notas para un curso b asico de algebra conmutativa luis m ... · notas para un curso b asico de...

Notas para un Curso Basico de Algebra Conmutativa

Luis M. Pardo

Indice

Part 1. Algebra Conmutativa para pre-universitarios 7

Capıtulo 1. Algunos Prerequisitos de Algebra(...all novelty is but oblivion) 9

1.1. Semigrupo, monoide, grupo, acciones 101.1.1. Las Nociones Basicas 101.1.2. Acciones de un Grupo 151.1.3. Ejercicios de la Seccion 1.1 191.2. El Grupo Simetrico 211.2.1. Las Permutaciones son composicion de ciclos: Orbitas 211.2.2. Indice de una Permutacion 261.2.3. Ejercicios y Problemas de la Seccion 1.2 281.3. Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos 301.3.1. Anillos de Polinomios y de Series de Potencias Formales en varias variables 371.3.2. Otros ejemplos 411.3.3. Ejercicios y Problemas de la Seccion 1.3 421.4. Modulos, Submodulos, Morfismos de Modulos 451.4.1. Operaciones Basicas con Submodulos e Ideales 481.4.2. Modulos Libres y Bases 511.4.3. Teoremas de Isomorfıa 551.4.4. Ejercicios y Problemas de la Seccion 1.4 571.5. Determinante, Teorema de Hamilton-Cayley 621.5.1. La accion de (Mn(R)[X],+) sobre Mn(R): Teorema de Hamilton-Cayley 701.5.2. Ejercicios y Probemas de la Seccion 1.5 73

Capıtulo 2. Ideales Primos y Maximales(A la Recherche du Temps Perdu) 75

2.1. Elementos primos, irreducibles, dominios euclıdeos 762.1.1. Dominios de Ideales Principales: propiedades basicas y ejemplos 762.1.2. Existencia de Factorizacion en Primos en Dominios de Ideales Principales 802.1.3. Dominios Euclıdeos 822.1.4. Existencia de Factorizacion en Primos en Dominios Euclıdeos 862.1.5. Existen dominios de ideales principales que no son dominios euclıdeos:

Dedekind-Hasse (Opcional) 872.1.6. Divisiones del algoritmo de Euclides en Z 912.1.7. Eliminacion Univariada Clasica. 932.1.8. Ejercicios de la Seccion 2.1 992.2. Ideales Primos, Maximales 1042.2.1. Ideales Primos y Maximales 1042.2.2. La nocion de rango de un R−modulo libre 1082.2.3. Libres de Torsion sobre Dominios de Ideales Principales 1102.2.4. Libres de Torsion sobre Dominios Euclıdeos (Opcional) 1182.2.5. Ejercicios de la Seccion 2.2 1212.3. Dominios de Factorizacion Unica: Lema de Gauss 1262.3.1. Dominios de Factorizacion Unica 1262.3.2. El Lema de Gauss 1312.3.3. Ejercicios de la Seccion 2.3 1372.4. Anillos e Ideales de la Geometrıa 137

3

4 INDICE

2.5. Formal Normal de Smith 1442.5.1. Motivaciones 1442.5.2. Matrices de Operaciones Elementales sobre DIP’s 1452.5.3. Matrices elementales particulares 1472.5.4. Orlar una matriz 1502.5.5. “Algoritmo”:Hacer ceros por filas o columnas 1512.5.6. Diagonalizacion de una matriz sobre un DIP: “algoritmo” 1532.5.7. Resolucion de Ecuaciones Lineales Diofanticas 1552.5.8. Estructura de Grupos Abelianos Finitamente Generados 1582.5.9. Ejercicios de la Seccion 2.5 159

Capıtulo 3. El Teorema Chino de los Restos(..nanos gigantum humeris insidentes) 163

3.1. Introduccion 1633.2. El anillo producto y el TCR 1633.3. El Teorema Chino de los Restos en el caso R = Z (Opcional) 1663.3.1. En relacion con el problema de Sun Tzu. 1673.3.2. Una Aplicacion en computacion: Calculo del Determinante por Algoritmos

Modulares. 1683.3.3. Secretos Compartidos. 1723.3.4. Ejercicios de la Seccion 3.3 1723.4. El Teorema Chino de los Restos en el caso R := K[X]. 1733.4.1. La Forma Canonica de Jordan. 1743.4.2. Teorıa del Endomorfismo y el Maximo Comun Divisor en K[X] (Opcional). 1773.4.3. Ejercicios de la Seccion 3.4 180

Capıtulo 4. Nociones un poco mas avanzadas: localizacion, radicales, categorıas.(Don’t Give up!) 185

4.1. Introduccion 1854.2. Local, Localizacion 1864.2.1. Anillos Locales y Semi-locales: Germenes de Funciones 1864.2.2. Localizacion 1874.3. Ideal asociado a una variedad: radical y radical de Jacobson 1884.3.1. Ideal de un Objeto Geometrico 1884.3.2. Radical y Radical de Jacobson 1904.4. Funciones vs Objetos 1924.4.1. El Lenguaje de las Categorıas. 1924.4.2. Categorıas 1924.4.3. Functores y Equivalencias Naturales 1934.4.4. Variacion de un primer tema clasico: El Teorema de Stone–Cech 1954.4.5. Variacion de un segundo tema clasico: El Lema de Urysohn y el Teorema de

Extension de Tietze. 1964.4.6. Variacion de un tercer tema clasico: Extension de funciones en Variedades

Diferenciables 1964.5. Cuestiones y Problemas 197

Part 2. La elegancia del pensamiento de E. Noether 199

Capıtulo 5. Una Prueba Elemental de Nullstellensatz de Hilbert 2015.1. Una demostracion elemental del Nullstellensatz de Hilbert: Parte I 2015.2. Un cambio de coordenadas util 2045.3. Tests de Nulidad para Polinomios. 2055.3.1. El Test de Schwartz–Zippel. 2065.3.2. Cuestores. 2085.3.3. Witness Theorem. 2085.3.4. Tests de Nulidad para Numeros Dados por Esquemas de Evaluacion. 2105.4. Una demostracion elemental del Nullstellensatz de Hilbert: Parte II 2105.4.1. Nullstellensatz de Hilbert 211

INDICE 5

5.4.2. Nullstellensatz de Hilbert: Cuerpos finitos 2125.4.3. Nullstellensatz: Identidad de Bezout 2135.4.4. Nullstellensatz: Maximales 2195.4.5. Nullstellensatz: Rabinowitsch 220

Capıtulo 6. Anillos y Modulos Noetherianos: Primeras propiedades 2236.1. Introduccion 2236.2. Diagramas Conmutativos, Complejos y Sucesiones Exactas 2246.3. El Bi-functor HomR(−,−), localizacion, y propiedades locales 2276.4. Anillos y Modulos Noetherianos 2296.4.1. Condicion de cadena ascendente para submodulos e ideales 2296.4.2. El Teorema de la Base de Hilbert 2316.5. Descomposicion Primaria 2346.5.1. Un par de resultados tecnios peliminares: NAK y otros 2346.5.2. Descomposicon Primaria: Teorema de Lasker–Noether 2356.6. Temas Opcionales 2396.6.1. Snake Lemma 2396.6.2. Libres, Proyectivos, Inyectivos y Planos (Opcional) 2406.7. Cuestiones y Problemas 240

Capıtulo 7. Suplementos sobre Noetherianidad: Teorema de Unicidad, EspaciosTopologicos, Anillos y Modulos Artinianos 243

7.1. Introduccion 2437.2. Primer Teorema de Unicidad de la Descomposicion Primaria: Asociados, Soporte 2437.3. Espacios Topologiocs Noetherianos: Componentes Irreducibles 2477.4. Anillos y Modulos de Artin 2497.5. Dimension de Krull 2527.5.1. Dimension de Krull en espacios topologicos noetherianos 2547.6. Cuestions y Problemas 258

Part 3. Sublimando el pensamiento de Noether : Algebra Local 259

Capıtulo 8. EL Teorema de la Dimension Local 2618.0.1. El Polinomio de Hilbert-Samuel 2618.0.2. Teorema de la Dimension Local 268

Capıtulo 9. Extensiones Enteras de Anillos: Going Up y Going Down 2739.1. Extensiones Enteras de Anillos 2739.2. Going–Up y Going–Down 2739.2.1. Going–Up 2749.2.2. Going–Down 2749.3. Dimension en K−algebras: Normalizacion de Noether y algebras Cohen-Macaulay2759.3.1. El Lema de Normalizacion de Noether 2759.3.2. Grado y Normalizacion de Noether 2829.4. Cuestiones y Problemas 283

Capıtulo 10. El Teorema de la Funcion Implıcita : Fibras de Levantamiento. 28510.1. Introduccion 28510.2. Anillos y modulos topologicos : filtraciones y completados 28710.2.1. Graduaciones y filtraciones a−adicas 29010.2.2. El Lema de Artin–Rees y el Teorema de la Interseccion de Krull. 29110.3. Propiedades del Completado : Anillos de Zariski. 29210.4. Los Teoremas de Division y Preparacion de Weierstrass. 29310.5. Anillos Locales Regulares. 29510.5.1. Criterio del Jacobiano. 29510.5.2. Teorema de Estructura de Cohen. 29610.6. Teorema de la Funcion Implıcita. 29710.6.1. El Lema de Hensel. 297

6 INDICE

10.6.2. El Operador de Newton No–Arquimediano 298

Apendice A. Naıve Set Theory(la Nada y la palabra) 301

A.1. Algunas Consideraciones Preliminares 302A.2. Conjuntos. Pertenencia. 303A.2.1. Observaciones preliminares. 304A.3. Inclusion de conjuntos. Subconjuntos, operaciones elementales. 304A.3.1. El retıculo P(X). 305A.3.2. Leyes de Morgan. 305A.3.3. Generalizaciones de Union e Interseccion. 306A.3.4. Ejemplo: Conjuntos y Subconjuntos como Grafos No orientados. 306A.3.5. Ejemplo: Marcas de telefonos moviles 307A.3.6. Ejemplo: un grafo infinito elemental. 307A.4. Producto Cartesiano (list). Correspondencias y Relaciones. 307A.4.1. Correspondencias. 308A.4.2. Relaciones. 309A.4.3. Relaciones de Orden= Clausura Transitiva de un grafo acıclico orientado. 309A.4.4. Relaciones de Equivalencia=Clausura Transitiva de Grafos. 312A.4.5. Clasificando y Etiquetando elementos: Conjunto Cociente. 313A.5. Aplicaciones. Cardinales. 314A.5.1. Determinismo/Indeterminismo. 316A.5.2. Imagen, Anti-imagen y otras propiedades. 317A.5.3. Aplicaciones Biyectivas. Cardinales. 319A.6. Ejercicios y Problemas 321

Apendice. Bibliografıa 323

Part 1

Algebra Conmutativa parapre-universitarios

CAPıTULO 1

Algunos Prerequisitos de Algebra(...all novelty is but oblivion)

Esta bien que se mida con la durasombra que una columna en el estıoarroja o con el agua de aquel rıoen que Heraclito vio nuestra locura...La arena de los ciclos es la mismae infinita es la historia de la arena;...la invulnerable eternidad se abisma....Todo lo arrastra y pierde este incansablehilo sutil de arena numerosa.No he de salvarme yo, fortuita cosaDe tiempo, que es materia deleznable.

Solomon saith,There is no new thing upon the earth.So that as Plato had an imagination,That all knowledge was but remembrance;so Solomon giveth his sentence:That all novelty is but oblivion.(R. Bacon)

Indice

1.1. Semigrupo, monoide, grupo, acciones 101.1.1. Las Nociones Basicas 101.1.2. Acciones de un Grupo 151.1.3. Ejercicios de la Seccion 1.1 191.2. El Grupo Simetrico 21

1.2.1. Las Permutaciones son composicion de ciclos: Orbitas 21

1.2.2. Indice de una Permutacion 261.2.3. Ejercicios y Problemas de la Seccion 1.2 281.3. Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos 301.3.1. Anillos de Polinomios y de Series de Potencias Formales en varias variables 371.3.2. Otros ejemplos 411.3.3. Ejercicios y Problemas de la Seccion 1.3 421.4. Modulos, Submodulos, Morfismos de Modulos 451.4.1. Operaciones Basicas con Submodulos e Ideales 481.4.2. Modulos Libres y Bases 511.4.3. Teoremas de Isomorfıa 551.4.4. Ejercicios y Problemas de la Seccion 1.4 571.5. Determinante, Teorema de Hamilton-Cayley 621.5.1. La accion de (Mn(R)[X],+) sobre Mn(R): Teorema de Hamilton-Cayley 701.5.2. Ejercicios y Probemas de la Seccion 1.5 73

9

10 1. PRE-ALGEBRA

1.1. Semigrupo, monoide, grupo, acciones

1.1.1. Las Nociones Basicas. Comencemos recordando algunas nociones basicas

Definicion 1 (Semi-grupo, Monoide). Un semigrupo es un par (S, ∗), donde S es un con-junto no vacıo y ∗ es una aplicacion

∗ : S × S −→ S(a, b) 7−→ a ∗ b,

Donde S × S = (x, y) : x, y ∈ S es el producto cartesiano de S consigo mismo y, ademas,verifica la siguiente propiedad:

Propiedad Asociativa: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), ∀x, y, z ∈ S.

A la aplicacion ∗ se la denomina Operacion Interna del semi-grupo. Un semigrupo (S, ∗) sedenomina monoide si verifica la siguiente propiedad adicional:

Existencia de Elemento Neutro: ∃e ∈ S, e ∗ x = x ∗ e = x, ∀x ∈ S.

Al elemento e, si existe, se le denomina Elemento Neutro del monoide.Un semigrupo (o un monoide) (S, ∗) se dice conmutativo o abeliano si verifica la siguientepropiedad adicional:

Propiedad Conmutativa: ∀x, y ∈ S, x ∗ y = y ∗ x.

Proposicion 1.1.1. Si (S, ∗) es un monoide, el elemento neutro es unico y suele denotarsemediante eS o, simplemente, e o 1 si no hay confusion en el lenguaje.

Demostracion. Sea e1 y e2 son dos elementos de S neutros en el sentido de la definicionprecedente, tendremos que

e1e2 = e1 porque e2 es neutro,

mientras que

e1e2 = e2 porque e1 es neutro,

Con lo que hemos concluido que e1 = e2 como se indica en el enunciado.

Definicion 2 (Morfismo de semi-grupos, monoides). Un morfismo entre dos semigrupos(S, ∗), (T,⊥) es una aplicacion entre los respectivos conjuntos:

f : S −→ Ta 7−→ f(a),

que derifica la siguiente propiedad:

f(x ∗ y) = f(x) ⊥ f(y).

Un morfismo entre dos monoides (M, ∗), (N, ·), con respectivos elementos neutros eM y eN , esun morfismo de semi-grupos fM −→ N que verifica, ademas, la siguiente propiedad:

f(eM ) = eN .

Ejemplo 1.1.2. El conjunto (Nn,+) es un monoide conmutativo con la operacion:

+ : Nn × Nn −→ Nn,

dada mediante:

(µ1, . . . , µn) + (θ1, . . . , θn) := (µ1 + θ1, . . . , µ1 + θ1).

Mas aun, la siguiente aplicacion es un morfismo de monoides entre (Nn,+) y (N,+), llamadagrado: | · | : Nn −→ N, dada mediante

|(µ1, . . . , µn)| = µ1 + · · ·+ µn.

A los elementos de Nn, en este contexto, se les suele llamar exponentes o exponentes monomi-ales.

1.1. SEMIGRUPO, MONOIDE, GRUPO, ACCIONES 11

Definicion 3 (Grupo). Un grupo es un monoide (G, ∗) que verifica la siguiente propiedadadicional:

Existencia de Inverso: ∀x ∈ G, ∃x′ ∈ G, x ∗ x′ = x′ ∗ x = eG,

donde eG es el elemento neutro de (G, ∗). Para cada x ∈ G, todo elemento x′ tal que x′ ∗ x =x′ ∗ x = eG se denomina inverso de x y se denota x−1. Un grupo abeliano es un grupo cuyomonoide subyacente es conmutativo.

Ejemplo 1.1.3. El conjunto (Zn,+) con la operacion:

+ : Zn × Zn −→ Zn,

dada mediante:

(µ1, . . . , µn) + (θ1, . . . , θn) := (µ1 + θ1, . . . , µ1 + θ1),

es un grupo abeliano.

Notacion 1.1.4 (Notacion para Grupos Abelianos). Es habitual que los grupos abelianosse representen mediante notacion aditiva. Es decir, se suelen presentar mediante la forma“(G,+) es un grupo abeliano”. El elemento neutro de un grupo abeliano (G,+) se suele denotarmediante 0G o, simplemente, 0, cuando no haya confusion. Para cada elemento g ∈ G de ungrupo abeliano (G,+) el inverso de g se denomina “el opuesto de g” y se suele denotar mediante−g.

Proposicion 1.1.5. Si (G, ·) es un grupo, cada elemento x ∈ G posee un unico elementoinverso.

Demostracion. Ya hemos visto que (G, ·) posee un unico elemento neutro. Ahora supong-amos que x ∈ G posee dos posiles elementos neutros x′, x′′ ∈ G. Por la propiedad asociativa setiene:

x′ = x′ · e = x′ · (x · x′′) = (x′ · x) · x′′ = e · x′′ = x′′.

Y se tiene el enunciado.

Definicion 4 (Subgrupo). Dado un grupo (G, ∗), un subgrupo es un subconjunto no vacıoG1 ⊆ G tal que se verifica la siguiente propiedad:

∀x, y ∈ G1, xy−1 ∈ G1.

Definicion 5 (Morfismo de grupos). Un morfismo de grupos es un morfismo de monoides.Dados dos grupos (G, ∗), (H,⊥), un morfismo entre estos dos grupos es un morfismo entre lossubyacentes monoides. Es decir, f : (G, ∗) −→ (H,⊥) es morfismo de grupos si f(eG) = eH y

∀x, y ∈ G, f(x ∗ y) = f(x) ⊥ f(y).

Proposicion 1.1.6. Si ϕ : (G, ∗) −→ (H,⊥) es un morfismo entre dos grupos, entonces,

∀x, y ∈ G, ϕ(x ∗ y−1) = ϕ(x) ⊥ (ϕ(y))−1.

En particular, los morfismos de grupos transforman los inversos de los elementos del primergrupo, en inversos de la imagen.

Demostracion. Basta con que que los morfismos de grupo transforman inversos en in-versos. Supongamos ϕ : (G, ∗) −→ (H,⊥) un morfismo de grupos y sea g ∈ G, entonces,

ϕ(g−1) = (ϕ(x))−1.

Para verificarlo, baste con observar que

ϕ(g) ⊥ ϕ(g−1) = ϕ(g ∗ g−1) = ϕ(eG) = eH ,

y

ϕ(g−1) ⊥ ϕ(g) = ϕ(g−1 ∗ g) = ϕ(eG) = eH .

12 1. PRE-ALGEBRA

Proposicion 1.1.7. Sea f : (G, ∗) −→ (H,⊥) un morfismo de grupos. Sean S ⊆ G y T ⊆ Hdos subgrupos de G y H respectivamente. Entonces, tambieon se tiene que f(S) es subgrupo deH y f−1(T ) es subgrupo de G.Entre los subgrupos obtenidos como imagen y anti-imagen de subrgupos por morfismos de grupos,son destacables el nucleo y la imagen, respectivamente definidos mediante:

ker(f) := f−1(eH) := x ∈ G : f(x) = eH.Im(f) := f(G).

Demostracion. Queda como ejercicio.

Observacion 1.1.8 (La terminologıa de los morfismos). En ocasiones se encuentra la ter-minologıa homomorfismo en lugar de morfismo que hemos usado en la Definicion precedente.Esta terminologıa ira acompanada de sufijos “de monoide”, “de grupo”, “de espacios vectori-ales” etcetera. Pero, a la hora de clasificar o comprender los morfismos son tambien importanteslos prefijos. Consideraremos algunos usuales. Ası, sea

f : X −→ Y,

un morfismo de alguna clase. Se pueden clasificar:

• Endo–: se usa la forma “endomorfismo”, cuando X = Y ,• Mono–: se usa a menudo la forma “monomorfismo”, cuando exista g : Y −→ X

aplicacion, tal que g f = IdX , donde es la composicion e IdX es la identidad sobreX. Esto es equivalente a inyectividad siempre que la categorıa tenga como sustratola Categorıa de Conjuntos. En otros casos, se usa una definicion alternativa (ver masabajo) y se dice, para esta nocion, que es un morfismo inyectivo.

• Epi–: se usa a menudo en la forma “epimorfismo”, cuando exista g : Y −→ Xaplicacion, tal que fg = IdY , donde es de nuevo la composicion e IdY es la identidadsobre Y . Esto es equivalente a suprayectividad siempre que la categorıa tenga comosustrato la Categorıa de Conjuntos. En otros casos, se usa una definicion alternativa(ver mas abajo) y se dice, para esta nocion, que es un morfismo suprayectivo.

• Iso–: se usa en la forma “isomorfismo”, cuando exista g : Y −→ X morfismo (de laclase que corresponda), tal que

f g = IdY , g f = IdX .

Este es el uso habitual en todas las categorıas, independientemente del sustrato. Enmuchos casos, isomorfismo es equivalente a ser inyectivo y biyectivo a la vez.

• Auto–: se usa bajo la forma “automorfismo” y es automorfismo cuando es endomor-fismo e isomorfismo a la vez.

Observacion 1.1.9 (Isomorfismos en Topologıa: homeomorfismos). En Topologıa se usala nocion de “aplicacion continua” en lugar de morfismo, “aplicacion continua inyectiva” en lugarde morfismo inyectivo, “aplicacion continua suprayectiva” en lugar de morfismo suprayectivoy, un termino que no debe confundirse, “homeomorfismo” en lugar de isomorfismo. Pero sonnociones indenticas, aunque con nombres distintos solo porque a los topologos les gustarıadiferenciarse. Lo que no es dientico en Topologıa es la equivalencia entre isomorfismo y morfismobiyectivo. Por ejemplo, es obvio que existe una aplicacion biyectiva entre el intervalo [0, 1) y laesfera unidad S1. Ademas es continua y viene dada mediante:

exp : [0, 1) −→ S1

t 7−→ e2πti.

Es continua, biyectiva, pero no es homeomorfismo porque su inversa no es continua. Es decir,en general, isomorfismo no ha de coindicir con morfismo inyectivo y suprayectivo a la vez.

Observacion 1.1.10 (Isomorfismo en Geometrıa Diferencial: Difeomorfismo). En Ge-ometrıa Diferencial se puede usar la nocion de “aplicacion diferenciable” en lugar de morfismo,“aplicacion diferenciable inyectiva” en lugar de morfismo inyectivo, “aplicacion diferenciablesuprayectiva” en lugar de morfismo suprayectivo y “difeomorfismo” en lugar de isomorfismo.Sin embargo, en Geometrıa Diferencial es muy importante compaginar el comportamiento comoaplicacion con el comportamiento sobre el espacio tangente, con lo que tendremos, inmersiones,embebimientos y submersiones con especiales definiciones y propiedades.


En Teorıa de Grupos, como en las categorıas generales, se usan formas especiales de las nocionesde monomorfismo y epimorfismo, que discutimos en la Definicion siguiente.

Definicion 6 (Monomorfismos y Epimorfismos entre Grupos, en el lenguaje decategorıas). Sea f : (G, ∗) −→ (H,⊥) un morfismo de grupos.

i) Monomorfismo de Grupos: Decimos que f es un monomorfismo de grupos si para todogrupo (T, ?) y cualesquiera dos morfismos α1, α2 : (T, ?) −→ (G, ∗), se tiene:

f α1 = f α1 =⇒ α1 = α2.

ii) Epimorfismo de Grupos: Decimos que f es un monomorfismo de grupos si para todogrupo (T, ?) y cualesquiera dos morfismos α1, α2 : (H,⊥) −→ (T, ?), se tiene:

α1 f = α1 f =⇒ α1 = α2.

Para mejor recordar estas nociones, consideremos los siguientes dos diagramas que reflejan lacondicion de monomorfismo y epimorfismo:

• Con las anteriores notaciones, f es monomorfismo si para todo grupo (T, ?) y cua-lesquiera dos morfismos α1, α2 : (T, ?) −→ (G, ∗), si el siguiente diagrama es conmu-tativo:

(G, ∗) (H,⊥)

(T, ?)

(T, ?)

f

α1

α2

IdT

entonces, α1 = α2.• Con las anteriores notaciones, f es epimorfismo si para todo grupo (T, ?) y cualesquiera

dos morfismos α1, α2 : (H,⊥) −→ (T, ?), si el siguiente diagrama es conmutativo:

(G, ∗) (H,⊥)

(T, ?)

(T, ?)

f

α1

α2

IdT

entonces, α1 = α2.

Proposicion 1.1.11. Con las anteriores notaciones, sea f : (G, ∗) −→ (H,⊥) un morfismo degrupos.

i) El morfismo f es morfismo inyectivo si y solamente si

ker(f) := x ∈ G : f(x) = eH = eG.

ii) El morfismo f es monomofismo (en el sentido de categorıa de grupos) si y solamentesi f es morfismo inyectivo.

iii) (Teorema de Schreier) El morfismo f es epimorfismo (en el sentido de categorıade grupos) si y solamente si f es un morfismo suprayectivo.

Demostracion. Demostraremos cada ıtem separadamente:

14 1. PRE-ALGEBRA

i) Es evidente que si f es inyectiva ker(f) = eG. Recıprocamente, si ker(f) = eG,supongamos que tenemos x, y ∈ G tales que f(x) = f(y). Entonces, xy−1 ∈ ker(f) y,por tanto, x = y con lo que tenemos la inyectividad.

ii) Si f es inyectiva, se verifica obviamente la propiedad indicada con lo que tenemos laimplicacion ⇐=. Recıprocamente, supongamos que f es un monoformismo de gru-pos. Consideremos ker(f) con la operacion inducida por la de (G, ∗) como grupo yconsideremos los siguientes dos morfismos:

α1 : (ker(f), ∗) → (G, ∗)x 7−→ x,

α2 : (ker(f), ∗) → (G, ∗)x 7−→ eG.

Es decir, α1 es la inclusion y α2 es claramente la “aplicacion nula”, en el sentido deque va siempre al elemento neutro. Entonces, es obvio que f α1 = f α2. Por tanto,si f es monomorfismo, α1 = α2 y, necesariamente, ker(f) ⊆ eG.

iii) Para Demostrar el Teorema de Schreier, veamos algunos detalles. En primer lugar, esobvio que si f es suprayectiva, entonces, se verifica la condicion de epimorfismo. ElTeorema de Schreier es justamente la prueba del recıproco. Consideremos el subrgupoL := Im(f) := f(G), subgrupo de H y supongamos que existe a ∈ H \ L. Consider-emos el conjunto de las clases a izquierda modulo L (notese que no hemos supuestoque L sea subgrupo normal, luego no es el cociente) junto, y de manera disjunta, elelemento a ∈ H \ L, es decir:

X := xL : x ∈ H⋃a,

donde ∪ sgnifica union disjunta. Sea (S (X), ) el grupo de las permutaciones delconjunto X con la composicion como operacion. Definamos la siguiente permutacionsobre X:

σ : X −→ X

s 7−→ σ(s) :=

a, si s = L = eHL ∈ X,L, si s = a,s, en el resto de los casos.

Definamos dos morfismos φ, ψ : (H,⊥) −→ (S (X), ) del modo siguiente:

φ : H −→ S (X)x 7−→ φ(x) := φx ∈ S (S),

donde la permutacion φx viene dada por:

φx : X −→ X

s 7−→xyL, si s = yL,a, si s = a

De otro lado definamos

ψ : H −→ S (X)x 7−→ σ φx σ−1 ∈ S (S),

Ahora hay que probar la siguiente afirmacion:

(1.1.1) L = z ∈ H : φ(z) = ψ(z).

Dejamos para mas abajo la prueba de esta afirmacion y damos por obvio que ambos sonmorfismos de grupos. Asumiendo esta igualdad, veamos que φ f = ψ f . Pues si x ∈ G, seaentonces y = f(x) ∈ Im(f) = f(G) = L. Pero como φ(y) = ψ(y), para todo y ∈ L, tendremosque φ f(x) = ψ f(x) para cualquier x ∈ G, luego φ f = ψ f y como f es epimorfismo,concluiremos que ψ = φ. En particular, tenemos que φ(a) = ψ(a), con lo que a ∈ L, a pesar deque nuestra hipotesis era que a 63 L, llegando a contradiccion.Demostracion de la igualdad (1.1.1):


• Demostracion del contenido L ⊆ z ∈ H : φ(z) = ψ(z): Sea z ∈ L. Por definicionde φ, tenemos que φz(s) = φz(yL) = (zy)L para cada s = yL ∈ X y φz(a) = a. Deotro lado,

ψ(z) := σ φz σ−1 ∈ S (X).

Entonces, si s = yL ∈ X \ a, con y ∈ H, tenemos que s 6= L si y solamente siy 6∈ L = Im(f). En este caso, σ(s) = s y σ−1(s) = s, y se tiene:

ψ(z)(s) = σ φz σ−1 (yL) = σ φz(yL) = σ ((zy)L) .

De nuevo, (zy)L 6= a y (zy)L 6= L. La primera afrimacion es obvia, la segunda sebasa en el hecho de que z ∈ L. Pues si (zy)L = L es porque zy ∈ L, como z ∈ L,esto implicarıa que y ∈ L y hemos supuesto que yL 6= L. Por tanto, tendremos que sis = yL ∈ X \ L, a, con y ∈ Hse tiene:

ψ(z)(s) = σ ((zy)L) = (zy)L = φz(yL).

En los dos casos que quedan, es obvio, por las definiciones de las funciones, que:

ψ(z)(a) = φz(a),

y

ψ(z)(L) = φz(L).

Con ello hemos probado que las dos permutaciones ψ(z) y φz coinciden en todo puntos ∈ X y, por tanto, ψ(z) = φz, cuando z ∈ L.

• Demostracion del contenido L ⊇ z ∈ H : φ(z) = ψ(z): Sea z ∈ H y supongamosque z 6∈ L = Im(f). Tenemos que

ψ(z)(a) = σ φz σ−1(a) = σ φz(L) = σ(zL).

Como z 6∈ L, entonces zL 6= L y, por tanto, σ(zL) = zL. De otro lado,

φz(a) = a,

y habremos probado que ψ(z) 6= φz, con lo que hemos probado el contenido buscado.

1.1.2. Acciones de un Grupo.

Definicion 7 (Accion de un grupo). Sea X un conjunto y (G, ∗) un grupo. Una accion deG sobre X es una aplicacion:

·G : G×X −→ X(g, x) 7−→ g · x,

verificando

i) Dados cualesquiera g1, g2 ∈ G y x ∈ X se tiene:

g1 ·G (g2 ·G x) = (g1 ∗ g2) ·G x.

ii) Si e ∈ G es el elemento neutro de G se tiene, para cada x ∈ X:

e · x = x.

Observacion 1.1.12. Unos pocos comentarios preliminares:

i) La primera de las propiedades indicadas en la definicion indica que se tiene una ciertaasociativiodad entre la operacion de grupo ∗ y la accion ·. Por eso se suelen denotarcon el mismo sımbolo (i.e. escribir (G, ·) para el grupo y ·G para la accion “externa”del grupo sobre el conjunto X. Progresivamente iremos suprimiendo el sımbolo · delas operaciones, siempre que no genere confusion alguna.

ii) Un ejemplo de accion es la llamada accion a izquierda de un grupo (G, ·) sobre sımismo:

·G : G×G −→ G(g, x) 7−→ g · x.

16 1. PRE-ALGEBRA

iii) Junto a las acciones a izquierda se suelen introducir las acciones “a derecha”. Unaaccion a derecha es una transformacion

·G : G×X −→ X(g, x) 7−→ x · g,

verificando(a) Dados cualesquiera g1, g2 ∈ G y x ∈ X se tiene:

(x ·G g1) ·G g2 = x ∗ ·G (g1 ∗ g2) .

(b) Si e ∈ G es el elemento neutro de G se tiene, para cada x ∈ X:

e · x = x.

iv) Consideremos el grupo simetrico sobre un conjunto X, (S (X), ) con la operaciondada de la forma siguiente:

(1.1.2) : S (X)×S (X) −→ S (X)

(σ, τ) 7−→ σ τ.De manera natural define una accion sobre el conjunto X mediante:

(1.1.3)S : S (X)×X −→ X

(σ, x) 7−→ σ(x).

Se trata de una accion a izquierda sobre X. Notese que hemos “invertido” la formaen la que algunos autores presentan la operacion en el grupo simetrico. Lo hacemospara preservar la accion a izquierda que define.

v) Las acciones a izquierda y a derecha estan relacionadas de modo obvio. Si R : G ×X −→ X es una accion a derecha de un grupo G sobre un conjunto X, la siguiente esuna accion a izquierda:

L := R−1 : G×X −→ X(g, x) 7−→ xRg−1.

Esto determina una biyeccion entre ambos tipos de acciones. En lo que queda nosocupamos solo de acciones a izquierda.

Definicion 8 (Orbitas). Sea (G, ·) un grupo, M un conjunto, eG : G×M −→M una accionde grupo, S ⊆ G un subgrupo, N ⊆ M un subconjunto y x ∈ M un elemento. Definimos lasdiferentes orbitas:

i) Definimos la orbita definida por S sobre N mediante:

OS(N) := gx : g ∈ S, x ∈ N.ii) Para cada elemento x ∈ X, se define la orbita a izquierda de x por la accion de S al

conjunto:OS(x) := gx : g ∈ S.

Observacion 1.1.13. Varios comentarios sobre la accion de grupo y las orbitas.

i) Obviamente se tiene la siguiente igualdad:

OS(N) :=⋃x∈N

OS(x).

ii) Dada la accion de un grupo sobre sı mismo, las orbitas (por la accion a la izquierda)de un elemento σ ∈ G con respecto a un subgrupo S ⊆ G seran las clases a derecha,es decir, se trata de:

OS(σ) := Sσ := gσ : g ∈ S.En este caso, tambien se pueden considerar las orbitas a la derecha (interpretando laaccion a la derecha):

O(R)S (σ) := σS := σg : g ∈ S.

Esta es la notacion mas habitual para las clases modulo un subgrupo. En el caso desubgrupos normales se estudia la realcion entre ambos tipos de clases.


iii) La relacion de semejanza de matrices. Sea K un cuerpo, Mn(K) el conjunto de lasmatrices n × n con coordenadas en K y GL(n,K) el grupo general lineal sobre K.Entonces, tenemos la accion de GL(n,K) sobre Mn(K) dado mediante:

·GL(n,K) : GL(n,K)×Mn(K) −→ Mn(K)(P,A) 7−→ PAP−1,

Las orbitas, en este caso, es el conjunto de las matrices semejantes a la matriz A.

Proposicion 1.1.14. Sea (G, ·) un grupo y sea

G×X −→ X

una accion del grupo G sobre un conjunto X no vacıo. Sea S ⊆ G un subgrupo. Entonces, laclase siguiente, define una particion de X y, en particular, una relacion de equivalencia:

OS(x) : x ∈ X.En particular, se verifica para cada par de elementos x, y ∈ X:

OS(x)⋂

OS(y) 6= ∅ ⇐⇒ OS(x) = OS(y).

La relacion de equivalencia esta, obviamente definida por las robitas del modo siguiente:

x ∼ y ⇐⇒ OS(x) = OS(y).

El conjunto cociente son, obviamente, las orbitas.

Demostracion. Bastara con que probemos la siguiente propiedad:Si z ∈ OS(x) ∩ OS(y)⇐= y ∈ OS(x). Para probarlo, tenemos que existen σ1, σ2 ∈ S tales que:

z = σ1(x) = σ2(y).

Por tanto,y = σ−1

2 (x) = σ−12 (σ1(x)) =

(σ−1

2 · σ1

)(x) ∈ OS(x),

puesto que, al ser S subgrupo, σ−12 ·σ1 ∈ S. A partir de aquı, es obvio que si yOS(x), entonces,

σ(y) ∈ OS(x) para cada σ ∈ S (S es subgrupo de G). Con lo que hemos probado que si:

∃z ∈ OS(x) ∩ OS(y)⇐= OS(y) ∈ OS(x).

Cambiando la prueba (“mutatis mutandis”) los papeles jugados por x e y, concluiremos quetambien se verifica:

∃z ∈ OS(x) ∩ OS(y)⇐= OS(x) ∈ OS(y).

Por tanto, hemos probado:

OS(x)⋂

OS(y) 6= ∅ ⇐= OS(x) = OS(y).

El recıproco es obviamente cierto, con lo que tenemos la equivalencia.Supondremos, abusando del Axioma de Eleccion, que podemos elegir representantes “canonicos”de cada orbita, es decir, eligiendo elementos xi : i ∈ I ⊆ X tales que

OS(xi) : i ∈ I = OS(x) : x ∈ X,verificando

Ox(xi) ∩ OS(xj) = ∅ ⇐⇒ i 6= j.

Tenemos ası la particion buscada

X =⋃

i∈IOS(xi),

que define una relacion de equivalencia sobre X, cuyas clases de equivalencia son las orbitas.Obviamente, se tendra que

x ∼ y ⇐⇒ OS(x) = OS(y).

Observacion 1.1.15. La parte usualmente difıcil cuando se trata de acciones de grupos sobreconjuntos es la determinacion de las orbitas y, en particular, la determinacion de representantessignificativos (llamados “canonicos”) de cada una de las orbitas. Entre los ejemplos se pudenver varias acciones de grupo y se trata de determinar representantes canonicos de las orbitas,para lo que los alumnos han sido adiestrados en diversas asignaturas precdentes a esta.

18 1. PRE-ALGEBRA

Definicion 9 (Acciones Transitivas y Fieles). Una accion de un grupo (G, ·) sobre unconjunto M dad mediante ·G : G×M −→M se dice transitvia si verifica:

∀x, y ∈M, ∃g ∈ G, g · x = g · y.La accion se llama fiel si verifica:

∀g1, g2 ∈ G, ∃x ∈M, g1 · x 6= g2 · x.

Proposicion 1.1.16. Sea (G, ·) un grupo y ·G : G ×M −→ M una accion a izquierda de Gsobre el conjunto M . Entonces, se tiene:

i) Para cada g ∈ G, la accion permite definir la “traslacion por g a la izquierda”, delmodo siguiente:

Lg : M −→ Mm 7−→ g ·m.

Entonces, Lg es una biyeccion de M .ii) El siguiente es un morfismo de grupos, donde (S (M), ) es el grupo simetrico con la

composicion (ver Seccion siguiente):

L : (G, ·) −→ (S (M), )g 7−→ Lg.

iii) Si la accion es fiel, entonces, L es un monomorfismo de grupos y, en particular, G seidentifica con un subgrupo del grupo simetrico S (M).

Demostracion. Baste observar la identidad siguiente y dejar la prueba como ejercicio:

(Lg)−1

= Lg−1 ,∀g ∈ G.

Definicion 10 (Estabilizador de un elemento). Sea (G, ·) un grupo, X un conjunto y·G : G×X −→ X una accion de G sobre X. Sea x ∈ X un elemento. Definimos el estabilizadorde x con respecto a la accion de ·G como el subgrupo de G dado mediante:

StabG(x) := g ∈ G : g ·G x = x.

Es, obviamente, un subgrupo de G.

Proposicion 1.1.17. Sea (G, ·) un grupo, X un conjunto y ·G : G ×X −→ X una accion deG sobre X. Supongamos que la accion ·G es transitiva.

i) Sea x0 ∈ X un elemento cualquiera de X y sea S := StabG(x0). Entonces, X esbiyectable al conjunto de clases definido por S en G1. Es decir, existe una biyeccinnatural entre X y el conjunto:

G/ ∼S := aS : a ∈ G.ii) Si, ademas, existiera un punto y0 ∈ X tal que su estabilizador T := StabG(y0) es

subgrupo normal de G, el conjunto X serıa biyectable a un grupo cociente: G/T .

Demostracion. Probemos la afirmacion i). Para ello, consideremos la siguiente aplicacon:

ϕ : G −→ Xg 7−→ gx0

La aplicacion ϕ es suprayectiva. Para hacerla inyectiva consideraremos las clases de G/ ∼S . Esdecir definimos:

Φ : G/ ∼S := gS : g ∈ G −→ XgS 7−→ gx0.

Lo primero es ver que esta bien definida, es decir, que es aplicacion. Claramente se tiene que eldominio y el rango son los apropiados, ası que tenemos una correspondencia y solo queda porver que la imagen de cada clase gS es unica. Ahora bien, supongamos g′ ∈ gS un elemento tal

1Notese que un subgrupo S de un grupo G define una relacion de equivalencia mediante a ∼S b sii a−1b ∈ S.Pero el conjunto cociente G/ ∼S , formado por las clases de equivalencia, no necesariamente es un grupo con la

operacion natural. Para ello es necesario que S sea subgrupo normal.


que g′S = gS o, equivalentemente, g′ ∼S g. Entonces, g′ = gτ donde τ ∈ S = StabG(x0). Portanto,

g′x0 = (gτ)x0 = g(τx0) = gx0,

donde hemos usado que τx0 = x0 por estar en el estabilizador. La suprayectividad es claraporque ϕ es suprayectiva (o, equivalentemente, porque la accion es transitiva). En cuantoa la inyectividad de Φ, notese que si Φ(gS) = Φ(g′S) es porque gx0 = g′x0, en particular(g′)−1gx0 = x0 y (g′)−1g esta en el estabilizador de x0, lo que significa (g′)−1g ∈ S y g′S = gS.Para la afirmacion ii), simplemente notese que la afirmacion i) no depende del punto x0 elegido.Si, ademas, y0 es tal que su estabilizador es un subgrupo normal, entonces G/ ∼T tiene es-tructura de grupo cociente, que suele denotarse por G/T (ver Problema 7 mas adelante). Portantom el conjunto X es, en realidad, un cociente G/T camuflado.

1.1.3. Ejercicios de la Seccion 1.1.

Problema 1. Considerar el conjunto Nn y sobre el la estructura de monoide definida mediantela suma coordenada a coordenada (Nn,+). Consideremos la aplicacion grado definida sobre Nndel modo siguiente:

| · | : Nn −→ N,definida para cada µ := (µ1, . . . , µn) ∈ Nn, entonces

|µ| := µ1 + · · ·+ µn ∈ N.

A la aplicacion | · | se la denomina grado total del multi-ındice (o exponente monomial) µ. Sepide:

i) Probad que, efectivamente, (Nn,+) es un monoide.ii) Hay que probar que el par (2Z, ·), donde 2Z son los enteros pares y · es el producto.

Pruebese que se trata de un semi-grupo que no es monoide.iii) Probad la siguiente igualdad para cada d ∈ N:

]µ ∈ Nn : |µ| = d =

(d+ n− 1

n− 1

).

Problema 2. Pruebese la Proposicion 1.1.7 anterior.

Problema 3. Verifica que un morfismo de grupos f : (G, ∗) −→ (H,⊥) es biyectivo si ysolamente si es isomorfismo, es decir, si y solamente si existe otro morfismo de grupos f ′ :(H,⊥) −→ (G, ∗) tal que:

f f ′ = IdH , f ′ f = IdG,

donde denota composicion de aplicaciones e IdG, IdH son, respectivamente, los morfismosidentidad. Concluir que un isomorfismo es un morfismo que es monomorfismo y epimorfismoen el sentido de la Definicion 6.

Problema 4. Hay que probar que si (G, ∗) es un grupo y G1 ⊆ G es un subgrupo, entonces elneutro eG ∈ G1.

Problema 5. Consideremos el conjunto O(n) de las matrices n × n ortogonales sobre R. Esdecir,

O(n) := O ∈Mn(R) : Ot = O−1,donde O∗ es la transpuesta de O. Se pide:

i) Se debe probar que (O(n), ·) es un grupo con la operacion producto de matrices.ii) Se tiene que probar que la siguiente es una accion de O(n) sobre Mn(R):

·O : O(n)×Mn(R) −→ Mn(R)(O,M) 7−→ OMOt.

iii) Determinar las orbitas de una matriz M ∈Mn(R) simetrica e identificarlas con algunarelacion de equivalencia entre matrices. ¿Existe algun representante canonica de esaclase de equivalencia?. ( Hint: Buscad en internet (o en vuestra bibliografıa personalo apuntes) la Factorizacion de Schur real de matrices reales y explicar que tiene quever con este enunciado).

20 1. PRE-ALGEBRA

Problema 6. Consideremos el conjunto U (n) de las matrices n × n unitarias sobre C. Esdecir,

U (n) := U ∈Mn(C) : U∗ = U−1,donde U∗ es la transpuesta de la conjugada de U . Se pide:

i) Probad que (U (n), ·) es un grupo con la operacion producto de matrices.ii) Probad que la siguiente es una accion de U (n) sobre Mn(C):

·U : U (n)×Mn(C) −→ Mn(C)(U,M) 7−→ UMU∗.

iii) Determinar las orbitas de una matriz M ∈Mn(C) e identificarlas con alguna relacionde equivalencia entre matrices. ¿Existe algun representante canonica de esa clase deequivalencia?. ( Hint: Buscad en internet (o en vuestra bibliografıa personal o apuntes)la Factorizacion de Schur de matrices complejas y explicar que tiene que ver con esteenunciado).

Problema 7 (Subgrupo Normal). Sea (G, ∗) un grupo y G1 un subgrupo. Decimos que G1

es un subgrupo normal de G si verifica la siguiente propiedad adicional:

∀x ∈ G, xG1x−1 := x ∗ g ∗ x−1 : g ∈ G1 ⊆ G1.

Probad que las siguientes propiedades son equivalentes:

i) G1 es un subgrupo normal de (G, ∗),ii) ∀x ∈ G, xG1x

−1 = G1,iii) ∀x ∈ G, xG1 = x ∗ g : g ∈ G1 = g ∗ x : g ∈ G1 = G1x.

Hay que probar que para todo morfismo de grupos, el nucleo es un subgrupo normal.

Problema 8. Se debe probar que todo subgrupo de un grupo abeliano es un subgrupo normal.Buscar un ejemplo de un grupo donde no se de esta propiedad (Pista: Intentarlo con S3 y elsubgrupo H = Id, (1 2)).

Problema 9. Probad que todo grupo finito de cardinal menor o igual a 5 es un grupo abeliano.¿Es eso cierto tambien para grupos de cardinal 6?.

Problema 10 (Grupo cociente). Sea (G, ∗) un grupo y G1 un subgrupo normal. Hay queprobar que la siguiente es una relacion de equivalencia entre elementos de G:

a ∼G1b⇔ ab−1 ∈ G1.

Consideremos el conjunto cociente de G por esa relacion de equivalencia R/ ∼G1 . Probad quepara cada elemento x ∈ G, su clase de equivalencia con respecto a esa relacion ∼G1

verifica:

[x]∼G1; = y ∈ G : y ∼G1 x = xG1 = G1x.

Denotemos mediante G/G1 a ese conjunto cociente y definamos la siguiente correspondencia:

∗ : G/G1 ×G/G1 −→ G/G1

(xG1, yG1) 7−→ (x ∗ y)G1.

Pruebese que ∗ es una aplicacion y que (G/G1, ∗) es un grupo (llamado grupo cociente de Gpor el subgrupo normal G1. Probad, adicionalmente, que la siguiente es aplicacion y que esepimorfismo de grupos:

π : G −→ G/G1

x 7−→ xG1.

Problema 11 (Primer Teorema de Isomorfıa). Sea f : (G, ∗) −→ (H,⊥) un morfismo degrupos. Entonces, existe un isomorfismo de grupos dado del modo siguiente:

f : (G/Ker(f)) −→ Im(f)

xKer(f) 7−→ f(xKer(f)) = f(x).

Se debe probar esta afirmacion.

Problema 12. Buscar alguna identificacion del grupo cociente (R/Z,+).

1.2. EL GRUPO SIMETRICO 21

Problema 13 (Producto (cartesiano) de grupos). Dados dos grupos (G, ∗), (H,⊥), sedefine una estructura de grupo sobre el proructo cartesiano G×H del modo siguiente:

· : (G×H)2 −→ G×H

((g1, h1), (g2, h2)) 7−→ (g1 ∗ g2, h1 ⊥ h2).

Se suele denominar producto semi-directo de los grupos G y H y se representa, en ocasiones,mediante GoH. Se pide:

i) Probad que (G×H, ·) es un grupo con la anterior operacion.ii) Consideremos el conjunto Mn×m(K) de las matrices n×m (con n filas y m columnas)

y coordenadas en un cuerpo K. Consideremos el grupo producto GL(n,K)×GL(m,K)y definamos siguiente:

·Gauss : (GL(n,K)×GL(m,K))×Mn×m(K) −→ Mn×m(K)((P,Q),M) 7−→ PAQ−1.

Hay que probar que es una accion del grypo producto GL(n,K) × GL(m,K) sobreMn×m(K).

iii) Para cada elemento M ∈ Mn×m(K) detectar la relacion de equivalencia a sociada aesta accion. Determina algun representante canonico.

Problema 14. Define acciones de grupos sobre conjuntos en los casos siguientes y trata dedeterminar representantes canonicos de las orbitas.

i) Afinidades sobre el espacio afın Rn.ii) Homografıas (tambien proyectividades) actuando sobre el espacio proyectivo Pn(R).iii) Isometrıas sobre el espacio afın real Rn.iv) Movimientos sobre el espacio afın real Rn.v) Isometrıas lineales sobre la esfera real Sn−1.vi) Isometrıas sobre el espacio proyectivo real Pn(R).

vii) Homemomorfismos sobre espacios topologicos.

Problema 15. Probar que el grupo ortogonal O(n) define una accion natural sobre la esferaunidad Sn−1 := x ∈ Rn : ||x||22 = 1 y que esa accion es transitiva. Decidir si esa acciones fiel. Hacer lo mismo con la accion de O(n) sobre bolas (abiertas y/o cerradas) en Rn concentro en el origen y radio variable.

Problema 16. Demostrar la Proposicion 1.1.16 anterior.

Problema 17. Lee los dos textos citados al principio del Capıtulo. Pertenecen a dos autoresdistintos y distantes en el tiempo (del segundo he incluido el nombre). Trata de averiguar querelacion hay entre ellos, completa el poema citado por el primero e indica si el texto del segundotiene algo que ver con el Capıtulo.

1.2. El Grupo Simetrico

1.2.1. Las Permutaciones son composicion de ciclos: Orbitas. Denotemos medi-ante In := 1, . . . , n ⊆ N al conjunto formado por los n primeros numeros naturales estricta-mente positivos. Escribamos I0 = ∅ en el caso 0 ∈ N.

Definicion 11. Se define el grupo simetrico de orden n! como el par (Sn, ), donde Sn es unconjunto dado mediante la identidad siguiente:

Sn := σ : In −→ In : σ es una biyeccion,

donde es la composicion de aplicaciones definida como en la igualdad (??) anterior, esto es,:

: Sn ×Sn −→ Sn

(σ, µ) 7−→ σ µ.

Los elementos de Sn se denominan permutaciones.

Observacion 1.2.1. Aunque se indica en la definicion y no se prueba por obvio, el par (Sn, )es un grupo y su orden (es decir, su cardinal) es efectivamente n!.

22 1. PRE-ALGEBRA

Definicion 12 (Permutaciones sobre un conjunto finito). Sea X un conjunto finito(de cardinal ](X) = n ∈ N). Definimos el grupo de las permutaciones sobre X como el par(S (X), ), donde

S (X) := σ : X −→ X : σ es biyectiva,y es la composicion de aplicaciones. Los elementos de X se denominan permutaciones delconjunto finito X.

Definicion 13 (Ciclo). Sea X un conjunto finito y sea σ : X −→ X una permutacion sobre X.Decimos que σ es un ciclo de orden k si existe un elemento x ∈ X verificando las propiedadessiguientes:

i) x = x0 = σ0(x), x1 = σ(x), . . . , xk−1 = σk−1(x), x = σk(x) = σ(xk−1).ii) Para todo y ∈ X \ x0, . . . , xk−1, σ(y) = y.

Notacion 1.2.2 (Notacion para los ciclos). Para un ciclo σ : In −→ In como el descrito enla definicion anterior, se suele utiliar la notacion (x0 x1 · · ·xk−1) para describirle. Ası, porejemplo, tomando I5 := 1, 2, 3, 4, 5, el ciclo de orden 3 descrito mediante (4 3 1), representala permutacion (

1 2 3 4 54 2 1 3 5

).

Definicion 14 (Orbita de un elemento). Sea X un conjunto finito y sean x ∈ X un elementoy sea σ ∈ S (X) una permutacion. Definimos la orbita de x mediante σ como el conjunto:

Orbσ(x) := σi(x) : i ∈ Z.

Observacion 1.2.3. La anterior nocion de orbita esta ligada a la nocion de rbita definida enla Seccion anterior. La orbita que hemos denotado mediante Orbσ(x) es precisamente la orbitasobre x ∈ X definida por la accion del grupo simetrico S (X) sobre X (definida en la identidad(1.1.3) de la Seccion anterior). Aquı para cada elemento σ ∈ S (X) consideramos el subgrupoSσ := 〈σ〉 := σn : n ∈ Z que genera. Siguiendo con las nociones introducidas en la Definicion8, concluiremos que

Orbσ(x) = O〈σ〉(x).

Proposicion 1.2.4. Las orbitas de cada elemento x ∈ X, siendo X un conjunto finito, sonfinitas, su cardinal esta acotado por ](X) y son siempre positivas, es decir, para cada x ∈ X ypara cada σ ∈ S (X), existe un numero natural n ∈ N tal que la orbita esta dada mediante:

Orbσ(x) := x = σ0(x), σ1(x), . . . , σn−1(x).En particular, el cardinal de la orbita es n (= ](Orbσ(x))) y viene dado por:

n = minm ∈ N ; σm(x) = x.

Demostracion. Para ver la finitud, baste con observar que Orbσ(x) ⊆ X, luego necesari-amente es un conjunto finito. De otro lado, existe una infinidad de pares de ındices i, j ∈ Ztales que σi(x) = σj(x), con j > i. Podemos considerar el subconjunto de los naturales:

A := t ∈ N \ 0 : ∃ i, j ∈ Z, t = j − i, σi(x) = σj(x).Ya hemos visto que se trata de un conjunto no vacıo de numeros naturales, por tanto, poseemınimo y sea n ese mınimo. Notese que n es tambien el mınimo natural m ∈ N tal queσm(x) = x. Probemos que

(1.2.1) Orbσ(x) = σi(x) : 0 ≤ i ≤ n− 1,y habremos terminado. El contenido ⊇ es obvio, ası que nos ocuparemos del segundo. Supong-amos y = σi(x) ∈ Orbσ(x), con i ∈ Z. Aplicando division euclıdea en Z, existiran q, r ∈ Z talesque:

i = qn+ r,

con 0 ≤ r ≤ n− 1. Entonces, tendremos:

σi(x) = σr (σqn(x)) = σr(x) ∈ σi(x) : 0 ≤ i ≤ n− 1,porque σn(x) = x y, por tanto, σqn(x) = x para todo q ∈ Z. Por tanto, tenemos probado elcontenido ⊆ y la igualdad entre ambos conjuntos en la ecuacion (1.2.1) anterior.


Corollario 1.2.5. Con las notaciones de la Proposicion anterior, dados x, y ∈ X, si σ(y) ∈Orbσ(x), entonces,

Orbσ(y) ⊆ Orbσ(x),

y, en particular, y ∈ Orbσ(x). Mas, aun, se tiene que

Orb : σ(x) ∩Orbσ(y) 6= ∅ ⇐⇒ Orbσ(x) = Orbσ(y).

En particular, para cada x ∈ X y cada orbita Orbσ(x) definida por algun elemento σ ∈ S (X),se tiene que

σ(X \Orbσ(x)) ⊆ (X \Orbσ(x)).

Y la restriccion de σ a X \ Orbσ(x) es una permutacion de X \ Orbσ(x), i.e. σ |X\Orbσ(x)∈S (X \Orbσ(x)).

Demostracion. No es sino la traduccion al caso de permutaciones de la Proposicion 1.1.14anterior. Por definir las orbitas una particion, se tendra que y 6∈ Orbσ(x), se ha de tener queσ(y) 6∈ Orbσ(x). En suma, tenemos probado que

σ(X \Orbσ(x)) ⊆ (X \Orbσ(x)).

Por tanto, tenemos la siguiente aplicacion dada por la restriccion de σ a X \Orbσ(x):

σ |X\Orbσ(x): X \Orbσ(x) −→ X \Orbσ(x).

Ademas, como σ es inyectiva, tambien lo serau su restriccion σ |X\Orbσ(x). Como esta restricciones inyectiva y el conjunto X \ Orbσ(x) es finito, entonces esta restriccion es necesariamentesuprayectiva. Por tanto, σ |X\Orbσ(x) es una biyeccion y es, por tanto, una permutacion enS (X \Orbσ(x)).

Proposicion 1.2.6 (Orbitas y Ciclos). Sea X un conjunto finito y sea S (X) el grupo de laspermutaciones sobre X. Se tiene:

i) Para cada orbita O := Orbσ(x) de cardinal t, determinada por un elemento x ∈ X yuna permutacion σ ∈ S (X), existe un unico ciclo τO ∈ S (X) de orden t tal que:

τO |O= σ, τO |X\O= Id,

es decir τO sobre O se comporta como σ y τO sobre el complementario X \ O secomporta como la identidad.

ii) Para cada ciclo σ ∈ S (X) de orden t, existe una orbita O = Orbσ(x) de cardinal t ytal que σ = τO.

Demostracion. Veamos cada afirmacion separadamente.

i) Para la primera afirmacion basta con observar que

O = Orbσ(x) := x = x0 = σ0(x), x1 = σ1(x), . . . , xt−1 = σt−1(x) = σ(xt−2),

y, ademas, σ(xt−1) = x0 = x. Considerando τO como el ciclo siguiente:

τO := (x0 x1 x2 · · ·xt−1),

tenemos las propiedades indicadas, dado que• τO(xi) = xi+1 = σ(xi), para cada i, 0 ≤ i ≤ t− 2,• τO(y) = y para todo y ∈ X \O,• τO(xt−1) = x0 = x = σ(xt−1)).

ii) Para la segunda afirmacion, si σ ∈ S (X) es un ciclo de orden t es porque existe x ∈ Xtal que la orbita O := Orbσ(x) tiene cardinal t y verifica:

Orbσ(x) = x0 = σ0(x), σ1(x), . . . , σt−1(x),

y σt(x) = x. Adicionalmente, σ |X\O= Id. Por tanto τO = σ con las notaciones de laafirmacion (1).

Observacion 1.2.7. La anterior Proposicion nos indica que existe una biyeccion entre lasorbitas (ordenadas y definidas por cualquier permutacion) y los ciclos que, ademas, transformacardinal de las orbitas en orden de ciclo. Ver Problema ??.

24 1. PRE-ALGEBRA

Proposicion 1.2.8. Dados X e Y dos conjuntos finitos del mismo cardinal, entonces, losrespectivos grupos de permutaciones (S (X), ) y (S (Y ), )son isomorfos como grupos. Masaun, el isomorfismo respeta ciclos, orbitas y cardinal de las orbitas. Recıprocamente, si estosgrupos de permutaciones son isomorfos, entonces X e Y son biyectables y, por tanto, tienen elmismo cardinal.

Demostracion. Supongamos que existe f : X −→ Y una biyeccion entre los conjuntosX e Y (o, lo que es lo mismo, que tienen el mismo cardinal). Entonces, podemos definir unatransformacion:

f∗ : S (X) −→ S (Y )σ 7−→ f σ f−1,

donde f−1 : Y −→ X es la inversa de f (que existe por ser f biyeccion) y f σ f−1 : Y −→ Yes la composicion de estas tres aplicaciones, es decir,

f σ f−1(y) = f(σ(f−1(y))), ∀y ∈ Y.

Es claro que f∗ es una biyeccion cuya inversa es la aplicacion:

f∗ : S (Y ) −→ S (X)τ 7−→ f−1 τ f.

Es decir, se verifica:

f∗ f∗ = IdS (X), f∗ f∗ = IdS (Y ).

Es claro tambien (mera verificacion) que tanto f∗ como f∗ son morfismos de grupo, con lo quequeda probado que S (X) y S (Y ) son isomorfos. En cuanto al hecho de que se preserven losciclos y las orbitas, simplemente se trata de verificar que si σ ∈ S (X) es un ciclo de orden k,entonces f∗(σ) es un ciclo del mismo orden. Y lo mismo sucede para τ ∈ S (Y ) y f∗(τ). Encuanto a las orbitas, se tiene la identidad siguiente:

f(Orbσ(x)) = Orbf∗(σ)(f(x)),

para cada x ∈ X y para cada σ ∈ S (X). Basta con escribir las identidades respectivas ycomprobar. Lo mismo se puede hacer con las orbitas de todo elemento y ∈ Y y toda permutacionτ ∈ S (Y ). Para la ultima afirmacion del enunciado. Recuerdese, antes de nada, que decir “X es un conjunto finito de cardinal n ∈ N” es lo mismo que decir que existe una biyeccionentre X e In para algun n ∈ N”. Por tanto, S (X) sera isomorfo al grupo Sn de orden n!.En particular, si dos grupos S (X) y S (Y ) son isomorfos, ambos tendran el mismo cardinal(por ser biyectivos) y dicho cardinal coincidira con algun n!. Pero, entonces, necesariamente, loscardinales de X y de Y han de ser iguales a n ∈ N y esto significa que X e Y son biyectables.

Proposicion 1.2.9. Toda permutacion sobre un conjunto finito es composicion de un numerofinito de ciclos.

Demostracion. Demostremos el resultado por induccion sobre el cardinal de X. Si Xes un conjunto de cardinal 1 el resultado es obvio porque solo hay una permutacion que es,ademas, un ciclo: la identidad. Supongamos ](X) = n ≥ 1 y sea σ ∈ S (X) una permutacion.Claramente σ define diversas orbitas en X segun cual sea el punto inicial. Supongamos O =Orbσ(x) una orbita en X definida por un elemento x ∈ X y de cardinal maximal. Sea τO elciclo asociado a esa orbita y tal que τO |O= σ |O (segun la Proposicion 1.2.6). Si la orbitaO tuviera cardinal n, entonces, τO = σ y σ ya serıa un ciclo de orden n. En caso contrario,tendremos que O ⊆ X y tendremos el conjunto Y = X \O 6= ∅. Pero las orbitas no son vacıas,con lo que Y es u conjunto de cardinal estrictamente menor que X, es decir, ](Y ) ≤ n − 1.Consideremos ahora una nueva permutacion sobre X : σ : X −→ X dada mediante:

σ := τ−1O σ.

Notese que σ(x) = x para todo x ∈ O y σ(y) = σ(y) ∈ Y = X \ O para todo y ∈ Y = X \ Opor lo discutido en el Corolario 1.2.5. En particular, podemos considerar la restriccion

σ := σ |Y = σ |Y : Y −→ Y.

Por hipotesis inductiva, concluimos que σ es una union finita de ciclos de Y . Es decir,

σ = τ1 · · · τr,


donde τi ∈ S (Y ) es un ciclo de orden ni. Para casa i, 1 ≤ i ≤ r, sea

τi : X −→ X

x 7−→τi(x), si x ∈ Yx, en caso contrario.

Ahora observamos que τi es una biyeccion de X en sı mismo y, por tanto, τi ∈ S (X). Masaun, τi es un ciclo del mismo orden que τi. Por ultimo, observemos que

σ(x) = (τ1 · · · τ1) (x),

para cada x ∈ X. Notese que si x ∈ O, tenemos

x = σ(x) = (τ1 · · · τ1) (x) = x,

por la propia definicion de τi. Pero, si x ∈ Y = X \O, tendremos que

σ(x) = σ(x) = (τ1 · · · τ1) (x).

En particular, σ es una composicion de ciclos

(τ−1O σ) = σ = (τ1 · · · τ1) ,

y, finalmente, tenemosσ = τO σ = (τ1 · · · τ1) ,

y habremos concluido que σ es una composicion finita de ciclos como pretendıamos.

Definicion 15 (Transposiciones). A los ciclos de orden 2 se les denomina transposiciones.

Definicion 16 (Transposiciones adyacentes). Consideremos X = In := 1, . . . , n. Lla-maremos transposiciones adyacentes a todas las transposiciones (i j) ∈ S (In), tales quei ∈ 1, . . . , n− 1 y j = i+ 1.

Observacion 1.2.10. Notese que la transposicion (i i+ 1) = (i+ 1 i), con lo que la definicionanterior incluye como transposiciones adyacentes tanto (1 2), (2 3) como (2 1), (3 2) por ser lasmismas. En particular, si X = In las unicas transposiciones adyacentes son:

(1 2), (2 3), . . . , (n− 1 n).

Teorema 1.2.11. Se verifican las siguientes propiedades:

i) Toda permutacion sobre un conjunto finito es una composicion finita de transposi-ciones.

ii) Toda permutacion sobre In es una composicion finita de transposiciones adyacentes.De hecho, toda transposicion es composicion de un numero impar de transposicionesadyacentes.

En particular, el conjunto de las transposiciones es un conjunto de generadores del gruposimetrico, Mas aun, para cualquier conjunto finito X y para cada biyeccion f : X −→ In,el grupo S (X) esta generado por las permutaciones adyacentes.

Demostracion. i) Por lo visto en la Proposicion 1.2.9, basta con que probemos quelos ciclos de cualquier orden se pueden dar como composicion finita de transposiciones.Lo haremos por induccion en el orden.Dado un ciclo de orden 3 (x1 x2 x3) podemos reescrbirlo como la composicion de dostransposiciones:

(x1 x2 x3) = (x1 x3) (x1 x2).

Para un ciclo de orden r, (x1 x2 · · · xr), tenemos que

(x1 x2 · · · xr) = (x1 x3 · · · xr) (x1 x2),

y la propiedad se sigue por induccion. Se trata simplemente de verificar las identidades.Escribamos f = (x1 x2 · · · xr), g = (x1 x3 · · · xr) y h = (x1 x2). Tenemos que

h(x1) = x2; h(x2) = x1;h(y) = y, ∀y ∈ X \ x1, x2.Mientras que

g(x1) = x3, g(xi) = xi+1, ∀i, 3 ≤ i ≤ r − 1; g(xr) = x1; g(y) = y, ∀y ∈ X \ x1, x3, . . . , xr.Por tanto,

26 1. PRE-ALGEBRA

• g(h(x1)) = g(x2) = x2 = f(x1),• g(h(x2)) = g(x1) = x3 = f(x2),• g(h(xi)) = g(xi) = xi+1 = f(xi), ∀i, 3 ≤ i ≤ r − 1,• g(h(xr)) = g(xr) = x1 = f(xr),• g(h(y)) = g(y) = y = f(y), ∀y ∈ X \ x1, x2, . . . , xr.

Observese que el numero de transposiciones es igual al orden del ciclo (ver Problema21 mas abajo).

ii) Para la segunda afirmacion basta con que probemos que toda transposicion es com-posicion de un numero impar de transposiciones adyacentes. La demostracion esevidente dado que

(k l) = (k k + 1) (k + 1 k + 2) · · · (l − 1 l) (l − 1 l − 2) · · · (k + 1 k).

El numero de transposiciones adyacentes es (k − l) + (k − l)− 1 = 2(k − l)− 1.

1.2.2. Indice de una Permutacion. Consideremos en esta Subseccion X = In1, . . . , ny el grupo simetrico Sn. Consideremos el conjunto de ındices

A := (i, j) ∈ I2n : i < j.

Notese que el cardinal de A satisface:

](A) = 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) =n(n− 1)

2.

Para una permutacion σ ∈ Sn, obtendremos una descomposicion de A en dos subconjuntosdisjuntos

A = A+(σ)⋃A−(σ),

donde

A+(σ) := (i, j) ∈ A : σ(i) < σ(j), A−(σ) := (i, j) ∈ A : σ(i) > σ(j).

Los elementos de A−(σ) se llaman inversiones de la permutacion σ. Denotaremos por

N+(σ) := ](A+(σ)), N−(σ) := ](A−(σ)),

y al numero N−(σ) se le llama el numero de inversiones de la permutacion σ.

Observacion 1.2.12. Las siguientes propiedades son obvias de verificar:

i) Si Id ∈ Sn es la identidad, N−(Id) = 0.ii) Para cualquier transposicion σ ∈ Sn, se tiene N−(σ) = 1.

Definicion 17 (Indice de una Permutacion). Con las anteriores notaciones, se llamaındice de una permutacion σ ∈ Sn al elemento del grupo multiplicativo Z∗ := +1,−1, dadomediante:

I(σ) := (−1)N−(σ) ∈ Z∗.

Teorema 1.2.13. El ındice define un homomorfismo de grupos:

I : (Sn, ) −→ (Z∗, ·)σ 7−→ I(σ) := (−1)

N−(σ),

donde la operacion · sobre Z∗ es la multiplicacion. En otras palabras, se verifican las dospropiedades siguientes:

i) I(Id) = 1 ∈ Z∗,ii) Para todo par de permutaciones σ, τ ∈ Sn, se tiene:

I(σ τ) = I(σ) · I(τ).

Demostracion. Notese que se trata de probar simplemente que para todo par de per-mutaciones σ, τ ∈ Sn, se tiene:

I(σ τ) = I(σ) · I(τ).

Observese, ademas, que esta propiedad es equivalente a probar que

N−(σ τ) = N−(σ) +N−(τ), mod 2.


Para ello, comencemos definiendo los conjuntos siguientes para una permutacion σ fijada:

τ+(A+(τ)) = (τ(i), τ(j)) : (i, j) ∈ A+(τ),

τ−(A−(τ)) = (τ(j), τ(i)) : (i, j) ∈ A−(τ).Comencemos observando que

A = τ+(A+(τ))⋃τ−(A−(τ)),

siendo esta una union disjunta. La razon es obvia, dado (i, j) ∈ A, han de existir i1, j1 ∈ Intales que i = τ(i1), j = τ(j1). Ahora se tiene:

• Si i1 < j1, como (i, j) ∈ A (i.e. i < j), entonces (i1, j1) ∈ A+(τ) y, por tanto,(i, j) = (τ(i1, τ(j1)) ∈ τ+(A+(τ)).

• Si i1 > j1, como (i, j) ∈ A (i.e. i < j), entonces (j1, i1) ∈ A−(τ) y, por tanto,(i, j) = (τ(j1), τ(i1)) ∈ τ−(A−(τ)).

De otro lado, como τ es una biyeccion, es facil concluir que los cardinales verifican:

N+(τ) = ](τ+(A+(τ))), N−(τ) = ](τ−(A−(τ))).

Ahora, consideremos los siguientes cuatro conjuntos disjuntos dos a dos y sus cardinales:

• El conjunto A++(σ, τ), de cardinal N++(σ, τ) = ](A++(σ, τ)), dado mediante:

A++(σ, τ) := (i, j) ∈ A+(σ) : (i, j) ∈ τ+(A+(τ)).

• El conjunto A+−(σ, τ), de cardinal N+−(σ, τ) = ](A+−(σ, τ)), dado mediante:

A+−(σ, τ) := (i, j) ∈ A+(σ) : (i, j) ∈ τ−(A−(τ)).

• El conjunto A−+(σ, τ), de cardinal N−+(σ, τ) = ](A−+(σ, τ)), dado mediante:

A−+(σ, τ) := (i, j) ∈ A−(σ) : (i, j) ∈ τ+(A+(τ)).

• El conjunto A−−(σ, τ), de cardinal N−−(σ, τ) = ](A−−(σ, τ)), dado mediante:

A−−(σ, τ) := (i, j) ∈ A−(σ) : (i, j) ∈ τ−(A−(τ)).

Las siguientes propiedades son de mera comprobacion:

A+(σ τ) = A++(σ, τ)⋃A−−(σ, τ),

A−(σ τ) = A+−(σ, τ)⋃A−+(σ, τ),

A+(σ) = A++(σ, τ)⋃A+−(σ, τ),

A−(σ) = A−+(σ, τ)⋃A−−(σ, τ),

τ+(A+(τ)) = A++(σ, τ)⋃A−+(σ, τ),

τ−(A−(τ)) = A+−(σ, τ)⋃A−−(σ, τ).

Con estas identidades conjuntistas de facil verificacion, obtenemos (entre otras) las siguientesrelaciones ehtre los cardinales:

N−(σ) = N−+(σ, τ) +N−−(σ, τ),

N−(τ) = ](τ−(A−(τ)) = N+−(σ, τ) +N−−(σ, τ),

N−(σ τ) = N+−(σ, τ) +N−+(σ, τ)

Sumando las dos primeras identidades obtenemos

N−(σ)+N−(τ) = N−+(σ, τ)+N−−(σ, τ)+N+−(σ, τ)+N−−(σ, τ) = N−+(σ, τ)+N−−(σ, τ)+2(N−−(σ, τ)).

Por tanto, tenemos

N−(σ) +N−(τ) = N−(σ τ) + 2(N−−(σ, τ)),

y esto ultimo implica:

I(σ τ) = (−1)N−(στ)

= (−1)N−(σ)+N−(τ)

= I(σ) · I(τ),

que es la identidad buscada.

28 1. PRE-ALGEBRA

Corollario 1.2.14. Sea σ ∈ Sn una permutacion y sea

σ = τ1 τ2 · · · τm,una descomposicion de σ como composicion de transposiciones. Entonces,

I(σ) = (−1)m.

En particular, dadas dos representaciones de una permutacion σ ∈ Sn como composicion detransposiciones

σ = τ1 τ2 · · · τr = ρ1 ρ2 · · · ρm,se tiene que r = m mod 2.

Demostracion. Es evidente, por ser el ındice un morfismo de grupos, que

I(σ) =

m∏i=1

I(τi).

Pero, como el ındice de una transposicion es (−1), concluiremos I(σ) = (−1)m como pretendeel enunciado. Para la segunda afirmacion, baste ver que si tenemos dos descomposiciones deuna permutacion como las descritas, entonces,

I(σ) = (−1)r = (−1)m,

por lo que m y r han de verificar r = m mod 2.

Corollario 1.2.15. Sea X un conjunto finito cualquiera, entonces dadas dos representacionesde una permutacion σ ∈ S (X) como composicion de transposiciones en X:

σ = τ1 τ2 · · · τr = ρ1 ρ2 · · · ρm,se tiene que r = m mod 2.

Demostracion. Basta con usar el isomorfismo de S (X) con un Sn cualquiera.

Esta forma de ver el ındice de una permutacion como algo que depende solamente del numerode transposiciones implicadas, permite generalizar la nocion de ındice para un conjunto finitocualquiera X del modo siguiente.

Definicion 18 (Indice de una permutacion de un conjunto cualquiera). Sea X un conjuntofinito cualquiera y sea σ ∈ S (X) una biyeccion de X. Llamamos ındice de σ al valor

I(σ) := (−1)m,

donde σ admite una descomposicion como producto de m transposiciones de X.

Observacion 1.2.16. Observese que el ındice ası definido permite construir un morfismo degrupos:

I : (S (X), ) −→ (Z∗, ·)σ 7−→ I(σ).

1.2.3. Ejercicios y Problemas de la Seccion 1.2.

Problema 18. Probad las siguientes propiedades:

i) Pruebese que (Sn, ) es un grupo (es decir, verificar que esta bien definida comoaplicacion (i.e. que es operacion interna) y que verifica la propiedad asociativa, queposee elemento neutro y que todo elemento posee un inverso).

ii) Probad que el cardinal ](Sn) = n! (Pista: por induccion en n).

Problema 19. Para un conjunto X, el rupo simetrico S (X) define una accion natural sobreX. Probar que esa accion es transitiva y fiel.

Problema 20. Verificar todos los detalles de la demostracion de la Proposicion 1.2.8. Es decir,todas las identidades entre conjuntos y aplicaciones no probadas con detalle y las afirmacionescomo f∗ y f∗ son morfismos de grupo, etc.

Problema 21. Sea X un conjunto finito y consideremos un ciclo de orden r en S (X). Hayque probar que ese ciclo puede ser dado como la composicion de r − 1 transposiciones. (Pista:Por induccion en r).


Problema 22. Consideremos In := 1, . . . , n, el grupo simetrico Sn y escribamos τi para latransposicion adyacente τi := (i i+ 1). Prueba que se verifican las siguientes propiedades:

i) τ2i = Id,

ii) τi τi+1 τi = τi+1 τi τi+1.iii) τi τj = τj τi, siempre que |i− j| ≥ 2.

Problema 23. Prueba que el ındice de una permutacion σ ∈ S (X), siendo X un conjuntofinito, es invariante por biyecciones de X con conjuntos finitos de la forma In.

Problema 24. Pruebese que el conjunto de todas las permutaciones en Sn que tienen ındice1 es un subgrupo normal de Sn. A este subgrupo se le conoce como el subgrupo alternado y sedenota por An ⊆ Sn. Pruebese que An es un subgrupo normal de Sn y se verifica:

Sn/An ∼= Z/2Z.

Problema 25. Sea O(n) el grupo de las matrices orotogonales n× n con coordenadas reales ysea SO(n) es grupo especial ortogonal de las matrices orotogonales con determinante 1. Probadque SO(n) es un subgrupo normal de O(n) y que se verifica el siguiente isomorfismo de grupos:

O(n)/SO(n) ∼= Z/2Z.

Problema 26 (Solo para alumnos que haya superado la asignatura Matematica Disc-reta). Un grafo orientado es un par G := (V,E) donde V es un conjunto no vacıo (cuyoselementos son llamados nodos o vertices) y E ⊆ V × V es un conjunto finito de pares de nodosde V llamados aristas. Un grafo no orientado es un grafo orientado G tal que el conjunto delas aristas verifica:

∀x, y ∈ V, (x, y) ∈ E ⇐⇒ (y, x) ∈ E.Un automorfismo de un grafo es un elemento σ ∈ S (V ) tal que

∀x, y ∈ V, (x, y) ∈ E ⇐⇒ (σ(x), σ(y)) ∈ E.Se pide:

i) Hay que probar que los grafos no orientados pueden definirse como los pares (V,E),donde V es un cojunto no vacıo y E es un subconjunto del conjunto P(V ) de todoslos subconjuntos de V que verifica:

∀X ∈ E, 1 ≤ ](X) ≤ 2.

ii) Hay que probar que el conjunto Aut(G ) de automorfismos de un grafo orientado formaun grupo con la operacion composicion de aplicaciones. ¿Es abeliano?.

iii) Sea G un grafo no orientado con vertices V . Consideremos el subgrupo G ⊆ S (V )generado por las transposiciones

G := 〈(i j) : i, j ∈ E〉.¿Son los elementos de G automorfismos del grafo G (i.e. G ⊆ Aut(G ))?. Razona larespuesta.

iv) Probad que el grupo simetrico S (V ) es el grupo Aut(Kn), donde Kn es el grafo com-pleto de n verices (i.e. el grafo con todas las aristas posibles).

v) Busca en internet (Wiki, por ejemplo) informacion sobre el enunciado del Teoremade Frucht y el enunciado del Problema de Galois Inverso. Copialos y trata de explicarsus significados.

vi) Busca en internet informacion sobre los grafos de Cayley. Explica su construccion.

Problema 27. Es decir, supongamos que X es un conjunto finito de cardinal n y consideremosel conjunto:

X∗n :=

n⋃i=0

Xi,

donde Xi :=∏ik=1X es el producto cartesiano de X consigo mismo i veces. Notese que se trata

del conjunto de las palabras sobre el alfabeto X de longitud menor or igual que n. Para cadapermutacion σ ∈ S (X) y cada x ∈ X, definamos la orbita ordenada Orbσ(x) ∈ X∗n mediante:

Orbσ(x) := (x, σ(x), . . . , σt−1(x)) ∈ Xt ⊆ X∗n.

30 1. PRE-ALGEBRA

Consideremos el conjunto O(X) ⊆ X∗n formado por todas esas orbitas ordenadas:

O(X) := Orbσ(x) : σ ∈ S (X), x ∈ X.Sobre el conjunto de las orbitas ordenadas O(X) definamos la relacion siguiente:

Dadas dos orbitas ordenadas Orbσ(x), Orbτ (y) ∈ O(X), diremos que son equivalentes y lo

denotaremos mediante Orbσ(x) ≡ Orbτ (y) si y solamente si verifican:

τ |Orbσ(x)

= σ |Orbτ (y)

∧ y ∈ Orbσ(x).

Hay que probar que esta es una relacion de equivalencia sobre O(X). Denotemos por O(X) elconjunto cociente siguiente:

O(X) := O(X)/ ≡ .De otro lado, consideremos el conjunto formado por todos los ciclos sobre X, es decir:

C(X) := τ ∈ S (X) : τ es un ciclo.Definamos la correspondencia siguiente:

Φ : O(X) −→ C(X)[Orbσ (x)

]≡7−→ τO := (x σ(x) σ2(x) · · · σt−1(x)),

donde[Orbσ (x)

]≡

es la clase de equivalencia definida por la orbita ordenada Orbσ (x).

Se pide probar las afirmaciones siguientes:

i) Probad que si dos orbitas ordenadas son equivalentes entonces tienen el mismo cardi-nal.

ii) Probad que la correspondencia Φ es aplicacion (i.e. esta bien definida).iii) Probad que Φ es una biyeccion.

1.3. Anillos, Ideales, Morfismos de Anillos

Definicion 19 (Anillo). Un anillo (conmutativo con unidad) es una terna (R,+, ·), donde

i) (R,+) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro se suele denotar por 0R,ii) (R, ·) es un monoide conmutativo, cuyo elemento neutro se suele denotar por 1R,iii) se verifica la propiedad distributiva siguiente:

∀a, b, c ∈ R, a · (b+ c) = a · b+ a · c.Al elemento neutro del grupo abeliano (R,+) lo denotaremos por 0R o, simpemente, 0 y alelemento neutro del monoide (R, ·) lo denotaremos por 1R o, simplemente, 1.

Observacion 1.3.1 (Simplemente “anillo”). En este curso, “ Algebra Conmutativa”, todoslos anillos seran conmutativos con unidad, por lo que simplificaremos diciendo “Sea (R,+, ·)un anillo.” queriendo decir “Sea (R,+, ·) anillo conmutativo con unidad”.Terminologicamente, podemos establecer tres niveles del uso posible del termino “anillo”.

• Casi-anillo: Es una terna (R,+, ·) en las que (R,+) es un grupo (no necesariamenteconmutativo), (R, ·) es un semi-grupo y se da la distributiva, per solamente en una delas direcciones. Por ejemplo, si (G, ∗) es un grupo definamos M(G) como el conjuntode todas las aplicaciones de G en sı mismo. Sobre el conjunto M(G) podemos definirla operacion f ∗ g, entre dos elementos f, g ∈M(G) de la manera obvia. Anadamos lacomposicion de aplicaciones y tendremos que (M(G), ∗, ) es un casi-anillo. Es unanocion que no carece de interes, pero es poco comun su estudio.

• Pseudo-anillo (Anillo “sin unidad”): Es una terna (R,+, ·) en las que se da lapropiedad distributiva, (R,+) es un grupo abeliano y (R, ·) es un semi-grupo, perono necesariamente tiene unidad. Este caso es poco habitual. Un ejemplo podıa sercualquier ideal propio, como los numeros enteros pares (2Z,+, ·). Pero no es unanocion demasiado interesante ni es comunmente aceptado.

• Anillo : Es una terna (R,+, ·) en las que se da la propiedad distributiva, (R,+) esun grupo abeliano y (R, ·) es un monoide. Este uso es el mas habitual. Un ejemplopodıa ser el conjunto de los endomorfismos sobre un espacio vectorial o las matricescuadradas (Mn(K),+, ·). Es el mas aceptado, salvo que se trate de un curso de

“Algebra Conmutativa”, como es nuestro caso.

1.3. ANILLOS, IDEALES, MORFISMOS DE ANILLOS 31

• Anillo Conmutativo (o, simplemente, anillo): que es el uso que daremos en este curso.

La definicion de anillo tiene sus precursos en D. Hilbert y A. Fraenkel, pero es E. Noether quienestabiliza la nocion actualmente aceptada en su trabajo [Noether, 1921]. Sera la escuela de E.Noether, y especilamente, la obra de su discıpulo W. Krull (cf. [Krull, 29], [Krull, 35]) la que

mas influira en la concepcion del Algebra Conmutativa moderna. Obviamente, el conocimientode estos aspectos ha evolucionado mucho en los ultimos ochenta anos, ganando relevancia enGeometrıa Algebraica y, en general, en Geometrıa a partir de la fundamentacion de la Geometrıapropuesta por A. Grothendieck en sus EGA’s y SGA’s. Este curso no es, por desgracia, sinouna pre-introduccion al conocimiento de la “Teorıa de Anillos”.

Observacion 1.3.2. Si (R,+, ·) es un anillo, entonces:

∀x ∈ R, x · 0 = 0.

Para probarlo, observese que

x · 0 + x · 1 = x · (1 + 0) = x · 1 = x.

Como (R,+) es un grupo, concluiremos que si x · 0 + x = x, entonces, x · 0 = 0. En particular,concluimos que si R es un anillo y R 6= 0 (es decir, si R posee algun elemento ademas delneutro de la suma), entonces 1 6= 0. La razon es que si x ∈ R, con x 6= 0, tendremos que,de una parte, x · 0 = 0 y, por otro lado, x · 1 = x. Por tanto, si 1 = 0 en R, concluirıamosx = 0 y, necesariamente, R = 0. Para excluir este caso patologico y nulamente interesante,supondremos, a partir de ahora, que todo anillo R es tal que 1R 6= 0R o, equivalentemente, queR 6= 0.

Ejemplo 1.3.3. Los ejemplos mas elementales de anillos son obviamente los cuerpos, comoQ,R,C, o anillos que no son cuerpos como Z. Veremos, sin embargo, que hay muchos masejemplos. Tambien son ejemplos de anillos los anillos de polinomios en una variable con coefi-cientes en los anteriores anillos.Para una definicion formal de los anillos de polinomios, sea (R,+, ·) un anillo y consideremoslos siguientes dos conjuntos de sucesiones de elementos de R:

(1.3.1) R[[X]] := RN := (an)n∈N ∈ RN : an ∈ R, ∀n ∈ N.

Definimos el subconjunto siguiente:

(1.3.2) R[X] := (an)n∈N ∈ RN : ∃I ⊆ N, finito, an = 0, ∀n ∈ N \ I.

Ahora definimos dos operaciones sobre estos dos conjuntos

+ : R[[X]]×R[[X]] −→ R[[X]],((an)n∈N , (bn)n∈N

)7−→ (an + bn)n∈N .

∗ : R[[X]]×R[[X]] −→ R[[X]]((an)n∈N , (bn)n∈N

)7−→ (cn)n∈N ,

donde

(1.3.3) ck :=∑i+j=k

aibj , ∀k ∈ N.

Notese la relacion existente entre la peracion ∗ entre elementos de R[[X]] y la convolucion defunciones estudiada en Analisis. De hecho, podrıamos decir directamente que ∗ es la operacionde convolucion. La terna (R[[X]],+, ∗) es un anillo conmutativo con unidad, conocido como elanillo de series de potencias formales en una variable. De hecho, por tradicion no seusa la notacion sucesional (an)n∈N ni la notacon funcional a : N −→ R, sino la notacion enforma de serie no necesariamente convergente:

(an)n∈N se denota mediante∑n∈N

anXn,

aunque ambas notaciones representan el mismo elemento. Se suele usar la terminologıa coefi-ciente n−esimo para referirise al elemento n−esimo an de la sucesion.Ambas operaciones se comportant bien sobre el subconjunto R[X] ⊆ R[[X]], con lo que tambienestan bien definidas las operaciones siguientes:

+ : R[X]×R[X] −→ R[X],((an)n∈N , (bn)n∈N

)7−→ (an + bn)n∈N .

∗ : R[X]×R[[X]] −→ R[X]((an)n∈N , (bn)n∈N

)7−→ (cn)n∈N ,

32 1. PRE-ALGEBRA

donde los elementos ck estan igualmente definidos mediante la convolucion definida en laEcuacion (1.3.3) anterior. De nuevo, la terna (R[X],+, ∗) define un anillo conmutativo conunidad, conocido como el anillo de polinomios univariados. Tendremos ası nuevos ejemplosde anillo como Z[X], Q[X], R[X], C[X] (anillos de polinomios) o Z[[X]], Q[[X]], R[[X]], C[[X]](anillos de series de potencias formales) on coeficientes respectvamente en Z, Q, R, C.En el caso de los polinomios f = (an)n∈N ∈ R[X] se usa una nocion comoda (que no tienesentido en el caso de las series). Es el grado de un polinomio f como el anterior, y quese define mediante:

deg(f) := maxk ∈ N : ak 6= 0.Si f = (an)n∈N es la sucesion nula, escribiremos f = 0 y definiremos su grado mediantedeg(0) = −1. Por eso, para un polinomio f = (an)n∈N ∈ R[X], de grado d := deg(f) se sueledenotar mediante la suma formal:

f :=

d∑i=0

aiXi.

Al coeficiente ad 6= 0, con d = deg(f), se le denomina coeficiente director de f .

Ejemplo 1.3.4 (Enteros de Gauss). Un sencillo ejemplo de anillo es el anillo de los enterosde Gauss Z[i], formado por los numeros complejos de la forma:

Z[i] := a+ bi : a, b ∈ Z,

donde i2 = −1.

Procedamos con un poco mas de terminologıa, necesaria para poder describir mas ejemplos.

Definicion 20 (Subanillos, ideales, morfismos, unidades). Dado un anillo (R,+, ·), lla-maremos:

i) Subanillo: a todo subgrupo (S,+) de (R,+) tal que 1R ∈ S y S es cerrado para laoperacion producto, esto es,

∀a, b ∈ S, a · b ∈ S.

ii) Ideal: a todo subgrupo (a,+) de (R,+) tal que se verifica:

∀a ∈ R,∀b ∈ a, a · b ∈ S.

El ideal R se denominan ideal impropio de R. Los demas, incluyendo el ideal (0), sedenominan propios.

iii) Morfismo de anillos: Dados dos anillos (R,+, ·) y (T,+, ·), llamamos morfismo entrelos anillos R y T a todo morfismo de grupos f : (R,+) −→ (T,+) tal que:• f(1R) = 1T ,• ∀a, b ∈ R, f(a · b) = f(a) · f(b).

iv) Unidades en el anillo: A todos los elemenos a ∈ R tales que existe a′ ∈ R, conaa′ = a′a = 1R. Denotamos por R∗ al conjunto de las unidades del anillo R y formaun grupo abeliano con la operacion producto (R∗, ·) llamado grupo de las unidades delanillo R.

v) Un anillo R se denomina cuerpo si R∗ = R \ 0.

Definicion 21 (Mono, epi, iso, endo, auto....morfismo de anillos). Sean (R,+, ·) y(T,+, ·) dos anillos y sea f : (R,+, ·) −→ (T,+, ·) un morfismo de anillos. Diremos que f esmonomorfismo (resp. epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo) si lo es comomorfismo de grupos f : (R,+) −→ (T,+) (resp. ıdem).

Proposicion 1.3.5 (Propiedades elementales). Se tienen las siguientes propiedades ele-mentales:

i) Los subanillos T de un anillo S son ideales si y solamente si R = T .ii) Los morfismos de anillos transforman subanillos en subanillos en ambas direcciones.

Es decir, si f : R −→ T es un morfismo de anillos, se tiene:


• Si S es subanillo de R, entonces f(S) := f(x) : x ∈ S es un subanillo de T .En particular, Im(f) = f(R) no es necesariamente ideal de T , pero sigue siendocierto que f es epimorfismo si y solamente si Im(f) = T .

• Si U es un subanillo de T , entonces f−1(U) := x ∈ R : f(x) ∈ U es unsubanillo de R.

iii) Las imagenes inversas de ideales son ideales, pero no necesariamente lo son las imagenesdirectas. Es decir, si f : R −→ T es un morfismo de anillos, se tiene:• Si b es un ideal de T , entonces f−1(b) := x ∈ R : f(x) ∈ a es un ideal de R.

En particular el nucleo ker(f) := f−1(0) es un ideal de R y f es monomorfismosi y solamente si ker(f) = (0) es el ideal nulo.

• Si b es un ideal de R, en general no es cierto que f(a) sea ideal de T .Cuando no hay confusion sobre el morfismo f , al ideal f−1(b) se le denota mediantebc y se le denomina contraccion del ideal b de T .

iv) Un subgrupo a del grupo aditivo de un anillo (R,+, ·) es ideal si y solamente si elgrupo cociente (R/a,+) es anillo con la correspondencia siguiente:

· : R/a×R/a −→ R/a,

dada mediante

(x+ a)(y + a) := xy + a, ∀x+ a, y + a ∈ R/a.Al anillo R/a se le denomina anillo cociente de R por el ideal a. Ademas, la ‘royeccioncanonica:

π : R −→ R/ax 7−→ x+ a,

es un epimorfismo de anillos.v) Un anillo es cuerpo si y solamente si los unicos ideales son (0) y el ideal impropio.

En particular, si K es un cuerpo y f : K −→ R es un morfismo de anillos, entoncesf es inyectivo (monomorfismo) y K se puede identificar con un subcuerpo de R (i.e.un subanillo de R que, ademas, es cuerpo con las operaciones inducidas por las de R).

Demostracion. La mayorıa de estas propiedades son evidentes y no necesitan de mayordiscusion.

Ejemplo 1.3.6 (Ideal Principal). Dado un anillo R y un elemento a ∈ R, se define el idealprincipal generado por a como el conjunto siguiente:

(a) := λa : λ ∈ R.Es un sencillo ejercicio verificar que (a) es ideal en R. En ocasiones utilizaremos la notacionaR. Esto conduce a todos los anillos cociente R/(a) (o R/aR). Entre ellos podemos considerarlos anillos cocientes Z/mZ, donde m es un entero cualquiera en Z.Es tambien un ejercicio sencillo probar que (a) = R si y solamente si a ∈ R∗.

Ejemplo 1.3.7. Con las notaciones anteriores, R[X] es un subanillo de R[[X]] y existe unmonomorfismo de anillos entre R y R[X] que permite idenfiticar R con un subanillo de R[X].

Definicion 22 (Divisores de cero, Dominio de Integridad). En un anillo (R,+, ·) se diceque un elemento x ∈ R es un divisor de cero si existe otro elemento no nulo y ∈ A tales quexy = 0.Un anillo sin divisores de cero no nulos se denomina dominio de integridad.

Ejemplo 1.3.8. Son ejemplos de dominios de integridad los siguientes:

i) Los cuerpos son dominios de integridad.ii) Si R es un dominio de integridad tambien lo son los anillos de polinomios en una

variable con coeficientes en R: R[X]. Para probarlo, consideremos el grado deg :R[X] −→ N ∪ −1. Es sencillo demostrar que si R es un dominio de integridad,entonces el grado de un polinomo univariado satisface las dos propiedades siguientespara dos polinomios no nulos f, g ∈ R[X]:

deg(f + g) ≤ maxdeg(f), deg(g).

34 1. PRE-ALGEBRA

deg(fg) = deg(f) + deg(g).

La segunda propiedad se transforma en desiguladad (≤) en el caso de que R no seadominio de integridad. Con estas dos propiedades es claro que si R es dominio deintegridad, el producto de dos polinomios no nulos es un polinomio no nulo y, portanto, tambien R[X] es dominio de integridad. Dejamos para mas adelante el probarque si R es dominio de itegridad tambien lo es el anillo de series R[[X]] (ver Teorem1.3.28).

iii) Los subanillos de dominios de integridad tambien son dominios de integridad. El anillode los enteros Z es dominio de integridad.

Teorema 1.3.9 (Division Euclıdea en R[X]). Sea R un dominio de integridad y g ∈ R[X]un polinomio monico (i.e. un polinomio cuyo coeficiente director es una unidad en R∗ o,equivalentemente, g es de la forma:

g = uXd + ad−1Xd−1 + · · ·+ a1X + a0,

con ai ∈ R y u ∈ R∗).Entonces, existe division por g en R[X], es decir, para todo f ∈ R[X] existen q, r ∈ R[X] talesque se verifican las dos propiedades siguientes:

i) f = qg + r,ii) deg(r) ≤ deg(g)− 1.

Ademas, q y r son unicos con esa propiedad.

Demostracion. Probemos, en primer lugar, la existencia de q y r. Para ello, consideremosel conjunto

I := deg(f) : f no admite una descomposicion f = qg + r satisfaciendo (2) ⊆ N.Si el conjunto I fuera vacıo, poseerıa un elemento mınimo t := min(I). Sea f ∈ R[X] tal quedeg(f) = t, el mınimo de I. Supongamos:

f := btXt + bt−1X

t−1 + · · ·+ b0,

con bi ∈ R. Supongamos que g tiene la forma:

g = uXd + ad−1Xd−1 + · · ·+ a1X + a0,

con ai ∈ R y u ∈ R∗. Tenemos que d ≤ t. Porque si d < t tendrıamos la representacion

f := 0g + f,

que satisface la condicion (2) del enunciado. Como d ≤ t y u ∈ R∗, sea u−1 el inverso de u en(R∗, · · · ), podemos considerar el polinomio

h := f − btu−1Xt−dg ∈ R[X].

Es un ejercicio de mera comprobacion que h ∈ R[X] es un polinomio cuyo grado deg(h) <t = deg(f). Como t es el mınimo del conjunto I. Como deg(h) 6∈ I, entonces, existe unadescomposicion del tipo:

h = qg + r,

con deg(r) ≤ deg(g)− 1. Concluiremos entonces que:

f =(btu−1Xt−d + q

)g + r,

con deg(r) ≤ deg(g) − 1. Con ello concluirıamos que t = deg(f) 6∈ I, contradiciendo el hechode ser t := min(I). Luego la unica opcion es que I sea vacıo y se sigue la existencia de q y rpara cada f ∈ R[X].Supongamos ahora que un polinomio admitiera dos descomposiciones del tipo indicado:

f = q1g + r1 = q2g + r2,

con deg(ri) ≤ deg(g)− 1. Entonces tendremos:

q1g + r1 = q2g + r2 =⇒ (q1 − q2)g = r1 − r2.

Usando los grados tendremos que

deg(q1 − q2) + deg(g) = deg(r1 − r2) ≤ maxdeg(r1),deg(r2) ≤ deg(g)− 1.

Por tanto, necesariamente q1 = q2 y r1 = r2 y tendremos la unicidad.


Observacion 1.3.10. Notese que la propiedad “el coeficiente director es una unidad en R”es una condicion necesaria. Por ejemplo, dividir X por 2X en Z[X] no es posible con lascondiciones de la Division euclıdea.

Corollario 1.3.11. Si K es un cuerpo, entonces K[X] admite division euclıdea, esto es, severifica:Dados f, g ∈ K[X], g 6= 0, existen q, r ∈ K[X] tales que se verifican las dos propiedadessiguientes:

i) f = qg + r,ii) deg(r) ≤ deg(g)− 1.

Ademas, q y r son unicos con esa propiedad.

Demostracion. Es obvio dado que todo polinomio no nulo en K[X] posee un coeficientedirector que es una unidad en K.

Utilicemos este Teorema para mostrar ejemplos de extensiones de Z.

Ejemplo 1.3.12 (Enteros de Gauss, de nuevo). Es facil ver que se tiene la identificacion

Z[i] := Z[X]/(X2 + 1).

Por ello, y por el Teorema precedente, podemos entender los enteros de Gauss como los restosde la division por el polinomio monico X2 + 1. Claramente, tenemos una identificacion

Z[i] := a+ bX : a, b ∈ Z,

donde a+ bX denota la clase a+ bX + (X2 + 1) en el anillo cociente Z[X]/(X2 + 1).

Ejemplo 1.3.13 (Enteros de Eisenstein). El anillo de los enteros de Eisenstein. Consider-emos el polinomio X3 − 1 ∈ Z[X] y su factorizacion:

X3 − 1 = (X − 1)(X2 +X + 1).

Podemos considerar el anillo cociente

Z[X]/(X2 +X + 1).

Es facil, de nuevo, comprobar que es el anillo de restos de la division por el polinomo monicoX2 +X + 1. Podemos escribir:

Z[X]/(X2 +X + 1) = a+ bX : a, b ∈ Z,

donde a+ bX denota la clase a+ bX + (X2 +X + 1) en el anillo cociente Z[X]/(X2 +X + 1).De hecho, podemos considerar el numero complejo

ω :=−1 +

√−3

2∈ C,

y considerar el subanillo de C:

Z[ω] := a+ bω : a, b ∈ Z.Es un sencillo ejercicio verificar que este anillo coincide con el anillo de enteros de Eisenstein,es decir,

Z[ω] = Z[X]/(X2 +X + 1).

Observacion 1.3.14 (Operations matter!). En los dos ejemplos anteriores, hemos mostradolos anillos Z[i] y Z[ω]. Para cada uno de ellos disponemos de una biyeccion:

ϕ : Z[i] −→ Z2, ϕ(a+ bi) = (a, b)

ψ : Z[ω] −→ Z2, ψ(a+ bω) = (a, b).

Cada una de ellas define una estructura de anillo en Z2 del modo siguiente.

• (Z2,+, ∗1) siendo (Z2,+) la estructura natural de grupo abeliano libre de rango 2 yel producto viene dado por:

(a, b) ∗1 (c, d) := ϕ(ϕ−1(a, b)ϕ−1(c, d)) = (ac− db, ad+ bc).

36 1. PRE-ALGEBRA

• (Z2,+, ∗2) siendo (Z2,+) la estructura natural de grupo abeliano libre de rango 2 yel producto viene dado por2 :

(a, b) ∗2 (c, d) := ψ(ψ−1(a, b)ψ−1(c, d)) = (ac− bd, ad+ bc− bd).

Pero, incluso, podemos definir una estructura mas de anillo en Z2 del modo siguiente. Se tratade la estructura (Z2,+, ·), donde (Z2,+) es la estructura usual de grupo, meintras que

· : Z2 × Z2 −→ Z2

((a, b), (c, d)) 7−→ (ac, bd).

La conclucion es que tenemos tres estructuras de anillo definidas sobre Z2 y las tres son diferentesy no isomorfas. Para verlo, baste con observar lo siguiente:

• Las estructuras (Z2,+, ∗1) y (Z2,+, ∗2) le dan a Z2 una estructura de dominio deintegridad. En cambio, (Z2,+, ·) no es dominio de integridad porque (1, 0) · (0, 1) =(0, 0) y (Z2,+, ·) posee divisores de cero no nulos.

• Las estructuras (Z2,+, ∗1) y (Z2,+, ∗2) tampoco son isomorfas entre sı porque elnumero de elementos unidad en cada una de ellas es distinto. Esto se compruebaprobando que:

Z[i]∗ = ±1,±i, Z[ω]∗ = ±1,±ω,±ω2.Dado que el segundo posee 6 elementos unidad y el primero posee solamente 4, esimposible que sean isomorfos.

La moraleja es que las operaciones sı importan y que en un mismo conjunto, incluso en unmismo grupo abeliano, podemos inducir muy diferentes estructuras de anillo. En ocasiones(y, muy comunmente, en la literatura) se usa la expresion “...Sea R un anillo...”. Aunqueno se este escribiendo explıcitamente, se esta sobre-entendiendo la estructura subyacente y lasoperaciones.

Ejemplo 1.3.15 (Los anillos Z[√m]). Sea m ∈ Z un entero que no es un cuadrado. Podemos

considerar el anillo cociente:Z[√m] := Z[X]/(X2 −m).

Como en los casos anteriores, por ser X2 −m monico, tenemos la identificacion siguiente:

Z[√m] = a+ b

√m : a, b ∈ Z = a+ bX : a, b ∈ Z,

donde a+ bX = a+ bX + (X2 −m) es la clase residual definida por a+ bX. Como subanillosde C, todos ellos son dominios de integridad pero toman estructuras y formas muy diversas.Pongamos un par de ejmplos. Por supuesto, los enteros de Gauss son un caso particular.

• El anillo Z[√−5]. El elemento 2 ∈ Z deja de ser un primo si lo miramos en Z[

√−5]

porque tendremos que 6 admite dos factorizaciones distintas:

6 = 2 · 3 = (1 +√−5) · (1−

√−5).

• El anillo Z[√

2] tiene una infinidad de unidades dado que:

±(1 +√

2)n ∈ Z[√

2]∗,

para todo n ∈ N. La razon es que, obviamente, se tiene (1 +√

2)(1 −√

2) = −1.Esto confiere una estructura muy distinta a Z2 a traves del isomorfismo de grupos conZ[√

2].

Ejemplo 1.3.16 (Los anillos Z[ 1+√m

2 ]). Supongamos que m ∈ Z no es un cuadrado en Z yconsideremos el polinomio

4X2 − 4X + (1−m) = 4(X − 1 +√m

2)(X − 1−

√m

2) ∈ Z[X].

Consideremos una de las raıces en C y pensemos en el conjunto siguiente:

Z + Z1 +√m

2= a+ b

1 +√m

2: a, b ∈ Z.

2Notese que ω2 = −1− ω y que (a + bω)(c + dω) es igual a ac− db + (ad + bc− bd)ω.


Este conjunto es obviamente un subgrupo de (C,+) pero no siempre es un anillo. De hecho, lacondicion clave es la siguiente:

m = 1 mod 4.

Si m 6= 1 mod 4, se tiene que:

1 +√m

2(1− 1 +

√m

2) =

1 +√m

2

1−√m

2=

1−m46∈ Z + Z

1 +√m

2.

Por tanto, si m 6= 1 mod 4, tenemos que el producto de dos elementos de Z + Z 1+√m

2 no

necesariamente esta en Z + Z 1+√m

2 , con lo que, en este caso, no es un anillo. Sin embargo, sim = 1 mod 4, podemos reemplazar el polinomio original por el siguiente:

4X2 − 4X + (1−m) = 4(X2 −X +1−m

4).

El polinomio X2 −X + 1−m4 ∈ Z[X] y tendremos:

Z[1 +√m

2] = Z + Z

1 +√m

2= a+ b

1 +√m

2: a, b ∈ Z = Z[X]/(X2 −X +

1−m4

),

y recuperamos la analogıa con situaciones anteriores y una nueva estructura de anillo sobre Z2.

1.3.1. Anillos de Polinomios y de Series de Potencias Formales en varias vari-ables. Sea X un conjunto cualquiera y sea R un anillo. El conjunto Ap(X,R) de las aplica-ciones de X en R es claramente un anillo con las operaciones naturales de suma y producto deaplicaciones. El caso de los polinomios es una reinterpretacion de Ap(X,R) que definiremos acontinuacion.

Observacion 1.3.17 (deglex:=Grado + lexicografico). Recordemos que podemos identi-ficar (vıa biyeccion) Nn con N de varias formas distintas. Cada una de esas biyecciones suponela introduccion de un orden en Nn. Lo que haremos ahora es el proceso inverso: destacar unorden en Nn (que defina una biyeccion con N) que es, ademas un orden monomial (un ordenmonomial es un buen orden ≤ en Nn tal que verifica:

∀µ, θ, τ ∈ Nn, si µ ≤ τ, entonces µ+ θ ≤ τ + θ.)

Un ejemplo de orden monomial es el deglex, tambien denominado “grado + lexicografico”(≤deglex) , que se define del modo siguiente. Sea ≤lex el orden lexicografico en Nn. Observesque ≤lex no es un orden que permita biyectar Nn con N. Entonces, definimos: para µ, θ ∈ Nn,diremos que µ ≤deglex θ si se verifica:

[|µ| < |θ|] ∨ [(|µ| = |θ|) ∧ (µ ≤lex θ)] .

Consideremos el grupo aditivo (Ap(Nn, R),+) y definamos la funcion producto siguiente:

∗ : Ap(Nn, R)×Ap(Nn, R) −→ Ap(Nn, R),

dada mediante: Dadas f, g ∈ Ap(Nn, R), definamos: f ∗ g : Nn −→ R, mediante:

f ∗ g(µ) :=∑

θ,τ∈Nn,θ+τ=µ

f(θ)g(τ).

Observese que esta operacion producto es la version discreta de la convolucion de funcionesmedibles. Finalmente, definamos Ap0(Nn, R) como aquellas aplicaciones que se anulan salvo enun numero finito de ındices, Esto es,

Ap0(Nn, R) := f : Nn −→ R : ∃I ⊆ Nn, I finito, f(µ) = 0, ∀µ 6∈ I.

Proposicion 1.3.18. Con las anteriores notaciones:

i) La terna (Ap(Nn, R),+, ∗) es un anillo conmutativo con unidad que se denomina anillode series de potencias formales en n variables con coeficientes en R y se denota me-diante R[[X1, . . . , Xn]]

ii) La terna (Ap0(Nn, R),+, ∗) es un anillo conmutativo con unidad que se denominaanillo de polinomios en n variables con coeficientes en R y se denota mediante R[X1, . . . , Xn].De hecho, Ap0(Nn, R) es un subanillo propio de Ap0(Nn, R).

Demostracion. Se trata simplemente de verificar las propiedades indicadas.

38 1. PRE-ALGEBRA

La siguiente es una Proposicion de facil demostracion:

Proposicion 1.3.19. Con las anteriores notaciones se tiene:

i) Ap(N,Ap(Nn−1, R)) = Ap(Nn, R) y Ap(Nm,Ap(Nn−m, R)) = Ap(Nn, R), para cadam ∈ N, m ≤ n.

ii) Ap0(N,Ap0(Nn−1, R)) = Ap0(Nn, R) y Ap0(Nm,Ap0(Nn−m, R)) = Ap0(Nn, R), paracada m ∈ N, m ≤ n.

Observacion 1.3.20. En otras palabras, y usando la notacion anterior con [’s, estamos diciendoque R[[X1, . . . , Xn−1]][[Xn]] = R[[X1, . . . , Xn]] y R[X1, . . . , Xn−1][Xn] = R[X1, . . . , Xn], porejemplo. Es util para argumentos inductivos.

Notacion 1.3.21 (Monomios, terminos, grado). Hay una notacion estandarizada de estosobjetos. Supongamos dado µ := (µ1, . . . , µn) ∈ Nn un exponente monomial. Se define elmonomio Xµ := Xµ1

1 Xµ2

2 · · ·Xµnn ∈ R[X1, . . . , Xn] = Ap0(Nn, R) como la transformacion Xµ :

Nn −→ R, dada mediante:

Xµ(θ) :=

1, si θ = µ,0, en caso contrario.

Dado a ∈ R, se define el el termino aXµ ∈ R[X1, . . . , Xn] como como la transformacionaXµ : Nn −→ R, dada mediante:

aXµ(θ) :=

a, si θ = µ,0, en caso contrario.

Se dice que a es el coeficiente de aXµ, que µ es su exponente y que |µ| ∈ N es el grado deltermino.

Lema 1.3.22. Con estas notaciones, R es un subanillo de R[X1, . . . , Xn], identificando R conel conjunto de terminos:

λX(0) : λ ∈ R,donde (0) = (0, . . . , 0) ∈ Nn es el elemento neutro de Nn como monoide. Escribiremos 1 enlugar de X(0) y a ∈ R[[X1, . . . , Xn]] en lugar de aX(0), para cada a ∈ R.

Demostracion. Obvio.

Notacion 1.3.23. Definamos, ademas, los siguientes elementos de Ap(Nn, R): X1, . . . , Xndados mediante las reglas siguientes:

X1 : Nn −→ R, X1(θ) :=

1, si θ = (1, 0, 0, . . . , 0),0, en caso contrario.

X2 : Nn −→ R, X2(θ) :=


...

Xn : Nn −→ R, Xn(θ) :=


Se denominan las variables X1, . . . , Xn. Podemos definir tambien las potencias de variables apartir de la operacion producto ∗ de Ap(Nn, R).:

X0i := 1, X1

i := Xi, X2i := Xi ∗Xi,

Xti := Xt−1

i ∗Xi.

Lema 1.3.24. Con las anteriores notaciones, dado µ = (µ1, . . . , µn) ∈ Nn, se tiene:

Xµ = Xµ1

1 ∗ · · · ∗Xµnn .

Demostracion. Es un ejercicio obvio.


Observacion 1.3.25. En ocasiones se “olvida” que la operacion entre variables no es la op-eracion convolucion ∗ y se omite. Por eso encontraremos como notacion estandarizada la sigu-iente:

Xµ = Xµ1

1 · · ·Xµnn .

Debe tenerse cuidado con esta omision y ser siempre consciente de su presencia, sobre todocuando se comparan las operaciones producto de polinomios y series con las operaciones pro-ducto de aplicaciones que veremos mas adelante.

Proposicion 1.3.26. Con las anteriores notaciones, para cada polinomio f ∈ Ap0(Nn, R) existeun conjunto finitio supp(f) ⊆ Nn y existen aµ : µ ∈ supp(f) ⊆ R \ 0 tales que:

f :=∑

µ∈supp(f)

aµXµ =

∑µ∈supp(f)

aµXµ1

1 ∗ · · · ∗Xµnn .

Al menor conjunto finito supp(f) se le denomina soporte de f y se caracteriza mediante:

supp(f) := µ ∈ Nn : aµ 6= 0,

y, obviamente, se verifica que f 6= 0 si y solamente si supp(f) 6= ∅. Al siguiente valor se ledenomina el grado de f :

deg(f) := max|µ| : µ ∈ supp(f), aµ 6= 0.

Demostracion. Mero ejercicio de comprobacion a partir de las definiciones.

Observacion 1.3.27. En el caso de series de potencias formales tambien se admite una repre-sentacion de la forma siguiente: Dada f ∈ R[[X1, . . . , Xn]], escribiremos:

f :=∑µ∈Nn

aµXµ,

aunque, obviamente, por ser una suma infinita es un lımite y require de varias discusionesadicionales como la introduccion de una topologıa y de una metrica.

Teorema 1.3.28. Si R es dominio de integridad, tambien lo son R[X1, . . . , Xn] y R[[X1, . . . , Xn]].

Demostracion. Las propiedades (i) y (ii) son meras propiedades de comprobacion. Paraprobarlas basta con verificar las propiedades una a una. Para la condicion de dominio deintegridad, probaremos el caso de R[X1, . . . , Xn] y dejaremos como ejercicio la demostracionel caso de series de potencias formales. Para comenzar, observese que deglex (recordar laObservacion 1.3.17) define un orden total en Nn. De hecho, define una biyeccion entre Nn yN. Consideremos ahora dos polinomios f, g ∈ R[X1, . . . , Xn] no nulos. Sean I, J ∈ Nn son dosconjuntos finitos dados como los respectivos soportes de f y g (recordar la Proposicion 1.3.26).Es decir, suponemos

f :=∑µ∈Nn

aµXµ, g :=

∑µ∈Nn

bµXµ,

siendo

I = supp(f) := µ ∈ Nn : aµ 6= 0,J = supp(g) := µ ∈ Nn : bµ 6= 0.

Tendremos entonces,

f :=∑µ∈I

aµXµ, g :=

∑µ∈J

bµXµ.

Consideremos agora el conjunto

I + J := µ+ ν ∈ Nn : µ ∈ I, ν ∈ J.

Observese que I+J es un conjunto finito y el soporte del polinomio producto f ·g esta contenidoen I + J . De hecho, se tiene

f · g =∑

τ∈I+J

∑µ∈I,ν∈J,µ+ν=τ

aµbν

Xτ .

40 1. PRE-ALGEBRA

observese tambien que la relacion de orden deglex respeta la suma de exponentes, es decir,dados µ, ν, τ ∈ Nn, entonces,

µ ≤deglex ν =⇒ µ+ τ ≤deglex ν + τ.

En particular, consideremos

µ0 := min(I), ν0 := min(J).

Tendremos que µ0 + ν0 = min(I + J). El argumento es obvio, dado que µ0 + ν0 ∈ I + J y,ademas, µ0 + ν0 ≤ µ+ ν, para todo µ ∈ I y ν ∈ J . Consideremos la suma ∑

µ∈I,ν∈J,µ+ν=τ

aµbν

,

y observamos que el conjunto

(µ, ν) ∈ I × J : µ+ ν = µ0 + ν0 = (µ0, ν0).

Entonces la anterior suma verifica: ∑µ∈I,ν∈J,µ+ν=τ

aµbν

= aµ0bν0.

Mas aun, como µ0 ∈ supp(f) y ν0 ∈ supp(g), se tiene que aµ06= 0 y bν0

6= 0 en R. Como Res un dominio de integridad, entonces aµ0bν0 6= 0 en R. Finalmente, aµ0bν0 es el coeficiente delmonomio Xµ0+ν0 en f · g y es no nulo, con lo que µ0 + ν0 ∈ supp(f · g) 6= ∅, luego (recordandola Proposicion 1.3.26) f · g 6= 0 en R[X1, . . . , Xn].

Proposicion 1.3.29. Sea K un cuerpo y K[X1, . . . , Xn] el anillo de polinomios en n variablescon coeficientes en K. Entonces,

i) K[X1, . . . , Xn] es un K−espacio vectorial, con base dada por los monomios

Xµ : µ ∈ Nn.

ii) Dado un polinomio f ∈ K[X1, . . . , Xn], tenemos una representacion:

f :=∑µ∈I

aµXµ,

donde I ⊆ Nn es un conjunto finito, aµ : µ ∈ I ⊆ K. Definiremos grado de fcomo el maximo de los grados de los terminos no nulos en una descomposicion comola anterior. Es una nocion bien definida.

iii) Dado un entero d ∈ N, denotaremos por Hd(X1, . . . , Xn) al K−subespacio vectorialde K[X1, . . . , Xn] generado por los monomios de grado d, es decir, generado por:

Xµ : |µ| = d, µ ∈ Nn.

Entonces, Hd(X1, . . . , Xn) es un espacio vectorial de dimension finita e igual a

dimK Hd(X1, . . . , Xn) =

(d+ n− 1

n− 1

).

Mas aun, tenemos la descomposicion de K[X1, . . . , Xn] en suma directa de subespaciossiguiente:

K[X1, . . . , Xn] :=⊕d∈N

Hd(X1, . . . , Xn).

Demostracion. Las afirmaciones son de mera comprobacion.


1.3.2. Otros ejemplos.

Ejemplo 1.3.30 (Aplicaciones). A diferencia del caso de polinomios, podemos considerar X unconjunto cualquiera y el conjunto Ap(X,R), donde R es un anillo cualquiera. Podemos definirdos operaciones, de una parte consideramos el grupo aditivo (Ap(X,R),+), con la suma usualde funciones, de otra parte podemos definir una operacion producto:

· : Ap(X,R)2 −→ Ap(X,R)(f, g) 7−→ f · g,

dondef · g : X −→ R

x 7−→ f(x) · g(x),

y f(x) · g(x) representa el producto en R.

Proposicion 1.3.31. Con las anteriores notaciones (Ap(X,R),+, ·) es un anillo conmutativocon unidad.

Demostracion. Mero ejercicio de comprobacion de propiedades.

Observacion 1.3.32. No deben confundirse (Ap(Nn, R),+, ·) y (Ap(Nn, R),+, ∗). Aunqueambos anillos tienen el mismo conjunto como sustrato Ap(Nn, R), al haber considerado dosoperaciones producto distintas (· y ∗), se puede comprobar que ambos anillos no seran isomorfos.

Ejemplo 1.3.33 (Funciones Booleanas). Son funciones basicas en Logica y en diseno deCircuitos Digitales. Por ahora nos vamos a conformar con definirlas. Comenzamos observandola identificacion 0, 1 = Z/2Z que identifica los valores boooleanos 0, 1 (o tambien en su ver-siones verdadero/falso: V,F) con el cuerpo primo de caracterıstica 2. Se denomina funcionbooleana de n variables a toda aplicacion: f : 0, 1n −→ 0, 1. Se define el conjunto defunciones booleanas

Bn := f : 0, 1n −→ 0, 1 : f es aplicacion.Es facil de observar que podemos identificar

Bn ∼= P(0, 1n),

es decir, el conjunto de funciones booleanas con el conjunto de todos los subconjuntos de 0, 1n.La biyeccion entre ambos conjuntos es dada por las funciones caracterısticas:

• Dado un subconjunto L ∈ P(0, 1n), definimos la funcion booleana χL ∈ Bn dadamediante:

∀x ∈ 0, 1n, χL(x) = 1⇐⇒ x ∈ X.• Recıprocamente, dada una funcion booleana f ∈ Bn, definimos el lenguaje aceptado

por f como L := f−1(1) ∈ P(0, 1n).

Ahora, identificando 0, 1 con Z/2Z, observamos que Bn := Ap(0, 1n,Z/2Z) y tiene unaestructura de anillo natural a traves de las operaciones del cuerpo Z/2Z.

Podemos concluir:

Proposicion 1.3.34. El conjunto de funciones booleanas Bn tiene una estructura natural deanillo conmutativo con unidad, es biyectable al conjunto P(0, 1n) y tiene, por tanto, cardinaldado por la siguiente identidad:

] (Bn) = 22n .

Demostracion. Es lo discutido en parrafos previos.

Ejemplo 1.3.35 (Funciones Holomorfas). Un ejemplo de dominio de integridad que se saledel contexto de este curso es el siguiente:

• Sea U ⊆ Rn un abierto y consideramos el siguiente conjunto:

Cω(U) := f : U −→ R : f es analıtica en U.Es un sencillo ejercicio de analisis, probar que Cω(U) es un subanillo de (Ap(X,R),+, ·)y, por tanto, un anillo con las operaciones habituales de suma y producto de funciones.Se llama el anillo de las funciones analıticas sobre U .

42 1. PRE-ALGEBRA

• Sea U ⊆ Cn un abierto y consideramos el siguiente conjunto:

H(U) := f : U −→ C : f es analıtica en U.Un clasico ejercicio de Analisis consiste en probar que H(U) es un subanillo de(Ap(X,C),+, ·) y, por tanto, un anillo con las operaciones habituales de suma y pro-ducto de funciones. A las funciones en H(U) se las denomina funciones holomorfasy a H(U) se denomina anillo de las funciones holomorfas definidas en U .

Se tiene el siguiente resultado:

Teorema 1.3.36. Sea X ⊆ C un abierto no vacıo. Entonces, el anillo de funciones holomorfasdefinidas en X H(X) es un dominio de integridad si y solamente si X es un abierto conexo.

Demostracion. Baste con observar que el conjunto de ceros de una funcion holomorfacompleja no nula es un conjunto numerable sin puntos de acumulacion (i.e. que los ceros defunciones holomorfas son puntos aislados 3). Con este resultado, supongamos que X es abiertoconexo y que el producto de dos funciones f, g ∈ H(X) es tal que fg se anula identicamente enX. Entonces, podemos observar que

X = VX(f) ∪ VX(g),

donde VX(f) y VX(g) son los ceros en X de f y g necesariamente. Pero X es un abierto enCn, luego no es numerable, mientras que la union de dos numerables es numerable. Esto quieredecir que si f 6= 0 y g 6= 0, entonces tendrıamos X como union de dos numerables llegando acontradiccion. Luego, necesariamente X = VX(f) o X = VX(g), lo que equivale a decir f = 0o g = 0 y H(X) es dominio de integridad.Para el recıproco, baste con observar lo siguiente: Si X no fuera conexo, posee una descom-posicion como union de dos abiertos disjuntos X = X1 ∪ X2. Entonces, podemos definir dosfunciones no nulas f1, f2 : X −→ C, del modo siguiente:

fi(x) :=

1 si x ∈ Xi

0 en caso contrario

Obviamente f1f2 = 0 y ninguna de ellas es nula.

Observacion 1.3.37. [Las funciones C∞ y los divisores de cero] Este resultado es tambiencierto en el caso de funciones analıticas reales sobre abiertos X ⊆ R, es decir Cω(X) es dominiode integridad si y solamente si X es conexo. En cambio, el resultado no es cierto para funcionesdiferenciables o para funciones continuas. Si tratamos con funciones C∞(R) podemos encontrardos funciones f+ y f− : R −→ R tales que ambas son infinitamente diferenciables y verifican:

f+(x) = 0, f−(x) = 1, si x ∈ (−∞,−1)f+(x) = 0, si x ∈ (−1, 0)

f−(x) = 0, si x ∈ (0, 1)f+(x) = 1, f−(x) = 0, si x ∈ (1,+∞)

Claramente f+f− = 0 y ninguna de ellas dos es un funcion nula, con lo que C∞(R) no es dominiode integridad. Como ejercicio se propone buscar esas dos funciones en el caso X = R.


Problema 28. Pruebese que todas las afirmaciones descritas en la Proposicion 1.3.5.

Problema 29. Pruebese la Proposicion 1.3.31.

Problema 30. Pruebese la Proposicion 1.3.34.

Problema 31. Pruebense las siguientes igualdades que caracterizan las unidades R∗ de losanillos que se indican:

i) Z[i]∗ = ±1,±i ∼= (Z/4Z).ii) Si Z[ω] es el anillo de Eisenstein, probrar

Z[ω]∗ = ±1,±ω,±ω2.

3Buscar “Zero (Complex Analysis)” en Wikipedia


iii) Si m < −1 es un entero, probar que:

Z[√m]∗ = ±1.

iv) Si m ∈ Z es un entero tal que m ≡ 1 mod 4 y m < −3, entonces(Z[

1 +√m

2

])∗= ±1.

Problema 32. Sea K un cuerpo y consideremos el conjunto de los polinomios en una variablede grado a lo sumo d y con coneficientes en K. Esto es, el conjunto:

K[X]d := f ∈ K[X] : deg(f) ≤ d.

Probad:

• (K[X]d,+) es un grupo con la suma de polinomios univariados.• (K[X]d,+, ·K) es un espacio vectorial de dimension d+ 1 con base monomial:

Md(X) := 1, X,X2, . . . , Xd.

• Pero (K[X]d,+, ·) no es anillo con las operaciones habituales de suma y producto depolinomios.

Problema 33 (Funciones continuas). Sea (X, T ) un espacio topologico y sea U ⊆ X un abierto.Consideramos el siguiente conjunto:

C0(U) := f : U −→ R : f es continua.

Hay que probar que C0(U) es un subanillo de (Ap(X,R),+, ·) y, por tanto, un anillo con lasoperaciones habituales de suma y producto de funciones.

Problema 34 (Funciones continuas a valores complejos). Sea (X, T ) un espacio topologico ysea U ⊆ X un abierto. Consideramos el siguiente conjunto:

C0(U,C) := f : U −→ C : f es continua.

Se debe probar que C0(U,C) es un subanillo de (Ap(X,C),+, ·) y, por tanto, un anillo conlas operaciones habituales de suma y producto de funciones. ¿Que relacion tienen C0(U) yC0(U,C)?.

Problema 35 (Funciones Diferenciables). Sea k ∈ N ∪ ∞, k ≥ 1 y sea M una variedaddiferenciable de clase C∞. Sea U ⊆M un abierto y consideramos el siguiente conjunto:

Ck(U) := f : U −→ R : f es k veces diferenciable con derivada k−esima continua.

Probad que Ck(U) es un subanillo de (Ap(U,R),+, ·) y, por tanto, un anillo con las operacioneshabituales de suma y producto de funciones.

Problema 36. Buscar ejemplos de funciones no nulas f+ y f− de clase C∞(R) y tales quef+f− = 0 en todo R y que se citan en la observacion 1.3.37. Concluir que Ck(R) no es dominiode integridad para todo k, 0 ≤ k ≤ ∞. (Pista: Considerar la funcion f :−→ R siguiente:

f(x)

0, si x ≤ 0e−1/x, si x > 0.

Problema 37. Buscar ejemplos de abiertos X en R tales que cada contenido es estricto (vercursos previos de Analisis Matematico) y, por tanto, dan lugar a un contenido estricto deanillos:

• X tal que R ( Cω(X),• X tal que Cω(X) ( C∞(X),• X tal que C∞(X) ( Ck(X), con k <∞,• X tal que C2(X) ( C1(X),• X tal que C1(X) ( C0(X).

Problema 38. Sea x un elemento nilpotente de un anillo R (un elemento x ∈ R se llamanilpotente si ∃n ∈ N, xn = 0 ∈ R). Probad que 1 + x ∈ R∗. Deducir que la suma de unelemento nilpotente y una unidad en un anillo es una unidad del anillo.

44 1. PRE-ALGEBRA

Problema 39. Sea f = a0+a1X+· · ·+anXn ∈ R[X] un polinomio univariado con coeficientesen un anillo R. Probad que f es una unidad en R[X] si y solamente si a0 es una unidad en Ry a1, . . . , an son nilpotentes en R.

Problema 40. Con las notaciones del problema anterior, probar que f es nilpotente si ysolamente si a0, a1, . . . , an son nilpotentes en R.

Problema 41. Con las notaciones de los problemas anteriores, probar que f es divisor decero en R[X] si y solamente si existe a ∈ R \ 0 tal que af = 0. ( Hint: Suponed quef = a0 + a1X + · · · + anX

n, con an 6= 0, y considerad el conjunto de todos los polinomiosen R[X] que anulan f , es decir, AnnR[X](f) := g ∈ R[X] : gf = 0, que es un ideal deR[X]. Considerese el conjunto de los grados de los polinomios no nulos en AnnR[X](f), esdecir, N (f) := deg(g) : g 6= 0, g ∈ AnnR[X](f). Si f es un divisor de cero, entoncesN (f) ⊆ N es un cojunto no vacıo que posee un mınimo. Sea m := min(N (f)) ese mınimoy sea g ∈ AnnR[X](f) un polinomio de grado m (y, por tanto, g 6= 0). Supongamos g =b0 + b1X + · · · + bmX

m, con bm 6= 0. Sabemos que gf = 0 y consideremos el polinomio ang.Del hecho gf = 0, concluimos que anbm = 0 y, ademas, ang es un polinomio de grado menoro igual que m − 1. Pero, ademas, ang ∈ AnnR[X](f) por ser ideal. Por tanto, ang = 0.Inductivamente, concluir que aig = 0 para todo i, 0 ≤ i ≤ n. Concluid que, si se da aig = 0,para cada i, 0 ≤ i ≤ n, entonces, en particular, aibm = 0 para cada i, 0 ≤ i ≤ n. Concluid,finalmente, que bmf = 0 y bm 6= 0, que es lo buscado en el problema. )

Problema 42 (Funciones Polinomiales sobre un conjunto V ). Sea R un anillo y seaV ⊆ Rn un subjconjunto cualquiera. Se definen las funciones polinomiales sobre V del modosiguiente:

i) Son funciones polinomiales las siguientes:(a) Son funciones polinomiales sobre V las constantes. Es decir, dado a ∈ R, la

siguiente es una funcion polinomial sobre V :

a : V −→ Rx 7−→ a.

(b) Son funciones polinomiales sobre V las proyecciones. Es decir, para cada i, 1 ≤i ≤ n, la siguiente es una funcion polinomial sobre V :

πi : V −→ R(x1, . . . , xn) 7−→ xi.

ii) Las funciones polinomiales son estables por las siguientes reglas:(a) Las funciones polinomiales son estables por la suma de funciones. Es decir, dadas

dos funciones polinomiales f, g : V −→ R, la siguiente es una funcion polinomialsobre V :

f + g : V −→ Rx 7−→ f(x) + g(x).

(b) Las funciones polinomiales son estables por el producto de funciones. Es decir,dadas dos funciones polinomiales f, g : V −→ R, la siguiente es una funcionpolinomial sobre V :

f · g : V −→ Rx 7−→ f(x) · g(x).

Se define el anillo de funciones polinomiales R[V ] sobre V con respecto al anillo R como elmenor subanillo de Ap(V,R) que satisface las propiedades (1) y (2) anteriores. Se podrıa denotarcomo R[π1, . . . , πn] salvo que haya confusion con el subconjunto V ⊆ Rn de referencia. Pruebeseque dado un subconjunto V ⊆ Rn, entonces existe un epimorfismo natural de anillos

Φ : R[X1, . . . , Xn] −→ R[V ],

tal que Φ(a) = a,∀a ∈ R y Φ(Xi) = πi, para 1 ≤ i ≤ n.

Problema 43. Probad que si K es un cuerpo infinito, y V = Kn, entonces el morfismo deanillos

Φ : K[X1, . . . , Xn] −→ K[V ],

1.4. MODULOS, SUBMODULOS, MORFISMOS DE MODULOS 45

definido en el problema anterior es un isomorfismo de anillo. Prueba que si K es un cuerpofinito, entonces el nucleo Ker(Φ) del morfismo anterior es no nulo y Φ no es inyectiva.

Problema 44. Prueba que si K es un cuerpo infinito, f ∈ K[X1, . . . , Xn] es un polinomioy ϕf := Φ(f) es la funcion polinomial asociada a f mediante Φ del Problema 43 anterior,Entonces, si ϕf (x) = 0,∀x ∈ Kn, se tiene f = 0 en K[X1, . . . , Xn]. Comprobar que estaimplicacion no es cierta cuando K no es un cuerpo infinito.

Problema 45. Probad que el anillo de funciones booelanas Bn esta identificado con Ap((Z/2Z)n,Z/2Z)y con el anillo de funciones polinomiales Z/2Z[(Z/2Z)n].

Problema 46. Un polinomio f ∈ K[X1, . . . , Xn] se dice homogeneo si es una suma finita determinos del mismo grado. Prueba que para todo polinomio homogeneo f ∈ Hd(X0, . . . , Xn)(con d no divisible por la caracterıstica de K) se verifica la siguiente identidad (Identidad deLeibnitz):

df :=

n∑i=0

Xi∂f

∂Xi.

Concluir que todo polinomio homogeneo f (cuyo grado no es divisible por la caracterıstica delcuerpo) esta en el ideal homogeneo generado por sus derivadas parciales, i.e.

f ∈(∂f

∂X0,∂f

∂X1, . . . ,

∂f

∂Xn

).

Problema 47. Probad que si U = U1 ∪ U2 ⊆ X es un abierto en un espacio topologico (X, T )con dos componentes conexas U1, U2 disjuntas, entonces C0(U) no es dominio de integridad.

1.4. Modulos, Submodulos, Morfismos de Modulos

Definicion 23 (Modulo). Sea (R,+, ·) un anillo. Llamaremos R−modulo a toda terna(M,+, ·R) donde:

i) (M,+) es un grupo abeliano,ii) ·R : R ×M −→ M es una aplicacion, que se representa mediante ·R(x,m) := xm,

verificando:(a) Propiedad Distributiva I: ∀x ∈ R,∀m,n ∈M, x(m+ n) = xm+ xn.(b) Propiedad Distributiva II: ∀x, y ∈ R,∀m ∈M, (x+ y)m = xm+ ym.(c) Propiedad Asociativa: ∀x, y ∈ R,∀m ∈ N, (xy)m = x(ym).(d) Elemento Neutro: ∀m ∈M, 1m = m.

Ejemplo 1.4.1. Los siguientes son ejemplos basicos de modulos:

i) Los ejemplos mas evidentes de modulos son los espacios vectoriales: Un espacio vec-torial V sobre un cuerpo K no es otra cosa que un K−modulo (ambas nociones sonequivalentes).

ii) Los anillos son modulos sobre sı mismos.iii) En un sentido general se habla de modulo producto y modulo co-producto o suma.

Dada una familia de modulos Mi : i ∈ I, denotaremos∏i∈I

Mi := ϕ : I −→⋃i∈I

Mi : ϕ(i) ∈Mi, ∀i ∈ I.

∐i∈I

Mi =⊕i∈I

Mi := ϕ ∈∏i∈I

Mi : ∃J ⊆ I, J finito, ϕ(i) = 0, ∀i 6∈ J.

iv) Sea f : R −→ B un morfismo de anillos. Podemos definir sobre B una estructura deR−modulo sobre B mediante:

(1.4.1)∗f : R×B −→ B

(x, b) 7−→ x ∗f b := f(x) ·B b,donde ·B es el producto de B como anillo. Se llama la estructura de R−modulo so-bre B determinada por el morfismo f . Se dice que B es una R−algebra. Esto incluye elcaso de subanillos (f sera la inclusion) y, por tanto, son R−algebras C0(X), C1(X), . . . , C∞, . . .y son C−algebras C0(X,C) y H(X).

46 1. PRE-ALGEBRA

v) Si A y B son dos anillos y supongamos que B tiene una estructura de A−modulocomo la siguiente:

∗A : A×B −→ B(λ, b) 7−→ λ ∗A b,

entonces podemos definir un morfismo de anillos ϕA −→ B a partir de esa operacionexterna y dada mediante:

ϕ : A −→ Bλ 7−→ ϕ(λ) := λ ∗A 1B ,

donde 1B es el elemento unidad del producto de B como anillo. Entonces, si constru-imos la estructura de A−modulo de B asociada a este morfismo de anillos ϕ: la op-eracion externa ∗ϕ definida omo en la identidad (1.4.1) anterior, se tendra: ∗ϕ = ∗A.Es decir, los morfismos entre dos anillos R y B anillos estan identificados con lasestructuras de R−modulo sobre B. El poblema 49 pedira que se verifiquen todos losdetalles de esta afirmacion y, por tanto, la frase recientemente citada.

vi) Los anillos R[X1, . . . , Xn] y R[[X1, . . . , Xn]] tienen una estructura natural de R−moduloy son R−algebras.

vii) Los conjuntos de matrices Mn×m(R) tienen una estructura natural de R−modulo.

Ejemplo 1.4.2 (Grupos Abelianos). Los grupos abelianos no son otra cosa que Z−modulos(ambas nociones son equivalentes). Obviamente, todo Z−modulo es un grupo abeliano, ası quese trata de ver el otro contenido. Para ello consideremos la siguiente notacion para un grupoabeliano (G,+):Dado m ∈ N y g ∈ G, definamos:

• Si m = 0 ∈ N, definamos 0 · g = 0G,• Si m ≥ 1, definamos m · g = g + (m− 1) · g.

Para cada numero entero n ∈ Z, definamos

• Si n ∈ N, definamos n · g ∈ G es el definido en el apartado anterior,• Si n ≤ 0, definamos n · g = (−n) · (−g) (que esta definido porque (−n) ∈ N).

Tenemos una aplicacion:·Z : Z×G −→ G

(n, g) 7−→ n · g.Ademas, (G,+, ·Z) es un Z−modulo.

Ejemplo 1.4.3 (Teorıa del Endomorfismo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K,ϕ : V −→ V una aplicacion lineal. Podemos definir una estructura de K[X]−modulo sobreV que se conoce como Teorıa del Endomorfismo. Se define del modo siguiente: Definamosrecursivamente:

• ϕ0 = IdV (la identidad),• ϕ1 = ϕ,• Para n ≥ 2, ϕn := ϕ ϕn−1, donde es la composicion.

Dado p ∈ K[X], de la forma:

p := ao + a1X + a2X2 + · · · anXn,

definimos p(ϕ) : V −→ V mediante:

p(ϕ) := a0IdV + a1ϕ+ a2ϕ ϕ+ · · ·+ anϕn.

Finalmente, definimos

·K[X] : K[X]× V −→ V(p(X), v) 7−→ p(ϕ)(v) ∈ V.

Se tiene que (V,+, ·K[X]) es un K[X]−modulo.

Definicion 24 (Submodulos, morfismos). Sea R un anillo y sean M,M ′ dos R−modulos.

i) Un subgrupo (N,+) del grupo aditivo (M,+) se dice submodulo de M si, ademas,verifica:

∀x ∈ R, ∀n ∈ N, xn ∈ N.


ii) Un morfismo de grupos f : (M,+) −→ (M ′,+) se dice morfismo de R−modulos siverifica:

∀x ∈ R, ∀m ∈M, f(xm) = xf(m).

El conjunto de todos los morfismos de R−modulo entre M y M ′ se denota medianteHomR(M,M ′).

Ejemplo 1.4.4. i) Los submodulos de un anillo, como modulo sobre sı mismo, son, pre-cisamente, los ideales.

ii) Los submodulos de los espacios vectoriales son los subespacios.iii) Los submodulos de los grupos abelianos son los subgrupos.iv) Obviamente los subgrupos (0) y M de M son submodulos.

Ejemplo 1.4.5. i) En el caso de espacios vectoriales, HomK(V,W ) son las aplicacioneslineales.

ii) En el caso de grupos abelianos, HomZ(A,B) son los morfismos de grupos entre A yB.

Observacion 1.4.6. Observese que los morfismos de R−modulos f : M −→ N , preservan elanillo R. En cambio, si f : R −→ B es un morfismo de anillos, cambia el anillo y nos permitedefnir una estructura de R−modulo sobre cualquier B−modulo. Estas estructuras cambian,obviamente, la percpecion del modulo. Como ejemplo clasico el espacio vectorial complejo Cn esun C−espacio vectorial de dimension n, pero es tambien un R−espacio vectorial de dimension2n. Ası, C es una recta compleja, pero un plano real. De modo similar, tenemos el morfismodado por la inclusion Q → R. Si n ≥ 1, Rn es un espacio vectorial de dimension R sobreR pero tiene dimension infinita no numerable como Q−epacio vectorial. De hecho, el unicoespacio vectorial real V que tiene dimension numerable como Q−espacio vectorial es el espaciovectorial nulo V = (0).

Proposicion 1.4.7. Sean M y N dos modulos sobre un anillo R.

i) Un subgrupo N de (M,+) es submodulo si y solamente el grupo cociente (M/N,+) esR−modulo con la operacion ∗R : R×M/N −→M/N dada mediante:

x ∗R (m+N) := xm+N, ∀x ∈ R, ∀m+N ∈M/N.

ii) Para cada morfismo f : M −→ N se verifica:(a) Para cada submodulo S de M , f(S) := f(m) : m ∈ S es submodulo de N .

Un caso particular es el submodulo imagen Im(f) := f(M).(b) Para cada submodulo T de N , f−1(T ) := m ∈M ; f(m) ∈ T es un submodulo

de M . Un caso particular es el nucleo ker(f) := f−1((0)).iii) El conjunto HomR(M,N) es un R−modulo con las operaciones:

+ : HomR(M,N)×HomR(M,N) −→ HomR(M,N),

y·R : R×HomR(M,N) −→ HomR(M,N),

dadas para cada f, g : M −→ N , y x ∈ R, definimos f+g : M −→ N y xf : M −→ N ,dadas por:

f + g(m) := f(m) + g(m), ∀m ∈M,

y(xf)(m) := xf(m), ∀m ∈M.

Demostracion. La prueba es un mero ejercicio.

Obviamente esta Proposicion nos da toda una coleccion adicional de modulos a traves de op-eraciones de cociente y tomar morfismos.

Definicion 25 (Nucleo, Imagen, Co–Nucleo). Dado un morfismo de R−modulos f :M −→ N , se definen los siguientes submodulos asociados a f :

i) Nucleo del morfismo f : ker(f) := x ∈M : f(x) = 0 = f−1〈0〉, que es submodulode M .

48 1. PRE-ALGEBRA

ii) Imagen de f : Im(f) := y ∈ N : ∃x ∈ M, f(x) = y = f(M), que es submodulo deN

iii) Co–nucleo al R−modulo Co− ker(f) := N/ Im(f).

Proposicion 1.4.8. Dado un morfismo de R−modulos f : M −→ N , se verifican las siguientespropiedades:

i) Son equivalentes las propiedades siguientes:• f es inyectiva,• ker(f) = 0.

En este caso decimos que f es un monomorfismo.ii) Son equivalentes las propiedades siguientes:

• f es suprayectiva,• Im(f) = N ,• Co− ker(f) = 0.

En este caso diremos que f es un epimorfismo.iii) Son equivalentes las propiedades siguientes:

• f es biyectiva,• ker(f) = 0 y Co− ker(f) = 0.

En este caso diremos que f es un isomorfismo y su inversa f−1 : N −→ M tambienes un morfismo de R−modulos.

Demostracion. Igual que en el caso de la Proposicion precedente, las afirmaciones sonobvias.

1.4.1. Operaciones Basicas con Submodulos e Ideales.

Proposicion 1.4.9. La interseccion de una familia cualquiera de submodulos es un submodulo.Del mismo modo, la interseccion de una familia cualquiera de ideales es un ideal.

Demostracion. Mero ejercicio de comprobacion formal.

Definicion 26 (Submodulo Generado por un Conjunto). Dado un subconjunto F ⊆M deun R−modulo M. Llamaremos submodulo generado por F al menor submodulo que le contiene.Es decir, usando la Proposicion precedente, el submodulo generado por F y que denotaremospor R〈F 〉 viene dado por la siguiente identidad:

R〈F 〉 :=⋂N : F ⊆ N, N es submodulo de M.

Diremos que F es un Sistema Generador del submodulo N de M si N = R〈F 〉.Del mismo modo definiremos el ideal de un anillo R generado por un conunto S como el menorideal de R que contiene a S. Pero la notacion que usaremos es ligeramente diferente y escribire-mos (S) para denotar el ideal generado por S.

Proposicion 1.4.10. Sea M un R−modulo y F ⊆ F un subconjunto. La siguiente expresioncaracteriza el submodulo generado por F :

R〈F 〉 := m ∈M : ∃G ⊆ F finito, y ∃xg ∈ R : g ∈ G ⊆ R, tales que m =∑g∈G

xgg.

En particular, una identidad similar se tandra para ideales de un anillo. Es decir, si S ⊆ R esun conjunto de un anillo R se tiene:

(F ) := m ∈ R : ∃G ⊆ S finito, y ∃xg ∈ R : g ∈ G ⊆ R, tales que m =∑g∈G

xgg.

Demostracion. Bastara con hacerlo para submodulos porque, al cabo, los ideales de unanillo R son sus submodulos como R−modulo. Para pobar la identidad basta con demostrarprimero que la expresion de la derecha define un submodulo de M . Esto es mera escrituracuidadosa de la formula expresada. Una vez probado que es submodulo, se prueba que paracualquier otro submodulo N de M que contenga a F , N debe contener todos los elementosque aparecen en el conjunto de la derecha de la igualdad buscada. Como R〈F 〉 es el menorsubmodulo que contiene a F la prueba se concluira.


Notacion 1.4.11 (Modulos, submodulos e ideales finitamente generados). Modulos ysubmodulos finitamente generados seran aquellos generados por un conjunto finito de elemen-tos. Escribiremos Rm para denotar al submodulo generador por m En ocasiones escribire-mos Rm1 + · · · + Rmr para denotar al modulo R〈m1, . . . ,mr〉 generado por el conjunto finitom1, . . . ,mr. Para ideales, sin embargo, escribiremos (a1, . . . , am) para denotar el ideal gen-erado por la familia a1, . . . , am. Notese que, en el caso de un conjunto de generadores finitose tiene:

• (Para submodulos) dado m ∈M , se tiene m ∈ R〈m1, . . . ,mr〉 si y solamente si existenx1, . . . , xr ∈ R tales que:

m =

r∑i=1

ximi.

• (Para ideales) dado x ∈ R, se tiene x ∈ (a1, . . . , ar) si y solamente si existen x1, . . . , xr ∈R tales que:

x =

r∑i=1

xiai.

Observacion 1.4.12. Sea M un R−modulo finitamente generado. Entonces, puedo considerarel conjunto de todos los subconjuntos finitos que generan M . Es decir

G(M) := S ⊆M : R〈S〉 = M, ](M) ∈ N.A su vez, podemos considerar el conjunto de todos los cardinales de conjuntos finitos quegeneran M .

S (M) := n ∈ N : ∃S ∈ G(M), ](S) = n.Como es un subconjunto de los naturales y no es vacıo, entonces posee algun mınimo:

n0; = min (S (M)) ∈ N.Al numero n0 se le llama numero mınimo de generadores de M y a todo S ∈ G(M) tal quesu cardinal coincide con n0 (i.e. ](S) = n0) se le denomina conjunto (o sistema) minimalde generadores de M . Es evidente que si K es un cuerpo y V es un K−espacio vectorialfinitamente generado sobre K, entonces V es un espacio vectorial de dimension finita y elTeorema del Reemplazamiento nos dice que todo sistema minimal de generadores de V es unabase de V . Esto no ocurre igual para modulos, lo que obliga a hablar de R−modulos libres enla Subseccion 1.4.2 siguiente.

Definicion 27 (R−algebras finitas y finitamente generadas). Con estas notaciones:

• Una R−algebra B se llama finitamente generada si es isomorfa a un cociente de algunanillo de polinomios R[X1, . . . , Xn] por alguno de sus ideales a.

• Una R−algebra B se dice finita si B es un R−modulo finitamente generado.

Definicion 28 (Suma de Submodulos e Ideales). Dada una familia Ni : i ∈ I desubmodulos de un R−modulo M , llamaremos submodulo suma de los submodulos de esta familiaal submodulo generador por la union de todos ellos.∑

i∈INi := R〈∪i∈INi〉.

Del mismo modo dada una familia de ideales ai : i ∈ I, denotaremos por∑i∈I ai al ideal

suma de esa familia.

Definicion 29 (Ideales y Anillos Principales). Un ideal generado por un solo elemento sellama ideal principal y el anillo se dice principal si todos sus ideales son principales.

Ejemplo 1.4.13. Los ideales (0) y (1) son principales. En particular, los cuerpos son anillospricipales.

Teorema 1.4.14. i) Los anillos Z y K[X], cuando K es un cuerpo, son principales.

50 1. PRE-ALGEBRA

ii) El anillo Z[X] no es principal. El ideal a := (2, X) no puede ser generado por un soloelemento de Z[X].

Demostracion. En el caso de Z, como en el caso de K[X], el argumento se basa en probarla existencia de maximo comun divisor. Pondremos, como recordatorio, la prueba en el casoK[X]. Usando el valor absoluto en lugar del grado, de obtiene el enunciado para el caso Z. Seaa un ideal en K[X] y consideremos el conjunto siguiente:

D(a) := deg(f) : f ∈ a, f 6= 0 ⊆ N.

Si a = (0), entonces es principal y hemos terminado. Si a 6= 0, entonces existe f ∈ a, con f 6= 0y, por tanto, D(a) es un conjunto no vacıo de numeros naturales. Por tanto, posee un mınimo.Sea d0 := min(D(a)) ese mınimo y sea f0 ∈ a un elemento no nulo tal que deg(f0) = d0.Consideremos el ideal principal (f0) ⊆ a. Veanos que ambos ideales son iguales. Sea g ∈ a.Usando la division euclıdea, existiran q, r ∈ K[X] tales que

• g = qf0 + r,• deg(r) ≤ deg(f0)− 1.

Por la primera afirmacion r = g + (−q)f0 ∈ a. Si r 6= 0, entonces deg(r) ∈ D(a) y deg(r) <min(D(a)), lo cual es imposible. Por tanto, r = 0, g = qf0 ∈ (f0) y tendremos probado quea ⊆ (f0) como pretendıamos. Para la segunda afirmacion, supongamos que a = (2, X) es unideal principal. Entonces, existe un elemento no nulo (y no unidad) f = adX

d+ · · ·+a0 ∈ Z[X]tal que

a = (2, X) = (f).

Por tanto, existen polinomios qq, q2 ∈ Z[X] tales que

2 = q1f, X = q2f.

La primera identidad (i.e. 2 = q1f) nos indica que todos los coeficientes de f deben ser divisoresenteros de 2 y, por tanto, estan en ±1,±2. La segunda identidad (i.e. X = q2f) nos indicaque todos los coeficientes de f son divisores de 1. Por tanto, juntando ambas afirmaciones, loscoeficientes deben estar en ±1. De otro lado, ambas identidades indican que el grado de fhabrıa de ser 0, con lo que, necesariamente f es una unidad. Pero (f) = a no es el ideal total,es un ideal propio y llegamos a contradiccion.

Definicion 30 (Producto de ideales y de ideales por submodulos). Se trata de lasnociones siguientes:

i) Dados dos ideales a y b de un anillo R, definimos el ideal producto como el ideal abgenerado por xy : x ∈ a, y ∈ b.

ii) Dado un ideal a de un anillo R y un submodulo N de un R−modulo M , escribiremosaN para designar al submodulo generado por:

xm : x ∈ a, m ∈ N.

Proposicion 1.4.15 (Producto y generadores). Sea a y b dos ideales en un anillo R,respetivamente generados por conjuntos finitos

a = (f1, . . . , fr), b = (g1, . . . , gs).

Entonces, el ideal producto ab esta generado del modo siguiente:

ab = (figj : 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s).

Una propiedad analoga se verifica para el producto de ideales por submodulos.

Demostracion. Ejercicio de comprobacion.

Afirmaciones analogas son obvias para ideales y modulos generados por familias cualesquiera.

Proposicion 1.4.16 (Propiedades Elementales para ideales). Las operaciones interseccion,suma y producto de ideales verifican las usuales propiedades asociativas, conmutativa, existenciade elemento neutro. Ademas:


• Se verifica la Ley Modular de la interseccion con respecto a la suma (por ser simple-mente subgrupos). Es decir,

a ∩ (b + c) ⊇ a ∩ b + a ∩ c,

ademas, si b ⊆ a o c ⊆ a, el anterior contenido es una igualdad. Notese que tambiense da la igualdad si b ⊆ c o si c ⊆ b de manera obvia.

• La propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.

a.(b + c) = a.b + a.b.

1.4.2. Modulos Libres y Bases. Comencemos con un par de ejemplos:

Ejemplo 1.4.17. Dado un conjunto X cuaquiera, retomemos el conjunto Ap(X,R) de lasaplicaciones de un conjunto X en el anillo R. Vimos que tenıa una estructura de grupo abelianocon la suma de aplicaciones. Tambien le dotamos de una estructura de anillo con el productoelemento a elemento de aplicaciones (una estructura que se diferenciaba de la convolucionusada para definir polinomios y series de potencias formales). Ahora podemos dotar a esegrupo abeliano (Ap(X,R),+) de una estructura de R−modulo mediante:

·R : R×Ap(X,R) −→ Ap(X,R)(λ, f) 7−→ λf,

donde la aplicacion λf viene dada por

λf : X −→ Rx 7−→ λ · f(x).

Es un sencillo ejercicio verificar que (Ap(X,R),+, ·R) es un R−modulo. Le denotaremos me-diante las notaciones usuales como

Ap(X,R) = RX =∏X

R.

Si ahora considero el subconjunto:

Ap0(X,R) := f ∈ Ap(X,R) : ∃J ⊆ X, J finito tal quef(x) = 0, ∀x ∈ X \ J,

Es sencillo verificar que Ap0(X,R) es un submodulo de Ap(X,R) con su estrtucra de R−modulo.Usualmente denotaremos a este submodulo mediante:

Ap0(X,R) :=⊕X

R.

Obviamente, si X es un conjunto finito se tiene RX =⊕

X R. De hecho, si X es finito ybiyectable con el conjunto de numeros naturales 1, . . . , n, la notacion habitual es escribir Rn

en lugar de RX o R1,...,n.

Definicion 31 (R−modulo libre). Un R−modulo M se denomina R−modulo libre si esisomorfo como R−modulo a algun R−modulo de la forma

⊕X R, para algun conjunto X.

Observacion 1.4.18. La Teorıa de Modulos serıa una sencilla traslacion (con pocas variaciones)

de muchas de las ideas del Algebra Lineal (la parte mas “lineal” de la Matematica, por ausenciade “ramificaciones”). Afortunadamente, los modulos interesantes tienden a no ser libres y, quizapor ello, son mas interesantes (lo lineal-trivial es muy aburrido). Para ver que no todo moduloes libre baste con observar que un grupo abeliano finito no puede ser Z−modulo libre porque,si lo fuera, su cardinal serıa, al menos, numerable infinito y no finito. Pero podemos hablar debases como en los espacios vectoriales con la definicion siguiente:

Definicion 32 (Base de un R−modulo libre). Se llama base de un subodulo N de unR−modulo M , a todo subconjunto β ⊆ N tal que se verifican las siguientes dos propiedades:

i) El conjunto β es sistema generador de N como submodulo de M , es decir,

M := R〈β〉.

52 1. PRE-ALGEBRA

ii) Los elementos de β son una familia libre (tambien llamada linealmente independiente)sobre R, es decir, para cualquier conjunto J finito, para cualquier lista indiciada porJ de elementos vj : j ∈ J ⊆ β, y para cualesquiera aj ∈ R : j ∈ J, se tiene quesi ∑

j∈Jajvj = 0,

entonces aj = 0, ∀j ∈ J .

smallskip

Proposicion 1.4.19. Sean M y N dos R−modulos, y f : M −→ N un morfismo de R−modulos.Sea T ⊆M un submodulo y β ⊆ T un subconjunto de T .Entonces, se tiene:

i) Si β es un sistema generador de T , entonces, f(β) es un sistema generador de f(T ).Es decir,

T = R〈β〉 =⇒ f(T ) := R〈f(β)〉.De hecho, f es epimorfismo si y solamente si transforma cualquier sistema generadorde M en un sistema generador de N .

ii) Si f es monomorfismo y β es una familia de elementos de M linealmente independientesobre R, entonces, f(β) es una familia de elementos de N linealmente independientessobre R.

iii) Si f es un isomorfismo y β es una base de T como R−modulo entonces, f(β) es unabase de f(T ) como R−modulo.

Demostracion. Los alumnos han debido probar similares afirmaciones en el caso de es-pacio vectoriales, por lo que obvio el incluir quı una prueba; pero propongo probarlo comoProblema 51.

Proposicion 1.4.20. Un R−modulo es libre si y solo si posee alguna base.

Demostracion. Veamos que si M es un R−modulo libre entonces posee una base. Paraverlo, recordemos que M es un R−modulo libre si y solo si es isomorfo a un R−modulo dela forma

⊕X R. Por tanto, usando la Proposicion precedente, bastara con probar que

⊕X R

posee una base y transferirla, vıa el isomorfismo, a una base de M .

Para construir una base de⊕

X R = Ap0(X,R), consideremos para cada x ∈ X consideremosel siguiente elemento ex ∈ bigoplusXR:

ex : X −→ R

z 7−→

1, si y = x0, en otro caso.

Veamos que el conjunto βX := ex : x ∈ X es una base del R−modulo libre⊕

X R. Paraello, consideremos f ∈ Ap(X,R) un elemento cualquiera. por definicion sabemos que existeun conjunto J ⊆ X finito tal que f(x) = 0 para todo x ∈ X \ J . Consideremos entonces elsiguiente elemento:

g :=∑y∈J

f(y)ey.

Es un elemento del submodulo R〈βX〉 gneerado por βX : como J es finito, la suma es una sumafinita y como R〈βX〉 es submodulo g ∈ R〈βX〉. Pero es, ademas, sencillo observar que f y gcoinciden como aplicaciones. La razon es que si x 6∈ J es claro que tanto g(x) como f(x) valen0 y, por tanto, conciden. En el caso de x ∈ J se tendra que

g(x) =∑y∈J

f(y)ey(x) = f(x)ex(x) = f(x).

De otro lado, es facil ver que la familia βX es una familia de elementos linealmente indepnden-dientes sobre R. Si tomamos J ⊆ X un conjunto finito y unos elementos λx ∈ R : x ∈ J, ysi suponemos ∑

x∈Jaxex = 0,


entonces esa es una igualdad como funciones, por lo que

0 =∑x∈J

axex(y) =

0, si y 6∈ Jax = axex(y) si y = x ∈ J .

Con lo que tendremos la conclusion buscada y βX es base de⊕

X R.

Supongamos ahora que un R−mdulo M posee una base β := vi : i ∈ I ⊆ M . Conluyamosque, entonces, M es isomorfo a

⊕I R =

⊕β R y habremos probado que M es un R−modulo

libre. Notese que ya hemos asumido que β e I son conjuntos biyectables y que, como talesconjuntos biyectables

⊕I R y

⊕β R son isomorfos. De todos modos, es facil definir la siguiente

correspondencia:Φ :

⊕I R = Ap0(I,R) −→ M

f 7−→∑i∈I f(i)vi.

La primera dificultad es probar que se trata efecetivamente de una aplicacion. Para ello,recordemos que f ∈ Ap0(I,R), luego existe J ⊆ I finito tal que f(i) = 0 para todo i ∈ I \ J .Por tanto, la suma que hemos usado para definir Φ tiene algo de “mentirosa”, puesto que, enrealidad, es una suma finita: ∑

i∈If(i)vi =

∑j∈J

f(j)vj ,

y la segunda es una suma finita de elementos de M que, por tanto, es un elemento de M .Tendremos ası probado que se trata de una aplicacion. Verificar que se trata de un morfismode R−modulos es un aburrido ejercicio de comprobacion que recomendamos al lector parafamiliarizarse con el asunto, pero que omitimos or obvio. Ademas, si βI es la base de

⊕I R

usada en la primera parte de esta Demostracion, es claro que Φ(βI) = β. Como β es un sistemagenerador de M , usando la Proposicion precedente, conluimos que f es epimorfismo. Paraver que tenemos un monomorfismo tampoco hay ue hacer mucho esfuerzo. Supogamos quef ∈

⊕I R es un elemento del ker(Φ). Entonces,

0 = Φ(f) :=∑i∈J

f(i) = vi,

donde J ⊆ I es un cnjunto finito tal que f(i) = 0 para cada i ∈ I \ J . Pero, por ser β unafamilia libre de elemntos de M y por la identidad que acabamos de escribir (que es una sumafinita de mutiplos “escalares” de los elementos de β igualada a cero) concluiremos sin esfuerzoque f(j) = 0 para todo j ∈ J , con lo que f debe ser la aplicacion nula.

Observacion 1.4.21 (Modulos libres y morfismos). En la prueba de la Proposicion prece-dente ya se deja entrever una propiedad esencial de los morfismos que parten de los moduloslibres: para determinar un morfismo de R−modulos entre un modulo libre M y otro modulo Ncualquiera, basta con determinar una imagen de una base. Fijemos esa idea.

Proposicion 1.4.22 (Propiedades basicas de los modulos libres). Se tienen las siguientespropiedades:

i) Sean M y N dos R−modulos y supongamos que M es un R−modulo libre. Sea β =vi : i ∈ I una base de M como R−modulo libre. Sea ni : i ∈ I una familiacualquiera de elementos de N . Entonces, existe un unico mofrismo de R−modulosf ∈ HomR(M,N) tal que

f(vi) = ni, ∀i ∈ I.ii) Si M y N son dos R−modulos libres, fijadas unas bases β y β′ en M y N , las repre-

sentaciones (coordenadas en R) en la base β′ de las imagenes de los elementos de labase β determinan unıvocamente los morfismos de R−modulos entre M y N . En par-ticular, si M y N son R−modulos libres con bases finitas, el R−modulo HomR(M,N)es tambien un R−modulo libre.

iii) Sumas directas de R−modulos libres son libres. Es decir, dada una familia Mi : i ∈I una familia cualquiera de R−modulos libres (con I conjunto de cualquier cardinal),entonces, el siguiente es un R−modulo libre:

⊕i∈IMi.

54 1. PRE-ALGEBRA

iv) Producto cartesianos finitos de R−modulos libres es un R−modulo libre. Es decir, siM1, . . . ,Mr es una familia finita de R−modulos libres, el producto

∏ri=1Mi es un

R−modulo libre.

Demostracion. Las afirmaciones son esencialmente de mera verificacion. Las proponemoscomo Problema.

Definicion 33 (R−modulos libres (de rango finito)). Se denomina R−modulo libre derango finito a todo R−modulo M que posee una base β de cardinal finito. Diremos R−modulolibre de rango igual all cardinal de β, es decir ](β)4.

Ejemplo 1.4.23 (Ejemplos de modulos libres de rango finito). Los siguientes son ejem-plos de R−m‘odulos libres y no libres:

i) Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K son modulos libres, al rango se le llamadimension y esta determinado de forma unıvoca.

ii) Los anillos son modulos libres sobre sı mismos de rango acotado por 1.iii) Los conjuntos de matricesMn×m(R) tienen una estructura natural de R−modulo libre

de rango acotado por nm.iv) Los polinomios homogeneos de grado fijado con coeficientes en R (el conjunto Hd(X1, . . . , Xn))

tendremos un R−modulo libre de rango acotado por(d+ n− 1

n− 1

).

v) Los grupos abelianos finitos no son nunca Z−modulos libres. En particular, no sonZ−modulos libres los de la forma:

G :=

r∏i=1

(Z/piZ) ,

con pi ∈ Z no nulos.

Proposicion 1.4.24. Todo R−modulo finitamente generado es el cociente de un R−modulolibre de rango finito por uno de sus submodulos. En particular, todo grupo abeliano finitamentegenerado es de la forma (i.e. isomorfo) a un Z−modulo cociente del tipo Zn/N , donde N es unsubgrupo de Zn. No es cierto, en general, que todo R−modulo finitamente generado sea libre.

Demostracion. Para probar la afirmacion positiva, consideremoses M un R−modulo fini-tamente generado. Sea X := m1, . . . ,mr un conjunto de generadores de M . ConsideremosF := Rr = Ap(1, . . . , r, R). Notese que F es un R−modulo libre de rango finito. Considere-mos la correspondencia siguiente:

Φ : F −→ M(x1, . . . , xr) 7−→

∑ri=1 ximi.

Es claro que Φ es una aplicacion y es un ejercicio de comprobacion el verificar que es unepimorfismo de R−modulos. Mientras que los ejemplos de Z−modulos con torsion son buenosejemplos de modulos finitamente generados que no son libres. Por ejemplo los siguientes:

Z/2Z× Z/3Z,

no pueden ser Z−modulos libres porque son de cardinal finito y el unico Z−modulo libre decardinal finito es (0).

Observacion 1.4.25 (Modulos libres de rango finito y matrices). Sean M y N dosR−modulos libres de rangos respectivos m y n. Supongamos β := α1, . . . , αm una base de

4Nos permitimos una licencia que resolveremos mas adelante en el curso: hablamos del rango como el

cardinal de una base, pero no hemos probado aun que dos bases de un R−modulo libre tengan que tener elmismo cardial. Lo haremos en el Capıtulo siguiente (Subseccion 2.2.2) con poco esfuerzo adicional, pero nospermitimos esa licencia literaria para poder habar con comodidad en los terminos de las ideas que siguen a esta

Definicion.


M y β′ = ω1, . . . , ωn una base de N . Consideremos una matrix

M :=

a1,1 a1,2 · · · a1,m

a2,1 a2,2 · · · a2,m

.... . .

...an,1 an,2 · · · an,m

∈Mn×m(R).

Entonces, existe un unico morfismo de R−modulos f : M −→ N tal que

f(αi) := a1,jω1 + · · ·+ an,jωn.

De hecho, ese unico morfismo toma la forma

f(

m∑i=1

xiαi) =

n∑j=1

yjωj ,

si y solamente si a1,1 a1,2 · · · a1,m

a2,1 a2,2 · · · a2,m

.... . .

...an,1 an,2 · · · an,m

x1

x2

...xm

=

y1

y2

...yn

.

Proposicion 1.4.26 (Matrices y morfismos entre modulos libres de rango finito). SeanM y N dos R−modulos con bases respectivas β y β′ de respectivos cardinales m y n. Entonces,existe un isomorfismo de R−modulos

Φ :Mn×m(R) −→ HomR(M,N).

Para cada f ∈ HomR(M,N), la matriz Φ−1(f) = A ∈ Mn×m(R) se la denomina matriz de fen las bases β y β′.

Demostracion. Es casi obvio desde la observacion precedente y lo dejamos como ejercicio.Debe tenerse en cuenta que no hemos demostrado la unicidad del rango, aspecto este quedejaremos para el Capıtulo siguiente.

1.4.3. Teoremas de Isomorfıa.

Teorema 1.4.27 (Primer Teorema de Isomorfıa). Dado f : M −→ N un morfismo deR−modulos, f induce un isomorfismo

f : M/ ker(f) −→ Im(f) ⊆ N,

dado mediante f(m+ ker(f)) = f(m).

Demostracion. Es la misma demostracion de lo hecho para grupos en el Problema ??.

Teorema 1.4.28 (Otros Teoremas de Isomorfıa). Se verifican los siguientes resultados:

i) Segundo Teorema de Isomorfıa para Modulos: Sean N ⊆M ⊆ L R−modulos, entoncesse tiene un isomorfismo

(L/N)/(M/N)∼= L/M.

ii) Tercer Teorema de Isomorfıa para Modulos: Dados M1 y M2 submodulos de unR−modulo M , se tiene el isomorfismo canonico:

(M1 +M2) /M1∼= M2/ (M1 ∩M2) .

Demostracion. Para la primera afirmacion, consideremos la siguiente correspondencia:

π : (L/N) −→ (L/M)x+N 7−→ x+M.

Veamos, en primer lugar, que π es una aplicacion. Para ello, sean x, y ∈ L tales que x + N =y + N , es decir, x − y ∈ N . Pero, como N ⊆ M , se tiene tambien x − y ∈ M . Por tanto, ladefinicion de π no depende del representane elegido de una clase (i.e. π(x+N) = π(y +N) en

56 1. PRE-ALGEBRA

el caso expuesto) y se tiene que π es aplicacion. Para ver que es morfismo de R−modulos bastacon observar que se verifican las siguientes propiedades ∀x, y ∈ L y ∀λ ∈ R:

π((x+N)+(y+N)) = π((x+y)+N) = (x+y)+M = (x+M)+(y+M) = π(x+N)+π(y+N),

π(λ(x+N)) = π((λx) +N)) = (λx) +M = λ(x+M) = λπ(x+N).

Para ver que π es un epimorfismo (i.e. suprayectiva) baste con observar que

∀x+M ∈ (L/M),∃(x+N) ∈ (L/N), π(x+N) = x+M.

En cuanto a la inyectividad, basta con verificar la siguiente ingualdad:

ker(π) = y +N ∈ (L/N) : π(y +N) = y +M = 0 +M = y +N : y ∈M = (M/N).

Aplicando el Primer Teorema de Isomorfıa (Teorema ??) concluiremos

(L/N)/(M/N) =(L/N) /ker(π)∼= Im(π) = (L/M).

Para el Tercer Teorema de Isomorfıa consideremos los morfismos siguientes:

ι : M2 −→ M1 +M2, π : M1 +M2 −→ (M1 +M2)/M1

x 7−→ x z 7−→ z +M1,

donde ι es la inclusion canonica y π es la proyeccion canonica sobre el modulo cociente. Con-sideremos el morfismo φ := π ι dado por la composicion de ι y π. Probaremos las siguientespropiedades:

• φ es un epimorfismo• ker(φ) = M1 ∩M2.

Para ver que φ e suprayectiva, consideremos un elemento z + M1 ∈ (M1 + M2)/M1. Comoz ∈M1 +M2, han de existir x ∈M1 e y ∈M2 tales que z = x+ y. Entonces, notese que

z +M1 = (x+ y) +M1 = y +M1 = π(y) = π(ι(y)) = φ(y) ∈ Im(φ),

y habremos probado que φ es suprayectiva. En cuanto al nucleo, sea x ∈ M2 tal que φ(x) =0 +M1 ∈ (M1 +M1)/M1. Se tiene que

φ(x) = x+M1 = 0 +M1 ⇐⇒ x ∈M1.

Por tanto, x ∈ ker(φ) si y solamente si x ∈ M1 ∩M2. De nuevo, aplicando el Primer Teoremade Isomorfıa concluimos

M2/ ker(φ) = M2/ (M1 ∩M2) ∼= Im(φ) = (M1 +M2) /M1.

Proposicion 1.4.29 (Ideales y Submodulos del Cociente). Dentro de la prueba de losTeoremas de Isomorfıa, tendremos las siguientes propiedades:

i) Los ideales del anillo cociente R/a son de la forma b/a, donde b es un ideal de R quecontiene al ideal a.

ii) Los submodulos del modulo cociente M/N son de la forma L/N , donde L es unsubmodulo de M que contiene al submodulo N .

Ademas esa relacion es biyectiva y preserva el orden.

Demostracion. Aunque las afirmaciones son evidentes, veamos en detalle las relaciones:

• En el caso de anillos. Sea a ⊆/ R un ideal en el anillo R. Por ser ideal R/a poseeuna estructura natural de anillo ya discutida anteriormente. Tenemos, ademas, unepi–morfismo de anillos dado por la proyeccion canonica:

π : R −→ R/ax 7−→ x+ a.

Para un ideal b de R, uno puede observar que la imagen por π de b es dada por:

π(b) := x+ a : x ∈ b.

Es facil observar que π(b) = π(b + a) y que b + a es un ideal de R que contiene a a.Por eso, si b es un ideal de R que contiene a a, entonces, π(b) es un ideal de R/a que


denotaremos mediante b/a.De otro lado, para un ideal i de R/a, la anti–imagen por π es dada por

π−1(i) = x ∈ R : x+ a ∈ i.

Por lo visto anteriormente, π−1(i) es ideal en R y dado que 0 + a ∈ i, uno concluyeque a ⊆ π−1(i).Con estas observaciones, es claro que la siguiente define una biyeccion entre ideales:

b ⊆ R : b ⊇ a, b es ideal −→ i ⊆ R/a : i es idealb 7−→ π(b) = b/a,

cuya inversa es dada por i 7−→ π−1(i).• En el caso de R−modulos. Se trata esencialmente del mismo tipo de argumento. SeaNsubseteqM un submodulo del R−modulo M . El cociente M/N posee una estructuranatural de R−modulo anillo ya discutida. Tenemos, ademas, un epi–morfismo deR−modulos dado por la proyeccion canonica:

π : M −→ M/Nx 7−→ x+N.

Para un Submodulo L de M , uno puede observar que la imagen por π de L es dadapor:

π(L) := x+N : x ∈ L.

Es facil observar que π(L) = π(L + N) y que L + N es un submodulo de M quecontiene a N . Por eso, si L es un submodulo de M que contiene a N , entonces, π(L)es un submodulo de M/N que denotaremos mediante L/N .De otro lado, para un submodulo K de M/N , la anti–imagen por π es dada por

π−1(K) = x ∈M : x+N ∈ K.

Por lo visto anteriormente, π−1(K) es submodulo de M y dado que 0 + N ∈ K, unoconcluye que N ⊆ π−1(K).Con estas observaciones, es, de nuevo, claro que la siguiente define una biyeccion entresubmodulos:

L submodulo de M : L ⊇ N −→ K submodulo de M/NL 7−→ π(L) = L/N,

cuya inversa es dada por K 7−→ π−1(K).


Problema 48. Probad la siguiente variante del algoritmo de la division de Euclides:Dados a, b ∈ N dos enteros positivos no nulos, existe q, r ∈ Z tales que:

i) a = qb+ r,ii) 0 ≤ |r| ≤ b/2.

Problema 49 (Morfismos de anillos y estructuras de anillos como R−modulos).Se trata de probar que para dos anillos R y B, Los morfismos de anillos entre R y B y lasestructuras de R−modulo de B est’an identificadas. Definamos los siguientes conjuntos:

i) El conjunto de todos los morfismos de anillo entre R y B:

M orf(R,B) := f : R −→ B : h es morfismo de anillos.

ii) El conjunto de todas las posibles estructuras de R−modulo sobre B:

R−M od(B) := ∗R : R×B −→ B : B es R−modulo con la operacion ∗R.

58 1. PRE-ALGEBRA

Definamos la transformacion:

Φ : M orf(R,B) −→ R−M od(R,B)f 7−→ ∗f ,

donde ∗f es la operacion definida por la Identidad (49) de la lista de ejemplos dada en Ejemplo1.4.1. Pruebese que Π es una biyeccion entre esos dos conjuntos y, por tanto, que morfismosdentre anillos R y B es lo mismo que considerar estruturas de R−modulo sobre B. Las nota-ciones M orf(R,B) y R−M od(B) no se volveran a usar y solo sirven para clarificar la nocionde R−algebra.

Problema 50 (Subespacios invariantes de un endomorfismo). Sea V un espacio vectorialde dimension finita sobre un cuerpo K y sea f : V −→ V un endomorfismo. Consideremos laestructura de K[X]−modulo inducida en V por el enfomorfismo f : (V,+, ·K[X]). Recuerdeseque un subespacio vectorial W de V se dice f−invariante sii f(W ) ⊆ W . Pruebese que sonequivalentes para cada subespacio W de V :

i) El subespacio W es f−invariante.ii) W es un submodulo de V visto como K[X]−modulo.

Problema 51. Probar la Proposicion 1.4.19.

Problema 52. Sea R un anillo, a un ideal de R y M un R−odulo. Sea aM el submodulo pro-ducto de a por M . Sea M/aM el R−modulo cociente. Probad que la siguiente correspondencia:

·R/a : (R/a)× (M/aM) −→ (M/aM)(x+ a,m+ aM) 7−→ xm+ aM,

define una estructura de R/a−modulo sobre M/aM .

Problema 53. Consideremos el ideal a := 3Z del anillo Z y el Z−modulo M = Z6. Probadque el Z/3Z−modulo M/aM es el espacio vectorial sobre Z/3Z dado como (Z/3Z)6.

Problema 54 (Caracterizacion del producto mediante propiedad universal). Probadque el producto de R−modulos verifica la siguiente propiedad universal:Sea Mi : i ∈ I una familia de R−modulos. Para cada i ∈ I, sea πi :

∏i∈IMi −→ Mi la

proyeccion canonica. Entonces, el par (∏i∈IMi, πi : i ∈ I) verifica que

Dado cualquier otro par (N, ϕi : N −→ Mi : i ∈ I), donde N es un R−modulo yϕi ∈ HomR(N,Mi) para cada i ∈ I, entonces existe un unico morfismo de R−modulosf ∈ HomR(N,

∏i∈IMi) tal que

πi f = ϕi, ∀i ∈ I.Probad que la anterior propiedad caracteriza de manera unica (salvo isomorfismo) a

∏i∈IMi.

Problema 55 (Caracterizacion del co-producto mediante propiedad universal). Probadque el co-producto de R−modulos verifica la siguiente propiedad universal:Sea Mi : i ∈ I una familia de R−modulos. Para cada i ∈ I, sea λi : Mi →

∐i∈IMi la

inmersion canonica. Entonces, El par (∐i∈IMi, λi : i ∈ I) verifica que

Dado cualquier otro par (N, ϕi : Mi −→ N : i ∈ I), donde N es un R−modulo yϕi ∈ HomR(Mi, N) para cada i ∈ I, entonces existe un unico morfismo de R−modulosf ∈ HomR(

∐i∈IMi, N) tal que

f λi = ϕi, ∀i ∈ I.Prueba que la anterior propiedad caracteriza de manera unica (salvo isomorfismo) a

∐i∈IMi.

Cuando se hablar de R−modulos, la notacion del co-producto∐

se reemplaza por⊕

y sedenomina suma directa. En este curso, por tanto, escribiremos:⊕

i∈IMi :=

∐i∈I

Mi.

Problema 56. Prueba las dos primeras afirmaciones de la Proposicion 1.4.22.

Problema 57. Prueba las dos ultimas afirmaciones de la Proposicion 1.4.22. En particular,prueba los siguientes hechos:


i) Probad que si Mi : i ∈ I es una familia cualquiera de R−modulos libres, elco-producto o suma directa ⊕i∈IMi tambies es un R−modulo libre. En particular,muestra como construir una base de ⊕i∈IMi a partir de una familia βi : i ∈ I detal modo que βi es base de Mi.

ii) Probad que si M1, . . . ,Mr es una familia cualquiera de R−modulos libres, el pro-ducto cartesiano

∏ri=1Mi tambies es un R−modulo libre. En particular, muestra

como construir una base de∏ri=1Mi a partir de una familia βi : 1 ≤ i ≤ r de tal

modo que βi es base de Mi.iii) Discute si el producto

∏i∈IMi de una familia cualquiera de R−modulos libres Mi :

i ∈ I es R−modulo libre. (Hint: pensar en el anillo de series de potencials formalesZ[[X]] = ZN =

∏N Z. 5.)

Problema 58. Probad las afirmaciones de la Proposicion 1.4.26.

Problema 59. Sea f : S −→ R un morfismo de anillos. Probad que si (M,+, ·R) es unR−modulo, la siguiente operacion “externa”:

·S : S ×M −→ M(s,m) 7−→ f(s) ·RM

define una estructura de S−modulo sobre M .Dados M y N dos R−modulos y dado ϕ : M −→ N un morfismo de R−modulos entre My N (i.e. ϕ ∈ HomR(M,N)), pruebese que, entonces, ϕ ∈ HomS(M,N), donde suponemosen M y en N las respectivas estructuras de S−modulos definidas por el morfismo de anillosf : S −→ R. En particular, se define un monomorfismo de grupos y S−modulos

HomR(M,N) −→ HomS(M,N).

Verifica esta ultima afirmacion.

Problema 60. Sea N un R−modulo y X un conjunto. Consideremos el conjunto Ap(X,N) =NX y las operacion suma que hace de el un grupo abeliano (NX ,+). Probad que la siguientees una operacion externa:

·R : R×NX −→ NX

(λ, σ) 7−→ λσ : X −→ N,

dondeλσ : X −→ N

x 7−→ λ ·R σ(x).

Probad adicionalmente que

i) (NX ,+, ·R) es un R−modulo.ii) Para cada R−modulo libre M , de base X, y para cada R−modulo N cualquiera, los

siguientes R−modulos son isomorfos:

HomR(⊕X

R,N) ∼= NX .

Problema 61. Sean X e Y dos conjuntos del mismo cardinal (i.e. dos conjuntos biyectables).Pruebese que, entonces, los R−m’odulos RX y RY son isomorfos. Pruebese tambiens que, bajoslas mismas hipotesis, los R−modulos

⊕X R y

⊕Y R tambien son isomorfos. Discutase si el

recıproco es cierto en alguno de los casos.

Problema 62. Si M y N son dos R−modulos libres (de rango finito o infinito), entoncesHomR(M,N) es tambien un R−modulo libre de rango finito. Pruebese.

Problema 63. Pruebese la Ley Modular para submodulos de un R−modulo. Pruebese tambienque si a es un ideal de un anillo R y N1, N2 son dos submodulos de un R−modulo M , entoncesse verifica la distributiva siguiente:

a (N1 +N2) = aN1 + aN2.

5Buscar en la web si se resiste......

60 1. PRE-ALGEBRA

Problema 64 (La filtracion p−adica sobre un anillo R). En este problema estudiaremosla metrica definida en un anillo R, mediante la filtracion p−adica definida por un ideal p sobreR. Esta filtracion viene dada por la cadena descende de ideales de R siguiente:

R ⊇ p ⊇ p2 ⊇ p3 ⊇ · · · ⊇ pn ⊇ · · ·i) Probad que la siguiente es una topologıa sobre R:

T := U ⊆ R : ∀x ∈ U,∃n ∈ N, x+ pn ⊆ U,donde x+ pn := x+ y : y ∈ pn.

ii) Probad que en el espacio topologio (R,T ) las siguientes son aplicaciones continuas:

− : R×R −→ R(a, b) 7−→ a+ (−b).

× : R×R −→ R(a, b) 7−→ a · b.

iii) Probad que la siguiente es una base de entornos de 0 ∈ R para la topologıa T :

pn : n ∈ N.Probad, asimismo, que la siguiente es una base de entornos de cualquier punto x ∈ R:

x+ pn : n ∈ N.iv) Supongamos que la filtracion p−adica verifica la siguiente propiedad:⋂

n∈Npn = (0).

Probad que la siguiente funcion (llamada la funcion de orden de un punto x ∈ R conrespecto a la filtracion p−adica) esta bien definida:

ordp : R −→ R ∪ +∞x 7−→ ordp(x) := maxk ∈ N : x ∈ pk,

donde se sobre-entiende que ordp(0) = +∞.v) Con las mismas hipotesis del ıtem anterior, probad que la siguiente aplicacion esta

bien definida:| · |p : R −→ R

x 7−→ |x|p := 1eordp(x) ,

donde se sobre-entiende que |0|p = 0 y e ∈ R es una constante e > 1 fija. Probadque esta apicacion, llamada valor absoluto p−adico sobre R, satisface las propiedadessiguientes:• Es positiva: |x|p ≥ 0, ∀x ∈ R,• Solo se anula en x = 0, es decir |x|p = 0⇐⇒ x = 0.• Se porta bien para el producto en el anillo R:

∀x, y ∈ R, |x · y|p ≤ |x|p|y|p.• Verifica la desigualdad triangular fuerte sobre R, es decir,

∀x, y ∈ R, |x+ y|p ≤ max|x|p, |y|p.Se dice que | · |p es un valor absoluto no arquimediano sobre R.

vi) Concluid que la toplogıa definida por la filtracion p−adica sobre R (con la hipotesis∩n∈Npn = (0)) es metrizable. Es decir, hay que probar que la siguiente es una metrica(i.e. distancia) sobre R:

distp : R×R −→ R ∪ +∞(x, y) 7−→ distp(x, y) := |x− y|p.

Probad que si Bp(x, ε) es la bola cerrada de centro x ∈ R y radio ε > 0 sobre R conrespecto a la distancia distp, entonces,

Bp(x,1

en) = x+ pn.

Concluir que la topologıa definida por la metrica distp coincide con la topologıa Tdescrita anteriormente.


Problema 65 (Las metricas p−adicas sobre Q). Consideremos el anillo Z y el ideal p := pZ,definido por un elemento primo p ∈ N, p 6= 0. Denotemos por ordp a la funcion de orden ordp

definda por el ideal p y para cada x ∈ Z, denotemos mediante | · |p el valor absoluto p−adicosobre Z definido mediante la igualdad siguiente:

|x|p :=1

pordp(x).

Extendamos esta metrica al cuerpo Q mediante:

| · |p : Q −→ Rxy 7−→ |xy |p :=

|x|p|y|p .

Se pide probar las afirmaciones siguientes:

i) La funcion | · |p esta bien definida y es un valor absoluto no arquimediano sobre Q,esto es, verifica las siguientes propiedades:• Es positiva: |x|p ≥ 0, ∀x ∈ R,• Solo se anula en x = 0, es decir |x|p = 0⇐⇒ x = 0.• Se porta bien para el producto en el anillo R:

∀x, y ∈ R, |x · y|p = |x|p|y|p.• Verifica la desigualdad triangular fuerte sobre R, es decir,

∀x, y ∈ R, |x+ y|p ≤ max|x|p, |y|p.ii) La funcion distancia que induce es una metrica sobre Q. Es decir, la siguiente funcion

es una metrica sobre Q:

distp : R×R −→ R ∪ +∞(x, y) 7−→ distp(x, y) := |x− y|p.

Probad, asimismo, que si Bp(x, ε) es la bola cerrada de centro x ∈ Q y radio ε > 0sobre Q con respecto a la distancia distp, entonces,

Bp(0, 1) = ZpZ := ab∈ Q : p - b.

Probad que esta bola es un subanillo del cuerpo de numeros racionales (llamado local-izacion de Z en pZ. Conlcuir que los siguientes son ideales en ZpZ y hallar generadores:

Bp(0,1

pn).

Concluir que la cadena de bolas siguiente:

Bp(0, 1) ⊇ Bp(0,1

pn) ⊇ · · · ⊇ Bp(0,

1

pn) ⊇ · · ·

es una filtracion q−adica sobre ZpZ y detectar el ideal.iii) Formula del producto de Weil: Denotemos mediante | · ·0 : Q −→ R, el valor absoluto

usual sobre Q. Probad la siguiente igualdad, conocida como formula del producto deWeil,: ∏

p∈N, p ≥ 1 es primo

|x|p

|x|0 = 1, ∀x ∈ Q.

Notese que hay que probar que este producto es finito antes de poder probar la igualdad.iv) Buscad en internet referencias relativas al completado del espacio metrico (Q,distp),

conocido como cuerpo de los numeros p−adicos Qp.

Problema 66. Sea K un cuerpo, K[[X]] el anillo de series de potencias formales y m := (X)el ideal generado por la serie X. Consideremos la filtracion m−adica sobre K[[X]] y sean ord0 y| · |X respectivamente las funciones de orden y el valor absoluto definidos por este ideal m = (X).Pruebese que, efectivamente la funcion de orden y el valor absoluto estan bien definidos yverifican las propiedades adecuadas6. Sea distX la distancia asociada al valor absoluto | · |X .Probar la equivalencia entre las siguientes propiedades para cualesquiera series f, g ∈ K[[X]]:

6Por lo visto en problemas anteriores, basta con ver que ∩∞n=0mn = (0) en K[[X]]

62 1. PRE-ALGEBRA

i) ord0(f − g) ≥ k,ii) |f − g|X ≤ 1

ek,

iii) distX(f, g) ≤ 1ek

,iv) Si las siguientes son las expensiones como series de Taylor de f y g:

f :=

∞∑i=0

aiXi, g=

∞∑i=0

biXi,

Entonces, ai = bi, para todo i ∈ N. 0 ≤ i ≤ k.

Reflexionad sobre la relacion entre esta nocion de orden ord0 y la introducida en el curso devariable compleja (orden como cero de f − g). Reflexionad sobre el significado de la metricam−adica en K[[X]].

1.5. Determinante, Teorema de Hamilton-Cayley

En esta Seccion recordaremos algunas propiedades basicas del determinante de matrices concoordenadss en un cuerpo.

Definicion 34 (Determinante). Sea R un cuerpo y seaMn(R) el R−modulo de las matricesn× n con coordenadas en R. Definimos la funcion determinante del modo siguiente:

det : Mn(R) −→ RA := (ai,j)1≤i,j≤n 7−→

∑σ∈Sn

I(σ)∏ni=1 ai,σ(i).

Sean i, j ∈ In y consideremos el conjunto de las permutaciones que transforman i en j, es decir,

Sn(i, j) = σ ∈ Sn : σ(i) = j.Estudiaremos estos conjuntos que definen una particion de Sn como union disjunta dada delmodo siguiente para cada i ∈ In:

Sn =

n⋃j=1

Sn(i, j).

Consideremos ahora i ∈ In y consideremos la siguiente permutacion τi,n ∈ Sn:

τi,n : In −→ In,

dad mediante:

τi,n(r) :=

r, si 1 ≤ r ≤ i− 1n, si r = i

r − 1, si i+ 1 ≤ r ≤ nObservamos que τi,n ∈ Sn(i, n) y, ademas, viene dada como una composicion de transposiciones:

τi,n = (n n− 1) (n− 1 n− 2) · · · (i+ 2 i+ 1) (i+ 1 i).

En particular, el ındice de τi,n satisface

I(τi,n) = (−1)n−i

.

Lema 1.5.1. Con las anteriores notaciones, la siguiente es una biyeccion para cualesquieraındices i, j ∈ In:

φi,j : Sn(n, n) −→ Sn(i, j)σ 7−→ τ−1

j,n σ τi,n.Mas aun, para cada σ el ındice de φ(σ) satisface:

I(φi,j(σ)) = (−1)2n−(i+j)

I(σ).

Demostracion. La igualdad entre los ındices se sigue, obviamente, del valor de los ındicesde τi,n y τj,n. Es decir, por ser morfismo de grupos, el ındice satisface:

I(φi,j(σ)) = I(τ−1j,n )I(σ)I(τi,n) = I(τj,n)I(σ)I(τi,n) = (−1)

2n−(i+j)I(σ).

En cuanto al hecho de ser una biyeccion, baste con observar, en primer lugar, que para todoσ ∈ Sn(n, n), φi,j(σ) ∈ Sn(i, j). Pero esto es claro, dado que:

φi,j(σ)(i) = τ−1j,n (σ(τi,n(i))) = τ−1

j,n (σ(n)) = τ−1j,n (n) = j.

1.5. DETERMINANTE, TEOREMA DE HAMILTON-CAYLEY 63

De otro lado, podemos definir la aplicacion:

ψi,j : Sn(i, j) −→ Sn(n, n)σ 7−→ τj,n σ τ−1

i,n .

Es facil verificar que

φi,j ψi,j = IdSn(i,j), ψi,j φi,j = IdSn(n,n).

Por tanto, φi,j es una aplicacion que posee inversa y la inversa satisface φ−1i,j = ψi,j y es, por

tanto, biyectiva.

Lema 1.5.2. Con las anteriores notaciones, la siguiente aplicacion es una biyeccion:

Φ : Sn(n, n) −→ Sn−1

σ 7−→ σ |In−1,

donde σ |In−1es la restriccion de σ a In−1 = 1, 2, . . . , n− 1. Notese que, ademas, los ındices

satisfacen:

I(Φ(σ)) = I(σ), ∀σ ∈ Sn.

Demostracion. Lo primero que hay que observar es que Φ esta bien definida. Es decir,que la restriccion σ |In−1 es un elemento de Sn−1. Esto es obvio porque σ ∈ Sn(n, n). Portanto, para todo r ∈ In−1, σ(r) 6= n y, por tanto, σ(r) ∈ In−1, luego se tiene una aplicacioninyectiva:

σ |In−1: In−1 −→ In−1.

Por ser inyectiva y ser In−1 de cardinal finito, concluimos que σ |In−1es biyectiva y σ |In−1

∈Sn−1. Que la aplicacion Φ es inyectiva se sigue obviamente de su defincion. Es decir, dadasσ, σ′ ∈ Sn(n, n), si Φ(σ) = Φ(σ′), entonces,

σ(r) = σ |In−1 (r) = σ′ |In−1 (r) = σ′(r),∀r ∈ 1, . . . , n− 1.Como, ademas, σ(n) = n y σ′(n) = n (porque ambas estan en Sn(n, n)), concluimos que σ = σ′

y que Φ es inyectiva. No es difıcil verificar que la siguiente aplicacion es la inversa de Φ:

Φ−1 : Sn−1 −→ Sn(n, n)σ 7−→ σ,

donde

σ(r) =

σ(r), si 1 ≤ r ≤ n− 1,n, si r = n

En cuanto a la relacion entre los ındices, observese que si τ ∈ Sn−1 es una transposicion, en-tonces τ ∈ Sn es tambien una transposicion. Ademas, si σ ∈ Sn−1 admite una descomposicioncomo composicion de transposiciones:

σ = τ1 τ2 · · · τr,tenemos que

I(σ) = (−1)r,

mientras que

σ = τ1 τ2 · · · τr,es tambien una descomposicion de σ como composicion de transposiciones, por lo que

I(σ) = (−1)r,

y se tiene la afirmacion buscada.

Notacion 1.5.3. Sea A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(R). Para cada par de ındices definimos lasiguiente submatriz:

Ai,j := (bk,`)1≤k,`≤n−1 ∈Mn−1(R),

definida mediante:

bk,` :=

ak,`, si 1 ≤ k ≤ i− 1 y 1 ≤ ` ≤ j − 1ak−1,`, si i+ 1 ≤ k ≤ n y 1 ≤ ` ≤ j − 1ak,`−1, si 1 ≤ k ≤ i− 1 y j + 1 ≤ ` ≤ nak−1,`−1, si i+ 1 ≤ k ≤ n y j + 1 ≤ ` ≤ n

64 1. PRE-ALGEBRA

Notese que la matrix Ai,j es la matrix obtenida a partir de la matrix A, suprimiendo las filas iy j y reordenando los ındices.

Teorema 1.5.4 (Formula de Laplace). Con las anteriores notaciones, sea A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈Mn(R) una matriz cuadrada con coordenadas en el anillo R. Entonces, para cada i, 1 ≤ i ≤ n,tenemos:

det(A) :=

n∑j=1

ai,j (−1)i+j

det(Ai,j),

donde Ai,j ∈Mn−1(R) es la matriz obtenida suprimiendo las filas i y j de la matriz A.

Demostracion. Comencemos con la descripcion del determinante mediante la formulainicial:

det(A) =∑σ∈Sn

I(σ)

n∏k=1

ak,σ(k).

Usamos la decomposicipn de Sn siguiente, valida para cada ındice i:

Sn =

n⋃j=1

Sn(i, j).

Esto nos da una descripcion del sumatorio anteror mediante:

det(A) =

n∑j=1

∑σ∈Sn(i,j)

I(σ)

n∏k=1

ak,σ(k)

.

Pero si σ ∈ Sn(i, j), tenemos que ai,σ(i) = ai,j , lo que nos permite escribir este sumatoriomediante:

det(A) =

n∑j=1

ai,j

∑σ∈Sn(i,j)

I(σ)

n∏k=1,k 6=i

ak,σ(k)

.

Ahora consideremos la biyeccion:

φi,j : Sn(n, n) −→ Sn(i, j).

Entonces,

ai,j

∑σ∈Sn(i,j)

I(σ)

n∏k=1,k 6=i

ak,σ(k)

= ai,j

∑σ∈Sn(n,n)

I(φi,j(σ))

n∏k=1,k 6=i

ak,φi,j(σ)(k)

.

Pero I(φ−1i,j (σ)) = (−1)

i+jI(σ), con lo que tenemos:

ai,j

∑σ∈Sn(i,j)

I(σ)

n∏k=1,k 6=i

ak,σ(k)

= (−1)i+j

ai,j

∑σ∈Sn(n,n)

I(σ)

n∏k=1,k 6=i

ak,φi,j(σ)(k)

.

Consideremos, para σ ∈ Sn(n, n) el producto siguiente:

n∏k=1,k 6=i

ak,τ(k),

donde τ ∈ Sn(i, j) es dada mediante

τ = φi,j(σ) = τ−1j,n σ τi,n.

Consideremos la restriccion σ′ := σ |In−1= Φ(σ) = Φ(φ−1

i,j (τ)) ∈ Sn−1. Entonces, se tiene lasiguiente igualdad:

n∏k=1,k 6=i

ak,τ(k) =

n−1∏t=1

bt,σ′(t),

donde Ai,j = (bk,`)1≤k,`≤n−1 es la submatriz obtenida de A suprimiendo la fila i y la columnaj como en la notacion anterior. Para verificar esta igualdad iremos caso por caso probando queambas expresiones contienen los mismo factores.


• Caso I: Supongamos 1 ≤ t ≤ i− 1 y 1 ≤ σ′(t) ≤ j − 1. En este caso

bt,σ′(t) = at,σ′(t) = at,σ(t).

Pero, ademas, τ(t) = τ−1j,n (σ(τi,n(t))), como 1 ≤ t ≤ i − 1m tendremos τi,n(t) = t

y tendremos τ(t) = τ−1j,n (σ(t)). Pero como σ(t) ≤ j − 1, concluimos τ(t) = σ(t) y

tendremos:

bt,σ′(t) = at,σ′(t) = at,σ(t) = at,τ(t).

• Caso II: Supongamos 1 ≤ t ≤ i− 1 y j ≤ σ′(t) ≤ n− 1. En este caso

bt,σ′(t) = at,σ′(t)+1 = at,σ(t)+1.

Pero, ademas, τ(t) = τ−1j,n (σ(τi,n(t))), como 1 ≤ t ≤ i − 1 tendremos τi,n(t) = t 6= n

y tendremos τ(t) = τ−1j,n (σ(t)). Pero como j ≤ σ(t) ≤ n − 1, concluimos τ(t) =

τ−1j,n (σ(t)) = σ(t) + 1 y tendremos:

bt,σ′(t) = at,σ′(t)+1 = at,σ(t)+1 = at,τ(t).

• Caso III: Supongamos i ≤ t ≤ n− 1 y 1 ≤ σ′(t) ≤ j − 1. En este caso

bt,σ′(t) = at+1,σ′(t) = at+1,σ(t).

Pero, ademas, τ(t + 1) = τ−1j,n (σ(τi,n(t + 1))), como i ≤ t ≤ n − 1 tendremos i + 1 ≤

t+1 ≤ n y τi,n(t+1) = t y tendremos τ(t+1) = τ−1j,n (σ(t)). Pero como 1 ≤ σ(t) ≤ j−1,

concluimos τ(t+ 1) = τ−1j,n (σ(t)) = σ(t) y tendremos:

bt,σ′(t) = at+1,σ′(t) = at+1,σ(t) = at+1,τ(t+1).

• Caso IV: Supongamos i ≤ t ≤ n− 1 y j ≤ σ′(t) ≤ n− 1. En este caso

bt,σ′(t) = at+1,σ′(t)+1 = at+1,σ(t)+.

Pero, ademas, τ(t + 1) = τ−1j,n (σ(τi,n(t + 1))), como i ≤ t ≤ n − 1 tendremos i + 1 ≤

t+1 ≤ n y τi,n(t+1) = t y tendremos τ(t+1) = τ−1j,n (σ(t)). Pero como j ≤ σ(t) ≤ n−1,

concluimos τ(t+ 1) = τ−1j,n (σ(t)) = σ(t) + 1 y tendremos:

bt,σ′(t) = at+1,σ′(t)+1 = at+1,σ(t)+1 = at+1,τ(t+1).

En suma, estas identidades nos permiten concluir que:

ai,j

∑σ∈Sn(i,j)

I(σ)

n∏k=1,k 6=i

ak,σ(k)

= (−1)i+j

ai,j

∑σ∈Sn(n,n)

I(σ)

n−1∏t=1

bt,σ|In−1(t)

.

Como la aplicacion σ 7−→ σ |In−1define una biyeccion entre Sn(n, n) y Sn−1 que preserva los

ındices. Esto conduce a

ai,j

∑σ∈Sn(i,j)

I(σ)

n∏k=1,k 6=i

ak,σ(k)

= (−1)i+j

ai,j

∑σ′∈Sn−1

I(σ′)

n−1∏t=1

bt,σ′(t)

.

Es decir,

ai,j

∑σ∈Sn(i,j)

I(σ)

n∏k=1,k 6=i

ak,σ(k)

= (−1)i+j

ai,j det(Ai,j),

donde Ai,j es la matriz obtenida de A suprimiendo fila i y columna j. Con todo esto concluimos

det(A) =

n∑j=1

ai,j (−1)i+j

det(Ai,j),

y tenemos la formula de Laplace.

Definicion 35 (Transpuesta de una matriz). Llamaremos transpuesta de una matriz A ylo denotaremos mediante At a la matriz obtenida intercambiando filas por columnas en A.

Proposicion 1.5.5. Para cada matriz A ∈Mn(R), se tiene que det(A) = det(At).

66 1. PRE-ALGEBRA

Demostracion. Baste con notar que la siguiente es una biyeccion sobre el grupo simetrico:−1 : Sn −→ Sn

σ 7−→ σ−1,

donde σ−1 es la inversa de σ.

Proposicion 1.5.6. Si una matrix A ∈Mn(R) posee una fila (o una columna) identicamentecero, entonces det(A) = 0.

Demostracion. Basta con aplicar la formula de Laplace, bien por filas o bien por colum-nas (a traves de la transpuesta).

Definicion 36 (Matrix Adjunta de una dada). Sea A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈Mn(R). Se definela matriz adjunta de A como la matriz

Adj(A) := (ci,j)t1≤i,j≤n ∈Mn(R),

dondeci,j = (−1)

i+jdet(Ai,j).

Lema 1.5.7. Sea A una matriz con dos filas iguales, entonces det(A) = 0. Lo mismo sucede sidos columnas de A son iguales.

Demostracion. Queda como ejercicio.

Teorema 1.5.8 (Formula de Laplace Generalizada). Con las anteriores notaciones, paracada matriz A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈Mn(R), se tiene:

AAdj(A) = Adj(A) ·A = det(A)Idn ∈Mn(R),

donde Idn es la matriz identidad n× n.

Demostracion. Para probarlo, bastara con que escribamos las dos matrices:

A :=

a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,n

a2,1 a2,2 a2,3 · · · a2,n

a3,1 a3,2 a3,3 · · · a3,n

......

. . ....

an,1 an,2 an,3 · · · an,n

.

Por su parte, despues de transponer, tenemos

Adj(A) :=

(−1)1+1 det(A1,1) (−1)2+1 det(A2,1) (−1)3+1 det(A3,1) · · · (−1)n+1 det(An,1)(−1)1+2 det(A1,2) (−1)2+2 det(A2,2) (−1)3+2 det(A3,2) · · · (−1)n+2 det(An,2)(−1)1+3 det(A1,3) (−1)2+3 det(A2,3) (−1)3+3 det(A3,3) · · · (−1)n+3 det(An,3)

......

. . ....

(−1)1+n det(A1,n) (−1)2+n det(A2,n) (−1)3+n det(A3,n) · · · (−1)n+n det(An,n)

.

Al mutiplicar tendremos AAdj(A) = (di,j)1≤i,j≤n ∈Mn(R), donde

di,j =

n∑k=1

ai,k(−1)k+j det(Aj,k).

Ahora, si i = j, tenemos que

di,i =

n∑k=1

ai,k(−1)k+j det(Ai,k) = det(A),

conforme a la formula de Laplace. En el caso i 6= j, tendremos que

di,j =

n∑k=1

ai,k(−1)k+j det(Aj,k),

esta relacionado con el determinante de una matriz M obtenida del modo siguiente:

• La fila j−esima de M es la fila i−esima de A: (ai,1, ai,2, . . . , ai,n)• Las restantes filas de M son las filas de A.


Obviamente, las matrices Mj,k = Aj,k y, usando la formula de Laplace, obtenemos que

di,j =

n∑k=1

ai,k(−1)k+j det(Aj,k) = det(M) = 0,

porque M posee dos filas iguales: la fila i−esima y la fila j−esima. Por tanto, se tiene elresultado enunciado.

Corollario 1.5.9. Si A ∈ Mn(R) es una matriz tal que det(A) ∈ R∗ es una unidad de R,entonces, A es una matriz inversible y, ademas,

A−1 = det(A)−1Adj(A) ∈Mn(R).

Teorema 1.5.10 (Determinante del Producto de Matrices). Sean A,B ∈ Mn(R) dosmatrices, entonces

det(AB) = det(A) det(B).

Demostracion. Supongamos que las matrices A y B vienen dadas por la igualdad sigu-iente:

A := (ai,j)1≤i,j≤n, B := (bi,j)1≤i,j≤n.

Escribamos

AB := (ci,j)1≤i,j≤n,

donde

ci,j :=

n∑k=1

ai,kdk,j .

Con estas notaciones, tendremos:

det(AB) =∑σ∈Sn

I(σ)

n∏i=1

ci,σ(i) =∑σ∈Sn

I(σ)

n∏i=1

(n∑

ki=1

ai,kibki,σ(i)

).

Aplicando la distributiva, podemos reescribir esta expresion como:

det(AB) =∑σ∈Sn

∑(k1,...,kn)∈Inn

I(σ)

n∏i=1

(ai,kibki,σ(i)

) .

Lo que podemos reescribir tambien mediante:

det(AB) =∑

(k1,...,kn)∈Inn

( ∑σ∈Sn

I(σ)

n∏i=1

(ai,kibki,σ(i)

)).

Consideremos ahora un elemento cualquiera k := (k1, . . . , kn) ∈ Inn y definamos la matriz

Mk := (mt,`)1≤t,`≤n,

donde

mt,` = bkt,`.

Observese que, fijado k ∈ Inn , se tiene( ∑σ∈Sn

I(σ)

n∏i=1

(ai,kibki,σ(i)

))=

(n∏i=1

ai,ki

)( ∑σ∈Sn

I(σ)

n∏i=1

bki,σ(i)

)=

(n∏i=1

ai,ki

)det(Mk).

Por ello concluimos:

det(AB) =∑

(k1,...,kn)∈Inn

(n∏i=1

ai,ki

)det(Mk).

Consideremos el subconjunto Tn ⊆ Inn de las listas de ındices k = (k1, . . . , kn) tales que hay doslugares distintos i 6= j tales que ki = kj , esto es :

Tn := k = (k1, . . . , kn) ∈ Inn : ∃i, j, i 6= j, ki = kj.

68 1. PRE-ALGEBRA

Observese que si k = (k1, . . . , kn) ∈ Tn es tal que ki = kj con i 6= j, la matriz Mk tiene dos

filas iguales: las filas i y j de Mk son iguales. Por tanto, det(Mk) = 0 y tendremos que

∀k = (k1, . . . , kn) ∈ Tn,

( ∑σ∈Sn

I(σ)

n∏i=1

(ai,kibki,σ(i)

))= 0.

Por tanto, concluimos

det(AB) =∑

(k1,...,kn)∈Inn

(n∏i=1

ai,ki

)det(Mk) =

∑k=(k1,...,kn)∈Inn\Tn

(n∏i=1

ai,ki

)det(Mk).

Supongamos ahora k = (k1, . . . , kn) ∈ Inn \ Tn. Consideremos la aplicacion siguiente:

τk : In −→ Ini 7−→ ki.

Como k ∈ Inn \ Tn, tenemos que para todo par i, j, i 6= j, ki 6= kj . Por tanto,

τk(i) 6= τk(j), ∀i, j ∈ In, i 6= j.

Es decirm τk es una aplicacion inyectiva de In en sı mismo y como In es finito, concluiremos

que τk es una biyeccion. De hecho, hemos probado que tenemos una aplicacion

τ : Inn \ Tn −→ Sn

k 7−→ τk.

Es un ejercicio de mera comprobacion el observar que σ es una biyeccion. Mas aun, observeseque si k ∈ Inn \ Tn, la matriz Mk es la matriz B en la que hemos permutado las filas mediante

la permutacion τk. Podemos, pues conlcuir que:

det(Mk) = I(σk) det(B).

Luego

det(Mk) =

( ∑σ∈Sn

I(σ)

n∏i=1

bki,σ(i)

)= I(σk)det(B),

lo que implica:

det(AB) =∑

k=(k1,...,kn)∈Inn\Tn

(n∏i=1

ai,τk(i)I(σk)det(B)

)= det(B)

∑k=(k1,...,kn)∈Inn\Tn

I(σk)

n∏i=1

ai,τk(i)

.

Pero como τ es una biyeccion, tambien podemos escribir la identidad anterior mediante:

det(AB) =

∑ρ∈Sn

I(ρ)

n∏i=1

ai,ρ(i)

det(B) = det(A) det(B).

Lo que termina la demostracion.

Corollario 1.5.11. Una matriz A ∈ Mn(R) es inversible si y solamente si det(A) ∈ R∗ esuna unidad de R. En este caso, det(A−1) = det(A)−1 ∈ R∗.Por ultimo, si A es una matriz inversible, el determinante de la matriz adjunta verifica det (Adj (A)) =det(A)n−1.

Demostracion. Ya hemos probado una de las implicaciones en el Corolario 1.5.9 anterior.En cuanto a la otra, si A es inversible, entonces, posee inversa y se verifica:

AA−1 = Idn.

Por tanto, det(AA−1) = 1 y se satisface:

det(A) det(A−1) = det(AA−1) = 1,

con lo que det(A) ∈ R∗. En cuanto a la matriz adjunta:

det(A) det(Adj(A)) = det(AAdj(A)) = det(A)n det(Idn) = det(A)n.

Como det(A) es inversible en R, esta igualdad implica det(Adj(A)) = det(A)n−1 y habremosterminado.


Corollario 1.5.12 (El determinante es un morfismo de grupos). Sea R un anillo y sea(R∗, ·) el grupo multiplicatio de sus unidades. Definamos el conjunto

GL(n,R) := A ∈Mn(R) : det(A) ∈ R∗,

el conjunto de las matrices inversibles con coordenadas en R. Se tiene:

i) (GL(n,R), ·), con la operacion “producto de matrices”, es un grupo, no necesariamenteabeliano.

ii) La siguiente correspondencia es un morfismo de grupos:

det : (GL(n,R), ·) −→ (R∗, ·)A 7−→ det(A).

iii) El nucleo del morfismo det anterior es un subgrupo normal de GL(n,R).iv) Consideremos el subrgupo (±1, ·) de (R∗, ·). La imagen inversa det−1(±1) es un

subgrupo normal de GL(n,R) denominado llamado grupo de las matrices unimod-ulares7 sobre R:

Unin(R) := A ∈ GL(n,R) : det(A)2 = 1.

En el caso de R = Z, Unin(R) = GL(n,Z).v) En los casos R = R o R = C los subgrupos de matrices ortogonales y unitarias son

subgrupos del grupo de matrices unimodulares sobre R o C.

Demostracion. Mero ejercicio de comprobacion.

Definicion 37 (Polinomio Caracterıstico). Sea A ∈ Mn(R) una matriz con coordenadasen un anillo R. Llamaremos polinomio caracterıstico de A al polinomio dado mediante:

χA(X) := det(XIdn −A) ∈ R[X].

Lema 1.5.13. Si A ∈Mn(R) es un matrix cuadrada con n filas y n columnas y coeficientes enR, entonces χA(X) es un polinomio monico de grado n y coenficientes en R, es decir,

χA(X) := Xn +

n−1∑i=0

aiXi ∈ R[X].

Demostracion. Por induccion en n. Es claro que se verifica en el caso n = 1. Para n ≥ 2,tomemos la formula de Laplace. y escribamos

AX := XIdn −A =

X − a1,1 −a1,2 · · · −a1,n

−a2,1 X − a2,2 · · · 6− a2,n

.... . .

...−an.1 −an.2 · · · X − an,n

.

Por la formula de Laplace, queda

(1.5.1) χA(X) = det(XIdn − a) = (X − a1,1) det((AX)1,1) +

n∑j=2

(−1)i+ja1,j det((AX)1,j).

Ahora, observese que la matrix obtenida sumrpimiendo filas i y j de AX es la matrix (XIdn−1−Ai,j), es decir

(AX)i,j = (Ai,j)X := (XIdn−1 −Ai,j).Por tanto,

det((AX)i,j) = det(XIdn−1 −Ai,j) = χAi,j (X).

Aplicando la hipotesis inductiva, det((AX)i,j) es un polinomio monico de grado n − 1 concoeficientes en R. Observando ahora la Identidad 1.5.1 concluimos que, obvamente, χA(X) esmonico de grado n con coeficientes en R y la prueba queda terminada.

7Algunos autores prefieren llamar matrices unimodulares sobre un anillo R simplemente a las matricesinversibles (i.e. a las matrices en GL(n,R)). Personalmente, prefiero distinguir los dos nombres, siendo unaslas matrices inversibles (i.e. las de GL(n,R)) y otras las unimodulares (i.e. las de Unin(R)). Ası es como os lo

presento en estas paginas.

70 1. PRE-ALGEBRA

1.5.1. La accion de (Mn(R)[X],+) sobre Mn(R): Teorema de Hamilton-Cayley.Comencemos con una sencilla accion del anillo de polinomios R[X] sobre el R−modulo Mn(R)de las matrices cuadradas con coordenadas en R.

Proposicion 1.5.14 (La accion de R[X] sobreMn(R)). Sea R un anillo y R[X] el anillo depolinomios en una variable con coeficientes en R. Entonces (R[X],+) define una accion sobreMn(R) mediante:

·R[X] : R[X]×Mn(R) −→ Mn(R)(p(X),M) 7−→ p(M) :=

∑mi=0 aiM

i,

siendo p(X) :=∑mi=0 aiX

i ∈ R[X].La accion tiene un buen comportamiento con respecto a la operacion producto de R[X]. Esdecir, dados p, q ∈ R[X], dado h ∈ R[X] el producto de ambos polinomios (i.e. h = p · q) y dadacualquier matriz M ∈Mn(R), se tiene:

h(M) = p(M)q(M) = q(M)p(M).

Demostracion. Es un ejercicio de mera comprobacion.

Vamos a extender esta accion a un anillo no conmutativo con unidad, formado por las matricescon coeficientes en Mn(R). Recordemos que (Mn(R′),+, ·) es un anillo no conmutativo conunidad para cualquier anillo R′. Si R es un anillo, y R′ = R[X] es el anillo de polinomios enuna variable con coeficientes en R, entonces (Mn(R[X]),+, .) tambien es un anillo, en generalno conmutativo, con unidad. Ademas, como Mn(R′) es un R′−modulo libre, tambien podemosconcluir que Mn(R[X]) es un R[X]−modulo libre de rango n2.Ademas, como R ⊆ R[X], tenemos un sub-anillo Mn(R) ⊆ Mn(R[X]). Por tanto, dadop(X) ∈ R[X] y M(X) ∈Mn(R[X]) tiene sentido considerar las matrices

p(X)M(X) ∈Mn(R[X]).

Para ser mas precisos, si M := (ai,j(X))1≤i,j≤n, estas matrices producto son, en realidad, elproducto de matrices

p(X)M(X) =

p(X) 0 · · · 0

0 p(X) · · · 0...

. . ....

0 0 · · · p(X)

a1,1(X) a1,2(X) . . . a1,n(X)a2,1(X) a2,2(X) · · · a2,n(X)

.... . .

...an,1(X) an,2(X) · · · an,n(X)

.

Podemos escribir:

(p(X)Idn) =

p(X) 0 · · · 0

0 p(X) · · · 0...

. . ....

0 0 · · · p(X)

,

y, ademas, este tipo de matrices diagonales verifica:

p(X)M(X) = (p(X)Idn)M(X) = M(X)(p(X)Idn).

Incluso podemos considerar el conjunto Mn(R)[X] como el conjunto de la forma:

Mn(R)[X] := N ∈Mn(R[X]) : ∃m ∈ N,∃B0, . . . , Bm ∈Mn(R), N =

m∑k=0

BkXk,

donde BkXk = Bk ·(XkIdn) = (XkIdn) ·Bk en el sentido de lo discutido anteriormente. Notese

que si p(X) ∈ R[X] es un polinomio sobre R hemos identificado p(X) con el polinomio sobreMn(R) dado mediante p(X)Idn ∈Mn(R)[X].

Es un sencillo ejercicio probar la siguiente:

Proposicion 1.5.15. Con las anteriores notaciones, se tiene:

i) Mn(R)[X] es un subanillo de Mn(R[X]). Es mas, Mn(R)[X] es el menor subanillode Mn(R[X]) que contiene a Mn(R) y las matrices XkIdn : k ∈ N.


ii) Mas aun Mn(R)[X] = Mn(R[X]). Es decir, todo elemento M(X) ∈ Mn(R[X])admite una unica representacion de la forma

M(X) =

m∑k=0

MkXk,

con Mk ∈Mn(R).iii) Dados M(X), N(X) ∈ Mn(R)[X] y sea H(X) = M(X)N(X) ∈ Mn(R)[X]. En-

tonces, si

M(X) :=

m∑i=0

MiXi, N(X) :=

n∑j=0

NjXj ,

donde Mi, Nj ∈Mn(R), entonces,

H =

m+n∑k=0

CkXk,

donde

(1.5.2) Ck :=

∑i+j=k

MiNj

.

Observacion 1.5.16. Un detalle importante en la proposicion anterior es la identidad descritaen el apartado iii) (Identidad (1.5.2) anterior):

Ck :=

∑i+j=k

MiNj

.

Como en el caso del anillo de polinomios, esta igualdad es consecuencia de aplicar las distribu-tivas al producto de las matrices de polinomios M(X) y N(X). Es decir,

M(X) ·N(X) =

(m∑i=0

MiXi

) n∑j=0

NjXj

=

n+m∑k=0

∑i+j=k

(MiX

i) (NjX

j) .

Por lo discutido anteriormente, las matricesXiIdn conmutan con cualquier matrix en Mn(R[X]),con lo que tendremos

M(X) ·N(X) =

∑i+j=k

(MiX

i) (NjX

j) =

n+m∑k=0

∑i+j=k

MiNj

Xi+j ,

lo que da la identidad descrita en (1.5.2). Pero debe tenerse en cuenta que, en esta “con-volucion”, el orden de multiplicacion (MiNj) importa, salvo que todas las matrices Mi y Njconmuten entre sı, lo que es un caso excepcional. Es decir, el orden en el que aparecen losfactores en la Identidad (1.5.2) es relevante.

Proposicion 1.5.17 (La accion de Mn(R[X]) sobre Mn(R)). Con las anteriores notaciones,definamos la correspondencia siguiente:

·Mn(R[X]) Mn(R[X])×Mn(R) −→ Mn(R)(M :=

∑mi=0MiX

i, A) 7−→ M(A) :=∑mi=0MiA

i.

Se tiene:

i) La anterior correspondencia define una accion del grupo aditivo (Mn(R[X]),+) sobreMn(R).

ii) Dicha accion extiende la accion de R[X] sobre Mn(R) descrita en la Proposicion1.5.14 anterior: Dado p(X) ∈ R[X], consideremos p(X)Idn ∈ Mn(R[X]) y sea A ∈Mn(R), entonces

(p(X)Idn) ·Mn(R[X]) A = p(A),

donde p(A) es el valor del polinomio p ∈ R[X] en la matrix A ∈ Mn(R) como en laProposicion 1.5.14 anterior.

72 1. PRE-ALGEBRA

Demostracion. Ejercicio de comprobacion

Observacion 1.5.18. En La Proposicion 1.5.14 observamos que la accion de R[X] sobre Mn(R)se “porta bien” con respecto a la operacion producto en R[X]. En esta nueva accion debemosser mas cuidadosos: se necesita un hipotesis adicional sobre ciertos elementos en Mn(R) queconmtan para el producto de matrices. Es lo que se destaca en la siguiente Proposicion, quehemos decidido escribir separadamente.

Proposicion 1.5.19. Sean M(X), N(X) ∈Mn(R[X]) y A ∈Mn(R). Sea H(X) ∈Mn(R[X])dado mediante M(X)N(X) = H(X) (producto en Mn(R[X])). Supongamos que:

M(X) :=

m∑i=0

MiXi, N(X) :=

n∑j=0

NjXj ,

con Mi, Nj ∈Mn(R). Supongamos tambien que A conmuta en Mn(R) con los coeficientes deN . Es decir, supongamos que

ANj = NjA, ∀j, 0 ≤ j ≤ n.

Entonces, se veirifica:

H(A) = M(A) ·N(A),

donde · es el producto en Mn(R).

Demostracion. Daremos una prueba por simplicidad y por su implicacion en el Teoremade Hamilton-Cayley. Tenemos:

M(X) :=

m∑i=0

MiXi, N(X) :=

n∑j=0

NjXj .

Luego

M(A) :=

m∑i=0

MiAi, N(A) :=

n∑j=0

NjAj .

Entonces,

M(A)N(A) =

(m∑i=0

MiAi

) n∑j=0

NjAj

=m+n∑k=0

∑i+j=k

MiAiNjA

j

.

Usando el hecho de que ANj = NjA y la distributiva del producto en Mn(R), concluiremos:

M(A)N(A) =

m∑k=0

∑i+j=k

MiNj

Ai+j = H(A).

Teorema 1.5.20 (Teorema de Hamilton-Cayley). Con las anteriores notaciones, sea n ≥1 un entero positivo, R un anillo y A ∈ Mn(R) una matrix n × n con coordenadas en R.Sea χA(X) ∈ R[X] en polinomio caracterıstico de A (conforme a la Definicion 37 anterior).Entonces,

χA(A) = 0, en Mn(R).

Demostracion. Apliquemos la Formula de Laplace generalizada (ver Teorema 1.5.8 an-terior). Consideremos en anillo R′ := R[X], y sea AX la matrix en Mn(R[X]) dada mediante:

AX := (XIdn −A) ∈Mn(R′).

Sea Adj(AX) la matriz adjunta de AX en Mn(R[X]). Por la Formula de Laplace generalizadatendremos la siguiente igualdad en Mn(R[X]):

(1.5.3) Adj(AX)AX = Adj(XIdn −A)(XIdn −A) = χA(X)Idn.


Apliquemos ahora la Proposicion 1.5.19 precedente. Tenemos, dos matrices en Mn(R)[X] quepodemos denotar por

M(X) = Adj(AX) :=

n−1∑i=0

BiXi, N(X) := IdnX −A.

Los coeficientes de N(X) son precisamente la matriz identidad Idn y la matrix (−A). Clara-mente, A conmuta con los coeficientes (en Mn(R) de N(X). Por tanto, si H(X) = M(X)N(X)se tendra:

H(A) = M(A)N(A).

Ahora bien, N(A) = IdnA−A = 0, luego M(A) = 0 en Mn(R). Pero, ademas, Observese que

H(X) = χA(X)Idn,

con lo que

H(A) = χA(A),

y tendremos que

χA(A) = 0,

como querıamos demostrar.

1.5.2. Ejercicios y Probemas de la Seccion 1.5.

Problema 67. Probad el Lema 1.5.7.(Pista: aplicar induccion en n. Para el caso n = 2 esobvio. Para los casos superiores, suponer que las dos primeras filas son identicas y desarrollarel determinante a partir de la fila tercera, usando la formula de Laplace. Observar que todaslas submatrices A3,j son (n − 1) × (n − 1) y poseen dos filas identicas (la fila 1 y la fila 2).Concluir que det(A3,j) = 0 para todo j y concluir el enunciado.

Problema 68. Prueba alternativa del Lema 1.5.7. Si R es un dominio de integridad, tienensentido y esta bien definida la caracterıstica del anillo R que, ademas, sera un numero primo.Ası, si R es un dominio de integridad de caracterıtica distinta de dos, prueba que, usando laformula de Laplace por cada una de las dos filas iguales, se tiene det(M) = −det(M) y, porser la caracterıstica distinta de 2, concluir que, necesariamente, det(M) = 0.

Problema 69. Prueba adicional del Lema 1.5.7. Consideremos el morfismo de grupos dadopor el ındice de las permutaciones:

I : Sn −→ Z∗.Se pide:

i) Pruebese que el nucleo de I, es decir, el conjunto de las permutaciones de orden par,es un subgrupo normal de Sn. Llamado el grupo alternado An.

ii) Pruebese que el cardinal de Sn es 2](An), por ser isomorfos Z∗ y el grupo cociente:

Sn/An.

iii) Probad que la siguiente es una biyeccion entre An y su complementario en Sn:

Φ := Φ1,2 : An −→ Sn \An,σ 7−→ σ (1 2).

iv) Probad que si Φ es la biyeccion anterior, el ındice verifica I(Φ(σ)) = −I(σ), ∀σ ∈ An.v) Probad que, para cada matriz A := (ai,j) ∈Mn(R), se tiene:

det(A) :=

( ∑σ∈An

n∏i=1

ai,σ(i)

)−

( ∑σ∈An

n∏i=1

ai,Φ(σ)(i)

).

vi) Pruebese que si las filas 1 y 2 de una matriz A son iguales, para cada σ ∈ An se tieneque

n∏i=1

ai,σ(i) =

n∏i=1

ai,Φ(σ)(i).

vii) Concluir que si una matriz A tiene dos filas iguales, entonces, su determinante verificadet(A) = 0.

74 1. PRE-ALGEBRA

Problema 70. Probad que si a una fila se le suma otra fila multiplicada por un escalar en elanillo, el determinante no cambia. (Pista: usar el Lema 1.5.7 y la formula de Laplace.)

Problema 71. Probad que dada una matriz A ∈Mn(R) y dada la matriz A′ ∈Mn(R) obtenidaintercambiando dos filas, entonces det(A) = −det(A′). Hacer lo mismo por columnas. (Pista:usar la biyeccion de Sn consigo mismo dada mediante: σ 7−→ σ (i j), donde (i j) es latransposicion que se indica).

Problema 72. Probad las siguientes propiedades de las matrices transpuestas:

i) (At)t = A,ii) (A+B)t = At +Bt,iii) (AB)t = BtAt,iv) (λA)t = λ(A)t,∀λ ∈ R,A ∈Mn(R).

Problema 73. Probad que si A ∈ Mn(R) es una matriz y χA(X) ∈ R[X] es su polinomiocaracterıstico, el termino independiente de χA(X) (i.e. χA(0) ∈ R) se relaciona con det(A) delmodosiguiente:

χA(0) := (−1)n det(A).

Mas aun, supongamos que el polinomo caracterıstico χA(X) tiene la forma siguiente:

χA(X) := Xn + an−1Xn−1 + · · ·+ a1X + a0 ∈ R[X].

Pruebese tambien que la matriz adjunta de A (construida como en 36) verifica:

Adj(A) = (−1)n+1(An−1 + an−1A

n−2 + · · ·+ a1Idn).

Problema 74. Sea R un anillo y A ∈Mn(R). Definamos el conjunto siguiente:

AnnR[X](A) := p ∈ R[X] : p(A) = 0.Probad:

i) AnnR[X](A) es un ideal de R[X], llamado el anulador de A.ii) AnnR[X](A) es un ideal no trivial que contiene un polinomio con coeficiente director

unitario (unidad en R∗).iii) ¿Es AnnR[X](A) un ideal principal en R[X]?. Intentar demostrarlo si R = K es un

cuerpo o si R = Z.iv) Consideremos el dominio de integridad R = Z[ 3

√16] dado mediante:

R = Z[3√

16] := a+ b3√

16 + c(3√

16)2 : a, b, c ∈ Z.Pruebese que la siguiente matriz A ∈M3(R)

A :=

0 2 3√

16

2 3√

16 0 4

4 3√

16 0

,

• El polinomio caracterıstico χA(X) ∈ R[X] es un polinomo monico de grado 3.Hallarlo.

• La matriz verifica que f ∈ AnnR[X](A), donde f es el polinomio

f(X) := 2X2 − (3√

16)2 − 16(3√

16) ∈ R[X].

Probad que no hay ningun polinomio monico de grado 2 que se anule en A.• Deducid que AnnR[X](A) no siempre es un ideal principal en R[X], ni siquiera

cuando R es dominio.

Problema 75. Probad el Corolario 1.5.12.

Problema 76. Revisa todas las pruebas de la Seccion sobre el determinante (Seccion 1.5) ydetecta las erratas que encuentres.

CAPıTULO 2

Ideales Primos y Maximales(A la Recherche du Temps Perdu)

Et tout d’un coup le souvenir m’est apparu. Ce gout, c’etaitcelui du petit morceau de madeleine que le dimanche matin aCombray.... La vue de la petite madeleine ne m’avait rienrappele avant que je n’y eusse goute; .... leur image avaitquitte ces jours de Combray pour se lier a d’autres plusrecents; .... Mais, quand d’un passe ancien rien ne subsiste,apres la mort des etres, apres la destruction des choses,seules, plus freles mais plus vivaces, plus immaterielles, pluspersistantes, plus fideles, l’odeur et la saveur restent encorelongtemps, comme des ames, a se rappeler, a attendre, aesperer, sur la ruine de tout le reste, a porter sans flechir,sur leur gouttelette presque impalpable, l’edifice immense dusouvenir.Et des que j’eus reconnu le gout du morceau de madeleinetrempe dans le tilleul que me donnait ma tante (....), aussitotla vieille maison grise sur la rue, ou etait sa chambre, vintcomme un decor de theatre s’appliquer au petit pavillondonnant sur le jardin, ...; ; et avec la maison, la ville, laPlace ..... Et comme dans ce jeu ou les Japonais s’amusent....de meme maintenant toutes les fleurs de notre jardin etcelles du parc de M. Swann, et les nympheas de la Vivonne,et les bonnes gens du village et leurs petits logis et l’eglise ettout Combray et ses environs, tout cela qui prend forme etsolidite, est sorti, ville et jardins, de ma tasse de the....

75

76 2. PRIMOS Y MAXIMALES

Indice

2.1. Elementos primos, irreducibles, dominios euclıdeos 762.1.1. Dominios de Ideales Principales: propiedades basicas y ejemplos 762.1.1.1. Construccion: Cuerpo Cociente (o cuerpo de fracciones) de un Dominio

de Integridad 782.1.2. Existencia de Factorizacion en Primos en Dominios de Ideales Principales 802.1.3. Dominios Euclıdeos 822.1.4. Existencia de Factorizacion en Primos en Dominios Euclıdeos 862.1.5. Existen dominios de ideales principales que no son dominios euclıdeos:

Dedekind-Hasse (Opcional) 872.1.6. Divisiones del algoritmo de Euclides en Z 912.1.7. Eliminacion Univariada Clasica. 932.1.7.1. Mutiplicar por un polinomio. 962.1.8. Ejercicios de la Seccion 2.1 992.1.8.1. El algoritmo de Berlekamp 1012.1.8.2. El Sistema Criptografico RSA 1022.2. Ideales Primos, Maximales 1042.2.1. Ideales Primos y Maximales 1042.2.2. La nocion de rango de un R−modulo libre 1082.2.3. Libres de Torsion sobre Dominios de Ideales Principales 1102.2.4. Libres de Torsion sobre Dominios Euclıdeos (Opcional) 1182.2.5. Ejercicios de la Seccion 2.2 1212.3. Dominios de Factorizacion Unica: Lema de Gauss 1262.3.1. Dominios de Factorizacion Unica 1262.3.2. El Lema de Gauss 1312.3.3. Ejercicios de la Seccion 2.3 1372.4. Anillos e Ideales de la Geometrıa 1372.5. Formal Normal de Smith 1442.5.1. Motivaciones 1442.5.1.1. Ecuaciones diofanticas 1442.5.1.2. Modulos Finitamente Generados sobre un DIP 1452.5.2. Matrices de Operaciones Elementales sobre DIP’s 1452.5.3. Matrices elementales particulares 1472.5.4. Orlar una matriz 1502.5.5. “Algoritmo”:Hacer ceros por filas o columnas 1512.5.5.1. Hacer ceros por filas y columnas 1522.5.6. Diagonalizacion de una matriz sobre un DIP: “algoritmo” 1532.5.7. Resolucion de Ecuaciones Lineales Diofanticas 1552.5.8. Estructura de Grupos Abelianos Finitamente Generados 1582.5.9. Ejercicios de la Seccion 2.5 159

2.1. Elementos primos, irreducibles, dominios euclıdeos

2.1.1. Dominios de Ideales Principales: propiedades basicas y ejemplos.

Definicion 38 (Dominios de Ideales Principales). Un dominio de ideales principales esun dominio de integridad que es anillo principal, esto es, tal que todo ideal es principal.

Ejemplo 2.1.1. A partir de los Teoremas 1.4.14 y 1.3.28 anteriores, se tienen los siguientesejemplos:

i) El anillo Z es un dominio de ideales principales.ii) El anillo K[X] es un dominio de ideales principales, cuando K es un cuerpo.iii) El anillo Z[X] es un dominio de integridad, pero no es un anillo principal.iv) El anillo K[X,Y ], cuando K es un cuerpo, es dominio de integridad pero no es anillo

principal. Para verlo, baste con ver que el ideal m := (X,Y ) no es un ideal principal.Para verlo, baste con ver que si fuera un ideal principal, entonces, las variables X eY poseerıan un divisor comun no unidad. Pero, notese que m es un ideal propio de

2.1. PRIMOS, IRREDUCIBLES, DOMINIOS EUCLIDEOS 77

K[X,Y ] porque:

m := f ∈ K[X,Y ] : f(0, 0) = 0.Finalmente, las variables X e Y no pueden tener un divisor no unidad comun enK[X,Y ]. Dejamos como ejercicio, verificar esta ultima condicion.

v) El anillo cociente Z/6Z es un anillo principal, pero no es dominio de integridad.

Notacion 2.1.2. Utilizaremos la notacion x | y para indicar y ∈ (x) y diremos que x divide ay.

Lema 2.1.3. Si R es un dominio de ideales principales, a un ideal de R y a, b dos generadoresde a entonces, existe u ∈ R∗ tal que ua = b. Es decir,

a = (a) = (b) =⇒ ∃u ∈ R∗, ua = b.

Demostracion. Obvio dado que b ∈ (a) =⇒ ∃x ∈ R, b = xa y a ∈ (b) =⇒ ∃y ∈ R, a =yb, entonces

a = yb = yxa =⇒ (1− yx)a = 0,

con lo que o bien a 6= 0 (e, en ese caso, a = (0) = (b) y, por tanto, b = 0) o bien (1 − xy) = 0de donde se concluye que x ∈ R∗.

Definicion 39. Se dice que dos elementos a, b ∈ R en un dominio de integridad R son asociadossi (a) = (b) o, equivalentemente, si difieren en una unidad de R. Se denotara mediante a ∼ b.

Definicion 40 (Maximo Comun Divisor en Dominios de Ideales Principales). Sea Run dominio de ideales principales y sea F = ai i ∈ I ⊆ R un conjunto de elementos del anillo.Llamaremos maximo comun divisor de F a cualquier generador del ideal principal a = (F) ⊆ Rgenerador por el conjunto F . En el caso finito F = a1, . . . , am, escribiremos gcd(a1, . . . , am)para designar su maximo comun divisor, i.e.

gcd(F) = h ⇐⇒ (h) = (F),

ygcd(a1, . . . , am) = h ⇐⇒ (h) = (a1, . . . , am).

Observacion 2.1.4. Observese que, en primer lugar, la nocion de maximo comun divisor solotiene sentido tal y como la hemos definido en el caso de que el ideal generado por F sea principaly eso se da cuando R es dominio de ideales principales. Si hay ideales que no son principales,entonces hay elementos que no poseen maximo comun divisor en el sentido en que lo hemosdefinido. Volveremos a este caso en el caso de dominios de factorizacion unica.

Teorema 2.1.5 (Identidad de Bezout (sin cotas)). Sea R un dominio de ideales princi-pales y sea a1, . . . , an ∈ R un conjunto finito de elementos. Sea h su maximo comun divisor.Entonces, existen x1, . . . , xn ∈ R tales que

h = x1a1 + · · ·+ axan.

Demostracion. Es obvio por que h es el maximo comun divisor si y solamente si (h) =(a1, . . . , an), con lo que se tiene que dar la propiedad indicada.

Teorema 2.1.6 (Identidad de Bezout (caso infinito))). Sea R un dominio de idealesprincipales y sea F = ai : i ∈ I un conjunto cualquiera de elementos de R. Sea h sumaximo comun divisor. Entonces, existe un conjunto finito J ⊆ I y existen xi : i ∈ I ⊆ Rtales que

h =∑j∈J

xjaj .

Demostracion. Es obvio por que h es el maximo comun divisor si y solamente si (h) =(F), con lo que se tiene que dar la propiedad indicada.


Definicion 41 (Elementos irreducibles y elementos primos). Sea R un dominio deintegridad.

i) Un elemento p ∈ R se dice irreducible si satisface:

∀a ∈ R, a | p,=⇒ [a ∈ R∗] ∨ [a ∼ p].ii) Un elemento p ∈ R se dice primo si satisface:

∀a, b ∈ R, p | ab,=⇒ [p | a] ∨ [p | b].

Ejemplo 2.1.7. Se tiene los siguientes ejemplos:

i) Si R es un dominio de integridad, entonces 0 ∈ R es un elemento primo. De hecho,R es dominio si y solamente 0 es primo.

ii) El elemento 2 ∈ Z es primo e irreducible en Z.iii) El elemento 2 es irreducible en Z[

√−5] pero no es primo, dado que:

2 | (1−√−5)(1 +

√−5) = 6,

pero

2 - (1−√−5), 2 - (1 +

√−5).

La irreducibilidad de 2 en Z[√−5] se prueba del modo siguiente:

2 = (a+ b√−5)(c+ d

√−5) =⇒ 2 = (a− b

√−5)(c− d

√−5),

aplicando conjugacion en C y dado que a, b, c, d ∈ Z. Entonces, tendremos

4 = 22 = (a+ b√−5)(a− b

√−5)(c+ d

√−5)(c− d

√−5) = (a2 + 5b2)(c2 + 5b2).

Por tanto, a2 +5b2 es un divisor de 4 en Z. Notese que si b 6= 0, entonces, a2 +5b2 ≥ 5y no podrıa ser un divisor entero de 4. Por tanto, es necesario b = 0 y tendremos quelos unicos casos posibles son

(a, b) ∈ (±1, 0), (±2, 0).En estos casos o bien (a+b

√−5) = ±1 y es unidad en Z[

√−5] o bien (a+b

√−5) = ±2

y es asociado a 2 en Z[√−5].

Proposicion 2.1.8. Si R es un dominio de integridad, todo elemento p ∈ R que sea primo, hade ser irreducible en R.

Demostracion. Es consecuencia inmediata de las definiciones. Si p ∈ R es primo y a | pen R, entonces, ∃b ∈ R tal que p = ab. Por ser p primo, y p | ab, se ha de tener una de las dosopciones siguientes:

• o bien p | a, en cuyo caso p ∼ a y son asociados• o bien p | b, en cuyo caso es facil deducir que a ha de ser una unidad de R.

En cualquier caso, p es irreducible.

2.1.1.1. Construccion: Cuerpo Cociente (o cuerpo de fracciones) de un Dominio de Inte-gridad. Sea R un dominio de integridad y consideremos en siguiente conjunto S := R \ 0.Consideremos el conjunto R× S y definamos la siguiente relacion:

∀(a, s), (b, r) ∈ R× S, (a, s) ∼ (b, r)⇐⇒ ar − bs = 0.

Se prueba que

i) La relacion ∼ anterior es una relacion de equivalencia.ii) Denotaremos mediante qf(R) o S−1R al conjunto cociente y a las clases de equivalencia

[(a, s)]∼ ∈ qf(R) la denotaremos mediante as . Definimos la siguientes correspondencias

en qf(R):

+ : qf(R)× qf(R) −→ qf(R), 6 · : qf(R)× qf(R) −→ qf(R)(as ,

br ) 7−→ ar+bs

rs , 6 (as ,br ) 7−→ ab

rs

Entonces, ambas correspondencias son aplicaciones y (qf(R),+, ·) es un cuerpo quese denomina cuerpo cociente o cuerpo de fracciones de R.

iii) Todo dominio de integridad es subanillo de su cuerpo de fracciones.


iv) Se tiene, por ejemplo,

qf(Z) = Q, qf(Z[i]) = Q(i), qf(Z[√m) = Q(

√m),

v) El cuerpo de fracciones de K[X] es el cuerpo de funciones racionales en una variablecon coeficientes en K y se denota mediante:

K(X) := p(X)

q(X): p, q ∈ K[X].

Se tiene que qf(Z[X]) = qf(Q[X]) = Q(X), luego diversos dominios pueden tener elmism cuerpo de fracciones.

Proposicion 2.1.9. Sea R un dominio de integridad y sea F = qf(R). Supongamos que Rverifica la sguiente curiosa propiedad:“Para todo polinomio f ∈ R[X] de grado 2, si f posee una raız en F , entonces el polinomiofactoriza como el producto de dos polinomios de grado 1 en R[X]”.

Entonces, todo elemento de R es irreducible si y solamente si es primo.

Demostracion. Supongamos que p ∈ R es irreducible y que existen a, b ∈ R tales quep | ab. COnsideremos el siguiente polnomio con coefieicntes en F [X]:

f(X) = p(X − a

p)(X − b

p).

Es facil verificar que

f(X) = pX2 − p(a+ b

p

)X +

ab

p= pX2 − (a+ b)X + r ∈ R[X],

donde ab = pr, para algun elemento r ∈ R. Por tanto, tenemos un polinomio f(X) ∈ R[X] queposee una solucion en F (de hecho, dos a

p y bp ). Aplicando la propiedad indicada, tendemos que

f facoriza en producto de dos polinomios de grado 1 en R[X]. Es decir

f(X) = (cX + d)(eX + `), (eX + c), (cX + `) ∈ R[X].

Pero eso implicarıa p = ce y p es irreducible. Luego o bien c o bien e son unidades en R.Supongamos que c ∈ R∗ es unidad. Entonces, p = ce =⇒ e = c−1p. Luego,

f(X) = c(X + c−1d)(c−1pX + `).

Luegoa

p= −c−1d ∈ R ∨ b

p= −c−1d ∈ R.

Es decir, habremos probado que, tomando x = −c−1d ∈ R e y = −c−1d ∈ R, se tiene:

[∃x ∈ R, a = px] ∨ [∃y ∈ R, b = py] .

con lo cual concluimos que p | a o p | b y tendremos que p es un elemento primo.

Teorema 2.1.10. En un dominio de ideales principales, un elemento p ∈ R es primo si ysolamente si es irreducible.

Demostracion. Hemos visto que “primo” =⇒ “irreducible”, ası que toca probar la afir-macion recıproca. Supongamos que p ∈ R es un elemento irrducible y supongamos que p | (ab),con a, b ∈ R dos elementos no unidades. Supongamos ab = rp, con r ∈ R. Supongamos quep - a y consideremos el ideal suma (p) + (a) = (p, a) ⊆ R. Como R es dominio de idealesprincipales, tendremos que existe un elemento c ∈ R tal que

(c) = (p, a).

Ademas, p ∈ (p, a) con lo que p ∈ (c) y, por tanto, c | p. Como p es irreducible, caben dosopciones:O bien p ∼ c, en cuyo caso (p) = (c) y, en consecuencia, (p) = (p, a), con lo cual a ∈ (p) y p | a,lo que es imposible por hipotesis.O bien c ∈ R∗ es una unidad en R, con lo cual

R = (c) = (a, p),


En este caso, tendremos que existe x, y ∈ R tales que 1 = xp+ ya. Luego,

b = b · 1 = b(xp+ ya) = xbp+ yba = (ab+ yr)p,

con lo cual habremos concluido que p | b y tendremos probada la primalidad de p.

2.1.2. Existencia de Factorizacion en Primos en Dominios de Ideales Princi-pales. En esta Subseccion vamos a demostrar la existencia de factorizacion de los elementosde dominios de ideales pincipales como producto de irreducibles. Dado que ya hemos visto queen dominios de ideales principales primo equivale a irreducible (ver Teorema 2.1.10), podemosusar indistintamente en ambos casos los terminos primo o irreducible sin necesidad de explicarque son la misma nocion. La demostracion en el caso de dominios de ideales principales usa unargumento Noetheriano que, a su vez, depende del Axioma de Eleccion Dependiente. Posteior-mente veremos que, si es un doinio euclıdeo, este Axioma no es necesario, con el enunciado delTeorema 2.1.23 en la Subseccion 2.1.4 posterior.

En terminos historicos debe destacarse que estas demostraciones subyacen a la nocion de AnillosNoetherianos. Se trata de los anillos introducidos por Emmy Noether (y continuados por susalumnos y seguidores) que son los anillos que satisfacen la Condicion de Cadena Ascendete paraideales. De hecho, el Teoema de Lasker-Noether sera simplemente, una extnesion natural de loque se cuenta en esta Subseccion. El lector interesado puede profundizar su conocimiento entorno a esta discusion en el Capıtulo 6. Para el Teorema de Lasker-Noether puede seguirse laSubseccion 6.5.2.

Para hacer nuestra prueba de existencia de factorizacion en el caso de dominios de idealesprincipales cualesquiera, necesitamos anadir un axioma a nuestra “teorıa de conjuntos”. unaversion mas suave el Lema de Zorn, conocido como el Axioma de Eleccion Dependiente. 1

Definicion 42 (Axioma de Eleccion Dependiente). Sea X un conjunto no vacıo y R ⊆X ×X una relacion. Supongamos que R satisface la siguiente propiedad:

∀a ∈ X, ∃b ∈ X, aRb.

Entonces, existe una sucesion xn : n ∈ N ⊆ X de tal modo que xnRxn+1, ∀n ∈ N.

Proposicion 2.1.11. Las siguiente propiedades se verifican en un dominio de ideales principalesR:

i) Condicion de Cadena Ascendente de Ideales: Toda cadena ascendente numer-able de ideales se estabiliza, es decir, dada una cadena de ideales de R:

a0 ⊆ a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆ an ⊆ · · · ,

existe m ∈ N tal que an = am, para todo m ≥ n.ii) Bajo el Axioma de Eleccion Dependiente, se verifica que todo conjunto no vacıo de

ideales de R posee elemento maximal. Es decir, dado S := ai : i ∈ I un conjuntono vacıo de ideales de R, entonces existe i0 ∈ I tal que si existe i ∈ I verificandoai0 ⊆ ai, entonces ai0 = ai.

Demostracion. Tratemos los dos casos separadamente.

i) Si tenemos una cadena de ideales de R:

a0 ⊆ a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆ an ⊆ · · · ,

consideremos el conjunto

a :=⋃n∈N

an.

Es facil comprobar que a es un ideal de R y, como R es dominio de ideales principales,entonces a es principal. En particular a = (p) para algun p ∈ R. Pero

p ∈⋃n∈N

an,

1Para mas infromacion ver http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice.

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice


luego ha de existir m ∈ N tal que p ∈ am. Pero, entonces tenemos

am ⊆⋃n∈N

an = a, a = (p) ⊆ am.

Luego a = am. Por tanto, para todo n ≥ m tenemos:

am ⊆ an (por ser cadena) y an ⊆⋃n∈N

an = a = am,

con lo que tenemos que la cadena se estabiliza a partir del lugar m.ii) En el otro caso usemos el Axioma de Eleccion Dependiente. Consideremos S un

conjunto no vacıo de ideales de R y supongamos que S no posee elemento maximal parala inclusion ⊆. Consideremos la relacion “contenido estricto” ($) sobre S. Entonces,se tiene:

∀a ∈ S, a no es maximal,

luego

∀a ∈ S, ∃b ∈ S, a $ b.

Aplicando el Axioma de Eleccion Dependiente, existira una sucesion de elementos enan : n ∈ N ⊆ S tal que an $ an+1. Tenemos ası una cadena ascendente de idealesde R que no se estabiliza:

a0 $ a1 $ a2 $ · · · $ an $ · · · .Esto contradice el apartado i) de esta misma Proposicion. Por tanto, la hipotesis deque S no posee elemento maximal y habremos terminado.

Teorema 2.1.12. Suponiendo el Axioma de Eleccion dependiente, todo dominio de idealesprincipales que no sea cuerpo, posee elementos primos e irreducibles no nulos.

Demostracion. Consideremos el conjunto de todos los ideales no nulos y propios de R

S := a : (0) $ a $ R.Como R no es cuerpo, S 6= ∅ es no vacıo. Por tanto, posee un elemento maximal. Sea a unelemento maximal de S. Como R es dominio de ideales principales, a = (p). Veamos que p esnecesariamente primo. Si p no fuera primo, no serıa irreducible y, por tanto, es reducible. Peroesto significa que existen x, y ∈ R tales que:

• p = xy• x 6∈ R∗, y 6∈ R∗,• x 6∼ p, y 6∼ p.

Por tanto, tenemos

(p) $ (x) $ R,

luego (x) ∈ S contradiciendo la maximalidad de (p).

Teorema 2.1.13 (Existencia de Factorizacion en dominios de ideales principales).Suponiendo el Axioma de Eleccion Dependiente, en dominios de ideales principales, todo ele-mento es producto finito de unidades e irreducibles.

Demostracion. Razonemos por reduccion al absurdo. Supongamos que hay elementosen R que no son producto finito de unidades e irreducibles. Esto quiere decir que el siguienteconjunto es no vacıo:

S := a = (a) : a no es producto finito de irreducibles y unidades de R.Por tanto, S posee un elemento maximal m = (p). Es claro que m 6= (0) porque 0 es primo yp no es producto finito de primos. Tambien es claro que m = (p) $ R porque p no puede serunidad. Finalmente, p no es irreducible porque (p) ∈ S. Luego, existen x, y ∈ R tales que:

• p = xy• x 6∈ R∗, y 6∈ R∗,• x 6∼ p, y 6∼ p.


Pero, entonces, tendremosm j (x) $ R, m j (y) $ R,

luego (x) 6∈ S, (y) 6∈ S. En consecuencia, x e y han de ser producto finito de unidadese irreducibles. Por lo tanto p = xy ha de ser producto finito de unidades e irreducibles yconcluimos que m = (p) 6∈ S lo que contradice el hecho de ser elemento maximal en S. Comonuestra hipotesis era que S 6= ∅, debemos concluir que S = ∅ y que todo elemento de R esproducto finito de unidades e irreducibles.

2.1.3. Dominios Euclıdeos. Se trata de un caso particular de dominio de ideales prin-cipales.

Definicion 43 (Funcion euclıdea sobre un dominio). Sea R un dominio de integri-dad. Una aplicacion φ : R −→ Z se denomina funcion euclıdea sobre R si satisface las dospropiedades siguientes:

i) φ(ab) ≥ φ(a), ∀a, b ∈ R, b 6= 0.ii) Si a, b ∈ R con b 6= 0, entonces existen q, r ∈ R tales que

• a = qb+ r,• φ(r) < φ(a).

Un dominio que posee al menos una funcion euclıdea se denomina dominio euclıdeo.

Ejemplo 2.1.14. Se tienen los ejemplos siguientes:

i) El anillo de los enteros Z posee la funcion euclıdea dada por el valor absoluto.ii) El anillo de polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo posee como

funcion euclıdea al grado deg (cf. Teorema 1.3.9 del Capıtulo anterior) definido delmodo siguiente:

deg(f) :=

n, si f = anX

n + · · ·+ a0, an 6= 0−1, f = 0

iii) El “resto” en dominios euclıdeos no es necesariamente unico. Ası, dados a, b ∈ Z,b 6= 0 y dados q, r ∈ R tales que

a = qb+ r, |r| ≤ |b| − 1,

El par (q, r) no es necesariamente unico. Por ejemplo,

5 = 2 · 3− 1 = 1 · 3 + 2,

y los pares (2,−1) y (1, 2) satisfacen la condicion ii) de las funciones euclıdeas.iv) El “resto” y el “cociente” sı son unicos en el caso de K[X], cuando K es un cuerpo. De

hecho, algunos autores (cf [Rha, 62], [Jo, 67]) han demostrado el siguiente resultadoque no reproduciremos aquı:

Teorema 2.1.15. Sea (R,φ) un dominio euclıdeo. Supongamos que para cada para, b ∈ R, con b 6= 0, el resto y el cociente de la division euclıdea esta determinado demanera unıvoca. Entonces, o bien R es un cuerpo o bien R = F [X], donde F es uncuerpo.

Proposicion 2.1.16. Si (R,φ) es un dominio euclıdeo, se verifican las propiedades siguientes:

i) Si b 6= 0, b ∈ R, entonces φ(b) ≥ φ(1).ii) Mas aun, para todo a ∈ R, a 6= 0, φ(a) > φ(0).iii) Si (a) = (b), entonces φ(a) = φ(b), para cualesquiera a, b ∈ R.iv) Si a | b y φ(a) = φ(b), entonces (a) = (b), para cualesquiera a, b ∈ R.v) Un elemento a ∈ R es unidad (i.e. a ∈ R∗) si y solamente si φ(a) = φ(1).

Demostracion. La propiedad i) es consecuencia inmediata de la primera propiedad queha de verificar una funcion euclıdea, esto es, si b 6= 0, se tiene:

φ(b) = φ(b · 1) ≥ φ(1).

Sin embargo, la propiedad ii) es mas fuerte por lo siguiente. Sea a ∈ R, a 6= 0. Apliquemos ladivision euclıdea y tendremos que existen q, r ∈ R tales que

0 = qa+ r,


y φ(r) < φ(a). Supongamos que φ(a) ≤ φ(0). Entonces, φ(r) ≤ φ(a) − 1 < φ(0), con lo quetendrıamos que r 6= 0. Pero R es un dominio de integridad y tenemos que r = (−q) · a. Portanto, (−q) 6= 0 y, por la primera de las propiedades de las funciones euclıdeas, concluiremosque

φ(r) = φ((−q)a) ≥ φ(a),

contradiciendo la hipotesis φ(r) < φ(a). La conclusion sera, por tanto, que φ(a) > φ(0) si a 6= 0.La propiedad iii) es casi evidente. Si alguno de los elementos a, b ∈ R fueran nulo, la propiedadse sigue de modo evidente. Supongamos que ninguno de los dos es nulo (i.e. a 6= 0 y b 6= 0).Entonces, (a) = (b) significa que podemos escibir a = ub y b = ra, para algunos valores u, r ∈ R,Por tanto, de nuevo por la primera propiedad de las funciones euclıdeas, tenemos:

φ(a) = φ(u · b) ≥ φ(b), porque u 6= 0,

φ(b) = φ(r · a) ≥ φ(a), porque r 6= 0,

Para la propiedad iv), supongamos que a | b y φ(a) = φ(b). Supongamos que b 6= 0. En elcaso b = 0, concluirıamos φ(a) = φ(b) = φ(0), por cuanto se tendrıa a = 0 y la obvia igualdad(a) = (b). Con la hipotesis b 6= 0, podemos escribir

a = qb+ r,

con φ(r) < φ(b) = φ(a). Pero existe s ∈ R tal que b = sa, por lo que concluimos

a = qb+ r = qsa+ r =⇒ (1− qs) · a = r.

Si (1− qs) 6= 0, por la primera propiedad de las funciones euclıdeas, enonces,

φ(r) = φ((1− qs) · a) ≥ φ(a) = φ(b) < φ(r).

Lo que nos lleva a contradiccion. En conclusion, (1 − qs) = 0, por cuanto s es una unidad enR y, por lo tanto, b = sa, s ∈ R∗, lo que implica a = qb = s−1b ∈ (b) y, por tanto, (a) ⊆ (b) ytenemos la igualdad entre los dos ideales.Para la propiedad v), tenemos que φ(a) ≥ φ(1) siempre, por la propiedad i). Si a ∈ R∗ esunidad, entonces, sea s ∈ R∗ su inverso y tenemos as = 1. Obviamente, a 6= 0 y s 6= 0 porqueson unidadees, luego

φ(1) = φ(a · s) ≥ φ(a).

Para la afirmacion recıproca, si φ(a) = φ(1), dado que 1 | a, usando la propiedad iv) nos llevaa que (1) = (a) y, por tanto, a es una unidad en R∗.

Teorema 2.1.17. Sea R un dominio de integridad. Si R posee alguna funcion euclıdea definidaen el, entonces R es un dominio de ideales principales.

Demostracion. Recordemos que todo subconjunto de Z acotado inferiormente poseemınimo. El caso del ideal nulo (0) es obvio: es un ideal principal. Sea a un ideal de R,a 6= (0), y consideremos el conjunto:

Sa := φ(a) : a ∈ a, a 6= 0.

Como φ(a) ≥ φ(0), para todo a ∈ R, a 6= 0, el conjunto Sa es un subconjunto de Z acotadoinferiormente. Por tanto, posee un mınimo. Sea n := min(Sa) el mınimo de Sa.Sea a ∈ a un elemento no nulo tal que φ(a) = n (existe porque n es un mınimo). Es claroque (a) ⊆ a. Veamos que se verifica el recıproco de esta inclusion. Sea b ∈ a otro elementocualquiera. Hagamos la division euclıdea

b = qa+ r, φ(r) < φ(a) = n.

Notese que r ∈ a porque r = b + (−q)a ∈ a. Por tanto, si r 6= 0, φ(r) ∈ Sa. Pero φ(a) = n =min(Sa), luego no es posible que φ(r) ∈ Sa y la unica posibilidad es que r = 0. En ese casotendremos que b = qa, luego a | b o, equivalentemente, b ∈ (a), con lo que habremos probadola igualdad entre los ideales (a) y a.


Teorema 2.1.18 (Algoritmo de Euclides). Sea (R,φ) un dominio euclıdeo y sean a, b ∈ Rtales que φ(a) ≥ φ(b). Definamos la siguiente sucecion de elementos de de R:

r0 := a, r1 := b.

Para i ≥ 2, si ri−1 6= 0, definamos

ri = ri−2 − qi−1ri−1,

con φ(ri) < φ(ri−1)− 1. Entonces, se tiene:

i) La sucesion ri : i ∈ N es una sucesion finita, esto es, existe k ∈ N tal que rk = 0ii) Con las notaciones anteriores, sea j el maximo valor tal que rj 6= 0, entonces,

rj = gcd(a, b).

Demostracion. Veamos que la sucesion no puede prolongarse indefinidamente. Noteseque tenemos una cadena descendente de elementos de Z:

φ(r0) ≥ φ(r1) > φ(r2) > φ(r3) > · · · > φ(rj).

Ademas, esta cadena descendente esta inferiormente acotada porque φ(a) ≥ φ(0), para todoa 6= 0. Entonces, ha de existir un k tal que rk = 0, como afirma la propiedad i).Definamos el ideal a := (a, b) generador por los dos elementos dados. Observese la siguientecadena de identidades:

a = (a, b) = (r0, r1) = (r1, r2) = (r2, r3) = · · · = (ri, ri+1).

Es decir el ideal no cambia. La razon es que, por construccion, dados (rn, rn+1) el elementorn+1 es dado mediante:

rn+2 = rn + (−qn)rn+1 ∈ (rn, rn+1) = a.

Con lo cual (rn+1, rn+2) ⊆ (rn, rn+1) = a. Pero tambien se tiene

rn = rn+2 + qnrn+1 ∈ (rn, rn+1) = a.

Con lo que rn ∈ (rn+1, rn+2) y, por tanto, (rn, rn+1) ⊆ (rn+1, rn+2), de donde concluimos

a = (rn+1, rn+2).

Ahora, sea j el maximo tal que rj 6= 0. Entonces, rj+1 = 0 y tendremos

a = (rj , rj+1) = (rj , 0) = (rj).

Y, por tantom rj es el maximo comun divisor de a y b.

Teorema 2.1.19 (Identidad de Bezout con cotas). Sea (R,φ) un dominio euclıdeo. Seana, b ∈ R dos elementos no nulos, y sea h su maximo comun divisor.

i) Supongamos que la funcion euclıdea φ verifica las propiedades siguientes:(a) ∀a, b ∈ R, φ(a+ b) ≤ φ(a) + φ(b),(b) ∀a, b ∈ R, φ(ab) = φ(a)φ(b), ∀a, b ∈ R, ab 6= 0.(c) φ(a) > 0, ∀a ∈ R, a 6= 0.

Entonces, existen x, y ∈ R tales que

h = xa+ yb,

con

φ(x) ≤ φ(b), φ(y) ≤ φ(a).

ii) Si, en lugar de las propiedades anteriores, la funcion euclıdea φ verifica las siguientes;(a) ∀a, b ∈ R, φ(a+ b) ≤ maxφ(a), φ(b),(b) ∀a, b ∈ R, φ(ab) = φ(a) + φ(b), ∀a, b ∈ R, ab 6= 0.(c) φ(a) > 0, ∀a ∈ R, a 6= 0.

Entonces, si a, b 6∈ R∗ (es decir, si ninguno de los dos es unidad) , existen x, y ∈ Rtales que

h = xa+ yb,

con

φ(x) < φ(b), φ(y) < φ(a).


Demostracion. Supongamos que h es el maximo comun divisor de a y b. Entonces,existen α, β ∈ R tales que

h = αa+ βb.

Supongamos que φ(a) ≥ φ(b): Por ser dominio euclıdeo, existen q, x ∈ R tales que

α = qb+ x, φ(x) < φ(b).

Entonces,h = (qb+ x)a+ βb = xa+ (β + qa)b.

Ahora, escribamos y = (β + qa) y tenemos φ(h) ≤ minφ(a), φ(b) por ser h | a y h | b. que

φ((β + qa))b) = φ(h− xa).

• En el caso i) tendremos:

φ(y)φ(b) = φ((β + qa))φ(b) = φ((β + qa))b) ≤ φ(h) + φ(xa).

Luegoφ(y)φ(b) ≤ φ(h) + φ(x)φ(a) ≤ (1 + φ(x))φ(a).

Pero φ(x) ≤ φ(b)− 1 y φ(h) ≤ φ(b), por lo que tendremos:

φ(y)φ(b) ≤ φ(b) + (φ(b)− 1)φ(a) = φ(b)φ(a).

Si b 6= 0, claramente tendremos φ(b) 6= 0 y φ(y) ≤ φ(a).• En el caso ii), si x 6= 0, tendremos

φ(y) + φ(b) = φ(yb) = φ((β + qa))b) ≤ maxφ(h), φ(xa) = maxφ(h), φ(x) + φ(a).Como h es un divisor de a, entonces φ(h) ≤ φ(a). De otro lado, como x 6= 0 φ(x) > 0y φ(x) ∈ Z, Por tanto, φ(x) ≥ 1 y, en conclusion, φ(x)+φ(a) ≥ φ(a) ≥ φ(h). Es decir,en este caso tendremos:

φ(y) + φ(b) ≤ maxφ(h), φ(x) + φ(a) = φ(x) + φ(a).

φ(y) + φ(b) ≤ φ(x) + φ(a) ≤ φ(b)− 1 + φ(a) = (φ(a)− 1) + φ(b).

Concluimos queφ(y) ≤ φ(a)− 1,

como pretendıamos.En el caso x = 0, tendremos que el maximo comun divisor h de a y b ha de verificar

h = xa+ yb = yb.

Por tanto, y es una unidad de anillo, φ(y) = φ(1) y φ(a) ≥ φ(y). Como a no es unidad,se tiene φ(a) > φ(y) y φ(x) < φ(b) como pretendıamos.

Los dos casos del Teorema anterior se corresponden con los casos basicos R = Z (caso (i)) yR = K[X] (caso ii)). Esto se expresa mediante los siguientes Corolarios:

Corollario 2.1.20 (Bezout con cotas en Z). Sean a, b ∈ Z dos enteros no nulos, y sea hsu maximo comun divisor. Entonces, existen x, y ∈ R tales que

h = xa+ yb,

con|x| ≤ |b|, |y| ≤ |a|.

Demostracion. Basta con observar que el valor absoluto | · | verifica las condiciones indi-cadas en el Teorema anterior.

Corollario 2.1.21 (Bezout con cotas en K[X]). Sean a, b ∈ K[X] dos polinomios univari-ados no nulos y no unidades (i.e. a, f 6∈ K), y sea h su maximo comun divisor.Entonces, existen α, β ∈ K[X] tales que

h = αa+ βb,

condeg(α) < deg(b), deg(β) < deg(a).

Demostracion. Simplemente recordar (K[X],deg) como anillo euclıdeo.


Observacion 2.1.22. El algoritmo de Euclides es un buen algoritmo para el calculo de maximoscomunes divisores. Distinguiremos dos casos: Z y K[X]. En el primer caso, analizaremos elnumero de divisiones necesarias para calcular el gcd de dos numeros enteros. En el segundocaso, trataremos el caso de polinomios univariados con tecnicas de eliminacion a la Sylvester.

2.1.4. Existencia de Factorizacion en Primos en Dominios Euclıdeos. En la Sub-seccion 2.1.2 anterior, hemos demostrado que todo elemento de un dominio de ideales principalesadmite una factorizacion como producto de elementos primos. Tambien hemos visto que los do-minios euclıdeos son dominios de ideales principales (ver Teorema 2.1.17), con lo que podıamosconcluir que en los dominios euclıdeos todo elemento se factoriza en producto finito de primos.Sin embargo, para probar el Teorema 2.1.13 sobre los dominios de ideales principales, hemosusado el Axioma de Eleccion Dependiente. Para aquellos puristas que no deseen admitir esteaxioma de la Teorıa de Conjuntos, redemostramos el enunciado, solo en el caso de dominioseuclıdeos, para lo cual basta con usar que el orden usual de los naturales es un buen orden.

Teorema 2.1.23 (Existencia de factorizacion en dominios euclıdeos). Sea (R,φ) un do-minio euclıdeo. Entonces, todo elemento a ∈ R es producto finito de elementos primos (o irre-ducibles) y unidades en R. Es decir, para cada a ∈ R, existen u ∈ R∗ y existen p1, . . . , pn ⊆ Run conjunto finito de primos tales que

a = up1 · · · pn.

Demostracion. Como los dominios euclıdeos son dominios de ideales principales, los el-ementos son primos si y solamente si con irreducibles. Si a ∈ R∗ es unidad, ya tenemos laprueba. Si a ∈ R no es unidad, consideremos el siguiente conjunto.

Sa := φ(p) : p no es producto finito de irreducibles y unidades, (a) ⊆ (p) ⊆ Z.Supongamos que a no es producto de irreducibles y unidades. Entonces, φ(a) ∈ Sa 6= ∅ esun conjunto no vacıo de numeros enteros. Ademas esta acotado inferiormente por φ(1). Todoconjunto no vacıo y acotado inferiormente de enteros posee elemento minimal. Por tanto, Saposee un mınimo.Sea φ(p) = min(Sa) ese mınimo de tal modo que p no es producto de irreducibles y unidades.Luego p no es unidad, ni tampoco es irreducible. Pero esto significa que existen x, y ∈ R talesque:

• p = xy• x 6∈ R∗, y 6∈ R∗,• x 6∼ p, y 6∼ p.

Esto significa que los siguientes contenidos son estrictos:

(p) $ (x) $ R, (p) $ (y) $ R.

En particular, φ(p) > φ(x) y φ(p) > φ(y) como consecuencia de esos contenidos estrictos. Luego

φ(x) 6∈ Sa, φ(y) 6∈ Sa.Ademas, se tiene

(a) ⊆ (x), (a) ⊆ (y).

Por tanto, de las dos condiciones que definen Sa, φ(x) no puede satisfacer la primera de esascondiciones “x no es producto finito de irreducibles y unidades”. Luego x es producto finito deunidades e irreducibles. Y lo mismo pasa con y. Es decir,

x = uq1q2 · · · qn, y = vt1t2 · · · tm,donde u, v ∈ R∗ y q1, q2, . . . , qn, t1, t2, . . . , tm son irreducibles en R. Pero, entonces, comop = xy concluimos:

p = (uv)q1q2 · · · qnt1t2 · · · tm,y habremos concluido que p es producto finito de irreducibles y unidades. Luego la unica opciones que Sa = ∅ y, por tanto, a debe ser un producto finito de unidades e irreducibles.

Corollario 2.1.24. Si R es un dominio euclıdeo y no es cuerpo, entonces existen elementosirreducible no nulos en R, es decir,

(p) : p es primo en R 6= ∅.


Demostracion. Basta con observar que si R no es un cuerpo, debe existir un elementoa ∈ R \R∗ y a 6= 0. Entonces a es producto finito de unidades e irreducibles. Pero como no esunidad, debe haber algun divisor irreducible de a y como a 6= 0 debe haber algun irreducibleno nulo que es divisor de a, luego hay algun irreducible (o primo) no nulo en R.

2.1.5. Existen dominios de ideales principales que no son dominios euclıdeos:Dedekind-Hasse (Opcional). Hemos visto que los dominios euclıdeos son dominios de idealesprincipales. Es conveniente observar que este contenido es estricto. Los ejemplos se conocendesde [Mtz, 49], aquı usaremos la prueba que se exhiben en [Wls, 73], basada en el Criteriode Dedekind-Hasse, para probar que nuestro ejemplo es un dominio de ideales principales. Paraprobar que no es euclıdeo, usaremos la no existencia de divisor lateral universal descrita en elProblema 93 anterior. Veamos el Ejemplo: Consideremos el anillo

R := Z[

1 +√−19

2

].

Lema 2.1.25. El anillo

R = Z[

1 +√−19

2

],

no es dominio euclıdeo.

Demostracion. Comencemos recordando el conjunto de las unidades de este anillo (quehemos estudiado en el Problema 31) donde vimos la siguiente igualdad:(

Z[

1 +√−19

2

])∗= ±1.

Seguidamente recordemos el Problema 93. El el vimos que si un aillo no psee divisores lateralesuniversales, entonces no puede ser dominio euclıdeo para ninguna funcion euclıdea posible.Supongamos que tal divisor lateral universal existe y sea

u := a+ b

(1 +√−19

2

)∈ Z

[1 +√−19

2

],

con a, b ∈ Z ese elemento. Entonces, dado el elemento 2 ∈ Z[ 1+√−19

2 ], u debe dividir a algunade las tres cantidades siguientes:

1 = 2− 1, 2 = 2− 0, 3 := 2 + (−1).

Como los divisores laterales universales no son unidades, podemos descartar que u | 1 y nosquedamos con las otras dos posibilidades.Definamos la funcion

Φ√−19 : Z[

1+√−19

2

]−→ Z+

x+ y(

1+√−19

2

)7−→

∣∣∣(x+ y2

)2 − −19y2

2

∣∣∣ .Notese que se trata de multiplicar por el conjugado complejo y, por tanto, da lugar al modulo.Esto es

Φ√−19

(x+ y

(1 +√−19

2

))=

(x+ y

(1 +√−19

2

))(x+ y

(1 +√−19

2

)),

donde · significa conjugado complejo. Por tanto, Φ√−19 calcula el valor absoluto (el modulo)del numero complejo al que se le aplica y, en particular, es un entero positivo. Mas aun, noteseque

Φ√−19

(x+ y

(1 +√−19

2

))=

∣∣∣∣(x+y

2

)2

− −19y2

2

∣∣∣∣ = x2 + xy + 5y2 ∈ Z,

es un numero entero siempre que x e y sean enteros. Usaremos esta funcion y supongamos queu | 2 o u | 3.


• Supongamos la primera opcion: u | 2. Entonces, han de existir x, y ∈ Z tales que

u

(x+ y

(1 +√−19

2

))=

(a+ b

(1 +√−19

2

))(x+ y

(1 +√−19

2

))= 2.

pero, entonces,

Φ√−19

(a+ b

(1 +√−19

2

))Φ√−19

(x+ y

(1 +√−19

2

))= Φ√−19(2) = 4.

Por tanto, el siguiente numero entero es un divisor entero positivo de 4:

Φ√−19

(a+ b

(1 +√−19

2

))= a2 + ab+ 5b2.

Pero eso solo es posible si b = 0 (porque si b es un entero no nulo, a2+ab+5b2 ≥ 5 > 4).En el caso b = 0, necesaiamente u = a ∈ ±2. Pero, si u es un elemento de

ese conjunto, por ser divisor lateral universal, debe ser divisor de alguno de los treselementos siguientes:(

1 +√−19

2

)− 1,

(1 +√−19

2

),

(1 +√−19

2

)+ 1,

lo que no es posible en ningun caso.• Supongamos la segunda opcion: u | 3. Entonces, han de existir enteros x, y ∈ Z tales

que se da la siguiente igualdad:(a+ b

(1 +√−19

2

))(x+ y

(1 +√−19

2

))= 3.

De nuevo, usando Φ√−19, tendremos que(a2 + ab+ 5b2

) (x2 + xy + 5y2

)= 9.

Distingamos dos casos:– Si b 6= 0, entonces,

(a2 + ab+ 5b2

)> 3, con lo que, forzosamente,

(a2 + ab+ 5b2

)=

9 y,(x2 + xy + 5y2

)= 1. Pero

1−(

1 +√−19

2

)=

1−√−19

2∈ Z

[1 +√−19

2

].

Por tanto, tendremos

1 =(x2 + xy + 5y2

)=

(x+ y

(1 +√−19

2

))(x+ y

(1−√−19

2

)),

y, en consecuencia,(x+ y

(1 +√−19

2

))∈(Z[

1 +√−19

2

])∗= ±1.

Por tanto, u ∈ ±3 y u debe ser un divisor lateral universal, luego debe dividir,como en el caso precedente, a alguno de los siguientes elementos:(

1 +√−19

2

)− 1,

(1 +√−19

2

),

(1 +√−19

2

)+ 1,

lo que no es posible en ningun caso con u ∈ ±3.– En el caso b = 0, u = a sera un divisor entero de 3 y no es unidad, con lo queu ∈ ±3 y tenemos la misma dificultad que en el caso anterior.

En conclusion, el anillo

Z[

1 +√−19

2

]no posee divisores laterales universales, con lo que no es dominio euclıdeo.


Proposicion 2.1.26 (Criterio de Dedekind-Hasse). Sea R un anillo cualquiera decimosque R verifica el criterio de Dedekind-Hasse si verifica lo siguiente: Existe | · | : R −→ N unafuncion definida positiva (i.e. [|a| ≥ 0, ∀a ∈ R], y [|a| = 0⇐⇒ a = 0]). Supongamos que paracualesquiera x, y ∈ R no nulos se verifica la propiedad siguiente:“O bien y | x o bien existen u, v ∈ R tales que 0 < |ux− vy| < |y|.”Entonces, R es un dominio de ideales principales.

Demostracion. Es bastante evidente. Consideremos a un ideal de R, supongamos quea 6= (0), que ya serıa un ideal principal, y consideremos el siguiente conjunto no vacıo denumeros naturales:

N := |a| ∈ N : a ∈ a, a 6= 0.Este conjunto posee un mınimo, |y| ∈ N , con y ∈ a, y 6= 0. Por tanto, el ideal b = (y) esprincipal y b ⊆ a. Ahora consideremos x ∈ a un elemento cualquiera no nulo. Entonces, porla condicion verificada por | · |, o bien y | x (en cuyo caso x ∈ b = (y), o bien existen u, v ∈ Rtales que

0 < |xu− yv| < |y|.Pero, en este segundo caso, como x, y ∈ a, entonces, ux, vy ∈ a (porque es ideal) y, finalmente,ux−vy ∈ a. Pero la desigualdad anterior nos dice que ux−vy 6= 0 y contradice la minimalidad de|y| en N . Por tanto, no se puede dar la segunda condicion para ningun x ∈ a y, en consecuencia,y | x, para todo x ∈ a, con lo que habremos probado la igualdad a = b.

Lema 2.1.27. El anillo

R = Z[

1 +√−19

2

]verifica el criterio de Dedekind-Hasse para el cuadrado del valor absoluto complejo.

Demostracion. Recuerdese que el cuadrado del valor absoluto complejo es la funcionΦ√−19 usada el la demostracion del Lema 2.1.25 anterior. Por simplicidad de la notacionescribiremos Φ en lugar de Φ√−19.Consideremos x, y ∈ R dos elementos no nulos tales que y - x. Entonces, queremos probar queexisten u, v ∈ R tales que

0 < Φ(ux− vy) < Φ(y).

Pero, notese que Φ(rs) = Φ(r)Φ(s) (es el cuadrado de la norma usual en C), luego esta ultimadesiigualdad es equivalente a:

0 < Φ(u

(x

y

)− v) < 1.

Como y - x, tendremos que existen a, b, c ∈ Z enteros, con c > 0 y gcd(a, b, c) = 1 tales que(x

y

)=a+ b

√−19

c.

Distingamos varios casos:

• Supongamos c ≥ 5. Como gcd(a, b, c) = 1, existen d, e, f ∈ Z tales que

ae+ bd+ cf = 1.

Elijamos u = d+ e√−19 y el producto u

(xy

)tiene la forma siguiente:

u

(x

y

)=

(a+ b

√−19

c

)(d+ e

√−19

)=

(ad− 19be) + (ae+ bd)√−19

c.

Luego, como ae+ bd = 1− cf , tendremos

u

(x

y

)=

(ad− 19be)

c+

√−19

c− f√−19.

Como (ad− 19be), c ∈ Z, podemos aplicar el algoritmo euclıdeo en Z (modificado conla condicion descrita en el Problema 48 y tendremos:

(ad− 19be) = qc+ r,


con 0 ≤ |r| ≤ c2 . Por tanto, queda:

u

(x

y

)= q +

r

c+

√−19

c− f√−19.

Esto nos lleva a

u

(x

y

)− (q − f

√−19) =

r +√−19

c.

Poniendo v = (q − f√−19), tendremos:

u

(x

y

)− v =

r +√−19

c,

con lo que queda solemente por probar que si c > 5, se tiene

Φ(r +√−19

c) =

(r2 + 19)

c2≤ r2

c2+

19

36<

1

4+

19

36< 1.

En el caso c = 5, tendremos r ≤ 2 y, por tanto,

Φ(r +√−19

c) ≤ r2

c2+

19

25<

4

25+

19

25< 1.

Quedan solo los caso c = 2, 3, 4. Veamoslos separamente.• Si c = 2. Como gcd(a, b, c) = gdc(a, b, 2) = 1, es claro que a y b tienen distinta paridad

(ni ambos son pares, ni ambos son impares, simultaneamente), luego a− b− 1 ∈ 2Z.Elijamos v dado por:

v =(a− 1) + b

√−19

2=

(a− b− 1)

2+ b

(1 +√−19

2

)∈ Z

[1 +√−19

2

].

Elijamos u = 1 y tenemos

Φ(u

(x

y

)− v) = Φ(

1

2) < 1.

• Si c = 3. Como gcd(a, b, c) = gcd(a, b, 3) = 1 tendremos que

a2 + 19b2 = a2 + b2 6= 0 mod 3,

porque 3 es primo en Z[i] y si 3 | (a2 + b2), entonces 3 | (a + bi) o 3 | (a − bi). Encualquiera de las dos opciones, 3 deberıa ser divisor de a y b simultaneamente, lo quecontradice el hecho gcd(a, b, 3) = 1.Aplicando division euclıdea, existiran q, r ∈ N, con r 6= 0 y r < 3 tal que

a2 + 19b2 = q3 + r.

Elijamos u = a− b√

19 y v = q ∈ Z, tendremos

Φ(u

(x

y

)− v) = Φ(

(a2 + 19b2)

3− q) = Φ(

(a2 + 19b2)− 3q

3) = Φ(

r

3) < 1.

• Si c = 4. Como gcd(a, b, c) = gcd(a, b, 4) = 1, entonces, a y b no poseen la mismaparidad. En particular, a+ b y a− b son ambos impares y no divisibles por 2. Ahora,observes que

a2 + 19b2 = a2.b2 6= 0 mod 4,

porque 2 - (a + b) y 2 - (a − b). Repetimos el mismo argumento que en el caso 3.Hallamos cociente y resto de la division de a2 + b219 por 4:

a2 + 19b2 = q4 + r,

con u = a− b√−19 y v = q, tendremos que

Φ(u

(x

y

)− v) < 1.


Corollario 2.1.28 (Un ejemplo de un DIP que no es eculıdeo). El anillo

R = Z[

1 +√−19

2

]es un dominio de ideales principales que no es dominio euclıdeo.

Demostracion. El Lema 2.1.25 nos muestra que no es un dominio euclıdeo y el Lema2.1.27 prueba que verifica la condicion de Dedekind-Hasse y es, por tanto, un dominio deideales principales.

2.1.6. Divisiones del algoritmo de Euclides en Z.

Definicion 44 (Numeros de Fibonacci). Se define la sucesion de numeros de FibonacciFn : n ∈ N ⊆ Z como la sucesion dada mediante:

[F0 = 0], [F1 = 1], [∀n ∈ N, n ≥ 2, Fn = Fn−1 + Fn−2].

Proposicion 2.1.29 (Formula de de Moivre–Binet). La sucesion de Fibonacci Fn : n ∈N satisface:

(2.1.1) Fn :=ϕn − ψn√

5,

donde

ϕ :=1 +√

5

2, ψ :=

1−√

5

2.

Demostracion. Consideremos la ecuacion con coeficientes en Z siguiente:

X2 −X − 1 = 0.

Las soluciones de esta ecuacion son dadas por:

X2 −X − 1 =

(X − 1 +

√5

2

)(X − 1−

√5

2

)= (X − ϕ)(X − ψ).

Notese que multiplicando esta ecuacion por potencias de X, transformamos la ecuacion inicialen

Xn−2(X2 −X − 1) = Xn −Xn−1 −Xn−2.

Como ϕ y ψ son ceros de X2−X− 1 tambien lo seran de estas ecuaciones, con lo que podemosconcluir:

(2.1.2) ϕn − ϕn−1 − ϕn−2 = 0, ψn − ψn−1 − ψn−2 = 0.

Ahora bien, para n = 0 y para n = 1 la identidad 2.1.1 se satisface:

0 = F0 =ϕ0 − ψ0

√5

=1− 1√

5,

F1 =ϕ1 − ψ1

√5

=1+√

52 − 1−

√5

2√5

=2√

52√5

=

√5√5

= 1.

Para n ≥ 1 tendemos, aplicando la hipotesis inductiva:

Fn = Fn−1 + Fn−2 =ϕn−1 − ψn−1

√5

+ϕn−2 − ψn−2

√5

=ϕn−1 + ϕn−2

√5

− ψn−1 + ψn−2

√5

.

Usando las identidades de 2.1.2 concluimos:

Fn =ϕn−1 + ϕn−2

√5

− ψn−1 + ψn−2

√5

=ϕn√

5− ψn√

5=ϕn − ψn√

5.

Corollario 2.1.30. Con las anteriores notaciones:

Fn =⌊ϕn√

5+

1

2

⌋,

donde b·c es la funcion “parte entera”.


Demostracion. Baste con observar que

|ψn

√5| < 1

2.

EL siguiente resultado es un historico debido a G. Lame (cf. [Lm, 1844]) y conocido desde1844.

Teorema 2.1.31 (Lame, 1844). Sean a > b > 0 dos numeros enteros positivos, supongamosque el algoritmo de Euclides, aplicado a a y b realiza n divisiones. Entonces,

Fn+1 ≤ a, Fn ≤ b.

Demostracion. Comencemos considerando la sucesion de divisiones realizadas por el al-goritmo de Euclides:

(2.1.3)

r0 = a,r1 = b,r0 = q1r1 + r2, 0 ≤ r2 ≤ r1 − 1,

......

ri−2 = qi−1ri−1 + ri, 0 ≤ ri ≤ ri−1 − 1,...

...rn−1 = qnrn + rn+1, rn+1 = 0.

En la que se hacen n divisiones. Podemos revisar esta secuencia de divisiones, para hacer algunaobservacion.Es claro que se tiene:

r0 > r1 > r2 > r3 > · · · > rn−1 > rn > rn+1 = 0.

Es una cadena estructamente decreciente y, en particular, rn 6= 0 porque, en otro caso,habrıamos hecho n − 1 divisiones. Pero, ademas, por ser decreciente qi 6= 0 para todo i.Y es que si qi = 0 para algun i, tendrıamos:

ri−2 = 0ri−1 + ri = ri, 0 ≤ ri ≤ ri−1 − 1 ≤ ri−2 − 2,

lo que nos llevarıa a contradiccion. En particular, tenemos qi ≥ 1 para todo i.Ahora comencemos por debajo. Tenemos que rn+1 = 0, pero rn 6= 0, luego:

rn+1 = 0 = F0

rn ≥ 1 = F1.

Ademas, cada qi ≥ 1, luego

rn−1 = qnrn + rn+1 ≥ rn + rn+1 ≥ F0 + F1 = F2.

Procediento inductivamente, tendremos, por ser qi ≥ 1:

(2.1.4)

rn−2 = qn−1rn−1 + rn ≥ rn−1 + rn ≥ F2 + F1 = F3,...

ri−2 = qi−1ri−1 + ri ≥ ri−1 + ri ≥ Fn−i+2 + Fn−i+1 = Fn−(i−2)+1,...

r1 = q2r2 + r3 ≥ r2 + r3 ≥ Fn−1 + Fn−2 = Fn,r0 = q1r1 + r2 ≥ r1 + r2 ≥ Fn−1 + Fn = Fn+1.

En conclusion, hemos probado que

a = r0 ≥ Fn+1, b = r1 ≥ Fn.

Definicion 45 (Talla de un numero natural). Dado un numero natural a ∈ N, denotaremospor `b(a) el numero de dıgitos necesarios para escribir a en base b. Se tiene que

`b(a) = blogb(a) + 1c,


Corollario 2.1.32. Dados dos numeros enteros a, b ∈ Z, el numero de divisiones necesariopara hallar el maximo comun divisor de ambos esta acotado linealmente por el numero de dıgitosnecesarios para escribir ambos numeros. Es decir, el numero n de divisiones esta acotado por

n ≤maxlogc(|a|), logc(|b|)+ logc(

5ϕ )

logc(ϕ).

donde logc es el logaritmo en base c.

Demostracion. Si se hacen n divisiones, tenemos que Fn+1 ≤ max|a|, |b|. Como

Fn+1 = bϕn+1

√5

+1

2c ≥ 1√

5

ϕn+1

√5

=ϕn+1

5.

Tomando logaritmos tenemos

(n+ 1) logc(ϕ)− logc(5) ≤ log(Fn+1) ≤ maxlogc(|a|), logc(|b|),

Concluimos

(n+ 1) ≤ 1

logc(ϕ)(maxlogc(|a|), logc(|b|)+ logc(5)) .

Y, por tanto, tenemos

n ≤ maxlogc(|a|), logc(|b|)+ logc(5)

logc(ϕ)− 1.

n ≤ maxlogc(|a|), logc(|b|)+ logc(5)− logc(ϕ)

logc(ϕ)=

maxlogc(|a|), logc(|b|)+ logc(5ϕ )

logc(ϕ).

2.1.7. Eliminacion Univariada Clasica. Una de las aplicaciones de la Identidad deBezout anterior son los tratamientos de Bezout, Sturm y Sylvester de la Eliminacion Univariadaclasica. Comencemos con un poco de terminologıa que los alumnos han visto en el curso deTeorıa de Galois.

Definicion 46 (Cuerpo Algebraicamente Cerrado). Un cuerpo K se dice algebraicamentecerrado si para todo polinomio f ∈ K[X] \K (i.e. no nulo y no unidad) existe ζ ∈ K tal que

f(ζ) = 0.

Proposicion 2.1.33 (Teorema del Resto (aka Ruffini)). Sea R un dominio de integridad,f ∈ R[X] un polinomio y sea ζ ∈ R. El resto de la division de f por (X − ζ) (conforme a lodescrito en el Teorema 1.3.9) es f(ζ) ∈ R. En particular, son equivalentes:

i) f(ζ) = 0,ii) (X − ζ) | f en R[X].

Mas aun, si R = K es un cuerpo, son equivalentes

i) El cuerpo K es algebraicamente cerradoii) Para todo d ∈ N, d ≥ 1 y para todo polinomio f ∈ K[X] de grado d, existen ζ1, . . . , ζr ∈

K, distintos dos a dos, y m1, . . . ,mr ∈ K y a ∈ K, a 6= 0 tales que:• m1 +m2 + · · ·+mr = d,• La siguiente igualdad se da en K[X]:

f = a(X − ζ1)m1(X − ζ2)m2 · · · (X − ζr)mr .

Los elementos ζ1, . . . , ζr ∈ K se llaman las raıces o los ceros del polinomio f en K y losnumeros entereos positivos m1, . . . ,mr se denominan (respectivamente) las multiplicidades deesas raıces.

Demostracion. Para la primera afirmacion, apliquemos la division euclıdea (como en elTeorema 1.3.9) y tendremos que existen q, r ∈ R[X] tales que deg(r) ≤ deg(X−ζ)−1 = 1−1 = 0(i.e. r ∈ R es una constante) y se verifica:

f(X) = q(X)(X − ζ) + r(X).


Evaluando en ζ ∈ R en los dos lados obtenemos:

f(ζ) = q(ζ)(ζ − ζ) + r(ζ) = q(η)0− r(ζ) = r(ζ).

Pero como r es una constante r(ζ) = r y tenemos f(ζ) = r = 0 como pretendıamos. Laimplicacion (X − ζ) | f =⇒ f(ζ) = 0 es obvia.Para el caso en que R = K sea un cuerpo algebraicamente cerrado, procedamos por induccionen d. Para el caso d = 1 la propiedad es obvia porque f = aX + b = a(X + a−1b) por sera ∈ K \ 0. Tomando ζ = −a−1b habremos terminado.Para el caso d ≥ 1, la definicion de cuerpo algebraicamente cerrado, nos garantiza que existeζ ∈ K tal que f(ζ) = 0. Por tanto, (X − ζ) | f y tendremos que exite g ∈ K[X] tal que

f = (X − ζ)g.

por tanto deg(g) = d − 1 y, por hipotesis inductiva, tendremos que existen ζ1, . . . , ζr ∈ K,m1, . . . ,mr ∈ K y a ∈ K, a 6= 0 tales que:

i) m1 +m2 + · · ·+mr = d− 1,ii) La siguiente igualdad se da en K[X]:

g = a(X − ζ1)m1(X − ζ2)m2 · · · (X − ζr)mr .Luego

f = a(X − ζ)(X − ζ1)m1(X − ζ2)m2 · · · (X − ζr)mr .y tenemos la afirmacion en el caso d.Nos queda pro probar que si se verifica la propiedad descrita, entonces K es algebraicamentecerrado. Pero eso es obvio: cualquier polinomio f ∈ K[X] de grado positivo, admite unafactorizacion como la descrita y, entonces, posee al menos un cero en K.

Corollario 2.1.34. Si K es un cuerpo algebraicamente cerrado, los elementos irreducibles (ylos elementos primos) de K[X] son:

0⋃a(X − ζ) : a ∈ K \ 0, ζ ∈ K.

Demostracion. Obvio desde la Proposicion predente. Lo unico que conviene recordar esque, como K[X] es un dominio de ideales principales (por ser dominio euclıdeo) un elementoes primo si y solamente si es irreducible (ver Teorema 2.1.10).

Proposicion 2.1.35. Todo cuerpo algebraicamente cerrado tiene cardinal infinito.

Demostracion. Supongamos que K = a1, . . . , am fuera un cuerpo finito. Definamosentonces el siguiente polinomio f ∈ K[X]:

f := (X − a1)(X − a2) · · · (X − am) + 1.

Claramente f(ζ) = 1 para cualquier ζ ∈ K y, por tanto, f no posee ninguna raız en K o, loque es lo mismo, K no puede ser algebraicamente cerrado.

Definicion 47 (Clausura Algebraica). Si K es un cuerpo, llamamos clausura algebraica deK al menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K.

Observacion 2.1.36. El concepto “menor” en la definicion anterior debe entenderse como“menor salvo K−isomorfismo de cuerpos”. Es decir, la clausura algebraica de un cuerpo Ksera un cuerpo K algebraicamente cerrado que satisface las siguientes propiedades:

• K es algebraicamente cerrado,• K ⊆ K (o, salvo isomorfismo, K contiene una copia isomorfa de K),• Para todo cuerpo L algebraicaente cerrado que contiene a K, existe ϕ : K −→ L un

morfismo de anillos tal que ϕ |K= IdK .

Notese que la existencia de un morfismo de anillos implica, por ser cuerpos todos ellos, que esun monomorfismo y, por tanto, K es isomorfo a un subcuerpo de L.Un resultado importante, que no desmotraremos en este curso, sino en el curso correspondiente,afirma lo siguiente.


Teorema 2.1.37 (Existencia de Clausura Algebraica). Suponiendo el Lema de Zorn, todocuerpo posee una clausura algebraica y esta es unica salvo isomorfismo de cuerpos. Mas aun, laclausura algebraica de un cuerpo es la mayor extension algebraica de ese cuerpo. En particular,si K es la clausura algebraica de K, todos los elementos α ∈ K son algebraicos sobre K, esdecir,

∀α ∈ K, ∃f ∈ K[X] \K, f(α) = 0.

Ejemplo 2.1.38. El “Teorema Fundamental del Algebra” (un Teorema de Analisis) dice queC es un cuerpo algebraicamente cerrado. Por tanto, los elementos irreducibles de C[X] son losdados mediante:

0⋃a(X − ζ) : a ∈ C \ 0, ζ ∈ C.

Por la relacion entre R y C es facil deducir que los elementos irreducibles de R[X] son los dadospor la siguiente coleccion:

0⋃a(X − ζ) : a ∈ R \ 0, ζ ∈ R

⋃a((X − b)2 + c2) ; a, c ∈ R \ 0, b ∈ R.

Ademas, C es la clausura algebraica de R. En el caso de Q es claro que Q no es un cuerpoalgebraicamente cerrado porque X2 + 1 no posee raıces en Q. Por ejemplo, el polinomio

X4 + 1 = (X2 −√

2X + 1)(X2 +√

2X + 1),

muestra que los irreducibles en Q[X] no tiene por que ser irreducibles en R[X]. Tambien puedeprobarse que Q[X] posee elementos irreducibles de grado tan grande como se quiera. La clausuraalgebraica Q de Q son los elementos de C algebraicos sobre Q, es decir,

Q = ζ ∈ C : ∃f ∈ Q[X], f(ζ) = 0.

En el caso de cuerpos finitos, las clausura algebraicas Fp de los cuerpos primos Fp, con p ∈ Nprimo no nulo,

Fp := Z/pZ,

tienen cardinal infinito, a pesar de que Fp es un cuerpo finito.

Consideremos, en lo que queda de Subseccion, que K la clausura algebraica del cuerpo K decoeficientes. Se tiene el siguiente resultado clasico:

Lema 2.1.39. Dados dos polinomios f, g ∈ K[X] no nulos, son equivalentes:

i) ∃ζ ∈ K, tal que f(ζ) = g(ζ) = 0ii) Si h es un maximo comun divisor de f y g en K[X], entonces deg(h) ≥ 1.

Demostracion. Para la primera implicacion, considerese que existe ζ ∈ K tal que f(ζ) = 0y g(ζ) = 0. Consideremos el siguiente conjunto a ⊆ k[X] dado mediante:

a := p(X) ∈ K[X] : p(ζ) = 0.

Es sencillo comprobar que a es un ideal de K[X]. Ademas, no es el ideal nulo (i.e. a 6= (0))porque, como hemos indicado mas arriba, todos los elementos de K son algebraicos sobre K.Esto significa que, como ζ es algebraico sobre K, existe un polinomio no constante p ∈ K[X]tal que p(ζ) = 0. Luego p ∈ a 6= (0) y, adicionalmente, a 6= (1), porque 1 no se anula en ζ. Enconclusion, a es un ideal propio de K[X] es un dominio de ideales principales, a = (h) es unideal principal no nulo y distinto del total. En terminos de extensiones de cuerpos, el generadorh es el polinomio mınimo de ζ sobre K o, con otras notaciones, h = IrrK(ζ) ∈ K[X]. Comof(ζ) = g(ζ) = 0, entonces, f, g ∈ a y, por tanto, h | f y h | g y h es no constante. Por tanto,deg(gdc(f, g)) ≥ 1 y habremos terminado.Para la otra implicacion, sea h = gcd(f, g) y supongamos deg(h) ≥ 1 (es decir, h no es con-stante). Como K es un cuerpo algebraicamente cerrado, todo polinomio no constante posee, almenos, una raız. Es decir, existe ζ ∈ K tal que h(ζ) = 0. Como h es el maximo comun divisorde f y g, h | f y h | g, obviamente se tiene f(ζ) = 0 y g(ζ) = 0 como indica la propiedad(1).


2.1.7.1. Mutiplicar por un polinomio. Consideremos el conjunto K[X]d formado por lospolinomios univariados de grado a lo sumo d, es decir, K[X] :=:= f ∈ K[X] : deg(f) ≤ d.Como se indica en el Problema 32, con las operaciones suma y producto por un escalar en K,tenemos que:

(K[X]d,+, ·K),

es un K−espacio vectorial de dimension d+ 1. Una base ordenada es la dada por los monomios1, X,X2, . . . , Xd. Ahora consideremos un polinomio no nulo f := amX

m+am−1Xm−1+· · ·+

a1X + a0 y supongamos am 6= 0. Es claro que para cada polinomio g ∈ K[X]d, el polinomio fges de grado d+m. Esto nos permite definir, una aplicacion

ρf : K[X]m −→ K[X]d+m,

dado mediante:

ρf (g) := fg.

Se tiene:

Proposicion 2.1.40. La aplicacion ρf : K[X]m −→ K[X]m+d es una aplicacion lineal que,en las respectivas bases monomiales, viene dada por la matriz Sm+1(f) ∈M(d+m+1)×(m+1)(K)(i.e. m+ d+ 1 filas y m+ 1 columnas), dada mediante la expresion siguiente:

Sm+1(f) :=

a0 0 · · · 0a1 a0 · · · 0...

.... . .

...ad ad−1 · · · ad−m0 ad · · · ad−m+1

0 0 · · · ad−m+2

......

. . ....

0 0 · · · ad

.

Demostracion. Supongamos que las coordenadas de un polinomio g ∈ K[X]m en la basemonomial 1, X,X2, . . . , Xm son dadas mediante la lista (z0, z1, . . . , zm). En otras palabras,estamos diciendo que

g = z0 + z1X + z2X2 + · · ·+ zmX

m.

Ahora mutiplicamos

fg := c0 + c1X + c2X2 + · · · cm+dX

m+d,

donde

ck :=∑i+j=k

aizj .

Escrita esta expresion en forma matricial (suponiendo d ≥ m por simplicidad de la expresion)tendremos:

a0 0 · · · 0a1 a0 · · · 0...

.... . .

...am am−1 · · · a0

am+1 am · · · a1

......

. . ....

ad ad−1 · · · ad−m0 ad · · · ad−m+1

0 0 · · · ad−m+2

......

. . ....

0 0 · · · ad

z0

z1

z2

...zm

=

c0c1...cmcm+1

...cdcd+1

cd+2

...cd+m

.


Teorema 2.1.41 (Resultante de Sylvester–Bezout). Sean f y g dos polinomios no con-stantes en K[X] de grados respectivos n y m. Consideremos la matriz Sylv(f, g) ∈Mn+m(K)(llamada matriz de Sylvester-Bezout de f y g) dada mediante:

Sylv(f, g) := (Sm(f) | Sn(g)) .

Son equivalentes:

i) ∃ζ ∈ K, tal que f(ζ) = g(ζ) = 0ii) Si h es un maximo comun divisor de f y g en K[X], deg(h) ≥ 1.iii) El rango de la matriz de Sylvester es menor que n+m− 1,iv) El determinante Res(f, g) := det(Sylv(f, g)) = 0.

Al determinante Res(f, g) := det (Sylv(f, g)) se le denomina resultante de f y g.

Demostracion. Comencemos considerando la aplicacion lineal siguiente:

(2.1.5)Sf,g : K[X]m−1 ×K[X]n−1 −→ K[X]n+m−1

(a, b) 7−→ af + bg.

Es claro que es una aplicacion lineal, que esta bien definida y, consideremos las bases siguientes:

• En K[X]n+m la base monomial dada mediante Γ := 1, X,X2, . . . , Xn+m−1• EnK[X]m−1 y enK[X]n−1 las respectivas bases monomiales. En el productoK[X]m−1×K[X]n−1 la base “producto” de las respectivas bases monomiales:

β := (Xi, 0) : 0 ≤ i ≤ m− 1⋃(0, Xj) : 0 ≤ j ≤ n− 1.

Observese que, en particular, los espacios vectoriales K[X]m−1×K[X]n−1 y K[X]n+m−1 tienenla misma dimension n+m. Ademas, la matriz de Sf,g (que es aplicacion lineal) en las bases βy Γ es, exactamente, Sylv(f, g), donde

Sylv(f, g) := (Sm(f) | Sn(g)) =

m︷︸︸︷a0 0 · · · 0a1 a0 · · · 0...

.... . .

......

.... . . a0

an an−1 · · ·...

0 an. . .

......

.... . .

......

.... . .

...0 0 · · · an

n︷︸︸︷b0 0 · · · 0b1 b0 · · · 0...

.... . .

......

.... . . b0

......

. . ....

bm bm−1 · · ·...

0 bm. . .

......

.... . .

...0 0 · · · bm

∈Mn+m(K),

siendo

f := anXn + an−1X

n−1 + · · ·+ a1X + a0,

y

g := bmXm + bm−1X

m−1 + · · ·+ b1X + b0.

Por tanto, concluimos que Sf,g es un isomorfismo si y solamente si Sylv(f, g) tienen rangon + m o, equivalentemente, det(Sylv(f, g)) 6= 0. En particular, si Sf,g es isomorfismo, elelemento 1 ∈ K[X]n+m−1 esta en la imagen Im(Sf,g). Esto ultimo significa solamente que1 = af + bg y por tanto tenemos probado ¬(3) ⇒ ¬(2). En conclusion, tenemos probadas lasimplicaciones :

(1)⇔ (2)⇒ (3)⇔ (4),

de las afirmaciones descritas en el enunciado. Queda por ver (3)⇒ (2). Para ello, supongamosque Sylv(f, g) no tiene rango maximo n + m. Entonces, Sf,g no es isomorfismo y existe h ∈K[X]n+m que no esta en la imagen de Sf,g. Veamos que, entonces, h 6∈ (f, g) y habremosconcluido que (f, g) = (f) + (g) 6= K[X], con lo que ambos ideales no son co–maximales ygcd(f, g) no es una constante no nula en K[X]. Supongamos que h 6∈ Im(Sf,g) y supongamosque h ∈ (f, g). Entonces, existen a, b ∈ K[X] tales que h = af + bg. Ahora aplicamos elmismo argumento usado en la prueba de la identidad de Bezout con cotas (Teorema 2.1.19 y


Corolario 2.1.21 anteriores). Elegimos α := rem(a, g) con deg(α) ≤ deg(g) − 1. Con lo cualα ∈ K[X]m−1. Sea q el cociente de la division de a por g y definamos β = qf + b. Tenemos

(2.1.6) h = af + bg = αf + (qf + b)g = αf + βg.

De nuevo, es facil probar que

deg(βg) ≤ maxdeg(h),deg(α) + deg(f) ≤ n+m− 1.

Por tanto, deg(β) ≤ n − 1 y β ∈ K[X]n−1. La identidad (2.1.6) significa h = αf + βg =Sf,g(α, β). Y, por tanto, llegarıamos a contradiccion, dado que h 6∈ Im(Sf,g).

Corollario 2.1.42. El grado del maximo comun divisor de dos polinomios f y g es el gradodel polinomio no nulo de menor grado en Im(Sf,g). Mas aun, del grado del maximo comundivisor de f y g es el co-rango de Im(Sf,g) en K[X]n+m−1. Es decir,

deg (gcd(f, g)) = co− rankK[X]n+m−1(Im(Sf,g)) = (n+m)− dim (Im(Sf,g)) .

En otros terminos

deg (gcd(f, g)) = (n+m)− rak (Sylv(f, g)) .

Demostracion. La primera de las afirmaciones es evidente. El polinomio no de menorgrado h ∈ Im(Sf,g) es el maximo comun divisor de f y g.Pero podemos determinar ese grado de manera precisa, simplemente oncociendo el rango de lamatrix Sylv(f, g). Para ello, consideremos un polinomio cualquiera p ∈ Im(Sf,g) y consideremosel subespacio vectorial sobre K generador por la familia siguiente (dependiente de p y de n+m:

Bp := p,Xp,X2p, . . . ,Xn+m−1−dp ⊆ K[X]n+m−1,

donde d := deg(p). Notese que el cardinal de Bp es igual a n + m − d. Sea Ωp el subespaciovectorial generado por Bp en K[X]m+n−1. Supongamos que

p := adXd + ad−1X

d−1 + · · ·+ a1X + a0,

con ad 6= 0. Si escribimos las coordenadas de los vectores de p en la base monomial deK[X]n+m−1 y configuramos la mtriz cuyas columnas son esas coordenadas, nos queda:

(n+m)−d︷︸︸︷a0 0 · · · 0a1 a0 · · · 0...

.... . .

......

.... . . a0

......

. . ....

ad ad−1. . .

...

0 ad · · ·...

......

. . ....

0 0 · · · ad

.

Es claro que se trata de una matriz con (n + m) − d columnas, que contiene una submatriztriangular superior con ad 6= 0 en la diagional y (n + m) − d filas y columnas. Por tanto,esta matriz tiene rango (n + m) − d. Esto implica que los vectores en Bp son linealmenteindependientes y, por tanto, el subespacio Ωp es un subespacio de dimension igual a (n+m)−d.De otro lado, si p ∈ Im(Sf,g), entonces es claro que todo Bp ⊆ Im(Sf,g) y, por tanto, Ωp ⊆Im(Sf,g). Ademas, esta afirmacion es una equivalencia. (ver Problema 99 mas abajo).Ahora, consideremos el maximo comun divisor h := gcd(f, g) y supongamos t := deg(h). Porlo dicho mas arriba, es el polinomio no nulo de menor grado en Im(Sf,g). COnsideremos lafamilia Bh y el subpesacio Ωh. Como h ∈ Im(Sf,g), entonces Ωh ⊆ Im(Sf,g), luego

(n+m)− t = dim(Ωh) ≤ dim(Im(Sf,g)) = rank(Sylv(f, g)).


De otro lado, supongamos p ∈ Ima(Sf,g) un polinomio no nulo cualquiera. Aplicando divisioneuclıdea, tendremos:

p = qh+ r,

con deg(r) ≤ deg(h)− 1 = t− 1. Es facil observar que qh esta en Ωh. Para ellos, baste observarque deg(p) ≤ n+m− 1, luego deg(q) ≤ n+m− 1− t y podemos escribir:

q := bn+m−1−tXn+m−1−t + · · ·+B1X + b0.

Por tanto,

qh =

n+m−1−t∑i=0

bi(Xih

)∈ Ωh.

Como h ∈ Im(Sf,g), entonces Ωh ⊆ Im(Sf,g), luego qh ∈ Im(Sf,g). Dado que p ∈ Im(Sf,g).Por tanto, r = p− qh ∈ Im(Sf,g). Si r 6= 0, entonces existirıa un polinomio r ∈ Im(Sf,g) cuyogrado satisface deg(r) < deg(h), contradiciendo que el grado de h es el mınimo de los gradosde los polinomios no nulos en Im(Sf,g). Por tanto, necesariamente, r = 0. Con ello, hemosprobado que dado cualquier p ∈ Im(Sf,g) implica que p ∈ Ωh. En particular, Im(Sf,g) ⊆ Ωh yconcluiremos que:

rank(Sylv(f, g)) = dim(Ima(Sf,g) ≤ dim(Ωh) = (n+m)− t.Hebramos probado ası la igualdad buscada en el enunciado:

(n+m) = deg(gdc(f, g)) + rank(Sylv(f, g)),

concluyendo la prueba del enunciado del Corolario.


Problema 77. Usando las matrices Sm(f) que se describen en la Subseccion 2.1.7, hay queprobar que la division euclıdea en el anillo de polinomios es, en realidad, la resolucion de unsistema de ecuaciones lineales compatible y determinado. Describe ese sistema de ecuaciones.

Problema 78. Prueba las siguientes afirmaciones:

i) Verificar que si K = Q es el cuerpo de los racionales, el siguiente conjunto no es idealen Q[X]:

f ∈ Q[X] : f(0) ∈ Z.ii) Verificar que si a ∈ Q, el conjunto siguiente es un ideal principal de Q[X]:

ma := f ∈ Q[X] : f(a) = 0.Hallar un generador. Comprobar que ma no es subanillo de Q[X] y que 1 6∈ ma.

iii) Si a ∈ C es un numero complejo, algebraico sobre Q. Describir quien es el siguienteconjunto:

ma := f ∈ Q[X] : f(a) = 0.¿ Es ideal principal?, ¿Quien es su generador?.

iv) Hacer el mismo analisis de ma cuando a ∈ C es un numero trascendente sobre Q.

Problema 79. Sea p ∈ N un primo. Sea m ∈ Z un entero con m ≤ −(p + 1). Prueba que,entonces, p es irreducible en Z [

√m].

Problema 80. Sea p ∈ N un primo. Sea m ∈ Z un entero con m ≡ 1 mod 4 y m ≤ −(4p+1).

Prueba que, entonces, p es irreducible en Z[

1+√m

2

].

Problema 81. Sea m ∈ Z un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Sea α =a+ b

√m ∈ Z[

√m]. Prueba que si a2 −mb2 ∈ ±1, entonces α ∈ (Z[

√m])∗.

Problema 82. Como en el problema previo, sea m ∈ Z un entero positivo que no es un

cuadrado perfecto y tal que m = 1 mod 4. Sea α = a + b 1+√m

2 ∈ Z[ 1+√m

2 ]. Prueba que si severifica

a2 + ab+

(1−m

4

)b2 ∈ ±1,

entonces α ∈(Z[ 1+

√m

2 ])∗

.


Problema 83. Con las notaciones habituales, hay que realizar las siguientes tareas:

• Prueba que el ideal (1− 3i, 3− i) es un ideal principal en el anillo de Gauss Z[i].• Prueba las siguientes relaciones entre ideales de Z[

√−5]:

i) (2, 1 +√−5) = (2, 1−

√−5),

ii) (3, 1 +√−5) 6= (3, 1−

√−5),

iii) (2, 1 +√−5) 6= (3, 1 +

√−5),

iv) (2, 1 +√−5) 6= (3, 1−

√−5).

Problema 84. Verifica el numero de divisiones para hallar el maximo comun divisor medianteel metodo de Euclides en los casos siguientes. Intenta comparar con aplicar el metodo escolarbasado en la Criba de Eratostenes.

i) a = 8633, b = 4171ii) a = 15251, b = 1751,iii) a = 123521, b = 20467,iv) a = 942373, b = 6589,v) a = 1015103, b = 1073287.

Problema 85. Sea R un dominio de integridad. Sean a, b, c ∈ R tales que (a, c) = R. Pruebaque (a, bc) = (a, b).

Problema 86. Prueba que 17− 3√

3 y 83 + 47√

3 son asociados en Z[√

3].

Problema 87. Expresar 2 + 8√−5 como producto de irreducibles en Z[

√−5]. ¿Es posible

hallar mas de una expresion?. Intentar lo mismo con 6. ¿Es Z[√−5] dominio de factorizacion

unica?, ¿sera un dominio de ideales principales?.

Problema 88. Prueba que√

10 no es primo en Z[√

10] y probar que sı es irreducible. Concluir

que Z[√

10] no es un dominio de ideales principales.

Problema 89. Sea r ∈ Z \ −2, 0 un entero y consideremos el polinomio:

f(X) := X3 + rX + 1.

Sea R el anillo cociente Z[X]/(f). Prueba que R es un dominio de integridad. Sea θ := X+(f)la clase definida por el elemento X ∈ Z[X]. Prueba que θ ∈ R∗.

Problema 90. Sea m ∈ Z un entero sin factores primos multiples. Definamos la funcion:

φm : Q[√m] −→ Q,

a+ b√m 7−→ |a2 −mb2|.

Notese queφm(a+ b

√m) = |(a+ b

√m)(a− b

√m)|.

Prueba que se verifican las siguientes propiedades:

i) φm(Z[√m] ⊆ N,

ii) φm(x) = 0⇐⇒ x = 0,iii) ∀x, y ∈ Z[

√m], φm(xy) = φm(x)φm(y),

iv) φm(xy) ≥ φm(x), ∀x, y ∈ Z[√m], y 6= 0.

Problema 91. Sea φm y Z[√m] como en el problema anterior. Prueba que (Z[

√m], φm) es

un dominio euclıdeo si y solamente si se verifica la siguiente propiedad:

∀x, y ∈ Q,∃a, b ∈ Z, tales que φm((x+ y

√m)− (a+ b

√m))< 1

Problema 92. Prueba que si m ∈ Z es un entero negativo sin factores multiples, entonces(Z[√m], φm) es dominio euclıdeo si y solamente si m ∈ −2,−1.

Problema 93 (Divisor Lateral Universal). Sea R un dominio de integridad que no escuerpo. Un elemento u ∈ R que no esta en R∗ ∪ 0 se denomina divisor lateral universal enR si verifica:

∀x ∈ R,∃z ∈ R∗ ∪ 0, tal que u | x− z.Se pide probar las afirmaciones siguientes :

i) Si (R,φ) es un dominio euclıdeo, entonces posee divisor lateral universal. (Pista:Elegir un elemento u ∈ R que minimice φ(x) : x ∈ R, x 6∈ R∗ ∪ 0).


ii) Si m es un entero sin factores multiples, tal que m = 2, 3 mod 4 y m < −2, entoncesZ[√m] no posee divisores laterales universales y, en consecuencia, no existe ninguna

funcion euclıdea sobre Z[√m]. (Pista: si hubiera divisor universal lateral, entonces

tiene que ser divisor de alguno de los elemntos 2−1, 2+0, 2+1 en Z[√m]. Los unicos

divisores laterales posible seran ±2,±3. Pero ninguno de esos 4 elementos divide aninguno de los elementos

√m− 1,

√m,√m+ 1.)

2.1.8.1. El algoritmo de Berlekamp. La siguiente serie de problemas muestra un algoritmode factorizacion de polinomios sobre un cuerpo finito, conocido como algoritmo de Berlekamp([Be, 70]).

Problema 94. Pruebese la siguiente propiedad, base del algorimo de factorizacion de Berlekamp;Sea Fq el cuerpo finito de q elementos. Sea g ∈ Fq[T ] un polinomio cualquiera, entonces, setiene :

g(T )q − g(T ) :=∏x∈Fq

(g(T )− x)

Problema 95. Supongamos ahora que f :=∏ri=1 fi es una factorizacion de un polinomio

f ∈ Fq[T ], sabiendo quegcd(fi, fj) = 1,

i.e. suponemos que f no posee factores irreducibles multiples.Consideremos el anillo cociente :

R := Fq[T ]/(f)

Para cada g ∈ Fq[T ], denotemos por g ∈ R su clase modulo f . Pruebese la siguiente afirmacion :Para cada g ∈ Fq[T ] tal que gq − g = 0 es cierta en R, y para cada factor irreducible fi de f ,existe un unico xi ∈ Fq tal que :

f | g(T )− xien Fq[T ].

Problema 96. Con las anteriores notaciones, pruebese la siguiente afirmacion:Para cada punto (x1, . . . , xr) ∈ Frq existe un polinomio g ∈ Fq[T ] de grado estrictamente menorque el grado de f tal que :

gq − g = 0 en R y g + (fi) = xi + (fi) en Fq[T ]/(fi).

( Hint: Se requiere el uso del Teorema Chino de los Restos en Fq[T ]. Buscar informacion masadelante en este mismo texto.)

Problema 97. Con las anteriores notaciones, pruebese la afirmacion siguiente:El conjunto de polinomios g ∈ Fq[T ] de grado menor estricto que el grado de f y tales quegq − g = 0 en R es un Fq−espacio vectorial cuya dimension coincide con el numero de factoresirreducibles de f .

Problema 98. Defınase, usando los Problemas precedentes, un algoritmo que decide si unpolinomio univariado f ∈ Fq[T ], sin factores multiples, es irreducible o no en Fq[T ].

Problema 99. Sean Bp y Ωp la familia de polinomios y el subespacio vectorial de K[X]n+m−1

descritos en la prueba del Corolario 2.1.42. Prueba que p ∈ Im(Sf,g) si y solamente si Ωp ⊆Im(Sf,g).

Problema 100. Disena un algoritmo que calcula el maximo comun divisor de dos polinomiossin hace ni una division y usando solamente Algebra Lineal basica. Usando el Corolario 2.1.42,divide las etapas es las siguientes:

• Dados f, g ∈ K[X] de grados respectivos n y m, hallar la matriz Sylv(f, g).• Hallar el rango de la matriz Sylv(f, g).• Construir un sistema de ecuaciones polynomiales cuya matriz de coeficientes sea la

matriz de Sylvester Sylv(f, g), con alguna matriz identidad anadida, y cuyas solu-ciones sean:

– El maximo comun divisor de f y g,– Los polinomios de la Identidad de Bezout para f , g y su maximo comun divisor.

Trata de estimar cuantas operaciones en el cuerpo de coeficientes ( operaciones en +,−,×, ·−1y tests de signo = 0?) son necesarias para hallar el maximo comun divisor de dos polinomioscon tu metodo.


2.1.8.2. El Sistema Criptografico RSA. Lo que sigue es una serie de problemas que expli-can el funcionamiento interno del sistema criptografico RSA a traves de una serie de sencillosproblemas (cf. [RSA, 78]).

Problema 101 (Funcion de Euler). Definiremos la funcion de Euler ϕ : N −→ N del modosiguiente :

ϕ(n) := ]m ∈ N : m ≤ n, gcd(m,n) = 1.Se pide probar las siguientes afirmaciones:

i) La funcion de Euler es el cardinal del grupo multiplicativo de las unidades de Z/nZ),es decir,

ϕ(n) = ]((Z/nZ)

∗).

ii) Para cada numero natural n ∈ N, n ≥ 2, las siguientes propiedades son equivalentes :(a) n ∈ Z es primo,(b) Z/nZ es un dominio de integridad.(c) Z/nZ es un cuerpo(d) ϕ(n) := n− 1(e) (Z/nZ)∗ con la operacion producto es un grupo abeliano de orden n− 1.

Problema 102 (Teorema Pequeno de Fermat (version debil)). Probar la siguiente afir-macion:Sea p ∈ N un numero primo y n ∈ N un numero natural, entonces

ϕ(pn) = pn − pn−1.

Probar, como consecuencia el teorema Pequeno de Fermat:Dado n ∈ N un numero primo, n ≥ 2. Entonces, para cada x ∈ Z/nZ \ 0, se tiene :

xn−1 ≡ 1 mod n.

Verifica que esta propiedad no caracteriza a los numeros primos. Desgraciadamente hay masnumeros que los numeros primos verificando esta propiedad. Son los llamados numeros deCarmichael. El mas pequeno numero de Carmichael conocido que no es primo es 561. Pruebaque no es primo y sı verifica la condicion del Teorema Pequeno de Fermat. Busca informacionadicional sobre los numero de Carmichael en Wikipedia e incorporalo al Problema.

Problema 103 (Teorema Pequeno de Fermat (version fuerte)). Prueba el siguienteenunciado usado por [Pr, 75]:Un numero natural n ∈ N, n ≥ 2 es un numero primo si y solamente si una cualquiera de lassiguienets condiciones son equivalentes :

i) (Z/nZ)∗ es un grupo cclio de orden n− 1,ii) La ecuacion Xn−1 − 1 posee una raız primitiva en el anillo Z/nZ.

Problema 104. Prueba que la funcion de Euler satisface: ϕ(1) = 1 y para n ≥ 2 se tiene:∑m|n

ϕ(m) = n

Problema 105 (La funcion de Euler es multiplicativa). Prueba que la funcion de Euleres mutiplicativa. Es decir, dados n,m ∈ N, n,m ≥ 2 dos numeros naturales coprimos (i.e.gcd(m,n) = 1), entonces

ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).

Concluir que si p y q son dos primos no nulos y distintos en Z, entonces

ϕ(pq) = (p− 1)(q − 1).

Hint: usa el teormea de los Chinos sobre Z (visto en Introduccion al Lenguaje Matematico) ola version mas avanzada en Teorema 3.2.2.

Problema 106 (RSA: Definicion de Clave Publica). Se trata de suponer una red deusuarios (tipo internet o cualquier red social) que ponen a disposicion de todo el mundo unaclave publica. Si los mimebros de esa red son los elementos de un conjunto I, cada individuopublicara una clave publica Ni que sera visible para todo miembro de la red. El siguiente procesodetermina como un individuo i prepara su clave publica Ni := (n, e).


• El individuo i elige dos numeros primos grandes que olo el conoce y que denotaremospor p y q. Para ello usara distintos Tests de Primalidad disponibles en el mercado.

• El individuo prepara su clave publica n := pq, pero se reserva el coocimiento de p yq. Adicionalmente, calcula la funcion de Euler ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Prueba queexisten primos p y q tales que p < q < 2p, para p suficentemente grande. Pruebese quen y ϕ(n) son co-primos en este caso. El valor de la funcion de Euler ϕ(n) se ocultaprovisionalmente para preparar las claves.

• Seguidamente el individuo halla un elemento e ∈ N tal que 1 < e < ϕ(n) y tal quegcd(e, ϕ(n)) = 1. Pruebese que ese elemento e existe.

• Pruebese que, en el caso p < q < 2p, el resto e de la division de n por ϕ(n) puede serelegido para ese proposito. Pruebese que ese resto vale e = p+ q − 1. Notese que, sinembargo, eligiendo e como ese resto, cualquier agente de la red publica descubrira losmensajes que se envıen hacia el miembro que haya elegido e como clave.

• Pruebese que el numero e elegido anteriomente posee inverso en el anillo cocienteZ/ϕ(n)Z.

• Hallese el inverso d ∈ N de e en Z/ϕ(n)Z. Hint: usar la Identidad de Bezout concotas en Z (ver Corolario 2.1.20).

El usuario define su clave publica cono el par de nueros enteros (n, e). El usuario se guarda suclave privada d y tira todo el resto de la infromacion y los calulos realizados. Verifica que si seconoce el valor de la funcion de Euler ϕ(n), se puede conocer la clave privada d. Verifica quela funcion de Euler se puede conocer a partir de los dos primos p y q. Deduce que factorizarnumero enteros dados como producto de dos primos, permite “romper” la clave privada de todousuario de esa red encriptada.

Problema 107. Verifica que, en el sistema de clave publica anterior, si de un usuario i seconocen su clave publica (n, e) y su clave privada d, se pueden hallar los dos numeros primosp y q de la factorizacion de n. Verifica tambien que se puede calcular facilmente la funcion deEuler ϕ(n) a partir de n, d y e.

Problema 108 (Codificacion y decodificacion de un mensaje en RSA). Los mensajesse presentan como numeros, bien usando usna asignacion de numeros de dos dıgitos a cadasımbolo del teclado o por otro medio (alfabeto ASCII, por ejemplo, buscar en wiki ASCII ysu codificacion en base 2). El individuo i (con clave publica (ni, ei) quiere enviar un mensajeM ∈ N al individuo j (con clave publica (nj , ej)). Para empezar elige M con gcd(M,nj) = 1(es decir, M ≤ nj − 1 y M ∈ (Z/njZ)

∗). En caso de que no sea ası, el individuo i trocea M en

varias partes, cada una de las cuales es menor que nj − 1 y es unidad. Proceden como sigue:

i) El emisor i del mensaje procede como sigue :• Calcula el criptograma C := Mej (mod nj) y lo expone publicamente. Manda un

mensaje al individuo j indicandole que le ha dejado un mensaje. Todo el mundopuede leer el Criptograma C y todos saben que es para el individuo j de parte dei.

Prueba que el individuo i puede escribir el criptograma C con el solo conocimiento desu mensaje y la clave publica del individuo j.

ii) El receptor j del mensaje procede como sigue:• Calcula el criptograma C ′ := Cdj (mod nj) y lee el mensaje.

Prueba que el receptor j puede hallar C ′ y que recupera el mensaje original M de i,es decir, prueba que

C ′ = M mod nj .

Problema 109. Usando en sistema criptografico de clave publica RSA anterior, con variosusuarios

(ni, ei) : i ∈ I,de tal modo que cada usuario y solo cada usuario, conoce su clave privada di. Supongamosque tres individuos i, j, k realizan las tareas siguientes: i envıa a j el mensaje M siguiendo elprocedimiento anterior. El individuo k puede ver:

• Las claves publicas de i y j : (ni, ei), (nj , ej).• El criptoograma C publicado por i como mensaje a j.


Intenta definir el procedimiento algorıtmico que debe seguir el individuo k para descrifrar enmensaje M a partir de esta informacion. Deduce si es facil o difıcil factorizar numeros enteros.Explica el error que se produce cuando, en los algoritmos escolares, se ensea a clacular elmaximo comun divisor de dos numeros enteros. Busca en wikipedia algunos de los sistemas decomunicacion segura basados en RSA (ssh, PGP, SSL/TLS, S/MIME). Resume lo que entiendassobre estos protocolos.

Problema 110 (Autentificacion y Firma Digital). De nuevo supongamos una read formadapor individuos de los que se conocen sus claves publicas:

(ni, ei) : i ∈ I.Los individuos quieren enviarse mensaje encriptados con la conidicon de que el receptor puedaverificar que el emisor es el individuo previsto y no otro individuo de la redhacieonse pasar por el.

El individuo i de clave (ni, ei) quiere enviar un mensaje M cifrado y firmado al individuo j (declave (nj , ej)). Procede como sigue:

• Calcula la siguiente cntidad que solo el conoce porque s’olo es conoce su clave privadapropia di:

C1 := Mdi mod ni.

• Calcula:C2 := C

ej1 mod nj .

y lo hace publico a toda la red.

El individuo j puede recuperar la informacion oroginal sin conocer la clave pribada di del emisor.Ademas, puede estar seguro de que esa informacin viene “firmada” por el individuo i. Procedecomo sigue:

• El individuo j debe calcular:

C3 := Cdj2 mod nj ,

y lo puede conocer porque C2 es publico y dj es su clave privada que solo j conoce.• Posteriormente el individuo j calcula:

C4 := Cei3 mod ni.

Verifica que el individuo j puede calcular C4 y que se verifica:

M = C4 mod ni.

Explica por que ese mensaje de i para j viene firmado por i con su clave digital (privada).

Problema 111. Un sistema de clave publica es seguro por la razon siguiente: En un sistemabasado en “libro de claves”, basta con que un miembro externo a un red ci : i ∈ I sobe ellibro de claves de uno de los mirmbos ci de la red para disponer de toda la informacion quelos miembros de la red estan distribuyendo unos a otros. Es el fallo de sistemas tipo la famosamaquina Enigma (busca n internet). En cambio en sistema de clave publica (tipo RSA) esteproblema no se produce: si alguien roba la clave privada de un miembro, solo podra descrifrarla informacion que emita el individuo robado, pero no podra disponer de otra informacioncirculando en esa red y que no onvlucre al individuo robado. Explica la razon.

2.2. Ideales Primos, Maximales

2.2.1. Ideales Primos y Maximales.

Definicion 48 (Ideales Primos y Maximales). Sea R un anillo:

i) Un ideal p ⊆/ R, se llama primo si el anillo cociente R/p es un dominio de integridad.Denotaremos por Spec(R) al conjunto de todos los ideales primos del anillo R y lodenominaremos espectro primo de R.

ii) Un ideal m ⊆/ R, se llama maximal si el anillo cociente R/m es un cuerpo. Deno-taremos por Spm(R) al conjunto de todos los ideales maximales del anillo R y lodenominaremos espectro maximal de R.

2.2. IDEALES PRIMOS, MAXIMALES 105

Ejemplo 2.2.1. i) Un ideal R es dominio de integridad si y solamente si (0) ∈ Spec(R).ii) Todo ideal maximal es obviamente primo (y tenemos Spm(R) ⊆ Spec(R)), pero el

recıproco no es cierto en general. Ası, (0) ∈ Spec(Z) \ Spm(Z) 6= ∅.iii) Obviamente si K es un cuerpo Spec(K) = Spm(K) = (0) y esta definido por un

unico elemento.iv) En un dominio de ideales principales, un ideal p = (p) es un ideal primo si y solamente

si el generador p es un elemento primo o, equivalentemente, irreducible.v) En un dominio de ideales principales, los ideales maximales son los ideales primos no

nulos.vi) Los anillos para los cuales Spm(R) = Spec(R) se denominan anillos de dimension

cero y si verifican ciertas condiciones de cadena, los llamaremos Anillos de Artin(pero esto corresponde a Capıtulos mas avanzados del curso).

vii) Los conjuntos Spec(R) y Spm(R) son conjuntos parcialmente ordenados con respectoa la inclusion ⊆.

Proposicion 2.2.2. Las siguientes son caracterizaciones alternativas de ideales primos y max-imales en un anillo R:

• Un ideal p ⊆/ R es primo si verifica:

∀x, y ∈ R, xy ∈ p =⇒ (x ∈ p) ∨ (y ∈ p).

• Un ideal m ⊆/ R es maximal si y solamente si es maximal en el conjunto de los idealesa ⊆/ R ordenados por la inclusion. Es decir m ⊆/ R es maximal si y solamente si paracualquier ideal a de R, tal que a ⊆/ R, se tiene

m ⊆ a =⇒ m = a.

Demostracion. Para la primera de las afirmaciones observese que xy ∈ p es equivalentea

(x+ p)(y + p) = 0, en R/p,

mientras que x ∈ p e y ∈ p son respectivamente equivalentes a

x+ p = 0, y + p = 0, en R/p.

Con estas observaciones es clara la equivalencia entre las afirmaciones R/p es dominio de in-tegridad y la descrita en la primera de las afirmaciones de esta proposicion. Para la segundaafirmacion, recordemos que R/m es un cuerpo si y solamente si sus unicos ideales son (0) y R/my que los ideales del anillo cociente R/m estan en biyeccion con los ideales de R que contienena m. Por tanto, R/m es un cuerpo si y solamente si para cualquier ideal a ⊆/ R, tal que m ⊆ ase ha de tener

(a/m = (0)) ∨ (a/m = R/m) .

Como, para todo ideal a ⊆/ R, se ha de tener a/m 6= R/m, concluimos la equivalencia entreambas caracterizaciones.

Corollario 2.2.3. Sea R un dominio de ideales principales, entonces

Spm(R) := (p) : p es irreducible y p 6= 0.Es decir, los maximales en los dominios de ideales principales son los ideales primos no nuloso, equivalentemente, los generados por elementos irreducibles.

Demostracion. El resultado es consecuencia inmediata del Teorema 2.1.10. Lo que vamosa hacer es dar una demostracion equivalente, pero descriptiva en terminos de ideales maximales.Supongamos que p 6= 0 es un elemento irreducible de un dominio de ideales principales y seam := (p) el ideal que genera. Supongamos a un ideal propio de R tal que

m ⊆ a ( (1) = R.

Entonces, a = (a) por ser R un dominio de ideales principales y a | p. Como p es irreducibleconcluiremos que o bien a ∈ R∗ (lo que no es el caso porque (a) = a ( R) o bien a ∼ p (i.e.son asociados) con lo que (p) = (a) o, equivalentemente, m = a y tenemos la maximalidad dem. Recıprocamente, si m ∈ Spm(R) es un ideal maximal de R y dado que R es dominio deideales principales, existe q ∈ R tal que m = (q). Veamos que q es necesariamente irreducible.


Porque si x | q, entonces, si x 6∈ R∗ (i.e. x no es unidad), entonces, tenemos m ⊆ (x) ( R, lamaximalidad de m nos indica que m = (x) lo que implica que q ∼ x y hemos probado que q esirreducible. Dado que los ideales maximales son primos, todo elemento irreducible no nulo esprimo por generar un ideal primo.

Corollario 2.2.4. Si a ⊆/ R es un ideal de un anillo R, podemos observar:

i) Los ideales primos del anillo cociente R/a esta biyectivamente identificados con losideales primos de Spec(R) que contienen al ideal a, mediante la transformacion

p 7−→ p/a.

En particular, se tiene:

Spec(R/a) := p/a : p ⊇ a, p ∈ Spec(R).

ii) Los ideales maximales del anillo cociente R/a esta biyectivamente identificados con losideales maximales de Spm(R) que contienen al ideal a, mediante la transformacion

p 7−→ p/a.

En particular, se tiene:

Spm(R/a) := p/a : p ⊇ a, p ∈ Spm(R).

Demostracion. Retomamos la Observacion 1.4.29 y los Teoremas de Isomorfıa. A partirde los Teoremas de Isomorfıa, tenemos para cada ideal b ⊆/ R de R que cotiene a a el ideal delanillo cociente b/a dado mediante:

b/a := x+ a : x ∈ b.

Ademas, tenemos el isomorfismo de anillos:(R/a

)/(b/a) −→ R/b,

dado mediante:

(x+ a) + (b/a) 7−→ x+ b.

Por tanto, se tiene:

• R/b es dominio de integridad si y solamente si

(R/a

)/(b/a) es dominio de integridad.

Traducido, esto significa b ∈ Spec(R) si y solamente si b/a ∈ Spec(R/a.

• R/b es cuerpo si y solamente si

(R/a

)/(b/a) es cuerpo. Traducido, esto significa

b ∈ Spm(R) si y solamente si b/a ∈ Spm(R/a.

La identificacion entre los ideales de R/a y los ideales en R que contienen a a ya fue discutidaen la Observacion 1.4.29, lo que completa la demostracion.

Recordemos de la Proposicion 1.3.5 la nocion de contraccion de un ideal a traves de un morfismode anillos.

Proposicion 2.2.5 (Contraccion de primos y maximales). Sea f : R −→ T un morfismode anillos y q ∈ Spec(T ) un ideal primo de T . Entonces, la contraccion qc := f−1(q es un idealprimo de R. Lo mismo no sucede si reemplazamos primos por maximales.

Demostracion. Consideremos f : R −→ T y la componemos con la proyeccion π : T −→T/q y tendremos el morfismo de anillos:

π f : R −→ T/q.

Usando el primer Teorema de Isomorfıa (Teorema 1.4.27), tendremos una aplicacion inyectiva(y morfismo de anillos):

ϕ : R/ker(π f) −→ T/q.

Con lo que R/ker(πf) esta indentificado con un subanillo de T/q. Ademas, como q es un idealprimo de T , el cociente T/q es un dominio de integridad y tambien son dominios de integridad


todos sus subanillos. En particular, R/ker(π f) es un dominio de integridad. Lo unico quefalta para probar el enunciado es probar la siguiente igualdad:

ker(π f) = (π f)−1

((0)) = f−1(ker(π)) = f−1(q) = qc.

Para el caso de los ideales maximales baste con considerar le inclusion i : Z −→ Q y observarque (0) ∈ Spm(Q), mientras que (0) = i−1((0)) no es ideal maximal en Z.

El enunciado que sigue es el unico caso en el que utilizaremos el Lema de Zorn en estas notas.En todo caso, para aquellos anillos que interesan en este curso (los anillos noetherianos) elenunciado se puede probar sin el Lema de Zorn, aunque con una version mas debil.Recuerdese que un conjunto parcialmente ordenado (T,≤) se denomina cadena si la relacionde orden ≤ es una relacion de orden total. Dado un conjunto parcialmente ordenado (S,≤)llamaremos cadena en (S,≤) a todo subconjunto T ⊆ S tal que con la relacion de ordeninducida por la de S, se tenga que (T,≤) es una cadena. El axioma de Zorn se enuncia delmodo siguiente:

Definicion 49 (Lema de Zorn). Sea (S,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Si, paratoda cadena T ⊆ S existe cota superior en (S,≤), entonces, existe elemento maximal en (S,≤).

Se tiene:

Proposicion 2.2.6. Asumiendo el Lema de Zorn, todo anillo R posee al menos un ideal max-imal (i.e. Spm(R) 6= ∅).

Demostracion. Para demostrarlo, consideremos el conjunto I(R) de todos los idealesa ⊆/ R. Ordenemos I(R) con la inclusion y tendremos el conjunto parcialmente ordenado(I(R),⊆).Sea (T ⊆ I(R) una cadena en (I(R),⊆). Supongamos

T := ai : i ∈ I.Entonces, se puede comprobar facilmente que se verifica:

• El conjunto a :=⋃i∈I ai es un ideal de R. Para ello, observese que si x, y ∈ a, entonces

existen i, j ∈ I tales que x ∈ ai, y ∈ aj . Por ser T cadena tendremos ai ⊆ aj o aj ⊆ ai.En el primer caso, x, y ∈ aj o, en el segundo, x, y ∈ ai. Por ser ai y aj ideales, estoimplica que, en el primer caso, x + y ∈ aj ⊆ a o, en el segundo caso, x + y ∈ ai ⊆ a.En cualquier caso, x+ y ∈ a. Con mayor facilidad se probarıa que ∀x ∈ R,∀y ∈ a, seha de tener xy ∈ a.

• 1 6∈ a. Esto es mas simple, dado que ai ∈ I(R), tenemos 1 6∈ ai, para todo i ∈ I, conlo que 1 6∈ a y habremos terminado.

Es claro, ademas, que a es una cota superior de T en I(R). En consecuencia, aplicando el Lemade Zorn, debe existir un elemento maximal en I(R) y por lo antedicho, ese elemento maximalesta en Spm(R).

Corollario 2.2.7. Asumiendo el Lema de Zorn, si a ⊆/ R es un ideal de R, entonces, existeun ideal maximal m ∈ Spm(R), tal que a ⊆ m. Adicionalmente, existira p ∈ Spec(R) tal quea ⊆ m.

Demostracion. A partir de la Observacion 1.4.29, tenemos que los ideales del anillocociente R/a estan identificados con los ideales de R que contienen a a. Ademas, el corolario2.2.4 anterior identifica los maximales del coeciente R/a con los maximales de R que contienena a. En consecuencia, si R/a tiene al gun maximal es de la forma m/a, siendo m ∈ Spm(R)y m ⊇ a. Ası, la Proposicion anterior, que asume el Lema de Zorn, implica la existencia deideales maximales que contienen al ideal a.

Corollario 2.2.8. Con las mismas hipotesis, si R es un anillo, sus unidades son los elementosque no pertenecen a ningun ideal maximal. Es decir,

R∗ :=⋂

m∈Spm(R)

(R \m) = R \

⋃m∈Spm(R)

m

.


Demostracion. Si un elemento x ∈ R no es unidad, entonces, el ideal (x) que generasatisface (x) ⊆/ R. Existira un maximal m ⊇ (x) y, por tanto, x ∈ m. Recıprocamente, si x ∈ m,con m ∈ Spm(R), entonces x 6∈ R∗. Pues si x fuera unidad en R, tendrıamos que existe x′ ∈ R,tal que x′x = 1 y, en particular, concluirıamos

1 = x′x ∈ m = R,

contradiciendo el hecho m ⊆/ R.

2.2.2. La nocion de rango de un R−modulo libre. En el Capıtulo anterior (ver, porejemplo, la Definicion 33) hemos usado la expresion R−modulo libre de rango finito. Pero, enrealidad, no hemos definido que es el rango. Pasamos a analizarlo ahora. Supondremos que losalumnos ya conocen pruebas del siguiente enunciado que, en general, asumen el Lema de Zorn.Nosotros lo asumiremos igualmente en esta discusion:

Teorema 2.2.9 (Teorema de la dimension). Sea K un cuerpo, sea V un espacio vectorial.Entonces,

i) V posee una base como espacio vectorial.ii) Dadas β1 y β1 dos bases de V como K−espacio vectorial. Entonces β1 y β2 son

conjuntos biyectables.

Al cardinal de cualquiera de sus bases, lo llamaremos dimension de V sobre K.

Observacion 2.2.10 (Axioma de Eleccion y Existencia de Bases). Debe senalarse eldetalle del Axioma de Eleccion en este enunciado. En 1984, A. Blass demostro que con laaxiomatica de Zermelo-Frenkel, el Axioma de Eleccion es equivalente a la existencia de base paracualquier espcaio vectorial de cualquier dimension. Ver la referencia mas abajo 2. Recuerdeseque el Axioma de Eleccion significa que el Producto Cartesiando de conjuntos no vacıos es novacıo o, equivalentemente,Dada una familia de conjuntos no vacıos Si : i ∈ I existe un elemento en el productocartesiano (xi) : i ∈ I ∈

∏i∈I Si.

Observacion 2.2.11 (Lema de Zorn e Igualdad de los cardinales de las bases). Esprobable que los alumnos hayan visto este enunciado solo en el caso de dimension finita (Teoremadel Reemplazamiento). Para la dimension infinita se necesita algo mas sofisticado, incluyendoel Lema de Zorn, la tricotomıa de los cardinales (i.e. que todos los cardinales son comparables)y el Ultrafilter Lemma como axiomas adicionales de la Teorıa de Conjuntos (ZFA o similares).Por eso, a partir de este punto supondremos que el resultado es aceptado y se desarrolla enfuncion del caso que conozcan. H. Lauchli 3 mostro un ejemplo de axiomatica de ZFA con unespacio vectorial que posee dos bases de distinto cardinal.

Recomendamos al lector revisar la nocion de base de un R−modulo introducida en la Definicion32. Recuerdese tambien la nocion de R−modulo libre y sus propiedades elementales discutidasen la Proposicion 1.4.22.

Ejemplo 2.2.12. i) Si M es un R−modulo libre de rango finito, entonces existe n ∈ Ntal que M es isomorfo a algun Rn. Queda por probar que Rn no es isomorfo a Rm

cuando m 6= n.ii) El R−modulo R[X1, . . . , Xn] tiene por base el conjunto de todos los monomios

Xµ : µ ∈ Nn,

iii) El R−modulo de los polinomios homogeos en n variables y de grado d tiene por base

Xµ : µ = (µ1, . . . , µn) ∈ Nn, |µ| = µ1 + · · ·+ µn = d,

que es un conjunto de cardinal d+n−1n−1 .

iv) El R−modulo de las matrices Mn×m(R) posee una base de cardinal nm.

2A. Blass, Existence of Basis Implies the Axiom of Choice. Contemporary Mathematics 31 (1984) 31-33.3H. Lauchli, Auswahlaxiom in der Algebra, Commentarii Mathematici Helvetici, 37 (1962-1963), 1-18.


Lema 2.2.13. Sea R un anillo, m ∈ Spm(R) un ideal maximal, sea k(m) el cuerpo R/m y con-sideremos la estructura de k(m)−espacio vectorial inducida en M/mM conforme a lo indicadoen el Problema 52. Sea β := mi : i ∈ I un subconjunto de M y denotemos por β/m alsubconjunto de M/mM dado mediante:

β/m := mi + mM : i ∈ I.Si β es una base de M como R−modulo libre, entonces β/m es una base de M/mM comok(m)−espacio vectorial. En particular, si β es base, los cardinales de β y β/m coinciden.

Demostracion. Comencemos probando que si β es base de M como R−modulo, entoncesβ y β/m son biyectables. Para ello, definamos la aplicacion:

Φ : β −→ β/mmi 7−→ mi + mM.

Por definicion de β/m esta aplicacion es suprayectiva. Veamos que es inyectiva. Ası, dadosmi,mj ∈ β, con mi 6= mj , tales que Φ(mi) = Φ(mj). Entonces,

mi −mj ∈ mM.

Como β es un sistema generador de M , existiran J ⊆ I finito y λi ∈ m : i ∈ J tales que

mi −mj =∑k∈J

λkmk.

O, equivalentemente,

mi −mj +∑k∈J

(−λk)mk = 0.

Como β es una familia linealmente independiente, tiene que darse i, j ∈ J . Si no fuera ası, porejemplo si i 6∈ J , la anterior identidad mostrarıa una combinacion lineal finita, igualada a 0, enla que no todos los coeficientes en R son nulos (porque 1 6= 0). Por tanto, debe darse i, j ∈ Jcon lo que queda una identidad de la forma:

(1− λi)mi + (1− λj)mj +∑

k∈J\i,j

λkmk = 0.

Pero como β es base, concluiremos que necesariamente ha de darse:

(1− λi) = 0, (1− λj) = 0, λk = 0, ∀k ∈ J.En particular tendrıamos 1 = λi ∈ m y m $ R es un ideal maximal y propio, con lo quellegarıamos a contradiccon. Por tanto Φ es biyectiva y los cardinales verifican:

](β) = ](β/m).

Veamos ahora que, si β es base de M como R−modulo, entonces β/m es base de M/mM comok(m)−espacio vectorial.Para empezar veamos que es sistema generador.Dado m + mM ∈ M/mM un elemento cualquiera, como m ∈ M , y β es sistema generador,sabemos que existe un conjunto finito J ⊆ I y un subconjunto λi ∈ R : i ∈ J tal que

m =∑i∈J

λimi.

Tomando clases modulo mM , tendremos:

m+ mM =∑i∈J

(λi + m)(mi + mM).

Como λi + m ∈ k(m) y J es finito, concluiremos que para cualquier m + mM ∈ M/mM estaen el subespacio generador por β/m y, por tanto, este conjunto es generador de M/mM comok(m)−espacio vectorial.En cuanto a ser sistema linealmente independiente, la prueba es analoga a la del caso de doselementos. Es decir, supongamos que existe J ⊆ I y existen λi ∈ R : i ∈ J tales que∑

i∈J(λi + m)(mi + mM) = 0 + mM, en M/mM .


Es decir, ∑i∈J

λimi ∈ mM.

Por tanto, existira otro conjunto finito T ⊆ I y constantes θk ∈ m : k ∈ T tales que∑i∈J

λimi =∑k∈T

θkmk.

Esta identidad se transforma en la siguiente:∑i∈J∩T

(λi − θk)mk +∑i∈J\T

λimi +∑

k∈T\K

(−θk)mk = 0.

Concluiremos que

i) Para cada i ∈ J ∩ T , λi = θi ∈ m. Luego λi + m = 0 + m, para todo i ∈ J ∩ T .ii) Para cada i ∈ J \ T , λi = 0. Luego λi + m = 0 + m, para todo i ∈ J \ T .iii) Para cada k ∈ T \ J , θk = 0.

Habremos concluido que λi+m = 0, para todo i ∈ J y, por tanto, β/m es un sistema de vectoreslinealmente independientes en el k(m)− espacio vectorial M/mM .

Corollario 2.2.14. Dos bases de un R−modulo libre tienen el mismo cardinal. En particularRn es isomorfo a Rm si y solamente si n = m. Un modulo es de rango finito n si y solamentesi es isomorfo a Rn.

Demostracion. Son consecuencia inmediata del Lema previo.

Corollario 2.2.15. Si un R−modulo M es libre de rango n, y m ∈ Spm(R) es un ideal primode R, entonces M/mM es isomorfo como R/m− espacio vectorial a (A/m)

n.


Ejemplo 2.2.16. Sea K un cuerpo y sea f ∈ K[X] un polinomio no nulo. Entonces, el anillocociente K[X]/(f) no es un K[X]−modulo libre. Simplemente porque todo K[X]−modulo libretiene que teneer dmension infinita como espacio vectorial sobre K, mientras que K[X]/(f) esun K−espacio vectorial finitamente generado.

Proposicion 2.2.17. Sea M y N dos R−modulos libres de rangos respectivos m y n. Entonces,existe un isomorfismo de R−modulos entre HomR(M,N) y Mn×m(R). En particular, cuandoM y N son R−modulos libres de rango finito, HomR(M,N) tambien lo es y su rango coincidecon rankR(M) rankR(N).

Demostracion. Sin perdida de la generalidad podemos suponer que M = Rm y N = Rn.Podemos, ademas, fijar dos bases ordenadas β1 en M y β2 en N . Sin perdida de la generalidad,podemos suponer que son las llamadas bases canonicas. Ahora, para cada ϕ ∈ HomR(M,N),definamos la matrix M(ϕ) ∈ Mn×m(R) cuyas columnas sean las imagenes (en Rn) de loselementos de la base β1. M(ϕ) es una matriz con n filas y m columnas. Queda como ejerciciocomprobar que M : HomR(M,N) −→ Mn×m(R) es un isomorfismo de R−modulos. Es el

mismo argumento obvio ya hecho en el caso del Algebra Lineal.

2.2.3. Libres de Torsion sobre Dominios de Ideales Principales. Comencemosrecordando los modulos finitamente generados y el caso particular de los R−modulos finita-mente generados sobre dominios de ideales principales en esta Proposicion.

Proposicion 2.2.18. Sea R un dominio de ideales principales y M un R−modulo finitamentegenerado. Entonces, todos los submodulos de M son finitamente generados.

Demostracion. Demostraremos el resultado por induccion en el numero mınimo de gen-eradores de M (recordar la Observacion 1.4.12). Ası, denotemos por n(M) el numero mınimode generadores de M sobre R.


En el caso n(M) = 1, tenemos que M esta generador por un conjunto formado por un unicoelemento. Esto es, tenemos R〈a1〉. Ahora considero el siguiente morfismo de R−modulos:

π : R −→ Mx 7−→ xa.

Es evidente que π es suprayectiva (porque a1 genera M). Sea a := ker(π) el nucleo de πque es un submodulo de R (y, por tanto, un ideal de R). Por el Primer Teorema de Isomorfıa(ver la Subseccion 1.4.1) tendremos un isomorfismo de R−modulos entre R/a y M . Por eseisomorfismo, los submodulos de M son los submodulos de R/a que son los ideales de R/a. Porla observacion 1.4.29, los ideales de R/a) son los ideales de R que contienen a a y, como R esdominio de ideales principales, sus ideales son principales y los ideales de R/a son de la formaR〈x + a〉 donde x ∈ R. En particular, los submodulos de M estan generados por, a lo sumo,un solo elemento y son finitamente generados.

En el caso n(M) = n > 1, consideremos un sistema minimal de generadores de M β :=a1, . . . , an. Consideremos el submodulo M1 de M generado por a2, . . . , an, es decir

M1 := R〈a2, . . . , an〉.

Se tiene que M1 es finitamente generado y n(M1) ≤ n − 1 y, aplicando la hipotesis inductiva,todo submodulo de M1 es finitamente generado. En particular, N ∩M1 es finitamente generadoy puedo suponer:

N ∩M1 := R〈c1, . . . , cr〉,donde c1, . . . , cr ⊆ N . De otro lado, consideremos el siguiente morfismo de R−modulos:

π : M −→ M/M1

x 7−→ x+M1.

El morfismo π es suprayectivo y es facil ver que

M/M1 := R〈a1 +M1〉,

siendo n(M/M1) ≤ 1. Por lo discutido en el caso 1 anterior, todo submodulo de M/M1 estaragenerador por un solo elemento. Ahora consideremos la restriccion

π |N : N −→M/M1.

Entonces, π |N (N) = π(N) = R〈b1 + M1〉 esta generado por un solo elemento b1 + M1, conb1 ∈ N .

Considero el conjunto

β′ := c1, . . . , cr ∪ b1,Y probemos que

N = R〈β′〉,con lo que habrıamos probado que N es finitamente generado.Para ver esta igualdad, comencemos observando que c1, . . . , cr ∈ N ∩M1 ⊆ N y b1 ∈ N , con locual β′ ⊆ N y como R〈β′〉 es el menor submodulo que contiene a β′, tendremos una primerainclusion R〈β′〉 ⊆ N .

Para la otra inclusion, consideremos m ∈ N un elemento cualquiera. Consideremos su imagen

π(m) = m+M1 ∈ π(N) ⊆M/M1.

Entonces, existira λ ∈ R tal que

π(m) = m+M1 = λb1 +M1,

o, equivalentemente,

m− λb1 ∈M1.

Como m ∈ N y b1 ∈ N , se tiene, en realidad,

m− λb1 ∈M1 ∩N.


Por tanto, como M1 ∩N = R〈c1, . . . , cr〉, existiran θ1, . . . , θr ∈ R tales que

m− λb1 =

r∑i=1

θici,

y, por tanto,

m = (−λ)b1 +

r∑i=1

θici ∈ R〈β′〉,

con lo que habremos probado N ⊆ R〈β′〉 y R es finitamente generado.

Corollario 2.2.19. Si R es un dominio de ideales principales, todo R−modulo finitamentegenerado es el co-nucleo de un morfismo entre modulos libres. Es decir, existe una matrizA ∈Mm×n(R) que define un morfismo de R−modulos

ϕA : Rn −→ Rm,(x1, . . . , xn) 7−→ ϕA(x1, . . . , xn) := (y1, . . . , ym),

dado mediante:

ϕA(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym)⇐⇒

y1

y2

...ym

= A

x1

x2

...xn

.

De tal modo que M es el co-nucleo de ϕA, esto es,

M ∼= Rm/ Im(ϕA).

Demostracion. Por ser M finitamente generado, existe un epimorfismo π : Rm −→ Mde R−modulos. Por el Primer Teorema de Isomorfıa, tendremos que

M ∼= Rm/K, K = ker(π).

Como K es un submodulo de Rn, existe, a su vez, un R−modulo libre de rango finito Rn yun morfismo suprayectivo de R−modulos ψ : Rn −→ K. Obviamente, ψ puede verso como unmorfismo entre R−modulos libres ψ : Rn −→ Rm, tal que su imagen verifica Im(ψ) = K =ker(π). Entonces, M es el co-nucleo de ψ. Ahora, aplicando la Proposicion 2.2.17, tenemos quenecesariamente ψ ha de ser de la forma ϕA para alguna matriz A ∈Mm×n(R).

Definicion 50 (Elemento de torsion). Sea M un R−modulo. Un elemento m ∈ M sedenomina elemento de torsion si existe λ ∈ R, no nulo (i.e. λ 6= 0) tal que λm = 0 en M .Denotaremos por

AnnR(m) := λ ∈ R : λm = 0.Es un ideal de R (llamado el anulador de m) y se verifica AnnR(m) 6= (0) si y solamente si mes un elemento de torsion.Denotaremos por TorR(M) al conjunto de los elementos de torsion de M .Un modulo que no posee elementos de torsion no nulos se denomina R−modulo libre de torsion.

Observacion 2.2.20. Si R es un dominio de integridad, el conjunto TorR(M) es un submodulode M . En general, si R no es dominio de integridad, TorR(M) no necesariamente es submodulo.La razon es que, en ese caso, puede no ser subgrupo para la suma. Por ejemplo, si R := Z/6Zy si M = Z/6Z, los elementos de torsion son los divisores de cero de Z/6Z que es dado comola union de los ideales (2Z/6Z) ∪ (3Z/6Z). Y claramente, (2 + 6Z) + (3 + 6Z) = 5 + 6Z no eselemento de torsion porque es unidad en el anillo. En general, si R es un anillo y M = R esvisto como R−modulo sobre sı mismo, los elementos de torsion de M son, precisamente, losdivisores de cero de R. Por eso, en general, a los elementos de torsion se les denomina tambiendivisores de cero del R−modulo. Conservaremos nuestra terminologıa con TorR(M) porque nosocuparemos, en este Capıtulo, solamente del caso de anillos R que son dominios de integridad.

Proposicion 2.2.21. Sea R un dominio de integridad y M un R−modulo libre. Entonces Mes libre de torsion.


Demostracion. Como M es libre posee una base β := mi : i ∈ I. Si m ∈M fuera unelemento no nulo y de torsion, tendrıamos que existe J ⊆ I un conjunto finito y λj : j ∈ Jtales que

m =∑j∈J

λjmj .

Como m 6= 0, J es no vacıo y algunos de los λj han de ser no nulos. De hecho, podemos suponerque todos son no nulos (i.e. podemos suponer que λj 6= 0, ∀i ∈ J 6= ∅).Como m es un elemento de torsion, existe λ ∈ R, λ 6= 0, tal que se verifica:

0 = λm = λ

∑j∈J

λjmj

=∑j∈J

(λλj)mj .

Pero como β es base, entonces debemos tener:

λλj = 0, λj 6= 0, ∀j ∈ J.

Como R es un dominio de integridad, entonces se tiene que producir λ = 0 y habremos llegadoa contradiccion.

Ejemplo 2.2.22. Se tienen los siguientes ejemplos:

i) Todo R−modulo de la forma Rn es libre de torsion cuando R es dominio. Por ejemplo,Zm es Z−modulo libre de torsion, K[X]n es un K[X]−modulo libre de torsion.

ii) Si R es un dominio, R[X1, . . . , Xn] es un R−modulo libre de torsion. Lo mismo sepuede decir de Hd(X1, . . . , Xn).

iii) Todos los grupos cıclicos finitos poseen elementos de torsion no nulos. Por ejemplo,todos los Z−modulos de la forma Z/mZ, con m ∈ N, m ≥ 2.

iv) La existencia de elementos de torsion no nulos depende del anillo y no solamentedel conjunto de elementos de M . Notese que los Z/mZ−modulos (Z/mZ)n sonZ−modulos que poseen elementos de torsion no nulos, pero, si p ∈ N es primo, losZ/pZ−modulos (Z/pZ)n son Z/pZ−espacio vectoriales y son libres de torsion comoZ/pZ−modulos. En cambio, si m ∈ N es no primo, los Z/mZ−modulos (Z/mZ)n

tambien poseen elementos de torsion como Z/mZ−modulos. Por ejemplo, el elemento(2 + 6Z, 0 + Z/6Z) en (Z/6Z)2 es un elemento de torsion no nulo sobre Z/6Z, dadoque

AnnZ/6Z((2 + Z/6Z, 0 + Z/6Z)) = (3 + Z/6Z) ⊆ Z/6Z.v) Argumentos similares al apartado anterior pueden construirse cuando se tratan modulos

sobre K[X].

Vamos a proceder a caracterizar la condicion de ser libre de torsion en el caso de R−moduloslibres finitamente generados sobre un dominio de ideales principales en las paginas siguientes.

Lema 2.2.23. Todo modulo libre finitamente generado es proyectivo. Es decir, dado un epi-morfismo de R−modulos f : M −→ F tal que F es R−modulo libre y finitamente generado,entonces, existe g : F −→M un morfismo de R−modulos tal que f g = IdF .

Demostracion. Supongamos que e1, . . . , es es una base de F como R−modulo libre.Entonces, existen m1, . . . ,ms ∈M tales que f(ei) = mi, para cada i, 1 ≤ i ≤ s. Definamos

g : F −→ Mx1e1 + · · ·+ xses 7−→ x1m1 + · · ·+ xsms.

Es facil verificar que g es un morfismo de R−modulos y que verifica la condicion indicada.

Teorema 2.2.24. Si R es un dominio de ideales principales, todo submodulo de un R−modulolibre y finitamente generado es libre. Mas aun, si M es un R−odulo libre de rango finito y siF es un submodulo de M , entonces F es libre de rango finito y satisface:

rankR(F ) ≤ rankR(M).

Demostracion. Bastara con que hagamos el caso M = Rn. Supongamos que N es unsubmodulo de Rn y demostremos, por induccion en n, que N es un R−modulo libre. Paraello, recordemos que en el caso n = 1, los submodulos de R son los ideales del anillo R y son


principales, luego son libres. Ademas, como R es un dominio de ideales principales, todo losideales de R son principales y, por tanto, su rango est’a acotado por 1.Supongamos el resultado cierto para n − 1 y veamos el caso n. Comencemos considerando laproyeccion canonica π1 : Rn −→ Rn−1 que “olvida” la primera coordenada. Consideremos elsubmodulo π1(N) ⊆ Rn−1. Por hipotesis inductiva, π1(N) es un R−modulo libre. Por tanto,tenemos un epimorfismo de R−modulos:

π := π1 |N : N −→ π1(N),

dado por la restriccion de π1 a N . Como π1(N) es libre, es, por tanto, proyectivo, y ha deexistir un morfismo de R−modulos g : π1(N) −→ N tal que π g = Idπ1(N).Finalmente, definamos la siguiente aplicacion, recordando que, en el caso finito, producto ysuma directa coinciden:

f : N −→ π1(N)⊕ ker(π)n 7−→ (π1(n), n− g (π1(n))) .

En primer lugar, veamos que esta bien definida, para lo cual solo tenemos que ver que paracada n ∈ N , n− g(π1(n)) ∈ ker(π). Esto es evidente porque

π (n− g (π1(n))) = π(n)− π (g(π1(n))) = π(n)− π1(n) = 0,

porque π g = Idπ1(N) y π = π1 |N .

Ahora observemos que ker(π) = ker(π1) ∩ N . Pero ker(π1) = R × 0n−1 por definicion deπ1. Luego ker(π1) es un R−modulo libre de rango 1 (por ser isomorfo a R) y N ∩ ker(π1)es un submodulo de un R−modulo libre de rango 1. Por lo visto en el caso de rango 1,ker(π) = ker(π1) ∩N es un R−modulo libre.Finalmente, es facil verificar que f es un isomorfismo de R−modulos. Es evidente que esmorfismo. Ahora, si (m1,m2) ∈ π1(N)⊕ ker(π), considero el elemento:

n := g(m1) +m2 ∈ N.Notese que π(n) = π(g(m1)) + π(m2) = m1 por que π g = Idπ1(N) y π(m2) = 0 porquem2 ∈ ker(π). De otro lado,

n− g (π1(n)) = (g(m1) +m2)− g (π1(n)) = (g(m1) +m2)− g(m1) = m2.

Por tanto, f es un epimorfismo de R−modulos. En cuanto a la inyectividad,

(0, 0) = f(n) = (π1(n), n− g (π1(n))) ,

implica que π(n) = π1(n) = 0, luego g (π1(n)) = 0 y, por tanto, n − g (π1(n)) = n = 0, lo queimplica la inyectividad. Por ultimo, para la prpiedad de los rangos, tenemos que

rankR(N) = rankR (π(N)⊕ ker(π)) = rankR (π(N)) + rankR (ker(π)) .

Ahora es claro que π(N) es submodulo de Rn−1 y, por hipotesis inductiva, rankR(π(N)) ≤ n−1.Por su parte, ker(π) es isomorfo a un submodulo de R, con lo qye rankR(ker(ı)) ≤ 1. Con loque conluimos que rankR(N)leqn como pretendıamos.

Teorema 2.2.25. Sea R un dominio de ideales principales y M un R−modulos finitamentegenerado y libre de torsion. Entonces, todo sistema generador de M de cardinal minimal esbase de M .Es decir, si R es dominio de ideales principales y M es finitamente generado, entonces,

M es libre de torsion ⇐⇒M es libre

Demostracion. Supongamos que S := e1, . . . , em es un conjunto minimal de gener-adores de M como R−modulo, qu existe porque M es finitamente generado. Dentro de ese con-junto podemos elegir un subconjunto maximal de elementos linealmente independientes sobre R.Salvo reordenacion de los ındices, podemos suponer que existe s ≤ m tal que S := e1, . . . , esson un conjunto maximal de elementos de S linealmente independientes sobre R. Sea F elsubmodulo que genera S, que es un R−modulo libre. Si s = m, entonces F = M y habremosterminado.Supongamos que fuera posible que s < m. Entonces, para cada i, s+ 1 ≤ i ≤ m, existe λi ∈ Rno nulo tal que λiei ∈ F . Basta con ver que e1, . . . , es, ei ha de verificar una combinacionlineal no trivial igualada a cero y que, en esa combinacion lineal, el coeficiente de ei ha de ser


no nulo. Definamos Λ :=∏mi=s+1 λi ∈ R. Tenemos que Λ 6= 0 en R porque R es un dominio de

integridad. Definamos la aplicacion siguiente:

Λ : M −→ Fm 7−→ Λm.

Lo primero que hay que ver es que esta bien definida. Ahora bien Λej ∈ F para 1 ≤ j ≤ sporque ej ∈ F . De otro lado,

Λei =

∏k 6=i

λi

λiei ∈ F,

porque λi ∈ F . Por tanto, esta bien definida, es suprayectiva y es facil verificar que es mrfismode R−modulos.De otro lado, como M es libre de torsion, entonces Λ serıa inyectiva y, por tanto, un isomorfismode R−modulos. En conclusion, M es isomorfo a un R−modulo libre de rango s < m lo que nosllear´ia a contradiccion con la minimalidad de m.

Ejemplo 2.2.26. Los sigientes ejemplos son tambien ejemplos donde los modulos lo son sobredominios euclıdeos.

i) Los Z−modulos libres de torsion y finitamente generados son los isomorfos a Zn. Todosubmodulo de Zn es libre y de rango finito. Pero el rango del submodulo no es siempreestrictamente menor que el rango del modulo libre del que partıamos. Por ejemplo,(2Z)

3es un Z−modulo libre de rango 3 que es submodulo de Z3 que tambien es libre

de rango 3, pero no son iguales.ii) Los K[X]−modulos libres de torsion y finitamente generados son los isormorfos a

K[X]n. Lo mismo se aplica a sus submodulos y al rango.iii) En el Ejemplo de la Teorıa del endomorfismo (ver 1.4.3), la estructura de K[X]−modulo

del espacio vectorial V , de dimension finita sobre K, con respecto a un endomorfismoϕ : V −→ V no es la estructura de un K[X]−modulo libre. En particular no es librede torsion y todos los elementos v ∈ V poseen anulador no trivial. De hecho, el ideal

AnnK[X](v) := p ∈ K[X] : p ·K[X] v = p(ϕ)(v) = 0,

es un ideal principal en K[X] generado por un polinomio que se denomina polinomiomınimo del endomorfismo ϕ con respecto al vector v.

Observacion 2.2.27 (Contraejemplos). Las hipotesis del Teorema 2.2.25 precdente son in-evitables.

i) Sobre dominios de ideales principales, hay modulos libres de torsion que no son libres,porque no son fintamente generados. A modo de ejemplo, Q es un Z−modulo libre detorsion. Ahora bien, cuales quiera dos numeros racionales son linealmente dependi-entes sobre Z (ver Problema 117). Por tanto, si Q es un Z−modulo libre, la base solopuede tener un elemento y Q serıa libre de rango 1. Pero, entonces, todos los numerosracionales tendrıan el mismo denominador, lo que no es el caso.

ii) Sobre anillos que no son dominios de ideales principales, hay modulos libres de torsiony finitamente generados que no son libres. El ejemlo mas simple es el anillo K[X,Y ]y el ideal m := (X,Y ). Se trata de un ideal de un dominio de integridad, ası que esun modulo libre de torsion. Es claro, por su definicion que es un ideal (y, por tanto,un modulo) finitamente generado sobre K[X,Y ]. Sin embargo, no es libre. Si fueralibre, entonces serıa un ideal principal (ver Problema 118) y ya hemos indicado que mno es un ideal principal en los Ejemplos 2.1.1.

Teorema 2.2.28. Sea R un dominio de ideales principales. Entonces, todo modulo finitamentegenerado M , admite una descomposicion de la forma:

M ∼= F (M)⊕ TorR(M),

donde F (M) es un R−modulo libre de rango finito. El R−modulo libre F (M) es, ademas,isomorfo a M/TorR(M).


Demostracion. Para ello, consideremos el R−modulo cociente:

F (M) := M/TorR(M).

y veamos que es un R−modulo libre de torsion. Es claro que si m+ TorR(M) 6= 0, entonces mno es un elemento de torsion. Dado λ ∈ R, si

λ(m+ TorR(M)) = 0 + TorR(M),

entontes λm ∈ TorR(M). Por tanto, existe θ ∈ R no nulo tal que (θλ)m = 0. Pero si λ 6= 0y si θ 6= 0, entonces, por ser R un dominio, λθ 6= 0 y, necesariamente, m habrıa de ser unelemento de torsion, llegando a contradiccion. Como F (M) es libre de torsion y es finitamentegenerado, entonces, F (M) es un R−modulo libre. Consideremos una base finita de F (M) comoR−modulo libre:

β := mi + TorR(M) : 1 ≤ i ≤ n.

Y consideremos representantes de los elementos de esa base en M

β1 := m1, . . . ,mn.

Observamos que los elementos de β1 son linealmente independientes en M . Si fueran linealmentedependientes tambien lo serıan las clases modulo TorR(M) que ellos representan. Por tanto,generan un submodulo N de M que es un R−modulo libre. Probemos:

• El submodulo N de M es isomorfo a F (M).• el siguiente es un isomorfismo de R−modulos:

ϕ : N × TorR(M) −→ M(x, y) 7−→ x+ y.

Es sencillo ver que ϕ es morfismo de R−modulos y que es monomorfismo. Para ver que esinyectiva baste tomar (x, y) ∈ N × TorR(M) tales que ϕ(x, y) = x+ y = 0. Entonces, y = −x,luego x ∈ TorR(M). Pero x es combinacion lineal de m1, . . . ,mr, es decir

x =

n∑i=1

λimi,

para valores λ1, . . . , λn ∈ R. Por tanto, tenemos

n∑i=1

λi(mi + TorR(M)) = 0 + TorR(M).

Como β es base de F (M) concluiremos que, necesariamente, λ1 = · · · = λn = 0 y, por tanto,x = 0 y, en consecuencia, y = 0.Finalmente, veamos que es suprayectiva. Dado m ∈ M , tomemos la clase m + TorR(M) ytendremos que existen λ1, . . . , λn ∈ R tales que:

m+ TorR(M) =

n∑i=1

λi(mi + TorR(M)).

Tomando

x =

n∑i=1

λimi ∈ N,

y

y = m−n∑i=1

λimi ∈ TorR(M),

concluiremos que ϕ(x, y) = m ye tenemos que ϕ es epimorfismo, concluyendo la prueba delenunciado.

Corollario 2.2.29. Todo grupo abeliano finitamente generado es el cociente de dos Z−moduloslibres de rango finito.


Demostracion. Recuerdese que un grupo abelianoG se dice finitamente generado si existen ∈ N y existe un epimorfismo de grupos

π : Zn −→ G.

Como π es morfismo de grupos abelianos, tambien se tiene π ∈ HomZ(Zn, G). Consideremosahora K = ker(π) ⊆ Zn el nucleo del morfismo π. Ahora, todo submodulo de Zn es unZ−modulo libre de rango finito. Aplicando el Primer Teorema de Isomorfıa (Teorema 1.4.27)tendremos:

G ∼= Zn/K.

Corollario 2.2.30 (Estructura de Grupos Abelianos Finitamente Generados (ParteI)). Sea G un grupo abeliano finitamente generado, entonces, existen r,m ∈ N, G es isomorfoal producto de grupos abelianos:

Zr ×G1,

donde G1 es un grupo abeliano finito (i.e. de cardinal finito) igual a m.

Demostracion. Por el resultado precedente, como Z es un dominio de ideales principalesy G es un Z−modulo finitamente generado, podemos concluir que

G := F (G)× TorZ(G).

Como F (G) es libre y finitamente generado, entonces F (G) = Zr y nos queda por analizarsolamente TorZ(G) y probar que es un grupo abeliano ded cardinal finito.Ahora, TorZ(G) es un Z−modulo totalmente de torsion y finitamente generado. Sea g1, . . . , gtun sistema generador de cardinal minimal de TorZ(G). Definamos:

ϕ : Zt −→ TorZ(G)

(x1, . . . , xt) 7−→∑ti=1 xigi.

Claramente, ϕ es un morfismo suprayectivo de Z−modulos y denotemos por K su nucleo. Deotro lado, como g1, . . . , gt son todo elementos de torsion, para cada i, 1 ≤ i ≤ t, existe mi ∈ N,mi ≥ 1 tal que migi = 0 en G (es decir, mi ∈ AnnZ(gi)). Entonces, es facil observar que elsiguiente subgrupo libre de Zt esta contenido en K:

t∏i=1

miZ ⊆ K.

Por tanto, usando el Primer y el Segundo Teorema de Isomorfıa, observamos que

TorZ(G) ∼=(Zt/K

) ∼=(Zt/

(∏ti=1miZ

))/(K/(∏t

i=1miZ)).

Por tanto, TorZ(G) es un cociente del grupo abeliano G′ := Zt/(∏t

i=1miZ)

, por un subgrupo

suyo. Pero, el grupo G′ es un grupo abeliano de cardinal finito: es un producto de gruposcıclicos

G′ :=

t∏i=1

(Z/miZ) ,

luego tambien es de cardinal finito cualquiera de sus cocientes. Hemos probado ası que TorZ(G)es un grupo abeliano de cardinal (orden) finito.

Observacion 2.2.31. Veremos mas adelante que todo grupo abeliano finito es un productofinito de grupos cıclicos y por tanto, TorZ(G) es un producto finito de grupos cıclicos de ordenfinito.


Corollario 2.2.32. Todo conjunto de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones diofanticashomogeneas es un Z−modulo libre. Es decir, sea dada una matriz A ∈Mn×m(Z) con n filas, mcolumnas y coordenadas en Z. Consideremos el conjunto de soluciones del sistema de ecuacionesdiofanticas homogeneo definido por A:

(x1, . . . , xn) ∈ Zn, A

x1

x2

...xn

=

00...0

∈ Zm.

El conjunto de soluciones diofanticas de este sistema homogeneo es un Z−modulo libre (submodulode Zn) de rango finito.

Demostracion. Es obvio que el conjunto de soluciones es submodulo de Zn (por serhomogeneas). Entonces, por lo visto anteriormente, es libre de torsion y, por tanto, es unZ−modulo libre.

2.2.4. Libres de Torsion sobre Dominios Euclıdeos (Opcional). En la Seccionprecedente (Subseccion 2.2.4 hemos demostrado el Teorema 2.2.25 que muestra que en el casode modulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales, libre equivale sobrelibre de torsion. Ahora vaos a hacer una prueba distinta en el caso de dominios euclıdeos. Larazon de incluir este segundo enunciado es que contiene una cierta forma de poder controlarcomo se produce este resultado en funcion del crecimiento y decrecimiento de los coeficientes.Lo dejamos como Subseccion opcional del curso.

Proposicion 2.2.33. Sea (R,φ) un dominio euclıdeo y sea M un R−modulo finitamente gen-erado. Sea β := a1, . . . , an un sistema generador de M y sea Λ := (λ1, . . . , λn) ∈ Rn unalista de elementos de R (tantos como elementos tiene el sistema generador). Supongamos que

gcd(λ1, . . . , λn) = (1).

Entonces, existe un sistema generador de M con el mismo cardinal que β

β′ := b1, . . . , bn,

de tal modo que

b1; =

n∑i=1

λiai.

Demostracion. Dada una lista Λ = (λ1, . . . , λn) ∈ Rn, definamos el conjunto: J(Λ) :=i ∈ 1, . . . , n : λi 6= 0, y la funcion:

Φ(Λ) :=

r∑i=1

φ(λi).

Notese que si gcd(λ1, . . . , λn) = 1, necesariamente J(Λ) 6= ∅.

Comencemos observando que la propiedad se verifica si alguno de los λi es unidad en R: Porquesi existe i ∈ J(Λ) tal que λi ∈ R∗, podemos suponer, reordenando los elementos de la base yde la lista si fuera necesario, que i = 1 y que λ1 ∈ R∗. En ese caso, el conjunto

β′ := b1, a2, . . . , an,

con b1 :=∑ni=1 λiai, es tambien un sistema generador de M , dado que

a1 := λ−11 b1 − λ−1

1

(n∑i=2

λiai

).

Y la afirmacion se verifica obviamente.Notese que como gcd(λ1, . . . , λn) = 1, J(Λ) 6= ∅ y necesariamente se ha de tener:

Φ(Λ) ≥ φ(1) + (n− 1)φ(0) > nφ(0).


La razon es simple. Como hemos visto, en la Proposicion 2.1.16, que φ(a) > φ(0) para todoa ∈ R, a 6= 0, y que φ(a) ≥ φ(1), si a 6= 0. Podemos suponer, por ejemplo, que 1 ∈ J(Λ) 6= ∅ y,por tanto,

Φ(Λ) ≥ φ(λ1) +

n∑i=2

φ(λi) ≥ φ(λ1) + (n− 1)φ(0) ≥ φ(1) + (n− 1)φ(0).

Como Φ(Λ) ∈ Z y Φ(Λ) ≥ φ(1)+(n−1)φ(0), probaremos la Proposicion por induccion en Φ(Λ).

Supongamos Φ(Λ) = φ(1) + (n − 1)φ(0). Como J(Λ) 6= ∅, podemos suponer, reordenando losındices si fuera necesario que 1 ∈ J(Λ), es decir, λ1 6= 0. Entonces tenemos,

(φ(λ1)− φ(1)) +

n∑i=1

(φ(λi)− φ(0)) = 0.

Como φ(λ1) − φ(1) ≥ 0 y φ(λi) − φ(0) ≥ 0 para todo i, 2 ≤ i ≤ n, esta suma es una suma deenteros positivos igualada a cero, por cuanto, tendrıamos:

φ(λ1)− φ(1) = 0, φ(λ2)− φ(0) = 0, . . . , φ(λ2)− φ(0) = 0.

Por tanto λ1 ∈ R∗ y λi = 0, 2 ≤ i ≤ n. Pero, entonces, estarıamos en el caso que ya hemosvisto que se verifica por defecto.Supongamos ahora que Φ(Λ) = m > φ(1). Si alguno de los λi es unidad, ya habremos terminado.Supongamos, entonces, que ninguno de los λi es unidad. Supongamos

Λ := (λ1, . . . , λn),

con la propiedad gcd(λ1, . . . , λn) = 1. Entonces, el conjunto J(Λ) no puede ser un conjunto decardinal 1. Porque si J(Λ) tuviera un solo elemento, por ejemplo J(Λ) = i, tendrıamos

gcd(λ1, . . . , λn) = gcd(0, . . . , 0, λi, 0, . . . , 0) = λi.

Como Φ(Λ) = m > φ(1) + (n− 1)φ(0), concluirıamos que

Φ(Λ) = φ(λi) + (n− 1)φ(0) = m > φ(1) + (n− 1)φ(0),

con lo que λi no serıa unidad de R y, por tanto, gcd(λ1, . . . , λn) 6= 1, contradiciendo nuestrashipotesis.

Dado que J(Λ) posee mas de un elemento, podemos suponer que 1, 2 ∈ J y que φ(λ1) ≥ φ(λ2).Ademas, como ninguno de los dos es unidad, se tiene:

φ(λ1) ≥ φ(λ2) > φ(1) ≥ 0.

Podemos aplicar divison euclıdea y tendremos que existen q, r ∈ R tales que

λ1 = qλ2 + r, φ(r) < φ(λ2) ≤ φ(λ1).

Ahora consideremos la listaΛ1 := (r, λ2, . . . , λn) ∈ Rn.

Notese que gcd(r, λ2, . . . , λn) = 1 porque se tiene la coincidencia de ideales:

a := (r, λ2, . . . , λn) = (λ1, λ2, . . . , λn) = b.

Para verlo, es claro que b ⊆ a, dado que λ1 = qλ2 + r ∈ b. Pero tambien se tiene que a ⊆ b,dado que r = λ1 − qλ2 ∈ b.De otro lado, se tiene

Φ(Λ1) = φ(r) +

n∑i=2

< φ(λ1) +

n∑i=2

φ(λi) = Φ(Λ).

Consideremos ahora la lista de elementos de M dada mediante:

β1 := a1, (a2 + qa1), a3, . . . , an,junto con la lista Λ1 antes introducida. Observamos que β1 es un sistema generador de M .Para verlo, sea N el submodulo de M generador por β1. Es claro que a1, a3, . . . , an ⊆ N .Pero ademas,

a2 = (−1)a1 + (a2 + qa1) ∈ N,


con lo cual β ⊆ N y M ⊆ N ⊆M .Como Φ(Λ1) < Φ(Λ) podemos aplicar la hipotesis inductiva al par (β1,Λ1) y existira un sistemagenerador β′ := b′1, b′2, . . . , b′n de M tal que

b′1 = ra1 + λ2(a2 + qa1) + λ3a3 + · · ·λnan.

Ahora bien, el conjunto β es un conjunto de generadores de M que verifica:

b′1 = (qλ2 + r)a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan = λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan,

y β′ verifica la propiedad enunciada para el (β,Λ), con lo que la Proposicion queda demostradapor induccion.

Teorema 2.2.34. Sea (R,φ) un dominio euclıdeo y M un R−modulo libre de torsion y finita-mente generado. Entonces, todo sistema generador de M de cardinal minimal es base de M .En particular, si (R,φ) es euclıdeo y M es finitamente generado, entonces,

M es libre de torsion ⇐⇒M es libre

Demostracion. La segunda afirmacion es consecuencia de la primera. Si M es finita-mente generador, existe un sistema generador de M de cardinal minimal y, por tanto, si M eslibre de torsion, entonces ese sistema generador es base de M como R−modulo, por cuanto Mes libre. Para la otra implicacion vease la Proposicion 2.2.21 anterior.

Para la primera afirmacion usaremos la Proposicion 2.2.33 anterior. Sea β = a1, . . . , an ⊆Mun sistema generador minimal de M . Supongamos que β no fuera libre. Entonces, existe unalista (λ1, . . . , λn) ∈ Rn de elementos no todos nulos tales que

λ1a1 + · · ·+ λnan = 0.

Como R es dominio de ideales principales, sea h = gcd(λ1, . . . , λn) ∈ R. Como no todos losλi son nulos y R es dominio, necesariamente se ha de tener h 6= 0. La identidad anterior seraahora:

h (λ′1a1 + · · ·+ λ′nan) = 0,

donde λ′ih = λ. Sea m := (λ′1a1 + · · ·+ λ′nan) entonces hm = 0 y m es un elemento de torsionde M . Como M es libre de torsion, entonces m ha de ser nulo, esto es, tenemos

(λ′1a1 + · · ·+ λ′nan) = 0.

Pero, ademas gcd(λ′1, . . . , λ′n) = 1, por ser hλ′i = λi y h = gcd(λ1, . . . , λn). Por tanto estamos

en las hipotesis de la Proposicion 2.2.33 anterior con

β := a1, . . . , an,

y

Λ := (λ′1, . . . , λ′n).

Por tanto, debe existir un sistema genedaor de M

β′ := b1, . . . , bn,

donde

b1 =

n∑i=1

λ′iai = 0.

Pero entonces, el siguiente conjunto

β′′ := b2, . . . , bn,

genera M como R−modulo y tiene cardinal n−1, lo que contradice la minimalidad del cardinalde β como generador de M .

Observese que, en este caso, el Teorema 2.2.24 pasa a ser un Corolario.

Corollario 2.2.35. Si (R,φ) es un dominio euclıdeo, todo submodulo de un R−modulo librefinitamente generado es libre.


Demostracion. Si M es un R−modulo libre finitamente generado, entonces es libre detorsion. Si M es libre de torsion, todo submodulo suyo es libre de torsion. Ademas, por laProposicion 2.2.18 todo submodulo de M es finitamente generado (porque R es sominio deideales principales y M es finitamente generado. Entonces, N es libre de torsion y finitamentegenerado sobre un dominio euclıdeo, luego M es un R−modulo libre de rango finito.


Problema 112. Hallar Spec(Z[X]) y Spm(Z[X]).

Problema 113. En el Lema 2.2.23 Se definen los modulos proyectivos somo los R−modulosP que satisfacen la propiedad siguiente:Dado un R−modulo M cualquiera y una aplicacion suprayectiva π : M −→ P , entonces, existeg : P −→M tal que

π f = IdP .

Pruebese que todo R−modulo proyectivo es un sumando directo de algun R−modulo libre.

Problema 114. Dar ejemplos de K[X]−modulos que tengas las propiedades que se indican acontinuacion:

i) Un ejemplo de un K[X]−modulo M que posee elementos de torsion, pero existe unpolinomio f ∈ K[X] tal que M es un K[X]/(f)−modulo libre de torsion.

ii) Un ejemplo de un K[X]−modulo M que posee elementos de torsion, y tal que existef ∈ K[X] tal que M posee elementos de torsion no nulos como K[X]/(f)−modulo.

Problema 115. Prueba que si K es un cuerpo de cardinal infinito y si f ∈ K[X1, . . . , Xn] esun polinomio no nulo, entonces existe (x1, . . . , xn) ∈ Kn tal que p(x1, . . . , xn) 6= 0.

Problema 116 (Polinomio mınimo de un endomorfismo). Sea V un espacio vectorial dedimension finita sobre K, sea ϕ : V −→ V un endomorfismo, Sea

·K[X] : K[X]× V −→ V(p(X), v) 7−→ p(ϕ)(v) ∈ V.

la operacion de que hace que V sea un K[X]−modulo, como se discute en el Ejemplo 1.4.3.Para cada v ∈ V , denotemos por µv ∈ K[X] el polinomio generador de AnnK[X](V ) tal y comose define en el Ejemplo 2.2.26. Sea

β := v1, . . . , vn

una base de V como K−espacio vectorial. Prueba:

i) Existe un polinomio monico y de grado n p ∈ K[X] tal que para todo v ∈ V p ∈AnnK[X](v).

ii) Los polinomios µv ∈ K[X] tienen todos grado acotado por n.iii) Sea h(X) el mınimo comun multiplo de µv1 , . . . , µvn en K[X]. Entonces h ∈

AnnK[X](v), para todo v ∈ V .iv) Concluir que el h anterior es el polinomio de mınimo grado tal que h(ϕ) = 0 como

endomorfismo. Este polinomo es el polinomio mınimo de ϕ y se denotara medianteµϕ.

v) Prueba que si K es un cuerpo infinito, existe un vector v ∈ V tal que

µv = µϕ.

Problema 117. Probar que Q es un Z−modulo libre de torsion. Probar asimismo que cua-lesquiera dos numeros racionales son linealmente dependientes sobre Z. Concluir que si Q fueraun Z−modulo libre, entonces tendrıa rango 1.

Problema 118. Probar que si R es un dominio de integridad y a es un ideal de R que es,ademas, libre como R−modulo, entonces a ha de ser un ideal principal.

Problema 119 (Matriz companera de un polinomio). Sea K un cuerpo y sea f(X) ∈K[X] un polinomio monico con coeficientes en K. Supongamos:

f(X) := Xn + an−1Xk−1 + · · ·+ a1X + a0.


Se denomina matriz companera de f a la matriz

C(f) :=

0 0 0 · · · 0 −a0

1 0 0 · · · 0 −a1

0 1 0 · · · 0 −a2

0 0 1 · · · 0 −a3

......

.... . .

......

0 0 0 · · · 1 −an−1

.

Se pide:

i) Hallar las matrices companeras de los siguientes polinomios:

X3 − 2X + 1, X2 − 2X − 1, X5 − 3X3 +X + 1.

ii) Considerar el ideal a := (f) generador por f en K[X] y el anillo cociente K[X]/a.Prueba que K[X]/a es un espacio vectorial de dimension finita sobre K y que lasiguiente es una base de K[X]/a como K−espacio vectorial:

β := 1 + a, X + a, . . . , Xn−1 + a.

iii) Hallar la dimension de K[X]/a como K−espacio vectorial.iv) Con las mismas notaciones, consideremos la siguiente correspondencia:

ηX := K[X]/a −→ K[X]/ah+ a 7−→ Xh+ a.

Prueba que ηX es aplicacion, probar que es un endomorfismo de K[X]/a como K−espaciovectorial y probar que la matriz de coordenadas de ηX en la base β es justamente lamatriz companera C(f) del polinomio f dado.

v) Con las mismas notaciones, para cada polinimio g ∈ K[X] definamos la siguientecorrespondencia:

ηg := K[X]/a −→ K[X]/ah+ a 7−→ gh+ a.

Prueba que es un endomorfismo de espacios vectoriales (que se denomina homoteciade razon g de K[X]/a y que es un endomorfismo de K[X]−modulos. Prueba que sedan las siguientes propiedades:

ηg1+g2 = ηg1 + ηg2 , ηg1g2 = ηg2 ηg1 = ηg1 ηg2 , ∀g1, g2 ∈ K[X].

η0 = 0, η1 = IdK[X]/a.

vi) Prueba que la matriz de ηg en la base β anterior es

g(C(f)) ∈Mn(K),

donde C(f) es la matriz companera de f y g(C(f)) es el resultado de evaluar g enX = C(f) matricialmente.

Problema 120. Con las mismas notaciones, si v ∈ V es un vector y µv es un polinomio degrado k, el siguiente subespacio vectorial de V es submodulo como K[X]−modulo:

W (v, ϕ) := K〈v, ϕ(v), ϕ2(v), . . . , ϕk−1(v)〉.

(Pista: probar que es invariante con respecto a ϕ) Se pide tambien:

i) La dimension de W (v, ϕ) es k. (Pista: probar que v, ϕ(v), ϕ2(v), . . . , ϕk−1(v) sonlinealmente independientes sobre K).

ii) Consideremos la restriccion de ϕ al subespacio W (v, ϕ) (tiene sentido porque W (v, ϕ)es subespacio invariante):

φ := ϕ |W (v,ϕ): W (v, ϕ) −→ W (v, ϕ)w 7−→ ϕ(w).

Prueba que existe una base β de W (v, ϕ) tal que la matriz de φ en esa base β es lamatriz companera del polinomio mınimo de f en v. (Pista: usar

β := v, ϕ(v), ϕ2(v), . . . , ϕk−1(v)).


Problema 121. Con las notaciones de los problemas anteriores, sea ϕ : V −→ V un endo-morfismo de un espacio vectorial V de dimension n sobre un cuerpo K. Sea v ∈ V un vectorno nulo y sea µv el polinomio mınimo de ϕ en v. Supongamos que el grado de µv es k. Pruebaque se puede encontrar un subespacio V1 ⊆ V de dimension n− k, tal que:

V = W (v, ϕ)⊕

V1,

y se satisface la siguiente propiedad: Existe una base wk+1, . . . , wn de V1 tal que para todo i,1 ≤ i ≤ n− k, existen ci ∈ K y hi ∈ V1 tales que

ϕ(wi) = civ + hi.

( Pista: Completa la base v, ϕ(v), ϕ2(v), . . . , ϕk−1(v) de W (v, ϕ) hasta obtener una base deV : β0 := v, ϕ(v), ϕ2(v), . . . , ϕk−1(v), uk+1, . . . , un. Denotemos por V0 el subespacio generadopor uk+1, . . . , un. Para cada i, k+ 1 ≤ i ≤ n, la imagen de ui a traves de ϕ sera de la forma:

ϕ(ui) = c0v +

k−1∑j=1

cjfj(v) + λui + hi,

donde

• c0, c1, . . . , ck−1, λ ∈ K,• hi es un elemento del subespacio de V0 generado por los elementos que la base de V0

que no son ui. Es decir,

hi ∈ K〈ut : t 6= i.Con estas notaciones, construye una solucion (x0, . . . , xk−2) ∈ Kn−2 del siguiente sistema deecuaciones lineales:

Xk−2 + ck−1 = 0,Xk−3 + ck−2 + λXk−2 = 0

...Xt + ct+1 + λXt+1 = 0

...X0 + c1 + λX1 = 0.

Es decir, prueba que este sistema es compatible y considera (x0, . . . , xk−2) ∈ Kn−1 una solucion.Define c′0 := c0 + λx0. Define:

wi := ui +

k−2∑t=0

xift(v).

Verifica que, construyendo iterativamente wk+1, . . . , wn, el subespacio V1 := K〈wk+1, . . . , wn〉generador por estos elementos verifica las condiciones indicadas, con

ϕ(wi) = c′iv +Hi,

con Hi ∈ V1.) Adicionalmente, prueba que el conjunto β siguiente es base de V :

β := v, ϕ(v), ϕ2(v), . . . , ϕk−1(v), wk+1, . . . , wn.Prueba que la matriz de ϕ en la base β anterior tiene la forma siguiente:

M(ϕ) :=

(C(µv) N

0 M

),

donde

• C(µv) ∈Mk(K) es la matriz companera del polinomio mınimo µv,• 0 ∈M(n−k)×k(K) es la matriz nula con n− k filas y k columnas,• La matriz N ∈ Mk×(n−k)(K) es una matriz con k filas y n − k columnas en la que

solo la primera fila puede contener elementos no nulos y tiene la forma:

N :=

c′k+1 c′k+2 · · · c′n

0 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0

.


• La matriz M ∈Mn−k(K) es una matriz cualquiera con n− k filas y columnas.

Problema 122. Con las notaciones de los problemas anteriores, sea ϕ : V −→ V un endo-morfismo de un espacio vectorial V de dimension n sobre un cuerpo K. Sea v ∈ V un vectorno nulo y sea µv el polinomio mınimo de ϕ en v. Supongamos que el grado de µv es k. SeaV1 ⊆ V un subespacio de dimension n − k, y sea una base w1, . . . , wn−k de V1 tal que paratodo i, 1 ≤ i ≤ n− k, existen ci ∈ K y ωi ∈ V1 tales que

ϕ(wi) = civ + ω1.

Sea β la siguiente base de V construida en el problema precedente :

β := v, ϕ(v), ϕ2(v), . . . , ϕk−1(v), wk+1, . . . , wn.Supongamos que la matriz de ϕ en la base β tiene, como en el problema precedente, la formasiguiente:

M(ϕ) :=

(C(µv) N

0 M

),

donde

• C(µv) ∈Mk(K) es la matriz companera del polinomio mınimo µv,• 0 ∈M(n−k)×k(K) es la matriz nula con n− k filas y k columnas,• La matriz N ∈ Mk×(n−k)(K) es una matriz con k filas y n − k columnas en la que

solo la primera fila puede contener elementos no nulos y tiene la forma:

N :=

ck+1 ck+2 · · · cn

0 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0

.

• La matriz M ∈Mn−k(K) es una matriz cualquiera con n− k filas y columnas.

Prueba que si existe i, k+ 1 ≤ i ≤ n tal que ci 6= 0, entonces el polinomio mınimo asociado a ϕcon respecto al vector wi tiene grado estrictamente mayor que el grado del polinomio mınimoµv, es decir, probar que

deg(µwi) > deg(µv).

(Pista: Prueba que los vectores siguientes son linealmente independientes en V :

wi, f(wi), . . . , fk−1(wi), f

k(wi).Para ello, hallar sus coordenadas en la base β a partir de las matrices dadas.)

Problema 123. Deducir del problema anterior que si K es un cuerpo (finito o infinito) y siV es un espacio vectorial de dimension finita sobre K, y si ϕ : V −→ V es un endomorfismo,entonces existe un vector v ∈ V tal que µv es igual al polinomio mınimo de ϕ.

Problema 124 (Existencia de forma canonica racional de un endomorfismo). Pruebaque si ϕ : V −→ V es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita n sobre K,existen polinomios f1(X), . . . , fr(X) tales que

r∏i=1

fi = χA(X),

y existe una base β de V tal que la matriz de ϕ en la base β es de la forma:

M(ϕ) :=

C(f1) 0 0 · · · 0

0 C(f2) 0 · · · 00 0 C(f3) · · · 0...

.... . .

...0 0 0 · · · C(fr)

,

donde los 0′s son matrices nulas de tallas adecuadas y las matrices C(f1), . . . , C(fr) son respec-tivamente las matrices companeras de f1, . . . , fr. probar que los polinomios fi pueden elegirsede tal modo que fi | fi−1. En este caso, se dice que los polinomios f1, . . . , fr son los factoresinvariantes de ϕ. Se llama forma canonica racional (tambien forma cıclica o forma canonicade Frobenius, segun los autores).


Problema 125 (Interpolacion de Polinomios). Sea K un cuerpo y sean α1, . . . , αn ∈ K ele-mentos del cuerpo. Se denomina matriz de Vandermonde (Alexandre-Theophile Vandermonde)n×m sobre K determinada por esta lista de valores, a la matriz:

V dMn×m(α1, . . . , αn) :=

1 α1 α2

1 · · · αm11 α2 α2

2 · · · αm2...

......

1 αn α2n · · · αmn

.

En el caso m = n− 1 escibiremos simplemente

V dM(α1, . . . , αn) = V dMn×m(α1, . . . , αn).

Se pide:

i) Considerar el K−espacio vectorial K[X]m de los polinomios univariados de gradoacotado por m. Y para el punto α := (α1, . . . , αn) ∈ Kn, consideremos la aplicacionsiguiente:

evalα : K[X]m −→ Kn

f 7−→ (f(α1), . . . , f(αn)).

Prueba que es una aplicacion lineal entre K−espacios vectoriales. Considerar enK[X]m la base monomial 1, X,X2, . . . , Xm y en K‘n la base canonica. probar quela matriz de evalα en esas bases es la matriz de Vandermone, es decir, probar que:

M(evalα

)= V dMn×m(α1, . . . , αm).

ii) Prueba que, en el caso m = n − 1, el determinante de la matriz de Vandermondeverifica

det (V dM(α1, . . . , αn)) =∏i<j

(αi − αj) .

iii) Prueba que el determinante de la matriz de vandermonde V dM(α1, . . . , αn) esta rela-cionado con el discriminante del polinomio f(X) :=

∏ni=1(X − αi).

iv) Prueba que si m = n− 1, la aplicacion lineal evalα es un isomorfismo de K−espaciovectoriales si y solamente si αi 6= αj, ∀i 6= j.

v) Prueba que si m = n − 1, la aplicacion lineal evalα es suprayectiva si y solamente siαi 6= αj, ∀i 6= j.

vi) Concluir que si m ≥ n− 1 la aplicacion lineal evalα es suprayectiva si y solamente siαi 6= αj, ∀i 6= j.

Se llaman procedimientos de interpolacion a todo procedimiento de resolucion del sistema deecuaciones lineales:

V dMn×m(α1, . . . , αn)

A0

A1

...Am

=

b1b2...bn

,

donde los datos son el vector (b1, . . . , bn) ∈ Kn y el punto α = (α1, . . . , αn) ∈ Kn, ademas delgrado m. A toda solucion de ese sistema de ecuaciones (a0, . . . , am) ∈ Km+1 le corresponde ununico polinomio solucion

f = amXm + · · · a1X + a0 ∈ K[X]m.

Prueba que un problema de interpolacion posee solucion si αi 6= αj, ∀i 6= j.

Problema 126. Sea K un cuerpo cualquiera y p ∈ K[X] un polinomio de grado a lo sumo n.Prueba que p no puede tener mas de n raıces distintas en K. (Pista: recordar que raıces sonlas soluciones de la ecuacion p(X) = 0. Prueba la afirmacion usando el Problema precedente).

Problema 127. Sea K un cuerpo cualquiera y A ∈Mn(K) una matriz cuadrada. Se pide:

i) Prueba que A no puede tener mas de n valores propios distintos.ii) Prueba que si A posee n valores propios distintos, entonces es diagonalizable.iii) Prueba que el recıproco de la afirmacion anterior no es cierto.

(Pista: Aplicar interpolacion al polinomio caracterıstico (para la afirmacion i). Para las otrasusar la forma cıclica del endomorfismo.)


2.3. Dominios de Factorizacion Unica: Lema de Gauss

Trataremos de introducir aquı el Lema de Gauss, uno de los resultados clasicos y centrales enla historia del Algebra.

2.3.1. Dominios de Factorizacion Unica.

Definicion 51. Dos elementos irreducibles p, q ∈ R en un dominio de integridad R se dicenco-primos si no son asociados, es decir, si p 6∼ q.

Observacion 2.3.1. Notese que dos irreducibles p y q en un dominio R son co-primos si ysolamente si p - q y q - q.

Definicion 52 (Dominios de Factorizacion Unica). Un dominio de integridad R se de-nomina dominio de factorizacion unica si se verifican las siguientes bpropiedades:

i) Existencia de Factorizacion: Para cada elemento x ∈ R \ 0 existen u ∈ R∗, unconjunto finito S := pi ∈ R ; i ∈ I ⊆ R de elementos irreducibles, co-primos dos ados, y numeros naturales positivos αi : i ∈ I ⊆ N, tales que

x = u∏i∈I

pαii .

Es decir, todo elemento no nulo de R es producto finito (eventualmente vacıo) deunidades y elementos irreducibles de R. A la lista formada por la unidad u, los primosen S y los exponentes αi, se le denomina factorizacion de x.

ii) Unicidad de la Factorizacion: Para cada elemento x ∈ R, x 6= 0, dadas dosfactorizaciones:

x = u∏i∈I

pαii = v∏i∈J

qβjj ,

donde u, v ∈ R∗ son unidades, I y J son conjuntos finitos, αi, βj ∈ N son numerosnaturales no nulos y pi : i ∈ I, qj : j ∈ J son dos conjuntos de elementosirreducibles y co-primos dos a dos, entonces,• Los cardinales de I y J coinciden (i.e. ](I) = ](J)).• Existe una biyeccion f : I −→ J , tal que

pi ∼ qf(i), αi = βf(i), ∀i ∈ I.

Es decir, la factorizacion es unica salvo unidades de R y permutacion entre los ındices.

Proposicion 2.3.2. Sea R un dominio de integridad en el que todo elemento es producto finitode unidades y elementos primos. Entonces R es un dominio de factorizacion unica.

Demostracion. Supongamos que R es un dominio que satisface que todo elemento esproducto finito de primos y unidades. Ya satisface la condicion de existencia de factorizacionporque en dominios de integridad todo primo es irreducible. Nos queda por ver la Unicidad dela factorizacion.

Sea, pues, x ∈ R un elemento no nulo con dos factorizaciones:

x = u∏i∈I

pαii = v∏i∈J

qβjj ,

donde u, v ∈ R∗ son unidades, I y J son conjutnos finitos, αi, βj ∈ N son numeros naturalesno nulos y pi : i ∈ I, qj : j ∈ J son dos conjuntos de elementos primos y co-primosdos a dos (es decir, ∀i, j ∈ I, i 6= j, pi 6∼ pj y ∀r, s ∈ I, r 6= s, qr 6∼ qs). Tenemos los casossiguientes:

• Si x ∈ R∗, es decir, si x es unidad, entonces tanto I como J tienen que ser el conjuntovacıo. Si no fuera vacıo alguno de ellos, entonces x no puede ser unidad. En ese casola unicidad de la factorizacion se verifica de manera obvia.

• Si x ∈ R \ (R∗ ∪ 0), entonces ni I ni J son conjuntos vacıos.

2.3. DOMINIOS DE FACTORIZACION UNICA: LEMA DE GAUSS 127

Nos ocupamos de este segundo caso. Para cada i ∈ I tenemos que, obviamente,

pi | x = v∏i∈J

qβjj .

Como pi es primo, debe darse:

[pi | v] ∨ [∃j ∈ J, pi | qj ].

La primera opcion no puede darse porque v ∈ R∗ es unidad, luego se tiene que dar la segunda,es decir,

∃j ∈ J, pi | qj .Pero como qj es primo, entonces, es irreducible, con lo que necesariamente, si pi | qj entonces,pi ∼ qj . Probemos que solo puede haber un j ∈ J tal que pi | qj .Si existieran j1, j2 ∈ J tales que pi | qj1 y pi | qj2 , por ser qj1 y qj2 irreducibles, entonces pi ∼ qj1y pi ∼ qj2 . Por tanto, qj1 ∼ qj2 y necesariamente j1 = j2.Para cada i ∈ I, designemos por σ(i) = j ∈ J al unico valor j ∈ J tal que pi | qj (o,equivalentemente, al unico j ∈ J tal que pi ∼ qj . Esto significa que la siguiente es un aplicacion:

σ : I 7−→ Ji 7−→ σ(i).

Ademas, esta aplicacion ha de ser inyectiva. Dados i1, i2 ∈ I tales que σ(i1) = σ(i2) = j ∈ J .Entonces tenemos pi1 ∼ qj y pi2 ∼ qj , luego pi1 ∼ pi2 y tendremos que, necesariamente, i1 = 22

y σ es una aplicacion inyectiva.Los mismos argumentos nos permitiran construir una aplicacion

τ : J −→ I,

donde τ(j) = i si y solamente si qj ∼ qi. Es claro que τ es inyectiva y es facil probar que

τ σ = IdI , σ τ = IdJ .

Para concluir la unicidad solo falta concluir que αi = βσ(i), ∀i ∈ I. Para ello, baste con recordarque N es totalmente ordenadom, con lo que o bien αi ≥ βσ(i) o αi ≤ βσ(i). Supongamos elprimer caso, esto es, supongamos que αi ≤ βσ(i). Entonces, tendrıamos:

x = pαii

u ∏k∈I\i

pαkk

= qαiσ(i)qβσ(i)−αiσ(i)

(u−1v)∏

j∈J\σ(i)

qβjj

.

Ademas, como pi ∼ qσ(j), existe ω ∈ R∗ una unidad tal que

pi = ωqσ(i).

Nos queda,

pαii

u ∏k∈I\i

pαkk

= pαii qβσ(i)−αiσ(i)

(ωαiu−1v)∏

j∈J\σ(i)

qβjj

.

Sacando “factor comun” (R es un dominio), tendremos:

pαii

u ∏k∈I\i

pαkk

−qβσ(i)−αi

σ(i)

(ωαiu−1v)∏

j∈J\σ(i)

qβjj

= 0.

Como hemos supuesto que x 6= 0, entonces pi 6= 0 y, dado que R es dominio, tendremos:u ∏k∈I\i

pαkk

−qβσ(i)−αi

σ(i)

(ωαiu−1v)∏

j∈J\σ(i)

qβjj

= 0,

es decir

u∏

k∈I\i

pαkk = qβσ(i)−αiσ(i)

(ωαiu−1v)∏

j∈J\σ(i)

qβjj

.


Ahora si βσ(i) > αi, tendrıamos βσ(i) − αi ≥ 1 y, por tanto,

qσ(i) | u∏

k∈I\i

pαkk .

Siendo qσ(i) primo, debe ocurrir que ∃k ∈ I, k 6= i tal que qσ(i) | pk, luego qσ(i) ∼ pk y, sabiendoque qσ(i) ∼ pi, concluirıamos pi ∼ pk, con k 6= i, lo que es contradictorio con las hipotesisque satisfacen las dos factorizaciones. Por tanto βσ(i) ≥ αi y βσ(i) 6> αi. Lo cual implicanecesariamente que βσ(i) = αi y tenemos la unicidad de la factorizacion en R.

Corollario 2.3.3. Todo dominio euclıdeo (resp. todo dominio de ideales principales) es do-minio de factorizacion unica.

Demostracion. Obvio por los Teoremas 2.1.23 (caso de dominios euclıdeos) y Teorema2.1.13 (caso de dominios de ideales principales). En ambos Teoremas se prueba la existenciade factorizacion en irreducibles. De otro lado, en el Teorema 2.1.10 hemos probado que en losdominios de ideales principales las nociones de primo e irreducible equivalen. Por tanto, setienen las hipotesis de la Proposicion previa y tenemos probada la afirmacion del Corolario.

Proposicion 2.3.4. En dominios de factorizacion unica, un elemento x ∈ R es primo si ysolamente si es irreducible.

Demostracion. Esto es valido tanto para elementos nulos como no nulos por ser dominiode integridad. Como todo primo es irreducible en dominios de integridad, solo falta probar quetodo elemento irreducible p ∈ R no nulo es primo. Para ello, supongamos a, b ∈ R tales quep | ab, siendo p irreducible. Exntonces, existe h ∈ R tal que ph = ab.Supongamos tres factorizaciones (una de a, otra de b y otra de h) dadas mediante:

a = u∏i∈I

pαii , b = v∏j∈J

qβjj , h = ω

∏k∈T

pθkk ,

con las hipotesis habituales. Por tanto, tenemos dos factorizaciones de ab, Una que sale dereordenar el producto siguiente:

ab = uv∏i∈I

pαii∏j∈J

qβjj ,

y otra que sale de reordenar el producto:

ab = ph = h = ω

(p∏k∈T

pθkk

).

En todo caso, p aparece con exponente positivo en esta ultima factorizacion de ab, luego tieneque aparecer con exponente positivo en la primera factorizacion de ab (obtebnida reordenandolas de a y b). En consecuencia se tiene que verificar

[∃i ∈ I, p ∼ pi] ∨ [∃j ∈ J, p ∼ qj ].

Pero, en este caso, se tiene:

[p | a] ∨ [p | b].con lo que habremos probado la primalidad de p.

Proposicion 2.3.5. Sea R un dominio de factorizacion unica y sea F := ai : i ∈ I ⊆ Run conjunto de elementos de R. Supongamos que no todos los elementos de F son nulos.Consideremos el siguiente subconjunto de R:

P(F) := p ∈ R : p es primo, p | ai, ∀i ∈ I.

Entonces, el conjunto cociente siguiente es finito:

P(F)/ ∼,

donde ∼ es la relacion de equivalencia dada por la relacion “ser asociados”.


Demostracion. Sea ai0 ∈ F ⊆ R el elemento tal que ai0 6= 0. Ahora, todo primo p ∈ P(F)verifica que es asociado a algun factor irreducible de ai0 . Es decir,

P(F)/ ∼⊆ p ∈ R : p | ai0/ ∼ .Pero, por la Unicidad de los dominios de factorizacion unica, las clases de equivalencia delsegundo conjunto son finitas y habremos terminado.

Definicion 53 (Maximo comun divisor en DFU’s). Sea R un dominio de factorizacionunica. Sea F := ai ∈ R : i ∈ I un conjunto de elementos de R que contiene al menos un ele-mento no nulo. Consideremos un conjunto finito de representantes de las clases de equivalenciade P(F):

P(F) = [p1]∼, . . . , [pm]∼.Entonces, existe un conjunto de unidades ui ∈ R∗ i ∈ I y un conjunto de numeros naturalesαi,k : i ∈ I, 1 ≤ k ≤ m tales que para cada i ∈ I se tiene una descomposicion

ai = ui∏k∈Ω

pαi,kk ,

donde para cada k ∈ N, 1 ≤ k ≤ m, existe un i ∈ I tal que αi,k 6= 0. Llamaremos DFU-maximocomun divisor de los elementos de F a todo elemento de R asociado al elemento:

gcdDFU(ai : i ∈ I) :=∏k∈Ω

pminαi,k : i∈Ik .

Observacion 2.3.6. Si R es un dominio de factorizacion unica, en el caso de que un conjuntode elementos F sea finito y contenga un elemento no nulo, la definicion anterior es exactamentela habitual de “factores comunes (no nulos) con el menor exponente”. Es decir, si R es DFU yF = a1, . . . , an entonces, existen los siguientes elementos:

i) p1, . . . , pm ⊆ R un conjunto finito de elementos primos, dos a dos co-primos, estoes, pi 6∼ pj , ∀i, j, i 6= j.

ii) ui : 1 ≤ i ≤ n ⊆ R∗ un conjunto finito de unidades de R.iii) αi,j ∈ N : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m ⊆ N un conjunto finito de numeros naturales, de

tal manera que para cada j, existe i ∈ 1, . . . , n, con αi,j 6= 0.

De tal manera que para cada i, 1 ≤ i ≤ n, se tiene:

ai := ui

m∏j=1

pαi,jj .

Entonces,

gcdDFU :=

m∏J=1

pβjj ,

dondeβj := minαi,j ∈ N : 1 ≤ i ≤ n.

Proposicion 2.3.7. Sea R un dominio de factorizacion unica y sea F = ai, : i ∈ I ⊆ Run conjunto de elementos que contiene algun elemento no nulo. Supongamos que el ideal agenerado por F es un ideal principal en R, esto es,

a = (F) = (h),

con h ∈ R. Entonces,h ∼ gcdDFU(F).

Demostracion. Por ser R un DFU, en virtud de la Proposicion precedente, existiran losobjetos siguientes:

i) p1, . . . , pm ⊆ R un conjunto finito de elementos primos, dos a dos co-primos, estoes, pi 6∼ pj , ∀i, j, i 6= j.

ii) ui : i ∈ I ⊆ R∗ un conjunto de unidades de R.iii) αi,j ∈ N : i ∈ I, 1 ≤ j ≤ m ⊆ N un conjunto de numeros naturales, de tal manera

que para cada j, existe i ∈ I, con αi,j 6= 0.


De tal manera que para cada i, 1 ≤ i ≤ n, se tiene:

ai := ui

m∏j=1

pαi,jj .

Notese que la propiedad (iii) exigida significa que cada irreducible pj aparece en, al menos, unode los ai’s. Entonces el DFU-maximo comun divisor viene dado mediante:

` :=

m∏j=1

pβjl ,

dondeβj := maxαi,j : 1 ≤ i ≤ n.

De otro lado, sea h el generador del ideal a. Como ai ∈ a = (h) para cada i ∈ I, entonces,tenemos

h | ai,∀i ∈ I.Ahora, como hemos visto anteriormente, en todo dominio de factorizacion unica primo equivale airreducible. Luego los factores irreducibles de h son primos que dividen a los factores irreduciblesde los ai’s. En particular, podemos suponer que

h = v

m∏j=1

pθjj ,

para algun v ∈ R∗ unidad y θj ∈ N, 1 ≤ j ≤ m. Ahora bien, como h | ai para cada i, entonces,

pθjj |

m∏j=1

pαi,jj .

Como los pj son dos a dos co-primos, luego pθjj | p

αi,jj con lo que concluimos:

θj ≤ minαi,j : 1 ≤ i ≤ n = βj .

Y, por lo tanto, h | `.De otro lado, hemos dicho que h genera el ideal a generador por todos los ai’s, luego h ∈ a.Ahora bien ` | ai para cada i ∈ I, con lo que el ideal (`) contiene a todos los elementos ai,luego:

(h) = a = (F) ⊆ (`).

concluimos ası que ` | h y habremos probado que h ∼ `.

Observacion 2.3.8. A partir de esta proposicion tenemos que, en el caso de que un conjuntoF genera un ideal principal, su generador es el DFU-maximo comun divisor. Esto hace que nose distinga entre las dos denominaciones y se diga simplemente “maximo comun divisor” (y sedenote gcd(F)) al maximo comun divisor de F y se suprime la referencia al prefijo DFU (y alsub-ındice DFU) a partir de este momento.

Observacion 2.3.9. De otro lado, con las mismas notaciones, se tiene:Si R es un dominio de factorizacion unica, el ideal a = (F) ⊆ R es principal si y solamente si

gdc(F) ∈ (F).

En particular, tampoco se verifica la identidad de Bezout con el maximo comun divisor si elideal generado no es principal.A modo de ejemplos concretos, baste tomar:

• En Z[X], que no es DIP, :

gcd(2, X) = 1, pero 1 6∈ (2, X) 6= (1) = Z[X].

• En K[X1, X2], que no es DIP, :

gcd(X1, X2) = 1, pero 1 6∈ (X1, X2) 6= (1) = K[X1, X2].

Observacion 2.3.10. El maximo comun divisor verifica las propiedades siguientes (de obviaverificacion):


i) Dados ai : i ∈ I un conjunto de elementos de un DFU R no todos nulos, entonces,

gcd(ai : i ∈ I) = 1⇐⇒ ¬ (∃p ∈ R, (p ∈ R es primo) ∧ (p | ai, ∀i ∈ I)) .

ii) Si R es un dominio de ideales principales, el maximo comun divisor es el generadordel ideal que generan los elementos de estudio. Esto es, si R es dominio de idealesprincipales,

(gcd(ai : i ∈ I)) = (ai : i ∈ I).

iii) Si (R,φ) es un dominio euclıdeo el maximo comun divisor verifica que

φ(gcd(ai : i ∈ I)) = maxφ(a) : a | ai, ∀i ∈ I.

iv) Si R es un dominio de factorizacion unica el maximo comun divisor verifica:

∀a ∈ R, si a | ai, ∀i ∈ I =⇒ a | gcd(ai : i ∈ I).

2.3.2. El Lema de Gauss.

Definicion 54 (Contenido y Parte Principal de un Polinomio). Sea R un dominiode factorizacion unica y sea f ∈ R[X] \ 0 un polinomio univariado con coeficientes en R.Supongamos que

f = adXd + ad−1X

d−1 + · · ·+ a1X + a0.

Llamaremos

i) Contenido de f y lo denotaremos por cont(f) al maximo comun divisor de sus coefi-cientes, esto es, al elemento de R dado mediante:

cont(f) = gcd(ad, ad−1, . . . , a1, ao) ∈ R.

ii) Parte principal de f y lo denotaremos por pp(f) al resultado de divir f por su con-tenido, esto es, para cada i, 0 ≤ i ≤ d existe bi ∈ R tal que ai = bicont(f), llamamosparte printipal al polinomio en R[X] dado mediante:

pp(f) := bdXd + bd−1X

d−1 + · · ·+ b1X + b0 ∈ R[X].

iii) Un polinomio se dice primitivo si su contenido es una unidad de R.

Observacion 2.3.11. La definicion del contenido es salvo unidades en R. Ası, si escribimoscont(f) = a ∈ R, tambien es cierto que cont(f) = b, para cualquier b ∈ R con a ∼ b.Mantenemos la notacion por respeto a la tradicion, aunque senalamos que se trata de igualdades“salvo unidades en R”.Por su parte, la definicion de pp(f) nos da un polinomio en R[X] porque el contenido divide atodos los coeficientes. Obviamente tambien, la parte principal de un polinomio es un polinomioprimitivo.

Lema 2.3.12. Sea R un dominio de factorizacion unica, si q(X) ∈ R[X] es irreducible entonceso bien q ∈ R y q irreducible en R o bien q ∈ R[X] \ R es un polinomio no constante y, en esecaso, es un polinomio primitivo.

Demostracion. De la descomposicion q = cont(q)pp(q) deducimos que o bien cont(q) ∈R∗ y q es primitivo o bien cont(q) 6∈ R∗, en cuyo caso pp(f) es una unidad en R[X] y, portanto, es una constante y q ∈ R∗. En este segundo caso, q ∼ cont(q) en R y, necesariamente, qes irreduible en R.

Lema 2.3.13. Sea R un dominio de factorizacion unica y sea f ∈ R[X] un polinomio primitivo.Sea a ∈ R una constante no nula. Entonces,

cont(af) = a, pp(af) = f.


Demostracion. Supongamos que

f = adXd + ad−1X

d−1 + · · ·+ a1X + a0 ∈ R[X],

un polinomio primitivo que,pord efinicion, es no nulo. Supongamos ad 6= 0. Entonces

af = (aad)Xd + (aad−1)Xd−1 + · · ·+ (aa1)X + (aa0) ∈ R[X].

Tenemos claramente que

a | h = gcd((aad), (aad−1), . . . , (aa1), (aa0)).

Luego todos los primos divisores de a, son tambien factores primos de h. De otro lado, sea pun primo que divide a h y supongamos que pβ | h, β ≥ 1. Esto significa que

pα | (aai),∀i, 0 ≤ i ≤ d.

Como el gcd(a0, . . . , ad) = 1, debe existir i0 tal que p - ai0 . Como p | (aai0) y p es primo,entonces, necesariamente, p | a.En particular, concluimos que los primos que dividen a h y los primos que dividen a p son losmismos, siendo el exponente presente en a menor o igual que el exponente que tienen en h. Esdecir, podemos escribir:

(2.3.1) h = u

n∏j=1

pβjj , a = v

n∏j=1

pαjj ,

para algunos primos p1, . . . , pn ⊆ R, co-primos dos a dos, con u, v ∈ R∗ y βj ≥ αj ≥ 1.Supongamos que existe un j tal que βj > αj . Sin perdida de la generalidad, podemos suponerque que j = 1 y tendremos que

a = pα11 c, con p - c,

Sea i0 ∈ 0, . . . , d tal que p1 - ai0 (existe porque gcd(a0, . . . , ad) = 1). Entonces,

pβ1

1 | (aai0), con p1 - ai0 .

Concluimos que

aai0 = pα11 cai0 = dpβ1

1 ,

luego

pα11 cai0 − dp

β1

1 = 0 −→ pα11 (cai0 − dp

β1−α1

1 ) = 0.

Como p1 6= 0 y R es un dominio de integridad, concluimos que:

cai0 = dpβ1−α1

1 .

Como β1 > α1, tendremos que β1 − α1 ≥ 1 y, por tanto,

p1 | pβ1−α1

1 , pβ1−α1

1 | cai0 .

En particular

p1 | cai0con p1 - ai0 y p1 - c,lo que contradice el caracter de primo de p1 y nos lleva a contradiccion. Por tanto, no es posibleque β1 > α1. Esto implica que, necesariamente, αj = βj para todo j, con 1 ≤ j ≤ n. Luego,por las igualdades descritas en la Ecuacion 2.3.1, tenemos que concluir que h y a son asociadosy, por tanto, a = cont(af).

Lema 2.3.14 (Gauss). Si R es un dominio de factorizacion unica, el producto de polinomiosprimitivos es primitivo.

Demostracion. Supongamos que nos dan dos polinomios primitivos f, g ∈ R[X] dadosmediante:

f = adXd + ad−1X

d−1 + · · ·+ a1X + a0,

g = bmXm + bm−1X

m−1 + · · ·+ b1X + b0.

Supongamos ad 6= 0 y bm 6= 0. Entonces, el producto de f ‘por g es un polinomio de gradod+m de la forma:

fg := cd+mXd+m + cd+m−1X

d+m−1 + · · ·+ c1X + c0,


dondeck :=

∑i+j=k

aibj , ∀k, 0 ≤ k ≤ d+m.

Sea, ahora, p ∈ R un elemento primo y supongamos que p divide al continente de fg, es decir,

p | ck, ∀k, 0 ≤ k ≤ d+m.

Como f y g son primitivos, debe existir un cofieciente ai de f al que p no divide y, por la mismarazon, debe existir otro coeficiente bj de g al que p no divide. Podemos definir:

i0 := mini : p - ai, j0 := minj : p - bj.Consideremos el termino k0 = i0 + j0 de fg, esto es,

ck0 :=∑

i+j=k0

aibj ∈ R.

por hipotesis tenemos que p | ck0. De otro lado, dado un par (i, j) tal que i + j = k0, pero

i > i0, tendremos:i+ j = k0 = i0 + j0, i > i0 =⇒ j < j0.

luego, como j0 es un mınimo, p | bj para cada j < j0. Habremos probado que

p | (aibj), ∀(i, j), i+ j = k0, i > i0.

De manera analoga se prueba que

p | (aibj), ∀(i, j), i+ j = k0, j > j0.

Por tanto, podemos concluir que p divide a la suma de todos estos objetos (suma finita):

p |

∑i+j=k0,i>i0

(aibj) +∑

i+j=k0,j>j0

(aibj)

.

Pero, tenemos que

ck0= ai0bj0 +

∑i+j=k0,i>i0

(aibj) +∑

i+j=k0,j>j0

aibj

,

o, lo que es lo mismo

ai0bj0 = ck0−

∑i+j=k0,i>i0

(aibj) +∑

i+j=k0,j>j0

aibj

∈ (p),

donde (p) es el ideal generado por p en R. Por tanto, hemos concluido que p | ai0bj0 y R esDFU, luego p es primo. En particular,

[p | ai0 ] ∨ [p | bj0 ].

Pero ninguna de esas dos afirmaciones se puede dar por la propia definicion de i0 y j0 (es decir,porque p - ai0 y p - bj0). Por tanto, el contenido de fg no es divisible por ningun irreducible y,en particular, cont(fg) debe ser una unidad en R, concluyendo la prueba del enunciado.

Corollario 2.3.15. Dados dos polinomios univariados f, g ∈ R[X] no nulos, siendo R undominio de factorizacion unica, entonces, se tiene:

pp(fg) = pp(f)pp(g), cont(fg) = cont(f)cont(g),

Demostracion. Suponganos que tenemos:

a = cont(f) ∈ R, f1 = pp(f), b = cont(g) ∈ R, g1 = pp(g).

Entonces, por el resultado precedente, f1g1 ∈ R[X] es un polinomio primitivo. Ademas, tenemos

fg = (ab)(f1g1), con a 6= 0, b 6= 0

Luego por el Lema 2.3.13, concluimos que

cont(fg) = (ab), pp(f) = f1g1,

como afirma el enunciado.


Corollario 2.3.16. Todo divisor en R[X] de un polinomio primitivo es primitivo.

Demostracion. Si g | f y f ∈ R[X] es primitivo, entonces existe h ∈ R[X] tal que f = gh.Por tanto, tenemos:

cont(f) = 1 = cont(g)cont(h),

y, por tanto, los contenidos de g y h son unidades lo que significa que g y h han de serprimitivos.

Lema 2.3.17. Sea R un dominio de ideales principales, K su cuerpo de fracciones y f ∈ R[X]un polinomio univariado primitivo. Entonces,

f es irreducible en R[X]⇐⇒ f es irreducible en K[X].

Demostracion. Hagamos la demostracion de las dos implicaciones:

• =⇒: Supongamos que f es irreducible en K[X]. Y supongamos que f se puededescomponer en producto f = gh con g, h ∈ R[X]. Entonces, la igualdad se datambien en K[X]. En consecuencia, por ser f irreducible en K[X], tiene que darsef ∼ g o f ∼ h en K[X]. Supongamos que f ∼ g en K[X], entonces, deg(f) = deg(g)y existe λ ∈ K \ 0 tal que λg = f . Existira b ∈ R tal que bλ ∈ R. Finalmente, seac = cont(g) y g1 = pp(g). Tenemos, entonces, que bλg = bf y, por tanto, usando elLema 2.3.13 tenemos

pp(bλg) = pp(bf) = f, cont(bλg) = cont(bf) = b.

De otro lado,bλg = (bλc)g1, con bλc ∈ R.

Por el Lema 2.3.13, como g1 ∈ R[X] es primitivo, tenemos que

cont(bλg) = bλc, pp(bλg) = g1.

Por tanto,f = pp(bλg) = g1,

Y habremos probado que f | g en R[X]. La condicion g | f en R[X] ya la tenıamosluego f y g son asociados en R[X]. Los mismo se probarıa en el caso f ∼ h en K[X],con lo que habremos probado que

f = gh en K[X] =⇒ f ∼ g ∨ f ∼ h en R[X],

lo que prueba que f es irreducible en R[X].• =⇒: Supogamos ahora que f es primitivo e irreducible en R[X]. Supongamos quef = gh en K[X]. En este caso, existen a, b ∈ R \ 0 dos elementos no nulos tales que

ag ∈ R[X], bh ∈ R[X].

Por tanto, tendremos la siguiente igualdad en R[X]:

(ab)f = (ag)(bh).

Sean a1 = cont(ag), g1 = pp(ag), b1 = cont(bh), h1 = pp(bh), luego

(ab)f = (ag)(bh) = (a1b1)(g1h1).

Tendremos, por el Lema 2.3.13:

pp((ab)f) = f,

Mientras que por el Corolario 2.3.15

f = pp((ab)f) = pp((ag)(bh)) = pp(ag)pp(bh) = g1h1.

Como f es irreducible en R[X], tendremos f | g1 o f | h1 en R[X]. Por tanto,

f | (ag) ∨ f | (bh), en R[X].

Como a 6= 0 y b 6= 0 en R, entonces son unidades en K, con lo que concluimos:

f | g ∨ f | h, en K[X].

Lo que implica que f es primo en K[X] y, por tanto, irreducible.


Corollario 2.3.18. Con las notaciones anteriores, sea f ∈ K[X] un polinomio no nulo.Entonces, existe a ∈ R \ 0 tal que af ∈ R[X]. Ademas, si f es irreducible en K[X], la parteprincipal pp(af) ∈ R[X] es irreducible en R[X] y en K[X].

Demostracion. Es lo que se ha probado en el resultado precedente.

Lema 2.3.19. Sea R un dominio de factorizacion unica, si q(X) ∈ R[X] \ 0 es irreducibleentonces o bien q ∈ R y q irreducible en R o bien q ∈ R[X] \ R es un polinomio no constantey, en ese caso, es un polinomio primitivo.

Demostracion. De la descomposicion q = cont(q)pp(q) deducimos que o bien cont(q) ∈R∗ y q es primitivo o bien cont(q) 6∈ R∗, en cuyo caso pp(f) es una unidad en R[X] y, portanto, es una constante y q ∈ R∗. En este segundo caso, q ∼ cont(q) en R y, necesariamente, qes irreduible en R.

Teorema 2.3.20 (Lema de Gauss). Si R es un dominio de factorizacion unica, tambien esdominio de factorizacion unica el anillo de polinomios R[X1, . . . , Xn], para cualquier n ∈ N.

Demostracion. En primer lugar observemos que basta con probar la afirmacion siguiente:

Afirmacion. Si R es dominio de factorizacion unica, entonces el anillo R[X], de polinomiosen una variable con coeficientes en R, tambien es dominio de factorizacion unica.

Si tenemos probada la afirmacion anterior, entonces podemos conluir el teorema por induccionen n. Ası, si n = 1, la Afirmacion nos garantiza que R[X1] es un dominio de factorizacion unica.Y si n > 1, notese que

R[X1, . . . , Xn] = R[X1, . . . , Xn−1][Xn].

Como, por hipotesis inductiva, R[X1, . . . , Xn−1] es dominio de factorizacion unica, entonces,tambien lo esR[X1, . . . , Xn−1][Xn] por la Afirmacion y, por tanto, tambien lo seraR[X1, . . . , Xn].Por tanto, nos centraremos solamente en probar la afirmacion indicada.

Demostracion de la Afirmacion. Sea f ∈ R[X] un polinomio cualquiera no nulo. Descompong-amos

f = cont(f)pp(f).

Sea f1 = pp(f) ∈ R[X]. Como K[X] es un dominio de factorizacion unica, f1 se descomponeen factores irreducibles unicos en K[X], es decir,

f1; =

m∏i=1

qj(X)αj ,

con qj(X) ∈ K[X] irreducible. Entonces, existen constantes ai ∈ R no nulas, tales que aiqi ∈R[X] para cada i, 1 ≤ i ≤ m. Escribamos, Fi = pp(aqi) y tenemos:

(

m∏j=1

aαjj )f1 =

m∏j=1

(ajqj(X))αj =

m∏j=1

cont(ajqj)αj

m∏j=1

Fαjj .

Luego, como f1 es primitivo en R[X] tenemos que, usando el Corolario 2.3.15, concluimos:

f1 = pp

m∏j=1

aαjj

f1

= pp

m∏j=1

cont(ajqj)αj

m∏j=1

Fαjj

= pp(

m∏j=1

Fαjj ) =

m∏j=1

Fαjj .

Ademas por el Lema 2.3.17, como Fj es primitivo, tendremos que la igualdad siguiente es unadescomposicion de f1 en producto de elementos irreducibles en R[X]:

f1 =

m∏j=1

Fαjj .

De otro lado, cont(f) ∈ R factoriza por ser R un dominuo de factorizacion unica mediante:

cont(f) =

n∏k=1

pβkk ,


donde pk ∈ R es irreducible. Por el Problema 136, si pk es irreducible en R, entonces, pk esirreducible en R[X]. En conclusion, tenemos la siguiente descomposicion de f en producto deirreducibles:

f = cont(f)pp(f) =

n∏k=1

pβkk

m∏j=1

Fαjj .

En cuanto a la unicidad, probemos la siguiente :

Afirmacion. Si R es un Dominio de Factorizacion Unica, un elemento f ∈ R[X] es primo siy solamente si es irreducible.

Demostracion de la Afirmacion: Por lo visto hasta la fecha, basta con ver que si f ∈ R[X] esirreducible, entonces es un elemento primo de R[X]. En el caso de que deg(f) ≤ 0, f serıa unaconstante en R y ya hemos visto que en los dominios de factorizacion unica primo e irreducibleson dos nociones coincidentes (ver Proposicion 2.3.4). Supongamos entonces que deg(f) ≥ 1.Observese, en primer lugar, que si f es irreducible, entonces, f es primitivo: los coeficientes def no pueden tener un maximo comun divisor no trivial porque, si ası fuera, f serıa divisiblepor un factor irreducible del maximo comun divisor de los coeficientes y no serıa asociado a esedivisor, que tampoco serıa unidad en R ni en R[X] (ver Lema 2.3.12).Supongamos, entonces, a, b ∈ R[X] tales que f | (ab) en R[X]. Por el Lema 2.3.17, f sera unelemento irreducible en K[X] y, como K[X] es un dominio de ideales principales, el Teorema2.1.10 nos garantiza que f sera un elemento primo en K[X]. Por tanto, o bien f | a en K[X] obien f | b en K[X]. Sin perdida de la generalidad, supongamos que f | a en K[X] y concluyamosque f | a en R[X]. Para ello, supongamos h ∈ K[X] tal que hf = a en K[X]. Tomando unmınimo comun multiplo de los denominadores de h, d ∈ R, podemos suponer que dh ∈ R[X].Por tanto, concluimos:

(dh)f = (ad).

Sean h1 = pp(dh), λ1 = cont(dh), a1 = ppa(a), λ2 = cont(a). Entonces, la anterior desigualdadresulta:

λ1(h1f) = λ2a1.

Por el Lema de Gauss (Lema 2.3.14) el producto de primitivos es primitivo y, por tanto, h1f ∈R[X] es primitivo. Por tanto, h1f ∼= a1 en R[X]. Es decir, existe una constante u ∈ R∗ tal que

uh1f = a.

y, por tanto, f divide al polinomio a en R[X].

El final de la Demostracion del Teorema: Juntando las dos afirmaciones anteriores, habremosprobado que todo elemento de R[X] es producto finito de unidades y primos de R[X]. Usandola Proposicion 2.3.2, concluiremos que R[X] es un dominio de factorizacion unica.

Corollario 2.3.21. Si R es un dominio de factorizacion unica, K su cuerpo de fracciones yf ∈ R[X] \ 0. La factorizacion de f en irreducibles viene dada por:

f =

n∏k=1

pβkk

m∏j=1

Fαjj ,

donde

i) cont(f) =∏nk=1 p

βkk es una factorizacion del contenido de f en producto de irreducibles

de R,ii) pp(f) =

∏mj=1 F

αjj es una factorizacion de pp(f) como producto de polinomios primi-

tivos e irreducibles en R[X] (y, por tanto, irreducibles en K[X]).

Demostracion. Es lo visto en la demostracion del Lema de Gauss precendente.

2.4. ANILLOS E IDEALES EN LA GEOMETRIA 137


Problema 128. Prueba que la parte primitiva de un polinomio es un polinomio primitivo.

Problema 129. Demuestra la afirmacion (i) de la Observacion 2.3.10.

Problema 130. Demuestra la afirmacion (ii) de la Observacion 2.3.10

Problema 131. Demuestra la afirmacion (iii) de la Observacion 2.3.10

Problema 132. Demuestra la afirmacion (iv) de la Observacion 2.3.10

Problema 133. Demuestra la afirmacion y los ejemplos descritos en la Observacion 2.3.9

Problema 134. Definir contenido, parte principal y serie primitiva para series de potenciasformales σ ∈ R[[X]], donde R es un dominio de factorizacion unica.Prueba que si σ, τ ∈ R[[X]] son dos series primitivas, entonces su producto στ ∈ R[[X]] tambienes primitiva. (Pista: seguir la prueba del Lema 2.3.14).

Problema 135. Prueba que si K es un cuerpo, el anillo de series de potencias formales K[[X]]con coeficientes en K es un dominio de ideales principales. (Pista: Prueba que es un anillo conun unico ideal maximal).

Problema 136. Prueba que si R es un DFU y p ∈ R es irreducible, entonces p‘ es irreducibleen R[X] y en R[[X]].

Problema 137. Prueba que si R es un dominio de factorizacion unica, entonces, el anillo deseries de potencias formales R[[X]] en una sola variable es un dominio de factorizacion unica.

Problema 138. Prueba que si R es un dominio de factorizacion unica, A ∈Mn(R) una matrizcuadrada con coordenadas en R, el anulador a := AnnR[X](A) ⊆ R[X] es un ideal principal enR[X] Se die que R es un dominio normal (o un dominio ıntegramente cerrado en su cuerpo defracciones).

Problema 139. Sea R un anillo cualquiera, no necesariamente un dominio de factorizacionunica. Generalicemos la nocion de polinomio primitivo del modo siguiente: Un polinomiof = a0 + a1X + · · · + anX

n ∈ R[X] se dice sub-primitivo si el ideal a := (a0, . . . , an) ⊆ Rque generan sus coeficientes satisface a = (1). Probar que dados dos polinomios f, g ∈ R[X] suproducto fg es un polinomio sub-primitivo si y solamente si f y g son sub-primitivos. ( Hint:Para cada ideal maximal m de R, considerese el conjunto me = mR[X] la extension de m aR[X]. Es sencillo verificar que R[X]/me ∼= (R/m)[X] que es un dominio de ideales principalesporque R/m es un cuerpo. Notese que si f ∈ R[X], entonces f es sub-primitivo si y solamentesi la clase de f modulo me (f + me) es no nulo para cualquier maximal m de R. La razon esporque siempre hay un coeficiente de f que no esta en el maximal m de R. Para concluir laprueba, dados f, g ∈ R[X], supongamos que fg es sub-primtivo. Entonces, para cualquier idealmaximal m de R, la clase fg+ me 6= 0 en (R/m)[X]. Como fg+ me = (f + me)(g+ me) 6= 0 y(R/m)[X] es un dominio de integridad, entonces habremos conlcuido que f+me 6= y g+me 6= 0en (R/m)[X] para cualquier maimal m de R. por tanto, tanto f como g son subprimitivos enR[X]. El recıproco se demuestra por aun argumento similar.)

Problema 140. Probad que el Lema de Gauss (Lema 2.3.14) puede demostrarse por un ar-gumento identico al del problema anterior. Es decir, suponiendo que R es un dominio defactorizacion unica, repetir el argumento del problema anterior, reemplazando los ideales max-imales m por los ideales primos p que son principales, es decir, por los ideales primos p de Rque estan generados por un elemento irreducible.

2.4. Anillos e Ideales de la Geometrıa

Esta seccion se decicara a mostrar ejemplos de anillos e ideales que provienen de la Geometrıa,entendida como estudio de los objetos dados como soluciones (locales o globales) de sistemasde ecuaciones definidas en un conjunto. Comencemos con unas notaciones basicas:

Definicion 55. Sea X un conjunto no vacıo, sea R un anillos y sea A ⊆ Ap(X,R) un subanillodel conjunto de aplicaciones de X en R. Introducimos las siguientes nociones:


i) Variedad asociada a una funcion: Sae f ∈ A una funcion, definimos la variedaden X asociada a f (o conjunto de ceros asociados a f) como el subconjunto VX(f) ⊆ Xdado por la igualdad siguiente:

VX(f) := x ∈ X : f(x) = 0.ii) Variedad asociada a un conjunto de funciones: Sae F ∈ A una conjunto de fun-

ciones en A, definimos la variedad en X asociada a F (o conjunto de ceros asociadosa F) como el subconjunto VX(f) ⊆ X dado por la la igualdad siguiente:

VX(F) := x ∈ X : f(x) = 0,∀f ∈ F =⋂f∈F

VX(f).

En el caso de que F = f1, . . . , fs sea un conjunto finito, escribiremos

VX(f1, . . . , fs) := x ∈ X : f1(0) =, . . . , fs(x) = 0.

Observacion 2.4.1. Es claro que VX(0) = X, luego X es una variedad (definida por el 0 ∈A). Por eso, en ocasiones, se dice que VX(F) es una subvariedad de X. Al conjunto detodas las posibles subvariedades de X definidas por subconjuntos del anillo A se las denominasubvariedades A−definibles. Segun los casos, cuando los anillos tienen semantica propia, lassubvariedades A− definibles tienen nombres especıficos.

Proposicion 2.4.2. Sea X un conjunto no vacıo, sea R un anillos y sea A ⊆ Ap(X,R) unsubanillo del conjunto de aplicaciones de X en R. Sea F ⊆ A un conjunto y a ⊆ A. Entonces,

VX(F) = VX(a).

Mas aun, la variedad VX(a) es definida como el conjunto de ceros de cualquier conjunto degeneradores de a como ideal y es independiente del conjunto generador elegido.En particular, las subvariedades A−definibles de X son las subvariedades definidas por losideales de A.

Demostracion. Es claro que si F := fi : i ∈ I genera el ideal a en A, F ⊆ a y,entonces,

VX(a) =⋂f∈a

VX(f) ⊆⋂f∈F

VX(f) = VX(F).

Para el otro contenido, sea x ∈ VX(F) y sea f ∈ a un elemento cualquiera. Recordando ladefinicion de generadores de un ideal (Definicion 26), si f ∈ a = (F) existen J ⊆ I un conjuntofinito, y existen gj : j ∈ J ⊆ A tales que:

f :=∑j∈J

ajfj .

Como la suma de la parte derecha de la igualdad es finita, podemos concluir que

f(x) =∑j∈J

gj(x)fj(x) =∑j∈J

gj(x).0 = 0.

Por tanto, f(x) = 0 para cualquier f ∈ a, luego x ∈ VX(a) y habremos probado VX(F) ⊆ VX(a)concluyendo el enunciado. El resto de las afirmaciones son obvias.

Proposicion 2.4.3. Sea X un conjunto no vacıo, sea R un anillo y sea A ⊆ Ap(X,R) unsubanillo del conjunto de aplicaciones de X en R. Se tiene:

i) Si a ⊆ b son dos ideales del anillo A, entonces VX(b) ⊆ VX(a).ii) ∅ = VX((1)), donde (1) es el ideal generado por 1 en A (es decir, el propio A como

ideal dentro de sı mismo).iii) X = VX((0)), donde (0) = 0 es el ideal de A formado solamente por el 0 ∈ A.iv) La interseccion de una familia cualquiera V (ai) : i ∈ I de subvariedades A−definibles

es tambien una variedad A−definible. De hecho, si b es el ideal suma∑i∈I ai en A

se tiene ⋂i∈I

VX(ai) = VX(b) = VX(∑i∈I

ai).

v) Si R es un dominio de integridad, dados f, g ∈ A, entonces VX(fg) = VX(f) ∪ Vx(g).


vi) Si R es dominio de integridad, la union finita de subvariedades A−definibles de X estambien una subvariedad A−definible. De hecho, dados a, b dos ideales de A, entoncessi c es el ideal producto ab en A se tiene

VX(a) ∪ VX(b) = V (c) = VX(ab).

Demostracion. Hagamos un repaso a las distintas afirmaciones:

i) Supongamos a ⊆ b, entoces es claro que

VX(a) =⋂f∈a

VX(f) ⊇⋂f∈b

VX(f) = VX(b).

ii) Es obvio.iii) Es obvio.iv) Recuerdese (Definicion 28) que

∑i∈I ai es el ideal generador por

⋃i∈I ai. Observes,

ademas, que

VX(⋃i∈I

ai) := x ∈ X : f(x) = 0,∀f ∈⋃i∈I

ai ⊆ VX(ai), ∀i ∈ I.

Luego,

(2.4.1) VX(⋃i∈I

ai) = VX(∑i∈I

ai) ⊆⋂i∈I

VX(ai).

Para el otro contenido, sea x ∈⋂i∈I VX(ai) y sea f ∈

∑i∈I ai dos elementos cua-

lesquiera. Como⋃i∈I ai genera

∑i∈I ai, existira J ⊆ I un conjunto finito y para cada

j ∈ J , existiran elementos f (j)1 , . . . , f

(j)kj ⊆ aj y elementos g(j)

1 , . . . , g(j)kj ⊆ A en

numero finito y elementos tales que:

f =∑j∈J

kj∑i=1

g(j)i f

(j)i

.

Ahora, como la suma de la izquierda es una suma finita podemos escribir:

f(x) =∑j∈J

kj∑i=1

g(j)i (x)f

(j)i (x)

.

Pero como x ∈ VX(ai) para todo i ∈ I, tambien se tiene x ∈ VX(aj) para todo j ∈ J .

Como f (j)1 , . . . , f

(j)kj ⊆ aj , para cada j ∈ J , entonces concluimos:

f(j)i (x) = 0,∀j ∈ J, ∀i, 1 ≤ i ≤ kj .

Por tanto, la igualdad precedente se puede escribir como:

f(x) =∑j∈J

kj∑i=1

g(j)i (x)f

(j)i (x)

=∑j∈J

kj∑i=1

g(j)i (x) · 0

= 0,

donde hemos podido igualar a cero por ser suma finita. Hemos concluido que f(x) = 0para cualesquiera x ∈

⋂i∈I VX(ai) y para cualquier f ∈

∑i∈I ai, por tanto,⋂

i∈IVX(ai) ⊆ VX(

∑i∈I

ai),

lo cual nuto a la inclusion descrita en la ecuacion 2.4.1 termina la demostracion deesta afirmacion.

v) Sea f, g ∈ A, si x ∈ VX(f) entonces f(x) = 0, luego fg(x) = f(x)g(x) = 0 y, portanto, x ∈ VX(fg). Haciendo lo mismo con los elementos de VX(g) concluiremos

VX(f) ∪ VX(g) ⊆ VX(fg).

De otro lado, si x ∈ VX(fg), entnces fg(x) = f(x)g(x) = 0. Como R es un dominiode integridad, y f(x), g(x) ∈ R, entonces tiene que darse f(x) = 0 o g(x) = 0. Enconclusion, si x ∈ VX(fg), entonces x ∈ VX(f) o VX(g) y habremos probado:

VX(f) ∪ VX(g) ⊇ VX(fg),


lo que con la inclusion anterior demuestra la afirmacion buscada.vi) Aplicando induccion, la afirmacion sobre la union finita se sigue inmediatamente si

somos capaces de demostrar que la union de dos subvariedades es subvariedad. Con-sideremos, entonces, este caso y sean a, b dos ideales de A y c es el ideal producto aben A. Hemos visto que

c = ab ⊆ a ∩ b,

Luego, c ⊆ a y c ⊆ b, lo cual implica

VX(a) ⊆ VX(c) = VX(ab), VX(b) ⊆ VX(c) = VX(ab),

con lo que concluimos:

(2.4.2) VX(a) ∪ VX(b) ⊆ VX(c) = VX(ab).

Para el otro contenido, necesitamos la hipotesis de que R es un dominio de integridad.Recordemos que el ideal producto c es el ideal generador por el conjunto siguiente:

F := fg : f ∈ a, g ∈ b.

Por tanto, sus ceros comunes son los ceros comunes a uno cualquiera de los sistemade generadores como ideal. Esto implica

VX(c) =⋂fg∈F

VX(fg) =⋂

f∈a,g∈b

VX(fg).

Usando la propiedad (v) de este mismo enunciado, concluiremos:

VX(c) =⋂

f∈a,g∈b

(VX(f) ∪ VX(g)) .

Aplicando la distributiva de conjuntos concluiremos:

VX(c) =

⋂f∈a

VX(f)

∪⋂g∈b

VX(g)

= VX(a) ∪ VX(b).

Observacion 2.4.4 (Topologıa de Zariski). De la anterior proposicion se infiere, que dadoun conjunto X, un dominio de integridad R y un subanillo A de Ap(X,R) el conjunto de lassubvariedades A−definibles

VX(a) : a es un ideal de R,define una unica topologıa en X en la que dicho conjunto es la clase de cerrados. A esa topologıase la denomina topologıa de Zariski sobre X dada por el anillo A y la denotaremos medianteTZ(A). Discutiremos los diversos ejemplos en las paginas que siguen.

Ejemplo 2.4.5 (Ceros de funciones continuas a valores reales). Sea (X, T ) un espaciotoplologico sea R = R el cuerpo de lso numeros reales y A = C0(X) el anillo de las funcionescontınuas de X en R. Podemos definir conjuntos como:

VX(f) := x ∈ X : f(x) = 0 := f−1(0).

El conjunto VX(f) es obviamente un cerrado en X y resulta facil observar algunas identidadeselementales como las siguientes:

VX(f) ∪ VX(g) := VX(f.g), VX(f) ∩ VX(g) := VX(f2 + g2).

Sobre los reales se da un patologıa especial y es que intersecciones finitas de subvariedadesdefinidas por una sola ecuacion son tambien subvariedades definidas por una sola ecuacion.Esto no necesraimente ocurre para una coleccion infinita de ecuaciones dadas por funcionescontinuas a valores reales definidas sobre un espacio topologico.En todo caso, observamos que la toplogıa de Zariski TZ(C0(X)) definida sobre X por las fun-ciones continuas es una topologıa menos fina que la topologıa T dada inicialmente, es decir,TZ(C0(X)) ⊆ T .


Ejemplo 2.4.6 (Funciones diferenciables sobre abiertos de Rn). Podemos suponer queX ⊆ Rn es un abierto en Rn, que el anillo R = R es el cuerpo de los numeros reales y que nuestoanillo A tiene en cuenta condiciones de diferenciablidad de algunas funciones. Por ejemplo,

A ∈ Cω(X) ⊆ C∞(X) ⊆ Ck(X) ⊆ C1(X),todos ellos subanillos de C0(X). De nuevo la topologıa de Zariski definida por A es una toplogıahecha de cerrados de X para la toplogıa usual en X inducida por la de Rn. El siguiente resultadosuele ser atribuido a Withney:

Teorema 2.4.7 (Withney). Dado cualquier subconjunto cerrado F ⊆ Rn, existe una funcionf ∈ C∞(Rn) tal que

F = VRn(f).

No haremos la prueba que corresponde aotro curso bien de Analisis o de Geometrıa Diferencial.En todo caso, este resultado permite concluir

Corollario 2.4.8. Si X es un abierto de Rn y A es un anillo en la familia

Ck(X) : 0 ≤ k ≤ ∞.Entonces, la topologıa de Zariski sobre X definida por A es la toplogıa usual, es decir,

TZ(A) = Tu.

Demostracion. El Teorema atribuido a Withney nos garantiza que todo cerrado en Xes una variedad A−definible si A = C∞(X). Por tanto es tambien A−definible para todo losanillos que contienen a A como subanillo y, ademas, son cerrados para las respectivas topologıasde Zariski.

Ejemplo 2.4.9 (Subvariedades definidas localmente). Dadas dos variedades diferenciblesM y una funcion f : M −→ N , para cada punto a ∈ M denotaremos por Taf la funciontangente alrededor del punto a. Es decir,

Taf : TaM −→ Tf(a)N.

Se tiene la siguiente caracterizacion clasica de las subvariedades de una variedad:

Teorema 2.4.10 (Caracterizacion de subvariedades). Sea M una variedad de dimensin m y Nun subconjunto. Entonces, N es subvariedad de M si y solamente si para cada punto a ∈ Nexiste un entorno abierto U de a en M y existen funciones f1, . . . , fm−n ∈ C∞(U) tales que

• N ∩ U = VU (f1), · · · , fm−n).• Dada la aplicacion f := (f1, . . . , fm−n) : M −→ Rm−n, la aplicacion tangente asociadaTaf : TaM −→ T0Rm−n es suprayectiva (submersion), donde 0 ∈ Rn−m es el origende coordenadas.

Aunque no lo demostraremos, la prueba se basa en el Teorema del Rango Constante. En es-encia, lo que dice este enunciado es que las suvariedades en terminos de geometrıa diferencialson aquellos subconjuntos que, localmente, son cerrados para la toplogıa de Zariski, dados porun numero finito de ecuaciones que satisfacen alguna propiedad adicional. Se dice que son,localmente, cerrados lisos de la topologıa de Zariski dada por el anillo de funciones C∞(X).

Ejemplo 2.4.11 (Ceros de una funcion a valores complejos). A partir de una funcioncontinua f ∈ C0(X,C) podemos definir el conjunto de sus ceros comunes en X:

VX(f) := x ∈ X : f(x) = 0 := f−1(0).El conjunto VX(f) es, de nuevo, cerrado en X y resulta facil observar algunas identidadeselementales como VX(f) ∪ VX(g) := VX(f.g).

Ejemplo 2.4.12 (Polinomiales K−definibles.). Sea K un cuerpo y K un cuerpo algebraica-mente cerrado que le contiene. En muchos casos supondremos que K es la clausura algebraica deK, pero dejamos abierta la posibilidad de que sea un cuerpo algebraicamente cerrado mas am-plio. Ahora consideremos aplicaciones Ap(Kn,K). Consideremos las proyecciones cannonicas:

πi : Kn −→ K, 1 ≤ i ≤ n,


donde πi es la proyeccion en la i−esima coordenada. Consideremos ahora las aplicacionesconstantes definidas por elementos en K. Y consideremos el menor subanillo de Ap(Kn,K) quecontiene a las proyecciones π1, . . . , πn y a las aplicaciones constantes definidas por elementosde K. Denotemos ese anillo por K[Kn] := K[π1, . . . , πn]. A este anillo se le denomina anillode las funciones polinomiales K−definibles sobre Kn.Se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 2.4.13. Con las anteriores notaciones,

K[Kn] = K[π1, . . . , πn] ∼= K[X1, . . . , Xn].

Demostracion. Como ya hemos dicho, vamos a identificar πi con Xi. Por lo visto enla subseccion 1.3.1 todos los elementos f ∈ K[X1, . . . , Xn] admiten una representacion de laforma:

f :=∑|µ|≤d

aµXµ1

1 · · · , Xµnn .

Entonces, podemos asociar a cada f ∈ K[X1, . . . , Xn] una aplicacion

ϕf : Kn −→ K,mediante

(2.4.3) ϕf (x) :=∑|µ|≤d

aµπ1(x)µ1 · · ·πn(x)µn .

Esto define una aplicacion Φ : K[X1, . . . , Xn] −→ Ap(Kn,K) dada mediante Φ(f) := ϕf ∈Ap(Kn,K). Es claro tambien que Φ es un morfismo de anillos, luego la imagen Φ(K[X1, . . . , Xn])es un subanillo de Ap(Kn,K). Es claro tambien que esa imagen contiene al cuerpo K (funcionesconstantes en K dentro de Ap(Kn,K)). Tambien es obvio que contiene a las proyeccionesπi := Φ(Xi). Pero, ademas, si un subanillo contiene a K y a las proyecciones πi, 1 ≤ i ≤ n,entonces tambien contiene a toda expresion de la forma dada en la Ecuacion (2.4.3) anterior. Portanto, Φ(K[X1, . . . , Xn]) es el menor subanillo de Ap(Kn,K) que contiene a K a las proyeccionesπ1, . . . , πn. Es decir, Φ(K[X1, . . . , Xn]) = K[Kn].Para verificar la Proposicion, solo nos queda verificar que Φ es inyectiva. Para eso, recurrimosal Problema 44. Como todo cuerpo algebraicamente cerrado es de cardinal infinito, dadof ∈ K[X1, . . . , Xn], si ϕf (x) = 0, ∀x ∈ Kn, entonces f = 0 en K[X1, . . . , Xn] y Φ es inyectiva,con lo que concluimos el enunciado.

En muchos casos escribiremos f en lugar de ϕf para denotar la funcion polinomial definida porun polinomio f ∈ K[X1, . . . , Xn]. En esos casos, se debe tener en mente la dualidad entre losconceptos de funcion y polinomio.Notese tambien que esta identidad depende fuertemente de la condicion K es un cuerpo decardinal infinito. Si hubiesemos considerado Ap(Kn,K) con K cuerpo finito, no es ciertoque K[X1, . . . , Xn] sea isomorfo al menor subanillo de Ap(Kn,K) que contiene a K y a lasproyecciones Pi : Kn −→ K.

Ejemplo 2.4.14 (Variedades algebraicas afines). Sea K un cuerpo y K una extensionalgebraicamente cerrada de K. Consideremos ahora f ∈ K[X1, . . . , Xn] un polinomio concoeficientes en K y sea ϕf : Kn −→ K la funcion polinomial que define. Denotaremos porVK(f) al conjunto:

VK(f) := VKn(ϕf ) := x ∈ Kn : ϕf (x) = 0 = ϕ−1f (0).

De hecho, por simplicidad, escribiremos a partir de ahora f(x) = 0 en lugar de ϕf (x) = 0

y f−1(0) en lugar de ϕ−1f (0). A todo conjunto de la forma VK(f) con f ∈ K[X1, . . . , Xn]

se le denomina hipersuperficie algebraica afın K−definible. En el caso K = K, omitiremosel subındice K (escribiremos simplemente V (f)) y diremos que V (f) es una hipersuperficiealgebraica afın.Para un conjunto finito de polinomios f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] escribiremos

VK(f1, . . . , fm) = VK(f1) ∩ · · ·VK(fm).

Todo subconjunto de Kn de la forma VK(f1, . . . , fm), con f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] se denoinavariedad (o conjunto algebraico) afın K−definible. En el caso K = K, diremos simplementevariedad algebraica afın.


En ocasiones, sin embargo, no interesa analizar toda la variedad algebraica afın VK(f1, . . . , fm)sino simplemente los llamados puntos K−racionales que denotaremos mediante:

VK(f1, . . . , fm) := VK(f1, . . . , fm) ∩Kn.

Estos objetos son especialmente relevantes cuando K es un cuerpo primo (i.e. K = Z/pZ oK = Q) y se convierten en los objetos de estudio de la Geometrıa Diofantica o Aritmetica(Teorıa de Numeros).

Ejemplo 2.4.15 (Las Variedades Anaıticas). Se consideran esencialmente dos casos:

• A = Cω(X,R) con X ⊆ Rn abierto, es decir el anillo de funciones analıticas a valoresreales,

• A = H(X), con X ⊆ Cn un abierto, es decir el anillo de funciones holomorfas (i.e.analıticas complejas) definidas en X.

En este caso, la toplogıa de Zariski TZ(A) esta formada solo por una parte de los cerrados dela toplogıa usual en X (tanto en el caso real como en el complejo). De hecho, se puede probarel siguiente resultado en Geometrıa Analıtica:

Proposicion 2.4.16. Sea K = R∨C, sea X ⊆ Kn un abierto conexo y sea a un ideal en H(X)(si K = C) o ideal en Cω(X) (si K = R). Entonces, VX(a) ⊆ X es o bien coincidente con X obien es un conjunto de interior vacıo y de medida (de Lebesgue) nula. En particular, todos loscerrados F ⊆ X propios de la toplogıa de Zariski son conjuntos de interior vacıo y medida deLebesgue nula.

La demostracion no la daremos aquı porque exige una fuerte introduccion previa en variablecompleja y funciones analıticas reales que no se corresponde al nivel del curso.

Ejemplo 2.4.17 (Variedades Proyectivas, Ideales Homogeneos). No podemos acabar sincitar un ejemplo mas de variedades (en el sentido de conjuntos de ceros) que son esencialespara entender la Geometrıa: Las variedades proyectivas.Comencemos recordando el espacio proyectio. Sea K un cuerpo y K uns extension. Consider-emos el espacio vectorial Kn+1, el subconjunto Kn+1 \ 0 y la relacion de equivalencia sobreKn+1 \ 0 dada mediante:

x ∼ y ⇐⇒ ∃λ ∈ K, x = λy.

El conjunto cociente(Kn+1 \ 0

)/ ∼ se denomina espacio proyectivo de dimension n sobre K

y se denota mediante Pn(K)4. Se considera la proyeccion canonica

π : Kn+1 \ 0 −→ Pn(K)

que, en los casos K = R ∨ C, define una topologıa cociente (topologıa final a traves de π) enPn(K). A los puntos π(x0, x1, . . . , xn) los representaremos mediante (x0 : x1 : · · · : xn) al estilode la escuela “francesa”.En estos casos, el espacio proyectivo tambien tiene una estructura de variedad diferenciable (deRiemann en el caso K = R y de Kahler en el caso K = C).

• En el caso real, podemos identificar isometricamente (como variedades de Riemann)Pn(R) con el cociente Sn/S0, entendiendo por S0 := ±1 la version mutiplicatica delgrupo abeliano Z/2Z y la relacion “ser puntos antipodales”. En esta caso, un puntoproyectivo repreernta dos puntos sobre Sn.

• En el caso complejo, identificamos Pn(C) con el coenciente S2n+1/S1, donde S2n+1

es la esfera unidad en Cn+1 con la metrica hermıtica canonica y S1 es visto como elgrupo de los numeros complejos de valor absoluto 1, actuando sobre S2n+1. En estecaso un punto en Pn(C) representa un gran cırculo (una geodesica) en S2n+1.

Supongamos dado ahora un polinomio f ∈ K[X0, . . . , Xn] y consideremos la funcion polinomialque define:

f : Kn+1 −→ K.

4Otras notaciones que se encuentran en la literatuyra son: KPn, PnK, etc... Nosotros mantendremos la

propuesta Pn(K).


Observamos que esta funcion no siempre es “trasladable” al espacio proyectivo. Para “trasladarla”haremos un analisis adicional. Supongamos que f ∈ Hd es un polinomio homogeneo de grado d.Entonces, para todo λ ∈ K y para todo x ∈ Kn+1 observamos que se tiene la igualdad siguiente:

f(λx) = λdf(x).

Esta identidad permite dos reflexiones en dos sentidos distintos:

• Si f es un polinomio homogeneo y x, y ∈ Kn+1 son dos representantes de un mismopunto proyectivo x, y ∈ π−1(ζ), ζ ∈ Pn(K), entonces f(x) = 0 si y solamente si f(y) =0 y tiene sentido considerar el conjunto VPn(K)(f) ⊆ Pn(K). Mas aun, llamaremosvariedad proyectiva K−definible a todo subjconjunto V ⊆ Pn(K) tal que existe unconjunto finito de polinomios homogeneos f1, . . . , fs ∈ K[X0, ldots,Xn] verificando:

V = VPn(K)(f1, . . . , fs) := ζ ∈ Pn(K); : f1(ζ) = 0, . . . , fs(ζ) = 0.Los ideales a ⊆ K[X0, . . . , Xn] que son generados por un conjunto finito de polinomioshomogeneos se denominan ideales homogeneos en K[X0, . . . , Xn] y se denota medi-ante VPn(K)(a) a la variedad proyectiva K−definible dada por uno cualquiera de sussistemas de generadores homogeneos. Cuando K = K y le dimension n sea concocida,escribiremos simplemente VP(a).

• Ya hemos visto que, en general, no tiene sentido considerar polinomios homogeneoscomo funciones sobre un espacio proyectivo. Sin embargo, sı podemos considerar losiguiente: Sean f, g ∈ Hd ⊆ K[X0, . . . , Xn] dos polinomios homog’eneos del mismogrado y sean y, y ∈ Kn+1 dos representantes del mismo punto proyectivo (x0 : x1 :· · · : xn) ∈ Pn(K). Sea D(g) := VPn(K)(g)c ⊆ Pn(K) el complementario de VPn(K)(g)en Pn(K). Entonces, podemos definir la funcion:

f/g : D(g) ⊆ Pn(K) −→ K,ζ 7−→ f(ζ)

g(ζ) .

Esta funcion esta bien definida y no depende sino del punto proyectivo ζ y no de susrepresentantes. Se denomina funcion regular (o funcion racional) K−definible sobrePn(K). Obervese una interpretacion aviesa de la funcion anterior como:

(f : g) : D(g) ⊆ Pn(K) −→ P1(K),ζ 7−→ (f(ζ) : g(ζ)).

Y VPn(K)(f) ∩D(g) son los puntos de D(g) que “se van al infinito” mediante (f : g).

2.5. Formal Normal de Smith

En la Subseccines 2.2.3 y 2.2.4 hemos visto que sobre dominios dominios de ideales principales ysobre dominios euclıdeos, en el caso de modulos finitamente generados, libre equivale a libre detorsion.Vamos a ver esta idea en accion a traves de la diagonalizacion de matrices sobre amboscasos de anillos.

2.5.1. Motivaciones.2.5.1.1. Ecuaciones diofanticas. La forma normal de Smith nos permitira analizar sistemas

de ecuaciones lineales sobre un DIP y nos permitira disponer de “algoritmos” en el caso de queese anillo ea un dominio euclıdeo. En esencia, sean dados

i) Una matriz A ∈ scrMm×n(R) con m filas, n columnas y coordenadas en un dominiode ideales principales R.

ii) Un elemento B ∈ Rm dado como columna.iii) Una columna de variables X:

X :=

X1

X2

...Xn

.

el objetivo onsiste en resolver el sistema de ecuaciones sguiente:

(2.5.1) AX = B.

Se trata de resolver y responder a las siguentes preguntas:

2.5. FORMAL NORMAL DE SMITH 145

• ¿Es el sistema (2.5.1) compatible sobre Rn?. Es decir, responde a la siguiente pregunta:

∃x := (x1, . . . , xn) ∈ Rn, Axt = B?,

donde xt significa traspuesta de x.• Si el sistema (2.5.1) es compatible, hallar una solucion particular x0 ∈ Rn de ese

sistema.• Da una descripcion completa del conjunto de todas las soluciones del sistema (2.5.1).

Para la tercera de las preguntas ya tenemos una resuesta parcial. Supongamos que x0 ∈ Rnes una solucion particular del sistema (2.5.1). Entonces, consideramos el conjunto K ⊆ Rn detodas las soluciones del sistema mohogenoa asociado al sistema (2.5.1) anterior. Es decir, elsistema:

(2.5.2) AX = 0,

donde 0 es el vector columna formado solamente por ceros. Entonces se tiene:

Proposicion 2.5.1. Con las anteriores notaciones, supongamos que existe x0 ∈ Rn unasolucion partiular de un sistema de ecuaciones del tipo (2.5.1) anterior y sea K ⊆ Rn elconjunto de las solciones del sistema (2.5.2) homogeneo asociado. Entonces, el conjunto detodas las soluciones del sistema (2.5.1) es dado por el conjunto:

x0 +K := x0 + u : u ∈ K ⊆ Rn.Mas aun, K es un submodulo libre de Rn de rango a lo sumo n. Una descripcion completa delas soluciones de un sistema (2.5.1) compatible vendrıa dada por la siguiente informacion:

i) La solucion particular x0 ∈ Rn,ii) Una base de K como R−modulo libre: β := v1, . . . , vn ⊆ Rn.

El conjunto de todas las soluciones del sistema (2.5.1) en forma parametrica vendrıa dado por:

x0 +K := x0 +

m∑i=1

tivi : (t1, . . . , tm) ∈ Rm.

Demostracion. No hay mucho que demostrar en virtud de todo lo discutido en seccionesprecedentes. Es obvio.

2.5.1.2. Modulos Finitamente Generados sobre un DIP. De forma dual, tambien podemosanalizar el objetivo se esta Seccion mediante el estudio de los R−modulos finiamente genradossobre un dominio de ideales principales. La siguiente Proposicion explica el fenomeno del quedisponemos.

Proposicion 2.5.2. Sea R un dominio de ideales principales y M un R−modulo finitamentegenerado. Entonces, M es el cociente de dos R−modulos libres de rango finito sobre R o,equivalentemente, M es el co-nucelo de un morfismo de R−modulos entre dos R−moduloslibres de rango finito.

Demostracion. De nuevo es obvio a partir de lo visto en Secciones anteriores. Basta conconsiderar un epimorfismo π : Rn −→M que obviamente existe por ser M finitamente generadosobre R. Entonces, el nucleo de π es un submodulo K ⊆ Rn y, por lo estudiado en seccionesanteriores, K es un R−modulo libre. Obviamente tendremos que M ∼= Rn/K. Claramentetambien, si consideramos la inclusion

i : K −→ Rn,

M es el co-nucleo de esa inclusion.

2.5.2. Matrices de Operaciones Elementales sobre DIP’s. Comenzamos con la de-scripcion de la construccion de la Forma Normal de Smith de una matriz. Comencemos recor-dando aquı el Corolario 1.5.9

Corollario 2.5.3. Si A ∈ Mn(R) es una matriz tal que det(A) ∈ R∗ es una unidad de R,entonces, A es una matriz inversible y, ademas,

A−1 = det(A)−1Adj(A) ∈Mn(R).


La siguiente es una definicion de las matrices Elementales por filas sobre un dominio de idealesprincipales.

Proposicion 2.5.4. [Matrices Elementales sobre un dominio de integridad] Sean dadosm,n ∈ N dos enteros positivos y R un dominio de integridad. Sea P ∈ M2(R) una matrizinversible sobre R, dada mediante:

P :=

(α βσ τ

),

con inversa

P−1 := ε

(τ −β−σ α

),

con ε = det(P )−1 ∈ R∗.Para r = m ∨ n. Para 1 ≤ i, j ≤ r, consideremos las matrices Ei,j(P ) ∈Mr(R) siguientes:

Ei,j(P ) :=

1 0. . .

0 1α β

. . .

σ τ1 0

. . .

0 1

.

Estas matrices, verifican las propiedades siguientes:

i) Las matrices Ei,j(P ) matrices inversibles en Mr(R) y sus inversas son Ei,j(P−1), es

decir Ei,j(P )Ei,j(P−1) = Idr.

ii) Para cada matriz A ∈Mm×n(R), con m filas y n columnas, de la forma:

A :=

∗ ∗. . .

∗ ∗a c

. . .

b d∗ ∗

. . .

∗ ∗

,

donde ∗ representa elementos de R. Entonces, tomando r = m, la matriz Ei,j(P )Aes la matriz con una forma como la siguiente:

Ei,j(P )A :=

∗ ∗. . .

∗ ∗αa+ βb αc+ βd

. . .

σa+ τb σc+ τd∗ ∗

. . .

∗ ∗

,

es decir,• la fila i−esima de Ei,j(P )A es la suma de la fila i−esima de A multiplicada porα mas la fija j−esima de A multiplicada por β,


• la fila j−esima de Ei,j(P )A es la suma de la fila i−esima de A multiplicada porσ mas la fija j−esima de A multiplicada por τ ,

dejando sin modificar el resto de filas.iii) Para cada matriz A ∈ Mm×n(R), con m filas y n columnas, como en el ejemplo

anterior, tomando r = n, la matriz AEi,j(P ) es la matriz de la forma:

AEi,j(P ) :=

∗ ∗. . .

∗ ∗αa+ σc βa+ τc

. . .

αb+ σd βb+ τd∗ ∗

. . .

∗ ∗

,

es decir,• la columna i−esima de AEi,j(P ) es la suma de la columna i−esima de A multi-

plicada por α mas la columna j−esima de A multiplicada por σ,• la columna j−esima de AEi,j(P )A es la suma de la columna i−esima de A mul-

tiplicada por β mas la columna j−esima de A multiplicada por τ ,dejando sin modificar el resto de columnas.

A las matrices Ei,j(P ) anteriores se las denomina matrices elementales sobre un dominio deideales principales R.

Demostracion. Ejercicio de mera comprobacion.

2.5.3. Matrices elementales particulares. Sea R un dominio de ideales principales.Consideraremos las siguientes clases de matrices elementales:

Corollario 2.5.5 (Intercambiar dos filas o dos columnas). Consideremos la matriz

P :=

(0 11 0

)∈M2(R).

Sea r = m ∨ n, entonces, las matrices

Ei,j := Ei,j(P ),

verifican las propiedades siguientes:

i) Son matrices inversibles en Mr(R) y sus inversas son ellas mismas, es decir E2i,j =

Idr.ii) Para cada matriz A ∈ Mm×n(R), con m filas y n columnas, tomando r = m, la

matriz Ei,jA es la matriz obtenida intercambiando las filas i y j de la matriz A.iii) Para cada matriz A ∈Mm×n(R), con m filas y n columnas, tomando r = n, la matriz

AEi,j es la matriz obtenida intercambiando las columnas i y j de la matriz A.

Demostracion. Basta con aplicar la Proposicion 2.5.4.

Corollario 2.5.6 (Multiplicar una fila o columna por una unidad). Sea u ∈ R∗ unaunidad en el anillo R. Consideremos la matriz

P :=

(u 00 1

)∈M2(R),

cuya inversa es la matriz:

P−1 :=

(u−1 0

0 1

)∈M2(R),


Ti(u) := Ei,j(P ),



i) Son matrices inversibles en Mr(R) y sus inversas son dadas por la inversa de P , esdecir Ti(u)Ti(u

−1) = Idr.ii) Para cada matriz A ∈ Mm×n(R), con m filas y n columnas, tomando r = m, la

matriz Ti(u)A es la matriz obtenida multiplicando la fila i de A por u.iii) Para cada matriz A ∈Mm×n(R), con m filas y n columnas, tomando r = n, la matriz

ATi(u) es la matriz obtenida multiplicando la columna i de la matriz A por u.

Demostracion. De nuevo, basta con aplicar la Proposicion 2.5.4.

Corollario 2.5.7 (Sumar a una fila o columna un multiplo de otra fila o columna).Sea a ∈ R un elemento cualquiera en el anillo R. Consideremos la matriz

P :=

(1 0a 1

)∈M2(R),

cuya inversa es la matriz:

P−1 :=

(1 0−a 1

)∈M2(R),


Si,j(a) := Ei,j(P ),


i) Son matrices inversibles en Mr(R) y sus inversas son dadas por la inversa de P , esdecir Si,j(a)Si,j(−a) = Idr.

ii) Para cada matriz A ∈ Mm×n(R), con m filas y n columnas, tomando r = m, lamatriz Si,j(a)A es la matriz obtenida sumando a la fila i de A su fila j multiplicadapor a.

iii) Para cada matriz A ∈Mm×n(R), con m filas y n columnas, tomando r = n, la matrizASi,j(a)) es la matriz obtenida sumando a la columna i de la matriz A la columna jmultiplicada por a.

Demostracion. De nuevo, basta con aplicar la Proposicion 2.5.4.

Corollario 2.5.8 (Reemplazar dos elementos de una columna (o fila) por su maximocomun divisor y algun otro elemento en el ideal que generan). Sean a, b ∈ R doselementos en un dominio de ideales principales y sea h su maximo comun divisor. Sean α, β ∈ Rdos elementos que verifican la identidad de Bezout para a y b. Es decir,

αa+ βb = h.

Sean σ, τ ∈ R los elementos dados mediante:

σ :=a

h, τ :=

b

h.

Sea P la matriz P ∈M2(R) dada mediante

P :=

(α β−τ σ

).

Se tiene:

i) La matriz P es una matriz inversible, con matriz inversa:

P−1 :=

(σ −βτ α

).

Por tanto, la matriz Ei,j(P ) asociada a esta operacion elemental (en el sentido de laProposicion 2.5.4 anterior) es inversible.


ii) Supongamos dada una matriz A ∈Mm×n(A) de la forma siguiente:

A :=

∗ ∗. . .

∗ ∗a c

. . .

b d∗ ∗

. . .

∗ ∗

.

Entonces, se tiene:

Ei,j(P )A =

∗ ∗. . .

∗ ∗h ∗

. . .

h′ ∗∗ ∗

. . .

∗ ∗

,

con h | h′. Es decir, en la columna i−esima hemos reemplazado los elementos a, bpor su maximo comun divisor y otro elemento del ideal generado por a, b en R (enla fila i−esima de esa columna aparece el maximo comun divisor y en la fila j−esimade esa columna otro elemento del mismo ideal).

iii) Con las mismas notaciones, supongamos que la matriz A es dada mediante:

A :=

∗ ∗. . .

∗ ∗a b

. . .

c d∗ ∗

. . .

∗ ∗

.

Entonces, se tiene:

AEi,j(P ) =

∗ ∗. . .

∗ ∗h h′

. . .

∗ ∗∗ ∗

. . .

∗ ∗

,

donde h | h′. Es decir, en la fila i−esima hemos reemplazado los elementos a, bpor su maximo comun divisor y otro elemento del ideal generado por a, b en R (en


la columna i−esima de esa fila aparece el maximo comun divisor y en la columnaj−esima de esa fila otro elemento del mismo ideal).

Demostracion. Para la propiedad i) basta con observar que:

det(P ) = ασ − (−τ)β = αa

h+ β

b

h=αa+ βb

h= 1.

El resto se sigue de la Proposicion 2.5.4. Para el resto de afirmaciones, basta con verificarlopara matrices 2× 2, y para operaciones elementales por filas. Ası, sea A ∈ M2(R) una matrizde la forma:

A :=

(a cb d

).

Se tiene que:

PA :=

(α β−τ σ

)(a cb d

)=

(h ∗h′ ∗

),

donde h′ = (−τ)a+ σb ∈ (a, b) = (h). Como h es el maximo comun divisor de a y b, entoncesh | h′ y tenemos el resto de las afirmaciones.

2.5.4. Orlar una matriz. Sea dada una matriz A ∈ Mm×n(R), donde R es un dominiode ideales principales.Orlar la matriz A: Consiste en anadir a la matriz A las matrices identidades correspondi-entes del modo siguiente:

Orl(A) :=

(Idm A

0 Idn

).

A lo largo de proceso iremos haciendo cambios sobre Orl(A) cion las reglas siguientes: Supong-amos que tenemos una matriz orlada de la forma:

Orl :=

(S B0 T

).

• Regla por filas: Cada vez que realicemos un calculo sobre B por filas, se hara a lolargo de toda la fila de Orl (es decir, afectara a la fila de B y a la fila correspondientede S).

• Regla por columnas: Cada vez que realicemos un calculo sobre B por columnas,se hara a lo largo de toda la columna de Orl (es decir, afectara a B y a la columnacorrespondiente de T ).

Proposicion 2.5.9. Supongamos realizados un numero finito de pasos sobre la matriz Orl(A)basados en operaciones elementales por filas y columnas del tipo descrito en las Proposicion2.5.4 (es decir, multiplicando por filas o columnas por matrices del tipo Ei,j(P ) y respetandolas dos reglas anteriores). Supongamos que obtenemos una matriz

Orl :=

(S B0 T

),

tras ese numero finito de pasos. Entonces,

SAT = B,

y, ademas, las matrices S y T son inversibles sobre R y son producto finito de matrices ele-mentales del tipo Ei,j(P ).

Demostracion. Las dos Reglas (por filas y columnas) con el uso de matrices elementalesse traducen, en realidad, en lo siguiente. Supongamos dada una matriz orlada:

Orl :=

(S B0 T

),

tal queSAT = B.

Si hacemos una operacion por filas, determinada por una matriz Ei,j(P ) estmoa diciendo queobtenemos una nueva matriz orlada:


Orl′ :=

(S′ B′

0 T ′

),

donde

S′ = Ei,j(P )S,B′ = Ei,j(P )B, T ′ = T.

Notese que, al ser por filas, T permanece sin cambios. Entonces, podemos concluir:

• Si S ∈ GL(m,R) era inversible sobre R, como Ei,j(P ) es inversible sobre R, entoncesS′ = Ei,j(P )S es tambien inversible.

• Si SAT = B, entonces

S′AT ′ = (Ei,j(P )S)AT = Ei,j(P )(SAT ) = Ei,j(P )B = B′.

Del mismo modo, la propiedad y la reglas sobre columnas significa lo siguiente: dada una matrizorlada:

Orl :=

(S B0 T

),

tal que

SAT = B.

Si hacemos una operacion por columnas, determinada por una matriz Ei,j(P ) estmos diciendoque obtenemos una nueva matriz orlada:

Orl′ :=

(S′ B′

0 T ′

),

donde

S′ = S,B′ = BEi,j(P ), T ′ = TEi,j(P ).

Por tanto, podemos concluir:

• Si T ∈ GL(n,R) era inversible sobre R, como Ei,j(P ) es inversible sobre R, entoncesT ′ = TEi,j(P ) es tambien inversible.

• Si SAT = B, entonces

S′AT ′ = SA(TEi,j(P )) = (SAT )Ei,j(P ) = BEi,j(P ) = B′.

2.5.5. “Algoritmo”:Hacer ceros por filas o columnas. Supongamos dada una matrizA ∈ Mm×n(R) donde R es un dominio de ideales principales. Supongamos que la matriz Atiene la forma:

A :=

a1 ∗ · · · ∗a2 ∗ · · · ∗...

. . ....

am ∗ · · · ∗

,

Proposicion 2.5.10. Conlas anteriores notationes, existe un numero finito de operacioneselementales por filas (i.e. multiplicar por matrices del tipo Ei,j(P )) que permiten transformarOrl(A) en una matriz

Orl :=

(S B0 T

),

tal que SAT = B, S y T son producto de matrices elementales Ei,j(P ) y B tiene la forma:

B :=

h ∗ · · · ∗0 ∗ · · · ∗...

. . ....

0 ∗ · · · ∗

,

donde h = gcd(a1, . . . , am).Un resultado identico se obtiene reemplazando filas por columnas en la descripcion anterior.


Demostracion. Usaremos la Proposicion 2.5.4. No pondremos las operaciones en la ma-triz orlada para evitar repeticiones. A partir de esa Proposicion es claro que podemos multiplicarpor una matriz de tipo E1,2(P ) para obtener una nueva matriz con la forma siguiente:

E1,2(P )A :=

h1 ∗ · · · ∗h′1 ∗ · · · ∗a3 ∗ · · · ∗...

. . ....

am ∗ · · · ∗

,

donde h1 = gcd(a1, a2) y h1 | h′1. Ahora, podemos restar a la segunda fila la primera multipli-

cada porh′1h1∈ R y no queda una matriz de la forma:

E1,2(P )A :=

h1 ∗ · · · ∗0 ∗ · · · ∗a3 ∗ · · · ∗...

. . ....

am ∗ · · · ∗

.

Repitiendo el proceso con a3 hasta am, obtendremos el resultado apetecido.

2.5.5.1. Hacer ceros por filas y columnas. Su pongamos dada una matriz A ∈ Mm×n(R)de la forma:

A :=

a1,1 a1,2 · · · a1,n

a2,1 ∗ · · · ∗...

. . ....

am,1 ∗ · · · ∗

.

Proposicion 2.5.11. Supongamos que, con estas notaciones, realizamos de manera alternativalas operaciones hacer ceros por columna o hacer filas en la primera filas y columnas. Entonces,tras una secuencia finita de alternacias obtendremos una nueva matriz de la forma:

A′ :=

h1,1 0 · · · 0

0 ∗ · · · ∗...

. . ....

0 ∗ · · · ∗

.

Demostracion. Obviamente, tras haber hecho ceros en la primera columna, por ejemplo,al intentar seguidamente hacer ceros en la primera fila, podemos reincorporar elementos nonulos en la primera columna, con lo que aparentemente hemos perdido lo ganado. Sin embargo,suponemos que hacemos una serie de alternancias. Llemamos hi al resultado escrito en el lugar1, 1 de la matriz obtenida tras i pasos. Observamos que, en cada caso, hi | hi−1 puesto que hiel maximo comun divisor de hi−1 con elementos de la primera fila o la primera columna. Portanto, tenemos una cadena de ideales en R. Definamos ai = (hi) ⊆ R el ideal generado por hi.Entonces, tenemos una cadena ascendente de ideales de R:

a0 ⊆ a1 ⊆ · · · ⊆ an ⊆ · · · ⊆ R,

donde h0 = a1,1. Ahora interviene la condicion noetheriana de los dominios de ideales princi-pales. Observese que esta cadena no puede ser infinita. La razon es la siguiente: consideremosel conjunto

a :=⋃i∈N

ai ⊆ R.

Es una mera comprobacion que a es un ideal de R. Por tanto, como R es dominio de idealesprincipales, entonces, existe h ∈ R tal que a = (h). Pero si h ∈ a, entonces h ∈ as para algunr ∈ N. Por tanto, hr | h. Pero, como hr ∈ a = (h), tambien tenemos h | hr. Luego hr y h sonasociados, a = ar y, en conclusion at = ar, ∀t ≥ r. Es decir, la cadena se estabiliza a partir dellugar r.


Supongamos, sin perdida de la generalidad, que hr se obtuvo despues de hacer ceros en laprimera columna y tenemos una matriz de la forma:

Ar :=

hr k1,2 · · · k1,n

0 ∗ · · · ∗...

. . ....

0 ∗ · · · ∗

.

La siguiente operacion serıa hacer ceros en la primera fila y poner, en lugar de hr a hr+1 que es

hr+1 = gcd(hr, k1,2, . . . , k1,n).

Pero, como ar = ar+1, hr y hr+1 son elementos asociados de R, luego tambien podemos escribir

hr = gcd(hr, k1,2, . . . , k1,n).

Esto quiere decir que hr | k1,i para todo i, 2 ≤ i ≤ n. Por tanto, al realizar el proceso de hacerceros en la primera columna podemos, simplemente, restar a cada columna, la primera columna

multiplicada pork1,i

hr∈ R y obtendremos una matriz de la forma deseada.

2.5.6. Diagonalizacion de una matriz sobre un DIP: “algoritmo”.

Algoritmo 2.5.12. Input: Una matriz A ∈Mm×n(R), con m ≥ n de la forma:

A :=

a1,1 a1,2 · · · a1,n

a2,1 a2,2 · · · a2,n

.... . .

...am,1 am,2 · · · am,n

.

InicializarP := Idm, Q := Idn, B := A.k := 1

C :=

(P B0 Q

).

bi,j := el elemento de R que ocupa el lugar (i, j) de la submatriz B de C.Hacer ceros en la fila y columna k−esimas. La matriz resultante se “guarda” en la matriz C,eliminando la matriz precedente.Mientras k < m do

Mientras ∃i, j, i ≥ k, j ≥ k, tales que bk,k - bi,j, do* Intercambiar filas y columnas en C, hasta que bi,j ocupe el lugar(k, k) de la nueva matriz B.* Hacer ceros en la fila y columna k.* Guardar en la matriz C los resultados de la accion precedente:

C :=

(P B0 Q

)od

k := k + 1od

Ouput: La matriz C que contiene como submatrices a las matrices P ∈ GL(m,R), Q ∈GL(n,R) y B tales que PAQ = B y, ademas, B es diagonal y tiene la forma:

B :=

d1 0 · · · 00 d2 · · · 0...

. . ....

0 0 · · · dr

0

0 0

∈Mm×n(R),

de tal modo que di | di+1, 1 ≤ i ≤ r − 1.


Teorema 2.5.13 (Forma Normal de Smith). El anterior procedimiento es, de hecho, unalgoritmo que termina sus calculos sobre cualquier matriz A cuyas coordenadas estan en undominio de ideales principales. La matriz diagonal resultante se llama la Forma Normal deSmith de A y es unica salvo unidades en el anillos R. Mas aun, los elementos d1, . . . , dr de ladiagonal se llaman los factores invariantes de A. Se verifica, ademas, que di es dado por laregla siguiente:Sea gi(A) el maximo comun divisor de los menores i×i de la matriz A. Supongamos g0(A) = 1.Entonces,

di =gi(A)

gi−1(A),

o, equivalentemente,

gi−1(A)di = gi(A).

Demostracion. Lo primero que hay que probar es que el proceso anterior es realmenteun algoritmo, es decir, que, una vez inicializado, termina sus calculos sobre cualquier matriz.La prueba de este hecho es identica a la prueba hecha en la Proposicion 2.5.11 precedente. Esconsecuencia de la condicion noetheriana de los dominios de ideales principales. Notese que, enel caso k = 1, el procedimiento coloca en el lugar (1, 1) al maximo comun divisor de todas lascoordenadas de la matriz A recibida. Por tanto, el procedimiento acaba calculando una matrizC cuya matriz B tiene la forma:

B :=

b1,1 0 · · · 00 b2,2 · · · b2,n...

. . ....

0 bm,2 · · · bm,n

.

Con la condicion adicional de que b1,1 | bi,j , para todo (i, j) ∈ 2, . . . ,m × 2, n. A partir deeste momento k ≥ 2, el procedimiento, se “olvida” de b1,1 y se centra en la submatriz B′ dadamediante:

B′ :=

b2,2 b2,3 · · · b2,nb3,2 b3,3 · · · b3,n

.... . .

...bm,2 bm,3 · · · bm,n

.

Al repetir el proceso, calculamos el maximo comun divisor de las coordenadas de esta matriz yprocedemos hasta concluir el objetivo. Dicho de otra manera, aplicando induccion, concluiremosel resultado apetecido.En cuanto a la condicion de los factores invariantes en terminos de los maximos comunesdivisores de los menores de la matriz inicial, basta tambien con aplicar induccion. El caso k = 1es claro. El paso inductivo se basa en que las matrices P y Q usadas para las transformacionesson producto de matrices elementales de las descritas anteriormente y no modifican el maximocomun divisor de los menores. Omitimos el detalle.

Observacion 2.5.14 (En el caso de dominios euclıdeos). En el caso de dominios euclıdeos,podemos mejorar ligeramente el algoritmo 2.5.12 anterior. Consideremos la instruccion:

“Mientras ∃i, j, i ≥ k, j ≥ k, tales que bk,k - bi,j , do* Intercambiar filas y columnas en C, hasta que bi,j ocupe el lugar(k, k) de la nueva matriz B.”

En el caso de dominios euclıdeos (R,φ) se pueden evitar reiteraciones, sustituyendo por la reglasiguiente:

“Mientras ∃i, j, i ≥ k, j ≥ k, tales que bk,k - bi,j , do* Reemplazar (haciendo operaciones elementales por filas y columnas en C)en C, el termino bi,j por el resto de su division por bk,k.* Intercambiar filas y columnas en C, hasta que bi,j ocupe el lugar(k, k) de la nueva matriz B.”


Por ejemplo, en el caso de Z, buscarıamos la coordenada bi,j que minimice el valor absoluto yla llevarıamos al lugar (k, k). En el caso de polinomios K[X], elegirıamos la coordenada bi,jque minimice el grado.

2.5.7. Resolucion de Ecuaciones Lineales Diofanticas. Se denominan ecuacionesdiofanticas lineales a ecuaciones lineales del tipo siguiente:

(2.5.3) AX = B,

donde

i) A ∈Mm×n(Z) es una matriz conm filas y n columnas con coordenadas en Z. Podemossuponer:

A :=

a1,1

... a1,n

.... . .

...am,1 · · · am,n

.

ii) X es un vector columna de variables:

X :=

X1

...Xn

iii) B es un vector columna con coordenadas en Z:

B :=

b1...bm

∈ Zm.

El objetivo del estudio de las ecuaciones lineales diofanticas es estudiar la existencia de solu-ciones en Zn de ecuaciones del tipo descrito en la identidad (2.5.3) anterior. Es decir, estudiar:

∃

x1

...xn

∈ Zn,

a1,1 · · · a1,n

.... . .

...am,1 · · · am,n

x1

...xn

=

b1...bm

.

El siguiente resultado no solo caracteriza la existencia, sino que tambien caracteriza las solu-ciones en caso de que existan.

Corollario 2.5.15. Sea dada una ecuacion diofantica lineal

AX = B,

con A ∈ Mm×n(Z), B ∈ Zm columna y X una columna de variables, como en las notacionesanteriores. Sean P ∈ GL(m,Z) y Q ∈ GL(n,Z) dos matrices inversibles sobre Z y sea D ∈Mm×n(Z) la matriz diagonal obtenida tras aplicar el algoritmo de calculo de la forma Normalde Smith anteriormente descrito, es decir,

D :=

d1 0 · · · 00 d2 · · · 0...

. . ....

0 0 · · · dr

0

0 0

∈Mm×n(Z),

de tal modo quePAQ = D.

Sea

B′ := PB =

b′1...b′m

∈ Zm.

Entonces,

i) El sistema de ecuaciones es compatible sobre Zn (es decir posee soluciones en Zn) siy solamente si se verifican las siguientes propiedades:


(a) b′i = 0, para todo i, con r + 1 ≤ i ≤ m.(b) dj | b′j, para todo j, con 1 ≤ j ≤ r.

ii) Si el sistema es compatible sobre Zn, entonces, una solucion del sistema viene dadapor la siguiente identidad:

X0 :=

x1

...xn

= Q

b′1d1

...b′rdr0...0

∈ Zn,

iii) Si el sistema es compatible sobre Zn, el conjunto de todas las soluciones del sistemaAX = B viene dado por el conjunto siguiente:

X0 +N := X0 + z : z ∈ N,

donde N es el submodulo libre de Zn generado por las n− r ultimas columnas de Q.

Demostracion. Notese que Q : Zn −→ Zn define un isomorfismo dado que Q es unamatriz inversible sobre Z. Esto significa que podemos considerar un “cambio de variables” delmodo siguiente:

Y =

Y1

...Yn

= Q−1X = Q−1X :=

X1

...Xn

Y podemos considerar un nuevo sistema de ecuaciones lineales diofanticas lineales dado medi-ante:

(AQ)Y = B.

Notese que se tiene la obvia propiedad siguiente:y1

...yn

∈ Zn satisface (AQ)Y = B ⇔

x1

...xn

= Q

y1

...yn

∈ Zn satisface AX = B.

Las condiciones de compatibilidad y los tipos de soluciones se preservan con la identificacionpropuesta.Ahora consideremos la ecuacion (AQ)Y = B y recordemos que P ∈ GL(m,Z) es una matrizinversible. Por tanto, podemos considerar una nueva ecuacion lineal diofantica:

(PAQ)Y = B′,

donde B′ := PB es la matriz columna descrita en el enunciado. Es obvio que se tiene laequivalenecia:y1

...yn

∈ Zn satisface (AQ)Y = B ⇔

y1

...yn

∈ Zn satisface (PAQ)Y = B′.

Ahora, como PAQ = D es una matriz diagonal, observamos que la ecuacion (PAQ)Y = B′

tiene la forma siguiente:

d1Y1 = b′1d2Y2 = b′2

...drYr = b′r

0 = b′r+1...

0 = b′m


Ahora es evidente que este sistema de ecuaciones posee soluciones en Zn si y solamente si sesatisface: dj | b′j , 1 ≤ j ≤ r y b′i = 0, r + 1 ≤ i ≤ m, con lo que tenemos la primera de laspropiedades indicadas.De otro lado, una “solucion particular” a esta ultima ecuacion serıa la dada mediante

b′1d1

...b′rdr0...0

∈ Zn.

Pero como sabemos que las soluciones de esta ecuacion estan relacionadas con las soluciones dela ecuacion AX = B a traves de Q tendremos que una solucion particular del sistema AX = Bes la dada mediante:

x1

...xn

= Q

b′1d1

...b′rdr0...0

∈ Zn,

y tenemos probada la afirmacion ii) del enunciado. Para estudiar el conjunto de todas lassoluciones, baste con observar que se tiene la siguiente propiedad:Dados x, z ∈ Zn soluciones del sistema AX = B, entonces x − z ∈ Zn es solucion del sistemaAX = 0, donde 0 es el vector columna en Zm con coordenadas todas nulas. Por tanto, setrata de estudiar como son todas las soluciones del sistema “homogeneo” AX = 0. De nuevos,usando Q y P podemos observar que las soluciones de AX = 0 son dadas mediante QN , dondeN ⊆ Zn es el conjunto de las las soluciones del sistema homogeneo (AQ)Y = 0. Por ser Pinversible las soluciones de (AQ)Y = 0 con las solciones de (PAQ)Y = 0 y, de nuevo, son lassoluciones del sistema DY = 0 dado mediante:

d1Y1 = 0d2Y2 = 0

...drYr = 0

0 = 0...

0 = 0

O, equivalentemente, d1Y1 = 0d2Y2 = 0

...drYr = 0

Luego las soluciones del sistema (PAQ)Y = 0 son los elementos de N := 0r × Zn−r ⊆ Zn.Concluiremos ası que las soluciones del sistema “homogeneo” original son los elementos delsiguiente conjunto:

Q(0r × Zn−r

).

Pero este submodulo es un submodulo libre de Zn y es, simplemente, el submodulo generadopor las imagenes a traves de Q de los generadores de (0r × Zn−r) que era un submoudlolibre. Es decir, si eiZn es el elemento de Zn (dado en columna) cuyas coordenadas son nulasexceptuando la coordenada i−esima que es 1 (i.e. la base “canonica” de Zn). Entonces, unsistema generador (y base como Z−modulo libre) de Q (0r × Zn−r) es dada por:

Qer+1, . . . , Qen.


Es obvio que estos n−r elementos son, precisamente, las n−r ultimas columnas de Q y tenemosprobada la afirmacion iii).

2.5.8. Estructura de Grupos Abelianos Finitamente Generados.

Teorema 2.5.16 (Estructura de Grupos Abelianos Finitamente Generados). Sea (G,+)un grupo abeliano finitamente generado. Entonces, G es isomorofo como grupo a una descom-posicion:

G ∼= Zm ⊕ TorZ(G),

donde TorZ(G) son los elementos de torsion de G. Ademas, existen d1, . . . , dr ∈ N, di ≥ 1,verificando di | di+1 y se tiene:

TorZ(G) :=

r∏i=1

(Z/diZ) .

Ademas, los elementos d1, . . . , dr son unicos y se denominan factores invariantes de los ele-mentos de torsion de G.

Demostracion. Comencemos recordando que todo grupo abeliano finitamente generadoes el co-nucleo de un morfismo entre Z−modulos libres finitamente generados, es decir, existeuna matriz A ∈Mm×n(Z) que define un morfismo de Z−modulos A : Zn −→ Zm, de tal modoque G es isomorfo al cociente:

Zm/Im(A) ∼= G.

Mas correctamente, tenemos una sucesion exacta

Zn −→ Zm −→ G −→ 0.

Ahora bien, usando la forma normal de Smith de A podemos disponer de isomorfismos de losZ−modulos (dados por las matrices P y Q que nos conducen a un diagrama conmutativo deZ−modulos que tiene la forma siguiente:

AZn −→ Zm −→ G −→ 0

Q ↓ ↓ P ↓Zn −→ Zm −→ G −→ 0

D

donde D es una matriz diagonal, que puedo suponer de la forma:

D :=

d1 0 · · · 00 d2 · · · 0...

. . ....

0 0 · · · dr

0

0 0

∈Mm×n(Z).

La conclusion obvia es que G es tambien isomorfo al conciente siguiente como Z−modulo:

Zm/Im(D) ∼= G.

Ahora bien, por ser D diagonal es obvio que el conciente tiene la forma:

G ∼= Zm/Im(D) ∼=

(r∏i=1

(Z/diZ)

)⊕ Zn−r.

Este isomorfismo indica obviamente que

TorZ(G) ∼=

(r∏i=1

(Z/diZ)

),

y se sigue el Teorema de estructura. La unicidad se sigue de la unicidad de formas normales deSmith.

Como en la demostracion del Teorema precedente no hemos usado la naturaleza euclıdea de Zni ninguna otra propiedad especıfica de Z que no sea la existencia de forma normal de Smith,podemos dar tambien el Teorema de Estructura para cualquier modulo finitamente generadosobre un dominio de ideales principales del modo siguiente:


Teorema 2.5.17 (Estructura de Modulos Finitamente Generados sobre DIP). Sea Run dominio de ideales principales y M un R−modulo finitamente generado. Entonces, M esisomorofo como R−modulo a una descomposicion:

M ∼= Rm ⊕ TorR(M),

donde TorR(M) son los elementos de torsion de G, i.e.

TorR(M) := m ∈M : AnnR(m) 6= (0).

Ademas, existen d1, . . . , dr ∈ R verificando di | di+1 y se tiene:

TorR(M) :=

r∏i=1

(Z/diZ) .

Ademas, los elementos d1, . . . , dr son unicos (salvo unidades en R) y se denominan factoresinvariantes de los elementos de torsion de M .

Demostracion. Misma prueba que el caso de Z.


Problema 141. Calcular la forma Normal de Smith de las siguientes matrices sobre Z:

i) (2 15 3

)ii) (

2 −1 2−6 3 6

)iii) 1 0 0

0 2 00 0 3

iv) 9 8 7

6 5 43 2 1

Problema 142. En una empresa en crisis, los ejecutivos se reunen, en una sala cerrada, paradecidir como salvar el problema de las perdidas de beneficios en los ultimos tres anos. En susdeliberaciones, usan papeles que se van pasando por la fotocopiadora de la planta donde debaten.En una de sus salidas pierden un documento que queda enganchado en la fotocopiadora. Unmiembro del comite de empresa encuentra ese documento y descubre que contiene la siguienteinformacion:

• El 89% de los miembros de la plantilla que van a ser despedidos estan casados y tienen,al menos, uno hijo.

• El 97% de los miembros de la plantilla que van a ser despedido tienen hipoteca.

El comite de empresa se reune, declara una huelga indefinida y se enfrenta a los directivosreunidos en su sala. Sabiendo que la plantilla tiene 952 miembros, justifica la huelga indefinidadel comite de empresa.

Problema 143. Discutir si son compatibles y, en su caso, resolver los siguientes sistemas deecuaciones lineales diofanticos:

i) X1 +X2 + 3X3 = 3X1 + 3X2 + 5X3 = 7X1 − 2X2 = −3

ii) 4X1 + 2X2 + 6X3 = 0X1 + 2X2 = 3


iii) X1 + 2X2 +X3 + 2X4 = 3X1 +X3 = 23X1 + 3X3 + 4X4 = 2

Problema 144. Prueba que para todo dominio de ideales principales R y para cada numeronatural n ∈ N, los submodulos de rango r de Rn coinciden con los conjuntos de soluciones desistemas de ecuaciones homogeneos de la forma BX = 0, donde B ∈ M(n−r)×n(R) es unamatriz con n− r filas y n columnas de rango n− r.

Problema 145. Prueba que si M y N son dos R−modulos libres de rango finito, se tiene:

rankR(M ⊕N) = rankR(M ×N) = rankR(M) + rankR(N).

Prueba que si M es un submodulo de N con las anteriores condiciones, no es cierto que sirankR(M) = rankR(N), entonces M = N .

Problema 146. Reflexionar sobre el significado del Teorema de Estructura para modulos fini-tamente generados sobre DIP en el caso R = K[X] y M la estructura de K[X]−modulo definidasobre un espacio vectorial finitamente generado V por un endomorfismo de K−espacios vecto-riales f : V −→ V . ¿Tiene algo que ver con la forma de Frobenius del endomorfismo?.

Problema 147. Hallar la Forma Normal de Smith sobre Q[X] de la siguiente matriz:X − 2 −1 0 0

0 X − 2 0 00 0 X − 2 00 0 0 X − 2

Problema 148. Hacer lo mismo que en el problema anterior para las siguientes matrices:

X − 2 −1 0 00 X − 2 0 00 0 X − 2 −10 0 0 X − 2

X − 2 −1 0 0

0 X − 2 −1 00 0 X − 2 −10 0 0 X − 2

X − 2 −1 0 0

0 X − 2 0 00 0 X − 3 −10 0 0 X − 3

X − 2 0 0 0

0 X − 2 0 00 0 X − 3 00 0 0 X − 3

Problema 149. Considerar el grupo abeliano libre Zn y varios subgrupos que se citan a contin-uacion. Hallar la estructura del subgrupo de los elementos de torsion del grupo cociente Zn/H.Decidir, en cada caso, si el grupo cociente es completamente de torsion o si su descomposicionposee “parte libre de torsion” (i.e. decidie si Tor(Zn/H) = Zn/H en cada caso.

i) Supongamos n = 2 y H1 es el subgrupo de Z2 generado por (1, 2), (3, 4).ii) Supongamos n = 2 y H2 es el subgrupo de Z2 generado por (2, 3).iii) Supongamos n = 3 y H3 es el subgrupo de Z2 generado por (1, 1, 1), (2, 4, 6), (3, 7, 11).iv) Supongamos n = 3 y H4 es el subgrupo dado como la imagen del morfismo de grupos

siguiente:A : Z2 −→ Z3

(x, y) 7−→ (2x− 2y, 4x+ 2y, 2y).

Observar que, en este caso Z3/H4 es el Co-nucleo de A.


v) Supongamos n = 3 y H5 es el subgrupo dado como la imagen del morfismo de grupossiguiente:

A : Z3 −→ Z3

(x, y, z) 7−→ (x+ 2y + 3z, x+ 4y + 7z, x+ 6y + 11z).

Observar que, en este caso Z3/H5 es el Co-nucleo de B.

Problema 150 (Retıculos). Sea denomina retıculo de dimension n en Rn al Z−modulo libregenerado por una base de Rn. Se denota mediante Λ(β) := Z〈v1, . . . , vn〉 al retıculo generadoen Rn por la base β := v1, . . . , vn. Se llama paralelepıpedo fundamental de un retıculo Λ(β)al polıtopo determinado por los puntos v1, . . . , vn ∈ Rn y el origen. Es decir, el conjunto

P(β) := n∑i=1

tivi : ti ∈ [0, 1], .

Se llama volumen de un retıculo Λ(β) al volumen de su paralelepıpedo fundamental.

i) Sea Λ(β) un retıculo con paralelepıpedo fundamental P(β). Sea M la matriz cuyascolumnas estan formadas por las coordenadas de los vectores de la base β. Probar quese satisface:

vol(Λ(β)) =| det(M) |=√

det(M tM).

ii) Sean Λ un retıculo y P ∈ GL(n,Z) una matriz inversible sobre Z. Pruebse que elconjunto PΛ siguiente es tambien un retıculo:

PΛ := w ∈ Rn : ∃v ∈ Λ, wt = Pvt.Pruebese tambien que vol(Λ) = vol(PΛ) para calquier P ∈ GL(n,Z).

iii) Sean Λ ⊆ Λ′ dos retıculos, siendo Λ un submodulo de Λ′ del mismo rango (y, portanto, libre). Probar que vol(Λ) ≥ vol(Λ′).

iv) Con las condiciones anteriores, pruebese que el Z−modulo cociente Λ′/Λ es un grupoabeliano finito y que su orden satisface:

] (Λ′/Λ) =vol(Λ)

vol(Λ′).

v) Busca en internet el enunciado del Teorema del Cuerpo Convexo de Minkowski. Buscatambien una demostracion y trata de entenderla. Explica su significado.

vi) Sea K ⊆ Rn un cerrado convexo y acotado y sea Λ ⊆ Rn un retıculo. Trata de estabeceruna relacion entre el volumen de K, el volumen del paralelepıpedo fundamental de Λ yel numero de puntos de la interseccion de K con Λ. Disena un algoritmo que aproximeel volumen de un conjunto convexo mediante el numero de puntos ](Λ ∩K).

Problema 151. Lee el extracto de texto que aparece descrito al princpio del Capıtulo. La “es-cena” descrita es un cl’asico, amplia y universalmente reconocible para cualquiera mınimameteeducado, sin necesidad de acudir a Wikipedia. Explica quien fue su autor, a que obra pertenece,que papel juega la evocacion y la decadencia en su contenido semantico y sintatico. ¿Tiene laobra de este autor, y en especial el tıtulo de su obra, algo que ver con el contenido del Capıtulo.

CAPıTULO 3

El Teorema Chino de los Restos(..nanos gigantum humeris insidentes)

“..What Descartes did was a good step.You have added much several ways, andespecially in taking the colours of thinplates into philosophical consideration. IfI have seen a little further it is bystanding on the shoulders of Giants”.I. Newton, 1676

Indice

3.1. Introduccion 1633.2. El anillo producto y el TCR 1633.3. El Teorema Chino de los Restos en el caso R = Z (Opcional) 1663.3.1. En relacion con el problema de Sun Tzu. 1673.3.2. Una Aplicacion en computacion: Calculo del Determinante por Algoritmos

Modulares. 1683.3.2.1. La Busqueda de un Buen Numero Primo. 1703.3.2.2. Test de Primalidad. 1703.3.2.3. Combinando el Teorema de Densidad de los Numero Primos y los Tests

de Primalidad. 1713.3.2.4. La Estrategia Final 1713.3.3. Secretos Compartidos. 1723.3.4. Ejercicios de la Seccion 3.3 1723.4. El Teorema Chino de los Restos en el caso R := K[X]. 1733.4.1. La Forma Canonica de Jordan. 1743.4.1.1. El algebra K[X]/(f). 1743.4.2. Teorıa del Endomorfismo y el Maximo Comun Divisor en K[X] (Opcional). 1773.4.3. Ejercicios de la Seccion 3.4 180

3.1. Introduccion

En esta Seccion recordaremos el teorema Chino de los Restos y algunas de sus aplicaciones masnotables. Aunque se desconoce su origen preciso, las fuentes mas clasicas apuntan al texto SunZi suan-ching (traducido, malamente, como “Las Matematicas Clasicas de Sun Zi”), publicadoen el tercer siglo antes de Cristo por Sun Tzu. Reaparece, con otros resultados interesantescomo el metodo de Newton, en 1274 en un texto de Qin Jiushao titulado Shushu Chiu-zhang.El Problema que trata es el siguiente:

Problema Clasico 3.1.1. ¿Cual es el numero entero mas pequeno tal que

f ≡ 2 mod 11, f ≡ 3 mod 5, f ≡ 2 mod 7?.

3.2. El anillo producto y el TCR

Proposicion 3.2.1 (Definicon de Anillo Producto). Sean Ri : 1 ≤ i ≤ r una coleccionfinita de anillos. Definamos las opraciones siguientes:

(3.2.1)+ : (

∏ri=1Ri)× (

∏ri=1Ri) −→ (

∏ri=1Ri)

((x1, . . . , xr), (y1, . . . , yr)) 7−→ (x1 + y1, . . . , xr + yr),

y

163

164 3. TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS

(3.2.2)· : (

∏ri=1Ri)× (

∏ri=1Ri) −→ (

∏ri=1Ri)

((x1, . . . , xr), (y1, . . . , yr)) 7−→ (x1y1, . . . , xryr).

Se verifican las propiedades siguientes:

i) El conjunto (∏ri=1Ri,+, ·) es un anillo conmutativo con unidad. El elemento neutro

para la suma es el elemento (0, . . . , 0) ∈∏ri=1Ri y el elemento neutro para el producto

es el elemento (1, . . . , 1) ∈∏ri=1Ri.

ii) Cualquiere elemento de la forma (x1, . . . , xr) con algun xi = 0, es un divisor de cerode∏ri=1Ri.

Al anillo∏ri=1Ri se le denomina anillo producto de los anillos en la familia Ri : i ∈ I.

Demostracion. Para comprobar que (∏ri=1Ri,+, ·) es un anillo conmutativo con unidad,

recuerdese el producto de grupos abelianos, lo que nos dara la condicion de grupo en (∏ri=1Ri,+)

y el elemento neutro para la suma dado por (0, . . . , 0) ∈∏ri=1Ri. Verificar que es anillo con la

operacion producto es mera comprobacion de las propiedades a partir de las que verifica cadauno de los Ri. La otra propiedad senalada es obvia.

Definicion 56 (ideales co–maximales). Dos ideales a y b de un anillo R se denominanco–maximales si a + b = R.

Algunos autores prefieren el termino “co–primo” en lugar de co–maximales, es una cuestion degusto. Aquı elegiremos el termino co–maximal como queda dicho.

Teorema 3.2.2 (Teorema Chino de los Restos). Sea ai : 1 ≤ i ≤ n un conjunto finitode ideales en un anillo R. Supongamos que son dos a dos co–maximales (i.e. ai + aj = R,∀i 6= j) y consideremos el morfismo de anillos:

(3.2.3)Φ : R −→

∏ni=1 (R/ai)

a 7−→ (a+ a1, a+ a2, . . . , a+ an).

Se tiene:

i) Φ es un epimorfismo de anillos.ii) El nucleo verifica:

ker(Φ) = ∩ni=1ai =

n∏i=1

ai.

iii) φ induce un isomorfismo de anillos:

(3.2.4)Φ : R/ (∩ni=1ai) −→

∏ni=1 (R/ai)

x+ (∩ni=1ai) 7−→ (x+ a1, x+ a2, . . . , x+ an).

Demostracion. Comencemos observando que Φ esta bien definida dado que es la com-posicion de los dos morfismos de anillo siguientes:

(3.2.5)i : R −→ Rn :=

∏ni=1R

x 7−→ (x, x, . . . , x).

y

(3.2.6)∏ni=1 πi : Rn −→

∏ni=1 (R/ai) ,

donde πi : R −→ R/ai es la proyeccion canonica. A partir de aquı, probemos las propiedadesdescritas.Comencemos considerando unos elementos especiales. Para cada i ∈ 1, . . . , n, consideremosel elemento ei ∈

∏ni=1 (R/ai) dado mediante:

ei := (εi,1 + a1, εi,2 + a2, . . . , εi,n + an) ∈n∏i=1

(R/ai) ,

donde

εi,j :=

1, si i = j0, en caso contrario

3.2. EL ANILLO PRODUCTO Y EL TCR 165

Notese que ei es el emento que “tiene un 0 en todos los lugares, excepto en el lugar i en el quetiene un 1”. Consideremos ahora un elemento cualquiera ζ := (x1+a1, . . . , xn+an) ∈

∏ni=1R/ai.

Se tiene la siguiente identidad:

(3.2.7) ζ :=

n∑i=1

Φ(xi)ei.

Por tanto, probar que Φ es suprayectiva se reduce a probar que e1, . . . , en ⊆ Im(Φ). Porsimplicidad de la expresion de la prueba, probemos que e1 ∈ Im(Φ) y, analogamente, se harapara todos los otros elementos.dado que a1 y ai son co–maximales para todo i 6= 1, 1 ≤ i ≤ n, podemos suponer que existenxi ∈ a1 e yi ∈ ai tales que xi + yi = 1 en R. Definamos el elemento

(3.2.8) z1 :=

n∏i=2

yi =

n∏i=2

(1− xi).

Entonces, se tiene Φ(z1) = e1. Para comprobarlo, recordemos que:

Φ(z1) := (z1 + a1, z2 + a2, . . . , z1 + an).

• Como yj ∈ aj , para todo j ≥ 2, entonces∏ni=2 yi ∈ aj , para todos j ≥ 2 y, por tanto,

z1 + aj =∏ni=2 yi + aj = 0 + aj , para todo j ≥ 2.

• De otro lado, desarrollando el producto∏ni=2(1−xi) obtendremos z1 =

∏ni=2(1−xi) =

1 +∑ni=2 xihi(x2, . . . , xn), donde

hi(x2, . . . , xn) = −n∏

j=i+1

(1− xj),

para 2 ≤ i ≤ n − 1 y hn = −1. En particular, hi(x2, . . . , xn) ∈ R. Para cada i,2 ≤ i ≤ n, xi ∈ a1, por tanto, xihi(x2, . . . , xn) ∈ a1, para cada i, 2 ≤ i ≤ n y, portanto,

∑ni=2 xihi(x2, . . . , xn) ∈ a1. Hemos concluido que z1 = 1 + h, con h ∈ a1 y,

finalmente, z1 + a1 = 1 + a1.

Juntando estas afirmaciones, tendremos:

Φ(z1) := (1 + a1, 0 + a2, . . . , 0 + an) = e1,

y queda probada la suprayectividad.

En cuanto al nucleo de Φ, es claro que dicho nucleo coincide con ∩ni=1ai. Sin embargo, elenunciado dice algo mas. Dice que, en el caso de que los ideales sean co–maximales dos a dos,entonces la interseccion y el producto coinciden, es decir

n∏i=1

ai =

n⋂i=1

ai.

Hay un contenido claro por las definiciones de los propios ideales∏ni=1 ai ⊆

⋂ni=1 ai, luego solo

queda por probar el recıproco. Hagamos la prueba por induccion. Comencemos en el cason = 2. En ese caso, por ser a1 y a2 co–maximales, tendremos a1 + a2 = R y han de existirx1 ∈ a1 y x2 ∈ a2 tales que x1 + x2 = 1. Sea ahora x ∈ a1 ∩ a2.

• Como x ∈ a2 (por estar en a1 ∩ a2) y x1 ∈ a1, entonces xx1 ∈ a1a2,• Recıprocamente, como x ∈ a1 (por estar en a1 ∩ a2) y x2 ∈ a2, entonces xx2 ∈ a1a2.

En conclusion, xx1, xx2 ∈ a1a2, luego

x = x · 1 = x(x2 + x2) = xx1 + xx2 ∈ a1a2,

y queda probado el caso n = 2. Para el caso n, vamos a reproducir el argumento del modosiguiente:Se tiene que si ai, 1 ≤ i ≤ n es una familia de ideales dos a dos co–maximales, entonces, losideales ai y bi :=

∏j 6=i aj son co–maximales tambien (i.e. ai+bi = R). Para probarlo, haremos

solamente el caso i = 1 y el resto de los casos es analogo. Dado que a1 y ai son co–maximales,han de existir xi ∈ a1 e yi ∈ ai, i ≥ 2, tales que

xi + yi = 1.


Consideremos ahora el elementos z1 :=∏ni=2 yi ∈ b1 =

∏ni=2 ai. De otro lado, como el la prueba

del epimorfismo, tendremos que

z1 =

n∏i=2

(1− xi) = 1 +

n∑i=2

xihi(x2, . . . , xn) = 1 + h,

donde h ∈ a1. Concluiremos ası que

1 = (−h) + z1,

siendo −h ∈ a1 y z1 ∈ b1. Por tanto, a1 y b1 son co–maximales y, por el caso n = 2, tendremos

a1b1 = a1

⋂b1.

Ahora aplicamos la hipotesis inductiva y concluimos

b1 =

n∏i=2

ai =

n⋂i=2

ai,

lo que, juntado con la igualdad inmediatamente anterior, implica la afirmacion descrita en ii).La afirmacion iii) del enunciado es evidente a partir del primer Teorema de Isomorfıa y de lasafirmaciones i) y ii).

3.3. El Teorema Chino de los Restos en el caso R = Z (Opcional)

Utilizaremos los muchos resultados ya descritos sobre las propiedades basicas del anillo Z comoel Teorema 1.4.14, que nos indicaba que Z es un dominio de ideales principales, o la Identidadde Bezout con cotas (ver Corolario 2.1.20). Seguidamente recordemos en el caso de dominiosde ideales principales, y en el caso de Z en particular, los significados de los ideales, suma,producto e interseccion.

Proposicion 3.3.1. Dados n1, . . . , nr ∈ Z numeros enteros y sean ai = (ni) los ideales en Zque generan. Entonces, se tienen las siguientes propiedades:

i) El ideal suma∑ni=1 ai es el ideal generado por el maximo comun divisor m := gcd(n1, . . . , nr).

ii) El ideal interseccion a := ∩ni=1ai es el ideal generado por el mınimo comun multiplom := mcm(n1, . . . , nr).

iii) El ideal producto b :=∏ri=1 ai es el ideal (N), generado por el producto

N :=

r∏i=1

ni.

Finalmente, si gcd(ni, nj) = 1 para todo i 6= j, entonces el mınimo comun multiplo m coincidecon N , esto es, en el caso de ser dos a dos co–maximales, se tiene:

mcm(n1, . . . , nr) =

r∏i=1

ni.

Demostracion. Ya se ha insistido abundantemente en la propiedad i), por lo que no insi-stiremos en ello. El mınimo comun multiplo de varios numeros enteros se define, precisamente,como el generador de la interseccion de ideales. Recordemoslo: m = mcm(n1, . . . , nr) si ysolamente si se verifica:

• ni | m, para cada i, 1 ≤ i ≤ r.• m es mınimo con esa propiedad.

Ahora notese que la primera condicion significa m ∈ (ni) para cada i, 1 ≤ i ≤ r. Por tanto,la primera condicion significa m ∈ ∩ri=1(ni) y, por tanto, significa tambien (m) ⊆ ∩ri=1ai. Encuanto a la condicion de minimalidad, recordemos el Teorema 1.4.14, en el cual se afirma queel elemento no nulo de valor absoluto (resp. grado) mınimo en un ideal es el generador enZ (resp. K[X]). Podemos ası concluir que si m es el mınimo con esa propiedad, entonces,(m) = ∩ri=1(ni).De otro lado, por la definicion del ideal producto, el ideal

∏ri=1(ni) es el ideal generado por los

productos de los generadores y, por tanto, el ideal generado por N .

3.3. EL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS EN EL CASO R = Z (OPCIONAL) 167

La ultima de las afirmaciones es consecuencia inmediata del apartado ii) del Teorema Chino delos Restos. Efectivamente, si ni es una familia cuyos elementos son dos a dos co–maximales,los ideales

∏ri=1(ni) y ∩ri=1(ni) han de coincidir y, por tanto, sus generadores son iguales (salvo

unidad en Z) por lo que podemos concluir que

mcm(n1, . . . , nr) =

r∏i=1

ni,

como se pretendıa.

El Teorema Chino de los Restos sobre Z se convierte en el enunciado siguiente:

Teorema 3.3.2 (Teorema Chino de los Restos en Z). Sean dados n1, . . . , nr numerosenteros positivos de tal modo que gcd(ni, nj) = 1 para todo i 6= j. Sea N :=

∏ri=1 ni. Entonces,

la siguiente aplicacion es un isomorfismo de anillos:

(3.3.1)Φ : Z/ (N) −→

∏ri=1 (Z/(ni))

x+ (N) 7−→ (x+ (n1), x+ (n2), . . . , x+ (nr)).

Demostracion. Es una trasliteracion del Teorema Chino de los Restos anterior.

3.3.1. En relacion con el problema de Sun Tzu. Retomemos el enunciado:Cual es el numero entero mas pequeno tal que

f ≡ 2 mod 11, f ≡ 3 mod 5, f ≡ 2 mod 7?.

Notese que 11, 5 y 7 son primos y, por tanto, co–maximales. Ahora se trata de hallar, conformea las ecuaciones (3.2.7) y (3.2.8) anteriores la siguiente informacion:

i) En primer lugar N := 7 · 5 · 11 = 385.ii) En segundo lugar, los elementos z1, z2, z3 ∈ Z tales que (como en la prueba del Teorema

Chino de los Restos) se verifique:

Φ(z1) = e1 = (1 + (11), 0 + (5), 0 + (7)),Φ(z2) = e2 = (0 + (11), 1 + (5), 0 + (7)),

yΦ(z3) = (0 + (11), 0 + (5), 1 + (7)).

Para ello, observese (via la identidad de Bezout) que se tiene:

11 + (−2)5 = 1, (−2)7 + 3 · 5 = 1, 2 · 11 + (−3) · 7 = 1.

• Para z1: elijamos x2, x3, y2, y3 tales que x2, x3 ∈ (11), y2 ∈ (5), y3 ∈ (7) y

x2 + y2 = 1, x3 + y3 = 1.

Es decir, x2 = 11, x3 = 2 · 11 = 22, y2 = (−2)5 = −10, y3 = (−3) · 7 = −21 y

definamos z1 :=∏3i=2 yi = (−10)(−21) = 210.

• Para z2: elijamos x′1, x′3, y′1, y′3 tales que x′1, x

′3 ∈ (5), y′1 ∈ (11), y′3 ∈ (7) y

x′1 + y′1 = 1, x′3 + y′3 = 1.

Es decir, x′1 = (−2)5 = −10, x′3 = 3 · 5 = 15, y′1 = 11, y′3 = (−2)7 = −14 ydefinamos z2 := y′1y

′3 = 11(−14) = −154.

• Para z3: elijamos x′′1 , x′′2 , y′′1 , y′′2 tales que x′′1 , x

′′2 ∈ (7), y′′1 ∈ (11), y′′2 ∈ (5) y

x′′1 + y′′1 = 1, x′′2 + y′′2 = 1.

Es decir, x′′1 = (−3) ·7 = −21, x′′2 = (−2)7 = −14, y′′1 = 2 ·11 = 22, y′′2 = 3 ·5 = 15y definamos z3 := y′′1 y

′′2 = 15 · 22 = 330.

Para mayor simplicidad podemos hacerlos todos positivos, reduciendo modulo N yeligiendo:

z1 = 210, z2 = 231, z3 = 330.

iii) Con estos tres elementos y la formula (3.2.7) podemos hallar, dados x1, x2, x3 unnumero x ∈ Z tal que

x mod (11) = x1 mod (11), x mod (5) = x2 mod (5), x mod (7) = x3 mod (7).

De hecho, tenemos que el numero x1z1 + x2z2 + x3z3 verificara:

Φ(x1z1 + x2z2 + x3z3) = Φ(x1)Φ(z1) + Φ(x2)Φ(z2) + Φ(x3)Φ(z3),


lo que es una formulacion equivalente.iv) Con los datos del enunciado del texto de Sun Tzu, tendemos que

z := 2 · 210 + 3 · 231 + 2 · 330 mod 385 = 233,

satisface los requerimientos (si no se ha traspapelado algun error de calculo por enmedio).

3.3.2. Una Aplicacion en computacion: Calculo del Determinante por Algorit-mos Modulares. Una de las aplicaciones mas importantes del Teorema Chino de los Restossobre Z son los algoritmos modulares, usados en la programacion de paquetes de softwaresimbolico comerciales como Maple, Mathematica y otros. Aquı ejemplificamos esta estrategiacon el ejemplo del calculo del determinante de una matriz A ∈Mn(Z) con coordenadas enteras.El asunto es el siguiente:En el algoritmo de Gauss clasico, aprendido en las asignaturas basicas de Algebra Lineal, seproduce un fenomeno singular con la concatenacion de elecciones de pivotes. Si supongo quetodas las coordenadas de la matriz A = (ai,j)1≤i,j≤n original, verifican |ai,j | ≤ H, tras haberelegido k pivotes, el tamano de los numeros enteros que aparecen en la matriz es del orden

H2k . Esto significa, por ejemplo, que para matrices de tamano 200× 200 no existen suficienteselectrones en el Universo para almacenar los dıgitos de uno de esos numeros enteros a razon deun dıgito por electron. Ni que decir tiene de la imposibilidad de manejar matrices razonablesen la practica con tamanos del orden 1000× 1000.La conclusion es que el metodo de Gauss, tal y como se ensena, no sirve. Surgen ası diversasalternativas. Algunas hacen modificaciones del algoritmo de Gauss (con busquedas de otrospivotes y otras operaciones, reduciendo a cada paso), otros se centran en algoritmos bien par-alelizables (que evitan el crecimiento de los resultados intermedios a traves de estructurar lasoperaciones a realizar mediante grafos bien paralelizables). Una vıa mas son los AlgoritmosModulares que vamos a describir, basandonos en el TCR anterior. Comencemos recordandolos rudimentos del teorema de Gram–Schmidt 1 . Sea v1, . . . , vn una base ordenada de Rn.Definamos la secuencia de vectores v∗1 , . . . , v

∗n siguiente:

(3.3.2)

v∗1 := v1

v∗2 := v2 − µ2,1v∗1 , µ2,1 =

〈v2,v∗1 〉

〈v∗1 ,v∗1 〉...

v∗i := vi −∑i−1j=1 µi,jv

∗j , µi,j :=

〈vi,v∗j 〉〈v∗j ,v∗j 〉

Proposicion 3.3.3. En las notaciones anteriores, v1, . . . , vn una base de Rn. Sean v∗1 , . . . , v∗n

los vectores obtenidos tras aplicar Gram-Schmidt a esta base. Entonces,

i) ||v∗i || ≤ ||vi||,ii) 〈v∗i , v∗j 〉 = 0, para todo i 6= j.

Demostracion. Son meras comprobaciones, la segunda propiedad implicando la primera.

Continuaremos con un clasico, conocido como Desigualdad de Hadamard.

Proposicion 3.3.4 (Desigualdad de Hadamard). Sea A ∈Mn(C) una matriz con coorde-nadas complejas. Sean v1, . . . , vn ∈ Cn los vectores dados por sus columnas. Entonces,

|det(A)| ≤n∏i=

||vi||2,

donde || · ||2 denota la norma hermıtica usual en Cn.

1Aunque parece que el metodo de calculo de bases ortogonales ya era conocido por Laplace y habıa sidousado por Cauchy en 1836, se asigna este metodo a Jorgen P. Gram y Erhardt Schmidt. El trabajo de E. Schmidt

donde introdujo formalmente su metodo de ortogonalizacion es : Zur Theorie der linearen und nichtlinearen In-tegralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkurlichen Funktionen nach System vorgeschriebener. MathematischeAnnalen Vol. 63 (1907), 433–476. Los trabajos de Gram (un matematico “amateur” danes) son mas difıciles

de rastrear para mı y no he sido capaz de saber con certeza donde publico sus resultados.


Demostracion. Para demostrar el resultado utilizaremos la ortogonalizacion de Gram–Schmidt. Dicho procedimiento establece que si A es la matriz dada, existe una matriz triangularsuperior, con solo 1’s en la diagonal principal P tal que

PA = A1,

donde los vectores dados como las columnas de A1 son precisamente la base ortogonal, asociadaa los vectores columna de A :

v∗1 , . . . , v∗n.

Ahora consideramos la matriz de Wishart de A:

W (A) := A∗A,

donde A∗ es la traspuesta conjugada. Adicionalmente, se tiene :

|det(A)|2 = det(W (A) = det(AA∗).

Ademas,

det(A1A∗1)det

〈v∗1 , v∗1〉 · · · 〈v∗1 , v∗n〉

.... . .

...〈v∗n, v∗1〉 · · · 〈v∗n, v∗n〉

.

Como 〈v∗i , v∗j 〉 = 0 para i 6= j, tendremos

|det(A1)|2 =

n∏i=1

||v∗i ||2.

Finalmente, usando la Proposicion anterior,

|det(A)|2 = |det(A1)|2 =

n∏i=1

||v∗i ||2 ≤|∏i=1

|vi||2.

Corollario 3.3.5. Sea A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(Z) una matriz con coordenadas enteras ysupongamos ||ai,j || ≤ H. Entonces,

|det(A)| ≤ Hn.


Lema 3.3.6. Sea M ∈ Z un numero entero positivo y sea a ∈ Z un numero entero tal que suvalor absoluto verifica |a| ≤M − 1. Sea x ∈ 0, . . . , 2M − 1 tal que :

x = a mod 2M.

Definamos :

x :=

x si 0 ≤ x ≤M − 1

x− 2M si M + 1 ≤ x ≤ 2M − 1

Entonces, x = a.

Demostracion. Es una mera comprobacion a partir de las definiciones, que se deja comoejercicio al lector.


3.3.2.1. La Busqueda de un Buen Numero Primo. Comencemos con un somero recordatoriodel Teorema de los Numeros Primos (vease, por ejemplo, el texto clasico de G.H. Hardy y E.M.Wright, [HaWr, 38]). Este Teorema fue postulado tanto por A.-M. Legendre como por C.F.Gauss, a base de evidencia numerica y fue demostrado simultanea e independientemente porJ. Hadamard y por Ch.-J. de la Vallee Poussin en 1896. Resultados mas refinados han sidologrados posteriormente. Por el momento, nos conformamos con versiones simples. Se trata deunos de los grandes resultados en Teorıa de Numeros. Una demostracion puede verse tambienen el texto de H. E. Rose ([Ro, 94], capıtulos 12 y 13).Comencemos con un poco de notacion :

Notacion 3.3.7. • Dadas dos funciones f, g : R −→ R, escribiremos f ∈ θ(g) cuando

limx→∞f(x)

g(x)= 1

Observese que f ∈ θ(g)⇐⇒ g ∈ θ(f).• Definamos la funcion π : N −→ N dada por π(x) es el cardinal del conjunto de numeros

primos p tales que 2 ≤ p ≤ x.

Teorema 3.3.8 (Teorema (de Densidad) de los Numeros Primos). En las anterioresnotaciones,

π ∈ θ(Li(x)),

donde donde

Li(x) :=

∫ x

2

dt

ln(t),

donde ln se refiere al logaritmo neperiano. Ademas, se tiene que, para x ≥ 55,2

x

ln(x)− 4≥ π(x) ≥ x

ln(x) + 2.

3.3.2.2. Test de Primalidad. Se trata de un problema clasico tanto en Matematicas comoen Informatica.

Problema Clasico 3.3.9 (PRIMES). Dado un numero natural n ∈ N, decidir si n es primo.

El algoritmo mas inmediato es el algoritmo conocido como Criba de Eratostenes. El problemaes el tiempo necesario para ejecutarlo. Ası para decidir si un numero n es primo hay querealizar

√n operaciones elementales (operaciones bit). Se dice que es un algoritmo exponencial

o ineficiente porque el numero de operaciones a realizar depende esencialmente del numero n yno de su tamano que es log(n).

Se conocen algoritmos aleatorios (probabilistas eficientes en tiempo logO(1)(n)) desde mediadosde los anos 70. Se conocen tambien como algoritmos Monte Carlo para testar composicion yson altamente eficaces en la practica. Su aparicion historica es debida a los tests de composicionen la clase RP como son:

• El test de R. Solovay y V. Strassen de 1977 3.• El test de M.O. Rabin y G. Miller de 1976–80 4.

Posteriormente se obtienen resultados eficientes en el trabajo de M. Agrawal, N. Kayal y N.Saxena 5 muestran un algoritmo polinomial (en P, es decir en tiempo O(log9(n)) ) para decidirsi un numero natural dado es primo.El algoritmo subyacente se basa en la idea siguiente :

Lema 3.3.10. Sea n ∈ N un numero entero dado. Supongamos n > 2. Las siguientespropiedades son equivalentes :

i) n ∈ N es un numero primo.

2Aunque hay acotaciones mas finas, nos bastan. Ver una prueba de la desigualdda expuesta en B. Rosser,Explicit Bounds for Some Functions of Prime Numbers. American Journal of Mathematics 63 (1941), 211-232.

3R. Solovay, V. Strassen, A fast Monte Carlo test for primality. SIAM J. on Comput. 6 (1977), 84–85.4Los trabajos de referencia son:

– G.L. Miller, Riemann’s hypothesis and tests for primality. J. Comput. Syst. Sci. 13 (1976), 300–317.– M.O. Rabin, Probabilistic algorithms for testing primality. J. Number Theory 12 (1980), 128–138.

5M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena, PRIMES is in P. Annals of Math. 160 (2004), 781793.


ii) Para todo q, 1 ≤ q ≤ n− 1, se verifica :(n

q

)= 0 mod p.

iii) Para cada a ∈ 0, . . . , p− 1, los siguientes polinomios son iguales en Z/pZ[X] :

Xp − a = (X − a)p

en Z/pZ[X].

La clave de la prueba es la formulacion del item iii). Se trata de verificar esta propiedad (queno es sino una comparacion de coeficientes entre dos polinomios de grado p) y para todos losvalores a ∈ 0, . . . , p − 1. Ası descrito el metodo propuesto por estos tres autores seguirıasiendo exponencial porque necesitarıamos testar todos los coeficientes de O(p) polinomios degrado p. El resultado principal de estos autores afirma que basta con hacer la comparacion deO(log2p) polinomios ( solo valores pequeos de a) y que no es necesario hacer una comparacion detodos los coeficientes, sino una cantidad logO(1)p interpolaciones. No explicaremos mas detallesy orientamos al lector a la obra original, de sencilla lectura y, por ello, de gran creatividad.

3.3.2.3. Combinando el Teorema de Densidad de los Numero Primos y los Tests de Pri-malidad.

Proposicion 3.3.11. Dado un numero natural H ∈ N se pueden hallar numeros naturalespositivos n1, . . . , nr verificando las siguientes propiedades:

i) El numero de dıgitos (talla bit, numero de cifras) necesarios para representar el masgrande de estos numeros esta acotado por 2 log2(log2(H)).

ii) La cantidad de numeros r es, a lo sumo log(H).iii) Los numeros n1, . . . , nr son co–primos dos a dos.iv) Se verifica la siguiente desigualdad:

H ≤r∏i=1

ni.

El numero de operaciones elementales (bit) necesarias para calcularlos esta acotado por

log22(H) log

O(1)2 (log2(H)).

Demostracion. Elijamos un numero entero positivo k ∈ N. Por el Teorema de Densidadde los numeros primos, tenemos:

2k ≤ 22k

2k≤ π(22k).

Ademas, sean 2 := p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ p2k los numeros primos menores que 22k. Entonces,

22k ≤2k∏i=

pi.

Entonces, eligiendo k := log2(log2(H)), tenemos 2k = log2(H) numeros co–maximales, talesque su producto es mayor que el numero H dado. Mas aun, el numero primo pi mas grande deesta lista, es de valor absoluto menor que 22k = log2

2(H) y, por tanto, su tamano es, a lo sumo,2 log2(log2(H)). Aplicando los algoritmos (como el AKS de Agrawal, Kayan y Saxena) tengoque hacer 22k tests de primalidad y cada uno necesita O(k9) operaciones bit. Lo que se puedehacer en tiempo polinomial.

3.3.2.4. La Estrategia Final. El resultado final serıa el siguiente:

Teorema 3.3.12. Aplicando tecnicas modulares al calculo del determinante podemos concluir :El determinante de una matriz A ∈ Mn(Z) cuyos coeficientes tienen tamano (logaritmo) aco-tado por h se puede calcular en tiempo

O(n4log2n(log n+ h)2).

La estrategia algorıtmica para evitar el crecimiento es la siguiente:

Input: A := (ai,j)1≤i,j≤n ∈Mn(Z) y H tal que ||ai,j || ≤ H.Hallar (como el la Proposicion 3.3.11) numeros enteros n1, . . . , nr con r = 2(bn log(H)c + 1)tales que


• N :=∏ri=1 ni > 2Hn,

• gcd(ni, nj) = 1, para todos i 6= j.

Comentario: El numero mas grande de esa lista es de tamano (numero de dıgitos) acotado porO(log2(n) + log2(log2(H))), es decir, son muy pequenos.

Hallar: di := det(A) mod ni, para cada i, 1 ≤ i ≤ r.Aplicando el Teorema Chino de los Restos, hallar

D mod N := Φ−1(d1 + (n1), d2 + (n2), . . . , dr + (nr)).

Aplicando el Lema 3.3.6 anterior:

Ouput: D ∈ Z

3.3.3. Secretos Compartidos. Una de las aplicaciones estandar del Teorema Chino delos Restos es el sistema de compartimentar la informacion llamado Secretos Compartidos (delingles “secret sharing”) y que se usa, por ejemplo, en los cajeros automaticos. Se trata de losiguiente : se dispone de una informacion codificada en un numero entero n ∈ N. Ahora seeligen r personas distintas, cada una de las cuales lleva asociado un modulo mi. Suponemosque los modulos mi y mj son dos a dos comaximales. Ahora se entrega a cada persona lainformacion rem(n,mi). Para poder recuperar la informacion inicial es necesario que todaslas personas esten dispuestas a aportar su informacion y ejecutar el algoritmo subyacente alTeorema Chino de los Restos. Por ejemplo, el cajero (la maquina) posee posee una parte delcodigo de autorizacion de una cuenta/tarjeta y el propietario de la tarjeta una segunda parte:su codigo personal PIN.


Problema 152 (Version Eficiente del TCR en Z). Supongamos dados numeros naturalesno nulos co-primos dos a dos ai : 1 ≤ i ≤ m ⊆ \0. Supongamos dada una secuencia derestos modulares

x1 mod a1, . . . , xm mod am.

Definamos M :=∏mi=1 ai y definamos:

Mi :=M

ai, 1 ≤ i ≤ m.

Probar:

i) Los enteros Mi y ai son co-primos dos a dos (i.e. gcd(Mi, ai) = 1). Porbar que,entonces, existe hi ∈ Z tal que Mihi = 1 mod ai.

ii) Sea x ∈ Z el numero entero dado por la siguiente igualdad:

x =

m∑i=1

(Mihixi) .

Probar que si ϕ es el isomorfismo del Teorema Chino de los Restos, se tiene:

ϕ(x+MZ) = (x1 + a1Z, . . . , xm + amZ).

iii) Probar que estas afirmaciones son validas sobre todo dominio de ideales principales.

Problema 153. Hallar el entero positivo mas pequeno tal que al dividirlo por 10, 17, y 19 darestos 8, 11, y 14 respectivamente.

Problema 154. Supongamos que creamos un banco nuevo en el que aspiramos a que el numerode cuentas bancarias sea como mucho:

9.699.690.000 = 24 · 54 · 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19.

Asociamos a cada cliente un numero de cuenta PAN (Personal Account Number) entre 0 y estenumero. Ademas, a cada cliente le reglamos una tarjeta de credito que llevara asociado unPIN (Personal Identification Number) a eleccion del usuario con 4 dıgitos (es decir, un numeromenor que 104). Por su parte, la tarjeta debe tener asignado un numero CCN (Credit CardNumber) menor que 969.969. Proponemos un sistema de seguridad basado en el Teorema Chinode los Restos. Se pide:

3.4. EL TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS EN EL CASO R := K[X]. 173

i) Si un usuario tiene una cuenta con PAN=400.022. ¿Cual ha de ser su PIN? y ¿cualha de ser su CCN? con este esquema basado en TCR.

ii) Si un usuario nos pide por telefono que su PIN sea PIN=2345, ¿Cuantas posiblesCCN le podrıamos asignar a su tarjeta?

iii) En el caso inmediato anterior, ¿Es posible que la peticion de PIN de un usuario, cuyoPAN ya ha sido fijado, sea imposible?. ¿Como sugieres corregir ese efecto?.

Problema 155. Busca en internet uno de los Tests de Primalidad citados. Describe en queconsiste el agoritmo que has elegido y aplıcalo a 4 numeros enteros de tu eleccion con, al menos,4 dıgitos cada uno. Explica los resultados de tu experimento.

Problema 156. Busca en internet el sistema criptografico RSA (de Rivest, Shamir y Adle-mann). Explica su funcionamiento, demuestra la veracidad de su funcionamiento, genera unaclave publica propia y comprueba su funcionamiento encriptando y desencriptando mensajes.Haz lo mismo con mensajes firmados, generando dos usuarios con dos claves publicas.

Problema 157. Busca en wikipedia que es el sistema de seguridad TLS6 y explica cual es surelacion con alguno de los contenidos anteriores. Abre tu navegador usual y trata de obtenerinformacion sobre los protocolos de seguridad que se usan en conexion con una u otra paginaweb. Encuentra alguno que use TLS. Busca otras aplicaciones de esta version del TeoremaChino de los Restos.

3.4. El Teorema Chino de los Restos en el caso R := K[X].

Comenzemos recordando que K[X] es un dominio de ideales principales, dominio euclıdeo ydominio de factorizacion unica (i.e. veanse Teorema 1.4.14, Teorema 1.3.9, Teorema 2.3.20).Retomamos el Ejemplo 1.4.3 y la serie de Problemas incluidos entre 116 y 124, incluyendo elProblema 119. A partir de allı, podemos concluir:

Proposicion 3.4.1. Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre un cuerpo K, ϕ : V −→ Vuna aplicacion lineal. Entonces, V es un K[X]−modulo finitamente generado. Mas aun, V esisomorfo como K[X]−modulo a una descomposicion

V ∼=r∏i=1

K[X]/(fi(X)),

donde f1, . . . , fr son los factores invariantes de ϕ como endomorfismo. En particular V es unK[X]−modulo de torsion (i.e. todos sus elementos son elementos de torsion).

Demostracion. Sin perdida de la generalidad podemos suponer que ϕ viene dado, en unacierta base

β := v1, . . . , vn,por su forma de Frobenius (recordar Problema 124). Es decir:

M(ϕ) :=

C(f1) 0 0 0

0 C(f2) 0 0...

.... . .

...0 0 0 C(fr)

,

C(fi) es la matriz companera de un polinomio fi ∈ K[X] y f1, . . . , fr son los factores invariantesde ϕ. En particular, todos ellos son polinomios monicos y, tomando di = deg(fi), verifican:

• d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dr,• f1 es el polinomio mınimo de ϕ,• fi+1 | fi,• d1 + d2 + · · ·+ dr = n.

Supongamos, ademas,

fi := Xdi +

di−1∑k=0

a(i)k Xk.

Observese que se tienen las propiedades siguientes en la operacion de K[X]−modulo:

6http://en.wikipedia.org/wiki/Transport_Layer_Security

http://en.wikipedia.org/wiki/Transport_Layer_Security


• Para 1 ≤ i ≤ d1 − 1, Xvi = vi+1

• Para i = d1 tendremos

Xvd1= Xd1v1 = −

d1−1∑k=0

a(1)k Xkv1 = −

d1−1∑k=0

a(1)k vk+1.

• En general, para d1 + d2 + · · ·+ ds + 1 ≤ i ≤ d1 + d2 + · · ·+ ds + ds+1 − 1, tendremosXvi = vi+1.

• Para i = d1 + · · ·+ ds + ds+1, tendremos

Xvd1+···+ds+ds+1= Xds+1vd1+···+ds+1 = −

ds+1−1∑k=0

a(ds+1)k Xkvd1+···+ds+1,

y, por tanto,

Xvd1+···+ds+ds+1= −

ds+1−1∑k=0

a(ds+1)k vd1+···+ds+k+1.

Estas identidades nos permiten definir el isomorfismo de K[X]−modulos siguiente:

Φ :

r∏i=1

(K[X]/(fi(X))) −→ V,

definido del modo siguiente: dado

Q := (q1 + (f1), q2 + (f2), . . . , qr + (fr)) ∈r∏i=1

(K[X]/(fi(X))) ,

definimos

Φ(Q) := q1(X)v1 + q2(X)vd1+1 + · · ·+ qr(X)vd1+···dr−1+1,

y comprobar que Φ es un isomorfismo de K[X]−modulos.

3.4.1. La Forma Canonica de Jordan. En la discusion anterior no hemos hecho in-tervenir el Teorema Chino de los Restos. Ahora vamos a intentar hacerlo, recuperando suformalismo original.

Teorema 3.4.2 (Teorema Chino de los Restos en K[X]). Sean dados f1, . . . , fr ∈ K[X]polinomios de tal modo que gcd(fi, fj) = 1 para todo i 6= j. Entonces, la siguiente aplicaciones un isomorfismo de anillos:

(3.4.1)Φ : K[Z]/ (g) −→

∏ri=1 (K[X]/(fi))

x+ (g) 7−→ (x+ (f1), x+ (f2), . . . , x+ (fr)).

Ademas, Φ es isomrofismo de espacios vectoriales sobre K.

Demostracion. De nuevo, es el enunciado exacto del Teorema Chino de los Restos deSecciones anteriores.

3.4.1.1. El algebra K[X]/(f). Supongamos f := Xn+an−1Xn−1 + · · ·+a1X+a0 ∈ K[X],

un polinomio univariado que supondremos monico por simplicidad de nuestra discusion. Con-sideremos el anillo cociente K[X]/(f). El problema 119 nos demostraba el siguiente enunciado:

Proposicion 3.4.3. Con las anteriores notations, se tiene:

i) El anillo cociente K[X]/(f) es una K−espacio vectorial de dimension n sobre K.ii) Una base de K[X]/(f) como K−espacio vecyorial es dada por las clases de la base

monomial (tambien llamada base monomial) y descrita mediante:

β := 1 + (f), X + (f), X2 + (f), . . . , Xn−1 + (f).


iii) Dado X ∈ K[X], podemos definir la aplicacion:

ηX : K[X]/(f) −→ K[X]/(f)h+ (f) 7−→ Xh+ (f),

es un endomorfismo de K[X]/(f) como K−espacio vectorial. Mas aun, la matrizMX ∈ Mn(K), de ηX en la base β anterior, es, justamente, la matriz companera def , esto es,

MX := C(f) =

0 0 0 · · · −a0

1 0 0 · · · −a1

0 1 0 · · · −a2

0 0 1 · · · −a3

......

. . .. . .

...0 0 0 · · · −an−1

.

La matriz MX se denomina el tensor de multiplicacion de la K−algebra K[X]/(f).iv) Dado g ∈ K[X], podemos definir la aplicacion:

ηg : K[X]/(f) −→ K[X]/(f)h+ (f) 7−→ gh+ (f),

es un endomorfismo de K[X]/(f) como K−espacio vectorial. Notese que dados g1, g2 ∈K[X] y λ ∈ K se tiene:

ηg1+g2= ηg1

+ ηg2, ηg1·g2

= ηg1 ηg2

, ηλg1= ληg1

.

A los endomorfismos ηg se les denomina homotecias de razon g sobre K[X]/(f).v) En particular, la matriz Mg ∈Mn(K), de ηg en la base β anterior, es, justamente,

Mg := g(MX) = g(C(f)).

Proposicion 3.4.4. Sea ζ ∈ K un elemento en un cuerpo K y consideremos el polinomiomonico f = (X − ζ)n. Consideremos el anillo cociente K[X]/(f). Se tiene:

i) La siguiente coleccion es una base de K[X]/(f) como K− espacio vectorial, a la quellamaremos base monomial en ζ de K[X]/(f):

β(n)ζ := 1 + (f), (X − ζ) + (f), . . . , (X − ζ)n−1 + (f).

ii) La matriz en la base βζ de la homotecia ηX es, justamente, la caja de Jordan de ordenn y valor “propio” ζ. Es decir, la matriz J(ζ, n) ∈Mn(K) dada mediante:

J(ζ, n) :=

ζ 0 0 · · · 0 01 ζ 0 · · · 0 00 1 ζ · · · 0 0...

.... . .

. . ....

0 0 0 · · · 1 ζ

.

A la matriz J(ζ, n) se la denomina caja de Jordan de orden n en honor del matematicoC. Jordan 7 .

Demostracion. La demostracion de i) mas “natural” pasa por usar el desarrollo de Tay-lor en ζ de los polinomios. Expresamos ese nocion del modo siguiente:Dado cualquier polinomio univariado g ∈ K[X], de grado n, existen elementos unicos a0, a1, . . . , an ∈K tales que

g = an(X − ζ)n + an−1(X − ζ)n−1 + · · · a1(X − ζ) + a0.

Para ello, consideramos la siguiente transformacion en K[X]:

Tζ : K[X] −→ K[X]g 7−→ Tζ(g) := g(X + ζ).

7Camille Jordan introduce su forma canonica en su texto de 667 paginas “Traite des substitutions et desequations algebriques”. Gauthier-Villars, Paris, 1870. Este tratado es un estudio completo de la teorıa de E.Galois, resolucion de ecuaciones polinomiales univariadas, teorıa de grupos y, en particular, contiene la forma

canonica de Jordan (que lo hizo solo para un cuerpo finito, llamados “cuerpos de Galois”). El texto, usado en

la Ecole Polytechnique, recibio en Premio Poncelet de la Academia de Ciencias de Parıs.


Es claro que Tζ es un isomorfismo de anillos cuyo inverso es T−ζ . Mas aun, deg(Tζ(g)) = deg(g),para cualquier g ∈ K[X]. Ahora bien, si g es un polinomio de grado n, entonces h(X) = Tζ(g) =g(X + ζ) es un polinomio de grado n en K[X]. Por tanto, existen a0, . . . , an ∈ K tales que

h = anXn + · · · a1X + a0.

Por tanto,

g = T−ζ(h) = T−ζ(Tζ(g)) = an(X − ζ)n + · · ·+ a1(X − ζ) + a0,

y tenemos probada la afirmacion. La u8nicidad se sigue de la unicidad de los coeficientes deh = Tζ(g).En particular, para la afirmacion i), los restos en K[X]/(f) se escriben de manera unica como

combinacion lineal de los elementos de la base β(n)ζ y tenemos que es sistema generador. Dado

que β(n)ζ es de cardinal n, y n es la dimension de K[X]/(f), tenemos que es base.

Para la afirmacion ii), observemos la siguiente cadena:

ηX (1 + (f)) = ((X − ζ) + (f)) + ζ (1 + (f)) = v2 + ζv1

ηX ((X − ζ) + (f)) =((X − ζ)2 + (f)

)+ ζ ((X − ζ) + (f)) = v3 + ζv2

ηX((X − ζ)2 + (f)

)=

((X − ζ)3 + (f)

)+ ζ

((X − ζ)2 + (f)

)= v4 + ζv3

......

ηX((X − ζ)n−1 + (f)

)= ((X − ζ)n + (f)) + ζ

((X − ζ)n−1 + (f)

)= 0 + ζvn−1,

donde hemos escrito β(n)ζ := v1, v2, . . . , vn y vi := (X − ζ)i−1 + (f), para 1 ≤ i ≤ n. Esta

cadena de igualdades justifica que la matriz de ζX en la base β(n)ζ sea justamente la “caja” de

Jordan J(ζ, n).

Estamos ya en condiciones de justificar una primera interpretacion del Teorema Chino de losRestos en el caso de polinomios monicos que se descomponen completamente sobre un cuerpoK.

Proposicion 3.4.5. Sea f ∈ K[X] un polinomio monico de grado n y supongamos que existenζ1, . . . , ζr ∈ K, con ζi 6= ζj, y exponentes mi ∈ N, con mi ≥ 1, 1 ≤ i ≤ r, tales que:

f(X) :=

r∏i=1

(X − ζi)mi .

Consideremos:

• Sea Φ : K[X]/(f) −→∏ri=1 (K[X]/(X − ζi)mi) el isomorfismo de anillos del Teo-

rema Chino de los Restos. Entonces, Φ es tambien un isomorfismo de K−espaciosvectoriales.

• En K[X]/(f) la base monomial β := 1 + (f), X + (f), X2 + (f), . . . , Xn−1 + (f).• En el espacio vectorial producto

∏ri=1 (K[X]/(X − ζi)mi), la base Γ inducida por las

bases β(mi)ζi

en cada uno de los espacios vectoriales K[X]/(X − ζi)mi .• Y sea MΦ la matriz del isomorfismo Φ en las bases β y Γ.

Entonces, se tiene:

C(f) := M−1Φ

J(ζ1,m1) 0 · · · 0

0 J(ζ2,m2) · · · 0...

. . .. . .

...0 0 · · · J(ζr,mr)

MΦ.

En paricular, C(f) posee forma canonica de Jordan, esta es unica (salvo permutacion de losbloques) y la matriz de cambio de base es la matriz del Teorema Chino de los Restos.

Demostracion. Observese que si ζi 6= ζj , entonces, (X−ζi)k y (X−ζj)s son co–maximales

para k, s ≥ 1. Por tanto, el hecho de ser Φ un isomorfismo se sigue del Teorema Chino de los


Restos. De otro lado, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

ΦK[X]/(f) −→

∏ri=1 (K[X]/(X − ζi)mi)

ηX ↓ ↓∏ri=1 η

(i)X

K[X]/(f) −→∏ri=1 (K[X]/(X − ζi)mi)

Φ

Este diagrama es conmutativo, donde∏ri=1 η

(i)X es el endomorfismo dado mediante el producto

de los endomorfimos

η(i)X : K[X]/(X − ζi)mi −→ K[X]/(X − ζi)mi .

La conmutatividad del diagrama nos dice que

ηX = Φ−1

(r∏i=1

η(i)X

) Φ.

Por lo visto anteriormente, MX = C(f) es la matrix de la homotecia ηX en la base β.

De otro lado, M(η(i)X ) = J(ζi,mi) es la matriz de η

(i)X cuando se considera la base β

(mi)ζi

en

K[X]/(X − ζi)mi .En particular, la matriz M(

∏ri=1 η

(i)X ) en la base producto es la suma diagonal de las matrices

M(η(i)X ), es decir,

M(

r∏i=1

η(i)X ) =

J(ζ1,m1) 0 · · · 0

0 J(ζ2,m2) · · · 0...

. . .. . .

...0 0 · · · J(ζr,mr)

.

Traduciendo la conmutatividad del diagrama a matrices, esto significa

M(ηX) = M(Φ)−1 M

(r∏i=1

η(i)X

)M(Φ),

es decir

C(f) = M−1Φ

J(ζ1,m1) 0 · · · 0

0 J(ζ2,m2) · · · 0...

. . .. . .

...0 0 · · · J(ζr,mr)

MΦ,

que es la propiedad buscada.

Observacion 3.4.6 (La forma canonica de Jordan). Retomando los cursos basicos de

Algebra Lineal, la anterior Proposicion nos dice que si el polinomio mınimo de un endomorfismoA se escinde completamente en un cuerpo, entonces, existe una unica forma canonica de Jordan.La unicidad viene dada por los divisores de la forma (X − ζ)m de los factores invariantes y lasmatrices de paso de la forma de Frobenius (suma diagonal de matrices companeras) a la formacanonica de Jordan son las matrices del Teorema Chino de los Restos en bases adecuadas.

3.4.2. Teorıa del Endomorfismo y el Maximo Comun Divisor en K[X] (Op-cional). Como aplicacion final del Teorema Chino de los Restos (al menos en esta parte delcurso), veremos como predecir el grado del maximo comun divisor de dos polinomios usandoTeorıa del Endomorfismo y sin acudir a la matriz de Sylvester de la Eliminacion UnivariadaClasica. Comencemos con algunos resultados clasicos de Algebra Lineal.

Lema 3.4.7. Sea K un cuerpo, y sea K su clausura algebraica. Sea g ∈ K[X] un polinomiounivariado. Tendremos las iguientes propiedades :

i) Sea J(0,m) una caja de Jordan con valor propio 0 de tamano m×m. Entonces,


• Para todo k, 1 ≤ k ≤ m, se tiene :

J(0,m)k =

(0 0

Idm−k 0

),

donde Idm−k es la matriz identidad (m − k) × (m − k) y los 0’s representanmatrices rectangulares de tamano apropiado.

• Para todo k ≥ m, se tiene :

J(0,m)k = 0.

ii) Si J(ζ,m) es una caja de Jordan de orden m y valor propio ζ ∈ K y denotamos porordζ(g) como el maximo numero natural k ∈ N tal que (X−ζ)k | g en K[X], entonces,tenemos

rankg(J(ζ,m)) = max0,m− ordζ(g).

Demostracion. Las propiedades descritas en i) son las propiedades habituales de lasmatrices nilpotentes, esto es, de las matrices tales que existe una potencia que se anula. Masaun, son propiedades de las cajas de Jordan de valor propio 0. Para la propiedad ii), observesque ha de existir h ∈ K[X] un polinomio tal que g = h(X)(X − ζ)k, donde:

• h(ζ) 6= 0,• k = ordζ(g).

Ahora, observamos que

g(J(ζ,m)) = h(J(ζ,m))(J(ζ,m)− ζIdm)k,

Observese que

h(J(ζ,m)) =

h(ζ) 0 0 · · · 0∗ h(ζ) 0 · · · 0∗ ∗ h(ζ) · · · 0...

......

. . ....

∗ ∗ ∗ · · · h(ζ)

,

donde ∗ denota un elemento de K cuyo valor no nos ocupa. En otras palabras, h(J(ζ,m))es una matriz triangular inferior con el valor h(ζ) en la diagonal principal, Como h(η) 6= 0,entonces, es una matriz regular y, por tanto, el rango de g(J(ζ,m)) es igual al rango de mamatriz (J(ζ,m)− ζIdm)k. Ahora observemos que

(J(ζ,m)− ζIdm)k = (J(0,m))k.

Luego el rango de g(J(ζ,m)) es igual a m− k si m ≥ k y 0 en caso contrario. esto es lo que seindica en el enunciado del Lema.

Proposicion 3.4.8 (Barnett, Grado del maximo comun divisor de dos polinomios).Dados dos polinomiso f, g ∈ K[X] supongamos que f es monico. Entonces, el grado d delmaximo comun divisor h de f y g satisface:

deg(f) = rank(g(C(f)) + deg(h),

donde C(f) es la matriz companera de f .

Demostracion. En primer lugar, podemos suponer que existen ζ1, . . . , ζr ∈ K, con ζi 6=ζj , cuando i 6= j, y existen m1, . . . ,mr ∈ N, con mi ≥ 1, 1 ≤ i ≤ r, tales que

f(X) :=

r∏i=1

(X − ζi)mi .

En particular tenemos∑ri=1mi = deg(f) = m. Gracias al Teorema Chino de los Restos

podemos suponer que existe una matriz regular P con coordenadas en K tal que

C(f) = P−1

J(ζ1,m1) 0 · · · 0

0 J(ζ2,m2) · · · 0...

. . . · · ·...

0 0 · · · J(ζr,mr)

P.


Entonces,

g(C(f)) = P−1

g(J(ζ1,m1)) 0 · · · 0

0 g(J(ζ2,m2)) · · · 0...

. . . · · ·...

0 0 · · · g(J(ζr,mr))

P.

Como P es una matriz regular, el rango de la matriz g(C(f)) viene dado por:

rank(g(C(f)) = rank

g(J(ζ1,m1)) 0 · · · 0

0 g(J(ζ2,m2)) · · · 0...

. . . · · ·...

0 0 · · · g(J(ζr,mr))

=

r∑i=1

rank(g(J(ζi,mi))).

Ahora, usando el Lema anterior, tendremos:

rank(g(C(f))) =

r∑i=1

max0,mi − ordζi(g).

Escribamos νi := ordζi(g) por simplicidad notacional. Para concluir, probemos que la sumadescrita a la derecha es igual a deg(f)− deg(h) donde h es el gcd(f, g).Supongamos, entonces, que

g = p(X)

r∏i=1

(X − ζi)νi ,

donde p(ζi) 6= 0 para todo i y νi = ordζi(g). El maximo comun divisor de g y f vendra dadopor la igualdad

h(X) :=

r∏i=1

(X − ζi)minmi,νi.

Luego

deg(h) =

r∑i=1

minmi, νi.

Pero, notese que

mi −minmi, νi = max0,mi − νi.Por tanto,

deg(h) =

r∑i=1

minmi, νi =

r∑i=1

mi −r∑i=1

max0,mi − νi = deg(f)− rank(g(C(f))),

como se pretende en el enunciado.

Observacion 3.4.9. En el caso de la que la caracterıstica de los cuerpos K y K es cero, podemosdescribir con detalle la matriz g(J(ζ,m)) mediante las derivadas sucesivas

g(J(ζ,m)) =

g(ζ) 0 0 · · · 0g′(ζ) g(ζ) 0 · · · 0

12g′′(ζ) g′(ζ) g(ζ) · · · 0...

......

. . ....

1(m−1)!g

(m−1)(ζ) 1(m−2)!g

(m−2)(ζ) 1(m−3)!g

(m−3)(ζ) · · · g(ζ)

,

donde g′(α), g′′(α), . . . , g(m−1)(α) son las sucesivas derivadas.

Corollario 3.4.10. Con las anteriores notaciones, el grado del maximo comun dividor de fy g con f monico satisface:

deg (gcd(f, g)) = dim ker (Mg) .

Demostracion. Obvio desde lo anterior, dado que

dim (ker(Mg) = deg(f)− rank (Mg) .


Algoritmo 3.4.11 (Calculo del gcd en dimension intrınseca).Input: Dos polinomios f, g ∈ K[X], siendo g monico.Output: El polinomio h = gcd(f, g) ∈ K[X].

initialize: M := C(g) % la matriz companera de g.

eval: N := f(M) % la matriz de ηf sobre Ag.

compute: β una base de KN := ker(N)

compute: la matriz B de ηX |KN : KN −→ KN en la base β. % posible por serηX−invariante.

output: h(X) := χB(X) := det(XId−B) % el polinomio caracterıstico de B.

end

Corollario 3.4.12. El anterior algoritmo calcula el maximo comun divisor de f y g y delnumero de operaciones aritmeticas a realizar es del orden O (deg(f) (deg(g))

ω), donde ω es el

exponente del algebra lineal. Notese que el algebra lineal implicada es del orden de deg(g) paraoperaciones Gaussianas y deg(gcd(f, g)) para el calculo de un polinomio caracterıstico.

Demostracion. Basta con seguir la descomposicion del nucelo y probar la invarianza delnucleo de ηg con respecto a cualquier homotecia ηh. EN particular, ocurre con ηX y se habraterminado. Mera Comprobacion.


Problema 158 (Funciones polinomiales y cuerpos finitos). Sea K un cuerpo y consider-emos el anillo K[K] de las aplicaciones polinomiales K−definibles sobre K. Sea I(K) ⊆ K[X]el ideal formado por todos los polinomios p ∈ K[X] que se anulan identicamente sobre K. Paracada punto ζ ∈ K sea mζ el ideal de todos los polinomios que se anulan sobre ζ. Se pide:

i) Probar que K es un cuerpo finito si y soamente si I(K) 6= (0).ii) Probar que K es algebraicamente cerrado si y solo si se verifica:

K[X] \

⋃ζ∈K

mζ

= ∅

iii) Probar que si K tiene, al menos, n elementos distintos α1, . . . , αn ∈ K, para todom ∈ N, m ≥ n − 1 el ideal interseccion n := ∩ni=1mαi verifica que n ∩K[X]m es unespacio vectorial de dimension m− n+ 1.

iv) Concluir si K tiene, al menos, n elementos distintos α1, . . . , αn ∈ K, entonceslas soluciones de un problema de interpolacion con datos (b1, . . . , bn), punto α =(α1, . . . , αn) ∈ Kn, y grado m ≥ n − 1 es una variedad afın lineal de dimensionm− n+ 1.

Problema 159 (Interpolacion de Lagrange). Sea K un cuerpo que tiene, al menos, nelementos distintos α1, . . . , αn ∈ K. Sea (b1, . . . , bn) ∈ Kn un punto en el espacio afınn−dimensional y sea m ≥ n − 1. Consideremos el Problema de Interpolacion definido porestos tres elementos sobre K.

V dMn×m(α1, . . . , αn)

A0

A1

...Am

=

b1b2...bn

.

Se pide:


i) Interpolacion de Lagrange: Probar que el siguiente polinomio es la unica solucionde grado menor o igual que n− 1 en K[X]m del problema de interpolacion anterior:

fLg :=

n∑i=1

bi

∏j 6=i(X − αj)∏j 6=i(αi − αj)

.

ii) Probar que si f, g ∈ K[X] son dos soluciones del Problema de Interpolacion, entonces,f − g es una solucion del Problema de Interpolacion homogeneo:

V dMn×m(α1, . . . , αn)

A0

A1

...Am

=

00...0

.

Probar que el connunto de soluciones de este Problema de Interpolacion homogeneo esla interseccion n ∩K[X]m, donde n es el ideal dado mediante: n := ∩ni=1mαi .

iii) Con las notaciones anteriores, probar que el conjunto de todas las soluciones del Prob-lema de Interpolacion inicial es dado mediante:

fLg + (n ∩K[X]m) = fLg + h : h ∈ n ∩K[X]m.

Problema 160 (Ecuaciones Diferenciales Homogeneas con coeficientes constantes).Definamos el siguiente conjunto:

Cω(R,C) := f : R −→ C : f es analıtica.

Probar que Cω(R,C) es un anillo conmutativo con unidad. Denotemos este anillo por R :=Cω(R,C) y sean Mn(C) y Mn(R) respectivamente, las matrices n× n con coordenadas en C yR. Para una matriz A ∈ Mn(C), consideraremos sistemas de ecuaciones diferenciales linealeshomogeneos coeficientes constantes con condicion inicial de la forma siguiente:

(3.4.2)

A ·X(t) = X(t),X(0) = v,

donde

X(t) :=

x1(t)...

xn(t)

, X(t) :=

x′1(t)...

x′n(t)

, v =

v1

...vn

∈ Cn.

Dada una caja de Jordan J(λ,m) ∈Mm(C), definamos la matriz

eJ(λ,m)t := eλt

1 0 0 · · · 0t 1 0 · · · 0t2

2! t 1 · · · 0...

.... . .

. . ....

tm−1

(m−1)!tm−2

(m−2)!tmi−3

(m−3)! · · · 1

.

Se pide:

i) Probar que eJ(λ,m)t ∈Mm(Cω(R,C)).ii) Probar que una solucion en Cω(R,C)n de la ecuacion diferencial dada por la Ecuacion

(3.4.2), tomando A = J(λ,m) es la dada mediante: x1(t)...

xn(t)

= eJ(λ,m)t

v1

...vn

.

iii) Sean A,B ∈Mn(C) dos matrices complejas semejantes. Sea P ∈ GL(n,C) tal que

PAP−1 = B.


Probar que las soluciones de la Ecuacion Diferencial (3.4.2) estan en biyeccion conlas soluciones de la siguiente Ecuacion Diferencial:

(3.4.3)

B · Y (t) = Y (t),X(0) = w,

donde w = P−1v ∈ Cn. ( Pista: Probar que la relacion Y 7−→ X = P−1Y define labiyeccion entre las soluciones).

iv) Dada la matriz A ∈Mn(C) suma diagonal de cajas de Jordan siguiente:

A :=

J(λ1,m1) 0 · · · 0

0 J(λ2,m2) · · · 0...

. . ....

0 0 · · · J(λr,mr)

.

Probar que una solucion de la Ecuacion Diferencial (3.4.2) para esta matriz A vienedada mediante:

X(t) =

x1(t)...

xn(t)

= eAtv :=

eJ(λ1,m1)t · · · 0

.... . .

...0 · · · eJ(λr,mr)t

v1

...vn

.

v) Dar una expresion general de la solucion de la Ecuacion Diferencial (3.4.2) usando laforma canonica de Jordan de la matriz A y la matriz de paso P ∈ GL(, n,C).

Problema 161. Al princpio del Capıtulo aparece una frase que I. Newton escribion en respuestaa su competidor R. Hooke. Sin embargo, la frase “like dwarfs standing on the shoulders ofgiants” no es originaria de Newton. Busca su origen y explica su significado. ¿Pensaba Newtonque el era bajito de estautura?, ¿Crees que la sociedad actual conoce el sentido y significado deesa frase?.

Problema 162. Se proponen varias tareas:

• Localiza el siguiente texto de A. Grothendieck “Allons-nous continuer la recherchescientifique ? ”.

• Traducelo, haya su fuente, dale un contexto. Especialmente, averigua quien fue A.Grothendieck e interpreta lo que quiere decir con el discurso completo.

• Traduce la expresion “C’est un con”, en el contexto del que habla Grotendieck. Explicapor que el la considera detestable y expresa algun argmento por el que esa expresion ytodas sus traduciones a cada uno de los idiomas actuales o futuros, deberıan prohibirse,explusarse del mundo Matematico y, en general, del mundo cientıfico.

• Explica si existe un abuso de semejantes descalificaciones en Twiter sobre cualquieraspecto de la vida o en el contexto educativo sobre los alumnos. ¿Crees que deberıamantenerse o exluirse?, ¿Es un debate nuevo o viejo?.

• Busca en la Biblioteca de la UC algun otro texto de A. Grothendieck distinto de sutesis y sus primeros trabajos (o sea, busca algun EGA o SGA, que alguna hay). Tratade leerlo y resume su contenido, desde tu punto de vista.

• Responde, desde tu perspectiva: ¿Son las Matematicas un hecho individual o social?.

“...Pour illustrer ce point, j’aimerais donner ici un exemple tres concret. Je suis alle, il y adeux semaines, faire un tour en Bretagne. J’ai eu l’occasion, entre autres, de passer a Nanteso j’ai vu des amis, o j’ai parle dans une Maison de Jeunes et de la Culture (MJC) sur legenre de problemes que nous abordons aujourd’hui. J’y etais le lundi. Comme les colleguesde l’Universite de Nantes etaient avertis de ma venue, ils avaient demande in extremis que jevienne, le lendemain apres-midi, pour faire une causerie sur des sujets mathematiques avec eux.Or il s’est trouve que, le jour meme de ma venue, un des mathematiciens de Nantes, M. Moli-naro, s’est suicide. Donc, a cause de cet incident malheureux, la causerie mathematique quietait prevue a ete annulee. Au lieu de ceci, j’ai alors contacte un certain nombre de colleguespour demander s’il etait possible que l’on se reunisse pour parler un peu de la vie mathematiquea l’interieur du departement de mathematiques a l’Universite et pour parler egalement un peude ce suicide. Il y a eu une seance extremement revelatrice du malaise general, cette apres-midi


la a Nantes, o manifestement tout le monde present avec une exception je dirais sentait bienclairement que ce suicide etait lie de tres tres pres au genre de choses que, precisement, ondiscutait la veille au soir a la MJC.En fait, je donnerai peut-etre un ou deux details. Il s’est trouve que Molinaro avait deuxthesards auxquels il faisait faire des theses de troisieme cycle je crois que ce n’etait pas destheses d’etat. Or, ces theses furent considerees comme n’etant pas de valeur scientifique suff-isante. Elles furent jugees tres severement par Dieudonne qui est un bon collegue a moi et aveclequel j’ai ecrit un gros traite de geometrie algebrique. Je le connais donc tres bien, c’est unhomme qui a un jugement scientifique tres sr, qui est tres exigeant sur la qualite d’un travailscientifique. Ainsi, alors que ces theses etaient discutees par la Commission pour l’inscriptionsur la liste d’aptitude aux fonctions de l’Enseignement Superieur, il les a saques et l’inscriptiona ete refusee. Ceci, bien entendu, a ete ressenti comme une sorte d’affront personnel par Moli-naro qui avait deja eu des difficultes auparavant et il s’est suicide sur ces circonstances. En fait,j’ai eu un ami mathematicien, qui s’appelait Terenhfel qui s’est egalement suicide. Je connaisun certain nombre de mathematiciens je parle surtout ici de mathematiciens puisque c’est lemilieu que j’ai le mieux connu qui sont devenus fous.Je ne pense pas que cela soit une chose propre aux mathematiques. Je pense que le genre,disons, d’atmosphere qui prevaut dans le monde scientifique, qu’il soit mathematique ou non,une sorte d’atmosphere a l’air extremement rarefie, et la pression qui s’exerce sur les chercheurssont pour beaucoup dans l’evolution de ces cas malheureux.Ceci concernant le plaisir que nous prenons a faire de la recherche scientifique. Je crois qu’ilpeut y avoir plaisir, mais je suis arrive a la conclusion que le plaisir des uns, le plaisirdes gens haut places, le plaisir des brillants, se fait aux depends d’une repressionveritable vis-a-vis du scientifique moyen....Mais, d’autre part, quand je parle d’une vie qui est digne d’etre vecue, il ne s’agit pas seulementde ma vie a moi, il s’agit de la vie de tous. Et je me rends compte que l’epanouissement que j’aipu realiser dans une direction tres limitee se faisait au depends des possibilites d’epanouissementd’autres personnes. Si certaines personnes se sont trouvees sous une pression psy-chologique si forte qu’elles en sont parfois venues au suicide, c’est bien a caused’un consensus dominant qui faisait que la valeur de la personne etait jugee, parexemple, d’apres sa virtuosite technique a demontrer des theoremes, c’est-a-direa effectuer des operations excessivement specialisees alors que, precisement, toutle reste de la personne etait completement laissee dans l’ombre. C’est une chose quej’ai experimente maintes fois. Quand on parle d’une certaine personne et que je demande “Quiest-ce ?”, on me repond “C’est un con”, En voulant dire par la, entre mathematiciens, quec’est un type qui soit demontre des theoremes qui ne sont pas tres interessants, soit demontredes theoremes qui sont faux, ou bien ne demontre pas de theoremes du tout.Donc, la, j’ai defini un peu negativement ce que j’entends par une vie qui soit digne d’etrevecue. Je pense que, pour tout le monde, il y a possibilite d’epanouissement sansque nous soyons juges par les autres, par des criteres aussi etroits, aussi etriques.En fait, je pense que cette echelle de valeurs a un effet directement mutilant surles possibilites d’epanouissement. Enfin, c’est un des aspects, je ne pretends pas repondreici a la question soulevee qui est tres vaste ; mais dans l’optique o nous nous placons ici, enpartant de la pratique scientifique, c’est ce que je vois de plus immediat a repondre....”

CAPıTULO 4

Nociones un poco mas avanzadas: localizacion, radicales,categorıas.

(Don’t Give up!)

in this proud land we grew up strongwe were wanted all alongI was taught to fight, taught to winI never thought I could fail....don’t give upyou’re not beaten yetdon’t give upI know you can make it good....don’t give upyou’re not the only onedon’t give upno reason to be ashamed.....don’t give up’cause I believe there’s a placethere’s a place where we belong

Indice

4.1. Introduccion 1854.2. Local, Localizacion 1864.2.1. Anillos Locales y Semi-locales: Germenes de Funciones 1864.2.2. Localizacion 1874.3. Ideal asociado a una variedad: radical y radical de Jacobson 1884.3.1. Ideal de un Objeto Geometrico 1884.3.2. Radical y Radical de Jacobson 1904.4. Funciones vs Objetos 1924.4.1. El Lenguaje de las Categorıas. 1924.4.2. Categorıas 1924.4.3. Functores y Equivalencias Naturales 1934.4.4. Variacion de un primer tema clasico: El Teorema de Stone–Cech 1954.4.5. Variacion de un segundo tema clasico: El Lema de Urysohn y el Teorema

de Extension de Tietze. 1964.4.6. Variacion de un tercer tema clasico: Extension de funciones en Variedades

Diferenciables 1964.5. Cuestiones y Problemas 197

4.1. Introduccion

En este Capıtulo avanzaremos un poco mas las nociones esenciales del curso. Nos adentraremosen anillos locales, localizacion, radical y radical de Jacobson. Morivaremos a traves de ejemp-los de anillos locales provenientes de la Geometrıa. Adicionalmente, intruciremos unas pocasexpresiones al uso del Lenguaje de las Categorıas, fuertemente desconocido por los alumnos.

185

186 4. UN POCO MAS AVANZADAS

4.2. Local, Localizacion

4.2.1. Anillos Locales y Semi-locales: Germenes de Funciones.

Definicion 57 (Anillo local). Un anillo R se denomina local si posee un unico ideal maximal.Se suele decir (R,m) es un anillo local para distinguir el unico elemento de Spm(R). Al cuerpocorrespondiente κ(m) := R/m se le denomia cuerpo residual del anillo local.

Se denomina anillo semi–local a todo anillo con un numero finito de ideales maximales (i.e.](Spm(R)) <∞).

Ejemplo 4.2.1. Como primer ejemplo de anillos locales tenemos los cuerpos. Ejemplos deanillos semilocales sonlos siguientes:Sea k = K un cuerpo algebraicamente cerrado. Sea f ∈ k[X] un polinomio no constante y seaR el anillo cociente R := k[X]/(f). Entonces R es un anillo semilocal: sus ideales maximalesson los ideales maximales de k[X] que contienen al polinomio f . De hecho, usando el TeoremaChino de los Restos anterior, si f factoriza mediante:

f :=

r∏l=1

(X − ζi)mi ,

los ideales maximales del anillo cociente R son los ideales de la forma (X − ζi)/(f) y el anillocociente es local si y solamente si f = (X − ζi)mi .

El termino local viene, sin embargo, de la Geometrıa y del estudio “local” de funciones y objetosgeometricos. Usaremos la nocion de germen para explicar esa nocion local.

Ejemplo 4.2.2 (Germen de Conjunto en un punto). Dado un espacio topologico X y un puntop ∈ X, se define la siguiente relacion de equivalencia entre los subconjuntos que contienen a p:

A ∼p B ⇔ ∃U entorno de p tal que A ∩ U = B ∩ U.A las clases del conjunto cociente se les llama gemenes de subconjuntos de X en el punto p.Denotaremos por Ap al germen del conjunto A ⊆ X en el punto p. El estudio local de un objetogeometrico A ⊆ X alrededor de un punto p consiste en el estudio del germen Ap.

Ejemplo 4.2.3 (Germen de Funcion en un punto). Dado un espacio topologico X y un puntop ∈ X, se define la siguiente relacion de equivalencia entre las funciones continuas definidas enalgun entorno de a p:

f ∼p g ⇔ ∃U entorno de p tal que las restricciones f |U= g |U .

A las clases del conjunto cociente se les llama gemenes de funciones en el punto p. Denotaremospor fp al germen de una funcion f : U −→ K (K = R∨C) definida en algun entorno del puntop. El estudio local de una f alrededor de un punto p consiste en el estudio del germen fp.

Ejemplo 4.2.4. Los siguientes son ejemplos de anillos locales:

• C0p(X) := fp : f es continua en algun entorno de p es local y su unico ideal maxi-

mal esmp := I(p) := fp ∈ C0

p(X) : f(p) = 0.• C∞p (X) :: fp : f es infinitamente diferenciable en algun entorno de p y su unico

ideal maximal es

mp := I(p) := fp ∈ C∞p (X) : f(p) = 0.• Cωp : fp : f es analıtica en algun entorno de p y su unico ideal maximal es

mp := I(p) := fp ∈ Cωp : f(p) = 0.• Hp : fp : f es holomorfa en algun entorno de p y su unico ideal maximal es

mp := I(p) := fp ∈ Hp : f(p) = 0.

4.2. LOCAL, LOCALIZACION 187

Observacion 4.2.5. Como comentario general, el estudio local de funciones y objetos geometricos,coincide con el estudio de anillos locales (de funciones, por ejemplo).

Proposicion 4.2.6. i) Sea R un anillo y m 6= (1) un ideal de R tal que

∀x ∈ R \m =⇒ x ∈ R∗,entonces R es anillo local de maximal m.

ii) Sea R un anillo y m un ideal maximal tal que cada elemento de 1 + m es unidad deR. Entonces, R es anillo local de maximal m.

Demostracion.– La primera de las afirmaciones es evidente. En cuanto a la segunda, supong-amos sea x 6∈ m. Entonces, el ideal suma m + (x) ⊇ m. Como m es maximao y x 6∈ m, enanterior contenido es estricto y, por tanto, m + (x) = R. En particular, uno puede escribir1 = λx + y con λ ∈ R e y ∈ m. Entonces, λx = 1 − y ∈ 1 + m, luego λx ∈ R∗ y, por ende,x ∈ R∗.

4.2.2. Localizacion. Sean R un anillo y M un R−modulo. Un subconjunto S ⊆ R sedice sistema multiplicativo si verifica:

• 1 ∈ S, 0 6∈ S, y• ∀x, y ∈ S, xy ∈ S.

Ejemplo 4.2.7. i) Un anillo R es un dominio de integridad si y solamente si R \ (0)es un sistema multiplicativo de R.

ii) Un ideal p ⊆/ R es primo si y solamente si R \ p es un sistema multiplicativo.iii) Un elemento f de un anillo R se denomina nilpotente si existe n ∈ N tal que fn = 0.

Dado un elemento no nilpotente f ∈ R de un anillo, el siguiente conjunto tambien esun sistema mutiplicativo: Sf := 1, f, f2, f3, . . . , fn, . . . = fn : n ∈ N. Noteseque f es nilpotente si y solamente si 0 ∈ Sf

Dado un sistema multiplicativo S en R, podemos definir una relacion de equivalencia sobre elconjunto R× S del modo siguiente:

(x, s) ∼ (x′, s′) ≡ ∃r ∈ S, s(s′x− sx′) = 0.

A las clases de equivalencia definidas por el elemento (x, s) se las denota mediante x/s y alconjunto cociente se le denota S−1R.

Proposicion 4.2.8 (Localizacion de anillos). Con las notaciones anteriores, el conjuntoS−1R posee una estructura natural de anillo con las operaciones siguientes:

+ : S1R× S−1R −→ S−1R, · : S1R× S−1R −→ S−1R(x/s, x′/s′) 7−→ (s′x+ sx′)/ss′, (x/s, x′/s′) 7−→ xx′/ss′.

Al anillo S−1R se le denomina localizacion de R en S y se tiene un morfismo natural de anillosdado mediante i : R −→ S−1R, i(x) = x/1 ∈ S−1R.

Demostracion.– Es un mero ejercicio de comprobacion.

Ejemplo 4.2.9. • Si R es un dominio de integridad y S := R \ 0, entonces S−1R esun cuerpo que se denomina cuerpo de fracciones de R y se suele denotar por qf(R).

• Ademas del elemental ejemplo del paso de Z a Q (cuerpo de fracciones de R) podemosanadir el caso del dominio de integridad H(X) de las funciones holomorfas complejasdefinidas en un abierto X ⊆ Cn. A su cuerpo de fracciones se le denota M(X) y sele denomina cuerpo de funciones meromorfas definidas en X.

• Si p ∈ Spec(R) es un ideal primo y S := R \ p, a la localizacion se la denota medianteRp y se denomina localizacion de R en el primo p. Observese, por ejemplo, que en elcaso R = Z y p = pZ = (p) se puede usar cualquiera de las dos notaciones sigientesZpZ o Z(p), pero no se debe usar la notacion Zp, que es otro tipo de localizacion.

• Si f ∈ R es un elemento que no es nilpotente en R, podemos considerar la localizacionde R por el sistema multiplicativo Sf = fn : n ∈ N. Al anillo S−1

f R se le denotarapor Rf . Por ejemplo, en el caso R = Z, Zp es la localizacion con denominadores enel conjunto pn : n ∈ N.


Observacion 4.2.10. Si R es un dominio de integridad y S es un sistema multiplicativo de R,podemos siempre considerar los elementos de S−1R como elementos del cuerpo de fraccionesqf(R). En este caso, tendremos una cadena de inclusiones, cada uno de los cuales es subanillodel siguiente:

R ⊆ S−1R ⊆ qf(R).

Por ejemplo, los elementos de Zp son los numeros racionales cuyo denominador es una potenciadel primo p. Sin embargo, si R no es dominio de integridad alguno de esos contenidos puedecarecer de sentido. A modo de ejemplo, tomemos el anillo Z/6Z y consideremos los dos primosque componen su espectro (2), (3), con i := i+ 6Z. En la localizacion (Z/6Z)(2) solo hay dos

elementos. Compruebese.

Podemos dar una caracterizacion en forma de propiedad universal de la localizacion de anillos:

Proposicion 4.2.11 (Caracterizacion mediante propiedad Universal). Sea f : R −→ R′ unmorfismo de anillos y S ⊆ R un sistema multiplicativamente cerrado de R. Entonces, si f(s) ∈(R′)∗ es una unidad, para cada s ∈ S, existe un unico morfismo de anillos S−1f : S−1R −→ R′

tal que f = S−1f g.Ademas, la anterior propiedad universal caracteriza S−1R salvo isomorfismo de anillos.

Demostracion.– Omitimos la prueba dado que apenas si usaremos este enunciado.

Dado un sistema multiplicativo S en un anillo R y M un R−modulo, podemos definir unarelacion de equivalencia sobre el conjunto m× S del modo siguiente:

(m, s) ∼ (m′, s′) ≡ ∃r ∈ S, s(s′m− sm′) = 0.

A las clases de equivalencia definidas por el elemento (m, s) se las denota mediante m/s y alconjunto cociente se le denota S−1M .

Proposicion 4.2.12 (Localizacion de Modulos). Con las notaciones anteriores, el conjuntoS−1M posee una estructura natural de S−1R−modulo con las operaciones siguientes:

+ : S1M × S−1M −→ S−1M, ·S−1R : S1R× S−1M −→ S−1m(m/s,m′/s′) 7−→ (s′m+ sm′)/ss′, (x/s,m/s′) 7−→ xm/ss′.

Al S−1R−modulo S−1M se le denomina localizacion de M en S.

Demostracion.– Es un mero ejercicio de comprobacion.

Observacion 4.2.13. Del mismo modo denotaremos por Mp a todo S−1M , donde M es unR−modulo y S = R \ p es sistema multiplicativo, donde p ∈ Spec(R).

Ejemplo 4.2.14. Sea F := Zn un Z−modulo libre de rango finito, Podemos mostrar las difer-entes localizaciones:

• Tomando S := Z \ 0, la localizacion S−1F = Qn es el Q−espacio vectorial dedimension n. De hehco, todos los A−espacios vectoriales de dimension finita sonlocalizaciones de la forma S−1F , donde F es un modulo libre sobre Z.

• Tomando Sp := Z \ p, las localizaciones S−1p F = (Zp)

n. Y se trata de un modulo libre

sobre un anillo local.• Tomando Sf := fn : n ∈ N, las localizaciones S−1

f F = (Zf )n

. Y se trata de unmodulo libre sobre un anillo Zf .

4.3. Ideal asociado a una variedad: radical y radical de Jacobson

4.3.1. Ideal de un Objeto Geometrico.

Definicion 58 (Ideal asociado a un subconjunto). Con las notaciones anteriores, sean Xun espacio topologico R uno de los anillos de funciones introducidas en el Capıtulo anteriior.Considerermos F ⊆ X, definimos IR(F ) como el ideal en R dado por:

IR(F ) := f ∈ R : f(x) = 0, ∀x ∈ F.

4.3. IDEAL ASOCIADO A UNA VARIEDAD: RADICAL Y RADICAL DE JACOBSON 189

Observacion 4.3.1. Es obvio que es un ideal. Obviamente en cada caso hemos de especificarel anillo sobre el que trabajamos. Los ideales respectivos son distintos, obviamente, aun cuandoestemos en el caso de subanillos como, por ejemplo, en el caso de la siguiente cadena de sub–anillos:

R[X1, . . . , Xn] ⊆ Cω(X) ⊆ C∞(X) ⊆ C0(X),

tendremos ası la cadena de los “respectivos” ideales;

IR[X1,...,Xn](F ) ⊆ ICω(X)(F ) ⊆ IC∞(X)(F ) ⊆ IC0(X)(F ),

que no coincidiran.Usualmente se omiten los sub–ındices (escribiremos I(F )) y se sobre–entiende el anillo por elcontexto.

Proposicion 4.3.2. Con las anteriores notaciones, sean X el conjunto, R el anillo de fun-ciones. Se verifican las propiedades siguientes:

i) Si F ⊆ G son dos subconjuntos de X, I(G) ⊆ I(F ).ii) I(X) = 0, I(∅) = R.iii) I(

⋃i∈I Fi) =

⋂i∈I I(Fi).

iv) Ademas, la clausura en la topologıa de Zariski de cualquier subconjunto viene dadamediante:

FZ

= V (I(F )).

Demostracion.– La dos primeras afirmaciones son evidentes. Para la tercera, es claro que sif ∈ I(

⋃i∈I Fi), se anula en todos los puntos de esa union. Aplicando (1) obtendremos que

f ∈ I(Fi), para todo i ∈ I. De otro lado, si f ∈⋂i∈I I(Fi), entonces, f se anula en todos los

Fi’s y, por tanto, se anula en la union⋃i∈I Fi.

La propiedad (4), aun siendo sencilla, tiene algun interes en su prueba. Recordemos la topologıade Zariski, descrita en la Observacion 2.4.4 del Capıtulo anterior. En particular, V (I(F )) escerrado en esa topologıa y, claramente, F ⊆ V (I(F )). Por tanto, tenemos un primer contenido

FZ ⊆ V (I(F )). De otro lado, por la propia definicion de la topologıa de Zariski, como F

Zes

cerrado, debe existir un ideal a en R tal que:

(4.3.1) F ⊆ FZ = V (a) ⊆ V (I(F )).

Como F ⊆ V (a), para cada f ∈ a, f |F≡ 0. Pero, entonces, para cada f ∈ a, tenemos que f ∈I(F ) y habremos probado que a ⊆ I(F ). Finalmente, usando la primera de las afirmaciones de

la Proposicion 2.4.3 anterior, concluiremos V (I(F )) ⊆ V (a), por cuanto FZ

= V (a) = V (I(F ))y habremos terminado.

Corollario 4.3.3. Con las notaciones anteriores, para cualquier cerrado Zariski F ⊆ X, setiene

F = V (I(F )).

Observacion 4.3.4 (Nullstellensatze: ¿Diccionario Algebra–Geometrıa?). Los resulta-dos anteriores nos permiten reescribir una relacion entre los objetos geometricos y algunos delos ideales del anillo de funciones considerado. Definimos

Z := F ⊆ X : F es cerrado Zariski en X.

I := a ⊆ R : a es un ideal de R.Y las transformaciones

V : I −→ Z, I : Z −→ Ia 7−→ V (a), F 7−→ IR(F ).

Se verifica que para todo F ∈ Z se tiene:

V (IR(F )) = F,

con lo que V IR = Id |Z es la identidad y se concluye que IR es inyectiva y que V essuprayectiva.


A la caracterizacion de los ideales que estan en la imagen de IR se los conoce como Teoremasde los Ceros o Nullstellensatze. Ası, D. Hilbert y L. Kronecker caracterizaron los ideales dela imagen de IR en el caso R = K[X1, . . . , Xn], cuando K es un cuerpo algebraicamente cerrado.Se conoce como Nullstellensatz de Hilbert. Caracterizaciones para el caso real o el caso analıticose salen de las potencialidades de un curso como este, aunque se pueden referenciar.

4.3.2. Radical y Radical de Jacobson. Recordemos que un elemento x de un anillo Rse denomina nilpotente si existe una potencia suya que se hace nula.

Proposicion 4.3.5 (Definicion de Nilradical). El conjunto√

0 de todos los elementos nilpo-

tentes de un anillo R es un ideal de R y el anillo cociente R/√

0 no tiene elementos nilpotentesno nulos. Diremos que un anillo es reducido si no posee elementos nilpotentes no nulos.

Demostracion.– Basta con probar que se portan bien para la suma y para el producto conelementos del anillo. Para ello, sean x, y ∈ R tales que xm = 0 e yn = 0, con n,m ∈ N y z ∈ R.Entonces, Tendremos que

(zy)m = 0,

y

(x+ y)n+m =

n+m∑i=0

cn+m,kxkyn+m−k = 0,

donde cn+m,k es o bien el numero combinatorio(n+mk

)o 0 dependiendo de la estructura de

grupo abeliano de R.

Proposicion 4.3.6. Sea R un anillo, entonces√

0 :=⋂

p∈Spec(R)

p.

Demostracion.– Dado que 0 ∈ p para cada p ∈ Spec(R), entonces todo elemento nilpotente

x ∈√

0 verifica que existe n ∈ N, tal que xn ∈ p, para cada p ∈ Spec(R). Para cada primo p,sea np ∈ N el mas pequeno exponente tal que xnp ∈ p. Entonces, xnp−1x ∈ p y, como p es primo

y xnp−1 6∈ p, concluiremos que x ∈ p. Habremos probado ası el contenido√

0 ⊆⋂

p∈Spec(R) p.

Para el otro contenido, supongamos f ∈⋂

p∈Spec(R) p y supongamos que f no es nilpotente.

Consideremos el sistema multiplicativo Sf y la localizacion Rf . Entonces, Rf posee un elementomaximal m y consideremos q := mc la contraccion a R de m (recordar la Proposicion 2.2.5 delCapıtulo anterior). Es decir, sea

q := x ∈ R : x/1 ∈ m, en Rf.Como q es la contraccion de un ideal primo, entonces es un ideal primo de R. Pero, ademas,f 6∈ q. Porque si f ∈ q, entonces f/1 ∈ m y f/1 ∈ (Rf )∗ es una unidad (un inverso es 1/f ∈ Rf )con lo que m contendrıa una unidad de Rf y no serıa ideal maximal. En consecuencia, tenemosque f 6∈ q y q ∈ Spec(R), con lo que si f no es nilpotente, no puede estar en la interseccion⋂

p∈Spec(R) p. Es decir, hemos probado√

0 ⊇⋂

p∈Spec(R) p y el enunciado.

Definicion 59 (Radical de un ideal). Para un ideal a en un anillo R, denotaremos por√a

(y lo denominaremos radical) al conjunto de los elementos f ∈ R tales que su clase f + a esnilpotente en el anillo cociente R/a.

Proposicion 4.3.7. Se tiene la siguiente igualdad para todo ideal a de un anilo R:√a := x ∈ R : ∃n ∈ N, xn ∈ a.

Demostracion.– Es una mera reescritura de la Definicion anterior, teniendo en cuenta laoperacion definida en el cociente. Recordando la Observacion 1.4.29 del anterior Capıtulo, tenemos una identificacion entre losideales primos de R/a y los ideales primos de R que contienen a a:

p ∈ Spec(R) : p ⊇ a −→ Spec(R/a)

p 7−→ p/a.

Esto conduce a la siguiente caracterizacion (obvia) del radical de un ideal:

4.3. IDEAL ASOCIADO A UNA VARIEDAD: RADICAL Y RADICAL DE JACOBSON 191

Corollario 4.3.8. Para cada ideal a de un anillo R se tiene:√a =

⋂p ∈ Spec(R) : p ⊇ a.

Definicion 60. Los ideales tales que a =√a se denominan ideales radicales del anillo R.

Ejemplo 4.3.9. • En el caso de los anillos R := Z,K[X],K[X], los ideales primos sonlos ideales principales generados por elementos irreducibles (f). En estos mismo casos,consideremos f ∈ R un elemento irreducible y consideremos el ideal (fn) generado por

una potencia de f . Entonces,√

(fn) = (f).• En dominios de ideales principales, si f := pn1

1 · · · pnrr es la descomposicion de f como

producto de irreducibles, se tiene√

(f) = (p1 · · · pr) es el ideal generado por el productode los factores primos de f elevados todos a potencia 1. En particular, un ideal (f)es radical en un dominio de ideales principales si y solamente si es un producto defactores irreducibles de multiplicidad 1.

• En general, en un dominio de factorizacion unica R, los ideales principales son radi-cales si y solamente si sus factores irreducibles tienen todos multiplicidad 1.

• Todos los ideales de la forma IR(F ) descritos anteriormente son ideales radicales.Observese, ademas, que si a es un ideal de R, entonces,

√a ⊆ I(V (a)).

Ejemplo 4.3.10 (Discriminante de un polinomio). Sea k un cuerpo de caracterıstica ceroy f ∈ k[X] un polinomio. Definimos la derivada de f en la forma siguiente:Si f = Xn + an−1X

n−1 + · · · a1X + a0, definimos

f ′(X) := nXn−1 + (n− 1)an−1Xn−2 + · · ·+ 2a2X + a1 ∈ k[X].

Entonces, son equivalentes:

• El ideal (f) es un ideal radical en k[X],• La resultante Res(f, f ′) 6= 0,• El siguiente determinante (llamado discriminante del polinomio f) es no nula:

DiscX(f) := det(f ′(C(f)) 6= 0.

• El endomorfismo C(f) es diagonalizable en alguna clausura algebraica K de k.

Dejaremos como ejercicio la demostracion de las relaciones siguientes:

Proposicion 4.3.11 (Propiedades del Radical). Sea a, b dos ideales de un anillo R. Setiene:

i)√√

a =√a,

ii)√ab =

√a ∩ b =

√a ∩√b,

iii)√a = R sii a = R,

iv)√a + b =

√√a +√b,

v) Si p ∈ Spec(R),√pn = p, para todo n > 0.

Definicion 61 (Radical de Jacobson). Sea a un ideal de un anillo R. Llamaremos radicalde Jacobson de a a la interseccion de todos los ideales maximales de R que contienen a a. Esdecir,

J√a :=

⋂m ∈ Spm(R) : m ⊇ a.

Se denomina radical de Jacobson del anillo R al radical de Jacobson del ideal (0).

La siguiente es una de las propiedades al uso:

Proposicion 4.3.12. Sea NR = J√

(0) el radical de Jacobson de un anillo R. Se tiene:

x ∈ NR ⇐⇒ 1− xy ∈ R∗, ∀y ∈ R.


Demostracion.– Recuerdese que R∗ son, precisamente, los elementos que no estan en ningunideal maximal de R. Por tanto, si x esta en todos los ideales maximales de R, entonces, tambienesta en todos los maximales de R cualquier elemento yx, para cada y ∈ R. Finalmente, 1− xyno puede estar en ningun maximal de R porque, en caso contrario, 1 estarıa en ese maximal.Luego hemos probado la implicacion ⇒.Para la otra implicacion, supongamos que 1 − xy ∈ R∗ para todo y ∈ R y sea m un idealmaximal de R. Supongamos que x 6∈ m. Entonces, m+ (x) = R, y existen m ∈ m e y ∈ R talesque 1 = m+xy. Pero esta ultima igualdad significarıa que u = 1−xy ∈ m y, al mismo tiempo,por hipotesis, 1 − xy ∈ R∗, llegando a contradiccion con la existencia de un maximal m de Rtal que x 6∈ m.

Definicion 62 (Cociente de Ideales). Dados a, b dos ideales de un anillo R, su ideal cocienteesta definido mediante:

(a : b) := x ∈ R : xb ⊆ a.Al ideal cociente ((0) : b) se le denomina anulador del ideal b y se denota por Ann(b).En particular si D son los divisores de un anillo R, tendremos

D =⋃x 6=0

Ann((x)).

No probarenmos las siguiente propiedades del cociente que son dejadas como ejercicio:

Proposicion 4.3.13 (Propiedades del Cociente de Ideales). Sea a, b, c ideales de un anilloR. Se tiene:

i) a ⊆ (a : b),ii) (a : b)b ⊆ a,iii) ((a : b) : c) = (a : bc) = ((a : c) : b),iv) (∩iai : b) = ∩i(ai : b),v) (a :

∑i bi) = ∩i(a : ai).

4.4. Funciones vs Objetos

4.4.1. El Lenguaje de las Categorıas. El lenguaje de las categorıas fue introducido amediados de de los anos 40 por S. Eilenberg y S. MacLane (cf. [EiMc, 45]) como un intentode desarrollar un lenguaje comun a diversas ramas de la Matematica y sus interacciones, dis-tinta de la Metamatematica impulsada por la Logica. UNa de las derivaciones del lenguajede las Categorıas fue el desarrollo del ALgebra Homologica. El Algebra Homlogica fue intro-ducida por H. Poincare y D. Hilbert como un intento de interaccion entre topologıa y algebra,fundamentalmente, para disponer de grupos mas “manejables” que los grupos de homotopıa.Posteriormente, el Algebra Homologica evoluciona aprovechandose del lenguaje de las cate-gorıas, hasta convertirse en una parte propia de la Matematica. Esta integracion de las dosideologıas se produce en el clasico de H. Cartan y S. Eilenberg [CaEi, 56]. Un par de textosclasicos, varias veces re–editados, que constituyen una Introduccion a estos temas son [Mc, 75]o [HiSt, 97].Aquı hacemos un resumen acelerado del lenguaje, sin entrar en mas detalles por falta de tiempo.

4.4.2. Categorıas.

Definicion 63 (Categorıas). Una categorıa es un par C := (ObjC ,HomC), donde:

• ObjC es una clase formada por conjuntos, cuyos elementos X ∈ ObjC se denominanobjetocs de la categorıa C

• HomC es una aplicacion que a cada dos objetos X,Y ∈ ObjC les asigna un conjuntoHomC(X,Y ) que se denomina morfismos de la categorıa C entre los objetos X e Y .Ademas, dados tres objetos X,Y, Z ∈ ObjC, existe una transformacion:

: HomC(X,Y )×HomC(Y,Z) −→ HomC(X,Z)(f, g) 7−→ g f,

y que verifica las siguientes propiedades:

4.4. FUNCIONES VS OBJETOS 193

i) Para cada objeto X ∈ ObjC existe un morfismo IdX ∈ HomC(X,X) tal que paracada f ∈ HomC(X,Y ) y para cada g ∈ HomC(Z, Y ), se verifica:

f IdX = f, Idx g = g.

ii) Dados 4 objetos X,Y, Z, T ∈ ObjC y dados tres morfismos f ∈ HomC(X,Y ),g ∈ HomC(Y, Z), h ∈ HomC(Z, T ), se tiene:

h (g f) = (h g) f.

Ejemplo 4.4.1 (Ejemplos de Categorıas). Los ejemplos usados en anteriormente sirvenpara ilustrar la nocion de categorıas.

i) La Categorıa de los Espacios Topologicos (T ): Los objetos ObjT son los espaciostopologicos, los morfismos HomT (X,Y ) := C0(X,Y ) son las funciones continuas entreX e Y .

ii) La Categorıa de los Espacios Vectoriales (EVK) : Los objetos Obj son los espa-cios vectoriales sobre un cuerpo K fijado, los morfismos HomEVK (X,Y ) := HomK(X,Y )son las aplicaciones K−lineales entre X e Y .

iii) La Categorıa de las Variedades Diferenciables (M): Los objetos Obj sonlas variedades diferenciables ( C∞, por ejemplo) y los morfismos HomC∞(X,Y ) :=C∞(X,Y ) son las funciones infinitamente diferenciables entre X e Y .

iv) La Categorıa de los Grupos (G): Los objetos Obj son los grupos, los morfismosHomG(X,Y ) := Hom(X,Y ) son los morfismos de grupo entre X e Y .

v) La Categorıa de los Modulos sobre un anillo (MR): Los objetos ObjMRson

los R−modulos (R fijado), los morfismos HomMR(X,Y ) := HomR(X,Y ) son los

morfismos de R−modulo entre X e Y .vi) La Categorıa de los Anillos (R): Los objetos Obj son los anillos conmutativos con

unidad, los morfismos Hom(X,Y ) := Hom(X,Y ) son los morfismos de anillo entreX e Y .

vii) · · · los ejemplos son muchos.

El objetivo de la Teorıa de categorıas es detectar coincidencias entre diversas categorıas teniendoen cuenta solamente los comportamientos de objetos y morfismos. Comencemos, definiendoalgunos tipos elementales de morfismos.

Definicion 64 (Tipos elementales de Morfismos). Dados dos objetos X,Y en una cate-gorıa y un morfismo f ∈ HomC(X,Y ), definiremos las condiciones para que f sea

• monomorfismo: Si existe g ∈ HomC(Y,X) tal que g f = IdX ,• epimorfismo: Si existe g ∈ HomC(Y,X) tal que f g = IdY ,• isomorfismo: Si existe g ∈ HomC(Y,X) tal que g f = IdX , f g = IdY .

Ejemplos de monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos en las distintas categorıs son cono-cidos. Si acaso, recordar que, en el caso de espacios topologicos, los isomorfismos se llamanhomeomorfismos, mientras que en el caso de variedades diferenciables o analıticas, se habla dedifeomorfismo y, por ejemplo, en el caso de espacios metricos, se tratan las isometrıas. Son elmismo concepto aunque en distintas categorıas.

4.4.3. Functores y Equivalencias Naturales. Para poder identificar dos categorıas, elAlgebra Homologica acude a la nocion de functor y de equivalencia natural (introducida por S.Eilenberg).

Definicion 65 (Functor Covariante). Sea C y D dos categorıas, con objetos ObjC y ObjDy morfismos HomC(X,Y ), HomD(X ′, Y ′). Un functor covariante F entre las categorıas C y Des una transformacion con dos ingredientes:

• Una aplicacion F : ObjC −→ ObjD, y• para cada par de objetos X,Y ∈ ObjD una aplicacion (que denotaremos con las misma

letra):

F : HomC(X,Y ) −→ HomD(F (X), F (Y )),

verificando las siguientes propiedades:


i) Dados f ∈ HomC(X,Y ) y g ∈ HomC(Y,Z), se tiene:

F (g f) := F (g) F (f).

ii) Para cada objeto X ∈ ObjC, se tiene:

F (IdX) = IdF (X).

Definicion 66 (Functor Contravariante). Sea C y D dos categorıas, con objetos ObjC yObjD y morfismos HomC(X,Y ), HomD(X ′, Y ′). Un functor covariante F entre las categorıasC y D es una transformacion con dos ingredientes:

• Una aplicacion F : ObjC −→ ObjD,• para cada par de objetos X,Y ∈ ObjD una aplicacion (que denotaremos con las misma

letra):

F : HomC(X,Y ) −→ HomD(F (Y ), F (X)),

verificando las siguientes propiedades:

i) Dados f ∈ HomC(X,Y ) y g ∈ HomC(Y,Z), se tiene:

F (g f) := F (f) F (g).

ii) Para cada objeto X ∈ ObjC, se tiene:

F (IdX) = IdF (X).

Ejemplo 4.4.2 (Ejemplos de Functores). Los siguientes son ejemplos de Functores entredistintas categorıas, con diversos significados:

i) Consideremos las categorıas T de espacios topologicos y R de anillos. Consideremosuna transformacion C0 del tipo siguiente:• A cada espacio topologico X ∈ ObjT se le asocia el objeto C0(X) := HomT (X,R) :=C0(X,R) de las funciones continuas de X en R.

• A cada par de espacios topologicos X,Y y a cada morfismo f ∈ C0(X,Y ) (esdecir, funcion contınua de X a Y , le asociamos el morfismo de anillos

C0(f) : C0(Y ) −→ C0(X),h 7−→ h f.

Claramente se trata de un functor contra–variante de la categorıa de espacios topologicosen la categorıa de anillos.

ii) Consideremos un functor de la categorıa EVK en sı misma, que denotaremos por ∗ ylo llamaremos el paso al dual.• A cada espacio vectorial X ∈ ObjEVK se le asocia el objeto X∗ := HomK(X,K),

usualmente conocido como el espacio dual de X sobre K.• A cada par de espacios vectoriales sobre K X,Y y a cada morfismo f ∈ HomK(X,Y )

(es decir, a cada aplicacion K−lineal le asociamos la aplicacion K−lineal

f∗ : Y ∗ −→ X∗,h 7−→ h f.

Claramente es un functor contra-variante de la categorıa de espacio vectoriales en sımisma.

iii) Consideremos ahora la categorıa M de las variedades diferenciables y el functor C∞

de M en la categorıa R de anillos. Se define analogamente al caso del functor C0.Esto es• A cada variedad diferenciable X ∈ ObjM se le asocia el objeto C∞(X) :=HomM(X,R) := C∞(X,R) de las funciones infinitamente diferenciables de Xen R.

• A cada par de variedades diferenciables X,Y y a cada morfismo f ∈ C∞(X,Y ) (esdecir, funcion infinitamente diferebnciable de X a Y , le asociamos el morfismode anillos

C∞(f) : C∞(Y ) −→ C∞(X),h 7−→ h f.

Claramente se trata de otro functor contra–variante.

4.4. FUNCIONES VS OBJETOS 195

Ejemplo 4.4.3 (El Bi–functor HomR(−,−)). A partir del R−modulo HomR(M,N) defini-mos dos functores uno co–variante y otro contravariante, que discutiremos mas adelante. A lacombinacion de los dos se le denomina, usualmente, bi–functor HomR(−,−).

i) El functor co–variante HomR(M,−): Sea M un R−modulo fijo. Definimos elfunctor HomR(M,−) de la categorıa de R−modulos en sı misma del modo siguiente:• A cada R−modulo N le asociamos el R−modulo HomR(M,N).• A cada morfismo f : N −→ N ′ entre dos R−modulos, le asociamos

HomR(M,f) : HomR(M,N) −→ HomR(M,N ′),g 7−→ f g.

Se trata de un functor co–variante.ii) El functor contra–variante HomR(−, N): Fijemos ahora un R−modulo N . Defin-

imos el functor HomR(−, N) de la categorıa de R−modulos en sı misma del modosiguiente:• A cada R−modulo M le asociamos el R−modulo HomR(M,N).• A cada morfismo f : M −→M ′ entre dos R−modulos, le asociamos

HomR(f,N) : HomR(M ′, N) −→ HomR(M,N),h 7−→ h f.

Se trata de un functor contra–variante.

Definicion 67 (Equivalencia Natural entre Functores Covariantes). Sea C y D doscategorıas, con objetos ObjC y ObjD y morfismos HomC(X,Y ), HomD(X ′, Y ′). Dos functorescovariantes F y G entre las categorıas C y D se dicen naturalemente equivalentes si para cadaobjeto X ∈ ObjC, existe un isomorfismo ϕX : F (X) −→ G(X) tal que dados X,Y ∈ ObjC ydado un morfismo cualquiera f ∈ HomC(X,Y ) se verifica:

ϕY F (f) = G(f) ϕX .

Graficamente tendremos que el siguiente diagrama es conmutativo:

F (X)ϕX−→ G(X)

F (f) ↓ ↓ G(f)F (Y ) −→ϕY G(Y )

Definicion 68 (Equivalencia Natural entre Functores Contravariantes). Se define demanera analoga al caso covariante, teniendo en cuenta la condicion de contravariantes.

Definicion 69 (Equivalencia Natural entre Categorıas). Dos categorıas C y D se dicennaturalmente equivalentes si existen functores (covariantes o contravariantes) F entre C y D yG entre D y C tales que la composicion G F es naturalmente equivalente a la identidad IdC yF G es naturalemnte equivalente a la identidad IdD.

4.4.4. Variacion de un primer tema clasico: El Teorema de Stone–Cech. Unejemplo clasico es el famoso Teorema de Stone-Cech y otros autores1, que puede consultarse en[GiJe, 76] y se puede reescribir del modo siguiente:

Teorema 4.4.4 (Banach-Stone-Cech-Gelfand-Kolmogorov). Si X,Y son dos espacios topologicoscompactos de Hausdorff y f : X −→ Y es una funcion continua tal que C0(f) es isomorfismode R−algebras entre C0(X) y C0(Y ), entonces f es un homeomorfismo.

En realidad el resultado en mas completo y afirma lo siguiente:

Corollario 4.4.5. Sea CT la categorıa de los espacios topologios compactos. Entonces, existeuna equivalencia natural entre CT y la subcategorıa de anillos determinada por las R−algebrasde la forma C0(X), donde X es una espacio tpologico compacto.

1Veanse, por ejemplo, el trabajo reciente:H.-L. Gau, J.-S. Jeang, N.-C. Wong, An algebraic approach to the Banach–Stone Theorem for separating linear

bijections. Tai. J. of Math. 6 (2002) 399–403.


Dicho de otor modo, ambas categorıas son equivalentes y lo mismo da estudiar los espaciostopologicos compactos o esta subclase de la categorıa de anillos. Estees el proposito de establecerequivalencias naturales: establecer conexiones entre teorıas matematicas que permitan transferiren ambos sentidos informacion, resultados y, por ende, conocimiento.

4.4.5. Variacion de un segundo tema clasico: El Lema de Urysohn y el Teoremade Extension de Tietze.

Definicion 70 (Espacio Topologico Normal). Un espacio topologico (X, T ) se dice normal siverifica la siguiente propiedad para sus cerrados: Dados dos cerrados F,G ∈ T c, disjuntos,existen dos abiertos A,B ∈ T tales que F ⊆ A, G ⊆ B y A ∩B = ∅.

Ejemplo 4.4.6. Unos pocos ejemplos convencionales: espacios metricos, espacios compactosde Hausdorff. Mientras que Cn es normal con la topologıa usual y no lo es con la topologıa deZariski.

Teorema 4.4.7 (Lema de Urysohn). Sea X un espacio topologico normal, dados F,G doscerrados en X, existe una funcion f ∈ C0(X) tal que f(X) ⊆ [0, 1] y se tiene:

f |F= 0, f |G= 1.

Este resultado es conocido como el primer resultado no trivial en Topologıa. Se puede obvia-mente probar que un espacio topologico es normal si y solamente si verifica la propiedad descritaen el Lema de Urysohn. Una de sus consecuencias mas famosas es el siguiente resultado:

Teorema 4.4.8 (Teorema de Extension de Tietze–Urysohn). Sea F un cerrado en un espaciotopologico normal X. Entonces, para cada f ∈ C0(F ) existe una funcion continua ϕ ∈ C0(X)tal que

ϕ |F= f.

Una interpretacion casi inmediata del Teorema de Tietze (en nuestro contexto) es la siguiente.Consideremos X un espacio topologico y sea F ⊆ X un cerrado. Tenemos un morfismo deanillos dado por la restriccion:

ρ : C0(X) −→ C0(F ),

ϕ 7−→ ϕ |F .Claramente se trata de un morfismo de anillos y se tiene el siguiente enunciado equivalente delTeorema de Tietze:

Teorema 4.4.9 (Teorema de Extension de Tietze–Urysohn). Con las anteriores notaciones, siX es un espacio topologico normal, entonces ρ es un epimorfismo de anillos, Ker(ρ) = I(F ) yse tiene el siguiente isomorfismo de anillos:

C0(F ) ∼= C0(X)/I(F ).

4.4.6. Variacion de un tercer tema clasico: Extension de funciones en Var-iedades Diferenciables.

Definicion 71 (Espacio topologico paracompacto). Un espacio topologico se denomina para-compacto si cada cubrimiento abierto posee un subcubrimiento localmente finito. Es decir, sidado un cubrimiento Ui : i ∈ I por abiertos de X, existe un subcubrimiento Uj : j ∈ J,J ⊆ I, tal que para x ∈ X, existe un entorno Vx de x en X tal que

] (j ∈ J : Vx ∩ Uj 6= ∅) <∞.

Definicion 72 (Particion de la Unidad). Sea X un espacio topologico, una particion de launidad es una familia de funciones continuas ϕi : i ∈ I ⊆ C0(X) verificando:

• Para cada x ∈ X, el cardinal de los i ∈ I tales que ϕi(x) 6= 0 es finito.• Para cada x ∈ X, ∑

i∈Iϕi(x) = 1.

4.5. CUESTIONES Y PROBLEMAS 197

Se dice que una particion de la unidad ϕi : i ∈ I ⊆ C0(X) esta subordinada a un cubrimientoabierto Ui : i ∈ I de X si supp(ϕi) ⊆ Ui para cada i ∈ I2.

Teorema 4.4.10. Si X es un espacio topologico paracompacto, entonces posee particiones dela unidad y particiones de la unidad subordinadas a cubrimientos abiertos.

Las variedades diferenciables, cuando aparezcan en los ejemplos, se suponen siempre paracom-pactas.

Teorema 4.4.11. Dada una variedad diferenciable (paracompacta) M y un cubrimiento abiertode M , existe un subcubrimiento abierto localmente finito y una particion de la unidad fi : i ∈I subordinada al subcubrimiento y tal que para cada i ∈ I, fi ∈ C∞(M).

Observacion 4.4.12. El Teorema 2.4.7 es consecuencia de la existencia de particiones de unidaden variedades paracompactas.

Definicion 73 (Funciones lisas en un subespacio). Sea F un cerrado en una variedad difer-enciable M , una funcion continua f : F −→ R se dice que es C∞ sobre F si para cada x ∈ F ,existen un entorno abierto Ux de x en M y una funcion C∞, ϕx : Ux −→ R tal que

ϕx |Ux∩F= f |F∩Ux .

Se denota por C∞(F ) al anillo de las funciones lisas definidas sobre F .

Corollario 4.4.13. Con las anteriores notaciones, para cualquier cerrado F en X, la re-striccion:

ρ : C∞(M) −→ C∞(F )

ϕ 7−→ ϕ |F ,es un epimorfismo de anillos. Mas aun, el siguiente es un isomorfismo de anillos:

C∞(F ) ∼= C∞(M)/I(F ).

4.5. Cuestiones y Problemas

Problema 163. Probar las afirmaciones descritas en el Ejemplo 4.2.14

Problema 164. Probar las equivalencias del Ejemplo 4.3.10.

Problema 165. Discutir las equivalencias del Ejemplo 4.3.10 en el caso de que la caracterısticadel cuerpo sea positiva.

Problema 166. Probar la equivalencia siguiente para un cuerpo k cualquiera y un endomor-fismo M ∈Mn(k) con polinomio mınimo m(X) ∈ k[X].

• El ideal generador por m en k[X] (conocido como el Anulador de la matriz M) es unideal radical.

• El endomorfismo M es diagonalizable sobre alguna clausura algebraica K de k, esdecir, existen matrices P ∈ GL(n,K) y valores ζ1, . . . , ζn ∈ K, tales que

PMP−1 =

ζ1 0 · · · 00 ζ2 · · · 0...

. . ....

0 0 · · · ζn

.

Problema 167. Demostrar las afirmaciones expuestas en la Proposicion 4.3.11.

2Recuerdese que el soporte supp(f) de una funcion es la clausura del conjunto de puntos donde lafuncion no se anula.


Problema 168 (La topologıa de Zariski en Spec(R)). Comencemos con un aspecto nota-cional: Sea R un anillo, p ∈ Spec(R) y f ∈ R. Denotemos mediante f(p) la clase f + p ∈ R/p.Notese que es una notacion, aunque no debe entenderse f funcionalmente, pero nos permitedefinir los siguientes conjuntos. dado a un ideal de R, definamos

V (a) := p ∈ Spec(R) : f(p) = 0 ∈ R/p.Del mismo modo, dado F ⊆ Spec(R) podemos definir

I(F ) := f ∈ R : f(p) = 0, ∀p ∈ F.Probar las afirmaciones siguientes:

i) V (a) = p ∈ Spec(R) : p ⊇ a.ii) I(F ) :=

⋂p ∈ Spec(R) : p ⊇ (F ), donde (F ) es el ideal geberado por F .

iii) Existe una unica topologıa en Spec(R) cuyos cerrados son los subconjuntos de la formaV (a) (llamada topologı de Zariski en el espectro Spec(R)).

iv) Un subconjunto F ⊆ Spec(R) es cerrado si y solamente si V (I(F )) = F .v) Para cada ideal a de R,

√a = I(V (a)).

vi) Existe una biyeccion entre los ideales radicales de R y los cerrados de Spec(R) parala topologıa de Zariski.

vii) Dado un morfismo de anillos ϕ : R −→ T , la aplicacion

Spec(ϕ) : Spec(T ) −→ Spec(T )p 7−→ pc := ϕ−1(p),

es una aplicacion continua para las respectivas topologıas de Zariski. Concluir queSpec define un functor contravariante de la catefgorıa de anillos en la actegorıa deespacios topologicos.

Problema 169 (La topologıa de Zariski en el espectro maximal Spm(R)). Analizarcuales de las anteriores propiedades permanecen si cambiamos Spec(R) por Spm(R).

Problema 170 (Stone–Cech). Tratar de establecer, en el caso de que X sea un espaciotopologico compacto, cual es la relacion existente entre X y el espectro maximal Spm(C0(X))con la toplogıa de zariski. ¿Es un homemorfismo?.

Problema 171. Demostrar las afirmaciones expuestas en la Proposicion 4.3.13.

Problema 172. Constuir functores entre la categorıa de espacios topologicos triangulables T Ty la categorıa de grupos a traves de grupo de homotopıa π1(X).

Problema 173. Busca la cancion de Peter Gabriel citada al comienzo del Capıtulo. Completasu letra y haz una interpretacion libre que te parezca mas sincera.

Part 2

La elegancia del pensamiento de E.Noether

CAPıTULO 5

Una Prueba Elemental de Nullstellensatz de Hilbert

El objetivo de estas paginas es dar una demostracion elemental del Nullstellensatz de Hilbert.A partir de el, obtendremos un diccionario algebra-geometrıa con el que podemos trabajar.

5.1. Una demostracion elemental del Nullstellensatz de Hilbert: Parte I

Los contenidos de esta seccion estan inspirados en el trabajo de E. Arrondo [Ar, 06]. Comen-zamos con la siguiente observacion:

Lema 5.1.1. Sea R un dominio de integridad y sea g ∈ R[X] un polinomio monico univariadoen R[X] (i.e. un polinomio cuyo coeficiente director es una unidad en el anillo R). Entonces,la R−algebra cociente:

Ag := R[X]/(g),

es un R−modulo libre finitamente generado. Una base como R−modulo libre (la base monomial)viene dada por:

β := 1, X,X2, . . . , X

d−1,

donde d := degX(g) es el grado de g con respecto a la variable X y Xk

es la clase de restosXk + (g).

Demostracion. Es un sencillo ejercicio analogo al caso de polinomios. La unica obser-vacion significativa es que al ser g monico tenemos garantizada la division euclıdea por g. Esdecir, para todo f ∈ R[X] existen q, r ∈ R[X] tales que:

• f = qg + r,• deg(r) ≤ deg(g)− 1.

Y, ademas, por ser R dominio de integridad, el resto r es unico para cada f . Estas dos ideasbastan para concluir la afirmacion.

Lema 5.1.2. Sea R un dominio de integridad, g ∈ R[X] un polinomio monico y sea f ∈R[X] un polinomio cualquiera. Consideremos la R−algebra cociente Ag del Lema anterior y elendomorfismo:

ηf : Ag −→ Agh 7−→ fh,

donde h y fh son, respectivamente, las clases h+ (g) y fh+ (g). Entonces,

i) La matriz de ηf en la base monomial β descrita en el Lema anterior es f(C(g)), dondeC(g) es la matriz companera de g, es decir,

C(g) =

0 0 0 · · · −u−1a0

1 0 0 · · · −u−1a1

0 1 0 · · · −u−1a2

0 0 1 · · · −u−1a3

......

. . .. . .

...0 0 0 · · · −u−1ad−1

∈Md(R),

donde g = uXd + an−1Xd−1 + · · ·+ a1X + a0, siendo u ∈ R∗ unidad en R.

ii) El determinante ResX(f, g) := det(f(C(g))) ∈ R esta en el ideal generado por (f, g)en R[X] (y se denomina la resultante de f y g con especto a la variable X). Es decir,existen a, b ∈ R[X] tales que:

ResX(f, g) = af + bg ∈ R[X].

201

202 5. UNA PRUEBA ELEMENTAL DE NULLSTELLENSATZ DE HILBERT

iii) El endomorfismo ηf es un isomorfismo de R−modulos libres si y solamente si ResX(f, g) ∈R∗ es una unidad de R.

Demostracion. • Para la afirmacion (2), utilizaremos el Teorema de Hamilton-Cayley para R−modulos libres finitamente generados. Denotemos mediante χf (T ) ∈R[T ] el polinomio caracterıstico de ηf con respecto a la base β. Por el Teoremade Hamilton-Cayley, el endomorfismo χf (ηf ) = 0 como endomorfismo de Ag. Enparticular, χf (ηf )(1) = 0 ∈ Ag. Ahora, supongamos

χg(T ) := T d + bd−1Td−1 + · · ·+ b1T + b0 ∈ R[T ],

con b0 := det(f(C(g))) := det(f(C(g))) + (g) ∈ R ⊆ Ag es la clase residual delelemento det(f(C(g))) modulo el ideal (g) generado por g en R[X]. Entonces, setiene:

χf (ηf )(1) = ηdf (1) + bd−1ηd−1f + · · ·+ b1ηf (1) + b01 = 0,

o, lo que es lo mismo,

χf (ηf )(1) = fd

+ bd−1fd−1

+ · · ·+ b1f + b01 = 0.

Dicho de otra manera, sea hi ∈ R[X] tal que hi := hi + (g) = bi ∈ Ag. Tenemos

probado, sacando f factor comun, que se verifica:

det(f(C(g))) + f

(fd−1

+

d−1∑i=1

hifi−1

)= 0, en Ag.

En otras palabras,

det(f(C(g))) + f

(fd−1 +

d−1∑i=1

hif i−1

)= 0, en Ag.

Dicho de otra manera, definiendo a := −(fd−1 +

∑d−1i=1 hif

i−1)∈ R[X], tenemos que

det(f(C(g)))− af ∈ (g) en R[X].

Luego existe b ∈ R[X], tal que

det(f(C(g))) = af + bg ∈ (f, g) ⊆ R[X].

Lema 5.1.3 (cf. [Ar, 06]). Sea a un ideal propio en K[X1, . . . , Xn], donde K es un cuerpo ysea K la clausura algebraica de K. Supongamos que n = 1 o n > 1 y se verifica:

i) Existe un polinomio g ∈ a que es monico con respecto a la variable Xn,ii) El ideal contraccion b := ac = a ∩K[X1, . . . , Xn−1] es propio y existe

a := (a1, . . . , an−1) ∈ Kn−1,

tal que h(a) = 0 para todo h ∈ b.

Entonces, existe a ∈ Kn tal que f(a) = 0 para todo f ∈ a. Es decir, VKn(a) 6= ∅.

Demostracion. Para el caso n = 1, es obvio: Si a es un ideal propio en K[X], entonceses un ideal principal a = (f) y f no es cero ni unidad en K[X1]. Por tanto, f posee, al menos,una raız α ∈ K y, por tanto, VK(a) 6= ∅.Para el caso n = 2, basta con observar que la propiedad ii) se verifica dado que b es un idealpropio de K[X1] por ser a propio. El resto del argumento es igual al caso general que sigue acontinuacion:Para el caso n > 1, consideremos el ideal b := ac = a ∩ K[X1, . . . , Xn−1]. Como a es unideal propio en K[X1, . . . , Xn], tenemos que 1 6∈ a, por tanto 1 6∈ b y b es un ideal propio deK[X1, . . . , Xn−1] o b = (0). En ambos casos, y asumiendo la hipotesis ii), existe

a := (a1, . . . , an−1) ∈ Kn−1,

tal que h(a) = 0 para todo h ∈ b. Consideremos ahora el siguiente conjunto:

c := f(a1, . . . , an−1, Xn) ∈ K[X] : f ∈ a.

5.1. UNA DEMOSTRACION ELEMENTAL DEL NULLSTELLENSATZ DE HILBERT: PARTE I 203

Se trata, claramente, de un ideal en el anillo de polinomios univariados K[Xn]. Veamos quec ⊆/ K[Xn], es decir, esta estrictamente contenido en K[Xn]. Razonemos por reduccion alabsurdo y supongamos que 1 ∈ c. Entonces, existe f ∈ a tal que:

1 := f(a1, . . . , an−1, Xn).

De otro lado, sea g ∈ a el polinomio monico que existe en a y que, por ser a propio, es no unidad.Consideremos ahora el polinomio h := ResXn(f, g) := det(f(C(g))) ∈ K[X1, . . . , Xn−1]. Con-sideremos el anillo R := K[X1, . . . , Xn−1] y, por el Lema precedente, tenemos que h esta en elideal generado por f y g en R[Xn] = K[X1, . . . , Xn]. Es decir,

h := ResXn(f, g) ∈ (f, g) ⊆ a.

Como h ∈ K[X1, . . . , Xn−1], concluiremos que h ∈ b = ac. De otro lado, observese que hes el determinante de la matriz obtenida reemplazando Xn en f por C(g). Es decir, es eldeterminante de la matriz dada mediante

f(X1, . . . , Xn−1, C(g)(X1, . . . , Xn−1)).

Mas especıficamente, tenemos

C(g)(X1, . . . , Xn−1) =

0 0 0 · · · −a0(X1, . . . , Xn−1)1 0 0 · · · −a1(X1, . . . , Xn−1)0 1 0 · · · −a2(X1, . . . , Xn−1)0 0 1 · · · −a3(X1, . . . , Xn−1)...

.... . .

. . ....

0 0 0 · · · −ad−1(X1, . . . , Xn−1)

∈Md(R),

donde

g = Xdn + an−1(X1, . . . , Xn−1)Xd−1

n + · · ·+ a1(X1, . . . , Xn−1)Xn + a0(X1, . . . , Xn−1).

Y si

f := bt(X1, . . . , Xn−1)Xtn + · · ·+ b0(X1, . . . , Xn−1),

entonces

f(X1, . . . , Xn−1, C(g)(X1, . . . , Xn−1)) :=

t∑i=0

bi(X1, . . . , Xn−1)C(g)(X1, . . . , Xn−1)i ∈Md(K[X1, . . . , Xn−1]).

En particular, observemos que la matriz

f(a1, . . . , an−1, C(g)(a1, . . . , an−1)) :=

t∑i=0

bi(a1, . . . , an−1)C(g)(a1, . . . , an−1)i ∈Md(K),

es la matriz obtenida especializando las variables de f(X1, . . . , Xn−1, C(g)(X1, . . . , Xn−1)) enlas coordenadas de a. Tomando determinantes, tendremos que

ResXn(f, g)(a1, . . . , an−1) := det(f(a1, . . . , an−1, C(g)(a1, . . . , an−1))).

Ahora bien f(a1, . . . , an−1, Xn) = 1, con lo que

bi(a1, . . . , an−1) = 0, 1 ≤ i ≤ t,y

b0(a1, . . . , an−1) = 1.

Por tanto,

ResXn(f, g)(a1, . . . , an−1) = det(

t∑i=0

bi(a1, . . . , an−1)C(g)(a1, . . . , an−1)i) = det(Idd) = 1.

Pero como ResXn(f, g) ∈ b, tendremos que ResXn(f, g)(a1, . . . , an−1) = 0 con lo que habremosllegado a contradiccion.En particular, tendremos que c ⊆/ K[Xn] y existira z ∈ K tal que h(z) = 0 para todo h ∈ c.Pero, recordando la definicion de c, tendremos que

f(a1, . . . , an−1, z) = 0, ∀f ∈ a.

Por tanto, VKn(a) 6= ∅ y haremos concluido la prueba del Lema.


5.2. Un cambio de coordenadas util

Usaremos la idea de Noether para poner nuestras variables en condicion de extension enterade anillos. Como antes, sea K un cuerpo y sea K la clausura algebraica de K. Consideremos(t1, . . . , tn−1, 1) ∈ Kn. Consideremos el siguiente cambio de variables:

(5.2.1)

Y1 = X1 − t1Xn,Y2 = X2 − t2Xn,

...Yn−1 = Xn−1 − tn−1Xn,Yn = Xn.

Consideremos el isomorfismo de R−algebras dado por este cambio de coordenadas:

(5.2.2)ϕ : K[X1, . . . , Xn] −→ K[Y1, . . . , Yn]

f 7−→ f(Y1 + t1Yn, . . . , Yn−1 + tn−1Yn, Yn).

Lema 5.2.1. Se verifican las siguientes propiedades:

i) Si a ⊆ K[X1, . . . , Xn] es un ideal propio, entonces ϕ(a) es un ideal propio. Yrecıprocamente.

ii) Consideremos la matriz triangular P ∈Mn(K) dada mediante:Y1

...Yn

= P

X1

...Xn

,

es decir, la matriz

P :=

1 0 · · · 0 −t10 1 · · · 0 −t2...

. . ....

0 0 · · · 1 −tn−1

0 0 · · · 0 1

.

La matriz inversa de la matriz P es dada mediante:

P−1 :=

1 0 · · · 0 t10 1 · · · 0 t2...

. . ....

0 0 · · · 1 tn−1

0 0 · · · 0 1

.

iii) Consideramos el isomorfismo de espacio vectoriales dado por P :

P : Kn −→ Knx1

...xn

7−→

y1

...yn

:= P

x1

...xn

.

Entonces, para cada polinomio f ∈ K[X1, . . . , Xn], ϕ(f) := f P−1(Y1, . . . , Yn). Enparticular, para cada ideal a de K[X1, . . . , Xn],

V ((ϕ(a)) = P (V (a)).

En particular, V (a) 6= ∅ si y solamente si V (ϕ(a)) 6= 0.

Demostracion. Son todos ejercicios elementales.

Observacion 5.2.2 (Construccion a partir de las componentes homogeneas). Consid-eremos el anillo K[X1, . . . , Xn] y consideremos un polinomio cualquiera f ∈ K[X1, . . . , Xn].Podemos descomponer f es sus componentes homogeas de grado dado. Es decir, podemosescribir:

f := fd(X1, . . . , Xn) + · · ·+ f0(X1, . . . , Xn),

5.3. TESTS DE NULIDAD PARA POLINOMIOS. 205

donde fi ∈ K[X1, . . . , Xn] es un polinomio homogeneo de grado d, es decir,

fi(X1, . . . , Xn) :=∑|µ|=d

a(i)µ Xµ1

1 · · ·Xµnn ,

donde µ = (µ1, . . . , µn) ∈ Nn, |µ| = µ1 + · · ·+ µn ∈ N, a(i)µ ∈ K. Ademas, esa descomposicion

es unica. Supondremos que fd es un polinomio homogeneo.

Sea ϕ : K[X1, . . . , Xn] −→ K[Y1, . . . , Yn] el isomorfismo de K−algebras descrito en la Seccionprecedente. Entonces, ϕ respeta las componente homogeneas de los polinomios y tendremosque si g = ϕ(f) admite una descomposicion en componentes homogeneas del tipo:

g := gd(X1, . . . , Xn) + · · ·+ g0(X1, . . . , Xn),

donde gi = ϕ(fi). En particular, tendremos la siguiente igualdad:

gi(Y1, . . . , Yn) :=∑|µ|=d

a(i)µ (Y1 + t1Yn)µ1 · · · (Yn−1 + tn−1Yn)µn−1Y µnn .

Lema 5.2.3. Sean f y g como en la Observacion precedente, entonces, existe un polinomioh ∈ K[Y1, . . . , Yn] tal que

g = fd(t1, . . . , tn−1, 1)Y dn + h,

y el grado de h con respecto a la variable Yn es menor estricto que d.

Demostracion. Obvio por mera reescrittura.

5.3. Tests de Nulidad para Polinomios.

Si bien antes hemos dicho que los esquemas de evaluacion son una estructura de datos muyadecuada para tratar y manipular polinomios multivariados, hay una dificultad esencial paraque sea tan precisa como la codificacion densa o rala de polinomios. No es facil decidir si doscodigos de dos esquemas de evaluacion evaluan el mismo polinomio. Para resolverlo, tenemosdos opciones basicas :

i) Interpolar obteniendo todos los coeficientes y comparando a posteri-ori. Esta no es una excelente idea, Por ejemplo, dadas dos formas de Cayley–Chowde dos variedades cero–dimensionales, interpolar para decidir si definen la misma var-iedad supone un esfuerzo considerablemente caro que nos lleva, usualmente, a una

complejidad del orden dn2

.ii) Desarrollar Tests de Nulidad para Esquemas de evaluacion. Se trata de

algoritmos que evaluan los codigos dados en un numero finito (y “pequeno”) de puntos.Con los valores de esas “pocas” evaluaciones, tratamos de decidir si ambos esquemasde evaluacion evaluan la misma funcion.

En esta Seccion nos ocuparemos de estos Tests de Nulidad que pertenecen a tres tipos funda-mentalmente :

i) Los Tests de Zippel–Schwartz. Se trata de seleccionar un conjunto fijo y, para cadapolinomio, hay muchos puntos en los que no se anula. Se trata de un Test Probabilistaque depende del polinomio y el esquema particular que tratamos. Fueron introducidosen los trabajos de J.T. Schwartz1 y R. Zippel2.

ii) Los Cuestores o Correct Test Sequences. Es un metodo alternativo al metodo deZippel–Schwarzt. En ocasiones genera gran confusion entre los especialistas que noentienden la diferencia. El metodo de los cuestores es un metodo que no depende delpolinomio particular que se discute sino de una clase de polinomios (y para ser masprecisos de una familia uniracional). Por ejemplo, depende la clase de complejidad yes valido para toda ella. Fue introducido en el trabajo de J. Heintz y C.P. Schnorr

1J.T. Schwartz, Fast Probabilistic Algorithms for Verification of Polynomial Identities. J. of theACM 27 (1980), 701–717.

2R. Zippel, Interpolating Polynomials from their Values. J. Symbol. Comput. 9 (1990), 375–403.


3 y refinado en el trabajo [KrPa, 96]. La version que aquı se incluye es la versionrefinada de [KrPa, 96].

iii) Witness Theorem. La existencia de un solo punto donde un polinomio no se an-ula aparece ya en el trabajo de L. Kronecker y se conoce como “Esquema de Kro-necker”. En el caso de polinomios con coeficientes en Z el resultado aparece recogido,y atribuido a Kronecker, en el trabajo de J. Heintz y C.P. Schnorr de 1982, citado alpie. Posteriormente, S. Smale4 redescubre el esquema de Kronecker para polinomioscon coeficientes en un cuerpo de numeros y lo denomina “Witness Theorem” (veasetambien [BCSS, 98]. Sin embargo, las estimaciones de Smale y sus colaboradoreseran muy groseras. Las estimaciones se mejoran en el trabajo [CHMP, 01].

Haremos la demostracion del Test de Schwartz-Zippel y dejaremos los otros resultados paracuando tengamos una mejor fundamentacion matematica.

5.3.1. El Test de Schwartz–Zippel. La clave del Test de Schwartz–Zippel es el siguienteenunciado :

Lema 5.3.1. Sea f ∈ K[X1, . . . , Xn] un polinomio no nulo. Definamos recursivamente lossiguientes polinomios :

Q1 := f ∈ k[X1, . . . , Xn], d1 := degX1(Q1)

Sea Q2 ∈ K[X2, . . . , Xn] el coeficiente de Xd11 en Q1. Para i ≤ 2 definamos recursivamente :

di := degXiQi, Qi+1 ∈ K[Xi+1, . . . , Xn]

el coeficiente de Xdii in Qi. Para 1 ≤ i ≤ n sea Ii un subconjunto finito de K.

Entonces, el numero de ceros de F in I1 × · · · × In es a lo sumo

](I1 × · · · × In)

(d1

](I1)+ · · ·+ dn

](In)

)Demostracion. La prueba se sigue por induccion en n. En el caso n = 1 es obvio que un

polinomio univariado de grado d1 con coeficientes en un cuerpo no posee mas de d1 ceros en elcuerpo. La razon ultima es que K[X] es un dominio de factorizacion unica.Consideremos ahora el caso n > 1. Consideremos el polinomio Q2 ∈ K[X2, . . . , Xn] que esel coeficiente director de f con respecto a la variable X1. Por construccion, la secuencia depolinomios Q2, . . . , Qn y de grados d2, . . . , dn es la misma comenzando por Q2 o comenzandopor f . Por tanto, podemos aplicar la hipotesis inductiva a Q2 y tenemos que el numero deelementos de x = (x2, . . . , xn) ∈

∏ni=2 Ii en los que Q2 no se anula es de cardinal mayor que:

n∏i=2

](Ii)−n∏i=2

](Ii)

(n∑i=2

di](Ii)

)=

n∏i=2

](Ii)

(1−

n∑i=2

di](Ii)

).

Para cada uno de los x = (x2, . . . , xn) ∈∏ni=2 Ii en los que Q2(x) 6= 0, el polinomio f toma la

forma:

f(X1, x2, . . . , xn) = Q2(x)Y d11 + h(X1),

donde h es un polinomio de grado a lo sumo d1−1. En consecuencia, este polinomio univariadono se puede anular en, al menos, ](I1) − d1 elementos de I1. Y esto para cada x con esascondiciones. Por tanto, f no se anula en, al menos, el siguiente numero de elementos de∏ni=1 Ii:

P := (](I1)− d1)

n∏i=2

](Ii)

(1−

n∑i=2

di](Ii)

).

Desarrollando este producto obtenemos

3J. Heintz, C.P. Schnorr, Testing Polynomials wich are easy to compute. In Logic and Algorithmic(an International Symposium in honour of Ernst Specker), Monographie n. 30 de l’EnseignementMathematique (1982), 237–254.

4L. Blum, F. Cucker, M. Shub, S. Smale,Algebraic settings for the problem P 6=NP?. In Themathematics of numerical analysis (Park City, UT, 1995), Amer. Math. Soc., Providence, 1996,125–144.


P := ](I1)

n∏i=2

](Ii)

(1−

n∑i=2

di](Ii)

)− d1

n∏i=2

](Ii)

(1−

n∑i=2

di](Ii)

).

Luego

P :=

n∏i=1

](Ii)−n∏i=1

](Ii)

(n∑i=2

di](Ii)

)− d1

](I1)

n∏i=1

](Ii) +d1

](I1)

n∏i=1

](Ii)

(n∑i=2

di](Ii)

).

Por tanto,

P ≥n∏i=1

](Ii)

(1−

n∑i=2

di](Ii)

)− d1

](I1)

n∏i=1

](Ii) =

n∏i=1

](Ii)

(1−

n∑i=1

di](Ii)

),

y se sigue el enunciado previsto.

Tenemos la siguiente aplicacion inmediata:

Corollario 5.3.2. Con las notaciones previas, sea I un subconjunto finito de K and F ∈K[X1, . . . , Xn] un polinomio de grado d. La probabilidad de que una eleccion aletaoria de unpunto x ∈ In sea un cero de F es, a lo sumo :

d

](I)

En particular, si ](I) ≥ 2d + 1,la probabilidad de que una eleccion aletoria en In de un valorno nulo de F es, al menos, 1/2.

Demostracion. Basta con usar el Lema precedente con I = I1 = · · · = In.

Esto genera el siguiente algoritmo probablistia polinomial (RP o MonteCarlo) para detectarpolinomios no nulos.

Input : El codigo de un esquema de evaluacion bien paralelizable G en n variables, que evaluaun polinomio de grado d.

guess indeterministically

x = (x1, . . . , xn) ∈ −d, . . . , 0, 1, . . . , d

Eval G en x.if G(x) 6= 0, Output : “Es un polinomio no nulo”,

else Output : “Probablemente sea nulo”,fi

end

Para aumentar la “certeza” de que el polinomio probablemente sea el polinomio nulo, bastacon repetir el proceso varias veces, observando que tras k reiteraciones, si nos hubiera salidosiempre nulo, el polinomio serıa nulo con probabilidad al menos

1− 1

2k.

Corollario 5.3.3. Con las anteriores notaciones, si existe un subconjunto I de K de, almenos, 2d elementos, entonces para todo polinomio f ∈ K[X1, . . . , Xn] de grado a lo sumo dexiste (t1, . . . , tn) ∈ Kn tal que f(t1, . . . , tn) 6= 0.

Demostracion. Consecuencia inmediata del resultado precedente.


5.3.2. Cuestores.

Definicion 74. Dado un subconjunto (no necesariamente finito) F ⊂ K[X1, . . . , Xn] (quecontiene al polinomio nulo) Diremos que un conjunto finito Q ⊂ Kn es un questor (o una“Correct Test Sequence”) para F si y solo si para todo F ∈ F se tiene :

P |Q= 0 =⇒ P ≡ 0 .

El resultado depende fuertemente de la desigualdad de Bezoutque analizaremos posteriormente.El primer resultado significativo es el siguiente :

Lema 5.3.4 ([KrPa, 96]). Sea O(L, `, n) el conjunto de todos los polinomios en K[X1, . . . , Xn]que se pueden evaluar mediante un esquema de evaluacion de talla L y profundidad `. SeaW (L, `, n) la clausura Zariski de ese conjunto. Entonces, se verifica

degW (L, `, n) ≤ (2`+1 − 2)2L(L−(n+1)).

Teorema 5.3.5 (Existencia de Conjuntos Cuestores). Sea K un cuerpo y sean n, `, L ∈ N,L ≥ n+ 1. Sean

u := (2`+1 − 2) (2` + 1)2 and t := 6 (`L)2.

Supongamos que la caracterıstica de K es mayor que u o que la caracterıstica de K es cero.Entonces, el conjunto 1, . . . , un ⊂ Kn contiene al menos unt (1 − u− t6 ) conjuntos cuestoresde longitud t para W (L, `, n). En particular, contiene al menos uno.

Observe el lector que un eleccion aleatoria de un subconjunto cualquiera de t elementos delconjunto 1, . . . , un ⊂ Kn es un conjunto cuestor para W (L, `, n) con probabilidad mayor que

(1− u− t6 ) > 1/2.

Por tanto, el algoritmo del Tests de Zippel–Schwartz se transforma en un algoritmo RP medi-ante el siguiente esquema :

Input : El codigo de un esquema de evaluacion bien paralelizable G en n variables, que evaluaun polinomio de grado d. Supongamos que G es de talla L y profundidad `.Compute u y t (como en el Teorema anterior)

guess indeterministically Q ⊆ 1, . . . , un de cardinal t.Eval G en x para cada x ∈ Q.if G(x) 6= 0, para algun x Output : “Es un polinomio no nulo”,

else Output : “Probablemente sea nulo”,fi

end

En este caso, la probabilidad de no cometer errores es, al menos

(1− u− t6 ).

5.3.3. Witness Theorem. Comencemos fijando la terminologıa con la siguiente Definicion :

Definicion 75. Un testigo (Witness) para un polinomio F ∈ K[X1, . . . , Xn] es un puntoω ∈ Kn tal que si F (ω) = 0 implica P = 0.

En otras palabras, un testigo es un punto ω ∈ Kn fuera del conjunto de puntos K−racionalesde la hipersuprficie V (F ) (si hubiera alguno). La manera de obtenerlo de modo explıcito es elsiguiente Teorema

Teorema 5.3.6 (Witness Theorem). Sea K un cuerpo de numeros, F ∈ K[X1, . . . , Xn] un poli-nomio no nulo evaluable por un esquema de evaluacion Γ de talla L, profundidad ` y parametrosen F ⊆ K. Sea ω0 ∈ K tal que se verifica la siguiente desigualdad :

ht(ω0) ≥ maxlog 2, ht(F).Sea N ∈ N un numero natural tal que se verifica la siguiente desigualdad :

logN > log(`+ 1) + (`+ 2)(log 2) (log log(4L)) .


Definamos recursivamente la siguiente secuencia de numeros algebraicos (conocida como Es-quema de Kronecker) :

ω1 = ωN0 ,

y para cada i, 2 ≤ i ≤ n, definamos

ωi = ωNi−1.

Entonces, el punto ω := (ω1, . . . , ωn) ∈ Kn es un testigo para F (i.e. F (ω) 6= 0).

La demostracion se sigue por un argumento inductivo, que usa fuertemente una Generalizacionde la Desigualdad de Liouville, descrito en [CHMP, 01].

Corollario 5.3.7. Sea F ∈ K[X1, . . . , Xn]un polinomio no nulo evaluable por un esquema deevaluacion de talla L, profundidad ` y parametros en F := x1, . . . , xr ⊆ K. Sea ω−1 ∈ K talque

ht(ω−1) := maxlog 2, ht(x1), . . . , ht(xr).

Definamos ω0 ∈ K como ω0 := ω2L2

−1 . Sea N ∈ N un numero natural tal que

logN > log(`+ 1) + (`+ 2)(log 2) (log log(4L)) .

Definamos recursivamente la siguiente secuencia de numeros algebraicos (Esquema de Kro-necker) :

ω1 = ωN0 ,

y para cada i, 2 ≤ i ≤ n, definamos ωi = ωNi−1. Entonces, el punto ω := (ω1, . . . , ωn) ∈ Kn esun Testigo para F (i.e. F (ω) 6= 0).

Observacion 5.3.8.

i) El resultado nos da, codificado como un esquema de evaluacion, un punto en el que nose anula el polinomio dado. Sin embargo, el tal Testigo es un punto que, en expansionbinaria, resulta excesivo para poder manejarlo del modo adecuado. Por ello, el usode metodos tipo Witness Theorem exigen poner un especial cuidado con el tamanode los resultados intermedios o, en su defecto, usar Tests Probabilistas para numerosdados por esquemas de evaluacion como los que se introducen en la Subseccion 5.3.4siguiente.

ii) El Caso Denso . Para la mayorıa (genericamente) de los polinomios F ∈ K[X1, . . . , Xn]de grado d, el esquema de evaluacion optimo tiene talla

L =

(d+ n

n

),

y profundidad ` = log d + O(1). Los parametros en este caso generico son los co-eficientes de F . El Teorema 5.3.6 anterior dice que existe una pequena constanteuniversal c2 > 1, tal que la cota que debe verificar N es simplemente la cota sigu-iente :

logN > c2n log2 d.

iii) El caso Ralo (Sparse/Fewnomials). Supongamos que nuestro polinomio F ∈K[X1, . . . , Xn] tiene pocos terminos no nulos. Supongamos que F tiene grado a losumo d y que a lo sumo M de sus terminos tienen coeficientes no nulos. Entre estospolinomios, el esquema de evaluacion optimo que los evalua tiene talla del ordenL = c3Md (donde c3 > 0 es una constante universal), y profundidad log2 d + O(1).Entonces, el Teorema 5.3.6 anterior dice que existe una pequena constante c3 > 1, talque la condicion para definir N en el esquema de Kronecker es la siguiente :

logN > c3 log d (log log d+ log logM) .


5.3.4. Tests de Nulidad para Numeros Dados por Esquemas de Evaluacion. Delmismo modo que los esquemas de evaluacion pueden ser la buena estructura de datos paracodificar polinomios que aparecen en Teorıa de la Elminacion, la misma estructura de datosse aplica a la representacion de numeros enteros y racionales que aparecen como resultados deeliminacion. Del mismo modo que ocurre con los polinomios, los esquemas de evaluacion denumeros son muy adecuados para realizar operaciones aritmeticas entre numeros codificadosmediante esquemas. Sin embargo, los Tests de Igualdad (o Tests de Nulidad) son problematicos.En este sentido, la operacion correspondiente a la evaluacion de un polinomio es la operacionde evaluar un esquema de evaluacion modulo una constante dada. La buena capacidad deadaptacion de los esquemas de evaluacion para estas propiedades hace que los Tests de Nulidadpara esquemas de evaluacion representando numeros pasen por los calculos modulares.Los algoritmos esenciales en esta Seccion vienen de los trabajos de O.H. Ibarra, S. Moran5 ydel trabajo de A. Schonhage 6

El resultado esencial es el siguiente Teorema que aprovecha ampliamente del Teorema de Den-sidad de los Numeros Primos.

Teorema 5.3.9. Existe un algoritmo probabilista que, en tiempo polinomial decide la nulidadde todo numero entero evaluado por un esquema de evaluacion.

El resultado tecnico esencial es el siguiente Lema.

Lema 5.3.10. Sea Nun numero entero no nulo tal que

|N | ≤ 22n2n

Etonces, para n suficientemente grande, la probabilidad de que N 6= 0 mod m, para una eleccionaleatoria de m ∈ 1, . . . , 22n es, al menos,

1

4n

El algoritmo correspondiente se define del modo siguiente :

Input : Γ el codigo de un esquema de evaluacion de talla L evaluando un numero entero.Gess un conjunto DL de 4L numeros enteros en el conjunto 1, . . . , 22L,

if Γ 6= 0modm, para algun m ∈ DL, Output : “El numero es no nulo”.else Output :“El numero es probablemente nulo.

fiend

La probabilidad de error en este algoritmo es del orden

(1− 1

4L)4L < e−1 < 1/2,

donde e es el numero de Neper.

5.4. Una demostracion elemental del Nullstellensatz de Hilbert: Parte II

La primera prueba del Nullstellensatz de Hilbert puede encontrarse en el trabajo de D. Hilbert7

de 1893. Un poco antes, en 1882, L. Krnoecker 8 demuestra el miso resultado, aunque en uncontexto y con una interpretacion distintas.Previamente al Teorema de los Ceros y, aunque no es necesario, vamos a recordar el Teoremade la Base de Hilbert, en la version de Lasker o Neother. Dicho Teorema fue descrito por D.Hilbert9 en 1890 y puede enunciarse como sigue.

5O.H. Ibarra, S. Moran, Equivalence of Straight–Line Programs. J. of the ACM 30 (1983), 217–228.6A. Schonhage, On the power of random access machines. In H. A. Maurer, ed., Proceedings of

the 6th Colloquium on Automata, Languages and Programming, vol. 71 of LNCS, Springer, 1979,520–529.

7D. Hilbert, Uber die vollen Invariantensysteme. Mathematische Annalen 42 (1893), 313373.8L. Kronecker, Grundzuge einer arithmetischen theorie de algebraischen grossen. J. reine angew.

Math. 92 (1882) 1122.9D. Hilbert,Uber theorie der Algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890), 473-534.

5.4. UNA DEMOSTRACION ELEMENTAL DEL NULLSTELLENSATZ DE HILBERT: PARTE II 211

Teorema 5.4.1 (Hilbert’s Basissatz). Si K es un cuerpo (o un anillo noteheriano), el anilloK[X1, . . . , Xn] es noetheriano. Es decir, todo ideal de K[X1, . . . , Xn] es finitamente generado.En otras palabras, si a es un ideal de K[X1, . . . , Xn] exite un conjunto finito f1, . . . , fs ⊆ atal que:

a = (f1, . . . , fs).

Observacion 5.4.2. El Teorema de la base de Hilbert puede escribirse de maneras diversas.Una maner didactica de recordarle es la siguiente: Supongamos que nos dan un conjunto finitode elementos f1, . . . , fs en el anillo K[X1, . . . , Xn]. Entonces, el ideal a = (f1, . . . , fs) quegeneran se describe mediante:

a := g ∈ K[X1, . . . , Xn] : ∃g1, . . . , gs ∈ K[X1, . . . , Xn], g = g1f1 + · · ·+ gsfs.A las presentaciones de un elemento g de un ideal a como “combinacion lineal” de los gener-adores, es decir, como:

g = g1f1 + · · ·+ gsfs,

se les suele denominar Indetidad de Bezout. Aunque, mas normalmente, se suele aplicar al casog = 1 cuando corresponda.

5.4.1. Nullstellensatz de Hilbert.

Lema 5.4.3. Sea K un cuerpo y f ∈ K[X1, . . . , Xn] un polinomio homogeneo. Entonces, existei, 1 ≤ i ≤ n tal que el polinomio en una variable menos

f(X1, . . . , Xi−1, 1, Xi+1, . . . , Xn),

es un polinomio no nulo.

Demostracion. Es un mero ejercicio de comprobacion.

Teorema 5.4.4 (Hilbert’s Nullstellensatz). Sea a un ideal en un anillo K[X1, . . . , Xn],siendo K un cuerpo infinito. Entonces, la variedad algebraica V = VK(a) ⊆ Kn verifica:

V = ∅ ⇐⇒ 1 ∈ a.

Demostracion. Hay una implicacion obvia: si 1 ∈ a, es decir a = K[X1, . . . , Xn], es obvioque VK(a) = ∅.Para la otra implicacion haremos induccion en n, usando el Corolario 5.3.3 anterior. El cason = 1 es obvio.Supongamos que el resultad es cierto para todo ideal propio en todo ideal de un anillo depolinomios involucrando a los sumo n−1 variavles (esto es, en todo anillo del tipo K[Y1, . . . , Yr],con r ≤ n− 1).Por hipotesis, a es un ideal propio en K[X1, . . . , Xn]. Como K es infinito, podemos encontrarun elemento f ∈ a de grado d no nulo y un subconjunto I de K de cardinal 2d+ 1. Siguiendola descomposicion descrita en la Observacion 5.2.2, sea fd(X1, . . . , Xn) su parte homogenea degrado d y no nula. Supongamos, sin perdida de la generalidad, que f(X1, . . . , Xn−1, 1) 6= 0.Por tanto, existe (t1, . . . , tn−1) ∈ In−1, tal que

f(t1, . . . , tn−1, 1) 6= 0.

Consideremos ahora el isomorfismo descrito en la Seccion 5.2 (es decir, el isomorfismo de laEcuacion 5.2.2):

(5.4.1)ϕ : K[X1, . . . , Xn] −→ K[Y1, . . . , Yn]

f 7−→ f(Y1 + t1Yn, . . . , Yn−1 + tn−1Yn, Yn).

Entonces, por el apartado i) del Lema 5.2.1, como a es un ideal propio, tambien lo es el idealb := ϕ(a). Pero g := ϕ(f) es, tras este cambio de variables un polinomio monico no nulo en b.Adicionalmente, consideremos el ideal

c := bc := b ∩K[Y1, . . . , Yn−1].

Como b es propio, tambien lo es c. Y, por hipotesis inductiva, VKn−1(c) 6= ∅.Podemos aplicar el Lema 5.1.3 (se satisfacen las dos condiciones i) y ii)) a b y concluir queVK(b) 6= ∅ es no vacıo. Usando el apartado iii) del Lema 5.2.1, tendremos que VK(a) 6= ∅ es novacıo.


5.4.2. Nullstellensatz de Hilbert: Cuerpos finitos.

Teorema 5.4.5 (Hilbert’s Nullstellensatz: cuerpos finitos). Sea a un ideal en un anilloK[X1, . . . , Xn], siendo K un cuerpo finito. Supongamos que a posee un elemento no nulo y nounidad de grado d ≥ 1. Supongamos que el cardinal de K verifica: ](K) ≥ 2d+ 1. Entonces, lavariedad algebraica V = VK(a) ⊆ Kn verifica:

V = ∅ ⇐⇒ 1 ∈ a.

Demostracion. El resultado se sigue de una demostracion identica a la anterior. Noteseque el punto crıtico es que el numero de elementos del cuerpo sea suficientemente grande.

Observacion 5.4.6. En las utilizaciones algorıtmicas del Nullstellensatz sobre cuerpos finitos,si el cuerpo inicial K sobre el que se trabaja no tiene suficientemente elementos se suelen usarextensiones finitas de K que tienen un cardinal suficientemente grande con respecto a los gradosde los polinomios involucrados. Una forma de entender estas construcciones son las siguientes.

5.4.2.1. Un recordatorio sobre Cuerpos Finitos. Unas palabras para recordar los cuerposfinitos y como podemos extenderlos.

Teorema 5.4.7. Todo cuerpo finito F de cardinal pm y caracterıstica p es el menor cuerpo quecontiene a Z/pZ y a todas las raıces de la ecuacion

Xpm −X = 0.

De hecho, los elementos de F son justamente las raıces de esa ecuacion.

Definicion 76. Sea F un cuerpo finito de cardinal q = pm y sea n un numero entero coprimocon q. Llamaremos raız primitiva n−esima de la unidad a todo elemento θ de F tal que lassiguientes sean las n raıces distintas de la unidad :

1, θ, θ2, . . . , θn−1.

En el caso en que n es coprimo con q las raıces n−esimas primitivas de la unidad sobre F tienenun comportamiento proximo al caso de caracterıstica 0; aunque con matices y diferencias quees necesario destacar.

Definicion 77. Sea F un cuerpo finito de cardinal q = pm y sea n un numero natural nonulo coprimo con q. La siguiente funcion racional es un polinomio en F [X] llamado polinomiociclotomico de grado n :

fn(X) :=∏d|n

(Xn/d − 1

)µ(d)

,

donde µ es la funcion de Mobius. La funcin de Mobius fue introducida como el discriminanteen Teorıa de Numeros. Viene definida del modo siguiente : Sea n ∈ N un numero natural.Definimos µ(n), mediante :

µ(n) :=

0 si n posee algun factor irreducible multiple(−1)r si n = p1 · · · pr con pi primo, gcd(pi, pj) = 11 si n = 1

En suma, µ(n) = 0 si y solamente si posee factores irreducibles multiples. Esto permite iden-tificar las propiedades de la funcion de Mobius con las propiedades del discriminante de unpolinomio. Sin embargo, la funcion de Mobius no se sabe calcular sin conocer la factorizacion(lo que hace de ella una funcion difıcil de evaluar) y tiene propiedades muy significativas comola famosa “Formula de Inversion de Mobius” (vease el texto descrito en el pie de pagina 10

para mas informacion).

10El texto clasico de Teorıa de Numeros G. H. Hardy and E. M. Wright, “An Introduction to theTheory of Numbers”. Oxford at the Clarendon Press, 1938. Este texto contiene la formula de inversionde Mobius como su Teorema 270.


Observese que el calculo de polinomio ciclotomico fn puede hacerse facilmente a partir de lafactorizacion de n (en tiempo O(

√nlog2

2n)) y de todos sus divisores (tiempo O(√nlog2

2n)).Una raız n−esima de la unidad sobre F es un elemento θ tal que θn = 1 y las potencias1, θ, θ2, . . . , θn−1 son todas las raıces n−esimas de la unidad sobre F y son todos distintos.Para calcularlas y poder trabajar con ellas, es necesario hacer uso del siguiente :

Lema 5.4.8. Sea F un cuerpo finito de cardinal q = pm y sea n un numero natural no nulocoprimo con q. Sea (Z/nZ)∗ el grupo multiplicativo de las clases de restos modulo n. Sea rel orden de q como elemento de (Z/nZ)∗. Entonces, el polinomio ciclotomico fn factoriza en

F [X] como un producto de ϕ(n)r polinomios irreducibles de grado r cada uno de ellos, siendo ϕ

la funcion de Euler.

La funcion de Euler : Se define mediante φ(1) = 1 y para n ≥ 2 del modo siguiente :

ϕ(m) := ]a ∈ N : 1 ≤ a ≤ m− 1,mcd(a,m) = 1.Se trata de probar que φ(m) coincide con el numero de elementos del grupo de las unidades en(Z/mZ)∗. En particular, Z/mZ es un cuerpo si y solamente si ϕ(m) = m−1. Otras propiedadesde la funcin de Euler :

i) La funcin de Euler es multiplicativa, esto es, si mcd(p, q) = 1, entonces ϕ(pq) =ϕ(q)ϕ(q).

ii) Se tiene : ∑m|n

ϕ(m) = n

Las raıces primitivas n−esimas de la unidad sobre F son las raıces de uno de esos factores.Para detectar las raıces primitivas de la unidad, factoricemos fn usando uno cualquiera de losalgoritmos de factorizacion de polinomios univariados sobre cuerpos finitos. Por ejemplo, elmetodo descrito por E. Berlekamp y que puede resumirse en el siguiente enunciado:

Teorema 5.4.9 ([Be, 70]). Sea p ∈ N un numero primo. Sea Fp el cuerpo primo de p elemen-tos. Entonces, existe una maquina de Turing M determinista tal que realiza la siguiente tarea :dado f ∈ Fp[T ] un polinomio monico, sin factores multiples y de grado d, M calcula los factoresirreducibles de f en Fp[T ]. El tiempo de calculo de tal maquina de Turing es polinomial en p yd, i.e.

pO(1)dO(1)

A partir de esa factorizacion, sea gn uno de esos factores y definamos el cuerpo

F ′ := F (θ) = F [Y ]/(gn(Y )).

Se tiene :

Lema 5.4.10. La clase de Y modulo gn (esto es, θ ∈ F ′) es una raız primitiva n−esima de launidad sobre F .

Con ello tenemos una descripcion de cualquier cuerpo.

5.4.3. Nullstellensatz: Identidad de Bezout.

Teorema 5.4.11 (Hilbert’s Nullstellensatz: Identidad de Bezout). Sea f1, . . . , fs unconjunto finito de elementos de K[X1, . . . , Xn] no todos nulos y ninugno unidad, siendo K uncuerpo. Sea d el maximo de os grados de los polinomios f1, . . . , fs.Sea V ⊆ Kn la variedadalgebraica V = VK(f1, . . . , fs) ⊆ Kn de los ceros comunes de estos polinomios. Supongamos queel cardinal de K satisface: ](K) ≥ 2d+ 1. En tonces son equivalente:

∃x ∈ Kn, f1(x) = 0, . . . , fs(x) = 0,

y ∃g1, . . . , gs ∈ K[X1, . . . , Xn], tales que:

1 = g1f1 + dotsgsfs.

Demostracion. Simplemente notar que si a es el ideal que generan los polinomios f1, . . . , fs,el ideal es propio si y solamente si V (a) = V (f1, . . . , fs) 6= ∅. El resto es reescritura.


5.4.3.1. La Teorıa de Primer Orden sobre los Complejos admite Eliminacion de Cuantifi-cadores. Una de las aplicaciones obvias del Nullstellensatz en la forma de identidad de Bezoutes la de permitir la eliminacion de cuantificadores existenciales en la Teorıa de Primer Ordensobre los Complejos, por ejemplo, y sobre todo cuerpo de caracterıstica cero. Analicemos unpoco esa formulacion, sin entrar en profundidad en los detalles. Por simplicidad supongamosK = Q y K = C que, aunque no es la clausura algebraica de Q admite la misma formulacion.Consideremos todas las expresiones que se pueden escribir usando los siguientes elementos ysus combinaciones naturales (definen un lenguaje regular):

• Un conjunto numerable de variables Xn : n ∈ N,• Un conjunto de constantes 0, 1,−1,• Operaciones usuales de la teorıa de anillos (+,−, ) y la inversion sobre las constantes

no nulas −1.• Condiciones de signo = 0.• Operadores booleanos ∨,∧,¬.• Cuantificadores que afectan a elementos de K: ∀,∃.

Unas pocas observaciones:

i) Las constantes son los objetos que puedo construir usando −1, 0, 1 y las operaciones

elementales de cuerpo +,−, . Luego se trata de los numero naturales Z.ii) Si admito la inversion de constantes no nulas (−1) tengo el cuerpo de los racionales

Q.iii) Las funciones se obtienen mezclando constantes (en Q), variables y las operaciones de

anillo +,−, , son los polinomios en un numero finito de variables Q[X0, . . . , Xn].iv) Las formulas atomicas son, expresiones de la forma f(X0, . . . , Xn) = 0, con f ∈

Q[X0, . . . , Xn] un polinomio en un numero finito de variables. Usualmente, de admitencomo formulas atomicas las negaciones de las anteriores, es decir, ¬(f(X0, . . . , Xn) =0) o, equivalentemente, f(X0, . . . , Xn) 6= 0.

v) Se admiten coombinaciones booleanas de formulas atomicas. Se pede probar que todasse pueden escribir como:

n∨i=1

k∧j=1

(fi,j = 0)

∧(t∧`=1

(gi,` 6= 0)

).

Una de las primeras observaciones casi inmediatas es que se puede suponer que todas lasformulas son estudiables en forma pre-nexa, es decir, con los cuantifidaores por delante. Suponiendoque fi,j , hi,j ∈ K[X0, . . . , Xn], una formula se primer orden en el lenguaje de cuerpos algebra-caente cerrados en forma pre-nexa es una formula del tipo:

Q1Xi1 , . . . , QrXir ,

n∨i=1

k∧j=1

(fi,j = 0)

∧(t∧`=1

(gi,` 6= 0)

),

donde Qi ∈ ∀,∃ son cuantificadores. Si los cuantificadores son todos del tipo Qi ∈ ∃,decimos que es una formula existencial o que solo involucra un bloque de cuantificadores exis-tenciales.La Semantica de esas formulas consiste en indeiticador las formulas con subconjuntos de Kn,donde K es algebraicamente cerrado.. Unas ideas son:

i) Ası, un atomo, f(X0, . . . , Xn) = 0 se identifica con el conjunto algebraico

V (f) := x = (x0, . . . , xn) ∈ Kn+1 : f(x) = 0.

ii) Una formula del tipo: k∧j=1

(fi,j(X0, . . . , Xn) = 0)

,


se identifica con la variedad algebraica (atmbien llamado cerrado en la topologıa deZariski) V (a) donde a es el ideal generado por fi,1, . . . , fi,m. Es decir, con

V (fi,1, . . . , fi,m) = x ∈ Kn+1 :

k∧j=1

(fi,j(x) = 0)

.De hecho, el Teorema de la Base indica que todo V (a), para cualquier ideal a deK[X0, . . . , Xn] se puede escribir mediante una formula de este tipo.

iii) Una negacion de un atomo f(X0, . . . , Xn) 6= 0 se identifica con el complementario deun conjunto algebraico dado por una sola ecuacion:

V (f)c := x = (x0, . . . , xn) ∈ Kn+1 : f(x) 6= 0.Se llaman abiertos de la sub-base de la toplogıa de Zariski.

iv) Las formulas del tipo: (t∧`=1

(gi,`(X0, . . . , Xn) 6= 0)

),

definen los conjuntos que forman la base de abiertos de la topologıa de Zariski.

x ∈ Kn+1 :

(t∧`=1

(gi,`(x) 6= 0)

).

Por culpa de la condicion noetheriana (Teorema de la Base de Hilbert) todos losabiertos de la toplogıa de Zarsikis seran uniones finitas de abiertos de la base.

v) Las formulas del tipo: k∧j=1

(fi,j = 0)

∧(t∧`=1

(gi,` 6= 0)

)definen conjuntos que son interseccion de un abierto y un cerrado en la topologıa deZariski.

x ∈ Kn+1 :

k∧j=1

(fi,j = 0)

∧(t∧`=1

(gi,` 6= 0)

).

Se llaman, obviamente, localmente cerrados en la topologıa de Zariski.vi) Las uniones finitas de localmente cerrados se denominan constructibles de la toplogıa

de Zariski y, obviamente, son dados por formulas de la forma:

n∨i=1

k∧j=1

(fi,j = 0)

∧(t∧`=1

(gi,` 6= 0)

)

Teorema 5.4.12 (Teorema Fundamental de la Teorıa de la Eliminacion). Sea C ⊆ Kn+1

un conjunto constructible y sea π : Kn+1 −→ Kr una proyeccion. Entonces, π(C) ⊆ Kn+1 estambien constructible.

En otras palabras, sea C ⊆ Kn+1 un conjunto constructible dado por una formula Φ(X0, . . . , Xn)sin cuantificadores. Sea π : Kn+1 −→ Kr la proyeccion dada mediante:

π : Kn+1 −→ Kr(x0, . . . , xn) 7−→ (xn−r+1, . . . , xn).

La proyeccion π(C) es el conjunto dado por la formula

∃Xn−r+1 ∈ K, . . . ,∃Xn ∈ K, Φ(X0, . . . , Xn).

El Teorema afirma que existe una formula de primer orden libre de cuantificadores Ψ de laforma

Ψ(X0, . . . , Xn−r) :=

n∨i=1

k∧j=1

(fi,j(X0, . . . , Xn−r) = 0)

∧(t∧`=1

(gi,`(X0, . . . , Xn−r) 6= 0)

),


tal queπ(C) := x ∈ Kn−r+1 : Ψ(x0, . . . , xn−r).

Por tanto, toda formula con cuantificadores existencias es equivalente a una formula sin cuan-tificadores (se dice libre de cuantificadores). Como los constructibles son cerrados por comple-mentacion y ∀ se interpreta mediante ¬ (∃¬(...)), podemos concluir.

Teorema 5.4.13. Toda formula de primer orden del lenguajde de cuerpos algebraicamentecerrados es semanticamente equivalente a una formula libre de cuantificadores. Luego la teorıaes completa. Ademas es decidible, es decir, existe un algoritmo que elimina los cuantificadoresde la formula cuantificada.

5.4.3.2. Uso del Nullstellensatz Efectivo en la eliminacion de un bloque de cuantificadoresexistenciales. Una de las estrategias antiguas mas habituales para eliminar un bloque de cuan-tificadores existenciales es el uso del llamado Nullstellensatz Efectivo. Fue comenzado por laalumna de D. Hilbert G. Hermann en su trabajo de 1926 [He, 26]. Basicamente, este enunciadopuedes darse como sigue:

Teorema 5.4.14 (Nullstellensatz Efectivo, [He, 26]). Existe una funcion D : N3 −→ R+

que verifica las popiedades siguientes:Sea f1, . . . , fs un conjunto finito de elementos de K[X1, . . . , Xn]. Sea d el maximo de osgrados de los polinomios f1, . . . , fs. Sea V ⊆ Kn la variedad algebraica V = VK(f1, . . . , fs) ⊆Kn de los ceros comunes de estos polinomios. Supongamos que el cardinal de K satisface:](K) ≥ 2d+ 1. Entonces son equivalente:

∃x ∈ Kn, f1(x) = 0, . . . , fs(x) = 0,

y ∃g1, . . . , gs ∈ K[X1, . . . , Xn], tales que:

deg(gi) ≤ D(d, n, s),

Y1 = g1f1 + dotsgsfs.

Ademas, D(d, n, s) puede elegirse satisfaciendo:

D(d, n, s) ≤ (sd)2n .

La demostracion es mas sutil que la descrita para el Nullstellensatz porque es constructiva:se trata de dar descripciones de los polinomios que surgen en el Nullstellensatz en funcion delos datos f1, . . . , fs. Las cotas iniciales de G. Hermann fueron sucesivamente reducidas por lacolaboracion de diversos autores y el paso de casi un centenar de aos. Se pueden destacar lassiguientes:

i) D.W. Masser, G. Wusholtz (cf. [MaWu, 71]) : D(d, n, s) ≤ d2ns.ii) D.W. Brownawell (cf. [Br, 87]), L. Caniglia, A. Galligo, J. Heintz (cf. [CGH, 88]),

J. Kollar (cf. [Kl, 88]) :D(d, n, 2) ≤ max3, dn.iii) Otras variantes con distintos metodos de calculo se puede obtener en [KrPa, 96],

[HMPS, 00], [KPS, 01] y sus referencias.

Este procedimiento da, por ejemplo, un procedimiento para decidir si un sistema de ecuacionespolinomiales posee una solucion en una clausura algebraica sin conocer las soluciones ni calcu-larlas. El ejemplo mas simple es el siguiente procedimiento:

Input: Una lista de polinomios f1, . . . , fs ∈ K[X1, . . . , Xn] con coeficientes en el cuerpo K.

Output: Una respuesta Sı o No a la forumla de primer orden:

∃x1 ∈ K, · · · ,∃xn ∈ K, f1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , fs(x1, . . . , xn) = 0.

Concepto del procedimiento:

Introducir un juego de variables

Z :=

s⋃i=1

Z(i)µ : µ ∈ Nn, |µ| ≤ D(d, n, s).


Introducir la lista de polinomios genericos Gi(Z, X1, . . . , Xn) : 1 ≤ i ≤ s dados mediante:

Gi(Z, X1, . . . , Xn) :=∑

|µ|≤D(d,n,s)

Z(i)µ Xµ1

1 · · ·Xµnn .

Escribir La identidad de Bezout:

(5.4.2) 1 = G1(Z, X1, . . . , Xn)f1(X1, . . . , Xn) + · · ·+Gs(Z, X1, . . . , Xn)fs(X1, . . . , Xn).

Observacion: Se trata de una igualdad entre dos polinomios de grados acotados porD(d, n, s)+d. Por tanto, es un sistema de ecuaciones lineales. Para verificarlo, introduzcamos un poco masde notacion. Como todos los polinomios f1, . . . , fs tiene grado acotado por d, podemos suponerque existen constantes

s⋃i=1

a(i)µ : µ ∈ Nn, |µ| ≤ d,

de tal modo que:

fi :=∑|µ|≤d

a(i)µ Xµ1

1 · · ·Xµnn .

Los coeficientes del producto G1fi se pueden escribir como sigue:

Gi(Z, X1, . . . , Xn)fi(X1, . . . , Xn) :=∑

|θ|≤D(d,n,s)+d

L(i)θ (Z)Xθ1

1 · · ·Xθnn ,

donde L(i)θ (Z) es la aplicacion lineal (en las variables Z(i)

µ dada mediante:

L(i)θ (Z) :=

∑τ + µ = θ,

|τ | ≤ D(d, n, s), |µ| ≤ d

a(i)µ Z(i)

τ .

Finalmente, tenemos la aplicacion lineal:

Lθ(Z) := L(1)θ (Z) + · · ·+ L

(s)θ (Z).

Esto nos permite escribir el polinomio:

G1(Z, X1, . . . , Xn)f1 + · · ·+Gs(Z, X1, . . . , Xn)fs =∑

|θ|≤D(d,n,s)

Lθ(Z)Xθ11 · · ·Xθn

n .

Por tanto, la ecuacion (5.4.2) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones lineales en lasvariables en la coleccion Z siguientes:

(5.4.3)

Lθ(Z) = 0, si θ 6= (0, . . . , 0)Lθ(Z) = 1, si θ = (0, . . . , 0)

Lema 5.4.15. Las siguientes propiedades son equivalentes:

i) Los polinomios f1, . . . , fs posee una solucion comun en Kn, es decir, la formula:

∃x1 ∈ K, · · · ,∃xn ∈ K, f1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , fs(x1, . . . , xn) = 0.

ii) No existen valores en K de la forma

ζ := (z(i)τ : 1 ≤ i ≤ s, |τ | ≤ D(d, n, s)) ∈ KN(d,n,s),

donde N(d, n, s) son los ındices de las variables en la lista Z. Tales que

1 = g1f1 + · · · ‘ + gsfs,

dondegi := Gi(ζ,X1, . . . , Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn].

iii) El sistema de ecuaciones lineales (5.4.3) en las variables Z con coeficientes en K esincompatible.

Demostracion. La equivalencia entre i) y ii) es el Nullstellensatz de G. Hermann. Laequivalencia entre ii) y iii) es mera re-escritura de la identidad de Bezout como sistema deecuaciones lineales. En el cao univariado, el sistema es el famosos sistema asociado a la matrizde Sylvester.


Output: YES si y solamente si el sistema de ecuaciones lineales (5.4.3) es un sistema deecuaciones lineales incompatible.

Teorema 5.4.16. Sea K un cuerpo computable de ceracterıstica distinta de 2 y sea K un cuerpoalgebraicamente cerrado que le contiene. Existe un algoritmo que realiza la tera siguiente:Dados como inputs polinomios f1, . . . , fs ∈ K[X1, . . . , Xn], el algoritmo decide si

∃x1 ∈ K, · · · ,∃xn ∈ K, f1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , fs(x1, . . . , xn) = 0.

El tiempo de ejecucion del algoritmo esta acotado por un procedimiento que realiza un numerode operaciones en K acotado por:

O

((s

(max3, dn + d+ n

n

))ω)) ≤ O(sω max3, dωn

2

+ dωn),

donde ω ≤ 2.7.

Demostracion. Se trata simplemente de decidir si el sistema de ecuaciones lineales (5.4.3)es o no compatible. Para el caso de ceracterıtica distinta de 2 podemos aplicar la cota deBronawell–Caniglia-Galligo-Heintz-Kollar y tendremos

D(d, n, s) ≤ max3, dn.Ahora bien, el sistema de ecuaciones lineales (5.4.3) tiene:

• El numero de variables involucradas es el numero de variables en Z, es decir,

s

(D(d, n, s) + n

n

)≤ s(

max3, dn + n

n

),

para el caso que nos ocupa es el numero de coeficientes estudiado en la Parte 1 delcurso para una listra de s polinomios en n variables de grados acotados por D(d, n, ).

• El numero de ecuaciones en el sistema de ecuaciones lineales (5.4.3) es el numerode coeficientes en n variables de un polinomo de grado acotado por D(d, n, s) + d ≤max3, dn + d.

Finalmente, el exponente ω ≤ 2.7 es el exponente (menor estricto que 3) conocido desde lostrabajos de V. Strassen (cf. [?]) tal que permite decidir si un sistema de n ecuaciones linealesen m variables es compatible en tiempo O(maxn,mω).

Corollario 5.4.17. Existe un algoritmo que permite realizar la tarea siguiente:Dada una secuencia de polinomios f1, . . . , fs, g1, . . . , gt ∈ K[Y1, . . . , Ym, X1, . . . , Xn], hallar unaformula libre de cuantificadores con coeficientes en K y en las variables Y1, . . . , Ym

Ψ(Y1, . . . , Ym),

equivalente a la formula(5.4.4)

∃X1 ∈ K, . . . ,∃Xn ∈ K,

s∧j=1

(fj(Y1, . . . , Ym, X1, . . . , Xn) = 0)

∧(t∧`=1

(g`(Y1, . . . , Ym, X1, . . . , Xn) 6= 0)

).

En particular, la teorıa de primer orden sobre cuerpos algebraicamente cerrados es decidible ycompleta y admite algoritmos de eliminacion de cuantificadores.

Demostracion. La unica idea es reescribir la formula (5.4.4) como una formula del tipodel Nullstellensatz, usando el truco siguiente: anadamos una variable Z` para 1 ≤ ` ≤ t, de talmodo que se observa que la formula siguiente:

(∃X1 ∈ K, . . . ,∃Xn ∈ K, g`(Y1, . . . , Ym, X1, . . . , Xn) 6= 0) ,

es equivalente a la formula

(∃Z` ∈ K,∃X1 ∈ K, . . . ,∃Xn ∈ K, Z`g`(Y1, . . . , Ym, X1, . . . , Xn)− 1 = 0) .

Una vez puesta nuestra formula en la forma del Nullstellensatz del Teorema precedente, hacemoscrecer el cuerpo considerando L = K(Y1, . . . , Ym). Escribimos la correspondiente ecuacion lineal(5.4.3) cuya matriz tiene coordenadas en L. De hecho, las coordenadas estan en K[Y1, . . . , Ym].Ahora, el sistema es incompatible si y solamente si ciertos menores de la matriz de coeficientes


del sistema de ecuaciones lineales (5.4.3) son nulos o no. La formula Ψ(Y1, . . . , Ym) son combi-naciones booleanas de condiciones de signo sobre los menores de esa matriz. Esos menores sonpolinomios en K[Y1, . . . , Ym]11. En particular, acabamos de denostrar el Teorema Fundamental

de la Eliminacion usando el Nullstellensatz y Algebra Lineal Elemental. El resto se sigue demodo obvio.

Observacion 5.4.18 (Crıticas a este Procedimiento). Este procedimiento es el que subyacea los intentos de mejorar los Nullstellensatz Efectivos que fueron moda a finales de los anos 80y principios de los 90, pero que siguen siendo considerados resultados de elite en Matematicas.Sin embargo, el metodo no es nada bueno porque la conpmplejidad ni siquiera es simplemente

exponencial: esta en O(dωn2

). Veremos, si es posible a lo largo del curso, que se puede decidiren tiempo O(d(ω+1)n) con una complejidad que necesariamente estan en Ω(dn) (al menos paraalgoritmos universales). Por tanto, no es recomendable usar este procedimiento por mas quesea el mas accesible e inmediato de entender.

5.4.4. Nullstellensatz: Maximales. Esta version del Nullstellensatz (totalmente equiv-alente a las anteriores) tiene sus reminiscencias en el Teorema del Resto, consecuencia inmediarade la division Euclıdea. En Espana, por tradiciones incomprensibles, se suele llamar Teoremade Ruffini al Teorema del Resto. En realidad, estan confundiendo el “Metodo de Ruffini” (quesı es un metodo para dividir por (X − a)) y es debido a Ruffini12. En cambio, en el mundoanglosajon ese metodo de Ruffini es conocido como el “Horner’s method” y se basa en un tra-bajo de Horner13. Una descripcion de ese conocimiento puede verse en [?]. Recientemente, enla campana de enaltecimiento del nuevo imperio global, se ha descubierto, como no, que, enrealidad, el “Metodo de Ruffini” era ya conocido por el matematico chino Qin Jiushao14 en elsiglo XIII. En todo caso, el metodo es tan obvio que darle un nombre carece de interes: es el“metodo” que a cualquiera se le ocurre. Lo que no sı es evidente es que el Teorema de Restoes antecesor de todos ellos, es consecuencia de la existencia de division euclıdea y se remonta,cuando menos, al siglo III a. de C y a los Elementos de Euclides.Haremos la discusion suponiendo que K = K es un cuerpo algebraicamente cerrado. De todosmodos, la restriccon es innecesaria siempre que se consideren adecuandamente los ideales en elanillo de polinomios cuyo cuerpo de coeficientes es el cuerpo base. La hipotesis simplementesimplifica la exposicion de los hechos.

Observacion 5.4.19 (Ideales maximales asociados a puntos). Hay un tipo particular deideales. Supongamos ζ := (z1, . . . , zn) ∈ Kn un punto en el espacio afın. Definimos el siguienteconjunto en el anillo K[X1, . . . , Xn]:

mζ := f ∈ K[X1, . . . , Xn] : f(ζ) = 0.

Se trata claramente de un ideal en K[X1, . . . , Xn] y es un ideal maximal. Ademas, si K = K,se tiene claramente que el cociente:

K[X1, . . . , Xn]/mζ ∼= K.

Se puede probar, ademas, que este ideal maximal tiene el siguiente cojunto de generadores:

mζ := (X1 − z1, . . . , Xn − zn).

Como notacion, denotaremos como Spm(R) al conjunto de todos los ideales maximales de unanillo R.

11Note el alumno que se trata de los menores que, rudimentariamente, le salıan en los lejanoscursos de secundaria en los que se discutıa si un sistema de ecuaciones lineales con parametros eracompatbile o no.

12P. Ruffini, Sopra la determinazione delle radici nelle equazioni numeriche di qualunque grado. Memoriadel Dottor Paolo Ruffini, pubblico professore di matematica sublime in Modena, uno dei quaranta delia societaitaliana delle scienze ec. Coronata dalla societa medesima. In Modena, MDOCCIV. Presso la societa tipografica.

Con Approvazione, 1804.13W. G. Horner, Horner, William George (July 1819). A new method of solving numerical equations of

all orders, by continuous approximation. Philosophical Transactions (Royal Society of London), July 1819,.308335.

14Qin Jiushao, Shu Shu Jiu Zhang (Tratado Matematico en Nueve Secciones), 1247.


Teorema 5.4.20 (Hilbert’s Nullstellensatz: maximales). Sea K = K un cuerpo alge-braicamente cerrado. La siguiente es una biyeccion entre conjuntos no vacıos:

(5.4.5)m : Kn −→ Spm(K[X1, . . . , Xn])

ζ 7−→ mζ

Demostracion. De hecho, se tiene la equivalencia entre las siguientes tres afirmaciones:

i) El cuerpo K es algebraicamente cerrado, esto es, K = K,ii) La aplicacion m anterior es una biyeccion entre Kn y Spm(K[X1, . . . , Xn]),iii) Se verifica el Nullstellensatz de Hilbert en K[X1, . . . , Xn] en la forma siguiente:

Para cada ideal a de K[X1, . . . , Xn], existe ζ ∈ Kn tal que f(ζ) = 0, ∀f ∈ a, si ysolamente si 1 6∈ a.

Probar que si no se verifica i), no se verifica iii) es evidente. Si un cuerpo no es algebraicamentecerrado, siempre hay un polinomio univariado e irreducible que no posee raıces en K (el ejemplof = X2 + 1 ∈ R[X] es clasico). Ese polinomio define un ideal propio a = (f) (con 1 6∈ a) y noposee ninguna solucion en K1. Por tanto, iii)=⇒ i).La implicacion i) =⇒ iii) es simplemente el Teorema 5.4.4, dado que todo cuerpo algebraica-mente cerrado es de cardinal infinito.De otro lado, ii) =⇒ iii). La razon es obviamente la siguiente. En la equivalente de iii) solo hayuna implicacion, la otra es obvia. La implicacion es la siguiente:

1 6∈ a, =⇒ ∃ζ ∈ Kn, f(ζ) = 0, ∀f ∈ a.

Pero si 1 6∈ a, entonces, hay un ideal maximal n de K[X1, . . . , Xn] que contiene al ideal a(i.e.a ⊆ n). Pero, por ii), todos los tales maximales son de la forma n = mζ , con ζ ∈ Kn. Enconclusion, existe ζ ∈ Kn tal que a ⊆ mζ . Esto es lo mismo que escribir f(ζ) = 0, ∀f ∈ a ytendremos la implicacion relevante de iii).Finalmente, iii) =⇒ ii). Si n es un ideal maximal, entonces 1 6∈ n luego, por iii), existe ζ ∈ Kn

tal que f(ζ) = 0, ∀f ∈ n. Esto es lo mismo que decir n ⊆ mζ . Como n es maximal, entoncesn = mζ y m es suprayectiva. La inyectividad se sigue del hecho de que dos puntos disntintos deKn definen distintos maximales mζ1 6= mζ1 .

Observacion 5.4.21. Una variacion clasica de esta verison del Nullstellensatz es el famosoTeorema de Banach-Stone-Cech-Gelfand-Kolmogorov (y algun otro autor que, probablemente,descubiron un resultado analogo por el camino). Una demostracion del mismo pude consultarseen [GiJe, 76]. No inistermoes aquı en su historia, pero este resultado afirma lo siguiente:

Teorema 5.4.22 (Banach-Stone-Cech-Gelfand-Kolmogorov). Si X es un espacio topologicocompacto, entonces X es homemorfo al espectro maximal de C0(X).

5.4.5. Nullstellensatz: Rabinowitsch. El “Truco de Rabinowitsch” es el metodo de-scrito por George Yuri Rainich, bajo el peudonimo de J. J. Raboniwtsch, en su trabajo [Rb, 29].El resultado es una identificacion entre los ideales del anillo de polinomios que son radicales ylas variedades algebriacas. Es consecuencia inmediata del Nullstellensatz y vamos a tratar derecuperarlo.

Definicion 78. El radical de un ideal a de un anillo R se define mediante la siguiente igualdad:√a := f ∈ R : ∃n ∈ N, fn ∈ a.

Un ideal a se llama radical si coincide con su radical, i.e. si a =√a.

Se podrıa hacer un estudio de propiedades del radical de un ideal, pero nos limitaremos a reflejaruna propiedad como la siguiente:

Proposicion 5.4.23. Si a es un ideal de un anillo R, su radical es la interseccion de todos losprimos que le contienen, es decir,

√a =

⋂p : p ⊇ a, p ∈ Spec(R),

donde Spec(R) es el conjunto de todos los ideales primos de R.


Teorema 5.4.24 (Nullstellensatz: Rabinowitsch trick). Sea K un cuerpo infinito y K uncuerpo algebraicamente cerrado que le contiene. Consideremos los conjuntos siguientes:

RadK := a ⊆ K[X1, . . . , Xn] : a es ideal,√a = a.

ClK := VK(b) : a es ideal de K[X1, . . . , Xn].La siguiente aplicacion es una biyeccion:

VK : RadK −→ ClKb 7−→ VK(b)

La aplicacion inversa es dada mediante:

IK : ClK −→ RadKV 7−→ IK(V ) := f ∈ K[X1, . . . , Xn] : f(ζ) = 0, ∀ζ ∈ V .

Dicho de otra manera, para cada ideal b de K[X1, . . . , Xn] se verifica

IK(VK(b)) =√b,

mientras

VK(IK(V )) = V,∀V ∈ ClK.

Demostracion. En realidad solo hay que probar que para cada ideal b de K[X1, . . . , Xn]se verifica

IK(VK(b)) =√b.

Y, dado que tenemos que K[X1, . . . , Xn] es noetheriano, basta con que probemos que dadoun conjunto finito de elementos f1, . . . , fs en K[X1, . . . , Xn], y dado un elemento adicionalf ∈ K[X1, . . . , Xn], si f se anula sobre VK(f1, . . . , fs), entonces, existen m ∈ N y existeng1, . . . , gs ∈ K[X1, . . . , Xn] verificando:

fm := g1f1 + · · ·+ g2f2.

En realidad, tecnicamente, el Truco de Rabinowirsch consiste en trabajar en la localizacionK[X1, . . . , Xn]f , pero, para no introducir mas lenguaje sofisticado en el curso, lo haremos sinhablar de esa localizacion.Para hacerlo de esta manera clasica, introduzcamos una nueva variable Xn+1 y trabajemos enel anillo de polinomios K[X1, . . . , Xn, Xn+1]. En este anillo de polinomios consideremos el idealb′ generado por los siguientes polinomios:

b′ := (f1, . . . , fs, Xn+1f − 1).

Dado que f se anula en todos los puntos en los que se anulan simultaneamente f1, . . . , fs,entonces

VK(b′) ⊆ Kn+1,

es el conjunto vacıo, esto es, VK(b′) = ∅. Podemos aplicar el Nullstellensatz basico (Teorema5.4.4 anterior) y concluiremos que existen g1, . . . , gs, gs+1 en K[X1, . . . , Xn+1] tales que

1 = g1f1 + · · ·+ g2f2 + gs+1(Xn+1f − 1).

Ahora reemplazamos la variable Xn+1 por 1f en la expresion anterior, observando que f1, . . . , fs

no contienen esa variable, y obtendremos:

1 :=

(s∑i=1

gi(X1, . . . , Xn,1

f)fi(X1, . . . , Xn)

)+ gs+1(X1, . . . , Xn,

1

f)(

1

ff − 1).

Es decir, obtenemos la siguiente igualdad (en K[X1, . . . , Xn]f ):

(5.4.6) 1 :=

(s∑i=1

gi(X1, . . . , Xn,1

f)fi(X1, . . . , Xn)

).

Sea m una cota superior de los grados de los gi’s con respecto a la variable Xn+1. Entonces, esuna mera comprobacion el verificar que:

hi(X1, . . . , Xn) = fmgi(X1, . . . , Xn,1

f) ∈ K[X1, . . . , Xn].


Por tanto, multiplicando por fm a la identidad (??) obtendremos:

fm :=

(s∑i=1

hi(X1, . . . , Xn)fi(X1, . . . , Xn)

)∈ b.

Por tanto, f ∈√b y tenemos la afirmacion buscada.

Corollario 5.4.25. Si K = K es un cuerpo algebraicamente cerrado, el radical y el radical deJacobson de todo ideal en K[X1, . . . , Xn] coinciden, es decir, para cada ideal a de K[X1, . . . , Xn]se tiene: √

a =⋂m ∈ Spm(K[X1, . . . , Xn]) : m ⊇ a.

Demostracion. Un contenido es evidente (⊆), para el otro, supogamos que f esta entodos los ideales maximales que contienen a a. Pero los maximales en K[X1, . . . , Xn] estanasociados a puntos. Entonces, si ζ ∈ VK(a), entonces mζ ⊇ a y, por tanto, f ∈ mζ . Luego

f(ζ) = 0. Por la version anterior del Nullstellensatz, concluimos que f ∈√b y la afirmacion

queda demostrada.

Observacion 5.4.26. El Truco de Rabinowitsch, que no es sino una variante del Nullstellen-satz, permite introducir un Diccionario Algebra-Geometrıa que permitira traducir indistin-tamente los objetos geometriocs a objetos descriptibles mediante polinomios y recıprocamente.Este es el principio de la Geometrıa Algebraica y tendra su influencia en el posterior desarrollode la Geometrıa a lo largo de la segunda mitad del siglo XX y princpios del XXI. Por lo quea nosotros respecta, nos quedaremos con que esa identificacion existe y la usaremos cuandoconvenga.

CAPıTULO 6

Anillos y Modulos Noetherianos: Primeras propiedades

Indice

6.1. Introduccion 2236.2. Diagramas Conmutativos, Complejos y Sucesiones Exactas 2246.3. El Bi-functor HomR(−,−), localizacion, y propiedades locales 2276.4. Anillos y Modulos Noetherianos 2296.4.1. Condicion de cadena ascendente para submodulos e ideales 2296.4.2. El Teorema de la Base de Hilbert 2316.5. Descomposicion Primaria 2346.5.1. Un par de resultados tecnios peliminares: NAK y otros 2346.5.2. Descomposicon Primaria: Teorema de Lasker–Noether 2356.6. Temas Opcionales 2396.6.1. Snake Lemma 2396.6.2. Libres, Proyectivos, Inyectivos y Planos (Opcional) 2406.7. Cuestiones y Problemas 240

6.1. Introduccion

Aunque dedicaremos parte de este Capıtulo a anadir mas nociones elementales el objeto fun-damental es establecer los fundamentos sobre anillos y modulos noetherianos, el Teorema dela Base de Hilbert y la existencia de decomposicion primaria en anillos neotherianos (Teo-rema de Lasker–Noether). Dejaremos para el siguiente Capıtulo los aspectos de unicidad en ladescomposicion primaria.El primer enunciado esencial sobre anillos noetherianos es el Teorema de la Base de Hilbert(Basissatz)1. Nadie discute a Hilbert su prioridad en este sentido, pero es E. Noether quienestabliza la nocion y le concede el valor y relevancia que posteriormente tendra. En aquellaepoca no todo se publicaba y se sabe por documentos, notas aisladas de seminarios y conferenciasque E. Neother usaba sistematicamente las condiciones de cadena ascendente y descendente.En su trabajo de 19212 E. Noether pone en marcha el Algebra Conmutativa e incorpora aella las nociones de noetherianidad como nociones centrales. La influencia de Noether en elfuturo desarrollo del Algebra Conmutativa (de la que la podemos considerar como fundadora)se fundamentara a traves de su propia obra, pero tambien a traves de muchos de sus alumnoscomo W. Krull3. Dedicaremos la Seccion 6.4 a definir y establecer las propiedades mas basicasde los anillos y modulos noetherianos.No es menos desdenable el famoso Teorema de Lasker–Noether. Este resultado que generalizala factorizacion a traves de al descomposicion primaria de ideales, fue probado por el alumnode D. Hilbert (y famoso jugador de ajedrez, a quien le ineteresaban mas los tableros que lasmatematicas) E. Lasker en 1905 4 para anillos de polinomioas y anillos de series de potenciasformales. Fue, sin embargo, E. Noether quien lo generalizo a todo anillo y modulo verificando

1 D. Hilbert, Uber theorie der Algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890), 473–534.2E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen 83 (1921) 24–66.3Veanse, por ejemplo, sus contribuciones en:

• W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 10

(1929), 729744.

• W. Krull, Idealtheorie, Springer, 1935.

4 E. Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann. 60 (1905), 19116.

223

224 6. NOETHERIANOS

las condiciones de cadena ascendente en su trabajo de 1921 ya citado. Dedicaremos la Seccion6.5 a establecer esta version de Noether de la descomposicion primaria.

6.2. Diagramas Conmutativos, Complejos y Sucesiones Exactas

Comencemos con una nocion basica de Combinatoria.

Definicion 79 (Grafo orientado). Un grafo orientado es un par G := (V,E), donde V es unconjunto (cuyos elementos se denominan vertices o nodos) y E ⊆ V 2 es una relacion (cuyoselementos se denominan aristas). Un camino en un grafo orientado es una sucesion finita devertices

ν1, . . . , νn,

de tal modo que (νi, νi+1) ∈ E. En ocasiones, el camino se describe mediante la notacion:

ν1 → ν2 → · · · → νn.

Un ciclo es un camino que comienza y termina en el mismo nodo.Un grafo con pesos en un conjunto F es un par (G,A), donde G := (V,E) es un grafo yA : E −→ F es una aplicacion que asigna a cada arista (ν1, ν2) un elemento A(ν1, ν2) ∈ F .

Observacion 6.2.1. Usualmente, en Combinatoria, se tratan los grafos G := (V,E) para los queel conjunto de vertices V es finito. Sin embargo, esta restriccion es, a veces, poco enriquecedora.Por ejemplo, considerando V := N2 y E formado por los pares (µ1µ2) dados mediante lapropiedad µ1 ≤deg−lex µ2 es un grafo orientado definido por una relacion de orden.Es decir, toda relacion de orden ≤ sobre un conjunto V , define un grafo orientado (V,≤).Recıprocamente todo grafo orientado permite definir una relacion sobre el conjunto de susvertices que no siempre es relacion de orden salvo que anadamos bulces (self–lopps) de la forma(x, x) y que no haya ciclos con mas de un nodo.Otros ejemplos sintomaticos de grafos orientados son los sistemas dinamicos formados por unpar (M,f) donde M es una variedad y f : M −→ M es un difeomorfismo. esto permiteintroducir un grafo (M,Gr(f)), donde Gr(f) es el grafo de f .

Definicion 80 (Diagrama en la categorıa de R−modulos). Un diagrama en la categorıade R−modulos MR en un grafo con pesos (G,A), donde G = (V,E), los vertices en V sonR−modulos y la asignacion A a las aristas, satisface:

∀(M,N) ∈ E, A(M,N) ∈ HomR(M,N).

Un diagrama conmutativo en la categorıa de R−modulos es un diagrama (G,A), donde G =(V,E) si verifica los siguiente:dados dos caminos en el grafo:

N1 → N2 → · · · → Nn,

yM1 →M2 → · · · →Mm,

con el mismo punto inicial y final (M1 = N1, Mm = Nn) y dadas las asignaciones de morfismos:

fi := A(Ni, Ni+1, 1 ≤ i ≤ n− 1, gj := A(Mj ,Mj+1), 1 ≤ j ≤ m− 1,

se tienefn−1 fn−2 · · · f1 = gm−1 gm−2 · · · g1,

donde quiere decir, como siempre, composicion.

Notacion 6.2.2. Usualmente se usan los sımbolos o para representar la conmutatividadde una diagrama. Asıa la propiedad que define la conmutatividad de un diagrama se puedeescribir mediante el dibujo siguiente:

N2f2−−−−−→ · · ·

fn−3−−−−−−−−→ Nn−2

fn−2−−−−−−−−→ Nn−1

f1 fn−1 M1 = N1 Mm = Nm

g1 gm−1 M2 −−−−−→g2

· · · −−−−−−−−→gn−3Mm−2 −−−−−−−−→gn−2

Mm−1

6.2. DIAGRAMAS CONMUTATIVOS, COMPLEJOS Y SUCESIONES EXACTAS 225

Ejemplo 6.2.3 (Diagrama Conmutativo de los Teoremas de Isomorfıa). Veamos algunos ejem-plos sencillos de diagramas conmutativos asociados a los Teoremas de Isomorfıa de R−modulosdiscutidos en Capıtulos anteriores.

• Primer Teorema de Isomorfıa: Consideremos un morfismo de R−modulos f :M → N . Consideremos M/ker(f) el cociente por el nucleo, sea π : M −→M/ker(f)la proyeccion canonica y sea i : Imf(f) −→ N la inclusion de la imagen en N . El

Primer Teorema de Isomorfıa afirma que existe un unico isomorfismo f : M/ker(F ) −→Im(f) que hace conmutativo el diagrama siguiente:

fM −→ N

π ↓ ↑ iM/ker(f) −→ Im(f)

f

• Segundo Teorema de Isomorfıa: Consideramos N ⊆ L dos submodulos de M .Como L/N es submodulo de M/N tenemos tres proyecciones:

π1 : M −→M/N, π2 : M −→M/L, π2 : M/N −→ (M/N)/(L/N).

El Segundo Teorema de Isomorfıa afirma que existe un unico isomorfismo π : M/L −→(M/N)/(L/N) haciendo conmutativo el siguiente diagrama:

π1

M −→ M/Nπ2 ↓ ↓ π3

M/L −→ (M/N)/(L/N)π

• Tercer Teorema de Isomorfıa: Consideramos N1, N2 dos submodulos de unR−modulo M . Tenemos los morfismos siguientes: i : N1 −→ N1 +N2 dado como lainclusion, tenemos que N1∩N2 es submodulo de N1 y, por tanto, tenemos la proyeccionπ1 : N1 −→ N1/(N1 ∩ N2) y, finalmente, N2 es submodulo de N1 + N2 con lo quetenemos la proyeccion π2 : N1 + N1 −→ (N1 + N2)/N2. El Tercer Teorema de Iso-

morfıa afirma que existe un unico isomorfismo de R−modulos i : N1/(N1 ∩ N2) −→(N1 +N2)/N2 haciendo conmutativo el siguiente diagrama:

iN1 −→ N1 +N2

π1 ↓ ↓ π2

N1/(N1 ∩N2) −→ (N1 +N2)/N2

i

Definicion 81 (Complejos de R−modulos). Se denomina complejo de R−modulos a tododiagrama dado como una secuencia (sub-indicada por Z o N, segun el caso) de modulos ymorfismos:

C := · · ·Mdi−−−−−→

i Mdi+1

−−−−−−−→i+1 M

di+2−−−−−−−→i+2 · · · ,

de tal modo que di+1 di (o, equivalentemente, Im(di) ⊆ ker(di+1)). A los morfismos di se lesdenomina morfismos frontera5.

Definicion 82 (Sucesiones exactas de R−modulos). Las sucesiones exactas de R−modulosson los complejos de R−modulos:

C := · · ·Mdi−−−−−→

i Mdi+1

−−−−−−−→i+1 M

di+2−−−−−−−→i+2 · · · ,

que verifican:Im(di+1) = ker(di), ∀i.

5La terminologıa viene de la Topologı Algebraica y los morfismos frontera inducidos por triangulaciones,

ası como los terminos ciclo, borde para representar, respectivamente ker(di) e Im(di+1), permitiendo definir los

grupos de homologıa Hi(X) := ker(di)/Im(di+1).

226 6. NOETHERIANOS

Se llaman sucesiones exactas cortas a las sucesiones exactas de la forma:

0 −→M′ f−−−−−→M

g−−−−→M ′′ −→ 0,

Donde 0 es el R−modulo nulo, y 0 −→ M ′, M ′′ −→ 0, son los morfismo obvios (y, por ello,no se representan).

Observacion 6.2.4 (Primeras Observaciones). Como primeros comentarios obvios, supong-amos que tenemos una sucesion exacta de R−modulos:

0 −→M′ f−−−−−→M

g−−−−→M ′′ −→ 0,

• Como es exacta y 0 −→ M ′ es el morfismo nulo 0, Im(0) = ker(f) = 0 significa quenecesariamente f ha de ser inyectiva. Algunos autores usan la notacion M ′ →M

• Como es exacta y M ′′ −→ 0 es el morfismo nulo 0, ker(0) = M ′′ = Im(g) significaque f ha de ser necesariamente suprayectiva. Algunos autores usan M M ′′.

• Finalmente, es una forma distinta de escribir que

M/f(M ′) ∼= M ′′.

• En el caso de espacios vectoriales de dimension finita, una sucesion exacta como laanterior, implicarıa que M ∼= M ′ ⊕M ′′. Esto, que es cierto para espacios vectoriales,no es cierto para modulos. Baste con observar la s.e.c. siguiente:

0 −→ 2Zf

−−−−−→Zg

−−−−→Z/2Z −→ 0,

donde f es la inclusion y g es la proyeccion. Clarmente Z 6∼= 2Z ⊕ (Z/2Z), porque Zes libre de torsion y 2Z⊕ (Z/2Z) tiene torsion.

Ejemplo 6.2.5 (Nucleo y Co-nucleo y s.e.c.). Dado un morfismo de R−modulos f : M −→N , tenemos una sucesion exacta de la forma siguiente:

0 −→ ker(f)i−−−−−→M

f−−−−−→N

π−−−−−→Coker(f) −→ 0,

donde i es la inclusion y π es la proyeccion obvia.

Proposicion 6.2.6. Dado un complejo de R−modulos

C := · · ·Mdi−−−−−→

i Mdi+1

−−−−−−−→i+1 M

di+2−−−−−−−→i+2 · · · ,

entonces C es exacto si y solamente si para cada i, la sucesion exacta corta siguiente es exacta:

Ci := 0 −→ ker(di)ki−−−−−−→M

di−−−−−→i ker(di+1) −→ 0,

donde ki es la inclusion canonica.

Demostracion. Si la sucesion C es exacta, entonces Im(di) = ker(di+1) para cada i.Claramente, Im(ki) = ker(di) por definicion, ası que Ci es una sucesion exacta corta. Elrecıproco es igualmente obvio.

Definicion 83 (Functores exactos). Un functor F de la categorıa de R−modulos MR en sımisma, se denomina exacto si transforma sucesiones exactas en sucesiones exactas.A la vista de la Proposicion anterior, un functor es exacto si y solamente si transforma suce-siones exactas cortas en sucesiones exactas cortas.

Definicion 84 (Functor exacto a izquierda). Un functor F de la categorıa de R−modulosMR en sı misma, se denomina exacto si verifica las condiciones siguientes:

• En el caso covariante, F transforma sucesiones exactas cortas

0 −→M ′ −→M −→M ′′ −→ 0

en sucesiones exactas

0 −→ F (M ′) −→ F (M) −→ F (M ′′).

6.3. EL BI-FUNCTOR HomR(−,−), LOCALIZACION, Y PROPIEDADES LOCALES 227

• En el caso contravariante, G transforma esa misma sucesion exacta corta en la sucesionexacta

0 −→ G(M ′′) −→ G(M) −→ G(M ′).

6.3. El Bi-functor HomR(−,−), localizacion, y propiedades locales

Proposicion 6.3.1. Dados R−modulos M y N , los functores HomR(M,−) y HomR(−, N)son exactos a izquierda.

Demostracion. Hagamos la prueba para HomR(M,−) y dejamos el otro como Ejercicio.Consideremos una sucesion exacta de R−modulos:

0 −→ N′ f−−−−−→N

g−−−−→N ′′ −→ 0,

Tenemos la sucesion siguiente:

0 −→ HomR(M,N ′)HomR(M,f)

−−−−−−−−−−−−−−−−−→HomR(M,N)HomR(M, g)

−−−−−−−−−−−−−−−−→HomR(M,N ′′),

donde el morfismo que sale del modulo nulo es el obvio morfismo nulo. Tenemos, ademas, losmorfismos:

HomR(M,f) : HomR(M,N ′) −→ HomR(M,N)h 7−→ f h.

yHomR(M, g) : HomR(M,N) −→ HomR(M,N ′′)

h 7−→ g h.Para ver que HomR(M,f) es inyectiva, sea h ∈ HomR(M,N ′) tal que HomR(M,f)(h) = 0.Esto significa que ∀m ∈ M , f h(m) = f(h(m)) = 0. Como f es inyectiva, esto implicah(m) = 0, ∀m ∈M . Con lo que HomR(M,f) es monomorfismo y tenemos exactitud en el nodoHomR(M,N ′).De otro lado, observamos que HomR(M, g)HomR(M,f) = HomR(M, gf) = HomR(M, 0) =0, con lo que

Im(HomR(M,f)) ⊆ ker(HomR(M, g)).

De otro lado, sea h ∈ HomR(M,N) tal que HomR(M, g)(h) = g h = 0. Por tanto, Im(h) ⊆ker(g) = Im(f). Ademas, f era inyectiva, luego la siguiente es una aplicacion bien definida :

h0 : M −→ N ′

m 7−→ f−1(h(m)).

Es facil comprobar que es morfismo deR−modulos y mas facil aun verificar queHomR(M,f)(h0) =h.

A partir de la localizacion tambien podemos definir un functor del modo siguiente: Sea S ⊆ Run sistema multiplicativo en un anillo R y sea f : M ′ −→M un morfismo entre dos R−modulos.Definamos:

S−1 : S−1M ′ −→ S−1Mms 7−→ f(m)

s .

Se tiene:

Proposicion 6.3.2. El functor S−1 es un functor covariante exacto de la categorıa de R−modulos.En particular, si N y P son submodulos de un R−modulo M , se tiene:

• S−1(N + P ) = S−1N + S−1P ,• S−1(N ∩ P ) = S−1N ∩ S−1P ,• Los S−1R−modulos S−1 (M/N) y S−1M/S−1N son isomorfos.

Demostracion. Para probarlo, es evidente comprobar que S−1f es morfismo de S−1R−modulosy que S−1(gf) = S−1gS−1f , para cualesquiera dos morfismos f : M ′ −→M , g : M −→M ′′.Tambien es claro que S−1IdM = IdS−1M . Nos queda solamente analizar la exactitud comofunctor. Para ello, consideremos una sucesion exacta de R−modulos:

0 −→M′ f−−−−−→M

g−−−−→M ′′ −→ 0,

228 6. NOETHERIANOS

Tenemos la sucesion siguiente:

0 −→ S−1M′ S−1f−−−−−−−−−→S−1M

S−1g−−−−−−−−→S−1M ′′) −→ 0,

Comencemos observando que ker(S−1f) = 0. Para ello, si ms ∈ S−1M ′ es tal que

S−1f(m

s) =

f(m)

s= 0,

es porque existe t ∈ S tal que t(f(m) − s0) = 0, es decir, f(tm) = 0 y, como f es inyectiva,tm = t(m1− s0) = 0 o lo que es lo mismo m

s = 0 en M ′.

Seguidamente, es claro que 0 = S−1(g f) = S−1g S−1f = 0, con lo que Im(S−1f) ⊆ker(S−1g). Supongamos ahora m

s ∈ ker(S−1g) ⊆ S−1M . Esto significa que

S−1g(m

s) =

g(m)

s= 0,

es decir, existe t ∈ S ⊆ R tal que t(g(m)1 − s0) = tg(m) = 0. Por tanto, g(tm) = 0 ytm ∈ ker(g) = Im(f). Es decir, existe n ∈ M ′ tal que f(n) = tm. Considero, entonces,nts ∈ S

−1M ′ (que tiene sentido porque t, s ∈ S y S es un sistema multiplicativamente cerrado).Tendremos:

S−1f(n

ts) =

f(n)

ts=tm

ts=m

s∈ Im(S−1f).

Con esto tenemos la exactitud en el nodo S−1M . Resulta muy sencillo probar que S−1g es un

epimorfismo. Para ello, sea m′′

s ∈ S−1M ′′ un elemento cualquiera. Como g es suprayectiva,

existe m ∈ M tal que g(m) = m′′. Entonces, resulta claro que S−1g(m′′

s ) = g(m)s = m′′

s ∈Im(S−1g).Las otras propiedades descritas en el enunciado son sencillas de probar (como S−1(N + P ) =S−1N + S−1P ) o son consecuencia de los Teoremas de Isomorfıa combinados con la exactitudcomo functor (como S−1(N ∩ P ) = S−1N ∩ S−1P o S−1 (M/N) ∼= S−1M/S−1N).

Corollario 6.3.3. Similares propiedades se verifican para ideales en un anillo. Es decir,

i) Para cada ideal a de R, S−1a es ideal de S−1R. De hecho, S−1a es el ideal de S−1Rgenerado por a1 : a ∈ a. Notese que si S ∩ a 6= ∅, entonces S−1a = S−1R.

ii) Para dos ideales a, b de R, se tiene• S−1(a + b) = S−1a + S−1b,• S−1(a ∩ b) = S−1a ∩ S−1b

iii) Hay una biyeccion entre los ideales primos de R que tienen interseccion vacıa con Sy Spec(S−1R):

S−1 : p ∈ Spec(R) : p ∩ S = ∅ −→ Spec(S−1R)p 7−→ S−1p.

iv) La anterior porpiedad no es, en general, cierta cuando se trata de ideales maxi-males. De hecho, los ideales maximales de S−1R son las localizaciones S−1m, dondem ∈ Spec(R) es maximal entre los primos con interseccion vacıa con S (pero nonecesariamente maximal en R).

Demostracion. Las propiedades (1) y (2) son mera reescritura de la anterior Proposicion.

La propiedad (3) tiene un poco mas de interes. Tomemos xs ,

x′

s′ ∈ S−1R tales que

x

s

x′

s′=xx′

ss′=y

r∈ S−1p,

donde y ∈ p, r ∈ S. Entonces, existe y t ∈ S tal que t(xx′r − yss′) = 0. Como y ∈ p, tambiense tiene tyss′ ∈ p y, por tanto, trxx′ ∈ p. Pero tr ∈ S \ p, luego xx′ ∈ p y p es primo en R. Deesto concluimos que x ∈ p o x′ ∈ p, lo que, obviamente, implica

x

s∈ S−1p ∨ x

′

s′∈ S−1p,

y S−1p ∈ Spec(S−1R).Para la suprayectividad, se q ∈ Spec(S−1R) un ideal primo y sea p := qc ⊆ R su contraccion.Obviamente, tenemos que p ∈ Spec(R), S−1p ⊆ q y, en particular, p ∩ S = ∅. Comprobemos

6.4. ANILLOS Y MODULOS NOETHERIANOS 229

que el contenido es, de hecho, una igualdad. Para ello, sea ys ∈ q. Entonces, sy

s ∈ q (por ser

ideal) e y ∈ qc = p. Con ello, es claro que S−1p = q y S−1 es suprayectiva.En cuanto a la inyectividad, supongamos que p, p′ ∈ Spec(R) son tales que S−1p = S−1p′.Probemos, entonces, que p ⊆ p′ (el contenido recıproco es analogo). Dado x ∈ p, se tiene quex1 ∈ S

−1p = S−1p′, por cuanto existen x′ ∈ p′, s′ ∈ S tales que x1 = x′

s′ o, segun la defincion,existe t ∈ S, tal que t(xs′ − x′) = 0. Pero tx′ ∈ p′, con lo que concluimos txs = (ts)x ∈ p′ yts ∈ S, ts 6∈ p′. Por tanto, x ∈ p′ y tenemos probado uno de los contenidos.

Observacion 6.3.4. Tambien se podrıa haber descrito la prueba anterior observando el isor-mofismo de S−1R−modulos :

S−1(R/p) ∼= S−1R/S−1p,

que se da por la exactitud del functor S−1. Es facil verificar que se trata de un ismorfismo deanillos. Es mas, como S ∩ p = ∅, si consideramos S := s + p : s ∈ S tenemos un sistema

multiplicativamente cerrado de R/p que es un dominio de integridad. Por tanto, S−1

(R/p) estacontenido en el cuerpo de fracciones de R/p y es, tambien, dominio de integridad. Finalmente,

observemos que S−1

(R/p) es isomorfo, como anillo, a S−1(R/p), con lo que S−1p ∈ Spec(S−1R).

Corollario 6.3.5. Para cada ideal p ∈ Spec(R), el anillo Rp es un anillo local, cuyo unicoideal maximal es el ideal generador por p en Rp y que denotaremos mediante pRp.Ademas, los ideales primos de Rp estan en biyeccion con los ideales primos de R contenidos enp.Por ultimo, el anillo cociente Rp/pRp es un cuerpo y se da el isomorfismo:

(Rp/pRp) ∼= qf(R/p),

donde qf(R/p) es el cuerpo de fracciones del dominio de integridad R/p.

Definicion 85 (Localizacion en un primo). Al anillo local Rp se le denomina localizacionde R en p y, para cada R−modulo M , llamaremos al Rp− modulo Mp, la localizacion de M enp.

Se llaman propiedades locales a aquellas propiedades de los modulos que se satisfacen si ysolamente si se satisfacen para cada localizacion. Son ejemplos de propiedades locales lassiguientes:

Proposicion 6.3.6 (Ser cero es una propiedad local). Las siguientes propiedades sonequivalentes para cada R−modulo M :

i) M = 0,ii) Mp = 0, ∀p ∈ Spec(R),iii) Mm = 0, ∀m ∈ Spm(R).

Para un R−modulo M cualquiera, se define el soporte de M , Supp(M) del modo siguiente:

Supp(M) := p ∈ Spec(R) : Mp 6= 0.En particular, M 6= 0 si y solamente si Supp(M) 6= ∅.

Demostracion. Probar (1) ⇒ (2) ⇒ (3) es obvio porque la localizacion es exacta ytodo maximal es primo. Para probar (3) ⇒ (1), supongamos que M 6= 0, pero Mm = 0,∀m ∈ Spm(R). Si M 6= 0, entonces, ha de existir m ∈ M , con m 6= 0. Consideremos elanulador de ese elemento no nulo: a := Ann(m) := x ∈ R : xm = 0. Se trata de un idealde R tal que a ⊆/ R. En caso contrario, 1 ∈ a = Ann(m) y, m = 1m = 0. Por tanto, existeun maximal m ∈ Spm(R) tal que a ⊆ m. Pero, por (3), Mm = 0, lo que significa m

1 = 0 yesto equivale a ∃t ∈ S = R \ m tal que tm = 0. Luego t ∈ R \ Ann(m) y tm = 0, llegando acontradiccion.

6.4. Anillos y Modulos Noetherianos

6.4.1. Condicion de cadena ascendente para submodulos e ideales. En el Capıtulo?? hicimos referencia al uso del Lema de Zorn para probar que todo anillo posee, al menos, unideal maximal. A partir de aquı, nos ocuparemos solamente de anillos y modulos noetherianospara los cuales basta con una version mas suave el Lema de Zorn, conocido como el Axioma deEleccion Dependiente.

230 6. NOETHERIANOS

Definicion 86 (Axioma de Eleccion Dependiente). Sea X un conjunto no vacıo y R ⊆X ×X una relacion. Supongamos que R satisface la siguiente propiedad:

∀a ∈ X, ∃b ∈ X, aRb.

Entonces, existe una sucesion xn : n ∈ N ⊆ X de tal modo que xnRxn+1, ∀n ∈ N.

Proposicion 6.4.1 (Modulo Noetheriano). Sea R un anillo y M un R−modulo. Las sigu-ientes propiedades son equivalentes:

i) Todo submodulo de M es finitamente generado.ii) Los submodulos de M satisfacen las “condicion de cadena ascendente”, es decir, dada

una cadena ascendente de submodulos de M :

N0 ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ · · · ⊆ Nm ⊆ · · · ,

entonces existe un entero n ∈ N a partir del cual la cadena se establiza, es decir,Nm = Nn, ∀m ≥ n.

iii) Todo conjunto no vacıo de submodulos de M posee elemento maximal para la inclusion.

Demostracion. • (1)⇒ (2): Notese que si tenemos una cadena ascendente:

N0 ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ · · · ⊆ Nm ⊆ · · · ,

la union N :=⋃i∈NNi ⊆ M es tambien un submodulo de M y, por (1), sera

finitamente generado. Una coleccion finita n1, . . . , nr de generadores de N debepertenecer a algun submodulo Nn de M (simplemente porque todo subconjunto finitode naturales posee elemento maximal). Entonces, N = Nn y Nm = Nn, ∀m ≥ n.

• (2)⇒ (3): Aquı usaremos el Axioma de Eleccion Dependiente del modo siguiente. SeaX un subconjunto no vacıo de submodulos de M y supongamos que no posee elementomaximal. Entonces, verifica que

∀N ∈ X, ∃N ∈ X, N ⊆/ N ′.

Tomando R =⊆/ como la relacion sobre X, concluiremos que existe una cadena ascen-dente:

N0 ⊆/ N1 ⊆/ N2 ⊆/ · · · ⊆/ Nm ⊆/ · · · ,contradiciendo (2).

• (3) ⇒ (1): Sea N un submodulo de M . Consideremos el conjunto XN formado portodos los submodulos L de N que son finitamente generados. Como (0) es submodulo,finitamente generado, y (0) ⊆ N , entonces (0) ∈ X 6= ∅. Por tanto, X posee unaelemento maximal para la inclusion. Sea N0 ese elemento maximal. Tenemos queN0 ⊆ N . Si N0 = N habremos concluido. Supongamos, por tanto, que N0 ⊆/ N .Entonces, existe n ∈ N \ N0 y consideremos el submodulo N1 := N0 + 〈n〉 ⊆ N .Claramente N1 ∈ X y N0 ⊆/ N1, con lo que llegarıamos a contradiccion.

Observacion 6.4.2. Usualmente la prueba de la equivalencia entre estas tres propiedades(esencialmente la prueba de (2)⇒ (3) o, equivalentemente, la prueba de (2)→ (1) se hace sinmostrar la relevancia del Axioma de Eleccion Dependiente. Este aspecto fue destacado por W.Hodges, en su trabajo:W. Hodges, Six impossible rings, J. Algebra 31 (1974), 218-244.Este trabajo ha generado bastante controversia y nuestra eleccion simplifica por la vı de elegirun Axioma mas debil.

Identicamente a la anterior Proposicion, como todo anillo es R−modulo sobre sı mismo y sussubmodulos son sus ideales, tenemos el correspondiente enunciado para anillos:

Proposicion 6.4.3 (Anillo Noetheriano). Sea R un anillo. Las siguientes propiedades sonequivalentes:

i) Todo ideal de R es finitamente generado.


ii) Los ideales de R satisfacen las “condicion de cadena ascendente”, es decir, dada unacadena ascendente de ideales de R:

a0 ⊆ a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆ am ⊆ · · · ,entonces existe un entero n ∈ N a partir del cual la cadena se establiza, es decir,am = an, ∀m ≥ n.

iii) Todo conjunto no vacıo de ideales de R posee elemento maximal para la inclusion.

En particular, todo anillo que satisface una cualquiera de esas propiedades equivalentes poseeal menos un ideal maximal.

Definicion 87. Se tienen las nociones siguientes:

i) Un R−modulo M se llama noetheriano si satisface una cualquiera de las propiedadesequivalentes descritas en la Proposicion 6.4.1 anterior.

ii) Un anillo R se llama noetheriano si es noetheriano como modulo sobre sı mismo,esto es, si satisface una cualquiera de las propiedades equivalentes descritas en laProposicion 6.4.3 anterior.

Ejemplo 6.4.4. Algunos ejemplos elementales e inmediatos:

• Los cuerpos son, obviamente, anillos noetherianos.• Los dominios de ideales principales son anillos noetherianos (todos sus ideales son

finitamente generados).• Los espacios vectoriales son finitamente generados si y solamente si son neotherianos

(todos sus subespacios son finitamente generados).• Los grupos abelianos libres finitamente generados son noetherianos: sus submodulos

son libres de torsion (y, por tanto, libres) y finitamente generados• Submodulos de modulos noetherianos son noetherianos porque los submodulos de un

submodulo son submodulos del modulo original.• Cocientes de modulos noetherianos son noetherianos: para verlo basta con usar la

propiedad (3) de la Proposicion 6.4.1: Recuerdese que los submodulos de un cocienteM/N estan biyectados con los submodulos de M que contienen a N y que esa biyeccionpreserva la inclusion.

• Cocientes de anillos noetherianos son tambien noetherianos.

Pero necesitamos de mecanismos adicionales para mostrar ejemplos mas aleborados de anillosy modulos noetherianos.

6.4.2. El Teorema de la Base de Hilbert.

Proposicion 6.4.5. Dada una sucesion exacta corta de R−modulos:

f g0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0,

entonces, M es noetheriano si y solamente si M ′ y M ′′ son noetherianos.

Demostracion. Es claro que si M es noetheriano, M ′ tambien lo es dado que es isomorfoa un submodulo de M . De otro lado, M ′′ es isomorfo a un cociente de M por un submodulo(de heho, M ′′ ∼= M/M ′). Por tanto, solo hay que probar la otra implicacion.Comencemos tomando un submodulo N de M y sea g(N) submodulo de M ′′. Como M ′′ esnoetheriano, entonces, existen n1, . . . , np ∈ N tales que g(n1), . . . , g(np) generan g(N) comosubmodulo de M ′′. De otro lado, f−1(N) es un submodulo de M ′. Como M ′ es noetheriano,posee un conjunto finito mp+1, . . . ,ms de generadores y considero np+1 = f(mp+1), . . . , ns :=f(ms) elementos de N . Probemos que el conjunto X := n1, . . . , np, np+1, . . . , ns genera Ncomo submodulo de M . Para ello, consideremos un elemento n ∈ N y el submodulo NX ⊆ Ngenerado por X. Tenemos que g(n) ∈ g(N) y, por tanto, existen x1, . . . , xp ∈ R tales que

g(n) = x1g(n1) + · · ·+ xpg(np).

En particular, tendremos que g(n− (x1n1 + · · ·+ xpnp)) = 0, lo que significa que n− (x1n1 +· · ·+ xpnp) ∈ Keg(g) = Im(f). Pero n− (x1n1 + · · ·+ xpnp) ∈ N , luego existe y ∈ f−1(N) tal

232 6. NOETHERIANOS

que f(y) = n − (x1n1 + · · · + xpnp). Pero mp+1, . . . ,ms generan f−1(N). Por tanto, existenxp+1, . . . , xs ∈ R tales que y = xp+1mp+1 + · · ·+ xsms. Esto ultimo implica que

n− (x1n1 + · · ·+ xpnp) = xp+1f(mp+1) + · · ·+ xsf(ms).

Esto ultimo tambien se resscribe:

n = x1n1 + · · ·+ xpnp + xp+1np+1 + · · ·+ xsns,

y queda probado que n ∈ NX , con lo que N = NX y M es noetheriano.

Proposicion 6.4.6. Si R es un anillo noetheriano, entonces un R−modulo es noetheriano siy solamente si es finitamente generado como R−modulo.

Demostracion. Es claro que si M es un R−modulo noetheriano es finitamente generado(todos sus submodulos lo son). Por tanto, solo hay que probar el recıproco.Ası, sea M un R−modulo finitamente generado, suponiendo que R es noetheriano. Supongamosque M es generado por n elementos. Probaremos, por induccion en n, que M es un R−modulonoetheriano.

Para el caso n = 1, si M esta generado por un solo elemento, entonces M es isomorfo comoR−modulo a un cociente R/a, donde a es un ideal de R. Entonces, aplicando la anteriorproposicion, habremos concluido que M es un R−modulo noetheriano a traves de la sucesionexacta:

0 −→ a −→ R −→ R/a −→ 0.

Supongamos que el resultado es cierto para toso los R−modulos que se pueden generar con alo sumo n − 1 elementos. Sea m1, . . . ,mn un conjunto de elementos de M que lo generancomo R−modulo. Consideremos el submodulo M ′ de M generado por m1, . . . ,Mn−1. Porhipotesis inductiva, M ′ es noetheriano. Pero, ademas podemos considerar la sucesion exactacorta siguiente:

i π0 −→ M ′ −→ M −→ M/M ′ −→ 0,

donde i es la inclusion canonica y π es la proyeccion canonica. Ademas, es facil observar queM/M ′′ esta generado, comoR−modulo, por la clase xn+M ′. Aplicando el caso n = 1 tenemosque M/M ′ es tambien noetheriano y, finalmente, aplicando la Proposicion 6.4.5 concluiremosque M ha de ser noetheriano tambien.

Proposicion 6.4.7. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo R. Si R es neotheriano,tambien es neotheriano su localizacion S−1R. En particular, para cada ideal primo p ∈ Spec(R)se un anillo noetheriano, la localizacion Rp es anillo local noetheriano.

Demostracion. Basta con recordar la relacion entre los ideales de S−1R y los ideales deR que no intersecan S. Ası, si q es un ideal de S−1R, su contraccion qc ⊆ R es un ideal de R yes finitamente generado cuando R es neotheriano. Si q esta generado por x1, . . . , xr, entoncesq estara generado por x1/1, . . . , xr/1 y sera finitamente generado.

Teorema 6.4.8 (Hilbert Basissatz). Si R es un anillo noetheriano, entonces R[X] tambienes un anillo noetheriano.

Demostracion. Para probar este Teorema tomemos un ideal a en R[X] y consideremosel conjunto b ⊆ A siguiente:Un elemento a ∈ R estan en b si y solamente si existe un polinomio f := anX.+ an−1X

n−1 +· · ·+ ao ∈ a tal que an = a. Es decir, el conjunto formado por todos los coeficientes dorectoresde elementos en a. Es facil comprobar que b es un ideal de R y, por ser R noetheriano,es finitamente generado. Consideremos a1, . . . , ap un conjunto finito de generadores de b.Supongamos f1, . . . , fp ∈ a tales que el coeficiente director de fi es ai. Es decir, para cada i,1 ≤ i ≤ p se tiene:

fi := aiXni + hi,

con deg(hi) ≤ ni. Sea N := maxn1, . . . , np el maximo de esos grados y consideremos lainterseccion aN := a∩R[X]N , donde R[X]N son los polinomios en R[X] de grado a lo sumo N .


Claramente, R[X]N es un R−modulo finitamente generado y, por tanto, noetheriano. Ademas,a∩R[X]N es un submodulo de R[X]N , luego es finitamente generado. Consideremos g1, . . . , gsun conjunto de generadores de a ∩R[X]N como R−modulo. Entonces, el conjunto:

F := f1, . . . , fp ∪ g1, . . . , g2,generan a como ideal en R[X]. Denotemos por (F ) el ideal generador por F . Supongamosque existe h ∈ a un elemento que no esta en el ideal (F ). Supongamos, ademas, que h es degrado mınimo con esa propiedad. Si deg(h) ≤ N , entonces h ∈ a∩R[X]N , luego han de existirconstantes λ1, . . . , λs ∈ R de tal modo que:

h = λ1g1 + · · ·+ λsgs ∈ (F ).

Por tanto, deg(h) > N . De otro lado, supongamos

h := bmXm + bm−1X

m−1 + · · ·+ b1X + b0,

siendo m el mınimo de los grados de los polinomios h ∈ a \ (F ). Es claro que bm ∈ b por lo quehan de existir θ1, . . . , θp ∈ R tales que

bm = θ1a1 + · · ·+ θpap.

Ahora consideremos el polinomio:

h1 := h−p∑i=1

θiXm−nifi.

Es claro que el polinomio h1 ∈ a. De otro lado, h1 6∈ (F ) pues, si h1 ∈ (F ), entonces, h ∈ (F ) yllegarıamos a contradiccion. Pero, ademas, es claro que el coeficiente de grado m de h1 es dadopor:

bm − (θ1a1 + · · ·+ θpap) = 0.

En otras palabras, deg(h1) ≤ m− 1, contradiciendo la minimalidad de m. Por tanto, no puedeexistir ningun h ∈ a \ (F ) y a = (F ), concluyendo que a es finitamente generado.

Corollario 6.4.9. Si R es un anillo noetheriano, tambien lo es el anillo de polinomios en unnumero finito de variables R[X1, . . . , Xn]. En particular, si R es noetheriano tambin lo es todaR− algebra finitamente generada, esto es, todo anillo B de la forma R[X1, . . . , Xn]/a, donde aes un ideal de R[X1, . . . , Xn].

Demostracion. Obvio por induccion.

Ejemplo 6.4.10. • Todos los anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo K[X1, . . . , Xn]son noetherianos. Tambien lo son los cocientes K[X1, . . . , Xn]/a que se denominanK−algebras finitamente generadas.

• Todos los anillos de polinomios con coeficientes en dominios de ideales principales sonnoetherianos.

• No son noetherianos los anillos de polinomios en una cantidad infinita de variablesK[Xn : n ∈ N].

• Todos los K[V ] , cuando V ⊆ Kn es una variedad algebraica afın, son anillos noethe-rianos.

• Todas las localizaciones de anillos de polinomios K[X1, . . . , Xn]p, por ideales primosp ∈ Spec(K[X1, . . . , Xn]) son anillos noetherianos. Los mismo con las localizacionesK[V ]p, que tambien son noetherianos.

Obviamente son noetherianos todos los modulos finitamente generados sobre esos anillos.

Ejemplo 6.4.11. Una de las conscuencias inmediatas del Teorema de la Base de Hilbert es quetoda variedad algebraica es interseccion de un numero finito de hipersuperficies. En particualr,Si V ⊆ Kn es una variedad algebraica (un cerrado Zariski) dado mediante V (a), siendo a unideal en k[X1, . . . , Xn], entonces a es finitamente generado y se tiene a = (f1, . . . , fs) paraun numero finito de elementos f1, . . . , fs ∈ a. A partir de lo dicho en la Proposicion ?? y laObservacion ??, V (a) = V (f1, . . . , fs) y, por tanto:

V = V (a) =

s⋃i=1

V (fi).

234 6. NOETHERIANOS

6.5. Descomposicion Primaria

6.5.1. Un par de resultados tecnios peliminares: NAK y otros. Comenzaremoscon unos resultados preliminares. El primero de ellos es un sencidllo resultado, conocido comoel Lema de Nakayama 6 que, como bien indica [Ma, 80], es tambien debido a Azumaya7 y aW. Krull. En los ejercicios daremos una version debida a M.F. Atiyah y basada solamente enel Teorema de Hamilton-Cayley para modulos finitamente generados sobre un anillo, tecnicaconcida como el “determinantal trick” (ver Problema 181).

Lema 6.5.1 (NAK, Lema de Nakayama). Sea M un R−modulo finitamente generado, N

un submodulo de M y a un ideal de R contenido en el radical de Jacobson NR = J√

(0) de R.Entonces, si M = aM +N , entonces M = N .En particular, si M = aM , entonces M = 0.

Demostracion. En primer lugar, observese que basta con demostrar el enunciado parael caso particular N = 0. Deducir el caso general del caso N = 0 es inmediato considerando elmodulo cociente M/N .Razonemos por reduccion al absurdo, supongamos M = aM , M es fintamente generado, M 6= 0y sea n ∈ N el cardinal mınimo de un sistema de generadores de M . Notese que este n existeporque N es un conjunto bien ordenado y que, por hipotesis, estamos suponiendo n > 1. Sea,entonces, m1, . . . ,mn un sistema generador de M como R−modulo de cardinal minimal.Dado que M = aM , entonces, mi ∈ aM para cada i. En particular, para cada i, 1 ≤ i ≤ n,existiran xi,1, . . . , xi,n ∈ a tales que:

mi = xi,1m1 + · · ·+ xi,nmn.

Adicionalmente, esta igualdad se puede escribir mediante:

(1− xi,i)mi :=∑j 6=i

xi,jmj .

Ahora recordemos la Proposicion 4.3.12. Como xi,i ∈ a ⊆ J√

(0) estan en el radical de Jacobsonde R, tenemos que (1− xi,i) ∈ R∗ es una unidad en R. Tomando, i = 1, concluiremos que

x1 = (1− x1,1)−1∑j 6=i

xi,jmj ,

con lo cual concluimos que x1 estan en el submodulo de M generado por m2, . . . ,mn. Portanto, m2, . . . ,m : n es un sistema generador de M de cardinal n − 1 lo que contradice laminimalidad de n.

Una de las primeras, obvias, aplicaciones del Lema de Nakayama es mostrar que hay algo muysimilar a una base en el caso de modulos finitamente generados sobre un anillo local.

Proposicion 6.5.2. Sea (R,m) un anillo local, M un R−modulo y M/mM visto como R/m−espaciovectorial. Dados x1, . . . , xs elementos de M tales que sus clases modulo mM generan M/mMcomo R/m−espacio vectorial, entonces x1, . . . , xs generan M como R−modulo. En partic-ular, el cardinal mınimo de sistemas de generadores de M como R−modulo coincide con ladimension de M/mM como R/m−espacio vectorial.

Demostracion. Dados x1, . . . , xs tales que sus clases modulo mM generan M/mMcomo R/m−espacio vectorial, sea N el submodulo de M generado por x1, . . . , xs. Claramenteconcluiremos que, dado que

M/ (N + mM) ∼= (M/mM) / (N + mM/mM) = 0,

entonces M = N + mM y, por el Lema de Nakayama. M = N . El resto de las afirmacionesson obvias.

Del siguiente resultado omitiremos la prueba que puede seguirse en [AtMc, 69] o [Ra et al., 75]

o en cualquier otro texto basico de Algebra Conmutativa:

6T. Nakayama, A remark on finitely generated modules, Nagoya Mathematical Journal 3 (1951), 139140.7G. Azumaya, On maximally central algebras, Nagoya Mathematical Journal 2 (1951), 119150.

6.5. DESCOMPOSICION PRIMARIA 235

Proposicion 6.5.3. Se tienen las dos propiedades siguientes para un anillo R:

i) Sean p1, . . . , pn ∈ Spec(R) ideales primos y sea a un ideal propio contenido en ∪ni=1pi.Entonces, existe i tal que a ⊆ pi.

ii) Sean a1, . . . , am ideales propios de R y sea p un ideal primo que contiene a ∩mi=1ai.Entonces, p ⊆ ai para algun i.

iii) Sea a un ideal de R, b0 ∈ Spec(R) y sean b1, . . . , bn otros ideales de R. Si a ⊆b0 ∪ b1 ∪ · · · ∪ bn, entonces existe un subconjunto propio J ⊆ 0, 1, 2, . . . , n tal quea ⊆

⋃j∈J bj.

Demostracion. Ver las referencias indicadas.

6.5.2. Descomposicon Primaria: Teorema de Lasker–Noether. Probaremos aquıel Teorema de Lasker–Noether sobre la existencia de descomposicion primaria en anillos ymodulos noetherianos. Comencemos con unas nociones preliminares.

Definicion 88. Sea M un R−modulo.

i) Para cada elemento a ∈ R, denotaremos por ηa,M : M −→M a la homotecia de razona sobre M , es decir, el endomorfismo dado mediante ηa(m) := am, ∀m ∈M .

ii) Un endomorfismo de R−modulos, φ : M −→ M , se denomina nilpotente si existen ∈ N, n ≥ 1, tal que φn ≡ 0, es decir, si existe n ∈ N, n ≥ 1, tal que la composicionde φ consigo mismo n veces nos da el endomorfismo nulo.

iii) Un submodulo N de M se denomina primario si N 6= M y para cada a ∈ R, lahomotecia ηa,M/N es o bien inyectiva o bien nilpotente.

iv) Un ideal q de R se dice primario si es primario como submodulo.

Proposicion 6.5.4. Se tienen las propiedades siguientes para un ideal q un ideal de R:

i) La homotecia ηa,R/q es nilpotente si y solamente si a ∈ √q.ii) Un ideal q de R es primario si y solamente si se verifica la siguiente propiedad:

Para cada a ∈ R y para cada x ∈ R, si ax ∈ q, entonces o bien y ∈ q o bien existen ∈ N tal que an ∈ q.

Demostracion. • Prueba de la afirmacion (1): Notese que ηa,R/q es nilpotente siy solamente si existe un numero natural n ∈ N tal que ηna,R/q ≡ 0. Esto ultimo es

equivalente a la existencia de n ∈ N tal que anx + q = ηna,R/q(x + q) =, para todo

x ∈ R. Pero ηa,R/q es un endomorfismo de R/q−modulos. Por tanto,

ηa,R/q(x+ q) = (x+ q)ηa,R/q(1 + q).

En conclusion, ηa,R/q es nilpotente si y solamente si existe n ∈ N tal que

an + q = ηna,R/q(1 + q) = 0 + q.

Esto ultimo es equivalente a que exista n ∈ N tal que an ∈ q y tenemos la equivalenciade la afirmacion (1).

• Prueba de la afirmacion (1): Notese que ax ∈ q es equivalente a

ηa,R/q(x+ q) = 0 + q ∈ R/q.

Por tanto, la hipotesis ax ∈ q es equivalente a decir x + q ∈ ker(ηa,R/q). Entonces,ser primario es equivalente a la propiedad: para cada a ∈ R y para cada x ∈ R six + q ∈ ker(ηa,R/q) y x 6∈ q (o, equivalentemente, ηa,R/q no es inyectiva, entoncesηa,R/q es nilpotente. El resto se sigue de la propiedad (1).

Proposicion 6.5.5. Si N es un submodulo primario de un R−modulo M , entonces el conjunto:

p := a ∈ R : ηa,M/N no es inyectiva,

es un ideal primo de R. Diremos que el submodulo N es p−primario.

236 6. NOETHERIANOS

Demostracion. En primer lugar es facil ver que p es un ideal de R. Para ello, veamosuna de las propiedades. Observese que si a, b ∈ p, entonces, las homotecias ηa,M/N y ηb,M/N

son nilpotentes. Existiran exponentes r, s ∈ N, r, s ≥ 1 tales que

ηra,M/N ≡ 0, η2b,M/N ≡ 0.

Es claro que, en ese caso (ηa,M/N + ηb,M/N

)r+s ≡ 0.

Y ηa,M/N + ηb,M/N = ηa+b,M/N , con lo que a+ b ∈ p. Veamos que, ademas, es un ideal primo.Para ello, consideremos x, y ∈ R. Notese que ηxy,M/N = ηy,M/N ηx,M/N = ηx,M/N ηy,M/N

es la composicion de endomorfismos. Si xy ∈ p y x 6∈ p, entonces ηx,M/N es inyectiva yηxy,M/N = ηy,M/N ηx,M/N no es inyectiva. Por tanto, si la composicion no es inyectiva,entonces ηy,M/N no puede ser inyectiva y, por tanto, y ∈ p, con lo que habremos probado laprimalidad de p.

Proposicion 6.5.6. Sean N1, . . . , Ns submodulos p−primarios de un R−modulo M (es decir,primarios con respecto al mismo ideal primo de R). Entonces, la interseccion

N = N1 ∩ · · · ∩Nses un submodulo p−primario.

Demostracion. Sea a ∈ p. Para cada i, 1 ≤ i ≤ s, la homotecia ηa,M/Ni : M/Ni −→M/Ni es nilpotente. Entonces, para cada i, 1 ≤ i ≤ s, existen ni ∈ N, ni ≥ 1 tales ηnia,M/Ni

≡ 0.

Sea n0; = maxn1, . . . , ns. Veamos que ηn0

a,M/N ≡ 0. Pues si m+N ∈M/N , tenemos que

ηn0

a,M/N (m+N) = an0m+N.

Pero esto significa que an0m = an0−nianim. Como ηnia,M/Ni≡ 0, tendremos que anim ∈ Ni,

para cada i, 1 ≤ i ≤ s. Por tanto, an0m ∈ Ni, para cada i, 1 ≤ i ≤ s y, por tanto, an:0m ∈ Npara cada m ∈ M . Es decir, ηn0

a,M/N ≡ 0 o, equivalentemente, ηa,M/N es nilpotente. Para

concluir, veamos que si a 6∈ p, entonces ηa,M/N es necesariamente inyectiva. Pues si no lo fueraes porque existe m ∈M , m 6∈ N tales que ηa,M/N (m+N) = am+N = 0. Es decir, si ηa,M/N

no fuera inyectiva, entonces, existe m ∈M tal que m 6∈ N y am ∈ N . Pero m 6∈ N implica queexiste i, 1 ≤ i ≤ s, tal que m 6∈ Ni. Por tanto, tendrıamos que existe m ∈M tal que m 6∈ Ni yam ∈ N ⊆ Ni. Es decir ηa,M/Ni no es inyectiva contradiciendo el hecho de que a 6∈ p y Ni esp−primario.

Corollario 6.5.7. Si q es un ideal primario de un anillo R, entonces su radical p :=√q es

un ideal primo de R y diremos que q es un ideal p−primario. Mas aun si q1, . . . , qs es una listafinita de ideales p−primarios (i.e.

√qi = p, para todo i), entonces la interseccion

q = q1 ∩ · · · qs,es tambien un ideal p−primario.

Demostracion. Es consecuencia inmediata de la anterior Proposicion y del apartado (1)de la Proposicion 6.5.4 anterior. La afirmacion sobre la interseccion de primarios es consecuenciainmediata de la Proposicion 6.5.6.

Ejemplo 6.5.8. Los ideales primarios en dominios de ideales principales on las potencias deideales primos. Ası el ideal 8Z es un ideal (2)−primario, pero el ideal (12) no es primario.Sin embargo, no es necesario que un ideal sea potencia de ideal primo para ser primario. Con-sideremos el ideal a := (X,Y 2) en el anillo de polinomios en dos variables R := k[X,Y ]. Es unideal primario (su radical es el ideal maximal m = (X,Y )) pero no es potencia de m. Para verque es primario, observese que el cociente k[X,Y ]/a es un K−espacio vectorial de dimension2, con base 1 + a, Y + a. Ahora para cada elemento f ∈ k[X,Y ] nos interesa su clase moduloa. La clase tiene la forma f + a = (a+ bY ) + a y tenemos dos caso: si a 6= 0, entonces ηf,R/aes inyectiva (y f + a es unidad) o a = 0 y η2

f,R/a ≡ 0. Ver que a 6= mn, ∀n ∈ N, es un sencillo

ejercicio pues X 6∈ mn, para cada n ≥ 2 (con lo que a 6= mn, ∀n ≥ 2) y, de otro lado, Y 6∈ a(con lo que a 6= m).

6.5. DESCOMPOSICION PRIMARIA 237

La idea de descomposicion primaria y del Teorema de Lasker–Noether es una generalizacionde la factorizacion unica a cualquier anillo noetheriano. Pero necesitamos avanzar mas parainterpretar el resultado y su significado geometrico.

Definicion 89 (Descomposicion Primaria). Sea M un R−modulo y N un submodulo deM . Una descomposicion primaria de N es una descripcion de N como interseccion finita:

N := N1 ∩ . . . ∩Ns,

donde cada Ni es un sumodulo primario de M . Tenemos la lista finita de ideales primosp1, . . . , ps ⊆ Spec(R) de tal modo que para cada i, 1 ≤ i ≤ s, el submodulo Ni es pi−primario.Decimos que la descomposicion primaria anterior es reducida (o, tambien, irredundante) sipi 6= pj, para cada i 6= j.

Definicion 90 (Submodulo Irreducible). Un submodulo N de un R−modulo M se llamairreducible si verifica las dos propiedades siguientes:

i) N 6= M ,ii) N no puede expresarse como una interseccion N = N1 ∩N2, con N1, N2 submodulos

de M y N ⊆/ Ni, 1 ≤ i ≤ 2.

Proposicion 6.5.9. Si M es un R−modulo noetheriano, todo submodulo irreducible es pri-mario.

Demostracion. Supongamos que N es irreducible. Para cada a ∈ R consideremos lahomotecia ηa,M/N : M/N −→M/N . Consideremos la secuencia de submodulos de M/N dadapor los nucleos de las potencias se este endomorfismo Kr := ker(ηra,M/N ). Claramente tenemos:

(0) = K0 ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ · · · ⊆ Kr ⊆ · · · .

Como M/N es noetheriano esa cadena se estabiliza y existe n ∈ N, n ≥ 1, tal que Kr = Kn,para cada r ≥ n. Definamos φ := ηna,M/N : M/N −→M/N . Probaremos que

(6.5.1) ker(φ) ∩ Im(φ) = (0).

Es claro que si m+N ∈ Im(φ) ∩ ker(φ), entonces, m+N = φ(m′ +N) = ηna,M/N (m′ +N) y

0 +N = φ(m+N) = ηna,M/N (m+N) = η2na,M/N (m′ +N). Por tanto, m′ +N ∈ ker(η2n

a,M/N ) =

K2n = Kn = ker(ηna,M/N ). Por tanto, m + N = φ(m′ + N) = ηna,M/N (m′ + N) = 0 + N y

habremos probado la igualdad anterior.Sea ahora π : M −→M/N la proyeccion canonica y consideremos los submodulos de M dadosmediante:

N1 := π−1(ker(φ)), N2 := π−1(Im(φ)).

Claramente tenemos que N ⊆ N1 y N ⊆ N2. Ademas, la igualdad (6.5.1) anterior implica queN = N1 ∩N2. Ahora, como N es irreducible, tendremos que o bien N = N1 o bien N = N2.

• Si N = N1: En este caso, N = π−1(ker(φ)), luego N1/N = 0 o, lo que es lo mismo,ker(φ) = 0. Pero esto ultimo significa que φ es inyectiva y, por tanto, ηna,M/N es

inyectiva, con n ≥ 1. Por tanto, si la composicion (varias veces) de ηa,M/N es inyetiva,el propio endomorfismo ηa,M/N es inyectivo.

• Si N = N2: En este caso, N = π−1(Im(φ)). Esto es lo mismo que decir que N2/N = 0y que Im(φ) = 0. Por tanto, en ese caso, φ ≡ 0 es el endomorfismo nulo. Peroφ = ηna,M/N , con n ≥ 1. Es decir, ηna,M/N ≡ 0 y el endomorfismo ηa,M/N es nilpotente.

Hemos concluido que si N es irreducible, entonces para cada a ∈ R, ηa,M/N es o bien inyectivoo bien nilpotente y, por tanto, N es primario.

Podemos, finalmente, enunciar el Teorema de Lasker–Noether.

Teorema 6.5.10 (Teorema de Lasker–Noether). Si M es un R−modulo noetheriano, en-tonces todo submodulo propio posee una descomposicion primaria irredundante.

238 6. NOETHERIANOS

Demostracion. Probaremos, primer lugar, la siguiente afirmacion:

(6.5.2)Para todo submodulo N de M , con N ⊆/ M ,N es interseccion finita de submodulos irreducibles de M .

Para probarlo, usaremos el tipo de argumento habitual con la condicion noetheriana. Consid-eremos el conjuntoM formado por todos los submodulos propios de M que no son interseccionfnita de submodulos irreducibles de M . Supongamos, por reduccion al absurdo, que M es novacıo. Aplicando la definicion de noetherianos (cf. Proposicion 6.4.1 anterior), entonces Mposee un elemento maximal N . Por ser N ∈ M, N no puede ser irreducible. Si fuera irre-ducible, serıa interseccion finita de irreducibles y no podrıa estar enM. Como no es irreducible,entonces N es reducible y, por tanto, N = N1∩N2 donde N1, N2 son submodulos propios de My N ⊆/ Ni, 1 ≤ i ≤ 2. Como N es maximal y N ⊆/ Ni, 1 ≤ i ≤ 2, podemos concluir que Ni 6∈ M,1 ≤ i ≤ 2. Pero si N1 y N2 no estan en M es porque no verifican la condicion que defineM. Por tanto, tanto N1 como N2 son interseccion finita de submodulos irreducibles de M .Pero, como N = N1 ∩ N2, tambien concluirıamos que N es interseccion finita de submodulosirreducibles de M con lo que N 6∈ M y habremos llegado a contradiccion desde la hipotesisM 6= ∅. Por tanto, concluiremos M = ∅ y, por tanto, hemos probado la afirmacion descrita en(6.5.2) anterior.A partir de la Proposicion 6.5.9 anterior, como todo irreducible es primario, habremos probado:

(6.5.3)Para todo submodulo N de M , con N ⊆/ M ,N es interseccion finita de submodulos primarios de M .

Nos queda por probar la existencia de descomposicion primaria irredundante de acuerdo con laDefinicion 89 anterior. Para ello, sea N un submodulo propio de M y consideremos el siguienteconjunto de numeros naturales:

NN := s ∈ N : N = N1 ∩ . . . ∩Ns, Ni es primario, 1 ≤ i ≤ s.

Por la afirmacion descrita en (6.5.3), tenemos que NN 6= ∅, con lo que existe un mınimor := minNN . Tendremos una descomposicion primaria:

(6.5.4) N = N1 ∩ . . . ∩Nr,

donde supondremos que cada Ni es pi−primario, con pi ∈ Spec(R) un ideal primo, 1 ≤ i ≤ r.Veamos que, en estas condiciones, pi 6= pj , para todo i 6= j. Si no fuera ası, supongamos,sin perdida de la generalidad, que p1 = p2. Entonces, por la Proposicion 6.5.6, el submoduloN0 := N1 ∩N2 es tambien un submodulo primario de M y tendremos:

N = N0 ∩N3 ∩ . . . ∩Nr,

con lo que r−1 ∈ NN , contradiciendo la minimalidad de r. Concluimos ası que, necesariamente,pi 6= pj , para todo i 6= j y habremos concluido que la descomposicion primaria descrita en (6.5.4)es irredundante y, por tanto, queda probado el Teorema de Lasker–Noether.

Corollario 6.5.11. Sea R un anillo noetheriano y a ⊆/ R un ideal de R. Entonces, a poseedescomposicion primaria irredudante. Es decir, existen q1, . . . , qs ideales de R, de tal modo queqi es pi− primario y pi ∈ Spec(R), verificando:

i) a = q1 ∩ · · · ∩ q2,ii) pi 6= pj, para todo i 6= j.

En particular, en anillos noetherianos, el radical de todo ideal es una interseccion finita deprimos, dado que

√a =√q1 ∩ · · · ∩

√qs = p1 ∩ · · · ∩ ps.

Observacion 6.5.12. En particular, todos los ideales radicales de anillos noetherianos (comok[X1, . . . , Xn]) son interseccion finita de ideales primos.

6.6. TEMAS OPCIONALES 239

Observacion 6.5.13. El anterior resultado admite una interpretacion inmediata en el casode dominios de ideales principales. Aunque las interpretaciones mas profundas seguiran enCapıtulos siguientes, dejemos aquı constancia de que el Teorema de Lasker–Noether implica laexistencia de factorizacion en dominios de ideales principales. Es decir, implica la siguienteafirmacion:

(6.5.5)

Si R es un dominio de ideales principales, para todo f ∈ R,existen u ∈ R∗, unidad; elementos primos f1, . . . , fs ∈ R,y numeros naturales n1, . . . , ns ∈ nN, con ni ≥ 1, para 1 ≤ i ≤ s, tales quef = ufn1

1 · · · fn2s .

Para demostrar esta afirmacion consideremos el ideal (f) de R que es neotheriano porque todossus ideales son finitamente generados. Por el Teorema de Lasker–Noether, tendremos unadescomposicion primaria irredundante

(f) := q1 ∩ · · · ∩ q2,

donde qi es pi−primario y pi 6= pj , para todo i 6= j. Como R es dominio de ideales principales,existira fi ∈ R elemento primo tal que (fi) = pi. De otro lado, qi = (gi) es pi−primario.Como

√qi = pi, concluiremos que qi = (fnii ) para algun ni ≥ 1. Por el Teorema Chino de los

Restos (cf. Teorema 3.2.2), como R es dominio de ideales principales, qi y qj son dos a doscomaximales. y, por tanto,

(f) := q1 ∩ · · · ∩ q2 =

s∏i=1

qi =

s∏i=1

(fnii ) = (fn11 · · · fnss ).

Como f y fn11 · · · fnss generan el mismo ideal en R, ha de existir un elemento unidad u ∈ Rn

tal que

f = ufn11 · · · fnss .

Observacion 6.5.14. Veremos mas adelante, tras probar el Teorema del Ideal Principal de W.Krull (Hauptidealsatz de Krull), que si un anillo noetheriano R verifica la propiedad siguiente:

(6.5.6) Todo ideal primo de altura 1 es principal,

entonces los elementos del anillo R admiten factorizacion como producto de elementos pri-mos, generalizando ası la factorizacion de elementos y, por el Teorema de Lasker–Noether, la“factorizacion” de ideales cualesquiera.

***

6.6. Temas Opcionales

Claramente hay muchos temas relacionados con los contenidos de este Capıtulo. Hemos omi-tido algunos de los mas interesantes y proponemos que los alumnos busquen, se informen ocomplemente por su cuenta los temas que se indican a continuacion:

6.6.1. Snake Lemma. Se trata del siguiente enunciado que es clave en la definicion dela sucecion exacta larga de Homologıa de Toplogı Algebraica:

Proposicion 6.6.1 (Snake Lemma). Consideremos un diagrama de R−modulos y morifmoscomo el siguiente, en el que las filas son sucesiones exactas cortas:

0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0f ′ ↓ ↓ f ↓ f ′′

0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0

Entonces, existe un morfismo de R−modulos d : ker(f ′′) −→ Coker(f ′) tal que la siguientesucesion es exacta:

0 → ker(f ′) → ker(f) → ker(f ′′) →→ Coker(f ′) → Coker(f) → Coker(f ′′) → 0,

donde los demas morfismos son inducidos por las filas horizontales del diagrama inicial.

240 6. NOETHERIANOS

6.6.2. Libres, Proyectivos, Inyectivos y Planos (Opcional). Esta es una Seccionclaramente opcional. Puede ser interesante que los alumnos que lo deseen, busquen referenciasy traten de completar las pruebas.

Definicion 91 (Proyectivos, Inyectivos, Planos). Sea M un R−modulo. Se definen las sigu-ientes nociones:

• Se dice que M es proyectivo si HomR(M,−) es un functor exacto.• Se dice que M es inyectivo si HomR(−,M) es un functor exacto.• Se dice que M es plano si M ⊗R − es un functor exacto.

Proposicion 6.6.2. Se dan las siguientes implicaciones para un R−modulo M cualquiera:

M es libre =⇒ M es proyectivo =⇒ M es plano.

Lo que da una buena coleccion de ejemplos. De hecho, si R es local noetheriano y M esfinitamente generado, las tres nociones coinciden.Se pueden probar algunas propiedades del tipo:

Proposicion 6.6.3. Un R−modulo P es proyectivo si y solamente si es sumando directo deun R−modulo libre.

O tambien

Proposicion 6.6.4. Un R−modulo P es proyectivo si y solamente si toda sucesion exacta corta

0 −→M −→ N −→ P −→ 0

es escindida.

Para concluir, no sin bastante trabajo que:

Proposicion 6.6.5. Todo modulo posee una resolucion proyectiva.

De otro lado se pueden discutir los modulos inyectivos observando, por ejemplo, que Q es unZ−modulo inyectivo y que Z no lo es. Para ello se puede usar el Criterio de Baer:

Proposicion 6.6.6 (Criterio de Baer). Una R−modulo I es inyectivo si y solamente si satisface:

Dado un ideal a de R y un morfismo de R−modulos f : a −→ I, existe f : R −→ I tal que

f |a= f.

Ası podemos probar que si I es un Z−modulo inyectivo, entonces, HomZ(R, I) es un R−moduloinyectivo y conluir (poniendo I = Q/Z, por ejemplo, como co–generador injectivo):

Proposicion 6.6.7. Todo R−modulo posee una resolucion inyectiva.


Problema 174. Concluir la prueba de la Demostracion 6.3.1, probando que HomR(−, N) esexacto a izquierda.

Problema 175. Definir functor exacto a derecha. Buscar ejemplos de functores exactos aderecha de la categorıa de R−modulos en sı misma.

Problema 176 (Valores Absolutos p−adicos). Buscar los conceptos siguientes:

• Valor Absoluto sobre un cuerpo.• Valor Absoluto No Arquimediano.• Cuerpos Valuados.• Valores Absolutos Equivalentes.• Valor absoluto p−adico sobre Q: | · |p : Q −→ R+

Establecer alguna relacion entre el valor asoluto p−adico sobre Q y la localizacion Z(p).

Problema 177 (A.M. Ostrowski). Busca el enunciado del Siguiente Teorema de A.M. Os-trowski:Teorema.[cf. [Os, 73]] Todo valor absoluto sobre Q es equivalente a uno de los siguientes:

• El valor absoluto usual | · |0 : Q −→ R+,• o un valor absoluto p−adico | · |p : Q −→ R+, para algun primo p ∈ N.


A partir de un valor absoluto se define una distancia y a traves de la distancia tenemos unaestructura de espacio metrico. Recordar la definicion de completado de un espacio metrico.Probar las siguientes afirmaciones:

• El completado de Q con respecto al valor absoluto | · |0 es el cuerpo R de los numerosreales.

• El completado de Q con respecto al valor absoluto p−adico | · |p es tambien un cuerpo

Qp denominado cuerpo de los numeros p−adicos.• La bola cerrada de centro 0 y radio 1 en Q con respecto al valor absoluto p−adicoBp(0, 1) es el anillo local Z(p) cuyo ideal maximal (que denotaremos por pZp) es justa-mente la bola abierta Bp(0, 1) de centro 0 y radio 1 en Q con respecto al valor absolutop−adico.

• Hallar las bolas de centro 0 y radio 1/pk en Q con respecto al valor absoluto p−adico.

¿Tiene todo esto algo que ver con la localizacion?

Problema 178. Buscar analogıas con el cuerpo C(X) y la valoracion dada por tener un “poloen 0 ∈ C de orden k”. Describir la bola cerrada de centro 0 y radio 1 en C(X) y hallarsu clausura en el completado de C(X). ¿Te suena a algun anillo que hayamos definido conanterioridad?.

Problema 179. Probar que no son anillos noetherianos los anillos C0(X) o C∞(X). ¿Quepuedes decir delanillo H(U) de funciones holomorfas sobre un abierto U ⊆ C?.

Problema 180. Un modulo M se dice libre si existe un conjunto I y una coleccion Mi :i ∈ I de R−modulos, cada uno isomorfo a R, de tal modo que M ∼= ⊕i∈IMi. Probar queun R−modulo es finitamente generado si y solamente si es (isomorfo) a un cociente de unR−modulo libre de la forma Rn.

Problema 181 (Hamilton-Cayley para modulos finitamente generados, aka “deter-minantal trick”). Sea M un R−modulo finitamente generado y sea ϕ : M −→ M un en-domorfismo de R−modulos. Supongamos π : Rn −→ M un epimorfismo sobre M , desde unR−modulo finitamente generado. Probar:

i) Existe un endomorfismo de R−modulos φ : Rn −→ Rn que hace conmutativo el dia-grama siguiente:

φRn −→ Rn

π ↓ ↑ πM −→ M

ϕ

ii) Si χφ ∈ R[X] es el polinomio del Teorema de Hamilton–Cayley para modulos libresfinitamente generados, probar que para todo m ∈ M , se tiene χφ(ϕ)(m) = 0 con lasoperaciones de suma y composicion de endomorfismos.

iii) Si, ademas, existe un ideal a de R, tal que ϕ(M) ⊆ aM , entonces, podemos elegir φde tal modo que φ(Rn) ⊆ aRn y de tal modo que los coeficientes de χφ, excluyendo elcoeficiente director, esten en el ideal a.

(Pista: Retomar el Problema ??)

Problema 182 (Lema de Nakayama, a la Atiyah). Deducie el Lema de Nakayama (Lema6.5.1 anterior) del enunciado del anterior problema. (Pista: Consultar [AtMc, 69]).

CAPıTULO 7

Suplementos sobre Noetherianidad: Teorema de Unicidad,Espacios Topologicos, Anillos y Modulos Artinianos

Indice

7.1. Introduccion 2437.2. Primer Teorema de Unicidad de la Descomposicion Primaria:

Asociados, Soporte 2437.3. Espacios Topologiocs Noetherianos: Componentes Irreducibles 2477.4. Anillos y Modulos de Artin 2497.5. Dimension de Krull 2527.5.1. Dimension de Krull en espacios topologicos noetherianos 2547.6. Cuestions y Problemas 258

7.1. Introduccion

Dedicaremos este Capıtulo a establecer algunos aspectos suplementarios de la nocion de anillos ymodulos noetherianos. Incluimos un Teorema Debil de Unicidad de la descomposicion primaria,el estudio de los espacios topologicos noetherianos y los anillos y modulos de Artin.

7.2. Primer Teorema de Unicidad de la Descomposicion Primaria: Asociados,Soporte

Definicion 92. Sea M un R−modulo. Un ideal primo p ∈ Spec(R) se denomina asociado aM si existe x ∈M tal que x 6= 0 y

p = Ann(x) := a ∈ R : ax = 0Denotaremos por Ass(M) el conjunto de los ideales primos asociados a M .

Observacion 7.2.1. Otra manera de interpretar los ideales primos asociados a un R−moduloM viene dada por la formulacion siguiente :Un ideal primo p ∈ Spec(R) es asociado a M si y solamente si existe un monomorfismo deR−modulos:

ϕ : R/p −→M.

El elemento ϕ(1R + p) = x verifica p = Ann(x). La clase de ideales primos asociados a unR−modulo es especialmente importante por determinar los divisores de cero.

Definicion 93. Dado un R−modulo M y un elemento no nulo a ∈ R, diremos que a es undivisor de cero de M , si existe m ∈M , m 6= 0, tal que am = 0.

Ejemplo 7.2.2. Por tomar un ejemplo clasico, retomemos la Teorıa del Endomorfismo vistaen Capıtulos anterores. Tomemos Mn(K) las matrices cuadradas sobre un cuerpo K y seaA = K[X] el dominio de ideales principales dado por los polinomios univariados con coeficientesen K. En Mn(K) tenemos una estructural “natural” de A−modulo. Ası, dados f(X) ∈ A yM ∈Mn(K), definimos :

f(M) :=

d∑i=0

akMk

cuando f =∑di=0 akX

k. Con esta estructura de A−modulo, dada una matriz cuadrada M ∈Mn(K), Ann(M) es justamente el ideal de A generado por el polinomio mınimo de M .

243

244 7. SUPLEMENTOS NOETHERIANIDAD

Lema 7.2.3. Se tienen las siguientes propiedades:

i) Sea R un anillo noetheriano y a un ideal de R. Entonces, existe n ∈ N tal que√an ⊆ a.

ii) Si R es noetheriano, M un R−modulo finitamente generado y N un submodulop−primario de M , existira n ∈ N tal que pnM ⊆ N .

Demostracion. i) Puesto que√a es finitamente generado, supongamos

√a = (a1, . . . , as)

Entonces, existiran ni ∈ N tales que anii ∈ a. Tomando n := maxni : 1 ≤ i ≤ shabremos terminado.

ii) Para cada a ∈ p, la homotecia aM/N : M/N −→ M/N es nilpotente. Para cadagenerador ai de p = (a1, . . . , as) existira ni ∈ N tal que (ai)

niM/N = 0, es decir,

anii M ⊆ N . Tomando n := maxni : 1 ≤ i ≤ s habremos terminado.

Observacion 7.2.4. Si q es un ideal p−primario, existira n ∈ N tal que pn ⊆ q.

Teorema 7.2.5 (Primer Teorema de Unicidad). Sea R un anillo noetheriano y M unR−modulo finitamente generado. Sea

(0) = N1 ∩ · · · ∩Nruna descomposicion primaria irredudante del submodulo (0) de M , donde cada Ni es pi−primario.Entonces,

Ass(M) = p1, . . . , pr.En particular, Ass(M) es un conjunto finito y esta unıvocamente determinado, independiente-mente de la descoposicion primaria irredundante del submodulo (0) elegida.

Demostracion. Probemos los dos contenidos

• ⊆ : Consideremos p ∈ Ass(M) y supongamos x ∈ M , x 6= 0, tal que p = Ann(x).Salvo reordenacion de los ındices de la descomposicion primaria, existira un ciertoındice j ≥ 1 tal que :

x 6∈ N1 ∪ · · · ∪Nj , x ∈ Nj+1 ∩ · · · ∩NrSea ni ∈ N tal que pnii M ⊆ Ni. Tendremos que :

j∏i=1

pnii x ⊆ (N1 ∩ · · · ∩Nj) ∩Nj+1 ∩ · · · ∩Nr

Tenemos ası∏ji=1 pi ⊆ p y, dado que p es un ideal primo, existira un cierto k, 1 ≤ k ≤

j, tal que pk ⊆ p. Por otro lado, para cada a ∈ p, la homotecia aM/Nk : M/Nk −→M/Nk no es inyectiva : aM/Nk(x+Nk) = 0 y x 6∈ Nk. Por no ser inyectiva, a ∈ pk ytenemos la igualdad.

• ⊇ :Para el otro contenido, probemos que cada pi ∈ Ass(M). Supongamos i = 1 yconsidremos x ∈ N2 ∩ · · · ∩Nr tal que x 6∈ N1. Tal elemento ha de existir porque ladescomposicion es irredundante. Puesto que N1 es p1−primario, existira n ∈ N tal quepn1M ⊆ N1. Consideremos n minimal con esa propiedad. Existira entonces y ∈ pn−1

1 xtal que y 6∈ N1. En particular y 6= 0 y p1y ⊆ N1. Por lo tanto, p1 ⊆ Ann(y). De otrolado, si a ∈ R es un elemento tal que ay = 0, la homotecia aM/N1

: M/N1 −→M/N1

no es inyectiva (y 6∈ N1 y ay = 0). Por lo tanto a ∈ p1 como buscabamos.

La caracterizacion de los primos que aparecen en una descomposicion primaria irredundantecomo primos asociados, los determina de manera unica e independiente de la descomposicionprimaria irredundante elegida.

Corollario 7.2.6. Sea R un anillo noetheriano y M un R−modulo finitamente generado. SeaN un submodulo de N y tomemos una descomposicion primaria irredudante de N :

N = N1 ∩ · · · ∩Nr

7.2. PRIMER TEOREMA DE UNICIDAD DE LA DESCOMPOSICION PRIMARIA: ASOCIADOS, SOPORTE245

donde Ni es pi−primario. Entonces,

Ass(M/N) = p1, . . . , pr

En particular, los ideales asociados a una descomposicion primaria irredundante estan deter-minados de manera unica por el modulo y son independientes de la descomposicion primariairredudante elegida.

Corollario 7.2.7. Analogas propiedades se verifican para los ideales de un anillo noetheriano.

La siguiente propiedad muestra a relacion entre los divisores de cero de un R−modulo y losprimos asociados:

Proposicion 7.2.8. El conjunto de los divisores de cero de un R−modulo noetheriano es dadopor: ⋃

p∈Ass(M)

p

Demostracion. Tomemos una descomposicion primaria irredundante del submodulo (0)de M :

(0) = N1 ∩ · · · ∩Nrdonde cada Ni es pi−primario. Si a ∈ R es un divisor de cero en M , existira m ∈M , m 6= 0, talque am = 0. Pero ha de existir un ındice k, 1 ≤ k ≤ r tal que m 6∈ Nk. Entonces, la homotecia

aM/Nk : M/Nk −→M/Nk

no es inyectiva, por lo que a ∈ pk.Recıprocamente, Supongamos que a ∈ p1. Como la descomposicion es irredundante, existiray ∈ N2 ∩ · · · ∩Nr tal que y 6= 0. Como la homotecia :

xM/N1: M/N1 −→M/N1

es no inyectiva, debera ser nilpotente, luego existe n ∈ N tal que xnM/N1= 0. En particular,

tendremos

xnM/N1(y) ∈ N1 ⇒ xny = 0.

Elijamos n ∈ N minimal con la propiedad xny = 0. Entonces, xn−1y 6= 0 y tomando y′ =xn−1y 6= 0, concluiremos xy′ = 0 y x es un divisor de cero del R−modulo M .

Observacion 7.2.9. Observese que si R es un anillo noetheriano y a es un ideal radical de R,existira una descomposicion primaria irredudante de a donde todos los primarios son primos :Tomemos una descomposicion primaria irredundante del ideal a = q1 ∩ · · · ∩ qr, donde qi esun ideal pi−primario. Entonces,

√q = p1 ∩ · · · ∩ pr y esta es una descomposicion primaria

irredundante de a.

Definicion 94. Dado M un R−modulo, definiremos el ideal anulador de M en R, mediante :

AnnR(M) := a ∈ R : am = 0,∀m ∈M

Corollario 7.2.10. Sea R un anillo noetheriano y M un R−modulo noetheriano. Entonces,√AnnR(M) = ∩p∈AssR(M)p,

y √(0) = ∩p∈AssR(A)p.

Definicion 95. Sea M un R−modulo. y para cada ideal primo p ∈ Spec(R) denotemos porMp la localizacion de M en p. Definiremos el soporte de M como :

Supp(M) := p ∈ Spec(R) : Mp 6= 0


Lema 7.2.11. El siguiente morfismo de R−modulos es inyectivo :

ϕ : M −→∏

p∈Spec(R)Mp

a 7−→ (a1 )p∈Spec(R).

En particular, M = (0) si y solamente si Supp(M) = ∅.

Demostracion. Simplemente recordar a los alumnos la disusion en torno a la condicionlocal de la propiedad “ser cero ” un R−modulo.

TODO: ****

7.3. ESPACIOS TOPOLOGIOCS NOETHERIANOS: COMPONENTES IRREDUCIBLES 247

Observacion 7.2.12. Las propiedades de la localizacion de anillos y modulos nos garantizanlas siguientes propiedades :

i) Si 0→M ′ →M →M ′′ → 0 es una sucesion exacta corta de A−modulos :

Supp(M) = Supp(M ′) ∪ Supp(M ′′)ii) Supp(M

⊗AN) = Supp(M) ∩ Supp(N).

Teorema 7.2.13. Si A es un anillo noetheriano, las siguiente propiedades son equivalentes paracualquier A−modulo finitamente generado y cualquier ideal primo p ∈ Spec(A) :

i) p ∈ Supp(M),ii) ∃p′ ∈ Ass(M), p ⊇ p′,iii) p ⊇ Ann(M).

En particular, Ass(M) contiene a los primos minimales de Supp(M) y este es un conjuntofinito.

Demostracion. • i) ⇒ ii) : Supongamos Ass(M) = p1, . . . , pr. Si ii) no fiera

cierto, p no contiene a ∩ri=1pi =√Ann(M). Por lo tanto, siendo p primo, existe

a ∈ Ann(M) tal que a ∈ p. Es facil concluir entonces que Mp = (0) en contra de lahipotesis p ∈ Supp(M).

• ii)⇒ iii) : Obvio pues√Ann(M) = ∩ri=1pi.

• iii) ⇒ i) : Supongamos que p ⊇ Ann(M). Entonces, si Mp = (0), tomemosm1, . . .mr ∈ M generando M como A−modulo. Existiran xi ∈ A \ p tales queximi = 0 en M , 1 ≤ i ≤ r. Sea s =

∏ri=1 xi ∈ A \ p. Entonces, sm = 0, para

todo m ∈M (es decir s ∈ Ann(M) ) y s 6∈ p.

Corollario 7.2.14. Para todo A−modulo finitamente generado sobre un anillo noetherianose tiene :

Ass(M) ⊆ Supp(M) = Spec(A/Ann(M))

Corollario 7.2.15. Para todo anillo noetheriano A y todo ideal I de A se tiene :

i) Los ideales primos minimales sobre I estan en Ass(A/I).ii) No todos los ideales primos de Ass(A/I) son minimales sobre I

Demostracion. Solo discutimos el apartado ii) : Tomemos el ideal (x2, xy) = (x)∩ (x, y)en Q[x, y]. Tal descripcion es una descomposicion primaria irredudante de (x2, xy), pero el idealprimo (x, y) no es minimal aun siendo asociado.

Definicion 96. Los ideales primos minimales sobre un ideal se denominan divisores primosdel ideal, mientras que los ideales primos asociados que no son minimales se denominan com-ponentes inmersas del ideal.

Corollario 7.2.16. Si K es un cuerpo algebraicamente cerrado, I un ideal de K[X1, . . . , Xn],los siguientes conjuntos se pueden identificar :

i) Los ideales primos minimales sobre I.ii) Los ideales primos asociados a

√I.

iii) Las componentes irreducibles de la variedad VKn(I).

7.3. Espacios Topologiocs Noetherianos: Componentes Irreducibles

Es una interpretacion de la nocion de condicion de cadena.

Proposicion 7.3.1. Sea (X,T ) un espacio topologico. Las siguientes condiciones son equiva-lentes :

i) (X,T ) es un espacio topologico noetheriano.ii) Todo conjunto no vacıo de abiertos posee elemento maximal.iii) Los cerrados de (X,T ) verifican la condicion de cadena descendente.iv) Todo conjunto no vacıo de cerrados de (X,T ) posee elemento minimal.v) Cada subespacio abierto de (X,T ) es quasicompacto (i.e. todo cubrimiento posee un

cubrimeinto finito).vi) Cada subespacio de (X,T ) es quasicompacto.


Demostracion. La equivalencia entre las primeras cuatro afirmaciones es trivial y norequiere esfuerzo adicional.

• ii) ⇒ v) Sea A abierto en X y consideremos un recubrimiento de A por abiertos deX :

A ⊆ ∪i∈IAiConsideremos ahora el conjunto de todos los abiertos dados por uniones finitas deabiertos en Ai : i ∈ I. Sea A0 un elemento maximal de ese conjunto. Si A ⊆ A0

no habrıa nada que probar. En caso contrario, existira x ∈ A que no esta en A0.Entonces, existira un cierto ındice i0 ∈ I tal que x ∈ Ai0 . Entonces, A0 ⊆ A0 ∪ Ai0contradiciendo la maximalidad de A0

• v) ⇒ vi) Sea F un subespacio cualquiera de (X,T ). Si tomamos un cubrimientoabierto de F , tenemos, tomando la uni—on, un recubrimiento de un abierto de (X,T ),por lo tanto, posee un subcubrimeinto finito y tambien lo posee F .

• vi)⇒ i) Dada una cadena ascendente de abiertos de (X,T ) :

A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ · · ·

Tomemos el abierto A := ∪An. Por ser quasicompacto, posee un subrecubrimientofinito. Tomando como m ∈ N el maximo de los subındices de los abiertos que aparecenen ese subcubrimiento finito, tendremos A = Am = An, para cada n ≥ m.

Los espacios topologicos noetherianos disponen ademas de una propiedad analoga a la de lascomponentes conexas en Rn: las componentes irreducibles.

Definicion 97. Un cerrado F de un espacio topologico (X,T ) se denomina irreducible siverifica :

∀V1, V2 cerrados de (X,T ), F = V1 ∪ V2 ⇒ F = V1oF = V2

Ejemplo 7.3.2. Los conjuntos algebraicos irreducibles son cerrados irreducibles en Kn con latopologıa de Zariski. El que posean propiedades analogas a las componentes conexas, no quieredecir que sean conexos.

Proposicion 7.3.3. Sea (X,T ) un espacio topologico neotehriano. Entonces, todo cerrado esunion finita de cerrados irreducibles. Ademas existe una unica descomposicion para cada Fcerrado en (X,T ) del tipo :

F := V1 ∪ · · · ∪ Vntal que :

• V1, . . . , Vn son cerrados irreducibles,• ∀i 6= j, Fi 6⊆ Fj.

Una tal descomposicion se denomina descomposicion iredudante. El conjunto V1, . . . , Vn estaunıvocamente determinado por F : son los cerrados irreducibles maximales entre los contenidosen F . Sus elementos se denominan componentes irreducibles de F .

Demostracion. Para probar la existencia, definamos el siguiente conjunto de cerrados de(X,T ) :

F := F ⊆ X : F es cerrado y no es union finita de irreduciblesSi F no fuera vacıo, poseerıa un elemento minimal por ser (X,T ) noetheriano. Sea F0 talelemento minimal. Por ser un elemento de F , F0 no puede ser irreducible. En ese caso,existirıan F1 y F2 cerrados de (X,T ) tales que Fi 6= F0, i = 1, 2 y F0 = F1 ∪ F2. Por ser F0

minimal ni F1 ni F2 estan en F , luego son uniones finitas de irreducibles. Concluirıamos queF0 es tambien una union finita de irreducibles y habrıamos llegado a una contradiccion. LuegoF = ∅ y todo cerrado de (X,T ) es union finita de irreducibles.Para obtener una descomposicion irredundante de F basta con tomar una descomposicioncualquiera y eliminar los elementos superfluos. Dicho de otra manera, dada una descomposicionF := F1 ∪ · · · ∪ Fn, eliminemos aquellos Fi que estan contenidos en algun Fj con j 6= i. Lo quenos sale al final de ese proceso es una descomposicion primaria irredudante.

7.4. ANILLOS Y MODULOS DE ARTIN 249

Para probar la unicidad, probemos primero que si F = F1 ∪ · · · ∪ Fn, es una descomposicionirredudante de F como union de irreducibles, para cada cerrado irreducible W ⊆ F existe unFi tal que W ⊆ Fi. Claramente :

W := (F1 ∩W ) ∪ · · · ∪ (Fn ∩W )

luego por la ireducibilidad de W , concluiremos W = W ∩ Fi para algun i. Dada otra de-scomposicion primaria irredundante F = G1 ∪ · · · ∪ Gm de F , tenemos Gi ⊆ Fσ(i) para algunσ(i) ∈ 1, . . . , n. Ahora, como Fσ(i) es tambien un cerrado irreducible contenido en F , existiraGj tal que Fσ(i) ⊆ Wj . Pero eso implicarıa Wi ⊆ Wj , luego i = j y Wi = Fσ(i). Tenemos asıuna aplicacion inyectiva

σ : 1, . . . ,m −→ 1, . . . , nσ(i) es el ındice tal que Wi = Fσ(i). Concluimos m ≤ n y habremos concluido el argumento,

Corollario 7.3.4. Todo conjunto algebraico de Kn es union finita irredundante de irreduciblesy esos irreducibles se hallan unıvocamente determinados.

Corollario 7.3.5. i) Si V ⊆ Kn es algebraico, I(V ) es un ideal radical y es inter-seccion finita de primos.

ii) Si K es algebraicamente cerrado, existe solamente un numero finito de ideales primos

minimales sobre cada ideal I de K[X1, . . . , Xn]. Ademas,√I es una interseccion de

los ideales primos minimales que contienen al ideal I.iii) Los ideales primos minimales sobre un ideal I estan biyectados con las componentes

irreducibles de VKn(I).

Demostracion. Sean V1, . . . , Vm las componentes irreducibles de V . Entonces, cada I(Vj)es un ideal primo de K[X1, . . . , Xn] y se tiene :

V = V1 ∪ · · · ∪ Vm ⇔ I(V ) = I(V1) ∩ · · · I(Vm)

Para las otras afirmaciones necesitamos del Corolario al Teorema de los Ceros de Hilbert que diceque si p es un ideal primo de K[X1, . . . , Xn], K algebraicamente cerrado, V (P ) es irreducible.En ese caso, si p es un primo conteniendo al ideal I V (p) ⊆ V (I), luego V (p) esta contenido enalguna componente irreducible de V (I), Vj , y tendremos

p = I(V (p)) ⊇ I(Vj)

. La biyeccion entre los ideales primos minimales sobre I y las componentes irreducibles de V (I)queda pues garantizada. El resto es mera comprobacion.

7.4. Anillos y Modulos de Artin

Retomamos una serie de ideas basicas de E. Artin sobre este tipo de anillos, antes de proseguir.

Proposicion 7.4.1 (Anillos de Artin). sea R un anillo. Las dos propiedades siguientes sonequivalentes:

i) Toda cadena descendente de ideales se estabiliza, es decir, dada una cadena descen-dente de ideales de R:

a0 ⊇ a1 ⊇ · · · ⊇ am ⊇ · · · ,

existe m ∈ N tal que an = am, ∀n ≥ m.ii) Todo conjunto no vacıo de ideales de R posee elemento minimal.

Los anillos que satisfacen cualquiera de estas dos propiedades equivalentes se llaman anillos deArtin o artinianos.

Demostracion. Acudir a cualquier texto basico de Algebra Conmutativa cono [AtMc, 69].

Los anillos de Artin poseen algunas propiedades interesantes que podemos resumir. De nuevo,para una demostracion se puede acudir a cualquier texto basico de Algebra Conmutativa parano iniciados como el [AtMc, 69].


Proposicion 7.4.2. Si R es un anillo de Artin, el ideal (0) es un producto finito de idealesmaximales. Es decir, existen ideales maximales m1, . . . ,ms y enteros positivos n1, . . . , n2 ∈ Ntales que

(0) = mn11 · · ·mnss .

Teorema 7.4.3 (Teorema de Akizuki). Un anillo R es artiniano si y solamente si se verif-ican las dos propiedades siguientes:

i) R es noetheriano, es decir, todo ideal de R es finitamente generado.ii) Todo ideal p primo en R es maximal.

Vamos a extraer un sencillo Corolario sobre la estructura de los anillos artinianos a traves delTeorema Chino de los Restos. Recordemos este enunciado:

Teorema 7.4.4 (Teorema Chino de los Restos). Sea R un anillo y sea a1, . . . , as unafamilia finita de ideales de R. Supongamos que estos ideales son dos a dos co-maximales, esdecir,

∀i, j, i 6= j ai + aj = R.

Entonces, el siguiente es un isomorfismo de anillos:

ϕ : R/a −→∏si=1 (R/ai)

x+ a 7−→ (x+ a1, . . . , x+ as),

donde

a =

s⋂i=1

ai =

s∏i=1

ai.

De nuevo el resultado es un clasico y una demostracion puede seguirse en cualquier clasico deAlgebra Conmutativa como [AtMc, 69]. Una conclusion casi inmediata es la siguiente:

Corollario 7.4.5 (Teorema de Estructura de anillos locales de Artin). Todo anillo deArtin es isomorfo a un producto de anillos locales de Artin. En particular, si

(0) = mn11 · · ·mnss .

es una descomposicion del ideal (0) de R como producto de ideales maximales, el siguiente esun isomorfismo de anillos:

ϕ : R/a −→∏si=1 (R/mnii )

x+ a 7−→ (x+ mn11 , . . . ,mnss ),

Demostracion. Es evidente a partir de las discusiones precendentes.

Vamos a ver lo que significa el concepto de anillos de Artin en nuestro contexto:

Definicion 98 (Ideales Cero-dimensionales). Sea K un cuerpo, K su calusura algebraica,a un ideal en K[X1, . . . , Xn] y VK(a) el conjunto de sus soluciones en Kn. Decimos que a escero-dimensional si VK(a) es un conjunto finito.Un conjunto finito de ecuaciones (como las descritas en (??)) se dice cero-dimensional siposee un numero finito de soluciones o, equivalentemente, si el ideal a que generan es cero-dimensional.

El siguiente enunciado caracteriza los ideales y los sistemas de ecuaciones cero-dimensionales:

Teorema 7.4.6. Sea K un cuerpo, K un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K,f1, . . . , fs un conjunto finito de polinomios en K[X1, . . . , Xn]. Sea a el ideal gebnerado porf1, . . . , fs en K[X1, . . . , Xn] y ae el ideal que generan en K[X1, . . . , Xn]. Sea VK(a) el conjuntode soluciones del sistema de ecuaciones (??) en K‘n. Son equivalentes:

i) El sistema de ecuaciones (??) asociado a f1, . . . , fs es cero-dimensional.ii) El ideal a es cero-dimensional en K[X1, . . . , Xn].iii) El ideal ae es cero-dimensional en K[X1, . . . , Xn].iv) El radical

√a es interseccion finita de maximales de K[X1, . . . , Xn].

v) El radical√ae

es interseccion finita de maximales de K[X1, . . . , Xn].vi) El anillo K[X1, . . . , Xn]/a es un anillo de Artin.

vii) El anillo K[X1, . . . , Xn]/ae es un anillo de Artin.

7.4. ANILLOS Y MODULOS DE ARTIN 251

viii) El anillo K[X1, . . . , Xn]/√a es un anillo de Artin.

ix) El anillo K[X1, . . . , Xn]/√ae

es un anillo de Artin.x) El anillo K[X1, . . . , Xn]/a es un K−espacio vectorial de dimension finita.xi) El anillo K[X1, . . . , Xn]/ae es un K−espacio vectorial de dimension finita.

xii) El anillo K[X1, . . . , Xn]/√a es un K−espacio vectorial de dimension finita.

xiii) El anillo K[X1, . . . , Xn]/√ae

es un K−espacio vectorial de dimension finita.

De nuevo dejamos la demostracion para el [AtMc, 69], combinando con el Nullstellensatz deHilbert que hemos discutido en el Capıtulo precedente. Pasemoa a describir algun detalle de loque significan estos resultados.En primer lugar, supongamos que V = VK(a) = VK(ae) es el conjunto dado por los elementossiguientes:

V := ζ1, . . . , ζD,donde D = ](V ) es el cardinal del conjunto de soluciones. Se denomina grado de V y serepresenta mediante deg(V ) = D . Escribamos R para el anillo K[X1, . . . , Xn]/a y escribiremosK⊗K R para K[X1, . . . , Xn]/ae. Finalmente, escribamos

Rred := K[X1, . . . , Xn]/√a,

y(K⊗K R)red := K[X1, . . . , Xn]/

√ae.

Proposicion 7.4.7. Se dan las siguientes desigualdades e igualdades:

i) Las dimensiones de los espacios vectoriales satisfacen:

dimK(R) = dimK(K⊗K R) ≥ D .

Ademas, como R ⊆ K ⊗K R, una base de R como K−espacio vectorial es base deK⊗K R como K−espacio vectorial.

ii) Las dimensiones de los espaciones vectoriales satisfacen:

dimK(Rred) = dimK ((K⊗K R)red) = D .

Ademas, como Rred ⊆ (K⊗K R)red, una base de Rred como K−espacio vectorial esbase de (K⊗K R)red como K−espacio vectorial.

Demostracion. La idea clave del asunto es el Teorema Chino de los Restos, junto alTeorema de Akizuki y el Nullstellensatz. Comencemos con el caso de los anillos sobre K.Como K ⊗K R es zero-dimensional, esto es, artiniano, podemos usar el Teorema Chino de losRestos y concluir que hay un numero finito de ideales maximales m1, . . . ,ms y enteros positivosn1, . . . , ns ∈ N tales que

ae :=

s∏i=1

mnii ,

y, ademas, un isomorfismo de anillos:

ϕ : K⊗K R = K[X1, . . . , Xn]/ae −→∏si=1 K[X1, . . . , Xn]/mnii

Pero, ademas, el Nullstellensatz nos dice como son los ideales maximales de K[X1, . . . , Xn]. Sontodos de la forma mζ := (X1 − z1, . . . , Xn − zn), donde ζ := (z1, . . . , zn) ∈ Kn. Pero, ademas,si ζ ∈ VK(a) entonces mζ ⊇ a y recıprocamente. Luego los ideales maximales m1, . . . ,ms y losceros en VK(a) estan indenticados. Es decir,

m1, . . . ,ms = mζ1 , . . . ,mζD.Por tanto, uno puede concluir que

ae :=

D∏i=

mniζi ,

y

K⊗K R ∼=D∏i=1

K[X1, . . . , Xn]/mniζi .

Viendo que K[X1, . . . , Xn]/mniζi es un K−espacio vectorial de dimension al menos 1 tenemos ladesigualdad:

dimK(K⊗K R) ≥ D .


De hecho, hemos entendido mejor que existe una ligazon entre el anillo K⊗K R y las solucionesdel sistema de ecuaciones. Al exponente ni se le puede denominar la multiplicidad de ζi comosolucion del sistema de ecuaciones que define el ideal a.Para estudiar R y la relacion entre R y K⊗K R, recordemos un sencillo detalle. El conjunto detodos los monomios es una base de K[X1, . . . , Xn]. por su parte a es un subespacio vectorialy claramente, por ser R de dimension finita, existe una base de R dada por las clases deequivalencia de un conjunto finito de monomios, es decir, existe J ⊆ Nn tal que:

β := Xµ1

1 · · ·Xµnn + a : µ = (µ1, . . . , µn) ∈ J,

serıa una base de R := K[X1, . . . , Xn]/a. Es (relativamente) facil ver que estos mismosmonomios definen una base de K⊗R mediante

K⊗ β := Xµ1

1 · · ·Xµnn + ae : µ = (µ1, . . . , µn) ∈ J.

Con ello tenemos la igualdad entre las dimensiones como espacios vectoriales (aunque conrespecto a diferentes cuerpos):

dimK(R) = dimK (K⊗K R) .

Para la otra igualdad bastara con que observemos que “tomar radicales” significa quitar expo-nentes y, por tanto, tendrıamos algo como:

ae :=

D∏i=

mniζi =⇒ ae :=

D∏i=

mζi .

En particular, el Teorema Chino de los Restos implicara un ispmorfismo de anillos que esisomorfismo de espacios vectoriales (sobre K) del tipo siguiente:

(K⊗K R)red∼=

D∏i=1

K[X1, . . . , Xn]/mζi .

Recordemos, ademas, que los maximales de la forma mζ tienen la propiedad de dar isomorfismosde anillos (y, por tanto, de K−espacios vectoriales) del tipo

K[X1, . . . , Xn]/mζ ∼= K.

Por tanto,

(K⊗K R)red∼=

D∏i=1

K[X1, . . . , Xn]/mζi∼= KD ,

y tenemos la primera igualdad de dimensiones. Usando de nuevo las bases monomiales, pro-baremos que

dimK(Rred) = dimK (K⊗K R)red = D ,

y se conluye el enunciado.

Observacion 7.4.8. Lo importante en este enunciado no es solamente las igualdades entre lasdimensiones, sino, tambien, como son sus descomposiciones y como son los isomorfismos.

7.5. Dimension de Krull

Comencemos con una sencilla propiedad de los espacios topologicos neotherianos. Las nocionesson esencialmente debidas a W. Krull1

1W. Krull estudio en Gotingen bajo la direccion de F. Klein y E. Noether. Si bien F. Klein influyo en lacomprension de la matematica en un sentido amplio, E. Noether dejo en W. Krull todo un programa de trabajo

que ella misma no pudo concluir por el advenimiento de los nazis al poder en Alemania. En su trabajo W. Krull“Primidealketten in allgemeinen Ringbereichten”. S.–B. Heildelberg Akad. Wiss. 7 (1928), introdujo la nocionde dimension de un anillo noetheriano, lo que le permitio alcanzar el enunciado del Teorema del Ideal Principal.Posteriormente influira a geometras como C. Chevalley y O. Zariski quienes, a a su vez, continuarıan la obra

de W. Krull. Entre sus obras, debe destacarse este trabajo de 1928, su trabajo sobre los anillos asociados avariedades algebraicas de 1938 (en el que introduce los anillos locales regulares) y, sobre todo, su texto W. Krull,“Idealtheorie”. Springer, 1935. Es a este texto y a su autor a quienes debemos la transformacion del conjunto

de resultados de P. Gordan, D. Hilbert y E. Noether, y sus respectivas escuelas, sobre Teorıa de Invariantes en

una nueva rama del conocimiento matematico hoy conocida como Algebra Conmutativa.

7.5. DIMENSION DE KRULL 253

Definicion 99 (Cerrado irreducible). Sea (X, T ) un espacio topologico, un cerrado C deX se dice irreducible si no se puede descomponer como union de cerrados propios, es decirm siverifica

C = V⋃W, V,W ∈ T c =⇒ [C = V ] ∨ [C = W ].

Los cerrados que no son irreducibles se denominan reducibles.

Proposicion 7.5.1. Sea (X, T ) un espacio toplogico noetheriano. Entonces todo cerrado poseeuna descomposicon unica como union finita de irreducibles. A los irreducibles que aparecen enesa descomposicion se les denomina componenets irreducibles.

Demostracion. Se trata de usar, de modo evidente, la nocion de Noetheriano. Consid-eremos el conjunto

F := V ⊆ X : V es cerrado y no es union finita de irreducibles.

Suponganos, por reduccion al absurdo, que este conjunto sea no vacıo. Entonces posee unelemento minimal que denotaremos por V . Es claro que, como V ∈ F , V no puede ser irreducible(porque serıa union finita de irreducible), luego es reducible y existen W1,W2 dos cerrados talesque Wi ( V y

V = W1 ∪W2.

Como V es minimal en F concluiremos que Wi 6∈ F , luego, por ser cerrados, han de ser unionfinita de irreducibles. Pero, entonces, V lo es tambien contradiciendo su minimalidad en Fy permitiendonos concluir que F = ∅. Usando la minimalidad de todas las desomposicionesfinitas podemos encontrar un mınimo y la unicidad.

Proposicion 7.5.2. Sea K un cuerpo K un cuerpo algebraicamente cerrado que le contiene.Un conjunto algebraico K−definible V ⊆ Kn es irreducible si y solamente si su ideal IK(V ) esprimo en K[X1, . . . , Xn].

Demostracion. Es obvio y no necesita el Nullstellensatz. Sı necesita una cierta condicionde separabilidad por polinomios. Ası, si IK(V ) es primo y si V = W1 ∪W2, entonces, existenf ∈ IK(W1) y g ∈ IK(W2) tales que

f |W2 6= 0, g |W1 6= 0.

Simplementre porque W1 6= W2. Pero fg ∈ IK(V ) mientras que f, g 6∈ IK(V ), contradiciendola primalidad de IK(V ).Para el recıproco, si fg ∈ IK(V ) y V es irreducible, definamos

W1 := V ∩ V (f), W2 := V ∩ V (g).

Tendremos V = W1 ∪W2 y, por ser V irreducible, V = W1 o V = W2, lo que es equivalente adecir f ∈ IK(V ) o g ∈ IK(V ), lo que implica la primalidad de IK(V ).

Proposicion 7.5.3. En un anillo noetheriano R, todo ideal radical es una interseccion finitade ideales primos, llamadas componentes primas del ideal.

Demostracion. Dado que todo ideal radical es interseccion de primos, el argumento es elmismo de siempre usando la condicion noetheriana.

Observacion 7.5.4. El anterior resultado entronca con el clasico Teorema de Lasker-Noethersobre desomposicion primaria de ideales en anillo noteherianos que obviaremos por falta detiempo.


7.5.1. Dimension de Krull en espacios topologicos noetherianos. La nocion dedimension que vamos a desarrollar en esta parte del curso es una nocion bien adapatada a losespacios topologicos neotherianos y basada en una nocion intuitivamente muy simple, como sonlas cadenas de irreducibles. Ya nos hemos enfrentado a un ejemplo de esta nocion : los anillosartinianos tiene un espacio topologico noethereiano de dimension 0 y finito.

Definicion 100. Sea (X, T ) un espacio topologico noetheriano. Llamaremos dimension deKrull de X al maximo de las longitudses de cadenas de irreudcibles de X, es decir el maximode los numeros naturales n ∈ N tales que existen :

∅ ( V0 ( V1 ( · · · ( Vn ⊆ Xdonde V0, . . . , Vn son cerrados irreducibles de X.

Ejemplo 7.5.5. • Para un conjunto algebraico V ⊆ Kn, su dimension de Krull es elmaximo de las longitudes de cadenas de conjuntos algebraicos irreducibles contenidosen V .

• Lo mismo podemos decir de la dimension de los conjuntos algebraicos proyectivos.• Como primera observacion concerniente a estos tres casos, si K es un cuerpo infinito,

la dimension de un cerrado en las topologıas de Zariski Kn y Pn(K) de un cerrado 0si y solamente si estan formados por un conjunto finito de puntos.

• Dado un cerrado V ⊆ Spec(A), llamaremos dimension de Krull de V al maximo delas longitudes de cadenas de irreducibles contenidos en V . En esta caso, podemosencontrar cerrados de dimension 1 formados por un conjunto finitio de puntos.

Definicion 101. Llamaremos dimension de Krull de un anillo A a la dimension de Krull deSpec(A).

Ejemplo 7.5.6. Los anillos artinianos tienen dimension 0. Los conjuntos finitos de puntos deKn tienen dimension de Krull 0.

Definicion 102. Sea A un anillo y p un ideal primo de A.

i) Llamaremos altura de p al maximo de las longitudes de cadenas de ideales primos deA contenidas en p, esto es, el maximo de los numeros naturales n ∈ N tales que exite :

p0 ( p1 ( · · · ( pn ⊆ p

donde p0, . . . , pn son ideales primos de A. Lo denotaremos por ht(p).ii) Llamaremos coaltura de p al maximo de las longitudes de cadenas de ideales primos

de A que contienen a p, esto es, el maximo de los numeros naturales n ∈ N tales queexite :

p ⊆ p0 ( p1 ( · · · ( pn

donde p0, . . . , pn son ideales primos de A. Lo denotaremos por coht(p).

Proposicion 7.5.7. Sea A un anillo. Sea tiene :

i)

dimKrull(A) = maxht(p) : p ∈ Spec(A) = maxcoht(m) : m ∈ Spm(A)ii)

dimKrull(A) = maxcoht(p) : p ∈ Spec(A)iii) Si A es noetheriano,

dimKrull(A) = maxcoht(p) : p ∈ Ass(A)

Demostracion. Para las dos primeras afirmaciones baste con observar la biyeccion exis-tente entre los irreducibles de Spec(A) y los ideales primos de A. La tercera, el caso noetheriano,se sigue del hecho de que los ideales primos minimales de A estan entre los ideales primos aso-ciados a A.

Definicion 103. Sea a un ideal de un anillo A.

i) Llamaremos altura del ideal a al ınfimo de las alturas de los ideales primos que con-tienen a a. Lo denotaremos por ht(a).


ii) Llamaremos coaltura del ideal a al maximo de las coalturas de los ideales primos quecontienen al ideal a. Lo denotaremos por coht(a).

En ocasiones a la altura se la denomina codimension, mientras a la coaltura de la denominadimension del ideal.

Proposicion 7.5.8. Sea A un anillo, a un ideal de A, p un ideal primo de A.

i)

dimKrull(A/a) = coht(a)

ii)

dimKrull(Ap) = ht(p)

iii)

ht(a) + coht(a) ≤ dimKrull(A)

Demostracion. Las dos primeras afirmaciones son obvias para el conocimiento actual delos alumnos. En ucanto a la tercera, es facil probarla para los ideales primos de A. Para unideal cualquiera a, si coht(a) = coht(p) y p es un primo que contiene a a, entonces, p es minimalsobre a. De otro lado, ht(a) es elınfimo de las alturas de los primos minimales conteniendo alideal a.

Definicion 104. Sea M un A−modulo. Llamaremos dimension de Krull de M a la dimensiondel espacio topologico asociado a M : Supp(M), es decir,

dimKrull(M) = dimKrull(Supp(M))

Proposicion 7.5.9. Si A es un anillo noetheriano y M es un A−modulo finitamente generado,se tiene :

dimKrull(M) = dimKrull(A/Ann(M)) = coht(Ann(M))

Demostracion. Obvio

Ejemplo 7.5.10. • Si K es un cuerpo algebraicamente cerrado y V ⊆ Kn es un con-junto algebraico, se tiene :

dimKrull(V ) = dimKrull(K[V ]) = coht(I(V ))

• Observese que en cuerpos finitos, la dimension de todo conjunto algebraico V ⊆ Kn

es 0, mientras los ideales pueden tener diversas alturas (cf. Problemas).• Los dominions de ideales principales son anillos noetherianos cuya dimension de Krull

es igual a 1. El recıproco no es cierto. Baste copnsiderar el anillo C[X,Y ]/(X2 +Y 2)que es un anillo noetehriano de dimension de Krull igual a 1, pero el maximal definidopor las clases de X,Y no es rpincipal.

• Los anillos de valoracion discreta y los dominios de Dedekind son de dimension deKrull 1.

Es interesante observar el buen comportamiento de la dimension de Krull con extensionesenteras de anillos. Eso es lo que vamos a ver en el siguiente :

Teorema 7.5.11. Sea A ⊆ B una extension entera de anillos, entonces :

dimKrull(A) = dimKrull(B)

Demostracion. Usaremos las propiedades elementales demostradas en nuestro estudio delos teoremas del Ascenso y del Descenso. En primer lugar, la operacion de contraccion defineuna aplicacion suprayectiva entre Spec(B) y Spec(A), que transforma ideales maximales de Ben ideales maximales de A. Recordemos tambien que no hay inclusion estricta entre los idealesprimos de B que se contraen sobre el mismo ideal primo de A. Ası, consideremos una cadenade ideales primos de B :

P0 ( P1 ( · · · ( Pn


y sean pi := Pi ∩ A, sus contracciones en A. Por la propiedad sobre la inclusion estricta,pi ( pi+1. Y tendremos

dimKrull(B) ≤ dimKrull(A)

Recıprocamente, consideremos una cadena de ideales primos de A :

p0 ( p1 ( · · · ( pn

Existira P0 un ideal primo de B que se contrae sobre p0. Aplicando el teorema del Ascenso,construiremos unos ideales primos Pi de B tales que Pi se contrae sobre pi y la siguientees unacedna de ideales primos de B :

P0 ( P1 ( · · · ( Pn

luego

dimKrull(A) ≤ dimKrull(B)

y hemos terminado la prueba.

Podemos observar tambien la relacion entre las nociones de dimension que afectan a los con-juntos algebraicos proyectivos y sus partes afines. Para ello disponemos del siguiente :

Teorema 7.5.12 (Dimension en Pn(K)). Sea V ⊆ Pn(K) un conjunto algebraico proyectivo,sin componentes en el hiperplano del infinito.

i) La dimension de V es igual a la dimension de su cono propyectante menos uno, esdecir :

dimKrull(V ) = dimKrull(π−1(V ))− 1

ii) Si V no posee componentes en el hiperplano del infinito, sea V ∩Kn la parte afın deV , entonces,

dimKrull(V ) = dimKrull(V ∩Kn)

iii) Si W ⊆ Kn es un conjunto algebraico afın, sea W ⊆ Pn(K) su clausura proyectiva.Entonces,

dimKrull(V ) = dimKrull(W )

iv) V tiene dimension de Krull 0 si y solamente si consta de un numero finito de puntos.

Demostracion. Recordando que π : Kn+1 \ (0, . . . , 0) ← Pn(K) transforma conjuntosalgebraicos en algebraicos,

Proposicion 7.5.13. Sea V ⊆ Pn(K) un conjunto algebraico proyectivo, K algebraicamentecerrado y m := (X0, . . . , Xn) ideal maximal de K[X0, . . . , Xn]. Denotemos por m := m/I(V )que es un ideal maximal del anillo graduado K[V ]. Entonces,

dimKrull(V ) + 1 ( en Pn(K) ) ≥ ht(m) ( en K[V ])

Demostracion. Tenemos una biyeccion entre los conjuntos algebraicos irreducibles novacıos contenidos en V y los ideales primos homogeneos de K[X0, . . . , Xn] que contienen a I(V )y definen una variedad no vacıa en Pn(K), luego se trata de probar que ht(m) coincide con elmaximo de las longitudes de cadenas de ideales primos homogeneos que definen una variedadno vacıa en Pn(K) :

I(V ) ⊆ p0 ( · · · ( pr

La desigualdad es obvia, pues todo ideal primo homogeneo esta contenido en m, basta conconsiderar la cadena :

I(V ) ⊆ p0 ( · · · ( pr ⊆ m

Como VPn(K)(pr) 6= ∅, el ultimo es un contenido estricto.

Una curiosa propiedad de los anillos noetherianos relaciona factorialidad y altura de los idealesprimos minimales sobre un ideal principal. Pero insistiremos en esa idea a la luz del Teoremadel Ideal Principal de Krull. Por el momento veremos :

Lema 7.5.14. Si A es un dominio noetheriano y f, g ∈ A \ 0, f no unidad en A, entoncesexiste y es finito el numero dado por :

maxn ∈ N : fn | g


Demostracion. Si f no divide a g ese maximo es 0 y no hay nada que probar. En casocontrario, podrıamos construir una cadena infinita creciente estrictamente de naturales positivoskn ∈ N, n ∈ N tales que fkn | g. Ası las cosas, se hn ∈ A tal que hnf

kn = g y tenemos lasiguiente cadena ascendente de ideales de A :

(h0) ⊆ (h1) ⊆ · · · ⊆ (hn) ⊆ · · ·Para verlo, baste ver que hn es divisible por hn+1.

g = hnfkn = hn+1f

kn+1 = hn+1fkn+1−knfkn

Por ser A dominio, f 6= 0 y g 6= 0, concluimos :

hn = hn+1fkn+1−kn

Ahora la cadena ha de estabilizarse, luego :

hn+1 = un+1hn

con lo cual, obtendremos

hn = hn+1fkn+1−kn = un+1f

kn+1−knhn

De nuevo la condicion de dominio de A implicarıa que f es una unidad y habremos llegado acontradiccion .

Lema 7.5.15. Si A es un dominio noetheriano, todo ideal primo, principal distinto de (0), tienealtura 1.

Demostracion. Supongamos p = (f) un ideal primo y principal de un dominio noetheri-ano A. Sea p′ ⊆ p un ideal primo estrictamemnte contenido en p. Supongamos que p′ no es elideal (0) de A y sea g ∈ p′ un elemento no nulo de p′. Dado que f no es unidad de A y f 6= 0,sea n la maxima potencia de f que divide a g. Claramente n ≤ 1 y tendremos :

g := hfn

donde h 6∈ p. Ahora, si f 6∈ p′, concluirıamos h ∈ p′ ⊆ p, f divide a h y tenemos unacontradiccion.

Lema 7.5.16. Si A es un dominion noetheriano y q es un ideal p−primario, donde p es un idealprincipal, entonces, existe n ∈ N tal que pn = q y q es un ideal principal.

Demostracion. Supongamos que p = (f), hallemos la mınima potencia de f que seencuentra en q : fr ∈ q. Es claro que pr = (fr) ⊆ q, pero veamos el recıproco : Si g ∈ q, sean la maxima potencia de f que divide a g. Entonces, g = hfn y h 6∈ p. Entonces, por ser qprimario, fn ∈ q, luego n ≥ r y g ∈ (fr) = pr.

Proposicion 7.5.17. Un dominio noetheriano A es un dominio de factorizacion unica si ysolamente si los ideales primos asociados a un ideal principal son tambien principales.

Demostracion. Supongamos que A es un D.F.U. y sea (f) un ideal principal. Entonces,existen elemntos primos distintos f1, . . . , fn ∈ A tales que :

f := fk11 · · · fknn (∗)

Observese que(fk1

1 ) · · · (fknn ) = (fk11 ) ∩ · · · ∩ (fknn )

Para verlo baste hacer induccion en n. Si n = 1, no hay nada que probar. Para el caso n ≥ 2,sea g ∈ (fk1

1 ) ∩ · · · ∩ (fknn ) y sea k l maxima potencia de f1 que divide a g . Entonces, k ≥ k1

y supongamos g = hfk. Claramente f no divide a h y fk no es un elemento de (fi) para

2 ≤ i ≤ n. Por lo tanto, siendo (fkii ) un ideal primario, h ∈ (fkii ), 2 ≤ i ≤ n. Aplicando lahipotesis inductiva habremos terminado.Por lo tanto, la identidad (∗) nos ofrece una descomposicion primaria del ideal (f) con primosasociados (f1), . . . , (fn). Como son todos distintos, la descomposicion primaria es irredundantey los ideales primos asociados a A/(f) son justamente los de esta lista.Para ver el recıproco, sea f ∈ A un elemento no nulo y no unidad. Sea

(f) = q1 ∩ · · · ∩ qn


una descomposicion primaria irredundante del ideal (f) de A, donde qi es pi−primario. En

consecuencia, pi = (fi) donde fi es primo e irreducible de A. En particular, qi := (fkii ) ytendremos, usando un argumento similar al del apartado anterior, que :

(f) := (fk11 · · · fknn )

Luego existe una unidad u ∈ A tal que :

f = ufk11 · · · fknn

La unicida de la factorizacion se seguira de la unicidad de las descomposiciones primarias enanillos noetherianos, con escaso esfuerzo adicional.

7.6. Cuestions y Problemas

Part 3

Sublimando el pensamiento de Noether: Algebra Local

CAPıTULO 8

EL Teorema de la Dimension Local

Indice

8.0.1. El Polinomio de Hilbert-Samuel 2618.0.1.1. Algunas Hipotesis 2628.0.2. Teorema de la Dimension Local 268

8.0.1. El Polinomio de Hilbert-Samuel.

Definicion 105. Sea f : N −→ Q una aplicacion. Diremos que f es una aplicacion polinomialsi existen n0 ∈ N y q ∈ Q[T ] tales que :

f(n) = q(n), ∀n ≥ n0

Proposicion 8.0.1. Si f : N −→ Q es una aplicacion polinomial, existe un unico polinomioq ∈ Q[T ] que coincida con f salvo en un numero finito de puntos. Ası, podemos hablar delcoeficiente director de f y del grado de f como el coeficiente director y el grado del polinomioasociado.

Demostracion. Baste notar que dos polinomios de Q[T ] no pueden tener un numeroinifinito de raıces comunes en N.

Notacion 8.0.2. • Si el polinomio asociado a una funcion polinomial es el polinomionulo, diremos que el grado de la funcion polinomial es −1. Si es una constante nonule, diremos que el grado de f es 0.

• Sea f : N −→ Q una aplicacion cualquiera. Por induccion en r, definiremos lasaplicaciones incremento siguientes :

∆0(f) := f

∆r(f) := ∆r−1f(n+ 1)−∆r−1f(n)

Lema 8.0.3. Sea f : N −→ Q una aplicacion. Entonces, f es un aplicacion polinomial de gradod si sy solamente si ∆f : N −→ Q es una funcion polinomial de grado d − 1. Ademas, elcoeficiente director de f es el coeficiente director de ∆f dividido por d.

Demostracion. • Es casi obvio, si q ∈ Q[T ] es el polinomio asociado a f , elpolinomio asociado a ∆f es el polinomio dado por :

q′(T ) := q(T + 1)− q(T ) ∈ Q[T ]

que tiene claramente grado d−1 y su coeficiente director es dado por la siguiente regla

de calculo : Si q(T ) :=∑di=0 akT

k,

q′(T ) :=

d∑k=0

ak((T + 1)k − T k) = dadTd−1 + g(T )

donde g es un polinomio de grado a lo mas d− 2.• Es la parte mas importante de la prueba y la que nos dara argumentos inductivos mas

adelante. Supongamops h ∈ Q[T ] una funcion polinomial de grado d− 1 coincidiendocon ∆f . Hagamos induccion en deg(h).

261

262 8. EL TEOREMA DE LA DIMENSION LOCAL

– Si deg(h) = 0, entonces, ∆f es una constante. Supongamos c ∈ Q tal que∆f(n) = c para n ≥ n0. Tenemos la siguiente relacion :

f(n+ 1) = f(n) + c, ∀n ≥ n0

En este caso, sea a := f(n0) y se tiene :

f(n) := c(n− n0) + a

– Supuesto probado para el caso deg(h) ≥ r − 1, veamos que sucede con el casodeg(h) = r : Sea

h(t) := arTr + · · ·+ a0

y tenemos la siguiente relacion para n ≥ n0 :

∆f(n) = f(n+ 1)− f(n) =arr + 1

[(n+ 1)r+1 − nr+1 + g(n)

]donde g ∈ Q[T ] es un polinomio de grado menor o igual que r − 1. Definamosahora la aplicacion polinomial :

f∗(n) := f(n)− ar+1

r + 1

Observamos que

∆f∗ = f∗(n+ 1)− f∗(n) = g(n)

Aplicando la hipotesis inductiva podremos concluir que f∗ es una aplicacion poli-nomial de grado r y, por su definicion, tambien f ha de ser una aplicacion polino-mial (de grado r+ 1 en este caso). Las relaciones entre los coeficientes directoresson obvias.

8.0.1.1. Algunas Hipotesis.

• Sea A := ⊕nAn un anillo graduado. Supongamos que el anillo A0 es un anillo artinianoy que existan elementos x1, . . . , xr ∈ A1 generando A como A0−algebra. Por lo vistoen la Seccion ?? el anillo A es noetheriano.

• En las mismas condiciones, sea M := ⊕nMn un A−modulo graduado finitamentegenerado. Por ser A noetheriano, M es tambien noetheriano y cada subgrupo Mn es unA0−modulo finitamente generado. Como A0 es artiniano, cada Mn es un A0−moduloartiniano y, por ende, de longitud finita. Tiene sentido, pues, considerar :

`A0(Mn)

Proposicion 8.0.4 (Polinomio de Hilbert). Bajo las hipotesis anteriormente descritas, la sigu-iente funcion χ(M,−), dada por :

χ(M,−)N −→ N

χ(M,n) := `A0(Mn)

es una aplicacion polinomial de grado menor o igual que r − 1 (recordemos que r es el numerotal que x1, . . . , xr ∈ A1, generan A como A0−algebra).

Demostracion. Haremos la demostracion por induccion en r.

• r = 0 : En este caso A = A0. Ahora, dado un conjunto finito S de generadoreshomogeneos de M como A0−modulo, sea :

n0 := maxdeg(s) : s ∈ S

Claramente, Mn = (0) para n ≥ n0 y se tiene χ(M,n) = 0, para n ≥ n0.• r ≥ 1 : Supongamos que el resultado es cierto para todos los modulos graduados

finitamente generados sobre anillos graduados noetherianos, verificando las hipotesisanteriores, cuyos generadores en A1 como A0−modulos son menos de r − 1. Consid-eremos el siguiente morfismo graduado de grado 1 entre A−modulos :

(xr)M : M −→M

8. EL TEOREMA DE LA DIMENSION LOCAL 263

dado por (xr)M (m) := xrm. Ahora, xrMn ⊆ Mn+1 nos permite considerar las re-stricciones a Mn de ese morfismo y obtener morfismos de A0−modulos

ϕn := xr |Mn: Mn −→Mn+1

la cual nos permite construir la siguiente sucesion exacta de A0−modulos :

0 −→ Kn −→Mn −→Mn+1 −→ Cn+1 −→ 0

donde Kn := Ker(ϕn), y

Cn+1 := Mn+1/Im(ϕn)

Definamos :

K := Ker(xr)M :=⊕n

Kn, C :=⊕n≥−1

(Mn+1)/Im(ϕn) = M/Im(xr)M = CoKer(xr)M

Tanto K como C son dos A−modulos noetherianos y se verifican las hipotesis ante-riores a la Proposicion, luego podemos considerar χ(K,−) y χ(C,−), observando lasiguiente relacion :

∆χ(M,−) := χ(C, n+ 1)− χ(K,n)

Ahora bien, tanto C como K son A′−modulos, cuando A′ es el modulo graduadoA/(xr), con la graduacion cociente (que tiene sentido por ser xr un elemento ho-mogeneo de grado 1). Ahora observamos que xr ∈ AnnA(K) y xr ∈ AnnA(C), luegosus estructuras como A−modulos u su estructura como A′−modulos coinciden. Lomismo se puede decir de las graduaciones y observamos que A′ esta generado comoA0−algebra por las clases modulo (xr) definidas por x1, . . . , xr−1. Podemos aplicarla hipotesis inductiva y χ(K,−) y χ(C,−) son aplicaciones polinomiales de gradomenor o igual que r − 2. Retomando el Lema previo, χ(M,−) sera una aplicacionpolinomial de grado a lo mas r − 1.

Definicion 106. A la funcion χ(M,−) se la denomina funcion de Hilbert de M . Al polinomioen Q[T ] coincidente con χ(M,−) se le denomina polinomio de Hilbert y se le denota tambienpor χ(M,−). Al grado de χ(M,−) se le denomina dimension de Hilbert de M y a su coeficientedirector se le denomina grado de M . Al numero natural n0 tal que la funcion polinomial coincidecon el polinomio se le denomina “regularidad de la funcion de Hilbert” de M .

Ejemplo 8.0.5. • Sea V ⊆ Pn(K) un conjunto algebraico proyectivo. ConsideremosI(V ) que es un ideal homogeneo de K[X0, . . . , Xn] y consideremos el anillo graduadocociente :

K[V ] := K[X0, . . . , Xn]/IK(V )

Este es un anillo graduado, noetheriano, cuyos elementos homogeneos de grado 0son justamente los elementos del cuerpo K. Si denotamos por hn(V ) los elementoshomogeneos de grado n en I(V ), tendremos que la funcion de Hilbert de K[V ] vienedada por :

χ(K[V ],m) := dimHm(X0, . . . , Xn)− dimhm(V )

para cualquier m ∈ N, donde la dimension se refiere a la dimension como K−espaciovectorial. En particular, observamos que el grado de χ(K[V ],−) esta acotado porn y es una funcion polinomial. Ası, el grado de la funcion de Hilbert de Pn(K) esjustamente n y el grado de la funcion de Hilbert de ∅ es justamente −1. Llamare-mos dimension del Hilbert de V al grado de ese polinomio de Hilbert de K[V ]. Yllamaremos grado proyectivo de V al valor dado por :

– Si a0 es el coeficiente director de χ(K[V ],−).– Y si d es el grado de χ(K[V ],−),

El grado de V es dado por :a0d!

Volveremos mas adelante sobre estas nociones.• Demos un metodo para calcular la funcion de Hilbert de este anillo :


– Sean g1, . . . , gs polinomios homogeneos, deg(gi) = mi, generando I(V ).– Para m ≥ maxm1, . . . ,ms, se observa que un polinomio homogeneo de gradom, f ∈ K[X+0, . . . , Xn], esta en hm(V ) si y solamente si existen polinomioshomogeneos hi de grado m−mi tales que

f =

s∑i=1

higi

– El procedimiento sera como sigue :∗ Considerar todos los monomios

β := Xµ : µ ∈ Nn+1, | µ |≤ m

como base de Hm(X0, . . . , Xn).∗ Considerar todos los monomios de la forma :

Xµgi : | µ |= m−mi

por sus coordenadas en la base β.∗ Sea A la matriz cuyas filas son los vectores de la anterior coleccion. En-

tonces, el rango de A es la dimension de hm(V ) y podemos calcular lafuncion de Hilbert de K[V ] por ser conocido

dimHm(X0, . . . , Xn) =

(m+ n

n

)• Consideremos ahora (A,m) un anillo local noetheriano. Llamaremos “ideal de definicion”

de A a todo ideal q tal que√q = m, es decir, tal que existe n ∈ N, n ≥ 1 tal que :

mn ⊆ q ⊆ m

Sea ahora M un A−modulo finitamente generado y consideremos tanto en A comoen M la filtracion q−adica, definida por el ideal q, ası como los graduados (anillos ymodulo) asociados :

Gq(A) :=⊕n∈N

qn/qn+1, Gq(M) :=⊕n∈N

qnM/qn+1M

Por ser q un ideal de definicion de A y A un anillo local de maximal m, el unicomaximal de A/q es m/q, por lo que este anillo es artiniano. Ademas, las clases moduloq2 de los elementos de q generan Gq(A) como A/q−algebra. Dado que q es finitamentegenerado, las clases defnidas por los generadores de q en q/q2, generan Gq(A) comoA/q−algebra. Ademas, Gq(M) es un Gq(A)−modulo finitamente generado.

Proposicion 8.0.6. Si (A,m) es un anillo local noetheriano, q un ideal de definicion de A y Mun A−modulo finitamente gereando, las funciones χ(Gq(M),−) y χ(Gq(A),−) son Aplicacionespolinomiales y su grado esta cotado por r−1, donde r es el mınimo de los cardinales de conjuntosgeneradores de q como ideal de A.

Demostracion. La prueba ha sido desarrollada en la discusion del ejemplo anterior.

Ejemplo 8.0.7. Bajo las hipotesis del apartado ii) del ejemplo anterior, observemos que

Supp(M/qnM) = m

como A−modulo. Claramente, pues qn tiene que estar contenido en AnnA(M), luego m es elunico ideal primo de A que contiene a qn. Dicho de otra manera, M/qnM es un A−modulofinitamente generado y su soporte esta formado solamente por ideales maximales de A. Por elTeorema de Akizuki para modulos, deducimos que M/qnM es un A−modulo de longitud finitay podemos considerar :

`A(M/qnM) < +∞


Proposicion 8.0.8 (Polinomio de P. Samuel). En las condiciones de los ejemplos anteri-ores, definamos la funcion de Samuel de M :

Pq(M,−) : N −→ N

dada por :

Pq(M,n) := À(M/qnM)

Entonces, Pq(M,−) es una funcion polinomial cuyo grado esta acotado por el mınimo de loscardinales de los conjuntos generadores de q. Ademas se tiene la siguiente relacion :

∆Pq(M,n) = χ(Gq(M), n)

Demostracion. Consideremos la siguiente sucesion exacta corta de A/q−modulos :

0 −→ qnM/qn+1M −→M/qn+1M −→M/qnM −→ 0

donde el ultimo morfismo es la proyeccion canonica. Se trata de una sucesion exacta corta deA−modulos de longitud finita puesto que Supp(qnM/qn+1M) = m es el unico maximal deA. Tenemos la siguiente relacion entre las respectivas longitudes :

À(M/qn+1M)− À(M/qnM) = À(qnM/qn+1M)

Ahora,

q ⊆ AnnA(qnM/qn+1M)

luego la estructura de A−modulo y la de A/q−modulo en qnM/qn+1M coinciden. Tambi’en lohara la longitud (que solo depende de los respectivos submodulos). Podremos concluir ası :

∆Pq(M,n) := Pq(M,n+ 1)− Pq(M,n) = χ(Gq(M), n)

y tenemos el resultado apetecido.

Nos queda por observar que el grado del polinomio de Samuel no depende del ideal de definicionelegido. Eso nos lo garantiza la siguiente :

Proposicion 8.0.9. Sea (A,m) un anillo local noetheriano, q un ideal de definicion de A yM un A−modulo finitamente generado. Entonces, los grados de los polinomios de SamuelPq(M,−) y Pq(M,−) coinciden. En particular, el grado del polinomio de Samuel no dependeel ideal de definicion elegido. Llamaremos dimension de Samuel de M al grado de su polinomiode Samuel con respecto a cualquier ideal de definicion de (A,m).

Demostracion. Sea m ∈ N tal que mn ⊆ qm. Para cada n ∈ N tenemos :

mnm ⊆ qn ⊆ mn

con lo que podemos considerar los siguientes epimorfismos de A−modulos :

M/mnM −→M/qnM

M/mnmM −→M/qnM

Por lo tanto, tendremos :

À(M/mnM)À(M/qnM) ≤ À(M/mnmM)

Lo que se transforma en la siguiente relacion entre funciones de Samuel :

Pm(M,n) ≤ Pq(M,n) ≤ Pm(M,nm)

Dado que tanto Pm(M,−) como Pq(M,−) son funciones polinomiales, la anterior relacion im-plica una relacion de igualdad de grado.

Observacion 8.0.10. Los coeficientes directores de los polinomios de Samuel son posiotivos,puesM/qnM = (0)⇒M = (0) por el Lema de Nakayama. Luego, salvo en ese caso, Pq(M,n) ≥0, De otro lado, si d = deg(Pq(M,T )) = deg(Pm(M,T )) sea ad el coeficiente director dePq(M,T ) mientras bd es el coeficiente director de Pm(M,T ). Ambos son numeros racionalespositivos y verificaran la relacion :

bd ≤ ad ≤ bdmd

donde m es tal que mm ⊆ q ⊆ m.


Un instrumento tecnico de gran utilidad en lo que sigue es la siguiente Proposicion que relacionalos polinomios de Samuel y las sucesiones exactas cortas :

Proposicion 8.0.11. Sea (A,m) un anillo local noetheriano, q un ideal de definicion de A y lasucesion exacta corta de A−modulos finitamente generados :

0 −→M ′ −→M −→M ′′ −→ 0

Entonces, existe una aplicacion polinomial R : N −→ Q, cuyo grado es estrictamente menorque el grado de Pq(M,T ), siendo el coeficiente director de R no negativo, y verificandose :

Pq(M ′, n) + Pq(M ′′, n) = Pq(M,n) +R(n), ∀n ∈ N

Demostracion. A partir de nuestra sucesion exacta corta, podemos obtener la siguiente :

0 −→M ′/(M ′ ∩ qnM) −→M/qnM −→M ′′/qnM ′′ −→ 0

que es tambien una sucesion exacta corta de A−modulos de longitud finita. Tendremos lasiguiente relacion :

À (M/qnM) = À(M ′′/qnM ′′) + À(M ′/(M ′ ∩ qnM)) (∗)

Denotemos por M ′n := M ′ ∩ qnM , submodulo de M ′ y tendremos una filtracion en M ′ definidapor la filtracion q−adica de M . Por el Lema de Artin-Rees, existira un n0 ∈ N tal que

qM ′n = M ′n+1, ∀n ≥ n0

En particualr, para cada n ∈ N, tendremos :

qn0+nM ′ ⊆M ′n+n0= qnM ′n0

⊆ qnM ′

lo que supone en terminos de longitudes :

À(M ′/qnM ′) ≤ À(M ′/M ′n+n0) ≤ `(M ′/qn+n0M ′) (∗∗)

En otras notaciones :

Pq(M ′, n) ≤ À(M ′/M ′n+n0) ≤ Pq(M ′, n+ n0)

Resulta claro que tanto Pq(M,−) como À(M ′/M ′n) son aplicaciones polinomiales. La primerapor el resultado de Samuel y la segunda por la identidad descrita en (∗). La relacion (∗∗)nos garanetiza que ambas funciones polinomiales poseen el mismo grado y el mismo coeficientedirector. Podemos considerar R : N −→ Q dada por :

R(n) := Pq(M,n)− À(M ′/M ′n)

Por la relacion (∗∗) deducimos tambien que R es positiva a partir de n0, luego su coeficientedirector es un numero no negativo. Finalmente, es claro de la relacion (∗) que R verifica laspropiedades requeridas :

Pq(M ′, n) + Pq(M ′′, n) = Pq(M,n) +R(n), ∀n ∈ N

Definicion 107. Llamaremos dimension de Samuel ( o de Hilbert-Samuel) de un A−moduloM verifiucando las propiedades anteriormente descritas al grado de Pq(M,T ), para cualquierideal de definicion q de (A,m).

Corollario 8.0.12. Sea (A,m) un anillo local noetheriano, q un idela de definicion de A, Mun A−modulo finitamente generado y N un submodulo de M . Entonces,

dimHilbert−Samuel(N) ≤ dimHilbert−Samuel(M)

dimHilbert−Samuel(M/N) ≤ dimHilbert−Samuel(M)


Demostracion. Baste tomar la sucesion exacta corta :

0 −→ N −→M −→M/N −→ 0

yaplicar la Proposicion anterior. Entonces,

Pq(N,n) + Pq(M/N,n) = Pq(M,n) +R(n)

dado que el grado de R es menor estricto que el grado de Pq(M,−), y que la funcion de Samueles positiva, tendremos que los coeficientes directores de Pq(N,−) y Pq(M/N,−) son numerospositivos y los grados no son mayores que el grados de Pq(M,−)

Un bonita manera de ver el comportamiento del polinomio de Samuel, sera la dada por lasiguiente argumentacion :

Proposicion 8.0.13. Sea (A,m) un anillo local noetheriano. Sea K := A/m el cuerpo cociente,por se m un ideal maximal. Ahora observamos que para x1, . . . , xr ⊆ m son equivalentes :

• Las clases x1 + m2, . . . , xr + m2 son una base del K−espacio vectorial m/m2.• x1, . . . , xr son un sistema generador de cardinal minimal del ideal m.

Demostracion. Para demostrar este resultado, baste observar que, gracias al Lema deNakayama, si x1 + m2, . . . , xr + m2 generan m/m2 como K−espacio vectorial, tambien logeneran como A−modulo, luego generan m como ideal de A. Si hubiera un sistema generadorde m como ideal con menos de r elementos, sus clases modulo m2 generarıan m/m2 como espaciovectorial, contraviniendo la hipotesis de que r es la dimension de tal esopacio. Recıprocamente,si x1, . . . , xr son de cardinal minimal generando m como ideal, sus clases son un sistemagenerador del espacio vectorial m/m2. Si no fueran una base, un subconjunto propio suyotambien generarıa ese espacio vectorial y, levantando con Nakayama, generarıa m como ideal,contradiciendo la minimalidad de r.

Esta afirmacion sobre m/m2 tiene su interes en el siguiente :

Corollario 8.0.14. En las notaciones anteriores, sea (A,m) un anillo local noetheriano y r elmınimo de los cardinales de los generadores de m como ideal de A. Entonces, Pm(A, T ) tienegrado r si y solo si Gm(A) es un anillo de polinomios en r variables con coeficientes en el cuerpoK := A/m.

Demostracion. Sean x1, . . . , xr un conjunto de cardinal minimal de generadores de mcomo ideal de A. Definamos el epimorfismo de K−algebras graduadas de grado 0 :

ϕ : K[X1, . . . , Xr] −→ Gm(A)

donde ϕ(Xi) = xi, 1 ≤ i ≤ r. El grado del polinomio de Samuel es r si y solamente si ϕ es unisomorfismo. Para verlo, baste con tomar a := Ker(ϕ) ideal de K[X1, . . . , Xr]. Tomemos losrespectivos polinomios de Hilbert, para lo cual consideramos la sucesion exacta corta :

0 −→ a ∩Hm(X1, . . . , Xr) −→ Hm(X1, . . . , Xr) −→ mn/mn+1 −→ 0

Como a es un ideal homogeneo de K[X1, . . . , Xr], am := a∩Hm(X1, . . . , Xr) son los polinomioshomogeneos de grado m en I. dado que una de las implicaciones es evidente, supongamos queel grado del polinomio de Hilbert es r − 1. A partir de la sucesion exacta anterior, tendremosla siguiente relacion :

χ(Gm(A), n) =

(n+ r − 1

r − 1

)− `A(an)

Sea ahora f ∈ ad un elemento homogeneo no nulo de grado d. Para cada numero naturaln ∈ N, se tiene fHn(T1, . . . , Tr) ⊆ In+d. Como K[T1, . . . , Tr] es un dominio de integridad, f noes divisor de cero y la homotecia definida por f es inyectiva, luego

dimK(fHn(T1, . . . , Tr)) = dimK(Hn(T1, . . . , Tr)

En particular, concluimos la siguiente relacion entre longitudes :

`K(an+1) ≥ `K(fHn(T1, . . . , Tr))`K(Hn(T1, . . . , Tr) ≥ `K(an)

Tendremos que los polinomios de Hilbert de K[T1, . . . , Tr] e a son aplicaciones polinomiales delmismo grado y mismo coeficiente director. De la igualdad (∗) deducirıamos deg(χ(Gm(A),−) <r − 1.


Corollario 8.0.15. En las mismas hipotesis anteriores, para cualquier ideal de definicion qde A, deg(Pq(A,−)) = r si y solamente si Gm(A) es un anillo de polinomios en r variables.

8.0.2. Teorema de la Dimension Local. El objetivo de esta Seccion es demostrar elTeorema de dimension local para anillos locales noetherianos y modulos finitamente generadossobre estos anillos. Ası como algunas de sus consecuencias mas inmediatas. Ademas de ladimension de Krull en anillo y modulos, disponemos de las siguientes nociones de dimension :

Definicion 108. Dado (A,m) un anillo local noetheriano y M 6= (0) un A−modulo finitamentegenerado, llamaremos dimension de Chevalley de M , y lo denotaremos por dimChevalley(M),al mınimo de los numeros naturales m ∈ N tales que :

∃a1, . . . , am ∈ m tales que `A (M/(a1, . . . , am)M) < +∞Si M = (0) diremos dimChevalley(M) = −1.

Notese que tal mınimo siempre existe : el cardinal mınimo de generadores de m es una cotasuperior porque M/mM es un A/m−espacio vectorial de dimension finita.

Teorema 8.0.16 (de la Dimension). Si (A,m) es un anillo local noetheriano y M es unA−modulo fintamente generado, se tiene :

dimKrull(M) = dimHilbert−Samuel(M) = dimChevalley(M) < +∞Y a partir de ahora utiulizaremos solamente la palabra dimension para designar una cualquierade las cantidades citadas.

Dividiremos la prueba en varias partes :

Lema 8.0.17. En las condiciones del Teorema

i) dimHilbert−Samuel(M) < +∞.ii) dimChevalley(M) < +∞.

Demostracion. Observese que el grado del polinomio de Samuel Pm(M,−) esta siempreacotado por el cardinal de un conjunto de generadores de m. En cuanto al segundo apartadolo hemos discutido previamente.

Lema 8.0.18. En las anteriores condiciones :

dimKrull(M) ≤ dimHilbert−Samuel(M)

Demostracion. Primero probaremos la afirmacion para anillo locales noetherianos y de-spues para modulos.En primer lugar, observemos que si dimH−S(A) = −1, entonces A/mn = (0) para algun n ∈ N.Aplicando el Lema de Nakayama A = (0) luego dimKrull(A) = −1.Vamos a probar la siguiente afirmacion por induccion en r : Para cualquier cadena de idealesprimos de A :

p0 ( p1 · · · pr, p0 minimal⇒≤ dimH−S(A)

Puesto que A/p0 6= (0), es claro que dimH−S(A) no puede ser −1, por lo discutido anterior-mente, luego se verifica el caso r = 0.Supongamos, como hipotesis inductiva que la afirmacion es cierta para cualquier cadena delongitud menor que r − 1. Supongamos a ∈ p1 \ p0. Sea p′ ∈ Spec(A) un ideal primo minimalentre los ideales que contienen a p0 + (a) (su existencia esta garantizada por la condicion denoetherianidad de A). Consideremos el anillo A′ := A/p y la cadena de primos :

p′ ( p1 ( · · · ( pr

tendremos r − 1 ≤ dimKrull(A′). Como p′ es minimal sobre p0 + (a) tambien es asociado, con

lo que tenemos un monomorfismo de A−modulos :

0 −→ A/p′ ← A/(p0 + (a))

por lo tanto, dimH−S(A′) ≤ dimH−S(A/(p0 + (a)).Consideremos la sucesion exacta corta definida por la homotecia aA/p0

:

0 −→ A/p0 −→ A/p0 −→ A/(p0 + (a))


Existira una funcion polinomial R : N −→ N de grado menor que el grado de la funcion deSamuel de A/p0 y de coeficiente director positivo tal que :

Pm (A/p0, n) + Pm(A/(p0 + (a)), n) = Pm(A/p0, n) +R(n)

Luego :

dimH−S(A/p0) = deg(Pm(A/p0, n) ≥ Pm(A/p0 + (a)) + 1 ≥ rFinalmente, dado p0 ∈ Ass(A) minimal existe un monomorfismo A/p0monoA, con lo cual

dimH−S(A/p0) ≤ dimH−S(A)

y hemos terminado con los anillos.Por otro lado, si M es un A−modulo finitamente generado,

dimKrull(M) = dimKrull(A/Ann(M))

Si p ∈ Supp(M) es un primo asociado a M , tenemos :

0 −→ A/p← M

con lo cual dimH−S(M) ≥ dimH−S(A/p). Dado que Ass(M) contiene a los pirmos minimalessobre Ann(M) y aplicando el caso de anillo,s habremos terminado.

Corollario 8.0.19. Se tiene:

i) Todo anillo local noetheriano tiene dimension de Krull finita.ii) Todo ideal primo de un anillo noetheraino tiene altura finita.iii) Mismo para modulos.

Lema 8.0.20. Sea A un anillo noetheriano y M un A−modulo finitamente generado. Entonces,para cada ideal a de A se tiene :

Ann(M/aM) ⊆√

a +Ann(M)

Demostracion. Este resultado se prueba facilmente usando la propiedad :

M/aM = A/a⊗A

M

y el comportamiento del soporte con respecto al producto tensorial. Una demostracion alter-nativa es la siguiente :Dado λ ∈ Ann(M/IM), y m1, . . . ,mr un sistema generador de M como A−modulo, paracada m ∈M se tiene :

∃b1,i, . . . , br,i ∈ a, λmi :=

r∑j=1

bj,imj

Sea

B :=

b1,1 · · · b1,r...

...br,1 br,r

.

la matriz r × r con coeficientes en A y consideremos

f := det(λIdr −B) = λr + h

donde h ∈ a, es un polinomio sin termino independiente. Consideremos la aplicacion lineal :

(λIdr −B) : Ar −→ Ar

y observemos que para cada x1, . . . , xr ∈ A, si

(λIdr −B)

x1

...xr

=

z1

...zr

se tiene :

z1m1 + · · ·+ zrmr = 0


La razon es la siguiente :

zi := λxi −r∑j=1

bi,jxj

Luego,r∑i=1

zimi = x1(

r∑i=1

λm1 −r∑i=1

bi,1mi) + · · ·+ xr(

r∑i=1

λmr −r∑i=1

bi,rmi) = 0

En particular, usando la transpuesta de la adjunta :

tAdj(λIdr −B)(λIdr −B) = det(λIdr −B)Idr

Luego,

det(λIdr −B)mi = 0, 1 ≤ i ≤ ry det(λIdr −B) = λr + h ∈ Ann(M).

Lema 8.0.21. En las hipotesis del Teorema de la Dimension :

dimHilbert−Samuel(M) ≤ dimChevalley(M)

Demostracion. Si la dimension de Chevalley de M es −1 es porque M = (0) y sudimension de Hilbert-Samuel tambien es −1. Podemos suponer s = dimChevalley(M) ≥ 0 yconsideremos : a1, . . . , as ∈ A tales que :

À(M/(a1, . . . , as)M) < +∞Entonces, el A−modulo M/(a1, . . . , as)M es artiniano y su soporte tiene que ser m. Pero

Ann(M/(a1, . . . , as)M) ⊆√

(a1, . . . , as) +Ann(M). En particular, este ideal a := (a1, . . . , as)+Ann(M) es un ideal de definicion de A. La razon es simple, el unico ideal primo que puedecontener a este ideal es m.Ahora observemos que la estructura de A−modulo en M y la estructura de A/Ann(M)−modulocoinciden. Denotesmo por A := A/Ann(M) y a := (a1, . . . , as) + Ann(M)/Ann(M). Tambienconcluiremos que a es un ideal de definicion de A.Mas aun, se tiene la siguiente igualdad entre longitudes :

À(M/aM) = À(M/aM)

Como a esta generado por s elementos, el grado del polinomio de Samuel Pa(M,−) esta acotadopor s. En particular, lo estara tambien Pa(M,−) y por ende la dimension de Chevalley deM .

Lema 8.0.22. En las condiciones del Teorema de la Dimension,

dimChevalley(M) ≤ dimKrull(M)

Demostracion. Lo haremos por induccion en la dimension de Krull de M , que es finitapor lo probado en 8.0.18.Si la dimension de Krull de M es −1 es porque M = (0) y su dimension de Chevalley es tambien−1.

dimKrull(M) = −1⇔ Ann(M) = A⇔M = (0)

Si la dimension de Krull de M es 0, Supp(M) = Ass(M) = m y M es artiniano, con lo quela dimension de Chevalley es tambien 0 y hemos terminado.Supongamos ahora que la dimension de Krull es estrictamente positiva y sean p1, . . . , ps ∈Spec(A) los ideales primos asociados a M tales que :

dimKrull(M) = coht(pi)

mientras que si p 6= pi, dimKrull(M) > coht(pi) (la finitud queda garantizada por la noethe-rianidad). Tenemos que pi 6= m luego existe a ∈ m que no es divisor de cero de M , luego noestan en la union de los primos asociados a M y

a 6∈s⋃i=1

pi


Sea M ′ := M/aM . Tenemos que la dimension de Krull de M ′ es estrictamente menor que ledimension de Krull de M , luego coincide con la dimension de Chevalley de M ′. Baste notarque la dimension de Chevalley de M esta acotada por la dimension de Chevalley de M ′ + 1para concluir la prueba :Ası, si a1, . . . , as son tales que M ′′/(a1, . . . , as)M

′ es artiniano, es claro que a1, . . . , as, averifican que :

M/(a1, . . . , as, a)M es artiniano

Queda ası demostrado el Teorema de la Dimension y podemos pasar a algunas aplicacionesinmediatas.

Corollario 8.0.23 (Teorema del Ideal Principal de Krull). Sea A un anillo noetheriano,a := (a1, . . . , ar) ( A un ideal generado por r elementos. Entonces, cualquier ideal primominimal conteniendo al ideal a tiene altura menor o igual a r. Luego ht(a) ≤ r.En particular, si a ( A es principal, a = (a1) y a1 no es divisor de cero en A, todo ideal primominimal conteniendo a a tiene altura 1.

Demostracion. La primera observacion obvia es la siguiente :

ht(p) := dim(Ap)

para cualquier primo del anillo A. Sea, pues, p un primo minimal sobre a, entonces, aAp es unideal de definicion del anillo local noetheriano (Ap, pAp). Si a esta generado por r elementos,es claro que ht(p) ≤ r.De otro lado, si a es principal y p es un ideal que contiene a a y tiene altura 0, entonces, p esun ideal minimal de A, con lo que es asociado y el generador de a es un divisor de cero de Apor estar en p.

Corollario 8.0.24. Sea A un dominion noetheriano. Entonces, A es un dominio de factor-izacion unica si y solamente si todo ideal primo de altura 1 es principal.

Comenzaremos con un pequeno Lema :

Lema 8.0.25. Sea A un dominio noetheriano. Entonces, si todo ideal de altura 1 es principal,los ideales primos asociados a un ideal principal son minimales.

Demostracion. Sea a := (f) un ideal principal propio de A. Consideremos una descom-posicion primaria de a :

a :=

r⋃i=1

qi

donde qi es pi−primario. Supongamos que pi := (fi), con 1 ≤ i ≤ s ≤ r. Sea αi la maximapotencia de fi que divide a f . Consideremos la cadena :

F1 :=f

fα11

6∈ p1

Fi :=Fi−1

fαii6∈

i⋃k=1

pk

Esta cadena tiene sentido porque estamos en un dominio : f = F1fα11 , como f ∈ pi y fα1

1 6∈ pi,entonces F1 ∈ pi, 1 ≤ i ≤ s. Consideremos entonces, Fs. Es claro que Fs | f , mientrasFs ∈ ps+1∩· · · pr. Aplicando el Teorema del Ideal Principal de Krull, todo ideal primo minimalsobre Fs es de altura 1, luego es principal. Sea p = (g) uno de esos minimales sobre Fs.Entonces, g | Fs | f , pero g 6∈ pi, 1 ≤ i ≤ s (si perteneciera a alguno de tales pi, tambien Fspertenecerıa, llegando a contradiccion). Luego p es un ideal primo de altura 1 que contiene aa y no es p1, . . . , ps (ni los contiene). Se trata pues, de un ideal minimal sobre a y ha de estarasociado. Por lo tanto, es igual a algun pj , con s + 1 ≤ j ≤ r, contradiciendo la hipotesis deque estos ideales tienen altura mayor estricto que 1.


Demostracion del Corolario : si A es un D.F.U. ya hemos visto que todos los primos minimalessobre un ideal principal han de ser principales, como el Teorema de Krull nos dice que son dealtura 1, hemos acabado. Recıprocamente, si todo ideal de altura 1 es principal, todo asociadoes minimal (Lema de arriba) y todo asociado a un ideal principal es principal, con lo quetenemos el enunciado.

Definicion 109. Llamaremos sucesion regular en un anillo A a toda cadena de elementos deA, f1, . . . , fr ∈ A, tal que :

• fi no es divisor de cero en A/(f1, . . . , fi−1).• (f1, . . . , fr) ( A.

Corollario 8.0.26. Si A es noetheriano y f1, . . . , fr es una sucesion regular de A, ht(f1, . . . , fr) =r y todo ideal primo minimal sobre a = (f1, . . . , fr) tiene altura r.

Demostracion. Baste aplicar el Teorema de Krull por induccion en r. Es claro queht(a) ≤ r y que ht((f1) = 1 en A y todo ideal primo minimal sobre (f1) tiene altura 1.Para el caso r, sea p un ideal primo minimal sobre (f1, . . . , fr). Sabemos que ht(p) ≤ r y p noes minimal sobre (f1, . . . , fr−1) porque fr ∈ p y fr no es divisor de cero modulo (f1, . . . , fr−1).Entonces, existe un primo minimal p′ sobre (f1, . . . , fr−1) tal que :

(f1, . . . , fr−1) ⊆ p′ ( p

Luego ht(p) > ht(p′) = r − 1.

Definicion 110. Sea (A,m) un anillo local noetheriano de dimension d. Llamaremos sistemade parametros de A a toda coleccion, a1, . . . , ad de elementos de A generando un ideal dedefinicion de A.

Proposicion 8.0.27. Si (A,m) es un anillo local noetheriano y a1, . . . , ad es un sistema deparametros de A, se tiene :

dimA/(a1, . . . , ai) = d− i

Demostracion. Consideremos A′ := A/ai, ai := (a1, . . . , ai). Claramente dimA′ ≤d − i pues ai+1 + ai, . . . , ad + ai generan un ideal de definicion de A′. Recıprocamente, sib1, . . . , bp ∈ A son tales que sus clases bj + ai generan un ideal de definicion de A/ai, entonces,a1, . . . , ai, b1, . . . , bp generan un ideal de definicion de A y dim(A) ≤ i+ p.

CAPıTULO 9

Extensiones Enteras de Anillos: Going Up y Going Down

Indice

9.1. Extensiones Enteras de Anillos 2739.2. Going–Up y Going–Down 2739.2.1. Going–Up 2749.2.2. Going–Down 2749.3. Dimension en K−algebras: Normalizacion de Noether y algebras

Cohen-Macaulay 2759.3.1. El Lema de Normalizacion de Noether 2759.3.2. Grado y Normalizacion de Noether 2829.4. Cuestiones y Problemas 283

Este material es obtenidble en [AtMc, 69], [Ma, 80], [Ma, 89] y, para el Lema de Normal-izacion de Noether1, seguiremos la prueba que da [Ku, 85].

9.1. Extensiones Enteras de Anillos

Definicion 111. Dada una extension de anillos R ⊆ R′, un elemento x ∈ R′ se dice enterosobre R si verifica una ecuacion polinomial monica con coeficientes en R. Una extension R ⊆ R′se dice entera si todos los elementos de R′ son enteros sobre R.

Proposicion 9.1.1. Las siguientes propiedades son equivalentes para una extension de anillosR ⊆ R′:

• Un elemento x ∈ R′ es entero sobre R.• La R−algebra R[x] es un R−modulo finitamente generado.• La R−algebra R[x] esta contenido en un subanillo B de R′ tal que B es un R−modulo

finitamente generado.• Existe un R[x]−modulo fiel M que es de generacion finita como R−modulo.

Corollario 9.1.2 (Clausura Entera). Dada una extension entera de anillos R ⊆ R′, loselementos de R′ que son enteros sobre R forman un subanillo R de R′ llamado clausura enterade R en R′.

Corollario 9.1.3 (Transitividad). Dadas extensiones de anillos R ⊆ R′ ⊆ R′′, si R′ es enetrosobre R y R′′ es entero sobre R′, entonces R′′ es entero sobre R. En particular, la clausuraentera de R en R′ es ıntegramente cerrado en R′.

Proposicion 9.1.4. Dada una extension entera de anillos R ⊆ R′. Se tiene:

• Si b es un ideal de R′, entonces, R′/b es enetro sobre R/bc.• Si S es un subconjunto multiplicativamente cerrado de R, entonces S−1R′ es entero

sobre S−1R.

9.2. Going–Up y Going–Down

Aunque normalmente se les asigna a I.S. Cohen y A. Seidenberg, parece que W. Krull tambienlos conocıa con lo que podrıan llamarse los teoremas KCS o Krull–Cohen–Seidenberg.

1E. Noether, “Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkrpern”.Math. Ann. , 96 (1927) pp. 26-61.

273

274 9. EXTENSIONES ENTERAS DE ANILLOS: GOING UP Y GOING DOWN

9.2.1. Going–Up. La clave es la siguiente Proposicion.

Proposicion 9.2.1. Sea R ⊆ R′ una extension entera de dominios de integridad. Entonces R′

es un cuerpo si y solamente si R es un cuerpo. En particular, si q es un ideal primo de R′, sucontraccion p := qc es maximal en R si y solamente si q es maximal en R′.

Corollario 9.2.2. Sea R ⊆ R′ una extension entera de anillos. Entonces, no hay relacion deinclusion propia entre ideales primos de R′ que se contraen sobre el mismo idela primo de R.

Corollario 9.2.3. Sea R ⊆ R′ una extension entera de anillos y ϕ : Spec(R′) −→ Spec(R) laaplicacion continua dada por la contraccion de ideales. Entonces:

• ϕ es suprayectiva• ϕ(Spm(R′)) ⊆ Spm(R) y la siguiente aplicacion esta bien definida y es suprayectiva:

ϕSpm(R′) : Spm(R′) −→ Spm(R).

Podemos incluir tambien una interpretacion geometrica.

Corollario 9.2.4. Sea ϕ : V −→ W un morfismo de conjuntos algebraicos dominante (i.e.ϕ∗ : K[W ] −→ K[V ] es inyectiva). Entonces, si la extension K[W ] ⊆ K[V ] es entera, ϕ essuprayectiva.

Teorema 9.2.5 (Going–Up). Sea R ⊆ R′ una extension entera de anillos. Sean dadas:

• Una cadena ascendente de ideales primos de R:

p1 ⊆ p2 ⊆ · · · ⊆ pn,

• Una cadena ascendente de ideales primos de R′:

q1 ⊆ q2 ⊆ · · · ⊆ qm,

De tal modo que n > m y qci = pi, para cada i, 1 ≤ i ≤ m. Entonces, existe una cadenaascendente de ideales primos de R′:

qm ⊆ qm+1 ⊆ qm+2 ⊆ · · · ⊆ qn,

tales que qci = pi para cada i, m+ 1 ≤ i ≤ n.

9.2.2. Going–Down.

Proposicion 9.2.6. Sea R ⊆ R′ una extension de anillos, R la clausura entera de R en R′ y Sun sistema multiplicativamente cerrado de R. Entonces, S−1R es la clausura entera de S−1Ren S−1R′.

Definicion 112 (Dominios normales). Un dominio R se dice normal o ıntegramente cerradosi es ıntegramente cerrado en su cuerpo de fracciones.

Proposicion 9.2.7. La condicion “normalidad” es una propiedad local.

Tras algun esfuerzo probaremos:

Teorema 9.2.8 (Going–Down). Sea R ⊆ R′ una extension entera de dominios de integridad,siendo R un dominio normal. Sean dadas:

• Una cadena desscendente de ideales primos de R:

p1 ⊇ p2 ⊇ · · · ⊇ pn,

• Una cadena descendente de ideales primos de R′:

q1 ⊇ q2 ⊇ · · · ⊇ qm,

De tal modo que n > m y qci = pi, para cada i, 1 ≤ i ≤ m. Entonces, existe una cadenadescendente de ideales primos de R′:

qm ⊇ qm+1 ⊇ qm+2 ⊇ · · · ⊇ qn,

tales que qci = pi para cada i, m+ 1 ≤ i ≤ n.

9.3. DIMENSION EN K−ALGEBRAS: NORMALIZACION DE NOETHER Y ALGEBRAS COHEN-MACAULAY275

9.3. Dimension en K−algebras: Normalizacion de Noether y algebrasCohen-Macaulay

9.3.1. El Lema de Normalizacion de Noether. Segun algunas fuentes, el Lema deNormalizacion de E. Noether2 tambien puede ser debido a D. Hilbert quien ya habıa demostradoun resultado analogo en el contexto de algebras de invariantes en su trabajo de 18933. La formu-lacion actual, sin embargo, es enteramente debida a Noether. Aquı seguiremos la demostracionde [Ku, 85], p. 51 y siguientes.

Teorema 9.3.1 (Lema de Normalizacion de E. Noether). Sea A una K−algebra fini-tamente generada sobre un cuerpo y sea a ⊆ A un ideal propio. Entonces, existen elementosY1, . . . , Yd ∈ A y existe s ≤ d tales que :

i) Y1, . . . , Yd son algebraicamente independientes sobre K.ii) A es un K[Y1, . . . , Yd]−modulo finitamente generado.iii) a

⋂K[Y1, . . . , Yd] = (Ys+1, . . . , Yd).

Mas aun, si K es un cuerpo consuficientes elementos y A := K[x1, . . . , xn] es una Kalgebrafinitamente generada, podemos suponer que los elementos Yi son combinaciones lineales de loselementos x1, . . . , xn.

Haremos la demostracion en diversas etapas, marcadas por Lemas.El enunciado y la prueba lo he tomado, con matices, de [?].

Lema 9.3.2. Sean p1, . . . , pm ∈ K[T ], caract(K) = 0 polinomios univariados cualesquiera quesupondremos de grado a lo mas d. Entonces, existe k ∈ 0, 1, . . . ,

(m2

)d tal que

pi(k) 6= pj(k), ∀i 6= j

Demostracion. Definamos el polinomio univariado no nulo :∏i<j

(pi − pj) ∈ K[T ]

Este polinomio tiene grado a lo mas(m2

)d y claramente no puede anularse en el conjunto citado.

En caso contrario, aplicando un argumento obvio sobre interpolacion, este polinomio serıa unpolinomio identicamente nulo.

Observese que si la caracterıstica del cuerpo es distinta de cero, bastara con tomar un conjuntocualquiera con el mismo cardinal.

Lema 9.3.3. Sea F ∈ K[X1, . . . , Xn] un polinomio no nulo de grado a lo mas d y seanα0, . . . , αd ⊆ K elementos distintos del cuerpo K. Entonces, existe α ∈ α0, . . . , αdn talque :

F (α) 6= 0

Lema 9.3.4. Un polinomio homogeneo no nulo de K[X1, . . . , Xn] no puede anularse en ningunabierto afın de Kn.

Lema 9.3.5. Sea F un polinomio no constante en K[X1, . . . , Xn] un polinomio no constante.

• a) : Mediante una sustitucion de la forma :

Xi := Yi +Xrin , (1 ≤ i ≤ n− 1)

para adecuados ri ∈ N, el polinomio F se transforma en un polinomio de la forma :

aXmn + ρ1X

m−1n + · · ·+ ρm

donde a ∈ K \ 0, ρi ∈ K[Y1, . . . , Yn−1], 1 ≤ i ≤ m. los ri verifican la cota

ri ≤ (N

2(n− 1))i

donde N es el numero de monomios de coeficiente no nulo de F .

2E. Noether, “Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkrpern”.Math. Ann. , 96 (1927) pp. 26-61.

3D. Hilbert. “Uber die vollen Invariantensysteme”. Math. Annalen 42 (1893) 313–373.


• b) : Si K es un cuerpo infinito, entonces el mismo resultado puede ser obtenido pormedio de una sustitucion del tipo :

Xi := Yi + aiXn

para adecuados ai ∈ K.

Demostracion. • a) : Supongamos :

F :=∑ν∈Nn

aνXν11 · · ·Xνn

n

Para cada ν ∈ Nn tal que aν 6= 0, definamos

pν(T ) := νn + ν1T + ν2T2 + · · ·+ νn−1T

n−1 ∈ Z[T ]

Se trata de polinomios distintos cuando es distinto el ındice ν a que hacen referencia.En este sentido existira un cierto k de valor absoluto a lo mas

(N2

)(n− 1) tal que :

pν(k) 6= pν′(k), ∀ν 6= ν′

Ahora definamos ri := ki y las variables :

Yi := Xi −Xrin , 1 ≤ i ≤ n− 1

Tendremos la siguiente transformacion para F :

F (X1, . . . , Xn) :=∑ν∈Nn

aν(Y1 +Xr1n )ν1 · · · (Yn−1 +Xrn−1

n )νn−1Xνnn

De esta manera el polinomio F toma la forma :

F (Y1, . . . , Yn−1, Xn) := aµXpµ(k)i +Gµ(Y1, . . . , Yn−1, Xn)

donde pµ(k) es el maximo de los pν(k), con lo cual el gradoi en Xn de Gµ es estricta-mente menor que pν(k) y F tiene la forma apetecida.

• b) : Supongamos de nuevo :

F :=∑ν∈Nn

aνXν11 · · ·Xνn

n

y escribamos :

Yi := Xi − aiXn, 1 ≤ i ≤ n− 1

Escribamos F := F0 + · · · + Fd la descomposicion de F en componentes homogeneasen K[X1, . . . , Xn], donde d es el grado total de F y Fd 6= 0. Con el cambio buscado,tomemos :

F :=∑−ν ∈ Nnaν(Y1 + a1Xn)ν1 · · · (Yn−1 + an−1Xn)νn−1Xνn

n

Entonces,

F := Fd(a1, . . . , an−1, 1)Xdn +Gd−1(Y1, . . . , Yn−1, Xn)

donde Gd−1 es un polinomio de grado a lo mas d − 1 en Xn. Como Fd es un poli-nomio homogeneo no se anula en el abierto Zariski de Kn dado por : Xn 6= 0.Luego Fd(T1, . . . , Tn−1, 1) es un polinomio no nulo y podremos encontrar un punto(a1, . . . , an−1) ∈ Kn−1 verificando la inecuacion Fd(a1, . . . , an−1, 1) 6= 0. Ese puntoverificara las propiedades prescritas.

Demostracion del Lema de Normalizacion de Noether.–

• Caso 1 : Supongamos que A := K[X1, . . . , Xn] es un anillo de polinomios con coefi-cientes en un cuerpo K y el ideal a = (F ) es un ideal principal.

• Bastara con que apliquemos el Lema previo. Hagamos el cambio de coordenadas

(X1, . . . , Xn) −→ (Y1, . . . , Yn−1, Xn)

correspondiente bien al caso a) o al caso b) del Lema. Describamos el caso b) por subelleza. Entonces, el polinomio :

G(Y1, . . . , Yn−1, Xn) := F (Y1 + a1Xn, . . . , Yn−1 + an−1Xn−1, Xn)


que es un polinomio monico en Xn. Definamos Yn := F y tendremos :

K[Y1, . . . , Yn] → K[X1, . . . , Xn]

es una extension entera de anillos. Es claro que Xn verifica una ecuacion de depen-dencia entera sobre el anillo K[Y1, . . . , Yn] :

G(Y1, . . . , Yn−1, Xn)− Yn = 0

Por lo demas tenemos la cadena de extensiones :

K[Y1, . . . , Yn] → K[Y1, . . . , Yn−1, Xn] → K[X1, . . . , Xn]

Siendo todas ellas enteras, el tercer anillo es entero sobre el primero y, por ende,finitamente generado como modulo. Ahora, al ser X1, . . . , Xn algebraicamente in-dependientes sobre K, tambien lo son Y1, . . . , Yn, por estar ante una extension entera(luego algebraica). De otro lado, a ∩K[Y1, . . . , Yn] ⊇ (Yn). Pero si H(Y1, . . . , Yn) ∈a ∩K[Y1, . . . , Yn), tendremos :

H = H ′F

en K[X1, . . . , Xn]. Como H ′ es entero sobre K[Y1, . . . , Yn] verificara una ecuacion dedependencia entera :

(H ′)d + ad−1(H ′)d−1 + · · ·+ a0 = 0

Como los ai ∈ K[Y1, . . . , Yn] podemos multiplicar esa ecuacion por F d y obtendremos :

Hd + ad−1YnHd−1 + · · ·+ a0Y

dn = 0

de donde se deduce que Yn | H en K[Y1, . . . , Yn].• Caso 2 : Supongamos que A := K[X1, . . . , Xn] es un anillo de polinomios y el ideal a

es un ideal cualquiera de A.• Hagamos induccion en el numero de variables n. Para n = 1, o bien a = (0) o biena es un ideal principal y basta con retrotraerse al caso anterior para no tener nadamas que hacer. Supongamos n ≥ 1 y consideremos el caso que que a no es un idealprincipal. Si a es principal o nulo no hay nada que hacer. Supongamos a 6= (0) y seaF ∈ a, F 6= 0, Sea b = (F ) ⊆ a y apliquemos el caso n = 1 : Existiran Y1, . . . , Yntales que :

K[Y1, . . . , Yn] → K[X1, . . . , Xn]

es una extension entera de anillos. Ademas b ∩K[Y1, . . . , Yn] = (Yn). Sea ac la con-traccion de a aK[Y1, . . . , Yn] y sea a := ac/(Yn) que es un ideal deK[Y1, . . . , Yn]/(Yn) =K[Y1, . . . , Yn−1]. Estamos en condiciones de aplicar la hipotesis inductiva y existiran :Y ′1 , . . . , Y ′n−1 tales que :

K[Y ′1 , . . . , Y′n−1] → K[Y1, . . . , Yn−1]

es una extension entera de anillos, siendo :

a ∩K[Y ′1 , . . . , Y′n−1] = (Y ′s+1, . . . , Y

′n−1)

Tomando Y ′1 , . . . , Y ′n−1, Yn tenemos la coleccion buscada y es facil probar que severifican las propiedades requeridas.

• Caso 3 : Caso general.• Baste notar que si A es una K−algebra finitamente generada tiene la forma :

A = K[X1, . . . , Xn]/b

donde b es un ideal de K[X1, . . . , Xn] mientras a tiene la forma a/b, siendo a un idealde K[X1, . . . , Xn] que contiene a b. Aplicando el caso 2 a b existiran Y1, . . . , Yntales que :

K[Y1, . . . , Yn] → K[X1, . . . , Xn]

es una extension entera de anillos, mientras

b ∩K[Y1, . . . , Yn] = (Yr+1, . . . , Yn)


Como las extensiones enteras se portan bien al tomar cocientes, la siguiente es unaextension enetra de anillos :

K[Y1, . . . , Yr] = K[Y1, . . . , Yn]/b → A

Consideremos el ideal contraccion ac dado mediante :

ac := a ∩K[Y1, . . . , Yr] := a ∩ (K[Y1, . . . , Yn]/b)

Apliquemos de nuevo el caso 2 a ac y obtengamos : Y ′1 , . . . , Y ′r tales que :

K[Y ′1 , . . . , Y′r ] → K[Y1, . . . , Yr] → A

son extensiones enteras de anillos y, ademas :

a ∩K[Y ′1 , . . . , Y′r ] = ac ∩K[Y ′1 , . . . , Y

′r ] = (Y ′s+1, . . . , Y

′r )

Este sencillo Lema tiene muchas consecuencias relevantes, algunas de las cuales pasaremos aanalizar :

Corollario 9.3.6. Sea K un cuerpo infinito, a ideal homogeneo de K[X0, . . . , Xn] entonces,existen Y0, . . . , Yn polinomios homogeneos, tales que :

i) K[Y0, . . . , Yn] → K[X0, . . . , Xn] es una extension entera de anillos.ii) a ∩K[Y0, . . . , Yn] = (Yr+1, . . . , Yn).iii) La extension de anillos :

K[Y0, . . . , Yr] → K[X0, . . . , Xn]/a

es entera y es un morfismo de anillos graduados de grado 0.

Demostracion. Se trata de la misma demostracion, usando cambios lineales de coorde-nadas y siguiendo la misma estrategia del Lema de Normalizacion de Noether, pero tomandohomogeneos a cada etapa.

Hagamos ahora un recordatorio de algunos resultados concernientes a extensiones enteras deanillos :

Lema 9.3.7. Si A → B es una extension entera de anillosse tiene :

i) Si B es un cuerpo, A es un cuerpo.ii) Los ideales maximales de B se contraen sobre ideales maximales de A.iii) No hay relacion de inclusion estricta entre los ideales primos de B que se contraen

sobre el mismo ideal primo de A.iv) f∗ : Spec(B) −→ Spec(A) es suprayectiva.

Corollario 9.3.8. Sea A → B un extension entera de anillos. Entonces,

i)dimKrull(A) = dimKrull(B)

.ii) Para cualquier ideal primo P de B, coht(P ) = coht(P ∩A).

Demostracion. SeaP0 ( P1 ( · · · ( Pn

una cadena de ideales primos de B. Sean pi := Pi ∩A y tenemos una cadena de ideales primosde A dada por :

p0 ( p1 ( · · · ( pn

La razon profunda de la permanencia de loes contenidos estrictos es la propiedad iii) del Lemaprevio. Con lo cual dimKrull(A) ≥ dimKrull(B).Para el otro contenido, utilizaremos la Propiedad del Ascenso que verifica toda extension enterade anillos. Ası, consideremos una cadena de ideales primos de A :

p0 ( p1 ( · · · ( pn

y sea P0 un ideal primo de B que se contrae sobre p0. Por el Teorema del Ascenso, tendremosuna cadena de ideales primos de B :

P0 ⊆ P1 ⊆ · · · ⊆ Pn


donde Pi ∩A = pi. Los contenidos estrictos abajo significan contenidos estrictos arriba (obvio)y esta cadena tiene longitud n, con lo que queda terminada la prueba.

Corollario 9.3.9. Sea A → B una extension entera de anillos y supongamos que A es unanillo normal. Entonces, para cada ideal primo P de B se tiene : ht(P ) = ht(P ∩ P ).

Demostracion. De hecho, esta propiedad se verifica cuando se verifica la propiedad delDescenso. Ası, tomemos una cadena de ideales primos de B contenidos en P :

P0 ( P1 ( · · · ( Pn = P

Por no haber inclusion estricta entre los ideales primos de B que se contraen sobre el mismoideal primo de A, si pi := Pi ∩A, tenemos una cadena de contenidos estrictos :

p0 ( p1 ( · · · ( pn = P ∩ADe otro lado, sea p := P ∩A y consideremos una cadena de ideales primos de A contenidos enp :

p0 ( p1 ( · · · ( pn = p

Como P se contraen sobre p, aplicando el Teorema del Descenso, tendremos

P0 ( P1 ( · · · ( Pn = P

tales que Pi ∩A = pi y habremos terminado la prueba.

Observacion 9.3.10. La anterior propiedad se verifica tambien para cualquier ideal a de B.Para verlo, sea b := a∩A. Para cada ideal primo P que contiene a a se tiene P ∩A contiene ab y ht(P ) = ht(P ∩A). Con ello se prueba :

ht(a) := minht(P ) : P ⊇ a ≥ minht(p) : p ⊇ bDe otro lado, dado p ⊇ b un ideal primo, por ser la extension de anillos :

A/b → A/a

entera, existira un ideal primo P ⊇ a de B tal que P ∩A = p, luego

ht(b) ≥ ht(a)

y habremos terminado.

Proposicion 9.3.11. Sea K un cuerpo,

dimKrull(K[X1, . . . , Xn]) = n

Ademas, ht(X1, . . . , Xi) = i, 1 ≤ i ≤ n.

Demostracion. Es claro que tenemos la siguiente cadena de ideales primos deK[X1, . . . , Xn] :

(0) ( (X1) ( · · · ( (X1, . . . , Xn)

con ello tenemos ya probado,

dimKrull(K[X1, . . . , Xn]) ≥ nAdemas, por ser los ideales (X1, . . . , Xi) primos y la sucesion X1, . . . , Xi regular, tenemos laspropiedades de la altura.Para la otra desigualdad, haremos induccion en n. En el caso n = 1 todo ideal de K[X] esprincipal, luego todo primo distinto de (0) tiene altura 1 y habremos terminado. Para dimensionsuperior, supongamos una cadena de ideales primos :

(0) = p0 ( p1 ( · · · ( pn+1

Apliquemos el Lema de Normalizacion de Noether y tendremos T1, . . . , Tn algebraicamenteindependientes sobre K tales que :

K[T1, . . . , Tn] → K[X1, . . . , Xn]

es una extension entera de anillos y p1 ∩K[T1, . . . , Tn] = (Tr+1, . . . , Tn) Podremos construir lasiguiente cadena de ideales primos de K[T1, . . . , Tr], r ≤ n− 1 :

(0) ( P2 ( · · · ( Pn+1


donde Pi es la contraccion a K[T1, . . . , Tn−1] de pi/p1. Los contenidos estrictos se siguen porser la siguiente una extension entera de anillos :

K[T1, . . . , Tn−1] = K[T1, . . . , Tn−1, Tn]/pc1 → K[X1, . . . , Xn]

Aplicando la hipotesis inductiva habremos llegado a contradiccion.

Corollario 9.3.12. Sea K un cuerpo,

i) Si p es un ideal primo de K[X1, . . . , Xn],

coht(p) := dimKrull(K[X1, . . . , Xn]/p) = grtrK(q.f.(K[X1, . . . , Xn]/p))

ii) Si V ⊆ Kn es un conjunto algebraico irreducible :

coht(I(V )) = dimKrull(K[V ]) = grtrK(K(V ))

Demostracion. Usando el Lema de Normalizacion de Noether, es claro que si T1, . . . , Trson tales que :

K[T1, . . . , Tr] → K[X1, . . . , Xn]

son algebraicamente independientes sobre K, entonces, r = n. Ademas si p ∩K[T1, . . . , Tn] =(Ts+1, . . . , Tn), tenemos la siguiente cadena de extensiones enteras de anillos :

K[T1, . . . , Ts] = K[T1, . . . , Tn]/p → K[X1, . . . , Xn]/p

Se trata de extensiones algebraicas entre los respectivos cuerpos de fracciones, luego el grado detrascendencia del ultimo es s; pero s es tambien la dimension de Krull de los dos primeros. Porser la extension entera, tambien s es la dimension de Krull del ultimo y habremos terminado.

Corollario 9.3.13. Sea p un ideal primo de K[X1, . . . , Xn], entonces

ht(p) + coht(p) = n

En particular, todos los ideales maximales de K[X1, . . . , Xn] tienen altura n. En cambio, elunico ideal primo de coaltura n de K[X1, . . . , Xn] es el ideal (0).

Demostracion. Apliquemos el Lema de Normalizacion de Noether y sean T1, . . . , Tnalgebraicamente independientes sobre K tales que :

K[T1, . . . , Tn] → K[X1, . . . , Xn]

es entera. Tenemos que p ∩K[T1, . . . , Tn] = (Ts+1, . . . , Tn). Claramente, s = coht(p). Ademas,podemos aplicar el Teorema del Descenso para concluir que :

ht(p) = ht(p ∩K[T1, . . . , Tn]) = n− sEl caso de los maximales queda descrito por ser los maximales los primos de coaltura 0. El otrocaso es igual por ser (0) de altura 0.

Corollario 9.3.14. Si V ⊆ Kn es un conjunto algebraico, exiten d ∈ N y existe una aplicacionlineal ϕ : Kn −→ Kd tal que:

• ϕ |V : V −→ Kd es suprayectiva,• Para cada y ∈ Kd, la fibra ϕ−1(y) es finita.

Corollario 9.3.15. Para cualquier ideal a de K[X1, . . . , Xn] se tiene :

ht(a) + coht(a) = n

Demostracion. Para demostrarlo, se p un ideal primo minimal sobre a tal que coht(p) =coht(a). Hallemos una normalizacion de Noether :

K[T1, . . . , Tn] → K[X1, . . . , Xn]

tal que a ∩K[T1, . . . , Tn] = (Ts+1, . . . , Tn). Entonces, s = coht(a) = coht(p). Por el Corolarioanterior, n − s = ht(p) ≤ ht(a). Luego ht(a) + coht(a) ≥ n. Como la otra desigualdad se dasiempre, tenemos el resultado.

Corollario 9.3.16. Toda K−agebra finitamente generada tiene dimension finita, todo idealprimo suyo tiene altura y coaltura finitas y acotadas pr la dimension de A.


Observacion 9.3.17. La propiedad enunciada en el anterior Corolario no es extensible a cua-lesquiera anillos noetherianos, aunque sı es extensible a los anillos locales noetherianos.

Una propiedad importante es la de respetar los cocientes mediante las alturas.

Definicion 113. Un anillo A se denomina catenario si para cualesquiera dos ideales primosp ⊆ p′ de A, se verifica :

ht(p′/p) = ht(p′)− ht(p)

Corollario 9.3.18. Los anillos de polinomios K[X1, . . . , Xn] son catenarios. Mas aun, paracualesquiera dos ideales primos p ⊆ p′ se tiene :

ht(p′/p) = ht(p′)− ht(p) = coht(p)− coht(p′)

Demostracion. Basta con hacerlo para anillos de polinomios. Hallemos una normal-izacion de Noether de K[X1, . . . , Xn] con respecto al ideal p, es decir T1, . . . , Tn tales que :

K[T1, . . . , Tn] → K[X1, . . . , Xn]

donde p ∩K[T1, . . . , Tn] = (Ts+1, . . . , Tn). Se tiene que s = coht(p) y n − s = ht(p). Sea p′ el

ideal primo p′/p y sea p′c

su contracion a K[T1, . . . , Ts]. Claramente,

coht(p′c) + ht(p′

c) = s

Perocoht(p′

c) = coht(p′) = coht(p′)

Por lo tanto,

ht(p′/p) = ht(p′c) = s−coht(p′) = coht(p)−coht(p′) = (n−ht(p))−(n−ht(p′)) = ht(p′)−ht(p)

Corollario 9.3.19. Sean f1, . . . , fr una sucesion regular de K[X1, . . . , Xn]. Entonces, si Kes algebraicamente cerrado se tiene :

dimKrull(V (f1, . . . , fr)) = n− r

Demostracion. Baste notar que ht(f1, . . . , fr) = r y la identificacion entre los idealesradicales de K[X1, . . . , Xn] y los conjuntos algebraicos.

Para los conjuntos algebraicos proyectivos tenemos una situacion relativamente distinta :

Lema 9.3.20. Sea A = K[X0, . . . , Xn] anillo graduado con la graduacion usual. Sea m :=(X0, . . . , Xn) ideal maximal en A, y sea m′ := mAm el unico ideal maximal de Am. Entonces,

Gm′(Am) = K[X0, . . . , Xn]

Demostracion. Observese que

mm/mm+1 := Hm(X0, . . . , Xn)

Por la definicion de la operacion en el graduado, bastara con que probemos que los siguientesson espacio vectoriales isomorfos sobre K = A/m :

m′m/m′m+1 ∼= Hm(X0, . . . , Xn)

Es claro que tenemos un monomorfismo :

ϕ : Hm(X0, . . . , Xn) → m′m/m′m+1

dado por ϕ(F ) := F/1 + m′m+1. Supongamos, ahora p/q + m′n+1 ∈ m′m/m′m+1, un elementocualquiera.Podemos suponer que p ∈ Hm(X0, . . . , Xn), (descomponiento p/q en sumas donde los numer-adores son homogeneos, todo lo que pase de grado n+ 1 se va). Ahora q = a0 + h, con a0 ∈ Ky h ∈ m, podemos concluir :

a0p− qp = −(hp) ∈ mn+1 ⊆ m′n+1

con lo que ϕ(a0p) = p/q + m′n+1 y ϕ es un isomorfismo.


Lema 9.3.21. Sea A = K[X0, . . . , Xn] anillo graduado con la graduacion usual. Sea m :=(X0, . . . , Xn) ideal maximal en A e a un ideal homogeneo de A. Sean m := m/a ideal maximaldel anillo graduado A/a. Entonces, los siguientes anillos son isomorfos :

Gm(A/a)m((A/a)m) = A/a

Demostracion. Sigue los mismos pasos que la prueba anterior.

Corollario 9.3.22. Sea a un ideal homogeneo en A := K[X0, . . . , Xn]. Sea m := (X0, . . . , Xn)ideal maximal de A y sea m := m/a ideal maximal de A/a. Entonces,

deg(χ(G(A/a,−) = degPm((A/a)m,−)− 1 = dimKrull((A/a)m))− 1

En particular, para cualquier conjunto algebraico proyectivo, V ⊆ ¶n(K) se tiene :

deg(χ(K[V ],−) = dimK[V ]m − 1

donde m := m/I(V ).

Demostracion. Usando el Teorema de la dimension y los isomorfismos destacados en losapartados anteriores tenemos claramente el Corolario.

Corollario 9.3.23 (Dimension de la Interseccion). Sean p1 y p2 dos ideales primos enun anillo de polinomios R = K[X1, . . . , Xn] sobre un cuerpo K. Supongamos dim(R/p1) = r,dim(R/p2) = s. Entonces, para cualquier ideal primo q minimal sobre p1 + p2 se tiene :

dim(R/q) ≥ r + s− n

Demostracion. Consideremos un nuevo conjunto de variables Y1, . . . , Yn y el ideal p′2en el anillo K[Y1, . . . , Yn] obtenido simplemente cambiando las variables. Definamos finalmente

R′ := K[X1, . . . , XnY1, . . . , Yn]

En este anillo consideramos el ideal I := p1+p′2 y el ideal D generado por (X1−Y1, . . . , Xn−Yn)que corresponde a la diagonal. Observese el isomorfismo de anillos entre R′/D y R.Ahora, tomemos normalizacioones de Noether de K[X1, . . . , Xn]/p1 y K[Y1, . . . , Yn]/p′2, ten-dremos una normalizacion de Noether de R′/I y facilmente se concluye

dim(R′/I) := dim(R/p1) + dim(R/p2)

Ahora, sea q un primo minimal de R sobre p1 + p2. Por el isomorfismo, podemos identificarlocon un ideal primo Q de R′/D que contiene a I+D/D. Mas aun, se respetan las condiciones deminimalidad y coaltura. En particular, Q/I es un ideal primo minimal sobre D en R′/I. Porestar generado D + I/D por las clases de sus n generadores, obtenemos ht(Q/I) ≤ n (Krull).De otro lado, R′/I +D es isomorfo a R/p1 + p2, luego,

dim(R/q) := dim((R′/I)/(Q/I)) = dim(R′/I)− ht(Q/I) ≥ r + s− n

Corollario 9.3.24. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado V,W ⊆ Kn dos conjuntosalgebraicos irreducibles. Entonces,

dim(V ∩W ) ≥ dim(V ) + dim(W )− n

9.3.2. Grado y Normalizacion de Noether. Aunque aun no hemos hablado del casode dimension positiva, veremos mas adelante la relevancia de la Normalizacion de Noether (yahemos visto algo en nuestra prueba del Nullstellensatz) y, en ese contexto, sera util valorar elresultado siguiente:

Teorema 9.3.25. Sea F := [f1, . . . , fs] ∈ K[X1, . . . , Xn]s un sistema de ecuaciones polinomi-ales generando un ideal a. Sea V (F ) ⊆ Kn el conjunto algebraico que definen y supongamos quees equidimensional (i.e. todas sus componentes tienen la misma dimension). Sea K[Y1, . . . , Yr]una normalizacion de Noether de K[X1, . . . , Xn]/a. Supongamos que Y1, . . . , Yr son combina-ciones lineales de las variables X1, . . . , Xn. Sea g ∈ K[X1, . . . , Xn] un polinomio adicional. Setiene :


i) La siguiente es una extension entera de anillos :

K[Y1, . . . , Yr] → K[X1, . . . , Xn]/√a.

ii) La imagen del morfismo G siguiente es una hipersuperficie de Kr+1, donde

G : V −→ Kr+1

donde

G(x1, . . . , xn) := (Y1(x1, . . . , xn), . . . , Yr(x1, . . . , xn), g(x1, . . . , xn)).

iii) El grado de la hipersuperficie G(V ) esta acotado por deg(V ) · deg(g).iv) El polinomio mınimo monico de la dependencia entera de g+

√a ∈ K[X1, . . . , Xn]/

√a

sobre K[Y1, . . . , Yr] esta acotado por deg(V ) · deg(g) y, de hecho, coincide con el poli-nomio mınimo de la hipersuperficie G(V ).

Mas aun, si V (F ) es irreducible se tiene :[q.f.

(K[X1, . . . , Xn]/

√a)

: K(Y1, . . . , Yr)]≤ deg(V (F )),

donde q.f. significa cuerpo de fracciones.


CAPıTULO 10

El Teorema de la Funcion Implıcita : Fibras deLevantamiento.

Indice

10.1. Introduccion 28510.2. Anillos y modulos topologicos : filtraciones y completados 28710.2.1. Graduaciones y filtraciones a−adicas 29010.2.2. El Lema de Artin–Rees y el Teorema de la Interseccion de Krull. 29110.3. Propiedades del Completado : Anillos de Zariski. 29210.4. Los Teoremas de Division y Preparacion de Weierstrass. 29310.5. Anillos Locales Regulares. 29510.5.1. Criterio del Jacobiano. 29510.5.2. Teorema de Estructura de Cohen. 29610.6. Teorema de la Funcion Implıcita. 29710.6.1. El Lema de Hensel. 29710.6.2. El Operador de Newton No–Arquimediano 298

10.1. Introduccion

El Teorema de la Funcion Implıcita ha sido una de las piezas fundamentales de la Historia dela Matematica. La parametrizacion local de variedades alrededor de puntos donde el jacobianono se anula comienza con I. Newton en 1771. El algoritmo que Newton habıa pensado paraaproximar raıces de polinomios univariados era adaptable a la aproximacion local de curvasmediante funciones racionales y su expansion en series de potencias formales. CiertamenteNewton vislumbra las series de potencias que luego seran extendidas por B. Taylor1. Pareceque Taylor asigna el descubrimiento de las series de potencias formales a Newton en la frase “SirIsaac Newton’s series”. Sin embargo, las series “de Taylor” parecen remontarse a J. Wallis2,quien las introdujo para el calculo de la integral de la funcion (1−x2)1/2. Parece, tambien, queotros matematicos como J. Gregory, G.W. Leibniz, Johann Bernoulli y A. de Moivre habıandescubierto ya variantes de las series de potencias o series “de Taylor”.La aportacion fundamental de Newton es doble : de una parte permite representar funcionesimplıcitas a traves de su expansion en series de potencias formales. De otra parte, ofrece unalgoritmo de aproximacion de estas series de potencias formales. Tenemos ası un Teoremade la Funcion Implıcita con funciones dadas mediante series de las que Newton desconoce laconvergencia. Parece tambien que no se preocupo excesivamente de este problema.De hecho, debemos esperar a K. Weirstrass para disponer de una Teorıa completa de las Fun-ciones Analıticas. Debido a sus problemas de salud, Weierstrass no escribio siempre y del modomas completo las ideas subyacentes a sus investigaciones. Los primeros estudios sobre fun-ciones analıticas datan de su trabajo de 18543. No sera hasta 1861 que Weierstrass obtendrael primer ejemplo de funcion real continua no diferenciable. Esto supuso un vuelco consider-able en la fundamentacion del Analisis que, hasta Weierstrass, tenıa mucho de intuicionista.Las aportaciones fundamentales de K. Weierstrass tuvieron siempre la forma de cursos semes-trales impartidos en la Universidad de Berlın (hoy Humboldt Universitat). Dichos cursos fueronrecogidos por muchos de sus alumnos en forma de textos (como, por ejemplo, las notas tomadas

1B. Taylor. “ Methodus incrementorum directa et inversa”. (1715)2J. Wallis.“Arithmetica infinitorum”. (1656)3En este trabajo Weierstrass explora la descripcion de las funciones abelianas mediante series de

potencias formales : K. Weierstras. “Zur Theorie der Abelschen Functionen”. J. fur Reine und Angew.Math. (1854).

285

286 10. EL TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA : FIBRAS DE LEVANTAMIENTO.

por W. Killing de los cursos impartidos en 1868 o las notas tomadas por A. Hurwirtcz de loscursos de Weierstrass en 1878). Es destacable, por la influencia que tiene en este Capıtulo, elcurso de 1863/64 sobre la “Teorıa General de las Funciones Analıticas”. En lo concernientea este Capıtulo nos interesaran sustancialmente los Teoremas de Division y Preparacion4 quediscutiremos en el caso de anillos de series de potencias formales.Posteriormente, estos trabajos iniciales de Newton se diversifican en varios frentes. De unaparte, un esfuerzo por demostrar el Teorema de la Funcion Implıcita y la convergencia de las se-ries resultantes; pero preservando el caracter iterativo del metodo de Newton puede encontrarseen J. Liouville5. A la sazon, A. Cauchy, predecesor de Liouville en la Ecole Polytechnique, habıadado ya una demostracion del Teorema de la Funcion Implıcita de tipo existencial, basandoseen los desarrollos hechos para demostrar la existencia y unicidad de solucion de EcuacionesDiferenciales Ordinarias (Teorema de Cauchy–Peano–Lipschitz)6.De otro lado, V. Puisseux, ha continuado los trabajos de Cauchy, obteniendo las nociones de poloy puntos de ramificacion, ası como las series de potencias formales con exponente fraccionario(Series de Puisseux) y ha extendido el algoritmo original de Newton para la representacion localde curvas alrededor de puntos singulares.Finalmente, K. Hensel reinterpreta las ideas de K. Weierstrass sobre series de potencias for-males introduciendo y desarrollando los numero p-adicos y la correspondiente interpretaciondel algoritmo de Newton.Este Capıtulo esta dedicado a hacer una relectura, en el lenguaje actual, de la historia de estosresultados. Ciertamente, como en el caso de Newton, no haremos mucho caso a la cuestion dela convergencia y nos instalaremos en el confortable anillo local regular de las series de poten-cias formales en un punto. Comenzaremos con una somera descripcion de las propiedades delcompletado de anillos locales Noetherianos para la filtracion m−adica (Seccion 10.3) siguiendouna combinacion del [ZaSa, 60] y del [Ma, 80].Posteriormente (Seccion 10.4 ) se demuestran los Teoremas de Division y Preparacion quepueden encontrarse en cualquiera de los textos clasicos de Funciones Holomorfas en Varias Vari-ables Complejas como [?], [?]. Aunque esos enunciados tambien se encuentran en [ZaSa, 60],he elegido la version del mas reciente [?].En el camino (Seccion 10.5) nos dedicaremos a la nocion de anillo local regular y a exponerel Criterio del Jacobiano. La nocion generica de anillo local regular es debida al alumno deE. Noether W. Krull7. Incluimos una demostracion del Teorema de Estructura para anilloslocales equi–caracterısticos, como el prensentado por el alumno de O. Zariski I.S. Cohen8. Lademostracion propuesta para este resultado que propongo seguir es la expuesta en [ZaSa, 60].Juntando este Teorema de I.S. Cohen con los Teoremas de Weierstrass tenemos una versiondebil como resolucion del Problema de Serre.A partir de esta Seccion ya pasamos a la Demostracion del Teorema de la Funcion Implıcita(Seccion 10.6). En esta Seccion daremos dos variantes del Lema de Newton–Hensel. De unaparte, la version del Lema de Hensel propuesta en [ZaSa, 60] y la no menos destacable influenciadel texto de P. Ribenboim9. La demostracion de [ZaSa, 60] consiste en mostrar un algoritmode convergencia lineal para la norma no–arquimediana definida por la filtracion m−adica (en laSubseccion 10.6.1). Posteriormente, ofreceremos una demostracion no ya del Lema de Henselsino del Teorema de la Funcion Implıcita usando el operador de Newton multivariado (en laSubseccion 10.6.2) y demostrando que tiene una convergencia cuadratica para la norma no–arquimediana.

4K. Weierstrass. “Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen”. Berl. Abh. (1876) 11-60.5Vease el comentario historico hecho por M. Demazure en su texto “Catastrophes et Bifurcations”

Ellipses (1989).6Vease una descripcion de los sucesos historicos en el excelente texto de ecuaciones diferenciales

E.L. Ince.“Ordinary Differential Equations”. Dover (1956).7Veanse los trabajos

• W. Krull. “Dimensionen in Stellensringen”. J. reine angew. Math.179 (1938) 204–26.• W. Krull. “Idealtheorie”. Springer (1935).

8I.S. Cohen. “On the Structure and Ideal Theory of Complete Local Rings”. Trans. AMS 59(1946) 54–106.

9P. Ribenboim. “Equivalent forms of Hensel’s Lemma”. Expo. Math. 3 (1985) 3–24.

10.2. ANILLOS Y MODULOS TOPOLOGICOS : FILTRACIONES Y COMPLETADOS 287

10.2. Anillos y modulos topologicos : filtraciones y completados

El proposito es comenzar con el [?] y continuar, mas adelante, con el modelo del discurso delCapıtulo final de [ZaSa, 60].

Definicion 114. Llamaremos anillo topologico a todo anillo A dotado de una topologıa T talque las siguientes son aplicaciones continuas :

i) − : A×A −→ A, −(a, b) := a− bii) · : A×A −→ A, ·(a, b) := a · b.

donde A×A esta dotado de la topologıa producto.

Tras unos pocos ejemplos clasicos :

Definicion 115. Sea (A, T ) un anillo topologico, M un A−modulo y T ’ una topologıa sobreM . Diremos que M es un A−modulo topologico si las siguientes son aplicaciones continuas :

i) − : M ×M −→M, −(m,n) := m− nii) · : A×M −→M, ·(a,m) := a ·m.

donde A×M esta dotado con la topologıa producto.

Proposicion 10.2.1. Sean (A, T ) un anillo topologico y (M, T ′) un A−modulo topologico.Entonces para x ∈ A y m ∈M , se tiene :

i) la traslacion tx : A −→ A, dada por tx(a) := a+ x, es un homeomorfismo.ii) la traslacion tm : M −→M , dada por tm(n) := m+ n, es un homeomorfismo.

Observese que, como en el caso de los espacios vectoriales topologicos, si U0 es una base deentornos de 0 ∈ A, donde (A, T ) es un anillo topologico. Entonces, la clase :

x+ U0 := tx(U) : U ∈ U0es una base de entornos de x ∈ A.Analogamente ocurrira cuando tratemos de A−modulos topologicos.La conclusion de esta observacion es que para determinar una topologıa en un anillo o enun modulo, nos basta con determinar una base de entornos del 0 para esa topologıa. Laspropiedades adicionales que tal base de entornos debe verificar se describen en la siguienteProposicion tomada del texto clasico de grupos topologicos de [?].

Proposicion 10.2.2. Sea A un anillo cualquiera y consideremos una coleccion de subconjuntosde A, Σ ⊆ P(A) verificando :

i) La interseccion de dos elementos cualesquiera de Σ contiene a algun elemento de Σ.ii) Si U ∈ Σ, existe W ∈ Σ tal que :

W −W := x− y : x, y ∈W ⊆ U, W 2 := xy : x, y ∈W ⊆ Uiii) Si U ∈ Σ, x ∈ U, y ∈ A, existe W ∈ σ tal que :

tx(W ) ⊆ U, yW := y · a : a ∈W ⊆ UEntonces, existe una unica topologıa T sobre A tal que (A, T ) es un anillo topologico y Σ esuna base de entornos abiertos de 0 ∈ A.

Proposicion 10.2.3. Sea (A, T ) un anillo topologico y Σ una base de entornos abiertos de0 ∈ A. Entonces, Σ verifica las propiedades i), ii) y iii) de la Proposicion anterior.

Analogos resultados se pueden obtener para modulos topologicos (cf. [?]).

Proposicion 10.2.4. Sea (A, T ) un anillo topologico y (M, T ′) un A−modulo topologico conrespecto a la topologıa T sobre A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes :

i) (M, T ′) es un espacio topologico de Hausdorff.ii) El conjunto 0 es un cerrado.iii) Si Σ′ es una base de entornos abiertos de 0 ∈M , se tiene :

0 =⋂U∈Σ′

U

No vamos a ocupar este curso en un amplio estudio de los anillos topologicos. El alumno puedeseguir, si quiere, el texto [?]. Nos centraremos en las filtraciones.


Definicion 116. i) Sea A un anillo. Llamaremos filtracion sobre A a toda coleccion Σ,cadena descendente de ideales :

Σ := A = a0 ⊇ a1 ⊇ · · · ⊇ an ⊇ · · · verificando an · am ⊆ an+m, ∀n,m ∈ N. Diremos que (A,Σ) es un anillo filtrado.

ii) Sea (A,Σ) un anillo filtrado y M un A−modulo. Una filtracion sobre M compatiblecon la filtracion Σ = an : n ∈ N de A, a toda cadena descendente de submodulosde M :

Σ′ := M = N0 ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nn ⊇ · · · tal que an ·Nm ⊆ Nn+m, ∀n,m ∈ N.

Proposicion 10.2.5. i) Si (A,Σ) es un anillo filtrado, la filtracion Σ verifica las propiedadesde la Proposicion 10.2.2 anterior y existe una unica topologıa sobre A para la cual Σes una base de entornos abiertos de 0 ∈ A. A esa topologıa se la denomina topologıaasociada a la filtracion Σ.

ii) Un analogo resultado se tiene para modulos con filtraciones.

Proposicion 10.2.6. Sea (A,Σ) es un anillo filtrado, y (M,Σ′) es un A−modulo filtrado, conuna filtracion Σ′ compatible con la filtracion Σ de A. Supongamos

Σ := A = a0 ⊇ a1 ⊇ · · · ⊇ an ⊇ · · ·

Σ′ := M = N0 ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nn ⊇ · · · Entonces, para cada S ⊆ A y cada N ⊆M , las clausuras de S y N para las respectivas topologıasvienen dadas por :

S =⋂n∈N

(S + an)

N =⋂n∈N

(N +Nn)

Corollario 10.2.7. Con las mismas notaciones de la Proposicion anterior, sea a un ideal deA y N un submodulo de M . Entonces,

i)

a =⋂n∈N

(a + an)

ii) Si a es abierto en A, entonces es cerrado.iii)

N =⋂n∈N

(N +Nn)

iv) Si N es abierto en M , entonces es cerrado.

Corollario 10.2.8. Sea (A,Σ) es un anillo filtrado, y (M,Σ′) es un A−modulo filtrado, conuna filtracion Σ′ compatible con la filtracion Σ de A. Supongamos :

Σ′ := M = N0 ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nn ⊇ · · · Entonces, M con la topologıa asociada a la filtracion Σ′ es de Hausdorff si y solamente si :

0 =⋂n∈N

Nn

Seguiremos con la condicion de metrizabilidad, que se basara en este Corolario, y que tratare-mos de seguir a traves del Capıtulo de Algebra Local del texto [ZaSa, 60]. Mas adelanterecuperaremos la condicion de Hausdorff a traves del Teorema de la Interseccion de Krull.

Teorema 10.2.9. Sea (A,Σ) es un anillo filtrado, y (M,Σ′) es un A−modulo filtrado, con unafiltracion Σ′ compatible con la filtracion Σ de A. Supongamos

Σ′ := M = N0 ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nn ⊇ · · · Si M es Hausdorff con la topologıa asociada a la filtracion Σ′, entonces es metrizable con lametrica :

dM (x, y) := e−k


donde x − y ∈ Nk, x − y 6∈ Nk+1. En particular, si BM (0, e−n) es la bola cerrada de centro0 ∈M y radio e−n para la metrica dM , esta bola coincide con el submodulo Nn.

Recordemos que todo espacio metrico posee un completado. Podemos hacer aquı la construcciondel completado de un A−modulo filtrado cuya topologıa es de Hausdorff.Recordemos de los cursos elementales de topologıa la siguiente propiedad :

Teorema 10.2.10 (Completado de un espacio metrico). Sea (X, d) un espacio metrico. En-tonces, existe un espacio metrico completo (X∗, d∗) y una funcion i : X −→ X∗ continua,verificando :

i) i es una isometrıa entre X y una parte densa de X∗.ii) Dada ϕ : X −→ Y una funcion uniformemente contınua, donde (Y, d′) es un espacio

metrico completo, existe una unica funcion continua ψ : X∗ −→ Y tal que ψi = ϕ.

De otro lado, cualquier otro espacio metrico completo que verifique estas dos propiedades eshomeomorfo (e isometrico) a (X∗, d∗).A cualquier espacio metrico (X∗, d∗) y aplicacion i : X −→ X∗ verificando estas propiedadesse le denomina completado del espacio metrico (X, d).

Observando que la suma y el producto son funciones uniformemente continuas, se puedenextender las respectivas estructuras de anillo y modulo al completado. Esto es,

Proposicion 10.2.11. Sea (A,Σ) es un anillo filtrado, y (M,Σ′) es un A−modulo filtrado deHausdorff, con una filtracion Σ′ compatible con la filtracion Σ de A. Sea M∗ es el completadode M para la metrica definida por la filtracion Σ′. Entonces, M∗ posee una estructura deA−modulo filtrado de Hausdorff, es decir, es un A−modulo filtrado con la filtracion dada por :

Σ∗ := M∗ ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nn ⊇ · · · donde Ni es la clausura de Ni en M∗, y la topologıa definida por esa filtracion en M∗ es latopologıa de M∗ como completado del espacio metrico (M,dM ).

Lo mismo se puede decir del anillo y su completado A∗.Las filtraciones y las graduaciones en anillos y modulos son elementos interrelacionados demanera fuerte. Para verlo, introduzcamos los siguientes ejemplos :

Ejemplo 10.2.12. • Sea A un anillo Σ := A = a0 ⊇ · · · an ⊇ · · · una filtracion sobreA. Podemos definir el grupo abeliano

GΣ(A) := ⊕n∈N(an/an+1)

Al grupo abeliano GΣ(A) le podemos dotar de una estructura de anillo, extendiendola operacion producto

· : GΣ(A)×GΣ(A) −→ GΣ(A)

sobre los elementos “homogeneos” de la manera natural. Con esta definicion, GΣ(A)es un anillo graduado que llamaremos anillo graduado asociado a la filtracion Σ sobreA.

• Sea (A,Σ) un anillo filtrado y (M,Σ′) un A−modulo filtrado con una filtracion com-patible con la filtracion Σ de A. De la manera natural se construye GΣ′(M) y sele dota de una estructura de GΣ(A)−modulo, que llamaremos modulo asociado a lafiltracion Σ′ sobre M .

Definicion 117. Sea (A,Σ) un anillo filtrado y (M,Σ′) un A−modulo filtrado con una filtracioncompatible con Σ. Dados x ∈ A, m ∈M , llamaremos parte inicial de x y de m a los elementos :

GΣ(x) = x+ an+1 ∈ GΣ(A), donde n = νΣ(x)

GΣ′(m) = m+Nn+1 ∈ GΣ(M), donde n = νa(m)

o bien GΣ(x) = 0 y GΣ′(m) = 0, cuando νΣ(x) = +∞ y νΣ′(m) = +∞Lema 10.2.13. En las notaciones anteriores, dados a, b ∈ A, son equivalentes :

i) νΣ(ab) > νΣ(a) + νΣ(b).ii) ab ∈ aνΣ(a)+νΣ(b)+1.iii) GΣ(a)GΣ(b) = 0 en GΣ(A).

Donde νΣ es la funcion de orden asociada a la filtracion Σ.


10.2.1. Graduaciones y filtraciones a−adicas. Uno de los ejemplos esenciales de fil-traciones en anillos y modulos es el definido por las potencias de un ideal.

Definicion 118. Sea A un anillo, M un A−modulo y a un ideal de A. Llamaremos filtraciona−adica sobre A y sobre M a las filtraciones definidas por los conjuntos :

Σa(A) := A = a0 ⊇ a1 ⊇ a2 ⊇ · · · Σa(M) := M = a0M ⊇ a1M ⊇ a2M ⊇ · · ·

Ejemplo 10.2.14. • Dado el anillo de polinomios A := K[X0, . . . , Xn] y el ideal max-imal m := (X0, X1, . . . , Xn), la filtracion m−adica en A es la dada por las potenciasdel ideal m, es decir, por los ideales mn formados por los polinomios tales que lamultiplicidad de (0, . . . , 0) es, al menos, n.

• Dado el anillo Z y un elemento primo p ∈ Z, la filtracion p−adica es la filtracionasociada a las potencias del ideal primo (p) de Z.

Definicion 119. Sea A un anillo, M un A−modulo y a un ideal de A. Llamaremos anillograduado asociado a la filtracion a−adica, Ga(A), en A y el Ga(A)−modulo asociado a lafiltracion a−adica en M a los siguientes anillo y modulo graduados :

Ga(A) := ⊕n∈N(an/an+1)

Ga(M) := ⊕n∈N(anM/an+1M)

con las operaciones pertinentes.

Notacion 10.2.15. Denotaremos por νa tanto a la funcion de orden definida por la filtraciona−adica en A como en M , declarando en cada caso a cual nos referimos. De la misma maneradenotaremos la parte inicial de un elemento x ∈ A o m ∈M , siendo :

Ga(x) = x+ an+1 ∈ an/an+1, donde n = νa(x)

Ga(m) = m+ an+1M ∈ anM/an+1M, donde n = νa(m)

Las filtraciones y graduaciones a−adicas permiten obtener propiedades del anillo a partir delanillo graduado asociado. Ası, tenemos :

Lema 10.2.16. Sea A un anillo, a un ideal de A, y sea M un A−modulo.

i) Si A es noetheriano, tambien lo es Ga(A).ii) Si A es Hausdorff (i.e. ∩n∈Nan = (0)), entonces,

Ga(A) es un dominio⇒ A es un dominio

En este caso, νa(ab) = νa(a) + νa(b), para cada a, b ∈ A.iii) Si A es noetheriano y M es un A−modulo finitamente generado, Ga(M) es un Ga(A)−modulo

noetheriano.iv) En las anteriores condiciones, cada anM/an+1M es un A/a−modulo noetheriano y

finitamente generado.

Tambien condiciones mas tecnicas como la de ser normal un anillo se trasladan bien del graduadoal anillo total en ciertas condiciones :

Proposicion 10.2.17. Sea A un anillo noetheriano, a un ideal de A. Supongamos que todoideal principal de A es cerrado para la topologıa a−adica. Entonces,

Ga(A) normal ⇒ A normal

Construccion Como siempre, sea A un anillo, M un A−modulo, N un submodulo de M e aun ideal de A. Tratamos de relacionar los anillos graduados correspondientes a las filtracionesa−adicas en M y M/N . Para ello, consideremos la proyeccion canonica :

π : M −→M/N

Observamos que π(anM) = an(M/N). Para cada n ∈ N, consideremos el morfismo deA−modulos :

ϕn : anM +N −→ an(M/N)

dado por ϕn(m) := m+N . Este morfismo de A−modulos induce :


Proposicion 10.2.18. En las notaciones anteriores :

Ga(M/N) ∼= ⊕n∈N(anM +N/an+1M +N

)Consideremos ahora el morfismo de Ga(A)−modulos dado mediante :

ϕ : Ga(M) −→ Ga(M/N)

definido por :

ϕ(a+ an+1M ∈ anM/an+1M) := a+ an+1M +N ∈ anM +N/an+1M +N

Es facil ver que se trata de un epimorfismo graduado de grado cero de Ga(A)−modulos. Elnucleo sera un submodulo homogeneo cuyos elementos homogeneos de grado n viene dados por :(

((anM) ∩ (an+1M + n))/(an+1M))

Tenemos ası la sucesion exacta corta de A−modulos :

0→ ((anM) ∩ (an+1M +N))/(an+1M)→ anM/an+1M → anM +N/an+1M +N → 0

Lo que induce una sucesion exacta corta de Ga(A)−modulos graduados :

0 −→ ⊕n∈N((anM ∩ (an+1M +N))/an+1M

)−→ Ga(M) −→ Ga(M/N) −→ 0

Definicion 120. Sea A un anillo, a un ideal de A, M un A−modulo y N un submodulo de M .Llamaremos submodulo director de N al submodulo del Ga(A)−modulo Ga(M) generado por :

⊕n∈N((anM) ∩ (an+1M +N)/(an+1M)

)Observese que el submodulo director de M es el propio Ga(M).

Lema 10.2.19. Sea A un anillo, a un ideal de A, M un A−modulo y N un submodulo de M .Entonces, el submodulo director de N esta generado por las formas iniciales de los elementosde N

Estos resultados nos preparan para los dos primeros enunciados esenciales de esta Seccion.

10.2.2. El Lema de Artin–Rees y el Teorema de la Interseccion de Krull. Sibien el resultado conocido como Lema de Artin–Rees (fue probado independientemente por E.Artin y D. Rees 10) tiene el aspecto de un sencillo Lema tecnico, sus consecuencias (tanto parala demostracion del Teorema de la Dimension Local como para el Teorema de la Interseccionde Krull) seran esenciales. En esta Subseccion trataremos de la demostracion de tal resultadotecnico y lo aplicaremos a la demostracion del Teorema de la Interseccion de Krull. Por su parte,el Teorema de la Interseccion, que se sigue del Lema de Artin–Ress y del Lema de Nakayama,tiene muy interesantes consecuencias en terminos de la estructura topologica de los anillos conla filtracion a−adica.La idea del Lema de Artin–Rees se expresa diciendo que para filtraciones en modulos compati-bles con la filtracion a−adica, la topologıa inducida por la filtracion y por la filtracion a−adicacoinciden. Vemos la terminologıa.

Definicion 121. Sea (A,Σ) un anillo filtrado y (M,Σ′) un A−modulo filtrado. Sea a un idealde A. Supongamos :

Σ′ := M = M0 ⊇M1 ⊇ · · · ⊇Mn ⊇ · · · Diremos :

i) La filtracion Σ′ es compatible con la filtracion a−adica sobre A si aMn ⊆Mn+1, paracada n ∈ N.

ii) La filtracion Σ′ es estable para la filtracion a−adica sobre A si existe n0 ∈ N tal queaMn = Mn+1, para cada n ≥ n0.

Notese que la condicion de ser compatible significa solamente que (M,Σ′) es un A−modulofiltrado, cuando en A se considera la filtracion a−adica.La filtracion a−adica en M es un vivo ejemplo de filtracion estable.

10D. Rees. “Two classical theorems of ideal theory”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 52 (1956),155–157.


Teorema 10.2.20 (Lema de Artin-Rees). Sea A un anillo noetheriano, a un ideal de A y Mun A−modulo finitamente generado. Sea N un submodulo de M .Entonces, para toda filtracion a−estable sobre M , la filtracion inducida sobre N es estable conrespecto al ideal a de A.

Corollario 10.2.21. Sea A un anillo noetheriano, a un ideal de A, M un A−modulo finita-mente generado y N un submodulo de M . Entonces, existe n0 ∈ N tal que :

∀n ≥ n0, a(anM ∩N) = an+1M ∩N

Combinando el Lema de Nakayama con el Lema de Artin–Rees obtenemos el siguiente resultadorelevante.

Teorema 10.2.22 (El Teorema de la Interseccion de W. Krull). Sea A un anillo noetheriano,a un ideal de A, M un A−modulo finitamente generado

i) Si N :=⋂n∈N anM , aN = N .

ii) Si a esta contenido en el radical de Jacobson de A,⋂n∈N

anM = (0)

y la topologıa definida por la filtracion a−adica sobre M es Hausdorff y metrizable.iii) Si A es un dominio noetheriano, para cada ideal a de A se tiene :⋂

n∈Nan = (0)

y la topologıa a−adica sobre A es Hausdorff y metrizable.

Corollario 10.2.23. Si (A,m) es un anillo local noetheriano, las topologıas q−adicas definidaspor cualquier ideal propio de A en cualquier A−modulo finitamente generado son Hausdorff y,por ende, metrizables.

Proposicion 10.2.24. Si A es un anillo noetheriano y a es un ideal contenido en el radical deJacobson de A :

Ga(A) normal ⇒ A normal

El recıproco no es cierto. Ver [Ma, 89], p.119.

10.3. Propiedades del Completado : Anillos de Zariski.

Recordamos la construccion del completado de un anillo noetheriano con respecto a las filtra-ciones a−adicas, hecho en las Subsecciones 10.2 y 10.2.1. Retomamos aquellos temas y hace-mos algunas disquisiciones adicionales. Las referencias basicas seran los textos [Ra et al., 75],[Ma, 80], [Ma, 89] y [ZaSa, 60].

Proposicion 10.3.1. Sea A un anillo noeteheriano, sea a un ideal contenido en el radical deJacobson de A,sea M un A−modulo finitamente generado. Sea A∗ y M∗ los completados de Ay M para las respectivas filtraciones a−adicas. entonces, M∗ es el A∗−modulo generado porM .11

Corollario 10.3.2. Sea B un anillo y sea A un subanillo de B, tal que B es un A−modulofinitamente generado. Supongamos que A es noetheriano y sea a un ideal de A. Entonces, latopologıa de B como A−modulo y la topologıa aB−adica coinciden. En particular, la inclusionA → B induce una inclusion A∗ → B∗.

Tenemos toda una serie de conclusiones tecnicas, de gran utilidad en las argumentaciones fu-turas, como las siguientes :

Corollario 10.3.3. Sea A un anillo noetheriano, a un ideal de A, M un A−modulo finita-mente generado. Supongamos que tanto A como M son Hausdorff para sus respectivas topologıasa−adicas. Entonces :

11En las notaciones de [ZaSa, 60], escribirıamos M∗ = A∗M . Sin embargo, en las notaciones masapropiadas de [Ma, 80] escribirıamos M∗ = A∗ ⊗A M . El enunciado se puede dar de ambas maneras.

10.4. LOS TEOREMAS DE DIVISION Y PREPARACION DE WEIERSTRASS. 293

i) La clausura de todo submodulo N de M en M∗ viene dada por el submodulo de M∗

generado por N (i.e. A∗N). Mas aun, N es cerrado en M si y solamente si N =A∗N ∩M .

ii) Las topologıas de los completados A∗ y M∗ son sus respectivas topologıas aA∗−adicas.iii) El completado del cociente M/N para todo submodulo cerrado N de M viene dado por

M∗/A∗N .iv) Los anillos graduados Ga(A) y GaA∗(A

∗) son isomorfos como anillos graduados, portanto, tambien se tiene :

A/a ∼= A∗/aA∗,

isomorfismo como anillos y son isomorfimos de A/a−modulos los siguientes :

an/an+1 ∼= anA∗/an+1A∗.

Lo mismo sucede con los modulos finitamente generados.

Un importante resultado tecnico es el siguiente :

Teorema 10.3.4. Sea A un anillo noetheriano, a un ideal propio de A, M un A−modulo y Nun submodulo de M . Supongamos que A y M son espacios de Hausdorff para las respectivastopologıas a−adicas y supongamos, ademas, que A es completo.Sean x1, . . . , xn una coleccion finita de elementos de N tales que sus formas iniciales generanel submodulo director de N en Ga(M) como Ga(A)−modulo. Entonces, x1, . . . , xn generanN como submodulo de M .

El resultado puede verse en [ZaSa, 60].La siguiente es una caracterizacion del tipo de anillos completos que mas utilizaremos en estaspaginas y que se denominan anillos de Zariski.

Definicion 122. Un anillo noetheriano A se dice anillo de Zariski con respecto a un idealpropio a de A si para todo ideal propio b de A, se tiene que b es cerrado en A para la topologıadefinida por la filtracion a−adica.

La siguiente caracterizacion puede verse en [Ma, 80] :

Teorema 10.3.5. Sea A un anillo noetheriano y a un ideal propio de A. Son equivalentes :

i) El ideal a esta contenido en el radivcal de Jacobson de A,ii) 1− a es unidad de A para todo a ∈ a,iii) Si M es un A−modulo finitamente generado y aM = 0, entonces, M = 0,iv) Si M es un A−modulo finitamente generado, la topologıa a−adica sobre M es Haus-

dorff,v) Para todo A−modulo finitamente generado, todo submodulo N de M es cerrado para

la topologıa a−adica sobre M ,vi) A es un anillo de Zariski con respecto al ideal a:

Una caracterizacion mas que puede verse en [Ma, 80] :

Proposicion 10.3.6. Sea A un anillo noetheriano y a un ideal propio de A. Entonces, A esun anillo de Zariski si y solamente si su completado A∗ con respecto a la topologıa definida porla filtracion a−adica es fielmente plano sobre A.

Como Corolario obtenemos

Corollario 10.3.7. El completado de todo anillo semi–local (respectivamente local) noetheri-ano con respecto a su radical de Jacobson es un anillo semi–local (resp. local) noetheriano dela misma dimension.

10.4. Los Teoremas de Division y Preparacion de Weierstrass.

En su esfuerzo por fundamentar el analisis complejo a partir de las series de potencias conver-gentes, K. Weierstrass impartio varios cursos basados en su trabajo de 1876 12. Los resultadosque mas han trascendido, conocidos como Teoremas de Division y Preparacion, son los resulta-dos de los que nos ocuparemos en esta Seccion. Para ello, recordaremos al alumno los elementos

12K. Weierstrass. “Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen”. Berl. Abh. (1876)11-60.


basicos del anillo de potencias formales. Comenzaremos introduciendo los anillos de series depotencias formales con coeficientes en un anillo A. Obtendremos como primer resultado elsiguiente, que puede consultarse en [Ma, 80] :

Proposicion 10.4.1. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Entonces, A[[X1, . . . , Xn]] esel completado de A[X1, . . . , Xn] con respecto a la topologıa definida por la filtracion a−adica,donde

a := (X1, . . . , Xn).

En particular, concluimos :

Corollario 10.4.2. Con las anteriores notaciones :

i) Si A es noetheriano, A[[X1, . . . , Xn]] es noetheriano.ii) Si A es un dominio, A[[X1, . . . , Xn]] es un dominio.iii) Si A es normal, entonces A[[X1, . . . , Xn]] es normal.iv) Si A es un anillo local, A[[X1, . . . , Xn]] es un anillo local cuyo maximal esta generado

por el maximal de A y las variables X1, . . . , Xn.

Para la factorialidad necesitaremos dos clasicos resultados de K. Weierstrass conocidos como losTeoremas de Divison y Preparacion. Puede seguirse en cualquier texto clasico de Varias Vari-ables Complejas o de Geometrıa Analıtica como los textos [?], [?] o [?]. Tambien se encuentranen [ZaSa, 60]. Seguire esencialmente el texto de Kaup y Kaup.

Definicion 123. Una serie de potencias formales σ ∈ K[[X1, . . . , Xn, Y ] se denomina distin-guida en Y de orden b si

σ(0, . . . , 0, Y ) = Y be,

para alguna unidad e ∈ K[[Y ]].Sea denomina polinomio de Weierstsrass de grado b a toda serie σ ∈ K[[X1, . . . , Xn, Y ]] de laforma :

σ := Y b +

b−1∑k=0

akYk,

donde Ak ∈ K[[X1, . . . , Xn]].

Teorema 10.4.3 (Teorema Preparatorio de Weierstrass). Sea σ ∈ K[[X1, . . . , Xn, Y ]] una seriede potencias formales distinguida en Y de orden b, entonces, existe un polinomio de Weierstrassω ∈ K[[X1, . . . , Xn]][Y ] de grado b y una unidad e ∈ K[[X1, . . . , Xn]]∗ tales que

σ = eω.

Mas aun, si K = C y σ es una serie convergente, tambien es convergente ω.

Teorema 10.4.4 (Teorema de Division de Weierstrass). Si σ ∈ K[[X1, . . . , Xn, Y ]] es una seriedistinguida de orden b, entonces, la aplicacion :

K[[X1, . . . , Xn, Y ]] · σ ⊕K[[X1, . . . , Xn]][Y ]b−1 −→ K[[X1, . . . , Xn, Y ]],

dada mediante :

(q · σ, r) 7−→ q · σ + r,

es un isomorfismo de K[[X1, . . . , Xn]]−modulos. En otras palabras, para toda serie de potenciasformales F ∈ K[[X1, . . . , Xn, Y ]], existen series unicas q ∈ K[[X1, . . . , Xn, Y ]] y un polinomiodistinguido de grado a lo sumo b− 1 tales que

F = qσ + r.

Los Corolarios mas relevantes a este enunciado son, obviamente,

Corollario 10.4.5. El anillo de series de potencias formales K[[X1, . . . , Xn]] es un dominiode factorizacion unica, normal, local y noetheriano de dimension n.

10.5. ANILLOS LOCALES REGULARES. 295

10.5. Anillos Locales Regulares.

El concepto de anillo local regular fue introducido por W. Krull13 en su trabajo de 1938,tratando de responder a una pregunta que el mismo habıa introducido en su texto de 193514.

Definicion 124. Diremos que un anillo local noetheriano (A,m) es un anillo local regular si suideal maximal esta generado por un sistema de parametros. Esto es, si dim(A) = d y existenx1, . . . , xd ∈ m tales que

(x1, . . . , xd) = m.

A tales conjuntos se les denomina sistemas regulares de parametros.

Son anillos locales regulares los anillos de series de potencias formales o los localizados delanillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo (cf. [Ma, 80], Capıtulo 7, pp.126–127, porejemplo).

Teorema 10.5.1. Sea (A,m) un anillo local noetheriano de dimension d. Son equivalentes :

i) A es un anillo local regular,ii) El anillo graduado Gm(A) es un anillo de polinomios en d variables con coeficientes

en A/m,iii) El A/m−espacio vectorial m/m2 tiene dimension d.

La demostracion, muy elemental, puede seguirse en [Ra et al., 75].

Corollario 10.5.2. Un anillo local noetheriano (A,m) es local regular si y solamente si sucompletado A∗ es local regular.Ademas, dado que Gm(A) es un anillo normal, todo anillo local regular es un anillo normal.

Proposicion 10.5.3. Sea (A,m) un anillo local regular de dimension d y sean a1, . . . , aj unacoleccion de j elementos de A. Son equivalentes :

i) a1, . . . , aj es parte de un sistema regular de parametros de A,ii) Las clases a1 + m2, . . . , aj + m2 son A/m−linealmenmte independientes en m/m2,iii) A/(a1, . . . , aj) es un anillo local regular de dimenjsion d− j.

En particular, para cada ideal primo p de A, A/p es local regular de dimension d − r si ysolamente si p esta generado por r elementos de A que forman parte de un sistema regular deparametros de A.

10.5.1. Criterio del Jacobiano. Seguire basicamente la introduccion de [Shf, 74], aunqueno es inapropiada la presentada en [?].Sea V ⊆ Kn un conjunto algebraico, P ∈ V un punto, f1, . . . , fs un conjunto de generadores deI(V ) en K[X1, . . . , Xn].

Definicion 125. Una recta P + tv : t ∈ K ⊆ Kn pasando por el punto P se denominatangente a V en P , si se verifica que el siguiente polinomio univariado :

f(T ) := gdc(f1(P + Tv), . . . , fs(P + Tv)) ∈ K[T ],

tiene en t = 0 una raız de multiplicidad mayor que 1.

Sea mP el ideal maximal de K[X1, . . . , Xn] asociado al punto P . Sea K[X1, . . . , Xn]P la local-izacion de K[X1, . . . , Xn] en el maximal mP (que es un anillo local regular de dimension n).Observese que

K[X1 − α1, . . . , Xn − αn] ∼= GmP (K[X1, . . . , Xn]),

donde P = (α1, . . . , αn). Para cada G ∈ K[X1, . . . , Xn] denotemos por dP (G) la diferencial de Gen P , esto es, la componente homogenea de grado 1 deG como elemento deGmP (K[X1, . . . , Xn]).

Lema 10.5.4. Con las anteriores notaciones, una recta P + tv : t ∈ K es tangente a V enP si y solamente si dP (fi)(v) = 0, 1 ≤ i ≤ s.

13W. Krull. “Dimensionen in Stellensringen”. J. reine angew. Math.179 (1938) 204–2614W. Krull. “Idealtheorie”. Springer (1935)


Denotemos por TPV el espacio tangente a V en P y sea D(f1, . . . , fs)P la matriz jacobiana enP de un sistema generador de I(V ). Se tiene :

TPV := v ∈ Kn : D(f1, . . . , fs)P (v) = 0.Mas aun, sea mP el ideal maximal de K[V ] asociado al punto P y consideremos

dP : mP /m2P −→ (TPV )∗.

la aplicacion inducida por dP . Entonces, se tiene :

Proposicion 10.5.5. La aplicacion dP define un isomorfismo de K−espacios vectoriales.

Definicion 126. Con las anteriores notaciones, diremos que un punto P ∈ V es un puntoregular o un punto simple si y solamente si

dimTPV = dim(V ).

En caso contrario diremos que P es un punto singular de V .

Observese que la condicion dimTPV ≥ dimV se satisface siempre.

Teorema 10.5.6 (Criterio del Jacobiano). Sea V ⊆ Kn un conjuto algebraico, supongamosI(V ) = (f1, . . . , fs) y sea D(f1, . . . , fs) la matriz jacobiana definida por un sistema generadorde I(V ). Sea P ∈ V un punto y mP el maximal de K[V ] asociado al punto P . Son equivalentes :

i) P ∈ V es un punto simple,ii) el anillo local noetheriano K[V ]mP es un anillo local regular de dimension igual a la

dimension de V .iii) el rango de la matriz jacobiana en P es n− dim(V ), i.e.

rang(D(f1, . . . , fs)P ) = n− dim(V ).

Observe el lector que la condicion de ser simple es analoga a las hipotesis del Teorema de laFuncion Implıcita en el que insistiremos mas adelante. Por ahora, es conveniente senalar alalumno las implicaciones geometricas de esta propiedad.En particular, conviene senalar que el conjunto de puntos singulares es un subconjunto alge-braico propio de V y que la condicion de ser un punto liso es una condicion generica en V .

10.5.2. Teorema de Estructura de Cohen. De haber dispuesto de tiempo para poderdisenar un buen curso de Algebra Conmutativa, contando con una buena base de AlgebraHomologica, habrıa desarrollado las demostraciones de los Teoremas de J.P. Serre15 o el Teoremade M. Auslander y D.A. Buchsbaum16. Ambos resultados suponen respuestas a dos preguntasformuladas por W. Krull en 1938. Sin embargo, no es este el proposito del curso por lo que nosconformaremos con el Teorema del alumno de O. Zariski I.S. Cohen17.El teorema de I.S. Cohen se lee del modo siguiente en [ZaSa, 60], segun los propios autores,siguiendo una demostracion debida a A. Geddes :

Teorema 10.5.7. Si A es un anillo local regular completo y equicaracterıstico, entonces, Acontiene un cuerpo de representantes, esto es, existe un subcuerpo K de A tal que K es isomorfoa A/m.

La conclusion de este Teorema se lee del modo siguiente :

Corollario 10.5.8 (Teorema de Estructura de I.S. Cohen). Todo anillo local regular equica-racterıstico y completo es un anillo de series de potencias formales.

15Todo anillo local noetheriano es regular si y solamente si es de dimension global finita y sudimension global coincide con su dimension de Krull. Demostrado por J.P. Serre en “Sur la DimensionHomologique des Anneaux et des Modules Noetheriens”. En Proc. Int. Symp. Alg. Number Theory,Tokyo (1956) 175–189.

16Todo anillo local regular es un dominio de factorizacion unica en M. Auslander, S.A. Buchs-baum. “Unique Factorisation in Regular Local Rings”. Proc. Nat. Acad. Sci. US 45 (195) 733–764.Este resultado es, sin embargo, consecuencia de las investigaciones de ambos en torno a la dimensionhomologica de anillos en M. Auslander y D.A. Buchsbaum. “Homological Dimension in Local Rings”.Trans. AMS 85 (1957) 390–405.

17I.S. Cohen. “On the Structure and Ideal Theory of Complete Local Rings”. Trans. AMS 59(1946) 54–106.

10.6. TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA. 297

En vista de los Teoremas de Division y Preparacion de Weierstrass, todo anillo local regularcompleto y equicaracterıstico es un dominio de factorizacion unica. Y, siguiendo el [ZaSa, 60],sera cierto para todo anillo local regular equicaracterıstico.

10.6. Teorema de la Funcion Implıcita.

En esta Seccion se demuestra la presentacion clasico (la de [ZaSa, 60], por ejemplo) del Lemade Hensel. Ası mismo se presenta el algoritmo de convergencia cuadratica para calcular buenasaproximaciones de las funciones implıcitas a traves del operador de Newton Multivariado.

10.6.1. El Lema de Hensel. Sea trata de una version univariada del Teorema de laFuncion Implıcita. K. Hensel desarrollo sus ideas a partir del metodo de K. Weierstrass de 1897sobre la aproximacion de series de potencias formales algebraicas. Ası introdujo los numeros p–adicos. Hoy asignamos a Hensel lo que, en buena medida, corresponde a ambos. Su incidencia enfactorizacion de polinomios lo hace esencial. Podrıa darse como consecuencia de los resultadosque expondremos mas adelante (Seccion 10.6.2) pero un cierto regusto clasico y la belleza delresultado hacen atractivo escribirlo aquı separadamente.Hagamos notar que, con las convenientes hipotesis adicionales, el Lema de Hensel puede implicar(y de hecho implica) el Teorema de la Funcion Implıcita multivariado.La version que hemos elegido es basicamente la prueba que aparece en el texto de O. Zariski yP. Samuel (cf. [ZaSa, 60]) el cual, con el paso de los anos gana en valor ante mis ojos. Hay unbonito trabajo de P. Ribenboim18 donde el lector podra encontrar disquisiciones historicas yformulaciones equivalentes del mismo Lema de Hensel. Otras referencias que muestran la rele-vancia del resultado pueden ser el [Bo, 67], [Na, 75] o [?], aunque en estos casos la presentaciones mucho mas exquisita que la expuesta en estas paginas.No es menos interesante la presentacion hecha en [?] o [?], este ultimo para el caso p−adico.

Lema 10.6.1 (Lema Bilineal). Sea (A,m) un anillo local noetheriano y completo para la topologıam−adica. Sean E,E′ y F tres A−modulos finitamente generados. Supongamos que la topologıam−adica en todos ellos es Hausdorff. Sea f : E × E′ −→ F una aplicacion bilineal y sea :

f : E/mE × E′/mE′ −→ F/mF

la aplicacion bilineal obtenida tensorizando con A/m.Sea y ∈ F , α ∈ E y α′ ∈ E′ tales que :

• f(α+ mE,α′ + mE′) = y + mF ∈ FmF .• f(α,E′/mE′) + f(E/mE,α′) = F/mF .

Entonces, existen a ∈ E y a′ ∈ E′ tales que :

i) a+ mE = α+ mE, a′ + mE′ = α′ + mE′.ii) f(a, a′) = y en F .

Este Lema Bilineal se demuestra mediante un algoritmo iterativo de construccion de los ele-mentos a y a′. Se trata de un algoritmo de convergencia lineal que sera mejorado mas adelante.Con este Lema Bilineal, el Lema de Hensel resulta muy sencillo de probar. Para un anillo local(A,m) y un polinomio f ∈ A[X] denotaremos por f el polinomio de A/m[X] dado tomandoclases modulo m de los coeficientes de f .

Lema 10.6.2 (Lema de Hensel). Sea (A,m) un anillo local noetheriano y completo para latopologıa m−adica. Sea f ∈ A[X] un polinomio univariado de grado d cuyo coeficiente directores una unidad en A.Sean α(X), α′(X) ∈ A[X] polinomios de grados respectivos r y d− r tales que :

• f = αα′ en A/m[X],• m.c.d.(α, α′) = 1 en A/m[X].

Entonces, exsiten polinomios a, a′ ∈ A[X] de grados respectivos r y d− r tales que :

• f = aa′ en A[X],• a = α, a′ = α′ en A/m[X].

La formulacion en terminos de la funcion implıcita es la clasica y la obvia; pero es preferiblepasar ahora a la version generalizada del operador de Newton.

18P. Ribenboim. “Equivalent forms of Hensel’s Lemma”. Expo. Math. 3 (1985) 3–24.


10.6.2. El Operador de Newton No–Arquimediano. Consideraremos la siguientesituacion :

• (A,m) es un anillo local noetheriano y completo, m es su unico ideal maximal.• | a |∈ R es la norma (valor absoluto) del elemento a ∈ A para la topologıa definida

por la filtracion m−adica en A.• ν : A −→ N es la valoracion (funcion de orden) asociada a la filtracion m−adica.

Recordemos que existe una constante e ∈ R, e > 1 tal que :

| a |= 1

eν(a)

• f1, . . . , fn ∈ A[X1, . . . , Xn] una sucesion de polinomios.

Escribamos F := (f1, . . . , fn) y, por simplificar la notacion X = (X1, . . . , Xn).Para cada elemento a ∈ A denotemos por a := a + m ∈ A/m la clase que define en el cuerpocociente A/m. Observemos que las unidades de A se caracterizan por la propiedad a 6= 0.Para cada polinomio f ∈ A[X1, . . . , Xn] denotaremos por f el polinomio en A/m[X1, . . . , Xn]obtenido tomando clases modulo m de los coeficientes de f .Con la topologıa producto, An es un espacio metrico completo. Denotaremos por || . || laextension a An de la norma sobre A, usando la norma del maximo.Consideremos la matriz jacobiana (en el modulo de matrices n×n con coeficientes enA[X1, . . . , Xn])asociada a la sucesion F de polinomios :

(10.6.1) D(F )X :=

∂f1

∂X1. . . ∂f1

∂Xn...

. . ....

∂fn∂X1

. . . ∂fn∂Xn

Supongamos que existe un punto a = (a1, . . . , an) ∈ An verificando las siguiente hipotesis (quepermaneceran inalteradas a lo largo de todo lo que sigue) :

• fi(a1, . . . , an) = f i(a1, . . . , an) = 0 en A/m, para 1 ≤ i ≤ n.• El determinante de la matriz jacobiana no se anula en A/m, es decir :

det((D(F ))a

)6= 0 en A/m

En particular, det((D(F ))a

)es una unidad del anillo local noetheriano (A,m). (Insisto en esta

idea porque la matriz D(F )a es por tanto una matriz inversible en Mn(A)).Mas aun, para cualquier ξ := (ξ1, . . . , ξn) ∈ An si

ξj = aj , 1 ≤ j ≤ n, en A/m

la matrix D(F )ξ tambien es inversible como matriz en Mn(A).Pasamos a definir el operador de Newton en n variables :

(10.6.2) NF (X1, . . . , Xn) :=

X1

...Xn

−D(F )−1X

f1(X)...

fn(X)

Lema 10.6.3. Sea ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ An tal que :

• minν(fi(ξ)

): 1 ≤ i ≤ n ≥ N

• ξj = aj en A/m, para 1 ≤ j ≤ n.

y consideremos el punto σ := (σ1, . . . , σn) ∈ An dado porσ1

...σn

= NF (ξ)

Entonces,minν (fi(σ)) : 1 ≤ i ≤ n ≥ 2N

Lema 10.6.4. Sea (A,m) un anillo local noetheriano, F ∈ A[X1, . . . , Xn] un polinomio ho-mogeneo de grado m y sean (h1, . . . , hn) ∈ An tales que hj ∈ mN . Entonces,

F (h1, . . . , hn) ∈ mmN

10.6. TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA. 299

Lema 10.6.5. En las hipotesis anteriores, sea ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ An y supongamos D(F )ξinversible en Mn(A). Sea σ = (σ1, . . . , σn) ∈ An. Entonces,

minν(ξj − σj) : 1 ≤ j ≤ n = minν(fj(ξ)− fj(σ)) : 1 ≤ j ≤ n

Teorema 10.6.6 (Newton). En las hipotesis de esta subseccion, existen (σ1, . . . , σn) ∈ An talesque

fj(σ1, . . . , σn) = 0

Ademas, definiendo recursivamenteσ

(1)1...

σ(1)n

= NF (a1, . . . , an)

y σ

(k)1...

σ(k)n

= NF (σ(k−1)1 , · · · , σ(k−1)

N )

se tiene

| σj − σ(k)j |≤ 1

22k

Los ambitos de aplicacion mas corrientes de este enunciado son los casos del completado de ZpZ,donde p es un numero primo (i.e. los enteros p−adicos) y el Teorema de la Funcion Implıcitapropiamente dicho. Observese que de la existencia de solucion en los respectivos cocientes escondicion suficiente para la existencia de solucion en el anillo y la convergencia cuadratica quedaya garantizada.El mecanismo habitual de manipulacion de las sucesivas iteraciones del operador de Newton,tal y como ha sido introducido en esta Seccion, es a traves de un esquema de evaluacion condivisiones. Utilizando Vermediung von Divisionen (vease Subseccion ??) podremos evitar lasdivisiones en la forma siguiente :Sea R un anillo de polinomios sobre K, sea K su cuerpo de fracciones y sean F := [f1, . . . , fn] ∈R[X1, . . . , Xn]n polinomios de grado a lo mas d. Supongamos que los polinomios f1, . . . , fnvienen dados por un esquema de evaluacion sin divisiones β de talla L y profundidad no escalar`. Supongamos que la matriz jacobiana

D(F ) := D(f1, . . . , fn) :=

(∂fi∂Xj

)1≤i,j≤n

asociada al sistema F es regular. Consideramos el operador de Newton– Hensel definido por:

(10.6.3) NF (X1, . . . , Xn) :=

X1

...Xn

−D(F )−1

f1(X1, . . . , Xn)...

fn(X1, . . . , Xn)

.

Este operador define n funciones racionales de K(X1, . . . , Xn) y lo mismo es valido para elresultado correspondiente a la iteracion k veces del mismo operados, Nk

F ∈ K(X1, . . . , Xn)n.

Por lo tanto, para cualquier numero natural, k ∈ N, existen polinomios g(k)1 , . . . , g

(k)n y h(k) ∈

K[X1, . . . , Xn] tales que

Nkf =

(g

(k)1

h(k), . . . ,

g(k)n

h(k)

)∈ K(X1, . . . , Xn)n.

El lema que sigue muestra la existencia de un esquema de evaluacion que calcula tales polinomiossin utilizar divisiones.


Lema 10.6.7. Consideremos las mismas notaciones e hipotesis que antes. Entonces, existeun esquema de evaluacion en R[X1, . . . , Xn] de talla O(kd2n7L) y profundidad no escalar

O((log2n+`)k) que, utilizando los mismos parametros que β, computa los numeradores g(k)1 , . . . , g

(k)n

y un denominador (distinto de cero) h(k) para NkF .

APENDICE A

Naıve Set Theory(la Nada y la palabra)

Si he perdido la vida, el tiempo,.....,Si he perdido la voz en la maleza,me queda la palabra.....Si he segado las sombras en silencio,me queda la palabra.

Si abrı ....puro y terrible ....Si abrı los labios....,me queda.....

Cuando ya no nos queda Nada,el vacıo de no quedarpodrıa ser al cabo inutil y perfecto.

Dijo Dios: - Brote la Nada.Y alzo la mano derechahasta ocultar la miradaY quedo la Nada hecha.

301

302 A. NAIVE SET THEORY (LA NADA Y LA PALABRA)

Indice

A.1. Algunas Consideraciones Preliminares 302A.2. Conjuntos. Pertenencia. 303A.2.1. Observaciones preliminares. 304A.3. Inclusion de conjuntos. Subconjuntos, operaciones elementales. 304A.3.1. El retıculo P(X). 305A.3.1.1. Propiedades de la Union. 305A.3.1.2. Propiedades de la Interseccion. 305A.3.1.3. Propiedades Distributivas. 305A.3.2. Leyes de Morgan. 305A.3.3. Generalizaciones de Union e Interseccion. 306A.3.3.1. Un numero finito de uniones e intersecciones. 306A.3.3.2. Union e Interseccion de familias cualesquiera de subconjuntos. 306A.3.4. Ejemplo: Conjuntos y Subconjuntos como Grafos No orientados. 306A.3.5. Ejemplo: Marcas de telefonos moviles 307A.3.6. Ejemplo: un grafo infinito elemental. 307A.4. Producto Cartesiano (list). Correspondencias y Relaciones. 307A.4.1. Correspondencias. 308A.4.2. Relaciones. 309A.4.3. Relaciones de Orden= Clausura Transitiva de un grafo acıclico orientado. 309A.4.3.1. La Transitividad 310A.4.3.2. Completando un Grafo hasta la clausura transitiva 311A.4.4. Relaciones de Equivalencia=Clausura Transitiva de Grafos. 312A.4.4.1. Las Relaciones de Equivalencia son las Generadas por Grafos. 312A.4.5. Clasificando y Etiquetando elementos: Conjunto Cociente. 313A.4.5.1. La circunferencia es un grupo cociente 314A.5. Aplicaciones. Cardinales. 314A.5.1. Determinismo/Indeterminismo. 316A.5.2. Imagen, Anti-imagen y otras propiedades. 317A.5.3. Aplicaciones Biyectivas. Cardinales. 319A.6. Ejercicios y Problemas 321

A.1. Algunas Consideraciones Preliminares

Ante la flagrante experiencia de la mala formacion y lamentable desorganizacion de la docenciade los alumnos del Grado de Matematicas (en tercero) de la Universidad de Cantabria, cadaano mas sangrante, me veo obligado a anadir un resumen sobre Teorıa de Conjuntos “Naıve”,en el que se pretende solamente exponer las nociones basicas para poder usarlas con libertaddurante el resto del curso. No hay nada profundo mas alla de rudimentos del lenguaje y algunosejemplos que pretenden enlazar las nociones al con aquellas que se usan en Teorıa de Grafosque, segun parece, es el uncio recurso formal sobre el que puedo apoyarme para el curso deAlgebra Conmutativa. Al menos, ante la flagrante destruccion de un estado de espıritu, mequeda la palabra.A finales del siglo XIX, G. Cantor introduce la Teorıa de Conjuntos. Su proposito inicial esel modesto proposito de fundamentar matematicamente el proceso de “contar”. Eso sı, no setrataba solamente de contar conjuntos finitos sino tambien infinitos, observando, por ejemplo,que hay diversos infinitos posibles (ℵ0, 2

ℵ0 o ℵ1, por ejemplo). Mas alla del proposito inicialde Cantor, la Teorıa de Conjuntos se transformo en un instrumento util para las Matematicas,como un lenguaje formal sobre el que escribir adecuadamente afirmaciones, razonamientos,definiciones, etc...Pronto se observaro la existencia de diversas paradojas que hacıan esencialmente insostenible laTeorıa Naıve de Conjuntos. Estas paradojas y otras imprecisiones hiciron necesaria la aparicionde la Teorıa Axiomatica de Conjuntos, con las formalizaciones de Zermelo, Fænkel, Godel yBernays. El alumno que desee disponer de la axiomatizacion de Zermelo, Frenkel, Godel yBernays, se recomiendan las referencias que aparecen en la pagina:

http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory

http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory

A.2. CONJUNTOS. PERTENENCIA. 303

Lo que aquı se pretende no es una introduccion de la Teorıa Axiomatica de Conjuntos. En primerlugar se necesitarıa bastante mas tiempo del disponible en esta asignatura. En segundo lugar, delo que se trata es solamente de establecr un lenguaje. La comunicacion sin un lenguaje comun esimposible. La comunicaion en matematicas sin el lenguaje de la Teorıa de Conjuntos es inviable.Y sin comunicacion ni hay Formacion, ni hay Aprendizaje. Desgraciadamente, el lenguajecomun es inutil para las matematicas: introduce un exceso de imprecision y ambiguedad quesolo puede generar resultados y enunciados falsos y la falsedad es lo unico que no es admisibleen Matematicas. Una teorıa que no sea, al menos, solida es inviable.Lo que siguen son, por tanto, unas notas basicas para tratar de fijar un lenguaje de comuni-cacion entre alumno de Matematicas y profesor de Matematicas. Despues de una exploracionsomera, uno descubre que los alumnos de Tercer Curso del Grado en Matematicas de la Uni-versidad Cantabria, tienen unos notables agujeros de lenguaje Matematico, muy especialmenteen Algebra. Ası, es imposible generar una comunicacion por lo que se pretende solamente fijar“una forma correcta de hablar”.En todo caso, notese que esta Teorıa Naıve de Conjuntos es la que usa Cantor para fundamentarsu metodo de diagonalizacion y, de paso, la existencia de los numeros reales R tal y como seusan en analisis (unico cuerpo realmente cerrado completo y conexo). Para discernir sobre lacontroversia que estos metodos de diagonalizacion uno puede seguir las referencias de Hodge,Feffermann u otros en la pagina:

http://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’s_theory

Para finalizar dos frases que ilustran la controversia suscitada por la aparicion de la teo’ıaintuitiva de Conjuntos “ a la Cantor”. La primera es de Leopold Kronecker quien afirmo:“Yo no se que predomina en la teorıa de Cantor (Filosofıa o Teologıa), pero estoy seguro deque no hay Matematicas ahı.”La respuesta de Hilbert fue, sin embargo, mucho mas entusiasta, afirmando:“Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben konnen” (Nadiepodra expulsarnos del Paraıso que Cantor creo para nosotros)A partir de aquı cada quien puede elegir entre intuicinismo y constructivismo, al gusto dellenctor. Por simplicidad del curso, nos centarremos en la vision naıve sin mas.

A.2. Conjuntos. Pertenencia.

Comencemos considerando los conjuntos como conglomerados de objetos. Estos objetos pasarana denominarse elementos y diremos que pertenecen a un conjunto. Para los objetos que no estanen un conjunto dado, diremos que no pertenecen al conjunto (o no son elementos suyos).Como regla general (aunque con excepciones, que se indicaran en cada caso), los conjuntos sedenotan con letras mayusculas:

A,B,C, . . . ,X, Y, Z,A1, A2, ....,

mientras que los elementos se suelen denotar con letras minusculas:

a, b, c, d, . . . , x, y, z, a1, a2, ......

El sımbolo que denota pertenencia es ∈ y escribiremos

x ∈ A, ;x 6∈ B,

para indicar “el elemento x pertenece al conjunto A” y “el elemento x no pertenece al conjuntoB”, respectivamente.Hay muchas formas para definir un conjunto. Los sımbolos que denotan conjunto son las dosllaves y y su descripcion es lo que se escriba en medio de las llaves.

• Por extension: La descripcion de todos los elementos, uno tras otro, como, por ejem-plo:

X := 0, 2, 4, 6, 8.

• Por una Propiedad que se satisface: Suele tomar la forma

X := x : P (x),

http://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor's_theory


donde P es una propiedad (una formula) que actua sobre la variable x. Por ejemplo,el conjunto anterior puede describirse mediante:

X := x : [x ∈ N] ∧ [0 ≤ x ≤ 9] ∧ [2 | x],

donde hemos usado una serie de propiedades como [x ∈ N] (es un numero natural),[0 ≤ x ≤ 9] (entre 0 y 9), [2 | s] (y es par). Todas ellas aparecen ligadas medi-ante la conectiva ∧ (conjuncion). Sobre la forma y requisitos de las propiedades nointroduciremos grandes discusiones.

A.2.1. Observaciones preliminares.

• Existe un unico conjunto que no tiene ningun elemento. Es el llamado conjunto vacıoy lo denotaremos por ∅. La propiedad que verifica se expresa (usando cuantificadores)mediante:

¬ (∃x, x ∈ ∅) ,o tambien mediante la formula

∀x, x 6∈ ∅.

• En Informatica y Programacion, todos los lenguajes normales continen una Estruc-tura de Datos asociada a esta nocion de conjunto: es el tipo set y que no hace sinoreflejar la nocion matematica, aunque limitada al contexto numerable propio de losLenguajes Formales.

• En el lenguaje natural se suele utilizar el termino grupo (grupo de personas, grupopolıtico, etc..) de manera impropia. Los grupos son nciones que se discutiran en unsegundo Apendice y que tendran otro significado. Porcuraremos no confundir ambasnociones.

A.3. Inclusion de conjuntos. Subconjuntos, operaciones elementales.

A partir de unas nociones naıve de conjunto y pertenencia, podemos comenzar a hablar devarias nociones relacionedas.

Definicion 127. Se dice que un conjunto X esta incluido (o contenido) en otro conjunto Ysi todos los elementos de X son tambien elementos de Y . Es decir, usando el sımbolo ⊆ paraindicar inclusion

X ⊆ Y := [∀x, x ∈ X =⇒ x ∈ Y ] .

Tambien se dice que X es subconjunto de Y .

Observacion A.3.1. • Notese la identificacion entre la inclusion ⊆ y la implicacion =⇒(o −→, en la forma mas convencional de la Logica).

• Obviamente, a traves de esa identificacion, el conjunto vacıo esta contenido en cualquierconjunto. Es decir,

∅ ⊆ X,para cualquier conjunto X.

• Dos conjuntos se consideran iguales si poseen los mismos elementos. En terminosformales:

(A = B)⇔ ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)) .

Lo que tambien puede escribirse con elementos mediante:

(A = B)⇔ ∀x, ((x ∈ A)⇐⇒ (x ∈ B)) .

• La familia de todos los subconjuntos de un conjunto X dado se denomina la clase departes de X y se suele denotar mediante P(X).

Ejemplo A.3.2. Es facil, por ejemplo, mostrar la siguiente igualdad que describe las partes delconjunto X := 0, 1, 2:

P(0, 1, 2) = ∅, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 1 .

No resulta tan facil probar que la clase P(N) es justamente el intervalo [0, 1] de la recta real R.Lo dejamos para mas tarde (en forma puramente esquematica).

A.3. INCLUSION DE CONJUNTOS. SUBCONJUNTOS, OPERACIONES ELEMENTALES. 305

Las conectivas logicas del calculo proposicional, permiten definir operaciones entre subconjuntosde un conjunto dado.

Definicion 128. Sea dado un conjunto X dado y sean A,B ∈ P(X) dos de sus subconjuntos.Definimos:

• Union:

A ∪B := x ∈ X : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B).• Interseccon:

A ∩B := x ∈ X : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B).

• Complementario:

Ac := x ∈ X : x 6∈ A.

Observese que ∅c = X y que (Ac)c = A para cualquier A ∈ P(X).

Definicion 129. Adicionalmente, podemos reencontrar la diferencia entre conjuntos y la traslaciondel exclusive OR (denotado por XOR en Electronica Digital) o por ⊕ ( en Teorıa de Numeros,hablando de restos enteros modulo 2, i.e. Z/2Z; aunque, en este caso se suele denotar simple-mente mediante +).

• Diferencia:

A \B := x ∈ X : (x ∈ A) ∧ (x 6∈ B).• Diferencia Simetrica:

A∆B := x ∈ X : (x ∈ A)⊕ (x ∈ B).

Proposicion A.3.3. Las relaciones evidentes con estas definiciones se resumen en las sigu-ientes formulas:

A \B := A ∩Bc, A∆B = (A ∪B) \ (A ∩B) = (A \B) ∪ (B \A).

Demostracion. Obvio desde las propiedades basicas del Calculo Propsicional.

A.3.1. El retıculo P(X). Serıa excesivo e innecesario expresar aquı con propiedad lasnociones involucradas, pero dejemos constancia de la propiedades basicas de estas operaciones:

A.3.1.1. Propiedades de la Union. Sean A,B,C subconjuntos de un conjunto X.

• Idempotencia: A ∪A = A, ∀A ∈ P(X).• Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, ∀A,B,C ∈ P(X).• Conmutativa: A ∪B = B ∪A, ∀A,B ∈ P(X).• Existe Elemento Neutro: El conjunto vacıo ∅ es el elemento neutro para la union:

A ∪ ∅ = ∅ ∪A = A, ∀A ∈ P(X).

A.3.1.2. Propiedades de la Interseccion. Sean A,B,C subconjuntos de un conjunto X.

• Idempotencia: A ∩A = A, ∀A ∈ P(X).• Asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∪B) ∪ C, ∀A,B,C ∈ P(X).• Conmutativa: A ∩B = B ∩A, ∀A,B ∈ P(X).• Existe Elemento Neutro: El conjunto total X es el elemento neutro para la inter-

seccion:

A ∩X = X ∩A = A, ∀A ∈ P(X).

A.3.1.3. Propiedades Distributivas. Sean A,B,C subconjuntos de un conjunto X.

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C), ∀A,B,C ∈ P(X).• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C), ∀A,B,C ∈ P(X).• A ∩ (B∆C) = (A ∩B)∆(A ∩ C), ∀A,B,C ∈ P(X).

A.3.2. Leyes de Morgan. Por ser completos con los clasicos, dejemos constancia de lasLeyes de Morgan. Sean A,B subconjuntos de un conjunto X.

(A ∩B)c = (Ac ∪Bc), (A ∪B)c = (Ac ∩Bc).


A.3.3. Generalizaciones de Union e Interseccion. Tras todas estas propiedades, de-jemos las definiciones y generalizaciones de la union e interseccion en el caso de varios (omuchos) subconjuntos de un conjunto dado. Notese la identificacion entre ∪, ∨ y el cuantifi-cador existencial ∃ (y, del mismo modo, la identificacion entre ∩, ∧ y el cuantificador universal∀.

A.3.3.1. Un numero finito de uniones e intersecciones. Dados A1, . . . , An unos subconjun-tos de un conjunto X. Definimos:

n⋃i=1

Ai := A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = x ∈ X : ∃i, 1 ≤ i ≤ n, x ∈ Ai.

n⋂i=1

Ai := A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = x ∈ X : ∀i, 1 ≤ i ≤ n, x ∈ Ai.

A.3.3.2. Union e Interseccion de familias cualesquiera de subconjuntos. Supongamos Ai :i ∈ I es una familia de subconjuntos de un conjunto X. Definimos:⋃

i∈IAi := x ∈ X : ∃i ∈ I, x ∈ Ai.

⋂i∈I

Ai := x ∈ X : ∀i ∈ I, x ∈ Ai.

En ocasiones nos veremos obligados a acudir a uniones e intersecciones de un numero finito ode un numero infinito de conjuntos.

A.3.4. Ejemplo: Conjuntos y Subconjuntos como Grafos No orientados.

Definicion 130. Un grafo no orientado (o simplemente un grafo) es una lista G := (V,E)formada por dos objetos:

• Vertices: son los elementos del conjunto V (que usualmente se toma finito1) aunquepodremos encontrar “grafos” con un conjunto “infinito” de vertices.

• Aristas: Es un conjunto de subconjuntos de V , es decir, E ⊆ P(V ) con la salvedadsiguiente: los elementos A ∈ E (que, recordemos, son subconjuntos de V ) son novacıos y tienen a lo sumo dos elementos distintos2 .

Ejemplo A.3.4. Un sencillo ejemplo serıa:

• Vertices: V := a, b, c, d, e• Aristas:

E := a, b, a, e, c, d ⊆ P(V ).

Al ser no orientado la matriz de adyacencia es simetrica y las componentes conexas son,tambien, subconjuntos de V , aunque de diverso cardinal. Graficamente:

a

b

c

d

e

Notese que podrıamos haber aceptado aristas que van desde un nodo a sı mismo (tipo a oe, por ejemplo) pero que el orden en que son descritos los elementos de una arista no esrelevante: por eso hablamos de grafos no orientados.

1Aceptemos esta disgresion sin haber definido finitud2De nuevo aceptamos el concepto de que sabemos contar hasta 2 cuando hablamos del cardinal de un

conjunto, aunque sea una nocion que no aparecera hasta mas adelante.

A.4. PRODUCTO CARTESIANO (LIST). CORRESPONDENCIAS Y RELACIONES. 307

A.3.5. Ejemplo: Marcas de telefonos moviles. Esencialmente, casi todo cuidadano,salvo los mas rebeldes a la alienaciıon, disponen de un terminal movil que les esclaviza comopocos instrumentos han hecho hasta la fecha en la historia de la Humanidad. Por eso podemoscomenzar con un grafo no orientado descrito mediante:

• Vertices: El conjunto de todos los telefonos moviles de todo tipo existantes en unmomento dado : V .

• Aristas: Dos telefonos moviles a, b ∈ V estan relacionados (es decir a, b ∈ E) sison el mismo tipo de modelo de la misma marca.

Esto genera un grafo no orientado que desompone el conjunto de todos los moviles en unaparticion formada por varios subconjuntos que representan el modelo y marca de cada unode ellos. Este concepto es crucial en publicidad: Nadie comprta exactamente el producto queaparece en un anuncio, sino uno ‘equivalente” a el. Se llama ‘etiqueta”, aunque tambien sepuede llamar ‘representante canonico”.

A.3.6. Ejemplo: un grafo infinito elemental. La tendencia a concebir los grafos nori-entados como grafos finitos es solo un subterfugio. Un ejemplo simple de grafo no orientadoinfinito puede ser el siguiente:

• Vertices: El conjunto de todos los numeros enteros : V = Z.• Aristas: Dos numeros enteross a, b ∈ V estan relacionados (es decir a, b ∈ E) si

son su diferencia define el mismo resto modulo 5.

A.4. Producto Cartesiano (list). Correspondencias y Relaciones.

Si en los grafos no orientados considerabamos aristas descritas de forma a, b y el orden nointerviene (a, b = b, a) ahora nos interesa destacar el papel jugado por el orden, hablamosde pares ordenados (a, b). La defincion de Kuratowsky, por ejemplo, serıa la siguiente:

Definicion 131 (Par ordenado (“a la Kuratowski”)). Sean A y B dos conjuntos y supong-amos que ambos son subconjuntos de un conjunto X. Supongamos que la familia de todos lossubconjuntos de X, P(X), es un conjunto y consideremos la familia P (P (X)) de todos los sub-conjuntos de P(X). Dados dos elementos a, b ∈ X, definimos el par ordenado (a.b) mediantela siguiente identidad:

(a, b) := a, a, b ∈ P (P (X)) .

Definiremos el producto cartesiano de los dos conjuntos A y B mediante la identidad siguiente:

A×B := (a, b) ∈ P (P (X)) : a ∈ A, b ∈ B.

Observacion A.4.1. y se corresponde al tipo de datos list. Ası, por ejemplo, (a, b) = (b, a)si y solamente si a = b. Una manera de representar las listas mediante conjuntos podrıa serescribiendo (a, b) como abreviatura de a, a, b. En Programacion se trata del tipo de datoslist.

Pero podemos considerar listas de mayor longitud: dados A1, . . . , An definimos el productocartesiano

∏ni=1Ai como las listas de longitud n, en las que la coordenada i−esima esta en el

conjunto Ai.n∏i=1

Ai := (x1, . . . , xn) : xi ∈ Ai, 1 ≤ i ≤ n.

En ocasiones, se hacen productos cartesianos de familias no necesariamente finitas Ai : i ∈ I(como las sucesiones, con I = N) y tenemos el conjunto:∏

i∈IAi := (xi : i ∈ I) : xi ∈ Ai, ∀i ∈ I.

En otras ocasiones se hace el producto cartesiano de un conjunto consigo mismo, mediante lassiguientes reglas obvias, definidas recursivamente:

A1 = A, A2 := A×A, An := An−1 ×A =

n∏i=1

A.

Ejemplo A.4.2. Algunos casos extremos de las potencias pueden ser los siguientes:


• Caso n = 0: Para cualquier conjunto A se define A0 como el conjunto formado por ununico elemento, que es el mismo independientemente de A, y se conoce con la palabravacıa y se denota por λ. No se debe confundir A0 := λ con el conjunto vacıo ∅.

• Caso I = N: Se trata de las sucesiones (infinitas numerables) cuyas coordenadasviven en A. Se denota por AN. Los alumnos han visto, en el caso A = R el conjuntode todas las sucesiones de numeros reales (que se denota mediante AN).

• Palabras sobre un Alfabeto El conjunto de las palabras con alfabeto un conjuntoA jugara un papel en este curso, se denota por A∗ y se define mediante

A∗ :=⋃n∈N

An.

Volveremos con la nocion mas adelante

A.4.1. Correspondencias. Es la nocion primaria de la que se seguiran varias otras no-ciones.

Definicion 132 (Correspondencias, Relaciones y Grafos Orientados). Una correspon-dencia entre un conjunto A y otro conjunto B es un subconjunto R del producto cartesianoA × B. Cuando se tenga que ambos conjuntos son el mismo (i.e. A = B), entonces, lascorrespondencias se llaman relaciones o grados orientados.

Ejemplo A.4.3 (Correspondencia = Grafo bipartito). En esencia es un grafo bipartitoque hace interactuar los elementos de A con elementos de B. Los elementos que interactuanentre sı son aquellos indicados por los pares que estan en R. Clasicamente, en Teorıa de Grafos,los grafos bipartitos se suponen entre dos subconjuntos A y B de un conjunto X dado, de talmodo que no contengan ningun elemento en comun. Si quitamos la condicion A ∩ B = ∅,entonces tenemos la nocion estandard de correspondencia. Para mas informacion sobre grafosbipartitos, el lector puede acudir a:

http: // en. wikipedia. org/ wiki/ Bipartite_ graph

En ocasiones se escribiran una notacion funcional de la forma R : A −→ B, aunque poniendogran cuidado porque no siempre son funciones.

Ejemplo A.4.4. Tomando A = B = R, podemos definir la relacion R1 ⊆ R2 mediante:

R1 := (x, y) ∈ R2 : x = y2.Estaremos relacionando los numero reales con sus raıces cuadradas. Observese que los elemen-tos x tales que x < 0 no estan relacionados con ningun numero y (no tienen raız cuadrada real).El 0 se relaciona con un unico numero (su unica raız cuadrada) y los numero reales positivosse relacionan con sus dos raices cuadradas.

Ejemplo A.4.5. Tomando los mismos conjuntos A = B = R, podemos definir la relacionR2 ⊆ R2 distinta de la anterior:

R1 := (x, y) ∈ R2 : x2 = y.En este caso tenemos una funcion (correspondencia que verifica que es aplicacion, ver Seccionsiguiente) que relaciona cualquier x en R con su cuadrado.

Ejemplo A.4.6. Un grafo bipartito podrıa ser, por ejemplo, A := a, b, c, d, B := 1, 2, 3 yuna relacion como R ⊆ A×B:

R := (a, 2), (b, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 1), (d, 3),cuyo grafo serıa:

a

b

c

d

1

2

3

http://en.wikipedia.org/wiki/Bipartite_graph


Observacion A.4.7. En ocasiones abusaremos de la notacion, escribiendo R(x) = y o xRy,para indicar que los elementos x ∈ A e y ∈ B estan en correspondencia a traves de R ⊆ A×B.

A.4.2. Relaciones. Las relaciones son correspondencia R ⊆ A × A, es decir, aquellascorrespondencias donde el conjunto de primeras coordenadas es el mismo que el conjunto delas segundas coordenadas.

Observacion A.4.8 (Una Relacion no es sino un grafo orientado.). Aunque, por habito, se suelepensar en que los grafos orientados son relaciones sobre conjuntos finitos, pero admitiremosgrafos con un conjunto infinito de vertices.

Pongamos algunos ejemplos sencillos:

Ejemplo A.4.9 (Un ejemplo al uso). Consideremos el grafo G := (V,E) donde V es elconjunto de vertices dado por:

V := 1, 2, 3, 4, 5, 6,y E ⊆ V × V es el conjunto de aristas orientadas siguiente:

E := (1, 3), (3, 5), (2, 4), (2, 6).Graficamente tendremos

1

2

3

4

5

6

Ejemplo A.4.10 (La circunferencia unidad). Es un grafo infinito cuyos vertices son los numerosreales V = R y cuyas aristas son dadas mediante:

E := (x, y) ∈ R2 : x− y ∈ Z.No lo dibujaremos (tenemos demasiados vertices y demasiadas aristas) pero las componentesconexas estan identicadas con los puntos de la circunferencia unidad

S1 := (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 = 0.

Algunos tipos de relaciones son mas relevantes que otras por sus consecuencias. Destaquemosdos clases:

A.4.3. Relaciones de Orden= Clausura Transitiva de un grafo acıclico orien-tado. Son aquellas relaciones R ⊆ V × V , que verifican las propiedades siguientes:

• Reflexiva: ∀x ∈ V, (x, x) ∈ R. La relacion descrita en el Ejemplo A.4.9 anterior noverifica esta propiedad. Para verificarla, se necesitarıa que tambien fueran aristas lassiguientes:

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) ⊆ E.

1

2

3

4

5

6

En cambio el ejemplo de la circunferencia verifica la propiedad reflexiva.


• Antisimetrica: Que se expresa mediante:

∀x, y ∈ V, ((x, y) ∈ R) ∧ ((y, x) ∈ R)⇒ (x = y) .

La relacion descrita en el Ejemplo A.4.9 sı verifica la propiedad antisimetrica porqueno se da ningun caso que verifique simultaneamente las dos hipotesis. Incluso sianadimos todas las reflexivas todo funciona bien. En el ejemplo de la circunferencia,sin embargo, no se da la antisimetrica: por ejemplo 1 y 0 verifican que (1, 0) ∈ R,(0, 1) ∈ R y, sin embargo, 1 6= 0.

• Transitiva: Que se expresa mediante:

∀x, y, z ∈ V, ((x, y) ∈ R) ∧ ((y, z) ∈ R)⇒ ((x, z) ∈ R) .

La relacion descrita en el Ejemplo A.4.9 no verifica la transitiva. Tenemos que (1, 3) ∈E y (3, 5) ∈ E, pero (1, 5) 6∈ E. Tendrıamos que anadirla para tener un grafo como:

1

2

3

4

5

6

Este ultimo grafo ya nos dara una relacion de orden. En el ejemplo de la cir-cunferencia, sin embargo, se da la Transitiva, aunque no es relacion de orden por nosatisfacerse la anti–simetrica.

A.4.3.1. La Transitividad. Consideremos un Grafo orientado G := (V,E) donde, en ninguncaso, hemos dicho que V sea finito. Es decir, estamos considerando una raleacion.

Definicion 133 (Alcanzable). Sea G = (V,E) una relacion. Sean v, w ∈ V dos vertices delgrafo. Diremos que w es alcanzable desde v en G si existe una lista finita de vertices de V :

v0, v1, . . . , vm,

satisfaciendo las propiedades siguientes:

i) v0 = v, vm = w,ii) (vi, vi+1) ∈ E, para cada i, 0 ≤ i ≤ n− 1.

En ocasiones se utilizara la nocion de camino entre v y W y se usara la notacion

v = v0 → v1 → · · · → vm = w.

Diremos, ademas, que la longitud de ese camino es m.

Notacion A.4.11. Para denotar alcanzabilidad hay varias opciones en la literatura de Teorıade Grafos. Nosotros usaremos la que proviene de la Logica (donde alcanzable se interpretacomo deducible o computable). Ası, para denotar que w es alcanzable desde v en el grafo Gescribiremos:

v `G w.

Definicion 134 (Clasura Transitiva). Sea G := (V, e) un grafo orientado y sea v ∈ V unvertice. Llamaremos clasura transitiva de v (o compopnente conexa de v) al conjunto de todoslos vertices alcanzables desde v en G. Es decir,

TCG(v) := w ∈ V : v `G w.


A.4.3.2. Completando un Grafo hasta la clausura transitiva. La construccio siguiente pre-tende completar un grafo orientado, mediante la adjuncion de aristas que unen vertices al-canzables. As´i, sea G := (V,E) un grafo orientado. Denotaremos por TC(G) o por G+, algrafo

TC(G) := (V,E+),

donde el conjunto de vertices es el mismo, mientras que el conjunto de aristas es dado mediante:

E+ := (v, w) ∈ V × V : v `G w.

El siguiente enunciado muestra que toda relacion de orden es, simplemente, la clausura transitivade un grafo orientado que satisface las propiedades anti-simetrica y transitiva.

Definicion 135 (Ciclos). Un ciclo en un grafo G es un camino de longitud mayor estrictoque uno que comienza y termina en el mismo vertice. Es decir, un camino

v = v0 → v1 → · · · → vm = v,

con m ≥ 2 y vi 6= v para algın i con 1 ≤ i ≤ m− 1. Un grafo se denomina acıclico si carece deciclos.

Notese que omitimos las auto-referencias (i.e. nodos relacionados consigo mismo) como cilos.

Proposicion A.4.12. Sea X un conjunto y R ⊆ X × X una relacion entre sus elementos.Entonces, son equivalentes:

i) La relacion R es una relacion de orden.ii) Existe un grafo orientado y acıclico G := (X,E) sobre X de tal modo que:

• E satisface la propiedad Reflexiva.• (X,R) = TC(G).

Demostracion. Es evidente que si R es una relacion de orden sobre X, entonces existeun grafo G = (X,R) que satisface las propiedades Reflexiva y Antisimetrica. Pero ademas, porser relacion de orden satisface la Transitiva, es decir,

∀v, w, u ∈ V, [(v, w) ∈ R] ∧ [(w, u) ∈ R] =⇒ [(v, u) ∈ R] .

Ademas, es acıclico por satisfacer la Transitiva. Si hubiera un ciclo, entonces, por verificarse laPropiedad Transitiva, y dado un ciclo de longitud mayor que 1:

v = v0 → v1 → · · · → vm = v.

Entonces, (v, v1) ∈ R y (v1, v) ∈ R, siendo v1 6= v. lo que contradice la propiedad Anti-simetrica. Por lo tanto, la clausura transitiva no anade aristas, es decir TC(G) = G y se tienela implicacion i) =⇒ ii).Para el recıproco, la parte importante del significado de la Proposicion, supongamosG := (X,E)un grafo orientado y acıclico que satisface la propiedad transitiva. Y consideremos su clausuratransitiva TC(G) := (X,E+), donde

E+ := (v, w) ∈ V × V : v `G w.

En primer lugar, si E satisface la propiedad reflexiva, entonces, tambien lo satisface su ClausuraTransitiva. Por construccion, la clausura transitiva satisface la Propiedad Transitiva. Nos quedapor ver la anti-simetrica. Ahora bien, supongamos que existen v, w ∈ X tales que

v `G w,w `G v.

Es decir, que (v, w) ∈ E+ y (w, v) ∈ E+. Entonces, disponemos de dos caminos en el grafooriginal G de (posiblemente distintas) longitudes n y m de la forma siguiente:

v = v0 → v1 → · · · → vm = w,

w = w0 → w1 → · · · → wn = v.

Obviamente, combinando ambos caminos, obtenemos un ciclo en el grafo original:

v = v0 → v1 → · · · → vm = w = w1 → · · · → wn = v.

Y esto contradice la condicion de que el grafo original era acıclico.


Observacion A.4.13. La anterior Proposicion inidca solamente que las Relaciones de Ordenno son otra cosa que las clausuras transitivas de los grafos orientados acıclicos que satisfacen lapropiedad Reflexiva.

A.4.4. Relaciones de Equivalencia=Clausura Transitiva de Grafos. Son aquellasrelaciones R ⊆ V × V , que verifican las propiedades siguientes:

• Reflexiva: (como en el caso anterior) ∀x ∈ V, (x, x) ∈ R. En el Ejemplo A.4.9debemos completar nuestra lista de aristas, mientras que el ejemplo de la circunferenciaya la verifica.

• Simetrica: ∀x ∈ V, (x, y) ∈ R ⇔ (y, x) ∈ R. En el caso de la circunferencia ya sesatisface. Mientras que en el caso del Ejemplo A.4.9 debems completar nuestra lista,anadiendo las aristas:

(3, 1), (5, 3), (4, 2), (6, 2),

para que se satisfaga. Esto nos da un grafo como:

1

2

3

4

5

6

• Transitiva: Que se expresa como ya se ha indicado. Es claro que el caso de la circun-ferencia tenemos una relacion de equivalencia y en el caso del Ejemplo A.4.9 habraque completar con todos los casos. Esto nos dara una figura como la siguiente:

1

2

3

4

5

6

Este ultimo grafo ya nos dara una relacion de equivalencia.

La Propiedad Simetrica hace que sea innecesaria la introduccion de orientacion.

Proposicion A.4.14 (Grafo= Grafo Orientado + Prop. Simetrica). Un grafo G :=(V,E) (no orientado, en el sentido de la Definicion 130) es simplement un grafo orientado (enel sentido de la Definicion 132) que satisface la Propiedad Simetrica.

A.4.4.1. Las Relaciones de Equivalencia son las Generadas por Grafos. Del mismo modoque en el caso de las Relaciones de Orden, las Relaciones de Equivalencia son justamentelas clausuras transitivas de los grafos (no necesariamente orientados). Es decir, tenemos elsiguiente enunciado que reproduce en el caso de Relaciones de Equivalencia lo demostrado enla Proposicion A.4.12.

Proposicion A.4.15. Sea X un conjunto y R ⊆ X × X una relacion entre sus elementos.Entonces, son equivalentes:

i) La relacion R es una relacion de equivalencia.ii) Existe un grafo (no necesiaramente orientado) G := (X,E) sobre X de tal modo que:

• E satisface la propiedad Reflexiva.


• (X,R) = TC(G).

Demostracion. No neceita prueba. Es sencillamente el mismo tipo de argumento usadoen la Proposicion A.4.12 anterior.

En otras palabras, las relaciones de equivalencia son simplemente las clausuras transitivas delos grafos que satisfacen una propiedad reflexiva.

A.4.5. Clasificando y Etiquetando elementos: Conjunto Cociente. Mientras lasrelaciones de orden pretenden establecer una preferencia de unos elementos sobre otros, den-tro de un cierto conjunto, las relaciones de equivalencia pretenden clasificar los elementos delmismo conjunto para, posteriormente etiquetarlos. Se llamara conjunto cociente al conjunto deetiquetas finales.El termino etiqueta no es tan espureo dado que las etiquetas son lo que definen, de manerabastante desafortunada en ocasiones, cosas tan dispares como la sociedad de consumo o laclaisificacion e Linneo de los seres vivos, por ejemplo.Ası, tomemos un conjunto X y una relacion de equivalencia ∼⊆ X ×X definida sovre el. Paraun elementos x ∈ X, consideraremos su clase de equivalencia como el conjunto formado portodos los elementos de X equivalentes a x, es decir,

[x] := y ∈ X : x ∼ y.Las clases son sunconjuntos de X y se verifican las siguientes tres propiedades que indican quese trata de una particion de X:

• X =⋃x∈X [x],

• [[x] ∩ [y] = ∅] ∨ [[x] = [y]] .• [x] 6= ∅.

Ası, retomando los ejemplos, podemos clasificar un colectivo X de personas (los habitantes deuna ciudad, por ejemplo) mediante la relacion de equivalencia “x ∼ y si y solamente si [x tieneel mismo modelo de coche que y]”. Se trata claramente de una relacion de equivalencia sobreX. La relacion no es fina como clasificador puesto que hay individuos que poseen mas de uncoche y, por tanto, mas de un modelo, con lo que podrıamos tener que un “Dacia” y un BMWestan relacionados. Admitamos que la relacion se refina mediante “x ∼ y si y solamente si [xe y poseen un mismo modelo de coche y ambos le prefieren entre los de su propiedad]”.Ciertamente cada clase de euivalencia recorre todos los individuos de la una ciudad que poseenel mismo modelo de coche. Ası, podrıamos tener la clase [Luis], formada por todas las personasque no tienen coche o [Juan] formada por todas las personas que tienen un Dacia Logan del96. De hecho, la etiqueta del coche define la clase. Podrıamos usar el sımbolo ∅ para describirla clase de quienes poseen ningun coche y el sımbolo TT para quienes posean un Audi TT.Recıprocamente, en la sociedad de consumo, la publicidad no nos vende el coche que sale enun anuncio sino todos los coches equivalentes a el, es decir, todos los que tienen las mismascaracteısticas de los que fabrica esa empresa...Es lo que se llama “Marca” o “etiqueta” y es loque los ciudadanos de las sociedades llamadas avanzadas compran.En la clasificacion de Linneo tambien tenemos una relacion de equivalencia, esta vez entretodos los seres vivos. Dos seres vivos serıan equivalentes si pertenecen al mismo Reino, Orden,Familia, Genero, Especie....Luego se imponen las etiquetas. Ası, la rana muscosa es la etiquetaque define la clase de equivalencia de todas las ranas de montana de patas amarillas y nodistingue entre ellas como individuos: una de tales ranas pertenece a la clase (etiqueta) peroella no es toda la clase. En tiempos mas recientes, el afan clasificatorio de Linneo se reconvierteen el afan clasificatorio de los genetistas: dos seres vivos son equivalentes si poseen el mismosistema cromososico (mapa genetico), quedando el codigo genetico como etiqueta individual.Con ejemplos matematicos, es obvio que en un grafo no orientado, las clases de equivalencia sonlas clausuras transitivas (o componentes conexas) de cada elemento. En el caso de los numeroracionales, por ejemplo, la clase de equivalencia de 2/3 esta formada por todos los pares denumeros enteros a/b, con b 6= 0, tales que 2b = 3a.Una vez queda claro que disponemos de clases de equivalencia, podemos considerarlas como ele-mentos. Nace ası el conjunto cociente que es el conjunto formado por las clases de equivalencia,es decir,

X/ ∼:= [x] : x ∈ X.


En los ejemplos anteriores, el conjunto cociente es el conjunto de las etiquetas de coches, elconjunto de los nombres propuestos por Linneo para todas las especies de animales, etc. Noteseque el conjunto cociente es algo que, en muchas ocasiones, se puede escribir (por eso el terminoetiqueta) aunque hay casos en los que los conjuntos cocientes no son “etiquetables” en el sentidode formar un lenguaje. El ejemplo mas inmediato es el caso de los numeros reales R que sonlas etiquetas de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy, pero que no son expresabelssobre un alfabeto finito.

A.4.5.1. La circunferencia es un grupo cociente. Consideremos el conjunto R de los numerosreales y una relacion (un grafo) ∼⊆ R2 dada mediante:

(A.4.1) x ∼ y ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x− y = k.

El conjunto cociente R/ ∼ es, precisamente, la circunferencia uniad. Esto es,

R/ ∼= (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 = 0.Para demostrar esta igualdad, usaremos el Primer Teorema de Isomorfıa para Grupos (verTeorema 11). De hecho, podemos resumir el resutado del modo siguiente:

Proposicion A.4.16. Sea R el conjunto de los numeros reales con la operacion suma + :R× R −→ R. Y sea S1R2 la circunferencia unidad y consideremos la operacion producto:

· : S1 × S1 −→ S1,

donde · representa el producto de numeros complejos mediante la indetificacion R2 ∼= C. Setiene:

i) El par (R,+) es un grupo abeliano.ii) El par (S1, ·) es un grupo abeliano.iii) La siguiente aplicacion es un epimorfismo de grupos:

exp : R −→ S1

t 7−→ eit.

iv) El nucleo de exp es el conjunto Z de los numeros enteros, visto como subgrupo de(R,+).

v) Por el Primer Teorema de Isomorfıa es siguiente es un isomorfismo de grupos:

(R/Z,+) ∼= (S1, ·).vi) El conjunto cociente R/ ∼ de la relacion descrita en la expresion (A.4.1) anterior

Demostracion. La demostracion es evidente tan pronto como recordemos el significadode la expresion eit. Esencialmente es una notacion debida a Euler y que aparece de maneranatural al usar las coordenadas polares de un numero complejo. Ası, para cada numero realt ∈ R se define:

eit := cos(t) + i sin(t) ∈ C.Por supuesto, la notacion en coordenadas polares de un punto (x, y) ∈ R2 = C pasa a ser

reit,

donde r ≥ 0 es el modulo. Las formulas de Euler para cos(kt) o sin(kt) no son sino el resultadode hallar las partes reales e imaginarias de la potencia de eit. Es decir,

eikt =(eit)k

= cos(kt) + isin(kt),

apara ualquier k ∈ Z y cada t ∈ R. El resto es mera mecanica.

A.5. Aplicaciones. Cardinales.

Las aplicaciones son un tipo particular de correspondencias.

Definicion 136 (Aplicaciones). Una aplicacion entre dos conjuntos A y B es una correspon-dencia R ⊆ A×B que verifica las propiedades siguientes:

• Todo elemento de A esta realcionado con algun elemento de B:

∀x ∈ A, ∃y ∈ B, (x, y) ∈ R.

A.5. APLICACIONES. CARDINALES. 315

• No hay mas de un elemento de B que pueda estar relacionado con algun elemento deA:

∀x ∈ A,∀y, y′ ∈ B, ((x, y) ∈ R) ∧ ((x, y′) ∈ R)⇐= y = y′.

En ocasiones se resume con la expresion:

∀x ∈ A,∃ | y ∈ B, (x, y) ∈ R,donde el cuantificador existencial modificado ∃ | significa “existe uno y solo uno”, es decir, paraun sunconjunto S ⊆ A se tiene

[∃ | z ∈ A, z ∈ S] := [∃z ∈ A, z ∈ S] ∧ [∀z1,∀z2 ∈ A, [z1 ∈ S] ∧ [z2 ∈ S] =⇒ [z1 = z2]] .

Al conjunto A de una aplicacion f : A −→ B se le denomina dominio, mientras que al conjuntoB se le denomina rango de la aplicacion.

Notacion A.5.1. Notacionalmente se expresa R : A −→ B, en lugar de R ⊆ A×B y, de hecho,se suelen usar letras minusculas del tipo f : A −→ B para indicar la aplicacion f de A en B.Al unico elemento de B relacionado con un x ∈ A se le representa f(x) (es decir, escribimosx 7−→ f(x) en lugar de (x, f(x)) ∈ f). En ocasiones usaremos la notacion:

f : A −→ Bx 7−→ f(x).

Por simplicidad, mantendremos la notacion (inadecuada, pero unificadora) f : A −→ B tambienpara las correspondencias, indicando en cada caso si hacemos referencia a una aplicacion o auna correspondencia, y reservaremos la notacion R ⊆ A×A para las relaciones.

Observacion A.5.2 (Bien Definida (?)). En ocasiones, los matematicos mas clasicos usan laexpresion “bien definida”. Con ello quieren decir que estamos “definiendo” una correspondenciaR ⊆ A×B y que, de hecho, es aplicacon. Es decir, cuando, en una demostracion, se nos dice queestamos probando la “buena definicion” de R, estamos diciendo que se verifican las siguientespropiedades:

• Probamos que efectivamente R ⊆ A × B, es decir que es una correspondencia querelaciona elementos del conjunto A con elementos del conjunto B y no otra cosa.

• Probamos que efectivamente, esa correspondecnia es aplicacion.

Ejemplo A.5.3 (Aplicacion (o funcion) caracterıstica de un subconjunto). Sea X un conjuntoL ⊆ X un subconjunto. De modo natural tenemos definda una aplicacion que toma comoentradas los elementos de X y depende fuertemente de L: el la funcion caracterıstica

χL : X −→ 0, 1y que viene definida para cada x ∈ X mediante:

χL(x) :=

1, si x ∈ L0, en otro caso-

Se usa la expresion funcion cuando se trata de aplicaciones f : Rn −→ R, expresion que vienede la tradicion del Analisis Matematico.

Definicion 137 (Composicion). Dados tres conjuntos A, B y C y dos aplicaciones f : A −→ B,g : B −→ C, podemos definir una aplicacion (llamada composicion de f y g) que denotaremosg f : A −→ C y viene definida por la regla:

x 7−→ g(f(x)), ∀x ∈ A,es decir, “primero aplicamos f sobre x y luego aplicamos g a f(x)”.

Proposicion A.5.4. La composicion de aplicaciones verifica las propiedades siguientes:

i) Para cada conjunto A existe una aplicacion especial, llamada identidad sobre A ydenotada por IdA, dada mediante:

IdA : A −→ Ax 7−→ x.

Para cualesquiera conjuntos B y C y cualesquiera correspondencia f : A −→ B yg : C −→ A, la aplicacion identidad verifica verifica

f IdA = f, IdA g = g.


ii) La composicion de aplicaciones verifica la asociativa. Es decies, dadas f : A −→ B,g : B −→ C y h : C −→ D, se verifica:

h (g f) = (h g) f.

Demostracion. Mera comprobacion.

Observacion A.5.5. En primer lugar, debe senalarse que la composicion de aplicaciones re-quiere que el dominio de la segunda aplicacion coincide con el rango de la primera. En otrocaso, no hay aplicacion.De otro lado, la asociatividad en la composicion de aplicaciones nos permite ‘omitir” losparentesis, lo que permie escrivir, para una sucesion de aplicaciones “componibles”.En ocasiones usaremos diagramas que son grafos orientados cuyos vertices y aristas estan eti-quetados y que representan la siguiente informacion:

• Los nodos o vertices estan etiquetas por conjuntos (en casos mas restrictivos seranobjetos de una categorıa comogrupos, anillos, modulos, estapcios topologicos, algebrasde Banach, etc.)

• Las etiquetas de las aristas son aplicaciones entre esos conjuntos (en casos mas re-strictivos son morfismos de la categorıa, como homomorfismos, aplicaciones continuas,etc..):

• Diremos que un diagrama es conmutativo si para cualesquiera ciclo (camino en elgrafo subyacente) que comienzan y terminan en el mismo vertice, la composicion delas aplicaciones que aparecen en las aristas de ese camino definen la misma aplicacion.

Esto se representa mediante grafos como el siguiente, que representa la descomposicion canonicade un endomorfismo de espacios vectoriales f : V −→ V mediante el Primer Teorema deIsomorfıa (hemos destacado en azul los conjuntos y en negor las etiquetas que indican lasapliaciones:

V V

V/ ker(f) Im(f)

f

π

f

i

Y el sımbolo indica la conmutatividad del diagrama. En este caso, como solo hay dos caminosque empiezan y terminan en los mismos espacios, la conmutatividad significa simplemente:

f := i f π.

Observacion A.5.6 (Potencia de aplicacion). Para una aplicacion (o correspondencia) f :A −→ A podemos definir la potencia mediante:

f0 := IdA, (la identidad),f1 := f,fn := fn−1 f, ∀n ≥ 2.

Un ejemplo que los alumnos pueden recordar es la potencia de matriz. Al cabo, las matrices noson sino representaciones de aplicaciones lineales (endomorfismos) y sus potencias no son sinolas representaciones de las potencias de esa aplicacion lineal. Una de las cosas simplificadorascon las matrices en dimension finita es que las potencias, a partir de la dimension del espaciovectorial de turno, estan relacionadas con las anteriores mediante la combinacion lineal quedetermina el polinomio mınimo del endomorfismo. Revisaremos esta nocion dentro del curso.

A.5.1. Determinismo/Indeterminismo. A partir de una aplicacion (o corresponden-cia) f : A −→ A, podemos definir una estructura de grafo orientado “natural”, definiendo losvertices como los elementos de A y las aristas mediante

V := (x, f(x)) : x ∈ A.En algunos casos, los alumnos habran llamdo a este conjunto de vertices “el grafo de la funcionf”.


Dentro de ese grafo orientado, podemos considerar la parte de la “componente conexa” de xque son descendientes de x. Este conjunto vendra dado por las iteraciones de f , es decir:

, x, f(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . ..

En terminos mas tecnicos, el anterior conjunto es la orbita de x por la accion de f (aunqueusualmente se supone una orbita bidireccional que requiere que f sea biyectiva).La diferencia entre el hecho de ser f aplicacion o correspondencia se traduce en terminos de“determinismo” o “indeterminismo”:

• En el caso de ser aplicacion, el conjunto de sucesores es un conjunto, posiblemente,infinito, en forma de camino (un arbol sin ramificaciones):

x −→ f(x) −→ f2(x) −→ f3(x) −→ · · · .

Se dice que (A, f) tiene una dinamica determinista.• En el caso de ser correspondencia, el conjunto de los sucesores de x toma la forma

de arbol (con posibles ramificaciones): algunos valores no tendran descendientes yotros tendran mas de un descendiente directo. Se dice que (A, f) tiene una dinamicaindeterminista.

Ejemplo A.5.7. Tomemos A := Z/5Z := 0, 1, 2, 3, 4, las clases de restos modulo 5 y consid-eremos f := A −→ A, dada mediante:

x 7−→ f(x) = x2,∀x ∈ A.

Es una aplicacion, por lo que los descendientes de cada valor x ∈ A forman un camino (un arbolsin ramificaciones). Por ejemplo, 0 es el conjunto de todos los descendientes de 0, mientrasque, si empezamos con 3 tendremos:

3 7−→ f(3) = 4 7−→ f2(3) = 1 7−→ f3(3) = 1 7−→ 1 7−→ · · · ,

COmo f es aplicacion tendremos, para cada x ∈ A una dinamica determinista.

Ejemplo A.5.8. Un ejemplo de indeterminismo serıa A = R y la correspondencia:

R := (x, y) : x = y2.

En este caso, si x < 0 no hay descendientes, si x = 0 hay solamente un deecendiente, y si x > 0tenemos una infinidad de descendientes en forma de arbol no equilibrado. Por ejemplo,

2

−√

2

√2

4√

2

− 4√

2

· · ·

· · ·

Los vertices −√

2,− 4√

2, . . . no tendran descendientes, mientras los positivos tienen un par dedescendientes directos.Debe senalarse que este ejemplo muestra un indeterminismo fuertemente regular (sabemos laregla) pero, en general, el indeterminismo podrıa presentar una dinamica muy impredecible.

A.5.2. Imagen, Anti-imagen y otras propiedades. Las nociones son validas tantopara aplicaciones como para correspondencias, ası que las introducimos igualmente para poderusarlas con naturalidad.

Definicion 138. Sea f : A −→ B una correspondecia y sean S ⊆ A y T ⊆ B subconjuntosrespectivamente de A y B. Definiremos:


i) La imagen de S por f :

f(S) := y ∈ B : ∃x ∈ S, f(x) = y ∈ P(B).

ii) La anti-imagen de T por f :

f−1(T ) := x ∈ A : f(x) ∈ T ∈ P(A).

Algunas propiedades en la interaccion con las operaciones de los respectivo retıculos son lassiguientes:

Proposicion A.5.9. Con las anteriores notaciones, sea Ai : i ∈ I ⊆ P(A) una familia desubconjuntos de A y Bj : j ∈ J ⊆ P(B) una familia de subconjuntos de B y f : A −→ Buna correspondencia. Sean A1, A2 ∈ P(A) y B1, B2 ∈ P(B). Se verifica:

i) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2), f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2) y la igualdad no siemprese da.

ii) f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2) y f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2).iii) f(A1) ⊆ B1 ⇐⇒ A1 ⊆ f−1(B1).iv) f(f−1(B1)) ⊆ B y la igualdad no siempre se da.v) f−1(f(A1)) ⊇ A y la igualdad no siempre se da.vi) A1 ⊆ A2 =⇒ f(A1) ⊆ f(A2).

vii) B1 ⊆ B2 =⇒ f−1(B1) ⊆ f−1(B2)

viii) f−1(Bc1) =(f−1(B)

)c.

Usando las familias, tenemos las siguientes propiedades:

f

(⋃i∈I

Ai

)=⋃i∈I

f(Ai),

f

(⋂i∈I

Ai

)⊆⋂i∈I

f(Ai),

y no siempre es una igualdad. Ademas, se tiene:

f−1

⋃j∈J

Bj

=⋃j∈J

f−1(Bj),

f−1

⋂j∈J

Bj

=⋂j∈J

f−1(Bj).

Demostracion. Lo dejamos como Ejercicio para los alumnos.

Dada una correspondecia f : A −→ B, podemos definir dos correspondencias entre los respec-tivos retıulos P(A) y P(B):

f∗ : P(A) −→ P(B)S 7−→ f(S),

f∗ : P(B) −→ P(A)T 7−→ f−1(T ).

Proposicion A.5.10. Con las anteriores notaciones, si f : A −→ B es correspondencia, tantof∗ como f∗ son aplicaciones.

Observacion A.5.11 (Las correspondencias son ciertas aplicaciones entre subcon-juntos). En particular, las correspondencias pueden interpretarse como aplicaciones del modosiguiente:Una correspondencia entre los conjuntos A y B es una aplicacion ϕ : P(A) −→ P(B) queverifica:

ϕ(A ∪B) = ϕ(a) ∪ ϕ(B), ϕ(∅) = ∅.Una aplicacion es una correspondencia del tipo anterior ϕ : P(A) −→ P(B), en la que losatomos de A tienen imagen no vacıa y la imagen de cada atomo es tambien un atomo. Es decir,


• La imagen de todo atomo es no vacıa, es decir:

∀a ∈ A, ϕ(a) 6= ∅.• La imagen de todo atomo es atomo:

∀a ∈ A, ∃b ∈ B,ϕ(a) = b.

A.5.3. Aplicaciones Biyectivas. Cardinales. Solo un pequeno resumen del procesode contar el numero de elementos de un conjunto, nocion que preocupaba originalmente a G.Cantor.

Definicion 139 (Aplicaciones inyectivas, suprayectivas, biyectivas). Sea f : A −→ Buna aplicacion.

• Decimos que f es inyectiva si verifica:

∀x, x′ ∈ A, (f(x) = f(x′)) =⇒ x = x′.

• Decimos que f es suprayectiva si verifica:

∀y ∈ B, ∃x ∈ A, f(x) = y.

• Decimos que f es biyectiva si es, a la vez, inyectiva y suprayectiva.

Abusando del Axioma de Eleccion3, observese que una aplicacion f : A −→ B es biyectiva siy solamente si disponemos de una aplicacion (llamada inversa de f) que se suele denotar porf−1 : B −→ A y que satisface:

f f−1 = IdB , f−1 f = IdA,

donde es la composicion y IdA e IdB son las respectivas aplicacion identidad en A y en B.En general, las aplicaciones no tienen inversa, es decir, no podemos suponer siempre que seanbiyectivas. Sin embargo, la notacion f−1(T ) usanda anteriormente tiene sentido para cualquieraplicacion sea biyectiva o no. Viene esto a cuento del error habitual en Tercero de Matematicasde la UC, en promociones anteriores al menos, que confunde ambas cosas.El proceso de contar no es sino la fundamentacion del proceso “infantil” de contar medianteidentificacion de los dedos de las manos con los objetos a contar. Este proceso es una biyeccion.

Definicion 140 (Cardinal). Se dice que dos conjuntos A y B tienen el mismo cardinal (onumero de elementos) si existe una biyeccion f : A −→ B. Tambien se dice que son biyectables.

• Un conjunto A se dice finito si existe un numero natural n ∈ N y una biyeccion

f : A −→ 1, 2, 3, . . . , n.Por abuso de lenguaje se identifican todos los conjuntos del mismo cardinal y escribire-mos, en el caso finito, ](A) = n, cuando A sea biyectable a 1, 2, . . . , n.

• Un conjunto A se dice (infinito) numerable si hay una biyeccion f : A −→ N• Un conjunto se dice contable si es finito o numerable.

Proposicion A.5.12. Si dos conjuntos A e B son biyectables, tambien son biyectables P(A) yP(B). De hecho, con las notaciones anteriores, tanto f∗ como f∗ son biyecciones.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

Proposicion A.5.13. Algunas propiedades basicas de los cardinales son las siguientes:

i) Los conjuntos N,Z,Q son conjuntos numerables, mientras que R o C son conjuntosinfinitos (no son finitos) y son no numerables (no son biyectables con N).

ii) Los subconjuntos de un conjunto finito son tambien finitos. Entre los subconjuntosA,B de un conjunto finito se tiene la propiedad

](A ∪B) + ](A ∩B) = ](A) + ](B).

iii) Los subconjuntos de un conjunto contable son tambien contables.iv) Si A y B son finitos tendremos:

] (A×B) = ](A)](B).

3Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice.

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice


v) Si A es un conjunto finito, el cardinal de P(A) (el numero de todos sus subconjuntos)es dado por

] (P(A)) = 2](A).

vi) Si A es un conjunto finito, el numero ](A) de aplicaciones f : A −→ 0, 1 verifica:

](A) = ] (P(A)) = 2](A).

vii) Si A es un conjunto finito,

](An) = (](A))n.

Por ejemplo, si K es un cuerpo finito de la forma K := Z/pZ, donde p ∈ N es unnumero primo, el cardinal

](Kn) = ](K)n,

por lo que se tiene que para cada espacio vectorial V de dimension finita sobre uncuerpo K finito se tiene:

dimV = log](K) ](V ).

viii) Si A es un conjunto finito ](A) = n, el numero de permutaciones (es decir, biyeccionesde A en sı mismo) es n!. Ademas, el numero de subconjuntos de cardinal k de A esdado por el numero combinatorio:(

n

k

):=

n!

k!(n− k)!.

De ahı que se tenga:

2n :=

n∑k=0

(n

k

).

Demostracion. Se deja como Ejercicio para los alumnos.

Algunas propiedades elementales de los cardinables contables se resumen en:

Proposicion A.5.14. Productos finitos de conjuntos contables es un conjunto contable. Esdecir, dados A1, . . . , An una familia finita de conjuntos contables, entonces el producto carte-siano

∏ni=1Ai es tambien contable.

La union numerable de conjuntos contables es contable, es decir, dados An : n ∈ N unafamilia numerable de conjuntos, de tal modo queo cada An es contable, entonces, tambies escontable el conjunto:

A :=⋃n∈N

An.

Si A es un conjunto contable (finito o numerable), el conjunto de palabras A∗ tambien escontable.

Ejemplo A.5.15 (Los subconjuntos de N). Por lo anterior, los subconjuntos de N son siempreconjuntos contables (finitos o numerables) pero la cantidad de subconjuntos de N es infinita nonumerable (es decir, el cardinal de P(N) es infinito no numerable). Para comprobarlo, vamosa mostrar una biyeccion entre P(N) y el intervalo [0, 1] ⊆ R de numeros reales. Notese queel cardinal del intervalo [0, 1] es igual al cardinal de los numeros reales. Usaremos la funcioncaracterıstica asociada a cada subconjunto L ⊆ N. Ası, dado L ∈ P(N), definiremos el numeroreal:

L 7−→ xL :=

∞∑i=1

χL(i)

2i∈ [0, 1].

Notese que el numero real asociado al conjunto vacıo ∅ es el numero real x∅ = 0, mientras queel numero real xN ∈ [0, 1] es precisamente xN = 1 ∈ [0, 1].Recıprocamente, dado cualquier numero real x ∈ [0, 1], este posee una unica expansion “decimal”en base dos (para ser mas correcto, digamos, una unica expansion binaria):

x :=

∞∑i=1

xi2i.

A.6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 321

Definamos el sunconjunto Lx ⊆ N mediante:

Lx := i ∈ N : xi = 1.Ambas aplicaciones (x 7−→ Lx y L 7−→ xL) son una inversa de la otra y definen biyeccionesentre [0, 1] y P(N) y recıprocamente).Dejamos al lector el esfuerzo de verificar que hay tantos numero reales (en todo R) como numeroreales en el intervalo [0, 1].

A.6. Ejercicios y Problemas

Problema 183. Completa el verso con el que se inicia el Apendice, busca al autor y trata deinterpretar el significado del poema.

Problema 184. Busca en internet cualquier informacion adicional sobre Teorıa de ConjuntosAxiomatica o Naıve. Reflexiona sobre la lectura (con o sin demostraciones) y trata de plasmarpor escrito tus conclusiones.

Problema 185. Probar las afirmaciones que se listan el la Proposicion A.5.9. En los casosen los que un cierto contenido se da pero no la igualdad mostrar ejemplos que justifiquen laafirmacion.

Problema 186. Probar la Proposicion A.5.12.

Problema 187. Demuestra las propiedades de la Proposicion A.5.13.

Bibliografıa

[Ar, 06] E. Arrondo, Another elementary proof of the Nullstellensatz. Amer. Math. Monthly 113 (2006), 169171.

[AtMc, 69] M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley Publishing

Co., 1969. [Edicion en espanol por Ed. Reverte, 1980].[BaSh, 96] E. Bach, J. Shallit, “Algorithmic Number Theory. Vol 1 : Efficient Algorithms”, MIT Press, 1996.

[Be, 70] E.R. Berlekamp, Factoring Polynomials over Large Finite Fields. Mathematics of Computation 24,(1970), 713–735.

[BCSS, 98] L. Blum, F. Cucker, M. Shub, and S. Smale, Complexity and real computation, Springer-Verlag,

New York, 1998.

[Bo, 67] N. Bourbaki, “Algebre Commutative, Elements de mathematique, Fascicule XXVIII, chapitres 1–7”,

Hermann 1961–.

[Br, 87] W. D. Brownawell, Bounds for the degree in the Nullstellensatz. Annals of Math. 126 (1987), 577591.[CGH, 88] L. Caniglia, A. Galligo and J. Heintz, Borne simplement exponentielle pour les degres dans

le theoreme des zeros sur un corps de caracteristique quelconque, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Serie I(1988), 255258.

[CaEi, 56] H. Cartan, S. Eilenberg, “Homological algebra. With an appendix by David A. Buchsbaum”.

Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999 [Reedicion deloriginal editado en Princeton en 1956].

[CHMP, 01] D. Castro, K. Hagele, J.E.Morais, L. M. Pardo, Kronecker’s and Newton’s approaches to

Solving : A first Comparison. J. of Complexity 17 (2001), 212–203.[CoLiOS, 97] D. Cox, J. Little, D. O’Shea, “Ideals, Varieties, and Algorithms”, Springer, 1997 (1a. edicion,

1992).

[CoLiOS, 98] D. Cox, J. Little, D. O’Shea, “Using algebraic geometry”. Graduate Texts in Mathematics 185,Springer, 1998.

[EiMc, 45] S. Eilenberg, S. Mac Lane, General Theory of Natural Equivalence. Trans. of the Amer. Math.

Soc. 58 (1945), 231–294.[Ei, 95] D. Eisenbud, “Commutative algebra: with a view toward algebraic geometry”, Springer Verlag, 1995.

[GiJe, 76] L. Gillman and M. Jerison,“Rings of Continuous Functions”. Springer-Verlag, New York, 1976.[HMPS, 00] K. Hagele, J.E. Morais, M. Sombra, L. M. Pardo,The intrinsic complexity of the Arithmetic

Nullstellensatz. J. of Pure and App. Algebra vol. 146, (2000), 103183.

[HaWr, 38] G. H. Hardy, E. M. Wright, “An Introduction to the Theory of Numbers”. Oxford at the Claren-don Press, 1938.

[He, 26] G. Hermann, Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. Math. Ann.

95 (1926), 736788.[HiSt, 97] P. Hilton, U. Stammbach, “A course in homological algebra. Second edition”. Graduate Texts in

Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997.

[Jo, 67] M.A. Jodeit, Uniqueness in the Disision Algorithm. Amer. Math. Monthly 74 (1967), 835-836.[Ka, 70] I. Kaplansky, “Commutative Rings”, Allyn and Bacon, 1970.

[Kn, 81] D.E. Knuth,“The Art of Computer Programming, vol. 2 Seminumerical Algorithms” Addison–Wesley,

1981.[Kl, 88] J. Kollar, Sharp Effective Nullstllensatz. J. of A.M.S. 1 (1988), 963975.

[Ko, 92] D.C. Kozen,“The Design and Analysis of Algorithms”. Texts and Monographs in Computer Science,Springer Verlag, 1992.

[KrPa, 96] T. Krick, L.M. Pardo, A Computational Method for Diophantine Approximation. In Algorithms inAlgebraic Geometry and Applications, Proc. MEGA’94, Progress in Mathematics 143, Birkhauser Verlag,1996, 193–254.

[KPS, 01] T. Krick, L.M. Pardo, M. Sombra, Sharp Estimates for the Arithmetic Nullstellensatz. Duke Math.

Journal 109 (2001), 521598.[Ku, 85] E. Kunz, “Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry”, Birkhauser, 1985.

[Krull, 29] W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen. Mathematische Annalen 10(1929), 729-744.

[Krull, 35] W. Krull, “Idealtheorie”. Springer, 1935.

[La, 77] J.P. Lafon, “Algebre commutative”, Hermann, 1977.

[Lm, 1844] G. Lame, Note sur la limite du nombre des divisions dans la recherche du plus grand commundiviseur entres deux nombres entiers. Comptes Rendus Acad. Sci. 19 (1844), 876-870.

[Mc, 75] S. Mac Lane, “Homology. Reprint of the 1975 edition”. Classics in Mathematics. Springer-Verlag,Berlin, 1995.

323

324 BIBLIOGRAFIA

[MaWu, 71] D. W. Masser and G. Wustholz, Fields of large transcendence degree generated by values ofelliptic functions. Invent. Math. 72 (1971) 407463.

[Ma, 80] H. Matsumura,“Commutative Algebra (2nd. Edition)”, Benjamin/Cummings, 1980.

[Ma, 89] H. Matsumura, “Commutative Ring Theory”. Cambridge Studies in advanced Math. 8, CambridgeUniv. Press, 1989.

[Mi, 89] M. Mignotte, “Mathematiques pour le Calcul Formel”, Presses Univ. de France, 1989.

[Mtz, 49] T. Motzkin, The Euclidean algorithm. Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 1142–1146.[Na, 75] M. Nagata,“Local Rings”, Robert E. Krieger, 1975.

[Noether, 1921] E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen. Math. Annalen 83 (1921), 2466.[Or, 13] Nuccio Ordine, “L’utilita dell’Inutile. Manifesto”. Bompiani, 2013.

[Os, 73] A.M. Ostrowski, “Solutions of Equations in Euclidean and Banach Spaces”, Academic Press, 1973.

[Pr, 75] V.R. Pratt, Every Prime has a succinct certificate. SIAM J. on Computing 4 (1975), 214-220.[Rb, 29] G. Y. Rainich (pseudonym J.L. Rabinowitsch), Zum Hilbertschen Nullstellensatz. Math. Ann. 102

(1929), 520

[Ra et al., 75] S. Raghavan, B. Singh, R. Sridharan, “Homological Methods in Commutative Algebra”, TataInstitute for Fund. Res., Oxford University Press, 1975.

[Re, 95] M. Reid, “Undergraduate Commutative Algebra”, Cambridge University Press, 1995.

[Rha, 62] T.S. Rhai, A characterization of polynomial domians over a field. Amer. Mathematical Monthly 69(1962), 984-986.

[RSA, 78] R.L. Rivest, A. Shamir y L.A. Adleman, A method for obtaining digital signatures and public-key

cryptosystems. Communications ACM 21(1978), 120-126.[Ro, 94] H.E. Rose,“A Course in Number Theory”.2nd. ed., Oxford Sci. Publications, 1994.

[Shf, 74] I.R. Shafarevich, “Basic Algebraic Geometry”, Springer–Verlag, 1974.[Shp, 00] R.Y. Sharp, “ Steps in commutative algebra”. Cambridge University Press, 1990, (2nd. Ed. 2000).

[Wls, 73] J.C. Wilson, A Principal Ideal Ring that is not a Euclidean Ring. Mathematics Magazine, 46 (1973),

34–38.[ZaSa, 60] O. Zariski, P. Samuel, “Commutative Algebra”, vols. I–II, Van Nostrand, Princeton, 1958,1960.

notas para un curso b asico de algebra conmutativa luis m ... · notas para un curso b asico de...

Documents