Diagrama de Nyquist El diagrama de Nyquist de una F.T. es una grfica de la magnitud de contra el ngulo de fase de en coordenadas polares, conforme vara de cero a infinito. Por lo tanto el diagrama de Nyquist es el lugar geomtrico de los vectores conforme varia de cero a infinito. El diagrama de Nyquist tambin se denomina traza o curva polar. La magnitud y el ngulo de fase deben calcularse directamente para cada frecuencia con el propsito de construir el diagrama de Nyquist.

Diagrama de Nyquist

VENTAJA: En una sola grfica podemos ver la respuesta en frecuencia de un sistema en el rango de frecuencias completo DESVENTAJA: La traza no indica en forma clara la contribucin de todos los factores invididuales de la funcin de transferencia

Factores de integral y de derivada (jw)1. La traza polar de G(jw) = 1/(jw) es el eje imaginario negativo dado que:

La traza polar de G(jw) = jw es el eje imaginario positivowImag jw w0 w

Re 1/jw

w0

Factores de primer orden (1 + jwT) 1. Para la funcin de transferencia

los valores de G(jw) en w = 0 y w son, respectivamente G(j0)=1 , 0G(j1/T)=1/2 54-G(j)=009-

Factores de primer orden (1 + jwT) La traza polar de la funcin de transferencia 1 + jwT es simplemente la mitad superior de la recta que pasa por el punto (1,0) en el plano complejo y paralelo al eje imaginario

Factores cuadrticos [ 1+ 2j(w/wn) + j(w/wn)2 ]-1 los valores de G(jw) en w = 0 y w son, respectivamente G(j0)=1 0y G(j)=0081- Para el caso subamortiguado en w=wn, tenemos que G (jwn) = 1/(j2), y el ngulo de fase en w=wn,es de -90.

Criterio de estabilidad de Nyquist: Sea un sistema realimentado tenemos

F.T. en lazo abierto

F.T. en lazo cerrado

Criterio de estabilidad de Nyquist: Tal como vimos en el apartado de influencia de polos y ceros para que el sistema sea estable todos los polos de W(s) deben estar en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto de T(s) con el numero de polos y ceros de W(s) que se encuentran en el semiplano derecho s. Este criterio que se debe a Nyquist, es til en ingeniera de control porque la estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado se puede determinar grficamente a partir de las curvas en frecuencia en lazo abierto y no hay necesidad de determinar realmente los polos de lazo cerrado.

El criterio de estabilidad de Nyquist se puede expresar de la forma siguiente: Un sistema en lazo cerrado es estable en el sentido entrada-salida si la traza polar de la funcin de transferencia en lazo abierto recorrida en el sentido creciente de las pulsaciones describe en torno al punto (-1,0) tantas medias vueltas como numero de polos de parte real positiva tenga donde p es el numero de polos de parte real positiva de

Margen de fase y margen de ganancia: MARGEN DE FASE: El margen de fase se define como el ngulo a travs del cual la traza de Nyquist debe girar para que el punto de magnitud unitaria pase a travs del punto -1 en el eje real. En el diagrama de Nyquist se puede dibujar una lnea desde el origen al punto en el que el circulo unidad atraviesa al lugar . El ngulo que va desde el eje real negativo a esta lnea es el margen de fase MARGEN DE GANANCIA: El margen de ganancia es el reciproco de en la frecuencia donde el ngulo de fase es -180 . Se define como frecuencia de oscilacin como la frecuencia en la cual el ngulo de fase de la funcin en lazo abierto es igual a -180 .

Ejercicio 1 Trazar Nyquist y determinar M.F. y M.G de :

3 G (s) H (s) s (1 )3 2 3 w2 3 / 2 (1 ) 4 w G ( jw) H ( jw) 3 tan 1 2 G ( jw) H ( jw)

Hallamos lGHl y GH para puntos criticos de wPTO 1 2 3 4 w 0 1.1547 3.46 GH 3 1.948 0.375 01

GH 0 -90 -180 -270

w 90 3 tan w 1.1547 2 1 w 180 3 tan w 3.46 2

Imag

1/M.G=0.375 M.G.=2.666

1

3-1 M.F.

4

2

3 1

Re

-3tan-1(w1/2) 2 1.9483 G ( jw) H ( jw) 1 w1 2.078 2 w1 3 / 2 (1 ) 4 M .F . 180 3 tan 1 (2.078 / 2) 180 138.28 41.72

Ejercicio 2 Trazar Nyquist y determinar M.F. y M.G de :G ( s) H ( s) 2

s 2 s (1 ) 10 2 G ( jw) H ( jw) w2 w(1 ) 1001

G ( jw) H ( jw) 90 2 tan

w 10

Hallamos lGHl y GH para puntos criticos de wPTO 1 2 3 w 0 10 GH 0.1 0 GH -90 -180 -270

180 90 2 tan 1 G ( jw) H ( jw) w10

w w 10 10 2 0.1 2 10 10(1 ) 100

Imag

1/M.G=0.1 M.G.=10

1

2-1 M.F.

3

2

3

Re

-90-2tan-1(w1/10) 1.948 1 1 w1 1.9283 2 w1 w1 (1 ) 100 M .F . 180 90 2 tan 1 (1.9293 /10) 90 21.6347 68.1753 G ( jw) H ( jw) 2