criterio de estabilidad nyquist

7/25/2019 Criterio de Estabilidad Nyquist

http://slidepdf.com/reader/full/criterio-de-estabilidad-nyquist 1/18

MINATITLÁN, VER A; 19 DE SEPTIMBRE DE2013

Criterio de

estabilidad deNyquist

INSTITUTO

TECNOLÓGICO DE



- Criterio de Estabilidad de Nyquist

2




PRINCIPIO DE ARGUMENTO

• Estabilidad en el Dominio de la Frecuencia

Sea F(s) una función univaluada que tiene un número finito de polos y de ceros en el plano

s. Si se supone una trayectoria continua y cerrada T S , que no atraviese ninguno de los

polos y ceros de F(s), el lugar geométrico correspondiente a T F sobre el plano F(s)

consistirá en una trayectoria cerrada y continua que encerrará al origen tantas veces comola diferencia entre el número de ceros y polos de F(s) que están rodeados por la trayectoriaen el plano s.

N !úmero de veces que la trayectoria T F rodea al origen del plano F(s).

Z !úmero de ceros de F(s) encerrados por la trayectoria T S en el plano F(s).

P !úmero de polos de F(s) encerrados por la trayectoria T S en el plano F(s).

CRITERIOS DE NYQUIST

!yquist descubrió que el principio del argumento se puede aplicar para resolver el

problema de estabilidad si la trayectoria T s en el plano s se elige de tal forma que

encierre de forma completa el semiplano derec"o del plano s.

3




#a trayectoria T s en el plano s no debe atravesar ningún polo ni ningún cero de F(s) y,

por tanto, los polos y ceros sobre el e$e imaginario se rodean. %s la aplicación directa del

principio del argumento cuando la trayectoria que recorre la función F(s) en el plano s es la

trayectoria de !yquist.

! !úmero de veces que la trayectoria &'(s) (s) rodea al origen cuando s recorre

la trayectoria de !yquist. * !úmero de ceros con parte real positiva de &'(s) (s).

+ !úmero de polos con parte real positiva de &'(s) (s).

+- Sistema en lao abierto estable !- Sistema en lao cerrado estable.

+/- Sistema en lao abierto inestable !0+ Sistema en lao cerrado estable.

1. Desplazamiento del Origen (-1+j0):

+ara que el sistema en lao cerrado sea estable, el lugar de !yquist del sistema enlao abierto debe rodear el punto 0& tantas veces como polos del sistema en lao

abierto tenga en la parte real positiva, en sentido contrario a la trayectoria de !yquist.

1. Aportación de la ganancia K:

+ara que el sistema en lao cerrado sea estable, donde el sistema en lao abierto tiene

una ganancia 2, el lugar de !yquist del sistema en lao abierto formaliado respecto de

2, debe rodear el punto 0&32 tantas veces como polos del sistema en lao abierto tenga

en la parte real positiva, en sentido contrario a la trayectoria de !yquist.

4




PASOS PARA APICAR E CRITERIO DE N!"UIST

#os pasos a seguir para aplicar el criterio de estabilidad de !yquist serán

&. 4eterminar el camino de !yquist (s) a partir de la información de la cadena

abierta.

1. 5btener la imagen de la curva, 6(s)F ((s)), al desplaar F(s) por el camino de

!yquist, (s), en un cierto sentido. +or e$emplo, en sentido "orario. +ero podr7a

"aberse elegido en sentido contrario.

8. 9ontabiliar el número de vueltas, !, que la imagen 6(s) da alrededor del origen,

siguiendo el sentido de las manecillas del relo$.:. %l número de polos inestables de la cadena cerrada será *!'+.

#




E$EMPO

4ado el equipo modelado por la figura ad$unta, se pide si para ; &, el sistema es

estable o no mediante el criterio de !yquist. %n segundo lugar, se desea saber que

valor de ; "ace que el sistema sea cr7ticamente estable.

G(s) H(s) =3

(1

+s

) (2

+s

) (3

+s

)Sustituyendo por <$=> las s, tenemos

G (ω) H (ω) =3

(1+ jω ) (2+ jω ) (3+ jω )

5bteniendo los factores

G (ω) H (ω) =

0.5

(1+ jω )

(1+ jω

1

2

)(1+ jω

1

3

)raficando la función de transferencia en bode, tenemos

%




raficando la función de transferencia en !yquist, tenemos

%l código en ?atlab para la ecuación de transferencia es el siguiente

&

>> z!"#

>> p!-1$-%$-&"#

>> 'zp(z$p$&)

'

&

-----------------

(s+1) (s+%) (s+&)

>> ode(')

>> n*,ist(')




E$EMPO

+ara un sistema cuya función de transferencia a lao abierto es (s)(s), indique si el

si stema a lao cerrado es estable y cuales son M F y M G .

G (s) H (s) =600 (s+2)

s (s2+17 s+70)

Sustituyendo la <s> por <$=>, tenemos

G (s) H (s) =600( jω+2)

jω( jω2+17 jω+70)

%l 4iagrama de @ode para (s) (s) se observa en la figura, a partir del cual se lee

1- lg A A - db B 0&:8C D &E-C 0 &:8C 8C

G 0&E- 1- lg AA 0H db ? H(')

'




%l sistema es estable, pues ambos márgenes son positivos.

raficando la función de transferencia en !yquist, tenemos

%l código en ?atlab para la ecuación de transferencia es el siguiente

(

z!-%"#

p!0$-$-10"#

>> 'zp (z$ p$ 00)

'

00 (s+%)

--------------

s (s+) (s+10)

>>ode(')

>> n*,ist (')




E$EMPO

G (s) H (s) =(3 s+1)

s (53+3 s2+4 s+2)

Sustituyendo la <s> por <$=>, tenemos

G (s) H (s) =(3 jω+1)

jω( jω3+3 jω2+4 jω+2)

%l 4iagrama de @ode para (s) (s) se observa en la figura, a partir del cual se lee

1- lg A A - db B 01I-J D &E-J 0 1I-J 0-J

B0&E-J 1- lg AA1- db ? (0)

%l sistema es inestable, pues ambos márgenes son negativos. raficando la función de

transferencia en !yquist, tenemos

)*




))

n!& 1"#

>> d!/ & % 0"#

>> s*st(n$d)

s*s

& s + 1

---------------------------

/ s2 + & s2& + s2% + % s

>> ode(n$d)

>> n*,ist(n$d)




E$EMPO

4eterminar utiliando el criterio de !yquist la estabilidad del sistema de lao cerrado que

tiene la siguiente función de transferencia de lao abierto

GH =

k c

8

(s+1)3

+ara aplicar el criterio de !yquist, en primer lugar, "ay que sustituir s por $= en la función

de transferencia de lao abierto del lao de control del enunciado. Kna ve se "a sustituido

"ay que separar la parte real de la imaginaria multiplicando y dividiendo por el con$ugado

GH ( jω )=

k c

8

( s+1 )3=

k c

8

1+3 jω−3ω2− j ω

3

ω3

3ω−¿¿¿2¿

ω3

3ω−¿¿

(1−3ω2)2+¿

GH ( jω )=

k c

8(1−3ω

2)

¿

+or tanto

ω3

3ω−¿¿(1−3ω

2)2+¿

Re|GH ( jω )|=

k c8(1−3ω

2)

¿

)2




ω3

3ω−¿¿

(1−3ω2)2+¿

im|GH ( jω )|=−

k c

8 (3ω−ω

3

)¿

%l l7mite de estabilidad será aquella frecuencia que "aga que Le A( jω )A M & y Nm A( jω ¿∨¿ -.

Lesolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra que ω √ 3 y que K c O:. +or

tanto, el l7mite de estabilidad del lao de control es K c O:, lo que significa que el

sistema será inestable para K c P O:. !uestra K c será de I-. Qqu7 el sistema estará

estable.

%l l7mite de estabilidad, es decir que el valor de la ganancia será el valor l7mite donde

nuestro sistema pierde estabilidad, se muestra en la figura siguiente

Kn lao de control con una K c mayor al valor l7mite "ace que sea inestable

)3




E$EMPO

4ibu$ar los diagramas de @ode y de !yquist para la siguiente función de transferencia.

4iscutir la estabilidad.

(s) 1

(s+1)(2 s+1)

Se trata de un sistema compuesto por dos procesos de primer orden en serie, las

ganancias de ambos procesos son &. Ql tratarse de dos sistemas de primer orden en seriela raón de amplitudes y el desfase serán

RA= 1

√ ω2+1

1

√ 4ω2+1

R (−ω)+¿ tan−1(−2ω)

tan−1 ¿

%l diagrama de @ode resultante será

)4




%l sistema es estable ya que el desfase tiende asintóticamente a &E-C lo que significa que

será estable al no alcanar el desfase de &E-C. %l resultado era previsible ya que se tratade un sistema de segundo orden

+ara dibu$ar el diagrama de !yquist se pueden utiliar coordenadas polares y utiliar comoecuaciones paramétricas la raón de amplitudes y el desfase.

ambién se puede sustituir la variable s de la función de transferencia de lao abierto por $=. Se obtiene

($=)

2ω2

1−¿¿

¿2+9ω2

¿2ω

2

1−¿¿¿

1−2ω2

¿

%l diagrama de !yquist obtenido es

)#




#a curva no envuelve el punto (0&,-), por tanto, el lao de control es estable.

E$EMPO

Qnalice la estabilidad del sistema en lao cerrado que tiene la siguiente función detransferencia en lao abierto.

G(s) H(s)=5

s (s−1)

#a función (s) (s) tiene un polo en '&, es decir, en el semiplano derec"o del plano <s>. %l

diagrama de !yquist para la función de transferencia en lao abierto se muestra en laFigura

)%




%n esta figura se indica que el diagrama rodea el punto 0& ' $- una ve en el sentido de lasagu$as del relo$. +or lo tanto, ! & y * 1 debido a que * ! ' +. %sto significa que elsistema en lao cerrado tiene dos polos en el plano derec"o del plano <s> y que esinestable.

E$EMPO

Qnalice la estabilidad de un sistema en lao cerrado con la siguiente función detransferencia en lao abierto.

G(s) H(s) =5(s+3)s (s−1)

#a función de transferencia en lao abierto tiene un polo '& en el semiplanoderec"o del plano <s>. %l sistema en lao abierto es inestable.

)&




%l diagrama de !yquist correspondiente mostrado en la Figura

#a figura indica que el lugar geométrico de (s)(s) rodea al punto 0& ' $- una veen sentido contrario al de las agu$as del relo$ y, por lo tanto, ! 0&. 4e acuerdo a loanterior, se obtiene que * - porque * ! ' + y esto indica que no "ay un cero enla ecuación caracter7stica de la función de transferencia en lao cerrado localiadoen el semiplano derec"o del plano <s> y que el sistema en lao cerrado es estable.%ste es uno de los e$emplos para los cuales un sistema en lao abierto se vuelve

estable cuando se cierra el lao.

)'

criterio de estabilidad nyquist

Documents