algebra de vectores (1)

ITS Cálculo Vectorial

M.C. César Silva Beltrán.

CALCULO VECTORIAL

UNIDAD I

Algebra de Vectores

MC. César Silva Beltrán.



1.1 Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su

generalización en Rn.

Los vectores tienen dos naturalezas diferentes, una geométrica y la otra algebraica. Para

estudiar las aplicaciones de los vectores se necesita un entendimiento de ambos aspectos.

Por sencillez, se comenzará con vectores en el plano. La generalización a tres dimensiones

se logra fácilmente tomando en cuenta una tercera componente. También se discutirán

algunos temas básicos de la geometría analítica en tres dimensiones incluyendo rectas,

planos, cilindros y superficies cuadráticas

Algunas cantidades en las matemáticas y otras ciencias, tales como el área, el volumen, la

longitud de arco, la temperatura y el tiempo, solo tienen magnitud y se pueden caracterizar

completamente con un solo número real (con una unidad de medida apropiada como cm2,

cm3, cm, ºC, min o seg.). Una cantidad de este tipo es una cantidad escalar y el número

real correspondiente se llama escalar. Conceptos como el de velocidad o fuerza poseen

tanto magnitud como dirección y a menudo se representan por flechas o segmentos

dirigidos, es decir, segmentos en los que se señala un sentido y representan una dirección.

A un segmento dirigido también se le llama vector.

Si un vector va de un punto P (el punto inicial) a un punto Q (el punto final), la dirección

se indica colocando una pequeña flecha sobre el segmento PQ; el vector se denota así por

PQ (véase la figura 1.1). La magnitud de

PQ es la longitud de PQ y se denota por

PQ .

Como en la figura 1.1, para denotar vectores cuyos extremos no se especifican, se usan

letras de tipo negro (o negrillas) tales como u o v, en escritos mecanográficos o manuscritos

se puede usar la notación

u o

v .



Vectores que tienen la misma magnitud y dirección son equivalentes. Cuando se quiere

que un vector quede determinado solo por su magnitud y su dirección y no por su posición,

se considera que unos vectores que son equivalentes, como los de la figura 1.1, son iguales

y se escribe

PQu ,

PQv y u = v

Entonces, los vectores pueden trasladarse de una posición a otra mientras no se altere su

magnitud o su dirección.

Hay muchos conceptos físicos que se pueden representar con vectores. Por ejemplo,

supóngase que un avión desciende con una velocidad constante de 160 km/hr y que la

trayectoria del vuelo forma un ángulo de 20º con la horizontal. En la figura 1.2 se

representan estos dos hechos por un vector v de magnitud 160. El vector v es un vector

velocidad.

Figura 1.1

Figura 1.2 Figura 1.3



Como un segundo ejemplo, supongamos que una persona levanta directamente hacia arriba

un peso de 5 kg. Esto se puede indicar por el vector F de magnitud 5 en la figura 1.3. Un

vector que representa una acción de empujar o de tirar de cierta clase es un vector fuerza.

Para representar la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de un segmento de A a B

se puede usar un vector

AB . Entonces se dice que

AB es un desplazamiento del punto

como se ve en la figura 1.4, un desplazamiento

AB seguido de un desplazamiento

BC

lleva al mismo punto que el desplazamiento

AC solo. Por definición, el vector

AC es la

suma de

AB y

BC , y se escribe

AC =

AB +

BC .

Como los vectores pueden ser trasladados de un lugar a otro, cualquier par de vectores se

puede sumar colocando el punto inicial de uno en el punto final del otro y procediendo

como en la figura 1.4

Figura 1.4

Figura 1.6

Figura 1.5



Otra manera de encontrar la suma es considerar vectores iguales a

AB y

BC y que tienen

el mismo punto inicial, como se ilustra por

PQ y

PR en la figura 1.5. Si se construye el

paralelogramo RPQS, entonces, como

PR =

QS , resulta que

PS =

PQ +

PR . Si

PQ y

PR son dos fuerzas que actúan en P, entonces

PS es la fuerza resultante, es decir, una

fuerza que sola produce el mismo efecto que las otras dos actuando simultáneamente.

Si c es un número real y v es un vector, entonces cv se define como el vector cuya magnitud

es c veces la magnitud v de v y cuya dirección es la misma que la de v si c > 0, o bien la

opuesta a la de v si c < 0. En la figura 1.6 se ilustra todo esto. El vector cv se llama

múltiplo escalar de v.

Supongamos ahora que todos los vectores están en un plano coordenado. Si PQ es un

vector, entonces, como se indica en la figura 1.7, hay muchos vectores equivalentes a

PQ :

pero hay uno y solo un vector equivalente a =

OA con el origen como punto inicial. El

vector

OA se llama vector de posición de

PQ . Así, cada vector determina un único par

ordenado de números reales, las coordenadas (a1, a2) el punto final de su vector de

posición.

Sean

OA y

OB dos vectores de posición con puntos finales A(a1, a2) y B(b1, b2),

respectivamente, y sea

OC con punto final C(a1 + b1, a2 + b2), como se ilustra en la figura




1.8. Usando las pendientes puede demostrarse que O, A, C y B son los vértices de un

paralelogramo; es decir,

OA +

OB =

OC

Entonces, el par ordenado determinado por

OA +

OB es (a1 + b1, a2 + b2). También se

puede demostrar que si c es un escalar, entonces el par ordenado determinado por

cOA es

(ca1 + ca2) como se ilustra en la figura 1.9 para c > 0.

Las observaciones anteriores permiten invertir el desarrollo y comenzar definiendo los

vectores como pares ordenados y obteniendo luego los segmentos rectos como una

interpretación alternativa. Para evitar confusión con la notación para intervalos abiertos o

puntos, se usarán símbolos como 21,aa o bien 21,bb para los vectores y se denotaran

por a o b, respectivamente. Como antes, los números reales son escalares.

Figura 1.9



DEFINICION 1.1

Los números a1 y a2 en 21,aa son las componentes del vector. Entonces, para sumar dos

vectores, se suman las componentes correspondientes. Para multiplicar un vector por un

escalar, se multiplica cada componente del vector por el escalar.

El vector cero 0 y el negativo –a de un vector a = 21,aa se define como sigue.

DEFINICION 1.2

Un vector diferente de cero a = 21,aa en R2 se puede representar en un plano coordenado

por un segmento dirigido

PQ con cualquier punto inicial P (x,y) y con punto final Q (x +

a1, y + a2) . A veces se dice que

PQ corresponde a a o que a corresponde a

PQ . En la

figura 1.10, el símbolo a se colocó junto a varios segmentos dirigidos correspondientes a

21,aa . Si A es el punto con coordenadas 21,aa , el vector de posición

OA de

PQ se

llama también vector de posición de 21,aa o vector de posición del punto A.

El espacio vectorial R2 de dimensión 2 (o bidimensional) es el conjunto de todos los

pares ordenados yx, de números reales, llamados vectores, sujetos a los siguientes

axiomas.

(i) Adición de vectores. Si se tiene a = 21,aa y b = 21,bb , entonces

a + b = 2211 , baba

(ii) Multiplicación de vectores por escalares. Si a = 21,aa y c es un escalar,

entonces

ca = 21,caca .

0 = ;0,0 -a = - 21,aa = 21, aa .



Rigurosamente hablando, el segmento

PQ en la figura 1.10 representa al vector a =

21,aa ; sin embargo, por conveniencia, a veces se designa a

PQ como el vector a. Debe

quedar claro por el contexto si el término vector se refiere a un par ordenado o a un

segmento dirigido. El vector cero 0 = 21 0,0 queda representado por cualquier punto del

plano.

EJEMPLO 1

Sean a = 3,1 y b = 2,4 .

a) a + b, 2

3 b, y 2a + 3b.

b) Trazar los vectores de posición de a, b, a + b, y 2

3 b

Solución

(a) Aplicando la definición 1.1

a + b = 3,1 + 2,4 = 5,323,41

2

3 b =

2

3 2,4 = 3,6

2a + 3b = 2 3,1 + 3 2,4 = 6,2 + 6,12 = 12,10

Figura 1.10



(b) Los vectores de posición de a, b, a + b, y 2

3 b se muestran en la figura 1.11

La magnitud

PQ de un vector

PQ es la longitud del segmento PQ. A continuación se

define el análogo de este concepto para vectores en R2.

DEFINICION 1.3

Si

OA es el vector de posición de 21,aa , entonces a es la longitud de

OA (véase la

figura 1.12). Nótese que a 0 y a = 0 si y solo si a = 0.

La magnitud de a de un vector a = 21,aa es a = 2

2

2

1 aa

Figura 1.11



EJEMPLO 2

Calcular la magnitud de 2,3

Solución

De la definición 1.3,

a = 13492,3

TEOREA 1.4

EJEMPLO 3 Dados los puntos P (-2,3) y Q (4,5), encontrar vectores a y b en R2 que

correspondan a

PQ y

QP respectivamente. Trazar

PQ ,

QP , y los vectores de

posición a y b.

Solución

De acuerdo con el teorema 1.1, los vectores a y b son

a = 2,635),2(4

b = 2653,42

Si P1(x1, y1) y P2(x2,y2) son dos puntos, entonces el vector a en R2 que

corresponde a

21PP es

a = 1212 , yyxx

Figura 1.11



En la figura 1.12 se muestran

PQ y

QP , junto con los vectores de posición

OA y

OB

de a y b, respectivamente. Nótese que b = - a

En el siguiente teorema se enuncian cuatro propiedades importantes para tres vectores

cualesquiera a, b y c en R2

TEOREA 1.5

La sustracción de vectores, que se denota por (-) , se define como sigue.

DEFINICION 1.6

Usando las definiciones (1.6), (1.2) y (1.1), se ve que

a – b = a + (-b) = 2121 ,, bbaa = 2211 , baba

Entonces, para encontrar a – b, basta restar las componentes de b de las componentes

correspondientes de a.

(i) a + b = b + a

(ii) a + (b + c) = (a + b) + c

(iii) a + (-a) = 0

Sean a = 21,aa y b = 21,bb . La diferencia a – b es:

a – b = a + (-b)

Figura 1.12



EJEMPLO 4

Sean 4,5 a y 2,3b , encontrar a – b y 2a - 3b.

Solución

a – b = 4,5 – 2,3 = 24),3(5 = 6,8

2a - 3b = 4,52 – 2,33 = 8,10 – 6,9 = 14,19

En el siguiente teorema se enuncian algunas propiedades de la multiplicación de

vectores en R2 por escalares. En el, a y b son dos vectores arbitrarios y c y d dos

escalares cualesquiera

TEOREA 1.7

No es difícil recordar las propiedades enunciadas en el teorema 1.7 por que se parece a

algunas propiedades conocidas de los números reales.

Los vectores i y j se usaran más adelante.

DEFINICION 1.8

Los dos vectores i y j tienen magnitud 1 ya que, según la definición 1.3

101 22 i y 110 22 j

Se puede usar i y j para denotar de otra forma los vectores de R2, como se muestra en el

siguiente teorema.

(i) cbcabac )(

(ii) dacaadc )(

(iii) )()()( caddacacd

(iv) aia

(v)

i = 0,1 , j = 1,0



TEOREMA 1.9

EJEMPLO 5

Sean jia 5 y jib 74 . Expresar 3a – 2b como una combinación lineal de i y j.

Solución

jiba

jijijijiba

17723

)148()315()74(2)5(323

Un vector unitario es un vector de magnitud 1. Los vectores i y j son vectores unitarios.

Si a = 21,aa es un vector en R2, entonces a = jaia 21



VECTORES R3

Para estudiar los vectores en el espacio se usan ternas ordenadas y un sistema de

coordenadas en tres dimensiones. Una terna ordenada (a, b, c) es un conjunto cba ,, de

tres números de los cuales a se considera el primero, b el segundo y c el tercero la

colección de todas las ternas ordenadas se denota por x x . Se dice que dos ternas

ordenadas 321 ,, aaa y 321 ,, bbb son iguales y se escribe 321 ,, aaa = 321 ,, bbb si y solo

si 11 ba , 22 ba , 33 ba .

Para establecer un sistema de coordenadas en tres dimensiones, se escoge un punto fijo O

(el origen) y tres rectas coordenadas perpendiculares entre si (los ejes x, y, z) con un origen

común O, como se ilustra en la figura 1.13. Para visualizar esta construcción, puede

considerarse que los ejes y y z se encuentran en el plano del papel y que el eje x apunta

hacia fuera de la hoja. Las tres rectas coordenadas determinan tres planos coordenados que

se indican en la figura 1.14; el plano xy, el plano yz y el plano xz.

Los tres ejes de la figura 1.14 determinan un sistema coordenado derecho si se

intercambian los ejes x y y, se obtiene un sistema coordenado izquierdo, el calificativo

derecho se debe a que si los dedos de la mano derecha se curvan en el sentido de un giro de

90º de los ejes en el plano xy (de manera que la parte positiva del eje x coincida con la parte

positiva del eje y), entonces el pulgar extendido apunta en la dirección positiva del eje z,

como se muestra en la figura 1.15. Por lo general se usan sistemas coordenados derechos.

Figura 1.13

Figura 1.14



Si P es un punto en el espacio y su proyección (perpendicular) sobre el eje x tiene

coordenada a, entonces a se llama coordenada x (o abscisa) de P. Análogamente, las

coordenadas b y c de las proyecciones de P sobre los ejes y y z, respectivamente se

denominan coordenada y (u ordenada) y coordenada z (o elevación) de P. El símbolo P(a,

b, c) o bien (a, b, c), denota el punto P con coordenadas a, b y c, Si P no se encuentra en un

plano coordenado, entonces los tres planos que pasan por P y que son paralelos a los

planos coordenados forman, junto con estos últimos, un prisma rectangular como el que se

muestra en la figura 1.16.

El concepto de ubicar puntos es análogo al de dos dimensiones. En la figura 1.17 aparecen

localizados varios puntos. Para ubicar (3, 4, -2), se localiza primero (3, 4, 0) en el plano xy

y luego se mueve ese punto 2 unidades hacia abajo. Para situar (-2, 3, 4), primero se

localiza (-2, 3, 0) en el plano xy y luego se mueve el punto 4 unidades hacia arriba, etc.





La correspondencia biunívoca entre puntos en el espacio y ternas ordenadas de números

reales en un sistema de coordenadas rectangulares en tres dimensiones. Los tres planos

coordenados dividen el espacio en ocho partes iguales llamadas octantes. La parte que

consta de todos los puntos P(a, b, c) que tienen las tres coordenadas a, b y c positivas en el

primer octante. No suelen numerarse los otros octantes.

1.2 Operaciones con vectores y sus propiedades.

Se puede efectuar la deducción de una formula para la distancia d(P1, P2) entre dos puntos

P1 y P2 en el espacio. Si P1 y P2 se encuentran en una recta paralela al eje z, como se ilustra

en la figura 1.18 y proyecciones sobre el eje z son A1 (0, 0, z1) y A2 (0, 0, z2),

respectivamente, por lo cual d (P1, P2) = d(A1, A2) = 12 zz si la recta que pasa por P1 y P2

es paralela al eje x o al eje y, las fórmulas son análogas.

Si se desea calcular la distancia entre dos puntos P1 y P2 tales que la recta que los une no es

paralela a algún eje, se tiene una situación como la que se ilustra en la figura 1.19, el

triangulo P1AP2 es un rectángulo y entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras,

22

2

121 ,,),( PAdAPdPPd

Figura 1.19



Como P1 y A se encuentran en un plano paralelo al plano xy, la fórmula de distancia dice

que 2

12

2

12

2

1 )()(),( yyxxAPd . Según los comentarios anteriores

2

12

2

1 )(),( zzAPd . Sustituyendo la formula anterior para ),( 21 PPd , se obtiene lo

siguiente:

FORMULA DE DISTANCIA (1.10)

Obsérvese que si P1 y P2 están en el plano xy de manera que z1 = z2= 0 entonces la formula

anterior se reduce a la formula de la distancia en dos dimensiones.

EJEMPLO 6

Calcular la distancia entre )1,3,1( A y )2,4,3( B

Solución

74)12()34(13)()(),( 2222

12

2

12

2

1221 zzyyxxPPd

DEFINICION (1.10)

La distancia entre dos puntos cualesquiera ),,( 1111 zyxP y ),,( 2222 zyxP es

2

12

2

12

2

1221 )()(),( zzyyxxPPd

El espacio vectorial R3 en tres dimensiones es el conjunto de todas

las ternas ordenadas zyx ,, de números reales llamados vectores,

tales que si 321 ,, aaaa , 321 ,, bbbb y c es un escalar entonces

(i) 332211 ,, babababa

(ii) ),,( 321 cacacaca



Los vectores a1, a2, a3 son las componentes del vector 321 ,, aaa . Siguiendo el mismo

procedimiento que R2, se define:

DEFINICION (1.11)

Las propiedades de los vectores en dos dimensiones se pueden generalizar sin ningún

problema a R3, solo hay que tomar en cuenta la tercera componente

EJEMPLO 7

Sean 3,5,2 a y 7,1,4b . Encontrar a + b, 2a-3b y a .

Solución

38)3()5()2(

27,7,1621,3,126,10,47,1,433,5,2232

4,6,27,1,43,5,2

222

a

ba

ba

El siguiente teorema y su demostración so análogos al teorema 1.4

TEOREA 1.12

(i) 0,0,00

(ii) a 321 ,, aaa 321 ,, aaa

(iii) 2

3

2

2

2

1 aaaa

(iv) 332211 ,,)( bababababa

Si P1(x1, y1, z1) y P2(x2,y2, z2) son dos puntos cualesquiera, entonces

el vector a en R3 que corresponde a

21PP es

a = 121212 ,, zzyyxx .



EJEMPLO 8

Si se tienen dados los puntos )7,8,3()2,6,5( 21 yPP , encontrar el vector a en R3

correspondiente a

21PP

Solución

a = 9,2,827,68,53 .

Un vector a es un vector unitario si a = 1, los vectores unitarios especiales

0,0,1i , 0,1,0j , 1,0,0k

Son importantes por que cualquier vector puede expresarse como una combinación lineal

de i, j y k concretamente

kajaiaaaaa 321321 ,,

EJEMPLO 9

Expresar 2,4,3 a en términos de i, j, k y encontrar un vector unitario u que tenga la

misma dirección que a

Solución

Puede escribirse

kjia 2432,4,3

La magnitud a es

29)2()4()3( 2222

3

2

2

2

1 aaaa

Se aplica la formula del vector unitario

kjikjiaa

u29

2

29

4

29

3)243(

29

11



1.3 Producto escalar y vectorial con sus productos triples

PRODUCTO ESCALAR

Dos de los conceptos importantes relacionados con dos vectores a y b son el producto

escalar y vectorial, en esta sección se define en producto escalar.

DEFINICION 1.13

El símbolo ba se lee a punto b. El producto escalar se llama así mismo producto punto,

es importante tener presente que ba es un escalar y no un vector

EJEMPLO 10

Calcular ba para

(a) 3,4,2 a , 2,5,1b

(b) kjia 23 , kjib 254

Solución

(a) 12)2)(3()5)(4()1)(2(2,5,13,4,2

(b) 0)2)(1()5)(2()4)(3()254()23( kjikji

El producto escalar y el ángulo entre dos vectores están estrechamente relacionados.

DEFINICION DEL ANGULO ENTRE a y b (1.14)

El producto escalar ba de 321 ,, aaaa y 321 ,, bbbb es

332211 babababa .

Sean a y b dos vectores diferentes de cero.

(i) Si b no es un múltiplo escalar de a y si

OA y

OB son los

vectores de posición de a y b, respectivamente, entonces, el

ángulo entre a y b (o entre

OA y

OB ) es el Angulo AOB el

triangulo determinado por los puntos A, O y B (véase la

figura 1.20)

(ii) Si b = ca para un escalar c (es decir, si a y b son paralelos),

entonces 0 si c > 0 y si c < 0.



TEOREMA (1.15)

Dividiendo entre a b ambos lados de la formula en el teorema anterior se obtiene lo

siguiente

COROLARIO (1.16)

EJEMPLO 11

Calcular en ángulo entre 1,3,4 a y 2,2,1b

Solución Aplicando el corolario

º84.78263

4arccos

263

4

4411916

)2)(1()2)(3()1)(4(cos

ba

ba

El concepto de componente puede aplicarse a vectores a y b en R3 representándolos

geométricamente y dando la siguiente definición

DEFINICION (1.17)

Si es el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces

cosbaba

Si es el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces

ba

ba cos

Sean a y b dos vectores en R3 con 0b la componente de a a lo largo

de b se denota por acompb y se define por

bb

aacompb

1



EJEMPLO 12

Sean kjia 54 y kjib 236 calcular

(a) acompb (b) bcompa

Solución

(a) Usando la definición (1.17)

6.17

11

7

10324

)236(7

154)236(

)2()3()6(

154

1222

kjikjikjikjibb

aacompb

(b) Intercambiando los papeles de a y b en (1.17)

7.142

11

42

10324)54(

42

1236

1

kjikjia

abbcompa

PRODUCTO VECTORIAL

En esta sección se analiza el producto vectorial a x b de dos vectores en R3 a diferencia de

un escalar esta nueva operación produce un vector, se puede resolver con ayuda de sistema

de coordenadas rectangulares, sin embargo se hará a la inversa, comenzando con la

definición algebraica.

Al trabajar con productos vectoriales es conveniente usar determinantes. Un determinante

de orden 2 se define por

1221

21

21baba

bb

aa

En donde todas las letras representan números reales. Por ejemplo

221210)4)(3()5)(2(54

32

y



221210)2)(5()3)(4(32

54

Los determinantes exhiben una propiedad que tienen los determinantes de todos los

ordenes: el intercambio de dos renglones modifica el signo del determinante.

Un determinante de orden 3 se expresa por

3

21

21

2

31

31

1

32

32

321

321

321

cbb

aac

bb

aac

bb

aa

bbb

aaa

ccc

Esto se llama a veces desarrollo del determinante con respecto a la primera fila (o renglón).

El valor se puede obtener evaluando los determinantes de orden 2 en el lado derecho de la

ecuación.

EJEMPLO 13 Calcular el valor de

421

152

312

Solución Por definición

6427744)3)(54()18()2)(220(

)3(21

52)1(

41

12)2(

42

15

421

152

312

DEFINICION (1.18)

El producto vectorial a x b de 321 ,, aaaa y 321 ,, bbbb es

kbb

aaj

bb

aai

bb

aaaxb

21

21

31

31

32

32



El símbolo a x b se lee “a cruz b”. Obsérvese que la formula para a x b se obtiene

reemplazando c1, c2, c3 en la definición de determinante de orden 3 por los vectores

unitarios i, j, k esto sugiere la siguiente notación para la formula de definición (1.19)

NOTACION PARA EL PRODUCTO VECTORIAL (1.19)

El símbolo del lado derecho en (1.19) no es un determinante por que el primer renglón tiene

vectores en vez de escalares. Sin embrago, la notación de determinante es importante para

recordar la formula de definición (1.18) que es algo complicada, tomando en cuenta esta

diferencia, (1.19) puede usarse para evaluar productos vectoriales, como el siguiente

ejemplo.

EJEMPLO 14

Encontrar a x b para 6,1,2 a y 1,5,3b

Solución Escribiendo

153

612

kji

axb

Obtenemos

kji

kjikjiaxb

72031

)310()182()301(53

12

13

62

15

61

321

321

bbb

aaa

kji

axb



1.4 Aplicaciones físicas y geométricas de los productos escalares y

vectoriales.

APLICACIÓN FISICA

A continuación se presentará una aplicación física importante del producto escalar. De

acuerdo con la fórmula de trabajo FdW , donde W es trabajo, F es fuerza y d es

distancia. Esta formula es muy restrictiva, pues solo puede usarse cuando la fuerza se aplica

en la dirección del movimiento. En general, sea

PQ un vector que representa una fuerza

cuyo punto de aplicación se desplaza a lo largo de un vector

PR . Esto se ilustra en la

figura 1.21, en la que una fuerza

PQ se utiliza para tirar de un objeto a lo largo de una

trayectoria horizontal de P a R. el vector

PQ es la suma de los vectores

PS y

SQ . Como

SQ no contribuye al movimiento horizontal, puede suponerse que el movimiento de P a R

es causado solo por

PS . Aplicando la formula de trabajo que es el producto de la

componente de

SQ en la dirección de

PR por la distancia

PR , es decir,

cosPQW

PR =

PRPQ

Figura 1.21



Esto motiva la siguiente definición.

DEFINICION (1.20)

EJEMPLO 15 La magnitud y la dirección de una fuerza constante están dadas por

kjia 625 . Calcular el trabajo realizado cuando el punto de aplicación de la fuerza se

mueve de )2,1,1( P a )1,3,4( R .

Solución

Por el teorema (1.12), el vector en R3 correspondiente a

PR es 3,4,3 b . Si

PQ es una

representación geométrica de a, entonces, según la definición (1.20), el trabajo realizado es

518815

baPRPQ

Si, por ejemplo, la distancia está en metros y la magnitud de la fuerza en newtons, entonces

el trabajo realizado es 5J (joules). Si la distancia está en pies y la fuerza está en libras

fuerza (lbf), entonces el trabajo realizado es pielbf 5 (pielibras)

APLICACIÓN GEOMETRICA

Para terminar esta sección, se deducirán algunas formulas útiles usando vectores, la primera

se enuncia como sigue

FORMULA DEL PUNTO MEDIO (1.21)

El trabajo realizado por una fuerza constante

PQ cuando su

punto de aplicación se mueve a lo largo del vector

PR es

PRPQ

El punto medio que va de ),,( 1111 zyxP a ),,( 2222 zyxP es

2,

2,

2

212121 zzyyxx



EJEMPLO 16

Encontrar el punto medio que va del segmento (2,-3,6) a (3,4,-2)

Solución Usando el teorema 1.21 resultan las coordenadas del punto medio

2,

2

1,

2

5

2

)2(6,

2

43,

2

32

2,

2,

2

212121 zzyyxx

APLICACIÓN GEOMETRICA

Es fácil obtener una ecuación que tenga como gráfica a la esfera de radio r con centro en el

punto ),,( 0000 zyxP , como se ilustra en la figura 1.22, un punto ),,( zyxP está en la esfera si

y solo si

PP0 = r, equivalentemente

rzzyyxx 2

0

2

0

2

0

Figura 1.22



Elevando al cuadrado ambos lados de está ecuación se obtiene el siguiente resultado

TEOREMA (1.22)

Desarrollando los cuadrados de la expresión (1.22) y simplificando, se ve que está ecuación

de la esfera puede escribirse de la forma

0222 dczbyaxzyx

Donde a, b, c y d son números reales. Inversamente, si se empieza con una ecuación de está

forma y la gráfica existe, completando cuadrados puede legarse a la forma (1.22) y, por lo

tanto, la gráfica es una esfera o punto.

EJEMPLO 17

Describir la gráfica de la ecuación

04486222 zyxzyx

Solución Completamos cuadrados como sigue:

25)2()4()3(

41694)44()168(96

4486

222

222

222

zyx

zzyyxx

zzyyxx

Comparando la última ecuación con (1.22) vemos que la gráfica es una esfera de radio 5

con centro (3,-4.-2)

NOTA: Si existen dudas de cómo completar un cuadrado, consulta el

siguiente link:

http://es.wikipedia.org/wiki/Completando_el_cuadrado

La esfera de radio r y centro ),,( 0000 zyxP tiene por ecuación

22

0

2

0

2

0 rzzyyxx

http://es.wikipedia.org/wiki/Completando_el_cuadrado

algebra de vectores (1)

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