Teorema de muestreo de NyquistShannonDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda

Funcin de interpolacin g(t) para Fs=44100 muestras por segundo (estndar CDAudio). Excepto para t=0, el intervalo entre pasos por cero (lneas verticales verdes) representa el intervalo entre muestras (~22,68 s para este ejemplo). El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, tambin conocido como teorema de muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, es un teorema fundamental de la teora de la informacin, de especial inters en las telecomunicaciones. Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise). El teorema trata con el muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificacin, proceso que sigue al de muestreo en la digitalizacin de una seal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una prdida de informacin en el proceso de cuantificacin, incluso en el caso ideal terico, que se traduce en una distorsin conocida como error o ruido de cuantificacin y que establece un lmite terico superior a la relacin seal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una seal son valores exactos que an no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisin determinada, esto es, an no han sido cuantificadas. El teorema demuestra que la reconstruccin exacta de una seal peridica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemticamente posible si la seal est limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

Dicho de otro modo, la informacin completa de la seal analgica original que cumple el criterio anterior est descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de muestreo. No hay nada, por tanto, de la evolucin de la seal entre muestras que no est perfectamente definido por la serie total de muestras. Si la frecuencia ms alta contenida en una seal analgica es y la

seal se muestrea a una tasa , entonces se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente funcin de interpolacin:

Ejemplo de reconstruccin de una seal de 14,7 kHz (lnea gris discontinua) con slo cinco muestras. Cada ciclo se compone de slo 3 muestras a 44100 muestras por segundo. La reconstruccin terica resulta de la suma ponderada de la funcin de interpolacin g(t) y sus versiones correspondientes desplazadas en el tiempo g(t-nT) con , donde los coeficientes de ponderacin son las muestras x(n). En esta imagen cada funcin de interpolacin est representada con un color (en total, cinco) y estn ponderadas al valor de su correspondiente muestra (el mximo de cada funcin pasa por un punto azul que representa la muestra). As, se puede expresar como:

donde

son las muestras de

.

Hay que notar que el concepto de ancho de banda no necesariamente es sinnimo del valor de la frecuencia ms alta en la seal de inters. A las seales para las cuales esto s es cierto se les llama seales de banda base, y no todas las seales comparten tal caracterstica (por ejemplo, las ondas de radio en frecuencia modulada). Si el criterio no es satisfecho, existirn frecuencias cuyo muestreo coincide con otras (el llamado aliasing).

Contenido[ocultar]

1 Errores de interpretacin frecuentes en relacin con el teorema y el proceso de muestreo o 1.1 Nuevos formatos y su relacin con las interpretaciones errneas sobre el teorema y su utilidad prctica 2 Bibliografa 3 Referencias 4 Vase tambin 5 Enlaces externos

Errores de interpretacin frecuentes en relacin con el teorema y el proceso de muestreoEs un error frecuente y extendido creer que, una vez satisfechos los criterios del teorema (criterios de Nyquist), la calidad de la reconstruccin de una seal en toda su banda (lo que excluye el uso de tcnicas de Noise Shaping para alterar selectivamente la distorsin consecuencia del proceso de cuantificacin en seales completamente digitalizadas, esto es, muestreadas y cuantificadas) es funcin de la tasa de muestreo empleada en el proceso de muestreo. Esto es totalmente falso desde la perspectiva matemtica del teorema y un error, una vez consideradas las limitaciones prcticas, en el mbito prctico de la fsica o la ingeniera.[1] El proceso de muestreo (que no debe ser confundido con el de cuantificacin) es, desde el punto de vista matemtico perfectamente reversible, esto es, su reconstruccin es exacta, no aproximada. Dicho de otro modo, desde el punto de vista matemtico al que se refiere el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la reconstruccin de una seal peridica con componentes de hasta 10 kHz es idntica tanto si se obtiene de una tasa de muestreo de 25000 muestras por segundo como de una de 50000 muestras por segundo. Matemticamente, no aporta nada incrementar la tasa de muestreo una vez que esta cumple el criterio de Nyquist: la informacin necesaria para su reconstruccin total existe desde que la tasa cumple el criterio. Tambin son errores frecuentes y extendidos, relacionados directamente con lo expuesto en este prrafo, creer que los puntos que resultan del proceso de muestreo se unen en la reconstruccin mediante rectas (interpolacin lineal) formando dientes de sierra en las frecuencias representadas por pocas muestras o que existe un proceso de clculo que realiza la interpolacin de manera predictiva. En resumen, el teorema de muestreo demuestra que toda la informacin de una seal contenida en el intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera est descrita por la serie total de muestras

siempre que la seal registrada sea de naturaleza peridica (como lo es el sonido) y no tenga componentes de frecuencia igual o superior a la mitad de la tasa de muestreo; no es necesario inventar o predecir la evolucin de la seal entre muestras. En la prctica y dado que no existen los filtros analgicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia mxima que se desea registrar y la frecuencia de Nyquist (frecuencia crtica) que resulta de la tasa de muestreo elegida (por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia mxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crtica de la tasa de 44100 muestras por segundo empleada es de 22,05 kHz; un margen del 10% aproximadamente para esta aplicacin). Pero este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones fsicas de un filtro de reconstruccin (o filtro antialiasing) real, y no una consideracin que contemple (o deba contemplar) el teorema, que pretende establecer el marco terico (matemtico) en el que se deben fundamentar los profesionales que tratan con el procesamiento digital de seales. En ocasiones se emplean tcnicas de sobremuestreo para la reconstruccin de una seal con objeto de aumentar artificialmente este margen y permitir el uso de filtros de fase lineal (retardo de grupo constante) en la banda pasante y, en general, ms sencillos y econmicos con pendientes de atenuacin ms suaves. En todo caso, tanto el margen como el uso de tcnicas de sobremuestreo son recursos de ingeniera para tratar restricciones prcticas que en nada invalidan la demostracin y el contenido del teorema. El teorema es, de hecho, el marco analtico sobre el que las restricciones reales (no ideales) deben ser estudiadas.

Nuevos formatos y su relacin con las interpretaciones errneas sobre el teorema y su utilidad prcticaLa aparicin reciente de nuevos formatos de audio (denominados frecuentemente formatos de alta resolucin) para usuario final que contienen seales muestreadas con tasas ms elevadas a la empleada en CD-Audio han contribuido a extender la idea errnea de que la calidad en la reconstruccin de una seal en toda su banda (hasta la frecuencia crtica) es funcin directa de la tasa de muestreo empleada. En todo caso, parece evidente que el potencial para registrar y reproducir ultrasonidos no forma parte de los mensajes de mercadotecnia que pretenden promocionar estos en el mercado. Un argumento que suele tener la forma general de "si los nuevos formatos de alta resolucin registran seales con tasas de muestreo ms elevadas para la reconstruccin de seales con el mismo ancho de banda es porque el teorema de muestreo no aplica/no es vlido/es errneo y esta mayor tasa contribuye a una mejora en la calidad". Los nuevos formatos de audio que recientemente han aparecido (aunque con escaso xito comercial) que emplean Modulacin por impulsos codificados (PCM) sin prdida por compresin con tasas de muestreo ms altas a las empleadas en el CD-Audio, (DVD-Audio, por ejemplo) para registrar y reproducir seales de idntico ancho de banda se justifican porque permiten el empleo de filtros de reconstruccin ms benignos, sencillos y econmicos sacrificando un recurso cada vez ms econmico y de menor trascendencia (la capacidad de almacenamiento, un recurso crtico en el pasado) y porque, adems, satisfacen simultneamente las expectativas de un mercado como el audifilo, caracterizado por dogmas[2] entre los que se encuentra muy extendida la falsa creencia de que esto representa una mejora en la calidad de la seal reconstruida (en particular, de sus componentes de alta frecuencia). Este error es slo una consecuencia

de una clara incomprensin del alcance y significado del teorema de muestreo y de establecer comparaciones falaces como, por ejemplo, con la digitalizacin de imgenes (donde no se realiza la reconstruccin de una seal peridica), etc. La elevada tasa de muestreo de otro formato de audio de reciente aparicin, el SACD o Super Audio CD, es una consecuencia del uso de una tecnologa denominada comercialmente Direct Stream Digital (DSD) basada en un tipo de codificacin digital denominado Modulacin por densidad de impulsos (PDM). Si bien la tasa de muestreo es 64 veces la del CD-Audio, es necesario tener presente que se trata de una cuantificacin de 1 bit (en lugar de los 16 empleados en el CD-Audio) y basado en tcnicas de Noise Shaping (modelado de ruido). No es posible, por tanto, establecer comparaciones superficiales con el PCM de CD-Audio DVD-Audio (ambos PCM), ya que en este caso la relacin seal-ruido no es constante respecto de la frecuencia[3] (en CD-Audio el ruido de cuantificacin es independiente de la frecuencia y slo depende de los intervalos de amplitud empleados en el proceso de cuantificacin, es decir, es de unos 98,09 dB[4] constantes para los 16 bits de este estndar CD-Audio en todo el espectro til). Un SACD puede registrar y reproducir seales con componentes de hasta 33 kHz con una relacin seal-ruido equivalente al de un CD-Audio (aunque 33 kHz est casi una octava por encima del mximo audible y, por tanto, una ventaja sobre el CD-Audio de dudosa utilidad prctica) y mantener una relacin seal-ruido de aproximadamente 122 dB para el espectro audible (un potencial, el equivalente aproximado a 20 bits, tambin de dudosa utilidad prctica como formato final de usuario considerando los medios y entornos de reproduccin de este formato). Entre las ventajas objetivas de estos formatos (DVD-Audio y SACD) se encuentra el potencial multicanal (registro de ms de dos canales) y la capacidad para el empleo de tcnicas de proteccin de copia (algo de extraordinario inters para las compaas discogrficas y, probablemente, la autntica justificacin industrial y comercial de estos productos junto con el evidente beneficio resultante de la sustitucin de todos los equipos reproductores y grabadores del mundo). Se han publicado trabajos experimentales rigurosos[5] que concluyen que no existen diferencias audibles entre los formatos denominados de alta resolucin y el tradicional soporte de audio digital CD-Audio (PCM 16 bits;44100 muestras/s). Asimismo, tambin se han probado indistinguibles entre s los formatos de alta resolucin SACD y DVD-Audio.[6] [7

Frecuencia de muestreoDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda Escuche este artculo (info)

Esta narracin de audio fue creada a partir de una versin especfica de este artculo y no refleja las posibles ediciones subsecuentes.

Ms artculos grabadosProblemas al reproducir este archivo? Vea Ayuda:Multimedia.

Seal original y muestreo de la misma. La tasa o frecuencia de muestreo es el nmero de muestras por unidad de tiempo que se toman de una seal continua para producir una seal discreta, durante el proceso necesario para convertirla de analgica en digital. Como todas las frecuencias, generalmente se expresa en hercios (Hz, ciclos por segundo) o mltiplos suyos, como el kilohercio (kHz), aunque pueden utilizarse otras magnitudes.

Contenido[ocultar]

1 Teorema de Nyquist 2 Frecuencias de muestreo para audio y vdeo o 2.1 Vdeo 3 Efecto aliasing 4 Filtro antialiasing 5 Sobremuestreo 6 Modificacin de la frecuencia de muestreo 7 Bibliografa 8 Vase tambin 9 Referencias 10 Enlaces externos

Teorema de NyquistArtculo principal: Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

Segn el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, para poder replicar con exactitud (es decir, siendo matemticamente reversible en su totalidad) la forma de una onda es necesario que la frecuencia de muestreo sea superior al doble de la mxima frecuencia a muestrear. Es un error frecuente y extendido creer que una misma seal muestreada con una tasa elevada se reconstruye mejor que una muestreada con una tasa inferior.[1] Esto es falso (siempre que la tasas empleadas cumplan el criterio de Nyquist, naturalmente). El proceso de muestreo (que no debe ser confundido con el de cuantificacin) es, desde el punto de vista matemtico perfectamente reversible, esto es, su reconstruccin es exacta, no aproximada. Dicho de otro modo, desde el punto de vista matemtico al que se refiere el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la reconstruccin de una seal de 10 kHz es idntica tanto si se obtiene de una tasa de muestreo de 25000 muestras por segundo como de una de 50000 muestras por segundo. No aporta nada incrementar la tasa de muestreo una vez que sta cumple el criterio de Nyquist. Tambin son errores frecuentes y extendidos, relacionados con lo expuesto en este prrafo, creer que los puntos que resultan del proceso de muestreo se unen en la reconstruccin mediante rectas formando dientes de sierra o que existe un proceso de clculo que realiza la interpolacin de manera simulada. En resumen, el teorema de muestreo demuestra que toda la informacin de una seal contenida en el intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera est descrita por la serie total de muestras siempre que la seal registrada sea de naturaleza peridica (como lo es el sonido) y no tenga componentes de frecuencia igual o superior a la mitad de la tasa de muestreo; no es necesario inventar la evolucin de la seal entre muestras. En la prctica y dado que no existen los filtros analgicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia mxima que se desea registrar y la frecuencia de Nyquist (frecuencia crtica) que resulta de la tasa de muestreo elegida (por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia mxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crtica de la tasa de 44100 muestras por segundo empleada es de 22,05 kHz; un margen del 10% aproximadamente para esta aplicacin). Pero este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones fsicas de un filtro de reconstruccin (o filtro antialiasing) real, y no una consideracin que contemple (o deba contemplar) el teorema. Con frecuencia en los conversores modernos de CD-Audio, para la reconstruccin de una seal se emplean tcnicas de sobremuestreo con objeto de aumentar este margen y permitir el uso de filtros de fase lineal (retardo de grupo nulo) en la banda pasante y, en general, ms sencillos y econmicos con pendientes de atenuacin ms suaves. Los nuevos formatos de audio que recientemente han aparecido (aunque con escaso xito comercial) que emplean PCM sin prdida por compresin con tasas de muestreo ms altas a las empleadas en el CD-Audio, (DVD-Audio, por ejemplo) para registrar y reproducir seales de idntico ancho de banda se justifican porque permiten el empleo de filtros de reconstruccin ms benignos, sencillos y econmicos sacrificando un recurso cada vez ms econmico y de menor trascendencia (la capacidad de almacenamiento, un recurso crtico en el pasado) y porque, adems, satisfacen

simultneamente las espectativas de un mercado como el audifilo, caracterizado por dogmas[2] entre los que se encuentra muy extendida la falsa creencia de que esto representa una mejora en la calidad de la seal reconstruida (en particular, de sus componentes de alta frecuencia). Este error es slo una consecuencia de una clara incomprensin de las consecuencias del teorema de muestreo y de establecer comparaciones falaces como, por ejemplo, con la digitalizacin de imgenes (donde no se realiza una reconstruccin de una seal peridica), etc. La alta tasa de muestreo de otro formato de audio de reciente aparicin, el SACD o Super Audio CD, es una consecuencia del uso de una tecnologa denominada modulacin Sigma-Delta (Direct Stream Digital). Si bien la tasa de muestreo es 64 veces la del CD-Audio, es necesario tener presente que se trata de una cuantificacin de 1 bit (en lugar de los 16 empleados en el CD-Audio) y basado en tcnicas de Noise Shaping (modelado de ruido). No es posible, por tanto, establecer comparaciones superficiales con el PCM de CD-Audio, ya que en este caso la relacin seal-ruido no es constante respecto de la frecuencia (en CD-Audio el ruido de cuantificacin es independiente de la frecuencia y slo depende de los intervalos de amplitud empleados en el proceso de cuantificacin, es decir, de unos 98,09 dB constantes para los 16 bits de este estndar CD-Audio en todo el espectro til). Un SACD puede registrar y reproducir seales con componentes de hasta 33 kHz con una relacin seal-ruido equivalente al de un CD-Audio (aunque 33 kHz est casi una octava por encima del mximo audible y, por tanto, una ventaja sobre el CD-Audio de dudosa utilidad) y mantener una relacin seal-ruido de aproximadamente 122 dB para el espectro audible (un potencial, el equivalente aproximado a 20 bits,[3] tambin de dudosa utilidad prctica como formato final de usuario). Entre las ventajas objetivas de estos formatos recientes (DVD-Audio y SACD) se encuentra el potencial multicanal (registro de ms de dos canales) y la capacidad para el empleo de tcnicas de proteccin de copia (algo de extraordinario inters para las compaas discogrficas). Ninguna prueba doble-ciego realizada en condiciones controladas ha probado que existan diferencias audibles entre estos formatos denominados de "alta resolucin".[4] [5]

Frecuencias de muestreo para audio y vdeoEn audio, la mxima audiofrecuencia perceptible para el odo humano joven y sano est en torno a los 20 kHz, por lo que tericamente una frecuencia de muestreo de 40000 sera suficiente para su muestreo; no obstante, el estndar introducido por el CD, se estableci en 44100 muestras por segundo. La frecuencia de muestreo ligeramente superior permite compensar los filtros utilizados durante la conversin analgicadigital. Hay que tener en cuenta que no todas las fuentes sonoras se aproximan a los 20 kHz que corresponden a esta frecuencia mxima; la mayora de los sonidos est muy por debajo de sta. Por ejemplo, si se va a grabar la voz de una soprano, la mxima frecuencia que la cantante ser capaz de producir no tendr armnicos de nivel significativo en la ltima octava (de 10 a 20 kHz), con lo que utilizar una frecuencia de muestreo de 44100 muestras por segundo sera innecesario (se estara empleando una capacidad de almacenamiento extra que se podra economizar).

Frecuencias de muestreo tpicas8000 muestras/s 22050 muestras/s 32000 muestras/s 44100 muestras/s 47250 muestras/s 48000 muestras/s 50000 muestras/s 96000 192400 muestras/s 2 822 400 muestras/s Para audio Telfonos, adecuado para la voz humana pero no para la reproduccin musical. En la prctica permite reproducir seales con componentes de hasta 3,5 kHz. Radio En la prctica permite reproducir seales con componentes de hasta 10 kHz. Vdeo digital en formato miniDV. CD, En la prctica permite reproducir seales con componentes de hasta 20 kHz. Tambin comn en audio en formatos MPEG-1 (VCD, SVCD, MP3). Formato PCM de Nippon Columbia (Denon). En la prctica permite reproducir seales con componentes de hasta 22 kHz. Sonido digital utilizado en la televisin digital, DVD, formato de pelculas, audio profesional y sistemas DAT. Primeros sistemas de grabacin de audio digital de finales de los 70 de las empresas 3M y Soundstream. HD DVD, audio de alta definicin para DVD y BD-ROM (Blu-ray Disc). SACD, Direct Stream Digital, desarrollado por Sony y Philips. Para vdeo Vdeo PAL. 50 Hz Vdeo NTSC. 60 Hz El estndar del CD-Audio est fijado en 44100 muestras por segundo, pero esto no significa que esa sea la frecuencia que utilizan todos los equipos. Los sistemas domsticos de baja calidad pueden utilizar tasas de 22050 muestras por segundo o de 11025 muestras por segundo (limitando as la frecuencia de los componentes que pueden formar la seal). Adems, las tarjetas de sonido de los equipos informticos utilizan frecuencias por encima o por debajo de este estndar, muchas veces seleccionndolas en funcin de las necesidades concretas (sobre todo, en aplicaciones de audio profesional). Algunas frecuencias de muestreo tpicas en sistemas de audio y vdeo aparecen resumidas en tablas, ms arriba.

VdeoEn vdeo digital, la frecuencia entre fotogramas es utilizada para definir la frecuencia de muestreo de la imagen en lugar del ritmo de cambios de los pxeles individuales. La frecuencia de muestreo de la imagen es el ritmo de repeticin del perodo de integracin del CCD. Dado que el periodo de integracin puede ser significativamente ms corto que el tiempo entre repeticiones, la frecuencia de muestreo puede diferir de la inversa del tiempo de muestreo.

Efecto aliasing

Si se utiliza una frecuencia menor a la establecida por el teorema de Nyquist, se produce una distorsin conocida como aliasing; algunos autores traducen este trmino como solapamiento. El aliasing impide recuperar correctamente la seal cuando las muestras de sta se obtienen a intervalos de tiempo demasiado largos. La forma de la onda recuperada presenta pendientes muy abruptas.

Filtro antialiasingPara eliminar el aliasing, los sistemas de digitalizacin incluyen filtros paso bajo, que eliminan todas las frecuencias que sobrepasan la frecuencia crtica (la que corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo elegida) en la seal de entrada. Es decir, todas las frecuencias que queden por encima de la frecuencia mxima a muestrear seleccionada, son eliminadas. El filtro paso bajo para este uso concreto recibe el nombre de filtro antialiasing. Sin embargo, abusar de los filtros antialiasing, puede producir el mismo efecto que se quiere evitar. Cuando se conectan varios filtros en cascada (en el muestreo, en la conversin digital-analgica, etc.), un filtrado excesivo de una onda que ya cumpla con el requisito para su correcta transformacin A/D puede degenerar y provocar que la onda final presente una pendiente marcada. Por esta desventaja del filtro antialiasing se ha generalizado la tcnica conocida como sobremuestreo de la seal.

SobremuestreoPara evitar las cadas abruptas se utiliza la tcnica conocida como sobremuestreo (oversampling), que permite reconstruir, tras la conversin D/A, una seal de pendiente suave. Un sobremuestreo consiste en aplicar un filtro digital que acta sobre el tiempo (dominio de frecuencia), cambiando de lugar las muestras, de forma que al superponerlas, se creen muestreos simultneos virtuales. Estos muestreos simultneos no son reales, son simulaciones generadas por el propio filtro. Estos muestreos simultneos se obtienen utilizando el llamado coeficiente de sobremuestreo (n), que viene indicado por la expresin ( , , , ...). Las muestras obtenidas se superponen con los datos originales y los conversores A/D los promedian, obteniendo una nica muestra ponderada (por ejemplo, si se hacen tres muestreos, finalmente, la muestra tomada no es ninguna de las tres, sino su valor medio). Para evitar el aliasing, tambin se introduce a la entrada un filtro paso bajo digital, que elimine aquellas frecuencias por encima de la mitad de la frecuencia de muestreo. No obstante, a la salida, la frecuencia de muestreo utilizada para reproducir la seal ya no es la misma que se utiliz para tomar las muestras a la entrada, sino que es tantas veces mayor como nmeros de muestreo se hayan hecho. Consideremos un ejemplo caracterstico de la digitalizacin de msica en formato CD. Imaginemos que para digitalizar el CD se hacen 3 muestreos a 44,1 kHz que se interpolan. Se introduce un filtro paso bajo, llamado decimator, que elimina las frecuencias por encima de los 20 kHz, pero la frecuencia de muestreo utilizada para reconstruir la seal ser tres veces mayor: 132,3 kHz. De este modo se reconstruye la seal suavizando la pendiente. A este proceso de filtrado durante la conversin D/A se lo conoce como diezmado.

Sin embargo, es evidente que incorporar la tcnica del sobremuestreo encarece considerablemente el equipo.

Modificacin de la frecuencia de muestreoDada una seal analgica x(t), la muestreamos a una Fm determinada y obtenemos la seal discreta x(n), para adaptar esta seal discreta un reproductor de distinta frecuencia de muestreo, usaremos la interpolacin ( para aumentar la frecuencia ) y el diezmo (para disminuir la frecuencia ). Una vez tengamos la seal discreta x(n), donde 'n' es un entero, aplicamos la TFSD (Transformada de Fourier de Seales Discretas). x(n) TFSD X(e^j) Interpolacin factor L de X(e^j): Xi(e^j)= LX(e^L)[(-2pik)/(2pi/L)] :filtro paso bajas k:(-infinito, +infinito)

Bibliografa

FRIES, Bruce y FRIES, Marty. Audio digital prctico. Ed. Anaya Multimedia. 2005. ISBN 84-415-1892-0 RUMSEY, Francis y McCORMICK, Tim. Sonido y grabacin. Introduccin a las tcnicas sonoras. 2004. RUSS, Martin. Sntesis y muestreo de sonido. (Gua prctica sobre los sintetizadores). 1999. ISBN 84-88788-35-5 WATKINSON, J. El arte del audio digital. IORTV, Madrid, 1993 WATKINSON, John. Introduccin al audio digital. 2003. ISBN 84-932844-9-1.

AliasingDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda En estadstica, procesamiento de seales, computacin grfica y disciplinas relacionadas, el aliasing es el efecto que causa que seales continuas distintas se tornen indistinguibles cuando se muestrean digitalmente. Cuando esto sucede, la seal original no puede ser reconstruida de forma unvoca a partir de la seal digital. Una imagen limitada en banda y muestreada por debajo de su frecuencia de Nyquist en las direcciones "x" e "y", resulta en una superposicin de las replicaciones peridicas del espectro G(fx, fy). Este fenmeno de superposicin peridica sucesiva es lo que se conoce como aliasing o Efecto Nyquist. El aliasing es un motivo de preocupacin mayor en lo que concierne a la conversin analgica-digital de seales de audio y vdeo: el muestreo incorrecto de seales analgicas puede provocar que seales de alta frecuencia presenten dicho aliasing con

respecto a seales de baja frecuencia. El aliasing es tambin una preocupacin en el rea de la computacin grfica e infografa, donde puede dar origen a patrones de moir (en las imgenes con muchos detalles finos) y tambin a bordes dentados. El aliasing nos puede traer problemas sobre todo en el campo de visin por computadores, ya que al procesar imgenes, si no es correcta la imagen obtenida con la realidad, podemos tener problemas con el hardware.

Contenido[ocultar]

1 Generalidades o 1.1 Aliasing en fenmenos peridicos o 1.2 Muestreo de una seal sinusoidal o 1.3 Aliasing espacial o 1.4 Criterio de Nyquist o 1.5 En la computacin grfica 2 Vase tambin

GeneralidadesAliasing en fenmenos peridicosEl Sol tiene un movimiento aparente de este a oeste en la bveda celeste, con 24 horas entre cada amanecer. Si tomsemos una fotografa del cielo cada 23 horas, el sol parecera moverse de oeste a este, con 2423=552 horas entre cada amanecer. El mismo fenmeno causa que las aspas de un ventilador parezcan a veces girar en el sentido inverso del que en realidad lo hacen, cuando se les filma o cuando son iluminadas por una fuente de luz parpadeante, tal como una lmpara estroboscpica, un tubo de rayos catdicos o una lmpara fluorescente, o simplemente, cuando el ventilador es iluminado por la parpadeante luz de la televisin.

Muestreo de una seal sinusoidalCuando se obtienen muestras peridicas de una seal sinusoidal, puede ocurrir que se obtengan las mismas muestras que se obtendran de una seal sinusoidal igualmente pero con frecuencia ms baja. Especficamente, si una sinusoide de frecuencia f Hz es muestreada s veces por segundo, y s 2f, entonces las muestras resultantes tambin sern compatibles con una sinusoide de frecuencia fm - f, donde fm es la frecuencia de muestreo. En la jerga inglesa de procesamiento de seales, cada una de las sinusoides se convierte en un "alias" para la otra.

Por tanto, si se muestrea a la frecuencia s una seal analgica que contiene las dos frecuencias, la seal no podr ser reconstruida con exactitud. Velocidad de muestreo recomendada: 2xfrecuencia mayor (medida de frecuencia) 10xfrecuencia mayor (detalle de la forma de onda)

Aliasing espacial

Imagen correctamente muestreada de una muralla de ladrillos.

Aliasing espacial en la forma de un patrn de muar.

As como se define una frecuencia temporal, sobre imgenes se puede definir tambin una frecuencia espacial y, por lo tanto, el muestreo mnimo (en pxeles/cm) con que necesita ser escaneada una imagen para evitar el efecto.

Criterio de NyquistEst demostrado rigurosamente que para evitar el aliasing es necesario asegurarse de que en la seal analgica a muestrear con una frecuencia s, no existen componentes sinusoidales de frecuencia mayor a s/2. Esta condicin es llamada el criterio de Nyquist, y es equivalente a decir que la frecuencia de muestreo s debe ser al menos dos veces mayor que el ancho de banda de la seal. El Teorema de Nyquist indica que la frecuencia de muestreo mnima que tenemos que utilizar debe ser mayor que 2fmax, donde fmax es la frecuencia mxima de la seal compleja. Si utilizamos esa frecuencia de muestreo, podremos reproducir posteriormente la seal a partir de las muestras tomadas. En la prctica, debido a las limitaciones de los circuitos, la utilizacin de una frecuencia ms alta que la que nos dice Nyquist permite obtener una representacin ms exacta de la seal de entrada.

En la computacin grficaEn informtica y particularmente en computacin grfica, el aliasing es el artefacto grfico caracterstico que hace que en una pantalla ciertas curvas y lneas inclinadas presenten un efecto visual tipo "sierra" o "escaln". El aliasing ocurre cuando se intenta representar una imagen con curvas y lneas inclinadas en una pantalla, framebuffer o imagen, pero que debido a la resolucin finita del sustrato resulta que ste sea incapaz de representar la curva como tal, y por tanto dichas curvas se muestran en pantalla dentadas al estar compuestas por pequeos cuadrados (los pxeles).

Vase tambin

Antialiasing

Muestreo digitalDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda El muestreo digital es una de las partes del proceso de digitalizacin de las seales. Consiste en tomar muestras de una seal analgica a una frecuencia o tasa de muestreo constante, para cuantificarlas posteriormente.

Contenido[ocultar]

1 Descripcin del proceso

2 Muestreo terico 3 Teorema de Muestras 4 Muestreo prctico o 4.1 Clases de muestreo prctico 5 Influencia de los filtros 6 El teorema de muestras prctico 7 Vase tambin

[editar] Descripcin del procesoEl muestreo est basado en el teorema de muestreo, que es la base de la representacin discreta de una seal continua en banda limitada. Es til en la digitalizacin de seales (y por consiguiente en las telecomunicaciones) y en la codificacin del sonido en formato digital. Independientemente del uso final, el error total de las muestras ser igual al error total del sistema de adquisicin y conversin ms los errores aadidos por el ordenador o cualquier sistema digital. Para dispositivos incrementales, tales como motores paso a paso y conmutadores, el error medio de los datos muestreados no es tan importante como para los dispositivos que requieren seales de control continuas.

[editar] Muestreo tericoSea la seal de banda limitada y paso-bajo (dominio de la frecuencia) es nulo para: (dominio del tiempo) cuyo espectro . Sea tambin la onda:

El producto de :

es una onda formada por deltas de peso igual a las muestras

, que dar lugar a otro tren de deltas:

Funcin escala fs.

La transformada de es la de repetida y centrada en cada armnico de la frecuencia de muestreo, exceptuando el trmino constante o la funcin escala . No se producir solapamiento entre los espectros parciales de si se verifica que:

De la observacin del espectro simplemente pasando la condicin:

se deduce la posibilidad de recuperar cumpla

por un filtro paso-bajo cuya frecuencia de corte

[editar] Teorema de Muestras

Espectro X(f) de la seal paso-bajo. Se considera la seal paso-bajo espectro , que cumple: para , cuyo

se representa en la figura.

Es posible establecer un desarrollo en Serie de Fourier de del modo siguiente:

, limitado a

, en dnde los coeficientes del desarrollo vienen dados por:

Ahora bien, si

es la transformada inversa de

:

, de dnde se infiere una relacin inmediata entre los concretamente: y valores particulares de ,

As pues, puede escribirse el espectro muestras ecuacin anterior: de

de

en trminos de las propias dados en la

sin ms que sustituir los valores de

Para hallar los trminos de as:

bastar con calcular la transformada inversa, resultando

Obsrvese que ste resultado es consecuencia de la limitacin de banda

y que la

operacin de muestreo aparece en el curso de la especificacin de . De esta manera, se demuestra el denominado Teorema de Muestras, el cual afirma que toda seal de banda limitada puede expresarse de modo nico en funcin de sus muestras o valores puntuales tomados a intervalos regulares . El valor de ser tal que: , siendo la mxima frecuencia espectral de la seal.

Este teorema es igualmente vlido, adaptando ciertas condiciones para muestreo no uniforme y por supuesto para seales paso banda, dependiendo en ste caso de la frecuencia de muestreo de la anchura de banda de paso y de la frecuencia central de la seal. Como corolario del teorema, se puede afirmar que dada la coleccin discreta de valores existe una funcin y slo una de banda limitada a los puntos dados y se construye mediante la ltima ecuacin. que pasa por todos

[editar] Muestreo prctico

Muestreo prctico instantneo.

Muestreo prctico natural. El Teorema de muestreo no impone ninguna exigencia en cuanto al modo de obtener las muestras, por lo que la seal se podr reconstruir a partir de algn mtodo ms susceptible de implementacin prctica.

El muestreo prctico difiere del terico en tres aspectos principales:

La onda muestreadora est constituida por trenes de impulsos de duracin no nula. Los filtros prcticos de reconstruccin no son ideales. Los mensajes a los que se aplica el teorema no estn estrictamente limitados en banda, ni pueden, ya que se trata de seales limitadas en el tiempo.

[editar] Clases de muestreo prctico

Sea un impulso arbitrario cualquiera , tal que: evita que se solapen los impulsos bsicos) y sea la onda:

para

(lo que

Una posible forma de transmitir las muestras es utilizar las muestras como amplitud del impulso m-simo, centrado en el instante del muestreo, es decir, formar la seal:

, que es un tren de impulsos, cada uno de los cuales viene afectado por un factor de escala (peso o amplitud) igual al valor instantneo . La seal anterior constituye un ejemplo bsico de muestreo prctico instantneo. En el caso del muestreo prctico natural, en vez de afectar a cada impulso con un valor instantneo de se le multiplica punto a punto por cada uno de los valores de en el intervalo de existencia, en otras palabras, se forma el producto genrico . Sumando tales productos se obtiene este tipo de muestreo, que se puede representar mediante la ecuacin:

[editar] Influencia de los filtrosLa influencia de los filtros de reconstruccin no ideales se observa fcilmente en el dominio de la frecuencia. En la siguiente figura se representa parte del espectro de una seal muestreada, supuesto sin distorsin y una posible caracterstica de transferencia de un filtro paso-bajo real.

Fragmento del espectro de una seal muestreada. Si tal caracterstica es razonablemente plana en la banda pasante de la seal la salida del filtro consistir en ms unas componentes en frecuencias prximas a fuera de dicha banda. Sin embargo estas componentes estn fuertemente atenuadas en relacin con las del espectro bsico de . ,

Para seales vocales esas componentes como zumbidos de alta frecuencia slo estn presentes cuando lo est la seal que por su mayor nivel, tiende a enmascararlas, y por tanto su presencia es fcilmente tolerable. stas componentes pueden suprimirse mediante un diseo adecuado del filtro y para un filtro dado, aumentando la frecuencia de muestreo (y por consiguiente ) e introduce bandas de guarda en el espectro.

[editar] El teorema de muestras prcticoSe puede resumir el enunciado del Teorema contemplando seales y mtodos de muestreo reales, del modo siguiente: Si una seal ha sido filtrada en paso-bajo de modo que tiene componentes espectrales por encima de , puede describirse adecuadamente para muchas aplicaciones mediante muestras instantneas o de duracin no nula, separadas uniformemente en el tiempo por un intervalo .

Si se ha muestreado la seal al rgimen de Nyquist o mayor y las muestras se representan mediante impulsos peridicos cuya amplitud sea proporcional a sus valores, puede reconstruirse aproximadamente la seal a partir de sus muestras mediante un filtraje paso-bajo.

[editar] Vase tambinMenu PrincipalPrincipal Quin es Eveliux? Curso de Redes y Telecomunicaciones Artculos Artculos por Temticas Ligas de Interes -------

Contactos Registrate Foro de Discusin

Otras SeccionesEstadsticas - Eveliux SiteMap Intercambio de Links Tienda de Libros

Translate35 languagesEnglish en UTF-8 auto http://vivociti.com

Agreganos

Book - Convergence Libro Digitalizacin y Convergencia Global Google Friend Connect twitter

Teoria del muestreo de Nyquist Valoracin de los usuarios: Pobre124

/ 44Valoracinvote com_content

El mejorhttp://w w w .eveli

Escrito por Evelio Martinez Martes 10 de Julio de 2007 02:57 Desarrollado por H. Nyquist, quien afirmaba que una seal analgica puede ser reconstruda, sin error, de muestras tomadas en iguales intervalos de tiempo. La razn de muestreo debe ser igual, o mayor, al doble de su ancho de banda de la seal

analgica".

La teora del muestreo define que para una seal de ancho de banda limitado, la frecuencia de muestreo, fm, debe ser mayor que dos veces su ancho de banda [B] medida en Hertz [Hz]. fm > 2B Supongamos que la seal a ser digitalizada es la voz...el ancho de banda de la voz es de 4,000 Hz aproximandamente. Entonces, su razn de muestreo sera 2*B= 2*(4,000 Hz), es igual a 8000 Hz, equivalente a 8,000 muestras por segundo (1/8000). Entonces la razn de muestreo de la voz debe ser de al menos 8000 Hz, para que puede regenerarse sin error. La frecuencia 2*B es llamada la razn de muestreo de Nyquist. La mitad de su valor, es llamada algunas veces la frecuencia de Nyquist. El teorema de muestreo fue desarrollado en 1928 por Nyquist y probado matematicamente por Claude Shannon en 1949. Ejemplos prcticos: El en rea de la MSICA, a veces es necesario convertir material analgico [en acetato, cassetes, cintas magneticas, etc] a formato digital [en CD, DVD]. Los ingenieros de sonido pueden definir el rango de frecuencia de inters. Como resultado, los filtros analgicos son algunas veces usados para remover los componentes de frecuencias fuera del rango de interes antes de que la seal sea muestreada. Por ejemplo, el odo humano puede detectar sonidos en el rango de frecuencias de 20 Hz a 20 KHz. De acuerdo al teorema de muestreo, uno puede muestrear la seal al menos a 40 KHz para reconstruir la seal de sonido aceptable al osdo humano. Los componentes ms arriba de 40 KHz no podrn ser detectados y podran contaminar la seal. Estos componentes arriba de los 40 KHz son removidos a travs de filtros pasa banda o filtros pasa bajas. Algunos de las razones de muestreos utilizadas para grabar musica digital son las siguientes:

Razn de muestreo/ Frecuencia de Nyquist 22,050 kHz = 11,025 kHz (Nyquist) 24,000 kHz = 12,000 kHz 30,000 kHz = 15,000 kHz 44,100 kHz = 22,050 kHz

48,000 kHz = 24,000 kHz Es muy importante tomar en consideracin que la frecuencia ms alta del material de audio ser grabada. Si la frecuencia de 14,080 Hz es grabada, una razn de muestreo de 44.1 kHz deber ser la opcin elegida. 14,080 Hz cae dentro del rango de Nyquist de 44.1 kHz el cual es 22.05 kHz. La razn de muestreo elegida determina el ancho de banda del audio de la grabadora usada. Considerando que el rango del oido es de 20 Hz a 20 kHz, una razn de muestreo de 44.1 kHz teoricamente deber satisfacer las necesidade