ALGEBRA LINEAL

Trabajo Colaborativo No. 1

Grupo: 100408_175

Presentado Por:

MAURICIO PATIÑO CAMARGO

79914320

MAURICIO RAMIREZ PITA

79912529

JIMMY FERNEY CHAMBO CARO

79951320

TUTOR:

IVAN FERNANDO AMAYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD

ABRIL DE 2012

INTRODUCCIÓN

Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que

son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se

presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.

En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores,

matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos

sistemas.

Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los

modelos lineales. En esta unidad se hace la introducción a la teoría general de

matrices, además se definen los deteminantes estrechamente relacionados con

ellas.

OBJETIVOS

- Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la

unidad 1 del programa de Algebra Lineal.

- Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la

componen.

- Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.

- Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos para la

resolución de los problemas propuestos.

DESARROLLO DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. │u│= 2; θ = 315°

b. │v│= 5; θ = 60°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1 ū + ¯v

1.2 ¯v - ū

1.3 3¯v - 2ū

1.1 ū + ¯v Ū= (2 Cos 315°, 2 Sen 315°) = (1.414 , -1.414)

¯v= (5 Cos 60° , 5 Sen 60°) = (2.5 , 4.33) ū + ¯v= (1.414 + 2.5 , -1.414 + 4.33) = (3.914 , 2.916)

1.2 ¯v - ū ¯v - ū= (2.5 , 4.33) - (1.414 , -1.414)

(2.5 , 4.33) + (- 1.414 , 1.414) ( 1.086 , 5.744)

1.3 3¯v - 2ū 3¯v - 2ū = 3(2.5 , 4.33) - 2 (1.414 , -1.414) (7.5 , 12.99) + (-2.828 , 2.828)

(4.672 , 15.818)

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. ū= ȋ + 7ĵ y v¯= -ȋ - 4 ĵ 2.2. w= -2 ȋ- 3ĵ y ū = 2ȋ − 5ĵr

2.1 ū= ȋ + 7ĵ y v¯= -ȋ - 4 ĵ

ū = ȋ + 7ĵ = (1 , 7) ; v¯= -ȋ - 4 ĵ = (-1 , -4)

u.v = (1 , 7) * (-1 , -4) = -1 -28 = -29 |u|= =

|v|= =

Θ Cos -1 = ; Θ Cos -1 =

Θ = 174.09°

2.2. w= -2 ȋ- 3ĵ y ū = 2ȋ − 5ĵr w= -2 ȋ- 3ĵ = (-2 , -3) ; ū = 2ȋ − 5ĵr = (2, -5)

w.u= (-2, -3) * (2, -5) = -4 +15 = 11

|w| = =

|u| = =

Θ Cos -1 = ; Θ Cos -1 = Θ = 55,49°

3. Dada la siguiente matriz, encuentre A−1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma y NO con

sus representaciones decimales).

A=

½ F1

-2/15 F2

F1- 1/2f2

F3- 2f2

-5/33 f3

F2- 9/5f3

F1- 8/5f3

A-1 =

4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o Cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para

esto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

La herramienta utilizada fue Excel.

Los pasos son los siguientes:

1. Escriba la matriz original

2. Nos paramos en otra celda y colocamos la expresión =MINVERSA(aquí

seleccionamos el rango donde está nuestra matriz original, en este caso

B2:D4).

3. Seleccionamos todo el rango donde vamos a introducir la matriz inversa, en

este caso F2:H4, le damos f2

4. Teniendo el rango seleccionado, después de oprimir la tecla f2 oprimimos las teclas Ctrl+Shiff+Enter y nos queda la matriz inversa

Los resultados en Excel salen en decimales. Pero al comprobar si la matriz hallada anteriormente está bien, realizamos las operaciones de los fraccionarios para hallar

sus decimales y nos damos cuenta que efectivamente el resultado de la matriz anterior quedo bien calculado.

5. Encuentre el determinante de la siguiente mat riz, describiendo paso a paso la

operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).

DET B=

6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello Determinantes

det A

-5 2 0 - 0 1 - 1 + 2 1 - 1

1 - 5 1 - 5 2 0

= - 5. (- 10)+2. ( 2 )= 54

Adj A

2 0 - 0 0 0 2

1 -5 2 -5 2 1 - 10 0 - 4

= 4 27 7

- 1 - 1 - 5 -1 - - 5 1

1 - 5 2 -5 2 1 2 0 - 7

1 - 1 - - 5 -1 - 5 1

2 0 0 0 2 1

1 - 10 4 2 - 10/54 4/54 2/54 54

0 27 0 = 0 27/54 0

- 4 7 - 7 -4/54 7/54 -7/54

CONCLUSIONES

Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y ejercicios de la Unidad 1, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes.

Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los

diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en

determinadas situaciones.

BIBLIOGRAFIA

ZUÑIGA, CAMILO ALBERTO. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA.

MODULO ALGEBRA LINEAL. Bogotá D.C. 2010

http://intranet.iesmediterraneo.es/filesintranet

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/matrices/index.html http://html.rincondelvago.com/matrices-y-determinantes.html