UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAEscuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO Nº 1ALGEBRA LINEAL CODIGO 100408

GRUPO: 117

Elaborado porCLAUDIA ALEXANDRA CÓRDOBA OSORIO

C.C.: 1035415417KAREN ANDREA JARDIM

C.C.: 1036936410WILSON ANDRÉS PULIDO GÓMEZ

C.C.:NANCY YORELI QUITIAM

C.C.:

TutorANGELO ALBANO REYESSan José de Cúcuta, Colombia

Marzo de 2013

Contenido

Contenido.........................................................................................................................2

Introducción.....................................................................................................................3

Objetivos..........................................................................................................................4

Desarrollo de la Actividad No. 6.....................................................................................5

Conclusiones..................................................................................................................16

Bibliografía....................................................................................................................17

2

Introducción

Este trabajo tiene como finalidad resolver ejercicios de la primera unidad, para afianzar los conocimientos adquiridos y crear un campo de participación con los compañeros del grupo colaborativo. Como bien se había nombrado en el protocolo del curso, con este trabajo se busca la interacción de todos los integrantes del grupo y ver los diferentes puntos de vista, tanto el alcance de entendimiento y metodología para finiquitar el trabajo con éxito y el llevar a cabo el curso satisfactoriamente.

Los buenos resultados se obtienen con el trabajo equipo y en este taller se ve reflejado.

3

Objetivos

Desarrollar problemas identificando las determinantes de una matriz, su inversa y Angulo entre vectores.

Entender la unidad 1 del curso, llevando a cabo la practica con ejercicios.

Socializar y conceptualizar ideas y soluciones, para así entre todo el grupo colaborativo escoger y organizar una sola idea.

Lograr que el aprendizaje sea colaborativo y se desarrollen diferentes metodologías de estudio.

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Desarrollo de la Actividad No. 6

Estimado estudiante, se espera que a través de esta actividad se realice el proceso de transferencia de los temas de la primera unidad.

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. |u|=5 ;θ=135 °

|v|=3 ;θ=60 °Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1. 2 u+v 1.2. v−u

3 v−4 uSOLUCION DEL EJERCICIO

Conversión de forma polar a rectangular:

a. |u|=5 ;θ=135 °

x=5 (cos135 )

y=5 (sin 135 )

b. |v|=3 ;θ=60 °

x=3 (cos60 )=1.5

y=3 (sin 60 )

Resolución de los ejercicios:

1.1. 2 u+v

2 [5 (cos135 ) ,5 (sin 135 ) ]+ [1.5,3 (sin 60 ) ]

¿ [10 (cos135 ) ,10 (sin 135 ) ]+[1.5,3 (sin 60 ) ]

¿ {[10 (cos135 )+1.5 ] , [10 (sin 135 )+3 (sin 60 ) ]}

Respuesta=(−5.57,9 .67 )

1.2. v−u

5

[1.5,3 (sin 60 ) ]− [5 (cos 135 ) ,5 (sin 135 ) ]

¿ {[1.5−5 (cos135 ) ] , [3 (sin 60 )−5 (sin 135 ) ] }

Respuesta=(5.04 ,−0.94 )

1.3. 3 v−4 u

3 [1.5,3 (sin 60 ) ]−4 [5 (cos135 ) ,5 (sin135 ) ]

¿ [4.5,9 (sin 60 ) ]−[20 (cos135 ) ,20 (sin 135 ) ]

¿ {[ 4.5−20 (cos 135 ) ] , [9 (sin 60 )−20 (sin 135 ) ] }

6

2. Respuesta=(18.64 ,−6.35 )Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. u=2 i+9 j y v=−10 i−4 j

u . v= (2,9 )∗(−10 ,−4 )=(2∗−10 )+(9∗−4 )

¿−20+(−36 )=−56

|u|=√22+92=¿√85¿

|v|=√−102+(−4 )2=¿√116 ¿

cos (u , v )= −56

√85∗√116= −56

√9860

cosθ= −56

√9860≈θ=cos−1( −56

√9860¿)¿

Respuesta≈θ=124.33 °

2.2. w=−2 i−3 j y u=−7 i−5 j

u . v= (−2,−3 )∗(−7 ,−5 )=(−2∗−7 )+(−3∗−5 )

¿14+15=29

|w|=√−22+(−3 )2=¿√13¿

|u|=√−72+(−5 )2=¿√74 ¿

cos (u , v )= 29

√13∗√74= 29

√962

cosθ= 29

√962≈θ=cos−1 29

√962

7

3. Respuesta≈θ=20.77 °Dada la siguiente matriz, encuentre A-1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO (Si se presenta el

caso, trabaje únicamente con números de la forma ab

y NO con sus representaciones

decimales).

A=(−5 5 57 0 −81 2 −3)

A=(−5 5 57 0 −81 2 −3|

1 0 00 1 00 0 1)

F1=−15F1

A=(1 −1 −17 0 −81 2 −3|−1

50 0

0 1 00 0 1

)F2=F2−7F1

A=(1 −1 −10 7 −11 2 −3|−1

50 0

75

1 0

0 0 1)

F2=17F1

A=(1 −1 −1

0 1−17

1 2 −3|−15

0 0

15

17

0

0 0 1)

F3=F3−F1

8

A=(1 −1 −1

0 1−17

0 3 −2|−15

0 0

15

17

0

15

0 1)F3=F3−3F2

A=(1 −1 −1

0 1−17

0 0−11

7|−15

0 0

15

17

0

−25

−37

1)F3=

F3

−117

A=(1 −1 −1

0 1−17

0 0 1 |−15

0 0

15

17

0

1455

311

−711

)F1=F1+F2

A=(1 0−87

0 1−17

0 0 1| 0

17

0

15

17

0

1455

311

−711

)F1=( F3∗8

7 )+F1

9

A=(1 0 0

0 1−17

0 0 1 |1655

511

−811

15

17

0

1455

311

−711

)F2=( F3∗1

7 )+F2

A=(1 0 00 1 00 0 1|

1655

511

−811

1355

211

−111

1455

311

−711

)

10

4. Respuesta≈ A−1=(1 0 0

0 1 00 0 1|

0.29 0.45 −0.730.24 0.18 −0.090.25 0.27 −0.64)Emplee una herramienta

computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para esto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

Imagen extraída de la pagina http://es.solvemymath.com/calculadoras/algebra/matriz/calculo_matriz.php.

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5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO (Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la

forma ab

y NO con sus representaciones decimales).

B=| 1 0 9 2 1−1 2 3 −2 1−1 0 −1 2 10 0 0 2 −20 7 0 1 1

|Buscamos transformar la matriz en una matriz triangular superior, volviendo ceros las

entradas por debajo de la diagonal principal así:

f 2+ f 1| 1 0 9 2 10 2 12 0 2−1 0 −1 2 10 0 0 2 −20 7 0 1 1

| f 3+ f 1|1 0 9 2 10 2 12 0 20 0 8 4 20 0 0 2 −20 7 0 1 1

|2 f 5−7 f 2|1 0 9 2 1

0 2 12 0 20 0 8 4 20 0 0 2 −20 0 −84 2 −12

| f 5+848f 3|1 0 9 2 1

0 2 12 0 20 0 8 4 20 0 0 2 −20 0 0 44 9

|12f 4|1 0 9 2 1

0 2 12 0 20 0 8 4 20 0 0 1 −10 0 0 44 9

| f 5−44 f 4|1 0 9 2 10 2 12 0 20 0 8 4 20 0 0 1 −10 0 0 0 53

|

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Como obtuvimos una matriz triangular superior el determinante es igual a la multiplicación de su diagonal

Det B= (1)*(2)*(8)*(1)*(53)= 848

Como en la operación 2f5-7f2 se multiplica la fila 5, al modificarse por 2, entonces el resultado para que no se altere hay que multiplicarlo por (1/2) quedado así:

Det B= (1)*(2)*(8)*(1)*(53)*(1/2)=424

Además de ello, en las operaciones se realizó la operación (1/2) f4, entonces, para que el determinante no se altere el resultado hay que multiplicarlo por (1/(1/2))=2, quedando finalmente:

Det B= (1)*(2)*(8)*(1)*(53)*(1/2)*(2)=848

Respuesta≈B=|1 0 9 2 10 2 12 0 20 0 8 4 20 0 0 1 −10 0 0 0 53

|

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6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes

(Recuerde: A−1= 1

DetA∗AdjA¿

Nota: Describa el proceso paso por paso

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma ab

y NO con sus

representaciones decimales).

A=(−1 1 −10 2 03 1 −5)

1º Encontramos por el método de sarrus el determinante:

A=(−1 1 −10 2 03 1 −5|

−1 10 23 1)=(10+0+0 )− (−6+0+0 )=16

2º Como el determinante es diferente a CERO, eso quiere decir que la matriz tiene inversa. Ahora solo falta hacer la matriz de cofactores:

−11+1(2 01 −5)=(−10 ) −11+2(0 0

3 −5)=−(0 ) −11+3(0 23 1)= (−6 )

−12+1(1 −11 −5)=−(−4 ) −12+2(−1 −1

3 −5)=(8 ) −12+3(−1 13 1)=−(−4 )

−13+1(1 −12 0 )=(2 ) −13+2(−1 −1

0 0 )=−(0 ) −13+3(−1 10 2)=(−2 )

©=(−10 0 −64 8 42 0 −2)

3º Ahora tenemos que encontrar la adjunta de A, que no es otra cosa que la transpuesta

de la matriz de cofactores. El resultado lo multiplicamos con 1DetA

:

14

A−1= 116 (−10 4 2

0 8 0−6 4 −2)=(

−1016

416

216

08

160

−616

416

−216

)4º Confirmamos el resultado con una aplicación online:

Imagen extraída de la pagina http://es.solvemymath.com/calculadoras/algebra/matriz/calculo_matriz.php.

Respuesta≈ A−1=(−1016

416

216

08

160

−616

416

−216

)

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Conclusiones

La matriz inversa solo se puede hallar si el resultado de determinantes es diferente a cero.

Existen dos formas de hacer conversiones, de forma polar y rectangular.

El trabajo colaborativo es de gran ayuda y aprendizaje, para los estudiantes conociendo nuestros puntos de vista y respetando las diferentes perspectivas.

Gauss Jordán es uno de los mayores exponentes del algebra lineal.

Para validar los resultados correctos existen ayudas online, paginas donde resuelven problemas de matrices y determinantes.

Para validar los resultados se pueden trabajar en forma de fracciones o en decimales.

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Bibliografía

Zúñiga Guerrero, Camilo Arturo. (2008). Protocolo del Curso Académico Álgebra Lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD.

Solve my math. (2006 – 2011). Calculo Matriz. Recuperado entre los meses de Marzo y Abril de 2013, de http://es.solvemymath.com/.

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