02_criterio de estabilildad nyquist

SISTEMAS DE SISTEMAS DE CONTROL IICONTROL II

Criterio de Estabilidad de NyquistCriterio de Estabilidad de Nyquist


Para un sistema estable, las raíces de la ecuación Para un sistema estable, las raíces de la ecuación característica 1+G(s)H(s) = 0, deben estar en el característica 1+G(s)H(s) = 0, deben estar en el semiplano izquierdo del plano “s”.semiplano izquierdo del plano “s”.

La función de transferencia en lazo abierto es G(s)H(s).La función de transferencia en lazo abierto es G(s)H(s).

G(s)

H(s)

R(s) C(s)

La función de transferencia de lazo cerrado es:

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC


El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jG(j)H(j)H(j) con el número de ceros y polos de ) con el número de ceros y polos de 1+ G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano 1+ G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano “s”. derecho del plano “s”.

Se basa en un teorema de la teoría de la Se basa en un teorema de la teoría de la variable compleja.variable compleja.


Supondremos que la función de Supondremos que la función de transferencia en lazo abierto transferencia en lazo abierto G(s)H(s) se G(s)H(s) se representa como un cociente de polinomios en representa como un cociente de polinomios en “s”.“s”.

Para un sistema que puede materializarse, el Para un sistema que puede materializarse, el grado del polinomio del denominador de la grado del polinomio del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado debe función de transferencia en lazo cerrado debe ser mayor o igual que el del polinomio del ser mayor o igual que el del polinomio del numerador. Por lo tanto o igual numerador. Por lo tanto o igual una constante para cualquier sistema que una constante para cualquier sistema que pueda materializarse.pueda materializarse.

0)()(lim ssHsG


Es analítica en todas las partes del plano “s” Es analítica en todas las partes del plano “s” excepto en sus puntos singulares.excepto en sus puntos singulares.

A cada punto en “s” le corresponde un punto A cada punto en “s” le corresponde un punto en el plano F(s).en el plano F(s).

21

4,25,14,25,1

21

61)()(1)(

21

6)()(

ss

jsjs

sssHsGsF

sssHsGejemploPor

577,0115,1)(21 jsFentoncesjssiejemploPor

Criterio de Estabilidad de NyquistCriterio de Estabilidad de NyquistTeorema del MapeoTeorema del Mapeo


Para una trayectoria cerrada continua Para una trayectoria cerrada continua determinada en el plano “s” que no pasa por determinada en el plano “s” que no pasa por ningún punto singular, le corresponde una curva ningún punto singular, le corresponde una curva cerrada en el plano F(s), donde la dirección y el cerrada en el plano F(s), donde la dirección y el número de encierros del origen del plano F(s) número de encierros del origen del plano F(s) para la curva cerrada esta relacionado con la para la curva cerrada esta relacionado con la estabilidad del sistema.estabilidad del sistema.

0)()(1)( sHsGsFSi

Criterio de Estabilidad de NyquistCriterio de Estabilidad de NyquistTeorema del MapeoTeorema del Mapeo

Suponga que F(s) es el cociente de Suponga que F(s) es el cociente de dos polinomios en “s”.dos polinomios en “s”.

N=Z-PN=Z-P N encierros del origen del plano F(s) en N encierros del origen del plano F(s) en

sentido horario.sentido horario. Z nro de ceros de la FTLC.Z nro de ceros de la FTLC. P nro de polos de la FTLA.P nro de polos de la FTLA.

Criterio de Estabilidad de NyquistCriterio de Estabilidad de NyquistAplicación del teorema del mapeo al análisis de Aplicación del teorema del mapeo al análisis de la estabilidad de los sistemas en lazo cerradola estabilidad de los sistemas en lazo cerrado

Se considera el contorno cerrado en el plano “s” que Se considera el contorno cerrado en el plano “s” que encierra todo el semiplano derecho, formado por el eje encierra todo el semiplano derecho, formado por el eje jj completo y una trayectoria simicircular de radio completo y una trayectoria simicircular de radio infinito conocida como “Trayectoria de Nyquist” (sentido infinito conocida como “Trayectoria de Nyquist” (sentido horario)horario)

j

Plano “s”

R=Inf

Trayectoria de Nyquist

Criterio de Estabilidad de NyquistCriterio de Estabilidad de NyquistAplicación del teorema del mapeo al análisis de la Aplicación del teorema del mapeo al análisis de la

estabilidad de los sistemas en lazo cerradoestabilidad de los sistemas en lazo cerrado

Es necesario que el contorno cerrado no pase Es necesario que el contorno cerrado no pase por ningún cero ni polo de 1+G(s)H(s).por ningún cero ni polo de 1+G(s)H(s).

Debido a la condición solo Debido a la condición solo se considera una parte del contorno: el eje se considera una parte del contorno: el eje jjquedando 1+G(jquedando 1+G(j)H(j)H(j).).

La estabilidad del sistema en lazo cerrado se La estabilidad del sistema en lazo cerrado se averigua examinando los encierros de -1+j0 averigua examinando los encierros de -1+j0 mediante el lugar geométrico de G(jmediante el lugar geométrico de G(j)H(j)H(j).).

La gráfica de G(jLa gráfica de G(j)H(j)H(j) es simétrica respecto al ) es simétrica respecto al eje real de G(-jeje real de G(-j)H(-j)H(-j).).

CONSTANTEsHsGs

)()(lim

Criterio de Estabilidad de NyquistCriterio de Estabilidad de NyquistAnálisis de estabilidadAnálisis de estabilidad

Si la trayectoria de Nyquist en el plano “s” Si la trayectoria de Nyquist en el plano “s” encierra Z ceros y P polos de encierra Z ceros y P polos de 1+G(s)H(s) y 1+G(s)H(s) y no atraviesa polos ni ceros de 1+G(s)H(s) no atraviesa polos ni ceros de 1+G(s)H(s) cuando un punto representativo “s” se desplaza cuando un punto representativo “s” se desplaza en sentido horario a lo largo de la trayectoria de en sentido horario a lo largo de la trayectoria de Nyquist, entonces la trayectoria Nyquist, entonces la trayectoria correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea al correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea al punto -1+j0, N=Z-P veces en sentido horario. punto -1+j0, N=Z-P veces en sentido horario. (Valores negativos de N implican rodeos (Valores negativos de N implican rodeos antihorarios).antihorarios).

Al examinar la estabilidad de los sistemas de control Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, lineales utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, se pueden presentar tres posibilidades:se pueden presentar tres posibilidades:

1.1. No hay rodeo del punto -1+j0. Esto implica que el sistema es No hay rodeo del punto -1+j0. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; en caso contrario, el sistema es inestable.plano s; en caso contrario, el sistema es inestable.

2.2. Hay un rodeo en el sentido antihorario o rodeos del punto -1+j0. Hay un rodeo en el sentido antihorario o rodeos del punto -1+j0. En este caso el sistema es estable si la cantidad de rodeos En este caso el sistema es estable si la cantidad de rodeos antihorarios es la misma que la cantidad de polos de G(s)H(s) en antihorarios es la misma que la cantidad de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; en caso contrario el sistema es el semiplano derecho del plano s; en caso contrario el sistema es inestable.inestable.

3.3. Hay un rodeo o rodeos del punto -1+j0 en sentido horario. En este Hay un rodeo o rodeos del punto -1+j0 en sentido horario. En este caso, el sistema es inestable.caso, el sistema es inestable.

Criterio de Estabilidad de NyquistCriterio de Estabilidad de NyquistAnálisis de estabilidadAnálisis de estabilidad


Ejercicio. Considere un sistema de lazo Ejercicio. Considere un sistema de lazo cerrado cuya función de transferencia de cerrado cuya función de transferencia de lazo abierto está dada por:lazo abierto está dada por:

Examine la estabilidad del sistema.Examine la estabilidad del sistema.

8,3,5

)1)(1()()(

21

21

TTK

sTsT

KsHsG


Dado que G(s)H(s) no tiene Dado que G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano polos en el semiplano derecho del plano s y el derecho del plano s y el punto -1 + j0 no está punto -1 + j0 no está encerrado por el lugar encerrado por el lugar geométrico G(jw)H(jw), este geométrico G(jw)H(jw), este sistema es estable para sistema es estable para cualesquiera valores cualesquiera valores positivos de K, T1 y T2.positivos de K, T1 y T2.

EjercicioEjercicio La traza de Nyquist (traza polar) de respuesta en frecuencia en lazo La traza de Nyquist (traza polar) de respuesta en frecuencia en lazo

abierto de un sistema de control con realimentación unitaria abierto de un sistema de control con realimentación unitaria aparece en la figura . Suponiendo que la trayectoria de Nyquist en aparece en la figura . Suponiendo que la trayectoria de Nyquist en el plano “sel plano “s”” encierra todo el semiplano derecho del plano s, dibuje encierra todo el semiplano derecho del plano s, dibuje una traza de Nyquist completa en el plano “G”. A continuación una traza de Nyquist completa en el plano “G”. A continuación conteste las preguntas siguientes:conteste las preguntas siguientes:

EjercicioEjercicio (a) Si la función de transferencia en lazo abierto no tiene polos en el (a) Si la función de transferencia en lazo abierto no tiene polos en el

semiplano derecho del plano “s”, ¿es estable el sistema en lazo semiplano derecho del plano “s”, ¿es estable el sistema en lazo cerrado?cerrado?

(b) Si la función de transferencia en lazo abierto tiene un polo y (b) Si la función de transferencia en lazo abierto tiene un polo y ningún cero en el semiplano derecho del plano “s”, ¿es estable el ningún cero en el semiplano derecho del plano “s”, ¿es estable el sistema en lazo cerrado?sistema en lazo cerrado?

(c) Si la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero y (c) Si la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero y ningún polo en el semiplano derecho del plano “s”, ¿es estable el ningún polo en el semiplano derecho del plano “s”, ¿es estable el sistema en lazo cerrado?sistema en lazo cerrado?

EjercicioEjercicio

¿Es estable un sistema en lazo cerrado con la siguiente ¿Es estable un sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto y con K=2?función de transferencia en lazo abierto y con K=2?

)12)(1()()(

sss

KsHsG

2/30 Kdestabilidaderango


Caso especial cuando G(s)H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje jCaso especial cuando G(s)H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje j..


Caso especial cuando G(s)H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje jCaso especial cuando G(s)H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje j..

jes

Tss

KsHsG

)1()()(

jjj

jjj

eK

eHeG

e

KeHeG

)()(

)()(

Como no hay un polo en el semiplano derecho del plano s y el lugar geométrico de la FTLA no rodea el punto -1 +j0, el sistema ES ESTABLE.


Ejercicio. Considere un sistema de lazo Ejercicio. Considere un sistema de lazo cerrado cuya función de transferencia de lazo cerrado cuya función de transferencia de lazo abierto está dada por:abierto está dada por:

Examine la estabilidad del sistema para dos Examine la estabilidad del sistema para dos casos:casos:

1- La ganancia K pequeña.1- La ganancia K pequeña. 2- La ganancia K grande2- La ganancia K grande

)1)(1()()(

21

sTsTs

KsHsG


EjercicioEjercicio


Ejercicio. Para valores pequeños de K, el Ejercicio. Para valores pequeños de K, el punto -1+j0 no queda rodeado. Por tanto, punto -1+j0 no queda rodeado. Por tanto, este sistema es estable para valores este sistema es estable para valores pequeños de K. Para valores grandes, el pequeños de K. Para valores grandes, el lugar geométrico rodea el punto -1+j0 dos lugar geométrico rodea el punto -1+j0 dos veces en el sentido de las agujas del reloj veces en el sentido de las agujas del reloj y el sistema es inestable.y el sistema es inestable.


Ejercicio. Considere un sistema de lazo Ejercicio. Considere un sistema de lazo cerrado cuya función de transferencia de cerrado cuya función de transferencia de lazo abierto está dada por:lazo abierto está dada por:

Examine la estabilidad del sistema para Examine la estabilidad del sistema para los diferentes valores relativos de T1 y T2.los diferentes valores relativos de T1 y T2.

)1(

)1()()(

12

2

sTs

sTKsHsG


EjercicioEjercicio

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