respuesta en frecuencia la respuesta en frecuencia se utiliza en: - diseño de sistemas de control....

RESPUESTA EN FRECUENCIA

La respuesta en frecuencia se utiliza en:

- Diseño de sistemas de control.

- Análisis de estabilidad (Criterio de Nyquist).

Permite definir nuevos parámetros: M , w , w

El estudio de F(jw) se realiza gráficamente:

- Se emplean Diagramas de Bode, Nyquist (polar), Black

- Veremos aplicación de reglas para boceto rápido.

- Normalmente: Dibujo por ordenador: Matlab

U(s) Y(s)F(s)

u(t) = cos wt

En r.p.: y(t) = Acos (wt + )

A.e = F (jw) = |F(jw)|.e j j F(jw)

r r c

DIAGRAMAS

BODE NYQUISTBLACK (NICHOLS)

10 10010.10.01w(r/s)

10

20

-20

-10

0

A (dB)

10 10010.10.01w(r/s)

90º

180º

-180º

-90º

0º

Re(F(jw))

Im(F(jw))

1 2 3

1

2

-1-2-3-1

-2

0

90º 180º0º-90º-180º

10

20

-20

-10

0

A (dB)

w=0w=OO

w=0

w=OO

DIAGRAMA DE BODE

Abscisas: - w o f = w/(2.)

- escala logarítmica : década <> factor 10

octava <> factor 2

entre w = 1 y w = 10.......... 1 década

entre w = 1 y w = 100........ 2 décadas

entre w = 2 y w = 20.......... 1 década

entre w = 0.1 y w = 1......... 1 década

entre w = 0.03 y w = 30..... 3 décadas

Nº de décadas entre w y w : log (w /w ) (w > w )1 2 10 2 1 2 1

DIAGRAMA DE BODE

entre w = 1 y w = 2.......... 1 octava

entre w = 1 y w = 4.......... 2 octavas

entre w = 3 y w = 6.......... 1 octava

entre w = 0.1 y w = 0.8.... 3 octavas

entre w = 0.2 y w = 3.2....... 4 octavas

Nº de octavas entre w y w : log (w /w ) = 3,32 log (w /w ) 1 2 2 2 1 10 2 1

Abscisas

DIAGRAMA DE BODE

Ordenadas: - Módulo A: escala lineal en dB

- Fase :escala lineal en grados o radianes

A = 20.log AdB 10 A dBA

10 20 dB100 40 dB0.1 -20 dB0.01 -40 dB 2 3 dB 2 6 dB1/ 2 -3 dB0.5 -6 dB

1 0 dB

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

F(s)= 1/(1+s) F(jw)= 1/(1+jw) A= 1/ (1+(w) )2

A = 20.log (1/ (1+(w) )) = -10.log (1+(w) ) 2 2dB

= - arctg(w)

10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)

20

-40

-20

0 dB

A (dB)

w(r/s)

-90º

-45º

0º

F(jw)

-3 dB

10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/

-6º -84º

-20 dB/dec

Re(F(jw))

Im(F(jw))

1/2

1

-1/2

0w=0w=OO

w=1/

0º

-45º-90º

-20

-10

0

A (dB)

F(jw)w=0

w=OO

-3 dB

Pulsación de corte: w = 1/c

w=1/

-45º

1/ 2


F(s)= 1+s F(jw)= 1+jw A= (1+(w) )2

A = 20.log ( (1+(w) )) = 10.log (1+(w) ) 2 2

dB

= arctg(w)

10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)

20

-20

40

0 dB

A (dB)

w(r/s)

90º

45º0º

3 dB

10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/

6º84º

20 dB/decRe(F(jw))

Im(F(jw))

10w=0

w=OO

w=1/

0º 90º45º

20

10

0

A (dB)

w=0

w=OO

3 dB

1

w=1/


F(s)= s F(jw)= jw A= w

A = 20.log wdB

= 90º

10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)

20

-20

40

0 dB

A (dB)

w(r/s)

90º

45º0º

10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/

20 dB/decRe(F(jw))

Im(F(jw))

0w=0

w=1/

0º 90º45º

20

10

0

A (dB)

w=0

1

w=OO

w=1/

w=OO

-20


F(s)= 1/s F(jw)= 1/jw A= 1/w

A = 20.log 1/w = -20.log wdB

= -90º

10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)

20

-20

40

0 dB

A (dB)

w(r/s)

-45º

-90º

0º

10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/

-20 dB/dec

Re(F(jw))

Im(F(jw))

0

w=0

w=1/

0º-90º -45º

20

10

0

A (dB)

w=0

-1

w=1/

w=OO

-20

w=OO

w=1/


F(s)= s/(1+s) F(jw)= jw/(1+jw) A= w/ (1+(w) )2

A = 20.log (w/ (1+(w) )) = 20.log w - 10.log (1+(w) ) 2 2dB

= 90º - arctg(w)

10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)

20

-40

-20

0 dB

A (dB)

w(r/s)

90º

45º

0º

-3 dB

10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/

84º 6º

Re(F(jw))

Im(F(jw))

1/2 1

1/2

0w=0

w=OO

0º

45º

90º

-20

-10

0

A (dB)

w=0

w=OO-3 dB

20 dB/dec


F(s)= (1+s)/s F(jw)= (1+jw)/jw A = (1+(w) )/w2

A = 20.log ( (1+(w) )/w) = 10.log (1+(w) ) - 20.log w2 2dB

= arctg(w) - 90º

10/ 100/ 1/ 0.1/ 0.01/ w(r/s)

20

-20

40

0 dB

A (dB)

w(r/s)

-90º

-45º

0º

3 dB

10/ 100/ 1/ 0.01/ 0.1/

-84º6º

-20 dB/dec Re(F(jw))

Im(F(jw))

10

w=0

w=OOw=1/

0º-45º-90º

20

10

0

A (dB)

w=0

w=OO3 dB

1

-1

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

s + 2s + F(s) =

n n2 2

n2

(jw) + 2jw + F(jw)=

n n2 2

n2

A= n

2

(- w ) + (2w) 2n

2 2n

2= - arctg((2w)/ (- w ))2

n2

n

0.1

w(r/s)

20

-40

-20

0 dB

A (dB)

w(r/s)

-180º

-90º

0º

=2-40 dB/dec

10n n n

=1

=0.2

=2=1

=0.2

10 n0.1 n n

Mr


máximo: M = 1

2 1- r n2

= 1- 2r2

n = 1- 2c2+ 2 - 4+ 42 4

Pulsación de corte:

|F(jw)|= 1/ 2 (-3 dB)

|F(jw)|

Si <=1/ 2 , |F(jw)| tiene un máximo:

Se define la pulsación de corte para c


Re(F(jw))

Im(F(jw))

1/2

1

-1/2

0 w=0w=OO

w=

0º

-45º-90º

-20

-10

0

A (dB)

w=0

w=OO

-1n

w= n

w= n =2=1

=0.5

-180ºw= n

w= n=2

=0.5

=1

NYQUISTBLACK (NICHOLS)

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE

1º Normalizar F(s) con términos de la forma:

K, s, 1 + s, /( )

2º Situar ejes: A en 20.logK en 0º (K positivo) o 180º(K negativo) + p.(90º) siendo p el exponente de s

3º Dibujar los términos s, 1 + s, /( )

4º Sumar comenzando por izda.

s + 2s + n n2 2

n2

s + 2s + n n2 2

n2


Ejemplo: F(s) = s + 1/3

s.(s + 1/5)

6

5


Ejemplo: F(s) = = s + 1/3

s.(s + 1/5)

6

5

1 + 3s

s.(1 + 5s)2 .



s.(s + 1/5)

6

5

1 + 3s

s.(1 + 5s)2 .

20.log2=6dB

-90º

w=1w=0.1

w=1/5w=1/3

w=1w=0.1

w=1/5

w=1/3



s.(s + 1/5)

6

5

1 + 3s

s.(1 + 5s)2 .

20.log2=6dB

-90º

w=1w=0.1

w=1/5w=1/3

-20 dB/dec

-20 dB/dec

20 dB/dec

w=1w=0.1

w=1/5

w=1/3

+45º

-45º

+45º/dec

-45º/dec



s.(s + 1/5)

6

5

1 + 3s

s.(1 + 5s)2 .

20.log2=6dB

-90º

w=1w=0.1

w=1/5w=1/3

-20 dB/dec

-20 dB/dec

-20 dB/dec

-40 dB/dec

-20 dB/dec

20 dB/dec20 dB

12,1220.log(1/(1/5))=14 dB40.log((1/3)/(1/5)) = 8,88 dB

w=1w=0.1

w=1/5

w=1/3

+45º

-45º

+45º/dec

-45º/dec

45.log((1/3)/(1/5)) = 10º

-100º

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE NYQUIST Y BLACK

1º Observar comportamiento en w = 0

2º Observar comportamiento en w= 0

3º Observar ptos importantes en F o D. Bode

0

Re(F(jw))

Im(F(jw))

0

w=0

0º-45º

20

10

0

A (dB)

w=0

-10 w=OO

-20

w=OO

-100º

-90º

-100º

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