ALGEBRA MATRICIALMATRIZUna matriz es un arreglo rectangular de nmeros encerrados por un par de

corchetes. Algunos ejemplos de matrices son:

Se pueden representar en una matriz datos agrupados por columnas, los pagos de un conjunto de activos en cada estado de la naturaleza, los coeficientes de un sistema de ecuaciones, etc.

Por convencin las matrices se representan con letras en maysculas.

Ejemplo La matriz B puede ser la matriz de coeficientes del siguiente sistema

de ecuaciones.

2x + 3y + 7z = 0

x-y + 5z = 0

Formalmente, se dice que la matriz

.

.

.

es de orden m x n ya que tiene filas y n columnas, donde cada elemento aij es

un nmero o una funcin que pertenece a los nmeros reales o complejos. Por

ejemplo, la matriz A es de orden 2 x 2 y la matriz B es de 2 x 3 y sus elementos pertenecen a los nmeros reales.

MATRICES CUADRADAS.

Cuando m = n, (1.1) es cuadrada y la llamamos matriz cuadrada de orden n. Si una matriz es cuadrada y es de orden 1 la llamamos escalar. Un ejemplo de

una matriz cuadrada es la matriz A.

IGUALDAD DE MATRICES.

Las Matrices A y B son iguales, si y solo si, tienen el mismo orden y cada

elemento de A es igual al correspondiente elemento de B.

VECTORESUn vector es un conjunto ordenado de nmeros dispuestos en una fila o una

columna, tambin pueden entenderse como una matriz de una fila o de una

columna. Denominamos vector columna a una matriz de orden m x 1 y vector

fila a una matriz de orden 1 x n. Todas las definiciones anteriores aplican a los vectores.

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Si A y B son dos matrices de orden m x n, su suma (o resta) es una matriz C de orden m x n donde cada elemento de C es la suma (o resta) de los elementos correspondientes en A y B

Ejemplo

Si

MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALARSi se suma una matriz k veces con ella misma se obtendra una matriz en que cada uno de sus elementos sera k veces el inicial. A esto se le llama multiplicacin por un escalar, donde el escalar es k.

Teorema 1.1. Sean A; B; C matrices de un mismo orden y k un escalar, entonces cumplen con las siguientes propiedades:

A + B = B + A

A + (B + C) = (A + B) + C

k(A + B) = kA + kB = (A + B)kMULTIPLICACIN DE VECTORES Y MATRICESMultiplicacin de Vectores

Sea A un vector m x 1, entoncessu multiplicacin C = AB (en ese orden) est definida como la sumatoria de la multiplicacin del elemento i de la matriz A con el elemento i de la matriz B, esto es:Ntese que lo que se hizo fue multiplicar una .la con una columna, esto hay que tenerlo muy presente en la seccin que sigue.MULTIPLICACIN DE MATRICES

Sea A una matriz de orden m x p y B una matriz de orden p x n, es decir, la cantidad de columnas de A es igual a la cantidad de las de B, entonces cada elemento cij de la matriz C = AB (en ese orden) se obtiene multiplicando la la i de la matriz A con la columna j de la matriz B:

Teorema 1.2. Sean las matrices A, B y C compatibles para la multiplicacin y k un escalar, entonces se cumple que:

A(BC) = (AB)C

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

k(AB) = (kA)B = A(kB) = (AB)kSin embargo hay que tener en cuenta que:

(a) generalmente AB 6= BA:

(b) si AB = 0 no necesariamente implica que A = 0 o B = 0:

(c) si AB = AC no necesariamente implica que B = C:

Dado que AB 6= BA, se puede identicar dos tipos de multiplicaciones. Por ejemplo, si tenemos la multiplicacin AB podemos decir que A est premultiplicando a B pero por otro lado, se podra pensar de otra forma y decir que B est postmultiplicando a A:

Una vez que ya aprendimos a sumar, restar y multiplicar matrices podemos definir ms matrices.MATRIZ INSUMO PRODUCTO

Modelo Matricial Insumo-Producto

El modelo Insumo-Producto es un conjunto de ecuaciones lineales, que busca mostrar las interrelaciones e interdependencias existentes entre los sectores y actividades econmicas (Sonis y Hewings, 2000), por ello parte del desarrollo terico de la funcin de produccin microeconmica de Leontief (1) para el desarrollo macroeconmico del modelo Insumo-Producto. Adems, se omiten las funciones de utilidad y las demandas de los consumidores se tratan como variables exgenas sin tener en cuenta de manera explcita el equilibrio de los consumidores (La unidad de produccin homognea no es la empresa sino la industria, Herderson y Quant, 1992, p. 443).

Dentro de este orden de ideas, el modelo matricial Insumo-Producto permite estudiar el comportamiento de los sectores productivos que demandan bienes y servicios para su produccin o la demanda final,

tambin insumen factores de produccin y otros productos para llevar cabo su proceso productivo, y en este sentido, hace uso de un sistema de ecuaciones lineales para determinar empricamente sus parmetros o coeficientes tcnicos.

Para establecer el sistema Insumo-Producto se debe mencionar los tres supuestos bsicos que se basa en la naturaleza de la produccin:

1) Cada industria o sector produce un slo tipo de mercanca. Esto determina un slo mtodo de produccin para las mismas, por lo tanto un producto x elaborado mediante n procesos distintos ser considerado como n- bienes diferentes y si no existe sustitucin entre los productos entre los sectores. Este supuesto se denomina Homogeneidad.

2) Los insumos usados por cada sector slo son funcin lineal de su nivel de produccin, por lo tanto esta cantidad de insumos vara en la misma proporcin que la produccin, en consecuencia no indica que estamos en presencia de rendimientos constantes a escala. Este supuesto se denomina Proporcionalidad.

3) El efecto total de la produccin en varios sectores ser es igual a la sumatoria de los diferentes efectos, entonces, estamos en presencia del supuesto de la Aditividad.En general, la Homogeneidad exige que todos los productos de un slo sector o industria se produzcan en proporciones fijas bajo una estructura nica de insumos y sin sustitucin automtica entre los productos de los diferentes sectores, la Proporcionalidad muestra que los insumos utilizados por una industria varan en proporcin directa a las variaciones de su produccin total y Aditividad excluye toda interde-pendencia externa de los sectores excepto la especificada en el modelo Insumo-Producto.

Por otro lado, Chiang (1987), Herderson y Quant (1992) y Amaya (1995) coinciden en que el Modelo Insumo-Producto son un conjunto de ecuaciones lineales cuyo objeto consiste en dar solucin a la nincgnitas que representan los niveles de produccin de los sectores productivos en funcin de las demandas finales que se supone conocida (exgena), bajo la presencia de economas de escala y la no existencia de shocks tecnolgicos; en efecto de all se da a conocer la relacin e interdependencia entre los sectores productivos.Deduccin Analtica del MIP

Partiendo del agente microeconmico o la funcin de Leontief de un sector (9), se puede observar la distribucin del producto del sector i en el Modelo Insumo-Producto puede ser representada de la siguiente manera:

Xi = (NXij + Yi (10) expresa el valor bruto de producin (VBP) o produccin total como la suma de la demanda intermedia y la demanda final.( Xij Es el consumo intermedio, que son todos aquellos bienes y servicios que se adquieren para ser insumidos para el proceso de generacin de bienes finales y Yi representa el consumo final de bienes y servicios que se adquieren para satisfacer sus necesidades de consumo final, formacin de capital y en definitiva la demanda final.

La caracterstica principal del modelo Insumo-Producto es que permite calcular la estructura de los coeficientes tcnicos, que o es ms que lo producido por i para j para producir una unidad de su producto

El MIP trabaja con la hiptesis central, de que la produccin del sector i utilizada por el sector j es proporcional a la produccin del sector j, esto se expresa: Xij = aijXj Siendo el coeficiente de proporcionalidad el coeficiente tcnico de la produccin.

En los trminos matriciales (12) puede ser escrita como:

Por el lado de las compras o columnas, se muestra los desembolsos efectuados por la industria o el sector j en insumos intermedios, bienes importados y de insumos importados:

Xj = ( +Xij + Mj + VABj

(14) i=1

Mj y VABj son los vectores de importaciones del producto del sector j y su respectivo valor agregado bruto. La apertura del valor agregado representa como se genera el ingreso de los sectores productivos y junto a las importaciones representan pagos, mientras que los Xij representa la demanda o compras de insumos primarios que tambin puede darse el caso de la existencia de sectores que use insumos propios para llevar a cabo su proceso productivo.

La produccin total de la economa est dado por:

X = (nXj + C + G + I + E (15) donde C, G, I, E, son los componentes

j=1de la demanda final o demanda agregada como las compras hechas por los hogares, el gobierno, la inversin y las ventas de bienes y servicios al extranjero.

Tambin la produccin total puede obtenerse como: X = Xj+ M + VAB (14)

partiendo de (14) y (15) y del hecho que la oferta total es igual a la demanda total y( Xj = ( Xj entonces; ( Xi + M + VAB = ( Xj+ C + G + I + E

j=1 j=1 j=1 j=1

As obtenemos, VAB = C + G + I + E M _ PIB (16), esta serie de variables y sus interrelaciones pueden ser obtenidas en el MIP. Por consiguiente, este modelo permite mostrar las principales variables macroeconmicas usadas en la planificacin econmica y de igual manera, es una herramienta que permite estudiar las interdependencias sectoriales o industriales de una economa.

EL MTODO DE GAUSSEl Mtodo De Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado.

Para facilitar el clculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los trminos independientes (separados por una recta).

Ejemplo No. 1

Ejemplo No. 2

Ejemplo No. 3

ALGEBRA MATRICIALPROFESOR:

ALUMNOS:

LIZMARY GIL

ROSALES FREDDY C.I.17.972.384

ESCOBAR CARMEN LUISA C.I. 4.854.770

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