criterio de nyquist

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CONTROL II Tema: CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST Prof. Ing. Carlos F. Martn Ao: 2009 CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 1

Introduccin: El criterio de Nyquist es un mtodo grfico analtico que determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado, al investigar las propiedades de la traza de Nyquist en el dominio de la frecuencia de la funcin de transferencia del lazo L(s). Especficamente, la traza de Nyquist de L(s) es una grfica de L(jw) en coordenadas polares, o sea, Im[L(jw)] en funcin de Re[L(jw)] cuando la frecuencia w varia desde infinito a cero. Este es otro ejemplo de la utilizacin de las propiedades de la funcin de transferencia del lazo para encontrar el desempeo del sistema en lazo cerrado. El criterio de Nyquist tiene las caractersticas siguientes que lo hacen un mtodo alternativo atractivo para el anlisis y diseo de los sistemas de control. 1. Adems de proveer la estabilidad absoluta, como el criterio de Routh-Hurwitz, tambin de informacin sobre la estabilidad relativa de un sistema estable y el grado de inestabilidad de un sistema inestable. Tambin da una indicacin de cmo se puede mejorar la estabilidad del sistema, si es necesario. 2. La traza de Nyquist de L(s) es muy fcil de obtener, especficamente utilizando una computadora, o a falta de ella con la ayuda de un bosquejo del diagrama de Bode de L(jw), sobre todo de la fase. 3. La traza de Nyquist de L(jw) de informacin tales como, mximo de resonancia MR, frecuencia de resonancia WR, ancho de banda WA-B y otras, del sistema en lazo cerrado, con mucha facilidad. 4. La traza de Nyquist es til para sistemas con retardos de transporte que no se pueden tratar con el criterio de Routh, y que son difciles de analizar por cualquier otro mtodo, como por ejemplo con la tcnica del lugar de las races de la ecuacin caracterstica. Problema de Estabilidad: El criterio de Nyquist representa un mtodo para determinar la localizacin de las races de la ecuacin caracterstica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s. A diferencia del mtodo del lugar de las races, el criterio de Nyquist no da la localizacin exacta de dichas races. Definiciones de Rodeado e Incluido: Ya que el criterio de Nyquist es un mtodo grfico analtico, se necesita establecer los conceptos de rodeado e incluido, los cuales son tiles para la interpretacin de las trazas de Nyquist para la estabilidad. Rodeo o Encierro: Un punto o una regin en un plano de una funcin compleja se dice que CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 2

est rodeado o encerrado por una trayectoria cerrada si est dentro de la misma. Por ejemplo el punto A de la figura 1 est rodeado por la trayectoria , ya que A est dentro de la trayectoria cerrada. Figura 1: El punto B no est rodeado por , ya que est fuera de . Adems cuando tiene una direccin asignada a ella, el rodeo o encierro, si se hace, puede hacerse en el sentido de las manecillas del reloj (SMR) o en sentido contrario (SCMR). Como muestra la figura 1, el punto A est rodeado por en direccin SCMR. Se puede decir que la regin dentro de est rodeada o encerrada en la direccin prescripta, y la regin fuera de no est rodeada. Inclusin: Un punto o regin se dice que est incluido o comprendido por una trayectoria cerrada si esta rodeado en la direccin (SCMR), o el punto o regin esta a la izquierda de cuando esta se recorre en la direccin prescripta. El concepto de inclusin es particularmente til si solo una porcin de la traza es dibujada. Por ejemplo, las regiones sombreadas en la figura 2, estn consideradas como incluidas por la trayectoria cerrada. Figura 2a Figura 2b CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 3

En otras palabras, el punto A de la figura 2a, est incluido por , pero el A en la figura 2b no lo est. Sin embargo, el punto B y todos los puntos de la regin sombreada fuera de en la figura 2b, estn incluidos. Nmero de Rodeos o Inclusiones: Cuando un punto est rodeado por una trayectoria cerrada , un nmero N se puede asignar al nmero de veces que el mimo est encerrado o rodeado. La magnitud de N se puede determinar al dibujar una flecha desde el punto a cualquier punto arbitrario s1 sobre la trayectoria cerrada y entonces hacer que s1 siga la trayectoria en la direccin prescripta hasta que regrese al punto inicial. El nmero neto de vueltas realizadas por esta flecha es N, o el ngulo neto girado por la misma de 360xN grados. Por ejemplo, el punto A en la figura 3a est rodeado una vez o 360 por y el punto B esta rodeado dos veces o 720, todos en la direccin SMR. Figura 3a Figura 3b En la figura 3b, el punto A est rodeado una vez y el B dos veces por . Por definicin, N es positivo para rodeos en el SCMR y negativo para rodeos en el SMR. Una forma conveniente y prctica de determinar N con respecto a cualquier punto del plano complejo, es dibujar una lnea desde el punto en cuestin en cualquier direccin a un punto tan lejos como sea necesario, el nmero neto de intersecciones de esta lnea con el lugar geomtrico nos dar la magnitud y el signo de N. En la figura 3a para los puntos A y B, N=-1 y N=-2 respectivamente. En la figura 3b para el punto A, N=1 y para el B, N=2.- Teorema de Cauchy, (Principio del Argumento) Ya se demostr que en un sistema estable ninguna de las races de la ecuacin caracterstica: F(s)=1+L(s)=0 (1) Puede estar en el semiplano s positivo o sobre el eje jw. CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 4

Suponiendo que: )( )()( )( )( sN sNsN sN sN . Por lo tanto: ====)()()(KKKKKsHsGsL 21 )()()()()( sDsDsDsDsD21212211 21 + )()( )( sKNsD sKN (2) = +=)(1)(sFsF )()( sDsDPuede redactarse la condicin de estabilidad as: En un sistema estable ninguno de los ceros de F(s) puede estar en el semiplano s positivo o en el eje imaginario. Como se aprecia los polos de la funcin de transferencia del lazo L(s) son tambin los polos de F(s). Como se ver el criterio de estabilidad de Nyquist relaciona el nmero de ceros y de polos de F(s) que estn ubicados en el semiplano derecho del plano s, con la condicin de estabilidad del sistema. Como ya se sabe, debido a la naturaleza fsica de los sistemas realimentados de control, el orden del denominador )(sD , es igual o mayor que el orden del numerador )N de la funcin de transferencia del ()Ns( 21 slazo L(s). Matemticamente, esto significa que = .0)( constanteunaosLLim8 La demostracin matemtica del criterio de Nyquist requiere el empleo de la teora de funciones de variable compleja. No es propsito de este texto la explicacin rigurosa del mismo. Afortunadamente, el resultado de la teora es muy sencillo y de fcil aplicacin. Se presentar aqu una explicacin cualitativa y para aquellos casos en que F(s) sea una fraccin racional. La funcin F(s) est dada por la ecuacin (2) y racionalizada y factorizada toma la forma: s ---- ).......(..........)()()( ssss (3) =)(sF 321 n ).....(..........)()()(PsPsPsPs ---- 321 nEn la que: ,..........,,PPPP ,..........,,1 , los polos de la misma. , 3, 31 , son los ceros y nEl mdulo y la fase sern: n22 --- )(..........)()( sss =)(sF 21n --- )(..........)()(PsPsPs 21 n (4) n( - -- =sssF)()() nj P j==jj 11En la figura 4, se han dibujado arbitrariamente en el plano s los polos y ceros de la funcin F(s), se a supuesto n=6.- Tambin se dibuja una curva S cerrada, arbitraria en el semiplano s , yP . positivo que rodea a los ceros 5 y , as como los polos 61 ,5 P32CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 5

Desde todos los polos y ceros se trazan segmentos dirigidos hasta un punto s1 de coordenadas s j= . Las longitudes de estos segmentos s +dirigidos vienen dadas por: --- .,,........,, ectPsss 112111 (a) (b) Figura 4 en la direccin contraria a las Al moverse el punto s1 de la curva Smanecillas del reloj, (SCMR), cada segmento dirigido desde un polo o cero rodeado por S girar un ngulo neto de 360. Como la rotacin angular debida a los polos se aplica al denominador de la F(s), la rotacin angular neta que sufre la ecuacin (3) debe ser igual, a la rotacin neta debida a los ceros rodeados por S menos la rotacin neta debida a los polos . En otras palabras, la rotacin angular neta rodeados por Sexperimentada por el vector F(s) ser: 4(360)-2(360)= (4-2) (360)=2(360)=720 Como es fcil entender para cualquier contorno cerrado S que pueda elegirse en el semiplano s positivo, todos los polos y ceros exteriores, (no rodeados), al contorno contribuirn con una rotacin neta de 0 para F(s), al desplazarse el punto s1 sobre el contorno en un recorrido completo. Por tanto, en este caso puede establecerse que el nmero total de rotaciones netas N que experimenta el vector F(s) debidas al movimiento en SCMR del punto s1 en una vuelta completa al contorno cerrado S es de +2, es decir, en general: N = (Z P) Z = P + N donde: Z: Nmero de ceros de F(s) rodeados por la trayectoria cerrada S en el plano s. P: Nmero de polos de F(s) rodeados por la trayectoria cerrada S en el plano s. CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 6

Si N es positivo, (Z>P), la rotacin neta es en sentido antihorario, SCMR. Si N es negativo, (Z 0, por ende N > 0 y el punto critico estara rodeado en forma neta en direccin SCMR. Ya que la regin que est incluida o comprendida por la trayectoria de Nyquist es definida por la que est a la izquierda cuando la trayectoria S se recorre en el SCMR, el criterio de Nyquist se puede simplemente verificar al graficar el segmento de L(jw) desde 8 a 0, (los puntos =sobre el eje jw positivo). Esto simplifica el procedimiento de forma considerable, ya que la traza se puede hacer fcilmente por ejemplo con una computadora. El nico inconveniente de este mtodo es que la traza que corresponde al eje jw dice solo si el punto crtico est incluido o no, y si lo est no dice cuantas veces. Por lo tanto, si el sistema es inestable, Z 0, este procedimiento no nos da el valor de Z. Sin embargo en la prctica esta informacin no es vital. De ac en mas se definir la traza de L(jw) que corresponde al eje jw positivo en el plano s como la Traza de Nyquist de L(s), (o la respuesta frecuencial del lazo en forma polar).- Se vern algunos ejemplos simples de aplicacin del criterio de Nyquist. Ejemplo A: Sea la funcin de transferencia del lazo de un sistema de control la siguiente: K )( += ssL+ )2()1(ssDeterminar aplicando Nyquist el rango del parmetro K dentro del cual el sistema es estable. En el rango de inestabilidad del mismo averiguar el nmero de races de la ecuacin caracterstica en el semiplano derecho del plano s. Llamaremos 2 +++ K )23(1 Ksss3 y como n> w, )(ssLlmKo ==)= ssF( 2 ++ )2()1(ss0 s En la figura 7, se muestran los diagramas de Bode y Nyquist. CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 9

Diagrama de BodeDiagrama de NyquistjImL II III c R inf. ReL -90-K/6 N=0 Z=0 Esta ble N=2 I Z= 2 Inestable -270-18010-2 100 102 Parte Real Figura 7 Como se aprecia en la figura 7, se ve que el sistema ser estable si; K > 0 y L (jwC) > -1. La wC se determinara de: Parte Imaginaria de [L(jw)]=0. +1 j ./2020..)( segradsiIPKjL = =- == (0 2)2je-+- CCC22-1KK 611) 6 el sistema ser Inestable y Z = N = 2.- Ejemplo B: Sea la funcin de transferencia del lazo de un sistema de control la siguiente: ++ )2()1( ssK para K > 0. = s)( +sL )4(sDeterminar aplicando Nyquist el rango del parmetro K dentro del cual el sistema es estable. En el rango de inestabilidad del mismo averiguar el nmero de races de la ecuacin caracterstica en el semiplano derecho del plano s. Llamaremos 2 ++++ K )2)34()1( KsKsK y como n= w, )(ssLlmKo ==)= ssF( 2 + )4(s0 s En la figura 8, se muestran los diagramas de Bode y Nyquist. CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 10

Diagrama de NyquistDiagrama de Bode jImL II III -1 ReL 0 45 K N = 0 Z=P +N Z=0 Esta ble para todoK > 0 0I -90-4510-2 100 102 Eje Real Frecuencia en (rad/seg.) Figura 8 Como se aprecia es estable para todo K>0, pues N=0 Z=N=0. Tambin se llega a la misma conclusin al no estar incluido el punto critico por la traza de Nyquist, pues L(s) es de fase mnima. Ejemplo C: Sea la funcin de transferencia del lazo de un sistema de control la siguiente: 5.0 - Kc ; para K>0 = s)sL( 2 +-+ )4()2(ssDeterminar aplicando Nyquist el rango del parmetro K dentro del cual el sistema es estable. En el rango de inestabilidad del mismo averiguar el nmero de races de la ecuacin caracterstica en el semiplano derecho del plano s. En este caso 16 - K )(sLlmKo== 0 sLa figura 9 muestra los diagramas de Bode y Nyquist. Para que el sistema sea estable, como P=2, N deber ser: N=-2 para que Z=0. La figura muestra donde debe estar el punto crtico en este caso. Entre L(jwC) y Kc/16.- CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 11

Diagrama de NyquistDiagrama de BodejImL N=0Z= 2Inest. Ko,dB N=-1Z=1Inestable c ReL 0 c -Ko/16 N= -2Z= N+ PZ= 2+ NZ=2+(-2)=0Esta ble si:Kc>0 y:L(jwc)-1 180270360Kc --1 F 11R=+270 =F 11E Inestable : Z= F 11R/180+0.5Z=270/180+0.5 Z=2 F 11R = -90distinto de F 11E Inestable para todo Kc 0; Ko = K/8; K = 1 =0 180F11R=0 Inestable siK < 0 y Ko < -1 o K < -8 Z = 1 900P =2 P = 0 -90F 11E=-180 100 102Fas e de L(j ) en grados Figura 27 Se uso el comando hold y los rangos de frecuencia 2.10 a 100 y 0.1 a 1.90. Traz a de Nyquis de L(j ) jImL Para: K = 4 F 11E=-180 Z = F 11R/180+1 F11R = -180 = F11ESistema es table para K = - 4 P = 2P = 0 01234 ReL 0.5 F11R = +180Inestable para K = 4 Z = 2 -4-3-2-1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Figura 28 CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 33

Ejemplo 14: Si al sistema original se le agrega un cero y un polo, con la condicin de que el cero est ms cerca del origen del plano s, nos quedara: + )1( K sK )KosL ==( 28)4)(2(ss++El sistema tendr un rango positivo de K para la estabilidad, esto es general si como se dijo el cero est ms cerca del origen que el polo. El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 29 Bode Diagrams jImL M dulo de L(j ), en dB P =2 P = 0 40F 11E=-180 0Ko, dB F11R=-180Estable para Todo K > 0 ReL 0 -80-40K > 0; Ko = K/8; K = 1 Ko F11R=+180Inestable si K > - 8 Z = 2 180270F11R = 090Ines table siK < - 8 Z = 1 0 100 102Fase de L(J ), en grados Figura 29 Como Pw=2 y P=0, ser: -F1 1 +-=F .180Z .- 1 1 E y 1= R180Como se aprecia en la figura solo en todo el rango positivo de K. Para K -2 0 ReL Ko 0 -80-40P =2P = 0 K > 0; Ko = K/2; K = 1 F11R=+180F 11E=-180 Ineatable para todo K > 0 Z = 2 1351802254590F11R=0 Inestable siK < -2 Z = 1 0-45 100 102Fas e de L(j ), en grados Figura 30 Como se aprecia en la figura 30, el rango de K para la estabilidad es: - K . Si K0; Z = 2.- 02 jL ( 2 -C -- 5)6( j 2 )( = jKjL -+- )4()4( 222La parte imaginaria ser nula si: )4(5)4()6( --=-- 2322 2 2 22 2 CCCCCOperando se llega a: 0 4+45 2- CC 2 = 2Las soluciones son: 12 y , la solucin no trivial ser: ./1rad 2 segC =Por lo tanto: 5 5--K 60.01) == KKjL ( 2C 3-42 2 CEl rango total para la estabilidad ser: 60< K .00 0 L(j )>-1 Ines table para tdo K < o Z = 3 0 ReL c2 0 -80-40F 11E=-270 -5K/3 0 P =3P=0 F11R=+90Ineatable Z = 2 -90 =2 =0 -270-180 100 102Fas e de L(j ), en grados K > 0 ; Ko = 1.5K; K = 1 Figura 31 Con la computadora se grafica la traza de Nyquist Para K =1, (figura 32). Para K 0 y [Leq.(j )]-1>-1 204060 c1 * 0 c2 ReL -2/T 0 -40-20F11R=+270 Inestable si: [Leq.(j )]-1 0; Ko = 6/T ; T = 1 P =1 y P = 0; F 11E=-90 Figura 34 CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 37

=++++ s 06)5.21TsTsT3( 2Determinar por Nyquist el rango del parmetro T para que el sistema sea estable. La funcin de transferencia del lazo equivalente ser: 0]6[)]15.2([ =+++++ ssssT 22 ++ )2()5.0( sssT ; como es impropia n < w, se trabajar con: )= ss( 2 +Leq ui v)6( + s 6 )6(1 2 Kos)]([ ==-1Leq ui v++ TsssT)2)(5.0(El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 34. De la misma, el sistema ser estable solo para T>0, si se cumple que: +- 0)6(1 j 2- j L ; )]([ =jL1)](>-j1[ 12 - -+- )1()5.2(TC 22La parte imaginaria ser nula si: 0)6()1-2( 2- CC 2 = 2 2CLas soluciones son: 16 y , la solucin no trivial ser: ./1rad 2 segC = - 6-221Por lo tanto: 21)]([ > ->== TjL 2-C1C -5.2TT2 2 2 CEl rango total para la estabilidad ser: 8 0 0 c=1r/s ReL -60-40-20K > 0; Ko = K/4 ; K = 1 90 F11R=+270 Inestable paratodo K < 0 Z = 3 0-90 =0 =2 -18010-1 100 101Fase de L(j ), en grados Figura 36 Como Pw=3 y P=0, ser: -F11 +-=F .270.1Z .- 11E y 50= R180El sistema ser estable solo para todo K>0, pues se cumple que 270=F=R . Para K 0 y [Leq(j c2)]-1>-1 F11R=90 Inestable a < 0 Z = 1 20400 ReL -20a > 0; Ko = 6/a ; a = 1 c2 c1 -90F11R=+270Inestable Z = 2 F11R=450Inestable s ia < 0 Z = 3 P =1 P = 0 F11E=-90 Z=F11R/180+0.5 -450-360-270-180 c1 c2 10-1 100 101Fas e de L(j ), en grados Figura 37 Como Pw=1 y P=0, ser: -F11 +-=F .90.0Z .- 11E y 50= R180El sistema ser estable solo para a>0, pues se cumple que 90=F=R . Esto sucede si: F E11 -11L 1)](>-[ 12 -equiv jC -- 75.3)6(1 j 2 - j)]([ =j1Lequiv )1(5.2 -+-a 22La parte imaginaria ser nula si: 375.9)6()1( =-- 322 2 2 22 CCCCOperando se llega a: ; las soluciones de la misma son: 06375.+416 2- C 2 =C 26124.04 y , en consecuencia se tiene que: segradyseg /6124.0/ == rad C4 2C1--6 75.31 61)]([ > ->== ajL 1-equiv )1(-aa2C 2 2 CEl rango total para que el sistema sea estable ser: 8 0 F11R=+90 Ines table para todo K < 0 Z=1 = 0 Figura 40 CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 42

)/( K TKo Ko === )2()(sL1)/1()/1()1( TssTsssTs +++ 111El efecto de agregar este polo es que la fase de L (jw) se atrasa 90, para todas las frecuencias. En otras palabras, la traza girara 90 en el sentido de las agujas del reloj como se muestra en la figura 40. Adems la magnitud de L(jw) en w = 0 se vuelve infinita. En general, agregando un polo de multiplicidad u en s = 0 a la funcin de trasferencia (1) dar las siguientes propiedades a la traza de Nyquist de L(s): ; 90)1()( ujLlm +-= 90)( ujLlm -= 8 0 lm 0)( = jLlm ; 8= )( jL 8 0La figura 41, ilustra las trazas de Nyquist de: Ko Ko ==)4()()3()(sLsL ++)1()1( sTssTs32 11Traza de Ny quis t jImL = 0 = 0 (3) (4) F11E=-180 F11E=-270 ReL 0 F11R=+90 Ines table paratodo K < 0 Z = 2 F11R=+180 Ines table para todo K > 0 Z = 2 Figura 41 En vista de estas ilustraciones es evidente que el agregado de polos en el origen del plano s, afectara adversamente la estabilidad, por esta razn los sistemas de control con una funcin de transferencia del lazo con mas de dos o tres polos en s = 0 en la misma, sern probablemente inestables. Agregado de Polos Finitos Cuando un polo en s=1/T2, es agregado a la funcin L(s) (1), se tendr: Ko )5()(sL +=+)1()1(TsT1 s 2CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 43

La traza de Nyquist de L(jw) en w=0 no es afectada por el agregado del polo, pues Ko jLlm =( . )0- Ko tendr: - == La traza de Nyquist en 8 1800)lmjLlm ( 2T T 8 8 21Por tanto el efecto de agregar un polo en s=-1/T2 a la L(s) (1), es atrasar la fase de la traza de Nyquist en 90 en 8 . Como se muestra en la figura 42. La figura tambin muestra la traza de Nyquist de: Trazas de NyquistjImL F11E=0 Ko 0 ReL F11R=+180 Inestable Ko < -1Z = 1 F11R=0Estable (1) F11R=0(6) Estable siKo > -1 (5) F11R=+270 Ines table Z = 2 (5): Estable para todo K>0 (6): Puede s er Inestable.- Figura 42 Ko )6()(sL= +++)1()1()1(TsTsT1 s 32La figura 42 confirma los efectos adversos sobre la estabilidad que resultan del agregado de polos a la funcin L(s). Como se puede ver las trazas ocupan tantos cuadrantes del plano L(s) como constantes de tiempo en el denominador tengan las funciones L(s). Si se les agrega un polo en el origen seguirn ocupando el mismo nmero de cuadrantes pero las trazas giraran -90. Por ejemplo si a la L(s) (6), se le agrega un polo en el origen: Ko =)7()(sL +++)1()1()1(TsTsTs1 s 32La raza ser la indicada en la figuras 43a b y c. De la misma se puede ver que la traza tiende a infinito cuando 0 y es asinttica respecto a una recta vertical, (-90), la misma se puede determinar encontrando la parte real cuando 0 . )]( jRe[LLmRo= .- 0CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 44

(a) Traza de NyquistjImL ReL 0 c = 0 (b) Altas Frecuencias (c) Bajas FrecuenciasjImL jImL Ro =0 0 ReL = 0 ReL 0 Figura 43 Para esta funcin L(s) particular es: )8()TTKoRo ++-=( 31 T2La ecuacin (8) indica que la magnitud de L(jw) tiende a infinito asintticamente a una lnea vertical, cuya interseccin con el eje real es igual a Ro, como lo indica la figura 43c. La frecuencia wc es para la cual la parte imaginaria de L(jw) es cero, as: 0)]([ =jLIm Y para este ejemplo ser: 1 -= ./ segrad++TTTTTTC 323121Como la L(s) tambin se puede escribir: Ko K 1 ===pyKconsL)(i TTTTpspspss)()()(+++ i 321321Por lo tanto wc ser: ppp = )9(./ segrad 321C +ppp+321Si a la funcin L(s) (5), se les agregan dos polos en el origen se tendr. Ko =)10()(sL +2 s)1()1(TsTs+ 21La traza de Nyquist correspondiente es la indicada en la Figura 44. Como se aprecia el sistema se vuelve inestable para cualquier valor de Ko, ms adelante se tratara de estabilizar al mismo. CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 45

Traza de Ny quis t jImL = 0 F11E = -180 F11R = 0 Inestable paratodo K < 0 Z = 1 F11R = +180 Inestable para todoK > 0 Z = 2 ReL -1 0 Figura 44 Todo lo visto ayuda a graficar las trazas de Nyquist. Sin embargo la regla no se aplica si las L(s) tienen ceros, (factores (1+Ts) en el numerador). Agregado de Ceros a L(s): Se conoce que el agregado de ceros, en una forma adecuada, a L(s) tiene el efecto de reducir la sobreelongacin y el efecto general de estabilizacin. En trminos del criterio de Nyquist este efecto de estabilizacin se demuestra fcilmente ya que la multiplicacin por el trmino (1+Ts) o (s+Z) a L(s) incrementa la fase de la misma en +90 cuando 8 . El ejemplo siguiente muestra el efecto sobre la estabilidad al aadir un cero en (-1/Ta) a la funcin de transferencia del lazo. Si tenemos: Ko)(sL += + )1()1(TsTs1 s 2Se puede mostrar que el sistema es estable para: ( TT1 )< 0 TKo +0), se aade a L(s), entonces: + )1( sTaKo )(sL +=+)1()1(TsTs1 s 2Ahora el rango de Ko para la estabilidad ser: TT + 0Ko +Tb: + )1( sTaKo =)(sL )1()1()1( sTbsTsTs +++2 21Puede obtenerse la traza de Nyquist, del diagrama cero-polo de la figura 47a. Cuando s=jw=j0+ el ngulo de cada vector es cero, salvo para el polo doble en el origen. El ngulo para w=0 es, por tanto, -180. Al crecer w desde cero el ngulo de (1/Ta+jw) crece mas de prisa que loa ngulos desde los polos. De hecho, y en bajas frecuencias, el ngulo debido a un cero es mayor que la suma de los ngulos correspondientes a los polos CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 48

situados a la izquierda del cero. Esto se indica cualitativamente a la frecuencia w1 en la figura 47b. Pl ano Com plej o s j j c j 1 -1/Ta -1/Tb -1/T1 -1/T2 s (a) Traza de Ny quis t jImL ReL c 0 1 (b) =0 Figura 47 Por tanto, el ngulo de L(jw) en bajas frecuencias es mayor que -180. Al crecer la frecuencia a el valor wC la suma de los ngulos correspondientes para L(jw) es -180 y la traza de Nyquist cruza el eje real como lo indica la figura 47b. Si se incrementa la frecuencia w se producir un pequeo aumento de la fase de (1/Ta+jw), pero los ngulos de los vectores desde los polos crecen rpidamente. En el lmite, cuando 8 , los ngulos de (1/Ta+jw) y (1/Tb+jw) sern iguales y opuestos de signo, de manera que el ngulo de L(jw) tiende a -360. La figura 47b indica la traza polar de Nyquist de L(jw) completa. Comparando las figuras 44 y 47b, se ve que ambas tienden a -180 cuando 0 , la diferencia es que para la primera el sistema es inestable y en la segunda puede ser estable, dependiendo del valor de la ganancia Ko. Puede demostrarse que cuando 0 , la traza de Nyquist, si L(s) tiene dos polos en el origen, estar por debajo del eje real si la diferencia, - )()T( min adornumerador TdenoEs positiva, y por encima del eje real si la misma es negativa. As en el ejemplo, la condicin necesaria para que el sistema pueda ser estable es: )TTTTa ++> ( 21 bEl sistema ser estable si, L(jwC)>-1, y depender como se dijo del valor de la ganancia Ko.- CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 49

Demostracin: Si + )1( sTaKo ; )(sL= )1()1()1( sTsTsTs+++2 21 bOperando: )1( sTKo + )(sL= a +++++++ )()( ssTTTsTTTTTTsTTT 234521212121 bbbbReemplazando s = jw: + )1( Taj )(KojL= ++-+-++ )]()[(]1)[( TTTTTTjTTTTTT2322La parte imaginaria ser cero si: 21212121 bbbb )]()[(]1)[( TTTTTTTTTTTTTa ++-=-++ 2323 21212121 bCbCCbbC Despejando C : ++- )( TTTTa -= ./ segrad 21 b-++)()(TTTTTTTTTTaC 212121 bbb Como Ta>Tb, el denominador del radicando ser siempre positivo, por ende su numerador deber ser tambin positivo para que wC sea finita y real, para que la traza cruce el eje real negativo del plano L(s), por ende: , o 0)++TTTTa( 2- b1 >)TTTTa ++> , como se quera demostrar.- ( 21 b Ejemplo 20: Si un sistema tiene la siguiente funcin de transferencia del lazo: )( + ZsK ; )= ssL( 22 ++)10()5(ssTb=0.1, por lo tanto Pb=1/Tb=10 y K=KoTa/T1T2Tb La ganancia del lazo ser: K=250KoTa a) Demarcar en el plano K=f(Z) la regin para la cual el sistema sea estable. b) Graficar la traza de Nyquist para Ta=0.80 seg. a) La ecuacin caracterstica del sistema ser: =++++0)()10()5 ZsKsss2( 2Operando: 0250125 =+++++ ZKKsssss34520 2Llamaremos: Z = a y K = k, para usar el programa Srouth Realizando el arreglo de Routh, se tendr: CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 50

srouth Variables posibles de utilizar: kp kd ki t a k Ingrese el polinomio como vector > [1 20 125 250 k k*a] Las variables que se encuentran presentes en el polinomio son: a, k. Ingrese como vector las variables que desee reemplazar por un valor constante [kp,ki,kd,t,a,k] > Se opt por dejar todas como elementos variables. El polinomio ingresado es: 5 4 3 2 s + 20 s + 125 s + 250 s + k s + k a La tabla de Routh es: [ s^5 1 125 k ] [ s^4 20 250 k*a ] [s^3 225/2 k-1/20*k*a 0 ] [s^2 250-8/45*k+2/225*k*a k*a 0 ] [s k-1/20*k*a-225/2*k*a/(250-8/45*k+2/225*k*a) 0 0 ] [1 k*a 0 0 ] Las siguientes expresiones deben ser mayores que cero para que el sistema sea estable. 250 - 8/45 k + 2/225 k a k a k - 1/20 k a - 225/2 -------------------------------- 250 - 8/45 k + 2/225 k a k a Qu variable desea despejar? kp(p),ki(i),kd(d),t,a,k > k K [ 25 ] [ - --------- ] [ -20 + a ] [ -2 + a ] [-281250 -------------- ] [ 2 ] [ (-20 + a) ] CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 51

[ 28125 ] [ - ------------ ] [ -20 + a ] Las restricciones sern, (con los smbolos originales): 1) K Z > 0, primer o tercer cuadrante del plano K = f(Z).- 2) Si Z > 20: ) 28125-> ZK 20(- 28125-< Z Si Z < 20: )K 20(- )2(281250 -- Z < ZK3) Si Z > 0, K > 0: 2-)20( )2(281250 -- Z > ZK Si Z < 0, K < 0: 2-)20(La figura 48, indica la zona buscada. K 40001406.25 0 Z Zona de Estabilidad -8000-4000-40 -20 0 20 40 60 802 Figura 48 Para Z = 0, (un derivador), se tendr que el Kmx ser: 28125 =-- .- =25.1406K20o -- )2(281250 .- = 25.1406K2 =)20(-La zona ampliada se muestra en la figura 49. CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 52

K 1406.25 120015001000 ZONA PARA LA ESTABILIDAD 300600900 Z 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.6717 1.25 Figura 49 Si Ta = 0.8 seg. ; Z=1/Ta=1/0.80=1.25 y el rango de K es: 0 -1.25.- Za = -1.5 Za = -1.25 Za = - 0.50 -0.8-0.4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Figura 50 Como se mueven las races de la ecuacin caracterstica en el plano s para Z = 1.25 y K > 0, se indica en la figura 51. M ovimiento de los c eros de 1+L(s ) con el valor de Kj K infinito L(s) = K (s+1.25) / s2 (s+5)2 (s+10) K=600 K=600j2.236 036 K=600 s K=0 K=0 K=0 K=600 K=600-6-3 -12 -8 -4 0 Figura 51 CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 54

Anlisis de Estabilidad de Sistemas Multilazos En los anlisis de estabilidad vistos hasta aqu estn todos dirigidos hacia la funcin de transferencia L(s). No importa si el sistema tiene un solo lazo o lazos mltiples, ya que una vez que se obtiene L(s) el anlisis se puede conducir empleando ya sea el criterio de Routh Hurwitz, el de Nyquist o el lugar geomtrico de las races. Para sistemas realimentados de varios lazos, es ventajoso analizar la estabilidad de los sistemas al trabajar desde el lazo ms interno hacia el lazo externo o primario, uno a la vez. De sta forma se gana ms visin sobre la estabilidad de los lazos individuales del sistema. El ejemplo siguiente ilustrar este enfoque. Ejemplo 21: El diagrama de bloque de un sistema que controla la posicin de la torreta del can de un tanque, se muestra en la figura 52. )( spG + )1.0(3/50 s 6 )(sR + )(sE + C(s) ++ s)10( +s )2()1(ss _ _ )( scG Figura 52 Durante el servicio en el sistema de control de la torreta, el mecnico en forma accidental abri el lazo externo del sistema. Con la alimentacin de energa, la torreta qued fuera de control y por ltimo quedo inoperante. El propsito de este ejemplo es mostrar que es inadecuado investigar solo la estabilidad del sistema global. En general, para un sistema de control de lazos mltiples, uno debe conducir un anlisis sistemtico de estabilidad de todos los lazos internos del sistema. Es admisible tener lazos internos inestables, siempre y cuando el sistema completo sea estable. Sin embargo, si tal situacin existiese, es importante prever y tomar las precauciones necesarias para prevenir la apertura de los lazos durante la operacin. La funcin de transferencia del lazo interno es: 6 = s)( +sL+)2()1(ssLa traza de Nyquist de L(s) se muestra en la Figura 53a, ya que la misma pasa por el punto crtico (-1, j0), para . el lazo interno ser /2 segradC =marginalmente estable. Por tanto si el lazo externo del sistema se abre, la torreta oscilar de manera continua con una frecuencia de segrad /2 , y no se tomaron precauciones y no se corta la energa el sistema quedara intil. La funcin del lazo del sistema global es: CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 55

(a) Traza de Nyquist del Lazo Interno jImL 0 ReL c = 1.4142 r/s = 0 -4-2 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 (b) Traz a de Nyquis del Lazo L(s ) del Sis temaJImL =1.4142 F11R = -180 = F11ESistema Es table.- c = 5.4r/s. 01 =0 ReL 1/6 =1.4142 -1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Figura 53 + )1.0(100 )( ssG ==)(sL+3 +)623()10()(1+++ sssssG 2Ya que Pw = 2 y P = 0, la L(s) es del tipo de fase no mnima, (polos imaginarios), por lo tanto: 180180)01(180)5.0( -=F +-=+-=FP E P 1111 ELa traza de Nyquist se muestra en la figura 53b. Como se cumple que E=F , el sistema ser estable. En general cuando mas de dos lazos estn involucrados la forma correcta es empezar analizando la estabilidad del lazo ms interno mediante la apertura de los lazos externos y entonces aadir un lazo por vez hasta que el lazo ms externo, o primario, sea cerrado.- 11 FR 11 CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 56

Estabilidad de los Sistemas de Control Lineales con Retardos Puros Los sistemas con retardos de transporte en los lazos por lo general estarn sujetos a mayores problemas de estabilidad que los sistemas sin retardos. Ya que un retardo puro Td est modelado por la funcin de transferencia ]e- , la ecuacin caracterstica del sistema ya no ser algebraica de [ sTdcoeficientes constantes. Por tanto, el criterio de Routh no es aplicable. Sin embargo se ver en lo que sigue que el criterio de Nyquist se puede aplicar en forma confiable a un sistema con un retardo puro en el lazo. Considere que la funcin de transferencia del lazo de un sistema est de control con un retardo puro est expresada en una forma similar a: +++ TsTsTK )1.........()1()1( ''' , o tambin si: ==esHsGsL)()()(sT -21 w dsTsTsTs+++ )1().........1()1(uv 21 , se puede expresar: = )esHsGs()()sTdL -( 111= )esLs()( 1 sTdL -Donde L1(s) es una funcin racional de s con coeficientes constantes, y Td es el tiempo del retardo puro en segundos. Que el retardo ocurra en G(s) o en H(s) es indistinto a los efectos del estudio de la estabilidad. La estabilidad de un sistema puede ser investigada al construir la traza de Nyquist de L(jw) y observar su comportamiento con respecto al punto critico (-1, j0) del plano L(s). El efecto del trmino exponencial es que rota el favor L1(jw) en cada w, un ngulo (wTd) radianes en el sentido de las agujas del reloj. La amplitud de L1(jw) no se afecta por el retardo ya que la amplitud de ]e- es unitaria para todas las frecuencias. jT[ wComo en la mayora de los sistemas de control, reales, la magnitud de L1(jw) usualmente tiende a cero cuando w se aproxima a infinito. Por lo que la traza de Nyquist de L(jw) a menudo es una espiral hacia el origen en el sentido de las agujas de un reloj cuando w tiende a infinito, por tanto existir un nmero infinito de intersecciones con el eje real del plano L(jw). Una vez que se construye la traza de Nyquist de L(jw), la estabilidad del sistema se determina en la forma usual, por ejemplo investigando el ngulo de giro 11F , o la no inclusin del punto critico (-1, j0), si la L1(s) es de fase mnima. Trayectoria Crtica Hasta ahora se ha utilizado ya sea el punto (-1, j0) o el (+1, j0) del plano L(jw) como el punto critico para analizar la estabilidad cuando la ganancia K es positiva o negativa respectivamente. Bajo ciertas condiciones, se puede ampliar la idea del punto crtico al extenderlo a una trayectoria crtica. Si se tiene sesLs= )()( 1 , se reconoce que las races de la ecuacin L -Tdcaracterstica deben satisfacer a: =)(esL 1)(=es- s s+ - 01 1L (1) TdTd1 -CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 57

El segundo miembro de esta ecuacin seala el hecho de que (-1, j0) es el punto crtico para el anlisis de estabilidad del sistema de control. La ecuacin (1) se puede escribir como: -1 (2) esLsL -= = )()( -sT d 11e-sTdCuando se construye la traza de Nyquist de L1(jw), sin el retardo, s=jw (tramo I), est representada por el primer miembro de la ecuacin (2). El trmino exponencial en la ecuacin (2), tiene una magnitud unitaria para cualquier valor de w, y su fase ser: ]T p +- radianes, o midiendo a partir [ dT radianes. del semieje real negativo dPor lo que el segundo miembro de la ecuacin (2), describe una Trayectoria Crtica, que es una circunferencia con radio unitario y centrada en el origen del plano L1(jw). Cuando Td= 0 segundos, la trayectoria comienza en el punto (-1, j0) y conforme Td se incrementa, el punto crtico se desplaza en una circunferencia con radio unitario en SCMR.- Si se recorre el tramo I de la trayectoria de Nyquist, el primer miembro de la ecuacin (2), representara la traza de Nyquist sin el retardo, o sea, L1(jw). El mdulo de la misma vale la unidad cuando w=wg, por ende: 1)(jL . El segundo miembro, la trayectoria critica, para esa misma w, 1 =gser: - , donde (Td mx.) ser el mximo permitido, Figura 54. je g T m xs Trayectoria Crtic a jImL1 Td=0 -1 ReL1 TdTdmx ( Inest. ) g =0 Figura 54 CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martn 58

En consecuencia el sistema con el retardo ser marginalmente estable si: -=j)(jL g T1 m xdg e - = )j(jL g T m xdg e1p p +-=+- = )rad )rad ( mxgT( mxg T .d .dPor lo tanto: p )( rad (3) .)( segT= . 180.)/(segradm xd g Donde: - Td mx.: el sistema ser inestable pues, el punto crtico situado en la trayectoria crtica correspondiente estar incluido por la traza L1(jw).- En consecuencia los pasos a seguir para obtener el tiempo de retardo mximo son los siguientes: 1. Determinar wg, haciendo 1)(jL .- 1 =g2. Determinar la fase de L1(jwg).- 3. Determinar -+ = ). (180jL 1 g4. Determinar Td mx., con la expresin (3).- Ejemplo 22: La funcin de transferencia del lazo de un sistema es: - eK sT==)()-esLsLd s( 1T d ++)2)(1( sssPara K=1, determinar el Td mx. Para Td=0, el rango de K para que el sistema sea estable es 0