trabajo algebra valores propios y vectores propios

8/17/2019 Trabajo Algebra Valores Propios y Vectores Propios

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Introducción:

Conceptos de valores propios y vectores propios.Estos conceptos son importantes en todas las áreas de lasmatemáticas ya que se aplican a la física, estadística y en especial ala ingeniería.Los conceptos de valores propios y vectores propios se emplea en la

construcción de soluciones para las ecuaciones en diferencias comoen un sistema dinámico lineal discreto de la forma xk −1 = AX k ' para resolver sistemas diferenciales lineales y tami!n prolemaspor ecuaciones en derivadas parcialesConceptos de eigenvectores y eigenvalores.Estos conceptos se aplican en la estadística mas que en otroscampos.Los procesos de diagonali"acion y diagonali"acion ortogonal dematrices.


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#$etivos:%Conceptos de valores propios y vectores propios &eigenvectores yeigenvalores' de matrices reales y comple$as.

% conocer los eigenvectores de una matri" y sus eigenespacios.

%Conocer los procesos de diagonali"acion de matrices, y en ella unadiagonali"acion ortogonal de matrices

%(atrices sim!tricas y diagonali"acion ortogonal.

% )otenciación de matrices mediante procesos mas e*caces como ladiagonali"acion ortogonal

%+plicaciones:%En la potencia de matrices y ecuaciones en diferencias.(atrices unitarias, matrices normales y matrices ermitianas.%Crecimiento de una polación%-ormas cuadráticas


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alores propios y vectores propios

Autores:

Goltfried Wilhelm Von Lwibniz (1646-1716)

/ació en Leip"ig y estudió leyes, teología, *losofía y matemáticasproalemente sea me$or conocido por desarrollar, con /e0ton, demanera independiente, las principales ideas del cálculo diferencial eintegral, sin emargo sus contriuciones a otras ramas lasmatemáticas son tami!n impresionantes. Creó la noción de

determinante, versiones conocidas de la regla de Cramer y teoremade e1pansión de Laplace, antes que se atriuyera el cr!dito a otros,sentó las ases de la teoría de las matrices con su traa$o sore lasformas cuadráticas. Leini" tami!n fue el primero en desarrollar elsistema inario de la aritm!tica, creyó en la importancia de unauena notación con suíndices para los coe*cientes de un sistemalineal que, en esencia, es la que se usa 2oy en día.

+unque la mayor parte de su atención la dedicó Carroll a lageometría, escriió tami!n sore numerosos otros temasmatemáticos: de la cuadratura del círculo, del cifrado de mensa$es

&llegando a inventar algunos m!todos', de álgera, de aritm!ticaelectoral y votaciones, así como sore lógica.En los 3ltimos a4os de su vida no sólo prestó atención a lasmatemáticas recreativas &con $uegos de cálculo como los die" nudosde su liro 5n cuento enmara4ado' o al estudio de las parado$as&anali"ó la parado$a de +quiles y la tortuga, y elaoró una propia, lade la arería', sino que tami!n se dedicó a la 3squeda de formasde e1posición sistemática de, por e$emplo, la teoría del silogismo. )orlo demás, elaoró cuadros, *c2as y diagramas del tipo de los de enne introdu$o ároles lógicos.6En cuanto a la geometría, pulicó numerosos apuntes a modo deaclaraciones sore la ora de referencia de su !poca, los Elementos


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de Euclides, y un liro en el que confrontaa a este con otros autorescontemporáneos, Euclid and 2is (odern 7ivals &89;'.

Joseh Louis L!"r!n"e (17#6-1$1#)

(atemático y físico franc!s. En un liro de 8; !l enfati"ó laimportancia de la serie de


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Bibliografía: +lgera Lineal: 5na introducción moderna de ?avid )ooleiografías: Diipedia, ane1o de liro de ?avid )oole

En el caso de calcular, los valores escalares λ¿

' y los vectores que

no sean igual a cero tenemos, en matrices cuadradas se cumple quela matri" cuadrada +:

+1 = F1?onde:

1: vector característico &Eigenvector' de +F: valor característico &eigenvalor' de +

+ partir de esa ecuación se puede reescriir de la siguiente manera:

&+ % FG'1 = @

+sí la ecuación se transforma en el conocido sistema lineal2omog!neo 1=@, del cual saemos que tiene solución 3nica 1=@cuando det&'H@.

Esta ecuación es la importante para deducir lo siguiente:El valor de F es un valor propio de la matri" + si y solo si:

?et&+ % FG' = @

esta ecuación, es la ecuación característica de la matri" +, tami!nse puede deducir que el determinante de la ecuación anterior resultaser un polinomio de potencias de F . )or eso la ecuación: a&F'=det&+ %FG', se llama el polinomio característico de la matri" +.

ay que tener en cuenta que el polinomio característico de unamatri" de dimensiones nJn es de grado n, por lo tanto tendrá nposiles valores propios que satisfagan a la ecuación: ?et&+ % FG' = @.

)ara ver si es un vector propio se plantea que:

i F es un valor propio de + y si 1 es el vector no nulo tal que +1 = F1entonces 1 se dice que es vector propio de +, y que corresponde alvalor propio FEspacio característico de F:

5na matri" +&n1n' con un eigenvalor F, el con$unto de eigenvectoresde F $unto con 0́ , es un suespacio de Rn , llamado espaciocaracterístico de F o eigenespacio de F.


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)ara determinar los valores y vectores característicos de una matri"+, &n1n', sea I una matri" identidad &n1n'. La ecuación seria: +1 = F1en la forma +1 = FI1 y se otiene: &FI%+'1 = @)ara este sistema 2omog!neo de ecuaciones tiene solucionesdiferentes de cero si y solo si la matri" de coeficientes &FI%+' no es

invertile, es decir, si y solo si el ?E


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ot!:En 896, el matemático noruego /iels enri +el&89@%89;'demostró que una ecuación polinomica general de quinto grado oquíntica no tiene solución mediante radicales, es decir, no e1iste unaformula para sus raices en t!rminos de sus coe*cientes que usen solo

las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y e1tracciónde raices. En un articulo escrito en 89O@ y pulicado de manerapóstuma en 896B, el matemático franc!s Evariste Qalois &8988%89O'ofreció una teoría mas completa que estalecía las condiciones conlas cuales una ecuación polinomial aritraria puede ser resuelta conradicales. El traa$o de Qalois fue decisivo en el estalecimiento de larama del algera denominada teoría de gruposR su propuesta de laecuaciones polinomiales a2ora se conoce como teoría de Qalois.Sacado del libro de Algebra Lineal: Una introducción moderna deDavid Poole

(!todo de potencias

El m!todo de potencias se aplica a una matri" de n1n que tiene ineigenvalor dominante λ1 , es decir, un eigenvalor que es masgrande en valor asoluto que todos los otros eigenvalores. )ore$emplo, si una matri" tiene los eigenvalores %6, %O, 8 O, entonces %6será el eigenvalor dominante, puesto que 6= K%6K S K%OK ≥ KOK ≥ K8K. )orotra parte, una matri" con eigenvalores %6, %O, O, y 6 no tiene

eigenvalor dominante.El m!todo de potencias procede de manera interativa para produciruna sucesión de escalares que converge 2acia λ1 y una sucesión devectores que converge 2acia el Eigenvector correspondiente 8, elEigenvector dominante. )or ra"ones practicas, supondremos que lamatri" + es diagonali"ale. El teorema siguiente es la ase delm!todo de potencias.

E$emplo:

ea + una matri" diagonali"ale de n1n con eigenvalor dominante F8.Entonces, e1iste un vector distinto de cero 1@ tal que la secuencia devectores 1 de*nida por:

X 1 = + X 0 , X 2 = + X 1 , X 3 = + X 2 , . . . , A = +

X k −1 , . . . se apro1ima a un eigenvector dominante de +.

?emostracion:


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E$ercicios:

*+er'i'io1

?etermine la ecuación característica, los eigenvalores yeigenvectores.

[2 0 1

0 3 4

0 0 2] la ecuación característica ?et&FI%+'=@

¿[ λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ] % [2 0 1

0 3 4

0 0 2] K = |

λ−2 0 −10 λ−3 −40 0 λ−1|

=& F%'& F%O'& F%8'los eigenvalores son: F= , F=O, F=8

Eigenvectores: &FI%+'1 = @

Correspondiente a F=

¿

[2 0 0

0 2 00 0 2]

%

[2 0 1

0 3 40 0 2 ]

K 1=@

[0 0 −10 −1 −40 0 1

] 1 =@

1= [1

0

0] , Eigenvector correspondiente a F=

con respecto a F=O

[2 0 1

0 3 4

0 0 2] = [

1 0 1

0 0 1

0 0 0]

1=

[0

1

0

], Eigenvector correspondiente a F=O


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con respecto a F=8

[0 0 −10 −1 −40 0 0

] = [1 0 1

0 1 2

0 0 0]

1= [−1

2

1 ] = [

1

−2−1] , Eigenvector correspondiente a F=8

*+er'i'io ,

?eterminar si 1 es un Eigenvector de +.

+= [7 22 4] +1 = λ 1A= &8,'

[7 22 4] [12] = [1110 ] por lo tanto no es Eigenvector de +1= &,8'

[7 22 4] [

21] = [

168 ] por lo tanto si es Eigenvector de +

correspondiente al valor de λ=2

+= [−1 −1 1−2 0 −2

3 −3 1 ]A= &,%6,B'

[−1 −1 1−2 0 −2

3 −3 1 ] [ 2

−46 ] = [

8

−1624

] = 6 [ 2

−46 ]

por lo tanto: 1 si es Eigenvector de + correspondiente al valor de λ=4

1= &, @, B'


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[−1 −1 1−2 0 −2

3 −3 1 ] [2

0

6] = [

8

−1612

] ∴ 1 no es Eigenvector de +

*+er'i'io #

determine la ecuación característica, los eigenvalor y eigenvectores.

+= [ 1 2 −2−2 5 −2−6 −6 −3] la ecuación característica ?et&FI%+'=@

K

[ λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ ]%

[ 1 2 −2

−2 5 −2−6 −6 −3]

K =

| λ−1 −2 2

2 λ−5 26 −6 λ+3|

=& F%8'& F%N'& FMO' %6 %6%8& F%N' %8& F%8' M 6& FMO'= λ3 %O λ2 %; F M=& F%O' & F%O' & FMO'

eigenvalores: F = O , F = %O


Con respecto a F = O

[2 −2 22 −2 26 −6 6] = [

1 −1 10 0 0

0 0 0]

1 = [−1

0

1 ] , 1= [

1

1

0]

con respecto a F = %O

[−4 −2 2

2 −8 26 −6 0] = [

2 1 −11 −4 11 −1 0 ]=¿ [

1 −1 01 −4 12 1 −1] = [

1 −1 00 −3 10 0 0

]1 = [

1 /31 /3

1 ] , = [

1

1

3]


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)or lo tanto tenemos que los eigenvalores de + por simple inspecciónson:

F = 8, F = , F = 8O

por lo tanto los eigenvalores de A 15 seran:

F = 115 = 8

F = 215 = OB9

F = 1315 = N.889N9;O A 1016

?iagonali"acion de matrices

m!tri'es seme+!ntes:dos matrices cuadradas + y del mismo orden se dice que sonseme$antes cuando de puede encontrar una matri" ), no singular, que

permite escriir: += P−1 ))re multiplicado en amos lados de la igualdad, por la matri" ) ysaiendo que ) P−1 = I, se otendrá:

)+=) P−1 )

?e donde , las matrices seme$antes tami!n cumplirán que:)+ = )

)or otra parte, tami!n se puede despe$ar la matri" posmultiplicando la anterior e1presión por P−1 , de esta forma quedará:

)+ P−1 = ) P−1

?e donde: = )+ P−1

así se otiene una matri" seme$ante.

.i!"on!liz!'ion de m!tri'es or seme+!nz! de m!tri'es'u!dr!d!s:


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5na matris + es daginali"ale por seme$an"a, si se puede encontraruna matri" ), llamada (atri" de )aso, formado por los autovectores.Esto permite escriir:

? = P−1 +)?onde ?, es la matri" diagonal formada por los auto valores.

Las matrices ? y + son seme$antes, luego se le puede aplicar todo lodic2o en el párrafo anterior.

)re multiplicando por la matri" ), otenemos:

)? = ) P−1 +)?e donde:

)? = +)

)osmultiplicando por la matri" P−1 , quedará:

)? P−1 = +) P−1

)or tanto, diagonali"ar por seme$an"a la matri" + es tami!nencontrar una matri" ) y una matri" diagonal ? que permitan escriir:

+= )? P−1

para 2allar las matrices ? y ), será preciso 2allar con antelación los

auto valores y los autovectores.

Condiciones su*cientes para la diagonali"acion de matrices:i una matri" + &n1n' tiene n eigenvectores distintos, entonces + esdiagonali"ale.i T V 1 , V 2 , . . . , V k U es un con$unto linealmenteindependiente.

)ara matrices con potencias en!simas.

( P−1 AP )2 = P−1 +) P−1 +) = P−1 +I+) = P−1 A2 )

generali"ando: Ak

= P Dk

P−1

E$ercicios:

*+emlo 1

2allar una matri" ) que diagonalice a la matri" +

+=

[1 0

6 −1]


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Ecuación característica: KFI%+K = | λ−1 06 λ+ 1|)olinomio característico: = & F%8' & FM8'

Eigenvalores: F = 8 F = %8

Eigenvectores para &FI%+'1 = @

)ara F = 8

[0 06 −1] [1∧¿/ 30 ] = [13 ])ara F = %8

[−2 06 −1] = [1 00 0 ] [01]la matri" ) es consecuente:

[1 03 1]

*+emlo ,

determine si la matri" es diagonali"ale.

+= [3 0 0

0 2 0

0 1 2]

Ecuación característica: KFI%+K

[ λ−3 0 0

0 λ−2 00 1 λ−2] = &F%O'& F%'& F%'

?onde los eigenvalores F = O, F =


)ara F = O


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[0 0 0

0 1 0

0 1 1] [

0

0

1] Eigenvector

[−1 0 0

0 1 0

0 −1 0] [0

0

1] Eigenvectorcomo solo 2ay dos eigenvectores, se concluye que la matri" + no esdiagonali"ale, por no 2aer su*cientes vectores para formar )

*+emlo #calcule A 10 por medio de lo Eigenvalores y Eigenvectores

+= [ 1 0−1 2] e sae que A k = P Dk P−1

)rimero encontrar ):Eigenvalores: F = , F = 8

Eigenvectores: &FI%+'1 = [ λ−1 01 λ−2] )ara F = 8

[0 01 −1] , 1 = [

11]para F =

[1 01 0] , 1 = [01]

)=

[

1 0

1 1

], P−1 =

[

1 0

−1 1

],


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?= [ 1 0−1 1] [ 1 0−1 2] [1 01 1] = [ 1 0−2 2] [1 01 1] = [1 00 2 ] A k = P Dk P−1

A10 = [1 01 1] [1 00 210] [ 1 0−1 1] = [1 01 1024] [ 1 0−1 1]= [ 1 0−1023 1024]

*+emlo 4

?etermine si + es diagonali"ale, encuentre una matri" ) quediagonalice a +

+= [−1 4 −2−3 4 0−3 1 3 ]

Ecuación característica:

| λ−1 −4 2−3 λ−4 0−3 1 λ−3| = & FM8'& F%6'& F%O' %B %B& F%6' %8& F%O'

& λ2 %6F%6'& F%O' = &F%O'& F%'& F%8'eigenvalores : &F%O'& F%'& F%8' = @

F= O, F = , F = 8multiplicidad = 8

por lo tanto multiplicidad = O = numero vectores columna, por lo

tanto + si es diagonali"ale.


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Eigenvectores:

)ara F=O

[−1 −4 2

3 −1 03 −1 0]

=

[1 −1 1/20 2 −3/20 0 0 ]

, 1=

[1/43 /4

1 ] =

[1

3

4 ]para F =

[3 −4 23 −2 03 −1 −1] = [

3 −1 −10 1 −10 0 0

] , 1 = [2 /3

1

1 ] = [

2

3

3]

para F = 8

[2 −4 23 −3 03 −1 −2] = [

1 −1 00 1 −10 0 0

] , 1 = [1

1

1]

por lo tanto la matri" )= [1 2 2

3 3 3

4 3 3]

*+emlo

allar una matri" ) que diagonalice a la matri" +

+=

[

2 0 −20 3 0

0 0 3

]+l ser + una matri" triangular, se pueden e1traer directamente suseigenvectores que son: F = O, F =

+demás, &FI%+'1 = [ λ−2 0 2

0 λ−3 00 0 λ−3]

Los eigenvectoresR

)ara F =


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[0 0 2

0 −1 00 0 −1] [

1

0

0]

para F = O

[0 0 2

0 −1 00 0 −1] [

−2 t st ] = t [

−20

1 ] M s [

0

1

0]

por lo tanto )= [0 −2 11 0 0

0 1 0]

(atrices sim!tricas y diagonali"acion

ortogonalreve istoria:En una clase que impartió en la universidad de Qottingen en 8;@N, elmatemático alemán ?avid ilert &89B%8;6O' considero operadoreslineales que actuaan core ciertos espacios vectoriales de dimensiónin*nita, de esta clase surgió la noción de una forma cuadrática en unain*nidad de variales, y fue en este conte1to que ilert utili"o porprimera ve" el termino VespectroV para referirse a un con$untocomplemento de eigenvalores. Los espacios en cuestión se conocenen la actualidad como espacios de ilert.

ilert 2i"o importantes contriuciones a muc2as áreas de lasmatemáticas, entre ellas, las ecuaciones integrales, la teoría de


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n3meros, la geometría y fundamentos de matemáticas. En 8;@@, enel segundo congreso Internacional de las (atemáticas, en ella,desafío a los matemáticos a resolver O prolemas de importanciafundamental durante el siglo que se avecinaa, muc2os de losprolemas 2an sido resueltos y se 2a proado que algunos eran

verdaderos y otros falsosR otros mas nunca pudieron resolverse. /oostante, el discurso de ilert galvani"o a la comunidad matemáticay con frecuencia se considera como el de mas inWuencia que $amásde 2aya pronunciado acerca de las matemáticas.

Cita del libro algebra lineal una introducción moderna- de David Poole 5na matri" cuadrada + es ortogonalmente diagonali"ale si e1isteuna matri" ortogonal X y una matri" diagonal ? tal que: QT +X = ?


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su esectro' * or esta raón' es aroiado "ue la alabra $esectro$ +a*a venido a alicarse al con,unto de todos los eigenvalores de unamatri u oerador%

(atri" ortogonal:

5na matri" ) es ortogonal si y solo so sus vectores columna formanun con$unto ortonormal.

)rocedimiento para diagonali"ar ortogonalmente una matri"+&n1n' sim!trica

8.% determinar todos los eigenvalores de + y la multiplicidad de cadauno.

.% para cada eigenvalor de multiplicidad 8 elegir un Eigenvector ynormali"arlos para otener una ase ortonormal.

O.% para cada eigenvalor de multiplicidad Y encontrar un con$untode vectoresLinealmente independientes, que sean ortonormales, aplicando elm!todo de ortonormali"acion de Qram%c2imt2, encontrando así ases ortonormales para cada eigenespacio.

6.% las ases ortonormales otenidas constituyen los vectorescolumna de la matri" ) por que dee satisfacer: P−1 +) = PT +) =? &diagonal'

E$ercicios: *+emlo 1


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uponiendo que H@, encuentre una matri" que diagonaliceortogonalmente a +

+ = [a bb a]Eigenvalores:

[ λ−a −b−b λ−a ] = λ2 P aF M& a2−b2 'F = aM , F = a%

Eigenvectores: Con F = aM

[ b −b−b b ] = [1 −10 0 ] = t [11] = u8con F = a%

[ b −b−b b ] = [1 10 0 ] = t [11] = uortonormali"acion de u8, u:

otención [ i j1 1] = i%$ = &8,%8' = &%8,8' = (−1,1)√ 2otención 8, 8 =

u 1

‖u 1‖ =

(−1,1)

√ 2

la matri" ortogonal que diagonali"a a + es:

) =

[−1

√ 2

1

√ 21

√ 2

1

√ 2 ]


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*+emlo ,

Encuentre una matri" que diagonalice ortogonalmente a +.

+ = [ 6 −2−2 3 ]Eigenvalores:

[ λ−6 22 λ−3] = &F%B'& F%O' %6,F = , F =

Eigenvectores:

Con F =

[1 22 4 ] = [1 20 0 ] 1, = t [−21 ] Z[ u8con F =

[−4 2

2 −1] =

[2 −1

0 0

]1, = t

[

1

2

]Z[ u

#rto normali"amos u8, u

#tención [ i j2 −1] = i M$ = &8,' = (−1,−2)√ 5#tención 8 =

u 1

‖u 1‖ =

(−2,1)

√ 5

La matri" ortogonal de diagonali"ada a + es:

)= [−1

√ 5

−2

√ 5−1

√ 5

1

√ 5]


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*+emlo #

?etermine si la matri" dada es ortogonal.

+=

[

√ 2

2

−√ 66

√ 3

3

0 √ 6

3

√ 3

3

√ 22

√ 66

−√ 33

] sus vectores columna deen formal un

con$unto ortonormal.

)8= & √ 2

2, @, √

2

2 ' , ) = &

−√ 66

,√ 6

3, √ 6

6 ' )O = & √

3

3, √

3

3,

−√ 33

, '

\p8,pS = %

√ 12

12 M

√ 12

12 = @

\p8,pOS = % √ 6

6 % √

6

6 = @

\p,pOS = % √ 18

18 M √

18

9 % √

18

18 = @

KKp8KK = ¿ p 1, p 1>¿√ ¿

= ] M]6 = 8 =8

KKpKK = ¿ p 2, p 2>¿√ ¿

= B]OB M B];MB]OB = 8= 8

KKpOKK = ¿ p 3, p 3>¿√ ¿

= O];MO];MO]; = 8 = 8

por lo tanto sus vectores si forman un con$unto ortonormal yconsecuentemente la matri" si es ortogonal.

*+emlo 4

Encuentre una matri" ortogonal ), tal que PT +) diagonaliceortogonalmente a +.


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+= [ 0 10 10

10 5 0

10 0 −5]Eigenvalores:

[ λ −10 −10

−10 λ−5 0−10 0 λ+ 5] F& λ2 %N' %8@@&F%N' P 8@@&F%N'

?onde: F = @, F = 8N, F%8N

Eigenvectores:

Con F = @

[ 0 −10 −10−10 −5 0−10 0 5 ] = [

1 0 −1/20 1 1

0 0 0 ] = t [

1 /2−1

1 ] = [

1

−22 ] Z[ u8

Con F = 8N

[ 15 −10 −10−10 10 0−10 0 20 ] = [

1 0 1

0 1 −20 0 0

] = t [2

2

1] Z[ u

Con F = %8N

[

−15 −10 −10−10 −20 0

−10 0 −10

] =

[

1 0 1

0 1 −1

0 0 0

] = t

[

−11

1

] Z[ uO

#rtonormali"acion u8, u

#tención O |i j k 1 −2 22 2 1

| = %Bi M O$ M BO=

(−6,3,6)9

= & 2

3 ,

−13

,2

3 '


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#tención: | i j k

1 −2 2−6 3 6| = %89i %89$ %;

=(−18,−18,−9)

27 = & −2

3 ,−2

3 ,−1

3 '

#tención 8, 8 =u 1

‖u 1‖ =

(1,−2,2)3

La matri" ortogonal que diagonali"a a + es

) = [ 1/ 3 −2 /3 2/ 3−2/ 3 −2 /3 −1/3

2 /3 −1 /3 −2/3 ]

*+emlo

?iagonalice ortogonalmente a +.

+= [ −2 0 −36

0 −3 0−36 0 −23]

Eigenvalores:

[ λ+2 0 36

0 λ+3 036 0 λ+23] &FM'& FMO' &FMO' % 8;B&FMO'

F = %O, F = %N@, F =N

Eigenvectores:

Con F = %O

[

−1 0 360 0 0

36 0 −20

] =

[

1 0 −360 0 1

0 0 0

] = t

[

0

1

0

] Z[ u8


27/59

Con F = %N@

[−48 0 36

0 −47 036 0 −27] = [

1 0 −3/40 1 0

0 0 0 ] = t [

3 /40

1 ] Z[ u

Con F =N

[27 0 36

0 28 0

36 0 48] = [

1 0 −4 /30 1 0

0 0 0 ] = t [

−4/ 30

1 ] Z[ uO

ortonormali"acion u8, u, uO.

#tención de O:

[ i j k

0 1 0

−3 /4 0 0] = i −34 k = &

45

, 0,−35 '

#tención de : [ i j k

0 1 0

−4/ 5 0 −3/ 5] = % 35 i % 45 k = &% 35 ,@, % 45 '#tención de 8, 8=

u 1

‖u 1‖ = &@,8,@'

La matri" ortogonal que diagonali"a a + es:

)= [ 4 /5 0 −3/5

0 1 0

−3 /5 0 −4/5]

)otencias de matrices: Ecuaciones en?iferencias

En este tema se puede utili"ar los auto valores y autovectores parareali"ar dic2a operación de forma mas cómoda. se parte de lae1presión:

P−1 +)= ?

elevando al cuadrado amas partes de la e1presión, quedara:[ P−1 AP]2 = D2


28/59

y saiendo que P−1 ) = I, quedara:^ P−1 +)_^ P−1 +)_ = P−1 +) P−1 +) = P−1 A2 ) =

D2

luego, si se quiere elevar a una potencia determinada una matri" +,en virtud del ra"onamiento anterior, se podrá escriir:

P−1 A

n ) = Dn

)remultipicando amos miemros de la igualdad por ), yposmultiplicando por P−1 , se tendrá:

) P−1 An ) P−1 = ) Dn P−1

5n sistema en diferencias lineal con coe*cientes constantes de mecuaciones y m variales, es una e1presión que podemos escriir

matricial% mente de la siguiente manera:

?e entre este tipo de sistemas, el caso mas elemental &aunque paracasos mas generales, el procedimiento a seguir es similar' consiste endos ecuaciones y dos variales

La clave para resolver este tipo de sistemas, es intentar e1presarlocomo una ecuación en diferencias lineal de segundo orden concoe*cientes constantes. En efecto, de la primera de las ecuaciones

sustituimos el valor de la segunda de las ecuaciones del sistema en:

en la que solo aparece un termino en el que no intervenga la

función?espe$ando de la primera ecuaciones del sistema, sustituyendo y

2aciendo factor com3n se otiene *nalmente:


29/59

que es una ecuación en diferencias lineal de segundo orden.

ea + una matri" cuadrada de orden p, y u@ ` R p . Entonces lasolución del sistema de ecuaciones en diferencias un = +nn%8 con unvector inicial u@ es:

5n = ) J n P−1 u@ n=8,,

iendo b = P−1 +) la forma canónica de bordán de +.

/orm! e0li'it! de l! solu'in de un! e'u!'in endiferen'i!s line!l homo"2ne!

Como aplicación directa del tema anterior, acaamos de ver quecuando + es diagonali"ale, la solución general del sistema viene dadpor 5n = ) Dn P−1 u@ , siendo ) la matri" de paso formada por losautovectores dispuestos por columnas, y Dn la matri" diagonal conlas potencias en!simas de los autovalores.

#s!rvese que para dar la e1presión e1plicita tenemos ),? y & Dn ',u@, y lo 3nico que queda por otener es P−1 . +2ora ien, requerimos

P−1 u@ , de modo que uni!ndolo todo resulta:

5n = c1 λ1n x1+c2 λ2

n x2+. ..+ c p λ p

n x p n = 8,, . . .

iendo λ1 , λ2 , λ3 , . . . , λ p los autovalores de +, y x1, x2, x3 , . . . , x pautovectores linealmente independientes asociados a λ1 , λ2 , λ3 , . . . , λ p

respectivamente y c=c

[¿¿1 , c2 ,c3 , . . . , c p]t

¿ la solucion del sistema )c =

u@

?e*nición:Llamamos ecuaciones en diferencias lineales 2omog!neas de orden p

a partir de una e1presión del tipo:

zn+a1 zn−1+a2 zn−2+ .. .+a p zn− p Tsiendo a p H@Udonde a1 , …. , a p son conocidos, y cada termino zn para nY pM8se otiene a partie de los p t!rminos anteriores &los p valores iniciales

z1, z

2, ... , z p R generalmente son datos'. #tra manera de de*nir la

sucesión es transformando de esta ecuación en un sistema deecuaciones en diferencias de la siguiente manera:

sea y , en generalentonces se tiene:


30/59

esta relación es valida para n=pM8 , pM, . . .

volvemos por tanto al estudio de los autovalores y autovectores paraaplicar los resultados previos. La forma del polinomio característico deun sistema de ecuaciones en diferencias que provenga de unaecuación en diferencias de orden superior tiene una e1presión *$a queconviene conocer para a2orrarnos traa$o.

)roposición: los autovalores de una matri"

on las raices del polinomio:

Este polinomio recie el nomre de polinomio característico de laecuación en diferencias.

egundo teorema:


31/59

[1 11 0] [ xn−1 xn−2] = [

xn−1+ xn−2 xn−1 ] = [

xn xn−1]

+sí:1 1

1 0

[1

1

] =

[

2

1

] =

[

x3

x2

] [1 11 0] [21] = [1 11 0]

2

[11] = [32] = [ x

4

x3 ]

1 1

1 0 [31] = [1 11 0]3

[11] = [52] = [ x

5

x4 ]

y en general se puede escriir:

An−2

[1

1] = [ xn

xn−1]?onde + = [1 11 0]Esto se simpli*ca al 2allar ) tal que ?= P−1 AP sea diagonal como+=)? P−1 se concluye que Ak = PDk P−1 lo que signi*ca que laformula matricial para determinar el en!simo termino es:

An−2

[11] = PDn−1

P−1

[11] = [ xn

xn−1]*+emlo ,

7esuelva la ecuación en diferencia:an=2 an−1+3 an−2 , para n= O, 6, N,

con las condiciones iniciales a1 = @, a2 = 8 determinar a15

an=2 an−1+3 an−2

bn=2bn−1 , n = O, 6, N, . . .

en forma matricial tenemos:

[anbn] = [2 3

1 0] [an−1bn−1] , n = O,6,N, . . .


32/59

los valores propios y los vectores propios corresponden de la matri"

[2 31 0] son:

λ1 = %8, !1 = [ 1

−1] R λ2 = O. !2 = [

3

1

]C = [ 1 3−1 1]

C −1 =

1

4 [ 1 3−1 1]entonces:

[anbn] = C [ λ

1

n−2 0

0 λ2

n−2] C −1[a2b

2]

=

−1¿¿

¿ n−2¿0¿¿

1

4 [ 1 3

−1 1]¿

1 −31 1 [10] , ya que b1 = a1 = @

−1¿¿3¿¿

¿ n−2¿

−1

¿¿3¿¿¿

1

4¿

=

−1¿¿3¿¿

¿n−1¿

−1

¿¿3¿¿¿

1

4¿


33/59


34/59

F= ( 5#√ 52 )

xt = $ 1

(

5+√ 52

)

t

+ $ 2

(

5−√ 52

)

t

xt = a

a%Na MNa = %6a = %6

la solución a la ecuación es:

xt = $ 1 ( 5+√ 52 )t

+ $ 2( 5−√ 52 )t

−4

*+emlo 4

#tener A 86

+= [−7 6−9 8]?etKFI%+K = [ λ+7 −69 λ−8] = λ2 %9F MF %NB MN6 = λ2 P F %

λ2 P F % = @

&F%'& FM8'= @

λ1=2

λ2=−1

con λ1=2

[9 6

9 −6] [ λ1 λ2] = [

0

0]; λ1=−6 λ 2

λ1=t λ

2=

9

6 λ

1

t= [11]


35/59

)= [1 2 ⋮ 11 3 ⋮ 1 01] = [1 2 ⋮ 10 1 ⋮−1 01] = [1 0 ⋮30 1 ⋮−1−21 ]? = P−1 +)

?= [ 3 −2−1 1 ] [

−7 6−9 8] [

1 2

1 3] = [ 3 2

−1 1] [1 2

1 3] =[−1 00 2]

Entonces: A 86 = ) D86 P−1 = [1 21 3][(−1)86

0

0 286 ][ 3 −2−1 1 ]

A 86 = [1 287

3 3∗286][ 3 −2−1 1 ]

A 86=¿ [ 3−287 −2+287

3−3∗286 −2+3∗2 86]

*+emlo

En una polación de 8@@@ individuos se oserva que de modoapro1imado el 9@ de los que eran donantes de sangre un a4osiguiente siendo al siguiente y que el @ de los que no eran

donantes de sangre permaneces de nuevo sin donar, al otro a4o,suponiendo que inicialmente 2ay @@@ donantes 2allar cuantos 2arádespu!s de 8@ a4os.

?enominamos %n y &n al numero de donantes y no donantes que2ay despu!s de n a4os. Entonces se veri*can las siguientesecuaciones en diferencias.

%n+1 = @.9 %n M @.O &n

&n+1 = @. %n M @. &n

+= [0.8 0.30.2 0.7 ] y un = (%n&n) de modo matricial equivalente

a un+ 1 = + un

?onde: u0 = (%0&0) = (20008000) deemos 2allar An

)ara ello calculamos la diagonali"acion de la matri" +


36/59

+ = [0.8 0.30.2 0.7 ] ?et&+ % FG' = @

+= [ λ−0.8 −0.3−0.2 λ−0.7] =

λ2

P@. F %@.9 F M @.NB P @.@B =

λ2 %8.N F [email protected] = @

λ1=1 λ2=

1

2

si λ1=1

[ 0.2 −0.3−0.2 0.3 ][

λ1 λ2] = [

0

0]o. λ1 = @.O λ2

t = [32]si λ2=

1

2

[ 0.3 −0.3−0.2 −0.2][ λ1 λ2] = [00]o.O λ1 = %@.O λ2

λ1 = t λ2 = %t

t = [ 1−1]

? = [0.5 00 1] y ) = [ 1 1−1 1] [ (0.5)n

0

0 1] 12 [1 −11 1 ]

An = ) Dn P−1 = [ 1 1−1 1] [ (0.5 )n

0

0 1] 12 [1 −11 1 ]

An =1

2 [ (0.5 )n

0

0 1][1 −11 1 ]


37/59

An = [ (0.5 )

n+1 −(0.5 )n+1

−(0.5 )n+1 (0.5 )n+1 ]

(atrices 5nitaria, /ormales y ermitianas

&on'eto3

!triz unit!ri!:

5na matri" unitaria es una matri" comple$a, 5 de n por n elementos,que satisface la condición:

T 5 = 5 T = I n

donde I n es la matri" identidad y T es el traspuesto con$ugado

de 5. Esta condición implica que una matri" 5 es unitaria si tieneinversa igual a su transpuesta con$ugada T

una matri" unitario en la que todas las entradas son reales es unamatri" ortogonal y por lo tanto preserva el producto escalara de dosvectores reales.

\ ( x ,( " S = \1,yS

+sí que una matri" unitaria 5 satisface:\ x , " S = \1,yS

para todos los vectores comple$os 1 e y, donde \. , .S representa alproducto escalar en C n

i + es una matri" n1n entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:

8. + es unitaria.. An es unitaria.


38/59

O. Las columnas de + forman una ase ortonormal de C n conrespecto al producto escalar usual.

6. Las *las de + forman una ase ortonormal de C n con respectoal producto escalar usual.

N. + es una isometría con respecto a la norma de su propio

escalar.

e desprende de la propiedad de isomería que todos los autovaloresde una matri" unitaria son n3meros comple$os de valor asoluto 8,esto tami!n se cumple para su determinante.


39/59


40/59

e separa el elemento diagonal de las sumatorias:

5sando &8':

)or lo tanto :

!tri'es %ermiti!n!s:

5na matri" ermitiana o ermitica es una matri" cuadrada deelementos comple$os que tiene la característica de ser igual a supropia transpuesta con$ugada. Es decir, el elemento en la i%!sima *lay $%!sima columna es igual al con$ugado del elemento de la $%en!sima*la e i%!sima columna, para todos los índices i y $:

aij= áij

o escrita con la transpuesta con$ugada AT :

AT = +

por e$emplo:

+ = [ 3 5+i5−i −3 ]Es una matri" ermitiana.

)ropiedades:


41/59

8. ea + = M iC, donde es ermitiana y y C reales, entonces essim!trica & = *T ' y C anti sim!trica &C = % C T '

.% La inversa de una matri" ermitiana es tami!n ermitiana.

O.% En relación con la propiedad O, los autovalores de estas matricesson reales.

6.% En una matri" ermitiana, los elementos de la diagonal principalson reales.

N.% La determinante de una matri" 2ermitiana es un n3mero real.

?iagonali"acion de matrices ermitianas:

ea ermitica, es decir + = A

+ . Entonces +es diagonali"ale unitariamente. # sea, se la puede descomponer dela siguiente manera:

En donde:

8.% ) es una matri" unitaria y el con$unto Col&)' es ortonormal y estáformado por autovectores de + asociados a sus respectivosautovalores. Estos vectores deen ir en orden, respecto de sus

autovalores. .% una matri" diagonal formada con autovaloresde &todos reales')ropiedades de las matrices ermitianas:

13- es unitaria si y sólo si ). P + = P + . ) = n lo queimplica que son ortogonales, es decir, para todo idistinto de $, y si i es igual a $ entonces. ?ondees el producto interno canónico en $ n .Entonces el con$unto Col&)' es una ase ortonormal de

$

n .

#servar que la implicación de que el producto interno de 8 sicoinciden los suíndices, implica que *l&)' es un con$unto ortonormal.

Caso particular:cuando la matri" unitaria cumple además PT = ) &oservar que setrata sólo del caso real', entonces ocurre que P . PT = ).) = P2 =

I n . En este caso la matri" ) se dice involutiva y está asociada auna reWe1ión respecto de un plano.

,3- +nalicemos el siguiente caso suponiendo +.v = λ . ! ∈ $ nsea autovalor de + asociado al autovector v ∈ $ n


42/59

?e donde

#3- ean !1 , !2 , !3, . . . , !n autovectores de la matri" ermítica +∈ $

nxn asociados a los autovalores λ1 , λ2 , λ3 , . . . , λn respectivamente.upongamos que al menos, e1iste un par de estos 3ltimos distintos,

λi ≠ λ j es decir, para alg3n par . Entonces,Es decir, autovectores asociados a autovalores distintos sonortogonales

?e donde:

E$ercicios:

*+emlo 1

?ada la matri" + = [2

+3

i 1

+2

i1+ 2i 2+3 i ] calcular:8. calcular sus autovalores a partir de sus componentesermitianas

. comproar que es normal sin calcular la matri" conmutatri".

8.% primero deemos calcular los autovalores y autovectores de suscomponentes ermitica

+ 1 y + 2

Componentes + 1 :


43/59

)& λ '= [ λ−2 −1−1 λ−2] = λ2 P6F MO = @ = & λ−1 '& λ−3 '

λ11 = 8 λ12 = O

para λ11 = 8

&I% + 1 '1 = @

[−1 −1−1 −1][ x1 x2]=[0

0] x1 + x2=0 u11=[ 1−1] para λ12 = O

&OI% + 1 '1 = @

[−1 −1−1 −1][ x1 x2]=[0

0] x1− x2=0 u11=[11]Componentes + 2Los autovalores son los mismos que los de + 1 , sus autovaloresvienen dados por:

λ21 = u11t

+ 2u11u

11

t u

11

=1 λ22 = u12t

+ 2 u12u

12

t u

12

=5

por lo tanto los autovalores !1=(1,−1)t y !2=(1,1)

t asociados,

respectivamente, a los autovalores λ1 = 8Mi y λ2 = OMNi

*+emlo ,

?ada la matri" + = [ 1+ i 2−i2−i 1−i] comproar que es normal y que!

1=¿ [−i1 ] es un auto vector de su primera componente ermitica

+ 1 asociado al autovalor λ1 = @


44/59

++ = [ 1−i 2+i−2−i 1−i ] [ 1+ i −2+ i2−i 1+i ] = [ 7 6 i−6 i 7 ]

++ = [ 1+ i −2+ i2−i 1+i ] [ 1−i 2+i−2−i 1−i ] = [ 7 6 i−6 i 7 ]++ = ++ , por lo tanto la matri" es normal.

+ 1 = A+ A '

2 = [ 1 i−i 1] y + 1 = A− A ' 2 = [ 1 2i−2 i 1 ]

+ 1 [−i1 ] = [ 1 i−i 1] [−11 ] [00] = @ [−i1 ] por lo tanto λ1 = @ es un autovalor de + 1 asociado al auto vector

!1=¿ [−i1 ]

*+emlo #

Comproar que la matri" 5 = [ 0.6 0.8−0.8 0.6] es unitaria, ortogonal, yotener asándose en ella, una matri" normal + que tenga porautovalores y Oi. Calcular la conmutatri" de + y comproar que sus

componentes ermitica conmutan.

55 = T = [0.6 −0.80.8 0.6 ] [ 0.6 0.8−0.8 0.6] = [1 00 1 ] = I)or lo tanto la matri" en unitaria

)ara otener una matri" normal + que tenga autovalores y Oi, tieneque ser diagonali"ale unitariamente.

5+5 = ? = [2 00 3 i ] Z[ + = 5?5

+= [0.6 −0.80.8 0.6 ][2 00 3 i ][0.6 −0.80.8 0.6 ] = [ 0.72+1.92i −0.96+1.44 i−0.96+ 1.44 i 1.28+1.08 i ]


45/59

para la conmutatri" de la matri" +.

+ 1 = &+M+' = [ 0.72 −0.96−0.96 1.28 ]

+ 2 = 8]i &+M+' = [1.92 1.441.44 1.08]

+ 1 + 2 = [0 00 0 ] = @ + 2 + 1 = [0 00 0 ] = @ Z[ + 1

+ 2 = + 2 + 1

por lo tanto C&+'= @

*+emlo 4

ea + una matri" 1 = [1 22 1] y sim!trica como el caso particularde matrices ermitianas, entonces, se ve que λ1 = O es un

autovalor de + asociado al auto vector !1=[11 ]T , es decir que el

autoespacio asociado a este autovalor es- λ1 = gen T [−1 1]

T U,

el otro autovalor es λ1 = %8 asociado a autovector !2=[−1 1]T , es

decir que el autoespacio asociado a este autovalor es - λ2 = gen T

[−1 1]T U,como se puede ver, (!1 , !2) = @R es decir, son ortogonales.

La descomposición de la matri" es:

+= [1 / 2 −1/ 21 / 2 1/ 2 ][3 00 −1][ 1/ 2 1/ 2−1/ 2 1/ 2]

+= [−1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2] [−1 00 3 ][−1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2]

*+emlo


46/59

1

27 [ 43 −24−32i −21+4 i

−24+32i 37 −8+24 i−21−4 i −8−24 i 1 ]

?et&FG %+ ' = 127 [

λ−43 24+32 i 21−4 i24−32 i λ−37 8−24 i21+ 4 i 8+24 i λ−1 ]

λ3 % 3 λ2 MO= @por lo tanto, los valores propios son 8, %8, y O

con F = 8

1

27

[ −42 24+32 i 21−4 i

24

+32i

−36

−8

−24 i

21+4 i 8+24 i 0

] [ x

1

x2

x3]

=

[0

00

]con F =% 8

1

27 [ −44 24+32 i 21−4 i

24−32 i −38 8−24 i21+ 4 i 8+24 i −2 ][

x1

x2

x3

] = [000]con F =O

1

27 [ −41 24+32 i 21−4 i

24−32 i −34 8−24 i21+4 i 8+24 i 2 ]

x1

x2

x3

= [0

0

0]

u1=¿

[

1

12

25−

16

25i

−65

−25

i

], u2=¿

[

1

3

4−i

32−1

2i

], u3=¿

[

1

−35

−4

5i

320

− 120

i

]como la matri" + es ermitiana los vectores propios correspondientesa valores propios deferentes deen ser ortogonales. Entoncestenemos:


47/59

!1=¿

[

5 /94

15−

16

45i

−23

−2

9i

], u2=¿

[

4 /91

3−

4

9i

2

3−

2

9i

], u3=¿

[ 9√ 3 /2

−2√ 1015

(1−4

5i)

√ 10

30(1+

1

3) ]

a2ora formamos la matri" de transformación usando en cada columnacada uno de los vectores propios normali"ados entonces nos queda:

[ 5 /9 4/9 9√ 3 /24

15−

16

45i

1

3−

4

9i −2√ 10

15(1−

4

5i )

−23

−2

9i

2

3−

2

9i

√ 10

30(1+

1

3) ]

+plicaciones: Crecimiento de unapolación:

Com3nmente se utili"an matrices para elaorar modelos decrecimiento de una polación en un tiempo determinado, estasmatrices permiten el agrupamiento por edades de sus elementos, lo

que implica diferentes tasas de fertilidad y mortalidad. )rimero sedee agrupar la polación en clases de edad de la misma duración.#teniendo así n elementos de esta manera:

A= [ x

1

x2

⋮

xn] x1 = numero en la clase de la i%esima edad

i L es tiempo que vive un miemro del 1 clase edad R se estalece:

^@, L]n _ = clase primera edad


48/59

^L]n , L]n_ = clase segunda edad

^&n%8'L]n , L_ = clase n%esima edad

En el L]n a4os, la proailidad de que un elemento soreviva y pase ala siguiente clase esta dada por pi , donde

@ / pi / 8, i= 8,, . . . , n%8

el numero de descendencia de un miemro es:

@ / bi , i= 8,, , n

lo que en forma matricial puede representarse:

[b

1 b

2 ⋯ bn−1 bn

p1 0 ⋯ 0 0

0

0́

p2

0́

⋯ 0 0

⋯ ´ Pn−1 0́

?onde + = matri" de transición de edades

i multiplicamos la matri" de transición de edades por el vector

distriución de edades &1' en un periodo especi*co, otenemos elvector distriución de edades para el siguiente periodo, en formasimólica esto es:

+ x i= xi+1

E$ercicios:*+emlo 1

Encuentre una distriución de edades estalece para la transición deedades del e$ercicio anterior.olución:

a que dee ser estale el crecimiento estalecemos que:

?eterminamos un eigenvalor de +


49/59

[ λ −3 −4−1 λ 0

0 −1/2 λ ] = λ3 % 3 λ2 M

en donde uno de su eigenvalores es λ = , traa$ando con estevalor

el Eigenvector correspondiente a λ=2, será:

[ 2 −3 −4−1 2 0

0 −1/ 2 2 ] [2 −3 −41 1 0

0 1 −4] = [1 −2 01 −3/ 2 −20 1 −4 ][

1 −2 00 1 −40 0 0

]

t [8

4

1 ] = vector de distriución de edades que ocasiona estailidad.

Comproación :

+ x1 = [0 3 4

1 0 0

0 1/ 2 0] [8

4

1] = [

16

8

2 ] Z[ incremento

estale

*+emlo ,

?etermine la polación de insectos para el cuarto mes del e$ercicioanterior

El tercer mes estará determinado por x3= A x2

El cuarto mes por lo tanto: x4= A x3

x3 = [

10 5 1

1 /3 0 00 1/2 0][

248

6

6 ] = [

2516

83

3 ]

x4 = [

10 5 1

1 /3 0 00 1/ 2 0] [

2516

83

3 ] = [

25578

839

42 ]

7espuesta:


50/59

la polación dentro de cuatro mese será de NN9 insectos de edadmenor a un mes, 9O; insectos comprendidos entre uno y dos meses,y 6 insectos mayores a dos meses y menores a tres meses.

*+emlo #

?ada la matri" + de transición de edades, y el vector 1, vector dedistriución de edades encuentra la distriución de edades para eltercer a4o.

+ = [0 3 4

1 0 0

0 1/2 0] x1 = [12

12

12]

x2= A∗ x1

x2 = [

0 3 4

1 0 0

0 1/ 2 0] [12

12

12] = [

84

12

6 ]

x3= A∗ x

2

x3 =

[0 3 4

1 0 00 1/2 0] [

84

126 ]

=

[60

846 ]

7espuesta:La distriución de edades para el tercer a4o será de B@ 2aitantes enla clase de primera edad, 96 en la clase de segunda edad y B en laclase de tercera edad.

*+emlo 4

?etermine la polación de insectos en un mes si5n tercio sorevive el primer mes, de estos un medio soreviveel segundo y la duración de vida de los insectos es tres meses

El primer mes su desendencia media es 8, el segundo N, eltercero 8

+ctualmente 2ay 89 insectos de edad un mes, 8 de meses y9 de O meses.


51/59

olución:

ector distriución edades: A=

¿18

12

8−¿¿

(atri" trascendencia edades + = [ 10 5 1

1 /3 0 00 1/2 0]

?entro de un mes: x2= Ax1

x2 = [

10 5 1

1 /3 0 00 1/2 0] [

18

12

8 ] = [248

6

6 ]7espuesta:

La polación dentro de un mes será: 69 de edad menor a un mes, Bentre uno y dos meses y B mayores a dos meses pero menores a tres

*+emlo

una polación presenta las siguientes características:

N sorevive el primer a4o, de estos el N el segundo a4osorevive, lapolación vive un má1imo de tres a4os

cada miemro tiene descendencia media: el primer a4o, 6 elsegundo y el tercero .

actualmente son 8@ individuos en cada etapa de vida.

Cuantos 2aitantes 2ará en el lapso de un a4o

La matri" de transición de edades esta dada por:

+ = [ 2 4 2

0.75 0 0

0 0.25 0]

El vector de distriución de edades es:


52/59

x1 = [

120

120

120]

2aitantes en un a4o x2 = +1

= [ 2 4 2

0.75 0 0

0 0.25 0] [

120

120

120] = [

960

90

30 ]

respuesta:2arán ;B@ 2aitantes menores a un a4o, ;@ entre uno y dos a4os y

treinta mayores a dos a4os, pero menores a tras a4os

+plicaciones: formas Cuadráticas5na adecuación cuadrática es de la forma:

ax2+ bx"+c "2+%x+ &"+ 0 =0

en donde si H@, podemos reempla"ar la ecuación por una massencilla sin termino 1y:

a ' x2+ c ' "2+% ' x+& ' " + 0 ' =0

los coe*cientes ah , ch son los valores característico de la matri":

+= [ a b / 2b/2 c ] , la matri" + se llama matri" de la forma cuadrática+ la e1presión ax2+bx"+c "2 se le llama forma cuadrática asociadacon la ecuación cuadrática: ax2+ bx"+c "2+ %x+&"+ 0 =0

La matri" + es sim!trica siempre, por de*nición y + será diagonal solosi no contiene el termino 1y, por lo que no seria necesaria la rotaciónde e$es.

e puede por lo tanto usar + para efectuar una rotación de e$es.

ea A= [ x "] , entonces ax2+bx"+c "2+%x+&"+ 0 =0 , puede escriirse:


53/59

X T

AX + [ % & ] X +0 =[ x " ] [ a b

2

b2

c ] [ x "]+ [ % & ] [ x " ]+ 0 dado que + es sim!trica e1iste una matri" ortogonal tal que

PT AP= D

se estalece que PT A = Ah = [ x "] , por lo que A = )Ah X T AX =( PX 1) A ( PX ' )

= & X

¿ ¿T PT +)Ah

= &

X

¿¿T ?AhE$ercicios:

*+emlo 1

#tenga la matri" + de la forma cuadrática asociada con la ecuacióndada

a.% 10 x"−10 " 2+ 4 x−48=0

+ = [0 5

5 −10].% 12 x2−5 x"− x+2 "−20=0

+ = [ 12 −5 /2−5 /2 0 ]*+emlo ,

Efect3e rotación de e$es para simpli*ca la ecuación, identi*que elángulo de rotación e identi*que el tipo de cónica.

2 x2+4 x"+ 2 "2+6 2 x+2 2 " +4=0

La matri" cuadrada + = [2 22 2] ,Ecuación característica:

[ λ−2 −2−2 λ−2]


54/59

)olinomio característico λ2 %6 λ , eigenvalores: λ = @, λ= 6

Eigenvectores:

Con λ = @

[−2 −2−2 −2]=[1 10 0] = [ 1−1] = u1Con λ = 6

[ 2 −2−2 2 ]=[1 −10 0 ] = [11] = u2#rtonormali"acion:

#tención !2 = [ i j1 1] = i P $ = (1.−1 )√ 2!

1 =u 1

‖u 1‖ =

(1,1) 2

La matri" )=

[ 1

√ 2

1

√ 2−1√ 2

1

√ 2 ], K)K = 8

Ecuación rotada:

2 " 2' +[ 6√ 22 √ 2 ]

[

1

√ 2

1

√ 2−1

√ 2

1

√ 2

][ x " ]+4=0

4 "2' +4 x+8 "+4=0

la ecuación es paraólicala matri" + tiene los vectores característicos x1 =&8,8' x2 = &%8,8'al normali"ar los vectores para formar las columnas de ), se otiene:


55/59

)= [ 1

√ 2

−1√ 2

1

√ 2

1

√ 2]

*+emlo #

use el sistema de los e$es principales para efectuar una rotación dee$es eliminando el termino 1y, identi*que la cónica rotada y su nuevaecuación.

13 x2−8 x"+7 "2 −45=0

se dee transformar a λ1 x2' + λ2 " 2' + [% & ] P X ' +0 =0

la matri" )

[ 13 −4−4 7 ] = [ λ−13 44 λ−7] = &F%8O'& F%' %8BF = 8N, F = N

eigenvectores:

con F = N

[−8 44 −2] = [2 −10 0 ] = [21] = u1con F = 8N

[2 44 8 ] = [1 40 0] = [−41 ] = u1#rtonormali"acion:

#tención !2 ¿[ i j2 1] = i %$ = (1,−2) 5#tención !1 =

u 1

‖u 1‖ =

(2,1) 5


56/59

)= [ 2

5−1 5

1

52

5]

*+emlo 4

#tenga la matri" + de la forma cuadrática asociada en la ecuacióndada. Encuentre lo eigenvalores de + y una matri" ortogonal tal que

PT +) sea diagonal.

16 x2+24 x"+ 9 " 2−60 x−80 " +100=0

+= [ 16 −12−12 9 ] , ecuación característica: [ λ−16 1212 λ−9])olinomio característico: & λ−16 '& λ %;' %866 = @

Eigenvalores: λ = @, λ = N

Con λ = @

[−16 12

12 −9] = [1 −3 / 41 −3 / 4 ] = [

1 −3/ 40 0 ] = [

3 /41 ]

= u1

Con λ = N

[ 9 1212 16] = [1 4 /31 4 /3] = [1 4/30 0 ] = [−4/31 ] = u2#rtonormali"acion:

#tención !2 = [ i j

3 /4 1] = i %3/ 4 j = & 45 ,−

35

'

#tención !1 =u 1

‖u 1‖ =

3

5, 4

5

La matri" ) = [ 4

5

3

5

−35

4

5] = matri" ortogonal, pues K)K =8

*+emlo


57/59

Efect3e una rotación de e$es para eliminar el termino 1y en laecuación cuadrática:

13 x2−10 x"+13 " 2−72=0

La matri" de la forma cuadrática asociada con esta ecuación es:

+= [ 13 −5−5 13 ]Como el polinomio característico de + es:

[ λ−13 55 λ−13] &F%9'& F%89'se concluye que los valores característicos de + son F= 9 y F = 89 porlo tanto, la ecuación rotada es:

8 ( x ) ' 2−10 x"+18 ( " ) ' 2−72 = @

la cual cuando se escrie en la forma estándar:

x

2

32 +

"2

22 =1

esta ecuación se conoce como la ecuación de una elipse

iliografías:

/si'!s:


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+lgera Lineal tanley I. Qrossman se1ta edición. +lgera lineal ernard >olman% ?avid 7. ill octava edición. +lgera Lineal % ?avid )oole P segunda edición. Ecuaciones ?iferenciales (urray 7 piegel tercera edición.

Virtu!les: 2ttp:]]es.scrid.com]doc]B9N@NO]Ecuaciones%?iferenciales%(urray%7%piegel

2ttp:]]es.scrid.com]doc]@B66B]EIQE/EC%Lf@gEv6C+?+kved=@CC6XB+E0++v=onepagekqkf=false

2ttp:]]oos.google.com.ec]oosid=f+)ctEifC(Ckpg=)+O@9klpg=)+O@9kdq=EigenvaloresMdeMlasM

potenciasMdeMunaMmatri":ksource=lkots=@"2m;roksig=g%Cn9$b2i)+o#$uA7Ae?o


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Conclusiones:

Los valores propios e impropios no ayudan para una resolución e*ca"

en prolemas como la multiplicación sucesiva de matrices de orden n,que son las potencias de matrices, tami!n en la aplicaciones como ladel crecimiento polacional, este ultimo se aplica en el campo de laiología donde contar acterias para saer cuantas se reproduciránen un cierto periodo se vuelve rápido y verídico por medio dematrices, en el caso de aplicaciones en la forma cuadrática no ayudarápida y e*ca"mente una rotación de e$es para eliminar el termino 1y,que eso analíticamente se vuelve largo y de fácil equivocación.

?amos gracias al Ingeniero ernán )esante" por darnos la tutoría aseguir para desarrollar este traa$o de investigación de una manera

e*ca" y o$etiva.

trabajo algebra valores propios y vectores propios

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