tema 5. anÁlisis de respuesta en frecuencia...

INGENIERÍA DE CONTROL I ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA

TEMA 5. ANÁLISIS DE RESPUESTA EN TEMA 5. ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIAFRECUENCIA

CONTENIDOCONTENIDO

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES DETRANSFERENCIACRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUISTCRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUISTDIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUISTDIAGRAMAS DE BODE

ÓESTABILIDAD RELATIVA. DEFINICIÓN DEL MARGEN DEGANANCIA Y DE FASE

DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 1

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES


RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIADE TRANSFERENCIA

( )( )r t Asen tω=

( )Asen tω ( )AMsen tω φ+

1 22 2

( )( ) ....K KA G sC ss s j s jω

ω ω ω= = + +

+ + −

1 2( ) ( ) ( )

2 2s j

A G s AG j AG jK Ks j j jω

ω ω ωω =−

−= = =

− −

( ) ( )( )

2

j t j t

s

A G j e G j ec t

j

ω ωω ω−⎡ ⎤− − +⎣ ⎦=





( )( ) ( ) ( ) ( ) jG j a jb M e φ ωω ω ω ω= + =

2 2( ) ( ) ( ) ( )M G j a bω ω ω ω+

1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) tan( )

M G j a bba

ω ω ω ωωφ ωω

−

= = +

=

( )( ) ( ) jG j M e φ ωω ω −− =

( ) [ ]( ) ( )( )

( ) ( ) ( )2

j t j t

s

AM e ec t AM sen t

j

ω φ ω φωω ω φ ω

+ − +−= = +





Este resultado indica que:

1. Para una entrada sinusoidal, la respuesta forzada es también sinusoidal y de lamisma frecuencia.

2. La magnitud M de la función de respuesta en frecuencia G(jω), obtenidareemplazando s por jω en la función de transferencia G(s), es igual a la razón deamplitud de salida a amplitud de entrada.

3. El ángulo de fase φ de G(jω) es el ángulo de fase de la salida con referencia a la deentrada.

G(jω) se puede dibujar en un plano complejo o una gráfica polar como un vector delongitud M(ω) y un ángulo de fase φ(ω).

Por ejemplo, para un sistema de primer orden:

( ) KG jω =


( )1

G jj T

ωω

=+




1

2( ) ( ) tan

1 ( )KM T

Tω φ ω ω

ω−= =

+φ

( )( )( )( )

1 2

1 2

( )s z s z

G s Ks p s p+ + ⋅⋅⋅⋅

=+ + ⋅⋅⋅⋅

-p2s

-p1

-p3 -z1


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CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUISTCRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST



( )( )1 2 ...1

s z s zG GH K

+ ++ =

( )( )1 2

1...cG GH K

s p s p+ =

+ +

Los polos –p1, -p2,…. de 1 + GcGH son generalmente conocidos, pero los ceros –z1,i l f áli i d t bilid d í i i-z2,…. no, si lo fueran, un análisis de estabilidad sería innecesario.

D

Los ceros –z1 y –z2 no son conocidos. Paraprobar estabilidad, es necesario y suficientemostrar que no hay ceros –zi dentro del

-p1-z2

s-p2

-z1 contorno de Nyquist D, el cual encierra toda laparte derecha del plano s.

p1

-p3

z2 z1

R→∞

En principio, el análisis de estabilidad se basa en graficar (1 + GcGH ) en un planocomplejo cuando s se desplaza una vez en sentido de las manecillas del reloj alrededor


p j p jdel contorno cerrado D.




PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

Si (1 + GcGH) tiene Z ceros y P polos dentro del contorno de Nyquist D, una gráfica de(1 + GcGH) cuando s se desplaza en sentido de las manecillas del reloj una vezalrededor de D, encerrará al origen del plano complejo en el cual se grafica N = Z – Pg p p j gveces en dirección de las manecillas del reloj.

La gráfica de GcGH cuando s se desplaza una vez alrededor de D se le llama diagramade Nyquistde Nyquist.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST Un sistema retroalimentado es estable si y sólo si el número de veces que se encierra ensentido inverso de la manecillas del reloj en un diagrama de Nyquist el punto -1 es igualal número de polos de GcGH dentro del semiplano derecho, llamados polos inestablesde lazo abierto.Usualmente, los sistemas son estables en lazo abierto, esto es, P = 0. En este caso elcriterio viene a ser:Un sistema estable de lazo abierto retroalimentado es estable si y sólo si el diagrama de


Nyquist no encierra el punto -1.




Para sistemas estables de lazo abierto, de hecho no es necesario graficar el diagrama deNyquist completo; el diagrama polar, para ω incrementando de 0+ a +∞, es suficiente.

CRITERIO DE NYQUIST SIMPLIFICADO

Si GcGH no tiene polos en la parte derecha del plano s, el sistema de lazo cerrado esestable si y sólo si el punto -1 se encuentra a la izquierda de la gráfica polar cuando semueve a lo largo de esta gráfica en dirección de incremento de ω esto es la gráficamueve a lo largo de esta gráfica en dirección de incremento de ω, esto es, la gráficapolar pasa al lado derecho de -1.

1-1

ω


GcGH Regresar

DIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUISTDIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUIST



DIAGRAMAS POLARES Y ESTABILIDAD

( ) ( )21 ; / 2 / 1i i n nP j T Q j jω ω ω ζ ω ω≡ + ≡ + +

( )( )

1 1 2

2 1 2 3

(1) /

(2) /(3) /

K PP

K PP PK Q


1(3) /K Q




( ) ( )21 ; / 2 / 1i i n nP j T Q j jω ω ω ζ ω ω≡ + ≡ + +

+∞

( ) ( )

1

+∞-1

2

-1

123

( )2⎡ ⎤

0+

( )

( )

21

21 2 3

(1) /

(2) /

K j P

KP j P P

ω

ω

⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( )

1

1 2

(1) /

(2) /

K j P

K j PP

ω

ω


( )( )

1 2

3 1 2

( )

(3) /

j

KP j PPω




3KMM = 3 1 290ºφ φ φ φ= − + − −1 2

MM Mω 3 1 290φ φ φ φ+

iM

ij TωqM

2 / nj ζω ω21 ( / )ω ω−

iφ qφ1 ( / )nω ω

( )2

1

1i iM Tω= + ( ) ( )

( )

2 22 2

1 2 2

1 / 2 /q n nM ω ω ζω ω= − +1 tani iTφ ω−= ( ) ( )1 2 2 tan 2 / / 1 /q n nφ ζ ω ω ω ω−= −





DIAGRAMAS DE NYQUIST Y ESTABILIDAD

1i iP j Tω≡ +

0-

-1 -∞+∞

0+

( )1 2 3/K PP P ( )1 2/K j PPω ( )21/K j Pω⎡ ⎤

⎣ ⎦





1P j Tω≡ +1i iP j Tω≡ +

0+ 0+

0-

0

1

0

-1

0

0+ -∞+∞

-1 -∞+∞ -1

-∞+∞

0-0-

( )21 2 3/KP j P Pω⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )1/ 1K j j Tω ω −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )2 1/ 1KP j j Tω ω −⎡ ⎤⎣ ⎦


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DIAGRAMAS DE BODEDIAGRAMAS DE BODE



Los diagramas de Bode son una alternativa a los diagramas polares y son ampliamented S á fá il d h d i t t té i d dif t t d l

Supóngase la siguiente entrada:

usados. Son más fáciles de hacer y de interpretar en términos de diferentes aspectos delcomportamiento del sistema.

Supóngase la siguiente entrada:

tXsentx ω=)(L f ió d t f i d i t d ibi La función de transferencia de un sistema puede escribirse como:

1 2 1 2... ...( ) n

S S Q QKG s =1 2 1 2

( )... ...n

k k l ls S S Q Q+ + + +

Donde22

1 2 1i i i ini ni

j jS j T Q ω ωω ζω ω⎛ ⎞

≡ + ≡ + +⎜ ⎟⎝ ⎠





Al llegar el sistema al estado estacionario y sustituyendo s = jω

φj φω φ ∠== MMejG j)(

Ejemplo:Ejemplo:

1)(

+=

TsKsG

221)(

ωω

TKjG+

= Magnitud

)(

1

=

+

ω

ωKjG

j por sdosustituyenTs

1)(

+ωjTj

ωωφ TjG 1tan)( −−=∠= Fase





Un diagrama de Bode está formado por dos gráficas: unal áfi d l l it d l it d d l f ió des la gráfica del logaritmo de la magnitud de la función de

transferencia y la otra es la gráfica del ángulo de fase; ambasse dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica

La representación logarítmica se obtiene como:

10 es logaritmo del base la donde jG es jG )(log20)( ωω

dB por usualmente dorepresentadecibelioel es ciónrepresentadeunidad La

• Multiplicaciones de magnitudes se convierten en sumas

• Se pueden usar asíntotas para aproximar el resultado


• No se puede graficar la respuesta a frecuencia 0




F bá i id b áfi d B dFactores básicos a considerar para obtener una gráfica de Bode

1 La ganancia K1. La ganancia K

2. Los factores integrales y derivativos (jω)±1

3. Los factores de primer orden

4 Los factores de segundo orden

1)1( ±+ Tjω

[ ] 12)()(21 ±++ jj ωωωωζ4. Los factores de segundo orden [ ]2)()(21 ++ nn jj ωωωωζ





1. La ganancia K1. La ganancia KSu comportamiento se

obtiene mediante:

30

40120log 20logKK

= −

0

10

20

-30

-20

-10

10-2

10-1

100

101-40





2. Factores integrales y derivativos (jω)±1g y (j )

dB jG ωω log201log20)(log20 −==

dB nj

caso el para

jjG

n ωω

ωω

ω

log20)(

1log20

gg)(g

−=Para G(jω)-1

jω )(

dB nj caso el para

dB jjGn ωω

ωωω

log20)(log20

log20)(log20)(log20

=

==Para G(jω)+1





E di d B d l ó d bi d f iEn diagramas de Bode, la razón de cambio de frecuencia seexpresa en términos de octava o bien de décadas.

Octava: es una razón de cambio de frecuencia de ω a 2 ω, 3 ω,etc.

Década: es una razón de cambio de frecuencia de ω a 10 ω, 100 ω,etc.etc.





La razón de cambio entonces para (1/j ω)n y (j ω)n son-20n dB/década y 20n dB/década, respectivamente.

¿Cómo es la razón de cambio de fase?

( )1tan 90ºjθ ω−= = ( )1 11tan tan 90ºjj

θ ωω

− −⎛ ⎞= = − =−⎜ ⎟

⎝ ⎠1para )(jω +

1para ( )

j

j

ω

ω −

⎝ ⎠





30

40

-20

0

Pendiente de -20 dB/dec para (j )-1 Fase constante de

0

10

20

dB

-80

-60

-40

º

dB/dec, para (jω) 1 Fase constante de

-90ºpara (jω)-1

-20

-10

d

-140

-120

-100

10-1 100 101 102-40

-30

rad/seg10

-110

010

110

2-180

-160

rad/segg





30

40

160

180

Fase constante de

0

10

20

dB

100

120

140

º

Fase constante de

+90ºpara (jω)+1

-20

-10

0d

Pendiente de +20 dB/dec, para (jω)+1 40

60

80

10-1 100 101 102-40

-30

rad/seg

, p (j )

10-1 100 101 1020

20

rad/segg





3 Factores de primer orden1)1( ±+ Tjω3. Factores de primer orden )1( + Tjω

Caso 1.1)1( −+ Tjω

1 dB TTj

221log201

1log20 ωω

+−=+

Para ω<< 1/T Para ω>> 1/T

dB T 0)1log(201log20 22 =−≅+− ω TT ωω log201log20 22 −≅+−





asíntotas asíntotas

0

5

10

asíntotas

-10

0

10

asíntotas

-15

-10

-5

Frecuencia d t

-40

-30

-20

-35

-30

-25

-20 de corte

-80

-70

-60

-50

Frecuencia de corte a -45º

10-1

100

101

102

-40

1/100T 1/10T 1/1T 10/1T

10-1

100

101

102

-90

1/100T 1/10T 1/1T 10/1T





Preguntas:

a) ¿Cuál es el error máximo con respecto a la curva exacta?

b) ¿Cuánto es el error una octava antes de la frecuencia de corte?

c) ¿Cuánto es el error una octava después de la frecuencia de corte?corte?

d) ¿Qué ocurre en el caso de (1+jωT)+1





[ ] 12)()(21 ±ζ4. Factores de segundo orden [ ]2)()(21 ++ nn jj ωωωωζ

En este caso el error es más grande debido al factor ζ, sin este caso e e o es ás g a de deb do a acto ζ, sembargo las asíntotas se calculan como sigue:

C 1Caso 1.

2 221 ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 2

120 log 20 log 1 2

1 2n

n n

n

j j

ω ωζω ωω ωζ

ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠





2 22

2 2

12 0 lo g 2 0 lo g 1 2

1 2 n nj j

ω ωζω ωω ωζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 2

n n

j jζω ω

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para ω >> ωnPara ω << ωn

dB 01log20 =−

n2

220 log 40 log dBn n

ω ωω ω

− = −

Las asíntotas cortan en ω = ωn

dB -n

n 01log40log40 ==−ωω

n





10

20ς = 0.05

0.100 15

-10

0

0.150.200.250.300.40

0.500.60

-40

-30

-200.600.801.0

0 1 1 00 2 0 5 2 0 5 0 10 0

0 ς = 0.050.100 15

0.1 1.0

ω/ωn

0.2 0.5 2.0 5.0 10.0

-90

-45 0.150.200.250.30

0.400.500.600.80

0.1 1.0-180

-135 1.0

0.2 0.5 2.0 5.0 10.0


Regresarω/ωn

ESTABILIDAD RELATIVA DEFINICIÓN DEL ESTABILIDAD RELATIVA DEFINICIÓN DEL


ESTABILIDAD RELATIVA. DEFINICIÓN DEL ESTABILIDAD RELATIVA. DEFINICIÓN DEL MARGEN DE GANANCIA Y DE FASEMARGEN DE GANANCIA Y DE FASE

1 Margen de ganancia = 1/0C1. Margen de ganancia = 1/0C.2. Margen de fase φm = 180° más el ángulo de fase de GcGH en la frecuencia de cruce

(crossover frequency) ωc en la cual |GcGH| = 1. Es también el corrimiento de fasenegativo (esto es, la rotación en el sentido de las manecillas del reloj) de G GH quenegativo (esto es, la rotación en el sentido de las manecillas del reloj) de GcGH quehará que la curva pase a través de -1.

-1C

0

mφ

A cω


ESTABILIDAD RELATIVA DEFINICIÓN DEL ESTABILIDAD RELATIVA DEFINICIÓN DEL


ESTABILIDAD RELATIVA. DEFINICIÓN DEL ESTABILIDAD RELATIVA. DEFINICIÓN DEL MARGEN DE GANANCIA Y DE FASEMARGEN DE GANANCIA Y DE FASE

1. El margen de fase φm es la distancia de la curvade ángulo de fase sobre los -180° en lafrecuencia de cruce (crossover frequency) ωfrecuencia de cruce (crossover frequency) ωc,donde la gráfica de magnitud cruza el eje 0 dB.

2. El margen de ganancia, GMdB en decibeles, esla distancia de la gráfica de magnitud debajo della distancia de la gráfica de magnitud debajo deleje de 0 dB en la frecuencia donde la curva delángulo de fase muestra un ángulo de -180°.


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