AGOSTO 08 DE 2015

“ INGENIERIA CIVIL “

INTEGRANTES DEL EQUIPO

JULIO CESAR MORALES CRUZ

JOSÉ DAVID VIDAL DE LOS SANTOS

PABLO SÁNCHEZ ÁLVAREZ

PROYECTO FINAL

DE LA MATERIA DE

“ ALGEBRA LINEAL ”

“ TERCER CUATRIMESTRE ”

CONTENIDO

PRESENTACION.................................................................... 2

JUSTIFICACIÓN………………………………………………… 3

OBJETIVOS GENERALES Y ESPECIFICOS…………………… 4

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………………………. 5

MÉTODO DE GAUSS – JORDANEJEMPLO 1………………………………………………...……. 6

CONTINUA EJEMPLO 1 ………………………………………. 7

EJEMPLO 2………………………………………………...……. 8

APLICACIÓN DEL MÉTODOGAUSS-JORDÁN ……………..………………………………. 9

CONTINUA APLIACACIÓN DEL METODO……………..…. 10

CONCLUSIÓN…………………………………………………. 11

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………….. 12

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PRESENTACION

La solución de ecuaciones lineales encuentra una ampliaaplicación en la ciencia y la tecnología. En lo particular, se puedeafirmar, que en cualquier rama de la ingeniería existe al menosuna aplicación que requiera del planteamiento y solución de talessistemas.Es por eso que les presentamos ejemplos de sistemas deecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan, por lasventajas que ofrece.Esperamos que este trabajo sirva de muestra de lo que hemosaprendido en la materia de algebra lineal presentando ejerciciossimilares a los que se expusieron en clases, también resulteinspirador para quienes estén interesados en aprender o ejercitarel método de Gauss-jordan.

Gracias

Con afecto sus compañeros:Julio

DavidPablo

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JUSTIFICACION

Dada la importancia que tienen los métodos numéricos en ingeniería, el alumno necesita entender y comprender la experiencia educativa no solo desde un enfoque teórico sino también práctico, entendido esto como la generación de los programas para aplicar los métodos aprendidos durante la experiencia educativa, brindándoles así una herramienta que podrán utilizar en el ámbito laboral y les permitirá ahorrar tiempo y esfuerzo, debido a que mediante la aplicación de los métodos numéricos es posible manejar sistemas de ecuaciones grandes los cuales de otra forma serian difíciles de resolver de forma analítica. Sin embargo, ésta materia actualmente no cuenta con un manual para el desarrollo de los programas que apliquen los diferentes métodos vistos en clase; por tal motivo, éste trabajo pretende ser una guía al momento de cursar esta experiencia y ahorrar tiempo al alumno en la investigación del programa, desarrollo y aplicación de los mismos

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OBJETIVOS GENERALES

Manejar, a la perfección el método de resolución deecuaciones multiples para poder resolver problemaspracticos de la vida diaria que se presenten a lo largo denuestra vida como ingenieros

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Aplicar forma correcta todo lo aprendido en clase• Mostrar ejemplos de lo visto en clase• Resolver los ejemplos que nosotros nos plantearemos• Poder representar el problema mediante un sistema de

ecuaciones• Demostrar ser capaces de dominar el tema con el

propósito de resolver problemas paracticos aplicandoen uso de las matrices en ingenieria

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolversimultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar lassoluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles engeometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas yplanos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posiciónrelativa de estas figuras geométricas en el plano o en elespacio).Un sistema de ecuaciones linealeses un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribirdeforma tradicional así

un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas,donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema,los valores bmson números reales, llamados términos independientes delsistema, las incógnitas x j son las variables del sistema, y lasolución del sistema es un conjunto ordenado de númerosreales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... ,xn por los valores s1, s2, ..., sn se verificana la vez las "m" ecuaciones del sistema. Este mismo sistema deecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :

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MÉTODO DE GAUSS - JORDANEste método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolverhasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operacionesaritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en quecuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

Ejemplo 1Resolver por el método de Gauss-Jordan

Pasándola a la forma matricial nos quedaría Asi

Intercambiando el primer y tercer renglón

Restando dos veces el renglón 1 al renglón 3

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Restando 3 veces el renglón 2 al renglón 3

Multiplicando el renglón 3 por –(1/13)

Restando 2 veces el renglón 3 al 2, y restando 3 veces el renglón 3 al renglón 1

Sumando el renglón 1 mas el renglón 2

Los que nos da la solución del sistema por este método

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Ejemplo 2:

Dadas las siguientes ecuaciones resolver por Gaus-Jordan

Escribiéndola en forma de matriz

e intercambiando el renglón 2 por el 1

restando 3 veces el renglon 1 al 2

y diviendo el renglo 2 entre de 13

sumando 5 veces el renglon 2 al 1

lo que nos da un sistema de la cual despejamos las variables de

la siguiente manera

Se dice entonces que el sistema tiene una infinidad de resultados

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APLICACIÓN DEL MÉTODO

GAUSS-JORDÁN

PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE

INGENIERÍA CIVIL

DISTRIBUCIÓN DE RECURSOSTodos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las quela distribución correcta de recursos es un problema crítico.Estas situaciones se presentan al organizar inventarios deconstrucción, distribución de productos y recursos en laingeniería, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con lafabricación de productos, el análisis general tiene importancia enun amplio panorama de otros problemas.

Un ingeniero Civil supervisa la producción de cuatro tipos demezclas de concreto para la elaboración de prefabricados.Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, grava,Arena y Agua

Mezcla Mano de Obra Grava Arena agua1 3 20 10 102 4 25 15 83 7 40 20 104 20 50 22 15

En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cadauno de estos recursos en la producción de cada tipo de mezclas.Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg Grava,970 kg de Arena y 601 litros de agua.¿Cuántas mezclas de cada tipo se pueden realizar por día?

SOLUCION: La cantidad total producida de cada mezcla estarestringida al total de recursos disponibles en cada categoríadiariamente.

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Estos recursos disponibles se distribuyen entre loscuatro tipos de mezcla.

3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504Y así sucesivamente con los demás recursos.20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 =< 197010x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 =< 97010x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601

Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacerde forma simultanea de otra manera, se acabaríauno o mas de los recursos necesarios en la producciónde los cuatro tipos de mezclas.Si los recursos disponibles representados por el vector de terminoindependiente de las ecuacionesanteriores, se reducen todos a cero simultáneamente, entoncesse puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. En estecaso la cantidad total de cada tipo de mezcla producida sepuede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4usando los metodos de gauss.Aplicando la eliminación Gaussiana con los pasos anteriores setiene que:

X1=10X2=12X3=18X4=15

Esta información se usa en el calculo de las ganacias totales. Porejemplo, suponiendo las ganancias que corresponden a cadamezcla estan dadas por P1, P2, P3 y P4. La ganancia totalasociada con un dia de actividad esta dada por:P = p1x1 + p2x2 +p3x3 + p4x4

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Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las gananciasusando los coeficientes del siguiente cuadro.

MEZCLA GANANCIA1 10002 7003 11004 400

P = 1000(10)+ 700(12)+ 1100(18)+ 400(18) = 44 200

De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200diarios con los recursos especificados en el problema.

CONCLUSIÓN

Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana seaplican también al método de Gauss-Jordan. Aunque losmétodos deGauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecercasi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50%menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana esel método simple por excelencia en la obtención desoluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Unade las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo paraobtener la matriz inversa

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BIBLIOGRAFÍA

• ALGEBRA, EL MÉTODO DE GAUSS- JORDAN Y PRELIMINARES

DEALGEBRA LINEAL

• CUADERNILLO INGENIERIA TÉCNICA EN

INFORMATICA DE SISTEMAS Y GESTION, UNIVERSIDAD REY

JUAN CARLOS, ESPAÑA.

• PROBLEMARIO, SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES MEDIANTE EL MÉTODO DE GAUSS- JORDAN, PROF.

JOSÉ BECERRIL ESPINO, UNIVERSIDAD AUTÓNOMA

METROPOLITANA, MÉXICO.

• ALGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES, DAVID C. LAY.

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