criterio de estabilidad de nyquist exponer.ppt

7/21/2019 Criterio de estabilidad de Nyquist EXPONER.ppt

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INTRODUCCIÓN:El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en

frecuencia de lazo abierto con la estabilidad en lazo cerrado;basado en un teorema de la variable compleja que sefundamenta en el mapeo de los contornos en el planocomplejo.

Para una trayectoria cerrada y continua en el plano s, que no

pasa por ninguna singularidad, le corresponde una trayectoriacerrada en el plano Fs!."i el contorno en el plano s Γ s!, encierra igual numero de

ceros que polos de Fs!, el contorno en Fs!, Γ Fs! !, noencerrara el origen.

"i el Γ s encierra n polos de Fs!, Γ Fs! rodea al origen n#vecesen sentido contario a las manecillas del reloj.

"i el Γ s encierra m ceros de Fs!, Γ Fs! rodea al origen m#veces en sentido $orario.



Fundamentos: Transformación de contornos en el plano s

"uponga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s,donde todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno !, utilizando lafunci%n

&#' ' ('#'

Plano s

Plano F ( s)

Γ

12)( += s s F

ω j

σ

jv

u

Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representaci%n enel plano F ( s). "e eval)an todos los puntos del contorno y se obtiene uncontorno en el plano F ( s). En este caso, el contorno en el plano F ( s) conservala misma forma que el contorno del plano s, *ransformaci%n conforme!.

12)( += s s F

+mbos contornos se consideran que tienen un sentido positivo.

Criterio de estabilidad de Nyquist




+$ora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra funci%nde transformaci%n

'#'

Plano s

Plano F ( s)

ω j

σ

jv

u

3)(

+

=

s

s s F

a

b

d

c

a

b

d

c

En este caso la transformaci%n es no conforme pero conserva el sentidopositivo.

E-iste una caracterstica muy interesante que ocurre cuando el contorno delplano s encierra a ceros o polos la funci%n'.# "i el contorno en el plano s encierra a un cero de la funci%n, el contorno enel plano F (s) encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano s



Criterio de estabilidad de Nyquist(.# "i el contorno en el plano s no encierra a ning)n cero o polo de lafunci%n, el contorno en el plano F (s) no encierra al origen.

'#'

Plano s

Plano F ( s)ω j

σ

jv

u

3

)(+

=

s

s s F

a

b

d

c

a

b

d

c

&.# "i el contorno en el plano s encierra a alg)n polo de la funci%n, elcontorno en el plano F (s) encierra al origen en sentido contrario.

#&

Plano s

Plano F ( s)

ω j

σ

jv

u

3)(

+

=

s

s s F

a

b

d

c

a

b

d

c




/.# "i el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo de la funci%n, elcontorno en el plano F (s) no encierra al origen.

#&

Plano s

Plano F ( s)ω j

σ

jv

u

3

)(+

=

s

s s F

a

b

d

c

a

b

d

c

*odos estos resultado son consecuencia del principio del argumento teoremade Cauchy !.

Teorema de Cauchy (Principio del arumento!" "i un contorno en elplano s rodea Z cero y P polos de F ( s) y no pasa a trav0s de ning)n polo ocero de F ( s) cuando el recorrido es en la direcci%n del movimiento del reloj alo largo de contorno, el contorno correspondiente en el plano F ( s), rodeaal origen de dic$o plano, veces en la misma direcci%n.

sΓ

f Γ

P Z N −=




0)(

)()(1)(

1

1=

+Π

+Π=+=

=

=

k mk

ini

s s

s sk s P s F

#l criterio de Nyquist

"ea la ecuaci%n caracterstica

Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F ( s) deben de estarlocalizados en la parte izquierda del plano s. Por tal motivo se escogen un

contorno en el plano s que encierre toda la parte derec$a del plano y pormedio del teorema de Cauc$y se determina que ceros est1n dentro de .Esto se logra graficando en el plano F ( s) y observando el n)mero derodeos al origen.

sΓ

sΓ

f Γ

"in embargo es m1s com)n utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por serrelativamente m1s sencillo, entonces

⇒+= )(1)( s P s F )(1)()('

s P s F s F =−=

)01( j+−Con este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el punto

del plano F ( s)




F ( s)

#'

Contorno de Nyquist.

2r1fica polar de P ( s).

∞

Plano s Plano F ( s)ω j

σ u

jv


3n sistema de retroalimentaci%n es estable si y solamente si, el contorno . en el plano P ( s) no rodea el punto #' 4 j 5! cuando el n)mero de polos

de P ( s) en la parte derec$a del plano s es cero.

P Γ

3n sistema de control con retroalimentaci%n es estable si y solamente si, enel contorno el n)mero de rodeos al punto #' 4 j 5! en el sentido contrarioal movimiento del reloj es igual al n)mero de polos de P ( s) con partes reales

positivas.

P Γ

P Γ sΓ




#stabilidad relati$a y criterio de Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist se define en t0rminos del punto . en la gr1fica polar. 6a pro-imidad a ese punto determina la estabilidad relativade un sistema.

)01( j+−

#' u

jv

d

#l maren de anancia se define como el recproco de la ganancia . para la frecuencia en que el 1ngulo de fase alcanza '758, es decir

cuando . El margen de ganancia es el factor por el cual se tendr1 que multiplicar laganancia del sistema para que el lugar geom0trico pase a trav0s del punto

.

)( ω jGH .0=v

).01( j+−

d

19argen de ganancia :




tra medida de la estabilidad relativa es el margen de fase, que se definecomo el 1ngulo de fase que se debe girar el lugar geom0trico para

que el punto de magnitud unitaria pase a trav0s del punto. en el plano

)( ω jGH

1)( =ω jGH )01( j+− ).( ω jGH

#' u

1)( =ω jGH

jv

f mf φ =

9argen de fase mf )



Respuesta en %recuencia

#&emplo:<ealice la gr1fica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de

)5)(4()(

++=

s s s K sG

Solución

Para realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos sΓ pΓ

Plano s∞→ jω

∞

σ

sΓ

+= 0ω

∞−→ jω

−= 0ω

*ramo ' *'!. "e eval)a la funci%n desde lafrecuencia $asta , gr1fica polar!.0=ω ∞→ω

*ramo ( *(!. =esde la frecuencia a lafrecuencia . En este caso se cambia

la variable s de la funci%n por donderepresenta un radio de valor infinito y esuna evaluaci%n angular de >5? a #>5?.

∞→ jω ∞−→ jω

θ j

eΓ Γ θ je

*ramo & *&!. "e eval)a la funci%n desde lafrecuencia $asta , espejo de

la gr1fica polar!.

−= 0ω ∞−→ jω Contorno sΓ

1T

2T 3T 4T




ω ω ω

ω

ω ω ω 40041

)20(

40041

9

)( 35

2

24 ++

−−

++

−=

K

j

K

jG

Para obtener la gr1fica polar se eval)a la ecuaci%n resultante desde$asta

0=ω ∞→ω

0=

ω ∞−−=

++

−−

++

−= j

K K j

K G

400

9

)0(400)0(41)0(

))0(20(

400)0(41)0(

9)0(

35

2

24

∞→ω

00)(400)(41)(

))(20(400)(41)(

9)0(35

2

24 j K j K G +−=

∞+∞+∞

∞−−

+∞+∞

−=

Nota. "i se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizarvalores muy peque@os para apro-imar y valores muy grande de

para apro-imar cuando

0=ω ω

.∞→ω



Criterio de estabilidad de NyquistEntonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gr1fica polar.

0=ω

∞→ω

como a la frecuencia el valor es final

es , se tiene que la gr1fica polar llegaa cero por el cuadrante superior izquierdo.Como se inici% en el cuadrante inferiorizquierdo, e-iste un cruce por el eje real y suvalor se obtiene al igualar a cero la parteimaginaria de la ecuaci%n resultante

00 j+−

∞→ω

ω ω ω

ω

40041

)20(0

35

2

++

−−=

K j

20=ω →−= 2200 ω

y esta frecuencia se eval)a en la parte real

400)20(41)20(

9)Re(

24++

−=

K ω

180

1)Re( K −=ω

"e obtiene otro punto para lagr1fica. Con ellos se dibuja demanera apro-imada la gr1ficapolar. Nota para una mejorapro-imaci%n de la gr1fica, sepueden evaluar m1sfrecuencias!

∞− j

180 K −

Figura. 2r1fica polar.

jv

u




T. "e cambia en la funci%n la variable s por y se eval)a desde >5? a#>5?

θ jeΓ

)5)(4()(

++=

s s s K sG

)5)(4()(

+Γ +Γ Γ

=θ θ θ

ω j j j eee

K jG→

AnfinitoAnfinito

peque@o

peque@oθ

θ θ θ θ ω 3

3 0

))(()( j

j j j j e

e

K

eee

K jG −

≈

Γ

≈

Γ Γ Γ

=

Plano s∞→ jω

∞

σ

sΓ

+= 0ω

∞−→ jω

−= 0ω

Contorno sΓ

2T

El punto en el plano s mapea al punto. en elplano F ( s).

90 jeΓ º90)º90(3 00 =

− je


80 je∞º2400−


30−∞

jeº900

"e eval)an todos los puntos posible $asta

deducir que el tramo ( forma en el plano F ( s)




tres medias vueltas de radio cero empezando en >5? con direcci%nanti$oraria. jv

u

0=radio

Plano F ( s), tramo (.

T). Es el espejo de la gr1fica polar tramo '!−

= 0ω

−∞→ω

∞ j

180 K −

jv

u

Plano F ( s), tramo (.

T*. "e cambia en la funci%n la variable s por y se eval)a desde #>5? a>5?

θ ε je

)5)(4()(

++=

s s s

K sG

)5)(4()(

++

=θ θ θ

θ

ε ε ε ε

j j j j

eee

K eG

muy muy peque@o relativ, grande




θ θ θ

θ

ε ε ε j

j j j e

e

K

e

K eG −

∞≈==

)5)(4()(

Plano s∞→ jω

∞

σ

sΓ

+= 0ω

∞−→ jω

−= 0ω

Contorno sΓ

2T

El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F ( s).

º90−eε º90e∞

El punto en el plano s mapea al punto .

en elplano F ( s).

º45−eε º45e∞

P Γ

∞− j

−= 0ω

∞

∞ jPlano F(s)

Contorno . *ramo /. P Γ




0=ω

∞→ω

∞− j

180

K −

Figura. 2r1fica de Nyquist.

jv

u

T'

T)

T*

T

1−

Criterio de Nyquist Como el sistema no tiene polosinestables en lazo abierto, para que seaestable se necesita que no $aya rodeosal punto #'. Entonces el rango de

estabilidad es1800 ≤≤ K



CONC+U,IÓN"i la trayectoria de Nyquist en el plano Bs encierra D ceros y P polos de ' 4

2s!s! y no pasa por los polos ni los ceros de ' 4 2s!s! conformeun punto representativo Bs se mueve en el sentido de las agujas delreloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el contorno correspondienteen el plano 2s!s! rodea en un crculo N : D P veces el punto #' 4 j5en el sentido de las agujas del reloj. 6os valores negativos de N

implican rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj!



+l e-aminar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante elcriterio de estabilidad de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres

casos1. El punto -1 + j0 no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si

no hay polos de Gs!"s! en el semiplano derecho del plano #s$% de lo

contrario& el sistema es inestable

'. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al

de las a(ujas del reloj. En este caso& el sistema es estable si el n)mero derodeos en sentido contrario al de las a(ujas del reloj es i(ual al n)mero de

polos Gs!"s! en el semiplano derecho del plano #s$% de lo contrario& el

sistema es inestable

*. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las

a(ujas del reloj. En este caso el sistema es inestable



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