INSTITUTO TECNLGICO DE MATAMOROS UNIDADIII CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST Ing. Jorge Alejandro Gallegos de la Cruz Diciembre 2011 INTRODUCCIN: El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia de lazo abierto con la estabilidad en lazo cerrado; basado en un teorema de la variable compleja que se fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano complejo. Para una trayectoria cerrada y continua en el plano s, que no pasa por ninguna singularidad, le corresponde una trayectoria cerrada en el plano F(s). Si el contorno en el plano s (Is), encierra igual numero de ceros que polos de F(s), el contorno en F(s), (IF(s) ), no encerrara el origen. Si el Is encierra n polos de F(s), I F(s) rodea al origen n-veces en sentido contario a las manecillas del reloj. Si el Is encierra m ceros de F(s), I F(s) rodea al origen m-veces en sentido horario. Fundamentos: Transformacin de contornos en el plano s Suponga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s, donde todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno , utilizando la funcin 3-1 1 2 1 -1 Plano s Plano F(s) 1 2 ) ( + = s s Fe jojvuCada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representacin en el plano F(s). Se evalan todos los puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano F(s). En este caso, el contornoenelplanoF(s)conservalamismaformaqueelcontornodelplanos, (Transformacin conforme). 1 2 ) ( + = s s FAmbos contornos se consideran que tienen un sentido positivo. Ahora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra funcin de transformacin: 1 -1 Plano s Plano F(s) e jojvu3) (+=sss FabdcabdcEn este caso la transformacin es no conforme pero conserva el sentido positivo.Existe una caracterstica muy interesante que ocurre cuando el contorno del plano s encierra a ceros o polos la funcin: 1.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la funcin, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano s 2.- Si el contorno en el plano s no encierra a ningn cero o polo de la funcin, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen. 1 -1 Plano s Plano F(s) e jojvu3) (+=sss Fabdcabdc3.- Si el contorno en el plano s encierra a algn polo de la funcin, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en sentido contrario. -3 Plano s Plano F(s) e jojvu3) (+=sss Fabdcabdc4.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo de la funcin, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen. -3 Plano s Plano F(s) e jojvu3) (+=sss FabdcabdcTodos estos resultado son consecuencia del principio del argumento (teorema de Cauchy).Teorema de Cauchy (Principio del argumento). Si un contorno en el plano s rodea Z ceros y P polos de F(s) y no pasa a travs de ningn polo o cero de F(s) cuando el recorrido es en la direccindelmovimientodelrelojalolargodecontornos,elcontornocorrespondienteenel plano F(s), rodea al origen de dicho plano, veces en la misma direccin.P Z N =0) () () ( 1 ) (11=+ H+ H= + ===kmkinis ss s ks G s FEl criterio de Nyquist Sea la ecuacin caracterstica Paraqueelsistemaseaestable,todosloscerosdeF(s)debendeestarlocalizadosenlaparte izquierda del plano s. Por tal motivo se escogen un contornoen el plano s que encierre toda la parte derecha del plano y por medio del teorema de Cauchy se determina que ceros estn dentro delcontorno.EstoselogragraficandoenelplanoF(s)yobservandoelnmeroderodeosal origen. Sin embargo es ms comn utilizar el polinomio en lazo abierto G(s) por ser relativamente ms sencillo, entonces: + = ) ( 1 ) ( s G s F) ( 1 ) ( ) ('s G s F s F = =) 0 1 ( j + Con este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el punto del plano F(s) F(s) -1 Contorno de Nyquist. Grfica polar de G(s). Plano s Plano F(s) e joujvCriterio de estabilidad de Nyquist Unsistemaderetroalimentacinesestablesiysolamentesi,elcontorno.en el plano G(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el nmero de polos de G(s) en la parte derecha del plano s es cero.GIUnsistemadecontrolconretroalimentacinesestablesiysolamentesi,enel contornoelnmeroderodeosalpunto(-1+j0)enelsentidocontrarioal movimiento del reloj es igual al nmero de polos de G(s) con partes reales positivas.GIGIsIEstabilidad relativa y criterio de NyquistEl criterio de estabilidad de Nyquist se define en trminos del punto . en la grfica polar. La proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa de un sistema. ) 0 1 ( j + -1 u jv d Elmargendeganancia.Sedefinecomoelrecprocodelaganancia.para la frecuencia en que el ngulo de fase alcanza -180.. El margen de ganancia es el factor por el cual se tendr que multiplicar la ganancia del sistemaparaqueellugargeomtricopaseatravsdelpunto . ) ( e j GH). 0 1 ( j + d1Margen de ganancia = Otramedidadelaestabilidadrelativaeselmargendefase,quesedefinecomoel ngulo de fase que se debe girar el lugar geomtrico para queelpuntodemagnitudunitaria paseatravs del punto. en el plano ) ( e j GH1 ) ( = e j GH) 0 1 ( j + ). ( e j GH -1 u 1 ) ( = e j GHjv fmf | =Margen de fase (mf ) Ejemplo: Realice la grfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de: ) 5 )( 4 () (+ +=s s sKs GSolucin Para realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos: sIGIPlano s j eosI+= 0 e j e= 0 eTramo1(T1).Seevalalafuncindesdela frecuencia hasta , (grfica polar). += 0 e eTramo 2 (T2). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la funcin pordonderepresenta un radio de valor infinito yes una evaluacin angular de 90 a -90. j e j eu je IIu jeTramo3(T3).Seevalalafuncindesdela frecuencia hasta , (espejo de la grfica polar). = 0 e j eContornosI1 T2 T3 T4 TTramo 4 (T4). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la funcin por donderepresenta un radio de valor muy pequeo yes una evaluacin angular de -90 a 90. El tramo se disea para rodear a posibles ceros o polos en el origen de la funcin a evaluar.0 e+0 eucjecu jeT1. Se cambia en la funcin la variable s por y se obtiene la grfica polare je e e ee e ee20 4 5) 5 )( 4 () () 5 )( 4 () (2 2 3j jKj j jKj Gs s sKs G+ =+ += + +=se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador ) 20 ( 9) 20 ( 9) 20 ( 9) (2 22 22 2e e ee e ee e ee + =jjjKj Ge e eee ee400 41) 20 (400 419) (3 522 4+ ++ + =KjKj GPara obtener la grfica polar se evala la ecuacin resultante desde hasta0 = e e0 = e =+ ++ + = jK KjKG4009) 0 ( 400 ) 0 ( 41 ) 0 () ) 0 ( 20 (400 ) 0 ( 41 ) 0 (9) 0 (3 522 4 e0 0) ( 400 ) ( 41 ) () ) ( 20 (400 ) ( 41 ) (9) 0 (3 522 4jKjKG + = + + + + =Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores muy pequeos para aproximar y valores muy grande deparaaproximar cuando0 = ee. eEntonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la grfica polar. 0 = e ecomo a la frecuenciael valor es final es ,setienequelagrficapolarllegaaceroporel cuadrantesuperiorizquierdo.Comoseinicienel cuadranteinferiorizquierdo,existeuncruceporel ejerealysuvalorseobtienealigualaracerola parte imaginaria de la ecuacin resultante: 0 0 j + ee e ee400 41) 20 (03 52+ + =Kj20 = e =220 0 ey esta frecuencia se evala en la parte real 400 ) 20 ( 41 ) 20 (9) Re(2 4+ + =Ke1801) Re(K = eSe obtiene otro punto para la grfica. Con ellos se dibuja de manera aproximada la grfica polar. (Nota: para una mejor aproximacin de la grfica, se pueden evaluar ms frecuencias) j180 K Figura. Grfica polar. jvuRespuesta en frecuencia T2. Se cambia en la funcin la variable s pory se evala desde 90 a -90u je I) 5 )( 4 () (+ +=s s sKs G) 5 )( 4 () (+ I + I I=u u uej j je e eKj GInfinito Infinito pequeo pequeo uu u u ue330) )( () (jj j j jeeKe e eKj G~I~I I I=Plano s j eosI+= 0 e j e= 0 eContornosI2 TEl punto en el plano s mapea al punto. en el plano F(s). 90 je I 90 ) 90 ( 30 0 = jeEl punto en el plano s mapea al punto.en el plano F(s). 80 je 2400El punto en el plano s mapea al punto.en el plano F(s). 30 je 900Se evalan todos los puntos posible hasta deducir que el tramo 2 forma en el plano F(s) tres medias vueltas de radio cero empezando en 90 con direccin antihoraria. jvu0 = radioPlano F(s), tramo 2. T3. Es el espejo de la grfica polar (tramo 1)= 0 e e j180 K jvuPlano F(s), tramo 2. T4. Se cambia en la funcin la variable s pory se evala desde -90 a 90ucje) 5 )( 4 () (+ +=s s sKs G) 5 )( 4 () (+ +=u u uuc c ccj j jje e eKe Gmuy muy pequeorelativ, grande uu uuc ccjj jjeeKeKe G ~ = =) 5 )( 4 () (Plano s j eosI+= 0 e j e= 0 eContornosI2 TEl punto en el plano s mapea al punto.en elplano F(s). 90 e c 90e El punto en el plano s mapea al punto.en elplano F(s). 45 e c 45e PI j= 0 e jPlano F(s) Contorno. Tramo 4.PI0 = e e j180KFigura. Grfica de Nyquist. jvuT1 T3 T4 T2 1 Criterio de Nyquist: Como el sistema no tiene polos inestables en lazo abierto, para que sea estable se necesita quenohayarodeosalpunto-1.Entoncesel rango de estabilidad es180 0 s s KCONCLUSIN Si la trayectoria de Nyquist en el plano s encierra Z ceros y P polos de 1 + G(s)H(s) y no pasa por los polos ni los ceros de 1 + G(s)H(s) conforme un punto representativo s se mueve en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el contorno correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea en un crculo N = Z P veces el punto -1 + j0 en el sentido de las agujas del reloj. (Los valores negativos de N implican rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj) Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres casos: 1. El punto -1 + j0 no est rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable 2. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de las agujas del reloj. En este caso, el sistema es estable si el nmero de rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj es igual al nmero de polos G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable 3. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agujas del reloj. En este caso el sistema es inestable