR, NOT} es funcionalmente completo por definición del ´algebra. Sin embargo el conjunto {AND, NOT} también lo es.Otros conjuntos funcionalmente completos son: {NOR} y {NAND}.Existen dispositivos electrónicos que son capaces de representar funciones de conmutación. Estos dispositivos denominan Compuertas Lógicas y están construidos a base de silicio.Las compuertas lógicas son altamente usadas en el campo de la electrónica digital, debido al bajo costo que se logra con la alta densidad de integración.Las compuertas corresponden a bloques fundamentales para la construcción de circuitos lógicos y sistemas digitales.Una red de compuertas lógicas constituye un circuito combi nacional.

Las compuertas pueden tener más de una o dos entradas. Por ejemplo la ecuación de conmutación F(A,B, C) = A · B · C puede ser representada por:

Ejemplo de compuertasRepresentar la siguiente ecuación mediante compuertas lógicas.F(A,B, C,D) = (B + D) · (A + B) · C

MAPAS DE KARNAUGHLos mapas de Karnaugh son una herramienta grafica utilizada para simplificar las ecuaciones lógicas o bien, minimizar funciones de conmutación.Estos mapas son una versión modificada de las tablas de verdad, permitiendo mostrar la relación entre las entradas lógicas y la salida deseada.Los mapas de Karnaugh permiten el diseño de circuitos con el mínimo compuertas, por lo que tiene un alto impacto en la reducción de costos.1) Al igual que en las tablas de verdad, una función de n variables tiene 2n combinaciones de posibles valores de entrada. En el caso de los mapas de Karnaugh, estasCombinaciones se representan mediante celdas.

2) Luego, las coordenadas de las celdas se enumeran, según el código Grey, quedando de la siguiente manera:

3) Si se tiene una tabla de verdad, basta con escribir en cada celda la salida correspondiente de la tabla de verdad para cada combinación. Por ejemplo:

A B C Z0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

Equivalentemente se puede representar una función de la forma canónica, como mapa de Karnaugh. Para ello se debe asignar un 0 a una variable complementada y un 1 a unaVariable sin complementar.

Con esto se forma la siguiente numeración para las celdas.

Luego si se quiere representar la funciónF(A,B, C) =∑Pm(0, 2, 3, 7), resulta:

Para 4 variables, la numeración de las celdas corresponde a:

4) Dos celdas son adyacentes solo si difieren en una de las variables.

5) Un súcubo es un conjunto de 2m celdas con valor 1, las cuales tienen la propiedad que cada celda del súcubo es adyacente a exactamente m celdas del conjunto.

6) Los súcubos se pueden representar mediante términos algebraicos. Estos términos están compuestos por n – m literales, donde n es el número de variables y 2m es el tamaño del súcubo.

7) Si se suman los términos dados por los súcubos que abarcan todos los unos del mapa, se obtiene la función algebraica.Para que la función sea mínima, se debe buscar el mínimo número de súcubos que cubren todos los unos. Esto se logra, buscando los súcubos de mayor tamaño posible, sin importar que se traslapen.

El siguiente mapa de Karnaugh:

Representa la funciónF(A,B, C,D) = D + B + C

En la práctica, al utilizar el método de los mapas de Karnaugh manualmente, resulta ´útil para un máximo de 5 o 6 variables.En el siguiente mapa de Karnaugh de 5 variables se identifican 4 súcubos:

Resultando la ecuaciónF(A,B, C) = A · B · C · E + A · B · C · E + A · B · C · E +A · B · C · EResultando la ecuaciónF(A,B, C) = A · B · C · E + A · B · C · E + A · B · C · E +A · B · C · E

Resultando la ecuaciónF(A,B, C) = B · C · E + B · C · E

También es posible expresar funciones de la forma canónica AND de OR en los mapas de Karnaugh.

Para ello es necesario identificar los súcubos que cubren todos los ceros del MK.Por ejemplo minimizar

F(A,B, C,D) =πYM(0, 2, 5, 8, 10, 13, 14)

El siguiente MK representa a la funciónF(A,B, C,D) =πQM(0, 2, 5, 8, 10, 13, 14). En él se deben cubrir los ceros de mapa.

Resultando la ecuaciónF(A,B, C,D) = (B + D) · (B + C + D) · (A + C + D)

La minimización de funciones es fundamental tanto para el diseño de procesadores, como de otros componentes digitales que utilizan tecnología de alta densidad de integración (comoVLSI). La minimización no solo tiene un alto impacto en el costo de los dispositivos, sino que también en el rendimiento.Sin embargo el método de MK no es viable en diseños complejos, como por ejemplo el diseño de un procesador, debido a la cantidad de variables que involucra.

El método de Quine y McKluskey es una técnica tabular.Esta técnica resulta fácil de programar, con lo que se logra una herramienta automática para la obtención de expresiones de conmutación mínimas.

Una expresión de conmutación se puede escribir como una suma de términos donde cada término está compuesto de factores.Por ejemplo:

F(A,B, C) = A · B · C + B · C + . . .Se define como implicarte primo a un término que está contenido en la función y que la eliminación de cualquiera de sus literales genera un nuevo termino que no estaContenido en a función.

El método Quine-McKluskey genera el conjunto de implican tés primos de una función dada.Pasos para el desarrollo del método Quine – McKluskey

1) Para desarrollar el método, primero se debe contar con la función de la forma canónica OR de AND.2) Luego se representa cada término, de la forma binaria.3) Se agrupan los términos en función de la cantidad de 1’s que tengan.4) Cada grupo (que representa la cantidad de 1’s del termino), se vuelve a agrupar con algún grupo adyacente buscando diferencias en un solo bit. El bitEn que difieren es reemplazado por “-”.

5) Se vuelve a aplicar el paso anterior. Para la adyacencia se debe considerar que el símbolo “-” se encuentra en la misma posición.6) Finalmente Se deben cubrir todos los términos de la función original, utilizando el mínimo número de implican tés primos.

F = ∑ (0,2,5,7,10,11,12,13,14,15) 4

FUNCION SIMPLIFICADA CIRCUITO F= BD+AB+AC+ÃBD

A B C D X0 0 0 0 10 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 01 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1

4. APLICACIONES DEL ALGEBRA BOLEANA

Sabemos que el álgebra booleana está directamente relacionada con George Boole, definiendo un sistema lógico   que desempeñaría un papel fundamental en la actualidad con el sistema binario, introducido en los circuitos y computadores que hoy en día conocemos y utilizamos, pero los sistemas binarios antes de Bol también tuvieron un desarrollo y fueron utilizadas desde la antigüedad en distintas culturas.El antiguo matemático indio Píngala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era.Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching. Series

ABCD

00 01 11 10

00 1 1

01 1 1

11 1 1 1

10 1 1 1

similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Irá, así como en la geomancia medieval occidental.Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Sao Yang en el siglo XI. Sin embargo, no hay ninguna prueba de que Sao entendiera el cómputo binario.En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo diecisiete, en su artículo "Explicación de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz usó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.George Boole (1815 - 1864): Matemático y lógico inglés, que puso los fundamentos del moderno estudio de la lógica simbólica en una obra a la que tituló "The Laws of Thought". Recién en 1938, C.E. Shannon entre otros, advirtió que el álgebra...

El álgebra es el estudio de las estructuras matemáticas.

Sirve por tanto como base para todas las ramas matemáticas.

Si lo que quieres es un par de ejemplos para un trabajo te indicaré elementos en la vida cotidiana donde se usan el álgebra:

El álgebra de boole es el de la lógica de bachillerato, y es usada en todos los sistemas lógicos, como los ordenadores.

En particular, la información en los ordenadores se transmite por impulsos eléctricos, lo que representa un sistema de numeración binaria, que pertenece al álgebra.

Una rama de la lógica, llamada lógica difusa, permite a tu cámara de fotos tener auto-enfoque.Tu DNI lleva un código de seguridad (la letra del final) hallado mediante sistemas de codificación, estudio que pertenece al álgebra.

Los sistemas de codificación son los que permite que puedas mandar correos electrónicos de manera segura por internet, que puedas comprimir archivos en el ordenador, o que un DVD pueda seguir funcionando aunque se raye un poquito.

Después sirve como base a muchas otras utilidades. Una teselación es el recubrimiento mediante figuras geométricas, aplicando ciertos movimientos a estas. El estudio de los movimientos es el estudio de una estructura, y pertenece por tanto al álgebra.

DE LAS MATEMÁTICAS DE GEORGE BOOLE A LA ROBÓTICA

El encuentro de las matemáticas sin duda nos acerca a un mundo de probabilidades, donde se puede racionalizar el esquema de diversos recursos, dosificarlos, medirlos, ampliarlos, programarlos y recrear espacios donde sea posible experimentar con frecuencias, de tiempo, espacio, número, choque de onda, vibración… En fin es a mi manera particular de sentir el espacio vivo donde nos formamos y evaluamos a partir de del otro que nos hace sentir que no estamos solos y que somos la suma de todos los trayectos.

Curiosamente Boole no estudió para un grado académico, pero a la edad de 16 años fue un profesor auxiliar de colegio. En ese periodo Boole estudió los trabajos de Laplace y Lagrange, tomando apuntes, los cuales más tarde se convertirían en las bases para sus primeros fundamentos matemáticos. Uno de los baluartes de las ciencias exactas que ahora mismo forma parte de la instrucción básica de jóvenes que se interesan en la materia.

De esta forma se llegó hasta el Dr. Luis Alberto Muñoz Obando, doctor en Imágenes, Visión y Robótica por el Instituto Politécnico de Francia, quien realizara en Oxford, Inglaterra un postdoctorado en robótica y que actualmente imparte, entre otras asignaturas, metodología de la investigación en la facultad de matemáticas de la UADY.

En esta universidad se involucra directamente en la producción de este tipo de herramientas, es decir todos los programas que se ejecutan dentro de una computadora. Por su parte la licenciatura de ingeniería en computación fomenta la creación de dispositivos que de alguna manera tienen intercambio con el uso real tanto de software, programas y hardware, los elementos fijos de la computadora.

Reflexiono que hace 30 años no había computadoras como ahora, sólo algunos centros de investigación contaban con ellas, ahora en cualquier momento convivimos con ellas y nuestros hijos comparten esta experiencia muy de cerca con el uso de estos instrumentos; los chicos, dominan este instrumento de forma empírica, ojalá muchos jóvenes y niños lean este material y se den cuenta del vasto universo que entraña el mundo de los espacios virtuales.

La importancia que tiene George Boole en toda esta dinámica, sobre todo cuando sabemos que El trabajo de Boole llegó a ser un paso fundamental en la revolución de los computadores, de acuerdo a comentarios de Claude Shannon en 1938, demostró como las operaciones booleanas elementales, se podían representar mediante circuitos conmutadores eléctricos, y como la combinación de estos podía representar operaciones aritméticas y lógicas complejas. Además demostró como el álgebra de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos conmutadores. El enlace entre lógica y electrónica estaba establecido.

Claude Shannon Elwood, Ingeniero Electrotécnico y Matemático,nacido el 30 de abril de 1916 en Gaylord, Michigan, Estados Unidos.

La lógica Booleana es el formalismo matemático por medio del cual se llevan al cabo las operaciones que procesa la computadora a través del manejo y control de información eléctrica, por medio de sus transistores. De esta manera puedo decirle que dentro de la enseñanza de la licenciatura en matemáticas, la más longeva de la Facultad, puesto que se imparte desde hace 42 años, al igual que la licenciatura de la enseñanza de las matemáticas, se destaca el papel de este personaje.

¿De qué forma se da esta lógica Booleana?

Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 y 0 y a tres operadores fundamentales: AND (y), OR (o) y NOT (no). De esta forma se finca la lógica algebraica Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadores, circuitos eléctricos, etc.

Para explicar And, podemos hablar del valor del cero, dará evidentemente cero, para lo cual gráficamente se muestran dos compuertas, donde la información fluirá siempre y cuando en ambas haya información, de no ser así la respuesta es no hay información:

A and B = C

0 + 0 = 0

0 + 1 = 0

1 + 0 = 0

1 + 1 = 1

Por su parte para el valor de OR, señala que sí en alguna de las entradas hay información pues se determina que sí existe en alguna de las dos compuertas el flujo de datos:

A or B = C

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

En cambio para las compuertas del NOT, observamos lo siguiente: se cuenta con una sola entrada de compuerta, la cual niega la entrada de uno. Sí en A hay un cero, lo niega, y al negar al cero, el valor es 1.

not A = B

0 1

1 0

Lo interesante de esto es que estamos definiendo los estados y aceptando las entradas, únicamente en dos estados posibles, el 1 y el 0, es la lógica binaria. Esto nos lleva a un sustento electrónico que se traduce en las computadoras en el procesamiento de Información o No información.

Esto se explica en Voltaje o No voltaje, similar a la llave del agua. Al abrirla hay flujo, al cerrarla, desparece el flujo. Sin embargo hay algo muy importante que es necesario subrayar:

En el pasado existían las computadoras analógicas, en las cuales no es posible aplicar la lógica de Boole, porque los elementos que se utilizaban, únicamente eran elementos pasivos, como por ejemplo una resistencia o un capacitor que tienen características eléctricas distintas, donde lo interesante de sus funciones en el ordenador, era que permitían el manejo de los elementos para hacer operaciones que matemáticamente son complicadas de resolver con la lógica Booleana.

Por ejemplo, sí yo quisiera escribir un programa computacional interesado en la lógica de Boole, para especificar una función dentro de una computadora analógica, tendría que escribir un sinfín de códigos para ejecutarlo. A diferencia de un circuito eléctrico como algo parecido a un generador de onda que me ayude a proveer energía senosoidal.

En consecuencia la derivada de la función seno:

es la función coseno:

Este arreglo que nos cuesta un centavo construirlo, al comprar una resistencia en la tienda de electrónica, o simplemente con un trozo de metal para oponer el flujo de la corriente, y utilizando un capacitor como componente electrónico, armando la función de impedancia entre derivador e integrador, no es operativo para la rapidez que se puede lograr con el empleo del 1 y el 0

Sin embargo esto tiene una función específica dentro de la ciencia básica, ¿verdad?

Desde luego, los estudios que hacen los estudiante de educación media, para integrar y derivar funciones en base a cálculos de imperancia tienen un fundamento y, hablando de computo analógico, puedo decirle que este se utilizaba desde hace dos siglos, precisamente cuando se empezó a tener el manejo de la información eléctrica.

El gran problema es que yo no puedo variar su comportamiento, es fácil, eficiente y rápido, son principios básicos de física donde al contar con un millón de señales senosoidales, a la salida voy a tener un millón de señales integradas o derivadas.

El primer transistor (1948)

Pero sí yo quisiera que esto me lo hiciera la computadora, tendría que escribir toda la lógica de integración y derivación. La gran ventaja con los ordenadores es que son re-programables, por lo

cual yo puedo cambiar los parámetros de este arreglo de una manera muy fácil, únicamente le cambio el valor a los componentes y tengo ya una función que se integra de forma más flexible.

Por ello se abandonaron las computadoras analógicas en los años 50’s precisamente con la aparición del componente electrónico denominado transistor que nos permite regular el flujo de corriente de acuerdo a necesidades específicas. De esta forma la lógica de Boole nos permite el diseño de computadoras digitales que se fundamentan en estados binarios como ya expliqué con antelación.

Para traducir el lenguaje decimal, en elementos binarios podemos dar el ejemplo en valores del 0 al 9, su traducción binaria será 0 y 1.

Explíqueme con más claridad este proceso.

Lo que hacemos es utilizar el exponencial, donde cualquier número a la cero, nos da un 1, el dos a la 1 nos da el 2, el dos al cuadrado, nos 4 y el 2 al cubo, nos da un 8.

Por tanto para representar el 6 en forma binaria, debemos encontrar la sumatoria de los números que nos dé 6:

8421 = 0110 = 6

Para definir el número 14, hacemos el mismo procedimiento:

8421 = 1110 =14

Ahora invítenos a reconocer la transferencia de estas teorías Booleanas en instrumentos como la robótica, todas esas construcciones electrónicas que están ligadas a una computadora

Dentro del cuerpo académico de ciencias de la computación en la facultad, existen dos sublímelas de investigación, una de ellas es teoría de la computación en la cual se desarrolla investigación en el uso de la computación como herramienta de trabajo en el ámbito laboral: bases de datos grandes, teoría de la computación, ingeniería de software.

La otra sublínea, corresponde al área de instrumentación control, visión y robótica cuyo objetivo es utilizar la computadora como un instrumento para controlar dispositivos cuyo modelo matemático es complejo y debido a la complejidad analítica se requiere a teorías de inteligencia artificial, ya sea a través del procesamiento de imágenes o el procesador de sensores, tanto lumínicos, como de fuerza para control dichos dispositivos en distintas áreas de la ciencia

Tenemos proyectos importantes en este sentido como por ejemplo en el área de bio-informática, para el diseño de software para investigación en el campo de la biología, donde se pueden diseñar simuladores visuales de elementos como por ejemplo proteínas.

También tenemos un proyecto de investigación en arqueología que denominamos Compu-Arqueología, el cual se coordina con el Arqueólogo José Huchím, donde gracias al apoyo de herramientas de computo, se pretende acelerar el proceso de exploración y reconstrucción de las pirámides en la zona de Uxmal. Por medio de este proyecto hacer un rompecabezas tridimensional para generar ciertas hipótesis de la probable configuración del terreno y las edificaciones que se encuentran derruidas y, con ello acelerar el proceso de su reconstrucción.

EL Br. Antonio Briceño, estudiante del último semestre de la Licenciatura en Ciencias de la Computación ha desarrolado algoritmos para el registro de imágenes de planta. Se trabaja en la actualidad en el cómputo de la Anastilosis con el fin de apoyar el proceso de reconstrucción de sitios arqueológicos.

Por otra parte contamos con un proyecto conjunto con el Centro de Investigaciones Biomédicas Dr. Hideyo Noguchi, de la propia universidad, en el cual se está trabajando en la investigación de fármacos para el mal de Parkinson y la idea es estudiar el comportamiento de cobayos en el laboratorio, para poder determinar bajo un método semi-automático el efecto que puede provocar el medicamento en este tipo de animales. Este proceso lleva mucho tiempo de registro y podría ser relativamente complicado determinar de forma visual cómo modifican su conducta los ratones, pero con el empleo de video se puede hacer un registro puntual del mismo.

La rata es observada sin ser perturbada. Por medio del procesamiento de imagense puede localizar el contorno del animal, con el fin de determinar su configuración

ósea durante un período deseado.

Con el objetivo de automatizar el análisis del movimiento de una rata de experimentación, el L.C.C Miguel Sandoval desarrollo un simulador de roedor. En la imagen de la izquierda vemos el esqueleto del roedor. Al extremo derecho

vemos el tipo de imagen captada por la cámara que observa al animal.

Otros proyectos académicos de procesamiento de imágenes se centran en el uso de una cámara que registre en el monitor la imagen virtual de la mano, a la vez que la traduzca en la imagen de su estructura ósea, no hablo de Rayos X, simplemente de un concepto que nos ayude a entender el movimiento de la estructura esquelética de una mano humana.

Los Brs. Gustavo Berzunza e Iván Fuentes trabajan en el desarrollo de un sistemade Rayos X Virtuales. Al mostrar una mano humana frente a un cámara conectada

a la computadora se puede obtener el modelo virtual del esqueleto. Cualquiermovimiento suave de la mano puede ser reproducido por el esqueleto.

Por otra parte la obtención de modelos tridimensionales de objetos a partir de luz estructural, es decir el empleo de un sistema que proyecta máscaras de luz y las imágenes que captan sus sombras no puede dar la imagen tridimensional de este, en otras palabras puedo decir que scaneamos un objeto tridimensionalmente en el monitor del ordenador, con el objeto de reconocer el modelo en futuras programaciones con afán de poder traducir cada vez más elementos de la realidad a la imagen virtual.

Otro proyecto utiliza modelos de objetos para localizarlos dentro de una imagen, es decir, el modelo de un vehículo que requiere ser localizado dentro de un embotellamiento de tránsito, las implicaciones prácticas serían muy interesantes, igualmente podemos localizar nano-objetos, inmersos en un tejido vascular, etc.

Localizar un objeto dentro de una imagen a partir de su modelo CAD es un problema interesante y complejo.

El M. en I. Ramón Atoche - quién colabora con miembros del Cuerpo Académico - realiza investigación en la

inicialización de pose.

La Dra. María Elena Martínez de la Universidad Autónoma de México (UNAM) y el Dr. Arturo Espinoza de nuestro cuerpo académico, justamente están estudiando el comportamiento de la venas que circundan e irrigan la retina, por medio del procesamiento de la información podrían determinar anomalías funcionales que deterioran la visión, por medio del diagnóstico de patologías como el glaucoma, retinitis, presión intraocular y macular, etc.

Tenemos así mismo proyectos recientes como el diseño de computadoras especiales que cumplan con funciones específica, como el procesamiento de imágenes de alta resolución, en tiempo record en la carga de bites, para ello conjuntamos esfuerzos con los estudiantes de ciencias de la computación con afán de lograr el computo paralelo distribuido. Actualmente nos encontramos desarrollando una máquina paralela específica, sobre la base de una tarjeta de memoria que se conoce como filtrado de imágenes.

¿Qué significa esto?

El filtrado de imágenes es un algoritmo computacional que permite una secuencia de video, extrayendo los contornos de los objetos que uno observa, por dar un ejemplo nuestro ojo humano cuenta con una capacidad extraordinaria para reconocer e identificar objetos y, lo que se pretende hacer es utilizar técnicas de inteligencia artificial que son muy demandadas en el área de robótica y en base a esto desarrollar estrategias para diseño automático de diversos objetos. El interés es que se logre esta identificación en tiempo real; al momento tenemos la capacidad de poder filtrar hasta 30 imágenes por segundo, lo valioso es que antes de que aparezca la nueva imagen ya se terminaron de procesar los contornos.

En lo que corresponde a la física computacional tenemos en el cuerpo docente a dos investigadores con nivel doctoral, sus nombres son Aarón Abraham Aguayo González y Gabriel Murrieta, que atienden el área de física y métodos numéricos, ellos lo que hacen es utilizar la computadora para realizar experimentos que en un principio podrían ser considerados como modelos teóricos.

Lo que hacen con la computadora es determinar los mecanismos e interacciones del comportamiento posible de algunos materiales y partículas, por medio de la simulación en el ordenador.

Ahora platicamos con el maestro en ciencias de la computación egresado de la misma facultad Fernando Curi Quintal, quien nos habla de los trabajos de investigación que desarrollan los estudiantes del área señalada.

Del 2001 al 2004 fungió como coordinador del área de ciencias computacionales, esta carrera se inició en 1987, ahí se trabajan sistemas distribuidos y paralelos y es una línea de investigación que apoya la licenciatura de ciencias matemáticas, así mismo se coordinan trabajos con visión computacional y robótica, donde se estudia en desarrollo de interfaces.

Por lo cual le interrogamos sobre su interesante labor, MC Fernando Curi, ¿Específicamente que trabajo se hace en este desarrollo?

Hay un trabajo sobre neurociencia que fundamenta el manejo y estudio del mal de Parkinson, al respecto quiero decirle que una de nuestras alumnas recientemente recibió una medalla de oro en el evento Expo-Ciencias en la ciudad de Fortaleza, Brasil. Este concurso es a nivel Iberoamericano, su nombre es Karen Navarrete Kao, ella presentó en la categoría de ingeniería biomédica los conectores y monitores que visualizan y analizan el comportamiento de los cobayos en dicha investigación.

Su profesor es Francisco Heredia López, para él fue muy gratificante reconocer el entusiasmo y capacidad de una joven de 24 años de edad oriunda de Tizimín, Yucatán, que ahora se ha ganado el derecho de participar en el evento de Expo-Ciencias a nivel mundial que se celebrará en el 2005 en Santiago de Chile.

Con su tesis la egresada propone agilizar los procesos para la evaluación de fármacos, los cuales antes de llegar al mercado son sometidos a rigurosas y minuciosas pruebas.

Por último entrevisté al actual coordinador de la carrera de cómputo el Maestro en Ciencias Jorge Gómez Montalvo, quien me comenta la dinámica del estudiante en su preparación académica.

Los alumnos a la par de sus asignaturas y proyectos académicos, son motivados para adentrarse en el proceso de investigación para generar conocimiento, por lo cual en coordinación con la administración se efectúan eventos como “Acerquémonos a la investigación”, en el cual los estudiantes con asesoría de sus profesor pueden desarrollar un proyecto, sin importar si es ajeno a las asignaturas que reciben. Lo importante es que desarrollen la metodología, elaboren las investigaciones en base a una propuesta y al final cuenten con evaluadores que conforman un jurado, el cual emite un resultado en una ceremonia ex profeso para ello con premiación.

¿Podría señalar algunos ejemplos de los trabajos que se han realizado?

Son diversos, por supuesto puedo mencionar algunos, como por ejemplo, captura de información y análisis de datos para estructurar una biblioteca digital, análisis de sistemas y cruzamiento de imágenes, reconocimiento de patrones para software educativos.

¿Algunos de estos trabajos se integran a la actividad de la facultad, logran ser operativos para sus labores académicas?

Desde luego, no todos pero muchos logran optimizar labores que se efectúan en la academia, pero no sólo eso, sino que se convierten en la estrategia al dar soluciones a situaciones de la vida cotidiana.

Sin lugar a dudas notamos que matemáticas y computación no solo nos remite a Boole, sin embargo en este trabajo en el mes que nació, le hacemos un sentido homenaje, pues gracias a sus descubrimientos, percibimos un mundo nuevo, ahora cada vez que encendamos el celular u operemos un cajero automático, veamos una cinta en DVD o escuchemos música en el ordenador, recordaremos a las mentes inquietas de científicos que se están formando en diversos países del mundo y con los cuales interactúan los jóvenes mexicanos que en sus nociones básicas de ciencia reconocen el trabajo de un inglés autodidacta que los ha llevado de la mano por un camino insospechado.

George Boole, se interesó en la aplicación de métodos algebraicos para la solución de ecuaciones diferenciales, dicha investigación fue publicada por Boole en el Transaction of the Royal Society y su trabajo recibió la medalla de la Real Sociedad.

En el 1854 publicó Las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la lógica en una nueva dirección reduciéndola al álgebra simple, incorporando lógica en las matemáticas, agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas.

Boole también trabajó en ecuaciones diferenciales, el influyente Tratado en Ecuaciones Diferenciales apareció en 1859, el cálculo de las diferencias finitas, Tratado sobre el

Cálculo de las Diferencias Finitas (1860), y métodos generales en probabilidad. Publicó alrededor de 50 escritos y fue uno de los primeros en investigar las propiedades básicas de los números, tales como la propiedad distributiva.

Boole, fue reconocido por su trabajo recibió grandes honores de las universidades de Dublin y Oxford, incluso fue elegido miembro académico de la Real Sociedad en el año de 1857. Sin embargo, su carrera que comenzó un tanto tarde terminó infortunadamente temprano cuando murió a la edad de 49 años, el 8 de Diciembre de 1864 en Ballintemple, County Cork, Irlanda.

En la obra “Fundamentals of logic design”, que escribe Charles H. Roth, Jr., imagine que encontraría algunas deliberaciones respecto a la forma cómo Boole llega a configurar su álgebra booleana, sin embargo descubro que es un libro de texto, para que los alumnos desarrollen ciertas habilites cognitivas muy específicas de las ciencias exactas, que va indicando a los profesionales de las matemáticas y la ingeniería de computo la forma como expresar y utilizar este interesante concepto, para lo cual intentaré expresar algunos pasos que se siguen para el logro del concepto y sus aplicaciones en la praxis:

“Las matemáticas básicas necesitan para el estudio del diseño lógico de sistemas digitales, de la lógica booleana, la cual tiene muchas otras aplicaciones incluyendo la teoría básica de la logística matemática, pero en esta parte de la obra nos limitaremos a reconocer el encendido de redes de trabajo (switching networks). Desde los diferentes encendidos (switching) que utilizaremos esencialmente, percibimos dos estados, que nos indican lo que haría un transistor de alto y bajo voltaje, para ello estudiaremos un especial caso de la algebra booleana y cada una de sus variables asumiendo únicamente uno o dos valores”.

En otra parte del texto, que se encuentra complementado con una serie de gráficas explicativas, señala:

Este valor Booleano, es referencia frecuente en los conectores de álgebra, para lo cual las variables de X y Y, nos ayudarán a representar la entrada y salida de ambos, con lo cual aprenderemos métodos adicionales para manipular las expresiones donde inversa y dualidad formaran parte del trabajo examinado.

Más adelante indica:

Al consensuar el teorema introducido, como única clave para la simplificación algebraica, nos indicará el conector los cambios que explica cada una de las expresiones… Finalmente la conversión entre la forma del producto y su suma se esclarece, al factor izar los significantes algebraicos, con lo cual se nos permite realizar una función de conectores, por una variedad de formas en las redes de conexión.

En un pie de nota del autor de Fundamentos en el diseño lógico, explica:

George Boole, desarrollo su álgebra booleana en 1847 y la usó para resolver problemas de lógica matemática. Fue Claude Shannon el primero en aplicarla para diseñar redes de conectores (switching networks) en 1939.

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.

5. COMENTARIOS

El álgebra de Boole sentó la base de la lógica y le dio una base matemática, que permitió que se implementara en los ordenadores.

Los ordenadores ven ceros y unos, que representan números, letras, imágenes y también razonamientos (gracias al algebra de boole).

Eso marcó la diferencia entre las calculadoras y las computadoras, que eran capaces de tomar decisiones en base a la lógica.

EL álgebra de George Boole, hace más de 100 años logro traducir, utilizando un procedimiento formal, la lógica de los términos a una teoría de ecuaciones, por lo cual es conocido como el Padre de la Lógica Moderna. Además como Moisés Chong en su citada obra que "el aporte de la obra de Boole, conocido como Algebra Booleana, consiste en un vasto movimiento de formalización del lenguaje lógico y, por consiguiente, el intento de que la validez de toda aseveración esté en función matemática, dando lugar a la lógica simbólica, que ha venido a servir como procedimiento fructífero en el campo de la investigación y la demostración científica. El simbolismo lógico se ha llegado a convertir en una especie de culminación, normalizadora, permitiendo, así, que la lógica sea tratada como un cálculo, pudiéndose de este modo analizar sus posibilidades, formas, etc., con la misma objetividad y precisión, orden y claridad que hasta hace mucho parecían patrimonio del matemático."

De esta manera, puede afirmarse entonces, que el aporte de Boole. contribuyó a simplificar el lenguaje corriente natural de los pueblos (español, inglés, ruso, etc.), a quedarse tan sólo con el esqueleto lógico de una o varias expresiones dadas, sin que haya lugar a la menor suposición psicológica, y eliminando así todo contenido anímico que pudiera deformar las expresiones en su contenido conceptual. Desde este punto de vista, la lógica simbólica busca la superación de todos los defectos tradicionales del lenguaje. A su vez, se desinteresa del requisito de la verdad de lo que se afirma, en el sentido de que no se preocupa de decirle a uno qué afirmaciones son verdaderas, sino que simplemente propone darnos criterios que garanticen hasta donde sea posible, la verdad de determinadas proposiciones si algunas otras lo son, llegando así a establecer reglas

generales, las cuales no se ocupan de una determinada demostración, sino que se refiere a conjuntos enteros sin interesarse por el contenido fáctico de si, por ejemplo, es verdad que "los cuadrúpedos son animales" o si "Euclides fue un gran matemático"

Dentro de estas orientaciones, existen términos que no poseen significado propio, signo que desempeñan una determinada función y que establecen siempre conexiones o bien, precisión al ámbito a que se refieren a otros términos de una proposición. Se trata de los conectores o conectivas tales como "algunos", "y", "o", "no", "pero", "si,…entonces", etc. Ahora bien dentro de una proposición dada sucede que ciertos nombres, categorématicos en este caso, podemos reemplazarlos por "variables", esto es, por letras y que dan lugar a expresiones que no designan o señalan nada determinado y que pueden volver a indicar algo cuando sus variables son reemplazadas de nuevo por nombres.

El filósofo panameño Moisés Chong en su obra ya citada anteriormente lo siguiente: "igualmente sabemos que la introducción de símbolos constantes y bien determinados en lugar de expresiones sincategoremáticas como "y", "no", "o", etc., no modifica sustancialmente del procedimiento formal pero, en cambio, nos lleva a prescindir aún más de los contenidos. Cuando se introducen, como veremos más adelante, símbolos, se ofrecen ventajas básicas que nos convencen más todavía de la importancia y valor de su uso. Sin embargo, no hay que confundir formalismo y simbolismo, puesto que es posible, y en efecto así lo es, que un sistema formal no sea simbólico, de la misma manera que podemos tener entre nosotros una escritura puramente simbólica que no represente o implique necesariamente una formalización. Lo que si es cierto es que el simbolismo aparece como resultado de todo el milenario esfuerzo de la llamada lógica formal.0."

A partir de estas concepciones teóricas la lógica simbólica o algebra booleana permitió traducir las expresiones en lenguaje natural a símbolos matemáticos y estableció así las bases para el posterior desarrollo de la informática y las computadoras.

6. CONCLUSIÓN

En conclusión las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital.Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.Las compuertas lógicas son los dispositivos electrónicos más sencillos que existen, pero al mismo tiempo son los más utilizados en la actualidad.

7. REFERENCIAS

AGAZZI, EVANDRO (1986). LA LÓGICA SIMBÓLICA. BOOLE, GEORGE (1848). THE CALCULUS OF LOGIC. GARDNER, MARTIN (1973). MÁQUINAS LÓGICAS Y DIAGRAMAS. PEACOCK, GEORGE (1940). A TREATISE ON ALGEBRA. BOOLE, G. (1848), THE CALCULUS OF LOGIC. EN BOOLE MATEMÁTICA DISCRETA KOLMANT HISTORIA DEL ALGEBRA “MARCOS CADIMA” EL APORTE DE LA LOGICA BOOLEANA “MOISES CHONG” ALGEBRA MODERNA “SEBASTIAN LAZO” ALGEBRA “ARMANDO ROJO” PAGINAS

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